El triángulo asesino

José Lorenzo Sánchez Alavez

El triángulo asesino Propósito: Que los estudiantes exploren las propiedades de los polígonos a través de situaciones que integran contenidos de los tres ejes temáticos (Forma, espacio y medida, Sentido numérico y pensamiento algebraico, Manejo de l ainformación) Explora Se pide a los alumnos que trabajen en parejas. Cada uno de ellos deberá contar con un color determinado, por ejemplo azul y rojo. Se propondrá el siguiente arreglo para que los alumnos empiecen el juego (fig1). Se trata de que los alumnos, alternadamente, unan dos puntos cualesquiera del arreglo. En algún momento, inminentemente uno de ellos terminará formando un triángulo de su mismo color, cuyos vértices sean puntos de este arreglo. En el momento que un jugador logre formar el triángulo…¡pierde! Esta aparente contradicción en las condiciones del juego, lo hace más atractivo para los estudiantes. Esta situación puede aprovecharse para que, de manera informal, se planteen problemas como:

¿Cuántas líneas se pueden formar en total, sin importar el color? ¿Cuántas tiradas son posibles solo en el contorno? ¿Cuántas tiradas son posibles de manera que queden dentro del contorno? ¿Cuál sería el aspecto del arreglo con todos las tiradas posibles? (A esta pregunta, posiblemente los alumnos contesten con una figura elemental (Fig.2)).

Ahora, se debe proponer el siguiente arreglo pentagonal: Este arreglo aumenta la dificultad del juego; sin embargo, la diversidad de posibles acomodos de segmentos, permite enriquecer las estrategias para ganar la partida. Las preguntas a plantear a los estudiantes mientras se desarrolla el juego, son las mismas que en el nivel anterior: ¿Cuántas líneas se pueden formar en total, sin importar el color?

Fig.1: Arreglo inicial

Fig.2: Total de tiros posibles

Fig.3: Arreglo pentagonal

¿Cuántas tiradas son posibles solo en el contorno? ¿Cuántas tiradas son posibles de manera que queden dentro del contorno? ¿Cuál sería el aspecto del arreglo con todas las tiradas posibles? El profesor debe tomar en cuenta el arreglo que muestra el número total de posibles tiradas (Fig.4). Es conveniente hacer que los estudiantes requieran de sistematizar la información que van obteniendo a partir del análisis de la figura final para contestar las preguntas planteadas. Se pueden proponer, por ejemplo, que utilicen una tabla para concentrar los datos que se van obteniendo; pero se debe tomar en cuenta que sea el estudiante quien diseñe la estructura de la misma.

El acomodo que más posibilidades ofrece para un juego de estrategias, lo ofrece el arreglo hexagonal. Este nivel de complejidad es el más adecuado para los estudiantes de secundaria, en virtud de que el número posible de tiradas permite que el juego se torne más interesante en la lucha por no construir el triángulo asesino. En este arreglo es posible plantear problemas que lleven a la reflexión del estudiante. Por ejemplo, ¿Cuántas tiradas podría hacer uno de los dos jugadores si desarrolla un juego perfecto?, ¿Por qué siempre habrá un ganador… y un perdedor?

Para contestar estas preguntas, se debe asegurar que los estudiantes obtengan el trazo general de la figura con todos los segmentos posibles (Fig. 6)

Fig.4: Arreglo pentagonal final

Fig.5: Arreglo hexagonal

Fig.6: Arreglo hexagonal final

Un planteamiento que pretende ir más allá del conteo de segmentos es: ¿Cuántos triángulos pueden trazarse a partir de uno de los puntos? De esta manera el estudiante debe recurrir a estrategias más sofisticadas para llegar a la solución. En la figura 7, se pueden apreciar solo tres posibilidades para uno de los puntos. La diversidad de planteamientos que se pueden ofrecer a los alumnos, depende de la creatividad del profesor; por lo que se sugiere que se aproveche la situación para

enriquecerlo con más preguntas que permitan ir generalizando los resultados. Por ejemplo, en lugar de triángulos se puede pedir el número de cuadriláteros que se pueden trazar a partir de uno de los seis puntos. Cuando los estudiantes empiecen a jugar sobre el arreglo heptagonal (fig. 8), se pueden ajustar la reglas del juego de “triángulo asesino” a “trapecio asesino”, lo que hará que se requiera trabajar sobre otros conceptos geométricos. En el momento que los estudiantes requieran que la información que proporciona el arreglo sea más formal, se puede optar por asignar un nombre a los puntos involucrados. De esta manera, se dará un paso importante en la formalización de los conceptos geométricos como punto, línea, segmento, polígono, lado y diagonal

A partir de ahora, el alumno tendrá que dirigirse como “el segmento AD”, o “ el triángulo FDB”, “ el trapecio (isósceles) ACEF”, etc. Una pregunta interesante es: ¿Cuántos trapecios se pueden obtener a partir de los 7 puntos? La respuesta requiere un trabaja exhaustivo de observación. En la fig. 9 se pueden apreciar dos trapecios diferentes en posición, aunque congruentes en forma.

