1) Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un terreno de 70 hectáreas. Sabe que una hectárea puede rendir 30 quintales (qq) de maíz o 25 quintales de trigo. Cada hectárea requiere un capital de $30 si se cultiva con maíz y de $40 si se cultiva con trigo. El capital total disponible es de $2.500. Las necesidades de agua de riego son de 900 metros cúbicos por hectárea de maíz y 650 metros cúbicos por hectárea de trigo en octubre, y de 1.200 metros cúbicos y 850 metros cúbicos por hectárea de maíz y trigo, respectivamente, en el mes de noviembre. La disponibilidad de agua en octubre es de 57.900 metros cúbicos y en noviembre de 115.200 metros cúbicos. Si los precios de venta del maíz y del trigo son $4,50 y $6,00 por quintal métrico, respectivamente, hay que determinar la cantidad de maíz y trigo que debe producirse para obtener el beneficio máximo.

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2) Un fabricante de camiones debe surtir pedidos a dos de sus distribuidores de sus tres almacenes. La cantidad demandada por cada distribuidor y la existencia en los almacenes es la siguiente:--------------------------------- ------------------------------- ------------------------------------------

Existencia Cantidad Almacenes El costo de reenvío de cada camión desdeAlmacén camiones Distribuidor demanda Distribuidor 1 2 3 el almacén hasta el distribuidor es el que --------------------------------- ------------------------------- ------------------------------------------ aparece en el cuadro: 1 10 1 25 1 24 21 37 El problema a determinar es encontrar la 2 20 2 30 2 8 16 17 cantidad de camiones que debe surtir cada 3 40 Total 55 ------------------------------------------ almacén a cada distribuidor, de tal manera Total 70 ------------------------------- que el costo total de envío sea el menor posible. (Es necesario incluir un --------------------------------- distribuidor ficticio).

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3) Con dos recursos escasos R1 y R2 (por ejemplo, capital y trabajo), se pueden elaborar dos productos distintos P1 y P2. Para producir una unidad de P1 necesitamos 8 unidades de R1y 2 unidades de R2; para producir una unidad de P2 necesitamos 6 unidades de R1 y 4 unidades de R2. Se cuenta con20 unidades de R1 y 10 unidades de R2 y se sabe que P1 produce una utilidad de $8 y que P2 produce una utilidad de $10. Suponiendo que los valores dados son fijos para cualquier nivel de producción, se pide encontrar el nivel positivo de productos de cada producto (nivel positivo de actividad), sin sobrepasar las limitaciones de recursos, de modo que maximice la utilidad.

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4) Asumir que una dieta mínima consiste en tres alimentos: leche, carne y huevos, y de estos alimentos tienen que satisfacer los requisitos de las vitaminas A, C y D. El número de miligramos de cada una de estas vitaminas en cada uno de los alimentos, los requisitos diarios de las vitaminas y los costos de los alimentos, se ven en la siguiente tabla:------------------------------------------------------------------------------------ Alimentos

1 Litro 1 Libra 1 Docena Requisito Vitaminas de Leche de Carne de Huevos Diario------------------------------------------------------------------------------------ A 1 1 5 3 Se requiere satisfacer los requisitos a costo mínimo. C 5 2 2 15 D 2 5 1 10 ------------------------------------------------------------------------------------ Costo (US) 110 450 420------------------------------------------------------------------------------------

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5) Se desea obtener una tonelada de mezcla de arena y cemento que tenga 30% de arena y 70% de cemento. En el mercado venden 3 clases de productos: el producto 1 tiene 20% de arena y 80% de cemento y vale $30.000/Kilogramo. El producto 2 tiene 40% de arena y 60% de cemento y vale $20.000/Kilogramo. El producto 3 tiene 50% de arena y 50% de cemento y vale $5.000/Kilogramo. ¿Qué cantidad de cada producto se debe comprar para producir la mezcla deseada a un costo mínimo? Formule un problema de Programación Lineal.

6) Un individuo cuenta con tres fincas de una cierta extensión cada una y con ciertas características específicas de niego, de acuerdo con la región en que cada una de ellas se encuentra. Se tienen, además, tres diferentes clases de plantas que se pueden cultivar: yuca, papa y maíz; cada una de ellas tiene restricciones sobre el número de hectáreas que se puede cultivar y sobre el consumo de agua por hectárea, y cada una tiene asociada una utilidad por hectárea cultivada. Un resumen de estas características aparece a continuación: ----------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------

Agua Máximo No. Consumo Utilidad Por disposiciones gubernamentales noFinca Hectáreas Disponible Cultivo de Hectáreas de Agua ($/Ha.) es posible tener porcentajes diferentes

