Estadística Aplicada a Los Negocios (1)

USAT

ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDADESTADSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOSDOCENTE: M. Sc. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICADEFINICIN:Es la ciencia fundamentada en la Matemticas que nos proporciona un conjunto de mtodos que se utilizan para recolectar, resumir, clasificar, analizar e interpretar el comportamiento de los datos con respecto a una caracterstica materia de estudio o investigacin.Con el nico propsito de que sirva como punto de apoyo en la toma de decisiones

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAOBJETIVOS DE LA ESTADSTICA Descripcin Anlisis PrediccinRAMAS DE LA ESTADSTICA Estadstica DescriptivaEs el conjunto de mtodos que implican la recoleccin, presentacin y caracterizacin de un conjunto de datos a fin de describir en forma apropiada las diversas caractersticas de esta.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Estadstica Inferencial Es el conjunto de mtodos o tcnicas que posibilitan la generalizacin o toma de las decisiones en base a una formacin parcial obtenida mediante tcnica descriptiva. POBLACIN Es un conjunto de elementos (que consiste de personas, animales, objetos, etc.) que contienen una o ms caractersticas en comn, observables que se puedan medir. Ejemplo: En un estudio sobre el Nivel Econmico y Rendimiento Acadmico de los estudiantes de una Universidad Nacional. La poblacin en estudio est conformada por los estudiantes de esa Universidad Nacional.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICATIPOS DE POBLACINPor el nmero de elementos que la componen se clasifica en:Poblacin Finita.- Una poblacin es aquella que tiene un nmero limitado de elementos. Por ejemplo: Las edades de los alumnos de la escuela de Ing. Civil dela UCV en el semestre 2009-II. El tamao de la poblacin finita se simboliza por N.

Poblacin Infinita.- Una poblacin infinita es aquella que no tiene lmite o cuota. Por ejemplo: la poblacin de personas infectadas con VIH.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAMUESTRAEs una parte o pequea porcin representativa y adecuada de la poblacin. Representativa en el sentido de reflejar fielmente las caractersticas de la poblacin de la cual procede y defiere de ella slo en el tamao. Adecuada, quiere decir que debe incluir un nmero ptimo y mnimo de elementos de la poblacin. Este nmero ptimo se determina mediante el empleo de las frmulas del muestreo. El tamao de una muestra se simboliza n.UNIDAD DE ANLISIS Es todo elemento Indivisible que conforma la poblacin, pudiendo ser: aulas, carpetas, animales, instituciones, personas, etc.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAPARMETROEs una medida resumen que describe una caracterstica de toda la poblacin.

Los parmetros ms usados son:

La Media Poblacional = (que se lee mu) Desviacin Estndar Poblacional = (que se lee sigma) Varianza Poblacional 2 = (que se lee sigma al cuadrado) Proporcin Poblacional = P (que se lee pe)

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA

ESTADGRAFO

Es una medida resumen que describe una caracterstica de la muestra. La media de una muestra = Desviacin estndar de una muestra = SVarianza de una muestra = S2Proporcin de una muestra = P

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAVARIABLE Es una caracterstica definida en la poblacin, que puede tomar dos o ms valores (que pueden ser cualidades o nmeros). Las variables se clasifican segn su:

Naturaleza

Es una caracterstica definida en la poblacin, que puede tomar dos o ms valores (que pueden ser cualidades o nmeros).

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAVariable CualitativaEs aquella caracterstica cuyos valores o respuestas son cualidades o atributos. Por ejemplo: Sexo, Estado Civil, Lugar de Procedencia, Nivel Econmico, Tipo de Inflacin, etc.Variable CuantitativaEs aquella caracterstica cuyos valores resultan de la operacin de contar o de medir. Como por ejemplo: Nmero de Hijos, Peso en Kg. , Talla en cm, etc.Variable Cuantitativa DiscretaEs aquella caracterstica cuyos valores resultan de la operacin de contar y estn expresados en los NMEROS NATURALES (N).Por ejemplo: nmero de hermanos, N de hijos, N de veces que postula a la universidad, etc.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAVariable Cuantitativa Continua

Es aquella caracterstica cuyos valores o respuestas son cantidades que resultan de la operacin de medir y sus valores estn expresados por los nmeros reales R. Por ejemplo: Ingreso Mensual, Talla en cm., temperatura, etc.


DATO

Es la respuesta que adquiere la caracterstica de estudio en cada unidad de anlisis.

Por ejemplo: Si se le pregunta por su edad en aos a un alumno de la escuela de Ing. De Sistemas de la USAT y su respuesta es 21 aos (dato).

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAEscala de Medicin

Escala de medicin Tipo de variableEjemplos Escala NominalVariable cualitativaSexo, estado civil, lugar de procedencia, etc.Escala OrdinalVariable cualitativaGrado de instruccin, orden de mrito, etc.Escala de IntervaloVariable cuantitativa continua de origen convencional.Temperatura, presin, coeficiente intelectual, puntuaciones del nivel de estrs, etc.Escala de raznVariable cuantitativa de origen natural.Edad en aos, peso en kg, ingresos mensual en soles, nmero de hijos, etc.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA SSUMATORIASSUMATORIAS SIMPLES

Supongamos que la variable X, toma los valores x1,x2,,xn. La suma de estos valores se expresa:x1 + x2 ++xn

A fin de escribir esta expresin de manera ms reducida, se emplea la letra griega sigma mayscula, , que es el smbolo utilizado en matemticas para indicar suma. As, ,sera la expresin reducida de la suma

de los valores de la variable X.

i se llama ndice de suma y toma valores enteros 1,2,,n


El ndice de adicin es completamente arbitario:x1 + x2 ++xn= = = =

La i, j y k son llamados variables mudas

PROPIEDADES

1. Si K representa una constante, esto es una cantidad cuyo valor no depende de i, entonces

y


2. La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual a la constante por la sumatoria de la variable.

3.La sumatoria de una suma (o una diferencia9 de dos o ms variables, es igual a la suma (o diferencia) de las sumatorias de las variables.


SUMATORIAS DOBLES.

La suma doble se obtiene aplicando la suma simple dos veces como sigue:

PROPIEDADES

Si k es una constante; entonces


2.Si k es una constante; entonces

3. Si m y n son constantes, entonces se puede intercambiar el orden de la adicin


4.

