El «teorema de Gödel» es una de las más

sensacionales conquistas científicas del siglo XX.

Su autor —que sólo contaba veinticinco años

cuando lo publicó, en 1931— revolucionó con él los

cimientos de la lógica y de la matemática como

Heisenberg los de la física con sus ecuaciones de

incertidumbre.

Muchos de los más interesantes desarrollos de la

informática se cuentan entre los frutos

cosechados por este legendario teorema, del que,

por otra parte, se ha valido el físico Roger

Penrose para cuestionar los supuestos de la

inteligencia artificial.

El teorema de Gödel, ha escrito Hofstadter, es

como una perla en una ostra. Su secreto no se

percibe escrutando la perla, sino el aparato

demostrativo oculto en la ostra que la aloja. Este

libro de Nagel y Newman, dedicado por sus

autores a Bertrand Russell, es el único existente

que permite a un lector sin base matemática

obtener un conocimiento del teorema, de su

prueba y de su contexto histórico, suficiente para

poder formarse juicio propio sobre las

consecuencias que comporta para nuestro

concepto de la mente y de la cultura humana.

Ernest Nagel & James R. Newman

El teorema de Gödel

ePub r1.0

Antwan 24.07.13

Título original: Gödel’s ProofErnest Nagel & James R. Newman, 1958Traducción: Adolfo Martín

Editor digital: AntwanePub base r1.0

a Bertrand Russell

IIntroducción

En 1931 apareció en una publicación científica alemanaun trabajo, relativamente corto, que llevaba elimpresionante título de «Sobre las proposicionesformalmente indecidibles de los Principia Mathematica ysistemas conexos». Su autor era Kurt Gödel, a la sazón unjoven matemático de veinticinco años de la Universidadde Viena y, desde 1938, miembro permanente del Institutode Estudios Avanzados de Princeton. Dicho trabajoconstituye una piedra miliaria en la historia de la lógica ylas matemáticas. Cuando la Universidad de Harvard leinvistió como doctor honoris causa en 1952, la mencióndescribió la obra como uno de los más importantesavances que en el campo de la lógica se han realizado enlos tiempos modernos.

En la época de su publicación, sin embargo, ni eltítulo del trabajo de Gödel ni su contenido eraninteligibles para la mayoría de los matemáticos. LosPrincipia Mathematica mencionados en el título son elmonumental tratado en tres volúmenes debido a Alfred

North Whitehead y Bertrand Russell sobre la lógicamatemática y los fundamentos de las matemáticas, y elconocimiento de esa obra no es un requisito indispensablepara la realización de una fructuosa investigación en lamayoría de las ramas de la ciencia matemática. Ademas,el trabajo de Gödel versa sobre una serie de cuestionesque nunca han atraído mas que a un grupo relativamentereducido de estudiosos. El razonamiento del teorema eratan nuevo en el momento de su publicación, que soloquienes se hallaban pertrechados con un profundoconocimiento de la literatura técnica sumamenteespecializada podían seguir y comprender plenamente lalínea argumentativa del mismo. Actualmente, sin embargo,las conclusiones establecidas por Gödel son por todosreconocidas como verdaderamente revolucionarias por suhonda significación filosófica. La finalidad del presenteensayo es hacer accesibles a los no especialistas elnúcleo esencial de los hallazgos de Gödel y las líneasgenerales de su teorema.

El famoso trabajo de Gödel se centró sobre unimportante problema radicado en el fundamento mismo delas matemáticas. Antes de entrar de lleno en suexposición, sera conveniente dar una breve explicacióndel terreno en que se desenvuelve dicho problema. Todo

el que haya estudiado geometría elemental recordara, sinduda, que esta es enseñada como una disciplinadeductiva. No se la presenta como una cienciaexperimental, cuyos teoremas deban ser aceptados porhallarse de acuerdo con lo que enseña la observación.Esta idea de que una proposición puede ser establecidacomo conclusión de una prueba lógica explícita seremonta a los antiguos griegos, los cuales descubrieron loque se conoce con el nombre de «método axiomático» y loutilizaron para obtener un desarrollo sistemático de lageometría. El método axiomático consiste en aceptar sinprueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados(por ejemplo, el axioma de que entre dos puntos sólopuede trazarse una línea recta), y en derivar luego de esosaxiomas todas las demás proposiciones del sistema, encalidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los«cimientos» del sistema; los teoremas son la«superestructura», y se obtienen a partir de los axiomassirviéndose, exclusivamente, de los principios de lalógica.

El desarrollo axiomático de la geometría produjo unapoderosa impresión en los pensadores de todos lostiempos, ya que el relativamente pequeño número deaxiomas soporta el peso de las infinitamente numerosas

proposiciones que de ellos podían derivarse. Ademas, sipuede demostrarse de alguna manera la verdad de losaxiomas —y, en efecto, durante cerca de dos mil años lamayoría de los estudiosos han creído sin discusión queson absolutamente ciertos—, quedan automáticamentegarantizadas tanto la verdad como la consistencia mutuade todos los teoremas. Por estas razones la formaaxiomática de la geometría se presentó a muchasgeneraciones de destacados pensadores como el másexcelente modelo de conocimiento científico. Era naturalpreguntar, por tanto, si era posible asentar sobre un sólidocimiento axiomático otras ramas de pensamiento ademasde la geometría. No obstante, aunque en la antigüedad sedio una formulación axiomática a ciertas partes de lafísica (por Arquímedes), hasta los tiempos modernos lageometría era la única rama de las matemáticas dotada delo que la mayoría de los estudiosos consideraban unaadecuada base axiomática.

Pero durante los dos últimos siglos el métodoaxiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes.Nuevas y viejas ramas de las matemáticas, incluyendo lafamiliar aritmética de los números cardinales (o«enteros»), fueron provistas de lo que parecían ser unosadecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de

opinión en el que se admitía tácitamente que todos lossectores del pensamiento matemático podían ser dotadosde unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollarsistemáticamente la infinita totalidad de proposicionesverdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación.

El trabajo de Gödel demostró que esta suposición esinsostenible. Puso frente a los matemáticos la asombrosa ymelancólica conclusión de que el método axiomáticoposee ciertas limitaciones intrínsecas que excluyen laposibilidad de que ni siquiera la aritmética ordinaria delos números enteros pueda llegar a ser plenamenteaxiomatizada. Y aún más, demostró que es imposibleestablecer la consistencia lógica interna de una ampliaclase de sistemas deductivos —la aritmética elemental,por ejemplo—, a menos que se adopten principios tancomplejos de razonamiento que su consistencia internaquede tan sujeta a la duda como la de los propiossistemas. A la luz de estas conclusiones, resultainalcanzable una completa sistematización final de muchasy muy importantes zonas de las matemáticas y no puededarse ninguna garantía absolutamente impecable de quemuchas de las más significativas ramas del pensamientomatemático se hallen enteramente libres de todacontradicción interna.

Los descubrimientos de Gödel socavaron, así,prejuicios profundamente arraigados y demolieron lasantiguas esperanzas que estaban siendo nuevamentealimentadas por la investigación en torno a losfundamentos de las matemáticas. Pero su estudio no eratotalmente negativo. Introdujo en el examen de lascuestiones planteadas en torno al fundamento de lasmatemáticas una nueva técnica de análisis, comparablepor su naturaleza y su fecundidad al método algebraicoque René Descartes introdujo en la geometría. Estatécnica sugería y planteaba nuevos problemas para lainvestigación lógica y matemática. Provoco una nuevavaloración, todavía en trance de desarrollo, de unaextendida filosofía de la matemática y de la filosofía delconocimiento en general.

Sin una considerable formación matemática esdemasiado difícil seguir los detalles de lasdemostraciones dadas por Gödel en su ya históricotrabajo. Pero la estructura básica de sus razonamientos yel aspecto esencial de sus conclusiones pueden ser hechosaccesibles a los lectores que se hallen dotados de unalimitada preparación lógica y matemática. Para lograr estacomprensión puede que le sea útil al lector una breveexposición de ciertos progresos relevantes realizados en

la historia de las matemáticas y de la moderna lógicaformal. Los cuatro capítulos siguientes de este ensayo sehallan consagrados a dicha exposición.

IIEl problema de la consistencia

El siglo XIX presenció una prodigiosa expansión eintensificación de la investigación matemática. Fueronresueltos muchos problemas fundamentales que durantelargo tiempo habían resistido a los esfuerzos de lospensadores anteriores: se crearon nuevos sectores deestudio matemático y se establecieron nuevos cimientos endiversas ramas de la disciplina o se reformaron porcompleto los antiguos con la ayuda de técnicas analíticasmás precisas. Sirva de ejemplo lo siguiente. Los griegoshabían propuesto tres problemas de geometría elemental:con regla y compás, dividir en tres partes iguales unangulo cualquiera, construir un cubo de doble volumenque el volumen de un cubo dado y construir un cuadradode área igual a la de un círculo dado. Durante más de dosmil años se hicieron infructuosos esfuerzos por resolverestos problemas. Y, finalmente, en el siglo XIX, sedemostró que tales construcciones son lógicamenteimposibles. Se obtuvo, ademas, un valioso resultadosecundario de esos trabajos. Puesto que las soluciones

dependen esencialmente de determinar la clase de raícesque satisfacen a ciertas ecuaciones, el interés suscitadopor los famosos ejercicios planteados en la antigüedadestimulá la realización de profundas investigacionesacerca de la naturaleza de los números y sobre laestructura del continuo numérico. Los números negativos,complejos e irracionales fueron definidos con rigurosaprecisión; se construyó una base lógica para el sistema denúmeros reales y se fundo una nueva rama de lasmatemáticas: la teoría de los números transfinitos.

Pero el progreso más importante por susrepercusiones sobre la subsiguiente evolución de laciencia matemática fue, quizá, la solución de otroproblema que los griegos habían planteado sin darle unarespuesta. Uno de los axiomas que Euclides utilizo parasistematizar la geometría se refiere a las paralelas. Elaxioma que adopto es lógicamente equivalente (aunque noidéntico) a la hipótesis de que por un punto exterior a unalínea dada solamente puede trazarse una paralela a esalínea. Por varias razones, este axioma no pareció«evidente por sí mismo» a los antiguos. Trataron, portanto, de deducirlo de otros axiomas euclidianos queconsideraban claramente autoevidentes[1]. ¿Puede hallarseuna demostración del axioma de las paralelas?

Generaciones enteras de matemáticos forcejearon sinresultado con esta cuestión. Pero el reiterado fracaso en elintento de construir una prueba no significa que no puedaser encontrada ninguna en absoluto, del mismo modo queel reiterado fracaso en el intento de hallar un remediopara el resfriado común no demuestra de forma indudableque la Humanidad haya de sufrir eternamente susmolestias. Fue solamente en el siglo XIX, principalmentepor la obra de Gauss, Bolyai, Lobachevsky y Riemann,cuando se demostró la imposibilidad de deducir de losotros axiomas el axioma de las paralelas. Este resultadotuvo una importancia intelectual extraordinaria. En primerlugar, llamó clamorosamente la atención hacia el hecho deque puede demostrarse la imposibilidad de demostrarciertas proposiciones dentro de un determinado sistema.Como veremos, el trabajo de Gödel es una demostraciónde la imposibilidad de demostrar ciertas proposicionesimportantes de la aritmética. En segundo lugar, laresolución de la cuestión planteada por el axioma de lasparalelas obligo a admitir que Euclides no había dicho laúltima palabra acerca de la geometría, ya que puedenconstruirse nuevos sistemas de geometría utilizando ciertonúmero de axiomas distintos de los adoptados porEuclides e incompatibles con ellos. En particular, como

es bien sabido, se obtienen resultados extraordinariamenteinteresantes y fructíferos cuando se sustituye el axioma delas paralelas de Euclides por la hipótesis de que, por unpunto dado, puede trazarse más de una paralela a una líneadeterminada, o, alternativamente, por la hipótesis de queno puede trazarse ninguna paralela. La creenciatradicional de que los axiomas de la geometría (o, lo quees lo mismo, los axiomas de cualquier disciplina) puedenser establecidos como tales por su aparente autoevidenciafue así destruida en su misma base. Ademas, fuehaciéndose cada vez más claro que la tarea propia delmatemático puro es deducir teoremas a partir dehipótesis postuladas, y que, en cuanto tal matemático, nole atañe la cuestión de decidir si los axiomas que aceptason realmente verdaderos. Y, finalmente, estasmodificaciones de la geometría ortodoxa estimularon larevisión y perfección de las bases axiomáticas de otrosmuchos sistemas matemáticos. Se dio un fundamentoaxiomático a campos de investigación que hasta entonceshabían sido cultivados de una forma más o menosintuitiva[2].

La conclusión dominante desprendida de estosestudios críticos de los fundamentos de las matemáticas esque la antigua concepción de las matemáticas como

«ciencia de la cantidad» es equivocada, además deengañosa. Pues se hizo evidente que la matemática es,simplemente, la disciplina por excelencia que extrae lasconclusiones lógicamente implicadas en cualquierconjunto dado de axiomas o postulados. Llego, de hecho,a reconocerse que la validez de una deducción matemáticano depende en absoluto de ningún significado especial quepueda estar asociado con los términos o expresionescontenidos en los postulados. Se admitió así que lasmatemáticas eran algo mucho más abstracto y formal de loque tradicionalmente se había supuesto; más abstracto,porque las afirmaciones matemáticas pueden ser hechas enprincipio sobre cualquier objeto, sin estar esencialmentecircunscritas a un determinado conjunto de objetos o depropiedades de objeto, y más formal, porque la validez delas demostraciones matemáticas se asienta en la estructurade las afirmaciones mas que en la naturaleza especial desu contenido. Los postulados de cualquier rama de lamatemática demostrativa nunca versan intrínsecamentesobre el espacio, la cantidad, manzanas, ángulos opresupuestos financieros; y ningún significado especialque pueda asociarse con los términos (o «predicadosdescriptivos») contenidos en los postulados desempeñapapel esencial alguno en el proceso de deducir teoremas.

Repetimos que la única cuestión a la que se enfrenta elmatemático puro (en cuanto diferente del científico quehace uso de las matemáticas en la investigación de undeterminado objeto de estudio) no es si los postulados deque parte o las conclusiones que de ellos deduce sonverdaderos, sino si las conclusiones obtenidas sonrealmente las consecuencias lógicas necesarias de lashipótesis iniciales.

Consideremos un ejemplo. Entre los términos nodefinidos (o «primitivos») empleados por el destacadomatemático alemán David Hilbert en su famosaaxiomatización de la geometría (publicada en 1899) sehallan «punto», «línea», «estar situado en» y «entre».Podemos admitir que los significados habitualesrelacionados con estas expresiones desempeñan un papelen el proceso de descubrir y aprender teoremas. Puestoque los significados nos son familiares nos damos cuentade que comprendemos sus diversas relaciones mutuas yellos también motivan la formulación y selección deaxiomas; además, sugieren y facilitan la formulación delas afirmaciones que esperamos demostrar comoteoremas. Sin embargo, como paladinamente declaraHilbert, mientras estemos interesados en la fundamentallabor matemática de explorar las relaciones estrictamente

lógicas de dependencia entre afirmaciones debemosprescindir de las connotaciones familiares de los términosprimitivos, y los únicos «significados» que se debenasociar con ellos son los que se hallan determinados porlos axiomas en que están contenidos[3]. A esto es a lo quese refiere el famoso epigrama de Russell: la matemáticapura es la ciencia en la que no sabemos de qué estamoshablando ni si lo que estamos diciendo es verdadero.

No es fácil, desde luego, adentrarse en un terreno derigurosa abstracción, carente de toda clase de mojonesseñaladores. Pero ofrece compensaciones importantes enforma de una nueva libertad de movimientos y derenovadas perspectivas. La acentuada formalización delas matemáticas emancipó la mente de los hombres de lasrestricciones que la habitual interpretación de lasexpresiones establecía para la construcción de nuevossistemas de postulados. Surgieron nuevas especies deálgebras y de geometrías que señalaron importantesdesviaciones respecto de las matemáticas tradicionales.Al hacerse más generales los significados de ciertostérminos se hizo más amplia su utilización y menoslimitadas las deducciones que podían extraerse de ellos.La formalización condujo a una gran variedad de sistemasde considerable interés matemático y de un valor

extraordinario. Preciso es admitir que algunos de estossistemas no se prestaban a interpretaciones tanevidentemente intuitivas (esto es, conformes al sentidocomún) como las de la geometría euclídea o de laaritmética, pero este hecho no causo ninguna alarma. Laintuición, en realidad, es una facultad elástica; nuestroshijos no encontraran, probablemente, dificultad alguna enaceptar como intuitivamente evidentes las paradojas de larelatividad, del mismo modo que nosotros noretrocedemos ante ideas que eran consideradascompletamente no intuitivas hace un par de generaciones.Además, como todos sabemos, la intuición no es una guíasegura: no puede ser utilizada adecuadamente comocriterio de verdad ni de fecundidad en las exploracionescientíficas.

La creciente abstracción de las matemáticas planteo,empero, un problema más serio. Suscitó la cuestión de siun determinado conjunto de postulados erigidos comobases de un sistema es internamente consistente, de talmodo que no puedan deducirse teoremas mutuamentecontradictorios a partir de esos postulados. El problemano parece apremiante cuando se considera un conjunto deaxiomas que versan sobre una especie concreta yconocida de objetos, ya que entonces no solo es

significativo preguntar, sino que puede ser posibleasegurarse de ello, si los axiomas son verdaderosreferidos a tales objetos. Como quiera que se dabageneralmente por supuesto que los axiomas euclidianoseran afirmaciones verdaderas respecto al espacio (o a losobjetos en el espacio), ningún matemático anterior al sigloXIX se detuvo siquiera a considerar la cuestión de sipodría deducirse algún día de tales axiomas un par deteoremas contradictorios. El fundamento de esta confianzaen la consistencia de la geometría euclidiana es el rectoprincipio de que no pueden ser simultáneamenteverdaderas afirmaciones lógicamente incompatibles; porconsiguiente, si es verdadero un conjunto de afirmaciones(que es lo que se daba por supuesto respecto de losaxiomas euclidianos), esas afirmaciones son mutuamenteconsistentes.

Las geometrías no euclidianas pertenecían a unacategoría diferente. Sus axiomas fueron consideradosinicialmente como siendo claramente falsos respecto delespacio y, por este motivo, dudosamente verdaderosrespecto de cualquier otra cosa; por ello fue consideradonotablemente arduo, a la par que decisivo, el problema deestablecer la consistencia interna de los sistemas noeuclidianos. En la geometría riemanniana, por ejemplo, el

postulado de las paralelas de Euclides es sustituido por lahipótesis de que por un punto dado exterior a una línea nopuede trazarse ninguna paralela a ella. Planteémonosahora la cuestión de si es consistente el conjuntoriemanniano de postulados. Aparentemente, los postuladosno son verdaderos referidos al espacio de la experienciaordinaria. ¿Cómo puede entonces mostrarse suconsistencia? ¿Cómo puede demostrarse que noconducirán a teoremas contradictorios? Evidentemente, lacuestión no queda resuelta por el hecho de que losteoremas ya deducidos no se contradicen entre sí, toda vezque subsiste la posibilidad de que el próximo teorema quese deduzca introduzca la discordia en el sistema. Perohasta que se resuelva esa cuestión no puede haber certezade que la geometría riemanniana constituya una verdaderaalternativa al sistema euclidiano, esto es, que seaigualmente valida matemáticamente. La posibilidad mismade la existencia de geometrías no euclidianas paso así adepender de la resolución de este problema.

Se ideo un método general para su resolución. La ideabásica consiste en encontrar un «modelo» (o«interpretación») para los postulados abstractos de unsistema, de tal modo que cada postulado se convierta enuna afirmación verdadera respecto del modelo. En el caso

de la geometría euclidiana, como hemos visto, el modeloera el espacio ordinario. Se utilizo el método paraencontrar otros modelos cuyos elementos pudiesen servirde puntos de apoyo para determinar la consistencia depostulados abstractos. El procedimiento viene a ser elsiguiente. Designemos con la palabra «clase» un conjuntoo colección de elementos distintos, cada uno de los cualesrecibe la denominación de miembro de la clase. Así, laclase de números primos menores de 10 es el conjuntocuyos miembros son 2, 3, 5 y 7. Consideremos la siguienteserie de postulados concernientes a dos clases, K y L,cuya naturaleza concreta se deja indeterminada excepto enlo que resulta «implícitamente» definido por lospostulados:

1. Dos miembros cualesquiera de K se hallancontenidos en un solo miembro de L.

2. Ningún miembro de K se halla contenido en más dedos miembros de L.

3. No todos los miembros de K se hallan contenidos enun único miembro de L.

4. Dos miembros cualesquiera de L contienen a un solomiembro de K.

5. Ningún miembro de L contiene a más de dosmiembros de K.

De este pequeño conjunto podemos derivar, aplicandolas reglas corrientes de deducción, cierto número deteoremas. Puede demostrarse, por ejemplo, que K contienetres miembros solamente. Pero ¿se halla dotado esteconjunto de consistencia, hasta el punto de que nuncapuedan deducirse de el teoremas mutuamentecontradictorios? Puede responderse prontamente a lacuestión con ayuda del modelo siguiente:

Sea K la clase de puntos que componen losvértices de un triangulo, y L la clase de líneas queforman sus lados. Entendamos la frase «unmiembro de K se halla contenido en un miembrod e L» en el sentido de que un punto que es unvértice está situado en una línea que es un lado.Cada uno de los cinco postulados abstractos seconvierte entonces en una afirmación verdadera.Por ejemplo, el primer postulado afirma que dospuntos cualesquiera que sean vértices del trianguloradican solamente en una misma línea que sea unlado (fig. 1). De esta forma queda demostrada laconsistencia del conjunto de postulados.

