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El uso de las gráficas en el discurso matemático escolar.Un estudio socioepistemológico en el nivel básico

a través de los libros de texto 1

Francisco Cordero 2

Rebeca Flores 3

RESUMEN

La siguiente investigación contribuye al planteamiento fundacional de la aproximaciónsocioepistemológica, la cual consiste en considerar a las prácticas sociales comolos elementos constituyentes del conocimiento matemático: ¿qué es lo que norma loque se construye como conocimiento matemático? Tal planteamiento ofrece indica-dores para desarrollar una matemática funcional en el sistema educativo. Realizamosasí un estudio del uso de las gráficas en el discurso matemático escolar (dme), elcual consiste en comprender a la graficación como una práctica social en su procesoinstitucional y no como una representación del concepto de función. Dicho estudio lorealizamos a través de los libros de texto del nivel básico para ir creando un marco dereferencia que ayude a resignificar el conocimiento matemático en cuestión.

PALABRAS CLAVE: Uso de las gráficas, resignificación y discursomatemático escolar.

ABSTRACT

The following research contributes to the foundational formulation of thesocioepistemologic approach, which consists of considering the social practices asthe constituents of the mathematical knowledge: What is what rules the constructionof the mathematical knowledge? Such formulation offers indicators to develop afunctional mathematics in the educational system. We carry out thus a study of theuse of the graphics in the school mathematical speech (dme), which consists ofunderstanding the graphics as a social practice in its institutional process and not likea representation of the concept of function. We carry out the study through the textbooks

Relime Vol. 10, Núm. 1, marzo, 2007, pp. 7-38.

Fecha de recepción: 16 de abril de 2006 /Fecha de aceptación: 26 de enero de 2007.

1 Esta investigación está financiada por CONACYT con el Proyecto Estudio de las gráficas de las funciones comoprácticas institucionales. Una gestión escolar para el Nivel Superior. Clave: No. 47045.2 Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav-IPN. México. En estancia sabática en la UniversidadCatólica de Valparaiso. Chile (julio 2006-julio 2007).3 Centro de Formación Básica y Sensibilización Artística. México.

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of basic level to create a reference frame that helps assign a new meaning to themathematical knowledge in question.

KEY WORDS: Use of graphics, assign new meaning, school mathematicalspeech

RESUMO

A seguinte investigação contribui ao planejamento fundamental da aproximação so-cioepistemológica, a qual consiste em considerar as práticas sociais como os ele-mentos constituintes do conhecimento matemático: Que é o que normatiza, o que seconstrói como conhecimento matemático? Tal planejamento oferece indicadores paradesenvolver uma matemática funcional no sistema educativo. Realizamos, assim, umestudo do uso dos gráficos no discurso matemático escolar (dme), no qual consisteem compreender os gráficos como uma prática social, em seu processo institucional,e não como uma representação do conceito de função. Realizamos esse estudoatravés dos livros de texto, do nível básico, para ir criando um marco de referência queajude a resignificar o conhecimento matemático em questão.

PALAVRAS CHAVE: Uso de gráficos, resignificação e discurso matemá-tico escolar.

RÉSUMÉ

La recherche suivante contribue à l’exposé des fondements de l’approche socioépis-témologique, laquelle consiste à considérer les pratiques sociales comme élémentsconstituants de la connaissance mathématique: Qu’est-ce qui norme ce qui est cons-truit en tant que connaissance mathématique? Cet exposé offre des indicateurs pourdévelopper une mathématique fonctionnelle dans le système éducatif. Nous réalisonsdans ce cadre une étude de l’usage des graphiques dans le discours mathématiquescolaire (dms), lequel consiste à comprendre la graphication en tant que pratiquesociale dans son processus institutionnel et pas comme une représentation du con-cept de fonction. Nous avons réalisé cette étude à travers des manuels de niveaubasique à fin de créer un cadre de référence qui aide à la re-signification de la connais-sance mathématique en question.

MOTS CLÉS: Usage de graphiques, re-signification et discours mathémati-que scolaire.

INTRODUCCIÓN

En este artículo reportamos los resulta-dos de una investigación cuyo propósitofue ofrecer indicadores que contribuyana favorecer el desarrollo de una matemá-tica funcional4 en el sistema educativo.La relevancia de la investigación está enlos aspectos teóricos-metodológicos quese formularon. Para la consecución delobjetivo del estudio se estableció el con-cepto ‘‘uso de las gráficas’’ como partedel marco teórico de la investigación apartir del que se hace un estudio del dis-curso matemático escolar (dme) 5 median-te el análisis de libros de texto del nivelbásico, donde se comprende (hipotética-mente) a la graficación como una prácti-ca social en su proceso institucional.

La metodología para vigilar dicha hipóte-sis fue analizar, en el discurso de los li-bros de texto del nivel básico (primaria ysecundaria), el ‘‘uso’’ que se le da a lasgráficas con respecto a sus funcionamien-tos y sus formas según las situacionesespecíficas.

Como resultado de la investigación seidentificaron y caracterizaron tres momen-tos del uso de las gráficas:

El uso del síntoma de la gráfica dela función.

El del uso de la gráfica de la fun-ción.

El del uso de la curva.

Estos momentos expresan un desarrollodel uso de las gráficas en el que el fun-cionamiento y formas de las gráficasen juego dependen de los procesos insti-tucionales, como es el caso de esta in-vestigación, en nivel básico.

Presentamos a continuación la formula-ción de la investigación y sus resultados,articulando los conceptos ‘‘discurso ma-temático escolar’’, ‘‘resignificación’’ y‘‘uso de las gráficas’’ en la aproximaciónsocioepistemológica.

LA INVESTIGACIÓN

Se parte de diversas consideraciones.Una de ellas está relacionada con la pro-blemática de la enseñanza y el aprendi-zaje de la matemática en educación su-perior, que se ocupa del problema queplantea la constitución social del sabermatemático avanzado y su ingreso al sis-tema didáctico (Cantoral & Farfán, 2003).En esta problemática, el rol que común-mente juega el Calculus es como la ma-teria medular en el currículo de las mate-máticas, define una parte anterior yposterior: el precálculo y la matemáticaavanzada (Cordero, 2003, 2005 y 2006a).Con dicho rol las gráficas de las funcio-nes han sido tratadas, en la disciplina dela matemática educativa, a través de dife-rentes programas de investigación, con en-foques a la visualización, a la integraciónde la tecnología en la educación y a laconstrucción de un lenguaje gráfico (Cor-dero, 2006b).

4 Matemática funcional quiere decir un conocimiento incorporado orgánicamente en el humano que lo transforma yque le transforma su realidad. Todo ello en oposición al conocimiento utilitario.5 El discurso matemático escolar es la manifestación del conocimiento matemático normado por creencias de losactores del sistema didáctico de lo que es la enseñanza y lo que es la matemática. Discutimos un poco más alrespecto en la sección ‘Estatus del uso de las gráficas en los libros de texto’ de este artículo.

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En esta investigación consideramos a lasgráficas de las funciones como argumen-taciones6 del Calculus (Suárez, 2006,Buendía & Cordero 2005, Buendía, 2004,Cordero & Solís, 2001; Cordero, 1998,2001 y 2003; Rosado, 2004; Hernández,2004; Campos, 2003 y Domínguez, 2003),donde pretendemos sean el resultado deciertas prácticas sociales que ha gene-rado el conocimiento del Calculus. Por loque convenimos centrar la atención en eluso de las gráficas con el propósito dearticular dos categorías: la resignificacióny la justificación funcional, de las que ex-presamos sus acepciones de la manerasiguiente:

a) La resignificación. Esta categoríamuestra la función de la práctica so-cial y el desarrollo del uso del conoci-miento en situaciones específicas, y;

b) La justificación funcional. Esta cate-goría se refiere a que los mecanismosde desarrollo del uso del conocimien-to en la situación específica son fun-cionales como contra parte de una jus-tificación razonada, es decir, lo quenorma la justificación no es una pro-posición lógica sino aquello que le esde utilidad a lo humano.

Los elementos anteriores fortalecen la hi-pótesis de investigación formulada en tér-minos de convenir la comprensión de lagraficación como una práctica social ensu proceso institucional que se desarro-lla en el discurso matemático escolar yno solamente como representación delconcepto de función.

La metodología para atender la hipóte-sis consiste en estudiar, en el discursode los libros de texto del nivel básico(primaria y secundaria), el uso que se leda a las gráficas con respecto a sus fun-cionamientos y sus formas según ladiversidad de situaciones específicas.Todo ello para apreciar el desarrollo desus usos en los libros de texto mencio-nados.