5.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICALABORATORIO N 01 Las variables cuantitativas pueden ser ___________________ o ___________________2. ____________________, es el conjunto de elementos que contienen una o ms caractersticas en comn, observables y que se pueden medir.3. Una muestra __________, quiere decir que debe incluir un nmero ptimo y mnimo de elementos de la poblacin.4. _____________, Es una caracterstica definida en la poblacin, que puede tomar dos o ms valores (que pueden ser cualidades o nmeros).

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA5. En las siguiente lista de variables, indicar a qu clase corresponde cada una segn su naturaleza y escala de medicin. Precio en soles.b. N niveles de una vivienda.c. Tipo de Crdito Bancario.d. Material de construccin.e. Nmero de acciones. Tipo de suelo.g. Coeficiente intelectual.h. La calificacin en la escala de 0 a 20 en la primera prctica calificada

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA6. Indique el tipo de Poblacin segn el nmero de elementos que la conforman, unidad de anlisis, variable segn la naturaleza del dato, escala de medicin de la variable que corresponda N de personas por metro cuadrado en la ciudad de Lambayeque. Ao 2010.b. Tipo de financiamiento de las empresas constructoras en el departamento de Lambayeque.c. Ingreso mensual familiar de los alumnos de la Especialidad de Ing. Civil de la UCV, matriculados el ciclo 2010-I.d. Gasto mensual en alimentacin de las familias del cercado de Chiclayo.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA7. sea x1=4, x2=1, x3=5, x4=0, x5=6, x6=2, x7=3.

Hallar:8.Hallar:

9. sea x1=1, x2=4, x3=3, x4=7, x5=2.

Hallar:

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA RECOPILACIN DE DATOS

TCNICAS DE RECOLECCIN DE DATOS- La observacin.

- La experimentacin.

- La encuesta.- La entrevista.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA La observacin:Se registra al dato bajo condiciones normalesCuando se mide el desempeo, la persona observada no debe saber que es sujeta de observacinSe utiliza una hoja de registro

Ejemplo: La observacin de la conducta de los obreros de una obra de construccin durante sus labores habituales2. La experimentacin:

Se registra un dato bajo condiciones provocadas simulando el proceso lo ms real posible.Ejemplo: Un ingeniero prueba para un nuevo producto (chip, software, etc.)

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA 3. La encuestaEs la recopilacin de datos al establecer contactos con una cantidad limitada de personas por medio de cuestionarios.

Es el mtodo que ms se usa pero requiere una planeacin minuciosa puesto que debe tenerse especial cuidado al preparar el cuestionario.

Encuentas por correoEncuestas por telfonoEncuesta personalEncuesta Online

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA a) ENCUESTA POR TELEFONO:Consiste en hacer un nmero de llamadas a personas especficas en determinado tiempo para obtener informacin. Generalmente se usa para estudios de audicin radio y televisin.VENTAJASSon menos costosas y requieren de corto tiempoSe obtiene rpida informacinSe contacta a personas importantes y difciles de encontrar.Fcil de llegarDESVENTAJASDifcil obtener informacin precisa y completaEn ocasiones existe poca colaboracin. RechazoNo se conoce a la persona, es decir, no puedeclasificarse ni calificarseConversacin breve, pocas preguntas

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA b) ENCUESTA POR CORREOConsiste en seleccionar a un grupo de personas y enviarles por correo un cuestionario para que lo tramite y lo devuelva.VENTAJAS Fcil llegar a todas las personas por el sistema postal econmicoNo hay presin del encuestadorDESVENTAJAS- Poca colaboracin- Influencia de terceros- Muy bajo nivel de respuestas- No puede calificarse ni clasificarse al encuestado Debe darse premios o recompensas para motivar a cooperar.- Es necesario determinar la fecha de entrega

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA c) ENCUESTA PERSONAL Consiste en preguntar directamente a los consumidores previamente determinados. Es el mtodo ms popular.

VENTAJAS- La principal es la flexibilidad que se obtiene. - Suele obtenerse ms informacin.- Se obtiene un mayor grado de cooperacin con relacin a los otros mtodos.- Se obtiene informacin sobre los hogares participantes, los niveles de vida aparentes- Puede calificarse y clasificarse al encuestado.- Puede ayudarse de imgenes y muestras- Las respuestas son espontneas - Existe poca influencia de terceros- Permite profundizar y aclarar

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA DESVENTAJAS- Muy costoso y requiere mucho tiempo- En ocasiones hay reducida colaboracin- Puede alterarse la informacin frecuentemente- La presencia del encuestador muchas veces impulsa a dar una informacin errada.Es difcil de supervisar.d) ENCUESTA ONLINELas encuestas online son una excelente opcin paraconocer las opiniones y actitudes de un mercado meta.

VENTAJAS- Bajo costo: Se prescinde de todo personal encuestador y de la utilizacin de papel para respaldar la data, siendo ms econmicas que mediante los mtodos tradicionales.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA - Es posible incrementar el tamao de la muestra, sin que el precio se incremente proporcionalmente.- Rapidez: La entrada y procesamiento de la data es casi inmediata. - Exactitud: Se eliminan los errores asociados a la introduccin de la data gracias a encuestas inteligentes. - Naturaleza interactiva: Permite la inclusin de elementos multimedia como imgenes, sonidos y videos.- Respuestas Honestas: Al eliminar la presencia del encuestador los usuarios son ms honestos y abiertos cuando estn en frente de una computadora, y se expresa sin temores.- Largo y diverso grupo de entrevistados: La inmensidad de Internet hace posible llegar a personas que sera imposible contactar de otras maneras.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA DESVENTAJAS- Dificultad de obtener muestras probabilsticas: La inexistencia de una lista de usuarios de Internet complica la preparacin de una muestra totalmente aleatoria.- Autenticidad: Una misma persona puede hacerse pasar por otra para poder llenar ms encuestas. - Respuestas duplicadas: Algunas personas podran intentar llenar una encuesta ms de una vez.4. La entrevista La entrevista es una situacin de interrelacin o dilogo entre personas, es una tcnica donde una persona llamada entrevistador, encuestador o empadronador solicita al entrevistado, le proporciona algunos datos o informacin. El xito de la entrevista como tcnica de recoleccin, depende de la eficiencia del trabajo del investigador.La entrevista presenta diversas modalidades, como:

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA La entrevista asistemtica o libre.

