Análisis y Gestión de Riesgo Financiero

Ejemplo 1. Aplicación de los conceptos de Población, variables cualitativas y cuantitativas

Problema: IDENTIFICAR FACTORES DE SATISFACCIÓN SOBRE LOS

SERVICIOS BANCARIOSCONOCER PROBABILIDAD DE CAMBIO DE LOS CLIENTES

BANCARIOS

Características generales de los clientesFactores: dimensiones generales de satisfacción del cliente:

variables de personal, financieras , relacionadas con el entorno y relacionadas con la comodidad

ATRIBUTOS DE SERVICIO BANCARIO UTILIZADOS PARA LA MEDICIÓN DE LA SATISFACCIÓN (Variables)

Aspecto de las instalaciones Aspecto del personal Horario de funcionamiento de los

cajeros automáticos Actitud y comportamiento del personal

de caja Actitud y comportamiento de otro

personal Actitud y comportamiento de los

clientes Competencia y eficacia del personal Decoración y ambiente Horario de apertura por la tarde Horario de apertura los sábados Tipos de interés en depósitos a la vista

y a plazo fijo

Tipos de interés en hipotecas Tipos de interés en planes de

pensiones Tipos de interés en fondos de dinero Tipos de interés en otros préstamos Tipos de interés en cuentas de ahorro Distribución y mobiliario Procedimientos para reclamaciones Fiabilidad del personal Respuesta a las necesidades del

cliente Seguridad del entorno de la sucursal Tamaño de la sucursal Tiempo de espera delante de un cajero

automático

ASIGNACIÓN:

Determinar Población objeto de estudio, listar y describir variables (Riesgo de Crédito: Incumplimiento )

Totales y Razones

Total: Es una suma que refleja una cantidad absoluta, que puede desagregarse por categorías.

Razón: Es la relación que existe entre dos números o magnitudes positivas. La relación se establece para comparar una cifra con otra. La cifra que se desea comparar se llama cifra de interés y la cifra de referencia (cifra con la que se compara) es la base.

R= A / B ; donde A es la cifra de interés y B es la base.

RAZÓN

Relación entre dos cantidades reales:

Razones Aritméticas; A-B; A+B Razones Geométricas; A/B Razones Mixtas; (A-B)/C; A/(B+C)

Proporciones: partes de un total dada en múltiplos de 10 Razones o relaciones entre partes de una misma magnitud Razones entre partes de magnitudes de distinta naturaleza. Tasas: indican comparaciones entre el número de casos reales y el

número de casos potenciales. Suelen darse en términos de una base de 1,000 casos potenciales.

Totales y Razones

Los números índices que establecen la relación entre dos grupos de variables o dos grupos de datos.

Entre los índices más conocidos está el índice de precios al consumidor, que relacionan los precios de un conjunto de artículos (grupo de variables) en un período determinado, con los precios de esos mismos artículos para un período base.

Otro Ejemplo: ÍNDICE HERFINDAHL - HIRSCHMAN (HHI): Mide concentración de mercados – monopolio.

Ratios / Razones Capital circulante: Cc = Activo circulante – Pasivo circulante

Ratio de liquidez inmediata: Liquidez inmediata = Tesorería / Pasivo exigible a corto

plazo

Ratio de solvencia: Solvencia = Activo circulante / Pasivo exigible a corto plazo

Ratio de tesorería: Tesorería = Activo disponible / Pasivo exigible a corto plazo

Test del ácido o ratio de liquidez: Test = (Activo circulante – Existencias) / Pasivo

exigible a corto plazo

Ratio de autonomía financiera: Autonomía = Fondos propios / Fondos ajenos

Ratio de endeudamiento: Endeudamiento = (Pasivo exigible a Largo plazo + exigible a

Corto Plazo) / Fondos propios

Ratios / Razones Ratio de endeudamiento a Largo plazo: Endeudamiento LP = Pasivo exigible a LP / Fondos

propios Ratio de endeudamiento a Corto plazo: Endeudamiento a CP = Pasivo exigible a CP /

Fondos propios Distancia a la quiebra o ratio de garantía: Garantía = Activo real / Pasivo exigible total Cobertura de gastos financieros: Cobertura GF = Beneficio antes de impuestos / Gastos

financieros Cobertura del Inmovilizado con Fondos propios: Cobertura INM = Fondos propios / (Activo

Inmovilizado – Amortización acumulada Inmovilizado) Cobertura del Inmovilizado con Recursos permanentes: Cobertura INM = (Fondos propios

+ Pasivo exigible a Largo plazo) / (Activo Inmovilizado – Amortización acumulada Inmovilizado)

Ratios / Razones Capacidad de autofinanciación: Autofinanciación = Beneficio después de impuestos +

Amortizaciones Inmovilizado + Provisiones Rotación del activo: Rotación ACT = Ventas netas / Total activo Rotación de existencias: Rotación EX = Coste de las ventas / Stocks medio existencias Plazo medio de pago a proveedores: Plazo de pago = (Proveedores + Efectos a pagar) *

365 / Compras Rentabilidad económica: RE = Beneficio antes de impuestos / Activo total Rentabilidad financiera: RF = Beneficio antes de impuestos / Fondos Propios Rentabilidad sobre ventas: RV = Beneficio antes de impuestos / Ventas Apalancamiento financiero: Apalancamiento FIN = Activo total / Fondos Propios Rentabilidad total: Rentabilidad TOT = (Beneficio neto/ Ventas) * (Ventas/ Activo total) *

(Activo total/ Fondos Propios) = Beneficio neto / Fondos Propios

Distribución de Frecuencias

Frecuencia: es el número de veces que una observación presenta una característica o valor.

La variable puede adquirir diferentes valores y el atributo diferentes modalidades.

Distribución de frecuencia es la clasificación de un grupo de observaciones tomando en cuenta alguna característica cuantitativa o cualitativa.

El objetivo es condensar y simplificar los datos sin perder los detalles esenciales.

