LABORATORIA N°3

1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una

campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?

a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto.

Datos:

𝑛 = 1000 𝑥 = 25

𝑝 = 25/1000 𝑝 = 0.025

𝑍 =𝑥/𝑛 − 𝑝0

√𝑝0(1 − 𝑝0)

𝑛

𝒂)

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

H0: p ≤ p0 p ≤ 0,03

H1: p > p0 p > 0,03

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

α = 1% = 0.01 ; para f(0.01) 𝑧 = 2.32

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

z0 =p − p0

√p0(1 − p0)n

=

251000

− 0.03

√0.03(1 − 0.03)1000

= −0.005

0.00539= −0.93

iv) REGIÓN CRITICA:

v) z0 = -0.93 se acepta la hipótesis nula

vi) No es cierto que más del 3 % de la población no conoce el nuevo producto.

b)

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

H0: p ≥ p0 p ≥ 0,02

H1: p < p0 p < 0,02

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

α = 1% = 0.01 ; para f(0.01) 𝑧 = 2.32

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

z0 =p − p0

√p0(1 − p0)n

=

251000

− 0.02

√0.02(1 − 0.02)1000

= 0.005

0.00443= 1.13

iv) REGIÓN CRITICA

v) z0 =1,13 se acepta la hipótesis nula

vi) No es cierto que menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto.

2) Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen

por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar

una campaña publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de

las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos

autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en

relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media =

169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas

mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5

% y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno lanzar una nueva

campaña publicitaria?

Datos:

µ = 170000

𝑥 = 169441.8

𝑛 = 51

𝜎 = 32827.5

𝛼 = 5% = 0.05

𝐸𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓 (0.05) 𝑧 = 1.645

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA;

𝐻0: 𝜇 ≥ 170000

𝐻1: 𝜇 < 170000

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN

α = 5% = 0.05 ; para f(0.05) 𝑧 = −1.645

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑧0 =𝑥̅ − 𝜇0

𝜎

√𝑛

= 169 441.8 − 170000

32827.5

√51

= −555.2

4596.769= −0.12

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se acepta la hipótesis nula

vi) No es oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria

3) Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de

ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que

realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8

semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas.

Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.

Datos:

𝑛 = 8 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 : 𝑛 − 1 = 8 − 1 = 7 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 : 1 − 𝛼 = 0.99 , 𝛼 = 1 − 0.99, 𝛼 = 0.01 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 : 𝛼 = 0.01

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇 ≤ 40

𝐻1: 𝜇 > 40

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.005 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝛼 = 2,998

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑡0 =𝑥̅ − 𝜇0

𝑆

√𝑛

= 42 − 40

2

√8

= 2

0.7071= 2.83

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se acepta la hipótesis nula.

vi) Los representantes se equivocaron al afirmar que hacen más de 40 visitas al día.

4) Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo que

los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye

normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio,

una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su

hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población,

obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%.

Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta.

Datos:

µ = 22 𝜎 = 6 𝑛 = 64 𝑥 = 25 𝑎 = 5% = 0,05 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑓(0.05) 𝑧 = 1.645

𝑍𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 =𝑥 − µ

𝑆

√𝑛

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇 ≤ 22

𝐻1: 𝜇 > 22

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.05 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧𝛼 = 1.645

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑧0 =𝑥̅ − 𝜇0

𝜎

√𝑛

= 25 − 22

6

√64

= 3

0.75= 4

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa

vi) La empresa tiene razón al afirmar que el tiempo que le dedican los niños a la televisión es

mayor a 22 horas.

5.-Una cooperativa agrícola debe decidir cuál de dos tipos de neumáticos (A Y B) va a

comprar para sus camiones. Los neumáticos se prueban bajo condiciones semejantes hasta

que se desgastan. Se emplean 16 de cada marca. Si �̅�(𝑨) = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝑲𝒎 y �̅�(𝑩) = 𝟐𝟑𝟓𝟎𝟎 𝑲𝒎

y S(A) = S(B)= 340 Km. ¿existen diferencias significativas entre las medias al nivel de

significación del 5%?

