ESPEJOS CONCABOS Y CONVEXOSLos espejos curvos ms comunes son esfricos, lo que significa que forman una seccin de una esfera.

Espejo ConvexoUn espejo esfrico se llama convexo si la reflexin tiene lugar sobre la superficie exterior de la forma esfrica, de modo que el centro de la superficie del espejo se abomba hacia el observador. Y los espejos convexos a veces se usan en los autos y camiones (espejos retrovisores) y en las tiendas (para observar a los ladrones), pues tienen un amplio campo de visin.

Espejos con superficies esfricas convexa y cncava.Note que e para cada rayo.

Espejo cncavo

Un espejo se llama cncavo si la superficie reflectora est en la superficie interior de la esfera, de modo que el centro del espejo se aleja del observador (como una cueva). Los espejos cncavos se usan como espejos de afeitado o cosmticos.

Punto focal y longitud focalPara ver cmo forman imgenes los espejos esfricos, consideremos primero un objeto que est muy lejos de un espejo cncavo. Para un objeto distante, como se muestra en la figura:

Los rayos provenientes de cada punto del objeto, que llegan al espejo, sern casi paralelos. Para un objeto infinitamente distante (el Sol y las estrellas se aproximan a esto), los rayos seran precisamente paralelos. Considere ahora que tales rayos paralelos caen sobre un espejo cncavo, como en la figura:

La ley de reflexin se sostiene para cada uno de estos rayos en el punto que cada uno toca al espejo. Como se observa, no todos ellos llegan a un solo punto. Para formar una imagen clara, los rayos deben llegar a un punto. En consecuencia, un espejo esfrico no formar una imagen tan clara como la de un espejo plano. Sin embargo, como se mostrar ms abajo, si el espejo es pequeo en comparacin con su radio de curvatura, de modo que un rayo reflejado forme slo un ngulo pequeo con el rayo incidente 2 en la figura:

Entonces los rayos se cruzarn unos a otros muy aproximadamente en un solo punto, o foco. En el caso que se muestra en la figura 8-12, los rayos son paralelos al eje principal, que se define como la lnea recta perpendicular a la superficie curva en su centro (lnea CA en el diagrama). El punto F, donde los rayos paralelos incidentes llegan a un foco despus de la reflexin, se llama punto focal del espejo. La distancia entre F y el centro del espejo, longitud FA, se denomina longitud focal, f, del espejo. El punto focal tambin es el punto de la imagen para un objeto infinitamente alejado a lo largo del eje principal. La imagen del Sol, por ejemplo, estara en F.

Ahora se demostrar que los rayos casi se encuentran en un punto comn, F, en el caso de un espejo cuya superficie reflectora es pequea en comparacin con su radio de curvatura, y tambin se calcular la longitud focal f. En esta aproximacin, slo se consideran los rayos que forman un ngulo pequeo con el eje principal; a tales rayos se les llama rayos paraxiales y sus ngulos estn exagerados en la figura 8-12 para dar mayor claridad. Primero se considera un rayo que llega al espejo en B en la figura 8-12. El punto C es el centro de curvatura del espejo (el centro de la esfera de la cual el espejo es una parte). As que la lnea punteada CB es igual a r, el radio de curvatura, y CB es normal a la superficie del espejo en B. El rayo entrante que toca el espejo en B forma un ngulo u con esta normal y por tanto el rayo reflejado, BF, tambin forma un ngulo con la normal (ley de reflexin). Hay que hacer notar que el ngulo BCF tambin es u como se muestra. El tringulo CBF es issceles porque dos de sus ngulos son iguales. De esta forma, se tiene la longitud CF = BF.Se supone que la superficie del espejo es pequea comparada con el radio de curvatura del espejo, as que los ngulos son pequeos y la longitud FB casi es igual a la longitud FA. En esta aproximacin, FA = FC. Pero FA = f, la longitud focal, y CA = 2 x FA = r. En consecuencia, la longitud focal es la mitad del radio de curvatura: Ecuacin 8-1.

