ESTADÍSTICA APLICADA-Vol 01

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Set de ejercicios, problemas y casos resueltos de Estadística Descriptiva de nivel básico, contextualizados en las ciencias sociales. Organización y presentación de datos, cálculo e interpretación de estadígrafos.

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Estadstica Aplicadaa las Ciencias Sociales

PROBLEMAS Y CASOS RESUELTOS

VOLUMEN - 1 Estadstica Descriptiva bsica Presentacin y anlisis bsico de datos Clculo e interpretacin de estadgrafos

Patricio Alcano MartnezDerechos Reservados 2012

Estadstica Aplicada a las Ciencias SocialesEstadstica Descriptiva: Presentacin y anlisis de datos. Clculo e interpretacin de estadgrafos. Patricio Alcano Martnez Derechos Reservados.

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Palabras iniciales

Estimados [email protected]: Este material que pongo a su disposicin, est elaborado a partir de casos e investigaciones reales en distintos mbitos de las Ciencias Sociales, los que han sido recreados para ajustarlos a un contexto educativo. Por ello, los datos, informacin y conclusiones presentadas no son necesariamente vlidas en contextos reales. Este volumen est dirigido a tratar el tema de la presentacin y anlisis bsico de datos y el clculo e interpretacin de estadgrafos. El lector deber manejar los conceptos y procedimientos elementales de Estadstica descriptiva y exhibir competencia en el clculo de razones, proporcionalidad y tanto por ciento. Para trabajar con este material el usuario deber hacer uso de la calculadora, demostrando capacidad para utilizar efectivamente la funcin estadstica para clculo de la media y desviacin estndar. Este material tiene Derechos Reservados y su uso est permitido solo con fines educativos.

Atentamente;

Patricio Alcano Martnez

Revisin: Catalina Salfate

Santiago de Chile, Abril de 2012.

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ndice de casosCaso 1: Poblacin, ndice de masculinidad e ndice urbano/rural. Pgina 4. Se ejercitan los clculos e interpretacin de razones en una poblacin humana. Caso 2: Embarazos no planificados. Pgina 8. A partir del fenmeno de los embarazos no planificados, se trabaja una completa estadstica con variable continua. Caso 3: Violacin a los DDHH. Pgina 11. El fenmeno de la violacin de los DDHH en Chile da pie para trabajar con variables organizadas en tablas de contingencia, trabajando una completa estadstica con variable continua. Caso 4: Clima laboral. Pgina 16. Breve estadstica con variable cualitativa ordinal. Caso 5: Peso de recin nacidos. Pgina 17. Breve estadstica con variable numrica no agrupada. Caso 6: Estudio de poblacin. Pgina 18. Una completa estadstica descriptiva que combina una variable continua con dos variables dicotmicas. Caso 7: Dieta para adelgazar. Pgina 25. Breve estadstica con variable cualitativa nominal. Caso 8: ndice de masculinidad. Pgina 27. A partir de un grfico dado, se interpreta y se obtiene informacin, analizando una serie de afirmaciones dadas. Caso 9: Enfermedades crnicas en adultos mayores. Pgina 29. Se analiza un caso con variable discreta, derivando datos e informacin a partir de un grfico dado. Caso 10: Gasto en medicamentos. Pgina 31. Caso orientado a la interpretacin de percentiles, en el contexto de un gasto mensual en medicamentos. Caso 11: Concentracin de plomo en la sangre. Pgina 33. Estadsticas de variable continua, orientado a la interpretacin de un histograma, al clculo e interpretacin de percentiles.

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Caso 1: Poblacin, ndice de masculinidad e ndice urbano/ruralEn cierta comuna del Sur, con una poblacin de 28.450 habitantes, se da un ndice urbano/rural 0,75 y un ndice de masculinidad 115,4. Esta comuna ha tenido especial inters de las autoridades de salud porque se ha detectado que 8 de cada mil habitantes presentan alteraciones genticas atribuibles a la actividad minera de la zona, localizndose el 62,5% de los casos en las zonas urbanas. 1.1. Qu indica este ndice urbano/rural? 1.2. A cunto asciende la poblacin rural de la comuna? 1.3. Qu % de la poblacin es urbana? 1.4. A cuntas personas asciende la poblacin femenina en esta comuna? 1.5. Qu % de la poblacin es masculina? 1.6. Cuntas personas estn afectadas de la alteracin gentica en esta comuna? 1.7. Cuntas personas de las zonas rurales presentan la alteracin gentica en esta comuna? 1.8. Construya una tabla de contingencia que muestre la poblacin de la comuna segn si presenta o no alteracin gentica segn zona de residencia.

Solucin: 1.1. Qu indica este ndice urbano/rural? Este ndice significa que hay 0,75 habitantes urbanos por cada uno rural. Amplificando por cien, indica que por cada 75 habitantes urbanos, hay 100 rurales, o bien 3 urbanos por cada 4 rurales. En resumen, indica que hay ms poblacin rural que urbana. 1.2. A cunto asciende la poblacin rural de la comuna? En la comuna se da una relacin de 3 habitantes urbanos por cada 4 rurales. Es decir, por cada 7 habitantes hay 4 rurales (y 3 urbanos). Llevando a proporcin:7 habts 28.450 habts = 4 rurales x rurales

Despejando x:x=

4 28.450 = 16.257. 7

R: En la comuna, la poblacin rural llega a 16.257 habitantes.

