CV00 - 842 – CV2009 Mecánica de Sólidos II Carlos Enrique Nungaray Pérez

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ESFUERZOS CORTANTES EN VIGAS ASIMÉTRICAS

Introducción En el primer curso de Mecánica de Sólidos se estudia el cálculo de esfuerzos cortantes en vigas que cumplen, entre otros, con los siguientes requisitos:

1. Sección transversal con al menos un eje de simetría.

2. Todas las cargas sobre la viga están contenidas en el plano de simetría de la sección transversal.

Bajo las condiciones anteriores, el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de la sección transversal se obtiene con la ecuación siguiente:

It

VQ=τ (1)

en donde

En esta sección del curso vamos a generalizar la ecuación (1) para tomar en cuenta el hecho de que la sección transversal no necesariamente deberá tener al menos un eje de simetría.

Cálculo del esfuerzo cortante – Ejes arbitrarios El procedimiento para obtener la ecuación del esfuerzo cortante para una viga de sección transversal arbitraria es el mismo que se usa para llegar a la ecuación (1), y se puede consultar en la Sección 5.8 del libro de texto. La diferencia está en que, para llegar a la ecuación (1), el esfuerzo normal por flexión debe estar dado por la ecuación

I

My=σ (2)

mientras que para una viga de sección transversal asimétrica el esfuerzo normal por flexión está dado por

yIII

IMIMz

IIIIMIM

yzzy

yzyyz

yzzy

yzzzy22 −

+−

−

+=σ (3)

La ecuación (3) se aplica para ejes centroidales tanto no principales como no principales.

Al usar la ecuación (3) en una viga de sección abierta de pared delgada, la ecuación del esfuerzo cortante queda de la manera siguiente:

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2

( ) ( )2 20 0 0 0

s s s sy zyz y yz z

y z yz y z yz

V VI zdA I ydA I ydA I zdAt I I I t I I I

τ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −∫ ∫ ∫ ∫

(4)

Cálculo del esfuerzo cortante – Ejes principales Si los ejes "y" y "z" son ejes principales, entonces el producto de inercia, Iyz, es igual a cero y la ecuación (4) se reduce a la ecuación siguiente:

0 0p p

p p

s s

y p z p

z y

V y dA V z dA

I t I tτ = − −∫ ∫ (5)

Aunque la ecuación anterior es más sencilla que la general, el cálculo de las coordenadas con respecto a los eje principales, yp y zp, así como de las fuerzas cortantes Vyp y Vzp se complica porque debemos usar las siguientes ecuaciones de transformación:

Para las coordenadas,

cos sinp p pz z yθ θ= − (6a)

sin cosp p py z yθ θ= + (6b)

Para las fuerzas cortantes,

cos sinpz z p y pV V Vθ θ= − (7a)

sin cospy z p y pV V Vθ θ= + (7b)

Las ecuaciones (6) y (7) corresponden a las figuras siguientes, en donde el ángulo de giro es positivo si es en contra de las manecillas del reloj, y las fuerzas cortantes son positivas si van en la dirección positiva de los ejes.

z

y

zp

yp

θp

Vz

Vy

Vzp

Vyp

θp