ANALISIS ESTRUCTURAL II - TIPOGRAFICO

ARCOS

1. Determine el valor del momento flexionante en el arco semicircular con una carga a la mitad de su radio si dicho arco esta fijado en tres puntos como se muestra en la figura 6.1 dicha carga se encuentra a 5 m de A.SolucinRefiriendose a la figura 6.1 tomaremos momentos en B.CA

Ahora tomando momento en C

El momento flexionate en el punto dado es

2. La figura 6.2 muestra un arco articulado de 12 m de radio. Calcule la fuerza normal, cortante y momento flexionante en el punto D.SolucinPara el origen de los ejees mostrados en la figura 6.2 la ecuacin de arco es:

Tomando momentos en B:

Tomando momentos en C:

Restando ecuancion i-ii

Entonces el momento flexionante es

3. El arco articulado en la figura 6.3 es de forma parablica, si el arco soporta una carga horizontalmente distribuida de intensidad de 40 KN/m en la parte CB; calcule el momento flexionante en D.SolucinEcuacion de arco es

Por lo que

Por consiguiente cuando :

Tomando momentos con respecto en C para AC:

Tomando momentos con respecto en B

Entonces de i y ii

Momento flexionate en D

4. En el arco articulado ACB mostrado en la figura 6.4 el tramo AC tiene forma parablica con el origen C, mientras que CB es recto. El tramo AC soporta una carga distribuida horizontal de 18 kN/m. Calcule la fuerza normal, fuerza cortante y momento flexionante en el punto D.Solucin

Tomando momentos en C:

Tomando momentos en B:

Sustituyendo en i

5. Dibuje los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flexionante para la mitad de la carga del arco articulado mostrado en la figura 6.5.SolucinTomando momentos en A

Tomando momentos en C

FUERZA NORMAL

Fuerza cortante

MOMENTO FLEXIONANTE En B: MF=0En D

6. Calcule las componentes de los apoyos en A y D en el arco articulado mostrado en la figura 6.6 y luego dibuje el diagrama de momentos flexionantes para el miembro DC; dibuje el diagrama de tensin. Todos los miembros son 1.5 m de longitud.

SolucinTOMANDO MOMENTOS EN D

TOMANDO MOMENTOS EN BDe donde :

Ecuacion i ii

AHORA RESOLVIENDO HORIZONTALMENTE

AHORA RESOLVIENDO VERTICALMENTE

MOMENTO FLEXIONANTE EN C es dado por

1.5 m1.3 m0.755kN15 kN

ESFUERZO Y DEFORMACION1. una columna de 3m de altura tiene una seccin circular hueca de dimetro externo de 300 mm y soporta una carga axial de 5000 kN. Si el esfuerzo en la columna est limitado a 150 N/ mm' y acortamiento de Sa columna por efectos ^ de Sa carga no debe exceder los 2 mm, calcule el mximo dimetro interno admisible, tome E=200000N/mm2Solucin:En este problema hay dos criterios lmites, uno de | ellos es el esfuerzo y el otro es la variacin en la | longitud; consideraremos el criterio de esfuerzo mximo admisible primero. De la ecuacin (7.1).

Donde d es el dimetro interno de la columna. Resolviendo la ecuacin {i) se tiene:d = 218.1mmEl mximo dimetro interno admisible de la columna es por consiguiente 205.6 mm.2. Una viga de acero est firmemente apoyada en la pared en sus extremos, por lo que la variacin de la longitud son evitados si la viga est inicialmente sin esfuerzos, calcule el esfuerzo inducido en la viga cuando est sujeta a un incremento de temperatura uniforme de 30 K. El coeficiente de dilatacin lineal es 0.000 05/k y el mdulo de Young es E=180 000N/mm2 Solucin La determinacin en la viga est dado por la ecuacin (7.4).

Por consiguiente de la ecuacin (7.7) el esfuerzo es dado por:

3. Una columna de 3 m de altura tiene una seccin circular slida y soporta una carga axial de 10000 kN. Si el esfuerzo directo en la columna est limitado a 150 N/mm[footnoteRef:1] determine el dimetro mnimo admisible. Calcule tambin el acortamiento de Sa columna debido a esta carga y el incremento en el dimetro. [1: ]

Solucin: De la ecuacin (7.1)

De la cual el dimetro requerido de la columna es D=219.3mm.El acortamiento, & de la columna es entonces, de las ecuaciones (7.7)y (7.4)dado por.