LA PROBLEMÁTICA

Las investigaciones de las gráficas delas funciones, en Matemática Educati-va, tradicionalmente han tenido un trata-miento privilegiado como representacióndel concepto de función. Tal vez porqueel modelo teórico que subyace en dichasinvestigaciones arroja resultados acer-ca de generar habilidades cognitivaspara mejorar los entendimientos de losconceptos matemáticos, conlleva cen-trar a los conceptos en las reconstruc-ciones o reorganizaciones matemáticasy anclarlos en el dominio matemático.Asimismo este modelo teórico generaun discurso matemático escolar que pri-vilegia a los conceptos matemáticoscomo lo más importante del conocimien-to matemático. Como un resultado deeste modelo, es que centra la proble-mática de enseñanza y aprendizaje enlos conceptos matemáticos, pero másaún, la considera únicamente en el do-minio matemático, soslayando otrosmarcos de referencia.

6 Las argumentaciones de las gráficas de las funciones, en la aproximación socioepistemológica, se refiere a laargumentación de la situación de transformación de funciones (situación de modelación). Ahí se resignifica el uso delas gráficas debatiendo entre su funcionamiento y forma: las curvas de movimiento y geométricas son resignificadascomo patrones de comportamientos gráficos y analíticos, y comportamientos tendenciales de las funciones generandoprocedimientos que consisten en identificar y variar los parámetros de las funciones, construyendo procesos yobjetos de instrucciones que organizan comportamientos: se considera una función f para que sea transformada a lafunción DCBxAfY ++= )( ( Ver Cordero, 2006a).

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Por el contrario, esta investigación sepropone brindar un modelo en oposicióna dicha centración en los conceptos. Esdecir, precisar otro marco de referenciaenfocado a lo que pudiera ser el cono-cimiento institucional que explique a lasgráficas de las funciones como una ma-nifestación de los usos del conocimientoen el discurso matemático escolar, don-de se resignifican al debatir entre sus fun-cionamientos y sus formas al paso de lavivencia escolar. En ese sentido lo insti-tucional será aquello que hace que la gra-ficación se desarrolle y se acepte comoproducto material social que tenemos queenseñar y aprender.

La hipótesis formulada conlleva a cues-tionar cómo vive la graficación en el dis-curso matemático escolar por lo que seconvinieron dos direcciones:

a) evidenciar dicha hipótesis en los li-bros de texto escolar por su rol en eldiscurso matemático escolar y,

b) formular la génesis del uso de lasgráficas en el discurso matemático es-colar.

De este modo, se presenta un estudiode los libros de texto del nivel básico(educación primaria y secundaria) en elmarco de los contenidos curriculares delos textos para cada grado escolar.

LAS GRÁFICAS EN EL CURRÍCULO

Curricularmente las gráficas de las fun-ciones en el Sistema Educativo Nacio-nal 7 son abordadas en el nivel básico,iniciando en la educación secundaria,

como lo indican el Plan y el Programa deestudios elaborados por la Secretaría deEducación Pública para la educación pri-maria y secundaria (SEP, 1993a y 1993b).

Es importante mencionar que en educa-ción primaria las gráficas de las funcio-nes no son consideradas curricularmen-te, pero a cambio se realizan ciertostratamientos temáticos sobre gráficas sinhacer alusión explícitamente al conceptode función. Describimos enseguida lostemas de las gráficas según los gradosescolares:

En los tres primero grados de la educa-ción primaria se abordan pictogramassencillos, como ilustraciones para el plan-teamiento y resolución de problemas, enlos que se requiere de la recolección, laorganización y la interpretación de infor-mación contenida en registros. En cuar-to grado se plantea la recolección y elregistro de datos provenientes de la ob-servación o de pequeñas encuestas, re-presentados en tablas de frecuencia y engráficas de barras para proceder al análi-sis de acuerdo a ciertos cuestionamien-tos. En este grado también se introduceal alumno a la elaboración de tablas parael registro de la variación proporcional yla representación de experimentos alea-torios en tablas y gráficas. En quinto ysexto grados se recopila y organiza lainformación de diversas fuentes median-te tablas, diagramas, gráficas de barraso pictogramas para analizar las tenden-cias: promedios, valor más frecuente y lamediana. También se introduce al estu-diante al planteamiento y resolución deproblemas que impliquen la elaboraciónde tablas y gráficas de variación propor-cional y no proporcional. En estos últi-mos grados escolares aparecen los ejes

7 Nos referimos al Sistema Educativo Nacional de México


mas de actuar impuestas o sugeridasdesde afuera del individuo (Durkheim,1982), las cuales son encarnados ensucesos individuales. Tales formas sonlas instituciones.

Creemos que el ‘‘uso de las gráficas’’pudiera adquirir la categoría de un pro-ducto material continuo, puesto que per-manece en la vida que es transformaday a la vez el producto es transformado.Por lo que el ‘‘uso’’ deberá tener un ‘‘de-sarrollo’’ de tal suerte que exprese ciertodominio (mejores ejecuciones, por ejem-plo) de las gráficas. En ese sentido ha-blamos de ‘‘desarrollo del uso de lasgráficas’’ en el cual las gráficas se resig-nifican en una situación específica.

El planteamiento anterior no soslaya losconceptos, por el contrario se les ubicaen un mejor estatus epistemológico enel modelo del conocimiento consistentecon la intervención de la práctica social,ya que dicha intervención ayudará a po-ner al descubierto las causas reales deldesarrollo social de tal conocimiento, yque pudieran ser los procesos institucio-nales. Con ello la resignificación no se-ría otra cosa que la construcción del co-nocimiento mismo en la organizacióndel grupo humano, normado por lo insti-tucional.

Un escenario que el programa socioepis-temológico ha formulado para dar eviden-cia de la aseveración anterior consisteen investigar y dar respuestas del usodel conocimiento en una situación espe-cífica. En particular se está trabajandosobre el uso de las gráficas en el discur-so del Cálculo escolar. Para ello esta-mos formulando una epistemología alrespecto, donde los usos tienen funcio-nes específicas que dependen de la si-

tuación y que conllevan formas específi-cas. Ambos aspectos necesariamentedebaten acorde con lo que organizan losparticipantes en la situación (Cordero,2006a).

LA FUNCIÓN Y LA FORMA DEL USODE LAS GRÁFICAS

Se trata de formular una epistemologíadel ‘‘uso de las gráficas’’ que determinesu desarrollo institucional ante situacio-nes específicas. El ‘‘uso’’ es la funciónorgánica de la situación que se mani-fiesta por las ‘‘tareas’’ que componen lasituación, y la forma del ‘‘uso’’ serán laclase de esas ‘‘tareas’’. Las tareas pue-den ser actividades, acciones, ejecucio-nes y alternancias de dominios. Cuandola alternancia de tareas sucede se gene-ra una nueva función orgánica que deba-tirá con las formas de los usos. A esteacto de ‘‘uso’’ se le llamará resignifica-ción de la gráfica de la función en elmarco socioepistemológico del Cálcu-lo (Cordero, 2006a), donde la graficaciónes la modelación de los comportamien-tos tendenciales de las funciones (Cor-dero, 2006b). Esta modelación estará in-fluida por justificaciones funcionales.

Presentamos a continuación a los librosde texto como un escenario para investi-gar y dar respuesta del uso de las gráfi-cas en situaciones específicas, según losgrados escolares del nivel básico, en loscuales identificamos diferentes momen-tos de uso que ayudan a entender el de-sarrollo del uso de las gráficas y su gé-nesis en el dme, precisamente, en loslibros de texto del nivel educativo men-cionado.

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ESTATUS DEL USO DE LASGRÁFICAS EN LOS LIBROS DE TEXTO

El discurso matemático escolar es la ma-nifestación del conocimiento matemáticonormado por creencias de los actores delsistema didáctico de lo que es la ense-ñanza y lo que es la matemática. Se ejer-ce la enseñanza-aprendizaje, por un lado,considerando a la matemática como unconocimiento acabado y por el otro, tra-tando a los conceptos matemáticos enlas acciones de enseñar como actosrepetitivos o de memorización. Estos he-chos han definido la enseñanza tradi-cional de las matemáticas, cuya carac-terística esencial es que se ha limitadoal plano del lenguaje (modelo racional dela ciencia) y ha dejado de lado el papelde las acciones (los sentidos de los par-ticipantes) (Cordero, 2003). En el discur-so, el libro de texto juega un papel impor-tante puesto que prácticamente normatodas las acciones de enseñanza y apren-dizaje o por lo menos tiene una gran in-fluencia en ellas. Las selecciones delconocimiento que el docente hace en supráctica de enseñar son tomadas, preci-samente, de los libros. El libro de textoes un marco de referencia insoslayablepara el profesor y para el estudiante, ge-nera el discurso matemático que se ma-nifiesta en la práctica del docente (reflexio-nes al respecto se pueden consultar enCantoral et al., 1990).

Con esta formulación, el libro de texto esuna componente insoslayable en los es-tudios de los usos del conocimiento enel sistema didáctico. Por ello decidimosconsiderar el discurso matemático esco-lar en los libros de texto, en el cual tam-bién es parte del discurso del profesory del alumno. En ese sentido se realizóel estudio de libros de texto del nivel bá-

sico, considerando la educación prima-ria y secundaria.

