ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE ...oa.upm.es/37743/1/PFC_Borja_Barricarte_Navas.pdfPor u...

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS Y ENERGÍA

Titulación: GRADUADO EN INGENIERÍA DE LA ENERGÍA

Intensificación: Tecnologías Energéticas

PROYECTO FIN DE GRADO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ENERGÉTICA

E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES

ANÁLISIS TÉRMICO Y DE CAPACIDAD DE TRANSPORTE DE UN CABLE

SUBTERRÁNEO DE POTENCIA

BORJA BARRICARTE NAVAS JULIO 2015

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS Y ENERGÍA

Titulación: GRADUADO EN INGENIERÍA DE LA ENERGÍA

Intensificación: Tecnologías Energéticas

Análisis térmico y de capacidad de transporte de un cable

subterráneo de potencia

Realizado por

Borja Barricarte Navas

Dirigido por

Javier Muñoz Antón

Departamento de Ingeniería Energética (ETSII)

i

Agradecimientos

Me gustarıa aprovechar la oportunidad que me brindan estas lıneas para expresarmi agradecimiento a todas aquellas personas que han contribuido a que la realizaciondel presente proyecto haya sido posible.

En primer lugar, a toda mi familia, y en especial a mis padres. Gracias por vuestroapoyo incondicional y vuestra confianza en mis decisiones, ya que sin vosotros estecamino hubiera resultado imposible.

A mi tutor, Javier, porque ha sido un pilar de inspiracion a lo largo de todoel desarrollo del proyecto, y siempre ha estado disponible cuando lo he necesitado,ofreciendome su consejo.

Tambien quisiera agradecer a mis amigos, tanto los de toda la vida, como losde la universidad, su ayuda en los momentos difıciles, y los buenos ratos que hemosdisfrutado juntos.

Por ultimo, quisiera citar unos versos del gran Antonio Machado, que a mi pa-recer, reflejan extremadamente bien este apasionante viaje que es la vida:

Caminante, son tus huellas el camino y nada mas;caminante, no hay camino, se hace camino al andar.

Nada esta escrito, elige tu destino.

iii

Resumen

El presente proyecto tiene la finalidad de disenar una herramienta, mediantemetodos numericos implementados en Matlab, que permita estudiar los fenomenostermicos que tienen lugar en los cables subterraneos de potencia cuando se encuen-tran en carga, y a partir de las soluciones obtenidas, determinar la capacidad maximade transporte del cable para un emplazamiento especıfico.

Por un lado, se seleccionara una de las diferentes configuraciones mas habitualesque existen en instalaciones subterraneas, y se elegira un determinado tipo de cablede potencia de alta-media tension. Por otro lado, se escogera el emplazamiento espe-cıfico, junto con las propiedades del mismo y las condiciones de frontera del entornodel terreno donde se pretende colocar dicho cable.

Mediante la utilizacion de metodos numericos, en especial, diferencias finitas secreara un mallado que se adapte a toda la seccion de estudio, incluyendo el cabley el terreno, donde se particularizaran las ecuaciones de transferencia de calor yde conservacion de la energıa con la intencion de simular los fenomenos reales quetienen lugar.

Con las soluciones termicas facilitadas por el programa, se elaborara un estudioa fin de determinar la corriente maxima admisible en el cable sin danar ningunode sus componentes, y por tanto, la capacidad de transporte del mismo, tanto enregimen permanente, como en regimen transitorio.

Palabras Clave

Cable subterraneo de potencia, modelizacion, malla, nodo, gradiente termico,analisis termico, capacidad de transporte, regimen de carga.

v

Abstract

The aim of this project is to design a tool, by implementing numerical met-hods in Matlab, that simulates thermal phenomena that take place at undergroundpower lines in operation. According to the results obtained, determine the powertransmission capability of the cable for a specific area of installation.

On one hand, one of the most commonly used configurations for undergroundconductors and a definite type of medium-high power cable will be chosen. On theother hand, the emplacement, its properties and the boundary conditions will bealso defined.

The numerical methods used, particularly finite difference methods, will enableto make a partition of the case of study and generate a mesh where heat transferequations will be particularized in order to simulate real phenomena that take place.

Finally, results will be used to elaborate a study of the power transfer capabilityof the cable, either in steady or in transient state.

Key Words

Underground power line, modelling, mesh, node, thermal gradient, thermal study,transmission capability, loadability.

Indice general

Agradecimientos I

Resumen III

Abstract V

Indice de figuras XI

Indice de tablas XIII

Indice de abreviaturas XIV

Documento I: Memoria 1

1. Introduccion 31.1. Contexto general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Objetivo del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Alcance del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Estado de la tecnica 92.1. Cables de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Cables de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Cables de media y alta tension subterraneos . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. Componentes constitutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2. Disposicion de los cables subterraneos de potencia . . . . . . . 16

3. Modelo termico-electrico 173.1. Resistencias termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1. Resistencias termicas en el cable . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2. Resistencia termica en el terreno . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Perdidas electricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.1. Perdidas en el conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2. Efecto pelicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.3. Efecto proximidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

vii

viii INDICE GENERAL

3.2.4. Perdidas en las pantallas metalicas . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.5. Perdidas dielectricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.6. Resistencia electrica eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Ecuaciones de transferencia de calor 234.1. Mecanismos de transmision de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1.1. Conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2. Conveccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.3. Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2. Ecuacion de conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.1. Almacenamiento termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Metodos numericos 295.1. Metodo de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1. Balance de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Solucion de las ecuaciones de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . 36

5.2.1. Metodo de inversion de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6. Metodologıa 396.1. Descripcion del entorno de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2. Regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2.1. Creacion del mallado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.2.2. Posicionamiento del cable en el terreno y caracterizacion de

propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2.3. Particularizacion de las ecuaciones de transferencia de calor . 456.2.4. Resolucion del problema termico . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2.5. Mallado adaptativo inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3. Regimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.1. Creacion del mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.2. Posicionamiento del cable en el terreno y caracterizacion de

propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3.3. Particularizacion de las ecuaciones de transferencia de calor . 656.3.4. Resolucion del problema termico . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7. Analisis de sensibilidad y optimizacion 797.1. Mallado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.2. Mallado adaptativo inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8. Resultados 918.1. Descripcion del caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2. Analisis de resultados en regimen permanente . . . . . . . . . . . . . 93

8.2.1. Determinacion de los regımenes de carga mas habituales . . . 938.2.2. Caso de estudio a plena carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.3. Analisis de resultados en regimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . 105

INDICE GENERAL ix

9. Conclusiones 121

10.Trabajos futuros 123

Bibliografıa 125

Documento II: Estudio Economico 127

11.Estudio economico 12911.1. Trabajo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13011.2. Licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13011.3. Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13011.4. Electricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.5. Asesoramiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.6. Edicion y maquetacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.7. Otros costes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.8. Coste total del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Documento III: Anexos 133

A. Codigo de la herramienta 135A.1. codigo fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138A.2. datos entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139A.3. mallado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141A.4. resolucion problemaRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142A.5. inicializacion matricesRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142A.6. posicion caracterizacionRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143A.7. matrizARP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144A.8. vectorcRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146A.9. representacionesRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147A.10.gradiente termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148A.11.mallado inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150A.12.resolucion problemaRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153A.13.inicializacion matricesRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154A.14.posicion caracterizacionRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154A.15.matriz sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155A.16.matrizART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156A.17.vectorcRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158A.18.representacionesRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159A.19.animacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B. Tablas utilizadas en los analisis de sensibilidad 165B.1. Mallado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166B.2. Mallado adaptativo inteligente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

x INDICE GENERAL

C. Diagramas de organizacion temporal 171

D. Programas utilizados 177

Indice de figuras

1.1. Evolucion de la demanda electrica mundial [2]. . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Componentes de un cable unipolar subterraneo de potencia [8]. . . . . 112.2. Instalacion de cables en ductos [21]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Modelo termoelectrico equivalente de un cable unipolar subterraneode potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Efecto pelicular en una seccion de conductor a diferentes frecuencias.La corriente esta representada en azul [9]. . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Efecto proximidad entre dos conductores cercanos. La corriente estarepresentada en amarillo y los campos magneticos en azul [9]. . . . . 20

4.1. Conservacion de la energıa para un volumen de control en un instantede tiempo t [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1. Red Nodal [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Flujos de calor por conduccion hacia un nodo interior [10]. . . . . . . 32

6.1. Primera aproximacion de mallado con 25 posiciones, tanto verticales,como horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2. Segunda aproximacion de mallado con Fr = 0,8 y 25 posiciones, tantoverticales, como horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3. Construccion de la matriz A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.4. Mallado adaptativo inteligente con Fr = 0,8, 25 posiciones, tanto

verticales, como horizontales, y gradtemp = 100. . . . . . . . . . . . . 636.5. Representacion del mallado en la zona donde se situa el cable. . . . . 64

7.1. Evolucion del programa, considerando todos los casos. . . . . . . . . . 837.2. Evolucion del programa, sin considerar los casos descartados. . . . . . 857.3. Evolucion del programa en funcion del numero de caso. . . . . . . . . 887.4. Evolucion del programa en funcion del numero de nodos definidos. . . 89

8.1. Cable EPROTENAX H COMPACT [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2. Relacion temperatura maxima aislamiento e intensidad. . . . . . . . . 958.3. Mallado inicial en 2 dimensiones. Distribucion de temperaturas en

funcion de la posicion de los nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

xi

xii INDICE DE FIGURAS

8.4. Mallado inicial en 3 dimensiones. Distribucion de temperaturas enfuncion de la posicion de los nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.5. Mallado inicial en 2 dimensiones. Distribucion de temperaturas enfuncion del numero de nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.6. Mallado inicial en 3 dimensiones. Distribucion de temperaturas enfuncion del numero de nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.7. Mallado inteligente adaptativo en 2 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion de la posicion de los nodos. . . . . . . . . . . . . 102

8.8. Mallado inteligente adaptativo en 3 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion de la posicion de los nodos. . . . . . . . . . . . . 103

8.9. Mallado inteligente adaptativo en 2 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion del numero de nodos. . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.10. Mallado inteligente adaptativo en 3 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion del numero de nodos. . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.11. Evolucion, de tipo escalon, de la corriente que circula por el cable. . 1068.12. Evolucion temporal de la temperatura del aislamiento en funcion de

la variacion de intensidad de tipo escalon. . . . . . . . . . . . . . . . 1098.13. Distribucion de temperaturas en 3 dimensiones en el instante inicial. . 1108.14. Distribucion de temperaturas en 3 dimensiones a los 15 minutos. . . . 1118.15. Distribucion de temperaturas en 3 dimensiones a los 30 minutos. . . . 1128.16. Distribucion de temperaturas en 3 dimensiones a los 45 minutos. . . . 1138.17. Distribucion de temperaturas en 3 dimensiones a los 60 minutos. . . . 1148.18. Distribucion de temperaturas en 2 dimensiones en el instante inicial. . 1158.19. Distribucion de temperaturas en 2 dimensiones a los 15 minutos. . . . 1168.20. Distribucion de temperaturas en 2 dimensiones a los 30 minutos. . . . 1178.21. Distribucion de temperaturas en 2 dimensiones a los 45 minutos. . . . 1188.22. Distribucion de temperaturas en 2 dimensiones a los 60 minutos. . . . 119

Indice de tablas

7.2. Casos seleccionados en el analisis del mallado inicial. . . . . . . . . . 867.4. Casos seleccionados en el analisis del mallado adaptativo inteligente. . 90

8.1. Caracterısticas del cable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2. Propiedades del suelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.3. Caracterısticas de los contornos del terreno. . . . . . . . . . . . . . . 938.4. Temperaturas maximas de los componentes del cable en funcion de

la intensidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.5. Grados de carga mas comunes en el cable y sus respectivas tempera-

turas en el aislamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.6. Evolucion temporal de la temperatura maxima en el aislamiento. . . . 108

11.1. Coste total del proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

xiii

Indice de abreviaturas

CFD: Computational Fluid Dynamics(Dinamica de Fluidos Compu-tacional), 6, 91, 122

CIGRE: Consejo Internacional de Gran-des Redes Electricas, 3

EDO: Ecuaciones Diferenciales Ordi-narias, 29

EDP: Ecuaciones Diferenciales Parcia-les, 29

EPR: Etileno propileno, 13

HEPR: Etileno propileno de alto gra-diente, 92

IVA: Impuesto sobre el Valor Anadido,130, 131

MDF: Metodo de Diferencias Finitas,29

PE: Polietileno, 13, 15PERT: Project Evaluation and Review

Techniques (Tecnicas de Revi-sion y Evaluacion de Progra-mas), 171, 177

PPLP: Polypropylene Laminated Pa-per (Polipropileno laminado conpapel), 13

PVC: Policloruro de vinilo, 13, 15, 16

TE: Triple Extrusion, 14

XLPE: Polietileno reticulado, 13

xiv



DOCUMENTO I: MEMORIA

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Contexto general

La electricidad esta considerada como la forma de energıa por excelencia parasatisfacer las necesidades de la poblacion. Entre otras caracterısticas, destacan lafacilidad de transporte y utilizacion, ası como el bajo impacto ambiental que provocaen su punto final de consumo.

Segun los ultimos informes del CIGRE (Consejo Internacional de Grandes RedesElectricas), existen diversos factores que estan causando destacables modificacionesen el sector de la energıa electrica, y lo condicionaran en un futuro proximo:

1. Aumento de la demanda de energıa electrica. La demanda electrica mundialesta creciendo en el presente y se estima que seguira haciendolo en el futuro.Por un lado, en algunos lugares del mundo, millones de personas todavıa notienen acceso a esta forma de energıa, por lo que se preven nuevos usuarios.Por otro lado, en muchos paıses en vıas de desarrollo, se esta realizando unamejora continua de la tecnologıa existente y del remplazo de otros tipos deenergıa en electricidad, que dan como resultado un mayor consumo.

3

4 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.1: Evolucion de la demanda electrica mundial [2].

2. Cumplimiento de las necesidades ambientales. En los ultimos anos, las cuestio-nes medioambientales estan tomando un mayor peso sobre la infraestructuradel sistema de potencia, y en especial sobre las nuevas instalaciones. El im-pacto ejercido por el uso de combustibles fosiles en el calentamiento global,esta desplazando el mercado energetico hacia una direccion mas sostenible,mediante la generacion por medio de fuentes renovables. De igual modo, diver-sas preocupaciones como la escasez y necesidad de espacio disponible para laconstruccion de nuevas infraestructuras, el ruido y perturbaciones electricas, olas cuestiones de estetica estan en el punto de mira de la aceptacion publica.

3. Influencia de la legislacion y objetivos de los distintos paıses. Las regulaciones,junto con el grado de estandarizacion existentes en cada paıs determinan eldesarrollo de los sistemas electricos de potencia.

4. Influencia de las tecnologıas emergentes. Las nuevas tecnologıas contribuiran asatisfacer las necesidades tecnicas, ambientales y socio-economicas, e influirande manera determinante en la direccion de desarrollo del sistema electrico.Algunos de los avances mas importantes son el uso de superconductores, nuevosaislantes de nanopartıculas, mayor poder de telecomunicaciones, electronica depotencia, computo, etc.

Debido a la influencia de todos estos factores en el contexto socio-economico actual,se esta desarrollando un cambio de paradigma concerniente al sistema de lıneas detransporte y distribucion de energıa electrica.

1.1. CONTEXTO GENERAL 5

En primer lugar, se estan introduciendo nuevas competencias en la gestion de lasredes electricas, pasando a recibir el calificativo de redes inteligentes, o mayormenteconocidas, smart grids. Estas redes estan basadas en la integracion de tecnologıasinformaticas y de telecomunicaciones aplicadas al control de sistemas electricos depotencia, dispositivos e instalaciones a lo largo de la red. Gracias a ello es po-sible realizar un mayor avance hacia a la introduccion de generacion distribuida,como pueden ser las energıas renovables, que estan consideradas como las fuentes deenergıa del futuro. Ademas de lo anterior, se consigue optimizar las condiciones deoperacion relacionadas con una adecuada utilizacion de las redes, para lograr unamayor eficiencia energetica y un aumento de la calidad de servicio.

Tradicionalmente, no existıa una regulacion activa de la capacidad de transportede las redes electricas. Esta regulacion era mas bien pasiva y estatica, de manera quela red estaba gestionada unicamente por parametros dependientes de las propiedadesy caracterısticas de las lıneas.

En contraposicion, en los ultimos anos, se esta llevando a cabo una actualiza-cion del sistema, pasando a desarrollar una caracterizacion activa y dinamica de lacapacidad de transporte. De esta forma, se logra por un lado, optimizar el apro-vechamiento maximo de la lınea, y por el otro, minimizar el riesgo de sobrecargasinnecesarias causadas por usos inadecuados en las redes.

En segundo lugar, relacionado con el aumento de la capacidad de transportederivado de la tendencia de crecimiento prolongado de la demanda electrica. Debidoa este motivo resulta necesario construir nuevas redes de transporte y distribucionde energıa electrica, y/o aumentar la potencia que puede ser transferida por las yaconstruidas.

En cuanto a nuevas construcciones, es habitual intentar predecir el comporta-miento de las diferentes lıneas para optimizar el dimensionado de la red y reducirlos costes de instalacion. La finalidad de estos estudios, tanto permanentes comotransitorios, reside en elegir el cableado adecuado, de manera que pueda soportaruna determinada potencia de carga sin que ningun componente resulte danado, y almenor precio posible. Ademas debe estar preparado para posibles faltas o cortocir-cuitos.

En algunas ocasiones no resulta muy factible realizar nuevas construcciones de-bido a consideraciones tecnicas (falta de espacio) o ambientales (impacto visual),por lo que se suele dar mas prioridad al aumento de potencia de las existentes.En los ultimos anos se esta popularizando, de igual forma, soterrar grandes lıneasde transporte electrico de alta y media tension, ya que permiten solventar estosinconvenientes.


1.2. Motivacion

Relacionado con lo comentado en la seccion anterior, existen varias causas quehan influido en la realizacion del presente proyecto.

Gracias a la tendencia actual de crecimiento de la demanda electrica se necesi-tara aumentar el soporte tecnico para hacer llegar mas energıa a mayor numero depersonas. Esto implica la construccion de nuevas lıneas y el aumento de potencia delas existentes, y en muchos casos, diversos factores como los medioambientales con-dicionan a que las redes sean subterraneas. Por tanto, serıa conveniente, realizar unanalisis para dimensionar correctamente este tipo de instalaciones y reducir costesen instalacion y en operacion.

La intensidad maxima admisible puede ser definida como aquella que circula porun cable de potencia en servicio permanente sin que ningun componente del mismosufra danos.

No es una caracterıstica propia del cable como pudiera ser la resistividad. De-pende de multiples factores, siendo los mas importantes:

Tipo de cable.

Metodo de instalacion.

Profundidad y configuracion de la instalacion.

Temperatura ambiente y condiciones exteriores.

Propiedades del terreno.

Existencia de otros circuitos activos cercanos.

Por este motivo es imposible obtener experimentalmente un valor de intensidadmaxima admisible para cada emplazamiento y tipo de cable, ya que cada instalaciones unica, y las combinaciones son practicamente infinitas.

Debido a todo lo anterior, se pretende disenar un programa como introducciona la simulacion de las diferentes condiciones a las que puede estar sometida una ins-talacion subterranea, y gracias a ello, poder calcular la corriente maxima admisiblepor el cable para ese emplazamiento especıfico.

De igual modo, debido a la regulacion actual activa y dinamica de la capacidadde transporte, como se ha comentado en el apartado anterior, se va a introducir unestudio de carga del cable para condiciones transitorias a fin de poder adaptarse aesta tendencia novedosa de gestion de las redes.

Tambien hay que destacar, que en vez del uso de programas de Dinamica deFluidos Computacionales (CFDs), se ha decidido disenar una herramienta propiamas especıfica para los temas tratados. Estos programas actuales son de caractergeneral, y estan mas orientados a la simulacion de dinamica de fluidos, y no tanto ala transferencia termica de energıa. Por ello, se ha creado una serie de algoritmos quepermitan estudiar mas detalladamente el calentamiento de los cables subterraneosde potencia y adaptarse al terreno en el que estan soterrados.

1.3. OBJETIVO DEL PROYECTO 7

1.3. Objetivo del proyecto

El objetivo principal del presente proyecto es la modelizacion de un cable subte-rraneo de potencia mediante la aplicacion de metodos numericos implementados enMatlab, con la finalidad de analizar las cargas termicas y la capacidad de transportedel mismo, en funcion de las diferentes propiedades del terreno.

1.4. Alcance del proyecto

Empleando la herramienta de software matematico Matlab, disenar un malladoadecuado que permita modelar un cable subterraneo de potencia, para posterior-mente realizar un estudio termico del mismo mediante la aplicacion de diferenciasfinitas, tanto en regimen permanente, como en transitorio, y segun las propiedadesdel terreno en el que se encuentra. Una vez concluido este estudio, determinar la ca-pacidad de transporte del cable en funcion de las temperaturas de sus componentesy realizar varios analisis de carga variables.

El proyecto esta compuesto por las siguientes fases:

1. Estudio de la tecnologıa presente en los cables subterraneos de potencia, en-globando los componentes de los que estan constituidos, las principales dispo-siciones en instalaciones existentes, y los fenomenos fısicos que en ellos tienenlugar.

2. Analisis de las ecuaciones de transferencia de calor y conservacion de la energıa,particularizandolas para el caso de estudio mediante la aplicacion de metodosnumericos, y en concreto, diferencias finitas.

3. Desarrollo del codigo del programa, creacion de los mallados e implementacionde las ecuaciones discretizadas en el software Matlab.

4. Realizacion de analisis de sensibilidad para optimizar el programa.

5. Resolucion del problema y estudio de las soluciones termicas para determinarla capacidad de transporte del cable, tanto en regimen permanente, como enregimen transitorio.

6. Estudio economico del proyecto.

Capıtulo 2

Estado de la tecnica

2.1. Cables de energıa

Los cables electricos son elementos destinados al transporte de energıa entredos lugares diferentes y con la mayor eficiencia posible. Dependiendo del propositode la instalacion, este concepto de eficiencia puede referirse a distintas cuestiones.En el caso de una instalacion de potencia, se debe vigilar que la reduccion de lasperdidas asociadas a dicho transporte se minimicen lo maximo posible, mientras quesi el proposito del cable es servir de soporte al envıo de senales codificadas paratelecomunicaciones, las perdidas pasan a un segundo plano, y la eficiencia se centraen el menor distorsionamiento de la senal.

Este trabajo se centra unicamente en el estudio de los cables electricos de laprimera modalidad mencionada, es decir los destinados al transporte de energıa, porlo que en adelante cuando se hable de cable electrico se referira exclusivamente acable de potencia.

2.2. Cables de potencia

Atendiendo a terminos relacionados con la eficiencia, una manera sencilla peroeficaz de reducir las perdidas a lo largo del cable, es aumentando la tension de lacorriente transportada. De esta forma, una primera clasificacion de los cables elec-tricos de potencia puede realizarse en funcion de su tension de servicio permanenteo nominal:

Cables de muy baja tension. Hasta 50 V .

Cables de baja tension. Hasta 1000 V .

Cables de media tension. Hasta 30 kV .

Cables de alta tension. Hasta 66 kV .

Cables de muy alta tension. Por encima de 66 kV .

9

10 CAPITULO 2. ESTADO DE LA TECNICA

El objeto de estudio de este proyecto se va a centrar, de igual forma, en los cablesde potencia subterraneos, tanto de media como de alta tension, los cuales se irandescribiendo con mayor detalle a partir de ahora.

2.3. Cables de media y alta tension subterraneos

Entre los cables de media y alta tension subterraneos existen diferentes configu-raciones que es preciso resaltar. La primera de ellas esta relacionada con el numerode conductores que hay en un mismo cable:

Cable unipolar: Un unico conductor.

Cable bipolar: Dos conductores.

Cable tripolar: Tres conductores.

Otra distincion general que podrıa realizarse es por la naturaleza de sus componentes:

Cables con conductores de cobre o de aluminio.

Cables aislados con materiales termoplasticos, elastomeros, papel impregnadoo aceite fluido.

Cables protegidos con pantallas o armaduras.

Dependiendo del tipo de instalacion, se debera escoger el cable con la mejor relacionentre sus propiedades electricas, termicas, quımicas y mecanicas, que resulte masadecuado para ese determinado emplazamiento.

Los cables son un componente esencial en los sistemas de transporte y distribu-cion de energıa. Permiten manejar la electricidad de manera eficiente y segura desdelos lugares de produccion hasta el consumidor final. Se pueden enumerar algunas delas aplicaciones mas frecuentes de los cables de media y alta tension:

Entradas a subestaciones.

Mallados de redes urbanas.

Enlaces entre dos subestaciones.

Sifones (cables intercalados entre lıneas aereas).

Conexion de generadores.

Transformadores auxiliares.

Parques eolicos.

2.3. CABLES DE MEDIA Y ALTA TENSION SUBTERRANEOS 11

2.3.1. Componentes constitutivos

Los cables de media y alta tension subterraneos estan formados por los siguienteselementos:

Conductor.

Capa semiconductora interna.

Aislamiento.

Capa semiconductora externa.

Pantalla metalica.

Armaduras (opcional).

Cubierta exterior.

Figura 2.1: Componentes de un cable unipolar subterraneo de potencia [8].

2.3.1.1. Conductor

Es el elemento encargado del transporte y circulacion de la corriente electricatanto en regimen nominal, como en sobrecarga y cortocircuito. Tambien tiene lafuncion mecanica de soportar los esfuerzos de traccion que puedan aparecer.

Esta situado en el seno del cable y es de naturaleza metalica. Ası mismo, debetener una superficie exterior regular para facilitar un contacto perfecto con la capasemiconductora interna, y muy buena conductividad para minimizar las perdidaspor efecto Joule, fenomeno que se describira con mayor detalle mas adelante.


Por ello, los materiales mas utilizados en la fabricacion de los conductores de loscables son el cobre templado de alta conductividad y el aluminio de alta pureza.Por un lado, el cobre posee mejores caracterısticas electricas y mecanicas, pero porotro, el aluminio cuenta con menor peso y su precio resulta mas economico. SegunPrysmian Group, frente a los 8900 kg/m3, y 6,7 ¿/m, el aluminio tiene unos valorescaracterısticos de 2700 kg/m3 y 1,8 ¿/m, calculados para una misma resistividadfinal del cable frente al paso de la corriente.

El conductor puede estar formado por uno o varios alambres que le otorganflexibilidad al conjunto. Generalmente, existen tres disposiciones en cuanto a laconstitucion del conductor se refiere:

Conductores de alambres redondos. Los alambres, de seccion circular, son en-samblados concentricamente en helice. Ayudan a reducir el efecto proximidad,que se comentara con posterioridad.

Conductores compactos. Los alambres se encuentran comprimidos para obte-ner una superficie mas lisa y uniforme.

Conductores segmentados. Los alambres, de seccion sectorial, se agrupan for-mando un conductor de seccion cilındrica.

2.3.1.2. Capa semiconductora interna

La funcion principal de este componente es lograr que el campo electrico se dis-tribuya homogeneamente a lo largo del cable, y desaparezcan irregularidades pun-tuales, derivadas de la no idealidad en la uniformidad de la seccion de conductor, quepueden aumentar innecesariamente las perdidas. La capa semiconductora interna seencuentra sometida al mismo potencial que el conductor.

Los materiales semiconductores utilizados para construir estas pantallas, situadasentre el conductor y el dielectrico, tienen la exigencia de mantener una conductividadestable en el tiempo y que sea suficiente para garantizar un contacto efectivo con elelectrodo metalico. Por otro lado, debe tener una adherencia al aislamiento perfecta,incluso en solicitaciones mecanicas severas, y asegurar unas superficies de contactoperfectamente lisas y homogeneas.

Generalmente se utiliza un polımero similar como material base para las mezclassemiconductoras, ya que las propiedades tanto termicas como mecanicas de las capasinternas deben ser parecidas a las del propio material aislante.

2.3.1.3. Aislamiento

Es el elemento encargado de confinar la corriente electrica en la seccion del con-ductor y soportar la tension existente entre este y la pantalla metalica, conectada atierra. Se trata de un componente crıtico que se coloca alrededor de la capa semi-conductora interna y del conductor de manera que los cubra totalmente y con unespesor adecuado a la tension nominal del cable.


En regimen permanente, e incluso en determinadas sobretensiones transitorias,el campo electrico al que se encuentra sometido el aislamiento debe ser inferior alde su tension de perforacion para evitar la ruptura dielectrica del medio.

Ademas, hay que considerar un hecho de vital importancia. La temperaturamaxima que pueda soportar el aislamiento, determinara la capacidad de transportedel cable tanto en regimen nominal, como en transitorio. Si se llegase a superar estatemperatura lımite de funcionamiento, el aislamiento podrıa resultar danado y conello se reducirıa enormemente la vida util del cable.

Tipos de aislamiento. Por un lado existe el aislamiento seco, que esta formadopor material polimerico extruido. Los mas utilizados son:

Polietileno reticulado (XLPE), (comun en alta tension).

Etileno propileno (EPR), (comun en media tension).

Polietileno (PE), (comun en media tension).

Policloruro de vinilo (PVC).

Las impurezas y la entrada de humedad son dos peligros asociados a estos aislamien-tos, que hacen que se reduzca la rigidez dielectrica.

Por otro lado, los cables tambien pueden estar formados por aislamiento de pa-pel, capas encintadas de fibra celulosa impregnadas en aceite. Esta modalidad ofreceexcelentes propiedades mecanicas y electricas, pero conlleva el riesgo de perder laimpregnacion del papel, lo que resultarıa fatal para el cable. Existen dos configura-ciones diferentes:

Aceite fluido. El aceite circula por el interior del conductor, impregnando elpapel del aislamiento a su paso.

Impregnacion en masa. El aceite permanece estatico en las capas de papel delaislamiento.

Tambien existe un tercer tipo de aislamiento, denominado PPLP (PolypropyleneLaminated Paper), que consiste en intercalar capas de papel con capas de polipro-pileno. Su uso queda restringido a instalaciones de muy alta tension debido a suelevado coste.

Caracterısticas adicionales. Ademas de las caracterısticas electricas, los mate-riales aislantes presentan otras adicionales segun el tipo de instalacion donde vayana ser instalados, y que les permitan soportar las influencias externas durante su vidautil. Algunas de las mas destacadas son:

Absorcion de agua y resistencia a la humedad.

Resistencia al ozono.


Resistencia a la accion solar y radiacion ultravioleta..

Resistencia a agentes corrosivos.

Resistencia a la radiacion gamma.

Grado de polimerizacion, vulcanizacion o reticulacion.

2.3.1.4. Capa semiconductora externa

Cumple una funcion similar a la capa semiconductora interna y debe verificar lasmismas caracterısticas. En oposicion a esta, en vez estar en contacto con el conductory el dielectrico, se encuentra dispuesta entre el aislamiento y la pantalla metalica.La capa semiconductora externa se encuentra sometida al mismo potencial que lapantalla, es decir a tierra.

En el proceso de fabricacion de cables de media y alta tension, se suelen realizaral unısono los conformados de la tres capas que cubren al conductor (semiconductorainterna, aislamiento y semiconductora externa). Este procedimiento se denomina tri-ple extrusion (TE), elimina defectos e impurezas y dota a los cables de una fiabilidadmuy superior a los convencionales.

2.3.1.5. Pantalla metalica

Es un componente metalico indispensable en los cables de media y alta tension,cuya finalidad es servir como proteccion electrica. Tiene la funcion de dar formaregular y cilındrica al campo electrico que rodea el conductor cuando se encuentrasometido a tension y conducir las intensidades inducidas por este.

Debido a la necesidad de despejar dichas intensidades es necesaria su conexion atierra. Ademas, este hecho ofrece un blindaje ante potenciales inducidos por camposelectricos externos.

Existen diferentes tipos de pantallas metalicas:

Pantallas estancas. Formadas por un tubo de plomo o laminas de aluminiocorrugado.

Pantallas no estancas. Formadas por alambres de cobre o aluminio, o bien, porpletinas de cobre.

Suele estar formada por una corona de hilos de cobre en el caso de cables unipolares,o bien una cinta de cobre arrollada sobre el alma de cada uno de los conductoresen cables tripolares. En ocasiones la pantalla tambien esta rodeada por capas deproteccion contra la humedad.

Sistemas de puesta a tierra. Por otro lado, en funcion del sistema de puesta atierra de las pantallas metalicas podemos distinguir:


Conexion en ambos extremos. Consiste en conectar los dos extremos de la lıneaa tierra. Permite la circulacion de corrientes, por lo que generalmente se utilizapara tramos cortos.

Conexion de un extremo. La pantalla se conecta a tierra unicamente en unsolo extremo. No existe circulacion de corrientes, pero se genera una tensioninducida que limita la longitud de la lınea. En ocasiones se conecta a tierra elpunto central de la misma para conseguir mayor longitud de los tramos.

Cruzamiento de pantallas. Esta caracterizada por una conexion de los extremosa tierra, junto un cruzamiento de pantallas. Se anulan las corrientes de circu-lacion debido al cruzamiento, lo que permite trabajar con lıneas de longitudconsiderable.

2.3.1.6. Armaduras

Son elementos, generalmente constituidos por compuestos metalicos, de protec-cion del cable frente a esfuerzos mecanicos excesivos, ya sean de compresion o trac-cion. No son muy utilizadas en los cables de media y alta tension subterraneos yaque aumentan las perdidas por histeresis y corrientes de Foucault. Solo se utilizanen los casos en los que se prevean importantes tensiones mecanicas, como es el casode los cables submarinos.