De la ecuacin (7.12)la deformacin lateral es:

Entonces, el incremento del dimetro es:

0.000225x291.3=0.066mm4. Un elemento estructural de 2 m de largo, ser recortado 1.5 mm cuando se coloque en un armazn. Para que sea posible se debe calentar la longitud uniformemente. Determine el incremento de temperatura necesario. Calcule J tambin el esfuerzo residual en el elemento cuando se enfrie a su temperatura original si el |movimiento de los extremos de los elementos son evitados. Si el elemento tiene una seccin rectangular, determine el porcentaje que experimenta su rea | cuando el elemento est fijado en la posicin y temperatura original.El mdulo de Young es E = 200 000 N/mm2, relacin de Poisson v=0.3 y el coeficiente de dilatacin lineal del materia! del elemento es 1 0.000012/k.Solucin El incremento de temperatura necesario para producir una elogacion de 1.5mm es dado por.

La deformacin efectiva en el elemento

El esfuerzo correspondiente es entonces de la ecuacin (7.7)

Asuma que la seccin es de a y b y adems que la deformacin longitudinal es s. La deformacin lateral es entonces, de la seccin 7.8, ve = 0.3c. Los lados de la seccin son por consiguiente reducidos en longitud en 0.3za y 03zb. El porcentaje de la variacin en su rea es el siguiente:

%variacin

Esto se reduce

%variacin

Donde es muy pequeo. Entonces:% variacin = 2 x 0.3 x 0.00075 x 100 = 0.045%5. Un elemento de un armazn es requerido para soportar una carga de tensin axial de 100 kN se propone que dicho elemento ser, compuesto de dos ngulos colocados espalda a espalda en la cual uno de ellos debe tener 18 mm de dimetro el cual es el admisible para las conexiones. Si el esfuerzo admisible es S5 N/mm2, sugiera los ngulos adecuados.Solucin:El rea de la seccin requerida es, de la ecuacin (7.1) dado por:A = Haciendo referencia a las tablas de acero muestra que los ngulos son 50 x 50 x 5 mm los cuales tienen suficiente rea.6. Una barra en suspensin est soportando la plataforma de un puente de suspensin la cual est formado por un cable de acero de 25 m de longitud y tiene un dimetro de 7.5 mm. Si la densidad del acero es 7850 kg/m3 y la carga en el extremo inferior de la barra de suspensin es 5 kN, determine el mximo esfuerzo en el cable y su elongacin. El mdulo de Young es E - 200000 N/mm2.Solucin: El peso del cable es:

y la carga total en el cable es por consiguiente:85.05 + 5 x103 = 5085.05NEl esfuerzo en el cable en el punto que est apoyado es entonces, de la ecuacin (7.1):

Consideremos el cable mostrado en la figura 7.6. El peso de una longitud h es igual a pAh donde p es la densidad del cable y A es el rea de la seccin. El esfuerzo en el cable en la seccin en la parte superior de la longitud h es entonces ph de la ecuacin (7.1).

Figura7.6

La elongacin de un diferencial de longitud ph es debido al peso propio del cable, entonces de las ecuaciones (7.4) y (7.7) se tiene que:

La elongacin completa del cable debido a su propio peso es por consiguiente:

La elongacin debido a la carga es, de la ecuacin (7.28) es:

La erogacin total es entonces 14.15+0.12=14.27mm

7. Una chimenea de concreto de 40 m de altura tiene una seccin (de concreto) de 0.15 m2 y est apoyado por tres grupos de cuatro cables que se conectan a !a chimenea a las alturas de 15, 25 y 35 m respectivamente. Si cada cable est anclado al piso a una distancia de 20 m desde la base de la chimenea y tensionado con una fuerza de 15 kN, calcule el mximo esfuerzo en la chimenea y el acortamiento de la chimenea incluido el efecto del mismo peso. La densidad del concreto es 2500 kg/m3 y el mdulo de Young es E = 20 000 N/mm2.