FIGURA 1. El modelo para un grupo de postulados acerca dedos clases K y L, es un triángulo cuyos vértices son miembrosde K y cuyos lados son miembros de L. El modelo geométricomuestra que los postulados son consistentes.

La consistencia de la geometría plana riemannianapuede también demostrarse ostensiblemente mediante unmodelo en que encarnen los postulados. Podemosinterpretar la expresión «plano» de los axiomasriemannianos como (significativa de) una esferaeuclidiana, la expresión «punto» como un punto de estasuperficie, la expresión «línea recta» como el arco de uncírculo máximo de esta superficie, es decir, de la esfera, yasí sucesivamente. Cada postulado riemanniano se traduceentonces por un teorema de Euclides. Así, por ejemplo,según esta interpretación el postulado riemanniano de las

paralelas presenta el siguiente enunciado: por un punto dela superficie de una esfera no puede trazarse ningún arcode círculo máximo paralelo a un arco dado de círculomáximo (fig. 2).

FIGURA 2. La geometría no-euclidiana de Bernhard Riemannpuede ser representada con un modelo euclidiano. El planoriemanniano se convierte en la superficie de una esferaeuclidiana, los puntos en el plano se convierten en círculosmáximos. Así, una porción del plano riemanniano limitada porsegmentos de líneas rectas queda representada por una porciónde una esfera limitada por partes de círculos máximos (centro).Dos segmentos lineales en el plano riemanniano son dossegmentos de un círculo máximo en la esfera euclidiana(abajo), y estos se intersectan si se prolongan, contradiciendode esta manera el postulado.

A primera vista puede parecer concluyente estaprueba de la consistencia de la geometría riemanniana.Pero si se examina más atentamente surge el desconcierto,pues se descubriría entonces que el problema no ha sidoresuelto, sino simplemente desplazado a otro terreno. Seintenta demostrar la consistencia de la geometríariemanniana apelando a la consistencia de la geometríaeuclidiana. Lo que se desprende entonces es solamenteque la geometría riemanniana es consistente si esconsistente la geometría euclidiana. Resulta así que seinvoca la autoridad de Euclides para demostrar laconsistencia de un sistema que discute la validezexclusiva de Euclides. La insoslayable cuestión es: ¿sonconsistentes por sí mismos los axiomas del sistemaeuclidiano?

Una respuesta a esta cuestión, consagrada, como

hemos visto, por una larga tradición, es que los axiomaseuclidianos son verdaderos y, por tanto, consistentes. Estarespuesta no se considerada ya aceptable. Volveremosluego sobre ella y explicaremos por qué no essatisfactoria. Otra contestación es que los axiomas estánde acuerdo con nuestra actual, aunque limitada,experiencia del espacio y que se halla perfectamentejustificado hacer una extrapolación de lo particular a louniversal. Pero, por muchas pruebas inductivas quepuedan aducirse en apoyo de esta postura, nuestra mejordemostración sería lógicamente incompleta, pues auncuando todos los hechos observados mantengan suconcordancia con los axiomas, subsiste la posibilidad deque un hecho hasta ahora inobservado puedacontradecirlos y destruir así su pretensión deuniversalidad. Lo más que pueden mostrar lasconsideraciones inductivas es que los axiomas sonplausibles, o probablemente verdaderos.

Hilbert hizo un ensayo en otra dirección. La ideabásica del mismo se apoya en la geometría decoordenadas cartesianas. En su interpretación, losaxiomas de Euclides se transformaban simplemente enverdades algebraicas. Así, por ejemplo, tomando losaxiomas de la geometría plana, hace que la expresión

«punto» signifique un par de números, la expresión «línearecta» la relación (lineal) entre números expresada poruna ecuación de primer grado con dos incógnitas, laexpresión «círculo» la relación entre números expresadapor una ecuación de segundo grado de cierta forma, y asísucesivamente. La afirmación geométrica de que dospuntos distintos determinan solamente una línea recta setransforma entonces en la verdad algebraica de que dospares distintos de números determinan solamente unarelación lineal; el teorema geométrico de que una línearecta corta a un círculo en dos puntos como máximo, en elteorema algebraico de que un sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas (una de las cuales es lineal y la otra desegundo grado de cierto tipo) determinan dos pares denúmeros reales como máximo, y así sucesivamente. Enresumen, la consistencia de los postulados euclidianos sedemuestra haciendo ver que satisfacen a un modeloalgebraico. Este método de demostrar la consistencia esvalido y eficaz. Sin embargo, es también vulnerable a laobjeción ya expuesta, pues también aquí se resuelve elproblema planteado en un terreno desplazándolo a otro.La argumentación de Hilbert en favor de la consistenciade sus postulados geométricos demuestra que si el álgebraes consistente también lo es su sistema geométrico. La

prueba se halla en una clara dependencia de la supuestaconsistencia de otro sistema y no es una prueba«absoluta».

En los diversos intentos realizados para resolver elproblema de la consistencia late siempre una permanentefuente de dificultad, la cual radica en el hecho de que losaxiomas son interpretados por modelos compuestos de unnúmero infinito de elementos. Esto hace imposibleencerrar los modelos en un número finito deobservaciones; de ahí que la verdad de los axiomas seaobjeto de duda. En la argumentación inductiva en favor dela verdad de la geometría euclidiana un número finito dehechos observados acerca del espacio se hallanpresumiblemente de acuerdo con los axiomas. Pero laconclusión que se trata de demostrar implica unaextrapolación de una serie finita de datos a otra infinita.¿Cómo podemos justificar este salto? Por otra parte, ladificultad queda minimizada, si no completamenteeliminada, allá donde pueda idearse un modelo quecontenga solamente un número limitado de elementos. Eltriángulo modelo utilizado para demostrar la consistenciade los cinco postulados abstractos referidos a las clases Ky L es finito; y es relativamente sencillo determinar pormedio de una inspección si todos los elementos del

modelo satisfacen realmente los postulados y, porconsiguiente, si son verdaderos (y, por tanto,consistentes). Por ejemplo: examinando sucesivamentetodos los vértices del triángulo modelo puede verse si secumple el enunciado de que dos cualesquiera de ellosradican únicamente en un solo lado, con lo que quedademostrado como verdadero el primer postulado. Puestoque todos los elementos del modelo, así como lasrelaciones relevantes existentes entre ellos, se prestan auna directa y exhaustiva inspección, y puesto que esprácticamente nula la probabilidad de que se produzcanerrores al inspeccionarlos, la consistencia de lospostulados no suscita en este caso duda alguna.

Desafortunadamente, la mayoría de los sistemas depostulados que constituyen los fundamentos de numerosase importantes ramas de las matemáticas no pueden serreflejados en modelos finitos. Considérese el postuladode la aritmética elemental que afirma que todo númeroentero tiene un inmediato sucesor, distinto de todo otronúmero anterior. Resulta evidente que el modelonecesario para comprobar el conjunto a que pertenece estepostulado no puede ser finito, sino que debe contener unainfinidad de elementos. De ello se desprende que laverdad (y, por tanto, la consistencia) del conjunto no

puede demostrarse mediante una inspección exhaustiva deun número limitado de elementos. Hemos llegado, alparecer, a un callejón sin salida. Los modelos finitosbastan, en principio, para demostrar la consistencia deciertos conjuntos de postulados, pero éstos tienen una muyescasa importancia matemática. Los modelos no finitos,necesarios para la interpretación de la mayoría de lossistemas de postulados matemáticamente importantes, solopueden ser descritos en términos generales; y no podemosdar por sentado que las descripciones se hallen exentas deocultas contradicciones.

Al llegar a este punto se siente uno tentado a sugerirque podemos estar seguros de la consistencia de lasformulaciones en que se describen los modelos no finitossi las nociones básicas empleadas son transparentemente«claras» y «distintas». Pero la historia del pensamiento noha solido admitir la doctrina de las ideas claras y distintasni la teoría del conocimiento intuitivo implícita en lasugerencia. En ciertas zonas de la investigaciónmatemática en que las hipótesis acerca de los conjuntosinfinitos desempeñan un importante papel han surgidocontradicciones radicales, pese a la intuitiva claridad delas nociones implicadas en las hipótesis y pese al carácteraparentemente consistente de las construcciones

intelectuales realizadas. Contradicciones de estas(denominadas técnicamente «antinomias») han aparecidoen la teoría de los números transfinitos, desarrollada porGeorg Cantor en el siglo XIX; y la presencia de estascontradicciones ha hecho evidente que la aparenteclaridad de ni siquiera una noción tan elemental como lad e clase (o conjunto) garantiza la consistencia decualquier sistema concreto que se edifique sobre ella.Puesto que la teoría matemática de las clases, que versasobre las propiedades y relaciones de los agregados ocolecciones de elementos, es frecuentemente adoptadacomo fundamento para otras ramas de las matemáticas, y,en particular, para la aritmética elemental, es oportunoplantearse la cuestión de si no se hallaran afectadas lasformulaciones de otras partes de las matemáticas decontradicciones similares a las encontradas en la teoría delas clases infinitas.

A este respecto, Bertrand Russell construyó unacontradicción dentro del sistema mismo de la lógicaelemental, que es precisamente análoga a la contradicciónprimeramente desarrollada en la teoría cantoriana de lasclases infinitas. La antinomia de Russell puede serenunciada del modo siguiente. Las clases parecen ser dedos tipos: las que no se contienen a sí mismas como

miembros y las que sí se contienen. Una clase serallamada «normal» si, y solamente si, no se contiene a símisma como miembro; en otro caso se la llamara «nonormal». Un ejemplo de clase normal es la clase de losmatemáticos, ya que, evidentemente, la clase misma no esun matemático y, por tanto, no es un miembro de sí misma.Un ejemplo de clase no normal es la clase de todas lascosas pensables, ya que la clase de todas las cosaspensables es, a su vez, pensable y, por consiguiente, unmiembro de sí misma. Sea «N», por definición, la clase detodas las clases normales. Preguntamos si N mismo es unaclase normal. Si N es normal, es un miembro de sí misma(pues, por definición, N contiene a todas las clasesnormales); pero, en ese caso, N es no normal, porque, pordefinición, una clase que se contiene a sí misma es nonormal. Por otra parte, si N es no normal, es un miembrode sí misma (por la definición de no normal); pero, en esecaso, N es normal, porque, por definición, los miembrosde N son las clases normales. En resumen, N es normal si,y solamente si, N es no normal. De lo que se desprendeque la afirmación «N es normal» es verdadera y falsa a lavez. Esta fatal contradicción se produce comoconsecuencia de utilizar sin espíritu crítico una nociónaparentemente diáfana de clase. Posteriormente fueron

encontrándose otras paradojas, construidas todas pormedio de familiares y aparentemente convincentes modosde razonamiento. Los matemáticos acabaroncomprendiendo que, en la tarea de desarrollar sistemasconsistentes, la familiaridad y la claridad intuitiva sonsoportes harto débiles en que apoyarse.

Hemos visto la importancia del problema de laconsistencia y hemos trabado conocimiento con el métodoclásico de resolverlo con ayuda de modelos. Se hamostrado que, en la mayoría de los casos, el problemarequiere el uso de un modelo no finito, cuya descripciónpuede contener ella misma inconsistencias. Debemosconcluir que, si bien el método del modelo constituye unavaliosa herramienta matemática, no suministra unarespuesta definitiva al problema que trataba de resolver.

IIIPruebas absolutas de consistencia

Las limitaciones inherentes a la utilización de modelospara demostrar la consistencia y la creciente aprensión deque las formulaciones clásicas de muchos sistemasmatemáticos pudiesen albergar contradicciones internascondujeron a nuevas formas de abordar el problema.Hilbert propuso una alternativa a las pruebas relativas deconsistencia. Trato de construir pruebas «absolutas» conlas que pudiera demostrarse la consistencia de lossistemas sin necesidad de dar por supuesta la consistenciade algún otro sistema. Explicaremos brevemente estemétodo con el fin de que pueda comprenderse mejor larealización de Gödel.

El primer paso en la construcción de una pruebaabsoluta, tal como concibió Hilbert la cuestión, es lacompleta formalización de un sistema deductivo. Estoimplica la extracción de todo significado de lasexpresiones existentes dentro del sistema: se las debeconsiderar, simplemente, como signos vacíos. La forma enque se deben manipular y combinar estos signos ha de ser

plasmada en un conjunto de reglas enunciadas con todaprecisión. La finalidad de este procedimiento estriba enconstruir un sistema de signos (llamado un «cálculo») queno oculte nada y que solamente contenga lo queexpresamente se haya puesto en él. Los postulados y losteoremas de un sistema completamente formalizado son«hileras» (o sucesiones de longitud finita) de signoscarentes de significado construidas conforme a las reglasestablecidas para combinar los signos elementales delsistema hasta formar conjuntos más amplios. Ademas,cuando un sistema ha sido completamente formalizado, laderivación de teoremas a partir de los postulados selimita, simplemente, a la transformación (siguiendo lasreglas) de un conjunto de estas «hileras» en otro conjuntode «hileras». De esta manera se elimina el peligro deutilizar cualesquiera reglas no declaradas derazonamiento. La formalización es difícil y exige un buennúmero de tretas, pero sirve a una valiosa finalidad.Revela con desnuda claridad la estructura y la función, delmismo modo que el nítido modelo de una maquina.Cuando ha sido formalizado un sistema, quedan a la vistalas relaciones lógicas existentes entre las proposicionesmatemáticas; pueden verse los módulos estructurales delas diversas «hileras» de signos «carentes de

significado», cómo permanecen unidas, como secombinan, como se alojan una en otra, etcétera.

Una pagina entera cubierta con los signos «carentes designificado» de este tipo de matemáticas formalizadas noafirma nada; es, simplemente, el diseño abstracto de unmosaico que posee una determinada estructura. Sinembargo, es perfectamente posible describir lasconfiguraciones de un sistema así y formulardeclaraciones acerca de las configuraciones y de susdiversas relaciones mutuas. Puede uno decir que una«hilera» es bonita, o que se parece a otra «hilera», o queuna «hilera» parece estar hecha de otras tres distintas,etcétera. Estas declaraciones poseen, evidentemente,significado y pueden suministrar información importanteacerca del sistema formal. Es preciso observar, noobstante, que tales declaraciones significativas acerca deun sistema matemático carente de significado (oformalizado) no pertenecen plenamente a dicho sistema.Pertenecen a lo que Hilbert denominó «metamatemáticas»,al lenguaje que se formula acerca de las matemáticas. Lasdeclaraciones metamatemáticas son declaraciones acercade los signos existentes dentro de un sistema matemáticoformalizado (es decir, un cálculo), acerca de las especiesy disposición de tales signos cuando se combinan para

formar hileras más largas de signos llamadas «fórmulas»,o acerca de las relaciones entre fórmulas que puedenobtenerse como consecuencia de las reglas demanipulación establecidas para ellas.

Unos cuantos ejemplos ayudaran a comprender ladistinción de Hilbert entre matemáticas (es decir, unsistema de signos carentes de significado) ymetamatemáticas (declaraciones significativas acerca delas matemáticas, los signos introducidos en el cálculo, suordenación y sus relaciones). Consideremos la expresión:

2 + 3 = 5

Esta expresión pertenece a las matemáticas (aritmética) yestá formada exclusivamente de signos aritméticoselementales. Por otra parte, la proposición

‘2 + 3 = 5’ es una fórmula aritmética

afirma algo acerca de la expresión indicada. Laproposición no expresa un hecho aritmético ni perteneceal lenguaje formal de la aritmética; pertenece a lametamatemática porque caracteriza como fórmula a unadeterminada hilera de signos aritméticos. Pertenecetambién a la metamatemática la siguiente proposición:

Si se usa el signo ‘=’ en una fórmula aritmética, elsigno debe hallarse flanqueado a derecha eizquierda por expresiones numéricas.

Esta proposición establece una condición necesaria parautilizar un determinado signo aritmético en fórmulasaritméticas: la estructura que debe poseer una fórmulaaritmética si ha de incluir dicho signo.

Consideremos ahora las tres fórmulas siguientes:

x = x0 = 00 ≠ 0

Cada una de estas fórmulas pertenece a las matemáticas(aritmética), porque cada una de ellas está formadaexclusivamente de signos aritméticos. Pero la afirmación

‘x’ es una variable

pertenece a las metamatemáticas, toda vez que caracterizaa un determinado signo aritmético como perteneciente auna clase específica de signos (esto es, a la clase de lasvariables). Igualmente pertenece a las metamatemáticas lasiguiente afirmación:

La fórmula ‘0 = 0’ puede derivarse de la fórmula‘x = x’ sustituyendo por la cifra ‘0’ la variable ‘x’.

Aquí se especifica de que modo puede obtenerse unafórmula aritmética a partir de otra fórmula, con lo que sedescribe la forma en que se encuentran relacionadas entresí dos fórmulas. De modo semejante, la afirmación

‘0 ≠ 0’ no es un teorema

pertenece a las metamatemáticas, ya que dice que ciertafórmula no es derivable de los axiomas de la aritmética yafirma, por tanto, que no existe una determinada relaciónentre las dos fórmulas indicadas del sistema. Finalmente,la siguiente afirmación pertenece a las metamatemáticas:

La aritmética es consistente

(esto es, no es posible derivar de los axiomas de laaritmética dos fórmulas formalmente contradictorias,como, por ejemplo, las fórmulas ‘0 = 0’ y ‘0 ≠ 0’). Estose halla referido a la aritmética, y afirma que pares defórmulas de cierto tipo no se hallan en una específicarelación con las fórmulas que constituyen los axiomas dela aritmética[4].

Puede que el lector encuentre intimidante la palabra«metamatemáticas» y un tanto confuso su concepto. Novamos a decir que la palabra sea bonita, pero la idea en síno resultaría oscura para nadie si hacemos notar que seutiliza en relación a un caso concreto de una conocidadistinción, la que hace referencia a la diferencia existenteentre un objeto determinado que constituye materia deestudio y un raciocinio acerca de dicho objeto. Laafirmación «entre los falaropos son los machos los queincuban los huevos» concierne al objeto investigado porlos zoólogos y pertenece a la zoología; pero si decimosque esta afirmación acerca de los falaropos demuestra quela zoología es irracional, nuestra declaración no se refierea los falaropos, sino a la afirmación enunciada y a ladisciplina en que tiene lugar, y es ya metazoología. Sidecimos que el id es más poderoso que el ego, nuestraspalabras pertenecen al psicoanálisis ortodoxo; pero sicriticamos esa declaración como absurda e indemostrable,nuestra crítica pertenece al metapsicoanálisis. Y lo mismoocurre en el caso de la matemática y la metamatemática.Los sistemas formales que construyen los matemáticospertenecen al grupo denominado «matemáticas»; ladescripción, discusión y teorización realizadas en torno alos sistemas pertenecen al grupo que lleva el epígrafe de

«metamatemáticas».Nunca se recalcará bastante la importancia que para el

objeto que nos ocupa tiene el que se llegue a apreciar ladistinción entre matemáticas y metamatemáticas. Elfracaso en este sentido ha dado lugar a numerosasparadojas y a una extraordinaria confusión. Lacomprensión de su significado ha hecho posible mostrarcon toda claridad la estructura lógica del razonamientomatemático. El valor de la distinción radica en que daorigen a una minuciosa codificación de los diversossignos que entran en la composición de un cálculo formal,libre de engañosas suposiciones y de irrelevantesasociaciones de ideas. Exige, ademas, disponer dedefiniciones exactas de las operaciones y de las reglaslógicas de la construcción y la deducción matemática,muchas de las cuales habían estado siendo aplicadas porlos matemáticos sin que estos se hallaran plenamenteconscientes de que era lo que estaban utilizando.