Entrevista estructurada, en la cual se precisa previamente los puntos interrogar, existe un libreto o un cuestionario.

Entrevista focalizada, donde la interrogacin se centra alrededor de un solo tema especfico.

Entrevista simultnea, cuando los entrevistados son varios al mismo tiempo.

Entrevista sucesiva, cuando son varias entrevistas, pero en diversos momentos.

CuestionarioDocumento estructurado que contiene una lista de preguntas abiertas y cerradas con la finalidad de recolectar datos de los encuestadosESTADSTICA Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo

Pasos a seguir para elaborar un cuestionario

1Determinar la informacin requerida

2Determinar el contenido de las preguntas3Decidir el tipo de preguntas a formular7Someterlo a la prueba piloto5Establecer la secuencia de las preguntas4Tomar en cuenta la redaccin de las preguntas6Determinar las caractersticas fsicasLic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA

1 Determinar la informacin requeridaDefinicin clara de la poblacin objetivoMientras ms heterogneo ms difcil disear un cuestionario apropiado para todos.ESTO ES CLAVE Y TENGO QUE ANOTARLO

ESTADSTICALic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo

2 Determinar el contenido de las preguntasESTADSTICALic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAREQUISITOS QUE DEBE REUNIR UN INSTRUMENTO DE RECOLECCIN DE DATOS- Validez.- Confiabilidad.FACTORES QUE PUEDEN AFECTAR LA CONFIABILIDAD Y VALIDEZ DE LOS INSTRUMENTOS DE RECOLECCIN DE DATOS- La improvisacin.- El uso de instrumentos desarrollados en contextos diferentes a nuestra realidad.- Instrumento inadecuado para las personas a las que se les aplica.- Condiciones en la que se aplica el instrumento.

Balanzas, termmetro, cuestionarios, test, fichas registros, etc.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAFUENTES DE RECOLECCIN DE DATOS.

Es el lugar, la institucin, las personas o elementos donde estn o poseen los datos que se necesitan para cada una de las variables o aspectos de la investigacin o estudio.

A) FUENTES PRIMARIASDatos recolectados para el trabajo.Se registran bajo dos mtodos: directos e indirecto.Ejemplos: Encuestas, censos, elementos o sujetos.

B) FUENTES SECUNDARIASDatos recolectados anteriormente para cumplir otros objetivos.Primera fuente que se debe analizar.La tcnica es el fichaje.- Internas- ExternasEjemplo: Las oficinas de Estadstica, Archivos o registros administrativos, datos publicados en revistas especializadas, tesis, etc.

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Despus de la recopilacin de los datos, es necesario resumirlos y presentarlos en forma tal, que faciliten su comprensin y su posterior anlisis y utilizacin, para ello se ordenan en cuadros y luego se representan en grfico.


DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Despus de la recopilacin de los datos, es necesario resumirlos y presentarlos en forma tal, que faciliten su comprensin y su posterior anlisis y utilizacin, para ello se ordenan en cuadros y luego se representan en grfico.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICATODO CUADRO ESTADSTICO DEBE TENER Nmero.- Es el cdigo de Identificacin del cuadro. Este nmero se escribe a continuacin de la palabra cuadro. Por ejemplo cuadro N 1.3 indica el tercer cuadro del captulo uno.Ttulo.- Expresa en forma completa y concisa el contenido del cuadro.Ejemplo: Lugar de procedencia por Dpto. de los Estudiantes de Ing. Civil-UCV- Chiclayo 2007.3. Encabezamiento.- Es la primera fila del cuadro, en el se explica las categoras y el objeto de cada una de las columnas, es decir indica la naturaleza de los datos inscritos en cada celda que se hallan debajo.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Y PROBABILIDADES4.Columna Principal o Matriz.- Es aquella en que se anotan las categoras o las diferentes clases de la escala de clasificacin utilizada.5. Cuerpo.- Es el contenido numrico del cuadro.6. Notas Explicativas o Calle.- Se agregan debajo del cuerpo del cuadro cuando es necesario algunas observaciones sobre alguna columna o hilera del mismo.7. Fuente.- Sirve para nombrar la entidad responsable de donde se obtuvieron los datos.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAERRORES EN LA PRESENTACIN DE CUADROS

- Disposicin incorrecta de los datos.

- Ttulos y encabezamientos incompletos e inadecuados.

- Cuadros que representan solamente porcentajes.

- Cuadro sobrecargado.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICADistribucin Unidimensional de Frecuencias Variable CualitativaCuadro N TtuloFuente: ni = Frecuencia absoluta simple hi = Frecuencia relativa simple = hi % = Frecuencia relativa simple porcentual =

Variable cualitativanihihi %C1C2...Cmn1n2...nmh1h2...hmh1 * 100h2 * 100...hm x 100TOTALn1.00100

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAGRAFICAS DE VARIABLE CUALITATIVA

Barras.- Son barras rectangulares vertical u horizontal, cuya altura (o largo) es proporcional a su frecuencia.

Sectores Circulares.- Los datos de cada categora se representan por un sector circular cuyo ngulo en el centro es igual a hi * 360.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICACon los datos construya un cuadro estadstico y grafique la distribucin. SOLUCIN:Ejemplo:

Los datos que se dan a continuacin corresponden al lugar de procedencia por departamento en muestra de 20 Estudiantes del IV ciclo de la Escuela de Ing. Civil de una Universidad privada, matriculados en el semestre acadmico 2008-I.

Lambayeque CajamarcaLambayequeCajamarcaLambayeque AmazonasCajamarcaLambayequeAmazonasLambayeque Amazonas AmazonasPiuraLambayeque Lambayeque CajamarcaPiuraAmazonasLambayeque Piura

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICACuadro N 01Lugar de procedencia por departamento de los alumnos del IV ciclo de la Escuela de Ing. Civil de una Universidad privada, matriculados en el semestre acadmico 2008-I.FUENTE: Archivos de Direccin de Escuela de la UPSP.

