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1 Lenguajes decidibles y semidecidibles Elvira Mayordomo, Universidad de Zaragoza
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1
Lenguajes
decidibles
y semidecidibles
Elvira Mayordomo, Universidad de Zaragoza
2
Programas
…•Consideramos
programas
sintácticamente
correctos
…
•El único
añadido
es
que
la memoria es ilimitada
(es decir no hay nunca errores por
“overflow”)
Luego
si
probamos
que
algo
no se puederesolver con ningún
programa
es
un resultado
muy
general …
3
Nos
interesan
especialmente
tipo tpresultado = (acepta,rechaza)
procedimiento ejemplo (ent w:cadena; sal z:tpresultado)
4
Aceptar
Aceptar
Entrada Si el programa
paray devuelve
acepta
Rechazar
Entrada
Si el programa
paray no devuelve
acepta
oSi el programa
no para
nunca
5
El lenguaje
aceptado
Para un programa p
devuelvey para
entradacon programa el:)(
acepta
wpwpL
Definición: Un lenguaje
es
semidecidible
si
es
el
aceptado
por
un programa
6
Programas
que
paran
siempre
Una programa p para
siempre
si
para cualquier
cadena
w, p con entrada
w
para
7
Lenguajes
decidibles
Definición: Un lenguaje
L es
decidible
si
es
el aceptado
por
un programa
que
para
siempre
Lw p para
y devuelve
acepta
Lw p para
y no devuelve
acepta
8
Lenguajes
decidiblesUn lenguaje
L es
decidible
si
es
el aceptado
por
un programa
que
para
siempre
En otras
palabras:Un lenguaje
L es
decidible
si
existe
un
algoritmo
que
resuelve
completamente
el problema
de pertenencia
a L
9
*aLenguajes
regulares
Lengs. indeps. del contextonnba Rww
nnn cba ww
**ba
Lenguajes
semidecidibles(aceptados
por
programas)
10
Resultado
elemental
Todo
lenguaje
decidible
es
semidecidible
Demostración.
Mirar
las
definiciones.
11
*aLenguajes
regulares
Lengs. indeps. del contextonnba Rww
nnn cba ww
**ba
Lenguajes
semidecidibles
Lenguajes
decidibles
12
??¿Hay lenguajes
no semidecidibles?
Veremos
que
sí
utilizando
la famosa
técnica de diagonalización
13
El problema
de parada
14
El problema
de parada
Dado un programa
p y una
cadena
w
¿p con entrada
w para?
15
El problema
de parada
H= { (p , w) : p es
un programa
que
para
con entrada
w}
Cada
programa
es
una
cadena, y codificamos (p,w) como
p#w
16
Simulando
máquinas
de TuringPodemos
simular
una
máquina
M con entrada
w durante
T pasos
Procedimiento
SimulaMT
(ent
M:cadena; ent w:cadena; ent
T:natural; sal
ha_parado:booleano;
sal
resultado:tpresultado)
{Simula
T pasos
de la ejecución
de M con entrada
w}{ha_parado=True cuando
ha parado
en tiempo<=T}
{resultado=acepta
si
ha parado
en estado
final}
17
Simulando
máquinas
de TuringProcedimiento
SimulaMT
(ent
M:cadena; ent
w:cadena; ent
T:natural; sal
ha_parado:booleano; sal
resultado:tpresultado)
Variables ...{Simula
T pasos
de la ejecución
de M con entrada
w}
principioha_parado:= Falsetiempo:=0entrada:= concatena(“$”,w) {seguido
de blancos}
memoria:= …
{$ seguido
de blancos}cabeza_ent:=2; cabeza_mem:=2q:=q0; a:=w(1); b:=blanco
18
Simulando
máquinas
de TuringMientrasQue
(Not ha_parado) AND (tiempo<T)
hacerSi “hay una
transición”
desde
(q,a,b)
“seguirla”
{ aplicar
transición
actualizando
q,a,by cabezas
}
tiempo:=tiempo+1sino
ha_parado:= True
FsiFmqSi esFinal(q) entonces
resultado:= acepta
sino
resultado:=rechaza; Fsifin
19
Simulando
programasPodemos
simular
un programa
p con entrada
w
durante
T pasos
(como
hacen
los intérpretes
o los debuggers)
Procedimiento
Simula
(ent
p:cadena; ent
w:cadena; ent
T:natural; sal
ha_parado:booleano;
sal
resultado:tpresultado)
{Simula
T pasos
de la ejecución
de p con entrada
w}{ha_parado=True cuando
ha parado
en tiempo<=T}
{resultado=acepta
si
ha parado
y devuelve
acepta}
20
Teorema
H es
semidecidible
H= { (p , w) : p es
un programa
que
para
con entrada
w}
21
H es
semidecidibleH= { (p , w) : p es
un programa
que
para
con entrada
w}
Procedimiento
aceptaH(ent
p:cadena; ent
w:cadena; sal
z:tpresultado)
Variable res:tpresultadoPrincipio
T:=1; ha_parado:=falseMientrasQue
NOT ha_parado
simula(p,w,T,ha_parado,res)T:=T+1
FmqSi ha_parado
entonces
z:=acepta
Fin
22
H es
semidecidible
Si (p,w)H
el programa
aceptaH
acepta
(p,w)
Si (p,w)H
el programa
aceptaH
con entrada (p,w) se cuelga
!!!