Para características cuantitativas, dependerá de el número de observaciones y el número de valores diferentes que toma la variable

Tipos de Distribución de Frecuencias

Distribución Tipo I. Series Simples

Estadísticas que consta de pocas observacionesEjemplo: El precio de acciones

en 10 días:

$: 30, 31, 33.5, 31.5, 30.0, 30.5, 31, 32, 33, 33,5

Se pueden organizar los datos en orden ascendentes y descendentes, pero no requieren de agrupación.

Distribución Tipo II. Series Agrupadas

Estadísticas con muchas observaciones, pero la variable toma pocos valores diferentes. Ejemplo: Antigüedad de Saldos , según días de vencimiento

Dias Clientes Monto

30 25 49,000.00

60 8 20,000.00

90 7 5,900.00

MAS DE 90 5 13,800.00

Total 45 88,700.00

Distribución Tipo III. Series Agrupadas

Estadísticas con muchas observaciones y la variable toma muchos valores diferentes. Ejemplo: Cantidad de ventas según monto

Frecuencia0.08 91.07 7591.08 182.07 85182.08 273.07 65273.08 364.07 67364.08 455.07 73455.08 546.07 78546.08 637.07 74637.08 728.07 77728.08 819.07 71819.08 910.07 66910.08 1001.07 69

800

Ventas

Como se construye una distribución Agrupada

Pasos1. Elaborar una ordenación2. Determinar el valor máximo y mínimo3. Establecer el Rango o Recorrido; R =Máx - Mín.

Sumarle 1 si la precisión de la medición es hasta el entero; sumar 0.1 si la precisión es hasta el décimo; y así sucesivamente.

4. Determinar el número de categorías o clases. K= 1 + (3.33 * log N); donde N es la cantidad de datos (Sturges) ó El resultado se aproxima al entero superior. No debe haber menos de 5 clase ni

más de 15.

5. Calcular la amplitud de los intervalos C = Rango / K (también se aproxima al entero superior)

Ejemplo: Los datos corresponden a la inversión real realizada por un grupo de industrias pesqueras en miles de $

5 5 6 6 6 6 6 6 6 77 7 8 8 8 8 8 10 10 10

10 11 12 13 14 14 14 15 15 1617 17 17 17 18 18 18 19 20 2021 22 25 26 27 28 30 30 32 3638 45 53 55 60

Organizar los datos en una distribución de frecuencias.

Ordenar los datos (es opcional)

Determinar el mínimo y el máximo (5, 60)

Establecer el Rango: R = (60-5)+1 = 56

Determinar el número de clases K = 1 + 3.3 * log NK = 1 + 3.3 * log 55K = 1 + 3.3 * 1.74K = 1+ 5.74 = 6.74 que aproximado al entero superior es 7 clases o categorías

Determinar la amplitud del intervalo C = R / K; C = 56/7 = 8

Cantidad %

5 12 23 42%

13 20 17 31%

21 28 6 11%

29 36 4 7%

37 44 1 2%

45 52 1 2%

53 60 3 5%

TOTAL... 55 100%

Inversión en miles de $

Distribución de Frecuencias Correspondiente.

Se coloca el mínimo o un valor

cercano que lo contenga. Tenemos el límite inferior de

la primera clase

Cantidad %

5 12 23 42%

13 20 17 31%

21 28 6 11%

29 36 4 7%

37 44 1 2%

45 52 1 2%

53 60 3 5%

TOTAL... 55 100%

Inversión en miles de $

Distribución de Frecuencias Correspondiente.

Al mínimo se le suma la amplitud (en este caso al

mínimo se le suma 8) hasta alcanzar la

cantidad de categorías.

Estos valores son los límites inferiores de

clase

Cantidad %

5 12 23 42%

13 20 17 31%

21 28 6 11%

29 36 4 7%

37 44 1 2%

45 52 1 2%

53 60 3 5%

TOTAL... 55 100%

Inversión en miles de $

Distribución de Frecuencias Correspondiente.

Luego se determinan los límites superiores de clase: Se toma el límite inferior de la primera clase y se le suma la amplitud menos 1. Se le resta 1 porque la precisión de la medición es al entero. Si la precisión es hasta el décimo se resta 0.1, hasta el centésimos se resta 0.01 y así sucesivamente

En este caso es 5+8-1=12

Cantidad %

5 12 23 42%

13 20 17 31%

21 28 6 11%

29 36 4 7%

37 44 1 2%

45 52 1 2%

53 60 3 5%

TOTAL... 55 100%

Inversión en miles de $

Distribución de Frecuencias Correspondiente.

Ya obtenidos los límites de clase se procede a contabilizar la cantidad de datos que se encuentran dentro de una categoría. Esto es determinar la frecuencia con que los datos se agrupan en cada categoría o intervalo o clase.

Distribución de Frecuencias Correspondiente.

El 27% de lasEmpresas invierten

entre 21 mil y 60 mil

31% invierte entre 13 mil y 20 mil dólaresCantidad %

5 12 23 42%13 20 17 31%21 28 6 11%29 36 4 7%37 44 1 2%45 52 1 2%53 60 3 5%

TOTAL... 55 100%

Inversión en miles de $

Presentación gráfica de una Distribución de Frecuencias

Las tres formas de gráficas más usadas son histogramas, polígonos de frecuencia y distribuciones de frecuencias acumuladas (ojiva).

Histograma: gráfica donde las clases se marcan en el eje horizontal y las frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase se representan por las alturas de las barras y éstas se trazan adyacentes entre sí.

Un polígono de frecuencias consiste en segmentos de línea que conectan los puntos formados por el punto medio de la clase y la frecuencia de clase.

Una distribución de frecuencias acumulada (ojiva) se usa para determinar cuántos o qué proporción de los valores de los datos es menor o mayor que cierto valor.