Se analizaron los libros de texto gratui-tos de matemáticas y de ciencias natu-rales del nivel básico para la educaciónprimaria, que fueron distribuidos por laSecretaría de Educación Pública (SEP)en el ciclo escolar 2003-2004. Tambiénse analizaron algunos libros de texto delnivel básico para la educación secunda-ria de matemáticas de los grados prime-ro, segundo y tercero, de los cuales seconsideraron tres series compuestas detres ejemplares que corresponden a cadauno de los grados escolares. Estas se-ries fueron creadas de acuerdo a loslineamientos expuestos en el Plan y pro-gramas de estudios autorizados por laSEP y corresponden al ciclo escolar2003-2004.

En la investigación observamos que lasgráficas son usadas en diversas activida-des, aún sin ser un concepto curricular.Convenimos en considerar este hechocomo un síntoma del uso de las gráficasde las funciones en el mismo sentido queYoschkevitech (1976) lo hace para enten-der los diversos momentos del conceptode función. A continuación explicamosalgunos aspectos al respecto.

Youschkevitech (1976) realiza un estudiosobre el concepto de función y reportaque tuvo un largo desarrollo para consoli-darse en el siglo XVII, identifica tres eta-pas principales de su desarrollo:

• La antigüedad. Etapa en la que sehacen estudios de casos particularesde dependencia entre dos cantidades.Aparece el uso de tablas sexagesi-males, de cuadrados y raíces cuadra-das, de cubos y raíces cúbicas. Seelaboran empíricamente tablas de efe-mérides del sol, la luna y los plane-


tas, que se convirtieron en cimientosmatemáticos del desarrollo subsi-guiente de la astronomía. Los griegosdeterminan leyes sencillas de la acús-tica, como la relación entre las longi-tudes y los tonos de las notas emiti-das por cuerdas de la misma especieal ser pulsadas bajo tensiones igua-les. En la época de Alejandría se de-sarrolló toda una trigonometría de lascuerdas correspondientes a una cir-cunferencia de radio fijo, que equiva-len a las tablas del seno de los Hin-dúes de unos cuantos siglos mástarde.

• La edad media (siglo XIV). Las nocio-nes generales se expresaron por pri-mera vez de modo definido, medianteformas geométricas y mecánicas,pero al igual que en la antigüedad,cada caso concreto de dependenciaentre dos cantidades era definido poruna expresión verbal de su propiedadespecífica, o por medio de una gráfi-ca. También se fueron perfeccionan-do métodos de tabulación, introdu-ciendo así funciones trigonométricasimportantes.

• El periodo moderno (siglo XVI, y es-pecialmente durante el siglo XVII). Em-piezan a prevalecer las expresionesanalíticas de las funciones. Al situar-nos en el periodo moderno se tieneque el lenguaje matemático, de la lati-tud y la longitud, al igual que las se-micuerdas y segmentos de diámetrosque correspondían a las seccionescónicas de la antigüedad bien se po-drían denominar la ordenada y la abs-cisa, respectivamente, en donde esnecesario resaltar que las coordena-das en el siglo XIV siempre se referíana puntos de alguna curva y no puntosarbitrarios del plano (Youschkevitech,1976; Campos, 2003).

Youschkevitech recoge estos tres aspec-tos en una idea que no coincide con otrasaportaciones del desarrollo conceptualdel concepto de función. Esta idea con-siste en no considerar el nacimiento delconcepto de función antes del momento(histórico) donde los grupos humanos en-focaron su atención al movimiento, y porende a las cantidades de variación conti-nua, justo ahí nace el concepto de fun-ción. Todo momento anterior lo denomi-na síntoma del concepto de función.

Para el caso que nos ocupa, en los li-bros de texto del nivel básico aparecengráficas sin ser a priori una representa-ción del concepto de función, curricular-mente hablando, más tarde, de la mismamanera, sin hacer mención al conceptode función, aparece la palabra ‘‘gráfica’’,para que posteriormente se presente demanera curricular el concepto de funciónejemplificado con gráficas para respon-der a discusiones que tienen que ver concomportamientos de las curvas.

Es así como este desarrollo formula unaepistemología del uso de las gráficas,donde los funcionamientos y formas delas gráficas son identificados en el mar-co de dos momentos en el discurso delos libros de texto de matemáticas y delas ciencias naturales para la educaciónprimaria. Reinterpretando a Youschkevi-tech, enfocamos la atención hacia el usode las gráficas para determinar que cual-quier uso de gráfica del espacio (mapas,ilustraciones, planos, cuadrículas y tra-yectorias), antes de ser especificadacurricularmente la gráfica de la función,se le llamará el síntoma del uso de lagráfica de la función y una vez que la grá-fica de la función es declarada curricular-mente se le llamará el uso de la gráficade la función. Sin embargo, en los librosde texto de educación secundaria apare-ce un momento tercero alusivo a la gráfi-


Los dos momentos ofrecen usos de lasgráficas cuyas formas norman los funcio-namientos de las gráficas según la clasede tareas que propone el libro de texto.Los momentos mismos nos ayudan aidentificar desarrollos de usos de las grá-ficas, por ejemplo, en las Figuras 1.b y2.h aparecen gráficas cuyos funciona-mientos en las actividades consisten,para la primera, en la comparación de tra-yectorias para después reproducirlas enretículas cuadradas, y para la segunda,

e f g h

Figura 2. Gráficas alusivas al momento del uso de la gráfica de la función

la comparación de las gráficas a partir deciertos valores numéricos analizados através de la distribución de los puntos enel plano cartesiano. Estos funcionamien-tos debaten con formas establecidascomo la presencia o ausencia de retícu-las, de los ejes cartesianos y las esca-las. Así, los momentos proveen diferen-tes categorías de uso de las gráficas quese van desarrollando en los contenidosde los libros de texto a través de los dife-rentes niveles escolares.

LOS LIBROS DE TEXTOS DE LAPRIMARIA Y SUS CATEGORÍAS DE

USO DE GRÁFICA

Los contenidos matemáticos, de los li-bros de texto, en los diferentes gradosescolares de la primaria se organizan entorno a seis ejes, considerando los pro-cesos de aprendizaje de los alumnos,según la reforma de la SEP (SEP, 1993a):los números, sus relaciones y sus ope-raciones, medición, geometría, trata-miento de la información, procesos decambio, la predicción y el azar. Y los pro-gramas de la escuela primaria se distri-buyen en tres ciclos, cada uno compuestode dos grados escolares cuya caracte-rística es considerar temas similares du-rante los dos años escolares: 1) ciclouno: primero y segundo grado escolar;2) ciclo dos: tercero y cuarto grado esco-lar y 3) ciclo tres: quinto y sexto gradoescolar (SEP, 1994).

Cada grado escolar tiene su propósito quedetermina la propuesta del libro de texto,la cual gira en torno a algunos o todoslos ejes anteriormente mencionados. Loscontenidos de los textos se agrupan encinco bloques, compuestos por leccionesque abarcan uno o varios incisos. Talescontenidos están ligados a temáticas, lascuales son tratadas por medio de activi-dades y tareas para el alumno.

Siguiendo la secuencia de los ciclos es-colares se analizaron los libros que enun a priori surgieron interrogantes sobreel uso de las gráficas por cada ciclo: ¿aqué se le llama gráfica en cada gradoescolar?, ¿cuáles son los tipos de gráfi-cas y sus usos?, ¿cómo son los usosen los diferentes grados escolares?,¿cuándo aparece el plano cartesiano?, y¿cuándo las curvas cartesianas?

En el análisis de los textos se clasificóel uso que se le da a las gráficas según

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las clases de tareas y la función de lagráfica derivada por la clase. Sin embar-go, para distinguir la clase fue necesarioidentificar un patrón de tarea, el cual defi-ne el nombre de la categoría cuya carac-terización se valió de tres aspectos: grá-fica de la tarea alusiva, ubicación y des-cripción de las tareas, así como también,se consideró prudente indicar el númerode tareas (la frecuencia) propuestas encada uno de los libros (ver Tabla I). Cadauno de los aspectos fueron definidos dela siguiente manera: a) Categoría. Deter-mina el patrón de tarea para describir eluso de las gráficas por medio de los fun-cionamientos y formas de la gráfica encuestión; b) Gráfica de la tarea alusiva.Se muestra una imagen de la gráfica dela tarea alusiva a la categoría, para evi-

denciar la forma de la gráfica usada; c)Ubicación de la tarea. Se ubican las ta-reas alusivas para crear un marco de re-ferencia curricular que permita señalar as-pectos del desarrollo del uso de las grá-ficas; d) Descripción de la tarea. Se des-cribe el contenido de la tarea para anali-zar los significados y procedimientos deluso de las gráficas; y e) Número de ta-reas. Se especifica el número de tareaspropuestas en cada libro de texto ubica-das en las categorías para evidenciar losusos más frecuentes.