(m3) a cultivar (m3/Ha.) de áreas cultivadas en las tres fincas.----------------------------------------- --------------------------------------------------------------------- Nuestro individuo se pregunta cuál ha de 1 350 1.500 (A) Yuca 600 5 400 ser la distribución de cultivos en cada 2 700 2.000 (B) Papa 900 4 300 una de las fincas de manera que 3 300 900 (C) Maíz 300 3 100 maximice la utilidad generada por la----------------------------------------- -------------------------------------------------------------------- venta del producto de las cosechas.Total 1.350-----------------------------------------

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7) El Señor Martínez fue llamado para dar consulta a la Compañía Zigma, que con sus dos máquinas automáticas puede hacer montaje de motocicletas. La Compañía tiene un contrato para armar 60 motocicletas de 4 cilindros, 120 de 2 cilindros y 150 de un cilindro, diariamente. Le cuesta 200 (en miles de pesos) operar la primera máquina y se puede hacer un montaje de 1, 4 y 6 motocicletas de 4, 2 y 1 cilindros, respectivamente. Cuesta 300 (en miles de pesos) operar la segunda máquina y puede hacer 2 montajes diariamente de cada motocicleta. El Señor Martínez tiene que encontrar la combinación de motocicletas que se deben montar con estas dos máquinas para minimizar el costo de operación. Formule un problema de Programación Lineal.

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8) Supongamos que en Colombia existen dos Centros donde se produce carne de res para el consumo humano, y que tales Centros de Producción son Villavicencio y Montería. Supongamos además que los Centros de Consumo son Bogotá, Medellín y Cali. El problema que se le puede presentar a una organización tal como FEDEGAN ó Planeación Nacional es el de determinar cuánta carne debe enviarse de cada uno de los Centros de Producción a cada uno de los Centros de Consumo.El costo de transporte en pesos por cada tonelada de carne enviada, las toneladas de carne disponibles y requeridas son:---------------------------------------------------------------------------------------------------------Centros de Centros de Consumo Toneladas deProducción Bogotá Medellín Cali carne disponibles---------------------------------------------------------------------------------------------------------Villavicencio 800 1.500 1.450 1.300 Montería 1.900 750 1.300 3.000---------------------------------------------------------------------------------------------------------Toneladas de carne requeridas 1.000 700 600---------------------------------------------------------------------------------------------------------FEDEGAN podría estar interesada en determinar la manera de enviar carne de los Centros de Producción para satisfacer la demanda de los Centros de Consumo, de tal forma que el costo total de movilizar carne sea lo más bajo posible.

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9) La mayor incidencia de operaciones quirúrgicas en la Clínica Bolivariana S.A. se da en las especialidades de Cirugía, Ortopedia y Ginecobstetricia. De acuerdo a la División de Recursos Humanos, el reporte indica que para la atención de las operaciones quirúrgicas de los servicios en referencia, existe una contratación de 13 horas-enfermera, 9 horas- anestesia y 18 horas-médico. Para efectuar una operación quirúrgica en cada una de las especialidades, se requiere lo siguiente: Una Cirugía requiere: 1 hora-médico, 2 horas-anestesia y 3 horas de enfermería. Una Ortopedia requiere: 3 horas-médico, 1 hora-anestesia y 2 horas de enfermería. Una Ginecobstetricia requiere: 2 horas-médico, 1 hora-anestesia y 1 hora de enfermería. De acuerdo al estudio de costos de las actividades en gestión, se obtiene para la Clínica una utilidad de $50,000 por cada operación practicada en la sala de Cirugía. $80,000 por cada operación practicada en la sala de Ortopedia y $70,000 por cada operación practicada en la sala de Ginecobstetricia. Formule un modelo matemático para determinar el número ideal de operaciones de cada clase que se debe realizar?10) Se quiere una dieta de costo mínimo, que reuna los requisitos alimenticios siguientes: al menos 4 mgr. de vitamina A, al menos 4 mgr. de vitamina D y al menos 12 mgr. de vitamina B12. Se tiene varios productos con diferentes contenidos de vitaminas. La tabla da el contenido de mgr. por gramo de producto.-------------------------------------------------------------------------

Producto 1 2 3 4Vitaminas (mgr. en un gramo de producto) Plantee el modelo buscando una diete a costo mínimo.------------------------------------------------------------------------- A 0.5 0.4 0.4 0.5D 0.4 0.2 0.2 0.6B12 0.14 0.2 0.3 0.4------------------------------------------------------------------------

Costo de un gramo ($) 35 20 25 45------------------------------------------------------------------------

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11) Formule un modelo de Programación Lineal para resolver el siguiente problema: Un barco tiene tres (3) bodegas: Proa, Popa y Centro. Los límites de capacidad para esas tres bodegas son: Proa 2.000 Ton. ó 100.000 pies cúbicos. Popa 1.500 Ton. ó 300.000 pies cúbicos y Centro 3.000 Ton. ó 135.000 pies cúbicos. Se ofrecen las siguientes cargas, y los responsables del barco pueden aceptar todo, o parte de cada carga.