El mismo problema pero dicho de manera más formal es: ¿Cuántos trapecios congruentes a ACEF se pueden obtener? Otra pregunta a plantear es: ¿El cuadrilátero ADEG es un trapecio? ¿Por qué?

Fig.9: Trapecios ACEF y BDFG

Fig.8: Arreglo heptagonal

A

B

C

D

E F

G

Fig.7: tres triángulos a partir de un punto determinado.

Fig.10: Trapecios ACEF y BDEA

También se puede jugar con las concepciones de trapecios y pedir que los estudiantes describan las características de los polígonos ABDE y ACEF. En base a las propiedades que se vayan describiendo, es posible que se llegue a la conclusión que ambos pertenecen a la familia de los trapecios isósceles. (Fig.10)

Es conveniente que los estudiantes dibujen todos los segmentos posibles (Fig.11) de este arreglo porque es una herramienta fundamental en la generalización de una de las propiedades más importantes: el número de diagonales de un polígono. El último arreglo que se propone, y que resulta práctico para este nivel educativo, es el que consta de 8 puntos. El arreglo octagonal, como se apreciará más adelante, aumentará notablemente las posibilidades de exploración.

En este arreglo es posible hacer más compleja la tarea de reconocer algún polígono. Por ejemplo, en lugar de “triángulo asesino” o “trapecio asesino”, se puede hablar de un “polígono asesino” y variar el número de lados. Un primer cuestionamiento es: ¿Qué tipo de polígono se puede construir a partir de los puntos? La respuesta debe incluir los polígonos de 3 a 8 lados, sin incluir los polígonos estrellados. El juego se extiende a “cuadrilátero asesino” e implica que en él se incluyan varios polígonos de 4 lados. Una tarea a plantear a los estudiantes es que determinen el número exacto de cuadriláteros diferentes.

El arreglo que muestra todos los segmentos posibles, se ofrece en la figura 13. La figura puede ser un auxiliar para obtener polígonos diversos y plantear preguntas en torno a ello. Por ejemplo, ¿Cuántos cuadrados diferentes (en posición) es posible trazar?

Fig.11: Trapecios ACEF y BDEA

Fig.12: Arreglo octagonal

Fig.13: Arreglo octagonal final

Geni@s trabajando El trabajo de matematización se puede iniciar con el siguiente planteamiento: ¿Cuántos segmentos es posible trazar en un arreglo de n puntos? Invariantemente los estudiantes recurrirán al recuento de los arreglos finales. (Fig. 14)

Para sistematizar la información, se puede sugerir que se concentren los resultados parciales en una tabla como la siguiente:

Se debe notar que en la tabla aparecen números de puntos que no se han trabajado con el caso de 3, 9 y 10. En el caso de tres puntos, la información es trivial; sin embargo, para los números de 9 y 10 puntos se debe recurrir a la generalización. Para ello, es conveniente recurrir a problemas más sencillos, como contar el número de segmentos que se pueden trazar a partir de un punto determinado y después los del punto adyacente, hasta terminar con todos los puntos. En el caso del arreglo de 6 puntos se puede obtener el número de segmentos como lo muestra la fig. 15: Se empieza a trazar los puntos desde uno de los puntos (en azul, como la figura sugiere), obteniendo 5. Después, los segmentos de punto contiguo (en amarillo), obteniendo 4; sucesivamente se puede determinar los segmentos restantes. Se debe sugerir que no se tracen los arreglos de 9 y 10 puntos para que los estudiantes tengan la necesidad de generalizar el proceso. Una tabla complementaria como la siguiente es muy útil para esta actividad:

Puntos Nombre del polígono

que forman los puntos Número de lados

del polígono Número total de

segmentos Número de diagonales

3

4

5

6

7

8

9

10

Fig.14: Secuencia de figuras

Fig.15: Suma de los números de segmentos

La serie que muestra la suma de los primeros números naturales es expresable en una fórmula elegante que descubrió Carl Gauss:

1+2+3+4+…+n= n(n+1)/2 Traducido a las condiciones de esta situación problemática, el número de segmentos se puede expresar en función del número de putos del arreglo en cuestión. En el caso del arreglo hexagonal, la secuencia de números que se suman es del 1 al 5,

donde el máximo (5), es 1 unidad menor que el total de puntos del arreglo. En general, si tomamos un arreglo de m puntos, la secuencia de números que se suman

será 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑚 − 1 ;

por lo que la expresión de Gauss nos permitirá obtener un fórmula para saber el número de segmentos sin tener que dibujarlos todos. Para un arreglo de m puntos, entonces, el número de segmentos será:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 𝑚 − 1 = 𝑚 − 1 (𝑚 − 1 + 1)

2

Lo que se puede expresar como

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 𝑚 − 1 = 𝑚 − 1 (𝑚)

2

O de manera más estética:

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑚 − 1 = 𝑚 𝑚 − 1

2

En conclusión, el número de segmentos que se puede trazar en un arreglo de m puntos es

𝑚(𝑚−1)

2

En concreto, para el caso del arreglo hexagonal, m=6 por lo que

𝑚(𝑚 − 1)

2=

6(6 − 1)

2=

6(5)

2=

30

2= 15

A modo de ejercicio, se puede solicitar que validen los resultados obtenidos en las tablas, aplicando esta expresión a los arreglos estudiados. El desafío Una manera de evaluar el grado de adquisición de los conocimientos involucrados y de las habilidades desarrolladas en la secuencia didáctica anterior, es planteando los siguientes problemas:

A) Gerardo y Salvador empiezan una partida sobre un arreglo de 11 puntos.

¿Qué probabilidad hay de que el primer participante elija un segmento en particular?

Puntos Expresión de

suma de segmentos

Número total de segmentos

3

4

5

6 5+4+3+2+1 15

7

8

9

10

¿Cuántos segmentos son posibles?

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 11 lados?

B) Encuentre una expresión que permita calcular el número de diagonales de un polígono de n lados.

C) De las siguientes afirmaciones, determine su veracidad o falsedad, y argumente su respuesta.

Un trapecio es un cuadrilátero no rectángulo

Un rectángulo es un paralelogramo

Un cuadrado es un trapecio de ángulos rectos.

Un rombo es un cuadrado.

D) Complete la siguiente clasificación de cuadriláteros. Otra estrategia de desarrollo de la creatividad en los estudiantes, es proponerles la construcción de un arreglo general que contenga todos los arreglos de 4 a 8 puntos, a partir del trazado exacto del polígono relacionado. Ello implica la aplicación formal de conceptos geométricos y el uso de instrumentos de medición y trazado. Se inicia con el arreglo de 4 puntos que en realidad son los vértices de un cuadrado. Una de las características de esta construcción es que el cuadrado es, también, un cuadrilátero cíclico (que tiene sus vértices sobre una circunferencia). Después, utilizando el centro de la circunferencia que contiene los vértices del cuadrado, trazar otra circunferencia de radio mayor pero con el mismo centro (circunferencias concéntricas). Observe la secuencia de trazado: Segmento inicial

Trazado de la prolongación del segmento y con centro en un extremo, se traza el círculo de radio igual a la longitud del segmento original.

Trazado de una perpendicular a uno de los extremos del segmento:

Utilizando el mismo proceso de trazado de una perpendicular, se obtiene la recta que contiene al tercer lado del cuadrado:

Repitiendo el proceso es posible trazar con precisión, el cuadrado solicitado.

Finalmente es posible obtener rigurosamente el cuadrado:

Bastaría trazar las diagonales para encontrar el centro de la circunferencia que contiene sus vértices:

A partir de este centro, se traza otra circunferencia de radio mayor para iniciar el trazado del pentágono. Aunque se requiere un punto de referencia donde se ubicará al primer vértice.

La ejecución precisa en el manejo de los instrumentos de dibujo es importante para obtener un buen trazado del arreglo final. Se puede tomar como eje de simetría o de referencia la recta que contiene la diagonal del cuadrado.

Aunque el trabajo es arduo, permite a estudiante retroalimentar los conceptos geométricos que ha estudiado. Aún más, se puede solicitar que busquen sus propios puntos y rectas de referencia para obtener finalmente arreglos como el que se muestra en la figura 16 Los alumnos no desaprovecharán la oportunidad de reinterpretar el arreglo para obtener trazos inimaginables como el que propuso un alumno de educación primaria, y que se muestra en la figura 17.

Fig.16: Ejemplo de arreglo total

Fig.14: Ejemplo de arreglo total

Fig.17: Escarabajo, una reinterpretación posible

Bibliografía

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