A continuación se despliegan en la Ta-bla I las distintas categorías encontradasen cada uno de los libros de texto de ma-temáticas.

Categoría

Función: Repro-ducción de fi-guras.

Forma: Patrón detareas en la cualse reproducen fi-guras en retícu-las cuadricula-das, triangulareso punteadas,con ausencia opresencia deejes de referen-cia.

(Ciclo 1: 1º, 2º;Ciclo 2: 3º, 4º; yCiclo 3: 6º )

Curricularmente pertenecen aleje de Geometría y se encuentranen el libro:

1. Del primer grado en la quintaparte (pág. 156).

2. Ídem 1.

3. Del tercer grado en la terceraparte (pp.124-125).

4. Del cuarto grado en la parteuno (pp. 36-37).

5. Del sexto grado en la parte uno(pp. 38-39).

Gráfica de la Tarea Ubicación de la Tarea Descripción de la Tarea# de

Tareas

Ocho

Cuatro

Cinco

Tres

Dos

Se le solicita al estudiante:

1. Reproducir cierta figura formada en sumayor parte por líneas rectas en una retículapunteada.

2. Reproducir mosaicos poligonales en unaretícula triangular.

3. Reproducir ciertas figuras formadas porlíneas rectas en una retícula cuadriculada,dividida por un eje vertical y con el eje endistintas posiciones.

4. Reproducir ciertas figuras formadas pormosaicos en una retícula cuadriculada divi-dida por dos y un eje.

5. Reproducir ciertas figuras triangulares ycuadradas en retículas cuadradas con res-pecto a ejes de simetría.

MSU

Tabla I. Categoría de usos de las gráficas (momentos: síntoma de uso (MSU) y uso (MU))

1. ‘‘El camello’’

2. ‘‘¿De que color es el rom- boide?’’

3. ‘‘¿Figuras en el espejo?’’

4. ‘‘Artesanías’’

5. ‘‘Las figuras en el plano’’

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Tabla I (Continuación): Categoría de usos de las gráficas (momentos: síntoma de uso(MSU) y uso (MU))

Categoría

Función: Reproduccióny comparación de Tra-yectorias.

Forma: Patrón de tareasen la cual se plasman,producen o comparan trayectorias en retículas cuadriculadas.

(Ciclo 1: 1º, 2º)

Curricularmente pertene-cen al eje Medición y Geo-metría y se encuentran enel libro:

1. Del primer grado en la parte dos (pág. 29).

2. El libro de texto del se-gundo grado en el blo-que tres (pág. 92).

Gráfica de la Tarea

MSU

1. “Beto camina sobre una cuadricula”

Ubicación de la Tarea


1. Comparar ciertas tra-yectorias compuestasde indicadores (en estecaso huellas) plasmadasen una retícula cuadricu-lada, y se solicita la re-producción de las trayec-torias en una retículaigual a la anterior.

2. 1

Ídem

Descripción de la Tarea # deTareas

Dos

Dos

Función: Ubicación y desplazamiento.

Forma: Patrón de tareasen la cual

se realizan ubicaciones y desplaza-mientos en planos, ma-pas o planos cartesia-nos (con la presenciao ausencia de retículas) de móviles y puntos.

(Ciclo 1: 2º; Ciclo 2: 3º, 4º; y Ciclo 3: 5º, 6º )

1. “La escuela de David”

Una

2. “El Pueblo donde vive Luís”

2. De tercer grado en el bloque uno (pág. 8).

1. Del segundo grado en la parte tres (pág. 76).

2. 1 Ídem

3. “La ciudad de los tesoros”

5. Ubicar puntos plasmados en retículas cuadra-das con dos ejes repre-sentando los cuatro cua-drantes del plano carte-siano

3. De cuarto grado en la parte cinco (pp.184-185).

4. De quinto grado en la parte uno (pp. 22-23).

5. Del sexto grado en laparte uno (pp.38-39).

4. “A dónde llega David”

5. “Las figuras en el plano”

1. Describir el mapa quese le presenta, se le pi-de ubicar después de ciertos desplazamientos móviles de acuerdo alos puntos cardinales y describir cierta trayec-toria.

4. Ubicar y describir des-plazamientos de ciertosmóviles y puntos, plas-mados en un plano car-tesiano con retícula cua-driculada. Se hace refe-rencia a los cuatro cua-drantes

3. Marcar la ubicación de puntos dadas suscoordenadas y dadoslos puntos obtener lascoordenadas, unirloscon segmentos de rec-ta y describir que forma esta unión.

Dos

Cuatro

Cuatro

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Categoría

Función: Análisis de información

Forma: Patrón de tareasen la cual

se recopilan, organizan, comparan e interpretan datos e in-formación, en tablas, pictogramas, histogra-mas, y gráficas de ba-rras, poligonales y de sectores.

(Ciclo 1: 1º, 2º; Ciclo 2: 3º, 4º; y Ciclo 3: 5º, 6º )


MSU; MU

1.“¿Qué compramos en la cooperativa?”

Ubicación de la Tarea Descripción de la Tarea # de Tareas

Dos

Dos

2. “La votación” 2. De segundo grado en el bloque cinco (pp. 164-165).

1. De primer grado en el bloque tres (pág. 84).

Se presentan:

5. Datos de una situaciónpara ser recreada con los compañeros del salón, demanera que comparen lasdos situaciones, para cues-tionarles al respecto. Se so-licita vaciar los datos enuna gráfica de barras.

Curricularmente pertene-cen al eje de Tratamientode la información y se en-cuentran en el libro:

3. De tercer grado en el bloque cinco (pp. 182-183).

4. De cuarto grado en el bloque dos (pp. 70-71).

5. Del quinto grado en elbloque dos (pp. 64-65).

4. “Naciones poco pobladas”

5. “¿Qué tan altos somos?”

1. Una tabla y gráfica de barras (con datos) dondese hacen cuestionamientosal respecto. Se pide vaciarlos datos anteriores en una gráfica con indicado-res (compuesta de muñe-quitos) para que interprete cierta información de ellas.

4. Ídem 2.

3. Ídem 2.3. “En gustos se rompengéneros”

6. “En busca de la información”

6. De sexto grado en el bloque cuatro (pp. 150-151).

6. Datos en una gráfica de barras incompleta, deuna situación, para cues-tionar al respecto. Se pre-senta una tabla cuestio-nando detalles de la mis-ma y se pide realizar una gráfica de barras para compararla con la anterior-mente presentada.

Cuatro

Cuatro

Cuatro

Dos

2. Datos cuantitativos, enuna gráfica de barras (con indicadores en estecaso dibujos de animales) para interpretar cierta información. Se le solicita recrear la situación con compañeros de salónde clase

, -

- -

.


A continuación se explica el contenidode la Tabla I por cada uno de los ciclos.

Ciclo uno. Los textos analizados en elprimer ciclo comprenden los grados es-colares primero y segundo. La organiza-ción de sus contenidos gira entorno alos cuatro primeros ejes descritos ante-riormente. En este primer ciclo el uso delas gráficas se manifiestan únicamentepor el primer momento, el síntoma deluso de la gráfica de la función, ya que elconcepto de ‘‘gráfica de una función’’ noestá descrito curricularmente. Sin em-bargo el momento se hace evidente amodo de síntoma en tareas donde lasgráficas tienen funcionamientos distintosque definen las categorías de usos comoson la reproducción y comparación detrayectorias de cierto móvil con un esta-do inicial y final de manera puntual, la

reproducción de figuras con un estadoinicial y final de cada una de sus partes,el análisis de información a partir de cier-tos datos cualitativos y la ubicación ydesplazamiento de ciertos puntos y mó-viles. Las formas de las gráficas estable-cidas por la clase de tareas son retículas(punteadas, cuadriculadas o triangulares),tablas, registros o cuadros con gráfica debarras con retícula rectangular y conciertos indicadores (dibujos de animales,alimentos, objetos), así como tambiénilustraciones de mapas. Las gráficas re-ferentes a la categoría reproducción defiguras son más frecuentes (en número)en todo el contenido de los dos libros detexto, utilizando retículas diversas: cua-driculadas, triangulares y punteadas.

Ciclo dos. Los textos analizados del se-gundo ciclo comprenden los grados es-


Categoría

Función: Distribuciónde puntos.

Forma: Patrón de tareas que usan y comparan tablas y gráficas conti-guas, de puntos quese distribuyen y varíande cierta manera.

( )Ciclo 3: 5º, 6º

Curricularmente pertene-cen al eje de Procesos de cambio y se encuentran enel libro:

1. Del primer quinto en el blo que cinco (pp. 166-167).


MU

1. “¿Proporcional o no Proporcional?”

Ubicación de la Tarea Descripción de la Tarea # detareas

Dos

Cinco


1. Indicar cual de las tres gráficas dadas, corresponde a situaciones

Se pide elaborar gráficas contiguas con respecto a dos tablas encuadrículas y se hacen

de las situaciones de proporcionalidad directa que corresponden a una recta que pasa por el cero.

