Cálculo IntegralEl Teorema Fundamental del Cálculo

M. en C. Juliho Castillo30 de enero de 2017

Facultad de Ingeniería, Universidad Panamericana

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1 El Teorema Fundamental del Cálculo

Valor promedio de una función

Enunciado del T.F.C

Ejercicios Resueltos

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El Teorema Fundamental delCálculo

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El Teorema Fundamental delCálculo

Valor promedio de una función

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Valor promedio de una función

Si una función f se evalua en n puntos ξ1, ξ2, ..., ξN , el valorpromedio de la función para estos puntos es

f(ξ1) + f(ξ2) + ... + f(ξN)N

= 1N

N∑k=1

f(ξk).

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Sin embargo, si tratamos de promediar una función en unintervalo [a, b], esta definición no es útil porque habrá unainfinidad1 de puntos.

Aun así, todavía podemos encontrar una definición, motivadapor el promedio en una cantidad finita de puntos

1De hecho, una cantidad no numerable de puntos, por lo que ni siqueirapodemos tratar de aplicar algunas técnicas para series

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Sin embargo, si tratamos de promediar una función en unintervalo [a, b], esta definición no es útil porque habrá unainfinidad1 de puntos.

Aun así, todavía podemos encontrar una definición, motivadapor el promedio en una cantidad finita de puntos

1De hecho, una cantidad no numerable de puntos, por lo que ni siqueirapodemos tratar de aplicar algunas técnicas para series

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Escogiendo el tamaño del paso fijo para un número N dado desubintervalos, tenemos que

h = b − a

N.

O de manera equivalente

1N

= 1b − a

h.

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Escogiendo el tamaño del paso fijo para un número N dado desubintervalos, tenemos que

h = b − a

N.

O de manera equivalente

1N

= 1b − a

h.

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De manera que

1N

N∑k=1

f(ξk) = 1b − a

N∑k=1

f(ξk) · h.

Cuando N → ∞, el lado derecho se aproxima a

1b − a

∫ b

af(ξ)dξ.

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De manera que

1N

N∑k=1

f(ξk) = 1b − a

N∑k=1

f(ξk) · h.

Cuando N → ∞, el lado derecho se aproxima a

1b − a

∫ b

af(ξ)dξ.

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Definición 1.1.El valor promedio de f en [a, b] está dado por

1b − a

∫ b

af(x)dx.

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Sea f una función continua en [a, b]. Si x ∈ [a, b], entonces

F (x) =∫ x

af(ξ)dξ

es una función que depende de x tal que

DxF (x) = Dx

(∫ x

af(ξ)dξ

)= f(x). (1.1)

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El Teorema Fundamental delCálculo

Enunciado del T.F.C

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Teorema 1.1 (Teorema Fundamental del Cálculo).Sea f una función continua en [a, b] y F (x) una antiderivadade f(x). Entonces∫ b

af(ξ)dξ = F (b) − F (a). (TFC)

12

La ecuación (TFC) nos da una manera sencilla de calcular∫ b

af(ξ)dξ...

siempre y cuando podamos encontrar una antiderivada def(x), en términos de funciones elementales.

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La ecuación (TFC) nos da una manera sencilla de calcular∫ b

af(ξ)dξ...

siempre y cuando podamos encontrar una antiderivada def(x), en términos de funciones elementales.

13

La expresión F (b) − F (a) generalmente se abrevia como

F (x) |ba .

14

Calcule las siguientes fórmulas utilizando el (TFC):

1 ∫ b

axdx =

2 ∫ b

ax2dx =

3 ∫ b

axrdx =

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Calcule las siguientes fórmulas utilizando el (TFC):

1 ∫ b

axdx =

2 ∫ b

ax2dx =

3 ∫ b

axrdx =

15

Calcule las siguientes fórmulas utilizando el (TFC):

1 ∫ b

axdx =

2 ∫ b

ax2dx =

3 ∫ b

axrdx =

15

Proposición 1.1 (TFC con Cambio de Variables).Supongamos que en el intervalo [a, b], la función f es continuay la función g es diferenciable.

Entonces ∫ b

af(g(x))g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)f(u)du,

donde u = g(x).

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Proposición 1.1 (TFC con Cambio de Variables).Supongamos que en el intervalo [a, b], la función f es continuay la función g es diferenciable.

Entonces ∫ b

af(g(x))g′(x)dx =

∫ g(b)

g(a)f(u)du,

donde u = g(x).

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Ejemplo 1.1.

Evalue ∫ 9

1

√5x + 4dx.

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El Teorema Fundamental delCálculo

Ejercicios Resueltos

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Ejercicio Resuelto 1.Evalue ∫ π/2

0sin2(x) cos(x)dx.

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Ejercicio Resuelto 2.Encuentre el área de la región entre la curva dada porf(x) = 1√

4 − x2, el eje x, x = 0 y x = 1.

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Figura 1.1: f(x) = 1√4 − x2

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Ejercicio Resuelto 3.Encuentre el valor promedio de f(x) = 4 − x2 en [0, 2].

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Ejercicio Resuelto 4.Demuestre la fórmula (1.1). Sugerencia: Utilice el teorema delvalor medio.

23

Teorema 1.2 (Teorema del Valor Medio para Integrales).Sea f una función continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b]tal que ∫ b

af(ξ)dξ = (b − a) f(c) (1.2)

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Teorema 1.2 (Teorema del Valor Medio para Integrales).Sea f una función continua en [a, b]. Entonces existe c ∈ [a, b]tal que ∫ b

af(ξ)dξ = (b − a) f(c) (1.2)

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Ejercicio Resuelto 5.Demuestre que

1 Si f es una función par, entonces para a > 0 :∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0f(x)dx;

2 Si f es una función impar, entonces para a > 0 :∫ a

−af(x)dx = 0.

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Ejercicio Resuelto 5.Demuestre que

1 Si f es una función par, entonces para a > 0 :∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0f(x)dx;

2 Si f es una función impar, entonces para a > 0 :∫ a

−af(x)dx = 0.

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Ejercicio Resuelto 6 (Regla trapezoidal).Sea f(x) ≥ 0 en [a, b]. Dividamos [a, b] en N subintervalos delongitud fija h = b−a

N, por medio de puntos

xk = a + k · h, k = 1, ..., N.

Muestre que∫ b

af(ξ)dξ ≈ h

2

(f(a) + 2

N−1∑k=1

f(ξk) + f(b))

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Ejercicio Resuelto 6 (Regla trapezoidal).Sea f(x) ≥ 0 en [a, b]. Dividamos [a, b] en N subintervalos delongitud fija h = b−a

N, por medio de puntos

xk = a + k · h, k = 1, ..., N.

Muestre que∫ b

af(ξ)dξ ≈ h

2

(f(a) + 2

N−1∑k=1

f(ξk) + f(b))

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Figura 1.2: Regla trapezoidal

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Ejercicio Resuelto 7.Use la regla trapezoidal para aproximar∫ 1

0x2dx

con N = 1.

Utilice el (TFC) para calcular la integral de manera exacta ycompare.

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Ejercicio Resuelto 7.Use la regla trapezoidal para aproximar∫ 1

0x2dx

con N = 1.

Utilice el (TFC) para calcular la integral de manera exacta ycompare.

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