estadistica

P A R T E 3

Estudio crtico de los distintos enfoques al problema del diseo de parmetros. El

grfico media-desviacin (MD)

ENFOQUES AL DISEO DE PARMETROS

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Introduccin

En esta parte 3 de la tesis se estudia el uso del grfico media-desviacin propuesto por Grima (1993) para el anlisis de los resultados en el diseo de productos robustos. Con el objeto de ubicar en su contexto esta alternativa de anlisis hemos dividido en dos captulos la parte 3, en el primero se expone brevemente algunas de las propuestas al problema del diseo robusto de parmetros y en el segundo se estudia el grfico como una opcin de anlisis verstil y sencilla.

El primer captulo de la parte 3 pretende aportar una visin global de los diferentes enfoques encaminados a la solucin del problema del diseo de parmetros. Las citas que se dan en los diferentes apartados pueden servir para profundizar en el tema. El mtodo de Taguchi se desarrolla de forma ms extensa por ser el mtodo pionero y la razn de ser de muchos de los mtodos alternativos. Los diferentes enfoques se han agrupado, en la medida de lo posible, con base en la seleccin del diseo, la seleccin de la mtrica y el anlisis formal.

El captulo dedicado al grfico media-desviacin expone su uso y la manera de elaborarlo, se destaca su consistencia y su simplicidad comparndolo con otros mtodos de anlisis y se muestran las opciones que tiene para considerar costes y respuestas mltiples.


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C A P T U L O 3

Distintos enfoques al problema del diseo de parmetros

3.1 Introduccin

El diseo de parmetros, o diseo robusto de parmetros, es una tcnica de mejora de la calidad propuesta por Genichi Taguchi que tiene por objeto reducir la variacin presente en productos y procesos. La idea esencial reside en que es posible reducir la variabilidad que generan variables fuera de control, al seleccionar valores adecuados en las variables susceptibles de controlarse; de esta forma se tiene un producto o proceso robusto (insensible) a los cambios inevitables en dichas variables incontrolables. Esta robustez a las variables incontrolables solamente se puede incorporar en la etapa primaria de diseo del producto. El uso de la palabra diseo en la denominacin de diseo de parmetros no tiene el sentido de diseo de experimentos sino de seleccin de los niveles de las variables controlables para conseguir robustez en los productos o procesos.

El entusiasmo despertado en los Estados Unidos por las prcticas de calidad japonesas a principios de los aos 80 y las dos conferencias Mohonk (1984, 1985), organizadas por la Quality Assurance Center de los AT&T Bell Labs, fueron la base para que las ideas de Taguchi se dieran a conocer en la comunidad estadstica occidental. A la par de su creciente uso en la industria surgieron las crticas, algunas de ellas tan intrascendentes como la originalidad de la idea de robustez o si los diseos ortogonales empleados por Taguchi son los diseos clsicos de Plackett y Burman de 1946. A partir de entonces las crticas han venido acompaadas de propuestas alternativas, desde estrategias experimentales hasta formas de analizar los datos, entre ellas cabe destacar el uso de transformaciones, Box (1988), el empleo de


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mtricas ms sencillas (s2, s o log(s)), las medidas del desempeo que son independientes del ajuste (PerMIA) Leon et al (1987), la modelacin explicita de los efectos de los factores ruido a travs de la matriz combinada con un enfoque de superficie de respuesta, Vining y Myers (1990), Lucas (1989), Shoemaker et al (1989) y Welch et al (1990), los mtodos grficos, Grima (1993), Myers et al. (1997), los modelos lineales generalizados, Grego (1993), Hamada y Nelder (1997), los planes experimentales, Mitchell y Box (1974), Lucas (1976), Atkinson (1995) y Romero (2002), y los enfoques de programacin no lineal, Fathi (1991), Del Castillo y Montgomery (1993).

3.2 Mtodo de Taguchi

Taguchi hace una separacin de los factores del proceso o producto en factores controlables y factores ruido. Los factores controlables son aquellas variables susceptibles de fijarse a niveles deseados durante el proceso. Los factores ruido son aquellos que influyen en el proceso pero que al no poderse controlar, por ser muy costoso o difcil, producen variabilidad. Un aspecto clave en el diseo de parmetros es el introducir los factores ruido en el diseo de experimentos para estudiar la relacin que tienen con los factores controlables. Por lo tanto se asume que, aunque incontrolables en el sistema, los factores ruido pueden controlarse para propsitos experimentales.

La idea central de encontrar los niveles de los factores controlables para reducir la variabilidad transmitida por variables de ruido (conseguir la robustez ante la presencia de los factores ruido) demanda la existencia de ciertas interacciones entre los factores ruido y los controlables.

La Figura 3.1 ilustra esta nocin, si se usa el nivel alto del factor controlable X se consigue aproximadamente la misma respuesta promedio, independientemente del valor que tenga (en la regin analizada) el factor ruido Z. Se suele utilizar en la literatura la notacin X1, X2, . . . para los factores controlables y Z1, Z2, . . . para los factores ruido.


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bajo

alto

1 1-1-1

7,5

6,5

5,5

4,5

Z

Nivel de X

Mea

n

Interaction Plot (data means) for y

Figura 3.1 Interaccin entre el factor controlable X y el factor ruido Z

En la metodologa de Taguchi la parte experimental se realiza empleando un diseo ortogonal para los factores controlables, denominado arreglo interno, que es cruzado con otro diseo ortogonal para los factores ruido, llamado arreglo externo. Los niveles de los factores ruido en el arreglo externo se colocan por fila y no por columna. Cada fila en el arreglo interno junto con cada columna en el arreglo externo conforman las condiciones de cada uno de los experimentos que se realizan, los resultados de los cuales se presentan en una matriz llamada arreglo cruzado.

Para ilustrar la estructura en que se suelen presentar estos arreglos, se muestran en la Tabla 3.1 los datos correspondientes a un experimento que Miller, Sitter, Wu y Long (1993) analizan para conocer la distorsin que tienen el engranaje y los piones de la transmisin de un coche, durante un tratamiento de endurecimiento con calor. El estudio incluye cinco factores controlables y tres factores ruido.

El diseo factorial 25-1 que tiene de encabezado los factores controlables es el arreglo interno, la matriz con los datos es el arreglo cruzado, y el diseo 23, en forma transpuesta, que se encuentra arriba del arreglo cruzado es el arreglo externo. La prueba que se realiz con las condiciones indicadas en la


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primera fila del arreglo interno (X1 = X2 = X3 = X4 = -1 y X5 = 1) y las condiciones de la primera columna del arreglo externo (Z1 = Z2 = Z3,= -1) dio un resultado de 8,0

Tabla 3.1 Datos de distorsin por calentamiento

Z1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 Z2 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1

Z3 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 X1 X2 X3 X4 X5

-1 -1 -1 -1 1 8,0 -0,5 -1,0 13,0 12,0 1,5 14,0 14,0 1 -1 -1 -1 -1 0,0 0,0 4,0 1,0 8,0 -4,0 -2,0 -0,5

-1 1 -1 -1 -1 -0,5 5,0 3,5 1,0 8,0 12,5 -1,0 3,0 1 1 -1 -1 1 4,5 -3,0 -2,0 -6,5 0,5 19,0 0,5 4,0

-1 -1 1 -1 -1 5,5 2,0 6,0 10,5 16,5 2,0 6,0 4,5 1 -1 1 -1 1 1,0 0,0 3,0 8,5 4,5 9,5 -1,0 4,5

-1 1 1 -1 1 3,0 13,5 6,0 -2,0 4,5 5,5 18,5 -1,5 1 1 1 -1 -1 4,5 -1,5 1,5 13,0 0,0 6,0 -2,0 19,5

-1 -1 -1 1 -1 5,0 -1,5 3,5 2,0 1,0 6,5 6,5 9,5 1 -1 -1 1 1 8,0 0,0 2,0 -1,0 2,0 4,0 8,5 -1,0

-1 1 -1 1 1 3,5 1,5 10,5 4,0 13,0 0,5 6,5 -0,5 1 1 -1 1 -1 1,0 -3,0 8,0 8,0 7,5 -1,0 7,5 -0,5

-1 -1 1 1 1 12,0 6,5 8,0 9,5 7,5 7,0 12,0 12,5 1 -1 1 1 -1 8,0 -3,0 13,5 -5,0 6,5 4,0 21,0 11,0

-1 1 1 1 -1 17,0 11,5 3,5 -4,0 7,0 5,0 15,5 6,0 1 1 1 1 1

14,0 9,5 -3,0 6,0 -1,5 10,5 8,0 1,5

Como es necesario efectuar 8 pruebas para cada fila del arreglo interno se necesit de 168 = 128 experimentos. Este ejemplo ilustra uno de los aspectos duramente criticados de la metodologa de Taguchi, el nmero en ocasiones excesivamente grande de pruebas que se tienen que realizar.

Muchos de los diseos que sugiere Taguchi, tanto para el arreglo interno como para el arreglo externo, son diseos factoriales altamente fraccionados, lo cual no permite obtener estimaciones de las interacciones entre los factores controlables, esta desventaja ser comentada posteriormente.

Para el anlisis de los resultados Taguchi clasifica los distintos problemas de diseo de parmetros dependiendo del objetivo que se quiere obtener con la respuesta (minimizarla, maximizarla, u obtener un valor nominal) y dependiendo de la categora calcula un ndice, llamado cociente seal


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ruido, S/R, para medir la variabilidad inducida por los factores ruido. En la Tabla 3.2 se indica la expresin algebraica de estos ndices.

Tabla 3.2 Cociente seal ruido, S/R.

Objetivo para el valor de la respuesta S/R

cuanto menor mejor 210 log1

iyn

cuanto ms grande mejor 210 log 1/1

iyn

nominal es lo mejor ( )2 210 log y s Se calcula un cociente S/R para cada grupo de condiciones en el arreglo interno (para cada fila), as que la sumatoria se realiza en los puntos del arreglo externo. La Tabla 3.3 muestra el arreglo interno junto con los valores asociados de la media, la desviacin estndar y el cociente S/R para el caso comentado y con el objetivo cuanto menor mejor.

Tabla 3.3 Arreglo interno con los estadsticos obtenidos para el ejemplo de la distorsin que tienen el engranaje y los piones de la transmisin de un coche.