Las armaduras estan fabricadas generalmente de acero y pueden encontrarse enforma de flejes, alambres, pletinas, tubos, etc. Hay que notar que a menudo, loscables con armadura tienen una capa no conductora situada entre la pantalla y laarmadura conocida como acolchado de la armadura.

2.3.1.7. Cubierta exterior

Su principal mision es proteger el cable frente a agentes daninos externos: quı-micos, atmosfericos, biologicos, abrasivos, etc., y mejorar algunas caracterısticas in-ternas que le permitan satisfacer de forma optima sus prestaciones: materiales derelleno para dar forma cilındrica, barreras antillama, etc.

Es el elemento mas externo del cable, situado sobre la pantalla y la armadura, sidispone de esta.

El material utilizado, como sus caracterısticas, vienen determinados por la na-turaleza de la agresion externa a la que debera hacer frente. Los compuestos masempleados para cables de media y alta tension son:

Policloruro de vinilo (PVC).

Polietileno (PE).

Polioloefina.

Neopreno o hypalon (menos frecuente).


2.3.2. Disposicion de los cables subterraneos de potencia

Los cables subterraneos de potencia se pueden instalar directamente, o en ductosrecubiertos de hormigon bajo el terreno.

2.3.2.1. Cables directamente enterrados

Consiste basicamente en abrir una zanja en el terreno en la que se introducen loscables, siempre a una profundidad aproximada de un metro. Este tipo de instalaciones muy comun en zonas donde exista la posibilidad de reabrir la zanja para incluirnuevos tramos de cable o bien, realizar mantenimientos de los ya colocados.

Las disposiciones mas utilizadas son colocacion de cables unipolares al tresbolillo,y en capa (en contacto o separados).

Hay que destacar que los cables empleados en estas instalaciones deben estarpreparados contra el ataque de agentes externos como la humedad.

2.3.2.2. Cables alojados en ductos

Son instalaciones de mayor complejidad y sofisticacion que las anteriores. Loscables se introducen en tubos uniformemente separados, y de materiales polimericoscomo el PVC, o metalicos como el acero galvanizado.

Figura 2.2: Instalacion de cables en ductos [21].

Mediante esta disposicion se evita el contacto directo del cable con el terreno,por lo que se consigue una proteccion mecanica adicional que permite alargar la vidautil del mismo. En contraposicion, los bancos de ductos tienen menor capacidad dedisipacion de calor que los cables directamente enterrados, por lo que la corriente deservicio admisible sera ligeramente inferior.

Los bancos de ductos permiten instalar gran cantidad de cables en pequenosespacios, gracias a ello, resultan especialmente utiles en zonas urbanas.

Capıtulo 3

Modelo termico-electrico

Para poder evaluar correctamente y de forma mas intuitiva el funcionamientoreal del cable sometido a tension y con circulacion de corriente electrica, se va aplantear un modelo termico-electrico de la estructura del mismo a fin de contrastarlos elementos mas importantes que entran en juego. En este modelo, se representanlas distintas capas del cable partiendo desde su eje longitudinal hasta la capa masexterior, ası como el entorno que lo rodea.

La circulacion de corriente electrica a traves del cable genera unas perdidas porefecto Joule, y por tanto se origina un flujo de calor desde el interior hacia el exteriordel mismo. Como consecuencia, apareceran diferencias de temperatura entre lasdistintas capas, que limitaran la corriente maxima que se puede transportar sindanar los componentes del cable.

Figura 3.1: Modelo termoelectrico equivalente de un cable unipolar subterraneo depotencia.

17

18 CAPITULO 3. MODELO TERMICO-ELECTRICO

3.1. Resistencias termicas

El calor evacuado en cada una de las capas es proporcional a la diferencia de tem-peraturas en los extremos de las mismas y a la conductividad termica del material,segun la ecuacion de transferencia de calor por conduccion.

3.1.1. Resistencias termicas en el cable

La resistencia termica de cada una de las capas del cable depende de las dimen-siones, diametro exterior y espesor, y de la conductividad termica del material.

Las resistencias termicas de los materiales conductores seran practicamente des-preciables debido a su elevada conductividad termica.

3.1.2. Resistencia termica en el terreno

La resistencia termica externa del cable depende de la instalacion donde se en-cuentre, de parametros como la profundidad, la disposicion de los cables y de laspropiedades del terreno.

3.2. Perdidas electricas

Las perdidas electricas a lo largo de los componentes de cable provocaran unflujo de calor que es necesario evacuar para no danar ningun material.

3.2.1. Perdidas en el conductor

Las perdidas en el conductor son debidas al fenomeno que se ha mencionado conanterioridad: el efecto Joule. La energıa electrica transportada por un cable es elresultado de la suma de las energıas cineticas de los electrones que se desplazan enel seno del material conductor, impulsadas por un campo electrico creado al conectarel cable a tension. No obstante, no toda esta energıa cinetica se aprovecha. Durantela marcha de la corriente electrica a traves del cable, existen numerosos choquesy rozamientos entre los electrones y los iones de la red cristalina que constituyeel material conductor, de manera que le ceden parte de esta energıa cinetica, queposteriormente se disipa en forma de calor.

3.2. PERDIDAS ELECTRICAS 19

De esta forma, las perdidas por efecto Joule que se producen en el seno delmaterial conductor por unidad de longitud se pueden expresar como:

Wg = R · I2 (3.1)

Donde:

Wg: Perdidas por efecto Joule en el conductor, expresadas en W .

R: Resistencia electrica del conductor, expresada en Ω.

I: Corriente eficaz que circula por el conductor, expresada en A.

La resistencia electrica del cable muestra la no idealidad del conductor frente al pasode la corriente. El valor de esta resistencia se considera a la maxima temperaturade servicio, es decir, aquella a la que circula corriente nominal por el conductor. Sepuede expresar como:

R = ρT ·l

s(3.2)

Siendo:

ρT : Resistividad del material conductor, expresada en Ω ·m.

l: Longitud del cable, expresada en m.

s: Seccion transversal del conductor, expresada en m2.

Ademas de estas perdidas por efecto Joule debidas a la no idealidad del materialconductor, si circula por el cable corriente alterna, aparecen varios efectos a teneren cuenta que hacen aumentar las perdidas electricas.

3.2.2. Efecto pelicular

El efecto pelicular esta relacionado con la frecuencia de la corriente alterna. Amedida que esta aumenta, la densidad de corriente en la seccion transversal delconductor se vuelve cada vez menos uniforme.

Las variaciones de flujo magnetico provocan que la corriente no se distribuya deigual forma por toda la seccion. A medida que la frecuencia asciende, en el interiordel conductor se inducen tensiones mayores y la densidad de corriente disminuye,mientras que en los exteriores del conductor, ocurre el proceso contrario. Es decir, ladensidad de corriente aumenta a medida que nos alejamos del centro del conductordebido a la oposicion que hace la tension inducida al cambio de la corriente.


Figura 3.2: Efecto pelicular en una seccion de conductor a diferentes frecuencias. Lacorriente esta representada en azul [9].

El efecto pelicular puede considerarse, a efectos practicos, como una reduccion dela seccion efectiva del cable por la que circula corriente, aumentando de esta forma,la resistencia electrica del conductor.

3.2.3. Efecto proximidad

El efecto proximidad tiene lugar cuando dos o mas conductores por los que circulacorriente alterna estan a una distancia relativamente cercana. Entre ambos conduc-tores se generan efectos magneticos que modifican la distribucion de densidad decorriente en la seccion transversal del mismo. De esta forma se altera la distribu-cion uniforme de la corriente, provocando una disminucion de la seccion eficaz delconductor, y con ello un aumento de la resistencia electrica del mismo.

Figura 3.3: Efecto proximidad entre dos conductores cercanos. La corriente estarepresentada en amarillo y los campos magneticos en azul [9].

Las configuraciones que sufren este efecto son las bipolares, tripolares y mul-tipolares, o bien, grupos de cables unipolares con configuraciones geometricas quefavorezcan la cercanıa de los conductores.

3.2. PERDIDAS ELECTRICAS 21

3.2.4. Perdidas en las pantallas metalicas

Las perdidas ocasionadas por la pantalla metalica de los cables pueden ser de di-ferente naturaleza atendiendo al tipo de puesta a tierra que exista, siempre y cuandoesten constituidas por compuestos ferromagneticos. Si estan formadas por materialesno magneticos, como el cobre o el aluminio, estas perdidas resultan despreciables.

3.2.4.1. Perdidas por corrientes de circulacion

La corriente que circula por el conductor induce corrientes sobre la pantalla,al cerrarse una espiral que rodea una parte del campo magnetico generado por lacorriente principal. Estas solo se originan cuando la pantalla esta conectada a tierraen ambos extremos de la lınea. En el caso de pantallas conectadas a tierra en unicoextremo, las perdidas son nulas.

En instalaciones con pantallas permutadas, las corrientes de circulacion son des-preciables si las tres secciones que se producen entre los dos extremos conectados atierra son identicas.

En todo caso, las perdidas ocasionadas por las corrientes de circulacion se expre-san como una fraccion de las perdidas por efecto Joule en el conductor.

3.2.4.2. Perdidas por corrientes de Foucault

Se originan en las instalaciones donde la pantalla esta en cortocircuito en un solopunto o esta permutada.

Las perdidas por corrientes de Foucault tambien se expresan como una fraccionde las perdidas por efecto Joule en el conductor.

3.2.4.3. Perdidas por efecto proximidad

Debido al efecto de proximidad descrito anteriormente, se generan en las pantallasunas corrientes transversales distintas a las corriente de circulacion.

Estas corrientes suelen ser de un orden de magnitud inferior, por lo que es comundespreciarlas.

3.2.5. Perdidas dielectricas

Al aplicar una tension sobre el cable se genera un campo electrico que producefugas de energıa en el material aislante en forma de calor. Cobran especial relevanciaen el transporte de corriente alterna mediante cables apantallados, ya que existe uncamino adicional para la circulacion de corriente.

En el resto de casos pueden suponerse despreciables, especialmente trabajandocon corriente continua y en cables de corriente alterna con tensiones no elevadas.


3.2.6. Resistencia electrica eficaz

Hay que destacar que tanto las perdidas derivadas de la resistencia electricacaracterıstica del propio material conductor, como las perdidas originadas por losefectos que se han descrito anteriormente, estan agrupadas en una unica resistenciaeficaz R experimental. Esta se encuentra tabulada en funcion del tipo y componentesdel cable, y segun su instalacion, siguiendo las normas UNE.

Sera esta unica resistencia eficaz la que se utilizara a lo largo del desarrollo delproyecto para evaluar las consiguientes perdidas electricas del cable, ya que englobatodos los fenomenos que tienen lugar en el mismo.

Capıtulo 4

Ecuaciones de transferencia decalor

Gracias al estudio de la termodinamica se conoce que la transmision de energıatiene lugar mediante las interacciones de un sistema con su entorno, en forma decalor y trabajo. No obstante, solo trata los estados finales del proceso, de manera quese precisa estudiar tambien la naturaleza de estas interacciones, ası como la rapidezen que se producen. Es por ello que se deben contemplar los diferentes mecanismosde transferencia de calor para realizar el analisis termico.

Hay que destacar que la creacion de un flujo de calor entre diferentes zonas de uncuerpo, o entre varios cuerpos, esta condicionada a la existencia de una diferenciade temperaturas en las zonas de estudio.

4.1. Mecanismos de transmision de calor

Los problemas de transferencia de calor han sido estudiados a lo largo de muchosanos, y se ha llegado a la conclusion de que existen unicamente tres mecanismosbasicos mediante los cuales se representa la totalidad de los fenomenos de transmisionde calor.

4.1.1. Conduccion

Se entiende por conduccion la transferencia de energıa en una determinada sus-tancia a causa de la vibracion de los atomos o partıculas de la misma. Las tempera-turas mas altas se asocian con las energıas moleculares mas elevadas, que al chocarconstantemente con las moleculas vecinas transmiten parte de su energıa a las menosenergeticas.

Es posible cuantificar la cantidad de energıa que se transfiere por unidad detiempo gracias a la conduccion de calor, mediante una ecuacion conocida como leyde Fourier. Para una unica variable se expresa:

qcond = −A · k · dTdx

(4.1)

23

24 CAPITULO 4. ECUACIONES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Siendo:

qcond: Flujo de calor por conduccion en la direccion x, expresado en W .

A: Area afectada perpendicular a la direccion de transferencia de calor, expre-sada en m2.

k: Conductividad termica del material, expresada en W/(m ·K).

dTdx

: Gradiente de temperaturas en la direccion x, expresado en K/m.

El signo negativo indica que el flujo de calor se transfiere en la direccion de latemperatura decreciente.

4.1.2. Conveccion

El mecanismo de transmision de calor por conveccion esta basado en dos feno-menos fısicos que se complementan. Por una lado la transferencia de energıa debidaal movimiento molecular aleatorio, ya comentado en el caso anterior. Por otro lado,gracias al movimiento macroscopico de un fluido (lıquido o gas), es decir, grandes nu-meros de moleculas se desplazan de forma colectiva transfiriendo calor en presenciade un gradiente de temperaturas.

La conveccion puede ser libre (natural) o forzada. En el primer caso el fluido sedesplaza gracias a las fuerzas gravitacionales y a diferencias de densidad, mientrasque en el segundo, se empuja, se fuerza al fluido a moverse, como por ejemplo en elcaso de ventiladores empleados para refrigeracion.

Representar los fenomenos de conveccion reales mediante ecuaciones fısicas noes una tarea sencilla. Cada caso de estudio es diferente y muchas de ellas solo sepueden obtener de manera experimental. Sin embargo, para este proyecto acordeal cable electrico de potencia, se puede considerar, sin cometer mucha incertidum-bre, la ecuacion que representa la conveccion de calor, o tambien conocida ley deenfriamiento de Newton, como:

qconv = A · h · (Ts − T∞) (4.2)

Donde:

qconv: Flujo de calor por conveccion, expresado en W .

A: Area de contacto entre la superficie del cuerpo y el fluido, expresada en m2.

h: Coeficiente de transferencia de calor por conveccion, expresado en W/(m2 ·K).

Ts: Temperatura de la superficie del cuerpo, expresada en K.

T∞: Temperatura del fluido, expresada en K.

4.1. MECANISMOS DE TRANSMISION DE CALOR 25

El signo positivo indica que el flujo de calor se transfiere desde la superficie hacia elfluido.

El coeficiente de transferencia de calor h es, generalmente, difıcil de cuantificarya que depende de multiples factores como las propiedades y velocidad del fluido, lapresion, la geometrıa de contacto del solido con el fluido, etc. No obstante, existennumerosos estudios experimentales a cerca de la determinacion de los valores dedicho coeficiente para diferentes casos, todos ellos tabulados.

4.1.3. Radiacion

El mecanismo de radiacion termica se puede considerar como la energıa emitidapor un cuerpo solido, lıquido o gas, por encontrarse a una determinada temperatura.Se atribuye a cambios en las configuraciones electronicas de los atomos o moleculasque lo constituyen, y cuya energıa es transportada por medio de ondas electromag-neticas, o fotones.

La ecuacion que representa la radiacion neta, tanto emitida como recibida, sepuede cuantificar para el caso de intercambio radiativo entre dos superficies grisesen las que el tamano de una es despreciable frente la otra:

qrad = A · ε · σ · (T 4s − T 4

∞) (4.3)

Siendo:

qrad: Flujo de calor por radiacion, expresado en W .

A: Superficie del cuerpo afectada, expresada en m2.

ε: Emisividad del material, adimensional.

σ: Constante de Stefan-Boltzmann, aproximadamente 5,67 ·10−8 W/(m2 ·K4).

Ts: Temperatura de la superficie del cuerpo, expresada en K.

T∞: Temperatura del ambiente, expresada en K.

El signo positivo indica que el flujo de calor se transfiere desde la superficie hacia elambiente.

El termino emisividad (0 ≤ ε ≤ 1) representa la no idealidad de los cuerpos realesen comparacion con un cuerpo denominado negro, capaz de irradiar la maximacantidad de energıa posible.

Hay que advertir que para el caso de estudio que se esta desarrollando en esteproyecto, la transmision de calor por radiacion no es significativa, siendo variosordenes de magnitud inferior a la conduccion o conveccion, y por tanto, se puedeconsiderar despreciable. A partir de ahora no se volvera a hacer referencia a estemecanismo de transferencia de energıa.


4.2. Ecuacion de conservacion de la energıa

Los conceptos de transferencia de calor y termodinamica son altamente com-plementarios. En la mayorıa de los casos es necesario utilizar las herramientas queambos proporcionan para la resolucion de diversos problemas fısicos relacionadoscon este campo de estudio. Es el caso de la primera ley de la termodinamica o leyde conservacion de la energıa, que apoyada de los mecanismos de transferencia decalor, permite obtener muy buenos resultados.

Estos conceptos se aplican sobre un volumen de control, que se define comouna region del espacio limitada por una superficie de control a traves de la cual seintercambia energıa y materia.

La ecuacion de conservacion de energıa aplicada a un volumen de control debecumplir la siguiente expresion sobre una base de velocidades, es decir en cada instantede tiempo t debe existir un balance entre todas las velocidades de energıa, medidasen Vatios (W ):

dEentrante

dt− dEsaliente

dt+dEgenerada

dt=dEalmacenada

dt(4.4)

Que se puede expresar como:

Eentrante − Esaliente + Egenerada = Ealmacenada (4.5)

Figura 4.1: Conservacion de la energıa para un volumen de control en un instantede tiempo t [10].

Por otro lado, si se considera un intervalo de tiempo ∆t, debe satisfacerse, deigual modo, el balance entre las cantidades de todos los intercambios de energıa,medidos en Julios (J):

Eentrante − Esaliente + Egenerada = ∆Ealmacenada (4.6)

4.2. ECUACION DE CONSERVACION DE LA ENERGIA 27

La cantidad de energıa, tanto termica como mecanica, que ingresa en el volumende control, mas la cantidad de energıa termica que se genera dentro del volumen decontrol, menos la cantidad de energıa termica y mecanica que sale del mismo, debeser igual al incremento o disminucion de la cantidad de energıa almacenada en elvolumen de control.

Los terminos de entrada y salida se asocian con fenomenos de superficie, esdecir, estan relacionados con procesos que ocurren en la superficie de control yson proporcionales al area de la misma. La transmision de calor por conduccion,conveccion y radiacion son ejemplos de fenomenos de superficie.

El termino de generacion de energıa esta ligado a la conversion a energıa termicaproveniente de otro tipo de energıa (electromagnetica, electrica, quımica o nuclear).En el caso de estudio de este documento, la generacion de calor viene dada porconversion de energıa electrica mediante efecto Joule, como se ha comentado en elcapıtulo anterior.

Tanto este ultimo termino, como el de energıa almacenada son fenomenos volu-metricos, ocurren dentro del volumen de control y son proporcionales a la magnitudde su volumen.

4.2.1. Almacenamiento termico

La energıa interna de un cuerpo solo puede cambiar cuando el balance de flu-jos comentado con anterioridad varıe. La expresion de la variacion de la energıaalmacenada en un determinado volumen de control se puede escribir de la siguientemanera:

∆Ealmacenada = V · ρ · cp · 4T (4.7)

Donde:

∆Ealmacenada: Variacion de energıa almacenada, expresada en J .

V : Magnitud del volumen de control considerado, expresado en m3.

ρ: Densidad del material, expresada en kg/m3.

cp: Calor especıfico del material, expresado en J/(kg ·K).

∆T : Variacion de temperaturas, expresado en K.

Capıtulo 5

Metodos numericos

El ser humano siempre ha tratado de modelar los fenomenos que ocurren en larealidad mediante modelos matematicos que permitan vislumbrar las peculiaridadesde los mismos. En muchas ocasiones, los metodos analıticos o exactos sirven paraencontrar la solucion cuando se aplican sobre geometrıas basicas. Sin embargo enla mayorıa de los casos, donde se trabaja con condiciones irregulares y complejas,estos metodos analıticos ven mermada su utilidad. Su aplicacion resulta excesiva-mente compleja y muchas veces son incapaces de proporcionar soluciones validas alproblema. Es por ello que se han desarrollado los metodos numericos, que a travesde algoritmos, permiten obtener soluciones numericas que aunque no exactas, seaproximan bastante a la realidad.

5.1. Metodo de diferencias finitas

Entre los distintos metodos numericos para resolver Ecuaciones DiferencialesParciales (EDP) y Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), el Metodo de Dife-rencias Finitas (MDF) goza de gran aceptacion debido a su gran versatilidad y laobtencion de resultados adecuados.

Este metodo consiste basicamente en introducir una malla sobre una region Ω delespacio y aproximar las derivadas del problema planteado por medio, generalmente,de la descomposicion en serie de Taylor de la funcion. En otras palabras, se realizauna particion de la region del espacio que se pretende estudiar en un numero deter-minado de pequenas subdivisiones, las cuales estan representadas, en la mayorıa delos casos, por un punto situado en el centro, tambien denominado nodo. Son en estospuntos discretos donde se aplican las ecuaciones aproximadas, representando ası, unpromedio de una determinada magnitud de la subdivision en la que se encuentran.Gracias a esta consideracion, se deben despreciar gradientes internos, contemplandounicamente los existentes entre las distintas particiones.

A diferencia de los metodos analıticos, mediante los cuales se puede obtener elvalor de la magnitud en cualquier punto de interes de la region de estudio, en el casode los metodos aproximados como el de diferencias finitas, solo es posible obtener elvalor de esa magnitud en los nodos previamente definidos.

29

30 CAPITULO 5. METODOS NUMERICOS

Hay que destacar que a la hora de realizar el mallado resulta crucial adaptarcorrectamente el numero de nodos a la geometrıa de la region de estudio. Tanto losexcesos como los defectos desmesurados de precision conllevan asociados errores decalculo por las ecuaciones aproximadas y errores propios de aproximacion por faltade informacion de la region de estudio, respectivamente.

Para el caso de una sola variable y dada una funcion U(x), desarrollando enseries de Taylor en los puntos x+ h y x− h, se tiene:

U(x+ h) ≈ U(x) + h · U ′(x) +h2

2· U ′′(x) +

h3

3!· U ′′′(x) + ... (5.1)

U(x− h) ≈ U(x)− h · U ′(x) +h2

2· U ′′(x)− h3

3!· U ′′′(x) + ... (5.2)

Sumando miembro a miembro ambas expresiones:

U(x+ h) + U(x− h) = 2 · U(x) + h2 · U ′′(x) +O(h4) (5.3)

Despejando el termino de la derivada segunda resulta:

U ′′(x) =1

h2[U(x+ h)− 2 · U(x) + U(x− h)] (5.4)

Si ahora de (5.2) se resta (5.3), se sustituye la derivada segunda segun (5.4), yse despeja la derivada primera, se obtiene la denominada diferencia central:

U ′(x) =1

2 · h[U(x+ h)− U(x− h)] (5.5)

Se define la diferencia progresiva o “diferencia para adelante” como:

U ′(x) =1

h[U(x+ h)− U(x)] (5.6)

y la diferencia regresiva o “diferencia para atras” por:

U ′(x) =1

h[U(x)− U(x− h)] (5.7)

A la hora de indicar la posicion de los nodos dentro de la malla, suele designarseuna serie de ındices. Para el caso de transmision de calor en dos dimensiones, setoma por ejemplo, m y n para las posiciones x e y, respectivamente, y se sustituyela funcion genericaU(x, y) por la funcion temperatura T (m.n).

5.1. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS 31

Figura 5.1: Red Nodal [10].

Empleando las ecuaciones (5.6), (5.7) y (5.4) obtenidas con anterioridad, losgradientes de temperatura se pueden expresar, respectivamente, como:

∂T

∂x

∣∣∣∣m+ 1

2,n

≈ Tm+1,n − Tm,n

∆x(5.8)

∂T

∂x

∣∣∣∣m− 1

2,n

≈ Tm,n − Tm−1,n

∆x(5.9)

∂2T

∂x2

∣∣∣∣m,n

≈ Tm+1,n − 2Tm,n + Tm−1,n

(∆x)2 (5.10)

Para el caso del ındice n, correspondiente a la coordenada y, las ecuaciones serıansimilares.

5.1.1. Balance de energıa

Una vez planteados los gradientes de temperaturas en las diferentes direccionesque conforman el problema termico, es necesario aplicar la ecuacion del balancede energıas sobre cada volumen de control, o subdivision de la red nodal, segun lomencionado en el capıtulo anterior.

Hay que notar que en muchas ocasiones la direccion real del flujo de calor entrelos diversos nodos que forman la malla se desconoce, por ello se suele formular elbalance de energıa suponiendo que todos los flujos de calor son entrantes hacia elnodo considerado. Aunque es imposible que esta condicion tenga lugar de manerageneral en todos los volumenes de la red, si las ecuaciones de flujo se expresan demanera coherente con esta suposicion a lo largo de todos los nodos del mallado, seobtienen resultados igualmente validos.


5.1.1.1. Regimen permanente

Para situaciones no dependientes del tiempo, o estables, el termino de energıaalmacenada presente en la ecuacion de conservacion (4.5) deja de tener relevancia.Ademas siguiendo la suposicion comentada con anterioridad (flujos de calor entranteshacia el nodo) y valorando la existencia de generacion se llega a la siguiente expresion:

Eentrante + Egenerada = 0 (5.11)

A fin de simplificar y facilitar la comprension se va a considerar un problema detransmision de calor bidimensional de geometrıa sencilla. En el centro se va a situaruna region cuadrada con generacion de calor y representada por las coordenadasm,n. Adyacentes, se situaran otras cuatro divisiones con las mismas dimensiones ypropiedades. Vease figura (5.2).

Figura 5.2: Flujos de calor por conduccion hacia un nodo interior [10].

Las ecuaciones de transferencia de calor por conduccion, segun (4.1), (5.8) y(5.9), particularizadas para este ejemplo son:

q(m+1,n)→(m,n) = k · (∆y · z) · Tm+1,n − Tm,n

∆x(5.12)

q(m−1,n)→(m,n) = k · (∆y · z) · Tm−1,n − Tm,n

∆x(5.13)

q(m,n+1)→(m,n) = k · (∆x · z) · Tm,n+1 − Tm,n

∆y(5.14)

q(m,n−1)→(m,n) = k · (∆x · z) · Tm,n−1 − Tm,n

∆y(5.15)


Generalizando para cualquier geometrıa de celda, se obtiene:

q(nodo ext)→(m,n) = k · A · Text − Tm,n

∆l(5.16)

Por tanto, agrupando todos los terminos, la ecuacion de conservacion de la ener-gıa sobre el nodo central escogido en el ejemplo es:

4∑1

q(nodo ext)→(m,n) + qgen · (∆x ·∆y · z) = 0 (5.17)

k · (∆y · z) · Tm+1,n − Tm,n

∆x+ k · (∆y · z) · Tm−1,n − Tm,n

∆x+

+k · (∆x · z) · Tm,n+1 − Tm,n

∆y+ k · (∆x · z) · Tm,n−1 − Tm,n

∆y+

+qgen · (∆x ·∆y · z) = 0 (5.18)

Si ademas se considera que ∆x = ∆y, la ecuacion anterior se reduce a:

Tm+1,n + Tm−1,n + Tm,n+1 + Tm,n−1 − 4 · Tm,n +qgen · (∆x)2

k= 0 (5.19)

Hay que destacar que en este ejemplo el nodo estudiado es interior, y que soloaparecen mecanismos de conduccion. Para los casos en los que los nodos se en-cuentren en las esquinas o laterales, las ecuaciones anteriormente citadas variaranconvenientemente para adaptarse a la situacion especıfica del nodo estudiado y delos nodos colindantes.

Para el caso de transmision de calor por conveccion, segun (4.2), la ecuacion querige el comportamiento de un volumen de control que intercambia energıa por unade sus caras es:

q(nodo ext)→(m,n) = A · h · (T∞ − Tm,n) (5.20)

Para obtener la solucion del problema termico en regimen permanente bastaraparticularizar las ecuaciones de los distintos mecanismos de transmision de calorpara el caso de estudio, y aplicarlas en el balance de conservacion de la energıa(5.11) para calcular la distribucion de temperaturas.


5.1.1.2. Regimen transitorio

Ademas de las ecuaciones obtenidas para problemas termicos estables, perma-nentes, resulta util definir que sucede en casos dependientes del tiempo, ya que lagran mayorıa de los fenomenos que ocurren en la realidad tienen una componentetransitoria. El termino de energıa almacenada ahora sı tendrıa influencia sobre elbalance neto, para un volumen de control dado, de manera que la ecuacion generalde conservacion de la energıa resulta de la siguiente manera:

Eentrante + Egenerada = Ealmacenada (5.21)

Existen dos metodos generales para la discretizacion de las ecuaciones de conser-vacion de la energıa y mecanismos de transmision de calor, los denominados explıcitoe implıcito.

En el primero, las temperaturas nodales, desconocidas, en el nuevo tiempo secalculan unicamente mediante las temperaturas nodales, conocidas, en el tiempoanterior. Es independiente de las temperaturas de los otros nodos para el mismotiempo, exclusivamente para el anterior. En el segundo, la nueva temperatura delnodo (m,n) dependera de las nuevas temperaturas de los nodos colindantes, todasellas para el nuevo tiempo t+ ∆t, y por tanto, desconocidas. Es necesario, entonces,resolver todas las ecuaciones de diferencias finitas simultaneamente para cada tiempodiscreto, mediante el metodo de inversion de matrices como se comentara en lasiguiente seccion.

El metodo explıcito lleva consigo problemas de estabilidad si no se escoge con-venientemente el valor de ∆t por debajo de cierto lımite. Por su parte, el metodoimplıcito es incondicionalmente estable, y por ello se empleara en el desarrollo deeste trabajo para caracterizar los fenomenos transitorios por diferencias finitas.

Se va a considerar de nuevo el mismo ejemplo bidimensional de la seccion an-terior. En este caso, en condiciones transitorias, sin generacion interna de calor ysin almacenamiento termico, para simplificar el problema y resaltar los conceptospropios de la dependencia temporal. De esta forma, la ecuacion de calor se escribe:

1

α· ∂T∂t

=∂2T

∂x2+∂2T

∂y2(5.22)

Donde:

α: Difusividad termica del material, expresada en (m2/s).

Para particularizar esta ecuacion en forma de diferencias finitas se puede emplear laaproximacion de diferencia central (5.10) para las derivadas espaciales:

∂2T

∂x2

∣∣∣∣m,n

≈ Tm+1,n − 2Tm,n + Tm−1,n

(∆x)2 (5.23)

∂2T

∂y2

∣∣∣∣m,n

≈ Tm,n+1 − 2Tm,n + Tm,n−1

(∆y)2 (5.24)


En cuanto la derivada temporal, se puede expresar de la siguiente manera:

∂T

∂t

∣∣∣∣m,n

≈T p+1m,n − T p

m,n

∆t(5.25)

Siendo:

t = p ·∆t (5.26)

El entero p se emplea para discernir entre los diferentes instantes de tiemposucesivos en los que se van a evaluar las temperaturas. Es decir, entre el instanteactual p y el siguiente p+ 1, separados por un intervalo de tiempo ∆t.

Gracias a ello hay que observar que la solucion en diferencias finitas restringe laobtencion de las temperaturas tanto en puntos discretos en el espacio, como en eltiempo.

Sustituyendo (5.23), (5.24) y (5.25) en (5.22), la forma implıcita de la ecuacionen diferencias finitas para el nodo interior del ejemplo es:

1

α·T p+1m,n − T p

m,n

∆t=T p+1m+1,n + T p+1

m−1,n − 2 · T p+1m,n

(∆x)2+T p+1m,n+1 + T p+1

m,n−1 − 2 · T p+1m,n

(∆y)2(5.27)

Ademas si ∆x = ∆y, la ecuacion anterior se puede escribir como:

(1 + 4 · Fo)T p+1m,n − Fo

(T p+1m+1,n + T p+1

m−1,n + T p+1m,n+1 + T p+1

m,n−1

)= T p

m,n (5.28)

Donde:

Fo =α ·∆t(4x)2

(5.29)

Fo: Forma en diferencias finitas del numero de Fourier, adimensional.

Basado en este criterio temporal, las ecuaciones de diferencias finitas para los dis-tintos mecanismos de transmision de energıa se pueden generalizar de la siguientemanera:

Segun (5.16) para conduccion:

q(nodo ext)→(m,n) = k · A ·T p+1ext − T p+1

m,n

∆l(5.30)

Segun (5.20) para conveccion:

q(nodo ext)→(m,n) = h · A ·(T∞ − T p+1

m,n

)(5.31)

Y segun (4.7) para almacenamiento de energıa interna:

qm,n = ρ · cp · V ·T p+1m,n − T p

m,n

∆t(5.32)


Para obtener la solucion del problema termico en regimen transitorio bastaraparticularizar estas ecuaciones para el caso de estudio, y aplicarlas en el balance deconservacion de la energıa (5.21) para calcular la distribucion de temperaturas.

5.2. Solucion de las ecuaciones de diferencias fi-

nitas

Una vez establecida la red nodal y planteadas todas las ecuaciones de diferenciasfinitas de transferencia de calor y conservacion de la energıa sobre cada uno de losnodos de la malla, el problema se reduce a la resolucion de un sistema de ecuacionesalgebraicas.

Existen numerosos metodos para lograr este proposito. Uno de los mas empleadosy que aporta resultados adecuados es el de inversion de matrices, que se comenta acontinuacion.

5.2.1. Metodo de inversion de matrices

Mediante el metodo de inversion de matrices es posible determinar el valor de latemperatura que existe en cada nodo, es decir las incognitas del problema fısico.