Lugar de procedencia por departamentonihihi %Lambayeque Amazonas CajamarcaPiura85430.400.250.200.1540252015TOTAL 201.00100

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAGrfico de Barras:FUENTE: Cuadro N 01

Grfico2

8

5

4

3

ni

GRAFICO N 01 LUGAR DE PROCEDENCIA

Hoja1

LambayequeAmazonasCajamarcaPiura

8543

Hoja1

ni


Hoja2

Hoja3

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAGrfico de Sectores Circulares :FUENTE: Cuadro N 01

Grfico4

8

5

4

3


Hoja1

LambayequeAmazonasCajamarcaPiura

8543

Hoja1

ni


Hoja2


Hoja3

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Y PROBABILIDADESDISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA Sean x1, x2, , xn un conjunto de n observaciones discretas y sean y1, y2, , ym el conjunto de valores diferentes que toman los datos originales (m n).

Variable cuantitativa discreta niNihiHihi %Hi %y1y2...ym n1n2...nmN1N2...Nmh1h2...HmH1H2...Hmh1 * 100h2 * 100...hm * 100H1 * 100H2 * 100...Hm * 100TOTAL n-1.00-100-

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ni = Frecuencia absoluta simple.

Ni = Frecuencia absoluta acumuladahi = Frecuencia relativa simpleHi = Frecuencia relativa acumuladahi % = Frecuencia relativa simple porcentualHi % = Frecuencia relativa acumulada porcentual.ESTADSTICA

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAGRAFICAS DE VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETABarras.Bastones .Ejemplo:Se registr el nmero de hijos de 15 Trabajadores de construccin civil de la ciudad de Chiclayo. Referidas al 20/02/2008.213321545333234

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICACon los datos construya un cuadro estadstico. Grafique la distribucin.CUADRO N___: TTULO:______________________Fuente : _______________________________

N hernanos niNihiHihi %Hi %

TOTAL -----

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICADISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA Sean x1, x2, , xn un conjunto de datos de tipo continuo.El cuadro estadstico tiene la siguiente forma.

Variable cuantitativa continua YiniNi hiHihi %Hi %

...y1y2...ymn1n2...NmN1N2...Nmh1h2...HmH1H2...Hmh1 * 100h2 * 100...hm * 100H1 * 100H2 * 100...Hm * 100TOTAL -n-1.00-100-


y1 = Marca de clase = ni = Frecuencia absoluta simpleNi = Frecuencia absoluta acumuladahi = Frecuencia relativa simple Hi = Frecuencia relativa acumuladahi % = Frecuencia relativa porcentual Hi % = Frecuencia relativa acumulada porcentual Se utilizar intervalos del tipo , el nmero de intervalos que debe tener un cuadro estadstico no debe ser menor a 4 ni mayor a 15.


Construccin de los intervalos de clase Rango = xmax xmin = R Nmero de intervalos = 1 + 3.3 (log n )= N.I

Amplitud de clase = Rango / Nmero de intervalos

Rango modificado = R = amplitud de clase por nmero de intervalos. R R >= 0

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAGRAFICAS DE LA DISTRIBUCIN POR INTERVALOS HISTOGRAMA.- Es una grfica de barras rectangulares juntas. La base de cada barra es proporcional a la amplitud del intervalo, y la altura es proporcional a su frecuencia (absoluta o relativa o porcentual).

POLIGONO DE FRECUENCIAS.- Es una grfica poligonal cerrada, que se obtiene uniendo con segmentos de recta, los puntos que tienen proporcionalmente como abscisa a la marca de clase y como ordenada a la frecuencia respectiva. Se cierra en ambos extremos en las marcas de clase adyacentes de frecuencia cero.OJIVAS.- Son polgonos de frecuencias acumuladas, existen dos tipos de ojivas: ojiva menor que y ojiva mayor igual que.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAEjemplo: Un experto en computadoras, tratando de optimizar la operacin de un sistema, reuni datos sobre el tiempo, en microsegundos, entre las solicitudes de servicio de un proceso especial.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Con los datos construya: - Un cuadro estadstico completo. - Un histograma y un polgono de frecuencias simplesOjiva menor que y ojiva mayor igual

Solucin: Para elaborar el Cuadro estadstico primero construimos los intervalos de clase semi abiertos.

1. Rango = Xmx Xmin = 78811-1583 = 772282. Nmero de intervalos = 1 + 3.3 (log 60) = 73. AC = 77228 / 7 = 11032.6 =110334. R = AI * NI = 11033*7 = 772315. R R = 77231 77228 = 3 (como el valor es impar se divide en dos partes distintas muy cercanas que sean igual a 3, por ejemplo 1 y 2; restar el menor valor a Xmin. = 1583 y el mayor valor sumarle a Xmax. = 78811).

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Grfico N 05

Fuente: Cuadro N03

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Se elabora la siguiente tabla para que sirva como ayuda para la ojiva menor que

En el eje Y colocamos los valores de la frecuencia acumuladas y en el eje X colocamos los lmites superiores de cada intervalo.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAMEDIDAS DE POSICIN: - Centralizacin.- LocalizacinMedidas de Posicin Son aquellas que describen la posicin que ocupa la distribucin de frecuencia respecto a un valor de la variable. Se distinguen dos tipos: Las medidas de tendencia central y medidas de localizacin.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Medidas de centralizacin Se llaman as porque sus valores tienden a ocupar posiciones centrales o intermedias entre el menor y mayor valor del conjunto de datos, a partir de la cual se calculan estas medidas. Las medidas de tendencia central ms usadas son la medida aritmtica, la medida geomtrica, medida armnica, medida ponderada mediana.

La Media Aritmtica (Media o Promedio) Es el estadgrafo de posicin ms importante, se define y calcula dividiendo la suma de los valores de la variable entre en nmero de observaciones o valores. Puede calcularse cuando los datos estn tabulados o no tabulados.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Clculo de la Media para los datos NO TABULADOS: La Media que se obtiene a partir de n datos originales Xi se denomina MEDIA ARITMETICA SIMPLE, se le denota X por y se obtiene mediante la siguiente frmula:

Ejemplo: Los ingresos mensuales en $ de 5 Trabajadores de una Empresa maderera son: 320, 390, 330, 400, 372. Calcular el ingreso medio de la muestra.