Hilbert capto el núcleo de la cuestión y baso su intentode construir pruebas «absolutas» de consistencia en ladistinción entre un cálculo formal y su descripción.Concretamente, trato de desarrollar un método queprodujera demostraciones de consistencia tan ajenas a unaautentica duda lógica como el uso de modelos finitos para

demostrar la consistencia de ciertos conjuntos depostulados, y ello mediante el análisis de un número finitode características estructurales de las expresionescontenidas en cálculos completamente formalizados. Elanálisis consiste en anotar los diversos tipos de signosque se dan en un cálculo, indicar como combinarlos enfórmulas, prescribir como pueden obtenerse nuevasfórmulas a partir de otras y determinar si fórmulas de unadeterminada clase pueden derivarse de otras mediantereglas operativas explícitamente enunciadas. Hilbert creíaposible presentar cualquier cálculo matemático como unaespecie de esquema «geométrico» de fórmulas, en el quelas fórmulas se relacionaran mutuamente en número finitode relaciones estructurales. Esperaba, por consiguiente,demostrar, examinando exhaustivamente estaspropiedades estructurales de las expresiones encerradasen un sistema, que no pueden obtenerse fórmulasformalmente contradictorias a partir de los axiomas decálculos dados. Requisito esencial del programa deHilbert en su primitiva concepción era que lasdemostraciones de consistencia implicaran únicamenteprocedimientos que no hicieran referencia ni a un númeroinfinito de propiedades estructurales de fórmulas ni a unnúmero infinito de operaciones con fórmulas. Tales

procedimientos son denominados «finitistas», y unaprueba de consistencia que se halle en adecuación a dichorequisito recibe el nombre de «absoluta». Una prueba«absoluta» logra sus objetivos utilizando un mínimo deprincipios de deducción y no presupone la consistencia deningún otro conjunto de axiomas. Una prueba absoluta dela consistencia de la aritmética, si pudiera construirsealguna, demostraría, pues, mediante un procedimientometamatemático finitista, que dos fórmulascontradictorias, tales como ‘0 = 0’ y su negación formal‘¬(0 = 0)’ —en la que el signo ‘¬’ significa «no»—, nopueden derivarse de los axiomas (o fórmulas iniciales)mediante reglas explícitamente enunciadas[5].

Puede resultar útil, por vía de ejemplo, comparar lasmetamatemáticas como teoría de la demostración con lateoría del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas deuna forma determinada sobre un tablero cuadrado quecontiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se puedenmover las piezas conforme a unas reglas establecidas.Evidentemente, el juego puede desarrollarse sin atribuirninguna «interpretación» a las piezas ni a sus diversasposiciones sobre el tablero, si bien podría introducirse talinterpretación si así se deseara. Podemos estipular, porejemplo, que un determinado peón representa a cierto

regimiento de un ejercito, que un escaque determinadofigura ser una cierta región geográfica, etc. Perosemejantes estipulaciones (o interpretaciones) no sonhabituales, y ni las piezas, ni los escaques, ni lasposiciones de las piezas sobre el tablero significan nadaajeno al juego. En este sentido, las piezas y suconfiguración sobre el tablero son «carentes designificado». El juego es, pues, análogo a un cálculomatemático formalizado. Las piezas y los cuadrados deltablero corresponden a los signos elementales del cálculo;las posiciones permitidas de las piezas sobre el tablero, alas fórmulas del cálculo; las posiciones iniciales de laspiezas sobre el tablero, a los axiomas, o fórmulasiniciales, del cálculo; las subsiguientes posiciones de laspiezas sobre el tablero, a las fórmulas derivadas de losaxiomas (esto es, a los teoremas), y las reglas del juego, alas reglas de deducción (o derivación) establecidas parael cálculo. El paralelismo continúa. Aunque lasrespectivas situaciones de las piezas en el tablero, comolas fórmulas del cálculo, sean «carentes de significado»,las declaraciones acerca de estas situaciones, como lasdeclaraciones metamatemáticas acerca de las fórmulas, sehallan plenamente dotadas de significado. Unadeclaración «metaajedrecística» puede afirmar que hay

veinte movimientos posibles de apertura para las piezasblancas, o que, dada una determinada configuración de laspiezas sobre el tablero, y correspondiéndoles mover a lasblancas, estas dan mate a las negras en tres jugadas.Ademas, pueden establecerse teoremas«metaajedrecísticos» generales cuya demostraciónrequiere solamente un número finito de configuracionespermisibles sobre el tablero. De este modo puedeestablecerse el teorema «metaajedrecístico» acerca delnúmero de posibles movimientos de apertura de quedisponen las blancas; y también el teoremametaajedrecístico de que si las blancas tienen solo doscaballos y el rey, y las negras solo su rey, a aquellas leses totalmente imposible dar mate a éstas. Éstos y otrosteoremas «metaajedrecísticos» pueden, en otras palabras,ser demostrados mediante métodos finitistas derazonamiento, esto es, examinando sucesivamente cadauna de las configuraciones que, en número finito, puedendarse bajo las condiciones previstas. De modo análogo, elpropósito de la teoría de prueba de Hilbert era demostrarcon esos métodos finitistas la imposibilidad de derivarciertas fórmulas contradictorias en un cálculo matemáticodado.

IVLa codificación sistemática de lalógica formal

Quedan dos puentes más por cruzar antes de llegar alteorema de Gödel propiamente dicho. Debemos indicarcomo y por qué surgieron a la luz los PrincipiaMathematica de Whitehead y Russell; y debemospresentar una breve ilustración de la formalización de unsistema deductivo —tomaremos un fragmento de losPrincipia— y explicar como puede demostrarse suabsoluta consistencia.

Corrientemente, aun cuando las demostracionesmatemáticas se hallen conformes con los nivelesadmitidos de rigor profesional, adolecen de unaimportante omisión. Incorporan principios (o reglas) dededucción no formulados explícitamente que,frecuentemente, pasan inadvertidos a los matemáticos.Tomemos el teorema de Euclides de que no existe ningúnnúmero que sea el número primo mayor de todos losposibles (un número es primo si no es divisible sin restomas que por sí mismo y por 1). La argumentación,

desarrollada en la forma de una reductio ad absurdum, esla siguiente:

Supongamos, en contradicción con lo que el teorematrata de demostrar, que existe un número primo máximo.Lo llamamos ‘x’. Entonces:

1. x es el número primo máximo.2. Fórmese el producto de todos los números primos

menores o iguales que x y añádase 1 al producto.Esto da un nuevo número, y, donde

y = (2 · 3 · 5 · 7 · … · x) + 1

3. S i y es primo, entonces x no es el mayor númeroprimo, ya que y es evidentemente mayor que x.

4. S i y es compuesto (es decir, no primo), entoncestampoco x es el mayor número primo. Porque si y escompuesto, tiene que haber un divisor primo z, y ztiene que ser distinto de cada uno de los númerosprimos 2, 3, 5, 7,…, x, menores o igual a x; porconsiguiente, z tiene que ser un número primo mayorque x.

5. Pero y, o es primo o es compuesto.6. Por consiguiente, x no es el mayor número primo.7. No existe ningún número primo que sea el mayor de

todos.

Hemos manifestado solamente los eslabonesprincipales de la demostración. Puede hacerse ver, noobstante, que para forjar la cadena completa se requiereun gran número de reglas de deducción tácitamenteaceptadas, así como teoremas de la lógica. Algunas deellas pertenecen a la parte más elemental de la lógicaformal, otras a ramas más avanzadas; por ejemplo, seincorporan reglas y teoremas que pertenecen a la «teoríade la cuantificación». Ésta hace referencia a lasrelaciones entre proposiciones que contienen partículas«cuantificadoras» tales como «todos», «algunos» y sussinónimos. Mostraremos un teorema elemental de lalógica y una regla de deducción, cada uno de los cuales espartícipe necesario pero silencioso en la demostración.

Obsérvese el punto número 5 de la argumentación.¿De donde procede? La respuesta es: del teorema lógico(o verdad necesaria), «o p o no p», en el que se denomina‘p’ a una variable proposicional. Pero ¿cómo obtenemosel punto número 5 de este teorema? La respuesta es:utilizando la regla de deducción conocida como «Regla desustitución para variables proposicionales», según la cualuna proposición puede derivarse de cualquiera otra quecontenga variables de ese tipo, sustituyendo por cualquier

proposición (en este caso, ‘y es primo’) cada presentaciónde una variable distinta (en este caso, la variable ‘p’). Eluso de estas reglas y de estos teoremas lógicos esfrecuentemente, como hemos dicho, una acción casi porcompleto inconsciente. Y el análisis que los revela, aun endemostraciones tan relativamente sencillas como la deEuclides, se apoya en los progresos hechos en la teoríalógica durante los últimos cien años[6]. Como el señorJourdain, de Molière, que hablaba en prosa sin saberlo,los matemáticos han estado razonando durante dosmilenios por lo menos sin darse cuenta de todos losprincipios que subyacían bajo lo que estaban haciendo.Solo en tiempos recientes se ha hecho evidente lanaturaleza de las herramientas de su oficio.

Durante casi dos mil años la codificación deAristóteles de las formas validas de deducción fueuniversalmente considerada como completa e incapaz demejora esencial. En 1787, el filosofo alemán EmmanuelKant pudo decir que desde Aristóteles la lógica formal«no ha sido capaz de avanzar un solo paso, y, según todaslas apariencias, es un cuerpo de doctrina cerrado ycompleto». Lo cierto es que la lógica tradicional esgravemente incompleta e incluso deja de dar unaexplicación a muchos principios de deducción empleados

en razonamientos matemáticos totalmente elementales[7].Con la publicación en 1847 de The MathematicalAnalysis of Logic, de George Boole, comenzó en lostiempos modernos un renacimiento de los estudioslógicos. El objetivo primordial de Boole y de sussucesores inmediatos era desarrollar un álgebra de lalógica que suministrase una notación precisa para manejartipos más generales y variados de deducción que losabarcados por los principios lógicos tradicionales.Supóngase que se observa que en una determinada escuelaquienes obtienen mención honorífica en su examen degrado son precisamente los muchachos que destacan enmatemáticas y las muchachas que no destacan en estamateria. ¿Cómo se forma la clase de destacados enmatemáticas en relación a las otras clases de estudiantes?La respuesta no surge pronta si uno se sirve únicamente dela lógica tradicional. Pero con ayuda del álgebra de Boolepuede demostrarse fácilmente que la clase de losdestacados en matemáticas se compone exactamente demuchachos graduados con mención honorífica y demuchachas graduadas sin tal mención.

Todos los caballeros son educados.Ningún banquero es educado.

Ningún caballero es banquero.

c ⊂ eb ⊂ ec ⊂ b

ce = 0be = 0cb = 0

La lógica simbólica fue inventada a mediados del siglo XIX por elmatemático ingles George Boole. En este ejemplo se traduce unsilogismo por su notación de dos maneras distintas. En el gruposuperior de fórmulas el símbolo ‘⊂’ significa ‘esta contenido en’.Así, ‘c ⊂ e’ quiere decir que la clase de los caballeros esta incluidaen la clase de las personas educadas. En el grupo inferior defórmulas dos letras juntas significan la clase de las cosas que poseenambas características. Por ejemplo ‘be’ significa la clase deindividuos que son banqueros y educados; y la ecuación ‘be = 0’indica que esta clase no tiene ningún miembro. Una línea colocadasobre una letra significa ‘no’ (‘e ’, por ejemplo, significa ineducado).

Otra línea de investigación, estrechamente relacionadacon los trabajos de los matemáticos del siglo XIX sobrelos fundamentos del análisis, vino más tarde a asociarse alprograma de Boole. Este nuevo desarrollo trato demostrar la matemática pura como un capítulo de la lógica

formal, y quedo encarnado en los Principia Mathematicade Whitehead y Russell en 1910. Los matemáticos delsiglo XIX consiguieron «aritmetizar» el álgebra y lo quesolía llamarse el «cálculo infinitesimal», demostrando quelas diversas nociones empleadas en el análisis matemáticoson definibles en términos exclusivamente aritméticos(esto es, con números enteros y con operacionesaritméticas realizadas con ellos). Por ejemplo, en vez deaceptar el número imaginario √−1 como una «entidad» untanto misteriosa fue definido como un par ordenado denúmeros enteros (0,1) sobre el que se realizan ciertasoperaciones de «adición» y «multiplicación».Análogamente, el número irracional √2 fue definido comouna cierta clase de números racionales, la clase denúmeros racionales cuyo cuadrado es menor de 2. Lo queRussell (y, antes que él, el matemático alemán GottlobFrege) trataba de demostrar era que todas las nocionesaritméticas pueden ser definidas en ideas estrictamentelógicas y que todos los axiomas de la aritmética puedenser deducidos de un pequeño número de proposicionesbásicas certificables como verdades estrictamentelógicas.

Así, por ejemplo, la noción de clase pertenece a lalógica general. Dos clases son definidas como

«semejantes» si existe una correspondencia biunívocaentre sus miembros, pudiéndose explicar la noción de talcorrespondencia acudiendo a otras ideas lógicas. De unaclase que tiene un solo miembro se dice que es una «claseunidad» (la clase de satélites del planeta Tierra); y elnúmero cardinal 1 puede ser definido como la clase detodas las clases semejantes a una clase unidad.Definiciones análogas pueden darse de los otros númeroscardinales, y las diversas operaciones aritméticas, talescomo la adición y la multiplicación, pueden ser definidasen términos de la lógica formal. Una proposiciónaritmética, como ‘1 + 1 = 2’, puede entonces ser mostradacomo la transcripción condensada de una proposición quecontenga expresiones pertenecientes únicamente a lalógica general; y puede demostrarse que talesproposiciones estrictamente lógicas pueden ser deducidasde ciertos axiomas lógicos.

Principia Mathematica pareció así adelantar lasolución final del problema de la consistencia de lossistemas matemáticos, y en particular de la aritmética,mediante el expediente de reducir el problema al de laconsistencia de la lógica formal misma. Porque, si losaxiomas de la aritmética son simples transcripciones deteoremas de la lógica, la cuestión de si dichos axiomas

son consistentes es equivalente a la cuestión de si sonconsistentes los axiomas fundamentales de la lógica.

La tesis Frege-Russell de que las matemáticas sonúnicamente un capítulo de la lógica no ha obtenido, pordiversas razones de detalle, aceptación universal porparte de los matemáticos. Por otra parte, como ya hemoshecho notar, las antinomias de la teoría cantoriana de losnúmeros transfinitos pueden resultar reproducidas dentrode la lógica misma, a no ser que se tomen especialesprecauciones para impedir tal resultado. Pero ¿sonadecuadas para excluir todas las formas deconstrucciones autocontradictorias las medidas adoptadase n Principia Mathematica para soslayar las antinomia?No puede asegurarse concluyentemente. Por eso lareducción de la aritmética a la lógica practicada porFrege y Russell no proporciona una respuesta final alproblema de la consistencia; en realidad, el problemasurge simplemente en una forma más general. Mas,prescindiendo de la validez de la tesis Frege-Russell,existen en Principia dos elementos que poseen un valorinestimable para el ulterior estudio de la cuestión de lacons i s tenc i a . Principia suministra un sistemanotablemente comprensivo de notación, con ayuda delcual se pueden codificar todas las proposiciones de la

matemática pura (y en particular de la aritmética), altiempo que revela de un modo explícito la mayoría de lasreglas de deducción formal utilizadas en lasdemostraciones matemáticas (reglas que, finalmente,fueron completadas y dotadas de una mayor precisión).Principia, en suma, creo el instrumento esencial parainvestigar todo el sistema de la aritmética como uncálculo no interpretado, esto es, como un sistema designos carentes de significado, cuyas fórmulas (o«hileras») se combinan y transforman de acuerdo conreglas operativas expresas.

VUn ejemplo de prueba absoluta deconsistencia

Debemos abordar ahora la segunda tarea mencionada alprincipio del capítulo anterior y familiarizarnos con unimportante aunque fácilmente comprensible ejemplo deuna prueba absoluta de consistencia. Una vez conocida laprueba, el lector se encontraría en condiciones deapreciar la significación del trabajo realizado por Gödelen 1931.

Pondremos de relieve como puede ser formalizada unapequeña porción de los Principia: la lógica elemental delas proposiciones. Esto supone la conversión del sistemafragmentario en un cálculo de signos no interpretados.Desarrollaremos entonces una prueba absoluta deconsistencia.

La formalización se lleva a cabo en cuatro fases.Primero se prepara un catalogo completo de los signosque se han de usar en el cálculo. Son su vocabulario. Ensegundo lugar se establecen las «reglas de formación».Éstas declaran que combinaciones de los signos del

vocabulario pueden ser aceptadas como «fórmulas» (enrealidad, como proposiciones). Las reglas pueden serconsideradas como constitutivas de la gramática delsistema. En tercer lugar se expresan las «reglas detransformación», que describen la estructura precisa delas fórmulas de las cuales pueden derivarse otras fórmulasde estructura determinada. Estas reglas son, en efecto, lasreglas de deducción. Finalmente se seleccionan ciertasfórmulas como axiomas (o «fórmulas primitivas»). Éstassirven de fundamento a todo el sistema. Emplearemos laexpresión «teorema del sistema» para designar cualquierfórmula que pueda ser derivada de los axiomas aplicandosucesivamente las reglas de transformación. Por «prueba»(o «demostración») formal designaremos una serie finitade fórmulas, cada una de las cuales o es un axioma opuede ser derivada de otras fórmulas anteriores de laserie mediante las reglas de transformación[8].

Para la lógica de las proposiciones (frecuentementellamada el cálculo sentencial), el vocabulario (o lista de«signos elementales») es extremadamente sencillo. Secompone de variables y de signos constantes. Lasvariables pueden ser sustituidas por sentencias y recibenpor ello el nombre de «variables sentenciales». Son lasletras

p, q, r,…

Los signos constantes son o «enlaces sentenciales» osignos de puntuación. Los enlaces sentenciales son:

‘¬’ que quiere decir ‘no’ (y se llama la «tilde»).‘∨’ que quiere decir ‘o’.‘→’ que quiere decir ‘si… entonces…’.‘∧’ que quiere decir ‘y’.

Los signos de puntuación son los paréntesis de apertura yde cierre, ‘(’ y ‘)’, respectivamente.

Las reglas de formación están diseñadas de modo quelas combinaciones de signos elementales, quenormalmente tendrían forma de proposiciones, se llamenfórmulas. Igualmente, cada variable sentencial vale comouna fórmula. Ademas, si la letra S representa una fórmula,su negación formal, es decir, ¬(S), es también unafórmula. Análogamente, si S1, S2 son fórmulas, también loson (S1 ∧ S2), (S1 → S2) y (S1 ∨ S2). Cada una de lassiguientes expresiones es una fórmula: ‘p’, ‘¬(p)’, ‘(p →q)’, ‘((q ∨ r) → p)’. Pero ni ‘(p)(¬q)’ ni ‘((p) → (q))∧’ son una fórmula; no lo es la primera expresión porquesi bien ‘p’ y ‘¬(p)’ son fórmulas, no existe ningún enlacesentencial entre ellas; y no lo es la segunda porque el

enlace ‘∧’ no está flanqueado a derecha e izquierda poruna fórmula, como exigen las reglas[9].

Se adoptan dos reglas de transformación. Una de ellas,la regla de sustitución (para variables sentenciales), diceque de una fórmula que contenga variables sentencialespuede siempre derivarse otra fórmula sustituyendouniformemente con fórmulas las variables. Quedaentendido que cuando se sustituye una variable en unafórmula debe hacerse la misma sustitución en todos loslugares en que este presente dicha variable. Por ejemplo,suponiendo que ha quedado establecido ya que ‘p → p’,podemos sustituir la variable ‘p’ con la fórmula ‘q’ paraobtener ‘q → q’; o podemos sustituirla con la fórmula ‘p∧ q’ para obtener ‘(p ∧ q) → (p ∧ q)’. O bien, sisustituimos ‘p’ por frases reales podemos obtenercualquiera de las siguientes expresiones a partir de ‘p →p’: ‘las ranas son ruidosas → las ranas son ruidosas’;‘(los murciélagos son ciegos y los murciélagos comenratones) → (los murciélagos son ciegos y los murciélagoscomen ratones)’[10]. La segunda regla de transformación esla regla de separación (o modus ponens). Esta regla diceque de dos fórmulas que tengan la forma S1 y S1 → S2 sepuede derivar siempre la fórmula S2. Por ejemplo, de lasdos fórmulas ‘p ∨ (¬p)’ y ‘(p ∨ (¬p)) → (p → p)’

podemos derivar ‘p → p’.Finalmente, los axiomas del cálculo (esencialmente

los de Principia) son las cuatro fórmulas siguientes:

(p ∨ p) → po, en español, si p o pentonces p

Si (Enrique VIII era unpatán o Enrique VIII eraun patán) entoncesEnrique VIII era un patán

p → (p ∨ q)esto es, si p entonces p oq

Si el psicoanálisis estáde moda, entonces (o elpsicoanálisis está demoda o los polvos parael dolor de cabeza sonbaratos).

(p ∨ q) → (q ∨ p)esto es, si o p o qentonces o q o p

Si (o Emmanuel Kant erapuntual o Hollywood especaminoso), entonces(o Hollywood especaminoso o EmmanuelKant era puntual)

(p → q) → ((r ∨ p) →(r ∨ q))esto es, si (si p, entoncesq), entonces (si (o r o p)entonces (o r o q))

Si (si los patos anadeanentonces 5 es un númeroprimo), entonces (si (oChurchill bebe coñac olos patos anadean)entonces (o Churchill

bebe coñac o 5 es unnúmero primo)).

