Elect._11

8/7/2019 Elect._11

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Mg. Amancio R. Rojas Flores

TEOREMAS DE

REDES EN C.A

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TEOREMA DE

SUPERPOSICION

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El voltaje a través (o corriente a través) un elemento es determinado

sumando el voltaje o corriente de cada fuente independiente

respectivamente

El teorema de superposición enuncia lo siguiente:

Ejemplo1. Determine la corriente I usando el teorema de superposición:

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Solución

Con respecto ala fuente de voltaje 5 V ∠0° : eliminando la fuente de

corriente obtenemos el circuito mostrado en la figura

La fuente de corriente

es remplazada con uncircuito abierto


es remplazada con uncircuito abiertoAplicando la ley

de ohm tenemos

°∠= 11.13221.1)1(

AI

Con respecto a la fuente de corriente 2 A∠0° : eliminando la fuente devoltaje obtenemos el circuito mostrado en la figura

La fuente de voltaje es

remplazada con un

corto circuito


remplazada con un

corto circuito

La corriente I(2) respectivaes determinada aplicandola regla del divisor decorriente

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°∠= 57.26789.1)2( AI

La corriente total es determinada como la suma de las corrientes I(1) y I(2) :

°∠= 57.2691.2 AI

Ejemplo2. Considere el circuito de la figura:

Encontrar lo siguiente:

a) VR y VC usando el teorema de superposición

b) Potencia disipada por el circuito

c) Potencia entregada por cada fuente al circuito

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Solución

a. ) El teorema de superposición puede ser enunciado como sigue:

Con respecto a la fuente de corriente: eliminando la fuente de voltajeobtenemos el circuito mostrado en la figura

La impedancia “vista” por la fuente de corriente será

la combinación paralela de R//ZC:

El voltaje VR(1) es lo mismo que el voltaje a través delcapacitor, VC(1) por lo tanto:

°−∠= 13.5324)1( V V R

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Con respecto a la fuente de voltaje: Eliminando la fuente de corrienteobtenemos el circuito mostrado en la figura

El voltaje VR(2) VC(2) son determinados por laregla del divisor de voltaje:

°+∠= 87.3616)2( V V Ry

°∠= 87.12612)2( V V C Por aplicación de superposición, tenemos

°−∠= 44.1984.28 V V Ry

°−∠= 13.5312V V C

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b) Solamente el resistor puede disipar potencia, la potencia total disipada por elcircuito es hallada como:

c) La Potencia entregada al circuito por la fuente de corriente es:

Donde V1

= VC

=12V∠-53.13° es el voltaje a través de la fuente de corriente y θ1es el ángulo de fase entre V1 y I

La Potencia entregada al circuito por la fuente de voltaje es similarmente

entregada como:

Donde I2 es la corriente a través de la fuente de voltaje y θ2 es el ángulo defase entre E y I2

Como se espero la Potencia entregada al circuito deberá ser la suma:

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Ejemplo3. Considere el circuito de la figura:

a) Determinar la expresión general paraV en términos de I

b) Calcular V si I= 1.0 ∠0°

c) Calcular V si I= 0.3 ∠90°

Con respecto a la fuente de voltaje: Eliminando la fuente de corriente

obtenemos el circuito mostrado en la figura

Solución

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Con respecto a la fuente de corriente: eliminando la fuente de voltajeobtenemos el circuito mostrado en la figura

Por superposición, la expresión general para el voltaje es determinado por:

I V V Ω−°∠= 0.808.4

b) Si I= 1.0 ∠0° °∠= 1808.4 V V

c) Si I= 0.3 ∠90°

°−∠= 57.26367.5 V V

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TEOREMA DE

THEVENIN

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EL CIRCUITOEQUIVALENTEDE THEVENIN

Ejemplo5. Encuentre el circuito equivalente de

thevenin externo a ZL para el circuito de la figura:

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Solución

Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga

ZL y poniendo la fuente de voltaje a cero, tenemosel circuito de la figura:


remplazada con un

corto circuito


remplazada con un

corto circuito

Pasos 3: La impedancia de Thevenin entreterminales a y b es encontrado como:

Ω+Ω=°∠Ω= 16843.6389.17 jZ Th

Pasos 4: El voltaje de Thevenin es encontrado usando la regla del divisor devoltaje como se muestra en el circuito de la figura:

57.2689.17 −∠== V V E abTh

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Pasos 5: El resultante circuito equivalentede Thevenin es mostrado en la figura:

Ejemplo 6. Determine el circuito equivalente de thevenin externo a ZL en el circuito

de la figura:

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Pasos 1 : Removiendo la rama conteniendoZL , tenemos el circuito de la figura:

Pasos 2 : después de colocar las fuentesde voltaje y corriente a cero , tenemos elcircuito de la figura:


es remplazada con un

circuito abierto


es remplazada con un

circuito abierto


remplazada con un

corto circuito


remplazada con un

corto circuito

Pasos 3: La impedancia de Thevenin es encontrada como:

°−∠Ω= 43.6383.26ThZ

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Pasos 4: Porque la red dada consiste de dos fuentes independientes,consideramos los efectos individuales, aplicamos por lo tanto el teorema de

superposición. Reinsertando solamente la fuente de voltaje en el circuitooriginal como muestra en la figura, hallamos el voltaje Vab(1) aplicando la regladel divisor de voltaje.