- proporcio-

nales.

cuestionamientos -

-

2. De sexto grado en el bloque cuatro (pp. 154-155).

2. Ídem 1.2. “Gráficas queengañan”

Relime22

colares tercero y cuarto. La organizaciónde sus contenidos gira entorno a los cua-tro primeros ejes descritos anteriormen-te, sin embargo en el cuarto grado se in-troducen actividades correspondientes aleje de Procesos de cambios. Los usosde las gráficas en los cincos bloques deestos dos libros manifiestan la presenciade los dos momentos: el síntoma del usode la gráfica de la función y el uso de lagráfica de la función. El primero caracte-rizado por la clase de tareas que conllevala forma de las gráficas en retículas, conejes de referencia, ilustraciones de ma-pas o planos con los puntos cardinales y,registros como tablas, cuadros o gráficascon indicadores (en este caso dibujos alu-sivos a los datos), cuyos funcionamien-tos gráficos consisten en la reproducciónde figuras, la ubicación y desplazamientoy el análisis de información. El segundomomento es caracterizado por las gráfi-cas que posteriormente, en el currículoescolar de la educación secundaria, co-rresponderán al concepto de gráfica deuna función. La clase de tareas conlleva-ron la forma de la gráfica en tablas, picto-gramas o gráficas de barras con escalaso datos cualitativos en los ejes de refe-rencia y planos cartesianos con cuadrí-culas y escalas en los ejes de referenciaprivilegiando el primer cuadrante cuyosfuncionamientos gráficos consistieron enel análisis de información a partir delregistro de ciertos datos cualitativos ycuantitativos, la ubicación y desplaza-miento de puntos y móviles por medio declaves (coordenadas). La frecuencia de losusos de las gráficas no tiene diferenciassignificativas como lo fue en el ciclo ante-rior. De alguna manera podríamos decirque en este ciclo hay una tendencia aequilibrar los usos.

Ciclo tres. Los textos analizados en eltercer ciclo comprenden los grados esco-lares quinto y sexto. La organización de

sus contenidos gira entorno a los seisejes descritos anteriormente. Los usosde las gráficas fueron manifestados porlos dos momentos: el síntoma del usode la gráfica de la función y el del uso dela gráfica de la función. El primero carac-terizado por la clase de tareas que con-llevan la forma de la gráfica en retículascuadriculadas con ejes de referencia eilustraciones de mapas o planos con lospuntos cardinales, cuyos funcionamien-tos gráficos consistieron en la reproduc-ción de figuras y, la ubicación y despla-zamiento. El segundo momento escaracterizado por la clase de tareas queconllevan la forma de la gráfica en tablas,pictogramas, gráficas de barras, gráficaspoligonales y de sectores con escalasen los ejes de referencia, planos coorde-nados con cuadriculas y ejes de referen-cia mostrando los cuatro cuadrantes, asícomo curvas contiguas en planos coor-denados con escalas en los ejes de refe-rencia sin cuadrículas, cuyos funciona-mientos gráficos consisten en el análisisde información a partir de tablas de fre-cuencia, la ubicación y desplazamientode puntos y móviles a partir de coordena-das y la distribución de puntos enfocadoen la variación (proporcional y no pro-porcional) de dichos puntos. En esteciclo las gráficas referentes a la catego-ría reproducción de figuras son las me-nos frecuentes (en número) en todo elcontenido de los dos libros. Sin embar-go, el uso de gráficas referentes a lascategorías análisis de información, ubi-cación y desplazamiento y distribuciónde puntos presentan cierto equilibrio conrelación a su frecuencia.

Resumiendo. En la Tabla I se mues-tran las categorías de uso de lasgráficas en los libros de texto, consi-derando sus dos momentos: síntomadel uso de la gráfica de la función y usode la gráfica de la función. Para ganar


precisión, en términos genéricos des-cribimos a las categorías y sucinta-mente las presentamos en el Esque-ma I:

a) Reproducción y comparación detrayectorias: patrón de tareas queusan gráficas en las cuales se plas-man, reproducen o comparan trayec-torias en retículas cuadriculadas;

b) Análisis de información: patrónde tareas en la cual se recopilan, or-ganizan, comparan e interpretan,datos e información, usando tablas,pictogramas, histogramas, y gráficasde barras, poligonales y de sectores;

c) Reproducción de figuras: patrónde tareas en la cual se reproducenfiguras en retículas cuadriculadas,triangulares o punteadas con ausen-cia o presencia de ejes de referencia;

d) Ubicación y desplazamiento: pa-trón de tareas en la cual se realizanubicaciones y desplazamientos enplanos, mapas o planos cartesianosde móviles y puntos, y;

e) Distribución de puntos: patrón detareas en la cual se usan y comparantablas y gráficas contiguas, de pun-tos que se distribuyen y varían de cier-ta manera.

LOS LIBROS DE TEXTO DE CIEN-CIAS NATURALES DE LA PRIMA-RIA Y SUS CATEGORÍAS DE USO

DE GRÁFICA

Se analizaron los contenidos de los li-bros de texto gratuitos de ciencias na-turales del grado tercero al sexto y loslibros integrados correspondientes al

grado primero y segundo, todos ellos dela educación primaria y fueron distribui-dos por la SEP en el ciclo escolar 2003-2004. Las ciencias naturales se integraen los dos primeros grados de primaria,según el plan de estudios vigentes de laSEP (SEP, 1993a). Esto a través de laasignatura denominada Conocimientodel Medio, la cual trata aprendizajes de

Esquema I. Marco de referencia del uso de las gráficas en los libros de matemáticas para la educación primaria

El uso de las gráficas Nivel primaria en matemáticas

Momento del síntoma del uso de la gráfica

de la función

Reproducción y comparación de trayectorias

Reproducción de figuras Ubicación y desplazamiento Análisis de información

Análisis de información Distribución de puntos

Momento del uso de la gráfica de

la función

Relime24

nociones de historia, geografía y educa-ción cívica, cuyo elemento articulador esel conocimiento del medio natural y so-cial que rodea al niño. Mientras que a partirdel tercer grado los alumnos estudianciencias naturales como asignatura inde-pendiente y continúan con el estudio delos contenidos correspondientes decada grado, los cuales se han organiza-do en cinco ejes temáticos: los seres vi-vos; el cuerpo humano y la salud; elambiente y su protección; materia, ener-gía y cambio; y ciencia, tecnología y so-ciedad.

La enseñanza de las ciencias naturalesestá vinculada con otras asignaturas delplan de estudios, como es el caso de

la matemática, en donde la lectura, laelaboración y el análisis de tablas y grá-ficas, el uso de unidades de longitud, pesoy capacidad son indispensables en el tra-tamiento de algunos contenidos (García,et al, 1997). El contenido de los textosse agrupa de la misma manera que enlos libros de texto de matemáticas, a di-ferencia de los textos de primer y segun-do grado que contienen ocho bloques.

En el análisis de los libros el ‘‘uso de lasgráficas de las funciones’’ se clasificó deacuerdo a las clases de tareas como serealizó para los libros de matemáticas. Acontinuación se despliegan las tablas quecaracterizan las categorías encontradasen cada uno de los libros de texto.

Tabla II.1. Categorías de usos de las gráficas del libro de primer grado deciencias naturales de primaria

Categoría

Reproducción de figuras

Ídem Tabla I

Curricularmente perteneceal eje de los seres vivos y se encuentra en el librode primer grado en el blo-que tres (pág. 64).

Ubicación de la Tarea

Reproducir ciertas figurasen retículas cuadradas que se encuentran a uncostado de ellas.

Descripción de la Tarea # de Tareas

Dos

Gráfica de la Tareaalusiva

“Aprende a copiardibujos”


Ubicación y desplazamiento

Ídem Tabla I

“Caminito a la escuela” Curricularmente pertene-ce al eje del ambiente y su protección y se en-cuentra en el libro del primer grado en el bloque tres (pág. 53).

Dibujar la trayectoria queva desde un punto don-de se encuentra un niñohasta otro donde se en-cuentra la escuela, todoello en un mapa.

Una

Categoría Ubicación de la Tarea

localizar y describir latrayectoria del sol y se cuestiona sobre ubicaciones con respecto a lospuntos cardinales.

Se le solicita al estudian-te

-


Cuatro


“La salida y puesta del sol”

Ubicación y desplaza-miento

Ídem Tabla I

Curricularmente pertenece al eje del ambiente y suprotección y se encuentraen el libro del segundo grado en el bloque uno(pág. 10).

Tabla II.2. Categorías de usos de las gráficas del libro de segundo grado de ciencias naturales de primaria


En este primer ciclo la clase de tareasconllevan las formas de las gráficas encuadrículas y planos o mapas con unatendencia más de figura, cuyos funciona-mientos consisten en la reproducción defiguras, la ubicación y el desplazamien-to. El concepto de función y gráfica no

está declarado en el currículo, por ello seconsideró el momento del síntoma del usode la gráfica de la función. Se encontrómayor número de tareas que usangráficas con funcionamientos de ubicacióny desplazamiento.

