CAP TUL OV ELABORACIN DEGRFICAS A.Obj eti vos Determi narlai mportanci adelasgrficasenlavisualizacindelai nformaci n. I dentificarlasclasesdegrficasyloscomponentesdelasmi smas. Desarrollardestrezasparaelaborareinterpretargrficas. B.Conteni dos Di agramas Di agramasdebarras Hi stogramas Di agramacircular P ol gonos Cuadradosytringulos Ojivas GrficasdeGantt P i ctogramas P irmides Cartogramas Otrasgrficas. E ntogramas Int r oducci n Lapresentaci ndelasinformacionesobtenidasenencuestas,sepuederealizardeva-riasformas: Textual(enformadetexto) Cuadros. Grficas. Cuandoeli nformesehaceenformatextual,setratadeunapresentaci nsimpleylimita-da,talcomosucedeenlosreportajesoart culosperiod sticos,dondelosdatosaparecen intercaladosconloscomentari osyconlasconcl usi onesderivadasdelasinterpretacionesde losmi smos,enunaformaligeraydescriptiva. E nuninformetextualcompl ementadoconcuadros,estossirvendeayudaallectorpara entenderoampliareltexto.Sinembargo,lautilizacindeltextoycuadrosnoessuficiente paralapresentaci ndeunbueninforme,yaquelalecturadeltextoimplicarunti empo preciosoparaentendertodoelconteni do;ahora,siellectorseremitealoscuadros,encontra-runascifras,queenal gunoscasosnoleaclaranlosuficienteyenotros,noledicenmucho sobreelprobl emaestudiado,deahqueseanecesarioqueelinformevayaacompaadode grficas,nocomosustitutodelasformasanterioresdepresentaci n,sinocomolamejor maneradevisualizarlainformacin. 54CIROMARTNEZBENCARDINO Reg l aspar al a el abor aci n de gr f i cas Laformadelagrficadependeengranpartedelgustodelapersonaquelaelabora;sin embargo,hayciertosprincipiosgeneralesquesedebentenerencuentaenellogrodeuna buenagrfica.I ndicaremosacontinuacin,algunosdelosprincipiosmsaceptados. Lamejorgrficaeslamssimple.Lasl neasys mbolosusados,debenserlosestricta-menteindispensablesparaunamejorvisualizacindelainformacin. Sihaymsdedosgrficas(figuras),debensernumeradas,indicndose:grficaNf i 1; grficaNs 2,yassucesivamente. Todagrficadebellevarunt tuloqueaclaresucontenido.Sedicequedeberesponder alosinterrogantes:qu,cmo,cundoydnde. Laposicindelt tuloenlagrficaseconsideradegustopersonal,deahquealgunos aconsejanquedebesercolocadoenlapartesuperior,y,otros,quedebeestarenla parteinferior. Lasl neasquellevanescalas,debendibujarsemsgruesasquelasdemscoordena-das;asuvez,lasl neasquerepresentanlosdatosolavariabledebensermsgruesas quelasdelasescalas. Lal neavertical,denomi nadaordenada,seutlilizapararepresentarlasfrecuencias,las cualesdebencomenzarencero. Lascaracter sticascualitativasycuantitativas,porlogeneral,vanenlal neahorizontal oabscisa. Lalecturadelaescaladelejehorizontalsehacedeizquierdaaderecha.Lalecturadel ejevertical,debehacersedeabajohaciaarriba. Larepresentacindelfenmenodebevariarsloenunadi mensi n. Entodagrficasedebeexplicarlafuenteendondefueronobtenidoslosdatos;ade-ms,aclararlasescalas,leyendas,notasyconvencionesqueayudenaidentificarlas caracter sticaspresentadas. Lasgrficasdebenserlobastantesencillasparaprocurarunaideaclarayser comprensi bl essinlaayudadelasdescripcionesdeltexto. Losdatosnumricossobrelosquesebasalagrficadebenpresentarseencuadro (tabla)adjunto,sinosonincluidosenlami smagrfica. Lasgrficasdebenseguir,ynuncaprecederalaexposicindeltexto. Cuandola grficapresentamsdeunavariable,deberhacerseunamuyclaradiferen-ciacinpormedi odeleyendas,notasosignosconvencionales. Ti posde gr f i cas Haynumerosostiposdegrficasy, porlogeneral,seclasificanencuatrograndesgrupos, comopuedeverseenlafigura5. 