CARGA CANTIDAD VOLUMEN UTILIDAD Buscando conservar el equilibrio en el barco, Toneladas Pies Cúbicos/Ton. $/ Tonelada el peso en cada bodega debe ser proporcional A 6.000 60 6 a su capacidad en toneladas. Cómo se debe B 4.000 50 8 repartir la carga buscando maximizar las C 2.000 25 5 ganancias totales?

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12) Al Concejero Financiero de una Empresa, se le han dado $15.000.000, para que invierta en un periodo de tres (3) años. El Concejero ha determinado que existen tres (3) Alternativas de Inversión disponibles en el momento, que son las siguientes: La inversión “A” rinde un 14% anual. La inversión “B” rinde el 10% anual el primer año y el 16% anual los años siguientes. La inversión “C” rinde el 50% al final del tercer año y no se puede volver a invertir. También se ha encontrado que al comienzo de segundo año, existe otra alternativa de inversión, que se denomina la inversión “D”, que produce el 30% al final del tercer año y por una sola vez. El Concejero debe determinar, cuánto dinero invertir; en dónde invertir: en A, B, C y D; cuándo invertir: en el año 1, año 2 y año 3, de tal forma que la cantidad de dinero disponible al comienzo del cuarto año sea máxima. Formule un problema de Programación Lineal.

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13) En la compañía de seguros Aseguradora Caracas S.A. se ofrecen tres tipos de seguros: Vida Individual, Accidentes Personales y Automóviles, los cuales ofrecen un rendimiento por póliza de 100, 120 y 200 Bolívares respectivamente. Según estudios realizados, se ha determinado que la compañía tiene capacidad de manejar hasta 10.000 pólizas en total y que por cada póliza de seguro de Vida Individual se venden dos pólizas de Accidentes Personales y cuatro de Automóviles. También se determinó que el costo de cada póliza es de 900 Bs para el de Vida Individual; 780 Bs para el de Accidentes Personales y 600 Bs para el de Automóviles. La cobertura total de la compañía es de 9.000.000 de Bs. Los premios de venta de cada póliza son de 80, 100 y 180 Bs para Vida Individual, Accidentes Personales y Automóviles respectivamente. Para pagar los premios hay una disponibilidad total de 1.000.000 Bs. Qué combinación de pólizas hará maximizar el rendimiento total? Formule un problema de Programación Lineal.

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14) En una marquetería se fabrican cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas para bocel, cuya longitud original es de 300 cms. El Departamento de Ventas tienen pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119 x 90 cms. El Jefe de Producción ordena que se corten 350 boceles de 119 cms. y 350 boceles de 90 cms. (Cada cuadro lleva 2 boceles de cada dimensión).. Formule un problema de programación lineal que minimice el desperdicio, la compra de materia prima y optimice la productividad.

15) Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y compran en lotes de 200 libras. Los tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12, además.a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1,6 libras.c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos el 10% del paquete total.Formule el problema de Programación Lineal para determinar la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo.

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16) Una compañía de aviación está considerando la compra de aeroplanos medianos y grandes. El precio de compra es de $6.700.000.oo para cada grande y de $5.000.000.oo para cada mediano. La gerencia ha autorizado el gasto de $150.000.000.oo. Se estima que la ganancia anual será $420.000.oo para cada aeroplano grande y $300.000.oo para cada aeroplano mediano. La compañía solo puede contar con 30 nuevos pilotos y solo tiene medios para hacerle mantenimiento a 40 nuevos aviones grandes. Pero el mantenimiento de cada avión grande equivale a 5/3 del mantenimiento de un avión mediano. La gerencia quiere saber cuántos aviones de cada tipo se deben comprar, si se quieren maximizar las ganancias. Elabore el modelo matemático de Programación Lineal.

