Encuentro Didactica de La Estadistica111

7/22/2019 Encuentro Didactica de La Estadistica111

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ENCUENTRO SOBRE DIDCTICA DE LA ESTADSTICA,LA PROBABILIDAD Y EL ANLISIS DE DATOS (EDEPA).

Contribuciones 20112013 en estadstica y probabilidad: su didctica,aplicaciones y tecnologa

Editores

Walter Mora FloresEscuela de Matemtica

Instituto Tecnolgico de Costa Rica

Greivin Ramrez ArceEscuela de Matemtica



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Copyright Revista digital Matemtica Educacin e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Primera Edicin.Correo Electrnico: [email protected] de MatemticaInstituto Tecnolgico de Costa RicaApdo. 159-7050, Cartago

Telfono (506)25502225Fax (506)25502493

Mora Flores, Walter.Encuentro sobre didctica de la estadstica, la probabilidad y el anlisis de datos/Walter Mora F.Greivin Ramrez Arce, (Editores). 1ra ed. Escuela de Matemtica,Instituto Tecnolgico de Costa Rica. 2013.

162 p.ISBN Obra Independiente: 978-9968-641-14-2

1. Didctica 2. Estadstica. 3. Probabilidad 4. Anlisis de datos.
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Prlogo

El Instituto Tecnolgico de Costa Rica (ITCR) organiza cada dos aos, desde el 2009, el Encuentro sobreDidctica de la Estadstica, la Probabilidad y el Anlisis de Datos (EDEPA). El evento rene a profe-sionales y docentes de primaria, secundaria y de universidad, nacionales y extranjeros, con el objetivode discutir y resaltar la importancia de la enseanza de estos temas a travs de conferencias, talleres,ponencias, reportes de investigacin y charlas, entre otras actividades.

Inicialmente se presenta una serie de contribuciones seleccionadas de los extensos expuestos en el IIEDEPA realizado en noviembre de 2011. La presentacin se hace en tres partes claramente diferenci-adas: didctica, aplicaciones y uso de software.

Luego se aporta un par de extensos como resultado de su presentacin en la I Escuela de Verano delEDEPA que se llev a cabo en diciembre de 2012, actividad previa al III EDEPA. Por ltimo, se presentauna invitacin a participar en el III EDEPA que se llevar a cabo los das 27, 28 y 29 de noviembre de2013 en Costa Rica, en la sede del ITCR ubicada en Cartago. Se exhorta enviar sus aportes pedaggicossobre probabilidad, estadstica y la didctica del anlisis de datos.

Atentamente,

LOS EDITORES

Cartago, Costa Rica. Marzo 2013.

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Contenido

Prefacio

I Parte.

II Encuentro sobre Didctica de la Estadstica, la Probabilidad y el Anlisis de Datos, EDEPA 2011

Presentacin 2

Didctica

Panorama Actual de los Estndares Educativos en EstocsticaJess Humberto Cuevas Acosta. Instituto Tecnolgico de Chihuahua II, Mxico 6

Sesgos en el azonamiento Sobre Probabilidad Condicional e Implicaciones Para la EnseanzaCarmen Batanero, J. Miguel Contreras, Carmen Daz. Universidad de Granada, Espaa. 18

Aplicaciones

Anlisis de Regresin para la Poblacin de Costa RicaLuis A.Acua P., Instituto Tecnolgico de Costa Rica 32

Aplicacin del Modelo de Rasch, en el Anlisis Psicomtrico de una Prueba de Diagnstico enMatemtica.Karol Jimnez A., Eiliana Montero R. Universidad de Costa Rica Costa Rica 39

Uso de Software

Un Taller de Simulaciones: Fathom, GeoGebra y Excel para Resolver

Problemas Controversiales de ProbabilidadGreivin Ramrez Arce. Instituto Tecnolgico de Costa Rica 65

HidroEsta, software para Clculos Hidrolgicos y Estadsticos Aplicados a la HidrologaMximo Villn B. Instituto Tecnolgico de Costa Rica 85

Simulacin en Excel: Buscando la Probabilidad de un EventoGiovanni Sanabria B., Flix Nez V. Instituto Tecnolgico de Costa RicaUniversidad de Costa Rica 93

II Parte.

I Escuela de Verano EDEPA, 2011

Presentacin 107

Simulacin Fsica y Computacional: Estrategia Metodolgica para Resolver Problemas EstocsticosGreivin Ramrez A. Instituto Tecnolgico de Costa Rica 109

Anlisis Exploratorio de Datos. Accidentes de Trnsito del Municipio de San Salvador,El Salvador. 2006-2010


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Pedro A. Ramos A. Universidad de El Salvador 121

III Parte.

Anexos.

Anexo: Invitacin al III Encuentro sobre Didctica de la Estadstica, la Probabilidad y el Anlisis de

Datos.Noviembre 2013. 149

Anexo: Fotografias del II EDEPA 155

Anexo: Fotografias de la I Escuela de Verano 156


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PARTE I

II ENCUENTRO SOBRE DIDACTICA DELA ESTADISTICA, LA PROBABILIDAD Y

EL ANALISIS DE DATOS, EDEPA 2011.

Comit Organizador

Giovanni Sanabria Brenes

(co-coordinador general)Instituto Tecnolgico de Costa Rica

Flix Nez Vanegas(co-coordinador general)


Greivin Ramrez ArceInstituto Tecnolgico de Costa Rica

Esteban BallesteroInstituto Tecnolgico de Costa Rica

Edwin Chvez EsquivelUniversidad Nacional de Costa Rica

Comit Cientfico

Dr. Javier Trejos ZelayaUniversidad de Costa Rica

Dr. Santiago Cambronero VillalobosUniversidad de Costa Rica

Dr. Oldemar Rodrguez RojasUniversidad de Costa Rica

M.Sc. Marcela Alfaro CrdobaUniversidad de Costa Rica

Dr. Edwin Chvez EsquivelUniversidad Nacional de Costa Rica

M.Sc. Giovanni Sanabria BrenesInstituto Tecnolgico de Costa Rica

M.Sc. Flix Nez Vanegas

Instituto Tecnolgico de Costa RicaMSc. Greivin Ramrez Arce



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PresentacinDurante el 28 y 29 de noviembre del 2011 la Escuela de Matemtica del Instituto Tecnolgico de CostaRica organiz el Segundo Encuentro sobre Didctica de la Estadstica, la Probabilidad y el Anlisis deDatos (II EDEPA) cuyo idioma oficial fue espaol.

Este evento, dirigido a docentes de secundaria e investigadores, se desarroll de forma excelente gra-cias a la colaboracin de profesores e investigadores, nacionales e internacionales, que a travs de 4conferencias, 8 talleres, 31 ponencias, actividades de integracin y de una mesa redonda, rescataronla importancia que tienen la Estadstica, la Probabilidad y el Anlisis Multivariado de Datos en unmundo cada vez ms competitivo e informatizado.

Las diferentes actividades desarrolladas durante el II EDEPA se vieron enriquecidas por investigadoresnacionales (de diferentes carreras y universidades) e internacionales (particularmente de Espaa, Mx-ico, Chile y el Salvador).

Los objetivos generales fueron:

1. Evidenciar los esfuerzos realizados para el mejoramiento de la enseanza de la Estadstica, Prob-abilidad y Anlisis de Datos en secundaria y a nivel universitario.

2. Incentivar al participante a realizar investigaciones cuantitativas utilizando la Estadstica, la Prob-abilidad y el Anlisis de Datos.

3. Constituir un espacio de crtica, debate y comunicacin sobre el estado actual y desarrollo recientede la investigacin en Didctica de la Estadstica, de la Probabilidad y del Anlisis de Datos anivel nacional e internacional.

4. Establecer un grupo de trabajo interesado en fomentar el mejoramiento de la enseanza de la

Estadstica y Probabilidad en secundara.

Los temas prioritarios que pueden ser considerados en los nuevos programas del Ministerio de Edu-cacin Pblica y que se desarrollaron en el evento fueron:

La resolucin de problemas en la enseanza de la Probabilidad y la Estadstica.

Generacin de una cultura Estadstica en la comunidad educativa nacional.


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El rol del contexto en la enseanza de la Probabilidad y la Estadstica.

La evaluacin dentro de la enseanza de la Probabilidad y la Estadstica.

Las creencias y mitos sociales sobre Probabilidad y Estadstica.

Otros temas que fueron desarrollados:

Didctica de la Estadstica. Didctica de la Probabilidad.

Didctica del Anlisis de Datos.

Experiencias docentes en la enseanza de la Probabilidad, la Estadstica y el Anlisis de Datos.

Propuestas en la enseanza de la Probabilidad, la Estadstica y el Anlisis de Datos.

Aplicaciones prcticas de la Probabilidad, la Estadstica y el Anlisis de Datos.

Aplicaciones de la Probabilidad, la Estadstica y el Anlisis de Datos en trabajos de graduacin.

Uso de la tecnologa en la enseanza de la Probabilidad, la Estadstica y el Anlisis de Datos.El evento cont con una participacin de 160 personas, entre ellas profesores de secundaria, estudiantesuniversitarios, profesores e investigadores universitarios de distintas carreras quienes mostraron granaceptacin para con el evento.

A continuacin se presentan los datos obtenidos de las evaluaciones aplicadas a los participantes en elevento.

