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De las siguientes afirmaciones indique si son falsas o verdaderas:

I) El conjunto de vectores ( xy ) en R2 con y=−3x es un espacio vectorial.

Verdadero

II) El conjunto de vectores ( xy ) en R2con y=−3x+1 es un espacio vectorial

real.

Falso

III) El conjunto de matrices invertibles de 5x5 forma un espacio vectorial

(con “+” definido como en la suma de matrices ordinaria).

Falso

IV) El conjunto de múltiplos constantes de la matriz idéntica de 2x2 es un

espacio vectorial con “+” definido como en III).

Verdadero

V) El conjunto de matrices idénticas nxn para n= 2,3,4…, es un espacio

vectorial ( con “+” definido como en III).

Falso

VI) El conjunto de vectores ( xyz ) en R3 con 2x-y-12z=0 es un espacio

vectorial.

Verdadero

VII) El conjunto de vectores ( xyz ) en R3 con 2x-y-12z=1 es un espacio

vectorial real.

Falso

VIII) El conjunto de polinomios de grado 3 es un espacio vectorial real

(con “+” definido como la suma de polinomios ordinaria)

Falso

ÁLGEBRA LINEAL Salinas López Jose Miguel

De los problemas 1 al 11 determine si el conjunto dado es un espacio

vectorial. De no ser así proporcione una lista de los axiomas que no se

cumplen.

1. El conjunto de matrices diagonales de nxn bajo la suma de matrices y

multiplicación por un escalar usuales.

Espacio vectorial

2. El conjunto de matrices diagonales bajo la multiplicación (es decir,

A⊕B= AB).

No es un espacio vectorial.

.-Ley conmutativa de suma de vectores. AB≠BA

.-Inverso aditivo, porque no todas las matrices diagonales

tienen inversa.

3. {( x y ): y ≤0 , x , y reales } con la suma de vectores y multiplicación por un

escalar usuales.

No es un espacio vectorial

.-Inverso aditivo: ”XEV, entonces x+(-x)= 0” no se cumple si

{( x , y ); y ≤ }EV por lo tanto su opuesto –y>0 y este elemento no

pertenece a V.

.- Cerradura bajo la multiplicación por un escalar.

“Sí XEV y ɑ es un escalar, entonces ɑ x EV”, no se cumple

porque si y<0 y ɑ<0 entonces y∄V.

4. Los vectores en el plano que están en el primer cuadrante.

No es espacio vectorial.

.-Inverso aditivo “ Si xEV, -xEV tal que x+ (-x)=0 si (x,y) están

estrictamente en el 1er cuadrante entonces –(x,y)= (-x,-Y) está

en el 3er cuadrante provocando que (-x,y) ∄V.

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5. El conjunto de vectores en R3 de la forma (x, x, x).

Sí es un espacio vectorial

6. El conjunto de polinomio de grado y bajo las operaciones del ejemplo

7.

Es un espacio vectorial

7. El conjunto de polinomios de grado 5 bajo la operación del ejemplo 7:

8. El conjunto de matrices simétricos de nxn bajo la suma y

multiplicación por un escalar usuales.

Sí es un espacio vectorial

9. El conjunto de matrices 2x2 que tienen la forma (0 ab 0) bajo la suma y

multiplicación por un escalar usuales.

Sí es un espacio Vectorial

10. El conjunto de matrices de la forma (1 ɑβ 1) con las operaciones de

matrices de suma y multiplicación por un escalar.

No es espacio vectorial

.-Cerradura bajo la suma si xEV y yEV, entonces x+yEV n;

(1 ɑβ 1)+(1 ɑ

β 1)=( 2 2ɑ2 β 2 ) ∄V

Vector cero “Existe un vector 0EV tal que parea xEV, x+0, no

se cumple porque (0 00 0) EV

.-Inverso aditivo “si xEV entonces –xEV tal que que x+(-x)=0; no

se cumple porque -(1 ɑβ 1)=(−1 −ɑ

−β −1)∄V

.-Cerradura bajo la multiplicación por un escalar. “Si xEV y ɑ es

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un escalar, entonces ɑxEV; si ɑ≠1 no se cumple porque

a (1 ɑβ 1)=( a aɑ

aβ 1a) ∄V

11. El conjunto que consiste en un solo vector (0,0) bajo las operaciones

usuales en símbolo R2.

Si es espacio vectorial

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