En la columna de la izquierda hemos expresado losaxiomas con su correspondiente traducción. En la columnade la derecha hemos dado un ejemplo para cada axioma.La tosquedad de las traducciones, especialmente en elcaso del último axioma, ayudara tal vez al lector acomprender las ventajas de utilizar un simbolismoespecial en la lógica formal. Es importante tambiénobservar que las disparatadas ilustraciones utilizadascomo ejemplos de sustitución de los axiomas y el hechode que los consiguientes no guarden relación con losantecedentes en manera alguna afectan a la validez de lasconexiones lógicas establecidas en los ejemplos.

Cada uno de estos axiomas puede parecer «evidente»y trivial. Sin embargo, con ayuda de las reglas detransformación expresadas es posible derivar de ellos unaclase infinitamente grande de teoremas que están lejos deser evidentes o triviales. Por ejemplo, la fórmula

((p → q) → ((r → s) → t)) → ((u → ((r → s) → t)) →((p → u) → (s → t)))

puede ser derivada como teorema. No nos interesa,

empero, por el momento derivar teoremas de los axiomas.Nuestro propósito es demostrar que este conjunto deaxiomas no es contradictorio, es decir, demostrar«absolutamente» que, utilizando las reglas detransformación, es imposible derivar de los axiomas unafórmula S juntamente con su negación formal ¬(S).

Ahora bien, ocurre que ‘p → (¬(p) → q)’ (enpalabras: ‘si p, entonces si no p entonces q’) es unteorema del cálculo. (Aceptaremos esto como un hechosin exponer la derivación.) Supongamos ahora quepudiera deducirse de los axiomas alguna fórmula Sjuntamente con su contradictoria ¬(S). Sustituyendo lavariable ‘p’ por S en el teorema (como lo permite la reglade sustitución) y aplicando por dos veces la regla deseparación, sería deducible la fórmula ‘q’. Pero si lafórmula que se compone de la variable[11] ‘q’ esdemostrable, se sigue inmediatamente que, sustituyendo‘q’ por una fórmula cualquiera, cualquier fórmula esdeducible de los axiomas. Resulta así claro que, si tantouna fórmula S como su contradictoria ¬(S) fuesendeducibles de los axiomas, sería también deduciblecualquier fórmula. En resumen, si el cálculo no esconsistente, toda fórmula es un teorema, lo que equivale adecir que de un conjunto contradictorio de axiomas puede

ser derivada cualquier fórmula. Pero esto tiene unacontrapartida: si no toda fórmula es un teorema (es decir,si existe por lo menos una fórmula que no sea derivablede los axiomas), entonces el cálculo es consistente. Loque hace falta, por consiguiente, es demostrar que existepor lo menos una fórmula que no puede ser derivada delos axiomas.

La forma de hacerlo es emplear un razonamientometamatemático sobre el sistema que tenemos delante. Elprocedimiento no carece de elegancia. Consiste enencontrar una característica o propiedad estructural de lasfórmulas que satisfaga las tres condiciones siguientes:

1. La propiedad debe ser común a todos los axiomas.(Una propiedad de este tipo es la de no contener másde 25 signos elementales; esta propiedad, sinembargo, no satisface la condición siguiente.)

2. La propiedad debe ser «hereditaria», según lasreglas de transformación, esto es, si todos losaxiomas poseen la propiedad, cualquier fórmulaadecuadamente derivada de ellos mediante las reglasde transformación debe poseerla también. Puesto quecualquier fórmula así derivada es por definición unteorema, esta condición estipula en esencia que todoteorema debe poseer esa propiedad.

3. La propiedad no debe pertenecer a toda fórmula quepueda construirse de acuerdo con las reglas deformación del sistema; esto es, debemos tratar demostrar una fórmula por lo menos que no posea esapropiedad.

Si logramos éxito en esta triple tarea habremosconseguido una prueba absoluta de consistencia. Elrazonamiento viene a ser el siguiente: la propiedadhereditaria se transmite desde los axiomas a todos losteoremas; pero si puede encontrarse un conjunto de signosque sea adecuado a las exigencias de ser una fórmula delsistema y que, sin embargo, no posea esa determinadapropiedad hereditaria, tal fórmula no puede ser unteorema. (Lo que es lo mismo, si un hijo dudoso [fórmula]carece de un rasgo invariablemente hereditario de losantepasados [axioma], no puede ser realmente sudescendiente [teorema].) Pero si descubrimos una fórmulaque no es un teorema, hemos demostrado la consistenciadel sistema, ya que, como hemos hecho notar hace unmomento, si el sistema no fuese consistente todas lasfórmulas podrían ser derivadas de los axiomas (esto es,toda fórmula sería un teorema). En resumen, lo que senecesita es mostrar una sola fórmula que carezca de lapropiedad hereditaria.

Identifiquemos una propiedad de la clase requerida.La que elegimos es la propiedad de ser una «tautología».En el lenguaje corriente, se dice que una expresión estautológica si contiene una redundancia y manifiesta dosveces la misma cosa con diferentes palabras, como, porejemplo, «Juan es el padre de Carlos, y Carlos es hijo deJuan». Pero en lógica se define la tautología como unaproposición que no excluye ninguna posibilidad lógica,por ejemplo, «o esta lloviendo o no esta lloviendo». Otraforma de expresar esto mismo es decir que una tautologíaes «verdadera en todos los mundos posibles». Nadiedudaría que, independientemente del estado real deltiempo (esto es, prescindiendo de si la afirmación de queesta lloviendo es verdadera o falsa), la proposición «oesta lloviendo o no esta lloviendo» es necesariamenteverdadera.

Hacemos aplicación de esta idea para definir unatautología en nuestro sistema. Obsérvese primero que todafórmula se halla construida de componentes elementales,‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. Una fórmula es una tautología si esinvariablemente verdadera, independientemente de quesus componentes elementales sean verdaderos o falsos.Así, en el primer axioma, ‘(p ∧ p) → p’, el únicocomponente elemental es ‘p’; pero no importa en absoluto

que se suponga que ‘p’ es verdadero o que se suponga quees falso; el primer axioma es verdadero en cualquiera deambos casos. Puede darse una mayor evidencia a esto sisustituimos ‘p’ por la proposición ‘el monte Rainier tieneveinte mil pies de altura’; de este modo obtenemos comoejemplo del primer axioma la proposición ‘si el monteRainier tiene veinte mil pies de altura o el monte Rainiertiene veinte mil pies de altura, entonces el monte Rainiertiene veinte mil pies de altura’. El lector no encontraraninguna dificultad para admitir que esta declaración esverdadera, aun cuando ignore si lo es la proposiciónconstitutiva ‘el monte Rainier tiene veinte mil pies dealtura’. Evidentemente, pues, el primer axioma es unatautología, es decir, «verdadero en todos los mundosposibles». Puede demostrarse fácilmente que cada uno delos demás axiomas es también una tautología.

Después, es posible demostrar que la propiedad deser una tautología es hereditaria por las reglas detransformación, aunque no nos detendremos a dar lademostración[12]. De aquí se desprende que toda fórmulacorrectamente derivada de los axiomas (esto es, todoteorema) debe ser una tautología.

Se ha demostrado ya que la propiedad de sertautología satisface dos de las tres condiciones

anteriormente mencionadas, con lo que estamos ya ensituación de dar el tercer paso. Debemos buscar unafórmula que pertenezca al sistema (esto es, que se halleformada con los signos mencionados en el vocabulario, deconformidad con las reglas de formación) y que, noobstante, por no poseer la propiedad de ser una tautología,no pueda ser un teorema (es decir, que no pueda serderivada de los axiomas). No se necesita buscar mucho;es fácil mostrar una fórmula de esta clase. Por ejemplo, ‘p∨ q’ se ajusta a los requisitos. ‘Quiere ser ansarón, perono pasa de pato’ no pertenece a la familia; es una fórmula,p e r o no es un teorema. Evidentemente, no es unatautología. Cualquier ejemplo de sustitución (ointerpretación) lo demuestra en seguida. Sustituyendo lasvariables de ‘p ∨ q’ podemos obtener la proposición‘Napoleón murió de cáncer o a Bismarck le gustaba elcafé’. Esto no es una verdad de la lógica, ya que seríafalsa si fuesen falsas las dos clausulas presentes en ella; y,aun cuando se tratase de una proposición verdadera, no loes independientemente de la verdad o falsedad de susproposiciones constitutivas.

Hemos alcanzado nuestro objetivo. Hemos encontradouna fórmula por lo menos que no es un teorema. Talfórmula no podría existir si los axiomas fuesen

contradictorios. Por consiguiente, no es posible derivar delos axiomas del cálculo sentencial tanto una fórmula comosu negación. En resumidas cuentas, hemos mostrado unaprueba absoluta de la consistencia del sistema[13].

Antes de abandonar el cálculo sentencial debemosmencionar una ultima cuestión. Puesto que todo teoremade este cálculo es una tautología, una verdad de la lógica,es natural preguntar si, inversamente, toda verdad lógicasusceptible de ser expresada en el vocabulario del cálculo(es decir, toda tautología es también un teorema (esto es,derivable de los axiomas). La respuesta es afirmativa,aunque su demostración es demasiado larga parapresentarla aquí. La cuestión que aquí nos interesa, sinembargo, no depende del conocimiento de lademostración. La cuestión es que, a la luz de estaconclusión, los axiomas son suficientes para engendrartodas las fórmulas tautológicas, todas las verdadeslógicas susceptibles de ser expresadas en el sistema. Detales axiomas se dice que son «completos».

Ahora bien, frecuentemente ofrece un interésextraordinario determinar si un sistema axiomatizado escompleto. En efecto, un poderoso motivo para laaxiomatización de diversas ramas de las matemáticas hasido el deseo de establecer un conjunto de presunciones

iniciales, a partir de las cuales puedan deducirse todas lasdeclaraciones verdaderas de algún campo deinvestigación. Cuando Euclides axiomatizó la geometríaelemental, seleccionó, aparentemente, sus axiomas demodo que fuese posible derivar de ellos todas lasverdades geométricas; esto es, las que ya habían sidoestablecidas, así como cualesquiera otras que pudierandescubrirse en el futuro[14]. Hasta tiempos muy recientesse admitía como algo incontrovertiblemente cierto laposibilidad de reunir un conjunto completo de axiomaspara cualquier rama de las matemáticas. Los matemáticoscreían en particular que el conjunto propuesto en elpasado para la aritmética era realmente completo, o, entodo caso, podía completarse mediante el sencilloexpediente de agregar un número finito de axiomas a lalista original. El descubrimiento de que esto no surtiríaefecto es uno de los más importantes logros de Gödel.

VILa idea de representación y suempleo en las matemáticas

El cálculo proposicional constituye un ejemplo de unsistema matemático en el que se alcanzan plenamente losobjetivos de la teoría de la demostración de Hilbert.Ciertamente, este cálculo codifica solamente un fragmentode la lógica formal, y su vocabulario y su aparato formalno son suficientes para desarrollar ni siquiera laaritmética elemental, pero el programa de Hilbert no estan limitado. Puede ser aplicado con éxito a sistemas másamplios, cuyo carácter, a la vez consistente y completo,puede ser demostrado mediante un razonamientometamatemático. Una prueba absoluta de consistencia, porejemplo, se ha logrado para un sistema de aritmética quepermita la adición de números cardinales, aunque no lamultiplicación. Pero ¿es el método finitista de Hilbert losuficientemente potente como para demostrar laconsistencia de un sistema como Principia, cuyovocabulario y cuyo aparato lógico son adecuados paraexpresar toda la aritmética y no simplemente un fragmento

de ella? Los repetidos intentos de construir una prueba deeste tipo resultaron infructuosos; y la publicación en 1931del trabajo de Gödel demostró finalmente que no podíanpor menos de fracasar todos los esfuerzos que sedesenvolvieran dentro de los estrictos límites delprimitivo programa de Hilbert.

¿Qué es lo que estableció Gödel y cómo demostró susresultados? Sus principales conclusiones son dos. Enprimer lugar (aunque no sea este el puesto que ocupa en elrazonamiento de Gödel) demostró que es imposiblepresentar una prueba metamatemática de la consistenciade un sistema lo bastante comprensivo como para contenertoda la aritmética, a menos que se empleen en la pruebareglas de deducción que difieran en ciertos aspectosesenciales de las reglas de transformación utilizadas paraderivar teoremas dentro del sistema. Indudablemente, unaprueba así posee gran valor e importancia. Sin embargo,si el razonamiento se basa en reglas de deducción muchomás potentes que las reglas del cálculo aritmético, de talmodo que la consistencia de las hipótesis contenidas en elrazonamiento este tan sujeta a la duda como lo esta laconsistencia de la aritmética, la prueba no produciría sinoun especioso triunfo; sería matar un dragón solamente paracrear otro. En cualquier caso, si la prueba no es finitista,

no cubre los objetivos del programa original de Hilbert; yla argumentación de Gödel hace que sea improbable elque pueda darse una prueba finitista de la consistencia dela aritmética.

La segunda importante conclusión de Gödel es aúnmás sorprendente y revolucionaria, porque demuestra laexistencia de una fundamental limitación en la potenciadel método axiomático. Gödel demostró que losPrincipia, o cualquier otro sistema dentro del cual puedadesarrollarse la aritmética, es esencialmente incompleto.En otras palabras: dado cualquier conjunto consistente deaxiomas aritméticos, existen proposiciones aritméticasverdaderas que no pueden ser derivadas de dichoconjunto. Este decisivo punto merece ser ilustrado con unejemplo. Las matemáticas abundan en proposicionesgenerales a las que no se ha encontrado ninguna excepciónque hasta ahora haya frustrado todo intento de prueba. Unejemplo clásico es el conocido como «teorema deGoldbach», el cual afirma que todo número par es la sumade dos números primos. Jamas se ha encontrado ningúnnúmero par que no sea la suma dos números primos; sinembargo, nadie ha logrado encontrar una prueba de que laconjetura de Goldbach se aplique sin excepción a todoslos números pares. Tenemos, pues, aquí un ejemplo de una

proposición aritmética que puede ser verdadera, pero quepuede no ser derivable de los axiomas de la aritmética.Supongamos ahora que la conjetura de Goldbach fuese, enefecto, universalmente verdadera, aunque no derivable delos axiomas. ¿Qué decir ante la sugerencia de que, en estecaso, los axiomas podrían ser modificados o aumentadoshasta hacer que las proposiciones hasta el momentoindemostrables (tal como la de Goldbach en nuestrahipótesis) fuesen derivables en el sistema ampliado? Losresultados obtenidos por Gödel demuestran que, aunque lahipótesis fuese correcta, la sugerencia no suministraríaremedio definitivo a la dificultad. Es decir, que auncuando los axiomas de la aritmética sean ampliados conun número indefinido de otros axiomas verdaderos,siempre quedaran verdades aritméticas que no sonformalmente derivables del conjunto ampliado[15].

¿Cómo demostró Gödel estas conclusiones? Hastacierto punto, la estructura de su argumentación estamoldeada, como el mismo hizo notar, sobre elrazonamiento implicado en una de las antinomias lógicasconocida como la «paradoja richardiana», propuesta porel matemático francés Jules Richard en 1905.Explicaremos en que consiste esta paradoja.

Considérese un lenguaje (por ejemplo, el español) en

el que se puedan formular y definir las propiedadespuramente aritméticas de los números cardinales.Examinemos las definiciones que pueden ser expresadasen dicho lenguaje. Resulta claro que, so pena de caer encírculo vicioso o regreso al infinito, no pueden definirseexplícitamente algunos términos que hacen referencia apropiedades aritméticas —ya que no podemos definirlotodo y debemos empezar en alguna parte—, aunque,presumiblemente, pueden ser comprendidos de alguna otramanera. Para el objeto que nos ocupa, es indiferentecuáles sean los términos no definidos o «primitivos»;podemos, por ejemplo, dar por supuesto quecomprendernos lo que se quiere decir con «un númeroentero es divisible por otro», etc. La propiedad de ser unnúmero primo puede ser definida como «no divisible porningún otro número entero mías que por sí mismo y launidad»; la propiedad de ser un cuadrado perfecto puedeser definida como «ser el producto de algún númeroentero por sí mismo», etc.

Fácilmente podemos ver que cada una de talesdefiniciones contendrá solamente un número finito depalabras y, por consiguiente, solo un número finito deletras del alfabeto. Siendo esto así, las definicionespueden ser ordenadas en una serie: una definición

precederá a otra si el número de letras de la primera esmenor que el número de letras de la segunda; y si dosdefiniciones tienen el mismo número de letras, una deellas precederá a la otra atendiendo al orden alfabético delas letras contenidas en cada una. Sobre la base de esteorden, a cada definición corresponderá un único númeroentero, que representara el lugar que ocupa la definiciónen la serie. De este modo, la definición que menos letrastenga corresponderá al número 1, la siguiente definiciónde la serie corresponderá al 2, y así sucesivamente.

Dado que cada definición esta asociada a un úniconúmero entero, puede ocurrir en algunos casos que unnúmero entero posea la misma propiedad expresada por ladefinición con la cual esta asociado[16]. Supongamos, porejemplo, que la expresión definidora «no divisible porningún número entero mías que por sí mismo y por launidad» se halla en correlación con el número de orden17; evidentemente, el 17 tiene la propiedad designada poresa expresión. Por otra parte, supongamos que laexpresión definidora «ser el producto de algún númeroentero por sí mismo» se halla en correlación con elnúmero de orden 15; esta claro que 15 no posee lapropiedad designada por la expresión. Describiremos lasituación existente en el segundo ejemplo diciendo que el

número 15 tiene la propiedad de ser richardiano, y la delprimer ejemplo, diciendo que el número 17 no tiene lapropiedad de ser richardiano. Hablando en términos másgenerales, definimos «x es richardiano» como una formaabreviada de declarar «x no tiene la propiedad designadapor la expresión definidora con la que se hallarelacionado en la serie ordenada de definiciones».

Llegamos ahora a un punto curioso, perocaracterístico, de la proposición en que consiste laparadoja richardiana. La expresión definidora de lapropiedad de ser richardiano describe ostensiblementeuna propiedad numérica de los enteros. La expresiónmisma pertenece, por tanto, a la serie de definiciones yaenunciadas antes. De aquí se desprende que la expresiónesta relacionada con un número entero determinador de suposición. Supongamos que este número es n. Y ahoraplanteamos la cuestión, con ciertas reminiscencias de laantinomia de Russell: ¿Es n richardiano? El lector puede,sin duda alguna, anticipar la fatal contradicción queamenaza ahora. Porque n es richardiano si, y solamente si,n carece de la propiedad designada por la expresión(definidora) con la que esta relacionado (esto es, sicarece de la propiedad de ser richardiano). En resumen, nes richardiano si, y solamente si, n no es richardiano; de

modo que la declaración «n es richardiano» es verdaderay falsa a la vez.

Debemos hacer notar ahora que la contradicción es, encierto sentido, una consecuencia derivada de no jugar deltodo limpio. Se ha deslizado, por ser útil, una esencialpero tácita hipótesis subyacente bajo la ordenaciónsucesiva de las definiciones. Se había acordadoconsiderar las definiciones de las propiedadesestrictamente aritméticas de los números enteros, esdecir, propiedades que pueden formularse con ayuda denociones tales como las de adición aritmética,multiplicación, etc. Pero entonces, sin previo aviso, senos invita a que metamos dentro de la serie una definiciónque se refiere a la notación utilizada para formular laspropiedades aritméticas. Más concretamente, la definiciónde la propiedad de ser richardiano no pertenece a la serieinicialmente proyectada, porque esta definición implicanociones metamatemáticas tales como el número de letras(o signos) que se dan en las expresiones. Podemossoslayar la paradoja de Richard distinguiendocuidadosamente entre las proposiciones que se producendentro de la aritmética (que no hacen ninguna referencia asistema alguno de notación) y las proposiciones acerca dealgún sistema de notación en el que se codifica la

aritmética.Existe una evidente falacia en el razonamiento

empleado para la construcción de la paradoja de Richard.La construcción sugiere, no obstante, la idea de que cabela posibilidad de «representar» o «reflejar» declaracionesmetamatemáticas acerca de un sistema formalsuficientemente amplio dentro del sistema mismo. La ideade la «representación» es sobradamente conocida ydesempeña un papel fundamental en muchas ramas de lasmatemáticas. Se utiliza para la construcción de los mapasordinarios, en la que las formas existentes en la superficiede una esfera se proyectan sobre un plano, de tal modoque las relaciones entre las figuras del plano reflejan lasrelaciones entre las figuras de la superficie esférica. Seutiliza en la geometría de coordenadas, que traduce lageometría al álgebra de modo que las relacionesgeométricas quedan representadas por otras algebraicas.(El lector recordara la exposición realizada en el capítulosegundo, en el que se explicaba como empleo Hilbert elálgebra para demostrar la consistencia de sus axiomasaplicados a la geometría. Lo que en realidad hizo Hilbertfue representar la geometría en el álgebra.) Larepresentación desempeña también un importante papel enla física matemática, donde, por ejemplo, las relaciones

entre las propiedades de las corrientes eléctricas seplasman en el lenguaje de la hidrodinámica. Y existetambién representación cuando se construye una maquetaantes de abordar la realización de la máquina a su tamañonatural, cuando se somete a observación una pequeñasuperficie del ala de un avión en un túnel de viento conobjeto de apreciar sus propiedades aerodinámicas, ocuando se utiliza un equipo de laboratorio hecho decircuitos eléctricos para estudiar las relaciones entremasas de gran tamaño en movimiento. Presentamos unsugestivo ejemplo visual en la figura 3, que ilustra unaespecie de proyección, que se efectúa en una rama de lasmatemáticas conocida como geometría proyectiva.