En el segundo ciclo la clase de tareasconllevó formas de gráficas en barras ygráfica de puntos donde se discute la va-riación entre los puntos o valores, cuyosfuncionamientos de las gráficas fueron elanálisis de información y la distribución

de puntos. La categoría de usos manifies-ta el momento del uso de la gráfica de lafunción, donde existe un mayor númerode tareas que usan gráficas con funcio-namientos consistentes en el análisis deinformación.

Tabla II.3. Categorías de usos de las gráficas del libro de tercer gradode ciencias naturales de primaria

Tabla II.4. Categorías de usos de las gráficas del libro de cuarto grado de ciencias naturales de primaria

Categoría Ubicación de la Tarea

Se describe cierta infor-mación y se plasma enuna gráfica de barras,posteriormente se solici-ta vaciar datos en unatabla de acuerdo a lagráfica anteriormente dada.


Una


“¿Cuáles son y cómo usas tus recursos?” Análisis de información

Ídem Tabla I

Curricularmente pertene-ce a dos ejes, el ambientey su protección y ciencia,tecnología y sociedad. Se encuentra en el libro del tercer grado en la lección 8,(pág.10).

Categoría

Análisis de información

Ídem Tabla I

Curricularmente pertenece a

e encuentr en el libro del

dos ejes, el ambien-te y su protección y materia,energía y cambio. S -

a Cuarto grado en la Lección26 (pp.120-123).

-

Ubicación de la Tarea Descripción de la Tarea # deTareas

Cinco

Gráfica de laTareaalusiva

“¿De dónde obtenemoslas materias primas?” Se presenta cierta infor-

mación en gráficas debarras, para después realizar ciertos cuestiona-mientos entorno a ella.

Distribución de puntos

Ídem Tabla I

“¿Qué producimos?” Curricularmente pertenecea dos ejes, el ambientey su protección y materia,energía y cambio. Se en-cuentra en el libro del Cuarto grado en la Lec-ción 27 (pp. 124-125).

Una Se presenta cierta infor-mación; en el desarrollo de ésta, se muestra par-te de dicha informaciónen una gráfica de pun-tos sobre un plano raya-do que muestran varia-ción creciente.

Relime26

En el tercer ciclo las clases de tareasconllevaron formas de las gráficas enbarras con datos cuantitativos y gráficascontiguas para discutir la variación en-tre puntos, cuyos funcionamientos degráficas consisten en el análisis de infor-mación y la distribución de puntos.Las categorías manifiestan el momentodel uso de la gráfica de la función,encontrando un mayor número de ta-reas que usan gráficas con funciona-mientos consistentes en el análisis deinformación.

En las Tablas de II.1 a II.6, en forma su-cinta, se exhiben las categorías de usode la gráfica considerando sus momen-tos respectivos. Con respecto a los mo-mentos el uso de las gráficas en loslibros mencionados se exhibe en el Es-quema II. De alguna manera los usos sonsimilares salvo las tendencias de hacerfiguras y la ausencia de la categoría‘‘reproducción y comparación de tra-yectorias’’. Todo ello puede deberse ala integración de programas de la edu-cación básica, lo cual ayuda a normar el

Categoría Ubicación de la Tarea Descripción de la Tarea # de Tareas

Cinco


“¿Las fuentes de energía” Análisis de información

Ídem Tabla I

Curricularmente pertenece al eje de materia, energíay cambio. Se encuentra en el libro Quinto grado enla Lección 25 (pp. 120-123).

Se presenta informacióny cierta parte de ella se presenta en gráficas debarras para después va-ciar los datos en unatabla.

Categoría

Análisis de información

Ídem Tabla I

Curricularmente perteneceal

e encuentraen el libro de Sexto grado en la Lección 10 (pp. 68-73).

eje el ambiente y su protección. S

-

Ubicación de la Tarea Descripción de la Tarea # de Tareas

Once


“La población humanacrece”


Ídem Tabla I

“La sociedad del futuro” Curricularmente perteneceal eje, el ambiente y su protección y se encuentraen el libro de Sexto grado en la Lección 16 (pp.100-103).

Una

Se presenta cierta infor-mación en gráficas de barras, para después cuestionar con respecto a cada una de ellas.

Se presenta informacióny parte de ella se presen-ta en gráficas, haciendoposteriormente referenciade la variación en ellas.

Tabla II.5. Categorías de usos de las gráficas del libro de quinto gradode ciencias naturales de primaria

Tabla II.6. Categorías de usos de las gráficas del libro de sexto gradode ciencias naturales de primaria


El uso de las gráficas Nivel primaria de ciencias naturales

Reproducción de figuras Análisis de información Ubicación y desplazamiento

Análisis de información Distribución de puntos

Momento del síntoma del uso de la gráfica

de la función

Momento del uso de la gráfica de la

función

discurso matemático escolar, situación quees diferente en educación superior.

La similitud de las categorías a través delos dos momentos (síntoma del uso de lagráfica de la función y el del uso dela gráfica de la función) en los dos domi-nios (matemáticas y ciencias naturales)pudiera formular un marco de referenciasobre el desarrollo del uso de las gráficasde las funciones en el discurso matemáti-co escolar, en la educación primaria. Deesta manera los usos de las gráficas semanifestarían por medio de las categoríasde reproducción y comparación de traye-ctorias, de reproducción de figuras, deubicación y de desplazamiento, del análi-sis de información y de la distribución depuntos. Si esto fuera así, querrá decir quelos estudiantes con ese marco de refe-rencia resignificarán las gráficas de lasfunciones más adelante en el sistemaeducativo.

El análisis de los libros de texto de nivelsecundaria clasificó el uso de las gráficasen los momentos que se presentaron enla educación primaria. Sin embargo, apa-reció un tercer momento, que decidimosllamarle ‘‘momento del uso de la curva’’,

con tres direcciones (comportamientos decantidades discretas, comportamientosgeométricos y comportamientos de can-tidades continuas). Tal momento es eldistintivo de la educación secundaria conel de la primaria, pero no quiere decir quehaya ausencia de los momentos primeroy segundo caracterizados anteriormenteen la educación primaria, aunque sí sepercibieron sólo algunas categorías delsegundo momento.

A continuación describimos los momen-tos significativos del desarrollo del uso delas gráficas en los libros de texto de laeducación secundaria.

LOS LIBROS DE TEXTO DEMATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN

SECUNDARIA

Se analizaron los contenidos de libros detexto del nivel básico para la educaciónsecundaria en los grados primero, segun-do y tercero. Las tres series analizadasestán compuestas, a su vez, de tresejemplares que corresponden a cada uno

Esquema II. Marco de referencia del uso de las gráficas en los libos integrados y de las cienciasnaturales para la educación primaria

Relime28

de los grados escolares. Estas series fue-ron creadas de acuerdo a los lineamien-tos expuestos en el plan y programas deestudios autorizados por la SEP y corres-ponden al ciclo escolar 2003-2004. Todoello como resultado de un prolongado pro-ceso de consulta, diagnóstico y elabora-ción iniciado en 1989, en el cual fueronincluidos de manera conjunta los nivelesde educación preescolar, primaria y se-cundaria. Así, el nuevo plan de estudiosse convirtió en un instrumento para orga-nizar el trabajo escolar y lograr el avancecualitativo. Para que sus propósitos secumplieran se integró a un proceso ge-neral de mejoramiento donde los alum-nos aprendan a utilizar la matemática pararesolver problemas, no solamente los queresuelven en la escuela, sino tambiénaquellos cuyo descubrimiento y soluciónrequieren de la curiosidad y la imagina-ción creativa. En ese sentido, la ense-ñanza de las matemáticas en la escuelasecundaria tiene como propósito generalel desarrollo de las habilidades operato-rias, comunicativas y de descubrimientode los alumnos. Para ello la organizaciónde los temas del programa están agrupa-dos en cinco áreas para los tres gradosescolares: aritmética, álgebra, geometría(en el tercer grado se agrega trigonome-tría, presentación y tratamiento de la in-formación y nociones de probabilidad).