1.3. Qu % de la poblacin es urbana? Poblacin total = 28.450 habitantes Poblacin urbana = 28.450 - 16.257 = 12.193 Llevando a %: 12.193 P= 100 = 42,86% 28.450 R: En la comuna, el 42,86% de la poblacin es urbana.

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Otra solucin: Segn el ndice Urbano/Rural, por cada 7 habitantes hay 3 urbanos. Llevando a proporcin:P= 3 100 = 42,86% 7

1.4. A cuntas personas asciende la poblacin femenina en esta comuna? El ndice de masculinidad de la comuna indica que hay 115,4 hombres por cada 100 mujeres. Es decir que por cada 215,4 habitantes 100 son mujeres (y 115,4 son hombres). Llevando a proporcin:215,4 habts 28.450 habts = 100 mujeres x mujeres

Despejando x: 100 28.450 x= = 13.208 mujeres. 215,4 R: En la comuna, la poblacin de mujeres llega a 13.208.

1.5. Qu % de la poblacin es masculina? Poblacin total = 28.450 habitantes Poblacin masculina = 28.450 - 13.208 = 15.242. Llevando a %: 15.242 P= 100 = 53,57% 28.450 R: En la comuna, el 53,57% de la poblacin es masculina. Otra solucin: Segn el ndice de masculinidad, por cada 215,4 habitantes hay 115,4 hombres. Llevando a proporcin:P= 115,4 100 = 53,57% 215,4

1.6. Cuntas personas estn afectadas de la alteracin gentica en esta comuna? Segn el dato, estas son 8 de cada mil. Llevando a proporcin:1.000 habts 28.450 habts = 8 afectados x afectados

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Despejando x: 8 28.450 x= = 228 afectados. 1.000 R: En la comuna, la poblacin de afectados llega a 228.

1.7. Cuntas personas de las zonas rurales presentan la alteracin gentica en esta comuna? Segn el dato, el 62,5% de los afectados corresponden a zonas urbanas. Esto significa que en las zonas rurales esta proporcin alcanza al 37,5%. El 37,5% de 228 afectados es:

228 37,5 = 86. 100R: De los 288 afectados, 86 habitantes rurales presentan la alteracin gentica en esta comuna.

1.8. Construya una tabla de contingencia que muestre la poblacin de la comuna segn si presenta o no alteracin gentica segn zona de residencia. Para el caso de las variables asociadas, o supuestamente asociadas, se suele colocar la variable independiente en las filas y la dependiente en columnas. As, en este caso, si se sospecha que la alteracin gentica es dependiente de la zona de residencia, la tabla quedara as: Poblacin segn presenta o no alteracin gentica y zona de residencia Zona Urbana Rural Total Presentan la alteracin gentica S No Total

Para completar la tabla se usarn los datos dados y otros calculados anteriormente: Del enunciado del caso se sabe que el total de la poblacin es 28.450. De 1.2 se sabe que la poblacin rural llega a 16.257 habitantes. De 1.6 se obtiene que el total de afectados es 228. De 1.7 se obtiene que de los 228 afectados, 86 son rurales.

Insertando estos datos en la tabla se llega a lo siguiente:

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Poblacin segn presenta o no alteracin gentica y zona de residencia Zona Urbana Rural Total 86 228 16.257 28.450 Presentan la alteracin gentica S No Total

El resto de la tabla se completa por diferencias, llegando finalmente a la siguiente tabla de frecuencias:

Poblacin comunal segn alteracin gentica y zona de residencia Zona Urbana Rural Total Presenta alteracin gentica S 142 86 228 No 12.051 16.171 28.222 Total 12.193 16.257 28.450

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Caso 2: Embarazos no planificadosEl siguiente cuadro muestra la edad de las mujeres que presentan embarazos no planificados, segn un estudio muestral realizado en cierta regin del norte de Argentina: Mujeres con embarazos no planificados por edad Edad 12 a 14 aos 15 a 19 aos 20 a 24 aos 25 a 29 aos Total % 3 57 33 7 100

A partir de este dato: 2.1. Calcule la edad promedio de las mujeres que presentan embarazos no planificados en este estudio, su desviacin estndar y su coeficiente de variacin. 2.2. Trace un grfico de caja y bigotes de la edad de las mujeres que presentan embarazos no planificados en este estudio. 2.3. Sobre la base de los cuartiles, construya cinco afirmaciones respecto de la muestra estudiada. 2.4. Qu % de la muestra tiene menos de 18 aos?

Solucin: Primeramente se trasladan los datos a una tabla, a la cual se le agrega la columna de lmites reales, la de marcas de clase y una de frecuencias porcentuadas acumuladas. Edad 12 a 14 aos 15 a 19 aos 20 a 24 aos 25 a 29 aos Total Edad 12 15 15 20 20 25 25 30 Xm 13,5 17,5 22,5 27,5 % 3 57 33 7 100 % acum 3 60 93 100 -

2.1. Calcule la edad promedio de las mujeres que presentan embarazos no planificados en este estudio, su desviacin estndar y coeficiente de variacin. Los estadsticos pedidos se pueden calcular en la calculadora, tomando los % como si fuesen frecuencias absolutas. Media = 19,73 aos; Desviacin Estndar = 3,28 aos; CV = 16,6%.