X1 X2 X3 X4 X5 Y S S/R -1 -1 -1 -1 1 7,6 6,6 -19,8 1 -1 -1 -1 -1 0,8 3,7 -11,0

-1 1 -1 -1 -1 3,9 4,5 -15,3 1 1 -1 -1 1 2,1 7,7 -17,5

-1 -1 1 -1 -1 6,6 4,8 -18,1 1 -1 1 -1 1 3,8 3,8 -14,3

-1 1 1 -1 1 5,9 7,0 -18,9 1 1 1 -1 -1 5,1 7,6 -18,9

-1 -1 -1 1 -1 4,1 3,5 -14,4 1 -1 -1 1 1 2,8 3,8 -13,1

-1 1 -1 1 1 4,9 4,8 -16,4 1 1 -1 1 -1 3,4 4,7 -15,0

-1 -1 1 1 1 9,4 2,5 -19,7 1 -1 1 1 -1 7,0 8,5 -20,5

-1 1 1 1 -1 7,7 6,8 -20,0 1 1 1 1 1 5,6 6,1 -18,0

Taguchi define la prdida de calidad a travs de una funcin de prdida de no calidad y centra el anlisis en minimizar esta funcin, que represente la


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prdida financiera en que se incurre por no cumplir con el objetivo que tiene la caracterstica de calidad. Para el caso nominal es lo mejor suele usar la funcin de prdida L(y, ) = K(y- )2, donde y es la caracterstica de calidad medida, es el valor nominal que se pretende alcanzar, y K es una constante que se puede determinar si se conoce el coste de la funcin en un valor y0. La expresin de L(y, ) indica que no se incurre en prdida cuando se tiene el valor nominal y que a medida que nos distanciamos de este valor la prdida se incrementa. Para la situacin cuanto menor mejor el objetivo consiste en tener un valor de nominal de cero y por esto la funcin es L(y) = Ky2. Con el objetivo cuanto ms grande mejor la funcin de prdida que se considera es L(y) = K/y2.

El minimizar la funcin de prdida es equivalente a maximizar el cociente S/R respectivo. Los cocientes S/R estimados se analizan usando el mtodo de anlisis de la varianza, con ello se identifica el grupo de condiciones de los parmetros controlables que dan a la respuesta un comportamiento robusto frente a los factores ruido.

Una vez conseguidas las circunstancias robustas se separan de los factores controlables los que no afectan al cociente S/R, conocidos como factores de ajuste. Los cambios en los valores de estos factores influyen en el valor de la respuesta sin afectar la variabilidad, por tal razn se recurre a ellos para obtener las mejores condiciones que permitan alcanzar el comportamiento esperado en la respuesta, conservando la condicin robusta. Taguchi recomienda hacer pruebas confirmatorias para validar los resultados obtenidos (mnima variabilidad y valor de la respuesta sealado).

3.3 Comentarios al mtodo de Taguchi

La metodologa de Taguchi, desde su aparicin en Occidente ha sido controvertida, no obstante existe unanimidad en reconocer sus aportaciones. Para Kacker (1985) la contribucin de Taguchi al diseo de parmetros se puede dividir en cuatro categoras, ordenadas de acuerdo a su mrito: filosofa de calidad, metodologa orientada a la ingeniera, diseo de experimentos y anlisis de datos. Como mencionaremos ms adelante las


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principales crticas se centran precisamente en las dos ltimas categoras: el diseo de experimentos y el anlisis de los datos. Entre sus aportaciones ms significativas se destaca su nfasis en la variabilidad, el modelar los factores ruido, el popularizar la idea de robustez y las innovaciones que introdujo en la modelacin.

3.3.1 Aportaciones

nfasis en la variabilidad

Desde el punto de vista estadstico el problema deja de centrarse primordialmente en la media de la caracterstica de calidad. Para Wu (1992) la reduccin de la variacin es su contribucin ms significativa. Aunque es cierto que la variabilidad y su control siempre ha sido una preocupacin, el nfasis que le da Taguchi a esta tarea y la orientacin hacia su disminucin en la fase del diseo del producto ha sido innovadora.

Este nfasis ha propiciado investigaciones en el rea de los efectos de dispersin, Box y Meyer (1986), Zunica y Romero (1988), Ferrer y Romero (1994), Bergman y Hynn (1997) y Ferrer (2002), y en el modelado de la varianza, Lucas (1989), Shoemaker et al. (1989) y Welch et al. (1990), Vining y Myers (1990), Grego (1993), Lucas (1994), y Hamada y Nelder (1997).

Modelar los factores ruido

Para Vining y Meyers (1992) el introducir sistemticamente los factores ruido en los diseos experimentales, para conocer las relaciones que tienen con los factores controlables, es una contribucin vital, que permite en muchas ocasiones crear productos y procesos robustos con una reduccin sensible en los costes.

Las medidas contra la variacin son diversas (tecnologa ms sofisticada, mayor exigencia hacia los proveedores, mejores niveles de


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capacitacin del personal, etctera) y el xito del diseo de parmetros depende de la habilidad en identificar los factores involucrados y la existencia de ciertas interacciones entre los factores controlables y los de ruido, lo cual no es siempre posible.

Popularizar la idea de robustez

Aunque es cierto que el efecto de robustez se busc en aplicaciones pioneras del sector agrcola y de la industria alimenticia, no hay duda de que Taguchi ha difundido el importante papel que tienen los estudios de robustez en el diseo de los productos y procesos industriales, fomentando y expandiendo, adicionalmente, el empleo de los diseos experimentales y reduciendo la separacin existente entre ingeniera y estadstica.

Innovaciones

Un aspecto innovador de la metodologa de Taguchi es el ampliar la idea de variable explicativa, al introducir los conceptos de variable: (factor) controlable, ruido, seal, ajuste e indicativa.

El disear para modelar de manera simultanea la media y la variabilidad es, por otra parte, una idea novedosa que ha producido aportaciones en esta forma de enfocar los problemas a travs de la metodologa de superficie de respuesta, Lucas (1989), Welch et al. (1990), Vining y Myers (1990), Tsui y Wu (1991), y el uso de programacin no lineal, Fathi, Y. (1991), Del Castillo y Montgomery (1993), Kim y Lin (1998), Kksoy y Doganaksoy (2003).

En la indagacin de arreglos ortogonales que sean econmicos en el nmero de observaciones, Taguchi favorece el uso de los arreglos1 L18 (237), L18 (636) y L36 (211312), los cuales necesitan un nmero menor

1 En la notacin La(bc), a es el nmero de filas en el arreglo, b el nmero de niveles y c el nmero de factores. Es posible tener arreglos para factores que tienen diferentes nmeros de nivel, por ejemplo L18 (2137).


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de observaciones que las combinaciones de factoriales fraccionales 2k-p

y 3k-p. No obstante, dado lo complejo de los patrones de alias que tienen, su uso se ha centrado en el filtrado de factores (screening design).

3.3.2 Crticas

As como hay un reconocimiento prcticamente general a las principales contribuciones de Taguchi, tambin hay crticas bastante extendidas, siendo las ms comunes las atribuidas al nmero excesivo de condiciones experimentales, al no considerar las interacciones entre factores controlables, al uso de cocientes seal ruido ineficientes, al celo excesivo en el proceso de optimizacin y a los anlisis en ocasiones errneos.

Nmero excesivo de condiciones experimentales

Esta crtica se produce esencialmente por el mtodo de cruzar el arreglo interno con el externo, el problema sealado se complica si se emplean factores a ms de dos niveles, prctica comn en la metodologa de Taguchi. Entre las alternativas que se presentan al gran esfuerzo experimental que en ocasiones produce el arreglo cruzado se tiene el uso de los diseos en parcelas divididas, Box y Jones (1992), Bisgaard (2000), Bisgaard y Kulahci (2001) y el empleo de la matriz combinada, Shoemaker, Tsui y Wu (1991).

En descarga hay que decir que la economa de la fase de experimentacin depende en gran medida del proceso de aleatorizacin y, aunque obviamente no cambia el nmero nm de observaciones, se puede reducir grandemente el esfuerzo experimental requerido con el uso de parcelas divididas. La matriz cruzada no niega la nocin de aleatorizacin, sin embargo a menudo se conduce el experimento como parcela dividida sin tener en cuenta su estructura y la estructura del error, lo cual lleva a conclusiones engaosas. Aunque el diseo habitual en parcelas divididas tiene a los factores controlables como factores de clasificacin (tratamientos de la parcela completa), puede darse otro tipo de arreglo en conveniencia con los costes de experimentacin y las


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condiciones de operacin, Shoemaker, Tsui, y Wu (1991), Box y Jones (1992), Bisgaard y Kulachi (2001).

A favor del uso del arreglo cruzado se tiene lo sencillo que resulta el diseo de los dos arreglos por separado y lo simple que es el anlisis por fila. Pozueta (2001) considera una ventaja el repetir las filas del arreglo interno en las distintas condiciones de ruido, porque de esta forma se captura la influencia de variables no consideradas.

No considerar las interacciones entre factores controlables

Taguchi, aparentemente, para minimizar el problema del nmero excesivo de condiciones experimentales, recurre a diseos ortogonales altamente fraccionados en los arreglos interno y externo, en los que las interacciones estn confundidas con los efectos principales. Esto demanda el supuesto de que son despreciables los efectos de las interacciones entre los factores controlables, CC, y los efectos de las interacciones entre los factores ruido2, NN.

A favor de este supuesto Phadke (1992) arguye que de existir interacciones CC se necesita incrementar grandemente el nmero de experimentos para poder estudiarlas, y si estos efectos son grandes seguramente interactan con las condiciones experimentales haciendo muy difcil que el ptimo encontrado se conserve durante la puesta de operacin en la planta. Por tal razn se recomienda hacer esfuerzos para suprimir o minimizar las interacciones CC, esto aparentemente se logra si se acta cuidadosamente en la seleccin de la caracterstica de calidad que ser la respuesta a medir, en la eleccin de los factores controlables y sus niveles y en la opcin de cociente S/R que se escoja.

2 Las interacciones NN en realidad tienen un papel irrelevante en la bsqueda de las condiciones robustas, como se ver en el captulo 4.


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Para Taguchi la tarea ms importante que tienen que realizar los ingenieros en el diseo de parmetros consiste en seleccionar la caracterstica de calidad que ser la respuesta a medir, de tal manera que elimine las interacciones CC. Los experimentos confirmatorios permitirn verificar la aditividad (ausencia de interacciones) en el modelo. En este sentido Lucas (1994) argumenta que existe evidencia emprica del principio de los efectos principales, en donde los efectos principales son ms importantes que los efectos de orden superior, esto se ve confirmado con el uso exitoso que tienen este tipo de diseos.