5.2.1.1. Regimen permanente

Se considera un sistema de N ecuaciones algebraicas derivado de las respectivasecuaciones de diferencias finitas correspondientes a las temperaturas de cada nodo,de la forma:

a11 · T1 + a12 · T2 + a13 · T3 + . . . + a1N · TN = c1

a21 · T1 + a22 · T2 + a23 · T3 + . . . + a2N · TN = c2...

......

......

...aN1 · T1 + aN2 · T2 + aN3 · T3 + . . . + aNN · TN = cN

(5.33)

Reordenando las ecuaciones y expresandolas en forma matricial se tiene:

[A][T ] = [c] (5.34)

[A] ≡

a11 a12 · · · a1N

a21 a22 · · · a2N...

......

aN1 aN2 · · · aNN

, [T ] ≡

T1

T2...TN

, [c] ≡

c1

c2...cN

5.2. SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS 37

Donde:

[A]: Matriz de coeficientes cuadrada (N × N).

[T ]: Vector de soluciones (temperaturas) (N × 1).

[c]: Vector de terminos independientes (N × 1).

Para obtener la solucion del problema es necesario despejar el vector temperaturas:

[T ] = [A]−1[c] (5.35)

[A]−1 ≡

b11 b12 . . . b1N

b21 b22 . . . b2N...

......

bN1 bN2 . . . bNN

Siendo:

[A]−1: Matriz de coeficientes inversa.

El problema se reduce finalmente a determinar la matriz de coeficientes inversa, quemultiplicada por el vector de terminos independientes, proporcionara la distribucionde temperaturas del problema termico:

T1 = b11 · c1 + b12 · c2 + · · · + b1N · cNT2 = b21 · c1 + b22 · c2 + · · · + b2N · cN...

......

......

TN = bN1 · c1 + bN2 · c2 + · · · + bNN · cN

(5.36)

5.2.1.2. Regimen transitorio

Para el caso de problemas transitorios, el metodo de inversion de matrices essimilar al de de regimen permanente, pero es necesario considerar la influencia deltiempo. Si se utiliza el metodo implıcito, donde la temperatura en el nuevo instantedependera de las temperaturas de los nodos vecinos tambien en el nuevo instante,y considerando un sistema de N ecuaciones algebraicas derivado de las respectivasecuaciones de diferencias finitas, de la forma:

a11 · T p+11 + a12 · T p+1

2 + a13 · T p+13 + . . . +a1N · T p+1

N = c1 + T p1

a21 · T p+11 + a22 · T p+1

2 + a23 · T p+13 + . . . +a2N · T p+1

N = c2 + T p2

......

......

aN1 · T p+11 + aN2 · T p+1

2 + aN3 · T p+13 + . . . +aNN · T p+1

N = cN + T pN

(5.37)

Reordenando las ecuaciones y expresandolas en forma matricial se tiene:

[A][T ]p+1 = [d] (5.38)


[A] ≡

a11 a12 · · · a1N

a21 a22 · · · a2N...

......

aN1 aN2 · · · aNN

, [T ] ≡

T p+1

1

T p+12...

T p+1N

, [d] ≡

d1

d2...dN

Donde:

[A]: Matriz de coeficientes cuadrada (N × N).

[T ]: Vector de soluciones (temperaturas) (N × 1) en el nuevo instante (p+ 1).

[d] = [c] + [T ]p (5.39)

[c] ≡

c1

c2...cN

, [T ]p ≡

T p

1

T p2...T pN

[c]: Vector de terminos independientes (N × 1).

[T ]p: Vector de soluciones (temperaturas) (N × 1) en el instante anterior (p).

Para obtener la solucion del problema es necesario despejar el vector temperaturas:

[T ] = [A]−1[d] (5.40)

[A]−1 ≡

b11 b12 . . . b1N

b21 b22 . . . b2N...

......

bN1 bN2 . . . bNN

Siendo:


Al igual que en el regimen permanente, el problema se reduce finalmente a deter-minar la matriz de coeficientes inversa, que multiplicada por el vector formado porlos terminos independientes y las temperaturas en el instante anterior al que se vaa calcular, proporcionara la distribucion de temperaturas del problema termico:

T p+11 = b11 · d1 + b12 · d2 + · · · + b1N · dNT p+1

2 = b21 · d1 + b22 · d2 + · · · + b2N · dN...

......

......

T p+1N = bN1 · d1 + bN2 · d2 + · · · + bNN · dN

(5.41)

Capıtulo 6

Metodologıa

Con este estudio se pretende representar los fenomenos fısicos que tienen lugar enlos diferentes componentes de un cable de alta-media tension soterrado al someterloa carga (con circulacion de corriente), ası como en los alrededores del mismo.

Para modelar y simular dicho escenario se va a utilizar la potente versatilidad delos metodos numericos, en concreto el modelo de diferencias finitas, que combinadacon la herramienta informatica Matlab, permitira realizar una aproximacion bastantecercana a la realidad.

El codigo desarrollado esta compuesto por varios modulos de trabajo que a suvez estan relacionados entre sı por medio de la compilacion fuente. Debido a estacomplejidad estructural, se van a ir describiendo los distintos modulos por separadopara comprender su funcionalidad, a medida que se vaya avanzando en el programacronologicamente. Vease el anexo (A).

De igual modo, se va a estudiar el comportamiento del cable tanto en regimenpermanente (independiente del tiempo), como en regimen transitorio (dependientedel mismo), como se vera a continuacion.

6.1. Descripcion del entorno de trabajo

El entorno de trabajo esta formado por una superficie cuadrada de dos metrosde alto y dos metros de ancho, que representa la seccion de terreno real en la que sesoterrara el cable. Tras una serie de simulaciones se ha comprobado que estas medidasson lo suficientemente grandes como para que los fenomenos de transmision de calorno se vean alterados, y por tanto no se descarten soluciones termicas validas.

El origen de coordenadas se ha colocado en la esquina superior izquierda de laseccion de terreno. De esta manera se consideraran valores positivos los situados a laderecha del origen, en el eje de abcisas (X), y hacia abajo, en el eje de ordenadas (Y ).Gracias a este criterio, no podran existir coordenadas negativas de posicionamiento.

39

40 CAPITULO 6. METODOLOGIA

Se ha despreciado una tercera dimension, la profundidad (Z). Para el caso plan-teado, donde las condiciones del terreno no varıan significativamente en los periodosde tiempo con los que se trabaja, su consideracion es totalmente innecesaria, ya quelos resultados se repetirıan a lo largo de esta nueva dimension, sin aportar datosrelevantes. Ademas implicarıa un incremento de la dificultad de ejecucion del codi-go, y por tanto, el tiempo de resolucion del mismo se elevarıa exponencialmente, sinanadir ninguna novedad. No obstante, si hubiese interes en determinar el comporta-miento del terreno en periodos mas prolongados de tiempo, bastarıa con introducirlas nuevas condiciones y resolver de nuevo el codigo.

Con la intencion de acercar el modelo planteado a diferentes situaciones reales, sevan a considerar la existencia de diferentes capas fluidas en el contorno de la seccionde terreno. En primer lugar, simulando la existencia de aire ambiente en contactocon la capa superficial del terreno, es decir la parte superior del mismo. En segundolugar, existira otra capa freatica situada en la parte inferior del terreno.

Se va a estudiar una de las configuraciones mas utilizadas en aplicaciones realesen cuanto a disposicion de los cables en el terreno. Esta tecnica consiste en soterrardirectamente el cable de alta-media tension en el terreno, de manera que se encuentreun metro (valor mas comun en este tipo de instalaciones) por debajo de la capasuperficial. En este modelo, el centro del cable se situara con valores de un metroen el eje X y un metro en el eje Y , segun el sistema de coordenadas descrito conanterioridad.

6.2. Regimen permanente

Mediante el regimen permanente se puede evaluar el comportamiento del ca-ble y del terreno en operacion continua y prolongada en el tiempo, en condicionesnominales de funcionamiento y a diferentes estados de carga.

6.2.1. Creacion del mallado inicial

Para poder resolver el problema mediante metodos numericos es necesario dividirla seccion de terreno sometida a estudio en un numero finito de pequenas regiones,o nodos, sobre los que se discretizaran las ecuaciones fısicas, como ya se comento enlos capıtulos anteriores.

Se deben proponer unas pautas que permitan una sencilla introduccion, y pos-terior identificacion de los nodos a lo largo de todo el problema.

En cuanto al numero de nodos que se introduciran en el terreno:

Para indicar el numero de posiciones totales que se introducen horizontalmentese utiliza el parametro Nx.

Para indicar el numero de posiciones totales que se introducen verticalmentese utiliza el parametro Ny.

6.2. REGIMEN PERMANENTE 41

Segun este criterio, por cada posicion vertical habra Nx nodos horizontales, y porcada posicion horizontal, Ny nodos verticales. En total existiran (Nx · Ny) nodosintroducidos en la seccion de terreno.

En cuanto a la distribucion de los nodos en el terreno:

Para el posicionamiento respecto del eje de ordenadas se va definir el parametroi.

Para el posicionamiento respecto del eje de abcisas se va definir el parametroj.

Por tanto, a cada nodo se le asignan estos dos parametros (i, j), con el fin de deter-minar su posicion respecto al resto.

Siguiendo estas referencias, se van a considerar dos configuraciones de malladosiniciales aproximados diferentes. Se determinara cual es el mas idoneo como partidapara la resolucion del problema termico y el que mejor se adapte a un malladodefinitivo posterior.

6.2.1.1. Primera aproximacion

La primera disposicion del mallado consiste en una division regular de la seccionde terreno. Es decir, se crearan regiones con las mismas dimensiones tanto verticales,como horizontales.

La longitud que toman cada una de las subdivisiones, es respectivamente:

dx(j) =Lx

Nx(6.1)

Siendo:

dx: Longitud de la subdivision horizontal, expresada en m.

Lx: Longitud del terreno respecto al eje X (ancho del terreno), expresada enm.

Nx: Numero total de posiciones horizontales, adimensional.

j: Parametro localizador respecto al eje de abcisas, adimensional.

dy(i) =Ly

Ny(6.2)

Donde:

dy: Longitud de la subdivision vertical, expresada en m.

Ly: Longitud del terreno respecto al eje Y (alto del terreno), expresada en m.

Ny: Numero total de posiciones verticales, adimensional.

i: Parametro localizador respecto al eje de ordenadas, adimensional.


Figura 6.1: Primera aproximacion de mallado con 25 posiciones, tanto verticales,como horizontales.

Los fenomenos de transmision de calor del problema tienen mayor relevancia enlos lugares donde se situa el cable, en el centro del terreno. En estos puntos losgradientes de temperatura son mayores debido a la existencia de diferentes capas dedistintos materiales que simulan los componentes del cable, por lo que es necesarioque las subdivisiones sean mas pequenas en estos lugares para introducir mayornumero de nodos y poder obtener soluciones termicas validas.

Este primer mallado inicial no cumplirıa este requisito, por lo que se descarta, yhabrıa que buscar otra alternativa.

6.2.1.2. Segunda aproximacion

Mediante una segunda aproximacion del mallado inicial se va a pretender variarla longitud de las subdivisiones de manera que se cubran con mayor eficacia aquelloslugares proximos a los entornos del cable.

Este segundo metodo incluye un algoritmo de reduccion del mallado, que median-te una relacion de caracter exponencial va disminuyendo progresivamente la longitudde la subdivision siguiente en un factor Fr. Este factor toma valores (0 < Fr < 1),pero se aconseja utilizar Fr altos para conseguir reducciones suaves de la malla.


Hay que destacar que este efecto solo es deseable en la primera mitad de la seccionde terreno, para cada direccion X e Y . Una vez el algoritmo se situe en el primernodo de la segunda mitad, se revertiran los calculos, consiguiendo que la longitudde cada subdivision vaya aumentando en vez de disminuir. De esta forma se aseguraque las regiones mas pequenas se situen en torno al centro de la seccion de terreno,es decir, cercanas al seno del cable, como se pretendıa.

Figura 6.2: Segunda aproximacion de mallado con Fr = 0,8 y 25 posiciones, tantoverticales, como horizontales.

A continuacion se va a comentar el funcionamiento basico del algoritmo, sinentrar en mucho detalle. Para mas informacion se puede consultar el codigo en elanexo (A.3).

La mision principal del codigo se basa en encontrar la longitud para cada sub-division del mallado. Pero la problematica es que a priori se desconoce el valorexacto de la primera subdivision, la cual se toma como referencia para ir reduciendoprogresivamente la longitud de las siguientes.


Es por ello que resulta imprescindible evaluar dos parametros, que relacionadosentre sı, permitan aportar una expresion valida para el calculo de la primera sub-division buscada. Por un lado, el numero de nodos que existen hasta la mitad delmallado, relacionados con el numero de reducciones progresivas que se deberan rea-lizar. Por otro lado, el valor de la mitad de la longitud de la seccion de terreno aestudiar. Comparando ambos factores se puede establecer la siguiente relacion, si elnumero de posiciones de los nodos horizontales Nx es par:

dx1 =Lx/2

1+

Nx2−1∑

j=1

Frj

(6.3)

Donde:

dx1: Longitud de la primera subdivision, expresada en m.

Fr: Factor de reduccion de la longitud de la subdivision siguiente con respectoa la anterior, adimensional.

Y, la siguiente expresion, si es impar:

dx1 =Lx/2

1− Fr(Nx2 −0,5)2

+

Nx2−0,5∑

j=1

Frj

(6.4)

Una vez encontrada la longitud de la primera subdivision, se escoge como re-ferencia, y se van estableciendo los demas valores de las subdivisiones siguientesaplicando el factor de reduccion mediante la siguiente relacion:

dx(j) = dx1 · Fr(j−1) (6.5)

Como se comentaba con anterioridad, esta expresion es valida para la primeramitad de la seccion de terreno. En cuanto el algoritmo se situe en el primer nodode la segunda mitad, se invierten los calculos para aumentar la longitud de las sub-divisiones progresivamente. Mediante la siguiente ecuacion se consigue un malladototalmente simetrico de ambas mitades, con mayor precision en el centro:

dx(j) = dx(Nx− j + 1) (6.6)

Para el caso de las subdivisiones verticales, el procedimiento serıa exactamenteel mismo.

Este mallado pretende generar una primera aproximacion a la solucion del pro-blema, No obstante, se sofisticara con otro mallado adaptativo como se vera masadelante.


6.2.2. Posicionamiento del cable en el terreno y caracteri-zacion de propiedades

Una vez definido el mallado inicial, junto con los diferentes nodos que lo cons-tituyen y las dimensiones de las regiones que representan, se procede a caracterizarlas propiedades de cada uno de estos puntos finitos. Para facilitar este proceso seha creado una serie de comandos que evaluan la posicion relativa de cada nodo y losituan coherentemente segun la referencia de los ejes de coordenadas absolutos. Deesta forma se conoce la posicion real de cada punto finito en la seccion de terreno aestudiar.

Conociendo las caracterısticas del cable y el lugar exacto donde se quiere situar,se puede caracterizar todo el mallado mediante la utilizacion de bucles condicionales.

Hay que destacar que esta forma de posicionamiento contiene un error intrınseco,puesto que se esta aproximando una superficie circular mediante un numero finitode secciones rectangulares. No obstante, al aumentar considerablemente el numerode nodos, cada vez mas pequenos, se logra rellenar el contorno casi a la perfeccion,obteniendo un error practicamente despreciable.

6.2.3. Particularizacion de las ecuaciones de transferenciade calor

Con las dimensiones y las propiedades del terreno ya caracterizadas, el siguientepaso es plantear las ecuaciones de transferencia de calor para cada nodo, respectode otros nodos adyacentes, o bien respecto de las condiciones fluıdicas de la capafreatica y de aire ambiente.

Se debe advertir que dicha transferencia de energıa solo puede establecerse conlos nodos colindantes de manera vertical u horizontalmente, pero nunca de formadiagonal. Es decir, si por ejemplo estamos sometiendo a estudio el nodo (i, j), latransferencia de calor podra realizarse entre los nodos (i−1, j) y (i+1, j) vertical, y(i, j−1) y (i, j+1) horizontalmente. Nunca entre los nodos (i−1, j−1), (i−1, j+1),(i+ 1, j − 1) y (i+ 1, j + 1).


Recordando las ecuaciones de transferencia de calor, junto con su discretizacionmediante el metodo numerico de diferencias finitas, se pueden establecer las siguien-tes expresiones:

Para conduccion de calor entre nodos interiores:

Intercambio vertical:

qnodo colindante→i,j = k(i, j) · dx(j) · Tnodo colindante − Ti,jdy(i)

(6.7)

Intercambio horizontal:

qnodo colindante→i,j = k(i, j) · dy(i) · Tnodo colindante − Ti,jdx(j)

(6.8)

Para conveccion de calor entre nodos exteriores y superficies fluıdicas:

Capa aire:

qaire→i,j = ha · dx(j) · (Ta − Ti,j) (6.9)

Capa freatica:

qfreatica→i,j = hf · dx(j) · (Tf − Ti,j) (6.10)

Para generacion de calor del cable:

qi,j = Wg · dy(i) · dx(j)

Sconductor(6.11)

siendo Wg el calor total generado en el cable por efecto Joule segun la ecuacion(3.1).

Antes de lanzarse a plantear todas las ecuaciones de transferencia de calor pa-ra cada nodo, conviene realizar un pequeno analisis a fin de determinar aquellosque posean las mismas condiciones de contorno. De esta forma se pueden evitarformulaciones redundantes, puesto que se regiran por las mismas expresiones mate-maticas. Ası pues, se han propuesto tres zonas diferentes de terreno acordes con lomencionado anteriormente:


Esquinas:Esquina superior izquierda

ha · dx(1) · (Ta − T1,1)

+k(m,n) · dx(n) · T2,1 − T1,1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · T1,2 − T1,1

dx(n)= 0 (6.12)

(k(1, Nx) · dy(1) + k(2, Nx) · dy(2))

(dy(1) + dy(2))

· dx(Nx)(dy(2)

2+ dy(1)

2

) · T2,Nx

+(k(1, Nx) · dx(Nx) + k(1, Nx− 1) · dx(Nx− 1))

(dx(Nx) + dx(Nx− 1))

· dy(1)(dx(Nx−1)

2+ dx(Nx)

2

) · T1,Nx−1

−(k(1, Nx) · dy(1) + k(2, Nx) · dy(2))

(dy(1) + dy(2))

· dx(Nx)(dy(2)

2+ dy(1)

2

) · T1,Nx

−(k(1, Nx) · dx(Nx) + k(1, Nx− 1) · dx(Nx− 1))


· dy(1)(dx(Nx−1)

2+ dx(Nx)

2

) · T1,Nx

−ha · dx(Nx) · T1,Nx = −ha · dx(Nx) · Ta (6.13)


Esquina superior derecha

ha · dx(Nx) · (Ta − T1,Nx)

+k(m,n) · dx(n) · T2,Nx − T1,Nx

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · T1,Nx−1 − T1,Nx

dx(n)= 0 (6.14)

(k(1, Nx) · dy(1) + k(2, Nx) · dy(2))

(dy(1) + dy(2))T2,Nx

· dx(Nx)(dy(2)

2+ dy(1)

2

) ·+

(k(1, Nx) · dx(Nx) + k(1, Nx− 1) · dx(Nx− 1))


· dy(1)(dx(Nx−1)

2+ dx(Nx)

2

) · T1,Nx−1

−(k(1, Nx) · dy(1) + k(2, Nx) · dy(2))

(dy(1) + dy(2))

· dx(Nx)(dy(2)

2+ dy(1)

2

) · T1,Nx

−(k(1, Nx) · dx(Nx) + k(1, Nx− 1) · dx(Nx− 1))


· dy(1)(dx(Nx−1)

2+ dx(Nx)

2

) · T1,Nx

−ha · dx(Nx) · T1,Nx = −ha · dx(Nx) · Ta (6.15)


Esquina inferior izquierda

hf · dx(1) · (Tf − TNy,1)

+k(m,n) · dx(n) · TNy−1,1 − TNy,1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,2 − TNy,1

dx(n)= 0 (6.16)

(k(Ny, 1) · dy(Ny) + k(Ny − 1, 1) · dy(Ny − 1))

(dy(Ny) + dy(Ny − 1))

· dx(1)(dy(Ny−1)

2+ dy(Ny)

2

) · TNy−1,1

+(k(Ny, 1) · dx(1) + k(Ny, 2) · dx(2))

(dx(1) + dx(2))

· dy(Ny)(dx(2)

2+ dx(1)

2

) · TNy,2

−(k(Ny, 1) · dy(Ny) + k(Ny − 1, 1) · dy(Ny − 1))

(dy(Ny) + dy(Ny − 1))

· dx(1)(dy(Ny−1)

2+ dy(Ny)

2

) · TNy,1

−(k(Ny, 1) · dx(1) + k(Ny, 2) · dx(2))

(dx(1) + dx(2))

· dy(Ny)(dx(2)

2+ dx(1)

2

) · TNy,1

−hf · dx(1) · TNy,1 = −hf · dx(1) · Tf (6.17)


Esquina inferior derecha

hf · dx(Nx) · (Tf − TNy,Nx)

+k(m,n) · dx(n) · TNy−1,Nx − TNy,Nx

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,Nx−1 − TNy,Nx

dx(n)= 0 (6.18)

+(k(Ny,Nx) · dy(Ny) + k(Ny − 1, Nx) · dy(Ny − 1))

(dy(Ny) + dy(Ny − 1))

· dx(Nx)(dy(Ny−1)

2+ dy(Ny)

2

) · TNy−1,Nx

+(k(Ny,Nx) · dx(Nx) + k(Ny,Nx− 1) · dx(Nx− 1))


· dy(Ny)(dx(Nx−1)

2+ dx(Nx)

2

) · TNy,Nx−1

−(k(Ny,Nx) · dy(Ny) + k(Ny − 1, Nx) · dy(Ny − 1))

(dy(Ny) + dy(Ny − 1))

· dx(Nx)(dy(Ny−1)

2+ dy(Ny)

2

) · TNy,Nx

−(k(Ny,Nx) · dx(Nx) + k(Ny,Nx− 1) · dx(Nx− 1))


· dy(Ny)(dx(Nx−1)

2+ dx(Nx)

2

) · TNy,Nx

−hf · dx(Nx) · TNy,Nx = −hf · dx(Nx) · Tf (6.19)


Laterales:Lateral superior

ha · dx(j + 1) · (Ta − T1,j+1) + k(m,n) · dy(m) · T1,j − T1,j+1

dx(n)

+k(m,n) · dx(n) · T2,j+1 − T1,j+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · T1,j+2 − T1,j+1

dx(n)= 0 (6.20)

(k(1, j + 1) · dy(1) + k(2, j + 1) · dy(2))

(dy(1) + dy(2))

· dx(j + 1)(dy(2)

2+ dy(1)

2

) · T2,j+1

+(k(1, j + 1) · dx(j + 1) + k(1, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(1)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · T1,j

+(k(1, j + 1) · dx(j + 1) + k(1, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 1) + dx(j + 2))

· dy(1)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · T1,j+2

−(k(1, j + 1) · dy(1) + k(2, j + 1) · dy(2))

(dy(1) + dy(2))

· dx(j + 1)(dy(2)

2+ dy(1)

2

) · T1,j+1

−(k(1, j + 1) · dx(j + 1) + k(1, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(1)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · T1,j+1

−(k(1, j + 1) · dx(j + 1) + k(1, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 1) + dx(j + 2))

· dy(1)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · T1,j+1

−ha · dx(j + 1) · T1,j+1 = −ha · dx(j + 1) · Ta (6.21)

(Para j tomando valores desde 1 hasta Nx− 2)


Lateral inferior

hf · dx(j + 1) · (Tf − TNy,j+1)

+k(m,n) · dx(n) · TNy−1,j+1 − TNy,j+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,j − TNy,j+1

dx(n)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,j+2 − TNy,j+1

dx(n)= 0 (6.22)

(k(Ny, j + 1) · dy(Ny) + k(Ny − 1, j + 1) · dy(Ny − 1))

(dy(Ny) + dy(Ny − 1))

· dx(j + 1)(dy(Ny)

2+ dy(Ny−1)

2

) · TNy−1,j+1

+(k(Ny, j + 1) · dx(j + 1) + k(Ny, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(Ny)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · TNy,j

+(k(Ny, j + 1) · dx(j + 1) + k(Ny, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 1) + dx(j + 2))

· dy(Ny)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · TNy,j+2

−(k(Ny, j + 1) · dy(Ny) + k(Ny − 1, j + 1) · dy(Ny − 1))

(dy(Ny) + dy(Ny − 1))

· dx(j + 1)(dy(Ny)

2+ dy(Ny−1)

2

) · TNy,j+1

−(k(Ny, j + 1) · dx(j + 1) + k(Ny, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(Ny)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · TNy,j+1

−(k(Ny, j + 1) · dx(j + 1) + k(Ny, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 1) + dx(j + 2))

· dy(Ny)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · TNy,j+1

−hf · dx(j + 1) · TNy,j+1 = −hf · dx(j + 1) · Tf (6.23)



Lateral izquierdo

k(m,n) · dx(n) · Ti,1 − Ti+1,1

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,1 − Ti+1,1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,2 − Ti+1,1

dx(n)= 0 (6.24)

(k(i+ 1, 1) · dy(i+ 1) + k(i, 1) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(1)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti,1+

(k(i+ 1, 1) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, 1) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(1)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+2,1

+(k(i+ 1, 1) · dx(1) + k(i+ 1, 2) · dx(2))

(dx(1) + dx(2))·

dy(i+ 1)(dx(2)

2+ dx(1)

2

) · Ti+1,2

−(k(i+ 1, 1) · dy(i+ 1) + k(i, 1) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(1)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,1

−(k(i+ 1, 1) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, 1) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(1)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,1

−(k(i+ 1, 1) · dx(1) + k(i+ 1, 2) · dx(2))

(dx(1) + dx(2))

· dy(i+ 1)(dx(2)

2+ dx(1)

2

) · Ti+1,1 = 0 (6.25)

(Para i tomando valores desde 1 hasta Ny − 2)


Lateral derecho

k(m,n) · dx(n) · Ti,Nx − Ti+1,Nx

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,Nx − Ti+1,Nx

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,Nx−1 − Ti+1,Nx

dx(n)= 0 (6.26)

(k(i+ 1, Nx) · dy(i+ 1) + k(i, Nx) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(Nx)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti,Nx

+(k(i+ 1, Nx) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, Nx) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(Nx)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+2,Nx

+(k(i+ 1, Nx) · dx(Nx) + k(i+ 1, Nx− 1) · dx(Nx− 1))


· dy(i+ 1)(dx(Nx)

2+ dx(Nx−1)

2

) · Ti+1,Nx−1

−(k(i+ 1, Nx) · dy(i+ 1) + k(i, Nx) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(Nx)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,Nx

−(k(i+ 1, Nx) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, Nx) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(Nx)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,Nx

−(k(i+ 1, Nx) · dx(Nx) + k(i+ 1, Nx− 1) · dx(Nx− 1))


· dy(i+ 1)(dx(Nx)

2+ dx(Nx−1)

2

) · Ti+1,Nx = 0 (6.27)



Nodos internos:Sin generacion de calor

k(m,n) · dx(n) · Ti,j+1 − Ti+1,j+1

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,j+1 − Ti+1,j+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j − Ti+1,j+1

dx(n)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j+2 − Ti+1,j+1

dx(n)= 0 (6.28)


(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, j + 1) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(j + 1)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+2,j+1

+(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i, j + 1) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(j + 1)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti,j+1

+(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 2) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j+2

+(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j

−(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, j + 1) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(j + 1)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,j+1

−(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i, j + 1) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(j + 1)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,j+1

−(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 2) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j+1

−(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j+1 = 0 (6.29)

(Para i tomando valores desde 1 hasta Ny − 2 y para j desde 1 hasta Nx− 2)


Con generacion de calor

k(m,n) · dx(n) · Ti,j+1 − Ti+1,j+1

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,j+1 − Ti+1,j+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j − Ti+1,j+1

dx(n)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j+2 − Ti+1,j+1

dx(n)

+Wg · dy(i) · dx(j)

Sconductor= 0 (6.30)


(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, j + 1) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(j + 1)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+2,j+1

+(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i, j + 1) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(j + 1)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti,j+1

+(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 2) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j+2

+(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j

−(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i+ 2, j + 1) · dy(i+ 2))

(dy(i+ 1) + dy(i+ 2))

· dx(j + 1)(dy(i+2)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,j+1

−(k(i+ 1, j + 1) · dy(i+ 1) + k(i, j + 1) · dy(i))

(dy(i+ 1) + dy(i))

· dx(j + 1)(dy(i)

2+ dy(i+1)

2

) · Ti+1,j+1

−(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j + 2) · dx(j + 2))

(dx(j + 2) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j+2)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j+1

−(k(i+ 1, j + 1) · dx(j + 1) + k(i+ 1, j) · dx(j))

(dx(j) + dx(j + 1))

· dy(i+ 1)(dx(j)

2+ dx(j+1)

2

) · Ti+1,j+1 = −Wg · dy(i) · dx(j)

Sconductor(6.31)



En las expresiones anteriores:

Ti,j: Temperatura del nodo (i, j), expresada en C.

k(i, j): Conductividad termica del nodo (i, j), expresada en W/(m ·K).

Ta: Temperatura de la capa de aire ambiente, expresada en C.

Tf : Temperatura de la capa freatica, expresada en C.

ha: Coeficiente de pelıcula entre en terreno y la capa de aire ambiente, expre-sada en W/(m2 ·K).

hf : Coeficiente de pelıcula entre en terreno y la capa freatica, expresada enW/(m2 ·K).

Hay que notar que se ha establecido un criterio ponderado para determinar el valorde la conductividad termica entre dos nodos, ya que como estan situados en el centrode la region que representan, el intercambio de calor entre dichos nodos afecta a lasdos regiones, que en la mayorıa de los casos, dispondran de propiedades distintas.

Haciendo un recuento del numero de expresiones, se llega a la conclusion de queexiste una por cada nodo presente en el terreno. Es decir, se tendra un sistemaformado por Nx ·Ny ecuaciones.

6.2.4. Resolucion del problema termico

Como ya se menciono, es necesario obtener la solucion de este sistema de ecuacio-nes para encontrar la distribucion de temperaturas en el terreno sometido a estudio,es decir, encontrar la temperatura para cada nodo. Este problema termico deberesolverse de forma matricial siguiendo la siguiente expresion:

[A][T ] = [c] (6.32)

Donde:

[A]: Matriz de coeficientes.

[T ]: Vector de soluciones (Temperaturas).

[c] : Vector de terminos independientes.

La matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada de dimensiones (Ny · Nx ×Ny ·Nx). Esta formada por los terminos dependientes de las temperaturas, es decir,aquellos que multiplican a las mismas, en las expresiones de transmision de calorplanteadas con anterioridad.


Al trabajar con un numero de nodos elevado, la construccion de esta matriz po-drıa resultar un proceso algo farragoso. Sin embargo, siguiendo unas determinadaspautas se logra colocar cada termino en su lugar correspondiente dentro de la matriz.De esta manera, las distintas filas corresponden al nodo de referencia sobre el quese esta planteando la ecuacion de transferencia de calor, una por cada nodo. Por suparte, las distintas columnas indican sobre que otro nodo se esta realizando el inter-cambio de energıa respecto al nodo de referencia, el de la fila que se esta tratando.Es decir, los coeficientes que multiplican a una determinada temperatura dentro dela fila que se esta estudiando. En la figura (6.3) se representa esquematicamente elproceso comentado.

Figura 6.3: Construccion de la matriz A.

Hay que destacar, de igual modo, que se ha seguido un criterio de colocacionde los nodos descendente hacia la derecha segun su posicion en el terreno. En otraspalabras, en primer lugar se situan los nodos de la primera columna (subdivision) deterreno, de forma que se comience por la esquina superior izquierda y se termine porla esquina inferior izquierda. El siguiente nodo corresponderıa entonces al primerode la segunda columna de terreno, al situado a la derecha de la esquina superiorizquierda. Si por ejemplo se considerase un terreno cuadrado de cuatro nodos, elorden serıa: (1, 1), (2, 1), (1, 2) y (2, 2).

El vector de soluciones T es un vector de dimensiones (Ny ·Nx × 1). Representalas temperaturas correspondientes a cada nodo del terreno. Su construccion sigue elmismo criterio que para la matriz de coeficientes.

El vector de terminos independientes c tambien es un vector de dimensiones(Ny ·Nx × 1), como era de esperar. Contiene a los terminos independientes de lastemperaturas, es decir, aquellos que no multiplican a las mismas en las distintasecuaciones de transferencia de calor. La situacion de los coeficientes sigue tambienlas pautas descritas para la matriz de coeficientes.


Para obtener la distribucion de temperaturas del problema termico es necesariodespejar el vector de soluciones. Con este fin se puede reestructurar la expresion(6.32) de la siguiente forma:

[T ] = [A]−1[c] (6.33)

Siendo:


Las temperaturas calculadas se almacenaran en el vector de soluciones siguiendo loscriterios anteriormente mencionados. No obstante, se ha desarrollado un comandoque permite cambiar las dimensiones de este vector y pasar de (Ny · Nx × 1) a(Ny × Nx), similar a las dimensiones del terreno, a fin de hacer los resultados masrepresentativos para que se asemejen al caso real.

6.2.5. Mallado adaptativo inteligente

Una vez aplicado todo este proceso que se ha ido describiendo, se averiguarıa ladistribucion de temperaturas en el terreno, y el problema termico quedarıa resuel-to. Sin embargo, habrıa que tener en cuenta las consideraciones que se exponen acontinuacion.