Slo se supuso que el ngulo u era pequeo, as que este resultado se aplica a todos los otros rayos paraxiales incidentes. De esta forma, todos los rayos paraxiales pasan a travs del mismo punto F.Dado que slo es aproximadamente cierto que los rayos llegan a un foco perfecto en F, cuanto ms curvo sea el espejo, peor ser la aproximacin (figura 8-11) y ms borrosa ser la imagen. Este defecto de los espejos esfricos se conoce como aberracin esfrica; Por otra parte, un reflector parablico reflejar los rayos a un foco perfecto. Sin embargo, como las formas parablicas son mucho ms difciles de hacer y en consecuencia mucho ms costosas, los espejos esfricos se usan para la mayora de los propsitos.(Muchos telescopios astronmicos utilizan reflectores parablicos). Aqu slo se considerarn espejos esfricos y se supondr que son pequeos comparados con sus radios de curvatura, de modo que la imagen ser clara y se sostendr la ecuacin 8-1.

Formacin de imgenes; diagramas de rayosSe vio que, para un objeto en el infinito, la imagen est ubicada en el punto focal de un espejo esfrico cncavo, donde f= r/2 Pero, dnde se encuentra la imagen para un objeto que no est en el infinito? figura 8-13:

Primero considere el objeto que se muestra como una flecha en la que est colocado entre F y C en el punto O (O por objeto). Ahora se determinar dnde estar la imagen para un punto dado O en la parte superior del objeto. Para hacer esto, se dibujan varios rayos asegurndose de que se reflejan en el espejo de tal modo que el ngulo de reflexin sea igual al ngulo de incidencia. Se podran dibujar muchos rayos que salen de cualquier punto en el objeto, pero la determinacin de la posicin de la imagen se simplifica si se trata con tres simples rayos en particular. stos son los rayos designados como 1, 2 y 3 en la figura 8-13 y es posible dibujarlos saliendo del punto O del objeto del modo siguiente:El rayo 1 se dibuja paralelo al eje; por tanto, despus de la reflexin, debe pasar a lo largo de una lnea a travs de F (como se vio en la figura 8-12, y se dibuja aqu en la figura 8-13a).El rayo 2 sale de O y se hace pasar a travs de F; por tanto, se debe reflejar de modo que sea paralelo al eje (figura 8-13b).El rayo 3 pasa a travs de C, el centro de curvatura; est a lo largo de un radio de la superficie esfrica y es perpendicular al espejo, as que se refleja de vuelta sobre s mismo (figura 8-13c).Los tres rayos salen de un solo punto O en el objeto. Despus de la reflexin en un espejo (pequeo), el punto en el que estos rayos se cruzan es el punto de imagen ITodos los dems rayos provenientes del mismo punto del objeto tambin pasarn a travs de este punto de imagen. Para encontrar el punto de imagen para cualquier punto de objeto, slo es necesario dibujar estos tres tipos de rayos. En realidad, slo se necesitan dos de estos rayos, pero el tercero sirve como comprobacin.En la figura 8-13 se muestra el punto de imagen para un solo punto en el objeto.Otros puntos en el objeto se visualizan cerca, as que se forma una imagen completa del objeto, como se indica mediante las flechas punteadas en la figura 8-13c.Puesto que la luz en realidad pasa a travs de la imagen misma, sta es una imagen real que aparecer en un pedazo de papel o en una pelcula colocada ah. Esto se puede comparar con la imagen virtual formada por un espejo plano.La imagen en la figura 8-13 puede ser vista por el ojo cuando ste se coloca a la izquierda de la imagen, de modo que parte de los rayos que divergen desde cada punto sobre la imagen.

Ecuacin de espejo y amplificacinLos puntos de imagen se determinan, aproximadamente, al dibujar los tres rayos como se acaba de describir (figura 8-13); pero es difcil dibujar ngulos pequeos para los rayos paraxiales como se supuso. Para resultados ms precisos, ahora se deducir una ecuacin que proporciona la distancia imagen si la distancia objeto y el radio de curvatura del espejo se conocen. Para hacer esto, nos remitiremos a la figura 8-14.La distancia objeto, do, es la distancia del objeto (punto O) desde el centro del espejo.La distancia imagen, di, es la distancia de la imagen (punto I) desde el centro del espejo. La altura del objeto OO se llama ho y la altura de la imagen, II, hi. Se ilustran los dos rayos que salen de O: OFBI (igual que el rayo 2 en la figura 8-13) y