Con respecto a los experimentos confirmatorios hay ejemplos en los que estos fallan y es muy difcil garantizar que en todas las circunstancias se puede encontrar siempre una caracterstica del proceso relevante y que sea aditiva a los efectos de los factores controlables, como sugiere Taguchi.

Box (1992) tajantemente dice que no se pude defender lgicamente la necesidad de experimentar para conocer que factores tienen efecto principal significativo, asumiendo al mismo tiempo que se sabe cuales factores son los que tienen interacciones.

Cocientes seal ruido ineficiente

Si se ha hecho un gran esfuerzo experimental al usar el arreglo cruzado, obteniendo en ocasiones un nmero excesivo de observaciones, se considera que es un desperdicio el colapsar los datos en un cociente S/R, en ocasiones con grandes prdidas de informacin para el anlisis. Por ejemplo, ignorar el efecto que tienen los factores en la respuesta y privar de un conocimiento ms amplio del desempeo del proceso.

Box (1988) critica severamente los cocientes S/R, considerando los criterios de relevancia, eficiencia, robustez y transformacin de datos. Muestra por ejemplo que el cociente S/R cuanto mayor es mejor puede confundir los efectos de localizacin con los de dispersin; que bajo el supuesto de datos normales, independientes e idnticamente distribuidos este cociente es ineficiente como medida de localizacin si


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se le compara con la media muestral y que es excepcionalmente no robusto en presencia de datos atpicos.

Un aspecto delicado en el uso del cociente S/R se basa en el supuesto de que el factor de ajuste tiene un efecto multiplicativo en la respuesta; como el supuesto no se puede garantizar Box (1988) propone como alternativa evaluar un rango de transformaciones y hacer el anlisis en trminos de la transformacin, lo cual da una gran simplificacin.

Hamada y Nelder (1997) van ms all y recomiendan el uso de los Modelos Lineales Generalizados, los cuales son susceptibles de emplearse en situaciones donde las transformaciones no garantizan la divisibilidad y la parsimonia en el modelo; por ejemplo, cuando los datos son conteos o frecuencias, con la ventaja adicional que al no transformar los datos se preservan las dimensiones originales.

Un defecto, conceptualmente ms general, que hace Nelder (1992) al uso del cociente S/R estriba en que se invierte el proceso normal de seleccionar primero el modelo y a partir de sus parmetros estimados elaborar para la prediccin cantidades que compendian (mtricas resumen en la notacin de Pozueta (2001)) con estimaciones de su incertidumbre. La razn emprica para no crear primero las mtricas resumen es que el modelado para ellas suele ser ms complicado que el de la respuesta bsica. Si se consigue un modelo ms preciso se logra una optimizacin ms confiable y finalmente un mejor diseo del producto o proceso. Es ms fcil que el ingeniero tenga conocimientos previos para modelar directamente la respuesta de inters que para modelar el cociente S/R.

En defensa de los cocientes S/R, Phadke (1992) subraya que en su seleccin no se persigue una transformacin de los datos que estabilice la varianza, sino el identificar la relacin ideal entre el factor seal y la caracterstica de calidad y poder evaluar as la sensibilidad a los factores ruido.


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Celo excesivo en el proceso de optimizacin

Si bien es cierto que el uso de los experimentos confirmatorios puede dar lugar a un proceso iterativo en la bsqueda de las condiciones ptimas, la metodologa de Taguchi ha desatendido las virtudes de planear de manera secuencial los experimentos, cosa por dems comn en la experimentacin y en particular en el enfoque de superficie de respuestas (filtrado de variables, cambio de regin, incremento del diseo, ajuste a modelos ms elaborados y exploracin en la regin experimental), en donde no interesa nicamente encontrar la combinacin ptima de factores sino, sobre todo, tener una comprensin del sistema, Easterling (1985), Box (1988).

Anlisis errneos

Aunque el hecho de hacer anlisis errneos no es muchas veces privativo del mtodo sino ms bien de quien lo emplea, existen en la literatura crticas a los mtodos de anlisis que emplea Taguchi. Steinberg y Burtsztyn (1994), Box y Fung (1986), Hurly (1994) y otros, revelan con ejemplos como el anlisis propuesto por Taguchi lleva tanto a conclusiones errneas acerca de que factores de diseo tienen influencia en la dispersin, como a recomendaciones que no encuentran la asignacin ptima de los parmetros.

A pesar de la gran cantidad de crticas y las numerosas aportaciones que aparecen frecuentemente como mtodos alternativos en las revistas especializadas, el mtodo de Taguchi se emplea y demanda continuamente, quiz por su relativa simplicidad3, lo poco difundido que estn los mtodos alternativos en la industria y porque ninguno de estos forma un corpus orientado expresamente al diseo de parmetros.

Un aspecto que se debe tener en cuenta en el diseo de parmetros es lo que Lucas (1994) llama Hacer algo mejor que un proceso robusto, si la influencia de los factores ruido en la respuesta es muy grande se pueden

3 Para Lucas (1992) la elegancia de las contribuciones de Taguchi radica en su sencillez esencial.


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tener mejores resultados diferenciando el producto de acuerdo a condiciones ms limitadas en los factores ruido, esto se observa por ejemplo en el sector automovilstico, donde es mejor tener diferentes tipos de aceite para el motor en funcin del tipo de carburante que contar con un aceite robusto para todo tipo de motores.

3.4 Planes experimentales

La bsqueda de opciones alternativas a los diseos cruzados que palien los defectos que se les achacan (requerir generalmente de una gran cantidad de trabajo experimental y en general no permitir estimar las interacciones entre los factores controlables), han generado diversas aportaciones que adecuan mtodos estadsticos ya existentes, como los diseos en parcelas divididas (split-plot), la metodologa de superficie de respuesta y los planes experimentales ptimos.

3.4.1 Diseos en parcelas divididas

El nmero generalmente excesivo de pruebas que demanda la estructura de la matriz cruzada no se ve necesariamente reflejado en una gran cantidad de esfuerzo experimental. Esto sucede porque en ocasiones no se ejecuta el diseo en una forma completamente al azar, sino como un diseo en parcelas divididas4 con restriccin en la aleatorizacin. Esto se observa cuando para cada fila del arreglo interno se construye un prototipo, y este se prueba en las condiciones de los factores de ruido sealadas en el arreglo externo.

Box, G. y Jones

Como se sabe, una manera de reducir la cantidad de esfuerzo experimental consiste en emplear los diseos en parcelas divididas. Se acostumbra usar estos diseos cuando resulta complejo o costoso aleatorizar completamente 4 Box y Jones (1992) comentan que aparentemente Taguchi algunas veces ignoraba al momento de hacer el anlisis, que el diseo se haba conducido en forma de parcela dividida.


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el orden de ejecucin de los experimentos. Box y Jones (1992) analizan esta posibilidad cuando se cuenta con una matriz cruzada, y para ello dan dos opciones: que los factores controlables conformen los factores de clasificacin (tratamientos de la parcela completa) y los tratamientos de las subparcelas contengan los factores ruido (como se hace usualmente en el mtodo de Taguchi), o que los factores ruido estn asociados a los factores de clasificacin, con los factores controlables asignados a las subparcelas.

No es intrascendente donde se ubiquen los factores controlables y por ende los de ruido, ya que generalmente en los diseos en parcelas divididas los efectos principales de los factores de clasificacin se estiman de manera menos precisa que los efectos principales de las subparcelas o de las interacciones. Esto hace razonable el considerar a los factores ruido como factores de clasificacin, dado que no suele interesar los efectos principales de estos factores, y no importara que se estimen con menos precisin. Esta forma de proceder no es la que acostumbra la metodologa de Taguchi, Michaels (1964), Box y Jones (1992), Bisgaard (2000), Bisgaard y Kulahci (2001).

Box y Jones (1992) muestran que los diseos en parcelas divididas son mejores que los diseos completamente aleatorizados, tanto en lo referente al nmero de operaciones experimentales5 exigidas como a la eficiencia del arreglo. Esto ltimo hace que se estime con mayor precisin las importantes interacciones entre los factores controlables y los factores ruido. Una posible desventaja, de los diseos en parcelas divididas, es que tienen dos estructuras de error diferentes, y por tanto los grados de libertad de la estimacin de la varianza del error para el diseo completamente aleatorio se dividen en dos, lo que puede dar lugar a que se tengan pocos grados de libertad para la prueba de los factores de clasificacin.

Tambin proponen otros diseos que pueden reducir el trabajo experimental y elevar la eficiencia del arreglo, en particular analizan el diseo de bloque

5 El nmero de operaciones experimentales tiene que ver con el nmero de veces que hay que reiniciar las condiciones experimentales. En un diseo completamente al azar se debe reiniciar las condiciones experimentales antes de cada ensayo.


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en franja (strip-block), el cual tiene ms ventajas que el diseo en parcelas divididas y por consiguiente que el diseo cruzado.

Bisgaard

Para el arreglo interno y para el arreglo externo se acostumbra usar diseos factoriales fraccionados. Entre los aspectos que se debe tener en cuenta durante la eleccin de estos diseos se tiene la resolucin que adquiere el arreglo cruzado y los patrones de confusin; Bisgaard (2000) estudia estos aspectos para los diseos factoriales fraccionados a dos niveles. Una manera que sugiere para disminuir el nmero de operaciones experimentales reside en confundir ciertas interacciones, parcial o completamente, lo que se logra con la tcnica de parcelas divididas con diseos confundidos (split plot confounding), los diseos as obtenidos tienen una resolucin mayor entre los factores de las subparcelas que la que se logra con el diseo cruzado.

En funcin de los patrones de confusin se puede escoger entre un diseo completamente al azar y un diseo en parcelas divididas, cuidando que las interacciones entre los factores controlables y los factores ruido no queden confundidos con interacciones de dos factores, en este sentido un diseo de resolucin III puede llegar a ser una buena alternativa.

Una propiedad interesante que menciona Bisgaard se refiere a la resolucin del diseo, si los arreglos interno y externo son de resolucin mayor o igual a 3, entonces, las relevantes interacciones entre los factores de clasificacin y los factores de las subparcelas (CN) estarn confundidas con interacciones de ms de dos factores.