En la superficie ocupada por el terreno los saltos de temperatura son pequenosdebido a la baja conductividad termica del mismo. No obstante, esto no sucedeen el area donde se encuentra el cable. Al estar formado por multiples materialesde diferente naturaleza y con conductividades termicas distintas, los saltos de tem-peratura en esta zona seran frecuentemente bruscos. Este hecho provoca que seaninadmisibles para estudiar correctamente los fenomenos fısicos que tienen lugar, yla capacidad de operacion del propio cable. Es por todo ello, que se debe iniciar unaruta alternativa para encontrar un metodo que permita reducir considerablementeestos saltos bruscos de temperatura, y poder realizar, consecuentemente, un analisiscorrecto de todo el entorno de trabajo.

Como solucion a este problema se ha propuesto introducir un mallado adapta-tivo inteligente que permita colocar nuevos nodos, con regiones de espesores maspequenas, en aquellas zonas donde los gradientes de temperaturas sean mayores.Ası mismo, evaluara tambien las zonas en las que existen abundancia de nodosinnecesarios debido a excesos en la precision del mallado en lugares donde no es im-prescindible, y los eliminara, resultando menor numero de nodos, con espaciamientosmayores. Esto permitira acelerar el codigo y reducir la carga de trabajo del mismo,y por tanto se ejecutara en menor tiempo. La disposicion del mallado resultante sepuede visualizar en la figura (6.4).

Todo el proceso de calculo del mallado inteligente adaptativo es posible graciasa la introduccion de varios algoritmos que se van a comentar a continuacion demanera general. Para una informacion mas detallada se puede consultar el codigodel programa en el anexo (A.11).


En primer lugar, este sistema evalua, a lo largo de todas las subdivisiones delterreno, la diferencia de temperaturas entre dos nodos contiguos y la distancia quelos separa. Con esta informacion establece el gradiente maximo de temperatura paracada nodo con respecto a sus colindantes. De igual forma, determina aquellos valoresmaximos para cada subdivision de terreno horizontal y vertical, respectivamente.Este gradiente maximo de cada subdivisıon es el que se empleara posteriormentepara variar la precision del mallado.

Se ha incluido un parametro de variabilidad de la precision del mallado sobre elque se puede actuar dependiendo del grado de detalle de la malla que se pretendaconseguir. Hay que notar tambien, que a mayor precision de malla, el tiempo querequerira el programa para resolver el problema termico crecera exponencialmente.

Este parametro de variabilidad, denominado como gradtemp, es un valor externoimpuesto que se ha definido como el gradiente maximo de temperatura admisibleentre dos nodos contiguos, expresado en C/m.

Comparando entonces el gradiente maximo de cada subdivision comentado an-teriormente con este gradiente maximo admisible, el algoritmo determina si es nece-sario depurar el mallado o no. Si es necesario, en que zonas y con que exactitud. Sipor el contrario no es necesario, si se puede aumentar los espesores de mallado sinalterar resultados validos y en que sitios es posible.

Basicamente, para la introduccion de nuevos nodos, evalua la diferencia de tempe-raturas entre dos contiguos y divide la distancia que los separara en tantas regionesnodales, de igual espesor, como sea necesario dependiendo de dicha diferencia detemperaturas. En el caso de la eliminacion de nodos, realiza una adicion de nodoscon sus respectivos gradientes hasta llegar al lımite impuesto por gradtemp, y lossustituye por una unica region nodal de mayor espesor.

Con el nuevo mallado ya operativo, habrıa que volver a rehacer todo el procesode calculo para encontrar la nueva distribucion de temperaturas, que en este casoya se asemejarıa mas a la realidad.


Figura 6.4: Mallado adaptativo inteligente con Fr = 0,8, 25 posiciones, tanto verti-cales, como horizontales, y gradtemp = 100.

La zona en negro en forma de cruz indica que las regiones nodales incluidas sontan pequenas que el programa no puede representarlas con precision, sino que sesuperponen las lıneas que las delimitan. En la figura (6.5) se ha realizado un zoomen el area donde se situa el cable para poder visualizar el valor de los espaciamientosintroducidos en esa zona.


Figura 6.5: Representacion del mallado en la zona donde se situa el cable.

6.3. Regimen transitorio

Mediante un estudio en regimen transitorio podemos determinar el comporta-miento del cable y del terreno en distintos periodos de tiempo. Es decir, estudiarque ocurre en los instantes de tiempo posteriores a la modificacion de la carga deoperacion en el cable.

6.3.1. Creacion del mallado

Para el estudio del problema termico en regimen transitorio se va a considerarque los periodos de tiempo evaluados son suficientemente pequenos como para quelas propiedades del cable, ası como del terreno y de los fluidos que existen en sucontorno, no varıen sustancialmente.

Por ello se va a utilizar el mismo mallado adaptativo inteligente empleando enel caso de regimen permanente. Esto aporta dos ventajas: por una parte permitiraobtener soluciones bastante aproximadas a la realidad, como se ha visto anteriormen-te, y por otro lado reducira considerablemente el tiempo empleado por el programa,puesto que no sera necesario volver a calcularlo.

6.3. REGIMEN TRANSITORIO 65

6.3.2. Posicionamiento del cable en el terreno y caracteri-zacion de propiedades

Al igual que en el regimen permanente, se han utilizado una serie de comandospara situar correctamente cada componente del cable en el nuevo mallado, y dotarlosde las propiedades que les corresponden.

6.3.3. Particularizacion de las ecuaciones de transferenciade calor

Las ecuaciones de transferencia de calor para cada nodo en regimen transitoriono distan mucho de las utilizadas para el regimen permanente. Son basicamente lasmismas, pero anadiendo un nuevo termino, el almacenamiento termico, dependientedel tiempo y de las condiciones del terreno. Esta dependencia del tiempo implica ladefinicion de un nuevo parametro, p, que al igual que (i, j), se utilizara para clasificarel periodo que se esta evaluando.

De nuevo, recordando las ecuaciones de transferencia de calor, junto con su dis-cretizacion utilizando diferencias finitas en el metodo implıcito, podemos establecerla siguiente expresion para almacenamiento de calor:

qi,j =ρ(i, j) · cp(i, j) · dy(i) · dx(j)

∆t· (Ti,j,p+1 − Ti,j,p) (6.34)

Donde:

ρ(i, j): Densidad del nodo (i, j), expresada en kg/m3.

cp(i, j): Calor especıfico del nodo (i, j), expresado en J/(kg ·K).

∆t: Intervalo de tiempo, expresado en s.

Con el fin de hacer mas manejable la expresion anterior se va a definir:

σ(i, j) =ρ(i, j) · cp(i, j) · dy(i) · dx(j)

∆t(6.35)

De modo que:

qi,j = σ(i, j) · (Ti,j,p+1 − Ti,j,p) (6.36)

Hay que notar que σ no es dependiente del parametro p, ya que como se hamencionado anteriormente, las propiedades del terreno y del cable se van a mantenerconstantes a lo largo del tiempo.

Siguiendo el mismo orden que en el regimen permanente se tiene:


Esquinas:Esquina superior izquierda

ha · dx(1) · (Ta − T1,1,p+1)

+k(m,n) · dx(n) · T2,1,p+1 − T1,1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · T1,2,p+1 − T1,1,p+1

dx(n)

= σ(1, 1) · (T1,1,p+1 − T1,1,p) (6.37)

(k(1,1)·dy(1)+k(2,1)·dy(2))(dy(1)+dy(2))

· dx(1)

( dy(2)2

+dy(1)

2 )

σ(1, 1)

·T2,1,p+1

+

(k(1,1)·dx(1)+k(1,2)·dx(2))(dx(1)+dx(2))

· dy(1)

( dx(2)2

+dx(1)

2 )

σ(1, 1)

·T1,2,p+1

−

(k(1,1)·dy(1)+k(2,1)·dy(2))(dy(1)+dy(2))

· dx(1)

( dy(2)2

+dy(1)

2 )

σ(1, 1)

·T1,1,p+1

−

(k(1,1)·dx(1)+k(1,2)·dx(2))(dx(1)+dx(2))

· dy(1)

( dx(2)2

+dx(1)

2 )

σ(1, 1)

·T1,1,p+1 −(ha · dx(1)

σ(1, 1)+ 1

)· T1,1,p+1

= −ha · dx(1) · Taσ(1, 1)

− T1,1,p (6.38)


Esquina superior derecha

ha · dx(Nx) · (Ta − T1,Nx,p+1)

+k(m,n) · dx(n) · T2,Nx,p+1 − T1,Nx,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · T1,Nx−1,p+1 − T1,Nx,p+1

dx(n)

= σ(1, Nx) · (T1,Nx,p+1 − T1,Nx,p) (6.39)

(k(1,Nx)·dy(1)+k(2,Nx)·dy(2))(dy(1)+dy(2))

· dx(Nx)

( dy(2)2

+dy(1)

2 )

σ(1, Nx)

·T2,Nx,p+1

+

(k(1,Nx)·dx(Nx)+k(1,Nx−1)·dx(Nx−1))(dx(Nx)+dx(Nx−1))

· dy(1)

( dx(Nx−1)2

+dx(Nx)

2 )

σ(1, Nx)

·T1,Nx−1,p+1

−

(k(1,Nx)·dy(1)+k(2,Nx)·dy(2))(dy(1)+dy(2))

· dx(Nx)

( dy(2)2

+dy(1)

2 )

σ(1, Nx)

·T1,Nx,p+1

−

(k(1,Nx)·dx(Nx)+k(1,Nx−1)·dx(Nx−1))(dx(Nx)+dx(Nx−1))

· dy(1)

( dx(Nx−1)2

+dx(Nx)

2 )

σ(1, Nx)

·T1,Nx,p+1 −(ha · dx(Nx)

σ(1, Nx)+ 1

)· T1,Nx,p+1

= −ha · dx(Nx) · Taσ(1, Nx)

− T1,Nx,p (6.40)


Esquina inferior izquierda

hf · dx(1) · (Tf − TNy,1,p+1)

+k(m,n) · dx(n) · TNy−1,1,p+1 − TNy,1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,2,p+1 − TNy,1,p+1

dx(n)

= σ(Ny, 1) · (TNy,1,p+1 − TNy,1,p) (6.41)

(k(Ny,1)·dy(Ny)+k(Ny−1,1)·dy(Ny−1))(dy(Ny)+dy(Ny−1))

· dx(1)

( dy(Ny−1)2

+dy(Ny)

2 )

σ(Ny, 1)

·TNy−1,1,p+1

+

(k(Ny,1)·dx(1)+k(Ny,2)·dx(2))(dx(1)+dx(2))

· dy(Ny)

( dx(2)2

+dx(1)

2 )

σ(Ny, 1)

·TNy,2,p+1

−

(k(Ny,1)·dy(Ny)+k(Ny−1,1)·dy(Ny−1))(dy(Ny)+dy(Ny−1))

· dx(1)

( dy(Ny−1)2

+dy(Ny)

2 )

σ(Ny, 1)

·TNy,1,p+1

−

(k(Ny,1)·dx(1)+k(Ny,2)·dx(2))(dx(1)+dx(2))

· dy(Ny)

( dx(2)2

+dx(1)

2 )

σ(Ny, 1)

·TNy,1,p+1 −(hf · dx(1)

σ(Ny, 1)+ 1

)· TNy,1,p+1

= −hf · dx(1) · Tfσ(Ny, 1)

− TNy,1,p (6.42)


Esquina inferior derecha

hf · dx(Nx) · (Tf − TNy,Nx,p+1)

+k(m,n) · dx(n) · TNy−1,Nx,p+1 − TNy,Nx,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,Nx−1,p+1 − TNy,Nx,p+1

dx(n)

= σ(Ny,Nx) · (TNy,Nx,p+1 − TNy,Nx,p) (6.43)

+

(k(Ny,Nx)·dy(Ny)+k(Ny−1,Nx)·dy(Ny−1))(dy(Ny)+dy(Ny−1))

· dx(Nx)

( dy(Ny−1)2

+dy(Ny)

2 )

σ(Ny,Nx)

·TNy−1,Nx,p+1

+

(k(Ny,Nx)·dx(Nx)+k(Ny,Nx−1)·dx(Nx−1))(dx(Nx)+dx(Nx−1))

· dy(Ny)

( dx(Nx−1)2

+dx(Nx)

2 )

σ(Ny,Nx)

·TNy,Nx−1,p+1

−

(k(Ny,Nx)·dy(Ny)+k(Ny−1,Nx)·dy(Ny−1))(dy(Ny)+dy(Ny−1))

· dx(Nx)

( dy(Ny−1)2

+dy(Ny)

2 )

σ(Ny,Nx)

·TNy,Nx,p+1

−

(k(Ny,Nx)·dx(Nx)+k(Ny,Nx−1)·dx(Nx−1))(dx(Nx)+dx(Nx−1))

· dy(Ny)

( dx(Nx−1)2

+dx(Nx)

2 )

σ(Ny,Nx)

·TNy,Nx,p+1 −(hf · dx(Nx)

σ(Ny,Nx)+ 1

)· TNy,Nx,p+1

= −hf · dx(Nx) · Tfσ(Ny,Nx)

− TNy,Nx,p (6.44)


Laterales:Lateral superior

ha · dx(j + 1) · (Ta − T1,j+1,p+1)

+k(m,n) · dx(n) · T2,j+1,p+1 − T1,j+1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · T1,j,p+1 − T1,j+1,p+1

dx(n)

+k(m,n) · dy(m) · T1,j+2,p+1 − T1,j+1,p+1

dx(n)

= σ(1, j + 1) · (T1,j+1,p+1 − T1,j+1,p) (6.45)

(k(1,j+1)·dy(1)+k(2,j+1)·dy(2))(dy(1)+dy(2))

· dx(j+1)

( dy(2)2

+dy(1)

2 )

σ(1, j + 1)

·T2,j+1,p+1

+

(k(1,j+1)·dx(j+1)+k(1,j)·dx(j))(dx(j)+dx(j+1))

· dy(1)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(1, j + 1)· T1,j,p+1

+

(k(1,j+1)·dx(j+1)+k(1,j+2)·dx(j+2))(dx(j+1)+dx(j+2))

· dy(1)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(1, j + 1)

·T1,j+2,p+1

−

(k(1,j+1)·dy(1)+k(2,j+1)·dy(2))(dy(1)+dy(2))

· dx(j+1)

( dy(2)2

+dy(1)

2 )

σ(1, j + 1)

·T1,j+1,p+1

−

(k(1,j+1)·dx(j+1)+k(1,j)·dx(j))(dx(j)+dx(j+1))

· dy(1)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(1, j + 1)

·T1,j+1,p+1

−

(k(1,j+1)·dx(j+1)+k(1,j+2)·dx(j+2))(dx(j+1)+dx(j+2))

· dy(1)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(1, j + 1)

·T1,j+1,p+1 −(ha · dx(j + 1)

σ(1, j + 1)+ 1

)· T1,j+1,p+1

= −ha · dx(j + 1) · Taσ(1, j + 1)

− T1,j+1,p (6.46)



Lateral inferior

hf · dx(j + 1) · (Tf − TNy,j+1,p+1)

+k(m,n) · dx(n) · TNy−1,j+1,p+1 − TNy,j+1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,j,p+1 − TNy,j+1,p+1

dx(n)

+k(m,n) · dy(m) · TNy,j+2,p+1 − TNy,j+1,p+1

dx(n)

= σ(Ny, j + 1) · (TNt,j+1,p+1 − TNy,j+1,p) (6.47)

(k(Ny,j+1)·dy(Ny)+k(Ny−1,j+1)·dy(Ny−1))(dy(Ny)+dy(Ny−1))

· dx(j+1)

( dy(Ny)2

+dy(Ny−1)

2 )

σ(Ny, j + 1)

·TNy−1,j+1,p+1

+

(k(Ny,j+1)·dx(j+1)+k(Ny,j)·dx(j))(dx(j)+dx(j+1))

· dy(Ny)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(Ny, j + 1)

·TNy,j,p+1

+

(k(Ny,j+1)·dx(j+1)+k(Ny,j+2)·dx(j+2))(dx(j+1)+dx(j+2))

· dy(Ny)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(Ny, j + 1)

·TNy,j+2,p+1

−

(k(Ny,j+1)·dy(Ny)+k(Ny−1,j+1)·dy(Ny−1))(dy(Ny)+dy(Ny−1))

· dx(j+1)

( dy(Ny)2

+dy(Ny−1)

2 )

σ(Ny, j + 1)

·TNy,j+1,p+1

−

(k(Ny,j+1)·dx(j+1)+k(Ny,j)·dx(j))(dx(j)+dx(j+1))

· dy(Ny)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(Ny, j + 1)

·TNy,j+1,p+1

−

(k(Ny,j+1)·dx(j+1)+k(Ny,j+2)·dx(j+2))(dx(j+1)+dx(j+2))

· dy(Ny)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(Ny, j + 1)

·TNy,j+1,p+1 −(hf · dx(j + 1)

σ(Ny, j + 1)+ 1

)· TNy,j+1,p+1

= −hf · dx(j + 1) · Tfσ(Ny, j + 1)

− TNy,j+1,p (6.48)



Lateral izquierdo

k(m,n) · dx(n) · Ti,1,p+1 − Ti+1,1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,1,p+1 − Ti+1,1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,2,p+1 − Ti+1,1,p+1

dx(n)

= σ(i+ 1, 1) · (Ti+1,1,p+1 − Ti+1,1,p) (6.49)

(k(i+1,1)·dy(i+1)+k(i,1)·dy(i))(dy(i+1)+dy(i))

· dx(1)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, 1)

·Ti,1,p+1

+

(k(i+1,1)·dy(i+1)+k(i+2,1)·dy(i+2))(dy(i+1)+dy(i+2))

· dx(1)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, 1)

·Ti+2,1,p+1

+

(k(i+1,1)·dx(1)+k(i+1,2)·dx(2))(dx(1)+dx(2))

· dy(i+1)

( dx(2)2

+dx(1)

2 )

σ(i+ 1, 1)

·Ti+1,2,p+1

−

(k(i+1,1)·dy(i+1)+k(i,1)·dy(i))(dy(i+1)+dy(i))

· dx(1)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, 1)

·Ti+1,1,p+1

−

(k(i+1,1)·dy(i+1)+k(i+2,1)·dy(i+2))(dy(i+1)+dy(i+2))

· dx(1)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, 1)

·Ti+1,1,p+1

−

(k(i+1,1)·dx(1)+k(i+1,2)·dx(2))(dx(1)+dx(2))

· dy(i+1)

( dx(2)2

+dx(1)

2 )

σ(i+ 1, 1)

·Ti+1,1,p+1 − Ti+1,1,p+1 = −Ti+1,1,p (6.50)



Lateral derecho

k(m,n) · dx(n) · Ti,Nx,p+1 − Ti+1,Nx,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,Nx,p+1 − Ti+1,Nx,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,Nx−1,p+1 − Ti+1,Nx,p+1

dx(n)

= σ(i+ 1, Nx) · (Ti+1,Nx,p+1 − Ti+1,Nx,p) (6.51)

(k(i+1,Nx)·dy(i+1)+k(i,Nx)·dy(i))(dy(i+1)+dy(i))

· dx(Nx)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, Nx)

·Ti,Nx,p+1

+

(k(i+1,Nx)·dy(i+1)+k(i+2,Nx)·dy(i+2))(dy(i+1)+dy(i+2))

· dx(Nx)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, Nx)

·Ti+2,Nx,p+1

+

(k(i+1,Nx)·dx(Nx)+k(i+1,Nx−1)·dx(Nx−1))(dx(Nx)+dx(Nx−1))

· dy(i+1)

( dx(Nx)2

+dx(Nx−1)

2 )

σ(i+ 1, Nx)

·Ti+1,Nx−1,p+1

−

(k(i+1,Nx)·dy(i+1)+k(i,Nx)·dy(i))(dy(i+1)+dy(i))

· dx(Nx)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, Nx)

·Ti+1,Nx,p+1

−

(k(i+1,Nx)·dy(i+1)+k(i+2,Nx)·dy(i+2))(dy(i+1)+dy(i+2))

· dx(Nx)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, Nx)

·Ti+1,Nx,p+1

−

(k(i+1,Nx)·dx(Nx)+k(i+1,Nx−1)·dx(Nx−1))(dx(Nx)+dx(Nx−1))

· dy(i+1)

( dx(Nx)2

+dx(Nx−1)

2 )

σ(i+ 1, Nx)

·Ti+1,Nx,p+1 − Ti+1,Nx,p+1 = −Ti+1,Nx,p (6.52)



Nodos internos:Sin generacion de calor

k(m,n) · dx(n) · Ti,j+1,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,j+1,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dx(n)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j+2,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dx(n)

= σ(i+ 1, j + 1) · (Ti+1,j+1,p+1 − Ti+1,j+1,p) (6.53)


(k(i+1,j+1)·dy(i+1)+k(i+2,j+1)·dy(i+2))(dy(i+1)+dy(i+2))

· dx(j+1)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+2,j+1,p+1

+

(k(i+1,j+1)·dy(i+1)+k(i,j+1)·dy(i))(dy(i+1)+dy(i))

· dx(j+1)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti,j+1,p+1

+

(k(i+1,j+1)·dx(j+1)+k(i+1,j+2)·dx(j+2))(dx(j+2)+dx(j+1))

· dy(i+1)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+2,p+1

+

(k(i+1,j+1)·dx(j+1)+k(i+1,j)·dx(j))(dx(j)+dx(j+1))

· dy(i+1)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j,p+1

−


· dx(j+1)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+1,p+1

−


· dx(j+1)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+1,p+1

−


· dy(i+1)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+1,p+1

−


· dy(i+1)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

−Ti+1,j+1,p+1 · Ti+1,j+1,p+1 = −Ti+1,j+1,p (6.54)



Con generacion de calor

k(m,n) · dx(n) · Ti,j+1,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dx(n) · Ti+2,j+1,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dy(m)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dx(n)

+k(m,n) · dy(m) · Ti+1,j+2,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

dx(n)

+Wg · dy(i) · dx(j)

Sconductor= σ(i+ 1, j + 1) · (Ti+1,j+1,p+1 − Ti+1,j+1,p) (6.55)



· dx(j+1)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+2,j+1,p+1

+


· dx(j+1)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti,j+1,p+1

+


· dy(i+1)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+2,p+1

+


· dy(i+1)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j,p+1

−


· dx(j+1)

( dy(i+2)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+1,p+1

−


· dx(j+1)

( dy(i)2

+dy(i+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+1,p+1

−


· dy(i+1)

( dx(j+2)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+1,p+1

−


· dy(i+1)

( dx(j)2

+dx(j+1)

2 )

σ(i+ 1, j + 1)

·Ti+1,j+1,p+1 − Ti+1,j+1,p+1

= −Wg · dy(i) · dx(j)

Sconductor · σ(i+ 1, j + 1)− Ti+1,j+1,p (6.56)



En las ecuaciones anteriores:

Ti,j,p: Temperatura del nodo (i, j) en el instante de tiempo (p ·∆t), expresadaen C.

Aunque la visualizacion de las ecuaciones pueda resultar algo engorrosa, se ha deci-dido no sacar factor comun, ni simplificarlas, con la intencion de localizar rapida ysencillamente los coeficientes que multiplican a las distintas temperaturas, y que senecesitaran para construir la matriz de coeficientes A.

Como en el caso de regimen permanente se tendra un sistema formado porNx·Nyecuaciones.

6.3.4. Resolucion del problema termico

Para encontrar la distribucion de temperaturas en el regimen transitorio, al igualque sucedıa en el regimen permanente, debe resolverse el problema de forma matricialsiguiendo la siguiente expresion:

[A][T ]p+1 = [d] (6.57)

con[d] = [c] + [T ]p (6.58)

Donde:

[A]: Matriz de coeficientes.

[T ]p+1: Vector de soluciones (Temperaturas) en el instante de tiempo ((p+ 1) ·∆t).

[T ]p: Vector de soluciones (Temperaturas) en el instante de tiempo (p ·∆t).

[c] : Vector de terminos independientes.

Las matrices y los vectores mantienen las mismas dimensiones y propiedades que enel regimen permanente. La forma de construirlas tambien es la misma.

Para obtener la distribucion de temperaturas del problema termico es necesariodespejar el vector de soluciones. Con este fin se puede reestructurar la expresion(6.57) de la siguiente forma:

[T ] = [A]−1[d] (6.59)

De nuevo, las temperaturas calculadas se almacenan en el vector de soluciones.Posteriormente, al igual que en el regimen permanente, se aplica el comando que per-mite cambiar las dimensiones de este vector y pasar dimensiones mas significativas,similares a las del terreno.

Capıtulo 7

Analisis de sensibilidad yoptimizacion

Una vez obtenidas todas las ecuaciones de transferencia de calor discretizadas, seimplementan en el codigo, junto con la formacion de los mallados y los algoritmos deresolucion de los sistemas de ecuaciones. Realizado este proceso, el programa permi-tirıa encontrar la distribucion de temperaturas para el problema termico sometidoa estudio.

Pero antes de lanzarse a calcular todos los parametros necesarios resulta conve-niente detenerse en varias consideraciones a tener en cuenta.

En primer lugar hay que destacar que existen dos tipos de errores de precisionconforme a la utilizacion de metodos numericos. Por un lado, los relacionados conla depuracion del mallado y los espaciamientos finitos entre nodos. Si estos no sonlo suficientemente pequenos en determinadas zonas, no representaran correctamentelos fenomenos de transmision de calor que tengan lugar en ese concreto lugar. Porel otro, el error propio de discretizar, de aproximar, las ecuaciones de transferenciade calor reales en ecuaciones algebraicas mediante diferencias finitas.

A menudo, en algunas situaciones donde a priori pareciese que habrıa errores deprecision del mallado, se podrıa intentar reducir los espaciamientos nodales, con el finde evitarlos. Sin embargo al introducir mayor numero de nodos se comprobarıa queel error de precision no desaparece. Esto es debido a los problemas de aproximacionde las ecuaciones reales a ecuaciones discretizadas que anteriormente se mencionaba.La introduccion de mas nodos serıa en estos casos contraproducente, ya que elevarıala complejidad y el tiempo del calculo del programa exponencialmente, sin aportarsoluciones de interes.

En segundo lugar, tambien hay que advertir que no se dispone de recursos ilimi-tados. Los calculos del programa utilizan una memoria finita y el tiempo de ejecuciondel codigo se incrementa exponencialmente conforme a la precision del mallado.

Debido todo ello, resulta logico establecer un compromiso entre el grado de pre-cision del problema y el numero de nodos introducidos, con la finalidad de no caer endefectos ni excesos cuantitativos, y poder simular adecuadamente el comportamientoreal del caso de estudio.

79

80 CAPITULO 7. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y OPTIMIZACION

Como metodologıa para estimar que valores de entrada del programa son losidoneos se va a proceder a realizar unos analisis de sensibilidad en diferentes fasesdel mismo.

7.1. Mallado inicial

El primer analisis de sensibilidad debe hacerse nada mas comenzar el programa yantes de realizar ningun calculo previo, a fin de optimizarlo desde el primer momento.El objetivo fundamental de este estudio inicial es encontrar los valores que ayudena definir con mayor precision todos los componentes del cable. Posteriormente, lainformacion obtenida servira como base para un posterior analisis mas especıficodel mallado inteligente adaptativo, en el que ya si se evaluaran los patrones decomportamiento del programa.

En esta fase se va a evaluar la dependencia del programa respecto a los tresparametros de entrada que definen la formacion del mallado inicial, como son:

Numero total de posiciones nodales en la horizontal:Nx

Numero total de posiciones nodales en la vertical: Ny

Factor de reduccion del mallado: Fr

Segun estos factores, el programa aportara informacion sobre los siguientes parame-tros de salida:

Tiempo de ejecucion del codigo, medido en segundos.

Nº de nodos que representan a los principales componentes del cable (conduc-tor, aislamiento, pantalla y cubierta).

Temperatura media existente en cada componente del cable, expresada en C.

No se han contemplado las capas semiconductoras interna y externa en este analisisde sensibilidad. Esto es debido a que gracias a su pequeno espesor y a sus propie-dades, muy similares a las de los otros componentes con los que se encuentran encontacto, las variaciones termicas que podrıan provocar son practicamente despre-ciables y no alterarıan significativamente los resultados globales.

Hay que destacar que a mayor numero de casos estudiados para diferentes con-diciones de entrada del programa, mayor informacion se obtendra a cerca del fun-cionamiento del mismo. Esta multitud de datos es totalmente necesaria ya que sepretende lograr una optimizacion fiable de los parametros iniciales.

7.1. MALLADO INICIAL 81

En primer lugar se va a proceder a estudiar la respuesta del programa para unamplio margen de numero de nodos de entrada (desde 25 hasta 115, con incrementosde 10 nodos), tanto horizontales, como verticales, y para factores de reduccion ele-vados, como por ejemplo (1; 0,9; 0,8; 0,7). Como ya se comento con anterioridad, elhecho de escoger factores de reduccion elevados asegura una depuracion del malladosuave, permitiendo caracterizar mejor los componentes del cable.

Se ha colocado el numero superior de nodos en 115 debido al tiempo de ejecuciondel programa. A partir de ese valor, resulta excesivo, contando que el mallado vaa someterse posteriormente a otra depuracion mas precisa. En cuanto al numeroinferior de nodos en 25, se ha considerado que, entre los valores mas bajos, es losuficientemente grande como para poder representar someramente alguno de loscomponentes del cable.

De igual manera, se ha decidido escoger nodos impares como inicio para unamejor adaptacion del mallado sobre el cable. Al situarse este justamente en el centro,con un numero impar de nodos se asegura que al menos uno tambien se encuentreen el centro y por tanto, este definido el conductor.

Para una mejor visualizacion de los diferentes casos, se ha organizado la informa-cion en forma de tabla con la finalidad de evaluar los parametros optimos de inicio.Vease la primera tabla del anexo (B.1).

El primer barrido de datos tiene la finalidad de representar el comportamientodel programa a rasgos generales. Gracias a ello, permite determinar en que zonas dereduccion de mallado trabaja mejor el codigo y en las que serıa conveniente introducirnuevos estudios mas precisos. Por otra parte, se puede identificar aquellos factoresde reduccion que no aportan informacion de salida valida, y por tanto, alejarlosdel estudio para los barridos posteriores, mas precisos. Como conclusiones de esteprimer barrido se puede extraer:

Para los casos con factor de reduccion de valor unitario (Fr = 1), el programaresponde mal ante la caracterizacion de los componentes del cable. Practica-mente en la totalidad de los casos no se representa ni el aislamiento, ni lapantalla, ni la cubierta. Esto era de esperar tal y como se predijo anteriormen-te en el capıtulo de metodologıa, ya que el estudio corresponde a la division delterreno en regiones regulares, adaptandose muy mal al cable. Por ello se puededestacar que los barridos entorno a este valor de Fr no aportan informacionde gran validez.

Para los casos con factor de reduccion de valor (Fr = 0,7), el programa respon-de algo mejor ante la caracterizacion de los componentes del cable. Tanto elconductor, como la capa de aislante se encuentran perfectamente definidas, yla pantalla tambien se puede apreciar facilmente. Sin embargo, haciendo refe-rencia a la cubierta, no se encuentra ningun caso donde se encuentre definida.Esto puede ser debido a que las reducciones del mallado ya empiezan a seragresivas e impiden representar adecuadamente el cable. Por ello, a partir deestos valores, no conviene ir a casos con menor factor de mallado, ya que comoen el barrido anterior, no aportarıan informacion de gran validez.


Por el contrario, si se observan los barridos para factores de reduccion demallado intermedios (0,9; 0,8), se comprueba que se han identificado casos paralos cuales, todos los componentes del cable se encuentran definidos, incluidala cubierta, la mas problematica. Es, entorno a estos valores de Fr, dondeconviene realizar un barrido mas especıfico para determinar nuevos puntos defuncionamiento del cable. De esta forma se van a introducir otros dos valoresde factor de mallado (0,85; 0,75) con la misma relacion de nodos utilizadahasta ahora (desde 25 hasta 115, con incrementos de 10).

Una vez realizado el segundo barrido, se pueden observar nuevos casos donde serepresentan los distintos componentes del cable con mayor precision. Tanto el con-ductor, como el aislamiento, y en la mayorıa de ocasiones tambien la pantalla, seencuentran totalmente definidas. De nuevo, la capa de la cubierta externa es la quemenos se muestra a lo largo de todos los casos. Debido a ello, se va a realizar otrotercer barrido aun mas especıfico a fin de poder contemplar algun posible caso masdonde la cubierta este representada.

Para el tercer barrido se han seleccionado aquellos casos donde existen nodospertenecientes a dicha cubierta y se han estudiado otros nuevos, variando en 5 elnumero de nodos de entrada. Es decir, si por ejemplo existe un caso donde la cubiertaeste definida para 75 nodos, se han sometido a estudio los casos para 70 y 80 nodos,y para el mismo valor de Fr.

A modo de resumen, mediante un primer barrido se han considerado los casosdonde resulta mas conveniente realizar un analisis profundo. Mediante el segundobarrido, y basandose en la informacion aportada por el primero, se han introducidonuevos casos de Fr, dejando fijo el numero de nodos. Gracias al segundo barridose ha podido comprobar que el componente que menos se encuentra definido esla cubierta, por ello se ha realizado un tercer analisis para intentar encontrar mascasos donde se represente. Este ultimo se ha realizado variando el numero de nodosrespecto el caso de referencia, pero no Fr.

Se ha considerado que con estos tres barridos consecutivos se dispone de sufi-ciente informacion como para determinar los valores optimos de funcionamiento delprograma para el mallado inicial. La problematica ahora reside en discernir entretodos los posibles casos y elegir aquellos parametros de entrada que proporcionan lamejor definicion del cable posible.