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17) Un fabricante tiene cuatro órdenes de producción: A, B, C y D. La tabla que se incluye a continuación indica el número de horas que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres de la industria: X, Y y Z. Es posible dividir las órdenes entre los talleres (por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en el taller X, parte en el taller Y y el resto en el taller Z).-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Horas necesarias para El fabricante desea minimizar los costosfabricar las órdenes Costo por Horas de producción. Establezca el plantea-

Taller A B C D hora (en pesos) disponibles miento del modelo de Programación----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lineal. X 32 151 72 118 89 160 Y 39 147 61 126 81 160 Z 46 155 57 121 84 160-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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18) Una pequeña planta fabrica dos tipos de partes para automóvil, compra piezas fundidas que se Maquinan, Taladran y Pulen; se dan los datos siguientes:

Parte A Parte BCapacidad de Maquinado 25 Un/Hora 40 Un/HoraCapacidad de Taladrado 28 Un/Hora 35 Un/HoraCapacidad de Pulido 35 Un/Hora 25 Un/Hora

Las piezas fundidas para la parte A cuestan $2 c/u; para la parte B cuestan $3 c/u; se venden a $5 y $6 respectivamente.Las tres operaciones (Maquinado, Taladrado y Pulido) tienen costo de operación de $20, $14 y $17,50 por Hora.Suponiendo que se pueden vender cualquier combinación de partes A y B diariamente; Formular el Modelo de Programación Lineal para determinar la mezcla de productos que maximiza la utilidad. Se trabaja solamente 8 Horas/Día.

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19) La compañía Holsa de México quiere disminuir los desperdicios de lámina, para lo cual encarga a su departamento de producción que optimice el costo de las láminas, de acuerdo a los requisitos de os consumidores. En particular se hará con el consumidor más importante, al cual se le surten tres tamaños de lámina a saber: Tipo 1: 30 cms x 60 cms - Tipo 2: 30 cms x 70 cms - Tipo 3: 30 cms x 50 cms (el espesor es de 8 mm). La cantidad necesaria son 10,000, 15,000 y 5,000 por mes, respectivamente. Si las láminas que produce la compañía Holsa son de las siguientes dimensiones: 30 cms x 180 cms, espesor 8 mm, cuál es el modelo que servirá para optimizar los desperdicios?

20) Un fabricante de camiones debe surtir pedidos a tres de sus distribuidores de sus dos almacenes. La cantidad demandada por cada distribuidor, la existencia en los almacenes y el costo de envío de cada camión desde el almacén hasta el distribuidor es el siguiente:---------------------------------------------------------------------------------------------------------Almacenes Distribuidor Existencia

1 2 3 de camiones---------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 400 900 1.200 4.500 2 1.700 380 600 2.000

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Cantidad demandada 800 1.700 900

El problema a determinar es encontrar la cantidad de camiones que debe surtir cada almacén a cada distribuidor, de tal manera que el costo total de envío sea el menor posible. (Es necesario incluir un distribuidor ficticio). Plantear un Modelo de Programación Lineal que minimice los costos de transporte.

21) Transporte y Tránsito del Tolima estudia la factibilidad de introducir un sistema de autobuses de transporte masivo que aliviará el problema del smog al reducir el tránsito en la ciudad. El estudio inicial busca determinar el mínimo número de autobuses que pueden suplir las necesidades de transporte en la ciudad. Después de recolectar la información necesaria, el ingeniero de la entidad advierte que el número mínimo de autobuses que se necesitan para cubrir la demanda fluctúa según la hora del día. Estudiando los datos más a fondo descubrió que el número requerido de autobuses se puede suponer constante en intervalos sucesivos de 4 horas cada uno. En figura se resumen los hallazgos del ingeniero. Se decidió que para hacer el mantenimiento diario requerido, cada autobús podría operar solo 8 horas sucesivas al día.

Número de buses

12 1210

8 87

4 4 4

12 4 8 12 4 8 12Horas del día

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22) Una compañía fabrica dos productos. El producto A necesita procesarse en tres diferentes máquinas, mientras que el producto B sólo necesita procesarse en dos de ellas. La tabla muestra las horas de proceso que requieren los productos en cada máquina, así como la cantidad de horas disponibles de las máquinas__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Horas requeridas Horas disponibles Cada unidad del producto A cuesta $1.200 y se vende a Máquinas Producto A Producto B de la máquina $1.700 mientras que cada unidad del producto B cuesta ______________________________________________________ $1.100 y se vende a $1.500. El director general de la 1 2 6 50 compañía desea determinar la cantidad a fabricar de cada 2 8 - 40 producto, de tal manera que se obtenga el máximo de 3 7 14 80 utilidades. Formule un Modelo de Programación Lineal._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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23) Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las de tipo A, rinden el 10% y las de tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las de tipo A y como mínimo 60.000 en las de tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. Formule un Modelo de Programación Lineal para determinar la distribución de la inversión que obtenga el máximo interés anual?

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24) En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

25) En un salón de banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes cinco días. Los requisitos de manteles por banquete son:Banquete 1 2 3 4 5Número de manteles 80 60 100 130 200El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que se usan, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles. El costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel.Cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además minimizar el costo total?

