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108
green teorema de green ejemplos El teorema de Green Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL 16 de abril de 2011

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green teorema de green ejemplos

El teorema de Green

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

16 de abril de 2011

green teorema de green ejemplos

green

green

george green

green teorema de green ejemplos

green

gossip

gossipera hijo de un panadero

fue panadero y molinerofue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años

green teorema de green ejemplos

green

gossip

gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinero

fue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años

green teorema de green ejemplos

green

gossip

gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinerofue prácticamente autodidacta

publicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años

green teorema de green ejemplos

green

gossip

gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinerofue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su pueblo

entró a la universidad a los 40 años

green teorema de green ejemplos

green

gossip

gossipera hijo de un panaderofue panadero y molinerofue prácticamente autodidactapublicó su famoso ensayo a los 35 años, a partir de lo quehabía leído en la biblioteca de suscripción de su puebloentró a la universidad a los 40 años

green teorema de green ejemplos

green

contexto

contextoel teorema de green surgió en conexión con la teoría del

potencial

green teorema de green ejemplos

green

de qué se trata

de qué se tratael teorema de green relaciona una integral de un campo a lo

largo de una curva con una integral doble en la regiónencerrada por esa curva

green teorema de green ejemplos

regiones elementales

regiones elementales

región y elementalD es una región y -elemental si

Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)

green teorema de green ejemplos

regiones elementales

regiones elementales

región y elementalD es una región y -elemental si

Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)

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regiones elementales

regiones elementales

región y elementalD es una región y -elemental si

Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuas

Φ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)

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regiones elementales

regiones elementales

región y elementalD es una región y -elemental si

Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)

green teorema de green ejemplos

regiones elementales

regiones elementales

región x-elementalD es una región x-elemental si

Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)

green teorema de green ejemplos

regiones elementales

regiones elementales

región x-elementalD es una región x-elemental si

Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)

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regiones elementales

regiones elementales

región x-elementalD es una región x-elemental si

Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuas

Ψ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)

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regiones elementales

regiones elementales

región x-elementalD es una región x-elemental si

Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)

green teorema de green ejemplos

regiones elementales

regiones elementales

región elementalD es región elemental si

1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental

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regiones elementales

regiones elementales

región elementalD es región elemental si

1 D es región x-elemental y

2 D es región y -elemental

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regiones elementales

regiones elementales

región elementalD es región elemental si

1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental

green teorema de green ejemplos

orientación de las curvas borde

curvas borde

observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple

(sin autointersecciones)

green teorema de green ejemplos

orientación de las curvas borde

curvas borde

observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple(sin autointersecciones)

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orientación de las curvas borde

orientación de la curva orde

orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva

green teorema de green ejemplos

orientación de las curvas borde

orientación de la curva orde

orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva

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orientación de las curvas borde

orientación de la curva orde

orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa

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orientación de las curvas borde

orientación de la curva orde

orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1

lema 1D región y -elemental

C su curva borde, orientada en sentido antihorarioP : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Pdx = −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1

lema 1D región y -elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorario

P : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Pdx = −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 1

lema 1D región y -elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioP : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Pdx = −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 1

lema 1D región y -elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioP : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Pdx = −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostración

D

a ≤ x ≤ b

Φ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

curva borde - notación 1

C+ = C+1 + B+

2 + C−2 + B−

1

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

curva borde - notación 1

C+ = C+1 + B+

2 + C−2 + B−

1

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor un lado

∫∫D

∂P∂y

(x , y)dxdy =

∫ b

a

∫ Φ2(x)

Φ1(x)

∂P∂y

(x , y)dxdy

=

∫ b

aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor un lado

∫∫D

∂P∂y

(x , y)dxdy =

∫ b

a

∫ Φ2(x)

Φ1(x)

∂P∂y

(x , y)dxdy

=

∫ b

aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx

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teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor un lado

∫∫D

∂P∂y

(x , y)dxdy =

∫ b

a

∫ Φ2(x)

Φ1(x)

∂P∂y

(x , y)dxdy

=

∫ b

aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx

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teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor un lado

∫∫D

∂P∂y

(x , y)dxdy =

∫ b

a

∫ Φ2(x)

Φ1(x)