Para lograr este proposito se han obtenido las medias globales de la tempera-tura obtenida para cada caso y componente del cable. Este valor se utilizara comoreferencia para comprobar la desviacion de los diferentes datos del muestreo conrespecto a la media.

Toda la informacion referente a los diferentes casos considerados, obtenidos apartir de los tres barridos consecutivos, y que se encuentran registrados en la primeratabla del anexo (B.1), se han representado tambien en forma de grafico en la figura(7.1) para una mejor visualizacion de la tendencia del muestreo.


Fig

ura

7.1:

Evo

luci

ondel

pro

gram

a,co

nsi

der

ando

todos

los

caso

s.


En un primer analisis se han descartado aquellos datos que distan mucho de lamedia, ya que se pueden considerar como erroneos y pueden afectar negativamentevariando dicha media y provocando alteraciones de los resultados correctos. En lacubierta y la pantalla no existen valores muy alejados de la media, por lo que nose ha suprimido ninguno. En el caso del aislamiento se han considerado como nuloslos que superan ±10 % de desviacion, y respecto al conductor aquellos por encimade ±15 %. Se han considerado estos valores como asumibles ya que la limitacionde recursos y tiempo de ejecucion del programa impide que se depure la malla contanta precision como para que los reduzca considerablemente.

Con los datos restantes del primer analisis se ha realizado un segundo estudioa fin de determinar, finalmente, cuales son los parametros optimos de entrada delmallado inicial. Estos parametros optimos deben ser tales que permitan definir todoslos componentes del cable, manteniendo desviaciones aceptables de la media, y siendolo mas mınimas posible. La informacion de todos los casos considerados, ya con losdescartes eliminados, se muestra en la segunda tabla del anexo (B.1).

Al igual que en el caso anterior, se ha representado en forma de grafico en la figura(7.2) la informacion referente a todos los casos de estudio restantes tras realizar losdescartes.


Fig

ura

7.2:

Evo

luci

ondel

pro

gram

a,si

nco

nsi

der

arlo

sca

sos

des

cart

ados

.


A continuacion, en la tabla (7.2) se destacan los resultados mas significativos.

MALLADO INICIAL CONDUCTOR AISLAMIENTO PANTALLA CUBIERTA

Fr Nx Ny T N M D N M D N M D N M D

0,9 85 85 6 149 107,0 9 % 148 95,3 2 % 16 85,2 2 % 8 84,1 0 %

0,9 95 95 10 313 111,9 14 % 256 98,1 5 % 24 84,7 2 % 4 85,2 1 %

0,9 100 100 16 436 109,4 12 % 300 96,2 3 % 80 84,6 2 % 8 84,7 0 %

0,9 110 110 29 792 111,7 14 % 488 97,3 4 % 72 85,0 2 % 16 84,9 1 %

0,85 70 70 3 292 105,6 8 % 180 94,5 1 % 48 84,3 1 % 8 84,3 0 %

0,85 85 85 7 913 109,8 12 % 392 97,0 3 % 24 84,0 1 % 8 84,4 0 %

0,85 105 105 21 2377 110,5 13 % 624 97,1 4 % 184 84,0 1 % 8 84,1 0 %

0,85 110 110 26 2884 111,3 14 % 692 97,5 4 % 204 84,0 1 % 8 84,0 0 %

0,8 60 60 1 388 103,9 6 % 176 92,9 -1 % 64 82,6 -1 % 8 82,7 -2 %

0,8 65 65 2 605 108,1 10 % 224 96,5 3 % 44 83,5 1 % 24 83,3 -1 %

Tabla 7.2: Casos seleccionados en el analisis del mallado inicial.

Como se puede observar existen hasta 10 casos diferentes posibles de funciona-miento optimo. El criterio de seleccion estara basado, por orden de importancia,en:

1. Menor desviacion global de cada uno de los componentes respecto a la media.

2. Menor tiempo de ejecucion del codigo para ese caso.

Siguiendo estas reglas se ha determinado que los parametros mas idoneos para in-troducir el mallado inicial son:

Fr = 0,8, para Nx = Ny = 60.

Fr = 0,85, para Nx = Ny = 70.

Fr = 0,9, para Nx = Ny = 85.

Una vez encontrados los valores de entrada para el mallado inicial, se ha logradooptimizar el programa en esta fase, describiendo el cable con mayor precision y enmenor tiempo computacional que para otros parametros aleatorios cualesquiera.

7.2. Mallado adaptativo inteligente

En esta segunda fase de analisis de sensibilidad se va a someter a estudio elmallado adaptativo inteligente, el cual se aplica sobre el mallado inicial para lograruna red nodal mas precisa en aquellos lugares donde sea necesario.

7.2. MALLADO ADAPTATIVO INTELIGENTE 87

Como datos de entrada para este segundo examen, se van a considerar las solucio-nes obtenidas a partir del mallado inicial gracias a los parametros optimos definidoscon anterioridad. Ademas, como ya se comento en el capıtulo de metodologıa, se vaa estudiar tambien la dependencia del mallado conforme al parametro del gradientetermico maximo admisible entre dos nodos contiguos (gradtemp).

Para realizar el estudio se va a seguir un procedimiento similar al utilizado enel apartado anterior. En primer lugar se realizaran varios barridos para diferentescondiciones y se representara la informacion obtenida en forma de tabla. Posterior-mente se analizaran los resultados para determinar patrones de comportamiento delprograma.

Gracias a escoger en el analisis anterior mas de un valor optimo, proporciona laventaja de obtener mayor informacion en este segundo estudio. Se ha fijado tanto elfactor de reduccion (Fr), como los numeros de posiciones nodales vertical y horizon-tal (Nx/Ny), definidos en el analisis anterior. El parametro variable es gradtemp,que esta relacionado con la precision de la red nodal del mallado inteligente adap-tativo. La tabla con los casos considerados se muestra en el anexo (B.2).

A rasgos generales se puede observar como el numero de nodos introducidos enla capa de aislamiento es superior que en el conductor, coherente con la explicacionteorica. El material aislante es el componente que esta sometido a mayores gradientesde temperaturas, y es por ello que en esta zona el mallado debera ser mas precisopara poder reproducir correctamente el comportamiento termico real.

Se ha estimado que no resulta necesario introducir demasiados casos de estudiopara cada Fr y Nx/Ny, por lo que los saltos de gradtemp entre dos consecutivosseran de un valor de 100. Se ha escogido el lımite superior de este parametro de unvalor de 1500, como una primera aproximacion rapida del mallado final. En cuantoel lımite inferior lo determina basicamente el tiempo de ejecucion del programa, yaque a valores bajos resulta muy costoso obtener nueva informacion.

Esto ultimo esta relacionado con la problematica de este segundo analisis. La in-disponibilidad de recursos ilimitados condiciona que no sea viable realizar un analisismas profundo para valores de gradtemp bajos, debido a que el tiempo de ejecucionse eleva exponencialmente.

Es necesario, por tanto, buscar algun patron de comportamiento del programacon los casos de los que se dispone, con la intencion de representar los casos quedesconocen, es decir, aquellos correspondientes a una depuracion infinita del ma-llado, similares al modelo real. Si se encontrase esta relacion, se podrıa simular uncomportamiento real aproximado del cable mediante cualquier parametro de la lista,utilizando menos recursos computacionales, y por tanto, menor tiempo de calculo.

Dos importantes criterios para definir esta relacion serıan una buena estabilidady convergencia del problema alrededor de un valor fijo.

Se van a representar los datos de la tabla del anexo (B.2) en forma de grafico depuntos con la intencion de analizar de manera mas intuitiva la informacion obtenida.


Fig

ura

7.3:

Evo

luci

ondel

pro

gram

aen

funci

ondel

num

ero

de

caso

.

7.2. MALLADO ADAPTATIVO INTELIGENTE 89

Fig

ura

7.4:

Evo

luci

ondel

pro

gram

aen

funci

ondel

num

ero

de

nodos

defi

nid

os.


Se ha considerado unicamente el conductor del cable, ya que los demas compo-nentes siguen la misma evolucion y serıa redundante incluirlos, ya que no mostrarıanmas informacion de interes.

Si se centra la atencion en la figura (7.3), se puede comprobar como los valorespara los diferentes casos de Fr comienzan muy dispersos entre sı. Sin embargo, amedida que se va depurando la malla, se observa como progresivamente van conver-giendo entorno a una temperatura de 120 C. En cuanto al criterio de estabilidad,los casos para Fr = 0,9 son los que menos fluctuaciones presentan, y los que mas seadecuan a la franja de temperaturas de convergencia.

Tambien se ha representado en la figura (7.3) la evolucion de los valores obtenidosen relacion al numero de nodos que definen el conductor. En esta representacion,mas precisa que la anterior, se comprueba de nuevo la convergencia de los distintoscasos alrededor de la temperatura de 119 C. El caso de Fr = 0,9 se situa tambiencomo el mas estable en torno a ese valor.

Para determinar el comportamiento real del cable serıa conveniente extrapolarlas curvas hasta el infinito. De esta forma, la temperatura de referencia se situarıa enun valor algo mas bajo que el comentado anteriormente de convergencia de 119 C.Se deben buscar en la tabla del anexo (B.2) aquellos casos donde la temperatura seala de convergencia, o algo inferior. Tambien serıa conveniente que perteneciesen algrupo con Fr = 0,9, ya que como se ha visto, eran los valores mas estables. En latabla (7.4) se destacan los resultados mas relevantes.

MALLADO INTELIGENTE CONDUCTOR AISLAMIENTO PANTALLA CUBIERTA

Fr Nx/Ny gradtemp T N M N M N M N M

0,9 85 1000 13 1077 119,4 2490 99,5 384 84,9 67 84,9

0,9 85 800 30 1908 118,8 4033 98,6 589 83,5 97 83,5

0,9 85 700 64 2407 119,2 5048 99,0 713 83,8 113 83,8

Tabla 7.4: Casos seleccionados en el analisis del mallado adaptativo inteligente.

De esta forma, los casos mas adecuados serıan:

Fr = 0,9, Nx = Ny = 85 y gradtemp = 1000.



Finalmente, se ha elegido escoger el caso: Fr = 0,9, Nx = Ny = 85 y gradtemp =800, ya que es el que proporciona la temperatura mas baja de los tres, y su tiempode calculo no es excesivamente duradero.

Capıtulo 8

Resultados

Una vez seleccionados los parametros optimos de entrada del programa, se pue-de proceder a la resolucion del problema termico completo y a la evaluacion delcomportamiento del cable. Se dispondra de cierta seguridad de encontrar solucionesvalidas y en menor tiempo de calculo que para otros valores de entrada cualesquiera.

Hay que destacar que la capacidad de transporte maxima, o corriente maximaadmisible del cable, dependera de las soluciones termicas halladas con el programa,ya que no se debe superar unas temperaturas lımite en los diferentes componentesque puedan danar la integridad del mismo.

De igual modo resulta conveniente recordar, como ya se comento con anterio-ridad, que se ha decidido disenar una herramienta propia en vez de utilizar losprogramas de Mecanica de Fluidos Computacionales (CFDs). Esto es debido a quese pretende simular unos procesos termo-fısicos concretos que se analizan mejor conuna herramienta especıfica creada unica y exclusivamente para esa finalidad, quecon los programas de dinamica de fluıdos, mas generales.

8.1. Descripcion del caso de estudio

Se va a someter a estudio al siguiente tipo de cable: EPROTENAX H COMPACT18/30 kV (400 mm2 Al).

91

92 CAPITULO 8. RESULTADOS

Figura 8.1: Cable EPROTENAX H COMPACT [8].

En la tabla (8.1) se detallan las caracterısticas que se han asignado para cadacomponente del cable, y que se introduciran como datos en el programa:

Componente del cableD. exterior Cond. termica Densidad Calor especıfico

[mm] [W/(m ·K)] [kg/m3] [J/(kg ·K)]

Conductor 22.6 240 2700 924

Semiconductora interna 24.6 300 4500 650

Aislamiento 37 0.2 1300 1300

Semiconductora externa 39.3 110 2300 1100

Pantalla metalica 39.7 380 8890 388

Cubierta exterior 45.7 0.3 980 1800

Tabla 8.1: Caracterısticas del cable.

Hay que destacar que para este tipo de cable, el fabricante ha establecido unatemperatura de servicio en regimen permanente en el aislamiento de 105 C, graciasa estar formado por HEPR (etileno-propileno de alto gradiente), con muy buenaspropiedades termicas. El valor de la temperatura de emergencia se situa en 130 C.

El cable, trabajando en regimen permanente, no debe superar la temperatura deservicio. Sin embargo, en situaciones transitorias, se permite que aumente su valorsiempre y cuando no supere el lımite impuesto por la temperatura de emergencia,y el tiempo de sobre-calentamiento respecto al regimen permanente, no sea muyprolongado. Si se supera la temperatura de servicio, de 105 C, durante un numeroconsiderable de horas, se puede danar el aislamiento, y quedar inutilizable.

8.2. ANALISIS DE RESULTADOS EN REGIMEN PERMANENTE 93

La seccion de terreno, como ya se comento en el capıtulo de metodologıa esun cuadrado de dos metros de alto y dos metros de ancho. El cable se encuentrasituado justamente en el centro de la seccion a un metro de alto y uno de ancho.Las propiedades del suelo, segun la tabla (8.2), son:

Conductividad termica Densidad Calor especıfico

[W/(m ·K)] [kg/m3] [J/(kg ·K)]1 1250 1850

Tabla 8.2: Propiedades del suelo.

Y, por su parte, las caracterısticas de los contornos del terreno, que se detallanen la tabla (8.3), son:

Naturaleza de la capaCoeficiente de pelıcula Temperatura media global

[W/(m2 ·K)] [C]

Aire Ambiente 5 20Freatica 10 10

Tabla 8.3: Caracterısticas de los contornos del terreno.

8.2. Analisis de resultados en regimen permanen-

te

En primer lugar se va a proceder a realizar un analisis del comportamiento delcable en regimen permanente. Se introducira el caso de estudio comentado ante-riormente en el programa para obtener diferentes soluciones termicas en funcion delnivel de carga, o corriente que circula por el mismo. Posteriormente, se elaboraraun analisis con todos los datos recopilados a fin de determinar la corriente maximaadmisible, y a diferentes niveles de carga representativos del cable.

En segundo lugar se elaborara un estudio mas concreto para el caso de corrientenominal circulando por el cable, es decir, a plena carga (100 %).

8.2.1. Determinacion de los regımenes de carga mas habi-tuales

Al igual que en el capıtulo de analisis de sensibilidad, se va a organizar la in-formacion en forma de tabla para una mejor visualizacion de los distintos casos deestudio, y en el que se encuentran representados:

La intensidad que circula por el cable, medida en A, que sera el parametrovariable.

Las temperaturas maximas, expresadas en C, existentes en cada uno de loscomponentes del cable para una determinada corriente.


INTENSIDAD TEMPERATURA MAXIMA

CABLE CONDUCTOR AISLAMIENTO PANTALLA CUBIERTA

150 27,3 27,3 26,0 26,2

200 36,5 36,5 32,1 32,7

250 39,4 39,4 33,0 34,7

300 52,9 52,9 44,5 44,5

325 55,2 55,2 45,1 45,1

350 61,8 61,8 50,1 50,1

375 62,5 62,5 49,0 49,0

400 71,7 71,7 55,1 55,1

425 75,6 75,6 57,2 57,2

450 84,5 84,5 62,5 62,6

475 90,7 90,7 66,2 66,2

500 98,1 98,0 70,8 70,8

525 107,6 107,6 77,2 77,2

Tabla 8.4: Temperaturas maximas de los componentes del cable en funcion de laintensidad.

Comparando las temperaturas maximas de los ultimos casos de la tabla con lastemperaturas lımite de cada componente comentadas en el apartado anterior, sepuede establecer que el aislamiento es siempre la capa del cable mas restrictiva, yaque tiene que soportar los maximos gradientes de temperatura.

Por ello, y en adelante, se considerara que la capacidad de transporte del cabledependera unicamente de la temperatura lımite que el aislamiento pueda soportar.

Se ha decidido empezar el muestreo con incrementos de intensidad superiores(50A), que se han ido reduciendo a lo largo de varias medidas hasta (25A). Esto esdebido a que se pretende obtener mas informacion en la zona cercana de operaciondel cable a mayor regimen de carga, que es donde normalmente trabajara. El lımiteinferior de intensidad se ha elegido de (150 A), como valor al que existiran gradosde carga mınimos. El lımite superior, de (525A) esta marcado por aquella corrienteque origina temperaturas en el cable mayores que las de funcionamiento, por lo queestarıa trabajando por encima del 100 % de carga, y por tanto, se podrıa danaralguno de los componentes.

Se va a representar la informacion obtenida en la tabla (8.4) en forma de graficacon la finalidad de encontrar una relacion entre la corriente que circula por el cabley la temperatura maxima alcanzada en el aislamiento. Esto permitira establecer laintensidad maxima admisible por el cable, ası como las correspondientes a gradosde carga comunes de funcionamiento.


Fig

ura

8.2:

Rel

acio

nte

mp

erat

ura

max

ima

aisl

amie

nto

ein

tensi

dad

.


Hay que observar que la curva de tendencia obtenida es exponencial, como era deesperar, ya que la corriente se encuentra elevada al cuadrado segun la ecuacion (3.1).Sin embargo, esta suavizada debido a que la temperatura no es solucion directa, comolo serıa el calor producido, sino que existen mecanismos de disipacion por medio delos fenomenos de transmision de energıa.

Gracias a esta curva, se ha podido establecer la relacion que se mencionaba conanterioridad, entre la corriente que circula por el cable y la temperatura maxima delaislamiento, que sigue la siguiente expresion:

Tmax = 17,35 · e0,0035·I (8.1)

Siendo:

Tmax: Temperatura maxima existente en el aislamiento, expresada en C.

I: Intensidad que circula por el cable, expresada en A.

Para mayor comodidad, se puede expresar la ecuacion (8.1) de la siguiente manera:

I =ln(

Tmax

17,35

)0,0035

(8.2)

Una vez obtenida la expresion que permite hallar la corriente que circula por elcable en funcion de la temperatura maxima en el aislamiento, se van a contemplardiferentes regımenes de carga habituales de operacion.

De esta manera, a plena carga (100 %) en el cable sera aquel en la que la tempera-tura maxima en el aislamiento sea igual a la temperatura maxima lımite o admisibledel aislamiento, que para este caso de estudio es de 105 C.

Por ejemplo, para el caso de carga del 90 %, la temperatura maxima en el ais-lamiento sera igual a la temperatura maxima lımite o admisible del aislamientomultiplicada por un factor de 0,9, resultando 94,5 C.

Se procederıa de igual forma para calcular los demas grados de carga represen-tativos del cable.

Una vez obtenidas todas las temperaturas correspondientes al aislamiento paracada regimen de carga, empleando la ecuacion (8.2) se determina la corriente quecircula por el cable para cada caso.

A continuacion se muestran en forma de tabla los resultados mas significativospara los regımenes de carga mas habituales en la operacion del cable.


OPERACION DEL CABLE TEMPERATURA MAXIMA

GRADO DE CARGA INTENSIDAD AISLAMIENTO

100 % 514 105,0

95 % 500 99,8

90 % 484 94,5

85 % 468 89,3

80 % 451 84,0

75 % 432 78,8

60 % 368 63,0

50 % 316 52,5

25 % 118 26,3

0 % 0 0,0

Tabla 8.5: Grados de carga mas comunes en el cable y sus respectivas temperaturasen el aislamiento.

8.2.2. Caso de estudio a plena carga

Una vez determinados los grados de carga mas comunes en la operacion delcable en regimen permanente, se va a llevar a cabo un analisis mas especıfico delos resultados obtenidos por el programa en la evaluacion del comportamiento delcable trabajando a plena potencia. En las siguientes figuras se pueden observar lasdistintas fases que efectua el programa para llegar a la solucion final.

Se han obtenido ocho imagenes diferentes que caracterizan el caso de estudioque se ha planteado. Las cuatro primeras corresponden a las soluciones obtenidaspor el programa unicamente utilizando el mallado inicial. Por su parte, las cuatrorestantes, representan un comportamiento del cable mas cercano a la realidad, yaque se ha sofisticado la red nodal empleada en las cuatro primeras figuras mediante lautilizacion del mallado inteligente adaptativo. A continuacion se van a ir describiendopor separado las principales caracterısticas de cada imagen, mediante las cuales esposible definir el comportamiento del programa.

Hay que destacar que la metodologıa empleada por el codigo para realizar lasgraficas consiste en asociar el valor de temperatura de cada nodo con una escalade colores definida en funcion de los lımites de temperatura para esa determinadafigura, de forma que el color azul corresponde a la temperatura mas baja, y por suparte, el rojo a la mas alta, de todo el conjunto de soluciones obtenidas. Ademas,representa cada nodo mediante un punto, y posteriormente los une creando la ma-lla. Posteriormente, asigna la media de temperaturas entre los nodos contiguos, yel color correspondiente a cada region formada, segun la escala de colores previa-mente definida. Es por esta razon que en algunas figuras, como por ejemplo la (8.3),aparezcan unas franjas blancas en los bordes.


Figura 8.3: Mallado inicial en 2 dimensiones. Distribucion de temperaturas en fun-cion de la posicion de los nodos.


Figura 8.4: Mallado inicial en 3 dimensiones. Distribucion de temperaturas en fun-cion de la posicion de los nodos.

Las figuras (8.3) y (8.4) muestran las soluciones termicas obtenidas por el pro-grama para el mallado inicial en funcion de la posicion de cada nodo en el terreno.Constituyen una representacion real del entorno de trabajo, ya que cada elementose encuentra en el sitio que le corresponde.

Como los gradientes termicos son mucho mayores en el area ocupada por el cable,los espaciamientos finitos se reducen enormemente en esa zona comparado con laszonas mas alejadas de terreno. Este hecho implica que aparezca en las imagenes lasbandas negras que se pueden observar en las figuras y que dificultan visualizar laevolucion del flujo de calor desde el interior del cable, hacia el exterior.

Por ello es necesario obtener otra forma de representar las soluciones en una figuraque permita una mejor visualizacion de los fenomenos de transmision de calor, comose va a realizar a continuacion.


Figura 8.5: Mallado inicial en 2 dimensiones. Distribucion de temperaturas en fun-cion del numero de nodos.


Figura 8.6: Mallado inicial en 3 dimensiones. Distribucion de temperaturas en fun-cion del numero de nodos.

Las figuras (8.5) y (8.6) muestran las soluciones termicas obtenidas por el pro-grama para el mallado inicial en funcion del numero total de nodos introducidosen el terreno. Esta configuracion, ya no es una representacion exacta del entornode trabajo, pero permite observar mas facilmente la distribucion de temperaturasgenerada.

De esta forma se comprueba que la zona del conductor del cable es la que amayor temperatura se encuentra. El salto brusco que se observa en la figura (8.6)esta relacionado con las propiedades termicas del material aislante, mal conductordel calor, que crea una diferencia de temperaturas de gran magnitud entre el almadel cable y las capas externas. De igual forma se puede ver como evoluciona el flujode calor anteriormente mencionado, de manera que se tiende a evacuar hacia elexterior del cable, es decir, hacia el terreno, el calor producido por efecto Joule enel conductor del cable.


Figura 8.7: Mallado inteligente adaptativo en 2 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion de la posicion de los nodos.


Figura 8.8: Mallado inteligente adaptativo en 3 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion de la posicion de los nodos.

En las figuras (8.7) y (8.8) se puede observar la metodologıa que ha utilizadoel programa para calcular las soluciones gracias a la aplicacion del mallado inteli-gente adaptativo. Por un lado, en las zonas donde existıan mayores gradientes detemperatura, es decir, en los entornos cercanos al cable, se han reducido aun maslos espaciamientos finitos que para el caso del mallado inicial con la finalidad deintentar predecir los fenomenos de transmision de calor con mas precision. Por otrolado, en las zonas con menores gradientes de temperatura, las mas alejadas de losentornos del cable, se ha aumentado estos espaciamientos considerablemente, yaque no es necesaria tanta precision, y de esta manera, se ahorra tiempo de calculocomputacional.


Figura 8.9: Mallado inteligente adaptativo en 2 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion del numero de nodos.

8.3. ANALISIS DE RESULTADOS EN REGIMEN TRANSITORIO 105

Figura 8.10: Mallado inteligente adaptativo en 3 dimensiones. Distribucion de tem-peraturas en funcion del numero de nodos.

Gracias a esta otra forma de representacion, tambien se puede comprobar la ten-dencia introducida por el mallado inteligente adaptativo que se acaba de describir.En las figuras (8.9) y (8.10) se observa facilmente que ha aumentado considerable-mente el numero de nodos introducidos en los entornos del cable, y por su parte,han descendido considerablemente los mas alejados del mismo.

8.3. Analisis de resultados en regimen transitorio

En bastantes ocasiones ocurren acontecimientos inesperados relacionados con laoperacion de grandes lıneas de transporte de energıa que implican trabajar con sobre-solicitaciones temporales en las redes. Como posibles ejemplos se puede encontrar:

Algunos fallos en una lınea hacen desviar parte de la energıa por otras ramaspara asegurar un abastecimiento continuo y que la calidad de servicio no sevea afectada.

Congestiones de la red.

Generacion con energıas renovables, ya que es complicado predecir su aportea las lıneas en cada momento.


En estas situaciones no basta solo con haber estudiado el regimen permanente, ypor tanto, conocer la intensidad maxima admisible en estado estacionario. Se nece-sita realizar ademas un analisis transitorio mas concreto, ya que los fenomenos desobresolicitacion en las redes son transitorios.

Para estos casos donde existen sobrecargas, hay establecida una temperaturalımite del cable, denominada de emergencia, la cual no debe sobrepasarse, bajo laperdida de sus propiedades irreversiblemente. Para el cable que se esta estudiando,esta temperatura es de 130 C.

Debido a todo lo mencionado anteriormente, se va a analizar la respuesta ter-mica del cable frente a diferentes sobresolicitaciones, es decir, mediante aumentostemporales de la corriente que circula por el mismo.

El estado permanente estara definido por condiciones nominales, a plena potenciay con corriente maxima admisible por el cable, y sera punto de inicio para el analisistransitorio.

En un cierto instante t, que en este estudio se considerara el instante inicial dondecomenzara el estudio temporal (t = 0), se aumentara la corriente que transporta elcable bruscamente, siguiendo una curva tipo escalon, como se puede apreciar en lafigura (8.11). Esta subida de intensidad se mantendra durante 30 minutos, y a partirde ese momento volvera a condiciones nominales.

Figura 8.11: Evolucion, de tipo escalon, de la corriente que circula por el cable.


Dejando de lado las protecciones de sobrecorriente de la lınea, se va a evaluaruna subida de intensidad del 12,5 % sobre la nominal, es decir una subida a 578 Adesde 514 A, correspondiente a un grado de carga total del cable del 125 %. Resultalogico evaluar el comportamiento del mismo ante este nivel de intensidad, en primerlugar, mediante un analisis permanente.

Realizando este estudio, se obtiene una temperatura maxima del aislamiento de126 C, por debajo de la temperatura de emergencia de 130 C. Gracias a esteresultado, no serıa necesario llevar a cabo un analisis transitorio del cable ante estavariacion de intensidad, puesto que nunca podra superar el valor que se obtiene enel regimen permanente.

Segun este resultado, el cable podrıa trabajar al 125 % de carga, incluso algomas, en una situacion permanente. Sin embargo, este criterio de operacion no esconveniente ya que esta disenado para hacerlo a una temperatura de 105 C. Altrabajar un numero de horas excesivo en torno a los 130 C, empezarıa a perder suspropiedades y a deteriorase prematuramente.

Para anadir mas resultados de referencia se va a volver a considerar un nuevoestudio, pero esta vez con un grado de carga global del cable del 150 %. La nuevacorriente transitoria tendra un valor de 630 A, correspondiente a una subida del22,5 %. Mediante el analisis permanente se obtiene una temperatura de 149 C,superior a la de emergencia, por lo que en esta ocasion sı sera necesario considerarun estudio transitorio del cable.

Se va a considerar una escala temporal de una hora, en la que en los primeros30 minutos existira un calentamiento del cable debido al incremento de la corriente,segun lo comentado con anterioridad. En la segunda mitad, tendra lugar el enfria-miento del mismo hasta temperatura nominal por el descenso de la intensidad.

De igual modo, se dividira esta escala cronologica en 20 instantes puntuales,separados entre sı intervalos regulares de tres minutos. En cada uno de estos instantesse obtendran los perfiles variables de temperaturas, y se determinara la temperaturamaxima del aislamiento para comprobar su evolucion, y que en ningun momentosupere la de emergencia. La informacion relativa a este estudio se muestra en la tabla(8.6), donde el tiempo esta en minutos y la temperatua maxima del aislamiento enC.


Instante de tiempo Tiempo Temperatura

1 0 1052 3 1093 6 1124 9 1145 12 1166 15 1187 18 1198 21 1209 24 12110 27 12211 30 12212 33 11813 36 11614 39 11415 42 11216 45 11117 48 11018 51 10919 54 10920 57 10821 60 108

Tabla 8.6: Evolucion temporal de la temperatura maxima en el aislamiento.


Figura 8.12: Evolucion temporal de la temperatura del aislamiento en funcion de lavariacion de intensidad de tipo escalon.

Se ha representado esta informacion graficamente en la figura (8.12) de maneraque se observa la evolucion de la temperatura del aislamiento respecto al tiempo. Enlos primeros 30 minutos, existe un calentamiento del cable, gracias al incremento dela corriente. A partir de ese instante, vuelve a valores nominales, y tiene lugar undescenso de temperatura del cable, que se prolongara hasta alcanzar la de servicio.

Tambien hay que destacar que en estas condiciones transitorias consideradas, desubida de intensidad del 50 % sobre la nominal durante 30 minutos, no se llega aalcanzar la temperatura lımite de emergencia, por lo que este tipo de cable, situadoen el emplazamiento especıfico simulado, podrıa soportar tal situacion de operacion.Sin embargo, si se excede demasiado el numero de horas que se sobrecarga el cable,puede resultar danado con mayor facilidad.

Se han creado varias figuras con las soluciones obtenidas por el programa paradiferentes instantes de tiempo con la intencion de observar mas facilmente las varia-ciones transitorias de temperaturas ente unos y otros. En todas ellas se han fijadolos mismos valores de la escala de colores, de manera que se puedan apreciar lasdiferencias, no solo en la escala vertical del perfil de temperaturas, sino tambien demanera visual.


Figura 8.13: Distribucion de temperaturas en 3 dimensiones en el instante inicial.


Figura 8.14: Distribucion de temperaturas en 3 dimensiones a los 15 minutos.


Figura 8.18: Distribucion de temperaturas en 2 dimensiones en el instante inicial.

Capıtulo 9

Conclusiones

Diversos factores como el aumento global de la demanda electrica, la mejora de latecnologıa. la busqueda de una mayor eficiencia y calidad de servicio, al igual que unacreciente concienciacion por el medio ambiente, estan influyendo profundamente en eldesarrollo de las redes electricas de transporte y distribucion. Por un lado, la gestionen la operacion de las lıneas se ha vuelto un punto clave, controlandose actualmentemediante una regulacion activa y dinamica gracias al soporte tecnologico de lossistemas informaticos y de telecomunicaciones. Por otro lado, se esta llevando acabo un aumento de potencia en redes ya construidas, y en algunos casos, se estaninstalando nuevas lıneas electricas, muchas de ellas subterraneas por falta de espacioterrestre y menor impacto ambiental que producen.

Todos estos estımulos han tenido un caracter motivacional para la realizaciondel presente trabajo, mediante el cual se ha comprobado la utilidad de disenar unaherramienta especıfica para simular los fenomenos termo-fısicos que tienen lugar eninstalaciones electricas subterraneas de media-alta tension. Y ademas, gracias a losresultados obtenidos, se ha logrado determinar la capacidad de transporte del cableempleado en esa determinada ubicacion, tanto en regimen permanente, como entransitorio. Este ultimo permite adaptarse a las exigencias de regulacion activa ydinamica actuales, anteriormente comentadas.

En primer lugar se han estudiado las configuraciones mas habituales en cuanto ainstalaciones subterraneas de potencia, y las caracterısticas de los cables empleadosen los distintos casos. Como la variedad de combinaciones es practicamente infinita,ya que depende de multiples factores, se ha escogido un unico ejemplo de estudio. Sinembargo, gracias a la polivalencia de la herramienta desarrollada, es posible analizarcualquier otra situacion.

Posteriormente, se han realizado un esfuerzo por determinar los fenomenos fısicomas importantes que aparecen en la operacion de los cables subterraneos de potencia,ası como los principales fenomenos de transmision de calor que tienen lugar, con laintencion de caracterizar su magnitud e introducirlos en el programa.

121

122 CAPITULO 9. CONCLUSIONES

Se ha verificado que la utilizacion de metodos numericos, y en particular diferen-cias finitas, tienen un gran potencial en estas situaciones ya que permite generar unmallado que puede adaptarse a geometrıas complejas. De igual modo, ha permitidoobtener un modelo termico (evolucion de los flujos de calor, gradientes termicos,distribucion de temperaturas) que se asemeja al comportamiento que sigue el cableen una situacion real.

Tambien se ha comprobado la ventaja que supone utilizar una herramienta dediseno propio, frente a cualquier otro programa de mecanica de fluidos computacional(CFD). Gracias al desarrollo de unos algoritmos especıficos, se puede definir con totallibertad la geometrıa del mallado que se desea introducir en el caso de estudio. Esdecir, aumentar o disminuir el tamano de las celdas en las distintas zonas de la redque se desee segun se requiera mayor o menor precision en los resultados. Prueba deello es el diseno de los dos mallados del presente proyecto, el inicial, y el inteligenteadaptativo como perfeccionamiento del primero.