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26) Considérese una compañía que debe elaborar dos productos en determinado periodo (un trimestre). La compañía puede pagar por materiales y mano de obra con dinero obtenido de dos fuentes: fondos de la compañía (propios) y préstamos. La compañía enfrenta tres decisiones: 1) ¿Cuántas unidades debe producir del producto 1?, 2) ¿Cuántas unidades debe producir del producto 2? Y 3) ¿Cuánto dinero debe obtener prestado para apoyar la producción de los dos productos?. Al tomar estas decisiones, la compañía desea maximizar la ganancia sujeta a las condiciones indicadas a continuación:

1. Los productos de la compañía disfrutanYde un mercado de ventas, por lo tanto la empresa puede vender tantas unidades como pueda producir. Más aún, la cantidad producida no tiene efecto en los precios del mercado ya que el volumen de producción de la compañía es pequeño en relación al volumen del mercado total. Por lo tanto, a la empresa le gustaría producir tantas unidades como fuera posible dentro de las restricciones financieras y de capacidad de su fábrica. Estas restricciones junto con los datos de costos y precios, se da en la tabla.

2. Los fondos propios de la compañía disponibles durante el periodo son de $3´000.000.3. Un banco prestará hasta 2´000.000 por trimestre a una tasa de interés del 5% por trimestre, si la razón financiera conocida como prueba del ácido

de la compañía permanece en una proporción de 3 a 1 como mínimo mientras exista el adeudo. Recuerde que la prueba del ácido está dada por la razón de (1) efectivo más cuentas por cobrar a (2) cuantas por pagar.

4. Los pagos de mano de obra y materia prima se hacen al final del periodo de producción; por lo tanto, el crédito necesario se obtiene en ese momento. Los envíos de los productos fabricados se hacen a crédito, al final de periodo de producción. Finalmente, el ingreso por ventas se recibe y las cuentas por pagar se cancelan al final del siguiente periodo.

Capacidad, Precio y Costo_________________________________________________________________________________ Precio de Venta Costo de Producción Horas para producir

Producto (pesos por unidad) (pesos por unidad) una unidad en el Depto._________________________________________________________________________________

A B C 1 14 10 0.5 0.3 0.2 2 11 8 0.3 0.4 0.1

Horas disponibles por trimestre 500 400 200_________________________________________________________________________________

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27) Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Formule un Modelo de Programación Lineal para determinar cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.

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28) Una empresa produce un artículo cuya unidad esta compuesta por 4 unidades de componente A y 3 unidades de componente B que se producen por corrida de producción a partir de las materias primas 1 y 2 y en tres diferentes departamentos. La producción por corrida de producción se muestra en la siguiente tabla:Formule un Modelo de Programación Lineal para maximizar la cantidad de artículo a producir.

Materia Prima 1 Materia Prima 2 Componente A Componente BDepartamento 1 8 6 7 5Departamento 2 5 9 6 9Departamento 3 3 8 8 4Disponibilidad 100 200

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29) Don Alfredo y su compañía deciden la compra de la fábrica Alfa de México. En esta fábrica se pueden producir dos productos. Existe una máquina que tiene capacidad de 1.560 horas con 600 horas-hombre para el montaje y empaque. El primer producto necesita 2.6 horas de máquina y 0.8 horas de montaje y empaque, mientras que el producto dos requiere 2 horas de máquina y 1 hora de montaje y empaque. Cada unidad del producto uno contribuye $280 y cada unidad del producto dos contribuye $100. Los socios quieren producir para ganar lo más posible y tienen la seguridad de que cualquier unidad del segundo producto se venderá en el mercado sin problemas, pero del primer producto sólo venderán 500 unidades.

30) Una compañía Japonesa fabricaba 4 artículos que distribuía en todo el país. Los directivos han decidido descontinuar 1 artículo con el cual se tenía dificultad en abastecerlo de materia prima; esto ocasionó que se dejara de producir lo que trajo un sobrante en la capacidad de producción y se busca utilizarlo en la fabricación de los artículos restantes.La capacidad sobrante en horas/día es: máquina A 15 horas/día, máquina B 8 horas/día y máquina C 5 horas/día.El tiempo en minutos/día requerido por unidad, el precio de venta y el costo de producción se presentan en la siguiente tabla:__________________________________________

Artículos La fábrica puede vender tantas unidades de los Máquinas 1 2 3 artículos 1 y 2 cuantas pueda producir, mientras __________________________________________ del artículo 3 sólo puede vender 120 unidades

A 48 12 18 diarias. Hallar el modelo de programación linealB 24 18 - que nos aumente las ganancias.C 12 - 6