2-12

Histograma

2-14

HistogramaInversión Real en miles de dólares de un grupo

de Industrias Pesqueras

0

5

10

15

20

25

12 20 28 36 44 52 60

Inversión en Miles de Dólares

Ind

ustr

ias

Polígono de Frecuencias

2-15

POLÍGONO DE FRECUENCIA DE LA INVERSIÓN REAL DE UN GRUPO DE INDUSTRIAS PESQUERAS (EN MILES DE DOLARES)

0

5

10

15

20

25

0.5 8.5 16.5 24.5 32.5 40.5 48.5 56.5 64.5

Inversión en miles de dólares

Ind

ust

rias

Taller 1. Distribución de Frecuencias

RENDIMIENTO DEL VALOR DE LAS COTIZACIONES DIARIAS DE TENARIS SA: DEL 17 DE DICIEMBRE

DE 2002 AL 12 DE AGOSTO DE 2009

Inferior Superior Frecuencia Porcentaje

  1674 100%-21.34% -17.66% 3 0.2%-17.65% -13.97% 0 0.0%-13.96% -10.29% 6 0.4%-10.28% -6.60% 23 1.4%

-6.59% -2.91% 162 9.7%-2.90% 0.78% 827 49.4%0.79% 4.46% 544 32.5%4.47% 8.15% 91 5.4%8.16% 11.84% 12 0.7%

11.85% 15.53% 4 0.2%15.54% 19.21% 0 0.0%19.22% 22.90% 2 0.1%

•La distribución de los rendimientos presenta dispersión hacia los rendimientos negativos. (sesgo negativo)

•Los rendimientos se concentran mayormente entre -2.9% y 0.78%.

•El 39% de los rendimientos diarios de las cotización fueron superiores a 0.78%.

•El 1.9% de los rendimientos de las cotizaciones presentan disminuciones mayores del 6.6%. Esto es aproximadamente 5 veces en un año (1.9%*260)

La distribución de los rendimientos presenta dispersión hacia los rendimientos negativos. (sesgo ligeramente negativo)

El 53.9% de los rendimientos se concentran entre 0.0% y 7.37%

7.4% de los rendimientos negativos son superiores o iguales a 3.70% . Esto es 4 veces en un año. (7.4%*260 días)

RENDIMIENTO DEL VALOR DE LAS COTIZACIONES DIARIAS DE TENARIS SA: DEL

17 DE DICIEMBRE DE 2002 AL 12 DE AGOSTO DE 2009

Inferior Superior Frecuencia Porcentaje

    1674  -22.14% -18.46% 1 0.1%-18.45% -14.77% 2 0.1%-14.76% -11.08% 2 0.1%-11.07% -7.39% 18 1.1%

-7.38% -3.70% 101 6.0%-3.69% -0.01% 624 37.3%0.00% 3.68% 772 46.1%3.69% 7.37% 130 7.8%7.38% 11.06% 18 1.1%

11.07% 14.75% 2 0.1%14.76% 18.44% 2 0.1%18.45% 22.13% 2 0.1%

Estadística Básica Aplicada

Medidas de Tendencia Central

y

Medidas de Dispersión

Centralización, Dispersión, Posición y Forma

Resumen sobre Estadísticos

Posición Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma

cantidad de individuos. Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,...

Centralización Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.

Media, mediana y moda

Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a

las medidas de centralización. Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza

Forma Asimetría Apuntamiento o curtosis

Tendencia Central

Las principales medidas son: Media Aritmética Simple Mediana Moda Media Geométrica Media aritmética ponderada

Media Aritmética Simple

La media aritmética poblacional se denota como μ La media aritmética muestral es el promedio de los datos.

letra griega sigma que significa la suma de todos los valores que toma la variable x

Media de 2,2,3,7 es (2+2+3+7)/4 = 3,5 Conveniente cuando los datos se concentran simétricamente con respecto a ese

valor. Muy sensible a valores extremos.

Centro de gravedad de los datos

X =X

n

ii 1

n

La Mediana

Es un valor que divide a las observaciones ordenadas en dos grupos con el mismo número de individuos (percentil 50 ó segundo cuartil).

Si la serie contiene un número impar de observaciones, la mediana es la observación central.

Si el número de observaciones es par, la mediana es la media de los dos valores centrales Mediana de 1,2,4,5,6,6,8 es 5 Mediana de 1,2,4,5,6,6,8,9 es (5+6)/2=5.

Es conveniente cuando los datos son asimétricos. No es sensible a valores extremos.

Mediana de 1,2,4,5,6,6,800 es 5. La media es 117.7

Moda

Es el valor más frecuente, el que se observa mayor número de veces

Pueden existir varios o ningún valor de moda para un solo conjunto de datos, la distribución puede ser:

Amodal cuando ningún valor se repite Unimodal cuando un solo valor es el más frecuente Bimodal cuando dos valores son los más frecuentes trimodal,...., polimodal

Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución

Simetría RelaciónSimétrica o insesgada Moda = Mediana = Media

sesgo positivo o inclinación a la derecha

Moda < Mediana < Media

sesgo negativo o inclinación a la izquierda

Moda > Mediana > Media

Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución

Moda=Mediana=Media

Insesgada

Moda MedianaMedia

Sesgo Positivo (a la derecha)

ModaMedianaMedia

Sesgo Negativo (a la izquierda)

NOTA

Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar.

moda = media - 3(media - mediana) media = [3(mediana) - moda]/2 mediana = [2(media) + moda]/3

3-29

Media Aritmética Ponderada

Se calcula la media aritmética muestral, adjudicando diferente “importancia” a cada uno de los datos.

n

1ii

n

1iii

p

w

Xw=X

Media Geométrica

Es el crecimiento promedio. El factor de crecimiento de la variable X:

i

1XX

Y1i

ii

Esta es la razón de cambio

Media Geométrica La tasa de crecimiento de la variable X:

1X

X1Y

1i

ii

i

Si es positiva hubo aumento; si es negativa, hubo disminución; si es igual a 0, no hubo cambio

La media aritmética siempre es mayor que la geométrica. Cuando se requiere calcular el cambio promedio entre varios años, entonces

de calcula utilizando la fórmula de la media geométrica y luego le restamos 1:

n es el número de años y n-1 es el tiempo.

1XX

G 1-n

1

n

Media geométrica continuación

3-16

Otra aplicación de la media geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un periodo a otro.

La fórmula para este tipo de problema es:

1periodo) del inicio alvalor periodo)/( del final alvalor (1 nMG

EJEMPLO

El volumen de ventas aumento de 755,000 en 1990 a 835,000 en 1999.

Aquí n = 10, así t = (n - 1) = 9.

La razón de cambio es 1.0112, es decir que el factor de crecimiento promedio de las ventas es de 1.0112 anual en el período.