Solucin

Las cargas concentradas aplicadas a la chimenea han sido previamente calculados en el problema 1 del captulo 2, y son 36.0 kN a una altura de 15 m, 46.8 kN a una altura de 25 m y 52.1 kN a una altura de 35 m. El peso propio de la chimenea es:

Peso propio = 40(0.15)(2500)(9.8l)xl03 = 147.15kN

La fuerza total en la base de la chimenea es entonces: 147.15 + 36.0 + 46.8 + 52.1 = 282.05 kNMximo esfuerzo es entonces, de la ecuacin (7.1):

Del problema 6 el acortamiento debido al peso propio es dado por:

La elongacin debido a la carga es, de la ecuacin (7.28) es:

Acortamiento total = 0.98 + 1.18 = 2.16

8. Una columna de altura h tiene una seccin rectangular la cual vara linealmente desde un ancho b en la base hasta b2 en la parte superior lo que da la forma de ahusado. El ancho de la seccin es constante e igual a V\ Determine el acortamiento de a columna debido a una carga axial P

Solucin:

En cualquier parte de la seccin a una distancia ^ desde la parte superior de la columna se tiene lo siguiente:

Entonces, de la ecuacin (7.28), el acortamiento de un diferencial es:

El acortamiento total de la columna es entonces:

Desarrollando la integral se tiene lo siguiente:

Del cual

9. Determine a deflexin vertical de una carga de 20 kN en la armadura mostrada en la figura 7.9. La seccin de los miembros a tensin es 100 mm2, mientras que la seccin de los miembros a compresin es 200 mm2= El mdulo de Young es -205 000 N/mm2.

Solucin:

Asumimos que todos los miembros estn a tensin. Entonces, usando el mtodo de los nodos (seccin 4.6).

Nodo C:Resolviendo horizontalmente:

CB cos 30 + 20 = 0 CB =-23.1 kNResolviendo verticalmente:

CD + CD eos 60 = 0 CD = U.6kNNodo D:

Resolviendo perpendicularmente a DB:

DA eos 3 0o - DC eos 30 = 0 DA = DC = 11.6kNResolviendo paralelo a DB:BA+BDcos60-BCcos60=0BA=-11.6KNNodo B:Resolviendo horizontalmente:BA + BD eos 60 - 2?C eos 60 = 0 BA = -5AkN

De las ecuaciones (7.27) y (7.29)

De la cual:A = 4.5 mm10. La armadura mostrada en la figura P7.10 tiene una seccin de 1200 mm2 y un mdulo de Young de 205 000 N/mm2. Determine la deflexin vertical de la carga.Solucin:Asumiendo que todos los miembros estn a tensin y usando el mtodo de los nudos (note que las fuerzas en los miembros de la armadura, excepto CB y DA se pueden obtener 'por inspeccin).CB=-141.4KNCD=100KNBA=-100KNBD=100KNDA=-141.4KNDE=200KN

Entonces de la ecuacin (7.27)y(7.29)

Lo cual da:A = 10.3 mm11. Tres barras idnticas de longitud L estn colocadas en posicin vertical tal como se muestra en la figura p7.11. Una viga rgida de peso despreciable est fijada a estas tres barras y soporta una carga P. Calcule la carga en cada barra.Solucin:

Asumimos que las cargas en las barras son P1,P2 y P3.Haciendo que el sistema este en equilibrio se tiene lo siguiente:

P1+P2 + P3= P..(i)

Tomando momentos, por decir en la barra1:

Lo que nos da:

P1+2P2..(ii)

De la ecuacin (7.28) las elongaciones de las borras son:

Donde A es el rea de la seccin de cada barra y E el mdulo de Young. El esquema de deformaciones se muestra en la figura 7.11.