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.05 ; 𝑦 𝛼 2⁄ = 0.025 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝛼 2⁄ = 2.042

n=16

Grados de libertad (𝑛1 + 𝑛2 − 2) = (16+16-2) = 30

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑡0 =(𝑥̅1 − 𝑥̅2) − (𝜇1 − 𝜇2)0

√𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2

=(26000 − 235009) − 0

√3402

16+

3402

16

= 20.79

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se rechaza la hipótesis H0 ya que t0 = 20,79 se encuentra en la Región de Rechazo.

vi) Si existen diferencias significativas.

6.- Mediante dos procesos se fabrican alambres galvanizados lisos para alambrados rurales.

Los técnicos de la fábrica desean determinar si los dos procesos poseen diferentes efectos en la

resistencia de la media de ruptura del alambre. Se someten varias muestras a los dos procesos

dando los siguientes resultados:

Proceso 1: 9 4 10 7 9 10

Proceso 2: 14 9 13 12 13 8 10

Suponiendo conocidas las varianzas 𝜎12 = 5.40 y 𝜎2

2 = 5.25 y considerando α=0.05; probar la

hipótesis de que las medias de Resistencia a la ruptura son iguales.

HALLANDO LAS MEDIAS EN CADA PROCESO:

�̅�1 = 9 + 4 + 10 + 7 + 9 + 10

6

�̅�1 =49

6= 8,16666667

�̅� 2 = 14 + 9 + 13 + 12 + 13 + 8 + 10

6

�̅� 2 =79

7= 11,28571429

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.05 ; 𝑦 𝛼 2⁄ = 0.025 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧𝛼 2⁄ = − 1.96

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑧0 =(𝑥̅1 − 𝑥̅2) − (𝜇1 − 𝜇2)0

√𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2

=(8.1667 − 11.2857) − 0

√5.402

6+

5.252

7

= −2.4282

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa

vi) .Si hay diferencias significativas

7. Se sabe que una máquina de empacar cereales disecados vierte el cereal seco en bolsas de 20

kg, con una desviación estándar de 4 kg. Se llevan a cabo verificaciones constantes de los pesos

netos de las bolsas para mantener el ajuste de la maquinaria que controla el peso. Dos

muestras tomadas en dos días, presentan la siguiente información:

PRIMER DÍA SEGUNDO DÍA

𝑛1 = 30 𝑛2 = 35

𝑥̅1 = 18.7 𝑘𝑔 𝑥̅2 = 21.9 𝑘𝑔

Docime la H0 que no se verifica ningún cambio en el ajuste de la máquina entre los dos días. (𝛼 =

0.05)

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.05 ; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝛼 2⁄ = 0.025 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧𝛼 2⁄ = −1.96

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑧0 =(𝑥̅1 − 𝑥̅2) − (𝜇1 − 𝜇2)0

√𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2

= (18.7 − 21.9) − 0

√42

30+

42

35

= −3.2

√1630

+1635

= −3.21

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Como Z0 = -3,21 pertenece a la Región de Rechazo, se rechaza la H0.

vi) Se debe parar y ajustar la máquina.

8. Se realiza un ensayo con novillos de raza Holstein, dándole a un grupo de animales

vitamina A y al otro grupo no (control). La ganancia de peso (gr), se detalla a continuación:

Control Vitamina A 175 142

132 311 218 337

151 262 200 302

219 195

234 253 149 199

187 236 123 216

248 211 206 176

179 249

206 214

Verifique la hipótesis que no existen diferencias en el peso promedio entre la vitamina A y el

grupo control. Utilice un error de tipo I igual al 5%.

LA MEDIA PARA CONTROL Y VITAMINAS:

�̅�1 = 175 + 132 + 218 + 151 + 200 + 219 + 234 + 149 + 187 + 123 + 248 + 206 + 179 + 206

14

�̅�1 =2627

14= 187.64

�̅� 2 = 142 + 311 + 337 + 262 + 302 + 195 + 253 + 199 + 236 + 216 + 211 + 176 + 249 + 214

14

�̅� 2 =3303

14= 235.93

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

𝑆1 = √18 869.2144

14 − 1= √1451.478

𝑆1 = 38.09

𝑆2 = √38310.9286

14 − 1= √2946.9945

𝑆2 = 54.28

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.05 ; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝛼 2⁄ = 0.025 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧𝛼 2⁄ = −1.96

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑧0 =(𝑥̅1 − 𝑥̅2) − (𝜇1 − 𝜇2)0

√𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2

= (187.64 − 235.93) − 0

√38.092

14+

54.282

14

= −2.72

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se rechaza la hipótesis nula y acepta la hipótesis alternativa

vi) Si existen diferencias en el peso promedio entre la vitamina Ay el grupo de control.