Para el anlisis de los diseos sin rplicas, se da un mtodo para separar los efectos estimados que estn asociados a las parcelas completas de los que corresponden a las subparcelas, con ellos se puede analizar la significacin de los efectos usando para cada grupo una representacin en papel probabilstico normal. Si no se hace esta separacin y se analizan los efectos estimados como un diseo completamente al azar, se pueden dejar de percibir efectos significativos al graficarlos en el papel probabilstico normal.


71

3.4.2 Arreglo combinado

Shoemaker, Tsui y Wu

Box, Bisgaard y Fung (1988) en su artculo An Explanation and Critique of Taguchis Contributions to Quality Engineering alaban del enfoque japons el uso extensivo e innovador de los diseos de experimentos estadsticos, pero critican muchas de las tcnicas de diseo y anlisis que usan, por ser ineficientes e innecesariamente complicadas. Sealan que se llevan a cabo investigaciones en la Universidad de Wisconsin para encontrar formas ms eficientes de disear los experimentos. Shoemaker, Tsui y Wu (1991) proponen como alternativa al uso del arreglo cruzado el considerar juntos los factores controlables y los factores ruido en un diseo convencional, a este le llaman diseo combinado. Ya Lucas (1989) y Welch et al. (1990) haban usado un arreglo de estas caractersticas, al proponer la metodologa de superficie de respuestas como un enfoque alternativo al mtodo de Taguchi, pero no haban abundado en sus caractersticas y ventajas.

Las mejoras que con este tipo de diseo se tienen son: un nmero frecuentemente inferior de observaciones requeridas, una gran flexibilidad para seleccionar los efectos estimables, con lo que se pueden modelar las interacciones entre los factores controlables, y lo que es ms importante, el contar en numerosas ocasiones con diseos de resoluciones superiores a los que dara el arreglo cruzado.

Shoemaker et al. (1991) para ejemplificar las ventajas del arreglo combinado analizan diversas posibilidades para un experimento en el que se quiere controlar la variabilidad en la capa de silicn que se pone en ciertos circuitos integrados, se tiene 8 factores controlables a dos niveles cada uno y dos factores ruido, uno a dos niveles y el otro a cuatro. El diseo para el arreglo interno es un factorial 28-4 de resolucin IV y el diseo del arreglo externo es un 2x4. Con los 128 valores de la matriz cruzada se pueden estimar los doce efectos principales de los factores, las 32 interacciones dobles entre los factores de control y los factores ruido, CN, ninguna interaccin doble entre los factores de control, CC, ni entre los factores


72

ruido y todas las interacciones triples entre estos ltimos factores. Como se coment anteriormente, Taguchi prima las interacciones CN sobre las interacciones CC y NN, lo que representa en casos como este un desperdicio de la labor experimental.

Es un hecho que en la mayora de los experimentos est presente el principio de escasez de efectos, effect sparsity, (solo un nmero pequeo de los factores que se analiza tienen efecto significativo sobre la variable respuesta) con base en ello Shoemaker et al. lograron reducir considerablemente el nmero de experimentos, a travs del arreglo combinado, al sacrificar algunas interacciones que los ingenieros juzgaron a priori insignificantes o intrascendentes. De esta manera se redujo a la mitad el nmero de experimentos a partir de una seleccin cuidadosa de los generadores del diseo. Los efectos estimables que obtienen son los 12 efectos principales, 12 efectos de las interacciones CC, 19 de las CN, 2 del tipo NN y algunas interacciones triples. Los resultados obtenidos con este diseo combinado fueron cualitativamente los mismos que arroj el anlisis con el arreglo cruzado, pero con un ahorro significativo en costes y esfuerzos experimentales y con un conocimiento ms amplio del comportamiento y relacin de los factores con la respuesta.

Myers, Khuri y Vinning

El adaptar el arreglo cruzado a un diseo combinado permite el uso de cualquiera de los diversos tipos de diseo que uno encuentra en la metodologa de superficie de respuesta: diseos factoriales, diseos factoriales fraccionales, diseos compuestos, diseos de Box-Behnken, diseos D-ptimos, etc. Consideremos el ejemplo de Myers et al. (1992), en el cual un ingeniero est interesado en conducir un experimento con tres factores controlables y dos factores ruido, el diseo cruzado seleccionado tiene para los factores controlables X1, X2 y X 3 un arreglo interno L9(33) (cada uno de los factores est a tres niveles) y para las variables ruido Z1 y Z2 el arreglo externo es un factorial 22, ver Tabla 3.4. Para la ejecucin de este diseo cruzado se necesitan 36 experimentos si se realiza completamente al azar.


73

Tabla 3.4 Arreglo interno y externo de la matriz cruzada del ejemplo de Myers et al. (1992)

Arreglo interno Arreglo externo X1 X2 X3 Z1 Z2 -1 -1 -1

-1 -1 -1 0 0 1 -1 -1 1 1 -1 1 0 -1 0 1 1 0 0 1 0 1 -1 1 -1 1 1 0 -1 1 1 0

El diseo combinado que se plantea como alternativa al diseo cruzado es un diseo centrado compuesto, Box (1954), con tres experimentos centrales, en la Tabla 3.5 se muestra este diseo. Con el fin de ahorrar espacio la primera fila de la tabla equivale a un diseo 25-1 de resolucin V (16 experimentos).

Tabla 3.5 Diseo combinado: Diseo centrado compuesto X1 X2 X3 Z1 Z2

1 1 1 1 1 Diseo 25-1 de

resolucin V (16 experimentos)

-1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


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En este diseo combinado se tienen 25 experimentos, lo que da un ahorro de 11 experimentos, y tal vez lo ms importante es que se pueden estimar los efectos lineales y cuadrticos de los factores controlables junto con sus interacciones, adems se pueden estimar los efectos lineales y las interacciones de los factores ruido, y tambin las importantes interacciones entre los factores controlables y los factores ruido.

Lorenzen y Villalobos

Para que sea eficiente el uso del arreglo cruzado cuando se aplican diseos altamente fraccionados en los arreglos interno y externo, se requiere que no existan interacciones significativas CC con el fin de evitar confusiones con los efectos principales. Para Taguchi esto se puede conseguir con una eleccin correcta de la caracterstica de calidad que se usar como respuesta. Lorenzen y Villalobos (1990) al comparar diferentes enfoques para el diseo robusto de parmetros concluyen que aun asumiendo que las interacciones entre los factores controlables son despreciables, el arreglo combinado tiene una detectabilidad superior para los efectos principales, con las ventajas adicionales de que los supuestos se pueden verificar y se tiene mejores propiedades de robustez.

Kacker

En contra del uso del arreglo combinado Kacker (1992) menciona tres defectos que tiene este enfoque:

Al basarse en la regresin clsica, el supuesto de varianza constante es irreal en muchos casos, debido a que es improbable que todas las fuentes de variacin (factores ruido) se incluyan como variables regresoras.

Falla tambin el supuesto subyacente de que los ingenieros pueden proporcionar una lista priorizada de los factores y las interacciones importantes, no siendo posible usar la propuesta de Shoemaker et al. (1991) para reducir el nmero de pruebas a travs del arreglo combinado eliminando interacciones irrelevantes.


75

El mtodo es muy sensible a los datos perdidos.

Pozueta

Pozueta (2001) al comparar las ventajas e inconvenientes del arreglo cruzado menciona que este es ms sencillo e intuitivo para el usuario, al existir diseos por separado para los factores de control y los factores ruido, adems la propia disposicin de la matriz predispone para un anlisis sencillo por filas, y siempre se puede pasar de un diseo cruzado a un arreglo combinado para detectar posibles discrepancias entre los anlisis correspondientes.

Lucas

Lucas (1994) no ve desventajas en el hecho de ignorar los efectos de las interacciones de los factores controlables, ya que muchos de los procesos de filtrado de variables (screening designs) se basan en diseos de resolucin III de Plackett-Burman, donde los efectos principales se encuentran confundidos con las interacciones de dos factores. Como es sabido, en estos diseos se estudian un gran nmero de factores con un nmero reducido de experimentos, esto ltimo se logra gracias a la estructura de estos diseos, los cuales han demostrado ampliamente su eficiencia. Asimismo, empricamente se detecta en los experimentos de superficie de respuestas que los efectos principales lineales suelen ser ms importantes que los efectos de orden superior, aun en situaciones donde los experimentadores consideran que las interacciones y la curvatura pueden ser significativas.

Como alternativa al arreglo cruzado, Lucas (1994) y Borkowski y Lucas (1997), recomiendan usar una estructura especial para el diseo combinado que denominan diseo compuesto de resolucin mixta, constituido por un diseo 2k-p en el que la parte correspondiente a los factores controlables es de resolucin mayor o igual a V, la parte asociada a los factores ruido tiene resolucin mayor o igual a III, y las interacciones CN no estn confundidas con efectos principales o interacciones CC, a este diseo se le aaden 2p puntos estrella y N0 puntos centrales, siendo p el nmero de


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factores controlables. Este tipo de diseo permite estimas de todos los parmetros del siguiente modelo:

1

01 1 1 1 1 1

2

1

p p p q p q

i i ik i k j j ik i ki i k i j i k

p

ii ii

Y X X X Z X ZX = = = + = = ==

= + + + ++ + (3.1) donde X1, X2, . . . Xp son los factores controlables y Z1, Z2, . . . Zq los factores ruido. Con ello se tienen los efectos que interesan con un arreglo cruzado cuando los factores controlables tienen tres niveles y dos los factores ruido, ms los efectos de las interacciones CC. Aunque da la impresin que los diseos compuestos de resolucin mixta requieren de un elevado nmero de puntos, Lucas muestra, para diferentes nmeros de factores en los arreglos interno y externo, que es comparable el nmero de experimentos que requiere el mnimo arreglo cruzado de Taguchi con el que necesita un diseo compuesto de resolucin mixta equivalente (con tres puntos centrales). En contra de algunas propuestas, recomienda no usar los diseos centrados compuestos ms pequeos porque tienen una eficiencia (D-eficiencia y/o G-eficiencia) muy baja.

3.4.3 Diseos ptimos

Un concepto esencial desarrollado por Fisher en relacin a los diseos experimentales, y que ha marcado su desarrollo, es que la estructura del diseo determina si la respuesta a muchas de nuestras preguntas es accesible o no. Es conocido que un diseo factorial 2k no permite ajustar un modelo que tenga trminos cuadrticos en algunos de los factores, lo cual si es factible con un diseo factorial 3k o un diseo centrado compuesto.