Excelente Muy buena Buena Regular DeficienteOrganizacin 55 26 7 1 0Calidad de las conferencias 29 45 14 1 0Calidad de las ponencias 22 39 24 2 0Calidad de la mesa redonda 37 33 18 1 0Calidad de los expositores 31 33 24 2 0Impacto y pertinencia del evento para su formacin 50 25 15 0 0Cumplimiento de sus expectativas 37 26 21 2 0Atencin brindada 60 25 4 1 0Opinin general sobre el II EDEPA 42 35 11 1 0

Tabla 0.1: Criterios de evaluacin general II EDEPA

El comit organizador del EDEPA agradece a las autoridades del Instituto Tecnolgico de Costa Rica,

a la Escuela de Matemtica y a todos los involucrados por el apoyo brindado para la realizacin delevento, de tal manera que su aporte fue fundamental para alcanzar el xito. As como al Ministeriode Educacin Pblica de Costa Rica por el permiso brindado a los profesores para que participaranen el evento. Al Colegio de Licenciados y Profesores (COLYPRO) por el apoyo econmico dado a al-gunos participantes. A la Fundacin Tecnolgica (FUNDATEC) por la administracin de los recursosdel EDEPA.

Agradece adems, a la Universidad de Granada y la Universidad de Huelva, Espaa; al Instituto Tec-nolgico de Chihuahua II, Mxico; a la Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educacin, Chile;

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4 PRESENTACION

a la Universidad de El Salvador; a la Universidad Nacional y la Universidad de Costa Rica, por el apoyobrindado a sus profesores para que aportaran al evento como organizadores, ponentes, miembros delcomit organizador o cientfico o bien como participantes.

El EDEPA tiene el agrado de presentar una seleccin de los extensos expuestos en el evento clasificadosen tres partes: Didctica, Aplicaciones y Uso de software.

Atentamente,

COMIT ORGANIZADOR EDEPA

Cartago, Costa Rica. Febrero 2013.


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PRESENTACION 5

Didctica


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1PANORAMA ACTUAL DE LOS ESTNDARES EDUCATIVOSEN ESTOCSTICA

Jess Humberto Cuevas [email protected]

Instituto Tecnolgico de Chihuahua II, Mxico

Resumen. En este ensayo se presenta una reflexin sobre la situacin actual que guarda el movimiento en prodel establecimiento de estndares de contenido y desempeo curricular en el campo de la estocstica. Se examinla importancia que se otorga a la enseanza de estas disciplinas y sus mecanismos para medir el desempeode los estudiantes en ellas por parte de dos naciones que han llevado a cabo reformas educativas de grandesdimensiones. Paralelamente, se hace un planteamiento para conducir una investigacin sistemtica que permitacaracterizar la prctica educativa actual en estas disciplinas y obtener elementos de prueba para crear recursos yprogramas de formacin del profesorado acordes a las necesidades de una cultura estocstica en ellos y en susestudiantes.

Palabras Clave: Estndares educativos, educacin en estocstica, cultura estocstica

Abstract. . This essay presents a reflection on the current situation that keeps the movement for the establish-ment of standards of content and performance curriculum in the field of the stochastic. There was examined theimportance it attaches to the teaching of these disciplines and their mechanisms to measure the performance of

students in them by two Nations that have carried out large-scale educational reforms. At the same time, it is anapproach to conduct a systematic research to characterize the current educational practice in these disciplines andobtain evidence to create resources and teacher training programmes according to the needs of a stochastic culturein them and their students.

KeyWords: Educational standards, education in stochastic, stochastic culture.

1.1 Introduccin

Hoy en da, nos encontramos en tiempos de cambios notables y vertiginosos. As, pueden observarse

transformaciones en las formas de interaccin en diversos sectores de inters para la sociedad. Entrelos ms representativos se pueden enunciar la economa y finanzas, la comunicacin a travs de susdistintos medios-, las relaciones humanas, los vnculos laborales, as como la educacin. ste ltimo esquiz uno de los que ha experimentado cambios ms extraordinarios.

En la ltima dcada se ha intensificado la promocin de la mejora y el cambio educativo en diversasnaciones. Esta promocin se ha instrumentado desde el marco discursivo de los diversos organismosmultilaterales Banco Mundial (BM), Banco Interamericano de Desarrollo (BID), Fondo Monetario In-ternacional (FMI), Organizacin para la Cooperacin y el Desarrollo Econmicos (OCDE), entre otros-


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que desde el siglo pasado han impulsado polticas de apertura financiera, comercial y de libre trnsitode productos y servicios de bien comn.

En virtud de que esta promocin se inscribe en un contexto internacional, diversas comunidadesepistmicas se han pronunciado al respecto. En un ejercicio clasificatorio, pueden ubicarse dos pos-turas diametralmente opuestas pero ampliamente representativas en el mbito acadmico.

Una de estas comunidades considera la posibilidad de que una de las razones del excepcional inters

por la mejora y cambio en la educacin se deba al evidente fracaso del modelo econmico dominanteen las ltimas tres dcadas. Destacan los continuos sobresaltos econmicos de naciones otrora inmunesen estos rubros, cuyos efectos se hacen patentes a nivel global. En trminos de Ralston (2005), lo an-terior se puede traducir en una vuelta al determinismo econmico del siglo XIX enmascarado en elsiglo XXI. As, de acuerdo con la lgica globalista, es imperativo impulsar la mejora de la productivi-dad econmica a travs de la apertura y liberacin de los mercados, privatizar los servicios pblicosincluyendo la educacin en todos sus niveles- y estandarizar las tasas impositivas a la sociedad inde-pendientemente del estatus socioeconmico.

Aducen que esta postura poltica e ideolgica establece una correlacin directa entre educacin y com-petitividad en sus distintas acepciones. As, se advierte una asociacin de la productividad educativacon la competitividad econmica. El desarrollo de capital humano, productivo y eficiente, es uno delos propsitos fundamentales. Su-gieren que lo anterior es un indicio de la concepcin dominante entrminos de los fines de la educacin. Sokol (2006), indica que ya no se observa al estudiante comopersona con alma y espritu, sino como un producto.

Segn Hargreaves & Fink (2006), diversas naciones han adoptado polticas del racionalismo econmicocon el propsito de mejorar el desempeo en la escuela. Derivado de lo anterior, a la par del inicio delsiglo XXI, surgi un inters extraordinario por medir el desempeo estudiantil principalmente medi-ante la aplicacin de pruebas estndar en diversos niveles educativos, particularmente en educacin

bsica.

Entre los efectos ms representativos de esta poltica se puede encontrar el establecimiento de es-

tndares educativos aplicables a estudiantes, profesores y autoridades con facultades en la toma dedecisiones. De forma anloga, se advierte una propensin a uniformizar currculos, mtodos de en-seanza, programas de formacin del profesorado y mecanismos de gestin escolar. Los estndares seoperacionalizan a travs de diversos medios, aunque destaca la administracin de mltiples pruebasorientadas a medir desempeos estudiantiles en matemticas, ciencias y lenguaje.

Por otra parte, existe otra comunidad epistmica que ha promocionado activamente la puesta en mar-cha de reformas en todos los niveles educativos. Esta comunidad centra sus argumentos en dos aspectostorales, a saber, calidad en los aprendizajes y equidad en el acceso al saber a travs de la educacinescolar. Ferrer (2006) hace alusin a que actualmente existe un inters internacional por establecerestndares en educacin que contrasta con acciones de reforma anteriores que tenan como objetivogarantizar el acceso universal a la escolaridad.

Los partidarios del movimiento en pro del establecimiento de estndares generalmente cuestionan lasreformas educativas implantadas en las ltimas dcadas del siglo XX. Particularmente hacen alusinal fracaso de las mismas en trminos del incumplimiento de la calidad y equidad originalmenteplanteadas. Especficamente, esta comunidad hace hincapi en que el problema fundamental en lagestin de los sistemas educativos estriba en la ausencia de estndares de calidad respecto a los resul-tados que obtienen los estudiantes en trminos de aprendizaje (PREAL, 2007), (Ferrer, 2007), (Ferrer &

Encuentro sobre didctica de la estadstica, la probabilidad y el anlisis de datos..

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8 PANORAMA ACTUAL DE LOS ESTNDARES EDUCATIVOS EN ESTOCSTICA

Valverde, s/f).

Ya en 1995, Diane Ravicht haca mencin que en educacin los estndares se estaban internacional-izando, especialmente en matemticas y ciencia. Planteaba que eso suceda por dos razones funda-mentales, a saber, la larga tradicin en la aplicacin de evaluaciones internacionales a estudiantes enmuchos pases, y porque estas materias siempre se han considerado internacionales en su cobertura.

En el caso de la matemtica, generalmente se reconoce que son parte del patrimonio cultural de la

sociedad. Por tanto, se asume que su conocimiento, entendimiento y adecuada aplicacin, proporcionaa cualquier individuo una oportunidad de tener un futuro mejor (NCTM, 2000). Desde mediados delsiglo XX, ha destacado lo relacionado con su enseanza en todos los niveles educativos. Es pertinenteindicar que es en esta ciencia donde tradicionalmente se presentan problemas como altos ndices dereprobacin, desercin y rezago escolar. En consecuencia, campos de la matemtica como el lgebra,clculo diferencial e integral, geometra y probabilidad y estadstica estocstica-, han constituido elobjeto de estudio principal de la investigacin educativa realizada y en la que se han tratado los prob-lemas mencionados anteriormente. No obstante, desde finales del siglo XX se ha observado un interscreciente por realizar investigacin educativa en probabilidad y estadstica. En la actualidad es notableel incremento de publicaciones, ctedras y reuniones de carcter acadmico que tienen relacin conestas disciplinas.

