El triángulo
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EL TRIÁNGULO
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EL TRIÁNGULO
Un triángulo es una superficie plana trilateral:
> Tres ángulos
> Tres lados
> Tres vértices
Es el polígono con menos lados.
Símbolo: 1 triángulo; s triángulos
Para nombrarlo se usan tres letras en sus vértices o
una cifra romana en su interior.
Se emplean letras minúsculas para designar los lados.
CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS:
Triángulo Todos sus lados son desiguales.
a
c
b
El signo ≠ se lee
“diferente de ”
a ≠ b≠ c
triánguloTiene dos lados iguales
b a
c
a = b
triánguloTiene:
-tres lados iguales
-ángulos iguales, siempre miden
60°.
También se llama acutángulo.A C
B
SEGÚN SUS ÁNGULOS
Triángulo rectángulo:
Tiene un ángulo recto .
El lado opuesto a este es la
hipotenusa.
Los lados perpendiculares
reciben el nombre de catetos.
Triángulo acutángulo:
tiene los tres ángulos
agudos, menores de 90°.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, mayor de 90°.
Los triángulos acutángulo y obtusángulo también son
llamados oblicuángulos.
Rectas y puntos notables del triangulo
RECTAS
Mediana:Segmento trazado desde un vértice
hasta el punto medio del lado opuesto.
Mediatriz:
Bisectriz:
Altura:
Perpendicular trazada en el
punto medio del lado opuesto.
Recta que parte del vértice de un
ángulo dividiendo a este en dos
exactamente iguales.
Perpendicular trazada desde
un vértice al lado apuesto
o su prolongación.
*De cada una de estas rectas son tres en cualquier triángulo.
PUNTOS
Baricentro:Centro de gravedad del triangulo
donde se cortan las medianas.
Circuncentro:
Incentro:
Ortocentro:
Punto de intersección
de las mediatrices,.
Punto donde se interceptan
las bisectrices.
Punto donde se
cortan las alturas.
Propiedades de los triángulos
1.- La altura correspondiente a la base de un triangulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz.
2.- En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman homólogos.
3.- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
4.- A mayor lado se opone mayor ángulo.
TEOREMASI.- La suma de los ángulos interiores de todo triángulos
es igual a dos ángulos rectos, es decir 180°
60 + 75 + 45 = 180
II.- La suma de los dos ángulos
agudos de un triángulo
rectángulo es igual a un ángulo
recto.
35° + 55° = 90°
III.- La suma de los tres ángulos exteriores o
externos de todo triángulo es
igual a cuatro ángulos rectos =
360°.
IV.- Un ángulo externo de un triangulo es
igual a la suma de los dos ángulos internos
que no le son adyacentes.
CONGRUENCIA
LOS TRIANGULOS SON
CONGRUETNES CUANDO TIENEN
IGUAL FORMA Y TAMAÑO. SUS
ANGULOS Y LADOS
CORRESPONDIENTES SON IGUALES.
EL SIMBOLO SE LEE
“CONGRUENTE”
CASOS DE CONGRUENCIA:1.- LAL LAL (lado, ángulo,
lado): si un triángulo tiene dos
lados y el ángulo comprendido
congruentes a los elementos
correspondientes de otro entonces
los dos triángulos son congruentes.
2.- ALA ALA (ángulo, lado,
ángulo): dos triángulos con dos
ángulos congruentes adyacentes
a un lado congruente, son
congruentes.
2.- LLL LLL (lado, lado, lado): si dos
triángulos tienen sus tres lados
respectivamente congruentes, entonces son
congruentes.
La razón de un numero a otro es el cociente
indicado del primero entre el segundo.
El numerador de la razón
es el antecedente y el
denominador es el
consecuente:
En la razón 3
4
3 Es el antecedente y el 4
el consecuente.
La igualdad de dos razones
es una proporción:
La proporción se escribe
a c
b = d ;
o a : b = c : d, se lee: a es b,
como c es a d
La razón de 3 a 5 es 3
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Propiedades de las proporciones
1. En toda proporción el producto de los medios es igual al
producto de los extremos.
2. Una proporción se puede transformar en otra invirtiendo los
términos de cada razón.
3. En toda proporción un extremo cualquiera es igual al
producto de los medios entre el extremo conocido.
4. En toda proporción un medio es igual al producto de los
extremos entre el medio conocido.
5. La media proporcional, aplicando el principio 4, será igual a
la raíz cuadrada del producto de los extremos.
I. Si una recta es paralela a uno de los lados de un
triangulo, entonces los otros dos lados quedan divididos
en segmentos proporcionales.
II. Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o mas
paralelas quedan divididas en segmentos proporcionales.
III. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado
en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes
a ese ángulo .
SEMEJANZAlos que tienen sus ángulos
correspondientes congruentes y sus lados homólogos proporcionales.Los polígonos semejantes tienen la misma forma aunque no tengan el mismo tamaño.
Para indicar ser semejante se utiliza el símbolo
Razón de semejanzaEs la razón de los dos lados homólogos.
Teorema básico de la proporcionalidad:“toda recta paralela a uno de los lados de un triangulo, determina un triangulo semejante al dado.”
Casos de semejanza:Dos triángulos son semejantes•si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.•si tienen dos lados proporcionales y congruente el ángulo comprendido. •Si tienen sus tres lados proporcionales.
TEOREMA DE PITÁGORAS
EL CUADRADO CONSTRUIDO SOBRE LA HIPOTENUSA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS CONSTRUIDOS SOBRE LOS CATETOS.