Atkinson y Donev

Si consideramos el modelo de regresin lineal usual6 E(Y) = F, donde Y es el vector n1 de respuestas, es el vector p1 de parmetros

6 Se considera que los errores del modelo son independientes, aditivos, y distribuidos normalmente con varianza 2


77

desconocidos y F es la matriz de diseo extendida, donde las filas de F son funciones de las m variables explicativas xi, que dan origen a la la matriz nm de diseo7 X, entonces el estimador mnimo cuadrtico de es:

( ) 1 = FF F y (3.2) Y la matriz de covarianzas del estimador es:

( ) 12var = FF (3.3) Esta ltima expresin nos indica que la variabilidad que presenten las estimas de los parmetros, y por tanto la precisin de las mismas, depende de la matriz de informacin FF y en particular del diseo empleado.

A fines de la dcada de los cincuenta Kieffer y Wolfowitz sientan las bases de la teora de los diseos experimentales ptimos. En estos diseos se buscan n puntos de la regin de experimentacin que permitan la mejor estimacin de los parmetros del modelo lineal considerado, bajo cierto criterio de optimizacin. Un aspecto interesante es que estos n puntos, o condiciones experimentales, no tienen que ser necesariamente distintos. Con el diseo ptimo se pretende encontrar la matriz de diseo X que cumpla con un criterio especfico de optimizacin, la mayora de las veces el criterio est en funcin de la matriz de informacin, FF, o de la matriz de covarianzas del estimador mnimo cuadrtico de .

Para simplificar el problema de encontrar el diseo ptimo se ignora la restriccin de que el nmero de pruebas en cada punto del diseo debe ser entero, esto frecuentemente se pude hacer al remplazar el diseo X de n

7 Por ejemplo, si se tiene solo una variable explicativa x, la matriz de diseo X=[-1, 1/3, 1/3, 1], y el modelo que se desea ajustar es 20 1 2( ) ii iE Y x x = + + , entonces la matriz de diseo extendida tiene la siguiente forma:

1 1 11 1/3 1/91 1/3 1/91 1 1

= F


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pruebas por un diseo continuo ; una vez que se encuentra el diseo ptimo continuo * se puede encontrar un buen diseo para n pruebas a partir de una aproximacin entera. Por ejemplo, si la regin de inters para el diseo es el intervalo [-1, 1] y se desea ajustar el modelo de primer orden:

0 1( )E Y x = + (3.4) entonces el diseo (D-ptimo) que minimiza la varianza de 1 es aquel que ubica la mitad de los pruebas en el punto x = -1 y la otra mitad en x = 1, esto se suele denotar como:

1 11/ 2 1/ 2 =

(3.5)

En general, un diseo continuo en el que se hacen pruebas en k puntos de la regin de diseo se escribe

1 2

1 2

......

k

k

x x xw w w

= (3.6)

siendo la primera fila los valores de los factores en los k puntos de diseo y la segunda fila los pesos asociados (proporcin de puntos). En el ejemplo no tenemos problemas para identificar cuantas pruebas se asignan a cada punto del diseo ptimo cuando el nmero de pruebas es par. No es lo mismo cuando el nmero es non, para n=3 se tiene que colocar una prueba en uno de los extremos del intervalo, y en el otro los restantes, con lo que no se consigue un diseo D-ptimo. Los diseos para un nmero especfico de pruebas se conocen como diseos exactos, en la prctica todos los diseos son exactos, y frecuentemente se pueden encontrar por aproximaciones enteras al diseo ptimo continuo.

Federov

En la bsqueda del diseo ptimo se debe encontrar la mejor ubicacin de los puntos en la regin de diseo y una medida de distribucin que representa la proporcin de pruebas que se asignan a los puntos, los pesos


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w1, w2,..., wk de la expresin 3.6 componen la medida de distribucin. Federov (1972) encuentra un diseo ptimo bajo los criterios D y G para ajustar un polinomio de segundo grado con dos factores, en la regin cuadrada con vrtices (1, 1), la medida de distribucin asigna a cada uno de los vrtices un 14,6% de las pruebas, un 8% a cada punto medio de los bordes y un 9,6% en el centro. Con 13 pruebas es posible tener un diseo exacto que sea una buena aproximacin a este diseo ptimo, colocando dos pruebas en cada vrtice (1314,6% = 1,9) y una en el centro y en cada punto medio de los bordes, ver Figura 3.1.

-1

1

1

-1

X1

X2

Figura 3.1 Diseo con 13 pruebas a partir del diseo D/G ptimo de Federov

Un aspecto interesante que se observa en el diseo de la figura anterior es que los n puntos, o condiciones experimentales, no tienen necesariamente que ser distintos. Los diseos graficados en la Figura 3.2 estn tomados de Atkinson y Donev (1992) y corresponden a un diseo exacto D-ptimo para ajustar un modelo de superficie de respuesta de segundo orden en dos factores, en la misma regin de diseo que el ejemplo de Federov, y para seis pruebas. Lo atractivo de estos diseos es que los puntos encontrados no se encuentran todos en los vrtices, como nos tienen acostumbrado los


80

diseos factoriales 3k, y en el ejemplo b) los puntos que no estn en los vrtices tampoco se encuentran en los puntos medios de los bordes o en el centro.

X1

X2

X1

X2

a) b)

Figura 3.2 Dos ejemplos de un diseo exacto D-ptimo con seis pruebas para ajustar una superficie de respuesta de segundo orden

Los criterios de diseo ptimo se denotan con nombres alfabticos, y por esta razn el tema es conocido como optimalidad alfabtica. El ms comn es el diseo D-ptimo, que maximiza el determinante de la matriz de informacin. La interpretacin estadstica que tiene este hecho es la de minimizar el volumen de la regin de confianza para , con ello se obtienen las estimas ms precisas de los parmetros del modelo. Se suele escribir la matriz de informacin de un diseo continuo como M().

Un criterio asociado al D-ptimo es el G-ptimo, el cual minimiza el mximo valor de la varianza estandarizada8 de la respuesta ajustada, en la regin de diseo , esto es:

[ ]min ( ) min max ( , )xd d x= (3.7)

8 La varianza estandarizada se define como:

2( , ) ( ( )) /d x nVar y x =


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Existe un teorema de equivalencia que permite determinar si un diseo propuesto es D-ptimo; basta con confirmar si ( )d p= , con p igual al nmero de parmetros en el modelo.

Para comparar la eficiencia que tiene un diseo cualquiera con respecto al ptimo se construyen ndices (reciben el nombre del criterio), por ejemplo, el ndice de eficiencia usando el criterio D, D-eficiencia, para un diseo est dada por

1( ) ( *)

pefD M M = (3.8)

Este valor representa el porcentaje de esfuerzo experimental que se aprovecha con dicho experimento.

Si interesa que un subconjunto s de parmetros del modelo se estime lo ms preciso que sea posible, se remplaza el criterio D-ptimo por el Ds-ptimo. El criterio de optimizacin consiste en maximizar |FF|/|F2F2|, para lo cual se necesita rescribir el modelo de la siguiente forma

E(Y) = F = F11 + F22 (3.9)

siendo 1 un vector s1.

Box, M. y Draper

Hoel (1965) muestra que los diseos factoriales 3k son D-ptimos, con las k variables codificadas tomando valores de -1 a 1 y niveles -1, 0, 1. Lo mismo se puede decir de los diseos factoriales 2k, con niveles -1 y 1, Box, M. y Draper, N. (1971). Los modelos que permiten ajustar los diseos 2k y 3k son excesivos porque generalmente las interacciones de orden mayor a 2 no son significativas, y en este sentido parece lgico preguntarse por los mejores diseos cuando se especifica el nmero de puntos disponibles y tal vez alguna restriccin en el tipo de diseo. Box y Draper encuentran para el diseo factorial fraccional 23-1 los diseos D-ptimos cuando el nmero de pruebas es de 4, 5 o 6 y lo mismo para el diseo 32 cuando el nmero de pruebas es un nmero entre 6 y 18. Consideran preferible usar un diseo D-


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ptimo que emplear indiscriminadamente un diseo factorial clsico, entre las ventajas que sealan se encuentra que:

El experimentador se ve obligado a pensar en el modelo ms adecuado antes de que se lleve a cabo la experimentacin, este modelo pude ser lineal o no lineal.

El nmero de pruebas no est restringido a una potencia de 2 o de 3, lo cual ofrece una gran flexibilidad y ahorro.

Los diseos factoriales estn limitados a regiones cuboidales, lo que puede ser una restriccin importante en algunas aplicaciones, en cambio los D-ptimos pueden encontrarse en regiones de diseo de cualquier tipo.

La bsqueda de diseos D-ptimos permite manejar modelos en los que la matriz de covarianzas no es de la forma 2I, lo que ampla las posibilidades de la modelacin.

Mitchell y Box

Mitchell y Box (1974) desarrollaron un algoritmo simple y flexible, DETMAX, para la construccin de un diseo experimental D-ptimo, que hasta la fecha se sigue usando, con algunas variantes. La idea bsica consiste en iniciar con n pruebas seleccionadas al azar, e ir mejorando el diseo con base en aumentar una prueba que incremente al mximo F F y eliminar una prueba que ocasione la mnima disminucin en el valor del determinante.

Lucas

Lucas (1976) compara tres clases de diseos, que comnmente se usan en el ajuste de modelos de superficie de respuesta cuadrticos, los diseos compuestos de Box y Wilson, DC, los diseos de Box y Behnken, DBB, y los diseos Uniform Shell, US, de Doehlert. Los criterios de comparacin son la D-eficiencia y la G-eficiencia. En general, los diseos US no son tan


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eficientes como los DC o los DBB. Dependiendo del nmero de factores, en ocasiones los diseos compuestos son mejores que los de Box y Behnken, y viceversa.

Welch

Welch (1982) propone un algoritmo, basado en el mtodo de bsqueda Branch and Bound, para construir diseos experimentales D-ptimos, que permita trabajar con valores de n suficientemente pequeos. Como el diseo D-ptimo puede ser inapropiado cuando el nmero de observaciones no es grande con respecto al nmero de parmetros, Welch (1984) generaliza el algoritmo DETAMAX de Mitchell para criterios G-ptimo y V-ptimo9.

Atkinson

Atkinson (1995) considera cuatro problemas que no se acostumbra a resolver con la metodologa de superficie de respuesta y que son susceptibles de tratarse con diseos ptimos:

Regin de diseo restringida. Una cualidad, con repercusiones prcticas, que tienen los algoritmos para diseos ptimos es el poder construir diseos para un nmero arbitrario n de pruebas y, adicionalmente, en regiones de diseo que no son tpicas. Atkinson y Donev (1992) encuentran un diseo exacto D-ptimo con 20 pruebas para un modelo de segundo orden, donde la regin de diseo esta restringida porque existen combinaciones de los dos factores que haran que el mecanismo de encendido que se desea estudiar no funcionara, o por el contrario se daara o destruyera, ver Figura 3.3.