Son varios los factores que han generado el inters por efectuar estudios en estos campos del saber.Uno de los ms importantes es el relacionado con el impulso dado por diversas asociaciones y organ-ismos internacionales para instrumentar programas de alfabetizacin cuantitativa en los ciudadanos.Otro factor es el que hace alusin a las polticas educativas internacionales que promueven el establec-imiento de estndares en todos los niveles educativos, particularmente en el bsico y medio superior.Este ltimo factor tiene una estrecha relacin con la reconfiguracin curricular y la incorporacin detpicos relativos a la estocstica en los planes y programas de estudio. Tambin el debate existenteentre la eleccin de los mtodos de enseanza y evaluacin adecuados para obtener aprendizajes, haconstituido una causa importante por llevar a cabo investigaciones a corto, mediano y largo plazo.

El propsito de este ensayo es reflexionar sobre la situacin actual de los estndares educativos en las

disciplinas de probabilidad y estadstica. Interesa examinar la importancia que se otorga a la enseanzade estas disciplinas y sus mecanismos para medir el desempeo de los estudiantes en ellas por partede dos naciones que han llevado a cabo reformas educativas de grandes dimensiones. Paralelamente,se plantea la necesidad de conducir una investigacin sistemtica que permita caracterizar la prcticaeducativa actual en estas disciplinas y obtener elementos de prueba para crear recursos y programasde formacin del profesorado acordes a las necesidades actuales de desarrollar una cultura estocsticaen ellos y en sus estudiantes.

1.2 Estndares en educacin: Apuntes generales sobre su surgimiento

Resulta difcil establecer con precisin el origen del movimiento en pro de los estndares en educacin.No obstante, generalmente se reconoce al Reino Unido, Nueva Zelanda y Australia como los inici-adores. El movimiento se extendi rpidamente a otras naciones, principalmente a los Estados Unidosde Amrica. Es importante aclarar que en este pas ya existan estndares educativos desde finales de ladcada de 1980, aunque nicamente en algunas disciplinas especficas como la matemtica. Una mues-tra de lo anterior son los estndares establecidos por el Consejo Nacional de Profesores de Matemticasen 1989.


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Debido a la influencia econmica, poltica y cultural de esta nacin en el mbito internacional, resultapertinente examinar el proceso de desarrollo e incorporacin de los estndares en su sistema educativo.

El caso de los Estados Unidos de Amrica. A finales de la dcada de 1970, la sociedad esta-dounidense comenz a percibir que su sistema educativo no estaba cumpliendo con la meta implcitade formar a los estudiantes ms educados del mundo y notaba una prdida de competitividad in-dustrial con respecto a otras naciones. Se debata si lo anterior se deba al bajo desempeo de susestudiantes con respecto a sus homlogos extranjeros en el desarrollo de las habilidades y destrezas

necesarias para sostener la economa nacional. En consecuencia, el gobierno federal decidi realizaruna investigacin con el objetivo de examinar la calidad de la educacin que se imparta y hacer unreporte a la nacin. As, en 1983, durante la administracin de Ronald Reagan, se present el informeNation at Risk: The Imperative for Educational Reform en la que se sealaba el declive de la educacinestadounidense, especialmente en ciencia y matemtica. En el mismo informe, se proponan lneasde accin inmediata. Una de ellas consisti en concientizar a la sociedad de la gravedad del problema queenfrentaba el sistema educativo nacional y las implicaciones en la formacin acadmica de las nuevasgeneraciones que tendran la responsabilidad de conducir el desarrollo cientfico y tecnolgico del pas.Otra lnea de accin consisti en indagar de manera rigurosa las causas del problema y contar con in-formacin fidedigna para configurar proyectos de trabajo especficos.

Posteriormente, esta crisis se vio acentuada debido a los resultados obtenidos en el Tercer EstudioInternacional de Matemticas y Ciencias (TIMMS) publicado en 1995. El informe del estudio puso enevidencia la desigualdad en el desempeo entre los estudiantes estadounidenses y sus contrapartesde otras naciones, principalmente europeas y asiticas. Ferrer (2006), seala que los resultados deeste estudio permitieron efectuar un anlisis pormenorizado y cientficamente sustentado de los se-rios problemas existentes en su oferta curricular. Por ende, esta nacin propuso diversas medidas dereforma con el propsito de generar alternativas de solucin a los problemas de calidad y equidadimperantes. El resultado de estas medidas permiti establecer lneas de accin que se reflejaron en lalegislacin de las metas 2000 (Goals, 2000), y se asentaron las bases para la planeacin y configuracinde estndares nacionales y sus correspondientes sistemas de evaluacin.

Cabe destacar que de forma inmediata, la comunidad acadmica y cientfica del pas se puso en accin.

Se examin el problema desde diversas perspectivas como la psicolgica, sociolgica y de poltica ed-ucativa. Despus de intensos debates, se consider que la configuracin, establecimiento y monitoreode estndares era la va ms adecuada para subsanar la problemtica de calidad y equidad educativa.

La promesa de establecer estndares claros, la asignacin de responsabilidades para los distintosagentes interactuantes, el establecimiento de mecanismos de difusin de resultados y el diseo y vali-dacin de pruebas estandarizadas aplicables en todos los niveles educativos, fueron quiz los factoresprincipales por los que la cultura de los estndares se insert como poltica de estado.

No obstante, pese al gran esfuerzo realizado en la creacin e implantacin de estndares de carcternacional, ste tuvo un xito relativo. La causa principal fue el alto grado de descentralizacin y au-tonoma de los estados e instituciones educativas, por lo que la estructura subyacente a los estndares

no prescriba lineamientos de trabajo didctico y curricular, sino que nicamente promovan procesosde diseo, implantacin, experimentacin, anlisis y reformulacin de estrategias de enseanza quetuvieran como propsito apoyar a los estudiantes en el cumplimiento de las metas de aprendizaje es-tablecidas.

Es importante sealar que en los Estados Unidos de Amrica, la definicin de los estndares se haefectuado principalmente bajo los auspicios de organismos colegiados de profesores de diferentesasignaturas, que han reavivado y perpetuado su influencia cobre el currculo escolar y lo que debe


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considerarse importante dentro de ese mbito (Hargraeves, Earl, Moore & Manning, 2001). Es probableque el gobierno federal y los gobiernos estatales hayan aprobado desde el principio el papel de estosorganismos porque de alguna manera permitieron legitimar el movimiento de los estndares y suscorrespondientes evaluaciones.

Por otra parte, el impulso estadounidense al movimiento en pro de los estndares ha tenido una influ-encia notable en otras naciones. En la ltima dcada se ha podido observar como los elementos de estesistema se han exportado a otros pases, independientemente de su grado de desarrollo humano, social

y econmico. Entre las consecuencias ms representativas de esta influencia, destaca la realizacin deuna gran cantidad de estudios comparativos y la confeccin y aplicacin de evaluaciones de carcterinternacional.

1.3 Mundializacin de los estndares educativos y evaluacionesinternacionales: El caso de PISA.

La mundializacin de los estndares educativos ha generado que diversos organismos multilaterales

en su mayora de carcter financiero- incentiven la configuracin de evaluaciones globales que funjancomo medios de obtencin de informacin abundante y detallada que ayude a los gobiernos nacionalesa adoptar las decisiones y polticas pblicas para mejorar el nivel educativo de sus habitantes.

La OCDE es uno de los organismos que ha ejercido mayor influencia en el establecimiento y monitoreode estndares educativos y en el diseo de pruebas estandarizadas para evaluar la calidad educativa.En 1997 cre el Programa Internacional para la Evaluacin de los Estudiantes (PISA), cuyo propsitocentral es dar seguimiento a los resultados en los sistemas educativos en los pases miembros y tam-

bin de los que libremente se adhieren-, utilizando instrumentos de evaluacin con slidas propiedadesde medida, autenticidad y validez educativa. Segn este organismo, diversos aspectos 1 conforman laspreguntas bsicas cuyas respuestas necesitan conocer autoridades educativas y la opinin pblica en suconjunto (OCDE, 2004). El programa evala si los estudiantes de 15 aos son capaces de utilizar lo quehan estudiado en situaciones similares a las que quiz afrontarn en su vida diaria. Especficamente,se examina si son capaces de analizar, razonar y comunicar sus ideas de forma efectiva, y si tienen lacapacidad de seguir aprendiendo durante su vida.

De alguna manera, el programa de la OCDE ha constituido una directriz para el establecimiento deestndares en sus pases miembros, lo cual ha implicado la adecuacin de los currculos escolares ysus respectivas evaluaciones nacionales, especialmente en los campos de lectura, matemticas y ciencia.

En relacin con lo que PISA contempla en el campo de la matemtica, se evalan saberes y habilidadesen los estudiantes a partir de tres dimensiones relacionadas con los conceptos, procesos y situacionesde aplicacin. Aproximadamente la cuarta parte de los reactivos en este campo estn orientados a

medir el desempeo estudiantil en probabilidad y estadstica. Cabe mencionar que en el marco detrabajo para la evaluacin en ciencia, lectura y cultura matemtica, se confiere especial importancia aestas disciplinas en reas como la produccin, anlisis y presentacin de datos, adems de la probabilidad einferencia. Sin embargo, es factible que esta valoracin provenga de las mltiples recomendaciones paraque estas disciplinas tengan un espacio ms prominente en los currculos escolares. Las recomenda-

1Como la preparacin de los estudiantes para afrontar los retos presentes y futuros, dudas sobre la capacidad de analizar,razonar y comunicar ideas adecuadamente, as como la incertidumbre sobre la capacidad de los jvenes para lograr aprendizajesa lo largo de sus vidas.