Solucin:X : Ingreso mensual en $.

X1 = 320, X2 = 390, X3 = 330, X4 = 400, X5 = 372

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAInterpretacin :

El Ingreso mensual promedio o el ingreso mensual medio de

los Trabajadores de la Empresa maderera es 362,4 $.


Ejemplo: Calcular e interpretar la media aritmtica de los datos agrupados en la siguiente tabla de distribucin de frecuencias: Nmero de trabajadores por posta mdica.

Clculo de la Media para datos TABULADOS:

La media obtenida a partir de los datos agrupados en tablas de frecuencia (con o si intervalos), definida como:

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA Trabajadores por posta mdica. Como es variable discreta se puede interpretar como 4 trabajadores.Interpretacin : Se espera que cada posta mdica tenga 4 trabajadores en promedio.

N de TrabajadoresYiN de PostasniYi niY1 = 2Y2 = 3Y3 = 4Y4 = 5Y5 = 6n1 = 1n2 = 3n3 = 7n4 = 6n5 = 3Y1 n1 = 2Y2 n2 = 9Y3 n3 = 28Y4 n4 = 30Y5 n5 = 18TOTALn = 20 87

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAPROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA:Propiedad 1: Si todos los valores observados X1, X2, X3, ., Xn son iguales a b ( b es una constante ), entonces:

Propiedad 2: La Media del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la media de la variable.

Si, ;entonces


Propiedad 3: La Media de la suma de dos o ms variables, es igual a la suma de las medias de cada una de dichas variables.

Propiedad 4: La media de una variable ms una constante, es igual a la media de la variable ms la constante.Si, ; entonces

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAMedia Geomtrica Puede calcular a partir de datos:MG =

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICALa medida geomtrica se utiliza para promediar razones (a/b), ndices a/b en %), proporciones (a/a+b), tasas de cambio (a-b)/b, que varan con el tiempo, entre otros.Ejemplos: Un ahorro de $100.00 dlares acumula intereses variables de 3%, 5%, 8%, durante 3 aos, calcular:

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICALa tasa de crecimiento del ahorro por ao.La tasa promedio del crecimiento del ahorro en los tres aos.Solucin:a)MG = b)

TasasAoAhorro 1 031 051 - 08123100 + (0.03) (100) = 103103 + (0.05) (103) = 108.15108.15 + (0.08) (108.15) = 116.802

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA2. Suponga que la poblacin de una ciudad aument de 10000 a 12600 en el periodo de 1980 a 1984 como se indica en el siguiente cuadro:

AoPoblacinTasas de cambio (x) (ao base 1980)Log. (x)1980198119821983198410 00010 500 11 20012 00012 6001.0501.0671.0711.0500.02120.02820.02980.0212TOTAL 0.1004

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICASOLUCIN:Luego, la tasa promedio de crecimiento es de 5.95 % por ao.


Media ArmnicaLa media armnica de n valores no nulos x1, x2, xn es el nmero, xh que se define como el recproco de la media aritmtica de los recprocos de esos n valores.Esto es:

La media armnica se utiliza para obtener promedios de valores que estn en relacin inversa como la velocidad y el tiempo:NOTA: La media armnica esta a su vez menor que la media geomtrica, esta a su vez menor que la media aritmtica. Esto es:

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAEjemplo:Tres secretarias escriben 40, 50 y 80 palabras por minuto, si cada una de ellas escribe un mismo texto, calcule la velocidad media.


Media PonderadaEl promedio ponderado permite calcular un promedio que toma en cuenta la importancia o el peso que tiene cada valor sobre el total.

Donde:Xw = Smbolo para la media ponderada.Xi = Valores de las observaciones individuales.Wi = Peso asignado a cada observacin.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAEjemplo:Encontrar el promedio obtenido por alumno de Ingeniera de Sistemas de la UDCH en el ciclo 2005-I.

CursoCrditos WiPromedioX1Estadstica y probabilidades.lgebra Teora de SistemasBase de DatosAdministracin 344421211141315TOTAL 17

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAPromedio ponderado obtenido por el alumno en el ciclo 2005-I.


La Mediana (Me)

La mediana de un conjunto de n determinaciones X1, X2, X3, , Xn, es el nmero de en medio cuando las determinaciones se acomodan en orden ascendente(o descendente) separando a la distribucin en dos partes iguales.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAClculo de la Mediana para datos no tabulados.

Denotemos por xi el i-simo valor de X cuando la muestra de tamao n se acomoda en orden ascendente.

Por ejemplo se tiene un conjunto de datos: 5, 4, 6, 3, 7

Calcular la mediana.

Para calcular la mediana se ordenan los datos en forma ascendente o en forma descendente, si el nmero total de datos (n) es impar la mediana sera el valor ubicado en el centro.3, 4, 5, 6, 7

En este caso la mediana es igual a Me = 5

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAPor ejemplo si se tiene un nmero par de datos:

9, 7, 10, 8

Ordenamos los datos: 7, 8, 9, 10

Luego la mediana sera

Me = (8 + 9) / 2 = 8.5


Clculo de la mediana para datos Tabulados de una variable cuantitativa discreta

1.Calcular n / 2

2. Verificar si el valor de n / 2 aparece o no como frecuencia absoluta acumulada.

i. Si n / 2 aparece como frecuencia absoluta acumulada entonces,N j-1


ii. Si no aparece como frecuencia absoluta acumulada entonces,

N j-1 < n / 2 < N j

La mediana es igual al valor de la variable al cul est referida N j.

Ejemplo: Calcular la mediana de la Tabla 3. que corresponde a la distribucin de 20 postas mdicas segn el nmero de trabajadores.


Solucin:TABLA N 3 Nj-1 n/2 =10 Nj

N de TrabajadoresYiniNiY1 = 2

Y2 = 3

Y3 = 4

Y4 = 5

Y5 = 6n1 = 1

n2 = 3

n3 = 7

n4 = 6

n5 = 3N1 = 1

N2 = 4

N3 = 11

N4 = 17

N5 = 20

TOTALn = 20


Aqu, n = 20; luego n/2 = 20/2 = 10Luego la frecuencia absoluta acumulada inmediata superior a 10 es N3 = 11; entonces:j = 3Nj = N3 = 11j-1 = 2Nj-1 = N2 = 4EntoncesLa mediana es Y3 (el valor al cul est referido Nj )

Me = Yj = Y3 = 4Me = 4Interpretacin: El 50 % de las postas mdicas tienen 4 o menos trabajadores, y el otro 50% de las postas tienen ms de 4 trabajadores.