FIGURA 3. La figura 3(a) ilustra el teorema de Pappus: Si A, B,C son tres puntos distintos cualesquiera de una línea I, y A’, B’,

C’ tres puntos cualesquiera de otra línea II, los tres puntos R, S, Tdeterminados por los pares de líneas AB’ y A’B, BC’ y B’C, CA’y C’A, respectivamente, son colineales (esto es, están en la líneaIII).

La figura 3(b) ilustra el «duplicado» del teorema anterior:Si A, B, C son tres líneas distintas cualesquiera en un punto I, yA’, B’, C’ tres líneas distintas cualesquiera en otro punto II, lastres líneas R, S, T determinadas por los pares de puntos AB’ yA’B, BC’ y B’C, CA’ y C’A, respectivamente, son copuntuales(esto es, tienen el punto III).

Las dos figuras tienen la misma estructura abstracta, aunquesean en apariencia notablemente distintas. La figura 3(a) estáreferida a la figura 3(b) de tal modo que los puntos de laprimera corresponden a lineas de la segunda, mientras que lalineas de la primera corresponden a lineas de la segunda. Dehecho, (b) es una proyección de (a): un punto de (b) representa(o es la " imagen reflejo" de) una linea de (a), mientras que unalinea de (b) representa un punto de (a).

La característica fundamental de la representación esque puede demostrarse que una estructura abstracta derelaciones existente en un campo de «objetos» existetambién entre «objetos» (generalmente de un tipo distintoque los del primer grupo) pertenecientes a otro campodiferente. Esta característica es lo que impulsó a Gödel aconstruir sus pruebas. Si, como él esperaba, unascomplicadas proposiciones metamatemáticas acerca de unsistema formalizado de aritmética pudiesen ser traducidasa (o reflejadas por) proposiciones aritméticas contenidas

dentro del propio sistema, se habrá dado un gran paso enel camino de facilitar las demostracionesmetamatemáticas. Porque, así como es más fácil manejarlas fórmulas algebraicas que representan (o reflejan)intrincadas relaciones geométricas entre curvas ysuperficies en el espacio que manejar las propiasrelaciones geométricas, del mismo modo manejar lascontrapartidas aritméticas (o «imágenes reflejadas») decomplejas relaciones lógicas es más fácil que manejar lasrelaciones lógicas mismas.

La explotación de la idea de la representación es laclave de la argumentación del famoso trabajo de Gödel.Siguiendo el estilo de la paradoja richardiana, peroevitando cuidadosamente la falacia involucrada en suconstrucción, Gödel demostró que las proposicionesmetamatemáticas acerca de un cálculo aritméticoformalizado pueden efectivamente ser representadas porfórmulas aritméticas dentro del cálculo. Como con másdetalle explicaremos en el capítulo siguiente, ideo unmétodo de representación tal, que ni la fórmula aritméticacorrespondiente a una determinada proposiciónmetamatemática verdadera acerca de la fórmula ni lafórmula aritmética correspondiente a la negación de laproposición son demostrables dentro del cálculo. Como

quiera que una de estas fórmulas aritméticas debecodificar una verdad aritmética, ninguna de las cuales es,sin embargo, derivable de los axiomas, los axiomas sonincompletos. El método de representación de Gödel lepermitió también construir una fórmula aritméticacorrespondiente a la proposición metamatemática «elcálculo es consistente» y demostrar que esta fórmula no esdemostrable dentro del cálculo. De ahí se desprende quela proposición metamatemática no puede ser demostrada ano ser que se utilicen reglas de deducción que no puedanser representadas dentro del cálculo, de tal modo que, aldemostrar la proposición, se deben emplear reglas cuyapropia consistencia pueda ser tan discutible como laconsistencia de la misma aritmética. Gödel demostró yestableció estas importantes conclusiones utilizando unaforma sumamente ingeniosa de representación.

VIILas pruebas de Gödel

El estudio realizado por Gödel es sumamente complejo.Antes de llegar a los resultados principales es necesariocomprender y dominar perfectamente cuarenta y seisdefiniciones preliminares, juntamente con varios eimportantes teoremas preliminares. Nosotros seguiremosun camino mucho más fácil; en él, sin embargo, podra ellector tener varios atisbos del ascenso y de la estructurafinal de la cumbre.

La numeración de Gödel.

Gödel describió un cálculo formalizado dentro del cualpueden expresarse todas las acostumbradas notacionesaritméticas y establecer las relaciones aritméticas yaconocidas[17]. Las fórmulas del cálculo están construidascon una clase de signos elementales que constituyen elvocabulario fundamental. Los cimientos están formadospor un conjunto de fórmulas primitivas (o axiomas), y losteoremas del cálculo son fórmulas que pueden derivarsede los axiomas con ayuda de una serie de reglas de

transformación (o reglas de deducción) cuidadosamenteespecificadas.

Gödel demostró en primer lugar que es posibleasignar un único número a cada signo elemental, a cadafórmula (o sucesión de signos) y a cada prueba (osucesión finita de fórmulas). Este número, que sirve derotulo distintivo, recibe el nombre de «número Gödel» delsigno, fórmula o prueba[18].

Los signos elementales pertenecientes al vocabulariofundamental son de dos clases: los signos constantes y lasvariables. Supondremos que hay exactamente diez signosconstantes[19], a los que se asocian, como números Gödel,los números enteros que van del 1 al 10. La mayoría deestos signos son ya conocidos del lector: ‘¬’(que quieredecir ‘no’); ‘∨’ (que quiere decir ‘o’); ‘→’ (que quieredecir ‘si… entonces…’); ‘=’ (que quiere decir ‘igual a’);‘0’ (el numeral para el número cero); y tres signos depuntuación, el paréntesis de apertura, ‘(’, el paréntesis decierre ‘)’, y la coma, ‘,’. Se utilizarán además otros dossignos: la letra invertida ‘∃’, que puede leerse como‘existe’ y que se da en los «cuantificadores existenciales»,y la minúscula ‘s’, que se agrega a las expresionesnuméricas para designar el inmediato sucesor de unnúmero. Por ejemplo, la fórmula ‘(∃x)(x = s0)’ puede

leerse ‘existe un x tal que x es el sucesor inmediato de 0’.La tabla que insertamos a continuación muestra los diezsignos constantes, expresa el número Gödel asociado concada uno de ellos e indica los significados usuales de lossignos.

Signosconstantes Numero Gödel Significado

¬ 1 no∨ 2 o→ 3 si… entonces…∃ 4 existe un…= 5 igual0 6 ceros 7 sucesor

( 8 signo depuntuación

) 9 signo depuntuación

, 10 signo depuntuación

Ademas de los signos elementales constantes,aparecen tres clases de variables en el vocabulario

fundamental del cálculo: las variables numéricas, ‘x’, ‘y’,‘z’, etc., con las que se puede sustituir a los numerales yexpresiones numéricas; las variables sentenciales, ‘p’,‘q’, ‘r’, etc., con las que se puede sustituir a las fórmulas(sentencias), y las variables predicativas, ‘P’, ‘Q’, ‘R’,etc., con las que se pueden sustituir los predicados talescomo ‘primo’ o ‘mayor que’. A las variables se asignannúmeros Gödel de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Asociar a cada variable numérica un número primodistinto mayor de 10.

2. A cada variable sentencial el cuadrado de un númeroprimo mayor de 10.

3. A cada variable predicativa el cubo de un númeroprimo mayor de 10.

Consideremos ahora una fórmula del sistema, porejemplo, ‘(∃x)(x = sy)’. (Traducida literalmente, dice:‘Existe un x tal que x es el sucesor inmediato de y’, lo quequiere decir, en realidad, que todo número tiene unsucesor inmediato.) Los números asociados a sus diezsignos elementales constitutivos son, respectivamente, 8,4, 11, 9, 8, 11, 5, 7, 13, 9. A continuación mostrarnos estomismo esquemáticamente:

( ∃ x ) ( x = s y )↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓8 4 11 9 8 11 5 7 13 9

Es deseable, sin embargo, asignar a la fórmula un solonúmero en vez de un conjunto de números. Esto puedehacerse fácilmente. Convenimos en asociar a la fórmula elúnico número que es el producto de los diez primerosnúmeros primos en orden de magnitud, estando cada unode ellos elevado a una potencia igual al número Gödel delcorrespondiente signo elemental. De acuerdo con esto, lafórmula anterior queda asociada con el número

28 · 34 · 511 · 79 · 118 · 1311 · 175 · 197 · 2313 · 299

Llamemos m a este número. De manera similar, se puedeasignar a toda sucesión finita de signos elementales y, enparticular, a toda fórmula, un único número, el productode tantos números primos como signos haya (estandoelevado cada número primo a una potencia igual alnúmero Gödel del signo correspondiente)[20].

Consideremos, finalmente, una sucesión de fórmulastal como puede presentarse en alguna demostración. Así,por ejemplo,

(∃x)(x = sy) (∃x)(x = s0)

La segunda fórmula, una vez traducida, dice: ‘0 tiene unsucesor inmediato’; es derivable de la primerasustituyendo la variable numérica ‘y’ por el numeral‘0’[21]. Ya hemos determinado el número Gödel de laprimera fórmula; es m; y supongamos que n es el númeroGödel de la segunda fórmula. Igual que antes, esconveniente disponer de un solo número que sirva derótulo a la sucesión. Convenimos, por tanto, en asociarlacon el número que es el producto de los dos primerosnúmeros primos en orden de magnitud (esto es, losnúmeros primos 2 y 3), estando elevado cada uno de losnúmeros primos a una potencia igual al número Gödel dela fórmula correspondiente. Si llamamos k a este númeropodemos escribir k = 2m · 3n. Por este procedimiento decondensación podemos obtener un número para cada seriede fórmulas. En resumen, toda expresión contenida en elsistema, sea un signo elemental, una sucesión de signos ouna sucesión de sucesiones, puede llevar asignado unúnico número Gödel.

Lo que se ha hecho hasta aquí es establecer un métodopara «aritmetizar» completamente el cálculo formal. Elmétodo consiste esencialmente en un conjunto de reglas

para establecer una correspondencia biunívoca entre lasexpresiones del cálculo y una cierta subclase de losnúmeros enteros[22]. Dada una expresión, puede calcularseunívocamente el número Gödel que corresponde a ella.Pero esto es sólo la mitad de la historia. Dado un número,podemos determinar si es un número Gödel, y, si lo es, laexpresión que representa puede ser exactamente analizadao «restablecida». Si un número dado es igual o menor que10, es el número Gödel de un signo constante elemental.El signo puede ser identificado. Si el número es mayor de10, puede ser descompuesto en sus factores primos de unamanera precisa (como sabemos por un famoso teorema dela aritmética)[23]. Si es un número primo mayor de 10, o lasegunda o tercera potencia de un número primo que reúnaesa cualidad, es el número Gödel de una variableidentificable. Si es el producto de números primossucesivos, elevados cada uno de ellos a alguna potencia,puede ser el número Gödel o de una fórmula o de unasucesión de fórmulas. En tal caso, puede determinarseexactamente la expresión a que corresponde. Siguiendoeste método podemos desmontar cualquier número dadocomo si fuese una máquina, descubrir como estáconstruido y averiguar qué elementos lo integran; y, puestoque cada uno de sus elementos corresponde a un elemento

de la expresión que representa, podemos reconstituir laexpresión, analizar su estructura, etc. La siguiente tablamuestra cómo podemos averiguar, en relación a unnúmero determinado, si es un número Gödel y, en casoafirmativo, cuál es la expresión que simboliza.

A 243000000B 64 · 243 · 15625C 26 · 35 · 56

D6 5 6↓ ↓ ↓0 = 0

E 0 = 0

La fórmula aritmética ‘cero igual a cero’ tiene el número Gödel243000000. Leyendo en sentido descendente desde A hasta E, lailustración muestra como se transforma el número en la expresiónque representa; haciéndolo en sentido inverso, cómo se obtiene elnumero correspondiente a la fórmula.

La aritmetización de la metamatemática.

El paso siguiente de Gödel es una ingeniosa aplicación dela idea de la representación. Demostró que todas lasproposiciones metamatemáticas acerca de las propiedadesestructurales de las expresiones contenidas en el cálculo

pueden ser adecuadamente reflejadas dentro del cálculomismo. La idea básica subyacente en su procedimiento esla siguiente: puesto que toda expresión del cálculo estáasociada a un número (Gödel), puede construirse unaproposición metamatemática acerca de las expresiones yde sus recíprocas relaciones como una proposición acercade los correspondientes números (Gödel) y de susrecíprocas relaciones aritméticas. De esta manera quedacompletamente «aritmetizada» la metamatemática. Valgacomo analogía el siguiente ejemplo: En un supermercadomuy concurrido se suele dar a los clientes, en el momentode entrar, unas fichas numeradas, cuyo orden determina elorden en que habrán de ser atendidos los clientes.Observando los números es fácil decir cuántas personashan sido servidas, cuantas están esperando, quien precedea quien y por cuantos clientes, etc. Si, por ejemplo, laseñora Smith tiene el número 37 y la señora Brown elnúmero 53, en vez de explicar a la señora Brown quetiene que aguardar su turno después de la señora Smith,basta con indicarle que 37 es menor que 53.

Lo mismo que en el supermercado ocurre en lametamatemática. Cada proposición metamatemática sehalla representada por una única fórmula dentro de laaritmética; y las relaciones de dependencia lógica entre

las proposiciones metamatemáticas se reflejan plenamenteen las relaciones numéricas de dependencia entre suscorrespondientes fórmulas aritméticas. Una vez más, larepresentación facilita una investigación de la estructura.La exploración de las cuestiones metamatemáticas puedeser desarrollada investigando las propiedades aritméticasy las relaciones de ciertos números enteros.

Ilustraremos estas observaciones generales con unejemplo elemental. Consideremos el primer axioma delcálculo proposicional, que es, ademas, un axioma delsistema formal sujeto a examen: ‘(p ∨ p) → p’. Sunúmero Gödel es 28 · 3112 · 52 · 7112 · 119 · 133 · 17112,que designaremos con la letra ‘a’. Consideremos tambiénla fórmula ‘(p ∨ p)’ cuyo número Gödel es 28 · 3112 · 52 ·7112 · 119; la designaremos con la letra ‘b’. Enunciamosahora la proposición metamatemática de que la fórmula ‘p∨ p’ es una parte inicial del axioma. ¿A que fórmulaaritmética del sistema formal corresponde estaproposición? Es evidente que la fórmula más pequeña ‘(p∨ p)’ puede ser una parte inicial de la fórmula mayor,que es el axioma, si, y solamente si, el número ‘b’, querepresenta a la primera, es un factor del número ‘a’, querepresenta a la segunda. Supuesto que la expresión ‘factorde’ este convencionalmente definida en el sistema

aritmético formalizado, la única fórmula aritmética quecorresponde a la declaración metamatemática antesenunciada es: ‘b es un factor de a’. Ademas, si estafórmula es verdadera, esto es, si ‘b’ es un factor de ‘a’,entonces es cierto que ‘(p ∨ p)’ es una parte inicial de‘(p ∨ p) → p’.

Fijemos nuestra atención en la proposiciónmetamatemática: «La sucesión de fórmulas con númeroGödel x es una prueba de la fórmula con número Gödelz.» Esta declaración esta representada (reflejada) por unafórmula definida del cálculo aritmético que expresa unarelación estrictamente aritmética entre x y z. (Podemoshacernos cierta idea de la complejidad de esta relaciónrecordando el ejemplo empleado anteriormente, en el cualse asignaba el número Gödel k = 2m · 3n a la (fragmentode) prueba cuya conclusión tiene el número Gödel n. Unapequeña reflexión hace ver que existe aquí una relaciónaritmética definida, aunque en manera alguna sencilla,entre k, el número Gödel de la prueba, y n, el númeroGödel de la conclusión.) Escribimos esta relación entre xy z con la fórmula ‘Dem(x, z)’, para tener presente laproposición metamatemática a que corresponde (esto es,la proposición metamatemática ‘La sucesión de fórmulascon número Gödel x es una prueba (o demostración) de la

fórmula con número Gödel z’)[24]. Rogamos ahora allector que observe que una proposición metamatemáticaque dice que una cierta sucesión de fórmulas constituyeuna prueba de una fórmula dada es verdadera si, ysolamente si, el número Gödel de la pretendida pruebaesta con el número Gödel de la conclusión en la relaciónaritmética aquí designada como ‘Dem’. Por consiguiente,para establecer la verdad o la falsedad de la proposiciónmetamatemática sujeta a examen solo nos interesa lacuestión de si la relación ‘Dem’ se mantiene entre dosnúmeros. Inversamente, podemos establecer que larelación aritmética se cumple entre un par de númerosdemostrando que es verdadera la declaraciónmetamatemática reflejada por dicha relación entre dosnúmeros. Análogamente, la proposición metamatemática:‘La sucesión de fórmulas con el número Gödel x no es unaprueba para la fórmula con numero Gödel z’ se representaen el sistema aritmético formalizado con una fórmuladefinida. Tal fórmula es la contradictoria formal de‘Dem(x, z)’, o sea, ‘¬Dem(x, z)’.

Es necesario agregar un poco más de esta notaciónespecial para exponer el punto clave del argumento deGödel. Comencemos por un ejemplo. La fórmula ‘(∃x)(x= sy)’ tiene como número Gödel m, mientras que el

número Gödel de la variable ‘y’ es 13. En dicha fórmulasustitúyase la variable de número Gödel 13 (o sea, ‘y’)por el numeral de m. El resultado es la fórmula ‘(∃x)(x =sm)’, que dice literalmente que existe un número x tal quex es el sucesor inmediato de m. Esta última fórmula tienetambién un número Gödel, que puede calcularse muyfácilmente. Pero, en vez de hacer el cálculo, podemosidentificar el número mediante una inequívocacaracterización metamatemática: es el número Gödel de lafórmula que se obtiene a partir de la fórmula de númeroGödel m, sustituyendo la variable de número Gödel 13por el numeral de m. Esta caracterización metamatemáticadetermina unívocamente un número definido, que es unacierta función aritmética de los números m y 13, en la quepuede ser expresada la función misma dentro del sistemaformalizado[25]. El número puede, por consiguiente, serdesignado dentro del cálculo. Esta designación seráescrita como ‘sust(m, 13, m)’ siendo la finalidad de estaforma recordar la caracterización metamatemática querepresenta, es decir, ‘el número Gödel de la fórmulaobtenida a partir de la fórmula de número Gödel m,sustituyendo la variable de número Gödel 13 por elnumeral de m’. Podemos ahora dejar a un lado el ejemploy generalizar. El lector se dará cuenta en seguida de que la

expresión ‘sust(y, 13, y)’ es la imagen reflejada dentrodel cálculo aritmético formalizado de la caracterizaciónmetamatemática ‘el número Gödel de la fórmula que seobtiene a partir de la fórmula de número Gödel y,sustituyendo la variable de número Gödel 13 por elnumeral de y’. Se observará también que cuando sesustituye ‘y’ por un numeral definido en ‘sust(y, 13, y)’ —por ejemplo, el numeral de m o el numeral de doscientoscuarenta y tres millones— la expresión resultante designaun número entero definido, que es el número Gödel de unadeterminada fórmula[26].

El núcleo de la argumentación de Gödel.

Nos encontramos preparados, por fin, para seguir enlíneas generales la argumentación principal de Gödel.Comenzaremos enumerando de forma genérica los pasosfundamentales para que el lector pueda captar una vistapanorámica de la secuencia del argumento.