9. Los pesos en gramos de 10 machos y 10 hembras jóvenes de faisanes de cuello anillado atrapados en enero en el Jardín Botánico de la Universidad de Wisconsin, fueron: MACHOS: 1293-1380-1614-1497-1340-1643-1466-1627-1383-1711 HEMBRAS: 1061-1065-1092-1017-1021-1138-1143-1094-1270-1028

Verifique la hipótesis de que la diferencia 𝝁𝑴 − 𝝁𝑯 = 𝟑𝟓𝟎g, con la alternativa de que la

diferencia es mayor de 350 g. (𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟏) 1)

𝑥̅1 = 1293 + 1380 + 1614 + 1497 + 1340 + 1643 + 1466 + 1627 + 1383 + 1711

10

𝑥̅1 =14954

10= 1495.4

𝑥̅2 = 1061 + 1065 + 1092 + 1017 + 1021 + 1138 + 1143 + 1094 + 1270 + 1028

10

𝑥̅2 =10929

10= 1092.9

2)

𝑆1 = √191586.4

10 − 1= √21287.37778

𝑆1 = 145.9

𝑆2 = √52848.9

10 − 1= √5872.1

𝑆2 =76.63

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇𝑀 − 𝜇𝐻 ≤ 350

𝐻1: 𝜇𝑀 − 𝜇𝐻 > 350

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.01 𝑍𝛼 = 2,32

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

𝑡0 =(𝑥̅1 − 𝑥̅2) − (𝜇1 − 𝜇2)0

√𝑆1

2

𝑛1+

𝑆22

𝑛2

= (1495.4 − 1092.9) − 350

√145.92

10+

76.632

10

= 1.007

2,32 0

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se acepta la hipótesis nula

vi) La diferencia es menor e igual a 350.

10) los siguientes son porcentajes de grava fina en suelos superficiales

Probar la hipótesis de que no hay diferencia significativa entre las medias poblacionales

(𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟏)

LA MEDIA POBLACIONALES:

�̅�1 = 5,9 + 3,8 + 6,5 + 18,3 + 18,2 + 16,1 + 7,6

7

�̅�1 =76.4

7= 10.914

�̅� 2 = 7,6 + 0,4 + 1,1 + 3,2 + 6,5 + 4,1 + 4,7

7

�̅� 2 =27,6

7= 3.942

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

𝑆1 = 6.3344 𝑆2 = 2.6361

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.01 ; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝛼 2⁄ = 0.005 ; 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 0.005 = 0.995

𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 (𝑛1 + 𝑛2 − 2 = 12) 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 𝑡 = 3.055

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA

𝑡0 =(𝑥̅1 − 𝑥̅2) − 𝑢0

𝑆1

√𝑛+

𝑆2

√𝑛

=(10,914 − 3,942) − 0

40.1246

√7+

6.949

√7

= 6.9712

17.7921= 0.3918

iv) REGIÓN CRÍTICA:

v) Se acepta la hipótesis nula.

vi) No existe diferencia significativa entre las medias poblacionales.