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Precio de Venta ($/Un) 750 280 425_-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Costo de Producción ($/Un) 630 244 377_-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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31) Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (numerados 1, 2 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total de carga, transporte y descargue de bienes para las distintas combinaciones de barcos y puertos varía mucho. Estos costos en miles de pesos se muestran en la siguiente tabla:_________________________________________ P U E R T O El objetivo es asignar a los puertos en una correspondencia uno a uno,

1 2 3 4 de manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.1 5 4 6 72 6 6 7 5

BARCO 3 7 5 7 64 5 4 6 6

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32) La administración de la oficina de correos de cierta localidad desea contratar operadores extras para las festividades de Navidad, pero debido a las limitaciones de espacio el número de empleados no puede exceder los 15. De experiencias anteriores el administrador pudo determinar que un hombre puede manejar 3.000 cartas diarias ó 1.000 paquetes diarios, mientras que una mujer puede manejar 4.000 ó 500 respectivamente. Sabiendo que al menos llegarán 36.000 cartas diarias y 10.000 paquetes por día y que un hombre y una mujer ganan diariamente $250 y $220, respectivamente. Formule un modelo de Programación Lineal para determinar cuántos hombres y mujeres deberán ser empleados?,

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33) Suponga que la compañía TOFIGH manufactura dos tipos de sillones ejecutivos X1 y X2, donde cada silla pasa por dos etapas de producción: cortar madera, telas, etc., armar y pintar las sillas. Vamos a llamar a estas dos etapas Producción y Terminación (Montaje), donde el Departamento de Producción tiene 90 horas disponibles durante un ciclo de Producción, mientras que el Departamento de Montaje tiene 64 horas. Cada X1 requiere 240 minutos de Producción y 120 minutos de Montaje y cada X2 requiere 60 minutos de Producción y 300 minutos de Montaje. Cada X1 deja $1.200 de utilidad y cada X2 deja $900 de utilidad. Formule un modelo de Programación Lineal para determinar cuánto tiene que producir la empresa TOFIGH para maximizar su utilidad?

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34) Una empresa fabrica dos clases de máquinas: de lujo y estándar; cada una requiere una técnica diferente de fabricación. La máquina de lujo requiere de 1.080 minutos de mano de obra, 540 minutos de pruebas y produce una utilidad de $6.000. La máquina estándar requiere 180 minutos de mano de obra, 240 minutos de pruebas y produce una utilidad de $3.000. Se dispone de 800 horas de mano de obra y 600 horas para pruebas, cada mes. Se ha pronosticado que la demanda mensual para el modelo de lujo nos es más de 80 y de la máquina estándar no es más de 150. La gerencia desea saber el número de máquinas de cada modelo, que deberá producirse para maximizar la utilidad total.

35) La fábrica de televisores “Teleguía” desea maximizar sus utilidades en la venta de sus dos artículos principales: televisor LCD y televisor Plasma. Un televisor LCD requiere en promedio 6 horas-hombre en producción de partes, 3 horas-hombre para ensamble y 1 hora-hombre para inspección. Un televisor Plasma requiere en promedio 4 horas-hombre en producción de partes, 2 horas.-hombre para ensamble y 0.5 horas-hombre para inspección. Durante cada periodo de producción hay disponibles 2.500 horas-hombre para producción de partes, 1.100 horas-hombre para ensamble y 600 horas-hombre para inspección. La utilidad neta para cada televisor LCD y Plasma es de $250.000 y $100.000, respectivamente.

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36) Una compañía Japonesa fabricaba 4 artículos que distribuía en todo el país. Los directivos han decidido descontinuar 1 artículo con el cual se tenía dificultad en abastecerlo de materia prima; esto ocasionó que se dejara de producir lo que trajo un sobrante en la capacidad de producción y se busca utilizarlo en la fabricación de los artículos restantes.La capacidad sobrante en horas/día es: máquina A 15 horas/día, máquina B 8 horas/día y máquina C 5 horas/día.El tiempo en minutos/día requerido por unidad, el precio de venta y el costo de producción se presentan en la siguiente tabla:______________________________________________

Artículos La fábrica puede vender tantas unidades de los Máquinas 1 2 3 artículos 1 y 2 cuantas pueda producir, mientras ______________________________________________ del artículo 3 sólo puede vender 120 unidadesA 480 120 180 diarias. Hallar el modelo de programación linealB 240 180 - que nos aumente las ganancias.C 120 - 60--------------------------------------------------------------------------Precio de Venta ($/Un) 750 280 425--------------------------------------------------------------------------Costo de Producción ($/Un) 630 244 377--------------------------------------------------------------------------