Mientras que el crecimiento promedio interanual promedio (tasa de crecimiento en el periodo) es 1.12%.

.0112.010112.11000755/0008359 MG

3-17

Medidas de Posición Las medidas de posición son:

Cuartiles: Son tres y delimitan al 25%, 50% y 75% de los datos acumulados. (Q1; Q2; Q3)

Deciles: Son nueve y delimitan al 10%, 20%, ... , 90% de los datos acumulados. P10 P20 .......P90

Percentiles: Son noventa y nueve y delimitan al 1%, 2%, ..., 99% de los datos acumulados. P1, P2; ......P99

Siempre acumulamos de izquierda a derecha.

25%25%

25%25%

PERCENTILES

Mínimo

Máximo

Percentil 20 P20

20% 80%

Los percentiles dividen en dos partes las observaciones. Por ejemplo, el percentil 20, P20, es el valor que deja por debajo un 20% y por encima un

80% de las observaciones

Medidas de Dispersión

Las principales medidas son: Rango Varianza Desviación Estándar Coeficiente de Variación

El Rango

Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo R = Máx - Mín.

2,1,4,3,8,4. El rango es 8 – 1 = 7Es muy sensible a los valores extremos

Permite conocer como fluctúan los datos

La desventaja es que sólo utiliza dos valores y no puede utilizarse para comparar poblaciones o muestras de diferente naturaleza.

Es una medida de dispersión absoluta

Varianza Poblacional

La varianza poblacional se denota como σ² Es el promedio de los cuadrados de las distancias de los

datos a su media aritmética.

Es un estimador sesgado. Funciona solo para muestras “grandes”.

Sus unidades se encuentran al cuadrado

N

X=

n

1i

2i

2

Varianza Muestral

La varianza muestral se denota como S² Se calcula igual que la varianza poblacional,

dividiendo entre n-1.

Es un estimador insesgado. Funciona para cualquier tamaño de muestra.

1-n

XX=

n

1i

2i

2

S

Desviación Estándar

Mide la variación de los datos en términos absolutos.

Se interpreta como la distancia promedio de los datos a su media aritmética.

Se expresa en las mismas unidades que las empleadas en los datos.

Se calcula tomando la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Desviación Estándar

Desviación Estándar Poblacional:

2

2S=S

Desviación Estándar Muestral:

X i ( X i - µ) 2

5 5 - 6.9 = -1.9 3.458 8 - 6.9 = 1.1 1.319 9 - 6.9 = 2.1 4.596 6 - 6.9 = -0.9 0.735 5 - 6.9 = -1.9 3.458 8 - 6.9 = 1.1 1.317 7 - 6.9 = 0.1 0.02

? 48 0.00 14.86 µ 6.9

σ 2 2.12 σ 1.46S 2 2.48 S 1.57

Varianza Muestral

Desviación estándar Poblacional

X i - µ

Desviación estándar Poblacional

Varianza Poblacional

12.27/86.14

N

X

=2

N

1i

2i

46.112.22

48.26/86.141-n

X=

n

1i

2__

i2

Xs

57.148.22 SS

Desviación Estándar Regla Empírica

Solo cuando la forma de la distribución de los datos es simétrica (insesgada):

aproximadamente el 68% de los datos (población) se encuentran a una desviación estándar alrededor de la media de la distribución :

1

aproximadamente el 95% de los datos (población) se encuentran a 2 desviaciones estándar alrededor de la media de la distribución :

aproximadamente el 99% de los datos (población) se encuentran a 3 desviaciones estándar alrededor de la media de la distribución :

2

3

Coeficiente de Variación

Mide la variación relativa de la variable con respecto a su promedio.

Cuando deseamos comparar la dispersión de dos distribuciones, necesitamos medir la magnitud de la desviación estándar en relación con la magnitud de la media

Expresa a la variación de los datos como porcentaje de su promedio.

100*XS

=CV

Medidas de Forma Las medidas de forma son:

Asimetria o Sesgo

Curtosis

N

i

ixN 1

31

ˆ

N

i

ixN 1

41

ˆ

Sesgo

Es el grado de asimetría que tiene la distribución Una curva insesgada tiene sesgo cero Medimos en cuánto se aleja la distribución de

una insesgada: Si el polígono de frecuencias tiene la mayor acumulación a la

izquierda, tiene sesgo positivo o a la derecha. Si el polígono de frecuencias tiene la mayor acumulación a la

derecha, tiene sesgo negativo o a la izquierda

Sesgo

Coeficiente de Asimetría

Sesgo

= 0 No hay sesgo. La distribución es insesgada

> 0 La distribución tiene sesgo positivo o a la derecha.

< 0 La distribución tiene sesgo negativo o a la izquierda.

Curtosis

Mide qué tan “puntiaguda” es una distribución, con respecto a la Normal.

La distribución Normal se considera mesocúrtica, es el término medio.

Las distribuciones mas puntiagudas que la Normal se llaman leptocúrticas

Las distribuciones menos puntiagudas que la Normal se conocen como platocúrticas

Función Curtosis

Curtosis

= 3 Mesocúrtica

> 3 Leptocúrtica

< 3 Platocúrtica

Leptocúrtica

Mesocúrtica

Platocúrtica

TALLER 2. Medidas de Centralización y

Dispersión

Rendimiento y Riesgo

Rendimiento

El rendimiento de un activo o portafolio es el cambio de valor que registra en un período con respecto a su valor inicial:

1inicial

incial

finalinicialfinal

alValoriniciValor

Valor

Valor

Valor

ValorValorRi

%2.2022.01022.115.95

6.97Ri

Ejemplo: El día de ayer el valor de un portafolio fue de 95.5 millones y hoy registra un valor de 97.6 millones de dólares, el rendimiento de un día es:

Rendimiento El rendimiento también se puede calcular en función del logaritmo de la

razón de rendimiento:

1t

t

Valor

ValorLnRi

Ejemplo: El día de ayer el valor de un portafolio fue de 95.5 millones y hoy registra un valor de 97.6 millones de dólares, el rendimiento de un día es:

022.0022.15.95

6.97

LnLnRi

Rendimiento de un portafolio Suma ponderada de los rendimientos individuales de los activos que

componen el portafolio, por el peso relativo respectivo.

n

iiip RR

1

Ejemplo: Una cartera de inversiones esta compuesta por el instrumento A cuya participación en la cartera es del 30%, con un rendimiento de 5.5%; el instrumento B, con un peso de 42% y un rendimiento del 8%; el instrumento C, participa con el 28% y un rendimiento del 4.3%

%21.6100*0621.0)043.0*28.0()08.0*42.0()055.0*30.0( Rp

Rendimiento Promedio

Es la media aritmética de los rendimientos de cada uno de los activos, entre el número de activos.

n

RR

n

ii

prom

1

Suponga que tenemos 8 activos financieros que presentaron al día de hoy los siguientes rendimientos:

Activos Rendimientos1 3.52%2 0.19%3 1.66%4 1.11%5 0.46%6 1.52%7 -2.13%8 -1.71%

Suma 4.61%Promedio 0.58%

Rendimiento Anualizado Se define como:

11 nnanual RR

Ejemplo: El rendimiento diario de un portafolio es de 0.02%, considerando 252 días hábiles el rendimiento anualizado es de:

%17.510002.01 252 anualR

Medición del Riesgo Una distribución de frecuencias describe el comportamiento

de un activo o portafolios de activos en el pasado.

0

5

10

15

20

Rendimientos del IPC

En administración de Riesgos es muy común

suponer que el promedio de los rendimientos

logarítmicos es cero y que estos últimos siguen una

distribución Normal

EjemploFrecuencia Porcentaje

TOTAL... 289 100%-0.0371 -0.0239 12 4%-0.0238 -0.0106 39 13%-0.0105 0.0027 110 38%0.0028 0.016 104 36%0.0161 0.0293 19 7%0.0294 0.0426 3 1%0.0427 0.0559 2 1%

Rendimiento del IPC

DISTRIBUCIÓN DEL RENDIMIENTO DEL IPC Y COTIZACIONES DE LA BOLSA DE VALORES

Histograma de rendimientos del IPC y Cotizaciones de la Bolsa de Valores

0

20

40

60

80

100

120

-0.0239 -0.0106 0.0027 0.016 0.0293 0.0426 0.0559

Rendimiento del IPC

Día

s

Rendimiento del IPC

Media 0.0003Error típico 0.0008Mediana 0.0003Moda #N/ADesviación estándar 0.0130Varianza de la muestra 0.0002Curtosis 1.9118Coeficiente de asimetría 0.0707Rango 0.0930Mínimo -0.0371Máximo 0.0559Suma 0.0839Cuenta 289.0000Nivel de confianza(95.0%) 0.0015percentil 0.05 -0.01929percentil 0.95 0.01971

Repaso de probabilidad

Ejemplo El 35% de los créditos de un banco son para vivienda, el 50% son para

industria y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.

Rendimiento posible X

Probabilidad de ocurrencia

Pi-0.1 0.05-0.02 0.10.04 0.20.09 0.30.14 0.20.2 0.10.28 0.05

Un inversionista creyó que los rendimientos, en 1 año, posibles por invertir en una acción común particular son los que se muestran en el cuadro 1, que representa la distribución de probabilidad puede resumirse en términos de 2 parámetros:•Valor esperado del rendimiento.•Desviación estándar.Cuadro 1: Ejemplo de uso de una distribución de probabilidad de los rendimientos a 1 año posibles para calcular el valor del rendimiento esperado y la desviación estándar del rendimiento.

Distribución Normal o de Campana

Los instrumentos financieros presentan por lo general una distribución de probabilidad normal, la cual está definida por una curva simétrica en forma de campana.Esta distribución de define con dos parámetros: media y desviación estándar.Otros indicadores importantes son el sesgo y la curtosis. El sesgo debe ser 0 (simetría perfecta) y la curtosis debe ser 3 (en 3 desviaciones estándar se encuentran el 99.7% de las observaciones)

Función de Distribución

2

22 )x(

2

1exp

2

1),x(f

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5 -4 -3 -2 -1 -0 1 2 3 4 5

Mas estadística

Distribución Normal o de Campana

De la distribución del IPC, la media de los rendimientos es de 0.03%; y la desviación estándar diaria es de 1.3%. Si tomamos la media mas o menos 2 desviaciones estándar el intervalo va de –2.57% a 2.63%. Esto significa que podríamos esperar que los rendimientos diarios oscilen dentro de estos valores en el 95% de los días analizados.

Es decir que 1 de cada 20 días los rendimientos serán ó inferiores a –2.57% ó superiores de 2.63%.

El Teorema del Límite Central establece que cuando la muestra es lo suficientemente grande la distribución de los datos es casi normal, sin importar la distribución de la población.

La curva normal está centrada alrededor de la media, la cual se representa por La variación o dispersión alrededor de la media se expresa en unidades de desviación estándar, representada por . En un portafolio la media es su rendimiento promedio y la desviación estándar es se define como volatilidad.

Prueba de normalidad Jarque Bera Existen varias pruebas para comprobar la normalidad. Una de las más sencillas es

la de Jarque Bera. El estadístico de prueba es:

Y se distribuye como una Ji cuadrada con 2 grados de Libertad, se contrasta la hipótesis nula de que la curva es normal con un nivel de confianza dado.

Ejemplo: De los rendimientos del IPC para 289 días, el sesgo y la curtosis es

El Estadístico

Una Ji cuadrado (95%, 2gl) =5.99 Como el estadístico de prueba es mayor que el critico se rechaza la Hipótesis nula, y no se puede concluir con estos datos, que los rendimientos se distribuyan normalmente. Sin embargo al aumentar el tamaño de la muestra podemos esperar que así sea. =PRUEBA.CHI.INV(0.05,2)=5.99

Curtosis 1.9118Coeficiente de asimetría 0.0707

24

3

6

22 KurtosisSesgoNLM

5.14

24

39118.1

6

0707.0289

22

LM

Transformación de Periodos Si se obtienen promedios y desviación estándar de rendimientos medidos

en base a periodos diarios, estos pueden anualizarse. Ejemplo: Si se cuenta con la media y la desviación estándar diaria, se

puede determinar los parámetros anuales utilizando la siguiente fórmula:

La desviación estándar o la volatilidad en diferentes periodos de tiempo deben se multiplicados por la raíz cuadrada del periodo, por lo que la volatilidad es una función del tiempo no lineal.

tdiariaanual *

tdiariaanual *

Cálculo de Probabilidades con la Distribución Normal Estándar

Si la variable x es el rendimiento de algún factor de riesgo: precio de las acciones, tasas de interés o tipo de cambio, entonces siempre se podrá transformar variable X a Z usando la siguiente fórmula.