Variable Continua:La mediana se calcula como sigue:Donde :I.Me = Intervalo Mediano al cul est referido NjNj= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata superior a n/2Nj-1= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata inferior a n/2n= Nmero de observaciones.= Lmite inferior del intervalo Mediano (I.Me)C= Amplitud del I.Me.


Ejemplo: Calcular la mediana de la siguiente tabla que corresponde a la distribucin de 50 pacientes segn su edad.

I.Me Li

Nj-1

Nj

Edad (aos)[ Li - Ls )N de PacientesniNi 26 35

35 44

44 53n1 = 2

n2 = 6

n3 = 5N1 = 2

N2 = 8

N3 = 1353 62n4 = 15N4 = 2862 71

71 80

80 89n5 = 14

n6 = 5

n7 = 3N5 = 42

N6 = 47

N7 = 50TOTALn = 50


Aqu n = 50 ; luego n/2 = 50/2 = 25

Luego Nj (Frecuencia absoluta acumulada inmediata superior a n/2) es : N4 = 28, entoncesj = 4 . Nj = N4 = 28j-1 = 3 . Nj-1 = N3 = 13Como n/2 > Nj-1, es decir 25 > 13, entonces:


Interpretacin :

El 50 % de los pacientes atendidos por emergencia en el Hospital Docente Las Mercedes de Chiclayo tienen menos de 60.2 aos de edad, el otro 50% de pacientes superan esta edad.

Me = 60.2 aos

Estadgrafos de localizacin Sealan la localizacin de los valores ms frecuentes o de valores extremos. Los ms usados son: los Cuartiles, los Deciles, los Percentiles, la Moda.

LOS CUARTILES (Qr) Los cuartiles son estadgrafos que dividen al total de las observaciones, debidamente ordenadas, en cuatro partes iguales. Estas medidas son: El Primer cuartil Q1 , el segundo cuartil Q2 , y el tercer cuartil Q3.



Utilizaremos los cuartiles solamente para datos agrupados en intervalos de clase. Las frmulas para la determinacin de los Q1 , Q2 , Q3 son semejantes a la usada para el clculo de la mediana.


Donde :I.Qr = Intervalo que contiene al cuartil, r.Nj= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata superior a r n / 4Nj-1= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata inferior a rn/4n= Nmero de observaciones.= Lmite inferior del intervalo que contiene al cuartil r. C= Amplitud del intervalo cuartil.

Ejemplo: Calcular los cuartiles de la tabla 3 que corresponde a la distribucin de 50 pacientes segn su edad.

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA BSICA

a) Determinacin de Q1:

I.Q1Li

Nj-1

NjTABLA N 3

Edad (aos)[ Li - Ls )N de PacientesNiNi 26 35

35 44

44 53

53 62

62 71

71 80

80 89n1 = 2

n2 = 6

n3 = 5

n4 = 15

n5 = 14

n6 = 5

n7 = 3N1 = 2

N2 = 8

N3 = 13

N4 = 28

N5 = 42

N6 = 47

N7 = 50TOTALn = 50


Como n = 50 , r = 1, Entonces rn/4 = 1x 50 /4 = 12.5Luego Nj = N3 = 13,j = 3 .. Nj = N3 = 13,j-1 = 2.. Nj-1 = N2 = 8

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICA BSICA

Interpretacin:


Determinacin de Q2. Q2 = Me = 60.2 aos


Determinacin de Q3.

I.Q3Li

Nj-1

NjTABLA N 3

Edad (aos)[ Li - Ls )N de PacientesNiNi 26 35

35 44

44 53

53 62

62 71

71 80

80 89n1 = 2

n2 = 6

n3 = 5

n4 = 15

n5 = 14

n6 = 5

n7 = 3N1 = 2

N2 = 8

N3 = 13

N4 = 28

N5 = 42

N6 = 47

N7 = 50TOTALn = 50


Como n = 50 , r = 3, Entonces rn/4 = 350/4 = 37.5Luego Nj = N5 = 42,j = 5 . Nj = N5 = 42j-1 = 4 . Nj-1 = N4 = 28


Interpretacin:



DECILES (Dr)

Los deciles son estadgrafos que dividen al total de las observaciones, debidamente ordenados, en 10 partes iguales.


Donde :I.Dr = Intervalo que contiene al decil r.Nj= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata superior a r n / 10Nj-1= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata inferior a r n / 10n= Nmero de observaciones.= Lmite inferior del intervalo que contiene al decil r C= Amplitud del intervalo que contiene al decil r.

Ejemplo: Calcular el primer decil y el noveno decil de la tabla 3 que corresponde a la distribucin de 50 pacientes segn su edad.Solucin:Determinacin de D1:


TABLA N 3:I.D9Li

Nj-1Nj

Edad (aos)[ Li - Ls )N de PacientesniNi 26 35

35 44

44 53

53 62

62 71

71 80

80 89n1 = 2

n2 = 6

n3 = 5

n4 = 15

n5 = 14

n6 = 5

n7 = 3N1 = 2

N2 = 8

N3 = 13

N4 = 28

N5 = 42

N6 = 47

N7 = 50TOTALn = 50


Aqu: n =50 , r = 9, luego rn/10 = 950/10 = 45Entonces Nj = N6 = 47Aqu : j = 6 Nj = N6 = 47 j-1 = 5 . Nj-1 = N5 = 42

Interpretacin: El 90 % de los pacientes atendidos por emergencia en el Hospital Docente Las Mercedes de Chiclayo tienen menos de 76.4 aos de edad, el otro 10% de pacientes superan esta edad.


LOS PERCENTILES (Pr)

Los percentiles son estadgrafos que dividen al total de las observaciones, debidamente ordenados, en 100 partes iguales.Se denota por: Pr , r = 1,2,3, , 99.