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37) Para fabricar dos productos A y B se utilizan tres máquinas M1, M2 y M3, sin que sea necesario ajustarse a un orden. Los tiempos unitarios de ejecución están dados en la siguiente tabla:

Tiempo necesario por unidad (en minutos)._____________________________ Se supone que las máquinas no tienen tiempos muertos al esperar un

Máquinas producto que se esté procesando en otra máquina (lo cual podríaProducto M1 M2 M3 suceder), ya que el orden de las operaciones es indiferente. Las horas _____________________________ disponibles para cada máquina, para una actividad de un mes son: A 11 7 6 165 horas para la máquina M1, 140 horas para la máquina M2 y 160 B 9 12 16 horas para la máquina M3. La utilidad que producen los artículos A y B _____________________________ por unidad producida es de $9.000 y $10.000, respectivamente. En las condiciones señaladas anteriormente, cuántas unidades de A y B se deben fabricar mensualmente para tener un beneficio total máximo?

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38) Una compañía especializada en productos químicos, debe producir 10.000 libras de una determinada mezcla, la cual se compone de los ingredientes: X, Y y Z. X cuesta $800 la libra, Y cuesta $1.000 la libra y Z $1.100 la libra. No pueden usarse más de 3.000 libras de X y por lo menos deberán usarse 1.500 libras de Y. Además se requieren por lo menos 2.000 libras de Z. Calcúlese el número de libras de cada ingrediente que habrá que emplear, a fin de reducir al mínimo el costo total de las 10.000 libras. Formule un modelo de Programación Lineal.

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39) En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?40) Una empresa produce un artículo cuya unidad está compuesta por 4 unidades de componente A y 3 unidades de componente B que se producen por corrida de producción a partir de las materias primas 1 y 2, y en tres diferentes departamentos. La producción por corrida de producción se muestra en la siguiente tabla:

DEPARTAMENTO MATERIA PRIMA 1

MATERIA PRIMA 2

COMPONENTE A COMPONENTE B

Departamento 1 8 6 7 5Departamento 2 5 9 6 9Departamento 3 3 8 8 4DISPONIBILIDAD 100 200

Elabore un plan de producción para maximizar la cantidad de artículos a producir. Formule un Modelo de Programación Lineal.

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41) Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de: 20, 40 y 30 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes cantidades: Pereira 25, Tuluá 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15. El costo de transporte por unidad en pesos entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:

DETALLISTAPEREIRA TULUA ANSERMA IBAGUE ARMENIA

CENTRO BOGOTA 55 30 40 50 40DE MEDELLIN 35 30 100 45 60DISTRIBUCION CALI 40 60 95 35 30

Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos. Formule un Modelo de Programación Lineal.

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42) Un inversionista posee $100.000.000 para invertir durante un periodo de cinco años; cuenta con tres alternativas inmediatas de inversión. La alternativa A que rinde el 14% anual el primero y segundo año, y el 20% los años siguientes. La alternativa B que rinde el 10% el primer año, el 16% los años segundo y tercero, y el 22% los años siguientes. La alternativa C que rinde el 40% anual al final del cuarto año.

Adicionalmente existe una cuarta alternativa de inversión al comienzo del 3º. año, la D, la cual rinde el 30% al final del 5º. año y se invierte por una sola vez y. El inversionista desea saber cuánto dinero invertir, cuándo y en qué alternativa, con el fin de maximizar sus rendimientos?

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43) Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de pesos y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ? Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

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44) El entrenador de cierto equipo de natación necesita asignar nadadores para formar un equipo de relevo combinado para 200 metros con el fin de asistir a las próximas Olimpíadas. Como la mayoría de sus mejores nadadores son muy rápidos en más de un estilo, no es obvio cuál nadador debe ser asignado a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco nadadores más rápidos y los mejores tiempos (en segundos) que han logrado en cada uno de los estilos (en 50 metros) son:

NADADORESTILO CARLOS CHRISTIAN DAVID ANTONIO PEDRODORSO 37.7 32.9 33.8 37.0 35.4PECHO 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8MARIPOSA 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6LIBRE 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1

