ESPACIOS_LINEALES_2014_II (1)

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ESPACIOS LINEALES

Capítulo

S

H

V


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ESPACIO LINEAL

Definición

Notación: "V"

Clasificación: 1. E. vectoriales

2. E. polinomial

3. E. matriciale


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AXIOMAS!

!


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SUBESPACIO DE UN "V"

Definición Notación: "H"

Axiomas: 1, 4 y 6


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CONJ. GENERADOR "S"

Conjunto generador "S"S = , , … ,

Subespacio generado "H"

H = , , … ,

Espacio lineal (vectorial) "V"

V = ℜ


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CONJ. GENERADOR "S"

Conjunto geneS = ;

Subespacio:

H =

Espacio vector

V = ℝ

S

H

V


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ESPACIOS VECTORIALE

Ejercicio iDados y en un espacio vecto

Sea = , . Demuestre qu

un subespacio de V.


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ESPACIOS VECTORIALE

Ejercicio iiSea "H" el conjunto de todo

vectores de la forma + ,

donde y son escalares. Demque "H" es un subespacio de ℝ.


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ESPACIOS VECTORIALE

Ejercicio iiiDemuestre que la recta : ; +

no es un subespacio lineal .

Ejercicio iv Dado el conjunto = ; /

diga si es o no un espacio lineal.


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ESPACIOS VECTORIALE

Ejercicio v El conjunto de todos los vectores

cuyas componentes satisfacen

ecuaciones: ++ = y ¿es o no un subespacio lineal?


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ESPACIOS VECTORIALE

Ejercicio vi¿El conjunto solución de la ecu

matricial = es un sube

lineal?¿El CS de la ecuación matricial

es un subespacio lineal?


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THE NULL SPACE OF A

•

Written as NulA• Nul = ∈ ℝ =

• Definition:

NulA is the set of all solutions homogeneous equation = .


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THE NULL SPACE OF A

Ejercicio viiLet "H" be the set of all solutions

following system of linear equati

= + =

Show that "H" is a subspace of ℝ


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THE COLUMN SPACE O

•

Written as ColA• Col = ∈ ℝ = , ∈ ℝ

• Definition:

ColA is the set of all combinations of the columns of


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THE COLUMN SPACE O

Ejercicio viiiFind a matrix A such the =

=

+

; , ∈ℜ


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BASE DE UN SUBESPAC

Sea "H" un subespacio de "Vconjunto de vectores = ; ;

es una base para "H" si

= ; ; … ;

y además es LI .


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BASE DE UN SUBESPAC

Ejercicio ix

Hallar una base para ColA y otra NulA

=


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DIMENSIÓN DE UN 'H'

La dimensión de un "H" es el vectores que tiene una base de

subespacio

() =

+ () =

() + () =


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BASE DE UN 'V' COMPL

=

,

=

,

,

=

,

,

,


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SIST. DE COORDENADA

Si =;

; … ;

es una base pa

ℝ, entonces todo vector ∈ ℝ s

puede expresar como CL de los "n

vectores de la base

= + + ⋯ + =


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SIST. DE COORDENADA

donde , o , se denomina veccoordenadas de relativas a la ba

=

⋮


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SIST. DE COORDENADA

Ejercicio x

Considere = , una base para ℝ

=

=

Encuentre y grafique un vector de ℝ

vector de coordenadas es =

.


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SIST. DE COORDENADA

Ejercicio xi

Sea "B" una base para ℝ

=

,

Hallar las coordenadas del vector

=

relativas a la base "B".


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SIST. DE COORDENADA

Ejercicio xiiSean = (, , ), = (, , ) y

= , , , donde = , e base para = , Determ

está en "H". Si fuera así, encuen vector de coordenadas de relatla base .


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CAMBIO DE BASE

•

Matriz de cambio de base =

− =

−

• Método alternativo ~


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CAMBIO DE BASE

Ejercicio xiiiSean "B" y "C" bases para ℝ

=

,

=

,

Hallar si =

.


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CAMBIO DE BASE

Ejercicio xiv

Considere dos bases = , y

= , de ℝ, tales que:

= + y = +

Suponga que: = + . Encuentrematriz de cambio de base de a yencuentre .


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ESPACIOS MATRICIALE

Ejercicio xv Averiguar si el siguiente conjunto

,

,


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ESPACIOS MATRICIALE

Ejercicio xvi

Hallar una base para

=

,

,


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ESPACIOS MATRICIALE

Ejercicio xvii

Agregar dos matrices a "S"

obtener una base para = (,)

= ,


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ESPACIOS POLINOMIAL

Ejercicio xviii

Averiguar si los siguientes polin

son LI

=

++;

++;


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ESPACIOS POLINOMIAL

Ejercicio xix

Averiguar si los siguientes polin

forman una base para el espac

polinomios de grado ≤

.

= ++ ; ; ;


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ESPACIOS POLINOMIAL

Ejercicio xx

Hallar el vector de coorde

relativas a la base B de =

sabiendo que

= ++ ; ; ;

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