Se hace la transformación para poder calcular probabilidades de que un factor en riesgo se encuentre entre dos valores, o sea mayor o sea menor que un valor determinado.

No importa la magnitud del factor evaluado, se estandariza y se determina el valor de la probabilidad asociada a ese factor. La distribución normal estándar N(0,1), tiene una desviación estándar de 1 y una media 0.

XZ

Aplicación de la Distribución Normal Estandarizada

Ejemplo: Se desea determinar la probabilidad de que un portafolios registre un rendimiento menor de –2%, cuando el rendimiento promedio es de 0.11% y su volatilidad es de 1.76%, el valor estándar en la curva normal esta dado por:

20.176.1

%11.0%2 Ri

Z

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5 -4 -3 -2 -1 -0 1 2 3 4 5-1.20

El valor de la probabilidad acumulada para un valor de z inferior a –1.2 se obtiene en excel en la función DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum)

=DISTR.NORM(-2, 0.11, 1.76,1)=0.115

Existe una probabilidad del 11.5% que los rendimientos del portafolio sean menores de –2%. También puede utilizarse una tabla de probabilidad normal.

Determinación del valor de rendimiento asociado a una probabilidad dada

Los administradores de riesgos buscan el valor del rendimiento asociado a una probabilidad, usualmente 95% o 99%, en estos casos los valores Z asociados son 1.65 y 2.33 desviaciones estándar respectivamente. Se utiliza el valor negativo cuando buscamos la cola inferior.

Si se desea el rendimiento de la cola inferior asociado a un nivel de confianza o probabilidad del 99%. Se obtiene despejando Ri de la formula

Existe una probabilidad de 1% de que el rendimiento futuro del portafolio sea menor de –3.99%, mientras que hay una probabilidad del 99% que sea mayor de -3.99%

También puede buscarse usando la función en excel =DISTR.NORM.INV(probabilidad;media;desvestándar), donde probabilidad para la cola izquierda es 0.01.

iRZ

%99.3%)76.1*33.2(%11.0 ZRi

Taller 3. Rendimiento y Riesgo

Covarianza Mide la relación lineal entre dos variables describiendo como varían

conjuntamente entre ellas. Es un número que solo da una idea del sentido de la relación entre los rendimientos

de los dos activos (si es positiva es que operan en la misma dirección, si es negativa en direcciones distintas), pero no de la intensidad de la misma.

Podría evaluarse la covariación entre los rendimientos de un portafolio; o la covariación entre distintos bonos del estado; o la variación subyacente de dos o más activos.

Donde N es el número de registros. Ri u Rj son los rendimientos de los instrumento i y j y sus promedios

jj

N

ji

iijiij RRRRN

RRCOV 1,

2 1),(̂

iRjR

Coeficiente de Correlación, r

El coeficiente de correlación (r) es una medida de la intensidad de la relación entre dos variables o más

Requiere datos con escala de intervalo o de razón (variables). Puede tomar valores entre -1.00 y 1.00. (-100% y 100%) Valores de -1.00 o 1.00 indican correlación fuerte y perfecta. Valores cercanos a 0 indican correlación débil. Valores negativos indican una relación inversa y valores positivos indican una relación directa.

Interpretación Este coeficiente de correlación nos indica la medida en que están relacionados las variables. Si

es muy cercano a 100% la relación es lineal, fuerte y directa. Es decir que a medida que aumenta una también aumenta la otra Si es cercana a 0, no significa ausencia de relación, sino que podría existir otro tipo de relación

distinta a la lineal ( parabólica, exponencial, logarítmica)

Correlación Negativa Perfecta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

X

Y

Correlación Positiva Perfecta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

X

Y

Correlación Cero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

X

Y

Correlación Positiva Fuerte

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

X

Y

Fórmula para r (Coeficiente de Correlación)

2222 )()(

))(()(=

YYnXXn

YXXYnr

-1 -0.75 - 0.5 0 0.5 0.75 1

Perfecta Fuerte Moderada Nula Moderada Fuerte Perfecta

inversa directa

La correlación mide el grado de relación lineal que existe entre dos o más variables (x y representan los rendimientos de los activos o instrumentos financieros)

Ejemplo Los siguientes datos corresponden a los

rendimientos de tres activos. Calcular Matriz de covarianza y matriz de correlaciones. Aplicando Herramientas para el análisis. Ver demostración paso a paso.

CovarianzaAT&T G. M. S. STEEL

AT&T 0.010G. M. 0.011 0.054S. STEEL 0.012 0.051 0.086

AT&T G. M. S. STEEL0.3 0.225 0.1490.103 0.29 0.260.216 0.216 0.419-0.046 -0.272 -0.078-0.071 0.144 0.1690.056 0.107 -0.0350.038 0.321 0.1330.089 0.305 0.7320.09 0.195 0.0210.083 0.39 0.1310.035 -0.072 0.0060.176 0.715 0.908

CorrelacionesAT&T G. M. S. STEEL

AT&T 1G. M. 0.494 1S. STEEL 0.410 0.747 1

Las acciones se mueven en el mismo sentido

Las acciones GM y S S presentan correlaciones moderada y positivas con ATT; mientras que GM y SS presentan una fuerte correlación positiva.

Taller 4. Covarianza y Correlación.

La Volatilidad Lo volatilidad es un indicador que permite conocer si estamos ante un

valor, índice o cualquier activo cotizado, con probabilidades de tener movimientos más o menos bruscos en su cotización.

Por tanto, podemos entender la volatilidad como una medida de riesgo. Cuanto mayor sea la volatilidad de un activo, mayor es el riesgo que representa invertir en él.