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2.2. Trace un grfico de caja y bigotes de la edad de las mujeres que presentan embarazos no planificados en este estudio. Para trazar un grfico de caja, se requieren los cuartiles y el mnimo y mximo valor de la variable. Ya que se trabaja con % acumulados, el cuartil 1 est en el 25%, el cuartil 2 en el 50% y el cuartil 3 en el 75%. Entonces: Q1 = 15 + 5(25 3)/57 = 16,9 aos Q2 = 15 + 5(50 3)/57 = 19,1 aos Q3 = 20 + 5(75 60)/33 = 22,3 aos Ya calculados los cuartiles, con sus valores se traza el grfico de caja y bigotes. Helo aqu:

Aos 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Edad de mujeres con embarazo no planificado

2.3. Afirmaciones Considerando el concepto y definicin de los tres cuartiles, se pueden derivar afirmaciones como las siguientes: El 25% de las encuestadas son menores de 16,9 aos de edad La cuarta parte de las mujeres con embarazo no planificado, tienen entre 12 y 16,9 aos. El 50% de las de las mujeres encuestadas con embarazo no planificado, son mayores de 19,1 aos de edad El 25% de las encuestadas son mayores de 22,3 aos de edad. La mitad de las encuestadas tienen entre 19,1 y 30 aos.

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2.4. Qu % de la muestra tiene menos de 18 aos? Utilizando la tabla de frecuencias acumuladas: Edad 12 15 15 20 20 25 25 30 % 3 57 33 7 100 % acum 3 60 93 100 -

Lo que se pregunta es qu % acumula la tabla de frecuencia desde los 12 a los 18 aos. Esto se resuelve con el concepto de percentil. Entonces:18 = 15 + 5 (P 3) 57

Donde P representa el porcentaje acumulado hasta x = 18 aos. Despejando P:18 15 = 5 (P 3) 57 3 57 = 5(P 3)

171 = P 3 5 34,2 + 3 = P P = 37,2 %

R: El 37,2% de las mujeres de la muestra tienen menos de 18 aos.

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Caso 3: Violacin a los DDHH

La tabla siguiente muestra el resultado de una encuesta en relacin a los Derechos Humanos durante el gobierno militar en Chile, realizada con el objeto de conocer la opinin de la ciudadana chilena al respecto.

PREGUNTA: Cree usted que las altas autoridades civiles del gobierno militar tenan conocimiento que se violaban los Derechos Humanos, o no tenan conocimiento? Grupo Etario (aos) 18 - 24 S, tenan conocimiento No, no tenan conocimiento Total 345 111 237 25 - 39 40 - 59 167 66 178 60 79 835 Total

Muestra: 1.125 personas de 29 ciudades de ms de 40 mil habitantes entre I y X regin seleccionadas al azar.

Con los datos dados: 3.1. En la muestra total, calcule la edad media y su desviacin estndar. 3.2. En los que opinan que las autoridades S tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos, calcule la edad mediana y cuartiles 1 y 3. Interprete el valor numrico de cada uno de ellos, en el marco del caso. 3.3. En los que opinan que las autoridades NO tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos, dibuje un grfico de caja. 3.4. Calcule los siguientes porcentajes: 3.4.1. De los que opinan que S tenan conocimiento, qu % tiene 40 o ms aos? 3.4.2. De los que opinan que NO tenan conocimiento, qu % tiene menos de 25 aos? 3.4.3. De los que tienen menos de 60 aos, qu % cree que las autoridades NO tenan conocimiento? 3.4.4. De los que tienen 40 aos o ms, qu % cree que las autoridades S tenan conocimiento? 3.4.5. De la muestra, qu % son personas menores de 40 aos que creen que las autoridades S tenan conocimiento?

Solucin: En primer lugar se completa la tabla de frecuencias, aplicando sumas y diferencias:Conocimiento 18 24 S, tenan conocimiento No, no tenan conocimiento Total 302 43 345 Grupo Etario (aos) 25 39 254 111 365 40 59 167 70 237 60 79 112 66 178 835 290 1.125 Total

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3.1. En la muestra total, calcule la edad media y su desviacin estndar. Para calcular la media de las edades y su desviacin estndar, previamente se organizan los datos en una tabla adecuada. Se tiene la precaucin de expresar los lmites reales y de calcular las marcas de clase (Xm) de cada intervalo. Aos 18 25 25 40 40 60 60 80 Total Xm 21,5 32,5 50 70 Casos 345 365 237 178 1.125

Ingresando los datos a la calculadora, resulta:x = 38,7 aos, y;

= 16,9 aos.

3.2. En los que opinan que las autoridades S tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos, calcule la edad mediana y cuartiles 1 y 3. Interprete el valor numrico de cada uno de ellos, en el marco del caso. Para calcular los cuartiles de las edades, previamente se organizan los datos en una tabla de frecuencia. Se tiene la precaucin de expresar los lmites como lmites reales y de calcular la columna de frecuencias acumuladas: Las autoridades S tenan conocimiento.Aos 18 - 25 25 40 40 60 60 - 80 Total Casos 302 254 167 112 835 Acum. 302 556 723 835

Mediana:15 (417,5 302) =31,8 aos. 254 El 50% de los encuestados que opinan que las autoridades s tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos en Chile, tiene, a lo ms 31,8 aos. Me = 25 +

Cuartil 1:7 (208,75 0) =22,8 aos. 302 El 25% de los encuestados que opinan que las autoridades s tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos en Chile, tiene, a lo ms 22,8 aos. Q1 = 18 +

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Entre los encuestados que opinan que las autoridades s tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos en Chile, el 75% tiene, a lo menos, 22,8 aos.

Cuartil 3:

Q3 = 40 +

20 (626,25 556) = 48,4 aos. 167

Entre los encuestados que opinan que las autoridades s tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos en Chile, el 25% tiene, a lo menos, 48,4 aos. El 75% de los encuestados que opinan que las autoridades s tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos en Chile, tiene, a lo ms 48,4 aos.