Gödel mostro (i) como construir una fórmulaa r i tmé t i c a G que represente la declaraciónmetamatemática ‘La fórmula G no es demostrable’. Estafórmula G dice, así, ostensiblemente de sí misma que noes demostrable. Hasta cierto punto, G está construida deforma análoga a la paradoja de Richard. En esa paradoja

la expresión ‘richardiano’ se asocia a cierto número n, yqueda construida la oración ‘n es richardiano’. En laargumentación de Gödel, la fórmula G se asocia también aun cierto número h y está construida de modo quecorresponda a la declaración ‘la fórmula que tiene elnúmero asociado h no es demostrable’. Pero (ii) Gödelmostró también que G es demostrable si, y solamente si,es demostrable su negación formal ¬G. Este paso de laargumentación es también análogo al paso de la paradojade Richard en el que se demostró que n es richardiano si,y solamente si, n no es richardiano. De cualquier modo, siuna fórmula y su negación son ambas formalmentedemostrables, el cálculo aritmético no es consistente. Porconsiguiente, si el cálculo es consistente, ni G ni ¬G sonformalmente derivables de los axiomas de la aritmética.Por tanto, si la aritmética es consistente, G es una fórmulaformalmente indecidible. Gödel demostró luego (iii) que,aunque G no sea formalmente demostrable, es, sinembargo, una fórmula aritmética verdadera. Es verdaderaen el sentido de que afirma que todo número entero poseeuna cierta propiedad aritmética que puede ser exactamentedefinida y presentada en cualquier número entero que seexamine. (iv) Puesto que G es al mismo tiempo verdaderay formalmente indecidible, los axiomas de la aritmética

son incompletos. En otras palabras: no podemos deducirtodas las verdades aritméticas de los axiomas. Gödeldemostró ademas que la aritmética es esencialmenteincompleta: aun cuando se admitiesen nuevos axiomas, detal modo que la fórmula verdadera G pudiera serformalmente derivada de la incrementada serie de losmismos, todavía podría construirse otra fórmulaverdadera pero formalmente indecidible. (v) Gödeldescribió después como construir una fórmula aritméticaA que represente a la proposición metamatemática ‘laaritmética es consistente’, y demostró que la fórmula ‘A→ G’ es formalmente demostrable. Y, finalmente,demostró que la fórmula A no es demostrable. De aquí sedesprende que la consistencia de la aritmética no puedeser establecida por un argumento que pueda hallarserepresentado en el cálculo aritmético formal.

Exponemos a continuación detalladamente la sustanciade la argumentación:

I. Ya ha sido identificada la fórmula ‘ Dem(x, z)’.Representa, dentro de la aritmética formalizada, laproposición metamatemática ‘la sucesión de fórmulas connúmero Gödel x no es una prueba de la fórmula connúmero Gödel z’. Ahora se introduce el prefijo ‘(x)’ en la

(1)

fór mul a Dem. Este prefijo realiza en el sistemaformalizado la misma función que la frase ‘para todo x’.Anteponiendo este prefijo obtenemos una nueva fórmula,‘(x)¬Dem(x, z)’, que representa, dentro de la aritmética, ala proposición metamatemática ‘para todo x, la sucesiónde fórmulas con número Gödel x no es una prueba de lafórmula con número Gödel z’. La nueva fórmula es, portanto, la paráfrasis formal (estrictamente hablando, es laúnica representativa), dentro del cálculo, de laproposición metamatemática ‘la fórmula con númeroGödel z no es demostrable’, o, por decirlo de otra manera,‘no puede aducirse ninguna prueba para la fórmula connúmero Gödel z’.

Lo que Gödel demostró es que un determinado casoespecial de esta fórmula no es formalmente demostrable.Para construir este caso especial empecemos con lafórmula señalada como línea (1):

(x)¬Dem(x, sust(y, 13, y))

Esta fórmula pertenece al cálculo aritmético, perorepresenta una proposición metamatemática. La cuestiónes: ¿cuál? El lector debe recordar ante todo que laexpresión ‘sust(y, 13, y)’ designa un número. Este númeroes el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la

(G)

fórmula de número Gödel y, sustituyendo la variable denúmero Gödel 13 por el numeral[27] de y. Resulta entoncesevidente que la fórmula de la línea (1) representa a laproposición metamatemática ‘la fórmula de número Gödelsust(y, 13, y) no es demostrable’[28].

Pero, dado que la fórmula de la línea (1) pertenece alcálculo aritmético, tiene un número Gödel que puede serefectivamente calculado. Supongamos que el número es n.Sustituimos ahora la variable de número Gödel 13 (estoes, la variable ‘y’) de la fórmula de la línea (1) por elnumeral de n. Se obtiene así una nueva fórmula, quellamaremos ‘G’ (de Gödel), rotulándola con esa letra:

(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))

La fórmula G es el caso especial que habíamos prometidoconstruir.

Ahora bien: esta fórmula se produce dentro delcálculo aritmético y debe, por consiguiente, tener unnúmero Gödel. ¿Cuál es el número? Una breve reflexiónnos hace ver que es sust(n, 13, n). Para comprenderlodebemos recordar que sust(n, 13, n) es el número Gödelde la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula denúmero Gödel n, sustituyendo la variable de númeroGödel 13 (o sea, la variable ‘y’) por el numeral de n.

Pero la fórmula G ha sido obtenida a partir de la fórmulade número Gödel n (o sea, de la fórmula de la línea (1)),sustituyendo la variable ‘y’ existente en ella por elnumeral de n. En consecuencia, el número Gödel de G es,en efecto, sust(n, 13, n).

Pero debemos recordar también que la fórmula G es laimagen reflejada dentro del cálculo aritmético de laproposición metamatemática: ‘La fórmula de númeroGödel sust(n, 13, n) no es demostrable’. De donde sesigue que la fórmula aritmética ‘(x)¬Dem(x, sust(n, 13,n) ) ’ representa en el cálculo la proposiciónmetamatemática: ‘La fórmula ‘(x)¬Dem(x, sust(n, 13,n))’ no es demostrable’. En cierto sentido, por tanto, estafórmula aritmética G puede ser construida comoafirmando de sí misma que no es demostrable.

II. Llegamos ahora al paso siguiente: la prueba de que Gno es formalmente demostrable. La demostración deGödel se asemeja al desarrollo de la paradoja de Richard,pero se mantiene libre de su falaz razonamiento[29]. Laargumentación es relativamente sencilla. Se desenvuelvehaciendo ver que si la fórmula G fuese demostrable,entonces su contradictoria formal [a saber: la fórmula‘¬(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’] también sería demostrable;e, inversamente, que si la contradictoria formal de G fuese

demostrable, entonces también la propia G seríademostrable. Tenemos, pues, G es demostrable si, y solosi, ¬G es demostrable[30]. Pero, como hemos hecho notaranteriormente, si de un conjunto de axiomas pueden serderivadas tanto una fórmula como su negación formal,esos axiomas no son consistentes. De lo que se deduceque si los axiomas del sistema formalizado de laaritmética son consistentes, ni la fórmula G ni su negaciónson demostrables. En resumen, si los axiomas sonconsistentes, G es formalmente indecidible, en el precisosentido técnico de que ni G ni su contradictoria pueden serformalmente deducidas de los axiomas.

III. Puede que a primera vista esta conclusión no parezcade capital importancia. ¿Por qué es tan digno de mención,podría preguntarse, que pueda construirse dentro de laaritmética una fórmula que sea indecidible? Queda porrevelar algo que ilumina las hondas implicaciones de esteresultado. Porque, aunque la fórmula G es indecidible, silos axiomas del sistema son consistentes, puede, noobstante, demostrarse mediante un razonamientometamatemático que G es verdadera. Es decir, puededemostrarse que G formula una compleja pero definidapropiedad numérica que se da necesariamente en todos los

números enteros, del mismo modo que la fórmula ‘(x)¬(x+ 3 = 2)’ (que, interpretada en la forma habitual dice queningún número cardinal al que se añada 3 da una sumaigual a 2) expresa otra propiedad igualmente necesaria(aunque mucho más sencilla) de todos los númerosenteros. El razonamiento que da validez a la verdad de lafórmula indecidible G es impecable. Primero, bajo lahipótesis de que la aritmética es consistente se hademostrado la verdad de la proposición metamatemática‘La fórmula ‘(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’ no esdemostrable’. Segundo, esta proposición se hallarepresentada dentro de la aritmética por la misma fórmulamencionada en la proposición. Tercero, recordemos quelas proposiciones metamatemáticas han sidorepresentadas en el formalismo aritmético de tal modo quelas proposiciones metamatemáticas verdaderascorrespondan a fórmulas aritméticas verdaderas. (Enrealidad, el establecimiento de tal correspondencia es laraison d’étre de la representación; al igual que ocurre,por ejemplo, en la geometría analítica, en la que, porvirtud de este proceso, las proposiciones geométricasverdaderas corresponden siempre a proposicionesalgebraicas verdaderas.) De ahí se desprende que lafó r mul a G, que corresponde a una proposición

metamatemática verdadera, debe ser también verdadera.Ha de hacerse notar, no obstante, que hemos establecidouna verdad aritmética, no deduciéndola formalmente delos axiomas de la aritmética, sino por un argumentometamatemático.

IV. Recordamos ahora al lector la noción de la«completitud» introducida en la exposición del cálculoproposicional. Se explico allí que los axiomas de unsistema deductivo son «completos» si todas lasproposiciones verdaderas que pueden expresarse en elsistema son formalmente deducibles de los axiomas. Si noes este el caso, es decir, si no toda proposiciónexpresable en el sistema es deducible, los axiomas son«incompletos». Pero, dado que acabamos de demostrarq ue G es una fórmula verdadera de la aritmética nodeducible formalmente dentro de ella, se deduce que losaxiomas de la aritmética son incompletos, sobre lahipótesis, naturalmente, de que sean consistentes. Son,ademas, esencialmente incompletos; aun cuando fueraintroducida G como un nuevo axioma, el conjunto asíaumentado sería todavía insuficiente para producir todaslas verdades aritméticas. Porque, si los axiomas inicialesfuesen ampliados de la manera indicada, aún podríaconstruirse otra fórmula aritmética verdadera, pero

indecidible dentro del sistema ensanchado; tal fórmulapodría ser construida limitándose a repetir en el nuevosistema el procedimiento empleado originariamente parahallar una fórmula verdadera, pero indecidible en elsistema inicial. Esta importante conclusión se mantienecon independencia de las veces que se amplía el sistemainicial. Nos vemos, pues, obligados a admitir unafundamental limitación en la eficacia del métodoaxiomático. En contra de previas suposiciones, el vastocontinente de la verdad aritmética no puede ser reducido aun orden sistemático sentando de una vez para siempre unconjunto de axiomas del que pueda derivarse formalmentetoda proposición aritmética verdadera.

V. Y llegamos a la coda de la asombrosa sinfoníaintelectual de Gödel. Hemos seguido los pasos por losque el llego a establecer la proposición metamatemática:«Si la aritmética es consistente, es incompleta.» Peropuede demostrarse también que esta proposicióncondicional, tomada como un todo, esta representada poruna fórmula demostrable dentro de la aritméticaformalizada.

Esta fórmula crucial puede ser fácilmente construida.Como ya hemos explicado en el capítulo quinto, la

(A)

proposición metamatemática ‘la aritmética es consistente’es equivalente a la proposición ‘existe por lo menos unafórmula de la aritmética que no es demostrable’. En elcálculo formal se representa a esta con la siguientefórmula, que denominaremos ‘A’:

(∃y)(x)¬Dem(x, y)

Traducida, dice: ‘Existe por lo menos un numero y tal que,para todo número x, x no se mantiene en la relación Dem ay’. Interpretada metamatemáticamente, la fórmula afirma:‘Existe por lo menos una fórmula de la aritmética para lacual ninguna sucesión de fórmulas constituye una prueba’.La fórmula A, por tanto, representa la cláusula antecedentede la proposición metamatemática ‘si la aritmética esconsistente, es incompleta’. Por otra parte, la clausulaconsiguiente de esta proposición —es decir, ‘(laaritmética) es incompleta’— procede directamente de‘existe una proposición aritmética verdadera que no esformalmente demostrable en la aritmética’ ; y ésta, comoadvertirá el lector, se halla representada en el cálculoaritmético por una vieja conocida, la fórmula G. Enconsecuencia, la proposición metamatemática condicional‘si la aritmética es consistente, es incompleta’ estarepresentada por la fórmula

(∃y)(x)¬Dem(x, y) → (x)¬Dem(x, sust(n, 13, n)

que, en aras de la brevedad, simbolizaremos por ‘A → G’.(Puede probarse que esta fórmula es formalmentedemostrable, pero prescindiremos de hacerlo en estaspáginas.)

Vamos a demostrar ahora que la fórmula A no esdemostrable. Supongamos que lo fuese. Entonces, puestoq u e A → G es demostrable, aplicando la regla deseparación sería demostrable la fórmula G. Pero, salvoque el cálculo sea inconsistente, G es formalmenteindecidible, esto es, no demostrable. Por consiguiente, sila aritmética es consistente, la fórmula A no esdemostrable.

¿Qué significa esto? La fórmula A representa laproposición metamatemática ‘la aritmética es consistente’.Si, por consiguiente, esta proposición pudiera serdemostrada con una argumentación susceptible de serplasmada en una sucesión de fórmulas, que constituye unaprueba en el cálculo aritmético, sería demostrable lapropia fórmula A. Pero, como hemos visto, esto esimposible si la aritmética es consistente. Y el gran pasofinal esta ya ante nosotros: debemos concluir que si laaritmética es consistente, su consistencia no puede serdemostrada por ningún razonamiento metamatemático

susceptible de ser representado dentro del formalismo dela aritmética.

Es preciso evitar una errónea interpretación de esteimportante resultado del análisis de Gödel: no excluye unaprueba metamatemática de la consistencia de laaritmética. Lo que excluye es la posibilidad de que unaprueba de consistencia sea reflejada sobre lasdeducciones formales de la aritmética[31]. De hecho, sehan construido pruebas metamatemáticas de laconsistencia de la aritmética, en particular por GerhardGentzen, miembro de la escuela de Hilbert, en 1936, y porotros estudiosos posteriores[32]. Estas pruebas poseen unagran importancia lógica, entre otras razones porqueproponen nuevas formas de construccionesmetamatemáticas y porque, en consecuencia, iluminan lacuestión de cómo es preciso ampliar la clase de reglas dededucción para demostrar la consistencia de la aritmética.Pero estas pruebas no pueden ser representadas dentro delcálculo aritmético; y, como no son finitistas, no alcanzanlos anunciados objetivos del primitivo programa deHilbert.

VIIIReflexiones finales

La importancia de las conclusiones de Gödel es de unatrascendencia que todavía no ha sido plenamenteexplorada. Estas conclusiones señalan que la perspectivade encontrar para todo sistema deductivo (y, en particular,para un sistema en que pueda expresarse toda laaritmética) una prueba absoluta de consistencia quesatisfaga los requisitos finitistas propuestos en elprograma de Hilbert es, aunque no lógicamente imposible,sumamente improbable[33]. Señalan también que existe unnúmero infinito de proposiciones aritméticas verdaderasque no pueden ser deducidas formalmente de ningúnconjunto dado de axiomas mediante un conjunto cerradode reglas de deducción. De donde resulta que untratamiento axiomático de la teoría de los números, porejemplo, no puede agotar el campo de la verdadaritmética. Resulta también que lo que entendemos porproceso de la prueba matemática no coincide con laexplotación de un método axiomático formalizado. Unprocedimiento axiomático formalizado se basa en un

conjunto, inicialmente fijo y determinado, de axiomas y dereglas de transformación. Como la propia argumentaciónde Gödel señala, no es posible trazar ningún límite previoa la inventiva de los matemáticos en la ideación de nuevasreglas de prueba. Por consiguiente, no puede darseninguna descripción definitiva de la forma lógica precisade las demostraciones matemáticas validas. Teniendo encuenta estas circunstancias, la cuestión de si puedeenunciarse una omnicomprensiva definición de la verdadlógica o matemática, y si, como el propio Gödel parececreer, solo un absoluto «realismo» filosófico del viejotipo platónico puede suministrar una definición adecuada,constituye un conjunto de problemas aún no resueltos ydemasiado complejos para examinarlos aquí[34].

Las conclusiones de Gödel conducen a la cuestión desi podría construirse una máquina calculadora que llegaraa equipararse en inteligencia matemática al cerebrohumano. Las calculadoras actuales poseen en su interiorun conjunto de directivas o instrucciones; estasinstrucciones corresponden a las reglas fijas de deduccióndel procedimiento axiomático formalizado. Las maquinascontestan, pues, a los problemas operando por pasosmedidos, cada uno de los cuales se halla controlado porlas directivas introducidas en ellas. Pero, como demostró

Gödel en su teorema de la ausencia de completitud,existen muchos problemas de la teoría elemental de losnúmeros que caen fuera del ámbito de un métodoaxiomático fijo y que tales maquinas son incapaces deresolver por intrincados e ingeniosos que puedan ser susmecanismos y por rápidas que sean sus operaciones. Dadoun determinado problema, podría construirse una máquinade este tipo que lo resolviese; pero no puede construirseuna máquina que resuelva todos los problemas. El cerebrohumano puede, indudablemente, hallarse afectado delimitaciones inherentes al mismo, y pueden darseproblemas matemáticos que sea incapaz de resolver. Pero,aun así, el cerebro parece incorporar una estructura dereglas de operación mucho más poderosa que la estructurade las máquinas artificiales. No hay nada que permitasuponer una próxima sustitución de la mente humana porrobots.

No debe considerarse el teorema de Gödel como unainvitación a la desesperanza ni como una excusa para laalusión al misterio. El descubrimiento de que existenverdades aritméticas que no pueden ser demostradasformalmente no significa que existan verdades que hayande permanecer en una eterna imposibilidad de serconocidas ni que una intuición «mística» (de especie y

autoridad radicalmente distintas de la habitualmenteoperativa en los progresos intelectuales) deba reemplazara la prueba convincente. No significa, como ha pretendidorecientemente un autor, que existan «limites ineluctables ala razón humana». Significa que los recursos del intelectohumano no han sido, ni pueden ser, plenamenteformalizados, y que subsiste la posibilidad de descubrirnuevos principios de demostración. Hemos visto que lasproposiciones matemáticas que no pueden serdemostradas por deducción formal a partir de un conjuntodado de axiomas pueden, sin embargo, ser demostradasmediante un razonamiento metamatemático «informal».Sería irresponsable pretender que estas verdadesformalmente indemostrables establecidas por argumentosmetamatemáticos no se basan en nada más que en la puraintuición.

Y las inherentes limitaciones de las maquinascalculadoras tampoco implican que no podamos esperarllegar a una explicación de la materia viva y de la razónhumana en términos físicos y químicos. La posibilidad detales explicaciones no se halla excluida ni afirmada por elteorema de incompletitud de Gödel. El teorema indica quela estructura y la potencia de la mente humana son muchomás complejas y sutiles que cualquier máquina inerte

existente hasta el momento. La misma obra de Gödelconstituye un notable ejemplo de esa sutileza ycomplejidad. Es un motivo no para el desaliento, sinopara una renovada apreciación de los poderes de la razóncreadora.

Bibliografía

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ERNEST NAGEL. (Nove Mesto, 1901 - Nueva York,1985) Filósofo estadounidense de origen checoslovaco.Profesor en Columbia (Nueva York) e influido por elpositivismo lógico, es autor, entre otras obras, deIntroducción a la lógica y al método científico (con M.R. Cohen, 1934), La lógica sin metafísica (1944) y Laestructura de la ciencia (1961).

JAMES ROY NEWMAN (1907-1966) fue un matemáticoe historiador matemático estadounidense. También fueabogado en el estado de Nueva York de 1929 a 1941.Durante y después de la Segunda Guerra Mundial, ocupódiversos cargos en el gobierno de Estados Unidos,incluyendo el de jefe de inteligencia de la embajada deEE. UU. en Londres, Asistente Especial del Subsecretariode la Guerra, y asesor del Comité del Senado de EE. UU.de Energía Atómica. En esta institución, ayudó a redactarla Ley de Energía Atómica de 1946. Se convirtió enmiembro del consejo editorial de la revista ScientificAmerican a comienzos de 1948.

Notas

[1] La razón principal de esta supuesta falta deautoevidencia parece haber sido el hecho de que elaxioma de las paralelas formula una afirmación acerca deregiones infinitamente remotas del espacio. Euclidesdefine las líneas paralelas como líneas rectas situadas enun plano que «prolongándose indefinidamente en ambasdirecciones» no se encuentran. Por consiguiente, decir quedos líneas son paralelas es sentar la afirmación de queesas dos líneas no se encontraran ni siquiera «en elinfinito». Pero los antiguos conocían líneas que, aunque nose cortan en ninguna región finita del plano, se encuentran«en el infinito». De tales líneas se dice que son«asintóticas». Así, una hipérbola es asintótica respecto asus ejes. A los geómetras antiguos no les resultabaintuitivamente evidente, por tanto, que desde un puntoexterior a una línea recta dada solamente pudiera trazarseuna línea recta que no se encontrara con aquella nisiquiera en el infinito. <<

[2] La aritmética de los números cardinales no fueaxiomatizada hasta 1899 por el matemático italianoGuiseppe Peano. Sus axiomas son cinco. Se formulan conayuda de tres términos no definidos, el conocimiento delúltimo de los cuales se da por supuesto. Los términos son:‘número’, ‘cero’ y ‘sucesor inmediato de’. Los axiomasde Peano pueden expresarse del modo siguiente:

1. Cero es un número.2. El sucesor inmediato de un número es un número.3. Cero no es el sucesor inmediato de un número.4. No hay dos números que tengan el mismo sucesor

inmediato.5. Cualquier propiedad que pertenezca a cero y también

al sucesor inmediato de todo número que tenga esapropiedad pertenece a todos los números.