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ciones a las que se hace alusin, fueron realizadas principalmente por el Committee of Inquiry into theTeaching of Mathematics in Schools en 1982 y el National Council of Teachers of Mathematics en los aos1988 y 2000 (OCDE, 2006).

En virtud de la importancia de estas disciplinas para la cultura de la sociedad moderna, resulta nece-sario revisar la situacin actual en torno a las recomendaciones internacionales de incorporarlas a loscurrculos escolares y disear las pruebas para medir el grado de cumplimiento de los estndares.

1.4 Estndares educativos en estocstica: Algunos antecedentes.

En las ltimas tres dcadas, mltiples organizaciones y asociaciones internacionales han promovidoel desarrollo de una alfabetizacin cuantitativa en los ciudadanos. El inters se remonta aproximada-mente a mediados del siglo XX cuando diversas comunidades epistmicas comenzaron a efectuar ypublicar estudios sobre lo que llamaban Education for Numeracy y Quantitative Literacy. No obstante, fuea partir de la dcada de 1980 que la publicacin de informes de investigacin sobre esta temtica sehizo ms frecuente. Son particularmente representativos los estudios deWhite (1981), Cockcroft (1982),Paulos (1988), Gal (1997, 2002, 2003), Gal & Garfield (1997), Gal, & Ginsburg, (1994), Wolfe (1993), Bar-

bella et al (1994), Ginsburg (1997), Garfield (1994, 1995, 1999, 2002, 2003), Garfield & Ben-Zvi (2005),Garfield, del Mas & Chance (2007), Wilkins (2010).

Sin embargo, hasta hace pocos aos, la informacin cuantitativa nicamente estaba disponible paraun limitado sector de la poblacin. Hoy en da esta informacin es ampliamente diseminada a travsde distintos medios, lo cual hace necesario desarrollar habilidades en acopio, lectura, escritura, inter-pretacin y anlisis de datos.

Hablar de alfabetizacin cuantitativa incluye referirse a las disciplinas de probabilidad y estadstica.Las razones son mltiples, destacan sus aplicaciones como herramienta, tcnica o mtodo y porque hanevolucionado como lenguaje de apoyo cientfico, lo cual les ha permitido ser consideradas por diversas

comunidades epistmicas como una ciencia propia de los datos. Ya en 1991, Moore sealaba que laestadstica es una disciplina autnoma y con mtodos especficos de razonamiento. No obstante, espertinente hacer algunas aclaraciones. Primero, la probabilidad y la estadstica son ciencias matemti-cas, pero no son un sub-campo de ella. Segundo, aunque son disciplinas de carcter metodolgico,no son una simple coleccin de mtodos. Tercero, una de las caractersticas particulares de estas disci-plinas es la posibilidad de razonamiento a partir de datos susceptibles de ser probados empricamente.

De acuerdo de lo expuesto lneas atrs, es imperativa una alfabetizacin cuantitativa global para todociudadano que aspire desenvolverse adecuadamente en el mundo actual. Por consiguiente, muchasnaciones han diseado, implantado y monitoreado actividades con el propsito de impulsar el usoadecuado de estas disciplinas en diversos contextos.

Derivado de lo anterior, en los ltimos aos, la enseanza de estas disciplinas se ha hecho presente enel currculo escolar de todos los niveles educativos. En el caso de la educacin superior, su enseanzatiene ya un espacio propio en la formacin de profesionistas. En educacin bsica, la evolucin de suenseanza ha tenido un comportamiento diferente debido a diversos factores. Uno de los ms repre-sentativos es el debate relacionado con la incorporacin de tpicos estocsticos en educacin bsica yla dificultad en el establecimiento de estndares precisos, aunque desde finales de la dcada de 1980,organismos colegiados como el NCTM han hecho propuestas en este sentido. En la tabla (1.1) se pre-sentan algunos de los ms representativos y que fueron planteados en el ao 2000.




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Nivel Debe ser capaz de:Preescolar Plantear preguntas y recopilar datos sobre si mismos y sus alrededores. Ordenar y

clasificar objetos segunn sus caratersticas y organizar datos sobre ellos.Estudiantes de ter-cero a grado

Disear investigaciones para contestar una pregunta y considerar cmo los mto-dos de acopio de datos afectan el conjunto global. Recoger datos de observacin,encuestas y experimentos. Representar datos en tablas, grficos de lnea, puntos y

barras. Reconocer las diferencias al representar datos numricos y categricos. Usarlas medidas de posicin central-particularmente la mediana- y comprender qu eslo que cada una indica sobre el conjunto de datos. Comparar distintas representa-

ciones de los mismos datos y evaluar qu aspectos importantes se muestran mejorcon cada una de ellas.Estudiantes desexto a octavogrado

Seleccionar, crear y usar representaciones grficas apropiadas de datos, incluyendohistogramas, diagramas de cajas y de dispersin. Encontrar, usar e interpretar medi-das de tendencia central y de dispersin, incluyendo la media y rango intercuartil.Discutir y entender la correspondencia entre grupos de datos y sus representacionesgrficas, especialmente histogramas, diagramas de tallo y hojas, diagramas de caja yde dispersin. Utilizar las observaciones sobre diferencias entre dos o ms muestraspara hacer conjeturas sobre las poblaciones de donde las muestras fueron tomadas.Hacer conjeturas sobre relaciones posibles entre dos caractersticas de una muestraen base a los diagramas de dispersin de los datos y de las lneas aproximadas deajuste.

Estudiantes de

noveno a doceavogrado

Calcular estadsticas bsicas y poder diferenciar entra un estadstico y un

parmetro. Para mediciones de datos univariados, ser capaz de representar su dis-tribucin, describir su forma y calcular resmenes estadsticos. Para mediciones dedatos bivariados, construir grficas de dispersin, describir su forma, determinarecuaciones de regresn y coeficientes de correlacin usando herramientas tecnolg-icas. Identifique tendencias en datos bivariados y encuentre las funciones que mod-elan o transforman los datos. Usar la simulacin para explorar la variabilidad de lamuestra de una poblacin conocida y construir distribuciones muestrales. Calculare interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos simples. Entender elconcepto de probabilidad condicional y eventos independientes.

Tabla 1.1: Algunas recomendaciones por nivel escolar

Puede notarse que el NCTM promueve a partir de la educacin preescolar una enseanza orientada alos datos. Por otra parte, aunque estos estndares fueron desarrollados para el sistema educativo esta-dounidense, su influencia se ha extendido a diversos pases que los han adoptado total o parcialmenteen sus procesos de reforma curricular.

El caso de Mxico. El caso de Mxico es un ejemplo representativo de esta influencia. Desde finalesde la dcada de 1990 se han aplicado pruebas estndares nacionales, particularmente desde el ao 2002cuando el Gobierno Federal cre el Instituto Nacional para la Evaluacin Educativa (INEE), otorgn-dole independencia de la Secretara de Educacin Pblica. El instituto se cre para evaluar en formavlida, confiable y eficiente el logro escolar de los estudiantes mexicanos de educacin bsica y mediasuperior, adems de retroalimentar al Sistema Educativo Nacional y a las polticas que lo sustenta.Backhoff y Daz (2005) indican que para lograr este propsito el INEE elabor una nueva generacin

de pruebas nacionales que se conocen como Exmenes de la Calidad y el Logro Educativos (EXCALE). Eldiseo de estas pruebas inici en febrero de 2004 y su primera aplicacin a nivel nacional se realiz en

junio de 2005. La prueba comprende varios ejes temticos en las cuales se miden las habilidades desar-rolladas por los estudiantes y uno de los ejes se refiere a la presentacin, tratamiento de la informaciny probabilidad.

Pero EXCALE no es la nica prueba de estas caractersticas que se aplica en Mxico. La SEP sometea todas las escuelas pblicas y privadas de nivel bsico y medio superior a una Evaluacin Nacionalde Logros Acadmicos en Centros (ENLACE) cuyo propsito es generar una sola escala de carcter na-


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cional que proporcione informacin comparable de los conocimientos y habilidades que tienen losestudiantes evaluados. En educacin bsica, originalmente se examinaba el desempeo en espaol ymatemticas, pero desde 2008 se evala una tercera asignatura (en 2008 Ciencias, en 2009 FormacinCvica y tica, en 2010 Historia y en 2011 Geografa). Con respecto a la educacin media superior,se evalan competencias disciplinares bsicas en matemticas y comprensin lectora (SEP, 2010). Esnecesario sealar que en ambos niveles educativos la prueba incluye reactivos para medir habilidadesen manejo de informacin y experimentos aleatorios.

Como se indic anteriormente, ambas pruebas EXCALE y ENLACE- son de carcter nacional y se dis-earon para aplicarse en Instituciones de Educacin Mexicanas. Sin embargo, al ser Mxico miembropermanente de la OCDE, tambin se ha sometido a la prueba PISA en todas sus ediciones. Es impor-tante destacar que el amplio y entusiasta apoyo a la aplicacin peridica de estas pruebas constituye unmotivo de orgullo para las autoridades del Gobierno Federal. La satisfaccin es de tal magnitud que enmltiples foros internacionales, funcionarios del ms alto rango continuamente mencionan que Mxicoes uno de los pases ms comprometidos con las polticas de medicin del desempeo estudiantil enEducacin Bsica y Media Superior.