La Volatilidad

Estadísticamente se refiere a la desviación estándar de los rendimientos de un activo o un portafolio.

La mayor parte de los rendimientos se sitúan alrededor del promedio de los rendimientos, y luego se van dispersando hacia las colas de la distribución normal. Esta es la medida de la volatilidad.

Cuando una serie de tiempo de registro de los rendimientos no es constante en algunos períodos, se dice que es heterocedástica ya que la desviación (volatilidad) es variable en el tiempo.

Rendimiento de los precios de TENARIS SA: Diciembre de 2002- Agosto de 2009

-25.0%

-20.0%

-15.0%

-10.0%

-5.0%

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

1 118 235 352 469 586 703 820 937 1054 1171 1288 1405 1522 1639

Antecedentes de la Aplicación de la Volatilidad

En la década de los 50´s, Harry Markowitz1, premio Nobel de Economía (1990), desarrolló la teoría de portafolios basada en el concepto que en la medida en que se añaden activos a una cartera de inversión, el riesgo medido a través de la varianza ( σi

2 ) o de la desviación estándar ( σi )

disminuye como consecuencia de la diversificación. También propuso el concepto de covarianza (σij) y correlación (ρij), es decir, en la medida que

se tienen activos negativamente correlacionados, el riesgo de mercado de un portafolio de activos disminuye.

Generalmente, se supone que la varianza de una serie financiera, es constante en el tiempo (homocedasticidad). Sin embargo, en los mercados financieros es muy difícil encontrar este comportamiento, por el contrario, en la series financieras es muy frecuente el fenómeno de heterocedasticidad, es decir, la varianza de la serie tiene cambios sistemáticos en el tiempo, fenómeno en el que se presentan periodos de alta turbulencia seguidos de periodos de relativa calma o estabilidad, por esto, este comportamiento habrá que tenerlo en cuenta al estimar los modelos.

Tomado de “ LA IMPORTANCIA DE LA VOLATILIDAD EN LA SELECCIÓN OPTIMA DE PORTAFOLIOS”

Alvaro José Cobo Quintero*

alvaro_josecobo@yahoo.com

ajcobo@davivienda.com

Bogotá , Colombia

Primera Versión: Octubre 2003

Volatilidad de Precios y Volatilidad de Tasa de Interés.

Ambas volatilidades no son iguales. La volatilidad de la tasa de interés se convierte en volatilidad de precios utilizando la

siguiente formula:

Donde es la volatilidad de precios; es la volatilidad de las tasas;

es la sensibilidad de los precios de un bono a un cambio en la tasa de interés

Ejemplo, se desea calcular la volatilidad de los precios de bonos del tesoro. La volatilidad de las tasas están por el orden del 15% anual, la última tasa fue de 10% y la sensibilidad del precio cuando las tasas cambian en una unidad porcentual es de 18%.

rr

pp r

p r

r

p

anualp %27.00027.015.010.018.0

Volatilidad Histórica

La volatilidad histórica es la volatilidad del precio de un activo calculado a partir de datos históricos, donde todas las observaciones tienen el mismo peso específico. Es, por lo tanto, una medición ex post (es decir, retrospectiva) y su pronóstico se basa en las observaciones históricas.

Se calcula a través de la desviación estándar de los rendimientos, así como sigue:

donde ri es cada una de los rendimientos y n es el número de rendimientos analizados en el tiempo.

Otro estimador para la varianza es considerar los cuadrados de los rendimientos, pudiéndose calcular la volatilidad histórica como sigue.

1

2

nrri

r

nri

2 ** El Banco Internacional de Liquidaciones BIS, recomienda utilizar 250 días hábiles para el año calendario.

Ejemplo Volatilidad Histórica aplicando ambos métodos.

Observaciones Rendimiento

Observaciones

Rendimiento Rendimiento2

1 0.300 0.044 1 0.300 0.090

2 0.103 0.011 2 0.103 0.011

3 0.216 0.047 3 0.216 0.047

4 -0.046 0.002 4 -0.046 0.002

5 -0.071 0.005 5 -0.071 0.005

6 0.056 0.003 6 0.056 0.003

7 0.038 0.001 7 0.038 0.001

8 0.089 0.008 8 0.089 0.008

9 0.090 0.008 9 0.090 0.008

10 0.083 0.007 10 0.083 0.007

11 0.035 0.001 11 0.035 0.001

12 0.176 0.031 12 0.176 0.031Promedio 0.089 Suma de cuadrados 0.21Suma 0.17 Promedio de la suma de cuadrados 0.02Suma entre n-1 0.01 Raiz 0.13Raiz 0.12 Volatilidd Histórica 13%Volatilidad histórica 12%

2)( rri

Volatilidad Dinámica o con suavizamiento exponencial (RiskMetrics®)

La volatilidad dinámica permite obtener la información subyacente del dinamismo de la variabilidad de los mercados, debido a que su calculo se basa en el suavizamiento exponencial de las observaciones históricas (generalmente históricas)

El suavizamiento exponencial es una técnica que permite realizar estimaciones asignándoles mayor ponderación o importancia a las observaciones más recientes.

Esto le otorga mayor ventaja sobre la volatilidad histórica donde se realiza un promedio simple de las observaciones.

Volatilidad Dinámica Esta forma de estimar la volatilidad, fue empleada inicialmente por JP Morgan denominándolo RiskMetrics®, el cual

fue hecho público en 1994. En general, de acuerdo a la EWMA (Exponential Weighted Moving Average) la varianza en el momento t será:

Como se puede apreciar el modelo depende de un parámetro (lambda λ, entre 0 y 1) conocido como factor de decaimiento (decay factor) del que es necesario determinar su valor mediante el criterio de optimización.

Este factor determina los pesos que se le aplican a las observaciones, mientras más pequeño, mayor peso tienen los datos mas recientes. Si λ = 1 , el modelo se convierte en la volatilidad histórica con pesos uniformes a todas las observaciones.

En la expresión anterior, se observa que la varianza futura es igual a lambda veces la volatilidad del día anterior, más el cuadrado de la rentabilidad del día por uno menos lambda, es decir, si hoy la rentabilidad es alta, ésta induce a un incremento en la volatilidad estimada.