∂P∂y

(x , y)dxdy

=

∫ b

aP(x ,Φ2(x))− P(x ,Φ2(x))dx

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado

∫C+

Pdx =

∫C+

1

Pdx +

∫B+

2

Pdx +

∫C−

2

Pdx +

∫B−

1

Pdx

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado

∫C+

Pdx =

∫C+

1

Pdx +

∫C−

2

Pdx

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado

∫C+

Pdx =

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado

C+1 = (x ,Φ1(x)) y C+

2 = (x ,Φ2(x)) con x ∈ [a,b]

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado ∫

C+

Pdx =

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx

C+1 = (x ,Φ1(x)) y C+

2 = (x ,Φ2(x)) con x ∈ [a,b]

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado ∫

C+

Pdx =

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

lema 1 - demostración

lema 1 - demostraciónpor otro lado ∫

C+

Pdx =

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx

∫C+

1

Pdx −∫

C+2

Pdx =

∫ b

a[P(x ,Φ1(x))− P(x ,Φ2(x))]dx

= −∫∫

D

∂P∂y

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 2

lema 2D región x-elemental

C su curva borde, orientada en sentido antihorarioQ : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Qdy =

∫∫D

∂Q∂x

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 2

lema 2D región x-elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorario

Q : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Qdy =

∫∫D

∂Q∂x

dxdy

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lema 2

lema 2D región x-elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioQ : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Qdy =

∫∫D

∂Q∂x

dxdy

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teorema de green - demostración

lema 2

lema 2D región x-elementalC su curva borde, orientada en sentido antihorarioQ : D → R de clase C1

⇒ ∫C

Qdy =

∫∫D

∂Q∂x

dxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

observación

curva borde - orientación

C+ = C−1 + B−

2 + C+2 + B+

1

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

observación

curva borde - orientación

C+ = C−1 + B−

2 + C+2 + B+

1

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

teorema de green

teorema de greenD región elemental

C curva borde orientada en sentido antihorarioP,Q : D → R son de clase C1

⇒ ∫C

Pdx + Qdy =

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

teorema de green

teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido antihorario

P,Q : D → R son de clase C1

⇒ ∫C

Pdx + Qdy =

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy

green teorema de green ejemplos

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teorema de green

teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido antihorarioP,Q : D → R son de clase C1

⇒ ∫C

Pdx + Qdy =

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy

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teorema de green

teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido antihorarioP,Q : D → R son de clase C1

⇒ ∫C

Pdx + Qdy =

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy

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teorema de green - demostración

teorema de green

teorema de greenD región elemental

C curva borde orientada en sentido anithorarioX : D → R2 campo C1

⇒ ∫C

Xdα =

∫∫D

rot(X )kdxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

teorema de green

teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido anithorario

X : D → R2 campo C1

⇒ ∫C

Xdα =

∫∫D

rot(X )kdxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

teorema de green

teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido anithorarioX : D → R2 campo C1

⇒ ∫C

Xdα =

∫∫D

rot(X )kdxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

teorema de green

teorema de greenD región elementalC curva borde orientada en sentido anithorarioX : D → R2 campo C1

⇒ ∫C

Xdα =

∫∫D

rot(X )kdxdy

green teorema de green ejemplos

teorema de green - demostración

forma vectorial del teorema de green

forma vectorial del teorema de green

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

generalización del teorema de green

generalización del teorema de greenel teorema de green es válido

para toda región Dque sea unión finita de regiones elementales

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

generalización del teorema de green

generalización del teorema de greenel teorema de green es válidopara toda región D

que sea unión finita de regiones elementales

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

generalización del teorema de green

generalización del teorema de greenel teorema de green es válidopara toda región Dque sea unión finita de regiones elementales

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

ejemplo

ejemplo

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

orientación

llamamos ∂D a la curva borde orientada como

si caminamos alrededor de D, D queda a la izquierda

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

orientación

llamamos ∂D a la curva borde orientada como

si caminamos alrededor de D, D queda a la izquierda

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

teorema de green - final

teorema de green - finalD unión finita de regiones elementales

X campo plano C1

⇒ ∫∂D

Xdα =

∫∫D

rot(X ).kdxdy

green teorema de green ejemplos

generalizaciones del teorema de green

teorema de green - final

teorema de green - finalD unión finita de regiones elementalesX campo plano C1

⇒ ∫∂D

Xdα =

∫∫D

rot(X ).kdxdy

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teorema de green - final

teorema de green - finalD unión finita de regiones elementalesX campo plano C1

⇒ ∫∂D

Xdα =

∫∫D

rot(X ).kdxdy

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0

= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy

= 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1comprobar el teorema de green para el campoX (x , y) = (x , xy) donde D es el círculo unidad