El ultimo axioma formula lo que suele denominarse el«principio de inducción matemática». <<

[3] Dicho en un lenguaje más técnico, los términosprimitivos quedan «implícitamente» definidos por losaxiomas, y todo lo que no se halla comprendido por lasdefiniciones implícitas es irrelevante para lademostración de los teoremas. <<

[4] Debe hacerse notar que las proposicionesmetamatemáticas presentadas en el texto no contienencomo partes constitutivas ninguno de los signos yfórmulas matemáticos que aparecen en los ejemplos. Aprimera vista esta afirmación parece palpablemente falsa,ya que son claramente visibles los signos y las fórmulas.Pero, si se analizan las proposiciones con espírituanalítico, veremos que lo dicho es cierto. Lasproposiciones metamatemáticas contienen los nombres deciertas expresiones aritméticas, pero no las expresionesaritméticas mismas. La distinción es sutil, pero valida eimportante. Proviene de la circunstancia de que las reglasde la gramática exigen que ninguna oración contengaliteralmente el objeto a que pueda referirse la misma, sinosolamente los nombres de tales objetos. Evidentemente,cuando hablamos de una ciudad no introducimos la ciudadmisma en una oración, sino solamente el nombre de laciudad; y, análogamente, si queremos decir algo acerca deuna palabra (u otro signo lingüístico) no es la palabramisma (o el signo) lo que puede aparecer en la oración,sino solamente el nombre de la palabra (o signo). Deacuerdo con una convención establecida, construimos un

nombre para una expresión lingüística colocándola entrecomillas. Nuestro texto se adhiere a esta convención. Escorrecto escribir:

Chicago es una ciudad populosa.

Pero es incorrecto escribir:

Chicago es trisílaba.

Para expresar lo que se quiere decir con esta oración, sedebe escribir:

‘Chicago’ es trisílaba.

Igualmente, es incorrecto escribir:

x = 5 es una ecuación.

En vez de ello, debemos formular nuestra ideaescribiendo:

‘x = 5’ es una ecuación. <<

[5] Hilbert no dio una explicación precisa de queprocedimientos metamatemáticos deben considerarsefinitistas. En la versión original de su programa, losrequisitos para una prueba absoluta de congruencia eranmás estrictos que en las posteriores exposiciones delprograma llevadas a cabo por los miembros de su escuela.<<

[6] Es muy posible que le interese al lector disponer deuna explicación más completa que la suministrada en eltexto en torno a los teoremas lógicos y reglas dededucción tácitamente empleados incluso endemostraciones matemáticas elementales. Analizaremosprimeramente el razonamiento que da lugar a la linea 6 delteorema de Euclides a partir de las líneas 3, 4 y 5.Designamos como «variables proposicionales» a lasletras ‘p’, ‘q’ y ‘r’ porque pueden ser sustituidas por lasproposiciones o sentencias. Asimismo, para economizarespacio, escribirnos las proposiciones condicionales deltipo de ‘si p entonces q’ como ‘p → q’; y denominamos ala expresión situada a la izquierda del signo con forma →el «antecedente» y a la expresión situada a la derecha el«consecuente». Análogamente escribimos ‘p ∨ q’ comoabreviatura de la forma alternativa ‘o p o q’.Existe un teorema de la lógica elemental que dice:

(p → r) → [(q → r) → ((p ∨ q) → r)]

Puede demostrarse que este teorema formula una verdadnecesaria. El lector advertirá que esta fórmula declaramás brevemente lo mismo que la siguiente proposición,

mucho más larga:

Si (si p entonces r), entonces [si (si q entoncesr) entonces (si o p o q) entonces r)]

Tal como se ha indicado en el texto, existe en la lógicauna regla de deducción llamada la regla de sustitución devariables proposicionales. De conformidad con esta regla,una proposición S2, procede lógicamente de unaproposición S1, que contiene variables proposicionales, sila primera se obtiene a partir de la segunda sustituyendouniformemente las variables por proposiciones. Siaplicamos esta regla al teorema que acabamos demencionar, sustituyendo ‘y es primo’ en lugar de ‘p’, ‘y escompuesto’ en lugar de ‘q’ e ‘y no es el mayor númeroprimo’ en lugar de ‘r’, obtenemos lo siguiente:

(y es primo → y no es el mayor número primo)→ [(y es compuesto → x no es el mayor númeroprimo) → ((y es primo ∨ y es compuesto) → xno es el mayor número primo)]

El lector se daría cuenta en seguida de que la proposicióncondicional incluida dentro del primer par de paréntesis(presente en la primera línea de este ejemplo del teorema)

se limita a repetir la línea 3 de la prueba de Euclides.Igualmente, la proposición condicional incluida dentro delprimer par de paréntesis comprendidos entre los corchetes(segunda línea del ejemplo del teorema) repite la línea 4de la prueba. También la proposición alternativa que estadentro de los corchetes repite la línea 5 de la prueba.Utilizamos ahora otra regla de deducción, conocida comoregla de separación (o modus ponens). Esta regla nospermite deducir una proposición S2 a partir de otras dosproposiciones, una de las cuales es S1 y la otra S1 → S2.Aplicamos tres veces esta regla: primero, utilizando lalínea 3 de la prueba de Euclides y el ejemplo anterior delteorema lógico; después, el resultado obtenido medianteesta aplicación y la línea 4 de la demostración; y,finalmente, este ultimo resultado de la aplicación y lalínea 5 de la demostración. El resultado es la línea 6 de lademostración.La derivación de la línea 6 a partir de las líneas 3, 4 y 5implica, por tanto, el uso tácito de dos reglas dededucción y de un teorema de la lógica. El teorema y lasreglas pertenecen a la parte elemental de la teoría lógica:el cálculo proposicional. Éste versa sobre las relacioneslógicas existentes entre proposiciones formadas de otrasproposiciones mediante la ayuda de enlaces

proposicionales, ejemplo de los cuales son ‘→’ y ‘∨’.Otro enlace de este tipo es la conjunción ‘y’, que serepresenta por ∧; la proposición copulativa ‘p y q’ seescribe, pues, ‘p ∧ q’. El signo ‘¬’ representa lapartícula negativa ‘no’; así, ‘no p’ se escribe ‘¬p’.Examinemos la transición que en la demostración deEuclides se verifica de la línea 6 a la 7. Este paso nopuede ser analizado con la sola ayuda del cálculoproposicional. Se necesita una regla de deducción quepertenece a una parte más avanzada de la teoría lógica, laque tiene en cuenta la complejidad interna de lasproposiciones que contienen expresiones tales como‘todo’, ‘cada uno’, ‘alguno’ y sus sinónimos. Recibentradicionalmente el nombre de cuantificadores, y la ramade la teoría lógica que estudia la función que realizan esla teoría de la cuantificación.Como preliminar al análisis de la transición que nosocupa es necesario explicar, siquiera sea sumariamente, lanotación empleada en este sector más avanzado de lalógica. Además de las variables proposicionales, en lugarde las cuales pueden ser colocadas las proposiciones,debemos considerar la categoría de las «variablesindividuales», tales como ‘x’, ‘y’, ‘z’, etc., en lugar de lascuales pueden ser colocados los nombres de los

individuos. Utilizando estas variables, la proposiciónuniversal ‘todos los números primos mayores de 2 sonimpares’ puede ser traducida como ‘para todo x, si x es unnúmero primo mayor de 2, entonces x es impar’. Laexpresión ‘para todo x’ recibe el nombre de cuantificadoruniversal y en la acostumbrada notación lógica serepresenta abreviadamente con el signo ‘(x)’. Dichaproposición universal puede, por consiguiente, escribirse:

(x)(x es un número primo mayor de 2 → x es impar)

Por otra parte, la proposición «particular» (o«existencial») ‘algunos números enteros son compuestos’puede ser traducida por ‘existe por lo menos un x tal que xes un número entero y x es compuesto’. La expresión‘existe por lo menos un x’ recibe el nombre decuantificador existencial y suele representarseabreviadamente por la notación ‘(∃x)’. La proposiciónexistencial mencionada puede, pues, transcribirse:

(∃x)(x es un número entero ∧ x es compuesto)

Debe hacerse notar que muchas proposiciones utilizanimplícitamente más de un cuantificador, de modo que almostrarse su verdadera estructura tienen que aparecer

varios cuantificadores. Antes de ilustrar este puntoadoptemos ciertas abreviaturas, para las que suelendenominarse expresiones predicadas o, mássencillamente, predicados. Emplearemos ‘Pr(x)’ paradesignar ‘x es un número primo’, y ‘Gr(x, z)’ paradesignar ‘x es mayor que z’. Consideremos laproposición: ‘x es el mayor número primo’; su significadopuede ser hecho más explícito por medio de la frasesiguiente: ‘x es un número primo y para todo z que es unnúmero primo pero diferente de x, x es mayor que z’.Recurriendo a nuestras diversas abreviaturas, laproposición ‘x es el mayor número primo’ puedeescribirse:

Pr(x) ∧ (z)[(Pr(z) ∧ ¬(x = z)) → Gr(x, z)]

Literalmente, esto dice: ‘x es un número primo, y paratodo z, si z es un número primo y z no es igual a x,entonces x es mayor que z’. En esta secuencia simbólicaadvertimos una versión formal y laboriosamente explícitade la línea 1 de la demostración de Euclides.Consideremos ahora la cuestión de como expresar ennuestra notación la proposición ‘x no es el mayor númeroprimo’ que aparece en la línea 6 de la demostración.Puede transcribirse así:

Pr(x) ∧ (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)]

Literalmente, dice: ‘x es un número primo y existe por lomenos un z tal que z es un número primo y z es mayor quex’.Finalmente, la conclusión de la demostración de Euclides,línea 7, que afirma que no existe ningún número primo quesea el mayor de todos, se transcribe simbólicamente por

(x)[Pr(x) → (∃z)(Pr(z) ∧ Gr(z, x))]

que dice: ‘para todo x, si x es un número primo, existe porlo menos un z tal que z es un número primo y z es mayorque x’. El lector observara que la conclusión de Euclidesimplica implícitamente el uso de más de un cuantificador.Y estamos ya preparados para examinar el paso de lalínea 6 de Euclides a la 7. Existe un teorema de la lógicaque dice:

(p ∧ q) → (p → q)

o, una vez traducido, ‘si a la vez p y q, entonces (si pentonces q)’. Utilizando la regla de sustitución ysustituyendo ‘p’ por ‘Pr(x)’ y ‘q’ por ‘(z)[Pr(z) ∧ Gr(z,x)]’, obtenemos:

(Pr(x) ∧ (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)] → Pr(x) → (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)])

El antecedente (primera línea) de este ejemplo delteorema se limita a repetir la línea 6 de la demostraciónde Euclides; si aplicamos la regla de separaciónobtenemos:

(Pr(x) → (∃z)[Pr(z) ∧ Gr(z, x)])

Conforme a la regla de deducción de la teoría lógica de lacuantificación, una proposición S2 que tenga la forma ‘(x)(…x… )’ puede siempre deducirse de una proposición S1que tenga la forma ‘( …x… )’. En otras palabras: laproposición que tenga como prefijo el cuantificador ‘(x)’puede ser derivada de la proposición que no contenga eseprefijo pero que sea semejante a ella en otros aspectos.Aplicando esta regla a la última proposición mostrada,tenemos la línea 7 de la demostración de Euclides.La lección que se extrae de todo esto es que lademostración del teorema de Euclides implica tácitamenteel uso no sólo de teoremas y reglas de deducción quepertenecen al cálculo proposicional, sino también de unaregla de deducción de la teoría de la cuantificación. <<

[7] Así, por ejemplo, de los principios implicados en ladeducción: 5 es mayor que 3; por consiguiente, elcuadrado de 5 es mayor que el cuadrado de 3. <<

[8] De donde se sigue inmediatamente que los axiomasdeben ser contados entre los teoremas. <<

[9] Donde no haya posibilidad de confusión puedeprescindirse de los signos de puntuación (esto es, de losparéntesis). Así, en vez de escribir ‘¬(p)’ es suficienteescribir ‘¬p’, y en vez de escribir ‘(p → q)’, simplemente‘p → q’. <<

[10] Supongamos, por otra parte, que se ha establecido yala fórmula ‘(p → q) → (¬q → ¬p)’ y que decidimossustituir la variable ‘p’ por ‘r’ y la variable ‘q’ por ‘p ∨r’. Mediante esta sustitución no podemos obtener lafórmula ‘(r → (p ∨ r)) → (¬q → ¬r)’, porque no hemosrealizado la misma sustitución a cada presencia de lavariable ‘q’. La sustitución correcta es ‘(r → (p ∨ r)) →(¬(p → r) → ¬r)’. <<

[11] Sustituyendo ‘p’ por S obtenemos en primer lugar S →(¬S → q). A partir de aquí, juntamente con S, que sesupone es demostrable, obtenemos por la regla deseparación ¬S → q. Finalmente, puesto que se supone quetambién ¬S es demostrable, y utilizando una vez más laregla de separación, obtenemos q. <<

[12] Cabe que el lector minucioso presente objeciones eneste punto. Sus reservas pueden ser algo parecido a losiguiente. La propiedad de ser una tautología ha sidodefinida en ideas de verdad y falsedad. Sin embargo, estasideas implican evidentemente una referencia a algoexterior al cálculo formal. Por consiguiente, elprocedimiento mencionado en el texto ofrece en realidaduna interpretación del cálculo, suministrando un modelopara el sistema. Siendo esto así, los autores no hancumplido lo que habían prometido, a saber: definir unapropiedad de las fórmulas atendiendo a las característicasestrictamente estructurales de las fórmulas mismas. Pareceque, después de todo, no se ha logrado salvar la dificultadapuntada en el capítulo segundo del texto de que laspruebas de consistencia que se basan en modelos ydiscurren desde la verdad de los axiomas hasta suconsistencia no hacen sino desplazar la localización delproblema. ¿Por qué, entonces, llamar a la prueba«absoluta» en vez de relativa?La objeción esta justificada si va dirigida contra laexposición seguida en el texto. Pero hemos adoptado estaforma para no abrumar al lector poco acostumbrado a una

presentación sumamente abstracta que descansa en unaprueba intuitivamente incomprensible. Como puede haberlectores más arriesgados que deseen enfrentarse con lascosas tal cual son para ver una definición sin adornos queno se halle sujeta a las críticas expuestas, lapresentaremos.Recuérdese que una fórmula del cálculo es o una de lasletras utilizadas como variables proposicionales (a las deeste tipo las denominaremos fórmulas elementales), o unacombinación de estas letras, de los signos empleadoscomo enlaces proposicionales y de los paréntesis.Convenimos en colocar cada fórmula elemental en una dedos clases, mutuamente excluyentes y exhaustivas, K1 yK2. Las fórmulas que no son elementales se colocan enestas clases siguiendo las siguientes convenciones:

1. 1. La fórmula que tenga la forma S1 ∨ S2 vacolocada en la clase K2 si tanto S1 como S2 están enK2; en otro caso, se la coloca en K1.

2. 2. La fórmula que tenga la forma S1 → S2 vacolocada en K2 si S1 está en K1 y S2 esta en K2; enotro caso, se la coloca en K1.

3. 3. La fórmula que tenga la forma S1 ∧ S2 va

colocada en K1 si tanto S1 como S2 están en K1; enotro caso, se la coloca en K2.

4. 4. La fórmula que tenga la forma ¬S va colocada enK2 si S está en K1; en otro caso, se la coloca en K2.

Definimos ahora la propiedad de ser tautológica: Unafórmula es una tautología si, y solamente si, encaja en laclase K1 independientemente de cual de las dos clases seaaquella en la que estén situados sus constituyenteselementales. Es evidente que la propiedad de ser unatautología ha sido definida ahora sin utilizar ningúnmodelo de interpretación del sistema. Podemos averiguarsi una fórmula es o no una tautología comprobando,simplemente, su estructura conforme a las convencionesindicadas.Un examen de este tipo hace ver que cada uno de loscuatro axiomas es una tautología. Es un procedimientoconveniente el de construir una tabla que contenga todaslas formas posibles en que los constituyentes elementalesde una fórmula dada pueden ser colocados en las dosclases. Valiéndonos de esta lista, podemos determinar,para cada posibilidad, a qué clase pertenecen las fórmulascomponentes no elementales de la fórmula dada y a queclase pertenece la fórmula completa. Tomemos el primer

axioma. Su tabla consta de tres columnas, cada una de lascuales se halla encabezada por una de las fórmulascomponentes elementales o no elementales del axioma, asícomo por el axioma mismo. Debajo de cada cabecera seindica la clase a que pertenece el concepto de que se tratepara cada una de las posibles asignaciones de losconstituyentes elementales a las dos clases. La tablareviste la forma siguiente:

p p ∨ p (p ∨ p) →p

K1 K1 K1

K2 K2 K1

La primera columna menciona las formas posibles declasificar el único constituyente elemental del axioma. Lasegunda columna asigna el indicado componente noelemental a una clase sobre la base de la convención (1).La última columna asigna el axioma mismo a una clasesobre la base de la convención (2). La columna finalmuestra que el axioma encaja en la clase K1;prescindiendo de la clase en que va situado su únicoconstituyente elemental. El axioma, por tanto, es unatautología.

Para el segundo axioma, la tabla es:

p q (p ∨ q) p → (p∨ q)

K1 K1 K1 K1

K1 K2 K1 K1

K2 K1 K1 K1

K2 K2 K2 K1

Las dos primeras columnas contienen las cuatro formasposibles de clasificar los dos constituyentes elementalesdel axioma. La tercera columna asigna el componente noelemental a una clase sobre la base de la convención (1).La última columna hace lo mismo para el axioma sobre labase de la convención (2). La columna final muestratambién que el axioma encaja en la clase K1 para cada unade las cuatro formas posibles en que pueden serclasificados los constituyentes elementales. El axioma,por tanto, es una tautología. De manera análoga puededemostrarse que los dos axiomas restantes son tambiéntautologías.Vamos a demostrar también que la propiedad de ser unatautología es hereditaria bajo la regla de separación.

(Dejaremos al lector la tarea de demostrar que eshereditaria bajo la regla de sustitución.) Supongamos queson tautologías dos fórmulas cualesquiera S1 y S1 → S2;debemos demostrar que en tal caso S2 es una tautología.Supongamos que S2 no fuese una tautología. Entonces, poruna clasificación al menos de sus constituyenteselementales, S2 encajara en K2. Pero, por hipótesis, S1 esuna tautología, de modo que encajara en K1 para todas lasclasificaciones de sus constituyentes elementales, y, enparticular, para la clasificación que exige la colocaciónd e S2 en K2. Consiguientemente, para esta últimaclasificación, S1 → S2 debe encajar en K2 debido a lasegunda convención. Esto contradice, sin embargo, lahipótesis de que S1 → S2 es una tautología. Enconsecuencia, S2 tiene que ser una tautología, so pena depermitir esta contradicción. La propiedad de ser unatautología se ve así transferida por la regla de separacióndesde las premisas hasta la conclusión derivable de ellaspor esta regla.Un comentario final a la definición de tautología dada enel texto. Las dos clases K1 y K2 utilizadas en la presenteexplicación pueden ser construidas como las clases de lasproposiciones verdaderas y falsas, respectivamente. Pero

la explicación no depende en manera alguna, comoacabamos de ver, de una tal interpretación, si bien secomprende mucho más fácilmente la exposición cuando seentiende de esa manera a las clases. <<

[13] El lector puede encontrar de utilidad la siguienterecapitulación del camino seguido hasta aquí:

1. Todo axioma del sistema es una tautología.2. El ser tautología es una propiedad hereditaria.3. Toda fórmula correctamente derivada de los axiomas

(esto es, todo teorema) es también una tautología.4. Por ello, cualquier fórmula que no sea una tautología

no es un teorema.5. Se ha encontrado una fórmula (p ∨ q) que no es una

tautología.6. Esta fórmula, por tanto, no es un teorema.7. Pero si los axiomas fuesen inconsistentes, toda

fórmula sería un teorema.8. Por consiguiente, los axiomas son consistentes. <<

[14] Euclides demostró una notable perspicacia al tratar sufamoso axioma de las paralelas como una hipótesislógicamente independiente de sus demás axiomas. Porque,como se probo posteriormente, este axioma no puede serderivado de las otras hipótesis, de modo que sin él seríaincompleto el grupo de axiomas. <<

[15] Como veremos, tales verdades pueden serdemostradas mediante alguna forma de razonamientometamatemático acerca de un sistema aritmético. Pero esteprocedimiento no se ajusta al requisito de que el cálculodebe ser, por así decirlo, autosuficiente y de que lasverdades de que se trata deben ser mostradas como lasconsecuencias formales de los axiomas especificadosdentro del sistema. Existe, pues, una limitación intrínsecaen el método axiomático considerado como un medio desistematizar todo el conjunto de la aritmética. <<

[16] Es lo mismo que ocurriría si apareciese la palabra‘corta’ en una lista de palabras y caracterizáramos cadapalabra de la lista con los rótulos descriptivos ‘corta’ o‘larga’. La palabra ‘corta’ ostentaría entonces el rútulo‘corta’. <<