3.3. En los que opinan que las autoridades NO tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos, dibuje un grfico de caja. Para construir un grfico de caja de las edades de este segmento, previamente deben ser calculados los tres cuartiles. Reorganizando los datos en una tabla de frecuencias, se tiene lo siguiente: Las autoridades NO tenan conocimiento.Aos 18 - 25 25 40 40 60 60 - 80 Casos 43 111 70 66 290 Acum. 43 154 224 290

Q1

290 = 72,5, lo que ubica al cuartil 1 en el segundo intervalo. 4 15 (72,5 43) =29,0 aos. Q1 = 25 + 111290 = 145, lo que ubica al cuartil 2 en el segundo intervalo. 2 Q2 = 25 + 15 (145 43) =38,8 aos. 111

Q2

Q3

3 290 = 217,5, lo que ubica al cuartil 3 en el tercer intervalo. 4 20 (217,5 154) =58,1 aos. Q3 = 40 + 70

Adems de estos valores, de acuerdo a la tabla de frecuencias, se tomar 18 aos como el mnimo y 80 aos como el mximo.

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El grfico de caja queda de la siguiente manera:

Opinan que las autoridades no tenan conocimiento, segn edad.

3.4. Calcule los siguientes % . Haciendo uso de la tabla de frecuencias se obtienen las cantidades requeridas. 3.4.1. De los que opinan que S tenan conocimiento, qu % tiene 40 o ms aos? De los 835 que opinan que las autoridades S tenan conocimiento, 167 + 112 = 279 tienen 40 o ms aos. Llevando a %: 279 P= 100 = 33,4% 835 R: De los que opinan que S tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos, el 33,4% tiene 40 o ms aos.

3.4.2. De los que opinan que NO tenan conocimiento, qu % tiene menos de 25 aos? De los 290 que opinan que NO tenan conocimiento, 43 tienen menos de 25 aos. Llevando a %: 43 P= 100 = 14,8% 290 R: De los que opinan que las autoridades NO tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos, el 14,8% tiene menos de 25 aos.

3.4.3. De los que tienen menos de 60 aos, qu % cree que las autoridades NO tenan conocimiento? De los 345 + 365 + 237 = 947 que tienen menos de 60 aos, 224 creen que las autoridades NO tenan conocimiento de los hechos. Llevando a %: 224 P= 100 = 23,7% 947 R: De los que tienen menos de 60 aos, el 23,7% cree que las autoridades NO tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos.

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3.4.4. De los que tienen 40 aos o ms, qu % cree que las autoridades S tenan conocimiento? De los 237 + 178 = 415 que tienen 40 aos o ms, 167 + 112 = 279 cree que las autoridades S tenan conocimiento. Llevando a %: 279 P= 100 = 67,2% 415 R: De los que tienen 40 aos o ms, el 67,2% cree que las autoridades S tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos.

3.4.5. De la muestra, qu % son personas menores de 40 aos que creen que las autoridades S tenan conocimiento? De la muestra de 1.125 personas, 302 + 254 = 556 son menores de 40 aos que creen que las autoridades S tenan conocimiento. Llevando a %: 556 P= 100 = 49,4% 1.125

R: El 49,4% de la muestra son personas menores de 40 aos que creen que las autoridades S tenan conocimiento de la violacin de los derechos humanos.

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Caso 4: Clima laboral

Calcule la moda, la mediana y la media en los siguientes datos, que corresponden a opinin de trabajadores acerca del clima laboral en la empresa en la cual trabajan, siendo: B = Bueno; R = regular; M = Malo. Los datos son: M; R; R; B; M; R; B; M; M

Solucin: 4.1. Moda: Malo La opinin ms generalizada es que el clima laboral en la empresa es Malo, con 4 observaciones sobre un total de 9. 4.2. Mediana: Ordenando: Ubicacin: Mediana:

M; M; M; M; R; R; R; B; B; con n = 9 (9 + 1)/2 = 5. La mediana es el 5 valor. Me = Regular

Al menos el 50% de los encuestados opina que el clima laboral en la empresa es de malo a regular. Al menos el 50% de los encuestados opina que el clima laboral en la empresa es de regular a bueno.

4.3. Media: No se puede calcular, ya que las observaciones no son valores numricos.

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Caso 5: Peso de recin nacidos

Calcule la moda, la mediana y la media en los siguientes datos, que corresponden al peso de 12 recin nacidos, en Kg. Peso; 2,340; 3,450; 4,560; 2,350; 1,860; 6,120; 3,570; 3,450; 4,250; 3,580; 2,560; 5,110.

Solucin: 5.1. Mo = 3,450Kg. El peso ms frecuente de encontrar en la muestra es 3,450Kg.

5.2. Mediana: Ordenando los pesos de menor a mayor: 1,860; 2,340; 2,350; 2,560; 3,450; 3,450; 3,570; 3,580; 4,250; 4,560; 5,110: 6,120. Por ser n par, quedan dos valores al centro de la distribucin. Por lo tanto:Me = 3,450 + 3,570 = 3,510 Kg. 2

Esto es: la mitad de los recin nacidos pesan ms de 3,510 Kg.

5.3. Media: Ingresando los datos a la calculadora, resulta:x = 3,600 Kg.

Esto es: el peso promedio de los recin nacidos es de 3,600 Kg.