Una depuracion de la malla, implica considerar mayor numero de nodos, conmenores espaciamientos, y por tanto el programa tendrıa que resolver un sistemacon mayor numero de ecuaciones. Este hecho condiciona a que el tiempo requeridopor el programa para encontrar las soluciones del problema termico aumente consi-derablemente, por lo que se debe encontrar un equilibrio entre el numero de nodosintroducidos y la obtencion de resultados con un error aceptable.

Por otro lado, resulta mas sencillo realizar variaciones en los valores de los pa-rametros que intervienen en el proceso de calculo. Para el presente trabajo, algunosejemplos podrıan ser cambios en las condiciones de frontera, como temperaturas ycoeficientes de transferencia de calor de los fluidos, o bien variaciones de la conduc-tividad termica del terreno o de las caracterısticas del cable. Gracias a ello es posibleanalizar nuevos casos de estudio rapidamente y con mayor facilidad.

Esta herramienta, constituida como una introduccion al calculo de la capacidadde transporte de los cables, podrıa resultar muy util para realizar un primer analisisde un estudio real, ya que permite obtener resultados cercanos a la realidad de formaintuitiva, rapida, y economica. Posteriormente se podrıan precisar los calculos conotro tipo de herramientas.

Capıtulo 10

Trabajos futuros

Mediante este proyecto se ha desarrollado un programa que pretende ser unaintroduccion al analisis de la capacidad de transporte de los cables subterraneos depotencia. Sin embargo, la tecnologıa relacionada con este tipo de instalaciones espracticamente infinita debido al alto numero de productores de sistemas de distri-bucion de potencia y a la diversidad de usos finales de los mismos.

Por ello, se van a establecer una serie de posibles propuestas para mejorar ycompletar el programa creado en un futuro:

1. Consideracion de otras configuraciones en cuanto a la instalacion y disposicionde los cables en el terreno. Posibles alternativas al cable simple estudiado eneste proyecto podrıan ser configuraciones al tresbolillo o en capa (juntos oseparados) en el caso de cables directamente enterrados. De igual modo, sepodrıa considerar tambien la instalacion de cables introducidos en ductos.

2. Utilizacion de otros tipos de cable. Para realizar el analisis termico se ha con-siderado solo un tipo de cable. Se propone para trabajos futuros, estudiar elcomportamiento de otros modelos, segun:

a) Variacion del numero de conductores. Dos o tres, frente a uno.

b) Variacion de la configuracion del conductor. Tripolar o bipolar, frente aunipolar.

c) Variacion del material del conductor. Cobre frente a aluminio.

d) Variacion de la seccion de conductor. Existen multiples secciones diferen-tes, todas ellas relacionadas con la corriente asignada que puede circular.

e) Variacion del tipo y composicion de aislamiento. Materiales termoplasti-cos, elastomeros, papel impregnado o aceite fluido.

f ) Utilizacion de cables protegidos con pantallas o armaduras.

123

124 CAPITULO 10. TRABAJOS FUTUROS

3. Simulacion con distintas condiciones externas y propiedades del terreno. Sehan utilizado unos valores fijos para caracterizar tanto las capas freatica y deaire, como la composicion del suelo. En estudios posteriores se podrıa evaluarel comportamiento del cable variando los parametros para distintas tempera-turas, conductividades y coeficientes de transferencia de calor.

4. Estudio de la respuesta del cable, instalado en un lugar concreto, frente acortocircuitos. En este proyecto no se han evaluado los gradientes termicosresultantes en el cable en episodios de cortocircuito y elevadas corrientes. Sepodrıa contemplar la evolucion termica del cable al ocurrir este fenomeno, yaque si se excede un tiempo lımite, los componentes podrıan resultar danados.

5. Estudio del comportamiento del cable en regimen transitorio para un rangomas amplio de grados de carga. Se podrıan evaluar diferentes evoluciones ter-micas del cable en funcion del estado de carga del mismo, y segun el tipo decurva de variacion de la corriente, por ejemplo, rampa, en vez de escalon.

Bibliografıa

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[6] Manuel Llorente Anton. Cables Electricos Aislados: Descripcion y AplicacionesPracticas. Paraninfo, Editorial S. A., 1994.

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[8] Prysmian Group. Cables y accesorios para media tension, 2014-2015. Ctra. C-15, km 2 - 08800 Vilanova i la Geltru (Espana).

[9] J. Guo, A. W. Glisson, D. Kajfez. Skin-effect resistance of conductors witha trapezoidal cross section. Microwave and Optical Technology Letters, 1998;18(6).

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[12] Miguel Antonio Caro, Boris Lora, Valdemir Garcıa. Solucion numerica de laecuacion de calor por el metodo de las diferencias finitas. Departamento deMatematica Aplicada y estadıstica, ICMC - USP, 2008.

125

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[15] Institute of Electrical and Electronics Engineers - IEEE, Ieee Standard PowerCable Ampacity Tables, IEEE - Institute of Electrical and Electronics Engineers,Tech. Rep., 2006.

[16] AENOR: Norma UNE 21144-1-1:2012. Cables electricos. Calculo de la intensi-dad admisible. Parte 1-1: Ecuaciones de intensidad admisible (factor de carga100 %) y calculo de perdidas. Generalidades.

[17] AENOR: Norma UNE 21144-2-1/1M:2012.Cables electricos. Calculo de la in-tensidad admisible. Parte 2: Resistencia termica. Seccion 1: Calculo de la resis-tencia termica.

[18] International Electrotechnical Commission - IEC, Publication 60228. Conduc-tors of insulated cables, International Electrotechnical Commission - IEC, Tech.Rep., 2004.

[19] International Electrotechnical Commission - IEC, Publication 60287-1-1. Elec-tric cables - calculation of the current rating - current rating equations (100 %load factor) and calculation of losses - general, International ElectrotechnicalCommission - IEC, Tech. Rep., 2006.

[20] International Electrotechnical Commission - IEC, Publication 60287-2-1. Elec-tric cables - calculation of the current rating - thermal resistance - calculationof thermal resistance, International Electrotechnical Commission - IEC, Tech.Rep., 2006.

[21] Iberdrola. Proyecto tipo de linea subterranea de AT hasta 30 kV. Manual tecnicode distribucion. Edicion 06. MT 2.31.01, Julio, 2009.

[22] Real Decreto 223/2008, de 15 de febrero, por el que se aprueban el Reglamentosobre condiciones tecnicas y garantıas de seguridad en lıneas electricas de altatension y sus instrucciones tecnicas complementarias ITC-LA T01 a 09. BoletınOficial del Estado, 19 de marzo de 2008. 5269: 16436-16554.



DOCUMENTO II: ESTUDIO ECONÓMICO

Capıtulo 11

Estudio economico

En lo referente al estudio economico del proyecto hay que tener en cuenta que seha tratado de disenar un programa que pretende ser una introduccion para el analisisde la respuesta termica de cables de potencia subterraneos, ası como de evaluacion dela capacidad de transporte de los mismos. Sin embargo, como se ha comentado, es uncomienzo para el posterior desarrollo de un programa mas completo, perfeccionado,y que incluya mayor numero de interfaces de variacion de parametros para adaptarsea nuevas situaciones.

Conviene. por tanto, realizar una primera estimacion sobre el coste del proyectohasta la fecha, para determinar si serıa rentable seguir desarrollandolo y aumentardicho perfeccionamiento.

Para realizar este estudio economico se va a dividir el proyecto en una serie departidas, como son:

Trabajo propio.

Licencias.

Internet.

Electricidad.

Asesoramiento.

Edicion y maquetacion.

Otros costes.

A continuacion se va a describir el coste asociado a cada uno de estos factores.

129

130 CAPITULO 11. ESTUDIO ECONOMICO

11.1. Trabajo propio

Se ha contabilizado una dedicacion aproximada de 400 horas de trabajo para eldiseno del codigo y la realizacion del proyecto en su conjunto.

Un salario habitual para un becario se situa, actualmente en Espana, en tornoa los 400 ¿ netos al mes por jornada a tiempo parcial, es decir, trabajando 5 ho-ras diarias durante 20 dıas al mes. Con estos datos, resulta una tarifa por trabajorealizado de aproximadamente 4 ¿ por cada hora.

Si se contabilizan las aproximadamente 400 horas dedicadas a este trabajo, re-sulta un total de 1600 ¿.

11.2. Licencias

Para el diseno del codigo se ha utilizado la herramienta de software matematicoMatlab. La universidad politecnica de Madrid cuenta con un gran numero de licen-cias y una gran flota de ordenadores desde los cuales se puede acceder librementeal programa sin ningun coste adicional. Ademas desde este mismo ano, se firmotambien un acuerdo para la distribucion de licencias individuales gratuitas entre losalumnos.

No obstante, se va a suponer que no existen tales privilegios y se requiere lacontratacion de una licencia individual para poder usar el programa. Segun [14],el precio del programa, de caracter anual, para estudiantes es de 69 ¿ sin IVA(Impuesto sobre el Valor Anadido). Si se aplica el sobrecoste asociado, resulta ungasto total de 84 ¿.

11.3. Internet

El uso de internet ha sido fundamental para poder llevar acabo, tanto el desarrollodel codigo, como la realizacion del proyecto en su conjunto, sirviendo como unaimportante fuente para la busqueda de informacion y documentacion. De igual modo,tambien ha permitido la coordinacion con el profesor tutor para la supervision deltrabajo realizado.

Una tarifa basica de conexion a internet tiene un coste aproximado de 16 ¿ almes con IVA incluido y permanencia obligada de un ano de contrato. Por lo tanto,el coste total asociado a este servicio es de 192 ¿.

11.4. ELECTRICIDAD 131

11.4. Electricidad

Tambien debe ser considerado el coste asociado al consumo electrico durante eldiseno y ejecucion del programa, basicamente como consecuencia del uso del orde-nador portatil. Se va despreciar la electricidad consumida por el alumbrado de lazona de trabajo.

Dejando de lado los costes asociados al termino de potencia (contratada), unvalor medio de la tarifa electrica actualmente en Espana se situa en torno a los 0,14¿/kWh, con un impuesto sobre electricidad del 5,1127 % sobre la energıa consumiday un IVA del 21 % sobre el total.

La potencia del ordenador portatil ronda los 80 W . Si se consideran que las 400horas de trabajo realizado corresponden al uso de este dispositivo, aunque no sea deltodo cierto (por tiempo dedicado en bibliotecas), se habra consumido una energıade 32 kWh.

Aplicando los datos de la tarifa electrica para calcular el coste de la energıaconsumida, resulta un precio de 4,5 ¿. No se van a aplicar los impuestos. El costepor electricidad se va a considerar despreciable, comparado con el resto de partidas,debido a su escaso valor.

11.5. Asesoramiento

De igual modo, se va contabilizar el tiempo de dedicacion del profesor tutoral asesoramiento sobre el desarrollo del proyecto. Se ha estimado un numero totalaproximado de 30 horas.

Siguiendo el mismo razonamiento que el realizado en la primera partida, el salariomedio de un profesor titular universitario ronda los 2000 ¿ netos al mes por jornadacompleta (8 horas diarias durante 20 dıas al mes), es decir, unos 12,5 ¿/h. En total,el coste resultante por asesoramiento del profesor tutor es de 375 ¿.

11.6. Edicion y maquetacion

En edicion y maquetacion se engloban los costes asociados a gastos en reprografıapara la realizacion de copias fısicas del proyecto. En total 100 ¿.

11.7. Otros costes

En esta partida se van a incluir otros costes como son los de papelerıa (bolıgrafos,hojas de papel), transporte (desplazamientos a tutorıas, bibliotecas), depreciaciondel ordenador, etc. Se ha estimado una cifra orientativa de 150 ¿.

132 CAPITULO 11. ESTUDIO ECONOMICO

11.8. Coste total del proyecto

Se va a representar la informacion de la inversion realizada en el proyecto en latabla (11.1) para un desglose mas claro del coste de cada partida:

PARTIDA COSTE (¿)

Trabajo Propio 1600Licencias 84Internet 192

Electricidad -Asesoramiento 375

Edicion y maquetacion 100Otros costes 150

TOTAL 2501

Tabla 11.1: Coste total del proyecto.

De esta forma, el coste total del proyecto asciende a 2500 ¿. A rasgos generales,resulta rentable ya que se podrıan ahorrar unas cantidades de dinero superiores alas invertidas en la optimizacion del diseno de nuevas instalaciones y ampliacion delas ya existentes.

Ademas, habrıa que destacar que existen algunas partidas con productos resi-duales aprovechables, tales como la licencia de Matlab y la conexion a internet, queal tener caracter anual, se pueden seguir utilizando una vez concluido el proyecto.

Por ello, un posible perfeccionamiento continuado del programa serıa un factora considerar, ya que parte de la inversion ya esta realizada, y el coste final del nuevoproyecto de ampliacion se verıa reducido en este sentido.



DOCUMENTO III: ANEXOS

Apendice A

Codigo de la herramienta

Para la realizacion del presente trabajo se han disenado una serie de algoritmosque permitan encontrar las soluciones del caso estudiado. La estructura del codigode la herramienta se compone de una parte central que actua como cuerpo principaldel programa, denominada codigo fuente, y de una serie de modulos secundariosque son ejecutados por estos comandos directores y con los que intercambian datos.Estos modulos secundarios, por orden de ejecucion, son:

datos entrada. Carga de los datos representativos del caso de estudio (pro-piedades del terreno, tipo de cable, condiciones de frontera, caracterısticastransitorias, etc.).

mallado inicial. Creacion del mallado inicial.

resolucion problemaRP. Resolucion del problema termico en regimen perma-nente. Se divide, a su vez, en cuatro submodulos:

inicializacion matricesRP. Define las dimensiones de las matrices emplea-das para resolver el problema termico en regimen permanente. Acelera elcodigo.

posicion caracterizacionRP. Posicionamiento del cable en el terreno y ca-racterizacion de las propiedades de cada elemento del caso de estudio enregimen permanente.

matrizARP. Construccion de la matriz de coeficientes A en regimen per-manente.

vectorcRP. Construccion del vector de terminos independientes c en regi-men permanente.

representacionesRP. Creacion de representaciones graficas de los resultados enregimen permanente.

gradiente termico. Evaluacion de los gradientes termicos entre nodos del casode estudio.

135

136 APENDICE A. CODIGO DE LA HERRAMIENTA

mallado inteligente. Creacion del mallado inteligente adaptativo.

resolucion problemaRT. Resolucion del problema termico en regimen transito-rio. Se divide, a su vez, en cinco submodulos:

inicializacion matricesRT. Define las dimensiones de las matrices emplea-das para resolver el problema termico en regimen transitorio. Acelera elcodigo.

posicion caracterizacionRT. Posicionamiento del cable en el terreno y ca-racterizacion de las propiedades de cada elemento del caso de estudio enregimen transitorio.

matriz sigma. Construccion de la matriz sigma σ.

matrizART. Construccion de la matriz de coeficientes A en regimen tran-sitorio.

vectorcRT. Construccion del vector de terminos independientes c en regi-men transitorio.

representacionesRT Creacion de representaciones graficas de los resultados enregimen transitorio.

animacion. Creacion de una animacion con las representaciones graficas obte-nidas para el estudio transitorio.

INICIO CÓDIGO FUENTE

LIMPIEZA WORKSPACE Y COMMAND WINDOW

(clear)(clc)

CREACIÓN DEL MALLADO INICIAL

(mallado_inicial)

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA FÍSICO PERMANENTE

(resolucion_problemaRP)

REPRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS

(representacionesRP)

APLICACIÓN DEL MALLADO ADAPTATIVO INTELIGENTE

(gradiente_termico)(mallado_inteligente)

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA FÍSICO PERMANENTE

(resolucion_problemaRP)


(representacionesRP)

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA FÍSICO TRANSITORIO

(resolucion_problemaRT)


(representacionesRT)

FIN CÓDIGO FUENTE

CARGA DE LOS DATOS DE TRABAJO

(datos_entrada)

RÉGIMEN PERMANENTE(CON MALLADO INICIAL)

RÉGIMEN PERMANENTE(CON MALLADO INTELIGENTE)

RÉGIMEN TRANSITORIO(CON MALLADO INTELIGENTE)

codigo_fuente


A.1. codigo fuente

1 % LIMPIEZA DE VARIABLES Y PANTALLA − INICIACION CODIGO2 c l e a r3 c l c4 %CARGA DE DATOS DE TRABAJO5 datos entrada ;

6 %REGIMEN PERMANENTE

7 %CREACION DEL MALLADO INICIAL8 m a l l a d o i n i c i a l ;

9 %RESOLUCION DEL PROBLEMA FISICO PERMANENTE10 resolucion problemaRP ;

11 %REPRESENTACION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS12 representac ionesRP ;

13 % APLICACION DEL MALLADO ADAPTATIVO INTELIGENTE14 g rad i en t e t e rm i co ;15 m a l l a d o i n t e l i g e n t e ;

16 %RESOLUCION DEL PROBLEMA FISICO PERMANENTE (MALLADO ADAPTATIVOINTELIGENTE)

17 resolucion problemaRP ;

18 %REPRESENTACION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS (MALLADO ADAPTATIVOINTELIGENTE)

19 representac ionesRP ;

20 %REGIMEN TRANSITORIO

21 %RESOLUCION DEL PROBLEMA FISICO TRANSITORIO22 resolucion problemaRT ;

23 %REPRESENTACION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS24 representac ionesRT ;

A.2. DATOS ENTRADA 139

A.2. datos entrada

1 % CARACTERISTICAS DEL TERRENO2 Lx=2; % Longitud de l t e r r eno r e spe c to de l e j e X ( anchura ) . [m]3 Ly=2; % Longitud de l t e r r eno r e spe c to de l e j e Y ( a l t u r a ) . [m]4 Nx=85; % Numero i n i c i a l de d i v i s i o n e s de l ong i tud h o r i z o n t a l de l

t e r r eno . [− ]5 Ny=85; % Numero i n i c i a l de d i v i s i o n e s de l ong i tud v e r t i c a l de l

t e r r eno . [− ]6 kt =1; % Conductividad t e rmica de l t e r r eno . [W/(K*m) ]7 rho t =1250; % Densidad de l t e r r eno . [ kg/m3]8 cp t =1850; % Calor e s p e c ı f i c o de l t e r r eno . [ J /(K*kg ) ]

9 % CARACTERISTICAS DE LOS CONTORNOS DEL TERRENO − CONVECCION10 ha=5; % C o e f i c i e n t e de p e l ı c u l a de l a i r e ( capa a i r e ) . [W/(K*m2) ]11 hf =10; % C o e f i c i e n t e de p e l ı c u l a de l agua ( capa f r e a t i c a ) . [W/(K*m2)

]12 Ta=20; % Temperatura de l a i r e . [ ºC ]13 Tf=10; % Temperatura de l agua . [ ºC ]

14 % CARACTERISTICAS DEL CABLE − CABLE EPROTENAX H COMPACT 18/30 kV (400mm2 Al )

15 Rconductor =11.284/(1000) ; % Radio p o s i c i o n de l conductor . [m] (Diametro : 22 .568 mm) ( Aluminio )

16 kcon =240; % Conductividad t e rmica de l conductor . [W/(K*m) ]17 rho con =2700; % Densidad de l conductor . [ kg/m3]18 cp con =924; % Calor e s p e c ı f i c o de l conductor . [ J /(K*kg ) ]19 Rcapasemiinter =12.3/(1000) ; % Radio p o s i c i o n de l a capa

semiconductora in t e rna . [m] ( Espesor : 1 .02 mm)20 k c s i =300; % Conductividad t e rmica de l a capa semiconductora in t e rna .

[W/(K*m) ]21 r h o c s i =4500; % Densidad de l a capa semiconductora in t e rna . [ kg/m3]22 c p c s i =650; % Calor e s p e c ı f i c o de l a capa semiconductora in t e rna . [ J

/(K*kg ) ]23 Rais lamiento =18.5/(1000) ; % Radio p o s i c i o n de l a i s l am i en to . [m] (

Espesor : 6 . 2 mm)24 k a i s =0.2 ; % Conductividad t e rmica de l a i s l am i en to . [W/(K*m) ]25 r h o a i s =1300; % Densidad de l a i s l am i en to . [ kg/m3]26 c p a i s =1300; % Calor e s p e c ı f i c o de l a i s l am i en to . [ J /(K*kg ) ]27 Rcapasemiexter =19.65/(1000) ; % Radio p o s i c i o n de l a capa

semiconductora externa . [m] ( Espesor : 1 .15 mm)28 kcse =110; % Conductividad t e rmica de l a capa semiconductora externa .

[W/(K*m) ]29 rho c s e =2300; % Densidad de l a capa semiconductora externa . [ kg/m3]30 cp c se =1100; % Calor e s p e c ı f i c o de l a capa semiconductora externa . [

J /(K*kg ) ]31 Rpantal la =19.85/(1000) ; % Radio p o s i c i o n de l a pa n ta l l a met a l i ca . [m]

( Espesor : 0 . 2 mm) ( Cobre )32 kpan=380; % Conductividad t e rmica de l a pa n ta l l a met a l i ca . [W/(K*m) ]33 rho pan =8890; % Densidad de l a pan ta l l a met a l i ca . [ kg/m3]34 cp pan =388; % Calor e s p e c ı f i c o de l a pa n ta l l a met a l i ca . [ J /(K*kg ) ]35 Rcubierta =22.85/(1000) ; % Radio p o s i c i o n de l a cub i e r t a externa . [m]

( Espesor : 3 mm)36 kcub =0.3 ; % Conductividad t e rmica de l a c ub i e r t a externa . [W/(K*m) ]37 rho cub =980; % Densidad de l a cub i e r t a externa . [ kg/m3]


38 cp cub =1800; % Calor e s p e c ı f i c o de l a cub i e r t a externa . [ J /(K*kg ) ]

39 % CARACTERISTICAS DE POSICIONAMIENTO DEL CABLE40 xcentro=Lx /2 ; % Pos i c i o n de l centro de l cab l e r e spe c to de l e j e X. [m]41 ycentro =1; % Pos i c i o n de l centro de l cab l e r e spe c to de l e j e Y. [m]

42 % CARACTERISTICAS DE OPERACION DEL CABLE43 Rfase =0.105/1000; % R e s i s t e n c i a de f a s e de l conductor . [ Ohmios/m]44 I f a s e =642.5; % Intens idad de f a s e de l conductor . [A]45 Wg=3*Rfase * I f a s e ˆ2 ; % Calor generado en e l conductor de l cab l e debido

a p e rd idas por e f e c t o Joule . [W]

46 % CARACTERISTICAS DE LOS MALLADOS − PRECISION DEL MALLADO47 Fr =0.9 ; %MALLADO INICIAL . Factor de reducc i on p rog r e s i vo de l mallado

.48 gradtemp =800; %MALLADO INTELIGENTE. Gradiente maximo de temperatura

admis ib l e ent re dos nodos cont iguos . [ ºC/m]

49 % CARACTERISTICAS TEMPORALES (REGIMEN TRANSITORIO)50 dt =180; % I n t e r v a l o de tiempo ent re medic iones . [ s ]51 Nt=20; % Numero de i n s t a n t e s cons ide rados . [− ]52 Ni=Nt /2 ; % Numero de i n s a n t e s con v a r i a c i o n de in t en s idad . [− ]53 Ivar =630; % Nueva in t en s idad temporal de f a s e de l conductor . [A]

A.3. MALLADO INICIAL 141

A.3. mallado inicial

1 %CREACION DEL MALLADO INICIAL DE TRABAJO

2 %EVALUACION HORIZONTAL3 SumFrx=0;4 i f rem (Nx, 2 )==05 for i =1:Nx/2−16 SumFrx=SumFrx+Frˆ i ;7 end8 Fdx=(Lx/2) /(1+SumFrx) ;9 for i =1:Nx/2

10 dx ( i )=Fdx*Fr ˆ( i −1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n del a anchura de l t e r r eno . [m]

11 end12 for i=Nx/2+1:Nx13 dx ( i )=dx (Nx−i +1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n de l a

anchura de l t e r r eno . [m]14 end15 else16 for i =1:Nx/2−0.517 SumFrx=SumFrx+Frˆ i ;18 end19 Fdx=(Lx/2) /((1+SumFrx)−((Fr ˆ(Nx/2−0.5) ) /2) ) ;20 for i =1:Nx/2+0.521 dx ( i )=Fdx*Fr ˆ( i −1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n de

l a anchura de l t e r r eno . [m]22 end23 for i=Nx/2+1.5:Nx24 dx ( i )=dx (Nx−i +1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n de l a

anchura de l t e r r eno . [m]25 end26 end

27 %EVALUACION VERTICAL28 SumFry=0;29 i f rem (Ny, 2 )==030 for i =1:Ny/2−131 SumFry=SumFry+Frˆ i ;32 end33 Fdy=(Ly/2) /(1+SumFry) ;34 for i =1:Ny/235 dy ( i )=Fdy*Fr ˆ( i −1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n de

l a a l t u r a de l t e r r eno . [m]36 end37 for i=Ny/2+1:Ny38 dy ( i )=dy (Ny−i +1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n de l a

a l t u r a de l t e r r eno . [m]39 end40 else41 for i =1:Ny/2−0.542 SumFry=SumFry+Frˆ i ;43 end44 Fdy=(Ly/2) /((1+SumFry)−((Fr ˆ(Ny/2−0.5) ) /2) ) ;45 for i =1:Ny/2+0.5


46 dy ( i )=Fdy*Fr ˆ( i −1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n del a a l t u r a de l t e r r eno . [m]

47 end48 for i=Ny/2+1.5:Ny49 dy ( i )=dy (Ny−i +1) ; % Vector de l ong i tud de cada d i v i s i o n de l a

a l t u r a de l t e r r eno . [m]50 end51 end

A.4. resolucion problemaRP

1 % INICIALIZACION DE MATRICES2 i n i c i a l i z a c i o n m a t r i c e s R P ;

3 %CONSTRUCCION DE LAS MATRICES Y VECTORES DEL PROBLEMA4 p o s i c i o n c a r a c t e r i z a c i o n R P ; % Pos ic ionamiento de l cab l e y

c a r a c t e r i z a c i o n de propiedades .5 matrizARP ; % Construcc i on de l a matr iz de c o e f i c i e n t e s A.6 vectorcRP ; % Construcc i on de l vec to r de t e rminos independ i ente s c .

7 %RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES8 T=A\c ; % Vector (Ny*Nx, 1 ) de s o l u c i o n e s . Contiene l a temperatura de

cada nodo . [ ºC ]9 T=reshape (T, Ny,Nx) % Redimensionado . Paso de vec to r (Ny*Nx, 1 ) a

matr iz (Ny,Nx) .

A.5. inicializacion matricesRP

1 % DEFINICION PREVIA DEL TAMANO DE LAS MATRICES − OPTIMIZACION DEL

CODIGO2 A=ze ro s (Ny*Nx,Ny*Nx) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l a matr iz de

c o e f i c i e n t e s A.3 k=ze ro s (Ny,Nx) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l a matr iz de conduct iv idad

t e rmica k .4 c=ze ro s (Ny*Nx, 1 ) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l vec to r de t e rminos

indepenc i en t e s c .5 T=ze ro s (Ny*Nx, 1 ) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l vec to r de temperaturas

T.

A.6. POSICION CARACTERIZACIONRP 143

A.6. posicion caracterizacionRP

1 %CREACION DE LOS VECTORES DE POSICION2 sumadx=0; % I n i c i a l i z a c i o n de l contador .3 sumady=0; % I n i c i a l i z a c i o n de l contador .4 for i =1:Ny5 sumady=sumady+dy ( i ) ;6 Py( i )=sumady−dy ( i ) /2 ; % Vector de p o s i c i o n v e r t i c a l de cada nodo .7 end8 for i =1:Nx9 sumadx=sumadx+dx ( i ) ;

10 Px( i )=sumadx−dx ( i ) /2 ; % Vector de p o s i c i o n h o r i z o n t a l de cadanodo .

11 end

12 %CARACTERIZACION DE LAS PROPIEDADES DEL TERRENO Y DETERMINACION DE LASUPERFICIE DEL CONDUCTOR

13 Sconductor =0; % I n i c i a l i z a c i o n de l contador .14 for i =1:Ny15 for j =1:Nx16 i f ( ( Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=Rconductor ˆ2 %

CONDUCTOR17 k ( i , j )=kcon ;18 Sconductor=Sconductor+(dx ( j ) *dy ( i ) ) ;19 else i f Rconductor ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=

Rcapasemiinter ˆ2 %CAPA SEMICONDUCTORA INTERNA20 k ( i , j )=k c s i ;21 else i f Rcapasemiinter ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro )

ˆ2)<=Rais lamiento ˆ2 % AISLAMIENTO22 k ( i , j )=k a i s ;23 else i f Rais lamiento ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)

<=Rcapasemiexter ˆ2 %CAPA SEMICONDUCTORA EXTERNA24 k ( i , j )=kcse ;25 else i f Rcapasemiexter ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro )

ˆ2)<=Rpantal la ˆ2 %PANTALLA METALICA26 k ( i , j )=kpan ;27 else i f Rpantal la ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=

Rcubierta ˆ2 %CUBIERTA EXTERNA28 k ( i , j )=kcub ;29 else %TERRENO30 k ( i , j )=kt ;31 end32 end33 end34 end35 end36 end37 end38 end


A.7. matrizARP

1 %COLOCACION DE LOS NODOS SITUADOS EN LAS ESQUINAS2 % ESQUINA SUPERIOR IZQUIERDA (T−1 ,1)3 A(1 , 1 )=−(ha*dx (1 ) +((k (1 , 1 ) *dy (1 )+k (2 , 1 ) *dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx (1 )

/( dy (1 )/2+dy (2) /2) ) +((k (1 , 1 ) *dx (1 )+k (1 , 2 ) *dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2 ) ) ) *(dy (1 ) /( dx (1 )/2+dx (2) /2) ) ) ; % T−1,1

4 A(1 , 2 ) =((k (1 , 1 ) *dy (1 )+k (2 , 1 ) *dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx (1 ) /( dy (2 )/2+dy(1) /2) ) ; % T−2,1

5 A(1 ,Ny+1)=((k (1 , 1 ) *dx (1 )+k (1 , 2 ) *dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy (1 ) /( dx (2 )/2+dx (1) /2) ) ; % T−1,2

6 % ESQUINA INFERIOR IZQUIERDA (T−Ny, 1 )7 A(Ny,Ny)=−(hf *dx (1 ) +((k (Ny, 1 ) *dy (Ny)+k (Ny−1 ,1)*dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (

Ny−1) ) ) *( dx (1 ) /( dy (Ny)/2+dy (Ny−1)/2) ) +((k (Ny, 1 ) *dx (1 )+k (Ny, 2 ) *dx(2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy (Ny) /( dx (1 )/2+dx (2) /2) ) ) ; % T−Ny, 1

8 A(Ny, Ny−1)=((k (Ny, 1 ) *dy (Ny)+k (Ny−1 ,1)*dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *(dx (1 ) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) ; % T−Ny−1,1

9 A(Ny,2*Ny) =((k (Ny, 1 ) *dx (1 )+k (Ny, 2 ) *dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy (Ny) /( dx(2 )/2+dx (1) /2) ) ; % T−Ny, 2

10 % ESQUINA SUPERIOR DERECHA (T−1,Nx)11 A(Ny*Nx−(Ny−1) ,Ny*Nx−(Ny−1) )=−(ha*dx (Nx) +((k (1 ,Nx) *dy (1 )+k (2 ,Nx) *dy

(2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx (Nx) /( dy (1 )/2+dy (2) /2) ) +((k (1 ,Nx) *dx (Nx)+k(1 ,Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (1 ) /( dx (Nx)/2+dx (Nx−1)/2) ) ) ; % T−1,Nx

12 A(Ny*Nx−(Ny−1) ,Ny*Nx−(Ny−2) ) =((k (1 ,Nx) *dy (1 )+k (2 ,Nx) *dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy(2) ) ) *( dx (Nx) /( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) ; % T−2,Nx

13 A(Ny*Nx−(Ny−1) ,Ny*Nx−2*Ny+1)=((k (1 ,Nx) *dx (Nx)+k (1 ,Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx(Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (1 ) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ; % T−1,Nx−1

14 % ESQUINA INFERIOR DERECHA (T−Ny,Nx)15 A(Ny*Nx,Ny*Nx)=−(hf *dx (Nx) +((k (Ny,Nx) *dy (Ny)+k (Ny−1,Nx) *dy (Ny−1) ) /( dy

(Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny)/2+dy (Ny−1)/2) ) +((k (Ny,Nx) *dx (Nx)+k (Ny, Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx)/2+dx (Nx−1)/2) ) ) ; % T−Ny,Nx

16 A(Nx*Ny,Nx*Ny−1)=((k (Ny,Nx) *dy (Ny)+k (Ny−1,Nx) *dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) ; % T−Ny−1,Nx

17 A(Nx*Ny,Nx*Ny−Ny) =((k (Ny,Nx) *dx (Nx)+k (Ny, Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ; % T−Ny, Nx−1

18 %COLOCACION DE LOS NODOS SITUADOS EN LOS LATERALES19 for i =1:Ny−220 %PARTE EXTERIOR IZQUIERDA (T−i +1 ,1)21 A( i +1, i +1)=−(((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i , 1 ) *dy ( i ) ) /( dy ( i +1)+dy ( i ) ) ) *( dx

(1 ) /( dy ( i +1)/2+dy ( i ) /2) ) +((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i +2 ,1)*dy ( i +2) ) /(dy ( i +1)+dy ( i +2) ) ) *( dx (1 ) /( dy ( i +1)/2+dy ( i +2)/2) ) +((k ( i +1 ,1)*dx(1 )+k ( i +1 ,2)*dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy ( i +1)/( dx (1 )/2+dx (2) /2) ) ); % T−i +1,1