[17] Utilizó una adaptación del sistema desarrollado enPrincipia Mathematica. Pero cualquier cálculo dentro delque pudiera construirse el sistema de los númeroscardinales habría servido a su finalidad. <<

[18] Hay muchas formas diferentes de asignar númerosGödel, y es indiferente para el nudo de la argumentacióncuál de ellas se adopte. Damos un ejemplo concreto decómo pueden asignarse los números para ayudar al lectora seguir la exposición. El método de numeración utilizadoen el texto fue empleado por Gödel en su estudio de 1931.<<

[19] El número de signos constantes depende de cómo seconstruya el cálculo formal. Gödel utilizo en su estudiosolamente siete signos constantes. El texto utiliza diezpara evitar ciertas complejidades en la exposición. <<

[20] Se pueden presentar en el cálculo signos que noaparezcan en el vocabulario fundamental; estos sonintroducidos definiéndolos con ayuda de los signos delvocabulario. Por ejemplo, el signo ‘∧’, el enlaceproposicional utilizado como abreviatura de ‘y’, puedeser definido en el contexto del modo siguiente: ‘p ∧ q’equivale a ‘¬(¬p ∨ ¬q)’ ¿Qué número Gödel se asigna aun signo definido? La respuesta es evidente si observamosque las expresiones que contienen signos definidos puedenser eliminadas a favor de sus equivalentes definidores; yesta claro que un número Gödel puede ser determinadopara la expresión transformada. Por consiguiente, elnúmero Gödel de la fórmula ‘p ∧ q’ es el número Gödelde la fórmula ‘¬(¬p ∨ ¬q)’. Análogamente, los diversosnumerales pueden ser introducidos por definición delmodo siguiente: ‘1’ abreviatura de ‘s0’, ‘2’ abreviatura de‘ss0’, ‘3’ abreviatura de ‘sss0’, y así sucesivamente. Paraobtener el número Gödel de la fórmula ‘¬(2 = 3)’,eliminamos los signos definidos, obteniendo así lafórmula ‘¬(ss0 = sss0)’, y obtenemos su número Gödelsiguiendo las reglas expresadas en el texto. <<

[21] Recordará el lector que hemos definido una pruebacomo una sucesión finita de fórmulas, cada una de lascuales o es un axioma o puede ser derivada de lasfórmulas anteriores de la sucesión con ayuda de las reglasde transformación. Con esta definición, la sucesión antesindicada no es una prueba, ya que la primera fórmula noes un axioma ni se demuestra su derivación de losaxiomas: la sucesión es solamente un fragmento de unaprueba. Llevaría demasiado tiempo exponer un ejemplocompleto de prueba, y para los fines ilustrativos que sepretenden es suficiente la sucesión expresada. <<

[22] No todo número entero es un número Gödel.Consideremos, por ejemplo, el número 100; 100 es mayorque 10, y, por consiguiente, no puede ser el número Gödelde un signo constante elemental; y puesto que no es unnúmero primo mayor de 10 ni el cuadrado ni el cubo de unnúmero primo que reúna esa circunstancia, no puede ser elnúmero Gödel de una variable. Al descomponer 100 ensus factores primos, encontramos que es igual a 22 · 52; yel número primo 3 no aparece como factor de ladescomposición, sino que queda omitido. De acuerdo conlas reglas establecidas, sin embargo, el número Gödel deuna fórmula (o de una sucesión de fórmulas) debe ser elproducto de varios números primos sucesivos, elevadocada uno de ellos a alguna potencia. El número 100 nosatisface esta condición. Es decir, que 100 no puede serasignado a signos constantes, variables o fórmulas; porconsiguiente, no es un número Gödel. <<

[23] Este teorema es conocido como el teoremafundamental de la aritmética. Dice que si un númeroentero es compuesto (o sea, que no es primo), tiene unasola descomposición en factores primos. <<

[24] El lector debe tener presente con toda claridad que,aunque ‘Dem(x, z)’ representa la proposiciónmetamatemática, la fórmula misma pertenece al cálculoaritmético. La fórmula podría ser escrita con una notaciónmás habitual como ‘f(x, z) = 0’, donde la letra ‘f’ denotauna compleja serie de operaciones aritméticas realizadascon números. Pero esta notación más corriente no sugiereinmediatamente la interpretación metamatemática de lafórmula. <<

[25] Esta función es sumamente compleja. Su complejidadresulta evidente si tratamos de formularla con más detalle.Intentémoslo, sin llevarlo a sus últimos extremos. En lapágina 37 se demostró que m, el número Gödel de ‘(∃x)(x = sy)’, es:

28 · 34 · 511 · 79 · 118 · 1311 · 175 · 197 · 2313 · 299

Para hallar el número Gödel de ‘(∃x)(x = sm)’ (lafórmula obtenida sustituyendo en la anterior la variable‘y’ por el numeral de m) procedemos del modo siguiente:Esta fórmula contiene el numeral ‘m’, que es un signodefinido, y, de conformidad con el contenido de una notaanterior, m debe ser reemplazado por su equivalentedefinidor. Una vez hecho esto, obtenemos la fórmula:

(∃x)(x = ssssss…s0)

donde la letra ‘s’ se da m + 1 veces. Esta fórmula contienesolamente los signos elementales pertenecientes alvocabulario elemental, con lo que puede calcularse sunúmero Gödel. Para ello, obtenemos primeramente laserie de números Gödel asociados con los signos

elementales de la fórmula:

8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 7, 7, 7,…, 7, 6, 9

en la que el número 7 aparece m + 1 veces. Tomamosluego el producto de los primeros m + 10 números primospor orden de magnitud, elevado cada uno de ellos a unapotencia igual al número Gödel del correspondiente signoelemental. Llamemos r a este número, con lo que

r = 28 · 34 · 511 · 79 · 118 · 1311 · 175 · 197 · 2313 · 299 ·317 · … · p9

m + 10

donde pm + 10 es el número primo que hace el (m + 10)-ésimo en el orden de magnitud.Comparemos ahora los dos números Gödel m y r; mcontiene un factor primo elevado a la potencia 13; rcontiene todos los factores primos de m y otros muchosmás, pero ninguno de ellos está elevado a la potencia 13.Del número m puede así obtenerse el número r,reemplazando al factor primo de m que está elevado a lapotencia 13 con otros números primos elevados apotencias distintas de 13. No es posible manifestarexactamente y con todo detalle cómo se relaciona r con msin introducir un aparato notativo adicional

considerablemente complejo; se halla expresado en eltrabajo original de Gödel. Pero se ha dicho lo suficientepara indicar que el número r es una función aritméticadefinida de m y 13. <<

[26] Cabe la posibilidad de que se le ocurran al lectorvarias cuestiones que es necesario contestar. Puedepreguntarse por qué, en la caracterización metamatemáticarecién mencionada, decimos que es «el numeral de y» elque sustituye a cierta variable, en vez de «el número y».La contestación depende de la distinción, ya examinada,entre matemática y metamatemática, y exige una breveaclaración de la diferencia entre números y numerales (ocifras). Un numeral es un signo, una expresión lingüística,algo que se puede escribir, borrar, etc. Un número, encambio, es algo que viene nombrado o designado por unnumeral y que no puede, literalmente, ser escrito, borrado,copiado, etc. Así, decimos que 10 es el número de dedosque tenemos en las manos, y, al hacer esta declaración,estamos atribuyendo una cierta «propiedad» a la clase denuestros dedos; pero sería evidentemente absurdo afirmarque esta propiedad es un numeral. Asimismo, el número10 viene designado por el numeral arábigo ‘10’, al igualque por la letra romana ‘x’; estas designaciones sondistintas aunque designan al mismo número. Es decir, quecuando sustituimos una variable numérica (que es unaletra o un signo), estamos poniendo un signo en lugar de

otro signo. No podemos sustituir literalmente un signo porun número, porque un número es una propiedad de lasclases (y a veces se dice que es un concepto), no algo quepodamos poner sobre el papel. De donde se deduce que alsustituir una variable numérica sólo podemos hacerlo conun numeral (o alguna otra expresión numérica, tal como‘s0’ o ‘7 + 5’) y no con un número. Esto explica por quéen la caracterización metamatemática mencionadadeclaramos que sustituimos la variable por el numeral de(el número) y, en vez de por el propio número y.Quizá se pregunte el lector que número se designa por‘sust(y, 13, y)’ si da la casualidad que la fórmula cuyonúmero Gödel es y no contiene la variable de númeroGödel 13 —esto es, si la fórmula no contiene a la variable‘y’—. Así, sust(243 000 000, 13, 243 000 000) es elnúmero Gödel de la fórmula obtenida a partir de lafórmula de número Gödel 243 000 000, sustituyendo lavariable ‘y’ por el numeral ‘2430 000 000’. Pero si ellector consulta la tabla de la pagina 38, hallara que 243000 000 es el número Gödel de la fórmula ‘0 = 0’, que nocontiene a la variable ‘y’. ¿Cuál es entonces la fórmulaque se obtiene de ‘0 = 0’ sustituyendo la variable ‘y’ porel numeral del número 243 000 000? La respuesta, biensencilla, es que, puesto que ‘0 = 0’ no contiene a esta

variable, no puede hacerse ninguna sustitución, o, lo quees lo mismo, que la fórmula obtenida de ‘0 = 0’ es estamisma fórmula. En consecuencia, el número designadopor ‘sust(243 000 000, 13, 243 000 000)’ es 243 000000.Puede también que el lector se sienta asaltado por la dudade si ‘sust(y, 13, y)’ es una fórmula dentro del sistemaaritmético en el sentido que son fórmulas, por ejemplo,‘(∃x)(x = sy)’, ‘0 = 0’ y ‘Dem(x, z)’. La respuesta esnegativa por la razón siguiente. La expresión ‘0 = 0’recibe la denominación de fórmula porque afirma unarelación entre dos números y es, por tanto, susceptible deque se le atribuya significativamente la cualidad deverdad o falsedad. Análogamente, cuando las variables de‘Dem(x, z)’ son sustituidas por numerales definidos, estaexpresión formula una relación entre dos números, con loque se convierte en una proposición que o es verdadera oes falsa. Lo mismo puede decirse para ‘(∃x)(x = sy)’.Por otra parte, aun cuando se sustituya ‘y’ por un numeraldefinido en ‘sust(y, 13, y)’, la expresión resultante noafirma nada y no puede, por tanto, ser verdadera ni falsa.Simplemente, denomina o designa un númerodescribiéndolo como una determinada función de otrosnúmeros. La diferencia entre una fórmula (que es en

realidad una proposición acerca de números y, por ende,verdadera o falsa) y una función-nombre (que es unnombre que identifica a un número y, por ende, ni esverdadera ni falsa) quedara más clara si añadimosalgunos ejemplos: ‘5 = 3’ es una fórmula que, aunquefalsa, declara que los números 5 y 3 son iguales; ‘52 = 42

+ 32’es también una fórmula que afirma la existencia deuna definida relación entre los números 5, 4 y 3; y, en unsentido más general, ‘y = f(x)’ es una fórmula que afirmala existencia de una determinada relación entre losnúmeros no especificados x e y. Por otra parte, ‘2 + 3’expresa una función de los números 2 y 3 y, por tanto,denomina a un cierto número (de hecho, el número 5); noes una fórmula, ya que sería evidentemente absurdopreguntar si ‘2 + 3’ es verdadero o falso. ‘(7 · 5) + 8’expresa otra función de los tres números 5, 7 y 8 y designaal número 43. Y, en términos más generales, ‘ f(x)’expresa una función de x e identifica a cierto númerocuando se sustituye ‘x’ por un numeral definido y cuandose atribuye un definido significado al signo de función ‘f’.Resumiendo, mientras que ‘Dem(x, z)’ es una fórmulaporque tiene la forma de una proposición acerca denúmeros, ‘sust(y, 13, y)’ no es una fórmula porque solotiene la forma de un nombre para los números. <<

[27] Es de suma importancia advertir que ‘sust(y, 13, y)’,aunque es una expresión de la aritmética formalizada, noes una fórmula, sino más bien una función-nombre para laidentificación de un número. El número así identificado,sin embargo, es el número Gödel de una fórmula, de lafórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödely, sustituyendo la variable ‘y’ por el numeral de y. <<

[28] Esta proposición puede ser expresada másextensamente del modo siguiente: ‘La fórmula (cuyonúmero Gödel es el número de la fórmula) obtenida apartir de la fórmula de número Gödel y, sustituyendo lavariable de número Gödel 13 por el numeral de y, no esdemostrable.’Puede que el lector se sienta perplejo ante el hecho de queen la proposición metamatemática ‘La fórmula de númeroGödel sust(y, 13, y) no es demostrable’ no aparezcaentrecomillada la expresión ‘sust(y, 13, y)’, no obstantehaberse afirmado repetidamente en el texto que ‘sust(y,13, y)’ es una expresión. Es esta una cuestión que dependeuna vez más de la distinción entre utilizar una expresiónpara hablar acerca de lo que la expresión designa (encuyo caso la expresión no va entrecomillada) y hablaracerca de la expresión misma (en cuyo caso debemosutilizar un nombre para la expresión y, de acuerdo con laconvención establecida para construir tales nombres,debemos entrecomillar la expresión). Un ejemplo servirápara comprenderlo mejor: ‘7 + 5’ es una expresión quedesigna a un numero; por otra parte, 7 + 5 es un numero yno una expresión. Igualmente, ‘sust(243 000 000, 13, 243

000 000)’ es una expresión que designa el numero Gödelde una fórmula (véase la tabla de la pagina 38), perosust(243 000 000, 13, 243 000 000) es el numero Gödelde una fórmula y no es una expresión. <<

[29] Quizá sea conveniente explicar la semejanza, así comola desemejanza, de esta argumentación con la empleada enla paradoja de Richard. La cuestión principal a observares que la fórmula G no es idéntica a la proposiciónmetamatemática con la que esta asociada, sino quesolamente la representa (o refleja) dentro del cálculoaritmético. En la paradoja de Richard, el numero n es elnumero asociado con una determinada expresiónmetamatemática. En la construcción de Gödel, el numeron esta asociado a una determinada fórmula aritméticaperteneciente al cálculo formal, aunque esta fórmulaaritmética representa en realidad una proposiciónmetamatemática. (La fórmula representa a estaproposición porque la metamatemática de la aritmética hasido proyectada en la aritmética.) Al desarrollar laparadoja de Richard se plantea la cuestión de si el numeron posee la propiedad metamatemática de ser richardiano.En la construcción de Gödel, la cuestión que surge es lade si el numero sust(n, 13, n) posee una determinadapropiedad aritmética, la propiedad aritmética expresadapor la fórmula ‘(x)¬Dem(x, z)’. En la construcción deGödel no existe, por tanto, confusión alguna entre

proposiciones dentro de la aritmética y proposicionesacerca de la aritmética, como ocurre en la paradoja deRichard. <<

[30] Esto no es lo que demostró realmente Gödel, y ladeclaración del texto, adaptación de un teorema obtenidoen 1936 por J. Barkley Rosser, se emplea aquí a efectosde una mayor sencillez de exposición. Lo que realmentedemostró Gödel es que si G es demostrable, entonces esdemostrable ¬G (con lo que la aritmética esinconsistente); y si ¬G es demostrable, entonces laaritmética es ω-inconsistente. ¿Qué es la ω-inconsistencia? Sea ‘P’ algún predicado aritmético.Entonces la aritmética sería ω-inconsistente si fueseposible demostrar tanto la fórmula ‘(∃x)P(x)’ (esto es,‘existe por lo menos un numero que tiene la propiedadP’), como igualmente cada una de la serie infinita defórmulas ‘¬P(0)’, ‘¬P(1)’,‘¬P(2)’, etc. (esto es, ‘0 notiene la propiedad P’, ‘1 no tiene la propiedad P’, ‘2 notiene la propiedad P’, y así sucesivamente). Una brevereflexión basta para hacer ver que si el cálculo esinconsistente, entonces es también ω-inconsistente; perolo contrario no es necesariamente cierto: un sistema puedeser ω-inconsistente sin ser inconsistente. Porque para queun sistema sea inconsistente deben ser demostrables tanto‘(∃x)P(x)’ como ‘(x)¬P(x)’. Sin embargo, aunque si un

sistema es ω-inconsistente son demostrables tanto‘(∃x)P(x)’ como cada una de la serie infinita de fórmulas‘¬P(0)’, ‘¬P(1)’, ‘¬P(2)’, etc., la fórmula ‘(x)¬P(x)’puede, no obstante, no ser demostrable, con lo que elsistema no es inconsistente.Vamos a esbozar la primera parte de la argumentación deGödel, cuando afirma que si G es demostrable entonces esdemostrable ¬G. Supongamos que la fórmula G fuesedemostrable. Tendría en tal caso que haber una sucesiónde fórmulas dentro de la aritmética que constituyese unaprueba para G. Sea k el número Gödel de esta prueba. Enconsecuencia, la relación aritmética designada por‘Dem(x, z)’ debe mantenerse entre k, numero Gödel de laprueba, y sust(n, 13, n), número Gödel de G, lo queequivale a decir que ‘Dem(k, sust(n, 13, n))’ tiene que seruna fórmula aritmética verdadera. Sin embargo, puededemostrarse que esta relación aritmética es de un tipo talque, si dicha relación se da entre un par definido denúmeros, la fórmula que expresa este hecho esdemostrable. Por consiguiente, la fórmula ‘Dem(k, sust(n,13, n))’ es no solo verdadera, sino también formalmentedemostrable; es decir, la fórmula es un teorema. Pero,sirviéndonos de las reglas de transformación de la lógicaelemental, podemos derivar inmediatamente de este

teorema la fórmula (‘¬(x)¬Dem(x, sust(n, 13, n))’. Hemosdemostrado, por tanto, que si la fórmula G es demostrable,su negación formal es también demostrable. De donde sesigue que si el sistema formal es consistente, la fórmula Gno es demostrable.Un razonamiento en cierto modo análogo, aunque máscomplicado, es necesario para demostrar que si ¬G esdemostrable, entonces también G es demostrable.Prescindiremos de exponerlo aquí. <<

[31] Quizá le sea útil aquí al lector recordar que,igualmente, la prueba de que es imposible dividir unángulo en tres partes iguales con regla y compás nosignifica que un ángulo no pueda dividirse en tres partesiguales por cualquier otro medio. Por el contrario, puededividirse en tres partes iguales a cualquier ángulo si, porejemplo, ademas del empleo de regla y compás, sepermite utilizar una distancia fija marcada sobre la regla.<<

[32] La prueba de Gentzen se basa en disponer todas lasdemostraciones de la aritmética en un orden lineal segúnsu grado de «simplicidad». La disposición resulta tener unmodulo que es de un cierto tipo «ordinal transfinito». (Lateoría de los números ordinales transfinitos fue creada enel siglo XIX por el matemático alemán Georg Cantor.) Laprueba de consistencia se obtiene aplicando a este ordenlineal una regla de deducción llamada «el principio deinducción transfinita». El razonamiento de Gentzen nopuede ser representado en el formalismo de la aritmética.Además, aunque la mayoría de los estudiosos no discutenla fuerza lógica de la prueba, esta no es finitista en elsentido previsto por las condiciones originales de Hilbertpara una prueba absoluta dé consistencia. <<

[33] Las conclusiones de Gödel no excluyen la posibilidadde construir una prueba absoluta y finitista de consistenciapara la aritmética. Gödel demostró que ninguna prueba deeste tipo puede ser representada dentro de la aritmética.Su argumentación no elimina la posibilidad de pruebasestrictamente finitistas que no puedan ser representadasdentro de la aritmética. Pero nadie parece tener hoy díauna clara idea de cómo habría de ser una prueba finitistaque no fuese susceptible de formulación dentro de laaritmética. <<

[34] El realismo platónico sostiene la idea de que lasmatemáticas no crean ni inventan sus «objetos», sino quelos descubren como Colón descubrió América. Ahorabien: si esto es cierto, los objetos deben tener en ciertosentido una «existencia» anterior a su descubrimiento.Conforme a la doctrina platónica, los objetos de estudiomatemático no se encuentran en el orden espacio-temporal. Son formas eternas incorpóreas o arquetipos,que moran en un mundo distinto, accesible solamente alintelecto. De acuerdo con este punto de vista, las formastriangulares o circulares de los cuerpos físicosperceptibles por los sentidos no constituyen los objetosverdaderos de las matemáticas. Esas formas son,simplemente, encarnaciones imperfectas de un indivisibletriangulo «perfecto», o círculo «perfecto», que esincreado, no se halla jamás plenamente manifestado porlas cosas materiales y únicamente puede ser captado porla mente exploradora del matemático. Gödel parecesostener un punto de vista semejante cuando dice: «Lasclases y los conceptos pueden… ser concebidos comoobjetos reales…, existentes con independencia de nuestrasdefiniciones y construcciones. Yo creo que la hipótesis de

tales objetos es tan legítima como la hipótesis de loscuerpos físicos y que hay las mismas razones para creeren su existencia» (Kurt Gödel, «Russell’s MathematicalLogic», en The Philosophy of Bertrand Russell, ed. PaulA. Schilpp, Evanston y Chicago, 1944, pag. 137). <<