9 Minimiza la varianza promedio, i.e.

1min ( , ) /

m

jj

d x n d =

=


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33

3

2 2 3

3 1

X1

X2

Figura 3.3 Ejemplo de un diseo D-ptimo con 20 pruebas para el anlisis del

comportamiento de encendido de un motor de coche

Diseos con factores continuos y con factores discretos. En lugar de repetir el diseo correspondiente a los factores cuantitativos, en cada uno de los niveles de los factores cualitativos, como se suele hacer, lo cual demanda un gran esfuerzo experimental, se propone tratar el problema directamente con los mtodos de diseo ptimo.

Diseos de superficie de respuesta en bloques. Se pueden conseguir diseos adecuados, modificando el algoritmo para diseos exactos, con la finalidad de contar con un nmero determinado de pruebas en cada nivel del factor.

Atkinson comenta tambin la aplicabilidad de los diseos ptimos en los siguientes problemas:


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Diseos de mezclas, en donde la restriccin10 que se impone a los factores define un simplex, resultando factible buscar en esta regin un diseo ptimo.

Diseos para la estimacin de la varianza. Modelando simultneamente la media y la varianza, a travs del modelo

{ }( ) ( ( ) )y f Var g = + x z (3.10) donde es una variable aleatoria normal estndar.

Diseos localmente D-ptimos para modelos no lineales, Diseos para modelos lineales generales, Diseos ptimos Bayesianos, y Diseos compuestos.

Mays y Easter

Mays y Easter (1997) hacen un anlisis para comparar diseos factoriales replicados estndar con diseos ptimos (D-ptimo e I-ptimo11), para superficies de respuesta con dos variables de diseo, a dos o tres niveles, en presencia de una estructura de varianza heterognea causada por la presencia de efectos de dispersin, y con modelos lineales de primero y segundo orden. Los resultados de su anlisis, con cuatro estructuras de varianza a considerar, indican que los diseos tpicos en general no son ptimos y su eficiencia decrece en la medida en que aumenta la severidad de los efectos de dispersin. Aunque la eficiencia de los diseos estndar para el modelo de segundo orden es generalmente mayor que para el modelo de primer orden, es recomendable usar diseos alternativos.

En 1999 Mays estudia los diseos centrados compuestos ptimos en presencia de efectos de dispersin. Los diseos centrados compuestos, CCD, propuestos por Box y Wilson (1951) para ajustar modelos de segundo 10 La restriccin es del tipo

1

1 ( 0)m

j jj

x x=

= 11 El criterio I-ptimo, conocido como varianza integrada, minimiza la varianza de prediccin promediada en la regin de diseo.


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orden, como es sabido, representan una alternativa a los diseos factoriales 3k y reducen considerablemente el nmero de pruebas cuando se tiene un gran nmero de factores. Mays encuentra la asignacin ptima de N ensayos experimentales a las ubicaciones del CCD, con los criterios D-optimo e I-ptimo, con tres estructuras de varianza (lineal, cuadrtica y cuadrtica inversa), cinco grados de dispersin y para 2, 3, y 4 variables. Analiza la eficiencia de estos diseos ptimos CCD en referencia a los diseos CCD convencionales.

Romero Z.

Romero Z. (2002) extiende el problema de encontrar diseos experimentales ptimos al mbito del diseo robusto de parmetros. Desarrolla un procedimiento para obtener diseos Ds-ptimos continuos, asumiendo irrelevantes las interacciones entre los factores de ruido12, para el modelo que contiene efectos lineales y cuadrticos en los factores controlables Xi, efectos lineales en los factores ruido Zk, e interacciones dobles entre los distintos factores (control control, control ruido y ruido ruido), esto es:

01 1 1 1 1 1 1

( )p p p q q q p q

i i ik i k j j ik i k ik i ki i k i j i k i i k

E Y X X X Z Z Z X Z = = = = = = + = =

= + + + + + (3.11) Encuentra diseos de tamao mnimo que permiten estimar todos los parmetros relevantes del modelo dejando al menos 5 grados de libertad residuales, adems indica en cuales de los puntos encontrados se pueden hacer rplicas sin perder la optimalidad (hasta cinco rplicas), y proporciona tambin para cada diseo los valores de las varianzas de las estimaciones de los parmetros, donde el nico valor desconocido es el de la varianza residual (la cual se puede estimar a partir de las rplicas)

El procedimiento se basa en reducir el problema inicial, de gran complejidad, a la bsqueda de dos de tres pesos ptimos, que se asignan a

12 En el siguiente captulo se ver que estas interacciones no influyen el la bsqueda de las soluciones robustas


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los tres subconjuntos de puntos del diseo13 3p, que soportan el diseo ptimo. A partir de una adaptacin del algoritmo DETMAX de Mitchell construye planes experimentales Ds-ptimos exactos, para dos o tres factores de control y hasta tres factores de ruido. El nmero de pruebas de diseo garantiza una Ds-eficiencia de al menos 90 % y una G-eficiencia superior al 50%.

1

1

1

1

1

1

2 X2

X3

X1

1-1

1

-1

1

-1

0

0

0

factores ruidoNiveles en los

Z1 Z2

-1 -1-1 1 1 -1 1 1

Figura 3.4 Diseo Ds-ptimo con 24 pruebas, para estimar los efectos relevantes del modelo (3.11) con tres factores controlables y dos factores ruido, las cinco condiciones

experimentales con asterisco son las posibles rplicas.

El modelo (3.11) con 3 factores controlables y 2 factores ruido tiene 19 parmetros relevantes, si este modelo se quisiera estimar con una matriz cruzada de Taguchi se requerira de 108 pruebas, con una Ds-eficiencia del 88%, en cambio el diseo Ds-ptimo exacto que se muestra en la Figura 3.4 solo necesita de 24 pruebas (19+5) si no se hacen rplicas. El diseo ptimo con las rplicas (29 pruebas) tiene una Ds-eficiencia del 93,7%

13 p es el nmero de factores de control en el modelo


88

Box, G.

Box, G. (1982) duda de la utilidad de los enfoques de optimizacin para definir los diseos experimentales, entre sus argumentos menciona la relevancia de la decisin, la pertinencia del modelo y el criterio de seleccin:

Relevancia de la decisin. Las decisiones que ms influyen en los resultados de una investigacin no dependen realmente de criterios estadsticos. Estas decisiones conciernen con la eleccin de la regin de inters, la seleccin de las variables que participarn, sus rangos y localizaciones y las transformaciones. Una vez elegida la regin, y bajo el supuesto de que el modelo ajusta perfectamente y que solo interesan las propiedades de la varianza, cualquier conjunto de puntos que cubra esta regin, de manera razonablemente uniforme, ser igual de adecuado.

Pertinencia del modelo. El aforismo Todos los modelos son incorrectos, algunos modelos son tiles es particularmente cierto para las funciones de tipo polinomial que no pretenden ms que graduar localmente la verdadera funcin. Empricamente se ha observado que las aproximaciones no necesitan ser muy buenas para que el mtodo de superficie de respuesta trabaje apropiadamente.

Criterio de seleccin. La funcin de informacin en s misma es la medida ms directa de la conveniencia del diseo. La mejor accin, en este caso, es seleccionar el diseo directamente de aquellos que den la funcin de informacin pertinente, y no con un criterio que encuentra un valor extremo. El problema del diseo no es tanto una cuestin de escoger el diseo que incrementa la informacin total, sino de extender la informacin total en la forma deseada.


89

3.5 Anlisis

El uso del cociente seal ruido para el anlisis de los resultados ha sido duramente criticado, entre las crticas ms recurrentes se tiene: el colapsar un nmero excesivo de observaciones en un solo cociente, en ocasiones con grandes prdidas de informacin en el anlisis, el desconocer el tipo de influencia que tienen los factores en la respuesta, el no poder tratar datos que son conteos o frecuencias, y el asumir que el factor de ajuste tiene un efecto multiplicativo en la respuesta. Las opciones alternativas que se dan se pueden agrupar en funcin de uno de los dos enfoques que se dan a la solucin del problema: usar un estadstico diferente o modelar directamente la respuesta. En el primer grupo quedaran las medidas del desempeo que son independientes del ajuste y las transformaciones de los datos, el segundo congregara los mtodos de superficie de respuesta, los mtodos lineales generalizados y los mtodos de programacin no lineal.

3.5.1 Medidas del desempeo que son independientes del ajuste

Leon, Shoemaker y Kackar

Leon, Shoemaker y Kackar (1987) identificaron que existen muchos problemas reales en donde el cociente S/R no es independiente de los factores de ajuste, y el uso de ellos pude llevar a una seleccin de los niveles de los parmetros de control distante del ptimo. Proponen otro tipo de estadsticos diferentes a los cocientes S/R, que toman en cuenta la existencia de factores de ajuste, y que llaman medidas del desempeo independientes del ajuste (performance measures independent of adjustment, PerMIA). El cociente seal ruido de Taguchi es una medida del desempeo que funciona de manera deficiente cuando no es independiente de los parmetros de ajuste.

Cuando existen factores de ajuste, se puede derivar la PerMIA de la funcin de prdida conocida y de la forma general del modelo de la funcin de transferencia f(X, Z). Se considera que la respuesta Y es funcin (funcin de transferencia) de los factores de control X y de los factores de ruido Z,


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estos ltimos considerados aleatorios; de aqu que la respuesta sea aleatoria. A semejanza con las ideas de Taguchi, se descompone los factores de control en dos grupos, X = (d, a), y se emplea un procedimiento de optimizacin de dos pasos, en el primero se encuentra los factores de control que afectan a la dispersin, d, y posteriormente se seleccionan los factores de ajuste, a.

Se demuestra que el cociente S/R para el caso nominal es lo mejor no depende de a, esto es que a afecta la localizacin pero no la dispersin cuando la funcin de transferencia es del tipo multiplicativa,

Y = (d, a)(Z, d) (3.12)

donde E(Y) = (d, a) es una funcin estrictamente montona, en este caso el procedimiento de Taguchi minimiza la prdida cuadrtica. Este tipo de funcin de transferencia exige que los componentes del error no contengan factores de ajuste, y su expresin implica que la varianza de la respuesta Y transmitida por los factores de ruido es proporcional a su valor esperado.