22 A( i +1, i ) =((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i , 1 ) *dy ( i ) ) /( dy ( i +1)+dy ( i ) ) ) *( dx (1 ) /(dy ( i )/2+dy ( i +1)/2) ) ; % T−i , 1

23 A( i +1, i +2)=((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i +2 ,1)*dy ( i +2) ) /( dy ( i +1)+dy ( i +2) ) )*( dx (1 ) /( dy ( i +2)/2+dy ( i +1)/2) ) ; % T−i +2,1

24 A( i +1, i+Ny+1)=((k ( i +1 ,1)*dx (1 )+k ( i +1 ,2)*dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy ( i+1)/( dx (2 )/2+dx (1) /2) ) ; % T−i +1,2

25 %PARTE EXTERIOR DERECHA (T−Ny−i ,Nx)

A.7. MATRIZARP 145

26 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−i ) =−(((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i +1,Nx) *dy (Ny−i +1) )/( dy (Ny−i +1)+dy (Ny−i ) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i )/2+dy (Ny−i +1)/2) ) +((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i −1,Nx) *dy (Ny−i −1) ) /( dy (Ny−i −1)+dy (Ny−i )) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i )/2+dy (Ny−i −1)/2) ) +((k (Ny−i ,Nx) *dx (Nx)+k (Ny−i , Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (Ny−i ) /( dx (Nx)/2+dx (Nx−1)/2) ) ) ; % T−Ny−i ,Nx

27 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−i +1)=((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i +1,Nx) *dy (Ny−i +1) )/( dy (Ny−i +1)+dy (Ny−i ) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i +1)/2+dy (Ny−i ) /2) ) ; % T−Ny−i +1,Nx

28 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−i −1)=((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i −1,Nx) *dy (Ny−i −1) )/( dy (Ny−i −1)+dy (Ny−i ) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i −1)/2+dy (Ny−i ) /2) ) ; % T−Ny−i −1,Nx

29 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−Ny−i ) =((k (Ny−i ,Nx) *dx (Nx)+k (Ny−i , Nx−1)*dx (Nx−1) ) /(dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (Ny−i ) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ; % T−Ny−i , Nx−1

30 end31 for i =1:Nx−232 %PARTE EXTERIOR SUPERIOR (T−1, i +1)33 A(Ny* i +1,Ny* i +1)=−(ha*dx ( i +1)+((k (1 , i +1)*dy (1 )+k (2 , i +1)*dy (2 ) ) /( dy

(1 )+dy (2) ) ) *( dx ( i +1)/( dy (1 )/2+dy (2) /2) ) +((k (1 , i +1)*dx ( i +1)+k (1 ,i ) *dx ( i ) ) /( dx ( i )+dx ( i +1) ) ) *( dy (1 ) /( dx ( i +1)/2+dx ( i ) /2) ) +((k (1 , i+1)*dx ( i +1)+k (1 , i +2)*dx ( i +2) ) /( dx ( i +1)+dx ( i +2) ) ) *( dy (1 ) /( dx ( i+1)/2+dx ( i +2)/2) ) ) ; % T−1, i+1

34 A(Ny* i +1,Ny* i +2)=((k (1 , i +1)*dy (1 )+k (2 , i +1)*dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy (2 ) ) ) *(dx ( i +1)/( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) ; % T−2, i+1

35 A(Ny* i +1,Ny* i−Ny+1)=((k (1 , i +1)*dx ( i +1)+k (1 , i ) *dx ( i ) ) /( dx ( i )+dx ( i +1)) ) *( dy (1 ) /( dx ( i )/2+dx ( i +1)/2) ) ; % T−1, i

36 A(Ny* i +1 ,( i +1)*Ny+1)=((k (1 , i +1)*dx ( i +1)+k (1 , i +2)*dx ( i +2) ) /( dx ( i +1)+dx ( i +2) ) ) *( dy (1 ) /( dx ( i +2)/2+dx ( i +1)/2) ) ; %T−1, i+2

37 %PARTE EXTERIOR INFERIOR (T−Ny, Nx−i )38 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−Ny* i )=−(hf *dx (Nx−i ) +((k (Ny, Nx−i ) *dy (Ny)+k (Ny−1,

Nx−i ) *dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx−i ) /( dy (Ny)/2+dy (Ny−1)/2) ) +((k (Ny, Nx−i ) *dx (Nx−i )+k (Ny, Nx−i +1)*dx (Nx−i +1) ) /( dx (Nx−i )+dx (Nx−i +1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−i )/2+dx (Nx−i +1)/2) ) +((k (Ny, Nx−i ) *dx(Nx−i )+k (Ny, Nx−i −1)*dx (Nx−i −1) ) /( dx (Nx−i )+dx (Nx−i −1) ) ) *( dy (Ny)/( dx (Nx−i )/2+dx (Nx−i −1)/2) ) ) ; % T−Ny, Nx−i

39 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−Ny* i −1)=((k (Ny, Nx−i ) *dy (Ny)+k (Ny−1,Nx−i ) *dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx−i ) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) ; % T−Ny−1,Nx−i

40 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−( i −1)*Ny) =((k (Ny, Nx−i ) *dx (Nx−i )+k (Ny, Nx−i +1)*dx (Nx−i +1) ) /( dx (Nx−i )+dx (Nx−i +1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−i +1)/2+dx (Nx−i )/2) ) ; % T−Ny, Nx−i+1

41 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−( i +1)*Ny) =((k (Ny, Nx−i ) *dx (Nx−i )+k (Ny, Nx−i −1)*dx (Nx−i −1) ) /( dx (Nx−i )+dx (Nx−i −1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−i −1)/2+dx (Nx−i )/2) ) ; % T−Ny, Nx−i−1

42 end

43 %COLOCACION DE LOS NODOS INTERIORES44 %PARTE INTERIOR (T−i +1, j +1)45 for j =1:Nx−246 for i =1:Ny−247 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i +1)=−(((k ( i +1, j +1)*dy ( i +1)+k ( i +2, j +1)*dy ( i +2) ) /(

dy ( i +1)+dy ( i +2) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i +1)/2+dy ( i +2)/2) ) +((k ( i +1, j+1)*dy ( i +1)+k ( i , j +1)*dy ( i ) ) /( dy ( i +1)+dy ( i ) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i


+1)/2+dy ( i ) /2) ) +((k ( i +1, j +1)*dx ( j +1)+k ( i +1, j +2)*dx ( j +2) ) /( dx (j +1)+dx ( j +2) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j +1)/2+dx ( j +2)/2) ) +((k ( i +1, j +1)*dx ( j +1)+k ( i +1, j ) *dx ( j ) ) /( dx ( j +1)+dx ( j ) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j +1)/2+dx ( j ) /2) ) ) ; % T−i +1, j+1

48 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i +2)=((k ( i +1, j +1)*dy ( i +1)+k ( i +2, j +1)*dy ( i +2) ) /( dy( i +1)+dy ( i +2) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i +2)/2+dy ( i +1)/2) ) ; % T−i +2, j+1

49 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i ) =((k ( i +1, j +1)*dy ( i +1)+k ( i , j +1)*dy ( i ) ) /( dy ( i +1)+dy ( i ) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i )/2+dy ( i +1)/2) ) ; % T−i , j+1 A(Ny* j+i+1,Ny*( j +1)+i +1)=((k ( i +1, j +1)*dx ( j +1)+k ( i +1, j +2)*dx ( j +2) ) /( dx( j +1)+dx ( j +2) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j +2)/2+dx ( j +1)/2) ) ; % T−i +1, j+2

50 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i+1−Ny) =((k ( i +1, j +1)*dx ( j +1)+k ( i +1, j ) *dx ( j ) ) /( dx (j +1)+dx ( j ) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j )/2+dx ( j +1)/2) ) ; % T−i +1, j

51 end52 end

A.8. vectorcRP

1 %COLOCACION DE LOS NODOS CON FENOMENOS DE CONVECCION2 for i =1:Nx3 c(1+Ny*( i −1) ,1 )=−ha*dx ( i ) *Ta ; % T−1, i4 c (Ny+Ny*( i −1) ,1 )=−hf *dx ( i ) *Tf ; % T−Ny, i5 end

6 %COLOCACION DE LOS NODOS CON FENOMENOS DE GENERACION DE CALOR7 for i =1:Ny8 for j =1:Nx9 i f ( ( Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=Rconductor ˆ2 %

GENERACION DE CALOR EN EL SENO DEL CONDUCTOR DEL CABLE10 c (Ny*( j−1)+i , 1 )=−Wg* ( ( dx ( j ) *dy ( i ) ) / Sconductor ) ; % T−i , j (

Dentro de l o s l ı m i t e s de l conductor )11 end12 end13 end

A.9. REPRESENTACIONESRP 147

A.9. representacionesRP

1 x =1:1:Nx ; %D e f i n i c i o n v e c t o r e s r e p r e s e n t a c i o n2 y =1:1 :Ny ;3 f i g u r e4 s u r f (x , y ,T) ;5 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 2 0 ] )6 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas segun e l numero de nodos ’ )7 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )8 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )9 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )

10 co l o rba r11 f i g u r e12 s u r f a c e (x , y ,T) ;13 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )14 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas segun e l numero de nodos ’ )15 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )16 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )17 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )18 co l o rba r19 f i g u r e20 s u r f (Px , Py ,T) ;21 a x i s ( [ 0 Lx 0 Ly 0 1 2 0 ] )22 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas segun l a p o s i c i o n de l o s nodos ’ )23 x l a b e l ( ’ Pos i c i o n de l nodo en e l e j e X ’ )24 y l a b e l ( ’ Pos i c i o n de l nodo en e l e j e Y ’ )25 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )26 co l o rba r27 f i g u r e28 s u r f a c e (Px , Py ,T) ;29 a x i s ( [ 0 Lx 0 Ly ] )30 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas segun l a p o s i c i o n de l o s nodos ’ )31 x l a b e l ( ’ Pos i c i o n de l nodo en e l e j e X ’ )32 y l a b e l ( ’ Pos i c i o n de l nodo en e l e j e Y ’ )33 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )34 co l o rba r


A.10. gradiente termico

1 %DETERMINACION DE LOS VECTORES DE GRADIENTES TERMICOS EVALUADOS ENTODO EL TERRENO

2 %EVALUACION ESQUINAS3 % ESQUINA SUPERIOR IZQUIERDA (N−1 ,1)4 Gh(1 , 1 )=abs ( (T(1 , 2 )−T(1 ,1 ) ) ) /( dx (1 )/2+dx (2) /2) ; % N−1,1 // N−1,25 Gv(1 , 1 )=abs ( (T(2 , 1 )−T(1 ,1 ) ) ) /( dy (1 )/2+dy (2) /2) ; % N−1,1 // N−2,16 % ESQUINA SUPERIOR DERECHA (N−1,Nx)7 Gh(1 ,Nx)=abs ( (T(1 ,Nx−1)−T(1 ,Nx) ) ) /( dx (Nx)/2+dx (Nx−1)/2) ; % N−1,Nx //

N−1,Nx−18 Gv(1 ,Nx)=abs ( (T(2 ,Nx)−T(1 ,Nx) ) ) /( dy (1 )/2+dy (2) /2) ; % N−1,Nx // N−2,Nx9 % ESQUINA INFERIOR IZQUIERDA (N−Ny, 1 )

10 Gh(Ny, 1 )=abs ( (T(Ny, 2 )−T(Ny, 1 ) ) ) /( dx (1 )/2+dx (2) /2) ; % N−Ny, 1 // N−Ny,211 Gv(Ny, 1 )=abs ( (T(Ny−1 ,1)−T(Ny, 1 ) ) ) /( dy (Ny)/2+dy (Ny−1)/2) ; % N−Ny, 1 //

N−Ny−1,112 % ESQUINA INFERIOR DERECHA (N−Ny,Nx)13 Gh(Ny,Nx)=abs ( (T(Ny, Nx−1)−T(Ny,Nx) ) ) /( dx (Nx)/2+dx (Nx−1)/2) ; % N−Ny,Nx

// N−Ny,Nx−114 Gv(Ny,Nx)=abs ( (T(Ny−1,Nx)−T(Ny,Nx) ) ) /( dy (Ny)/2+dy (Ny−1)/2) ; % N−Ny,Nx

// N−Ny−1,Nx15 %EVALUACION LATERALES16 for i =1:Ny−217 %LATERAL IZQUIERDO (N−i +1 ,1)18 Gh( i +1 ,1)=abs ( (T( i +1 ,2)−T( i +1 ,1) ) ) /( dx (1 )/2+dx (2) /2) ; % N−i +1,1 //

N−i +1,219 Gv( i +1 ,1)=max( abs ( (T( i , 1 )−T( i +1 ,1) ) ) /( dy ( i +1)/2+dy ( i ) /2) , abs ( (T( i

+2 ,1)−T( i +1 ,1) ) ) /( dy ( i +1)/2+dy ( i +2)/2) ) ; % N−i +1,1 // N−i , 1 //N−i +2,1

20 %LATERAL DERECHO (N−i +1,Nx)21 Gh( i +1,Nx)=abs ( (T( i +1,Nx−1)−T( i +1,Nx) ) ) /( dx (Nx)/2+dx (Nx−1)/2) ; % N−

i +1,Nx // N−i +1,Nx−122 Gv( i +1,Nx)=max( abs ( (T( i ,Nx)−T( i +1,Nx) ) ) /( dy ( i +1)/2+dy ( i ) /2) , abs ( (T(

i +2,Nx)−T( i +1,Nx) ) ) /( dy ( i +1)/2+dy ( i +2)/2) ) ; % N−i +1,Nx // N−i ,Nx // N−i +2,Nx

23 end24 for j =1:Nx−225 %LATERAL SUPERIOR (N−1, j +1)26 Gh(1 , j +1)=max( abs ( (T(1 , j )−T(1 , j +1) ) ) /( dx ( j +1)/2+dx ( j ) /2) , abs ( (T(1 , j

+2)−T(1 , j +1) ) ) /( dx ( j +1)/2+dx ( j +2)/2) ) ; % N−1, j+1 // N−1, j // N−1, j+2

27 Gv(1 , j +1)=abs ( (T(2 , j +1)−T(1 , j +1) ) ) /( dy (1 )/2+dy (2) /2) ; % N−1, j+1 //N−2, j+1

28 %LATERAL INFERIOR (N−Ny, j +1)29 Gh(Ny, j +1)=max( abs ( (T(Ny, j )−T(Ny, j +1) ) ) /( dx ( j +1)/2+dx ( j ) /2) , abs ( (T(

Ny, j +2)−T(Ny, j +1) ) ) /( dx ( j +1)/2+dx ( j +2)/2) ) ; % N−Ny, j+1 // N−Ny,j // N−Ny, j+2

30 Gv(Ny, j +1)=abs ( (T(Ny−1, j +1)−T(Ny, j +1) ) ) /( dy (Ny)/2+dy (Ny−1)/2) ; % N−Ny, j+1 // N−Ny−1, j+1

31 end

32 %EVALUACION CENTRO (N−i +1, j +1)33 for i =1:Ny−234 for j =1:Nx−2

A.10. GRADIENTE TERMICO 149

35 Gh( i +1, j +1)=max( abs ( (T( i +1, j )−T( i +1, j +1) ) ) /( dx ( j +1)/2+dx ( j ) /2) ,abs ( (T( i +1, j +2)−T( i +1, j +1) ) ) /( dx ( j +1) )/2+dx ( j +2)/2) ; % N−i +1,j+1 // N−i +1, j // N−i +1, j+2

36 Gv( i +1, j +1)=max( abs ( (T( i , j +1)−T( i +1, j +1) ) ) /( dy ( i +1)/2+dy ( i ) /2) ,abs ( (T( i +2, j +1)−T( i +1, j +1) ) ) /( dy ( i +1) )/2+dy ( i +2)/2) ; % N−i +1,j+1 // N−i , j+1 // N−i +2, j+1

37 end38 end

39 %DETERMINACION DE LOS VECTORES DE GRADIENTES TERMICOS MAXIMOS40 for i =1:Ny41 Gvm( i )=max(Gv( i , : ) ) ;42 end43 for j =1:Nx44 Ghm( j )=max(Gh( : , j ) ) ;45 end


A.11. mallado inteligente

1 %EVALUACION VERTICAL2 Nyf=0; % I n i c i a c i o n de contadores .3 Nyi=1;4 Nym=0;5 SGvm=0;6 Sdy=0;7 for i =1:Ny8 i f i<=Ny−19 i f Gvm( i )<gradtemp && Gvm( i +1)<gradtemp

10 SGvm=SGvm+Gvm( i ) ;11 Sdy=Sdy+dy ( i ) ;12 i f SGvm<gradtemp13 else14 Nyi=Nyi+Nym;15 dym=gradtemp/SGvm;16 Nym=f l o o r (1/dym) +1;17 SGvm=0;18 Nyf=Nyf+Nym;19 for j=Nyi : Nyf ;20 ndy ( j )=Sdy/Nym;21 end22 Sdy=0;23 end24 else25 Nyi=Nyi+Nym;26 dym=gradtemp /(SGvm+Gvm( i ) ) ;27 Nym=f l o o r (1/dym) +1;28 SGvm=0;29 Nyf=Nyf+Nym;30 for j=Nyi : Nyf ;31 ndy ( j )=(Sdy+dy ( i ) ) /Nym;32 end33 Sdy=0;34 end35 else36 i f Gvm( i )<gradtemp && Gvm( i −1)<gradtemp37 SGvm=SGvm+Gvm( i ) ;38 Sdy=Sdy+dy ( i ) ;39 Nyi=Nyi+Nym;40 dym=gradtemp/SGvm;41 Nym=f l o o r (1/dym) +1;42 SGvm=0;43 Nyf=Nyf+Nym;44 for j=Nyi : Nyf ;45 ndy ( j )=Sdy/Nym;46 end47 Sdy=0;48 else49 Nyi=Nyi+Nym;50 dym=gradtemp /(SGvm+Gvm( i ) ) ;51 Nym=f l o o r (1/dym) +1;

A.11. MALLADO INTELIGENTE 151

52 SGvm=0;53 Nyf=Nyf+Nym;54 for j=Nyi : Nyf ;55 ndy ( j )=(Sdy+dy ( i ) ) /Nym;56 end57 Sdy=0;58 end59 end60 end

61 %DETERMINACION DE LOS NUEVOS INTERVALOS VERTICALES62 Ny=Nyf ;63 dy=ze ro s (1 ,Ny) ;64 for i =1:Nyf65 dy ( i )=ndy ( i ) ;66 end

67 %EVALUACION HORIZONTAL68 Nxf=0; % I n i c i a c i o n de contadores .69 Nxi=1;70 Nxm=0;71 SGhm=0;72 Sdx=0;73 for i =1:Nx74 i f i<=Nx−175 i f Ghm( i )<gradtemp && Ghm( i +1)<gradtemp76 SGhm=SGhm+Ghm( i ) ;77 Sdx=Sdx+dx ( i ) ;78 i f SGhm<gradtemp79 else80 Nxi=Nxi+Nxm;81 dxm=gradtemp/SGhm;82 Nxm=f l o o r (1/dxm) +1;83 SGhm=0;84 Nxf=Nxf+Nxm;85 for j=Nxi : Nxf ;86 ndx ( j )=Sdx/Nxm;87 end88 Sdx=0;89 end90 else91 Nxi=Nxi+Nxm;92 dxm=gradtemp /(SGhm+Ghm( i ) ) ;93 Nxm=f l o o r (1/dxm) +1;94 SGhm=0;95 Nxf=Nxf+Nxm;96 for j=Nxi : Nxf ;97 ndx ( j )=(Sdx+dx ( i ) ) /Nxm;98 end99 Sdx=0;

100 end101 else102 i f Ghm( i )<gradtemp && Ghm( i −1)<gradtemp103 SGhm=SGhm+Ghm( i ) ;104 Sdx=Sdx+dx ( i ) ;


105 Nxi=Nxi+Nxm;106 dxm=gradtemp/SGhm;107 Nxm=f l o o r (1/dxm) +1;108 SGhm=0;109 Nxf=Nxf+Nxm;110 for j=Nxi : Nxf ;111 ndx ( j )=Sdx/Nxm;112 end113114 Sdx=0;115 else116 Nxi=Nxi+Nxm;117 dxm=gradtemp /(SGhm+Ghm( i ) ) ;118 Nxm=f l o o r (1/dxm) +1;119 SGhm=0;120 Nxf=Nxf+Nxm;121 for j=Nxi : Nxf ;122 ndx ( j )=(dx ( i )+Sdx ) /Nxm;123 end124 Sdx=0;125 end126 end127 end

128 %DETERMINACION DE LOS NUEVOS INTERVALOS HORIZONTALES129 Nx=Nxf ;130 dx=ze ro s (1 ,Nx) ;131 for i =1:Nxf132 dx ( i )=ndx ( i ) ;133 end

A.12. RESOLUCION PROBLEMART 153

A.12. resolucion problemaRT

1 %REESTRUCTURACION DE MATRICES2 T=reshape (T,Ny*Nx, 1 ) , % Redimensionado . Paso de matr iz (Ny,Nx) a

vec to r (Ny*Nx, 1 ) .3 T( : , : , 1 )=T( : , : ) ; % Cons iderac i on de temperaturas i n i c i a l e s en e l

r egimen t r a n s i t o r i o .

4 % INICIALIZACION DE MATRICES5 i n i c i a l i z a c i o n m a t r i c e s R T ;

6 %CONSTRUCCION DE LAS MATRICES Y VECTORES DEL PROBLEMA7 pos i c i o n ca ra c t e r i z a c i o nRT ; % Pos ic ionamiento de l cab l e y

c a r a c t e r i z a c i o n de propiedades .8 matr iz s igma ; % Construcc i on de l a matr iz sigma .9 matrizART ; % Construcc i on de l a matr iz de c o e f i c i e n t e s A.

10 %RESOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES11 for p=1:Nt12 i f p<=Ni % Cambio de c o r r i e n t e en e l cab l e .13 I=Ivar ;14 else15 I=I f a s e ;16 end17 vectorcRT ; % Construcc i on de l vec to r de t e rminos independ i ente s c .18 B( : , : , p )=c ( : , : , 1 )+T( : , : , p ) ;19 T( : , : , p+1)=A( : , : , 1 ) \(B( : , : , p ) ) ;20 end

21 %DETERMINACION DE LA TEMPERATURA MAXIMA EN EL AISLAMIENTO22 for p=1:Nt+123 Tmax ais (p)=max(max(T( : , : , p ) ) ) ; % Determinaci on de l a temperatura

maxima en e l a s i l a n t e para cada i n s t a n t e .24 end25 Tmax ais % Mostrar l o s v a l o r e s por pa n ta l l a

26 %REESTRUCTURACION DE MATRICES (SOLO PARA DETERMINADOS INSTANTES)27 T1=T( : , : , 1 ) ; % Vector (Ny*Nx, 1 ) de s o l u c i o n e s . Contiene l a

temperatura de cada nodo . [ ºC ]28 T1=reshape (T1 , Ny,Nx) ; % Redimensionado . Paso de vec to r (Ny*Nx, 1 ) a

matr iz (Ny,Nx) .29 T6=T( : , : , 6 ) ;30 T6=reshape (T6 , Ny,Nx) ;31 T11=T( : , : , 1 1 ) ;32 T11=reshape (T11 , Ny,Nx) ;33 T16=T( : , : , 1 6 ) ;34 T16=reshape (T16 , Ny,Nx) ;35 T21=T( : , : , 2 1 ) ;36 T21=reshape (T21 , Ny,Nx) ;


A.13. inicializacion matricesRT

1 % DEFINICION PREVIA DEL TAMANO DE LAS MATRICES − OPTIMIZACION DEL

CODIGO2 A=ze ro s (Ny*Nx,Ny*Nx) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l a matr iz de

c o e f i c i e n t e s A.3 k=ze ro s (Ny,Nx) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l a matr iz de conduct iv idad

t e rmica k .4 c=ze ro s (Ny*Nx, 1 ) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l vec to r de t e rminos

indepenc i en t e s c .5 rho=ze ro s (Ny,Nx) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l a matr iz de dens idades

rho .6 cp=ze ro s (Ny,Nx) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l a matr iz de c a l o r e s

e s p e c ı f i c o s cp .7 sigma=ze ro s (Ny,Nx) ; % D e f i n i c i o n de l tamano de l a matr iz sigma .

A.14. posicion caracterizacionRT

1 %CREACION DE LOS VECTORES DE POSICION2 sumadx=0; % I n i c i a l i z a c i o n de l contador .3 sumady=0; % I n i c i a l i z a c i o n de l contador .4 for i =1:Ny5 sumady=sumady+dy ( i ) ;6 Py( i )=sumady−dy ( i ) /2 ; % Vector de p o s i c i o n v e r t i c a l de cada nodo .7 end8 for i =1:Nx9 sumadx=sumadx+dx ( i ) ;

10 Px( i )=sumadx−dx ( i ) /2 ; % Vector de p o s i c i o n h o r i z o n t a l de cadanodo .

11 end

12 %CARACTERIZACION DE LAS PROPIEDADES DEL TERRENO Y DETERMINACION DE LASUPERFICIE DEL CONDUCTOR

13 Sconductor =0; % I n i c i a l i z a c i o n de l contador .14 for i =1:Ny15 for j =1:Nx16 i f ( ( Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=Rconductor ˆ2 %

CONDUCTOR17 k ( i , j )=kcon ;18 rho ( i , j )=rho con ;19 cp ( i , j )=cp con ;20 Sconductor=Sconductor+(dx ( j ) *dy ( i ) ) ;21 else i f Rconductor ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=

Rcapasemiinter ˆ2 %CAPA SEMICONDUCTORA INTERNA22 k ( i , j )=k c s i ;23 rho ( i , j )=r h o c s i ;24 cp ( i , j )=c p c s i ;25 else i f Rcapasemiinter ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro )

ˆ2)<=Rais lamiento ˆ2 % AISLAMIENTO26 k ( i , j )=k a i s ;27 rho ( i , j )=r h o a i s ;

A.15. MATRIZ SIGMA 155

28 cp ( i , j )=c p a i s ;29 else i f Rais lamiento ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)

<=Rcapasemiexter ˆ2 %CAPA SEMICONDUCTORA EXTERNA30 k ( i , j )=kcse ;31 rho ( i , j )=rho c s e ;32 cp ( i , j )=cp cse ;33 else i f Rcapasemiexter ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro )

ˆ2)<=Rpantal la ˆ2 %PANTALLA METALICA34 k ( i , j )=kpan ;35 rho ( i , j )=rho pan ;36 cp ( i , j )=cp pan ;37 else i f Rpantal la ˆ2<((Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=

Rcubierta ˆ2 %CUBIERTA EXTERNA38 k ( i , j )=kcub ;39 rho ( i , j )=rho cub ;40 cp ( i , j )=cp cub ;41 else %TERRENO42 k ( i , j )=kt ;43 rho ( i , j )=rho t ;44 cp ( i , j )=cp t ;45 end46 end47 end48 end49 end50 end51 end52 end

A.15. matriz sigma

1 % DEFINICION DE LA MATRIZ SIGMA (ECONOMIA DE VARIABLES)2 for i =1:Ny3 for j =1:Nx4 sigma ( i , j ) =(( rho ( i , j ) *cp ( i , j ) *dx ( j ) *dy ( i ) ) /dt ) ;5 end6 end


A.16. matrizART

1 %COLOCACION DE LOS NODOS SITUADOS EN LAS ESQUINAS2 % ESQUINA SUPERIOR IZQUIERDA (T−1 ,1)3 A(1 , 1 ) =1+((ha*dx (1 ) +((k (1 , 1 ) *dy (1 )+k (2 , 1 ) *dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx

(1 ) /( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) +((k (1 , 1 ) *dx (1 )+k (1 , 2 ) *dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) )) *( dy (1 ) /( dx (2 )/2+dx (1) /2) ) ) ) / sigma (1 , 1 ) ; % T−1,1

4 A(1 , 2 ) =−(((k (1 , 1 ) *dy (1 )+k (2 , 1 ) *dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx (1 ) /( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) ) / sigma (1 , 1 ) ; % T−2,1

5 A(1 ,Ny+1)=−(((k (1 , 1 ) *dx (1 )+k (1 , 2 ) *dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy (1 ) /( dx (2 )/2+dx (1) /2) ) ) / sigma (1 , 1 ) ; % T−1,2

6 % ESQUINA INFERIOR IZQUIERDA (T−Ny, 1 )7 A(Ny,Ny)=1+(( hf *dx (1 ) +((k (Ny, 1 ) *dy (Ny)+k (Ny−1 ,1)*dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy

(Ny−1) ) ) *( dx (1 ) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) +((k (Ny, 1 ) *dx (1 )+k (Ny, 2 ) *dx(2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy (Ny) /( dx (2 )/2+dx (1) /2) ) ) ) / sigma (Ny, 1 ) ; % T−Ny, 1

8 A(Ny, Ny−1)=−(((k (Ny, 1 ) *dy (Ny)+k (Ny−1 ,1)*dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) )*( dx (1 ) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) ) / sigma (Ny, 1 ) ; % T−Ny−1,1

9 A(Ny,2*Ny) =−(((k (Ny, 1 ) *dx (1 )+k (Ny, 2 ) *dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy (Ny) /(dx (2 )/2+dx (1) /2) ) ) / sigma (Ny, 1 ) ; % T−Ny, 2

10 % ESQUINA SUPERIOR DERECHA (T−1,Nx)11 A(Ny*Nx−(Ny−1) ,Ny*Nx−(Ny−1) )=1+((ha*dx (Nx) +((k (1 ,Nx) *dy (1 )+k (2 ,Nx) *dy

(2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx (Nx) /( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) +((k (1 ,Nx) *dx (Nx)+k(1 ,Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (1 ) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx)/2) ) ) ) / sigma (1 ,Nx) ; % T−1,Nx

12 A(Ny*Nx−(Ny−1) ,Ny*Nx−(Ny−2) ) =−(((k (1 ,Nx) *dy (1 )+k (2 ,Nx) *dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx (Nx) /( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) ) / sigma (1 ,Nx) ; % T−2,Nx

13 A(Ny*Nx−(Ny−1) ,Ny*Nx−2*Ny+1)=−(((k (1 ,Nx) *dx (Nx)+k (1 ,Nx−1)*dx (Nx−1) ) /(dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (1 ) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ) / sigma (1 ,Nx) ; % T−1,Nx−1

14 % ESQUINA INFERIOR DERECHA (T−Ny,Nx)15 A(Ny*Nx,Ny*Nx)=1+(( hf *dx (Nx) +((k (Ny,Nx) *dy (Ny)+k (Ny−1,Nx) *dy (Ny−1) ) /(

dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) +((k (Ny,Nx) *dx (Nx)+k (Ny, Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ) ) / sigma (Ny,Nx) ; % T−Ny,Nx

16 A(Nx*Ny,Nx*Ny−1)=−(((k (Ny,Nx) *dy (Ny)+k (Ny−1,Nx) *dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) ) / sigma (Ny,Nx) ; % T−Ny−1,Nx

17 A(Nx*Ny,Nx*Ny−Ny) =−(((k (Ny,Nx) *dx (Nx)+k (Ny, Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx(Nx−1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ) / sigma (Ny,Nx) ; % T−Ny, Nx−1

18 %COLOCACION DE LOS NODOS SITUADOS EN LOS LATERALES19 for i =1:Ny−220 %PARTE EXTERIOR IZQUIERDA (T−i +1 ,1)21 A( i +1, i +1)=1+((((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i , 1 ) *dy ( i ) ) /( dy ( i +1)+dy ( i ) ) ) *(

dx (1 ) /( dy ( i )/2+dy ( i +1)/2) ) +((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i +2 ,1)*dy ( i +2) )/( dy ( i +1)+dy ( i +2) ) ) *( dx (1 ) /( dy ( i +2)/2+dy ( i +1)/2) ) +((k ( i +1 ,1)*dx(1 )+k ( i +1 ,2)*dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy ( i +1)/( dx (2 )/2+dx (1) /2) ) )) / sigma ( i +1 ,1) ; % T−i +1,1

22 A( i +1, i ) =−(((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i , 1 ) *dy ( i ) ) /( dy ( i +1)+dy ( i ) ) ) *( dx (1 )/( dy ( i )/2+dy ( i +1)/2) ) ) / sigma ( i +1 ,1) ; % T−i , 1

23 A( i +1, i +2)=−(((k ( i +1 ,1)*dy ( i +1)+k ( i +2 ,1)*dy ( i +2) ) /( dy ( i +1)+dy ( i +2) )) *( dx (1 ) /( dy ( i +2)/2+dy ( i +1)/2) ) ) / sigma ( i +1 ,1) ; % T−i +2,1

A.16. MATRIZART 157

24 A( i +1, i+Ny+1)=−(((k ( i +1 ,1)*dx (1 )+k ( i +1 ,2)*dx (2 ) ) /( dx (1 )+dx (2) ) ) *( dy( i +1)/( dx (2 )/2+dx (1) /2) ) ) / sigma ( i +1 ,1) ; % T−i +1,2

25 %PARTE EXTERIOR DERECHA (T−Ny−i ,Nx)26 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−i ) =1+((((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i +1,Nx) *dy (Ny−i

+1) ) /( dy (Ny−i +1)+dy (Ny−i ) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i +1)/2+dy (Ny−i ) /2) )+((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i −1,Nx) *dy (Ny−i −1) ) /( dy (Ny−i −1)+dy (Ny−i ) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i −1)/2+dy (Ny−i ) /2) ) +((k (Ny−i ,Nx) *dx (Nx)+k (Ny−i , Nx−1)*dx (Nx−1) ) /( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (Ny−i ) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ) ) / sigma (Ny−i ,Nx) ; % T−Ny−i ,Nx

