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ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: GEOMETRÍA ANALITICA

GUÍA DE ESTUDIO PARA LA ÚLTIMA OPORTUNIDAD DE ACREDITAR LA MATERÍA

PROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuación continua de la recta

Pendiente

Ecuación punto-pendiente de la recta

Ecuación general de la recta

Ecuación explícita de la recta

Ecuación canónica o segmentaria

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos




Rectas paralelas al eje OX

Rectas paralelas al eje OY

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Posiciones relativas de dos rectas

Secantes

Paralelas

Coincidentes

Ángulo que forman dos rectas




Distancia de un punto a una recta

Ecuación de la mediatriz

Ecuaciones de las bisectrices

Ejercicios

Escribir la ecuación punto pendiente de:

1 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5).

2 Una recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

3Una recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45°.

Escribir la ecuación general de la recta que:




1 Pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

2 Pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y

B(-2, 5).




Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y - 4 =0

2 x - 2y + 1= 0

3 3x - 2y -9 = 0

4 4x + 6 y - 8 = 0

5 2x - 4y - 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coeficientes son proporcionales:

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad

entre los coeficientes de x y de y, pero no en el término independiente.

Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto

A(3,5).




Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r ≡ 2 x + y - 12 = 0.




Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del

origen. ¿Cuál es su ecuación?

ECUACION DE UNA LINEA RECTA

Partiendo de la ecuación continúa la recta

Y quitando denominadores se obtiene:

Trasponiendo términos:

Haciendo




Se obtiene

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. De esta forma se

acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).

Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.

ECUACION DE LA RECTA EN LA FORMA GENERAL

Si en la ecuación general de la recta:

Despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta:




El coeficiente de la x es la pendiente, m.

El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el

punto de corte con el eje OY

Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente

m=-2.

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta

es:

Cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continúa.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)




Rectas paralelas al eje OX

Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b se expresa mediante la ecuación: y

= b

Rectas paralelas al eje OY




Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la

ecuación: x = a

Ejes de coordenadas




Los puntos que pertenecen al eje OX tienen como característica que su segunda coordenada es

0, la ecuación del eje OX es y = 0.

Los puntos que pertenecen al eje OY tienen como característica que su primera coordenada es

0, la ecuación del eje OY es x = O.

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a

partir de:

1 Sus vectores directores

2 Sus pendientes

Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: = (-2,

1) y = (2, -3).

Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo

de 45°.




Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

Rectas perpendiculares




Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A

(3,5).




Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas y

perpendiculares.

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta,

trazada desde el punto.

Ejemplo

Calcula la distancia del punto P (2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.




Distancia al origen de coordenadas

Ejemplo

Hallar la distancia al origen de la recta r ≡ 3x - 4y - 25 = 0.

Distancia entre rectas

Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una

de ellas y calcular su distancia a la otra recta.

Ejemplo

Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.




Otra manera de expresar la distancia entre dos rectas es:

Ejemplo

Hallar la distancia entre las rectas:

Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de

los extremos.

Ecuación de la mediatriz




Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A (2, 5) y B (4, -7).

Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las

rectas que forman el ángulo.

Ecuaciones de las bisectrices

Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x - 4y + 5

= 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.




EJERCICIOS DE LINEA RECTA

Ecuaciones de la recta. Ejercicios

1Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,2) y B

(-2,5).

2De un paralelogramo ABCD conocemos A (1, 3), B (5, 1), C (-2, 0). Halla las coordenadas del

vértice D.

3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A (6, 0), B (3,0) y C (6, 3).

4Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.

5Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y - 4 =0

2 x - 2y + 1= 0




3 3x - 2y -9 = 0

4 4x + 6y - 8 = 0

5 2x - 4y - 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

6 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A (1,5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

7 Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A (3, 0), B (1, 4), C (-3, 2) y D (-1, -2).

Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.

8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los

puntos (4, 1)) y (-2, 2).

9 Los puntos A (-1, 3) y B (3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice

C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del

vértice C.

10 La recta r ≡ 3x + ni - 7 = 0 pasa por el punto A (3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y -13 =

0. Calcula m y n.

11Dado el triángulo ABC, de coordenadas A (0, 0), B (4, 0) y C (4, 4); calcula la ecuación de la

mediana que pasa por el vértice C.

12De un paralelogramo se conoce un vértice, A (8, 0), y el punto de corte de las dos

diagonales, Q (6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de

coordenadas. Calcular:

1 Los otros vértices.

2 Las ecuaciones de las diagonales.

3 La longitud de las diagonales.

SOLUCIONES:

Ecuaciones de la recta I. Ejercicios resueltos

1

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 2) y B

(-2, 5).




Ejercicios resueltos

2

De un paralelogramo ABCD conocemos A (1, 3), B (5, 1), C (-2, 0). Halla las coordenadas del

vértice D.





3

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A (6, 0), B (3, 0) y C (6, 3).


4

Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.


5

Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y - 4 =0




2 x - 2y + 1= 0

3 3x - 2y -9 = 0

4 4x + 6 y - 8 = 0

5 2x - 4y - 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

Las rectas 1 y 4 son coincidentes, porque todos sus coeficientes son proporcionales:

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad

entre los coeficientes de x y de y, pero no en el término independiente.


6

Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A (1,5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.


7




Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A (3, 0), B (1, 4), C (-3, 2) y D (-1, -2).

Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.





8

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los

puntos (4, 1)) y (-2, 2).


9

Los puntos A (-1, 3) y B (3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice

C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del

vértice C.





10

La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0.

Calcula m y n.


11

Dado el triángulo ABC, de coordenadas A (0, 0), B (4, 0) y C (4, 4); calcula la ecuación de la

mediana que pasa por el vértice C.





12

De un paralelogramo se conoce un vértice, A (8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales,

Q (6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas.

Calcular:

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