Entonces, el trmino L/AE es lo mismo para cada barra, la elongacin de cada barra es directamente proporcional a la carga en las barras. La geometra de la figura 7.11 nos da:

Reacomodando la ecuacin

Sumando las ecuaciones (i) y (iv)

Sustituyendo P2 en la ecuacin (ii) nos da:

Finalmente, de la ecuacin (i)

12. Una viga compuesta est formada por una barra de acero de 20 mm de dimetro y 200 mm de longitud, en e interior un cilindro aleado de igual longitud con dimetros interior y exterior de 20 y 25 mm respectivamente. La columna est sujetada a una carga axial de 50 kN. Si E para el acero es 200 000 N/mm2 y E para la aleacin es 70000 N/mm2 calcule el esfuerzo en el cilindro y en la barra, el acortamiento de la columna y la energa de deformacin acumulada en laColumna

Solucin:

Se puede usar la ecuacin (7.38) para determinar el esfuerzo en la barra de acero y en el cilindro aleado.

El rea delas secciones son:

Entonces

Lo que nos da:

Similarmente

De la ecuacin (7.37) el acortamiento de la columna es:

Lo que nos da:

De la ecuacin (7.30) la energa de deformacin almacenada en la columna es:

Lo que nos da

13. Una columna de madera de 3 m de altura tiene una seccin rectangular de 100 mm x 200 mm y est reforzado a lo largo de su longitud por dos placas de acero de 200 mm de ancho y 10 mm de espesor unidos a 200 mm de ancho. La columna es diseada para soportar una carga de 100 Kn. Si el esfuerzo crtico de la madera es 55 N/mm2 y del acero es 380 N/mm2, compruebe el diseo usando un factor de seguridad de 3 para la madera y 2 para el acero.E(mad) =15000 N!mm2, E(AC) = 200000N/mm2

Solucin:

Este problema es muy similar al problema 12. por lo que podemos usar las mismas ecuaciones para obtener la solucin. De la ecuacin (7.38).

Lo que nos da:

El esfuerzo admisible en la madera es:

Por lo que el tamao de la madera es satisfactorio. Adems.

Lo que nos da:

El esfuerzo en el acero es:

Por lo que el tamao de las placas de acero es el adecuado.

14. La barra compuesta mostrada en la figura 7.14 est inicialmente sin esfuerzos. Si la temperatura de la barra disminuye en una cantidad T uniforme a lo Largo de su longitud, encuentre la expresin para el esfuerzo de tensin inducido. Los coeficientes de la dilatacin lineal del acero y del aluminio son aAC y aAJ por unidad de variacin de temperatura respectivamente, mientras que los valores correspondientes del mdulo de Young son EAC YeAI .

Solucin:

Si la porcin de la barra de acero estuviese desconectada de la parte del aluminio las partes separadas deberan acercarse a las posiciones como se muestran en la figura 7.14 donde:

Asumimos que las partes conectadas de la barra se encontrarn en la posicin mostrada, por lo que la unin de las dos parles han sufrido un desplazamiento S. Entonces:Elongacin del acero = Elongacin del aluminio = Estas elongaciones producen tensores de esfuerzos en el acero y en el aluminio, la cual deben de ser iguales donde el rea de las secciones son los mismos, por consiguiente:

(ii)Reacomodando la ecuacion (ii) nos da la siguiente:

Ahora, reemplazando para en la primera ecuacin (ii) (o la segunda) y tambin para de la ecuacin (i) y reacomodando nos da:

15. Una barra corta de cobre de 25 mm de dimetro, est encerrado en el centro de un tubo de acero | de 36 mm de dimetro exterior y espesor 3 mm. | A 0C los extremos de la barra y el tubo estn J rgidamente asegurados y el ensamble completo | es calentado a 80C. Calcule el esfuerzo en la barra y en el tubo si E para el cobre e 100 000 I N/mm2, E para el acero es 200 000 N/mm2 y los coeficientes de dilatacin lineal del cobre y del acero son:0.00001/C y 0.000006/ respectivamente.

Solucin:

El rea de la seccin del tubo de acero y del cobre son:

Entonces de la ecuacin (7.49)

Aplicando nuevamente la ecuacin (7.49):

16. Una barra de acero templado de dimetro 75 mm es colocado en el interior de cilindro hueco | de aluminio de dimetro interior de 75 mm y i dimetro exterior 100 mm. Ambos ya sea la barra y el cilindro tienen la misma longitud. Dicha barra compuesta est sujeta a una carga y con compresin axial de 106 N. Si la barra y el cilindro se contraen la misma cantidad, calcule el esfuerzo en cada elemento.