Los libros de texto utilizados en lasescuelas secundarias del país son losautorizados por la SEP, los cuales fuerondictaminados en los lineamientos para laevaluación de libros de texto el 18 de di-ciembre de 1997. Del conjunto de librosautorizados, el maestro puede elegir contoda libertad el que mejor responda a lasnecesidades educativas de sus alumnos,según el grado y asignatura correspon-diente (SEP, 2004). En nuestro caso, losejemplares analizados forman parte delPrograma de Distribución de Libros de

Texto de Educación Secundaria de laSEP. La estructura de sus contenidos decada uno de los tres grados varían entreellos: a) el libro Matemáticas 1, 2 y 3tiene una estructura conformada de uni-dades, cada una dividida en temas, loscuales a su vez presentan una serie delecciones relacionadas entre si, que ofre-cen cierto desarrollo teórico y una seriede ejercicios. Al final de cada unidad sepresenta una sección de ejercicio deunidad, una recopilación de ideas princi-pales y finalmente una sección de recrea-ción matemática; b) el libro Matemáticasen contexto 1, 2 y 3 tiene su estructuraorganizada en unidades, cada una dividi-da en lecciones, las cuales cubren uncontenido principal y uno o más conteni-dos relacionados. Dichas lecciones cons-tan de las siguientes partes. Situaciónproblema, estrategia de solución, forma-lización y aplicación. Al final de cada uni-dad se presenta una sección de ejer-cicios semejantes a los tratados en laslecciones, lectura complementaria y final-mente una sección de pistas; y c) el libroDescubre y aprende Matemáticas 1, 2 y3, igual que los anteriores tiene una es-tructura organizada en unidades, cadauna dividida en lecciones, las cuales co-mienzan planteando un problema, un jue-go, o la teoría directamente, al final delas lecciones se propone una serie deejercicios. Al término de cada unidad sesugieren actividades relacionadas contodas las lecciones.

MOMENTO DEL USO DE LA GRÁFICADE LA FUNCIÓN EN LA SECUNDARIA

El momento del uso de la gráfica de lafunción se presenta también en los librosde texto de secundaria a través de cla-ses de tareas que conllevan formas degráficas en tablas, pictogramas, gráficas


de barras, gráficas poligonales y de sec-tores o de pastel e histogramas conescalas en los ejes de referencia con fun-cionamientos para analizar datos e infor-mación (ver Figura 3.i), así como puntosen planos cartesianos con funcionamien-tos para establecer sus coordenadas (verFigura 3.j) y finalmente gráficas con cur-vas contiguas con funcionamientos para

analizar la distribución de puntos (verFigura 3.k). Cabe mencionar que la pala-bra gráfica (sin ser explícitamente unconcepto de función curricular), es men-cionada para hacer referencia a aquellasformas y funcionamientos expuestos an-teriormente, dicho momento se presentaen los tres grados escolares de la edu-cación secundaria.

i

j

k

Figura 3. Gráficas alusivas al momento del uso de la gráfica de la función en la secundaria.

Relime30

MOMENTO DEL USO DE LA CURVA

El ‘‘uso de las curvas’’ manifiesta el com-portamiento de las curvas de las funcio-nes (curricularmente es declarado el con-cepto de función). Todo ello sucede entres direcciones: los comportamientosde cantidades discretas, los comporta-mientos geométricos y los comporta-mientos de cantidades continuas.

a) En las discusiones del texto sobrelos comportamientos de cantidadesdiscretas los funcionamientos enfo-can la atención hacia la curva paraexplicar el comportamiento de lascantidades que arrojan los datos,censos y registros vaciados en tablasy gráficas. Observamos que el inte-rés está en discutir la variación conla estrategia de comparación, la cualasocia la acción de establecer dife-rencias entre los estados, algunos delos términos usados son el decreci-miento y crecimiento, el valor máxi-mo, mínimo y medio, otra estrategiade discusión es la estimación la cualse parte del hecho de conocer esta-dos cambiantes, sin embargo en estecaso no se busca un patrón que pu-diera seguir, si no más bien se pro-ponen nuevos estados a corto plazocomo es el análisis del crecimientode población, como lo indica Salinas(2003).

b) Con lo que respecta a las discu-siones sobre los comportamientosgeométricos los funcionamientos delas gráficas enfocan la atención ha-cia la curva para entender cómo sedan las transformaciones de funcio-nes. Las cuales consisten en obte-ner nuevas funciones a partir de unaconocida, ya sea por traslación, esti-ramiento o reflexión de las gráficas

correspondientes. Desde el contex-to algebraico la transformación es pre-sentada con la introducción de un pa-rámetro a la expresión algebraica dela función dada, lo cual se puede veren las gráficas de las funciones me-diante un desplazamiento de la gráfi-ca original en el plano cartesiano x-y,hacia arriba o hacia abajo, hacia la iz-quierda o hacia la derecha; la contrac-ción de la gráfica, el estiramiento ouna reflexión de la gráfica original,como lo indica Campos (2003).

c) Con lo que respecta a las discusio-nes sobre los comportamientos de can-tidades continuas los funcionamientosenfocan la atención hacia la curva paraexplicar el comportamiento de las can-tidades continuas que se obtienende funciones y fenómenos interpre-tados por tablas y gráficas. Observa-mos que el interés está en discutir lavariación con la estrategia de predic-ción. Estrategia asociada a la acciónde poder intuir después de analizar al-gunos estados cuales son los esta-dos posteriores. Por ejemplo dada unatabla de cantidades establecer el pa-trón que cumple la variación, como loindica Salinas (2003).

Este tercer momento con las tres direc-ciones formula funcionamientos y formasde las gráficas que describen las catego-rías de usos. En seguida describimos al-gunos aspectos al respecto.

Las formas de las gráficas con relación alos comportamientos de cantidades dis-cretas, son el resultado de una clase detareas que tienden a privilegiar el primercuadrante con ejes de referencia y esca-las con presencia o ausencia de cuadrí-culas, así como tablas, gráficas debarras, poligonales e histogramas, cuyosfuncionamientos son el análisis de infor-


mación con datos cuantitativos y cualita-tivos así como la distribución de puntos

de acuerdo a la variación de los datos yregistros (ver Figura 4).

En el caso del uso de las gráficas conrelación a los comportamientos geomé-trico, las formas de las gráficas resultande la clase de tareas con relación a dibu-jar gráficas en los planos cartesianos conuno o los cuatro cuadrantes, con esca-las en los ejes de referencia, con ausen-cia o presencia de cuadrículas, así comotablas y fórmulas asociadas a las curvas

contiguas que se obtiene de esas tablas.Sus funcionamientos consisten en la ubi-cación y desplazamiento de puntos y demóviles a partir de coordenadas y la aso-ciación curva-expresión algebraica en lacual se plasman gráficas con curvas quese asocian con una expresión algebraica(ver Figura 5 m y n).

mFigura 5. Gráficas alusivas al momento del uso de la curva que discute

comportamientos geométricos

Figura 4. Gráficas alusivas al momento del uso de la curva que discutecomportamientos de cantidades discretas

Relime32

nFigura 5 (Continuación): Gráficas alusivas al momento del uso de la curva que discute

comportamientos geométricos

En el uso de las gráficas con relación alos comportamientos de cantidades con-tinuas las formas de las gráficas resul-tan de la clase de tareas que privilegianel dibujo de gráficas en el primer cua-drante con ejes de referencia y escalascon presencia o ausencia de cuadrícu-

las, así como tablas y fórmulas asocia-das a las curvas. Sus funcionamientosconsisten en la distribución de puntos deacuerdo a la variación de los datos y laasociación curva-expresión algebraica enla cual se plasman gráficas con curvasque se asocian con una expresión alge-braica (ver Figura 6).

Figura 6. Gráficas alusivas al momento del uso de la curva que discutecomportamientos de cantidades continuas

Cada una de las categorías encontradasen el momento de uso de las curvadescriben respectivamente los funciona-mientos y formas de las gráficas. La ca-racterización de tales categorías se basaen los mismos aspectos consideradospara los textos de la primaria: patrón detareas, gráficas de la tarea alusiva, ubi-cación de la tarea y descripción de la ta-rea. Sin embargo se identificó que cadacategoría dirige la discusión de la tarea a

un aspecto específico: comportamientode cantidades discretas, comportamien-tos geométricos y comportamientos decantidades continuas. A cada uno de es-tos aspectos se les llamó ‘‘dirección dela discusión’’.

A continuación se despliega la Tabla IIIque caracterizan las categorías y la di-rección de la discusión encontradas encada uno de los libros de texto.


Tabla III. Categorías de usos de las gráficas en los libros de texto de secundaria

CategoríaUbicación de la Tarea Descripción de la TareaDirección Gráfica de la Tarea

alusiva

Distribución depuntos

Ídem Tabla I

Co m

porta

mie

nto

de c

ant id

ades

dis

cret

a s

“Mientras más jalas, más se estira” Se ofrece cierto desarrollo teó-

rico, con respecto a las repre-sentaciones gráficas de canti-dades obtenidas en registrosy encuestas. De manera quecomparan la distribución de losdatos en dos gráficas elabora-das de maneras distintas, inter-pretando por tal motivo diferen-tes comportamientos.

Co m

porta

mie

nto

de c

ant id

ades

con

tinu a

s


Función. Asociación

Ídem Tabla I

Forma: patrón de tareasen la cual se plasman gráficas con curvas quese asocian con una ex-presión algebraica.

curva - expresión algebraica

“funciones de la forma ”xy k = Curricularmente pertenece

al área temática de Presen-tación y tratamiento de la in-formación.