23
??¿Hay lenguajes
no semidecidibles?
Veremos
que
sí
utilizando
la famosa
técnica de diagonalización
24
Diagonalización
25
Diagonalizar
una
tablab1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
R1
0 1 1 0 0 1 0 1R2
1 1 1 0 0 1 0 0
R3
0 0 0 1 1 1 0 1R4
0 1 0 1 0 1 0 1
R5
1 1 1 0 1 1 0 0R6
1 0 1 0 1 1 0 1
R7
1 0 0 1 1 1 0 1R8
0 0 1 1 1 1 0 1
¿Cómo encontrar una fila distinta a todas?
26
Diagonalizar
una
tablab1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
R1
0 1 1 0 0 1 0 1R2
1 1 1 0 0 1 0 0
R3
0 0 0 1 1 1 0 1R4
0 1 0 1 0 1 0 1
R5
1 1 1 0 1 1 0 0R6
1 0 1 0 1 1 0 1
R7
1 0 0 1 1 1 0 1R8
0 0 1 1 1 1 0 11 0 1 0 0 0 1 0
27
Un problema
semidecidible
…
A= { p : p es
un programa
que
acepta
la entrada
p}
28
A es
semidecidible
Procedimiento
aceptaA(ent
p:cadena; sal
z:tpresultado)
PrincipioT:=1; ha_parado:=falseMientrasQue
NOT ha_parado
simula(p,p,T,ha_parado,z)T:=T+1
FmqFin
29
El complementario
de A
A= { p : p es
un programa
que
NO acepta
la entrada
p}
Vamos
a ver
que
A no es
semidecidible
usandodiagonalización
30
Diagonalizar
una
tablab1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
R1
0 1 1 0 0 1 0 1R2
1 1 1 0 0 1 0 0
R3
0 0 0 1 1 1 0 1R4
0 1 0 1 0 1 0 1
R5
1 1 1 0 1 1 0 0R6
1 0 1 0 1 1 0 1
R7
1 0 0 1 1 1 0 1R8
0 0 1 1 1 1 0 11 0 1 0 0 0 1 0
31
Teorema: A no es
semidecidibleDemostración:
Sea la siguiente
tabla
(infinita): para
cada programa
p hay una
fila, y para
cada
programa
p hay una
columna
El la posición
p,q
escribimos
1 si
el programa p acepta
q y escribimos
0 si
no
32
Demostraciónp1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p1
0 1 1 0 0 1 0 1p2
1 1 1 0 0 1 0 0
p3
0 0 0 1 1 1 0 1p4
0 1 0 1 0 1 0 1
p5
1 1 1 0 1 1 0 0p6
1 0 1 0 1 1 0 1
p7
1 0 0 1 1 1 0 1p8
0 0 1 1 1 1 0 1
¿Qué
es
la diagonal?
33
DemostraciónEn la diagonal hay 1 si
p acepta
p y 0 si
no
Esto
es
1 si
pA y 0 si pA
¿Qué
pasa
si
diagonalizamos?
