Jorge CuzcoLey de enfriamiento de NewtonNewton observ que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba ms rpidamente cuando estaba muy caliente, y ms lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton se escribe como:

Donde:= razn de cambio de la temperatura con respecto al tiempo.= constante de proporcionalidad.= temperatura del cuerpo.= temperatura del medio.

Ejercicio: Resolver la siguiente ecuacin diferencial de valor inicial

Donde:

T=dsolve('DT=-0.15*T+0.15*80-0.15*30*cos(t*pi/12)','T(0)=7')syms tezplot(T,[0 50])grid on

Solucin de la ecuacin:T = exp(-(3*t)/20)*(2430/(25*pi^2 + 81) - 73) + exp(-(3*t)/20)*(80*exp((3*t)/20) - (270*exp((3*t)/20)*(9*cos((pi*t)/12) + 5*pi*sin((pi*t)/12)))/(25*pi^2 + 81)) La grafica del resultado es:

Ecuaciones de orden superior y sus aplicaciones

1. Un cuerpo que pesa 9.8 N estira un resorte 5cm. El sistema est sumergido en un lquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 2 veces la velocidad instantnea, se sabe adems que el movimiento es provocado por una fuerza igual a F(t)=6 sen (3t) ; determine la ecuacin de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un punto a 3cm por encima de la posicin de equilibrio, con una velocidad ascendente de 6 cm/s. a. Escriba la ecuacin diferencial que modela este sistema, e indique el significado de cada uno de los trminos. b. Escriba las condiciones iniciales del problema. c. Indique cual es la solucin general al problema d. Indique cul es la solucin particular del problema e. Cul es el trmino transitorio y cual el trmino estable. Grafique la solucin particular e indique en el grfico que se cumplen las condiciones del literal b.Desarrollo en MATLAB

x=dsolve('D2x+2*Dx+196*x=6*sin(3*t)','x(0)=-0.03,Dx(0)=-0.06')x=simple(x)syms tezplot(x,[0 6*pi])hold on grid onObtenemos como solucin: x = sin(195^(1/2)*t)*((561*cos(3*t - 195^(1/2)*t))/35005 - (561*cos(3*t + 195^(1/2)*t))/35005 - (18*sin(3*t + 195^(1/2)*t))/35005 + (18*sin(3*t - 195^(1/2)*t))/35005 + (111*195^(1/2)*cos(3*t + 195^(1/2)*t))/455065 + (111*195^(1/2)*cos(3*t - 195^(1/2)*t))/455065 + (41*195^(1/2)*sin(3*t + 195^(1/2)*t))/455065 + (41*195^(1/2)*sin(3*t - 195^(1/2)*t))/455065) - cos(195^(1/2)*t)*((18*cos(3*t + 195^(1/2)*t))/35005 + (18*cos(3*t - 195^(1/2)*t))/35005 - (561*sin(3*t + 195^(1/2)*t))/35005 - (561*sin(3*t - 195^(1/2)*t))/35005 - (41*195^(1/2)*cos(3*t + 195^(1/2)*t))/455065 + (41*195^(1/2)*cos(3*t - 195^(1/2)*t))/455065 + (111*195^(1/2)*sin(3*t + 195^(1/2)*t))/455065 - (111*195^(1/2)*sin(3*t - 195^(1/2)*t))/455065) - (20283*exp(-t)*cos(195^(1/2)*t))/700100 - (43203*195^(1/2)*exp(-t)*sin(195^(1/2)*t))/45506500x = (1122*sin(3*t))/35005 - (36*cos(3*t))/35005 - (20283*exp(-t)*cos(195^(1/2)*t))/700100 - (43203*195^(1/2)*exp(-t)*sin(195^(1/2)*t))/45506500 Se cumple la primera condicin inicial x(0)=-0.03

Derivamos x para obtener la velocidad comprobando la segunda condicin inicial x(0)=-0.06diff(x)ans = (3366*cos(3*t))/35005 + (108*sin(3*t))/35005 - (54663*exp(-t)*cos(195^(1/2)*t))/350050 + (680799*195^(1/2)*exp(-t)*sin(195^(1/2)*t))/22753250 zplot(ans)grid on

2. Un condensador conectado en serie a una resistencia tiene un voltaje de 20V, al instante de cerrar el interruptor en t=0. El condensador est descargado.a) Escriba la ecuacin diferencial del voltaje en el condensador e indique el significado de cada trmino.b) Encuentre La solucin general para la ecuacin. c) Indique el tiempo que demora el condensador en cargarse con 17. V. d) Escriba la ecuacin de la corriente en funcin del tiempo. Grafique el voltaje y corriente del condensador en dominio del tiempo.Desarrollo en MATLAB

q=dsolve('Dq=-q/(0.0000002)+ 2','q(0)=0')q =1/2500000 - exp(-5000000*t)/2500000

Derivamos q la ecuacin de la carga para obtener la corriente

diff(q) ans = 2*exp(-500000*t)ezplot(ans)grid on

Grfica de la corriente correspondiente al literal d

Grfica voltaje: Se cumple que V=17v en un t=0.000028 s calculado correspondiente al literal d

6

5

4

3

2

2.1