Donde :

I.Pr = Intervalo que contiene el Percentil r.Nj= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata superior a r n / 100Nj-1= Frecuencia Absoluta Acumulada inmediata inferior a r n / 100n= Nmero de observaciones.= Lmite inferior del intervalo que contiene al Percentil r C= Amplitud del I.Pr.


TABLA N 3:I.P70Li

Nj-1 NjEjemplo: Calcular el Percentil 70 de la tabla 3 que corresponde a la distribucin de 50 pacientes segn su edad.Solucin:Determinacin del P70:

Edad (aos)[ Li - Ls )N de PacientesNiNi 26 - 3535 - 4444 - 5353 - 6262 - 7171 - 8080 89n1 = 2n2 = 6n3 = 5n4 = 15n5 = 14n6 = 5n7 = 3N1 = 2N2 = 8N3 = 13N4 = 28N5 = 42N6 = 47N7 = 50TOTALn = 50


n = 50 , r = 70, luego rn/100 = 7050/100 = 35 , entonces Nj = N5 = 42j = 5 Nj = F5 = 42 j-1 = 1 Nj-1 = F4 = 28


Interpretacin:

El 70 % de los pacientes atendidos por emergencia en el

Hospital Docente Las Mercedes de Chiclayo tienen una

edad menor de 66.5 aos, el otro 30% de pacientes

superan esta edad.


LA MODA (M0)

La Moda de un conjunto de n observaciones X1, X2, X3, . Xn , es el valor de X que se repite con mayor frecuencia, esto es, es el valor ms frecuente en la distribucin. La moda no siempre existe y no siempre es nica, en general se tiene que :

La distribucin que no tiene Moda se llama Amodal.La distribucin que tiene una moda se llama Unimodal.La distribucin que tiene dos modas se llama Bimodal.La distribucin que tiene ms de dos modas se llama Multimodal.


Clculo de la Moda para datos no tabulados.Ejemplo: Considere los pesos (en Kg) de 9 adultos. 82, 65, 59, 74, 60, 67, 71, 73, 70.

Determine la moda.Solucin:Estas 9 medidas no definen una moda, por tanto la distribucin es Amodal.

Ejemplo: Considere la distribucin de los pesos de 12 adultos. 63, 67, 70, 69, 81,57, 63, 73,68, 63, 83,71Determinar el peso Modal.Solucin:El valor que se repite con mayor frecuencia es 63 (se repite 3 veces) y el resto ocurre una vez cada uno.


Luego la Moda de estas observaciones es :Mo = 63 kilos.Interpretacin : La mayora de los adultos pesan 63 kilos.

Calculo de la Moda para datos tabulados.

Variable Discreta: En este caso la Moda se determina por el valor de Yi que ms veces se repita (es decir, la que presente la mayor frecuencia absoluta simple ni ).

Ejemplo: Determine la Moda de la tabla 4 que corresponde a la distribucin de 20 postas mdicas segn el nmero de trabajadores.


Solucin:TABLA N 4La frecuencia absoluta simple mxima es : n3 = 7Luego el valor de la Moda es el valor de la variable que corresponde a la frecuencia n3 = 7 : Mo = Y3 = 4. Mo = 4

N de TrabajadoresYiN de PostasniY1 = 2Y2 = 3Y3 = 4Y4 = 5Y5 = 6n1 = 1n2 = 3n3 = 7n4 = 6n5 = 3TOTALn = 20


Interpretacin : La mayora de las postas mdicas tienen 4 trabajadores.

Variable Continua: Existen diversas frmulas, tales como:Donde :nj = Es la mayor Frecuencia Absoluta Simple.nj-1 = Frecuencia Absoluta Simple inmediata anterior a nj.nj+1 = Frecuencia Absoluta Simple inmediata posterior a nj.I.Mo= Intervalo Modal que contiene a nj.= Lmite Inferior del Intervalo Modal (I.Mo).C = Amplitud del Intervalo modal.


Ejemplo: Determine la Moda de la tabla 3. que corresponde a la Distribucin de 50 pacientes segn edad.Solucin: TABLA N 3I.MoLi

Fj-1 Fj Fj+1

Edad (aos)[ Li - Ls )N de Pacientesni26 - 3535 - 4444 - 5353 - 6262 - 7171 - 8080 89n1 = 2n2 = 6n3 = 5n4 = 15n5 = 14n6 = 5n7 = 3TOTALn = 50n = 50


La mayor Frecuencia Absoluta Simple es : nj = n4 = 15, luego:j = 4, entonces nj = n4 = 15j-1 = 3, entonces nj-1 = n3 = 5j+1 = 5, entonces nj+1 = n5 = 14Yj-1 = 53, C = 9

ii) Calculamos la Moda.


Estadigrafos de Dispersion o Concentracion.

Las medidas de dispersin son los que cuantifican el grado de concentracin o de dispersin de los valores de la variable en torno de un promedio o valor central de la distribucin.Dos conjuntos de datos pueden tener la misma localizacin central, y no obstante ser muy diferentes, si uno est mas disperso que el otro. Ejemplo: (A) (B) 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18


En ambos casos, se tiene la misma Media y la misma Mediana y sin embargo, no se necesita mucho esfuerzo para darse cuenta que son muestras significativamente diferentes.Las medidas de dispersin se necesitan para dos propsitos bsicos:Para verificar la confiabilidad de los promedios.Para que sirva como base para el control de la variacin de la misma.Se puede decir que los trminos concentracin y dispersin pueden ser usados indistintamente, pues se da la relacin:

Alta dispersin Baja concentracin.Baja dispersinAlta concentracin.


Las medidas de dispersin ms utilizados son : Recorrido o Rango, Varianza, Desviacin Estndar, Coeficiente de Variacin

La varianzaEs la medida de dispersin ms importante, y expresa el grado de dispersin de las observaciones respecto a la Media Aritmtica.

Varianza Poblacional.

Se define como la media Aritmtica del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto a su Media .


Varianza de una Muestra.Se define como la media Aritmtica del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto de la Media Aritmtica de esos datos. Es decir :Para datos no tabulados si n=30


Calculo de la Varianza:Ejemplo: Las frecuencias cardiacas de 5 nios son:130, 132, 127, 129, 132, pulsaciones por minuto.Determinar la varianza de la frecuencia cardiaca de la muestra.Para datos tabulados si n=30.