34
DemostraciónEn la diagonal hay 1 si
p acepta
p y 0 si
no
Esto
es
1 si
pA y 0 si pA
¿Qué
pasa
si
diagonalizamos?
•
Obtenemos
una
fila
que
no está
en la tabla•
Obtenemos
el complementario
de la
diagonal (1 si
pA y 0 si pA)
35
DemostraciónSi hay un programa
Q que
acepte
A, tenemos
que
la fila
de Q en la tabla
tiene1 si
pA y 0 si pA
Pero
eso
es
imposible
porque
hemos
visto
que una
fila
así
no está
en la tabla
(es
el
complementario
de la diagonal)
Luego
no hay un programa
que
acepte
A
Fin de la demostración
36
Ya
tenemos
un primer ejemplo
de lenguaje
no semidecidible:
A= { p : p es
un programa
que
NO acepta
la entrada
p}
Veamos
un segundo
…
37
El problema
diagonal de parada
K= { p : p es
un programa
que
para
con entrada
p}
H= { (p , w) : p es
un programa
que
para
con entrada
w}
pK
si
y sólo
si
(p,p)H
38
K es
semidecidible
pK
si
y sólo
si
(p,p)H
Procedimiento
aceptaK(ent
p:cadena; sal
z:tpresultado)
PrincipioaceptaH(p,p,z)
Fin
39
El complementario
de K
K= { p : p es
un programa
que
NO para
con entrada
p}
Vamos
a ver
que
K no es
semidecidible
usandodiagonalización
40
Diagonalizar
una
tablab1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
R1
0 1 1 0 0 1 0 1R2
1 1 1 0 0 1 0 0
R3
0 0 0 1 1 1 0 1R4
0 1 0 1 0 1 0 1
R5
1 1 1 0 1 1 0 0R6
1 0 1 0 1 1 0 1
R7
1 0 0 1 1 1 0 1R8
0 0 1 1 1 1 0 11 0 1 0 0 0 1 0
41
Teorema: K no es
semidecidibleDemostración:
Sea la siguiente
tabla
(infinita): para
cada programa
p hay una
fila, y para
cada
programa
p hay una
columna
El la posición
p,q
escribimos
1 si
el programa p para
con entrada
q
y escribimos
0 si
no
42
Demostraciónp1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p1
0 1 1 0 0 1 0 1p2
1 1 1 0 0 1 0 0
p3
0 0 0 1 1 1 0 1p4
0 1 0 1 0 1 0 1
p5
1 1 1 0 1 1 0 0p6
1 0 1 0 1 1 0 1
p7
1 0 0 1 1 1 0 1p8
0 0 1 1 1 1 0 1
¿Qué
es
la diagonal?
43
DemostraciónEn la diagonal hay 1 si
p para
con entrada
p y
0 si
no
Esto
es
1 si
pK y 0 si pK
¿Qué
pasa
si
diagonalizamos?
44
DemostraciónEn la diagonal hay 1 si
p para
con entrada
p y
0 si
no
Esto
es
1 si
pK y 0 si pK
¿Qué
pasa
si
diagonalizamos?
•
Obtenemos
una
fila
que
no está
en la tabla•
Obtenemos
el complementario
de la
diagonal
45
DemostraciónSi hay un programa
Q que
acepte
K, tenemos
que
la fila
de Q en la tabla
tiene1 si
pK y 0 si pK
Pero
eso
es
imposible
porque
hemos
visto
que una
fila
así
no está
en la tabla
(es
el
complementario
de la diagonal)
Luego
no hay un programa
que
acepte
K
Fin de la demostración
46
Un tercer
ejemplo
de no semidecidible
H= { (p , w) : p es
un programa
que
NO para con entrada
w}
Lo vamos
a ver
usando
que
K no es semidecidible
K= { p : p es
un programa
que
NO para
con entrada
p}
47
Demostración
de que
H no es
semidecidibleReducción
al absurdo
Si H es
semidecidible
tenemos
un programa
R que
acepta
H
Lo podemos
usar
para
aceptar
K: Procedimiento
imposible
(ent
p:cadena;
sal
z:tpresultado)Principio
R(p,p,z)Fin
Fin de la demostración
48
Semidecidibles
no decidibles
49
??