Si se desea trabajar con la escala logartmica y se asume la misma funcin de transferencia, y por funcin de prdida,

L(y, ) = K[log(y) - log ()]2, (3.13)

siendo el valor nominal de la respuesta, entonces el estadstico PerMIA, que minimiza la funcin de perdida con el procedimiento de dos pasos est dado por:

PerMIA = log[Var(log(Y))]. (3.14)

Esta medida fue sugerida por Box (1986) como una alternativa al cociente S/R de Taguchi, la cual tiene mejores propiedades estadsticas, pero puede tener problemas cuando la funcin de prdida tiene un valor cercano a cero para .

Si se tiene una expresin aditiva, en lugar de multiplicativa, para la funcin de transferencia, del tipo,


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Y = (d, a) + (Z, d), (3.15)

con E[(Z, d)] = 0 y L(y, ) = K(y- )2, entonces en lugar del cociente S/R se debe usar PerMIA = Var (Y) en el proceso de optimizacin.

3.5.2 Transformacin de los datos

Box, G.

Un aspecto delicado en el uso del cociente S/R se basa en el supuesto de que el factor de ajuste tiene un efecto multiplicativo en la respuesta. Box (1988) analiza el caso nominal es lo mejor y muestra que si la transformacin logaritmo estabiliza la varianza entonces

S/R const const ln Slog y (3.16)

Como el supuesto no se puede garantizar, Box propone como alternativa evaluar transformaciones que garanticen parsimonia en el modelo e independencia entre la media y la desviacin estndar, Box y Cox (1964) y Box y Fung (1983). Al hacer el anlisis en trminos de la transformacin se logra una gran simplificacin. Una vez escogido el criterio de desempeo adecuado, se debe ser cuidadoso en la manera de estimarlo. Por ejemplo, si la medida de desempeo seleccionada es 1/ entonces el estimador mximo verosmil es

1/ y y no 1/ /ii

y n En relacin a los casos cuanto ms grande mejor y cuanto menor mejor Box los considera extremadamente ineficientes. Ambos criterios son ideas de localizacin, por lo cual ante supuestos de datos independientes distribuidos en forma normal, la media muestral es la medida de localizacin con mejores propiedades estadsticas.


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3.5.3 Metodologa de Superficie de Respuesta

Vining y Myers

Un gran nmero de las aportaciones alternativas al mtodo de Taguchi, para el diseo de productos robustos, se ha basado en la metodologa de Superficie de Respuesta (MSR). Vining y Myers (1990) proponen considerar a la media y la varianza como respuestas de inters, y aplicar el mtodo de respuesta dual desarrollado por Myers y Carter (1973) para alcanzar un valor deseado para la media y otro para la varianza.

El modelo sugerido para cada una de las respuestas es polinomial de segundo orden. El mtodo dual optimiza una respuesta primaria sujeta a una restriccin adecuada en el valor de la respuesta secundaria. Los tres casos que trata Taguchi quedaran conformados de la siguiente manera:

nominal es lo mejor, significa mantener en el valor nominal, , mientras se minimiza 2.

cuanto ms grande mejor, significa hacer tan grande como sea posible, mientras se controla 2.

cuanto menor mejor, significa hacer tan pequeo como sea posible, mientras se controla 2.

El procedimiento que proponen consta de cuatro pasos

1. Hacer experimentos de bsqueda en la respuesta primaria, como el mtodo de la mxima pendiente, para determinar la regin de inters apropiada.

2. Usar cualquiera de los diseos clsicos de segundo orden de superficie de respuesta, para ajustar el modelo de la respuesta primaria.

3. Analizar los resultados del experimento con la metodologa de respuesta dual.


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4. Hacer al menos un experimento confirmatorio en la localizacin encontrada.

En la situacin nominal es lo mejor, consideran su mtodo ms general y ms natural, superando al procedimiento PerMIA, ya que este ltimo no es aplicable cuando los factores de control no se pueden dividir en factores de ajuste y factores que afectan la dispersin. Bajo el supuesto de error aditivo en el modelo, se puede usar el mtodo que ellos sugieren para proponer posibles factores de ajuste, dado que se desarrollan modelos separados para la media y la varianza.

Myers, Vinning y Khuri (1992), sealan que conjuntamente con la estimacin de las condiciones ptimas la metodologa de superficie de respuestas da una alta prioridad a la bsqueda de una mejor comprensin del proceso. Esto se consigue explorando simultneamente las superficies de respuesta generadas por la media y la varianza de la respuesta. Los modelos de la media y la varianza los derivan del modelo para la respuesta, usando las propiedades de los operadores E() y Var(). Resaltan que es ms importante en la industria el modelar la varianza del proceso que modelar la media, algo que no pasa comnmente.

En la bsqueda de las condiciones ptimas, adems de la optimizacin restringida del mtodo dual que sugieren en su anterior artculo, proponen el empleo de grficos de contorno superpuestos, un ejemplo de ello se trata en el captulo 4.

Las ventajas que dan a la MSR sobre el mtodo de Taguchi son:

Los arreglos combinados que se usan en esta metodologa para incluir los factores ruido proporcionan la estimabilidad deseada, y generalmente se tienen ahorros en el plan experimental al usar estos arreglos.

El enfoque de superficie de respuesta dual da una comprensin superior del proceso, permiten el uso de diseos en forma secuencial y el interesado pude emplear cualquier mtrica en la respuesta.


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Se pude determinar qu factores de control tienen efecto sobre la dispersin y que factores de ruido incrementan la variabilidad y no estn sujetos a control por no interactuar con los factores de control.

Lucas

Lucas (1994) para lograr un proceso robusto recomienda analizar un diseo de Taguchi como un diseo de superficie de respuesta, de esta manera se puede aprovechar todos los procedimientos de diagnostico que se han desarrollado para esta metodologa. No ve inconvenientes en usar los diseos altamente fraccionados, y frecuentemente saturados, que emplea la metodologa de Taguchi, empero recomienda no saturar completamente el diseo, guardando cuatro o cinco grados de libertad para diagnsticos y estimacin del error.

Un concepto interesante que menciona el artculo de Lucas es el poder conseguir en ocasiones algo mejor que un proceso robusto. La elaboracin de diferentes productos, que respondan cada uno a usuarios o grupos de condiciones especficos, puede dar mejores resultados que nicamente un producto robusto. El anlisis a travs de superficies de respuesta permite percibir esta situacin al incluir tanto los factores de control como los de ruido. El anlisis de Taguchi no permite conocer este tipo de informacin, al ignorar los efectos principales en las variables del arreglo externo se limita la identificacin de efectos significativos en las variables ruido, y son precisamente estas las que pueden indicarnos que la diferenciacin del producto puede ser exitosa. Tambin menciona la idea expresada por Nelder (1988) de que al analizar el experimento, suele convenir transformar los datos de tal manera que los efectos de las interacciones sean desdeables, facilitando la interpretacin.

Khattree

Khattree (1996) extiende el trabajo de Myers, Khuri y Vinning (1992) al caso en que se requiere usar bloques porque algunos de los factores de ruido no se pueden combinar en un mismo esquema experimental; Taguchi denomina estas variables factores indicativos. Para el caso en que se tienen


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dos bloques presenta un modelo para cada grupo de respuestas, en notacin matricial estos son:

y1 = X1 + Z11 + 1

y2 = X2 + Z22 + 2 (3.17)

donde X1 y X2 son las matrices de diseo para las variables de control, Z1 y Z2 son matrices para las variables de ruido y los vectores , 1 y 2 representan los coeficientes de regresin correspondientes. Slo existe un para ambos modelos para poder dar la misma prediccin cuando se tiene el mismo grupo de variables de control. El proceso de estimar los parmetros de los modelos se simplifica grandemente si los diseos experimentales en los dos bloques son idnticos y ortogonales a Z1 y Z2, en este caso, y bajo el supuesto de homocedasticidad, la estimacin se hace por mnimos cuadrados, combinando los datos de los dos diseos en uno solo, de la manera siguiente:

1 111

22 22

= +

00

y X Z

X Zy

(3.18)

Myers, Kim y Griffiths

Myers, Kim y Griffiths (1997) basados en el procedimiento que sugiere Vining y Myers (1990) de modelar simultneamente las superficies de respuesta de la media y la varianza, proponen la bsqueda de condiciones robustas dentro de la regin de confianza que se puede construir para la zona que tiene la mnima varianza del proceso. Si se asume para la respuesta el modelo

y = 0 + x + xBx + z + xz +

Esta zona de mnima varianza se estima a partir de ( ) = =l x + x 0 . Para diseos en los cuales los efectos principales de ruido son mutuamente


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ortogonales con las interacciones control ruido, se puede encontrar una regin de confianza en x0, del tipo

[ ] 10 0 0, , . .2

( ) ( ) ( )Pr 1

Zn g l EZF

n

=

-l x C x l x (3.19)

con ( ) 2 ( ) ( )V =l x C x . Hay que mencionar que, en la mayora de las propuestas basadas en la MSR, la estimacin del modelo de la varianza se basa en el modelo estimado de la respuesta, por lo que es especialmente importante que este modelo est bien ajustado; esto origina que las decisiones acerca de los valores ptimos de los factores de control sean muy sensibles a la manera como el modelo de la respuesta fue identificado. Se tiene ejemplos en los que la minimizacin directa de la varianza obtenida a partir del modelo ajustado no detecta efectos importantes de variabilidad que si detecta el anlisis convencional de Taguchi; el anlisis grfico de las interacciones entre los factores de control y los de ruido en ocasiones no indican los niveles de los factores de control que minimizan la variable respuesta. Pozueta (2001) recomienda una estrategia de tres pasos, tendente a evitar errores en la seleccin de la parte asociada a los factores de ruido en el modelo.

Las recomendaciones que se hacen en los procedimientos de Taguchi, para la seleccin cuidadosa de la caracterstica de calidad que se considerar como respuesta, es aplicable tambin en la MSR, debido a que una eleccin inadecuada puede inducir no linealidad, haciendo muy difcil encontrar un modelo ajustado parsimonioso. De la misma manera, la seleccin de los factores debe ser tal que simplifique la relacin con la respuesta, sin olvidar las tcnicas de transformacin de datos para simplificar el modelo.