11. Se buscaron 8 pares de pollos idénticos en cuanto a peso, raza y sexo. A un lote se le suministro por 15 días el alimento tradicional y al otro lote una ración especial. La ganancia de peso es la que se detalla:

Verificar si existen diferencias significativas entre ambas raciones con un 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓

LA MEDIA DE RACIONES:

�̅�1 = 1.75 + 1.43 + 1.72 + 1.58 + 1.62 + 1.72 + 1.75 + 1.80

8

�̅�1 = 1.67125

�̅�2 = 1.80 + 1.52 + 1.80 + 1.59 + 1.71 + 1.78 + 1.75 + 1.81

8

�̅�2 = 1.72

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

𝑆1 = 0.121236

𝑆2 = 0.108496

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = 0

𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

𝛼 = 0.05 ; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝛼 2⁄ = 0.025 ; 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 0.025 = 0.975 𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 (𝑛1 𝑛2 – 2 = 14) 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 𝑡 = 2,145

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

t0 =(x̅1 − x̅2) − u0

S1

√n+

S2

√n

=(1.67125 − 1.72) − 00,121236

√8+

0.108496

√8

= = −0,8475129

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se acepta la hipótesis nula.

vi) No existe diferencia significativa entre ambas raciones.

12) Para contrastar el efecto del uso de una nueva máquina sembradora, se realizan 10

parcelas con una conocida y otras 10 con la nueva máquina. Las 20 parcelas se eligieron al

azar, de a pares y en cada una del par, por soto se usó cada una de las máquinas.

Verificar si existen diferencias entre los pares con 𝛂 = 𝟎, 𝟎𝟓

LAS MEDIAS:

x̅1 = 8,0 + 8,4 + 8,0 + 6,4 + 8,6 + 7,7 + 7,7 + 5,6 + 5,7 + 6,2

10

x̅1 =72,3

10= 7,23

x̅2 = 5,6 + 7,4 + 7,3 + 6,4 + 7,5 + 6,1 + 6,6 + 6,0 + 5,6 + 5,5

10

x̅2 =64

10= 6,4

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

S1 = 1,136319595

S2 = 0,774596669

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

H0: µ1 − µ2 = 0

H1: µ1 − µ2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

α = 0.05 ; pero α 2⁄ = 0.025 ; complemento 0.025 = 0.975

𝐶𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 (𝑛1 𝑛2 – 2 = 18) 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠 𝑡 = 2,101

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

t0 =(x̅1 − x̅2) − u0

S1

√n+

S2

√n

=(7,23 − 6,4) − 0

1,136319595

√10+

0.774596669

√10

= = 1,908564367

iv) REGIÓN CRITICA:

v) Se acepta la hipótesis nula

vi) No existe diferencia significativa entre ambas maquinas.

13) Supongamos que se lleva adelante una investigación sobre la eficacia de una droga en la reducción de un tumor. Para ello se tomaron 12 ratas a las cuales se les aplica las

células cancerígenas que desarrollan el tumor en cuestión. Cuando el mismo llega a un

cierto estadio se lo mide, luego se administra la droga a cada una de las ratas y al cabo

de un cierto tiempo se lo vuelve a medir. Las mediciones antes y después son:

Probar la hipótesis que las diferencias del diámetro del tumor, antes y después del

tratamiento no son significativas. (𝛂 = 𝟎, 𝟎𝟏)

LAS MEDIAS:

x̅1 = 5,2 + 4,1 + 2,3 + 3,5 + 4,0 + 5,1 + 4,2 + 5,0 + 3,9 + 4,1 + 4,0 + 3,5

12

x̅1 =48,9

12= 4,075

x̅2 = 2,3 + 3,2 + 2,1 + 3,0 + 3,3 + 3,9 + 3,0 + 3,5 + 3,6 + 3,2 + 3,6 + 2,9

12

x̅2 =37,6

12= 3,133

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR:

S1 = 0,800142032

S2 = 0,526279105

i) HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA:

H0 : µ1 − µ2 = 0

H1 ∶ µ1 − µ2 ≠ 0

ii) NIVEL DE SIGNIFICACIÓN:

α = 0.01 ; pero α 2⁄ = 0.005 ; complemento 0.005 = 0.995

Con los grados de libertad (n1 n2 – 2 = 22) en tablas t = 2,819

iii) ESTADÍSTICA DE PRUEBA:

t0 =(x̅1 − x̅2) − u0

S1

√n+

S2

√n

=(4,075 − 3,133) − 0

0,800142032

√12+

0,526279105

√12

= 3,406093107

iv) REGIÓN CRÍTICA:

v) Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa

vi) Si existe diferencia significativa