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Caso 6: Estudio de poblacinSe ha de estudiar la poblacin de una pequea comuna de la novena regin, para lo cual, primeramente se la caracteriza por grupo de edad, rea de residencia y sexo. Poblacin por grupo de edad, rea de residencia y sexo.Grupo de edad (aos) 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 rea urbana hombres mujeres 216 315 412 512 602 418 125 88 189 322 445 485 655 512 221 132 rea rural hombres mujeres 115 98 112 188 145 102 46 24 145 126 135 201 144 155 54 46

Calcule: 6.1. Qu % de la poblacin es rural? 6.2. La proporcin de la poblacin menor de 20 aos. 6.3. El ndice de feminidad en el rea urbana. 6.4. El ndice de masculinidad en la poblacin rural de 40 aos o ms. 6.5. La edad media de los hombres del rea urbana y su desviacin estndar. 6.6. La edad mediana en las mujeres del rea rural. Interprete su valor. 6.7. Qu % representa la poblacin rural de 50 aos o ms, respecto de la poblacin total? 6.8. Calcule la razn urbano/rural en la poblacin total de la comuna. 6.9. Dibuje un grfico de caja de la edad de los hombres rurales. 6.10. Dibuje un histograma porcentuado que muestre la distribucin de mujeres urbanas segn edad. 6.11. Dibuje un grfico que muestre la distribucin de la poblacin segn sexo. 6.12. Qu % de la poblacin tiene menos de 6 aos?

Solucin: Para facilitar la interpretacin de la tabla, se calcularn algunos totales bsicos. Poblacin por grupo de edad, rea de residencia y sexo.Edad (aos) 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 TOTAL URBANA H M 216 189 315 322 412 445 512 485 602 655 418 512 125 221 88 132 2.688 2.961 Total U 405 637 857 997 1.257 930 346 220 5.649 RURAL H 115 98 112 188 145 102 46 24 830 M 145 126 135 201 144 155 54 46 1.006 Total R 260 224 247 389 289 257 100 70 1.836 TOTAL 665 861 1.104 1.386 1.546 1.187 446 290 7.485

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6.1. Qu % de la poblacin es rural? La poblacin total llega a 7.455 personas, de las cuales 1.836 viven en zonas rurales. Llevando a %:P= 1.836 100 = 24,53% 7.485

R: El 24,53% de la poblacin es rural.

6.2. La proporcin de la poblacin menor de 20 aos. Sumando toda la poblacin menor de 20 aos, da 1.526 Llevando a %:P= 1.526 100 = 20,39% 7.485

R: El 20,39%de la poblacin menor de 20 aos.

6.3. El ndice de feminidad en el rea urbana. En el rea urbana hay: Mujeres = 2.961 Hombres = 2.688 El ndice de feminidad es:IF = 2.961 100 = 110,16 mujeres por cada 100 hombres. 2.688

R: En el rea urbana hay 110,16 mujeres por cada 100 hombres.

6.4. El ndice de masculinidad en la poblacin rural de 40 aos o ms. Hombres rurales de 40 aos o ms = 317 Mujeres rurales de 40 aos o ms = 399 El ndice de masculinidad en ese segmento es:IM = 317 100 = 79,45 hombres por cada 100 mujeres. 399

R: En la poblacin rural de 40 aos o ms hay 79,45 hombres por cada 100 mujeres.

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6.5. La edad media de los hombres del rea urbana y su desviacin estndar. Para los efectos, se calcula la marca de clase de cada intervalo. Hombres del rea urbana por grupos de edad (aos).Aos 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Xm 5 15 25 35 45 55 65 75 Casos 216 315 412 512 602 418 125 88 2.688

Ingresando datos a la calculadora: Edad media = 36,77 aos Desviacin estndar = 17,61 aos

6.6. La edad mediana en las mujeres del rea rural. Interprete su valor. Para los efectos, se calcula la frecuencia acumulada. Mujeres del rea rural, segn edad (aos).Aos 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Casos 145 126 135 201 144 155 54 46 1006 Acum. 145 271 406 607 751 906 960 1006

Mediana n/2 = 1.006/2 = 503. La mediana se ubica en el cuarto intervalo.Me = 30 + 10 (503 406) = 34,8 aos 201

El 50% de las mujeres rurales tiene a lo ms 34,8 aos.

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6.7. Qu % representa la poblacin rural de 50 aos o ms, respecto de la poblacin total? Poblacin total = 7.485 Poblacin rural de 50 aos o ms = 427 Llevando a %:P= 427 100 = 5,70% 7.485

R: La poblacin rural de 50 aos o ms representa el 5,70% respecto de la poblacin total.

6.8. Calcule la razn urbano/rural en la poblacin total de la comuna. Poblacin urbana = 5.649 Poblacin Rural = 1.836 Razn Urbana/Rural =5.649 3 1.836

R: En la comuna, hay 3 personas rurales por cada una rural.

6.9. Dibuje un grfico de caja de la edad de los hombres rurales. Para los efectos, se calculan los cuartiles: Hombres rurales, segn edad (aos)Aos 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Casos 115 98 112 188 145 102 46 24 830 Acum 115 213 325 513 658 760 806 830

Cuartil 1 intervalo.