57.4672.44)1( ∠= V V ab

Ahora, considerando solamente lafuente de corriente como se muestra

en la figura, determinamos Vab(2) por laley de ohm;

°−∠= 43.6367.53)2( V V ab

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De el teorema de superposición, el voltaje de thevenin es determinado como:

°−∠= 83.1590.56 V E Th

Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en lafigura:

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TEOREMA DE

NORTON

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EL CIRCUITO

EQUIVALENTEDE THEVENIN

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Ejemplo 7. Dado el circuito de la figura, encontrar el equivalente de Norton:

Solución

Pasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga ZL y poniendo la fuente devoltaje a cero, tenemos el circuito de la figura:

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Pasos 3: La impedancia de Norton puede ahora ser determinada porevaluación de la impedancia entre los terminales a y b por lo tanto tenemos:

Ω+Ω=°∠Ω= 16843.6389.17 jZ N

Pasos 4: Reinsertando la fuente de voltaje; encontramos la corriente de Nortoncalculando la corriente entre los terminales cortocircuitados a y b:

Porque el resistor R=40Ω

esta

cortocircuitado, la corriente es determinadapor las impedancias XL XC como:

°−∠= 9000.1 AI N Pasos 5: El resultante circuito equivalente de Thevenin es mostrado en la

figura:

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Ejemplo 8. Encontrar el circuito equivalente de Norton externo a RL en el circuito de

la figura, euse el circuito equivalente para calcular la corriente IL cuando RL = 0Ω,

400Ω

y 2k Ω:

SoluciónPasos 1 y 2: Removiendo la impedancia de carga Resistor y poniendo lasfuentes a cero, tenemos el circuito de la figura:

Pasos 3: La impedancia de Norton es

determinado como:

°+∠Ω= 4569.565N Z 22

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Pasos 4: Porque la red dada consiste de dos fuentes independientes,consideramos los efectos individuales, aplicamos por lo tanto el teorema desuperposición para evaluar la fuente de corriente de Norton.

Reinsertando la fuente de voltaje en el circuito original, vemos de la figura ,que la corriente de cortocircuito entre los terminales a y b es fácilmenteencontrado usando la ley de ohm.

Nótese que el inductor

esta cortocircuitada

Nótese que el inductor

esta cortocircuitada

°∠= 904.88)1( mAI ab

El cortocircuito de la fuente de corriente efectivamente remueve todaimpedancia como se ilustra en la figura, la corriente de cortocircuito entre losterminales a y b es dado como sigue:

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Estos componentes

están cortocircuitados

Estos componentes

están cortocircuitados

Ahora aplicando el teorema desuperposición la corriente de Norton

es determinado como la suma:

°∠= 52.1385.133 mAI N Pasos 5: La circuito resultante equivalente de Norton es mostrado en lafigura:

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Del circuito arriba, expresamos la corriente a través de la carga, IL como:

°∠= 95.15612.84 mAI L

°∠= 06.17492.30 mAI L

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TEOREMA DE MAXIMATRANSFERENCIA DE

POTENCIA

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Para alguna impedancia de carga ZL consistente de una resistencia y una

reactancia tal como ZL = RL ± jX , la potencia disipada por la carga puede

ser determinada como sigue;

LL RI P 2=

Cuando se aplica a circuitos de C.A, este teorema establece que seproporcionara la máxima potencia a una carga cuando la impedancia de lacarga es el conjugado de la impedancia de Thevenin en sus terminales

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Solución

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Solución

Expresando la impedancia de Thevenin en su forma rectangular:

En orden para entregar la máxima potencia a la carga, la impedancia decarga debe ser el complejo conjugado de la impedancia de Thevenin :

La potencia entregada a la carga es ahora fácilmente por:

Ejemplo . Para el circuito de la figura, determinar el valor de resistor de carga, RL,

para que se pueda ser entregada la máxima potencia a la carga.

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Solución

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Solución

Nótese que la impedancia de carga consiste de un resistor en serie con una

capacitancia de 0.010 μF. entonces la reactancia capacitiva es determinadapor la frecuencia, es muy probable que la máxima potencia para este circuitopueda solo ser un máxima relativa, mas bien que la máxima absoluta. Paraque la máxima potencia absoluta sea entregada a la carga , la impedancia dela carga necesita ser.

la reactancia de el capacitor a una frecuencia de 10 kHz será:

Porque la reactancia capacitiva no es igual a la reactancia inductiva de laimpedancia de Norton. El circuito no entregara la máxima potencia absolutaa la carga. Sin embargo la máxima potencia relativa será entregada a lacarga cuando:

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Ω= k RL 973.1

la figura muestra el circuito con el valor total de la impedancia :

la corriente en la carga será:

°∠= 04.41887.3 mAI L

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Ahora determinamos la potencia entregada por la carga para lascondiciones dadas como:

Si aplicamos la ecuación

Encontramos la máxima potencia absoluta

( )( ) mW k mAPL 82.29973.1887.3 =Ω=

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