OAI que es un cuarto tipo de rayo que se refleja en el centro del espejo y que resulta til para encontrar un punto de imagen. El rayo OAI obedece la ley de reflexin, de modo que los dos tringulos rectos OAO e IAI son similares. En consecuencia, se tiene:

Para el otro rayo que se representa, OFBI los tringulos OFO y ABF tambin son similares porque los ngulos son iguales y se usa la aproximacin AB = hi (espejo pequeo comparado con su radio). Ms an, FA = f, la longitud focal del espejo, de modo que

Los lados izquierdos de las dos expresiones precedentes son los mismos, as que se pueden igualar los lados derechos:

Ahora se dividen ambos lados por do y se reordenan para obtener

Ecuacin 8-2sta es la ecuacin que se buscaba. Se llama ecuacin del espejo y relaciona las distancias objeto e imagen con la longitud focal f (donde f = r/2).La amplificacin, m, de un espejo se define como la altura de la imagen dividida por la altura del objeto. A partir del primer conjunto de tringulos similares arriba, o de la primera ecuacin de esta pgina, se puede escribir:

Ecuacin 8-3El signo menos en la ecuacin 8-3 se inserta como convencin. De hecho, hay que tener cuidado con los signos de todas las cantidades en las ecuaciones 8-2 y 8-3.

Las convenciones de signos se eligen de modo que brinden las ubicaciones y orientaciones correctas de las imgenes, predichas por los diagramas de rayos. Las convenciones de signos que se emplean son: la altura de la imagen hi es positiva si la imagen est derecha y negativa si est invertida en relacin con el objeto (se supone que ho se toma como positiva); di o do es positiva si la imagen u objeto est enfrente del espejo (como en la figura 8-14); si la imagen o el objeto est detrs del espejo, la distancia correspondiente es negativa .As, la amplificacin (ecuacin 8-3) es positiva para una imagen derecha y negativa para una imagen invertida (de cabeza).

Ejemplos de espejo cncavo

Ejemplo 1

Imagen en un espejo cncavo. Un anillo de diamantes de 1.50 cm se coloca a 20.0 cm de un espejo cncavo con 30.0 cm de radio de curvatura. Determine a) la posicin de la imagen y b) su tamao.

PLANTEAMIENTO Se determina la longitud focal a partir del radio de curvatura (ecuacin 8-1), El diagrama de rayos es bsicamente como el que se reproduce en la figura 8-13 o en la figura 8-14, pues el objeto est entre F y C. La posicin y el tamao de la imagen se determinan a partir de las ecuaciones 8-2 y 8-3.

SOLUCIN Al hacer referencia a la figura 8-14, se tiene CA = r = 30.0 cm, FA = f = 15.0 cm OA = do = 20.0 cm.a) A partir de la ecuacin 8-2

As que Dado que di = 1/(0.0167 cm-1) = 60.0cm Dado que di es positiva, la imagen est a 60.0 cm enfrente del espejo, en el mismo lado que el objeto.b) A partir de la ecuacin 8-3, la amplificacin es:

La altura de la imagen es 3.0 veces la altura del objeto, y es

Ejemplo 2

Objeto ms cerca a un espejo cncavo. Un objeto de 1.00 cm de alto se coloca a 10.0 cm de un espejo cncavo cuyo radio de curvatura es de 30.0 cm. a) Dibuje un diagrama de rayos para ubicar (aproximadamente) la posicin de la imagen. b) Determine analticamente la posicin de la imagen y la amplificacin.

PLANTEAMIENTO Se dibuja el diagrama con los rayos de la figura 8-13. Una solucin analtica utiliza las ecuaciones 8-1, 8-2 y 8-3.