0,25 n = 0,25 830 = 207,5. El cuartil 1 se ubica en el segundo

Q1 = 10 + 10

(207,5 115 ) = 19,4 aos 98

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Mediana

0,5 n = 0,5 830 = 415. La mediana se ubica en el cuarto intervalo.(415 325 ) = 34,8 aos 188

Q1 = 30 + 10

Cuartil 3

0,75 n = 0,75 830 = 622,5. Este cuartil se ubica en el quinto intervalo.(622,5 513) = 47,6 aos 145

Q1 = 40 + 10

Grfico:

6.10. Dibuje un histograma porcentuado que muestre la distribucin de mujeres urbanas segn edad. El histograma requiere los lmites reales de cada intervalo para el eje de las absisas y los % en el eje de las ordenadas. Mujeres urbanas segn edad, en aos.Aos 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Casos 189 322 445 485 655 512 221 132 2.961 100 % 6,4 10,9 15,0 16,4 22,1 17,3 7,5 4,5

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El grfico resultante es el siguiente:

6.11. Dibuje un grfico que muestre la distribucin de la poblacin segn sexo. Total mujeres = 3.967 (53%) Total hombres = 3.518 (47%) Por ser una variable cualitativa, sirve un grfico de barras como el siguiente: Poblacin segn sexo. Sexo Hombres Mujeres Total Casos 3.518 3.967 7.485 % 47 53 100

6.12. Qu % de la poblacin tiene menos de 6 aos? Para realizar este clculo, se aplicar el concepto de percentil. Por eso se requiere una tabla con frecuencia acumuladas: Poblacin comunal, segn edad, en aos.Aos 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 Casos 665 861 1.104 1.386 1.546 1.187 446 290 7.485 Acumulado 665 1526 2630 4016 5562 6749 7195 7485

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La edad de 6 aos se encuentra en el primer intervalo.6=0+ 10 (F 0) 665

La F indica la frecuencia de aquellos que tienen menos de 6 aos. Despejando:10 (F 0) 665 6 665 = 10F 3990 = 10F 3.990 =F 10 6=

F = 399 personas tienen menos de 6 aos.

Llevando a %:P= 399 100 = 5,33% 7.485

R: El 5,33% de esta poblacin tiene menos de 6 aos.

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Caso 7: Dieta para adelgazar

Un estudio consult a una muestra de mujeres mayores de 18 aos de la regin metropolitana si seguan o no alguna dieta para adelgazar. La tabla siguiente muestra los datos obtenidos: Sigue alguna dieta para adelgazar? Mujeres mayores de 18 aos segn siguen o no dieta para adelgazar. Nmero de casos.Respuesta S No No responde N casos 194 297 37

7.1. Calcule la columna de %. Aproxime correctamente a un decimal. 7.2. Construya un grfico que muestre adecuadamente los resultados. Solucin: 7.1. Calcule la columna de %. Aproxime correctamente a un decimal. Se agrega una columna para los % y una fila para los totales. En cada celda de % se calcula el % que representa la frecuencia absoluta respecto del total muestra. En la celda correspondiente al % S, el clculo es:P= 194 100 = 36,7% 528

Para la celda % No, el clculo es: 297 P= 100 = 56,3% 528 Para la celda % No responde, el clculo es: 37 P= 100 = 7,0% 528 Se verifica que la suma es 100% . La tabla queda de la siguiente manera:Sigue alguna dieta para adelgazar? Respuesta S No No responde Total N casos 194 297 37 528 % 36,7 56,3 7,0 100

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7.2. Construya un grfico que muestre adecuadamente los resultados. El grfico adecuado para el tipo de variable es el de barras horizontales o verticales y el grfico circular. En este caso se presenta un grfico de barras verticales.

60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

56,3

Porcentaje (%)

36,7

7,0

S

No

NR

Sigue alguna dieta para adelgazar?

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Caso 8: ndice de Masculinidad

El ndice de Masculinidad (IM) es un indicador demogrfico definido como el nmero de hombres por cada 100 mujeres. El grfico de la figura muestra la evolucin del IM en cierto pas latinoamericano entre los aos 1960 y 2000.

Indique, en funcin de los datos del grfico: F si la afirmacin es falsa, V si es verdadera y N si no es posible determinar su verdad o falsedad a partir de los datos del grfico. 8.1. . . . . . En 1960 haba ms mujeres que hombres. 8.2. . . . . . Entre 1970 y 1980 las mujeres pasan a ser mayora. 8.3. . . . . . En el ao 2000, los hombres representan aproximadamente el 52,6% de la poblacin. 8.4. . . . . . En 1960, aproximadamente el 45,5% de la poblacin es femenina. 8.5. . . . . . Entre 1960 y 1970 disminuy el nmero de hombres en el pas. 8.6. . . . . . Hacia 1970 el 52,4% de la poblacin es masculina. 8.7. . . . . . Entre 1960 y 2000 aument la cantidad de mujeres en el pas.

Solucin: 8.1. . . . . . En 1960 haba ms mujeres que hombres. (F). Segn el grfico, el IM ese ao es 120, lo que indica una proporcin de 120 hombres por cada 100 mujeres. Es decir, mayora hombres. Por lo tanto, la afirmacin es falsa. 8.2. . . . . . Entre 1970 y 1980 las mujeres pasan a ser mayora. (V). Segn el grfico, en esos aos el IM pasa de 110 a 97, lo que indica que la proporcin de hombres, siendo dominante en 1970, pasa a ser minora en 1980. Por lo tanto, la afirmacin es verdadera. 8.3. . . . . . Hacia el ao 2000, los hombres representan aproximadamente el 52,6% de la poblacin. (F) Hacia el ao 2000, el IM indica 90 hombres por cada 100 mujeres. Es decir, los hombres son minora, por lo que no es posible que representen ms del 50%. Por lo tanto, la afirmacin es falsa.