Uno de los productos ms representativos de esta poltica son los estndares de contenido y desem-peo curricular que fueron elaborados en el ao 2008 por acadmicos de reconocido prestigio inter-nacional. En relacin a los estndares en matemticas, bsicamente estn organizados en cuatro reasde conocimiento, a saber, nmeros y operaciones; forma, espacio y medida; variacin y cambio e informacin yazar. Estas reas representan a las reas de conocimiento del currculum de las matemticas, como sonla aritmtica, el lgebra, la geometra, la probabilidad y la estadstica.

En relacin a los estndares en estocstica, se pretende que los estudiantes tengan herramientas quele permitan resolver situaciones que necesitan el manejo de informacin cualitativa y cuantitativa, yaquellas en las que el azar est presente, as como una visin crtica que se hace en los diferentesmedios de comunicacin del manejo de la informacin. De manera global, se espera que al concluirsu educacin bsica, los estudiantes sean capaces de comprender, representar matemticamente y predecirresultados en fenmenos o situaciones en las que la incertidumbre y el manejo de la informacin se encuentran

presentes (SEP, 2008). En la siguiente tabla se muestra el desglose del estndar.

Estndar 1: Comprender, representar matemticamente y predecir resultados en fenmenos osituaciones en las que la incertidumbre y el manejo de la informacin se encuentran presentesManejo dela informacin

NIV. Organice, analice y represente in-formacin en tablas o grficas paraobtener conclusiones generales, tomardecisiones o realizar previsiones paraun futuro con cierto grado de incer-tidumbre.

A partir de investigaciones estadsticas en la es-cuela: Seleccionar y usar la grfica y la escala quemejor represente la informacin.Obtener informacin de una situacin al rela-cionar los datos de dos o ms grficas o de doso ms variables.

NIII. Interprete y use las medidas detendencia central en la elaboracin demodelos y resolucin de problemas.

Resolver problemas que implique elegir la me-dida de tendencia que mejor represente los datos.Calcular las medidas de tendencia central para

resolver un problema.NII. Analice la informacin contenidaen grficas diversas.

Analizar e interpretar informacin de peridicos,revistas, televisin, experimentos, etc., as como elmanejo que se hace de dicha informacin en elmedio correspondiente.


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NI. Analice informacin matemticade fuentes diversas.

A partir de la informacin que aparece en per-idicos o revistas plantear y resolver el problema.

Fenmenosaleatorios

NV. Decida cundo el clculo de prob-abilidades es ms conveniente o ade-cuado a la situacin que otros mode-los matemticos.

Anlisis de situaciones o fenmenos de la vidareal que funcionan bajo modelos aleatorios o de-terministas.

NIV. Tome decisiones, emita un juicioo realice una prediccin en situacionescon incertidumbre.

Analizar situaciones que funcionan bajo el mod-elo probabilstico.

NIII. Anticipe resultados, realice ac-tividades de simulacin en diversoscontextos que le permitan formular ycomprobar conjeturas sobre el com-portamiento del fenmeno aleatorio.

Resolver situaciones de la vida real a mediantesimulaciones y argumente el comportamiento delfenmeno simulado.

NII. Detecte errores habituales en lainterpretacin del azar.

Analizar situaciones en diversos contextos enque los resultados son producto del uso de laprobabilidad y argumentar los errores en la inter-pretacin.

NI. Calcule la probabilidad terica apartir de la determinacin del espaciomuestral.

Calcular la probabilidad de eventos simples ycompuestos usando mtodos diversos (Listados,diagramas de rbol, tcnicas de conteo).

Tabla 1.2: Estndar en manejo de informacin y fenmenos aleatorios

Despus de examinar con detenimiento el desglose del estndar, queda la duda si los tcnicos y espe-cialistas responsables de su diseo colocaron el listn demasiado alto, tanto para que los estudianteslo alcancen, como para que el profesor realice un tratamiento didctico adecuado.

Se advierte que de manera similar a los estndares del NCTM, hay una tendencia hacia una enseanzaorientada a los datos. Para alcanzar la meta, el estudiante debe ser capaz de analizar situaciones realesy/o ficticias con un alto grado de precisin. De no ser as, el proceso de acopio, identificacin (ubicarel tipo de dato, nivel de medicin, grfica (s) asociada (s), medidas a calcular, entre otros aspectos), or-ganizacin y anlisis de la informacin fracasar. En este mismo sentido, el estndar exige desarrollar

la habilidad de leer en discontinuo, es decir, leer con fluidez tablas, cuadros, figuras y grficas, lo cualimplica confeccionar actividades ulicas precisas y contar con recursos didcticos adecuados.

En consecuencia, se infiere que para alcanzar la meta, el estudiante deber desarrollar una cultura es-tadstica adecuada. Cabe mencionar que este trmino se ha empleado de varias maneras en los ltimosaos. Katherine K. Wallman (1993) lo define como la habilidad para entender y evaluar crticamente losresultados que impregnan la vida de los ciudadanos da a da, a la par de la habilidad para apreciar lasaportaciones que el pensamiento estadstico puede hacer en nuestra toma de decisiones en el mbitopersonal y profesional. Garfield (1999) lo describe como el entendimiento del lenguaje estadstico enfuncin de palabras, smbolos y trminos, que permitirn a su vez interpretar grficos y tablas, aunado

a la lectura con sentido de la estadstica encontrada en notas y medios en general. Para Gal (2002), eltrmino se refiere a la habilidad de las personas para interpretar y evaluar crticamente informacin yargumentos en el campo de la estadstica. Dicha informacin puede encontrarse en diversos contextos,como los medios de comunicacin pero sin circunscribirse a ellos.


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1.5 Conclusiones

Desde el inicio del siglo XXI se ha intensificado la promocin de la mejora y el cambio educativo ennumerosas naciones de los cinco continentes. La promocin se ha gestado y operacionalizado desde elseno de organismos internacionales y se ha materializado en el establecimiento de reformas educativasque integran una serie de objetivos comunes, entre los que destacan la calidad de los aprendizajes,

la equidad en el acceso al conocimiento a travs de la educacin escolar y la rendicin de cuentas ala sociedad. Puede decirse entonces que hoy se asiste a la socializacin de una cosmovisin interna-cional sobre la educacin, la cual se ha traducido en el diseo e incorporacin de categoras, conceptos,indicadores e instrumentos para ponderar y medir la calidad de los sistemas educativos de cada nacin.

Entre los productos ms representativos de esta poltica destacan el establecimiento de estndaresaplicables a todos los agentes interactuantes en el proceso educativo, y la configuracin de pruebasestandarizadas nacionales e internacionales para medir el desempeo, especialmente en los campos dematemticas, ciencia y lenguaje. El programa PISA es quiz la evaluacin sobre la calidad educativams respetada a nivel internacional. Los resultados de su aplicacin tienen un efecto fundamental en laclasificacin de los sistemas educativos debido a que generalmente se asocia la calidad con los puntajesque alcanzan sus estudiantes en la prueba.

Sobresale el nfasis que se otorga a la confeccin de estndares educativos en matemticas y sus cor-respondientes mecanismos de medicin. Es probable que lo anterior se deba a dos factores, a saber, elviejo objetivo de promover una alfabetizacin cuantitativa global que se plante desde mediados delsiglo pasado, y por la necesidad actual de desarrollar una cultura estadstica en los ciudadanos.

Por otra parte, actualmente se reconoce la importancia de ser competente en probabilidad y estadsticadebido a la necesidad de su aplicacin como lenguaje y mtodo de investigacin cientfica en mltiplesreas del saber. En otros contextos ms generales, los medios de comunicacin masivos diariamenteutilizan grandes cantidades de datos que agrupan en tablas y grficos para presentarlos, interpretarlosy sustentar la nota. Caso similar se presenta en las aulas de clase de todos los niveles educativos, donde

cada vez es ms comn el trabajo con este tipo de representaciones.

Es pertinente aclarar que en todos los contextos mencionados anteriormente, frecuentemente se ob-servan errores en la presentacin y valoracin de los datos, es decir, tablas y grficas mal elaboradas,concepciones errneas de conceptos estadsticos elementales, seleccin inadecuada de estadsticos deprueba, entre otros. Lo anterior tiene implicaciones desfavorables para la sociedad que los lee, analiza,observa o escucha.

En consecuencia, se considera pertinente que comunidades de profesores, investigadores y funcionar-ios educativos examinen con detenimiento cada estndar en trminos de las necesidades sociales y es-tablezcan mecanismos para dotar de recursos, programas de formacin docente y condiciones idneaspara que los principales agentes educativos desarrollen una cultura en estas disciplinas ms all del

propsito eficientsta del estndar.

Un primer paso para lograr lo anterior es realizar una investigacin sistemtica que permita carac-terizar la prctica educativa actual en estas disciplinas. Los resultados que se obtengan servirn paracrear recursos y programas de formacin docente acordes a las necesidades actuales no slo de lasnuevas reformas educativas vigentes, sino principalmente para coadyuvar en el desarrollo de unacultura estocstica en profesores y estudiantes.