SOLUCIN a) Dado que f = r/2 = 15cm, el objeto est entre el espejo y el punto focal. Se dibujan los tres rayos como se describi anteriormente (figura 8-13).El rayo 1 deja la punta del objeto dirigindose hacia el espejo paralelo al eje, y se refleja a travs de F.El rayo 2 no se puede dirigir hacia F porque no hara contacto con el espejo; as que el rayo 2 debe apuntar como si partiera de F (lnea punteada) y se dirigiera al espejo, y luego se refleja paralelo al eje principal. El rayo 3 es perpendicular al espejo, como antes. Los rayos reflejados por el espejo divergen y, por consiguiente, nunca se alcanzan en un punto. Sin embargo, parecen provenir de un punto detrs del espejo. Este punto ubica la imagen de la punta de la flecha. La imagen, por ende, est detrs del espejo y es virtual.b) Se emplea la ecuacin 8-2 para encontrar di cuando do _ 10.0 cm:

Por tanto, di__30.0 cm. El signo menos significa que la imagen est detrs del espejo.La amplificacin es m = di/do = (30.0 cm)/(10.0 cm) = 3.00. De modo que la imagen es 3.00 veces ms grande que el objeto. El signo ms indica que la imagen es derecha (igual que el objeto), lo que es consistente con el diagrama de rayos.

Espejos convexosEl anlisis que se realiz para los espejos cncavos tambin es aplicable a los espejos convexos. Incluso la ecuacin del espejo (ecuacin 8-2) se sostiene para un espejo convexo, aunque las cantidades implicadas se deben definir cuidadosamente. La figura 8-17a muestra rayos paralelos que caen sobre un espejo convexo. De nuevo estar presente la aberracin esfrica (figura 8-11), pero se supone que el tamao del espejo es pequeo comparado con su radio de curvatura. Los rayos reflejados divergen, pero parecen provenir del punto F detrs del espejo. ste es el punto focal, y su distancia desde el centro del espejo es la longitud focal, f. Es fcil demostrar que de nuevo f = r/2. Se ve que un objeto en el infinito produce una imagen virtual en un espejo convexo. De hecho, no importa dnde se coloque el objeto en el lado reflector de un espejo convexo, la imagen ser virtual y derecha, como se indica en la figura 8-17b. Para encontrar la imagen se dibujan los rayos 1 y 3 de acuerdo con las reglas empleadas antes en el espejo cncavo, como se observa en la figura 8-17b. Advierta que, aunque los rayos 1 y 3 en realidad no pasan a travs de los puntos F y C, la lnea a lo largo de la que se dibuja cada uno s lo hace (se indica con lneas punteadas).La ecuacin del espejo (ecuacin 8-2) se sostiene para espejos convexos, pero la distancia focal f debe considerarse negativa, al igual que el radio de curvatura. La demostracin se deja como problema. Tambin se deja como problema la demostracin de que la ecuacin 8-3 para la amplificacin es igualmente vlida.

EjemploEspejo retrovisor convexo. Un espejo retrovisor externo en un automvil es convexo, con un radio de curvatura de 16.0 m .Determine la ubicacin de la imagen y su amplificacin para un objeto a 10.0 m del espejo.

PLANTEAMIENTO Se siguen explcitamente los pasos del recuadro de resolucin de problemas.

SOLUCIN 1. Dibuje un diagrama de rayos: El diagrama de rayos ser como la figura 8-17, pero la gran distancia objeto (d0 = 10.0 m) hace difcil un dibujo preciso.Se tiene un espejo convexo, de modo que r es negativo por convencin.2. Ecuaciones de espejo y amplificacin: El centro de curvatura de un espejo convexo est detrs del espejo, al igual que su punto focal, as que se hace r = -16.0 m, de modo que la longitud focal es f = r/2 = 8.0 m. El objeto est enfrente del espejo, do = 10.0 m. Al resolver la ecuacin del espejo (ecuacin 8-2) para 1/di se obtiene

Por tanto, di = 80.0 m/18 = 4.4 m. La ecuacin 8-3 proporciona la amplificacin

3. Convenciones de signos: La distancia imagen es negativa, -4.4 m, as que la imagen est detrs del espejo. La amplificacin es m = +0.44, as que la imagen est derecha (misma orientacin que el objeto) y tiene menos de la mitad de la altura del objeto.

4. Comprobacin: Los resultados son consistentes con la figura 8-17b.