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3.5.4 Modelo Lineal Generalizado

Grego

Para el problema de optimizacin simultanea de la media y la variacin de un proceso, Grego (1993) considera el modelo lineal de la respuesta

Y = X + e (3.20)

donde e es un vector de variables aleatorias ei que se distribuyen normalmente con media cero y con una estructura del error

Var(ei) = exp(zi) (3.21)

Los factores xi influyen a la media y los factores zk a la varianza del proceso, algunos xi coinciden con ciertos zk si existen factores que afectan a la media y a la varianza. Para analizar los modelos (3.20) y (3.21) uno puede ajustar los modelos

=Y X (3.22) y

ln(s2) = Z (3.23)

No se modela directamente s2 porque cada si2 tiene una distribucin Gama14. Una posibilidad de modelar respuestas que no tienen distribucin Normal es usando un modelo lineal generalizado, GLM, McCullagh y Nelder (1989). Grego propone el empleo de ellos para modelar directamente la varianza como una alternativa al empleo de la transformacin logartmica, en concreto con el uso del modelo multiplicativo Gama para la distribucin del error y el logaritmo como funcin de enlace (link).

Como mtodo de seleccin de factores activos, el empleo de modelos lineales generalizados para modelar s2, en contraposicin con el modelado de ln(s2) que hace uso de la teora normal, tiene la ventaja de que todos los resultados aparecen con la mtrica original en lugar de la escala

14 La distribucin de si2 es una ji-cuadrada, que es un caso particular de la distribucin Gama.


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transformada, con lo que se facilita la interpretacin del modelo resultante, una cualidad importante en todo buen modelo. Suplementariamente, en la prctica el modelo multiplicativo Gama para el error funciona de modo satisfactorio con muestras pequeas.

Hamada y Nelder

Hamada y Nelder (1997) destacan que los datos provenientes de la caracterstica de calidad frecuentemente representan conteos o cocientes de conteos, en cuyo caso los supuestos del modelo lineal clsico no se cumplen. Suele suceder que se transforman los datos buscando varianza constante, aunque no siempre se consiga la linealidad y la normalidad; por ejemplo, si los errores siguen una distribucin de Poisson entonces no existe una transformacin que satisfaga los supuestos simultneamente. Estos problemas se pueden evitar si se emplean modelos lineales generales al especificar la componente sistemtica del modelo y, al mismo tiempo, permite seleccionar separadamente una distribucin adecuada para el componente del error en el modelo. Esto se logra transformando los valores hipotticos de la media en lugar de los datos con la funcin link adecuada.

Para modelar conjuntamente la media y la dispersin usan un par de modelos lineales generales enlazados, uno para la media y el otro para la dispersin. Cada uno tiene su propia variable respuesta, su funcin de enlace que determina la escala en la cual se asume que los efectos de las variables explicativas son aditivos y su conjunto de variables que contribuyen al predictor lineal. Factores que son importantes para la dispersin pueden o no concurrir en el modelo para la media; esto no sucede en los procedimientos que emplean MSR cuando se deriva el modelo de la varianza a partir del modelo de la media. El algoritmo para ajustar los modelos es una extensin del algoritmo GLM estndar, el cual consiste en un procedimiento iterativo, que inicia con el ajuste para el modelo de la media asumiendo que los valores ajustados para la dispersin son conocidos, de aqu se estima el modelo para la dispersin usando los valores ajustados de la media para formar la variable respuesta; los ajustes se van alternando entre el modelo de la media y el de la dispersin hasta que la convergencia se logra.


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La clase de modelos que se pueden abordar es lo suficientemente amplia para tratar las situaciones donde la variable respuesta es continua, o es el producto de conteos, todo esto de forma unificada.

El empleo de GLM en ocasiones elimina interacciones removibles, con lo que se consigue aditividad en los factores. Esto facilita la seleccin de los niveles que optimizan la respuesta esperada, y tambin, s se est usando diseos factoriales fraccionales, se simplifica la identificacin de los efectos significativos al desaparecer interacciones que son alias.

3.5.5 Programacin no lineal

Fathi

Fathi (1991) propone un enfoque de programacin no lineal para resolver el problema del diseo de parmetros. Expresa el problema como un modelo para el diseo de parmetros (PDM), que consiste en encontrar un conjunto de valores para 1, 2, . . ., n que minimicen 2Y sujeto a cierta restriccin, esto es:

minimizar 2Yz = 1, 2, . . ., n

sujeto a f (1, 2, . . ., n) = , (1, 2, . . ., n) M.

(3.24)

Si se conoce la forma analtica de la funcin 2Y (1, 2, . . ., n) entonces el problema se reduce a un modelo de optimizacin no lineal restringido. Como la expresin funcional de 2Y suele ser desconocida se tiene que recurrir a tcnicas de estimacin, de las cuales menciona bsicamente tres: Simulacin de Montecarlo, Experimentos diseados estadsticamente y Aproximacin funcional. Fathi desestima los dos primeros debido a que el procedimiento de Montecarlo tiene, para el problema planteado, requisitos


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computacionales excesivos, el segundo mtodo demanda menos esfuerzo computacional pero proporciona poca asistencia para encontrar la solucin ptima; por esta razn considera que el mtodo de Taguchi potencialmente lleva a aproximaciones crudas y a conclusiones errneas, lo que justifica el empeo que hace esta metodologa en hacer experimentos confirmatorios.

Asumiendo que la funcin f es continua y dos veces derivable en cualquier punto, se estima dicha funcin usando series de Taylor, alrededor de un punto dado ; la estimacin de 2Y en cualquier valor se logra con la expresin analtica de la varianza de la funcin aproximada f, evaluada en . Esta estimacin de la varianza de la respuesta es razonablemente exacta en = y pierde exactitud a medida que se aleja de .

Para resolver el PDM se propone un procedimiento iterativo que denomina mtodo de aproximacin sucesivo de varianza cuadrtica, SQVAM. Para los puntos iniciales del algoritmo se recomienda encontrarlos de manera rudimentaria, como puede ser con un diseo grandemente fraccionado en el espacio de 1, 2, . . . , n. El primer paso del procedimiento consiste en construir el PDM remplazando a 2Y (1, 2, . . ., n) con la expresin Var[q(x)], donde q(x) es la aproximacin de f(x). El segundo paso usa un algoritmo de programacin de aproximacin cuadrtica sucesiva (GRG o SUMT).

Fathi recomienda verificar la solucin ptima op , encontrando en forma independiente el valor de 2( )opY ; por ejemplo, a travs de un modelo de simulacin Montecarlo; en caso de no coincidir los valores de la varianza en el ptimo se debe regresar al segundo paso del procedimiento SQVQM. En general el procedimiento no converge al punto mnimo por usar una aproximacin cuadrtica a f, no obstante se sugiere el uso repetido del mtodo empleando varios puntos de inicio, que pueden ser determinados con diseos altamente fraccionados en el espacio de 1, 2, . . ., n Entre las caractersticas ms significativas del SQVAM se tiene:


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No requerir de medidas del desempeo, como PerMIA o cociente seal ruido, como medidas intermedias para encontrar el ptimo, sino hacerlo directamente optimizando la funcin objetivo, la cual puede representar la prdida esperada.

Permitir que cualquier relacin funcional entre las variables independientes se incorpore al modelo, como una restriccin adicional. De esta manera slo se incrementan los requisitos computacionales, sin imponer restricciones a su aplicabilidad.

Manejar varias caractersticas de calidad a la vez, construyendo como funcin objetivo una combinacin lineal adecuada de las respectivas varianzas.

No restringirse a dos o tres niveles para las variables, como es el caso de la mayora de los enfoques basados en diseos experimentales.

Del Castillo y Montgomery

Del Castillo y Montgomery (1993) retoman el mtodo de respuesta dual propuesto por Vining y Myers (1990), el cual en esencia es un mtodo de programacin no lineal, dado que ambas respuestas son usualmente funciones cuadrticas. Usan el algoritmo del gradiente reducido generalizado, GRG, porque es un mtodo robusto del tipo primal, con lo cual la bsqueda de la solucin ptima se realiza a travs de la regin factible, y la facilidad para obtener una rutina GRG lo hace ideal para implementarlo. Este procedimiento no requiere que ambas funciones sean cuadrticas, y la regin delimitada por las restricciones puede ser cuboidal o esfrica.

Las mejoras que ha tenido el mtodo de respuesta dual en la dcada pasada se han hecho en la forma de plantear el problema, y en los avances en los algoritmos de optimizacin; Kim y Lin (1998) dan una informacin pormenorizada de ellas. Uno de los mayores inconvenientes que tienen los enfoques al problema (optimizar la media sujeto a mantener la desviacin estndar por debajo de un valor especificado) es la restriccin de la segunda


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respuesta, dado que normalmente se desconoce un valor aceptable para ella. Kksoy y Doganaksoy (2003) proponen una forma ms flexible de plantear el problema considerndolo un caso de programacin no lineal multiobjetivo. De esta manera se tiene:

cuanto ms grande mejor:

{ } max ,minsujeto a x R

cuanto menor mejor:

{ } min ,minsujeto a x R

donde R puede ser una regin cuboidal o esfrica. El caso nominal lo mejor se puede tratar iterando una solucin basada en los casos anteriores. Kksoy y Doganaksoy adaptan el software NIMBUS (Nondiferentiable Interactive Multiobjective BUndle-based Optimization System) para ilustrar su mtodo con tres casos de la literatura.

3.6 Estudio de efectos sobre la dispersin

El nfasis que el mtodo de Taguchi hace en la reduccin de la variabilidad como parte integral de los procesos de mejora de la calidad, sin duda, ha propiciado un creciente inters en el modelo estructural de la varianza y en la estimacin de los parmetros asociados a dicho modelo, los que se denominan efectos de dispersin. La forma en que Taguchi estudia el efecto que sobre la media y la dispersin tienen los factores se basa en replicar las condiciones experimentales, comnmente a travs de introducir en el diseo los factores de ruido.

Una forma de identificar los efectos de dispersin, a partir de experimentos replicados, consiste en evaluar la varianza muestral para cada condicin experimental; a partir de estas varianzas, o el logaritmo de ellas, como


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respuesta se identifican los efectos significativos. Una desventaja evidente es el elevado nmero de observaciones que se generan cuando se desea probar un nmero razonable de factores, razn por la cual algunos autores han propuesto mtodos para identificar los factores de dispersin basados en experimentos sin rplicas. Algunas referencias de estos mtodos son Box y Meyer (1986), Zunica y Romero V. (1988), Ferrer y Romero V. (1

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