¿Hay lenguajes
semidecidibles
pero
no decidibles?
Es decir
…
¿existe
un lenguaje
aceptado
por
un programa
pero
no por
un programa
que
para
siempre?
50
Por otro lado …Para cualquier
aplicación
práctica
sólo
nos
interesan
los programas
que
paran
siempre
Resolver un problema
es
encontrar
un programa
que
lo resuelva
y pare siempre
Los decidibles
son los que
podemos
resolver
¿Hay no decidibles
interesantes?No decidible
= Indecidible
51
??
¿Hay lenguajes
semidecidibles
perono decidibles?
Es decir
…
¿existe
un lenguaje
aceptado
por
un programa
pero
no por
un programa
que
para
siempre?
52
TeoremaH no es
decidible
DemostraciónLo veremos
en problemas:
•
Como H no es
semidecidible
entonces
H no es
decidible
53
Indecidibles
famosos
no decidibles
54
RecordadResolver un problema
es
encontrar
un
programa
que
lo resuelva
y pare siempre
Un indecidible
es
un problema
que
no podemos
resolver con ningún
algoritmo
55
Indecidible
ya
visto
El problema
de parada
Dado un programa
p y una
cadena
w
¿p con entrada
w para?
56
Casi
visto
El problema
de pertenencia
Dado un programa
p y una
cadena
w
¿p acepta
w?
57
Otro
problema
indecidible
El problema
de parada
para
MT
Dada una
máquina
de Turing M y una
cadena
w
¿La máquina
M con entrada
w para?
58
Otro
problema
indecidible
La detección
de virus
Dado un programa
p
¿Es p un virus?
Un virus es
un programa
que
puede
infectar
otros
programasmodificándolos
incluyendo
una
copia
(que
puede
estar
modificada) de sí
mismo
59
Unos
cuantos
más
•
Dados dos programas, ¿calculan lo mismo?•
Dado un programa p, ¿p para con alguna entrada?
60
Algunos
problemas
indecidibles
sobregramáticas:
• Dada una
gramática
independiente
decontexo
G, ¿es
G ambigua?
• Dadas
gramáticas
independientes
decontexo, ¿
? )()( 21 GLGL
21,GG
61
Y otro: Wang tiles
Dado un conjunto finito de baldosas, con un color en cada lado
Ejemplo:
¿puede embaldosarse con ellos el plano, de forma que los lados contiguos tengan el mismo color?
(se pueden hacer tantas copias como se quiera, no se pueden girar ni invertir)
62
Wang tiles
Ejemplos fáciles: periódicos
Datos:
Embaldosadoampliable:
63
Wang tiles
Ejemplos fáciles:
Datos:
Respuesta: No se puede embaldosar el plano
64
Wang tiles
Ejemplos difíciles: aperiódicos
Datos:
Respuesta: Se puede embaldosar el plano de forma no periódica (Ejercicio: intentarlo)
Muy aplicados para construir imágenes y texturas
65
Wang tiles
El problema es indecidible: no hay un algoritmo que lo resuelva
Al principio Wang presentó
un algoritmo que lo resuelve pero suponiendo que todos los embaldosados son periódicos (falso)
66
Y otro másEl problema de correspondencia de Post
Dadas dos listas de palabras x1
, x2
, …, xk
y1
, y2
, …, yk
¿existen
a1, a2, …, an para
los cualesxa1
xa2
…xan
= ya1
ya2
…yan
?
67
El problema de PostEjemplo: u1
=aba u2
= bbb u3
=aab u4
=bb,v1
=a v2
=aaa v3
=abab v4
=babba
aba
a
bbb
aaa
aab
abab
bb
babba
aba
a
aba
a
bb
babba
aab
abab
Datos:
68
El problema de PostEjemplo:
abb
a
bb
aaa
abb
ababDatos:
Respuesta: No
69
El problema de PostEjemplo:
I
PPI
IPP
I
IS
I
M
MDatos:
S
SS
M
M
IS
I
S
SS
IS
I
IPP
I
I
PPI
70
Uno de matemáticasEl décimo problema de Hilbert
Dada una ecuación con coeficientes enteros, ¿existe una solución entera?
Ejemplos: x2+y2=132x-11=0