En especial, JP Morgan emplea en su RiskMetrics® un λ de 0.94 para datos diarios y 0.97 para datos mensuales. Es decir, la varianza de hoy será igual λ veces la volatilidad del día anterior más el cuadrado de la rentabilidad del día anterior.

212 )1( iti

t r

2221 )1( tit r

Determinación de Lamda

Se realiza un ajuste conocido como la Raíz del Cuadrado Medio del Error o error de estimación:

Donde T corresponde al número total de observaciones consideradas.

Esta medida recoge la diferencia que existe entre cada valor estimado y el observado, de tal manera que un RCME menor será considerado mejor que uno mayor.

)(1 2

1

2t

T

itYX r

TS

EjemploVolatilidad Dinámica

0.9

Observaciones (i) Rendimiento r

Rendimiento2

r2 Lamda ^(i-1)

1 0.052 0.003 1.000 0.0027

2 -0.039 0.002 0.900 0.0014

3 0.050 0.003 0.810 0.0020

4 -0.044 0.002 0.729 0.0014

5 -0.033 0.001 0.656 0.0007

6 0.012 0.000 0.590 0.0001

7 0.025 0.001 0.531 0.0003

8 -0.045 0.002 0.478 0.0010

9 -0.047 0.002 0.430 0.0010

10 0.017 0.000 0.387 0.0001

Suma 0.0107

(desviación estándar)

Varianza estimada

Volatilidad dinámica

2)1( ri

212 )1( iti

t r

001067.0)0107.0)(9.01(2 t

%27.303266.001067.0 t

Valor en Riesgo (conceptos básicos)

VaR son las siglas de Valor en el Riesgo (Value at Risk), desarrollado por la división RiskMetric de JP Morgan en 1994.

El VaR es una manera de medir el riesgo de mercado de un activo o una cartera de activos financieros.

De manera resumida el VaR cuantifica la máxima pérdida potencial que una cartera puede tener en función de un nivel de confianza, y para un determinado horizonte temporal.

Dicho de otra manera, al calcular el VaR obtendremos un número que representa la pérdida máxima que se puede tener en la cartera

Interpretación Si el VaR de una cartera está calculado

en –6,000 dólares en un día, con un nivel de confianza del 95%, no quiere decir que obligatoriamente se pierdan los 6,000 dólares, sino que, en el caso de entrar en pérdidas, lo máximo que se puede perder de hoy a mañana, y con una probabilidad del 95%, son 6,000 dólares. De esta forma se puede ajustar el capital necesario.

También podemos interpretarlo como sólo un dia de cada 20 de operación del mercad (1/20=5%), en condiciones normales, la perdida que ocurrirá puede ser mayor de 6,000 dólares.

Cálculo del VaR mediante la metodología paramétrica. Valor en riesgo de un activo, bajo el supuesto de normalidad y de media de

rendimientos igual a 0, el modelo paramétrico que determina el valor en riesgo de una posición esta dado por la siguiente formula

VAR = K * S *σ * √ t

Donde: K Factor que determina el nivel de confianza deseado. Para 95% = 1.65;

99%= 2.33 S es el monto total de la inversión o la exposición total en riesgo σ es la desviación estándar de los rendimientos del activo t es horizonte de tiempo en que se va a calcular el VAR

VaR Paramétrico

Ejemplo: Calcular el VaR de una posición, a un día, con un intervalo de confianza del 99%. Valor de la posición: 100,000; la desviación estándar de los rendimientos es 0.55% . Para obtener una confianza del 99%, se requieren 2.33 desviaciones estándar, por lo tanto:

K=2.33S= 100,000σ=0.55%t=1

VARdiario=100,000* 0.55%*2.33= 1,281.50Esto significa que 1 de cada 100 días hábiles del año se tendrá una pérdida de 1281.5 ó más.

Calcular el VaR de la posición, suponiendo que se puede liquidar en 5 días.

52.865,25*)1()5( díaVaRdíasVaR

Cálculo del VaR mediante la metodología paramétrica.

Valor en riesgo de dos o más activos. (var diversificado) Método varianza covarianza, toma en cuenta la correlación entre los rendimientos de los activos o instrumentos.

La varianza del portafolio esta dada por:

Donde wi

son los pesos de los activos, cuya suma debe ser igual a 1. w1 + w2 +…+ wn =1 σi es la desviación estándar de los rendimientos de cada activo ρij es el coeficiente de correlación de los rendimientos de los dos activos

El VAR para dos activos queda determinado de la siguiente forma:

VaR= K * S *σp * √ t Nota: El VaR diversificado es menor que la suma aritmético de los VAR individuales. Al trabajar con portafolios o carteras con más de dos activos o instrumentos se requiere

realizar los cálculos con matices

21122122

22

21

21

2 2 wwwwp

VaR Paramétrico de un Portafolio con dos activos:

Donde: VaR1 es el VaR individual del activo 1VaR2 es el VaR individual del activo 2ρ es el coeficiente de correlación entre los rendimientos del Activo 1 y el

Activo 2

Ejercicio: Considérese el Portafolio siguiente:

34,928 acciones xxxx, precio de mercado:28.63 Valor de Mercado de la posición: 34,928*28.63=999,989154 “Títulos del Estado, precio de mercado: 6499.69.Valor de Mercado de la Posición: 154*6499.69=1,000,952

Calcular:

-volatilidad de los dos activos-correlación entre los dos activos-VaR individual de cada activo (99%, 1 día)-VaR total del Portafolio (99%, 1 día)-VaR del Portafolio a 10 días (99%)

21

2

2

2

1 **2 VaRVaRVaRVaRVaR

VaR Paramétrico

Solución: Volatilidades y Correlación

Volatilidades CorrelaciónXXXXX 2.1638% 0.5660 Titulos Estado 1.299%

Solución: VaR

VaR1= 999,989*2.1638%*2.33= 50,416 XXXX

VaR2= 1,000,952 *1.299%*2.33= 30,293 Títulos

029,72293,30*416,50*5660.0*2293,30416,50 22 VaR

775,22710*)1()10( díaVaRdíasVaR

VaR Paramétrico