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8.4. . . . . . En 1960, aproximadamente el 45,5% de la poblacin es femenina. (V) En 1960 el IM indica 120 hombres por cada 100 mujeres. Esto es, que de cada 220 personas, 100 son mujeres. 100 Calculando a partir de esto el % de mujeres: 100 = 45,5%. 220 Por lo tanto, la afirmacin es verdadera.

8.5. . . . . . Entre 1960 y 1970 disminuy el nmero de hombres en el pas. (N). Entre 1960 y 1970 lo que baj es la razn entre hombres y mujeres. Esto puede haber ocurrido por: Aumento en la cantidad de mujeres, mantenindose constante la cantidad de hombres Disminucin de la cantidad de hombres, mantenindose constante la cantidad de mujeres Aumento en la cantidad de mujeres y disminucin de la cantidad de hombres Disminucin de hombres y mujeres, con disminucin ms rpida en los primeros Aumento de hombres y mujeres, con aumento ms rpido en las mujeres Por lo tanto, a partir solo del grfico, no se puede precisar qu es lo que ocurri.

8.6. . . . . . Hacia 1970 el 52,4% de la poblacin es masculina. (V) En 1970 el IM es 110, lo que indica 110 hombres por cada 100 mujeres. Esto significa, a la vez, que por cada 210 personas, hay 110 hombres y 100 mujeres. Llevando esto a % de hombres:110 100 = 52,4%. 210

Por lo tanto, la afirmacin es verdadera.

8.7. . . . . . Entre 1960 y 2000 aument la cantidad de mujeres en el pas. (N) Lo que sube o baja es la razn entre hombres y mujeres y no es posible precisar, a partir solo del grfico, cul de las dos cantidades es la que vara o cmo estas lo hacen.

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Caso 9: Enfermedades crnicas en adulto mayor

Se investigan algunos aspectos de la salud del adulto mayor. El siguiente grfico corresponde a la distribucin de una muestra de adulto mayor segn nmero de enfermedades crnicas que reportaron a los investigadores.N de casos32 28 24 20 16 12 8 4 0

N 0 1 2 3 4

Adultos mayores segn N de enfermedades crnicas reportadas

A partir del grfico: 9.1. Calcule el nmero medio de enfermedades crnicas reportadas en la muestra, su desviacin estndar y coeficiente de variacin. 9.2. Calcule el nmero mediano de enfermedades crnicas reportadas en la muestra. 9.3. Calcule el nmero modal de enfermedades crnicas reportadas en la muestra. 9.4. De los que reportaron al menos 1 enfermedad crnica, qu % report ms de 2? 9.5. Calcule la probabilidad de encontrar en esta muestra personas que hayan reportado 2 3 enfermedades crnicas.

Solucin: 9.1. Calcule el nmero medio de enfermedades crnicas reportadas en la muestra. Se llevan los datos del grfico a una tabla de frecuencias: N enfermedades 0 1 2 3 4 Total Llevando los datos a la calculadora, resulta:x = 1,4 enfermedades = 1,23 enfermedades 1,23 100 = 87,9% CV = 1,4

N de casos 28 32 20 12 8 100

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9.2. Calcule el nmero mediano de enfermedades crnicas reportadas en la muestra. Para calcular la mediana, se genera una columna de frecuencias acumuladas: N enfermedades 0 1 2 3 4 Total N de casos 28 32 20 12 8 100 F acum 28 60 80 92 100 -

Por tratarse de una variable discreta, no se aplica la frmula de la mediana para variables en intervalos, sino que se debe usar la definicin de mediana. La mediana es el valor de la variable que est entre el 50 y el 51 valor de la variable. Como desde el valor 29 hasta el 60, x = 1, entonces ese es el valor de la mediana. R: Por lo tanto, el nmero mediano de enfermedades crnicas en el adulto mayor es 1.

9.3. Calcule el nmero modal de enfermedades crnicas reportadas en la muestra. La moda es el valor de la variable con mayor frecuencia. En este caso es x = 1. R: Por lo tanto, el nmero modal de enfermedades crnicas en el adulto mayor es 1.

9.4. De los que reportaron al menos 1 enfermedad crnica, qu % report ms de 2? Reportaron al menos 1 enfermedad crnica: 72 adultos mayores Reportaron ms de 2 enfermedades crnicas: 12 + 8 = 20 adulto mayor. Llevando a %:P= 20 100 = 27,8%. 72

R: De los adultos mayores que reportaron al menos 1 enfermedad crnica, el 27,8% report ms de 2.

9.5. Calcule la probabilidad de encontrar en esta muestra personas que hayan reportado 2 3 enfermedades crnicas. Total de casos: 100 Reportaron 2 3 enfermedades crnicas: 20 + 12 = 32 adulto mayor Aplicando la frmula de Laplace: 32 = 0,32. P= 100 R: la probabilidad de encontrar en esta muestra personas que hayan reportado 2 3 enfermedades crnicas es 0,32.

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Caso 10: Gasto en medicamentosSe realiza un estudio con personas de ambos sexos con enfermedades crnicas, acerca del monto del gasto mensual en medicamentos. El estudio permiti calcular los siguientes estadgrafos, en $miles: Gasto mnimo = M$ 5,8 Gasto mximo = M$ 124,6 Gasto decil 2 = M$ 15,7 Gasto percentil 45 = M$ 38,4 Gasto cuartil 3 = M$ 75,6 Gasto percentil 95 = M$ 115,2 10.1. Construya 5 afirmaciones respecto de la muestra estudiada.