Y se encuentra en el librode texto, Matemáticas 2 delsegundo grado en la uni-dad 6 (pág. 200).

Se ofrece cierto desarrollo teórico, con respecto a los datos continuos obtenidos en situaciones cuya función es de la forma . Se muestra doscasos distintos, se vacían los datos que se obtienen de estosen tablas para después graficarlos puntos y unirlos con curvascontiguas, mostrando en amboscasos un comportamiento similar de las curvas obtenidas.

-

-

-

xy=k

Com

por ta

mie

nto

geo

mét

rico

Ubicación y desplaza-miento.

Asociación curva-expresión algebraica.

Ídem tabla I

“Las líneas rectas y las funciones II” Se ofrece cierto desarrollo teó

rico, con respecto a las líneasrectas y sus expresiones algebraicas. Advierte las formas deciertas rectas al variar con al-gunos valores las constantes y en las ecuaciones de laforma, obteniendo de esa manera familias de rectas.

-

-

m by = mx, y = mx + b, - -

Curricularmente perteneceal área temática de Álge-bra. La lección 4 que for-ma parte de la unidad 5,se encuentra en el libro detexto, Descubre y aprendematemáticas del tercer gra-do (pp. 113-115).

Curricularmente perteneceal área temática de Presen-tación y tratamiento de la in-formación.

El inciso de la sección de lec-tura complementaria, forma parte de la lección 41 y se encuentra en el libro de tex-to, Matemáticas en contextodel primer grado (pág. 227)

Relime34

A MANERA DE CONCLUSIÓN

Las categorías de uso de las gráficas dis-cutidas anteriormente proporcionan unmarco de referencia para responder a lasinterrogantes que surgieron en el trans-curso de nuestra investigación en tornoal uso de las gráficas en los ciclos de laeducación primaria y secundaria. Con ellose entendió a lo que se le llama gráficaen los diferentes grados escolares delnivel básico, los tipos de gráficas y sususos, los usos en los distintos gradosescolares, la aparición del plano carte-siano y de las curvas cartesianas, res-pectivamente en el dme de los libros detexto.

Es importante destacar que los datosplasmados en las tablas anteriores danevidencia de la relación estrecha entre lascategorías resignificación y justificaciónfuncional. De alguna manera esta últimaproveyó el hecho de que las gráficas, deacuerdo a las tareas, aparecen desde elprimer año de primaria (momento del sín-toma de uso de la gráfica de la función)sin ser un concepto en el currículo. Pos-teriormente aparece en los libros y en elcurrículo la palabra gráfica sin aludirlo alconcepto de función. Y no es sino hastala educación secundaria que explícita-mente aparece en el currículo y en loslibros el concepto de función, el cual sele describe y ejemplifica con gráficas car-tesianas para responder a los comporta-mientos de las curvas. Este hecho esrelevante porque está señalando que enla ‘‘génesis’’ del uso de las gráficas de

las ‘‘funciones’’, en el dme de los librosde texto del nivel básico, se anticipa la‘‘gráfica’’ al concepto mismo de ‘‘función’’,pero la alternancia de las tareas resigni-fican los usos de las gráficas hasta de-sarrollar explícitamente el uso de las grá-ficas cartesianas .

La naturaleza de estos datos da la pautapara continuar con investigaciones quecomprendan a la graficación como unapráctica social en su proceso institucio-nal, en este caso educativo.

Desde la educación primaria hasta lasecundaria hay un desarrollo del uso delas gráficas, donde las gráficas (y en sumomento el concepto de función) debe-rán resignificarse puesto que los funcio-namientos y las formas de las gráficasdebaten para reorganizar nuevos funcio-namientos y formas de las gráficas. Deahí la importancia de las categorías for-muladas para cada grado escolar. Sinembargo, para formular, en futuras inves-tigaciones, el estatus del uso de las grá-ficas en los libros será conveniente valer-se de los tres momentos: el uso delsíntoma de la gráfica de la función, eluso de la gráfica de la función y el usode la curva. Habrá que hacer estudio deello, pero se tendrá que considerar quela resignificación es normada por lo insti-tucional donde las prácticas (sociales),en algún aspecto, se manifestarán en eldiscurso matemático escolar en expre-siones como los libros escolares. Estainvestigación provee información sistemá-tica al respecto y en una forma sucintase expresa en el siguiente esquema (verEsquema III).


Esquema III. Marco de referencia del uso de las gráficas en los libros de texto del nivel básico

El contenido del Esquema III integra as-pectos que pudieran señalar el desarro-llo del uso de las gráficas en el dme en lavisión socioepistemológica. Estos aspec-tos se refieren a (a) lo que norma la insti-tución, y (b) las comprensiones segúnsus prácticas y sus instituciones.

A continuación desarrollamos las conclu-siones de acuerdo a los aspectos seña-lados.

(a) El rol del libro de texto en el dmenos provee ciertos indicadores sobrelo que norma la institución. Esto es,los nuevos significados que arrojael hecho de haber encontrado los tresmomentos (el uso del síntoma de lagráfica de la función, el uso de la grá-fica de la función y el uso de lacurva.) consisten en cuestionar lacentración de los conceptos matemá-ticos, como la única fuente para re-construir el conocimiento matemáti-co y abre otro camino más amplio,donde las prácticas sociales son loselementos medulares para tal recons-trucción del conocimiento matemáti-co. Esto conlleva cuestionar ¿por qué

lo matemático es referido a objetos yno ‘‘aquello’’ que norman la construc-ción de los objetos matemáticos? Enese sentido hemos querido llamar laatención en la resignificación que ma-nifiesta el uso del conocimiento enuna situación especifica, donde el usoes desarrollado a través de justifica-ciones funcionales orgánicas de la si-tuación, según la alternancia de lastareas.

(b) Como lo dijimos con anterioridaden esta investigación consideramos,a las gráficas de las funciones comoargumentaciones del Calculus, lascuales serían el resultado de ciertasprácticas sociales que han generadoel conocimiento del Calculus. Con ello,en el estudio del uso de las gráficasen el dme, quisimos ver las compre-siones de las gráficas según las prác-ticas y las instituciones que entran enjuego. Por eso los tres momentos ylas categorías de uso de las gráficasconllevan la articulación de las cate-gorías, anteriormente mencionadas,resignificación y justificación funcional.Lo que destaca las características de

El uso de las gráficas en el Nivel básico

Momento del síntoma del uso

de la gráfica de la función

Comportamiento geométrico

Comportamiento de cantidades

discretas

Comportamiento de cantidades

continuas

Momento del uso de la gráfica de la

función

Momento del uso de la curva

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las tareas donde la graficación puedallevar a cabo múltiples realizaciones yhacer ajustes en su estructura paraproducir un patrón o generalizacióndeseable, crearle un medio que sopor-ta el desarrollo del razonamiento y dela argumentación, entendiéndolacomo prácticas gráficas, retóricas yargumentativas, en diversas situacio-nes donde son resignificadas al deba-tir entre el funcionamiento y la formade la graficación misma.

De esta manera el estatus epistemológi-co del uso de la gráfica lo ubica como unproducto material continuo, es decir, ins-titucional en el sentido que lo estableceDurkheim (1982), como ya hemos seña-lado. La argumentación gráfica en las di-versas situaciones de uso, tanto en loslibros de texto como en los trabajos ante-cedentes de nuestra investigación men-cionados, es un indicativo que pudiera per-mitir el continuo. Para que el continuo nose destruya se requiere lograr un estatuscultural de la argumentación gráfica. Deaquí la conveniencia de pensar a la grafi-cación como una práctica social tarea quetendríamos que saber desarrollar en elsistema educativo. Para ello, se requiere

ir integrando en secuencia didáctica talestatus epistemológico del uso de las grá-ficas centrando la atención en los momen-tos donde se pondrán en juego los funcio-namientos y formas para mirar las distintasresignificaciones institucionales en lasargumentaciones de los alumnos que sesometan a la situación.

En términos generales la investigación nosbrinda los referentes para comprender quela graficación como una argumentacióndel Cálculo exige reflexionar sobre lasepistemologías que hasta ahora se hantratado en la Matemática Educativa, lasque responden a conceptos matemáticos.No obstante, ‘‘graficación’’ propiamente noes un concepto, sino una práctica o usoante una situación de construcción, deahí el interés por abrir un espectro haciaotras epistemologías.

El marco de referencia (o los indicadorespara tal fin) del uso de las gráficas es lacontribución del trabajo de investigaciónque trata este artículo, el que integrare-mos en futuras investigaciones, hacia laresignificación de la gráfica, lo que contri-buye al rediseño del discurso de la mate-mática escolar.

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Francisco Cordero Osorio DME-Cinvestav-IPN México, D.F.

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Rebeca Berenice Flores Estrella Centro de Formación Básica y Sensibilización Artística México

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