La temperatura del elemento compuesto se j reduce en 150C, pero no se produce variacin I en su longitud. Calcule el esfuerzo Final en la barra y en el cilindro. Tome:

Solucin:La primera parte del problema es idntica al problema 13, por consiguiente, podemos sustituir las reas de la seccin directamente en la ecuacin (7.38).

De la ecuacin (7.38)

Debido al descenso de la temperatura en la cual no hay cambio en su longitud la deformacin del acero es y la deformacin del aluminio es Por consiguiente, debido al descenso de temperatura se tiene lo siguiente:

El esfuerzo final en el acero y el aluminio son:

17. Dos elementos estructurales estn conectados mediante una articulacin la cual est representada en la figura P7.17. El tornillo est sujeto a un manguito por medio de dos arandelas rgidas hasta que la fuerza de tensin en ei tornillo es 10 kN. La distancia entre 1a cabeza y la tuerca es 100 mm y la longitud del manguito es 80 mm. Si el dimetro del tornillo es 15 mm y los dimetros interior y exterior del manguito es 20 y 30 mm respectivamente, calcule el esfuerzo final en el tornillo y manguito cuando una carga de tensin externa de 5 kN se aplica al tornillo.Solucin:El rea de la seleccin del tornillo y del manguito son:

Para que est en equilibrio, la carga compresiva j el manguito debe ser igual que la carga en el tornillo por consiguiente en el tornillo y en el manguito el esfuerzo debido a la unin de la tuerca son:

Cuando la carga extrema de tensin es aplicada el esfuerzo de tensin en el tomillo se incrementara mientras que el esfuerzo de compresin en el manguito se reducir. La ecuacin (7.38) se aplicara, ya que los mdulos de Young son los mismos para el tornillo y el manguito.

Esfuerzo debido a la carga de 5KN:

Los esfuerzos finales son entonces:

18. Calcule el espesor mnimo de un agua de hierro fundido que tiene un dimetro interior de 1 m bajo una profundidad de 120 m. La resistencia a la tensin lmite del hierro fundido es 20 N/mm2 y la densidad del agua es 1000 kg/rn3.

Solucin

La tensin del agua en la tubera es el siguiente:

Por consiguiente, de la ecuacin (7.63), es el espesor mnimo de la pared es:

19. Un caso esfrico de pared delgada es fabricado de placas de acero y tiene ama presin interna de 0.75 N/mm2. ES dimetro interno es 3 m y junta tiene una eficiencia de! 80%. Calcule el espesor de las placas requeridas usando un esfuerzo de 80 N/mm2. (Nota: Espesor efectivo de las placas = 0.8 x espesor actual).

Solucin:De la ecuacin (7.68) el espesor requerido del casco es el siguiente:

PROPIEDADES DE LOS MATERIALES DE INGENIERIA

2. Una barra de metal de 25mm de dimetro y longitud de 250 mm se somete a un ensayo. Los resultados de la prueba son los siguientes:

Solucin

De la ecuacin (7.8) el mdulo de Young E es igual a la pendiente de la curva esfuerzo - deformacin, entonces, el esfuerzo = carga/rea y esfuerzo = elongacin/longitud original.

E = La pendiente de la curva carga - elongacin multiplicado por (longitud original / rea de la secin). De los resultados dados, la pendiente de la curva carga-elongacin es = 402.6 kN/mm. Entonces:

De la ecuacin (11.4). El mdulo de rigidez es dado por:

Por consiguiente la pendiente del torque - ngulo de giro (en radianes) multiplicado por (L/'J) es igual a G. De los resultados obtenidos en el grfico de la pendiente torque - ngulo de giro es = 12.38 kNm/ rad. Por consiguiente:

Una vez obtenido E y G el valor de la relacin de Poisson puede ser encontrado de la ecuacin (7.21):

Finalmente, el mdulo volumtrico K se puede encontrar usando las ecuaciones (7.23) (7.22). De la ecuacin (7.22).

3. La curva actual del esfuerzo- deformacin material en particular es dado por