Solucin: 10.1. Afirmaciones Las afirmaciones son enunciados demostrables empricamente. En el contexto del caso, se harn afirmaciones demostrables con los valores de los estadgrafos dados. En primer lugar, con los datos dados es conviene construir un diagrama como el siguiente:

20% 5,8

25%

30%

20%

5% 124,6 M$

15,7

38,4

75,6

115,2

Gasto mensual en medicamentos (M$)

Los valores de la variable en el eje X y los % en cada segmento del grfico, se obtienen de las definiciones de los estadgrafos dados. Por ejemplo, de la definicin del decil 2 = M$15,7 se entiende que el 20% de la muestra gasta mensualmente menos de esa cantidad en medicamentos y el 80%, ms de esa cantidad. Se puede verificar en el grfico el 20% bajo M$15,7 y sobre esa cantidad 25% + 30% + 20% + 5% = 80%. De acuerdo al percentil 45, el 45% gasta a lo ms M$38,4 en medicamentos al mes, porcentaje que en el diagrama corresponde a 20% + 25%. Y as sucesivamente.

Con este diagrama ya es posible construir muchas afirmaciones, tales como las siguientes: El 20% de las personas encuestadas gasta, a lo ms, $15.700 mensuales en medicamentos. El 25% de las personas encuestadas gasta mensualmente entre $15.700 y $38.400 en medicamentos. De las personas estudiadas, el 55% gasta mensualmente entre $15.700 y $75.600 en medicamentos.

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El 55% de las personas de la muestra gasta, al mes, a lo menos, $38.400 en medicamentos. El 50% de los encuestados gasta mensualmente entre $38.400 y $115.200 en medicamentos. El 5% de las personas de la muestra gasta ms de $115.200 en medicamentos al mes. El 20% de los encuestados gasta entre $75.600 y $115.200 al mes en medicamentos. De los encuestados, el 30% gasta entre $38.400 y $75.600 al mes en medicamentos. Etc.

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Caso 11: Concentracin de plomo en la sangre

Un estudio realizado con una muestra de recin nacidos en cierto barrio industrial de Montevideo, arroj el siguiente grfico de la concentracin de plomo en la sangre, medido en microgramos por decilitro de sangre ( g /dl ).

A partir del grfico, determine lo siguiente: 11.1. Calcule el promedio de concentracin de plomo en la sangre en la muestra, su desviacin estndar y coeficiente de variacin. 11.2. Para efectos de dar informacin pblica, se desea determinar la concentracin mxima de plomo en la sangre del 5% inferior y la concentracin mnima del 5% superior de la muestra. 11.3. Calcule la prevalencia de concentracin de plomo en la sangre por sobre 10 g /dl en la muestra.

Solucin: Para los efectos de los clculos solicitados, se trasladarn los datos del grfico a una tabla de frecuencias: Concentracin 13 35 57 79 9 11 11 13 13 15 15 17 Total Xm 2 4 6 8 10 12 14 16 N 7 11 17 15 19 9 5 3 86 F acum 7 18 35 50 69 78 83 86

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11.1. Calcule el promedio de concentracin de plomo en la sangre en la muestra, su desviacin estndar y coeficiente de variacin. Con la columna de marcas de clase (Xm) y sus frecuencias absolutas de la tabla, se ingresan los datos a la calculadora, obteniendo los siguientes resultados:

x = 8,093 8,1 g /dl = 3,556 3,6 g /dlCV=3,556 100 = 43,9 % 8,093

11.2. Para efectos de dar informacin pblica, se desea determinar la concentracin mxima de plomo en la sangre del 5% inferior y la concentracin mnima del 5% superior de la muestra. La concentracin mxima de plomo en la sangre del 5% inferior equivale al percentil 5:

P5 5% de 86 = 4,3. Este percentil se ubica en el primer intervalo de la tabla. P5 = 1 +2 (4,3 0) = 2,2 g /dl . 7

El 5% de la muestra tiene, a lo ms, una concentracin de 2,2 g /dl de plomo en la sangre.

La concentracin mnima de plomo en la sangre del 5% superior equivale al percentil 95:P95 95% de 86 = 81,7. Este percentil se ubica en el intervalo nmero 7 de la tabla.P95 = 13 +2 (81,7 78) = 14,5 g /dl . 5

El 5% de la muestra tiene, a lo menos, una concentracin de 14,5 g /dl de plomo en la sangre. 11.3. Calcule la prevalencia de concentracin de plomo en la sangre por sobre 10 g /dl en la muestra. La prevalencia es el % de la muestra que presenta dicha caracterstica. Para calcular este porcentaje, aplicando el concepto de percentil, se calcular previamente el % que est bajo el valor 10 g /dl .

9+

2 (F 50) = 10; 19

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Donde F es la frecuencia acumulada hasta x = 10 g /dl . Despejando: 2 (F 50) 9+ = 10 19 2 (F 50) = 10 9 19 2 (F 50) =1 19 19 F 50 = 2 19 F= + 50 = 59,5 recin nacidos. 2 Es decir, de un total de 86 recin nacidos de la muestra, 59,5 presentan menos de 10 g /dl de plomo en la sangre. Por lo tanto, los que estn sobre ese valor de plomo son 86 59,5 = 26,5 recin nacidos. Llevando a porcentaje:P= 26,5 100 = 30,8%. 86

R: La prevalencia de concentracin de plomo en la sangre por sobre 10 g /dl en la muestra llega al 30,8% de los recin nacidos.