El entrenador desea determinar la manera de asignar cuatro estilos diferentes con el fin de minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes. Plantee un Modelo de Programación Lineal.45) La compañía maderera “El Arbolito Cortado” tiene dos bosques de explotación en Nariño y Chocó. Tiene depósitos en Cali, Medellín y Bucaramanga y clientes en Bogotá, Cali, Medellín y Barranquilla. Los costos de transporte al cliente dependen del bosque del cual provenga la madera y del depósito en el que se haya guardado.Estos costos son, por m3 :Desde el bosque de Nariño------------------------------------------------------------------------------------------------Por el depósito Al cliente en:en BOGOTA CALI MEDELLIN B/QUILLA------------------------------------------------------------------------------------------------CALI 7 3 1 9MEDELLIN 6 4 3 12BUCARAMANGA 5 2 8 11------------------------------------------------------------------------------------------------Desde el bosque de Chocó------------------------------------------------------------------------------------------------Por el depósito Al cliente en:en BOGOTA CALI MEDELLIN B/QUILLA------------------------------------------------------------------------------------------------CALI 2 4 8 10MEDELLIN 3 6 9 11BUCARAMANGA 5 7 1 12 ------------------------------------------------------------------------------------------------Los bosques tienen una capacidad máxima de producción mensual de 1´000.000 de m3 el de Nariño y 800.000 m3 el de Chocó. Si sus demandas exactas (pedidos ya aceptados) en Bogotá, Cali, Medellín y Barranquilla son, respectivamente, 50.000, 180.000, 160.000 y 200.000 m3 y las capacidades de los depósitos son de 100.000, 120.000, y 140.000 m 3 en Medellín, Cali y Bucaramanga. Formule un Modelo de Programación Lineal que le permita operar óptimamente.

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46) Un agricultor produce dos productos: sorgo y ajonjolí, con tres factores de producción: tierra, mano de obra y yunta de bueyes. Posee 20 hectáreas de tierra, 30 obreros y 40 yuntas de bueyes. Por su experiencia, este agricultor ha descubierto que para producir una tonelada de sorgo y una de ajonjolí necesita utilizar:____________________________________________________

Producto Determinar la cantidad de sorgo y ajonjolíFactor de Producción Sorgo Ajonjolí que deben ser producidas para que el ingreso

_____________________________________________ sea máximo.Tierra (hectáreas) 0.3 0.2Mano de obra (Obreros) 2 1Bueyes (yunta) 1 0.8_____________________________________________Precio por Tonelada (4) 2.000 1.500_____________________________________________

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47) Una compañía fabrica dos productos. El producto A necesita procesarse en tres diferentes máquinas, mientras que el producto B sólo necesita procesarse en dos de ellas. La tabla muestra las horas de proceso que requieren los productos en cada máquina, así como la cantidad de horas disponibles de las máquinas._________________________________________________

Horas requeridas Horas disponibles ´ Cada unidad del producto A cuesta $1.200 y se Máquinas Producto A Producto B de la máquina vende a $1.700, mientras que cada unidad del_________________________________________________ producto B cuesta $ 1.100 y se vende a $1.500. 1 2 6 50 El director general de la compañía desea deter- 2 8 - 40 minar la cantidad a fabricar de cada producto, 3 7 14 80 de tal manera que se obtenga el máximo de _________________________________________________utilidades.

48) Con base en sólo dos alimentos: papas y carne, se desea obtener una dieta que debe tener los siguientes requerimientos mínimos diarios: 8 unidades de carbohidratos, 19 unidades de vitaminas y 7 unidades de proteínas. Se sabe que el contenido de elementos dietéticos de las papas y de la carne es el siguiente (en unidades)_______________________________________________

Alimentos Obtener la dieta que satisfagan los requerimien-Requerimientos 1 Libra de Papa 1 Libra de carne tos a un costo mínimo._______________________________________________Carbohidratos 3 1Vitaminas 4 3Proteínas 1 3_______________________________________________Costo Unitario $ 250 500_______________________________________________

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49) En un fundo se dispone de 2.000 jornadas de trabajo, 600 unidades de capital y de 225 hectáreas de suelos aptos para todo tipo de cultivo. El dueño desea sembrar trigo y maíz, productos cuyo precio en el mercado es de $1.000 para un kgr. de trigo y de $2.000 para la misma cantidad de maíz. Para producir más maíz necesita el doble de capital que para el trigo. Para este último emplea 4 jornadas y para el maíz 6 jornadas por hectárea. La producción es de 20 quintales/hectárea, en cada uno de los cultivos. Cuál es la combinación que producirá mayor ingreso. (Un quintal = 46 Kilogramos).

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50) La compañía Duraplex fabrica zapatos de dos clases: estándar y lujo y desea determinar su producción de cada clase de zapatos de tal forma que maximice sus utilidades diarias durante el mes siguiente. El tiempo empleado en producir un par de zapatos estándar es la mitad del necesario para un par de lujo. Si todos los zapatos fueran de la clase estándar la compañía tendría capacidad para producir 1.200 pares/día. El suministro de piel es suficiente para 900 pares por día (sin importar la clase zapatos). De los otros materiales necesarios se tiene capacidad para producir 1.300 pares estándar por día y 600 pares de lujo por día. Las utilidades netas por par son de $3.000 y $6.000 para los estándar y lujo, respectivamente.