Solucin:Se determina la Media aritmtica de la muestra . TABLA N 5

X1 = 127X2 = 129X3 = 130X4 = 132X5 = 132 -3-1 0 2 291044

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAEjemplo: Determine la Varianza de la tabla 2 que corresponde a la distribucin de 20 postas mdicas segn el N de trabajadores.

SOLUCION:TABLA N 2

N de trabajadoresYiN de postasY1 = 2Y2 = 3Y3 = 4Y4 = 5Y5 = 6n1 = 1n2 = 3n3 = 7n4 = 6n5 = 3TOTAL n = 20

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAEjemplo: Usando la frmula prctica, determinar la varianza de la tabla 3 que corresponde a la distribucin de 50 pacientes segn su edad.

Solucin:TABLA N 3

Edad(aos)[ Li Ls )Marca de claseYiN de Pacientesni26 3535 4444 5353 6262 7171 8080 89Y1 = 30.5Y2 = 39.5Y3 = 48.5Y4 = 57.5Y5 = 66.5Y6 = 75.5Y7 = 84.5n1 = 2n2 = 6n3 = 5n4 = 15n5 = 14n6 = 5n7 = 3TOTALn = 50

La Desviacion Estandar o TipicaLa desviacin Estndar o tpica, se define como la raz cuadrada de la varianzaEs uno de los estadgrafos de dispersin de mayor uso, en el cual las unidades de la variable ya no estn elevadas al cuadrado.La Desviacin Estndar al igual que la varianza, es no negativa. El clculo de la Desviacin Estndar es muy simple si se conoce la varianza.


Ejemplo: La desviacin Estndar de las frecuencias cardiacas de 5 nios (Ejemplo Anterior) es:

S = 4.5 S = 2.12132 pulsaciones por minuto

Interpretacin: Las frecuencias cardiacas de los nios varan en 2.12 pulsaciones por minuto respecto a la pulsacin promedio.

Lic. Carlos Daniel Gonzales HidalgoESTADSTICA

Ejemplo: La desviacin estndar de la Distribucin de 20 postas Mdicas segn el nmero de trabajadores (Ejemplo anterior) es:S = 1.1868 S = 1.089 trabajadores Interpretacin : El nmero de trabajadores de las postas mdicas vara en un trabajador respecto al valor promedio.


Ejemplo: La desviacin Estndar de la distribucin de 50 pacientes segn edad (ejemplo anterior)es: S = 175.2245 S = 13.237Interpretacin: la edad de los pacientes atendidos por emergencia en el Hospital Las Mercedes de Chiclayo varan en 13.237 aos respecto a la edad promedio.


El Coeficiente de VariacinEl coeficiente de variacin es el indicador relativo del grado de dispersin de los valores respecto de su promedio, el mismo que est expresado en tanto por ciento.

El valor de este indicador no est afectado por la unidad de medida, por lo tanto es til para la comparacin en trminos relativos del grado de concentracin en torno a la media de dos distribuciones distintas.

En general, cuando el coeficiente de variacin es menor de 33% se dice que la distribucin es homognea, si el coeficiente de variacin es superior o igual a 33% se considera que la distribucin es heterognea o tiene alto grado de dispersin.


Ejemplo: Determinar el coeficiente de variacin de las frecuencias cardiacas de 5 nios (Ejemplo Anterior)Solucin:Se tiene que pulsaciones por minuto, y S = 2.12132Entonces: Lic. Carlos Daniel Gonzales HidalgoESTADSTICA

Interpretacin: Las frecuencias cardiacas de los nios varan en 1.63% respecto a la frecuencia cardiaca promedio, se puede decir que los datos son homogneos o presentan una alta concentracin.Lic. Carlos Daniel Gonzales HidalgoESTADSTICA

Estadgrafos de FormaSon medidas que dan informacin a cerca de la direccin de las variaciones de la distribucin. Estas son las medidas de Asimetra y las medidas de apuntamiento o Crtosis.

Coeficiente de AsimetraEl concepto de asimetra de una distribucin indica la de formacin horizontal de las distribuciones de frecuencia. Se tiene que:



fi fi fi

Mo =(X = Me Yi Mo < Me

Entre los estadgrafos de asimetra se tiene:Los propuestos por Karl Pearson:


El propuesto por Arthur Boeley.

En general de acuerdo al valor de AS, se tiene:Si, AS = 0 : La distribucin es simtrica.Si, AS > 0 : La distribucin es sesgada hacia la derecha, es decir; tiene ASIMETRIA POSITIVA. Si, AS < 0 : La distribucin es sesgada hacia la izquierda, es decir; tiene ASIMETRIA NEGATIVA.


Ejemplo: En la distribucin de la tabla 2.2. de 50 pacientes atendidos por Emergencia segn su edad se conoce:Y = 59.3 , Me = 60.2 , Mo = 59.63 , Q1 = 52.1 , Q2 = Me , Q3 = 68.1S = 13.237Cul es la Asimetra?Solucin:Con fines ilustrativos, se calcular todas las frmulas de asimetra. (solo se usa una de ellas)


Medida de Apuntamiento o CrtosisCrtosis, es el grado de deformacin vertical (apuntamiento) de una distribucin de frecuencias. Con relacin al grado de apuntamiento, se puede tener curvas : Leptocrtica , Mesocrtica, y Platictica.


(

fi

fi

fi

Y Y Y

LEPTOCURTICAb) MESOCURTICA c) PLATICURTICA

Lic. Carlos Daniel Gonzales Hidalgo ESTADSTICAPara medir el grado de apuntamiento se utiliza el COEFICIENTE DE KURTOSIS, denotado por:

Donde : Q3 : Tercer CuartilP10 : Percentil 10Q1 : Primer CuartilP90 : Percentil 90

Si, K = 0.263 : La curva de distribucin de frecuencias es MESOCURTICA.Si, K > 0.263 : La curva de distribucin de frecuencias es PLATICURTICA.Si, K < 0.263 : La curva de distribucin de frecuencias es LEPTOCURTICA

ESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICAESTADSTICA

Estadística Aplicada a Los Negocios (1)

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