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En virtud de las caractersticas de la investigacin y de los resultados que se espera obtener, se sugieretrabajar en fases claramente diferenciadas pero relacionadas entre s. En la fase 1 se requiere exam-inar el origen social del profesor. Tambin es necesario indagar las caractersticas generales de lasinstituciones y sus correspondientes programas de formacin del profesorado. Luego, es indispens-able efectuar un anlisis de contenido de los textos y materiales de mayor recomendacin y uso parapreparar a los futuros docentes y actualizar a los que ya se encuentran ejerciendo la profesin. Parala fase 2, es necesario realizar un estudio de campo que permita caracterizar el tratamiento didcticohecho por el profesor en al menos dos situaciones que impliquen el manejo de informacin estadstica

y requieran el anlisis de fenmenos aleatorios. En funcin del anlisis de los datos obtenidos en lafase anterior, en la fase 3 se proceder a disear y poner al alcance del profesorado actividades, recur-sos y herramientas que le puedan ser de utilidad en la enseanza de la probabilidad y la estadstica.Finalmente, en la cuarta y ltima fase es forzoso que se establezca un mecanismo de evaluacin quepermita recibir retroalimentacin respecto de las actividades, recursos y herramientas que se pusierona disposicin de los profesores, y de ser posible, medir los efectos en su prctica docente.

Se recomienda dedicar especial atencin al proceso de indagacin del origen del profesor. Tenti & Stein-berg (2011) describen ampliamente la importancia de este aspecto cuando indican que los primerosaos de vida de los docentes dejan huellas relevantes a lo largo de su vida. Tambin comentan queel capital cultural de los docentes no se desarroll nicamente en las instituciones donde se formaronacadmicamente, sino tambin mediante sus experiencias en el mbito familiar.

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2SESGOS EN EL RAZONAMIENTO SOBRE PROBABILIDADCONDICIONAL E IMPLICACIONES PARA LA ENSEANZA

Carmen Batanero. J. Miguel Contreras. Carmen [email protected] [email protected] [email protected]

Universidad de Granada Universidad de Granada Universidad de Huelva

Espaa Espaa Espaa

Resumen. En este trabajo analizamos algunos de los sesgos frecuentes en la comprensin de la probabilidadcondicional. Tambin presentamos algunos resultados obtenidos en dos estudios de evaluacin realizados con es-tudiantes de Psicologa y futuros profesores de matemticas en Espaa. Finalizamos con algunas reflexiones sobrela enseanza de la probabilidad.

Palabras Clave: Probabilidad condicional, sesgos, evaluacin

Abstract. In this paper we analyze some biases that are frequent in understanding conditional probability. Wealso present results from two assessment studies carried our with Psychology students and prospective secondaryschool mathematics teachers in Spain. We conclude with some reflections on the teaching of probability.

KeyWords: Conditional probability, biases, assesment

2.1 Introduccin

La probabilidad condicional es un concepto base al aplicar la Estadstica, porque permite incorporarcambios en nuestro grado de creencia sobre los sucesos aleatorios, a medida que adquirimos nuevainformacin. Es tambin un concepto terico requerido en la construccin del espacio muestral pro-ducto. Por ello, su correcta comprensin y el razonamiento sobre la misma son requisitos en el estudiode la inferencia estadstica, tanto clsica como bayesiana, as como en el estudio de la asociacin entrevariables, la regresin y los modelos lineales. En el terreno profesional y la vida cotidiana, la tomade decisiones acertadas en situaciones de incertidumbre se basa en gran medida en el razonamiento

condicional. Todo ello hace que el tema se incluya tanto en la educacin secundaria, como en la uni-versidad en muchos pases.

A pesar de que este tema se ensea en estos dos niveles educativos, la investigacin psicolgica ydidctica sugiere la existencia de intuiciones incorrectas, sesgos de razonamiento y errores de com-prensin y aplicacin de este concepto. En lo que sigue analizamos algunas de estas investigaciones ymostramos los resultados obtenidos en dos investigaciones propias, donde se aplicaron diversos temsque evalan la presencia de estos sesgos.


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En la primera de estas investigaciones [1] participaron 414 estudiantes de las universidades de Granada(cuatro grupos de estudiantes; n =307), y Murcia (dos grupos; n =106). Todos los participantes cursa-

ban Primer Curso de Psicologa y eran alumnos de la Asignatura de Anlisis de Datos. La mayora delos alumnos tenan una edad de 18 o 19 aos. Los estudiantes haban estudiado el tema durante dossemanas, aproximadamente un mes antes que se pasase el cuestionario. Se realiz la toma de datosdespus del examen parcial que inclua el tema, para asegurarse que los alumnos lo haban estudiado.

En Espaa el acceso a profesor de matemticas de secundaria se realiza mediante un concurso. Para

poder realizar este concurso, actualmente se exige un ttulo especfico de Mster Universitario en For-macin del Profesorado de Educacin Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formacin Profesionaly Enseanza de Idiomas, en la especialidad de matemticas (en lo sucesivo Mster de Secundaria).Aproximadamente el 50% de los que acceden a dicho Mster son Licenciados de Matemticas y elresto tienen diversas titulaciones cientficas o tcnicas. Por otro lado, dentro de la Licenciatura deMatemticas, el 90% de los egresados realizan el concurso para profesor de matemticas de secun-daria, al finalizar su formacin. En consecuencia, los profesores de matemtica en Espaa provienenen la misma proporcin de dos tipos de estudios: (a) o bien son licenciados en Matemticas (el 90%de dichos titulados) o bien son egresados del Mster de Secundaria. Para conseguir una muestra rep-resentativa de futuros profesores de secundaria espaoles en el segundo estudio [2] se decidi tomarestos dos tipos de alumnos, eligiendo varias universidades para lograr un tamao de muestra ade-cuado y mejorar la representatividad, puesto que el nmero de alumnos, tanto en la licenciatura dematemticas, como en el Mster es pequeo en cada universidad. Participaron 196 futuros profesoresde matemticas de educacin secundaria (95 alumnos de ltimo curso de la licenciatura de Matemticasde las Universidades de Granada, La Laguna y Salamanca y 101 alumnos del Mster de Secundaria,de las Universidades de Alicante, Barcelona, Cdiz, Extremadura, Granada, Salamanca, Santiago deCompostela, Pblica de Navarra y Valladolid). El rango de edad fue de 22 a 30 aos.

La finalidad de este trabajo es analizar algunas dificultades con las que nos enfrentamos al razonarsobre la probabilidad condicional, mostrando ejemplos de tareas que permiten evaluarlas, as como lasrespuestas tpicas a las mismas. Creemos que esta informacin es valiosa para la planificacin de laenseanza de la probabilidad y la evaluacin del aprendizaje.

2.2 Definicin de la Probabilidad Condicional e Independencia

La probabilidad condicional puede definirse con diversos grados de formalizacin. Intuitivamentepodemos decir que la probabilidad condicional P(A/B) de un suceso A dado otro suceso B es laprobabilidad de que ocurra Asabiendo que B se ha verificado. Desde un punto de vista ms formal, sedefine mediante la expresin:

P(A/B) = P(A B)/P(B), siempre que P(B) > 0.

El primer punto en nuestros estudios fue ver si estas definiciones se comprenden, para lo cual se pidia los alumnos que dieran de una definicin intuitiva de probabilidad simple y de probabilidad condi-cional, aportando un ejemplo de cada una. Los resultados (Tabla 1) sugieren que, aunque una parteimportante de los alumnos define correctamente las probabilidades, la tercera parte no da respuesta otiene imprecisiones en la definicin.

Algunos participantes utilizaron expresiones imprecisas para definir algunas de las probabilidades,como por ejemplo: En la probabilidad condicional, para que se d un suceso, se tiene que dar otro. Estealumno indica correctamente que en la probabilidad condicional intervienen dos sucesos, pero la re-spuesta es imprecisa porque matemticamente podemos definir la probabilidad condicional, indepen-


Derechos Reservados 2013 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)19


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20 SESGOS EN EL RAZONAMIENTO SOBRE PROBABILIDAD CONDICIONAL E IMPLICACIONES PARA LA ENSEANZA

Futuros profesores(n = 196)

Psicologa(n = 414)

Frecuencia % Frecuencia %Define incorrectamente ambas probabilidades 33 16,9 119 28,7Define imprecisamente una probabilidad 6 3,2 28 6,8Define correctamente una probabilidad 12 6,0 90 21,7Define imprecisamente ambas probabilidades 114 58,1 50 12,1Define correctamente ambas probabilidades 31 15,8 127 30,7Total 196 100,0 414 100,0

Tabla 2.1: Respuestas en la definicin de la probabilidad simple y condicional.

dientemente de que el suceso ocurra o no. Otro ejemplo de definicin imprecisa sera: Probabilidadsimple: aquella en la que hay un slo elemento y en la probabilidad condicional intervienen dos sucesos. Larespuesta es imprecisa, porque en la probabilidad conjunta tambin intervienen dos sucesos. La re-spuesta: La probabilidad simple es la probabilidad de que ocurra una variable y la condicional que ocurrasabiendo que ha ocurrido otra que la condiciona es imprecisa porque el alumno se refiere a variables yno a sucesos. Como se muestra en la tabla los resultados fueron peores en los futuros profesores dematemticas que en los estudiantes de psicologa.

