Topolog´ıa Algebraica de Espacios Topológicos Finitos y Aplicaciones
Espacios Topológicos Conexos
Click here to load reader
description
Transcript of Espacios Topológicos Conexos
7/18/2019 Espacios Topológicos Conexos
http://slidepdf.com/reader/full/espacios-topologicos-conexos 1/2
Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de Chile
MA3801 Analisis.Profesor: Carlos Conca R.Escrito por: Francesco Vial.
Espacios Topologicos Conexos
Definicion: Un espacio topologico [X, τ ] se dice conexo si y solo si:
(∀U 1, U 2 ∈ τ )tales que X = U 1 ∪ U 2; U 1 ∩ U 2 = φ ⇒ U 1 = φ ∨ U 2 = φ
.
En palabras esto significa que el espacio no es posible particionarlo en dos abiertos no vacıos disjuntos.Un subconjunto A de X se dice conexo ssi el subespacio topologico [A, τ A] (con la topologıa traza) es conexo.
Los conjuntos U 1, U 2 ; X = U 1 ∪ U 2 tales que U 1 ∩ U 2 = φ forman una particion de X (cuando U 1, U 2 = φ).
Proposicion 1: Sea [X, τ ] un e.t. Son equivalentes:
1. X es conexo
2. X no se puede particionar en dos cerrados no vacıos. Es decir: X = F 1 ∪ F 2 con F 1 y F 2 cerrados entonces F 1 = φ
o F 2 = φ.
3. Los unicos conjuntos cerrados y abiertos de X son X y φ. (A los conjuntos abiertos y cerrados a la vez en unatopologıa los llamaremos clopen.
Proposicion 2: Sea (Ai)i∈I una coleccion de subconjuntos conexos de un espacio topologico X tales quei∈I Ai = φ
entonces
i∈I Ai es conexo.
Proposicion 2’(Francesco): Una forma alternativa (¿sera equivalente?) es probar que ∀i, j ∈ I se tiene que Ai∩Aj =
φ. con Ai conexo ∀i ∈ I entonces i∈I Ai es conexo.
Proposicion 3: Sea A una parte o subconjunto conexo de un e.t. X . Entonces A es conexo.
Proposicion 4: Sea X un e.t. conexo y f : X → Y una funcion continua. Entonces f (X ) es conexo en Y .
Proposicion 5: Sea X =ni=1
X i un e.t. producto, entonces X es conexo si y solo si X i es conexo para todo i en
{1, . . . , n}.
Lema: Sea D un e.t. discreto y |D| ≥ 2. entonces: X es e.t conexo si y solo si ∀f : X → D continua ⇒ f es constante.
Componente conexa de un punto x ∈ X : Es el mayor conexo que contiene a x, i.e. la union de todos los conexos
que contienen a x. Se denota C (x).
C (x) =
{C i : C i es conexo y x ∈ C i}
Componentes Conexas de un conjunto : Sea X un e.t. y M un s.e.t. de X . Las componentes conexas de M sonlas componentes conexas de los puntos x ∈ M , mirando M como s.e.t. dotado de la topologıa Inducida (traza) por X .
Notas:
C (x) es cerrado, pues C (x) es un conexo que contiene a x y entonces C (x) = C (x)
1
7/18/2019 Espacios Topológicos Conexos
http://slidepdf.com/reader/full/espacios-topologicos-conexos 2/2
Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas Universidad de Chile
Si x = y son dos elementos de X , entonces la siguiente dicotomıa es cierta: o bien las componentes conexas de x ey son identicas , o bien, son disjuntas.
De aquı sigue que la relacion:
xRy ⇐⇒ x e y pertenecen a la misma componente conexa.
xRy ⇐⇒ C (x) = C (y)
es una relacion de equivalencia en X ×X . Ası las clases de equivalencia de R son las componentes conexas de X y generanuna particion de X .
Ejemplos :
1. Si X es conexo ⇒ C (x) = X (∀x ∈ X )
2. En Q los conexos son los singuletes, y entonces C (x) = {x}
3. Si X = R − {0} , sus componentes conexas son (−∞, 0) ∪ (0,∞)
4. Si X = (0, 1) ∪ [2, 3) , sus componentes conexas son (0, 1) y [2, 3)
5. En R2 , las componentes conexas de Q × R son las fibras {x} × R, x ∈ Q.
6. En R3 , las componentes conexas de Q × R2 son las laminas {x} × R2, x ∈ Q
Conexidad por caminos : Un e.t. X se dice Conexo por caminos ssi (∀a, b ∈ X ) , existe un intervalo [α, β ] en Ry una funcion f : [α, β ] → X , tal que f es continua y f (α) = a y f (β ) = b, es decir cuando todo par de puntos a, b ∈ X
se conectan a traves de un camino, contenido en X .
Veamos que si X es conexo por caminos entonces es conexo . En efecto, fijemos x0 ∈ X y sea x ∈ X , cualquierax = x0. Existe f x : [αx, β x] → X continua; tales que f x(αx) = x0 y f x(β x) = x
X = xo=x∈X f x([αx, β x]) es conexo, pues son conexos no disjuntos (tienen interseccion no vacıa, de hecho su interseccion
es el singulete {x}), y ası la union de conexos no disjuntos es conexo por ser f continua.La inversa no es cierta , el contraejemplo clasico es el siguiente, sea Γ el grafo de la siguiente funcion:g : (0, 1] → R tal que g(x) = sen( 1
x) , entonces: Γ = {(x,sen( 1
x)) : x ∈ (0, 1]}
Como f es continua , Γ es conexo y entonces Γ tambien es conexo en R2 . Ahora Γ = Γ ∪ {0} × [−1, 1], que no esconexo por caminos, pues cualquier punto en el grafo de la funcion y alguno del eje Y no son conectables por ninguncamino continuo (se sale del dominio).
2