27 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−i +1)=−(((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i +1,Nx) *dy (Ny−i+1) ) /( dy (Ny−i +1)+dy (Ny−i ) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i +1)/2+dy (Ny−i ) /2) ) )/ sigma (Ny−i ,Nx) ; % T−Ny−i +1,Nx

28 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−i −1)=−(((k (Ny−i ,Nx) *dy (Ny−i )+k (Ny−i −1,Nx) *dy (Ny−i−1) ) /( dy (Ny−i −1)+dy (Ny−i ) ) ) *( dx (Nx) /( dy (Ny−i −1)/2+dy (Ny−i ) /2) ) )/ sigma (Ny−i ,Nx) ; % T−Ny−i −1,Nx

29 A(Ny*Nx−i ,Ny*Nx−Ny−i ) =−(((k (Ny−i ,Nx) *dx (Nx)+k (Ny−i , Nx−1)*dx (Nx−1) )/( dx (Nx)+dx (Nx−1) ) ) *( dy (Ny−i ) /( dx (Nx−1)/2+dx (Nx) /2) ) ) / sigma (Ny−i ,Nx) ; % T−Ny−i , Nx−1

30 end31 for i =1:Nx−232 %PARTE EXTERIOR SUPERIOR (T−1, i +1)33 A(Ny* i +1,Ny* i +1)=1+((ha*dx ( i +1)+((k (1 , i +1)*dy (1 )+k (2 , i +1)*dy (2 ) ) /(

dy (1 )+dy (2) ) ) *( dx ( i +1)/( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) +((k (1 , i +1)*dx ( i +1)+k(1 , i ) *dx ( i ) ) /( dx ( i )+dx ( i +1) ) ) *( dy (1 ) /( dx ( i )/2+dx ( i +1)/2) ) +((k(1 , i +1)*dx ( i +1)+k (1 , i +2)*dx ( i +2) ) /( dx ( i +1)+dx ( i +2) ) ) *( dy (1 ) /( dx( i +2)/2+dx ( i +1)/2) ) ) ) / sigma (1 , i +1) ; % T−1, i+1

34 A(Ny* i +1,Ny* i +2)=−(((k (1 , i +1)*dy (1 )+k (2 , i +1)*dy (2 ) ) /( dy (1 )+dy (2) ) )*( dx ( i +1)/( dy (2 )/2+dy (1) /2) ) ) / sigma (1 , i +1) ; % T−2, i+1

35 A(Ny* i +1,Ny* i−Ny+1)=−(((k (1 , i +1)*dx ( i +1)+k (1 , i ) *dx ( i ) ) /( dx ( i )+dx ( i+1) ) ) *( dy (1 ) /( dx ( i )/2+dx ( i +1)/2) ) ) / sigma (1 , i +1) ; % T−1, i

36 A(Ny* i +1 ,( i +1)*Ny+1)=−(((k (1 , i +1)*dx ( i +1)+k (1 , i +2)*dx ( i +2) ) /( dx ( i+1)+dx ( i +2) ) ) *( dy (1 ) /( dx ( i +2)/2+dx ( i +1)/2) ) ) / sigma (1 , i +1) ; %T−1, i+2

37 %PARTE EXTERIOR INFERIOR (T−Ny, Nx−i )38 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−Ny* i )=1+(( hf *dx (Nx−i ) +((k (Ny, Nx−i ) *dy (Ny)+k (Ny

−1,Nx−i ) *dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx−i ) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) +((k (Ny, Nx−i ) *dx (Nx−i )+k (Ny, Nx−i +1)*dx (Nx−i +1) ) /( dx (Nx−i)+dx (Nx−i +1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−i +1)/2+dx (Nx−i ) /2) ) +((k (Ny, Nx−i ) *dx (Nx−i )+k (Ny, Nx−i −1)*dx (Nx−i −1) ) /( dx (Nx−i )+dx (Nx−i −1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−i −1)/2+dx (Nx−i ) /2) ) ) ) / sigma (Ny, Nx−i ) ; % T−Ny, Nx−i

39 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−Ny* i −1)=−(((k (Ny, Nx−i ) *dy (Ny)+k (Ny−1,Nx−i ) *dy (Ny−1) ) /( dy (Ny)+dy (Ny−1) ) ) *( dx (Nx−i ) /( dy (Ny−1)/2+dy (Ny) /2) ) ) / sigma(Ny, Nx−i ) ; % T−Ny−1,Nx−i

40 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−( i −1)*Ny) =−(((k (Ny, Nx−i ) *dx (Nx−i )+k (Ny, Nx−i +1)*dx (Nx−i +1) ) /( dx (Nx−i )+dx (Nx−i +1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−i +1)/2+dx (Nx−i ) /2) ) ) / sigma (Ny, Nx−i ) ; % T−Ny, Nx−i+1

41 A(Ny*Nx−Ny* i ,Ny*Nx−( i +1)*Ny) =−(((k (Ny, Nx−i ) *dx (Nx−i )+k (Ny, Nx−i −1)*dx (Nx−i −1) ) /( dx (Nx−i )+dx (Nx−i −1) ) ) *( dy (Ny) /( dx (Nx−i −1)/2+dx (Nx−i ) /2) ) ) / sigma (Ny, Nx−i ) ; % T−Ny, Nx−i−1

42 end

43 %COLOCACION DE LOS NODOS INTERIORES44 %PARTE INTERIOR (T−i +1, j +1)45 for j =1:Nx−2


46 for i =1:Ny−247 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i +1)=1+((((k ( i +1, j +1)*dy ( i +1)+k ( i +2, j +1)*dy ( i +2) )

/( dy ( i +1)+dy ( i +2) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i +2)/2+dy ( i +1)/2) ) +((k ( i +1, j+1)*dy ( i +1)+k ( i , j +1)*dy ( i ) ) /( dy ( i +1)+dy ( i ) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i )/2+dy ( i +1)/2) ) +((k ( i +1, j +1)*dx ( j +1)+k ( i +1, j +2)*dx ( j +2) ) /( dx ( j+1)+dx ( j +2) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j +2)/2+dx ( j +1)/2) ) +((k ( i +1, j +1)*dx( j +1)+k ( i +1, j ) *dx ( j ) ) /( dx ( j +1)+dx ( j ) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j )/2+dx ( j+1)/2) ) ) ) / sigma ( i +1, j +1) ; % T−i +1, j+1

48 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i +2)=−(((k ( i +1, j +1)*dy ( i +1)+k ( i +2, j +1)*dy ( i +2) ) /(dy ( i +1)+dy ( i +2) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i +2)/2+dy ( i +1)/2) ) ) / sigma ( i +1,j +1) ; % T−i +2, j+1

49 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i ) =−(((k ( i +1, j +1)*dy ( i +1)+k ( i , j +1)*dy ( i ) ) /( dy ( i+1)+dy ( i ) ) ) *( dx ( j +1)/( dy ( i )/2+dy ( i +1)/2) ) ) / sigma ( i +1, j +1) ; %T−i , j+1

50 A(Ny* j+i +1,Ny*( j +1)+i +1)=−(((k ( i +1, j +1)*dx ( j +1)+k ( i +1, j +2)*dx ( j+2) ) /( dx ( j +1)+dx ( j +2) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j +2)/2+dx ( j +1)/2) ) ) /sigma ( i +1, j +1) ; % T−i +1, j+2

51 A(Ny* j+i +1,Ny* j+i+1−Ny) =−(((k ( i +1, j +1)*dx ( j +1)+k ( i +1, j ) *dx ( j ) ) /(dx ( j +1)+dx ( j ) ) ) *( dy ( i +1)/( dx ( j )/2+dx ( j +1)/2) ) ) / sigma ( i +1, j +1); % T−i +1, j

52 end53 end

A.17. vectorcRT

1 %COLOCACION DE LOS NODOS CON FENOMENOS DE CONVECCION2 for i =1:Nx3 c(1+Ny*( i −1) ,1 )=(ha*dx ( i ) *Ta) /sigma (1 , i ) ; % T−1, i4 c (Ny+Ny*( i −1) ,1 )=(hf *dx ( i ) *Tf ) / sigma (Ny, i ) ; % T−Ny, i5 end

6 %COLOCACION DE LOS NODOS CON FENOMENOS DE GENERACION DE CALOR7 Rfase =0.105/1000; % R e s i s t e n c i a de f a s e de l conductor . [ Ohmios/m]8 Wg=3*Rfase * I ˆ2 ;9 for i =1:Ny

10 for j =1:Nx11 i f ( ( Py( i )−ycentro ) ˆ2+(Px( j )−xcentro ) ˆ2)<=Rconductor ˆ2 %

GENERACION DE CALOR EN EL SENO DEL CONDUCTOR DEL CABLE12 c (Ny*( j−1)+i , 1 ) =(Wg*( dx ( j ) *dy ( i ) ) ) /( Sconductor * sigma ( i , j )

) ; % T−i , j ( Dentro de l o s l ı m i t e s de l conductor )13 end14 end15 end

A.18. REPRESENTACIONESRT 159

A.18. representacionesRT

1 f i g u r e2 x1=[−10 0 0 30 30 7 0 ] ;3 y1=[ I f a s e I f a s e Ivar Ivar I f a s e I f a s e ] ;4 p l o t ( x1 , y1 )5 a x i s ([−10 70 400 7 0 0 ] )6 t i t l e ( ’ Evoluci on de l a c o r r i e n t e ’ )7 x l a b e l ( ’ Tiempo [ minutos ] ’ )8 y l a b e l ( ’ In tens idad [A] ’ )9 f i g u r e

10 x2a=[0 30 30 6 0 ] ;11 y2a=[ Ivar Ivar I f a s e I f a s e ] ;12 x2b =0 :3 : 60 ;13 y2b=Tmax ais ;14 plotyy ( x2a , y2a , x2b , y2b )15 a x i s ( [ 0 60 400 700 0 60 80 1 5 0 ] )16 t i t l e ( ’ Evoluci on de l a c o r r i e n t e ’ )17 x l a b e l ( ’ Tiempo [ minutos ] ’ )18 [ hAx , hLine1 , hLine2 ] = plotyy ( x2a , y2a , x2b , y2b ) ;19 y l a b e l (hAx(1) , ’ In tens idad [A] ’ )20 y l a b e l (hAx(2) , ’ Temperatura [ ºC ] ’ )21 x =1:1 :Nx ; %D e f i n i c i o n v e c t o r e s r e p r e s e n t a c i o n22 y =1:1 :Ny ;23 f i g u r e24 s u r f (x , y , T1) ;25 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )26 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 0 minutos ’ )27 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )28 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )29 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )30 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )31 co l o rba r32 f i g u r e33 s u r f a c e (x , y , T1) ;34 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )35 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 0 minutos ’ )36 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )37 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )38 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )39 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )40 co l o rba r41 f i g u r e42 s u r f (x , y , T6) ;43 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )44 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 15 minutos ’ )45 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )46 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )47 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )48 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )49 co l o rba r50 f i g u r e51 s u r f a c e (x , y , T6) ;


52 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )53 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 15 minutos ’ )54 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )55 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )56 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )57 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )58 co l o rba r59 f i g u r e60 s u r f (x , y , T11) ;61 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )62 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 30 minutos ’ )63 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )64 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )65 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )66 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )67 co l o rba r68 f i g u r e69 s u r f a c e (x , y , T11) ;70 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )71 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 30 minutos ’ )72 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )73 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )74 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )75 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )76 co l o rba r77 f i g u r e78 s u r f (x , y , T16) ;79 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )80 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 45 minutos ’ )81 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )82 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )83 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )84 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )85 co l o rba r86 f i g u r e87 s u r f a c e (x , y , T16) ;88 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )89 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 45 minutos ’ )90 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )91 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )92 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )93 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )94 co l o rba r95 f i g u r e96 s u r f (x , y , T21) ;97 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )98 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 60 minutos ’ )99 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )

100 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )101 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )102 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )103 co l o rba r104 f i g u r e

A.18. REPRESENTACIONESRT 161

105 s u r f a c e (x , y , T21) ;106 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )107 t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de temperaturas a l o s 60 minutos ’ )108 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )109 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )110 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )111 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )112 co l o rba r


A.19. animacion

1 x =1:1:Nx ; %D e f i n i c i o n v e c t o r e s r e p r e s e n t a c i o n2 y =1:1 :Ny ;3 f i g u r e4 s u r f (x , y , T1) ;5 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )6 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )7 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )8 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )9 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )

10 co l o rba r11 M1(1)=getframe ( gc f ) ;12 f i g u r e13 s u r f a c e (x , y , T1) ;14 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )15 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )16 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )17 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )18 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )19 co l o rba r20 M2(1)=getframe ( gc f ) ;21 f i g u r e22 s u r f (x , y , T6) ;23 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )24 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )25 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )26 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )27 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )28 co l o rba r29 M1(2)=getframe ( gc f ) ;30 f i g u r e31 s u r f a c e (x , y , T6) ;32 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )33 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )34 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )35 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )36 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )37 co l o rba r38 M2(2)=getframe ( gc f ) ;39 f i g u r e40 s u r f (x , y , T11) ;41 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )42 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )43 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )44 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )45 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )46 co l o rba r47 M1(3)=getframe ( gc f ) ;48 f i g u r e49 s u r f a c e (x , y , T11) ;50 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )51 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )

A.19. ANIMACION 163

52 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )53 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )54 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )55 co l o rba r56 M2(3)=getframe ( gc f ) ;57 f i g u r e58 s u r f (x , y , T16) ;59 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )60 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )61 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )62 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )63 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )64 co l o rba r65 M1(4)=getframe ( gc f ) ;66 f i g u r e67 s u r f a c e (x , y , T16) ;68 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )69 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )70 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )71 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )72 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )73 co l o rba r74 M2(4)=getframe ( gc f ) ;75 f i g u r e76 s u r f (x , y , T21) ;77 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny 0 1 3 0 ] )78 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )79 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )80 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )81 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )82 co l o rba r83 M1(5)=getframe ( gc f ) ;84 f i g u r e85 s u r f a c e (x , y , T21) ;86 a x i s ( [ 1 Nx 1 Ny ] )87 x l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e X ’ )88 y l a b e l ( ’Numero de nodo en e l e j e Y ’ )89 z l a b e l ( ’ P e r f i l de temperaturas ’ )90 c a x i s ( [ 1 0 , 1 3 0 ] )91 co l o rba r92 M2(5)=getframe ( gc f ) ;93 M1=[M1 M1 M1 M1(1) ] ;94 M2=[M2 M2 M2 M2(1) ] ;95 movie2avi (M1, ’T3D ’ , ’ compress ion ’ , ’ none ’ , ’ f p s ’ , 1 ) ;96 movie2avi (M2, ’T2D ’ , ’ compress ion ’ , ’ none ’ , ’ f p s ’ , 1 ) ;

Apendice B

Tablas utilizadas en los analisis desensibilidad

A continuacion se muestran las tablas completas utilizadas en los estudios deanalisis de sensibilidad y optimizacion del programa, tanto del mallado inicial, comodel mallado adaptativo inteligente.

En las tablas:

Fr: Factor de reduccion del mallado, adimensional.

Nx: Numero total de posiciones nodales en la horizontal.

Ny: Numero total de posiciones nodales en la vertical.

gradtemp: Gradiente termico maximo admisible entre dos nodos contiguos, enC/m.

T: Tiempo de ejecucion del codigo, en segundos.

N: Numero de nodos que representan a cada componente, adimensional.

M: Temperatura media obtenida con el programa para cada componente, enC.

D: Desviacion de temperatura respecto a la media global calculada para cadacaso, en %.

165

166APENDICE B. TABLAS UTILIZADAS EN LOS ANALISIS DE SENSIBILIDAD

B.1. Mallado inicial

En la primera tabla estan considerados todos los casos de estudio. En rojo sedestacan aquellos que van a ser descartados para la siguiente etapa.



1 25 25 1 1 64,7 -34 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 35 35 1 1 70,3 -28 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 45 45 1 1 74,4 -24 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 55 55 1 1 77,7 -21 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 65 65 2 1 80,4 -18 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 75 75 3 1 82,7 -16 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 85 85 6 1 84,7 -14 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 95 95 10 1 86,5 -12 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 105 105 19 1 78,3 -20 % 0 - - 4 78,3 -6 % 0 - -

1 115 115 30 1 95,3 -3 % 4 95,1 1 % 0 - - 0 - -

0,9 25 25 1 1 74,9 -24 % 0 - - 0 - - 0 - -

0,9 35 35 1 1 85,6 -13 % 0 - - 0 - - 0 - -

0,9 45 45 1 1 112,3 15 % 8 100,4 7 % 0 - - 0 - -

0,9 55 55 1 9 83,3 -15 % 12 83,2 -11 % 4 83,2 0 % 0 - -

0,9 65 65 1 25 83,6 -15 % 36 83,4 -11 % 8 83,3 0 % 0 - -

0,9 75 75 3 69 99,5 1 % 68 91,4 -2 % 12 84,2 1 % 0 - -

0,9 80 80 5 88 107,9 10 % 112 94,4 1 % 24 84,7 2 % 0 - -

0,9 85 85 6 149 107,0 9 % 148 95,3 2 % 16 85,2 2 % 8 84,1 0 %

0,9 90 90 9 216 108,2 10 % 196 95,6 2 % 24 84,9 2 % 0 - -

0,9 95 95 10 313 111,9 14 % 256 98,1 5 % 24 84,7 2 % 4 85,2 1 %

0,9 100 100 16 436 109,4 12 % 300 96,2 3 % 80 84,6 2 % 8 84,7 0 %

0,9 105 105 17 577 115,4 18 % 428 99,6 6 % 36 84,9 2 % 0 - -

0,9 110 110 29 792 111,7 14 % 488 97,3 4 % 72 85,0 2 % 16 84,9 1 %

0,9 115 115 32 1025 113,8 16 % 580 98,6 5 % 112 84,7 2 % 8 84,7 0 %

0,85 25 25 1 1 81,3 -17 % 0 - - 0 - - 0 - -

0,85 35 35 1 5 85,1 -13 % 4 85,1 -9 % 0 - - 0 - -

0,85 45 45 1 21 81,8 -17 % 16 81,7 -13 % 8 81,7 -2 % 0 - -

0,85 50 50 1 32 82,5 -16 % 28 82,0 -13 % 20 82,0 -1 % 0 - -

0,85 55 55 1 61 85,4 -13 % 56 84,3 -11 % 12 85,2 3 % 8 85,2 1 %

0,85 60 60 1 104 95,6 -3 % 96 89,0 -5 % 24 83,7 1 % 0 - -

0,85 65 65 2 185 107,0 9 % 144 95,9 2 % 12 83,6 1 % 0 - -

0,85 70 70 3 292 105,6 8 % 180 94,5 1 % 48 84,3 1 % 8 84,3 0 %

0,85 75 75 4 429 113,1 16 % 268 99,5 6 % 12 84,2 1 % 20 84,6 0 %

0,85 80 80 5 644 109,9 12 % 324 97,2 4 % 24 84,1 1 % 0 - -

0,85 85 85 7 913 109,8 12 % 392 97,0 3 % 24 84,0 1 % 8 84,4 0 %

0,85 90 90 9 1232 106,5 9 % 444 94,8 1 % 40 83,9 1 % 0 - -

B.1. MALLADO INICIAL 167



0,85 95 95 13 1593 106,4 8 % 508 94,6 1 % 52 83,9 1 % 0 - -

0,85 100 100 16 2000 106,2 8 % 572 94,0 0 % 76 83,8 1 % 0 - -

0,85 105 105 21 2377 110,5 13 % 624 97,1 4 % 184 84,0 1 % 8 84,1 0 %

0,85 110 110 26 2884 111,3 14 % 692 97,5 4 % 204 84,0 1 % 8 84,0 0 %

0,85 115 115 34 3449 109,7 12 % 744 96,5 3 % 232 83,7 1 % 0 - -

0,8 25 25 1 1 93,8 -4 % 4 93,5 0 % 0 - - 0 - -

0,8 30 30 1 4 92,9 -5 % 8 92,7 -1 % 0 - - 0 - -

0,8 35 35 1 9 102,4 4 % 16 98,7 5 % 0 - - 4 85,2 1 %

0,8 40 40 1 32 97,7 0 % 28 95,0 1 % 0 - - 0 - -

0,8 45 45 1 69 83,0 -15 % 48 82,2 -12 % 24 82,4 -1 % 0 - -

0,8 55 55 1 257 94,9 -3 % 136 88,8 -5 % 16 83,2 0 % 0 - -

0,8 60 60 1 388 103,9 6 % 176 92,9 -1 % 64 82,6 -1 % 8 82,7 -2 %

0,8 65 65 2 605 108,1 10 % 224 96,5 3 % 44 83,5 1 % 24 83,3 -1 %

0,8 70 70 2 880 105,0 7 % 256 96,2 3 % 8 83,6 1 % 0 - -

0,8 75 75 4 1193 108,2 10 % 308 98,1 5 % 8 83,2 0 % 0 - -

0,8 85 85 7 1993 107,7 10 % 388 98,0 5 % 8 83,1 0 % 0 - -

0,8 95 95 12 2993 107,6 10 % 468 98,1 5 % 8 83,0 0 % 0 - -

0,8 105 105 24 4193 107,5 10 % 548 98,2 5 % 8 83,0 0 % 0 - -

0,8 115 115 35 5593 107,5 10 % 628 98,3 5 % 8 83,0 0 % 0 - -

0,75 25 25 1 5 85,5 -13 % 4 85,5 -9 % 0 - - 0 - -

0,75 35 35 1 45 95,8 -2 % 32 93,4 0 % 0 - - 0 - -

0,75 45 45 1 205 82,6 -16 % 80 82,1 -12 % 36 82,4 -1 % 0 - -

0,75 55 55 1 525 108,1 10 % 192 97,8 4 % 8 82,4 -1 % 0 - -

0,75 65 65 2 1085 107,4 9 % 272 97,6 4 % 8 82,1 -1 % 0 - -

0,75 75 75 4 1845 107,2 9 % 352 97,7 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 85 85 7 2805 107,1 9 % 432 97,8 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 95 95 14 3965 107,1 9 % 512 97,8 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 105 105 20 5325 107,1 9 % 592 97,9 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 115 115 34 6885 107,1 9 % 672 97,9 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,7 25 25 1 9 99,6 1 % 16 95,9 2 % 0 - - 0 - -

0,7 35 35 1 109 98,1 0 % 56 94,6 1 % 0 - - 0 - -

0,7 45 45 1 361 109,8 12 % 156 98,9 5 % 0 - - 0 - -

0,7 55 55 1 837 98,1 0 % 232 90,6 -3 % 8 81,3 -2 % 0 - -

0,7 65 65 2 1517 98,0 0 % 312 90,7 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 75 75 3 2397 98,0 0 % 392 90,8 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 85 85 6 3477 98,0 0 % 472 90,8 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 95 95 10 4757 98,0 0 % 552 90,9 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 105 105 18 6237 98,0 0 % 632 90,9 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 115 115 31 7917 98,0 0 % 712 90,9 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

COMPONENTE CONDUCTOR AISLAMIENTO PANTALLA CUBIERTA

MEDIA GLOBAL 98,1 93,8 83,1 84,4


En la segunda tabla estan representados unicamente los casos validos que no hansido descartados. En azul se destacan aquellos que han sido seleccionados como losmas adecuados.



1 85 85 6 1 84,7 -14 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 95 95 10 1 86,5 -12 % 0 - - 0 - - 0 - -

1 115 115 30 1 95,3 -3 % 4 95,1 1 % 0 - - 0 - -

0,9 35 35 1 1 85,6 -13 % 0 - - 0 - - 0 - -

0,9 45 45 1 1 112,3 15 % 8 100,4 7 % 0 - - 0 - -

0,9 75 75 3 69 99,5 1 % 68 91,4 -2 % 12 84,2 1 % 0 - -

0,9 80 80 5 88 107,9 10 % 112 94,4 1 % 24 84,7 2 % 0 - -

0,9 85 85 6 149 107,0 9 % 148 95,3 2 % 16 85,2 2 % 8 84,1 0 %

0,9 90 90 9 216 108,2 10 % 196 95,6 2 % 24 84,9 2 % 0 - -

0,9 95 95 10 313 111,9 14 % 256 98,1 5 % 24 84,7 2 % 4 85,2 1 %

0,9 100 100 16 436 109,4 12 % 300 96,2 3 % 80 84,6 2 % 8 84,7 0 %

0,9 110 110 29 792 111,7 14 % 488 97,3 4 % 72 85,0 2 % 16 84,9 1 %

0,85 35 35 1 5 85,1 -13 % 4 85,1 -9 % 0 - - 0 - -

0,85 60 60 1 104 95,6 -3 % 96 89,0 -5 % 24 83,7 1 % 0 - -

0,85 65 65 2 185 107,0 9 % 144 95,9 2 % 12 83,6 1 % 0 - -

0,85 70 70 3 292 105,6 8 % 180 94,5 1 % 48 84,3 1 % 8 84,3 0 %

0,85 80 80 5 644 109,9 12 % 324 97,2 4 % 24 84,1 1 % 0 - -

0,85 85 85 7 913 109,8 12 % 392 97,0 3 % 24 84,0 1 % 8 84,4 0 %

0,85 90 90 9 1232 106,5 9 % 444 94,8 1 % 40 83,9 1 % 0 - -

0,85 95 95 13 1593 106,4 8 % 508 94,6 1 % 52 83,9 1 % 0 - -

0,85 100 100 16 2000 106,2 8 % 572 94,0 0 % 76 83,8 1 % 0 - -

0,85 105 105 21 2377 110,5 13 % 624 97,1 4 % 184 84,0 1 % 8 84,1 0 %

0,85 110 110 26 2884 111,3 14 % 692 97,5 4 % 204 84,0 1 % 8 84,0 0 %

0,85 115 115 34 3449 109,7 12 % 744 96,5 3 % 232 83,7 1 % 0 - -

0,8 25 25 1 1 93,8 -4 % 4 93,5 0 % 0 - - 0 - -

0,8 30 30 1 4 92,9 -5 % 8 92,7 -1 % 0 - - 0 - -

0,8 35 35 1 9 102,4 4 % 16 98,7 5 % 0 - - 4 85,2 1 %

0,8 40 40 1 32 97,7 0 % 28 95,0 1 % 0 - - 0 - -

0,8 55 55 1 257 94,9 -3 % 136 88,8 -5 % 16 83,2 0 % 0 - -

0,8 60 60 1 388 103,9 6 % 176 92,9 -1 % 64 82,6 -1 % 8 82,7 -2 %

0,8 65 65 2 605 108,1 10 % 224 96,5 3 % 44 83,5 1 % 24 83,3 -1 %

0,8 70 70 2 880 105,0 7 % 256 96,2 3 % 8 83,6 1 % 0 - -

0,8 75 75 4 1193 108,2 10 % 308 98,1 5 % 8 83,2 0 % 0 - -

0,8 85 85 7 1993 107,7 10 % 388 98,0 5 % 8 83,1 0 % 0 - -

0,8 95 95 12 2993 107,6 10 % 468 98,1 5 % 8 83,0 0 % 0 - -

0,8 105 105 24 4193 107,5 10 % 548 98,2 5 % 8 83,0 0 % 0 - -

B.1. MALLADO INICIAL 169



0,8 115 115 35 5593 107,5 10 % 628 98,3 5 % 8 83,0 0 % 0 - -

0,75 25 25 1 5 85,5 -13 % 4 85,5 -9 % 0 - - 0 - -

0,75 35 35 1 45 95,8 -2 % 32 93,4 0 % 0 - - 0 - -

0,75 55 55 1 525 108,1 10 % 192 97,8 4 % 8 82,4 -1 % 0 - -

0,75 65 65 2 1085 107,4 9 % 272 97,6 4 % 8 82,1 -1 % 0 - -

0,75 75 75 4 1845 107,2 9 % 352 97,7 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 85 85 7 2805 107,1 9 % 432 97,8 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 95 95 14 3965 107,1 9 % 512 97,8 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 105 105 20 5325 107,1 9 % 592 97,9 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,75 115 115 34 6885 107,1 9 % 672 97,9 4 % 8 82,0 -1 % 0 - -

0,7 25 25 1 9 99,6 1 % 16 95,9 2 % 0 - - 0 - -

0,7 35 35 1 109 98,1 0 % 56 94,6 1 % 0 - - 0 - -

0,7 45 45 1 361 109,8 12 % 156 98,9 5 % 0 - - 0 - -

0,7 55 55 1 837 98,1 0 % 232 90,6 -3 % 8 81,3 -2 % 0 - -

0,7 65 65 2 1517 98,0 0 % 312 90,7 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 75 75 3 2397 98,0 0 % 392 90,8 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 85 85 6 3477 98,0 0 % 472 90,8 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 95 95 10 4757 98,0 0 % 552 90,9 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 105 105 18 6237 98,0 0 % 632 90,9 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

0,7 115 115 31 7917 98,0 0 % 712 90,9 -3 % 8 81,2 -2 % 0 - -

COMPONENTE CONDUCTOR AISLAMIENTO PANTALLA CUBIERTA

MEDIA GLOBAL 102,6 94,9 83,1 84,3


B.2. Mallado adaptativo inteligente

En la tabla se muestran todos los casos de estudio analizados. En azul se destacanaquellos que han sido escogidos como parametros optimos.

MALLADO INTELIGENTE CONDUCTOR AISLAMIENTO PANTALLA CUBIERTA

Fr Nx/Ny gradtemp T N M N M N M N M

0,9 85 1500 7 639 127,0 1241 108,0 177 94,1 26 94,1

0,9 85 1400 7 710 120,7 1423 101,7 197 87,6 34 87,5

0,9 85 1300 8 797 121,6 1699 102 ,1 247 87,6 43 87,6

0,9 85 1200 9 1047 123,7 1993 104,1 295 89,4 57 89,4

0,9 85 1100 11 1047 120,4 2150 100,7 325 86,1 63 86,1

0,9 85 1000 13 1077 119,4 2490 99,5 384 84,9 67 84,9

0,9 85 900 18 1542 120,5 3208 100,4 462 85,6 73 85,6

0,9 85 800 30 1908 118,8 4033 98,6 589 83,5 97 83,5

0,9 85 700 64 2407 119,2 5048 99,0 713 83,8 113 83,8

0,9 85 600 424 2998 121,8 6511 101,3 962 85,9 158 85,8

0,85 70 1500 3 421 131,7 1041 112,5 115 97,7 20 97,8

0,85 70 1400 3 498 129,0 1134 110,0 117 95,1 20 95,3

0,85 70 1300 3 598 128,9 1289 110,3 140 95,7 21 95,9

0,85 70 1200 4 656 128,9 1546 109,9 189 95,9 24 95,9

0,85 70 1100 5 786 123,6 1776 104,6 249 91,3 33 91,3

0,85 70 1000 6 971 124,1 2184 104,9 288 91,5 46 91,5

0,85 70 900 7 1085 125,2 2478 106,0 329 92,6 53 92,6

0,85 70 800 12 1344 123,0 3246 103,3 435 89,8 69 89,8

0,85 70 700 18 1716 121,9 3862 102,2 469 88,5 71 88,5

0,85 70 600 37 2034 124,4 5071 103,9 638 89,8 97 89,8

0,85 70 500 421 2970 118,3 7340 97,6 908 83,4 141 83,4

0,8 60 1500 1 312 143,0 772 125,5 61 109,6 12 109,4

0,8 60 1400 1 357 150,6 842 132,2 70 116,6 16 116,6

0,8 60 1300 1 437 143,4 936 125,8 87 111,5 20 111,7

0,8 60 1200 2 437 144,4 1092 126,0 118 111,4 20 111,8

0,8 60 1100 2 502 145,8 1199 127,5 118 112,5 20 113,0

0,8 60 1000 2 642 134,3 1526 116,3 130 101,8 33 101,8

0,8 60 900 3 734 139,4 1883 121,3 189 106,9 40 107,2

0,8 60 800 5 970 133,3 2398 115,1 217 100,6 56 100,7

0,8 60 700 7 1101 133,4 2898 114,5 291 100,0 58 100,1

0,8 60 600 11 1396 123,0 3638 104,3 355 89,6 65 89,7

0,8 60 500 31 2018 127,4 5206 107,7 551 92,5 90 92,6

0,8 60 400 590 3261 121,5 8472 100,8 922 84,8 129 84,8

Apendice C

Diagramas de organizaciontemporal

A continuacion se muestra la informacion referente a la organizacion temporaldel proyecto. Por un lado, esta incluido el diagrama de Gantt con la finalidad dedescribir de manera grafica la fecha de comienzo y fin de las distintas actividades,ası como el tiempo de dedicacion de cada una y el progreso realizado. Por otro lado,se incluye tambien el diagrama PERT (Project Evaluation and Review Techniques)mediante el cual se visualiza comodamente el camino crıtico del proyecto.

Ambos documentos tienen adjuntas sus respectivas leyendas, que facilitan sucomprension.

171

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176 APENDICE C. DIAGRAMAS DE ORGANIZACION TEMPORAL

Apendice D

Programas utilizados

A continuacion se enumeran los distintos programas, junto con su funcion espe-cıfica, que han sido utilizados para la realizacion del presente proyecto:

1. LATEX. Composicion del texto.

2. Matlab. Desarrollo del codigo del programa y resolucion del problema termico.

3. Microsoft Office Excel. Representacion grafica de la informacion obtenida enlos analisis de sensibilidad.

4. Photoshop. Edicion y manipulacion de figuras.

5. Microsoft Visio. Realizacion del esquema del circuito electrico de la figura (3.1)y del diagrama de bloques del codigo fuente.

6. Microsoft Project. Realizacion del diagrama de Gantt y diagrama PERT.

177

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