Un concepto relacionado con la probabilidad condicional es el de independencia. Matemticamentepuede deducirse de la regla del producto de probabilidades, mediante la expresin:

A y B son independientes si y slo si P(A B) = P(A) P(B)

Este concepto se relaciona con el de probabilidad condicional, ya que dos sucesos son independientessi la probabilidad de uno de ellos no cambia al condicionarlo por el otro [3]. Aunque tambin en estecaso la definicin es simple, desde un punto de vista psicolgico y didctico es difcil, en muchoscasos, saber si dos sucesos son o no independientes, al resolver un problema o al tomar una decisin.Maury analiz la comprensin intuitiva de la probabilidad condicional de 374 estudiantes de los lti-mos cursos de Bachillerato, usando cuatro problemas en un contexto de extraer bolas de urnas; con ysin reemplazamiento. Tambin utiliz dos tipos de vocabulario (tcnico y cotidiano) al plantear, obser-vando que slo la cuarta parte de los alumnos daban respuestas correctas en el clculo de probabilidad

condicional mientras que los mismos alumnos obtuvieron un 60% de aciertos en problemas de proba-bilidad simple.

Maury ([3]) supuso que la dificultad no est ligada, en s, a la nocin de independencia, sino al hechode que los dos sucesos (azul /rojo) sean no equiprobables que introduce un distractor que aumentala dificultad de la tarea. Esta suposicin se confirm en otro experimento [4] en la que plantea a 290alumnos de entre 13 y 16 aos un problema similar en el contexto de lanzamiento de una moneda,obteniendo en este caso un 70 % de xitos, lo que para Maury indica el reconocimiento intuitivo de laindependencia por parte de los alumnos. Nuestra versin del problema en un contexto de lanzamientode dados es el siguiente:

Problema 1. Una persona lanza un dado y anota si saca un nmero par o impar. Se trata deun dado no sesgado (es decir todos los nmeros tienen la misma probabilidad). Estos son losresultados al lanzarlo 15 veces: par, impar, impar, par, par, impar, par, par, par, par, impar, impar,par, par, par. Lanza el dado de nuevo Cul es la probabilidad de sacar un nmero par en estanueva tirada?

En la Tabla 2 presentamos los resultados del problema 2, donde la mayora de los alumnos da unarespuesta correcta, siendo los resultados mucho mejores en los futuros profesores de matemticas. Un


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5% de futuros profesores y 20% de estudiantes de Psicologa obtiene una estimacin frecuencial dela probabilidad, es decir, calculan la probabilidad a partir de la frecuencia relativa obtenida en losensayos que se describen en el tem, dando cmo valor de la probabilidad el valor 10/15 (hay un totalde 10 pares en los quince lanzamientos). Un 16,8% de futuros profesores y 27% de estudiantes depsicologa da respuestas son errneas, que pueden clasificarse en tres categoras: (1) o bien se calcula laprobabilidad de ocurrencia en funcin de los resultados anteriores, cometiendo la falacia del jugador,donde se espera que una serie corta de ensayos se equilibre [5] y [6]; (2) tratan de aplicar la frmula dela probabilidad condicional, pero comete un error en la frmula, (3) hacen una interpretacin incorrecta

del enunciado o no responden.


Psicologa(n = 414)

Frecuencia % Frecuencia %No responde o asume dependencia 33 16,8 112 27,0Estimacin frecuencial probabilidad 10 5,1 84 20,3Respuesta correcta 153 78,1 218 52,7Total 196 100,0 414 100,0

Tabla 2.2: Respuestas al problema 1

La dificultad del concepto de independencia no es exclusiva de los participantes en nuestro estudiopues Snchez ([6]) pasa un cuestionario de probabilidad a 88 profesores de Matemticas que participa-

ban en Mxico en un programa de actualizacin, proponindoles el problema 2, encuentra que slo 44de los profesores hicieron intentos sistemticos por resolver el problema.

Problema 2. Se extrae una carta al azar de una baraja americana: sea A el evento se extrae untrbol y B el evento se extrae una reina Los eventos A y B son independientes?

De los profesores que tratan de resolverlo, 39 llegaron a una respuesta, pero slo 4 lo hicieron cor-rectamente, utilizando la regla del producto. En las respuestas incorrectas encuentra dos tipos derazonamiento:

1. Creer que eventos independientes son lo mismo que eventos excluyentes: No son independientesporque tenemos la reina de trboles. Este es un error muy extendido, y ha sido descrito, entreotros autores, por Kelly y Zwiers [5]. Los autores sugieren que el error puede ser debido a laimprecisin del lenguaje ordinario, en que independiente puede significar, a veces, separado.Por otro lado, tanto en la definicin formal de independencia como en la de sucesos excluyentesinterviene la operacin de interseccin. Usualmente decimos que dos sucesos son independientescuando la aparicin/no-aparicin de uno de ellos no proporciona informacin sobre la ocurrenciadel otro. En el caso de sucesos excluyentes la aparicin de uno implica la no-aparicin del otro,

por tanto dos sucesos excluyentes son siempre dependientes.

2. Creer que slo se puede aplicar la idea de independencia a sucesiones de experiencias: S i ex-traemos una carta para verificar el evento A y se vuelve a colocar en la baraja para verificar el evento B

entonces A y B son independientes. Si se extrae la carta para verificar A y no se regresa, entonces A y B no

son independientes.

En nuestra investigacin propusimos este mismo problema, pero se incluyeron en las respuestas alter-nativas los errores descritos por Snchez ([6]), quedando de la siguiente forma:


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Problema 3. Se extrae una carta al azar de una baraja espaola (40 cartas con cuatro palos: oros,bastos, espadas y copas. Cada palo tiene los nmeros del 1 al 7, sota caballo y rey). Sea A elsuceso "se extrae una carta de oros" y B el suceso "se extrae un rey". Los sucesos A y B sonindependientes?

1. No son independientes, porque en la baraja hay un rey de oros.

2. Slo si sacamos primero una carta para ver si es rey y se vuelve a colocar en la baraja yluego sacamos una segunda para ver si es oros.

3. S, porque P(rey de oros) = P(rey) P(oros).

4. No, porque P(rey/oros) = P(rey).


Psicologa(n = 414)

Frecuencia % Frecuencia %a.) No son independientes porque en la baraja hay

un rey de oros.

63 32,1 118 28,5

b.) Slo si sacamos primero una carta para ver si esrey y se vuelve a colocar en la baraja y luego sacamosuna segunda carta para mirar si es oros.

64 32,7 61 14,7

c.) No, porque P(rey/oros) = P(rey). 17 8,7 82 19,8d.) S, en todos los casos. 51 26,0 120 29,0En blanco. 1 0,5 33 8,0Total 196 100,0 414 100,0

Tabla 2.3: Respuestas al problema 3

En la Tabla 3 mostramos las respuestas de nuestros estudiantes a este problema, donde vemos que

un 26% de futuros profesores y 29% de alumnos de Psicologa responden correctamente. El error msfrecuente entre nuestros alumnos fue confundir independencia con mutua exclusividad (alrededor del30% en cada grupo), algo que coincide con los resultados de Snchez ([ 6]). El distractor (b) evalael error de suponer que el concepto de independencia slo se puede aplicar a experimentos que sesuceden en el tiempo, fue cometido por un 14,7% de los estudiantes de psicologa y en el doble defuturos profesores. Fue algo mayor la proporcin de estudiantes de psicologa que piensan que lossucesos no son independientes precisamente porque se cumple la relacin de independencia y tambinque no responden que los futuros profesores.

2.3 Condicionamiento, Causacin y Temporalidad

La causalidad es un concepto cientfico, filosfico y psicolgico complejo, a pesar de que intuitivamentees comprendido y aceptado por la mayora de personas ya que construimos nuestro conocimiento delmundo sobre la base de relaciones de causa y efecto entre diferentes sucesos. Desde el punto de vistaprobabilstico, si un suceso A es causa de otro suceso B, siempre que suceda A, suceder B, por lo queP(B/A) = 1. La relacin causal estricta es difcil de hallar en el mundo real y hablamos de relacin decausa dbil cuando al suceder A cambia la probabilidad de que ocurra B. Es decir, cuando P(B/A) esdiferente de P(B), por lo cual una relacin de causalidad implica una dependencia de tipo estadsticoentre los sucesos implicados.




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Sin embargo, en contra de la creencia popular, dos sucesos pueden ser estadsticamente dependientes,sin que uno de ellos sea causa del otro. Por ejemplo, es sabido que los pases con mayor esperanzade vida tienen una menor tasa de natalidad, pero esto no implica que la tasa de natalidad sea causade la esperanza de vida o al contrario, ya que si conseguimos aumentar la natalidad de un pas estono incide automticamente en la esperanza de vida de sus habitantes. La existencia de una relacincondicional indica que una relacin causal es posible, pero no segura. Una asociacin estadstica entrevariables puede ser debida a otras variables intervinientes o incluso ser esprea y no implica relacincausal. En el ejemplo, ambas variables pueden depender del nivel de renta de un pas que es mayor si

hay mayor proporcin de mujeres trabajando; este trabajo de las mujeres contribuye a elevar el nivel derenta y este la esperanza de vida. Pero la mayor dedicacin de las mujeres a la vida profesional haceque estas decidan tener un menor nmero de hijos, disminuyendo la tasa de natalidad.