∫∂D

Pdx + Qdy =

∫ 2π

0[cos t(− sin t) + cos2 t sin t ]dt

=

[cos2

2− cos3 t

3

]2π

0= 0

∫∫D

(∂Q∂x− ∂P∂y

)dxdy =

∫∫D

ydxdy = 0

por simetría de D

green teorema de green ejemplos

área

área de una región

área de una regiónD unión finita de regiones elementales

∂D curva cerrada simple⇒

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

green teorema de green ejemplos

área

área de una región

área de una regiónD unión finita de regiones elementales∂D curva cerrada simple

⇒área(D) =

12

∫∂D

xdy − ydx

green teorema de green ejemplos

área

área de una región

área de una regiónD unión finita de regiones elementales∂D curva cerrada simple⇒

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

green teorema de green ejemplos

área

demostración

demostración

12

∫∂D

xdy − ydx =

12

∫∫D

(∂x∂x− −∂y

∂y

)dxdy

=12

∫∫D

(1 + 1)dxdy = área(D)

green teorema de green ejemplos

área

demostración

demostración

12

∫∂D

xdy − ydx =12

∫∫D

(∂x∂x− −∂y

∂y

)dxdy

=12

∫∫D

(1 + 1)dxdy = área(D)

green teorema de green ejemplos

área

demostración

demostración

12

∫∂D

xdy − ydx =12

∫∫D

(∂x∂x− −∂y

∂y

)dxdy

=12

∫∫D

(1 + 1)dxdy

= área(D)

green teorema de green ejemplos

área

demostración

demostración

12

∫∂D

xdy − ydx =12

∫∫D

(∂x∂x− −∂y

∂y

)dxdy

=12

∫∫D

(1 + 1)dxdy = área(D)

green teorema de green ejemplos

área

demostración

demostración

12

∫∂D

xdy − ydx =12

∫∫D

(∂x∂x− −∂y

∂y

)dxdy

=12

∫∫D

(1 + 1)dxdy = área(D)

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

calcular el área de la regiónencerrada por la hipocicloide

x23 + y

23 = a

23

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt =

316

a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt =

316

a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt =

316

a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt =

316

a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt =

316

a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt

=3

16a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt =

316

a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

área

ejemplo 2

ejemplo 2

α(t) = (a cos3 t ,a sin3 t) con t ∈ [0,2π]

área(D) =12

∫∂D

xdy − ydx

=32

a2∫ 2π

0(sin2 t cos4 t + cos2 t sin4 t)dt

=32

a2∫ 2π

0sin2 t cos2 tdt

=38

a2∫ 2π

0sin2 2tdt =

316

a2∫ 2π

0(1− cos 4t)dt

=38πa2

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3

X (x , y) = (xy2, y + x)

Integrar rot X .k en Ddonde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3

X (x , y) = (xy2, y + x)

Integrar rot X .k en D

donde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3

X (x , y) = (xy2, y + x)

Integrar rot X .k en Ddonde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3

X (x , y) = (xy2, y + x)

Integrar rot X .k en Ddonde D región del 1er cuadrante acotada por las curvas:

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt

=43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]

∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt

=43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt

=43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt

=54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt

=43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt

=43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt

=43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt =

43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt =

43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54

= 112

green teorema de green ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

ejemplo 3∫∫D rot Xkdxdy = −

∫α1

Xdα +∫α2

Xdα

donde α1(t) = (t , t) y α2(t) = (t , t2) t ∈ [0,1]∫α1

Xdα =

∫ 1

0(t3 + 2t)dt =

54

∫α2

Xdα =

∫ 1

0(t5 + 2t2 + 2t3)dt =

43

⇒∫∫

D rot Xkdxdy = 43 −

54 = 1

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