Desde el punto de vista psicolgico, la persona que evala una probabilidad condicional P(A/B) vaa percibir dos relaciones muy diferentes entre A (suceso condicionado) y B (suceso condicionante)dependiendo del contexto. Si dentro del contexto se percibe que B es una causa de A, la personaestablecer entre A y B una relacin causal, por ejemplo, al preguntar cul es la probabilidad de que unania tenga los ojos azules si su padre tiene los ojos azules. Si dentro del contexto se percibe A comouna causa de B, la persona establecer entre A y B una relacin diagnstica, por ejemplo, al preguntarcul es la probabilidad de que un padre tenga los ojos azules si una nia tiene los ojos azules [7].Aunque matemticamente los dos enunciados son equivalentes, desde un punto de vista psicolgicono son percibidos como idnticos por las personas. En la primera opcin, A sera que la nia tenga losojos azules (efecto), B que la madre tenga los ojos azules (causa). En este caso al calcular P(A/B) elestudiante tendr que realizar un razonamiento causal, estimando el efecto dado cierto conocimientode las causas. Por el contrario, en la segunda opcin, Asera que la madre tenga los ojos azules (causa)y Bque la nia tenga los ojos azules, por tanto P(A/B), es una relacin diagnstica.

Numerosos estudios indican que la creencia que las relaciones causales son ms fuertes que las rela-ciones diagnsticas. La relacin de causalidad tambin se asocia, a menudo, con la secuencia temporal.El problema 4 [8] ilustra como algunos estudiantes tienen problemas con la condicionalidad cuando seinvierte el eje de tiempo en que los sucesos ocurren de una forma natural.

Problema 4. Una urna contiene dos bolas blancas y dos bolas negras. Extraemos a ciegas dosbolas de la urna, una detrs de otra, sin reemplazamiento.

1. Cul es la probabilidad de extraer una bola negra en segundo lugar, habiendo extradouna bola negra en primer lugar? P(N2/N1)

2. Cul es la probabilidad de extraer una bola negra en primer lugar, sabiendo que hemosextrado una bola negra en segundo lugar? P(N1/N2)

Mientras los alumnos de Falk [8] no tenan dificultad para resolver la primera parte del problema 4,muchos fueron incapaces de dar una solucin a la segunda, a la que responden que el resultado enla segunda extraccin no afecta a la primera. Otros estudiantes dan como respuesta 1/2, teniendo encuenta slo la composicin de la urna y sin utilizar el dato del resultado posterior. Estos resultadossugieren la confusin entre condicionamiento y causacin. En la primera parte del problema 4, la infer-encia causal es una situacin natural y compatible con el eje temporal, pero la segunda parte pide haceruna inferencia inversa, que requiere un razonamiento probabilstico que es indiferente al orden tempo-ral, lo que puede crear dificultades psicolgicas, pues el resultado en la segunda extraccin dependecausalmente del resultado en la primera extraccin, pero no al contrario. Sin embargo, el resultado en


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cualquiera de las dos extracciones modifica la estimacin de probabilidades del resultado en la otra. Si,por ejemplo, en la segunda extraccin ha salido una bola negra, sabemos que esta bola ya no puede seruno de los posibles resultados en la primera extraccin, por tanto ha habido una reduccin del espaciomuestral yP(N1/N2) sera un tercio, igual que la P(N2/N1).

La creencia de que un suceso que ocurre despus del que juzgamos no puede afectar a la probabili-dad del primero se conoce como falacia del eje temporal. Es importante erradicar esta creencia, pues laprobabilidad de un suceso debe ser revisada a la luz de resultados posteriores en algunas situaciones,

sobre todo al aplicar el Teorema de Bayes, donde la actualizacin de las probabilidades a la luz de losresultados juega un papel tan importante [9].


Psicologa(n = 414)

Frecuencia % Frecuencia %a.) 1/ 2 7 3,6 23 5,6

b.) 1/ 6 52 26,5 70 16,9c.) 1/ 3 126 64,3 285 68,8d.) 1/ 4 8 4,1 30 7,3En blanco. 3 1,5 6 1,4Total 196 100,0 414 100,0

Tabla 2.4: Respuestas al problema 4 (parte 1)

En las tablas 4 y 5 presentamos los resultados de la aplicacin del problema 4 en nuestros dos estudios.La mayora de los alumnos de psicologa (68,8%) y de futuros profesores (64,3 %) han respondido cor-rectamente a la primera parte del problema. El error ms frecuente en esta parte en ambos grupos fueconfundir la probabilidad condicional y conjunta aplicando la regla del producto (1/2) (1/3) = 1/6.

Futuros profesores(n = 196) Psicologa(n = 414)Frecuencia % Frecuencia %

a.) 1/3 58 29,6 99 23,9b.) No se puede calcular 41 20,8 103 24,9c.) 1/6 25 12,8 38 9,2d.) 2 64 32,7 151 36,5En blanco. 8 4,1 23 5,5Total 196 100,0 414 100,0

Tabla 2.5: Respuestas al problema 4 (parte 2)

En la segunda parte del problema, son slo el 29,6% de futuros profesores y el 23,9% de estudiantesde Psicologa los que dan la respuesta correcta, mientras que un 20,8% y un 24,9% respectivamenteindican que no se puede calcular, mostrando explcitamente la falacia del eje temporal. El sesgo deequiprobabilidad lo presenta un 32% y 36,5% de estudiantes y el resto confunde probabilidad condi-cional y conjunta (distractor c). Nuestros resultados reproducen los obtenidos en [8].


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2.4 Intercambio de Sucesos en la Probabilidad Condicional

Falk [8] sugiri que muchos estudiantes no discriminan adecuadamente entre las dos direcciones de laprobabilidad condicional P(A/B) y P(B/A) y denomin a este error falacia de la condicional transpuesta.Aparece con frecuencia en contextos mdicos, donde se confunde la probabilidad de tener una enfer-medad cuando ha sido positivo el test de diagnstico con la probabilidad de un resultado positivo en

el test de diagnstico, dado que se tiene la enfermedad [10]. La prevalencia de este error puede tenerconsecuencias importantes; por ejemplo la confusin entre la probabilidad de que un nio afectadocon sndrome de Down d una amniocentesis prenatal positiva, que es alta y el hecho de que, siendo laprueba positiva el nio realmente tenga sndrome de Down, que es mucho menor. Un problema de estetipo se present a nuestros estudiantes para evaluar la presencia de este sesgo presentamos (Problema5). Algo ms del 40% de futuros profesores y alrededor de tercio de estudiantes de Psicologa escoge larespuesta correcta (alternativa b), siendo los resultados en nuestro caso algo mejores que en el estudiode Pollatsek y cols. [7]. Lo ms frecuente en ambos grupos es considerar la misma confianza en ambaspredicciones, lo que de acuerdo a Pollatsek et al., indica la falacia de la condicional transpuesta.

Problema 5. Un test diagnstico de cncer fue administrado a todos los residentes de una granciudad en la que hay pocos casos de cncer. Un resultado positivo en el test es indicativo decncer y un resultado negativo es indicativo de ausencia de cncer. Qu te parece ms probable?

1. Que una persona tenga cncer si ha dado positivo en el test de diagnstico.

2. Que un test de diagnstico resulte positivo si la persona tiene cncer.

3. Los dos sucesos tienen la misma probabilidad.

Futuros profesores

(n = 196)

Psicologa

(n = 414)Frecuencia % Frecuencia %

a.) Predecir que una persona tiene cncer si ha dadopositivo en el test de diagnstico.

27 13,8 24 5,8

b.) Predecir un resultado positivo en el test de diag-nstico si la persona tiene cncer.

81 41,3 133 32,1

c.) Tengo la misma confianza en ambas predicciones. 83 42,3 245 59,2En blanco. 5 2,6 12 2,9Total 196 100,0 414 100,0

Tabla 2.6: Respuestas de futuros profesores y alumnos de Psicologa al problema 5

La falacia de la condicional transpuesta aparece con frecuencia al interpretar el nivel de significacin en los contrastes de hiptesis. El nivel de significacin se define como la probabilidad condicionalde obtener un resultado R en la regin de rechazo cuando la hiptesis nula Ho es cierta, es decir = P(R/Ho). Cuando un contraste de hiptesis resulta significativo (lo que quiere decir que R haocurrido) y alguien pregunta por la probabilidad de haber cometido un error (la probabilidad de queH0 sea cierta) a menudo se contesta con . En esta situacin se estara confundiendo P(R/Ho) conP(Ho/R). Tambin se ha encontrado en la interpretacin de tablas de contingencia por parte de estu-diantes donde, segn [11] alrededor del 20% de los estudiantes del curso preuniversitario en su trabajoconfunden porcentaje de fumadores que contraen cncer de pulmn con porcentaje de personas




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con cncer de pulmn que fuman.

Una posible explicacin dada por Falk [8] de la prevalencia de este error es que el lenguaje ordinario,que es el que usamos en el enunciado de los problemas de probabilidad condicional no tiene la sufi-ciente precisin. Cuando escribimos una probabilidad condicional usando la notacin matemtica esclaro cul es el suceso condicionante y cul el condicionado, pero en el lenguaje ordinario la probabili-dad condicional (tener cncer si se es fumador) y su inversa (ser fumador si se tiene cncer) no siemprese distinguen claramente entre s. Tambin en el caso del contraste estadstico de hiptesis la defini-

cin de como probabilidad de cometer error tipo I podra contribuir a su incorrecta interpretacinporque en la anterior frase slo se hace referencia a un suceso (error tipo I) y no a una probabilidadc

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