1. Veamosdeteni damentealgunasgrficas,especialmenteaquellasquesonconsideradas comolasmsusuales,sintenerencuentalaclasificacinquesedaenlafigura5.1 Ojivas. Diagramasdefrecuencias. Histogramas. Pol gonos. Diagramasdebarras Diagramacircular Diagramadel neas Cuadradosytringulos P ictogramas Cartogramas GrficasdeGantt P irmides ESTADSTICABSICAAPLICADA 55 Gr f i cas Fi gur a5.1Ti posdegr f i cas rDepuntos [Rectilneas Lineales Diagramas< Curvilneas fRectangulares(barras) _..Triangulares Superficiales^ C u a d r a d o s 3Q t f t f l 22 o t f i re .o re =O)erequeelpromediosearepresentativo,sedandossoluciones:a)utilizarotro diferentealamedia,siendoelmsrecomendablelamediana;b)prescindirde rextremo.Observemoselresultadoutilizadoesteltimoprocedimiento. _Sx,4.335.300 x= -= = 394.118,18 n11 76 CIROMARTNEZBENCARDINO Estevalorde$394. 118, 18comopromedio,esmuchomsrepresentativoqueelde $427. 191, 67. Enelejercicio2,veremosotrasituacinquenosharcomprenderporqulamediano debeseraceptadasi emprecomolamssignificativa,mientrasnosehagaunainspeccin sobreelcomportami entodelavariable. E j e r c i c i o2.Consi deremoslasutilidadesyprdidasdeunalmacnpordepartamentos(ver tabla6.2). Siexami namossol amentelospromedios,llegamosalaconclusindequeelpromedi ode beneficioobtenidopordepartamentosemantiene,deunaoaotro,peronosocultalos cambi osquesehanproducidoenlosdepartamentosdondehahabidoundesplazamientode losbeneficios,ylapoblacinrealen1999esmuydiferenteencomparaci nconlaquese observenalgunosdepartamentosen1997. Tabl a6.2 Di st r i buci ndeut i l i dadesypr di das UTILIDADES (+) Y PERDIDAS(-) DEPARTAMENTOS (ENMILLONESDE $) 19971999 Cal zado-10+20 Electrodomsticos+ 153+58 J ugueter a-40-20 Mi scel neas-13+10 Ropa+130+152 Medi a( x )(P romedio)+44+44 Lafrmuladadaparacalcularlamediaaritmticasimplela vamosautilizarcomoejercicio deaplicacinconlosdatosdelastablas4.9y4.13,(Verenpp. 40y43)correspondientesa observacionesnoagrupadasdevariablesdiscretaycontinua,respectivamente. Enlavariablediscreta,lamediaaritmticaser: _I x,2+ 1 + 1+ 0+ ...+ 2_59-* x= = = x= = 1,966x= 1,97 n3030 yenlavariablecontinua,elresultadoobtenidoalaplicarlami smafrmula,ser: _48+ 56+ 60+ ...+ 672.039 C 7 0 C _ x= = = 67,966 3030 Lafrmulautilizadahastaelmomentoparacalcularlamediaaritmticatansloesaplicable cuandosetratadetrminossimplesodatosnoagrupados.Generalmenteestaformadepre-sentacinydeclculosedacuandoelnmerodeobservacionesespequeo. Mediaaritmticaponderada Cuandoelnmerodeobservacionesesgrande,lasoperacionesparacalcularlamedi a aritmticasesimplificansiagrupamoslosdatosenunatabladefrecuencias. Ej e r c i c i o3.Supongamosquesetienen10observaci ones. ESTADSTICABSICAAPLICADA77 Tabl a6.3 Dat osor i gi nal es 2642684 Lamedi aaritmticadeesos10valoresser: _I x,2+6 + 4 +. . . + 648 x= -= n 4,8 1010 Silos10valoresanterioreslosordenamosdemenoramayoryluegolossumamos,se obtendrelmi smoresultado. 2+ 2+ 4+ 4+ 4+ 6+ 6+ 6+ 6 +848 x= = = 4,8 1010 Lasumaanteriorsepodrabreviarenlasiguienteforma: _2(2)+ 4(3)+ 6(4)+ 8(1)4+ 12+ 24+ 848. _ X===4,8 101010 Seobservarque2,4,6,8sonlosvaloresquetomalavariable,yque2,3,4,y1 sonsus respectivasfrecuenciasabsolutas. Cal cul emoslamediaaritmticadelosdatosanteriores,peroordenadosenunatablade frecuencias y, n y, n , 224 4312 6424 818 I1048 yf nt+ y2 n2+ y3 n3+ y4 n44+ 12+ 24+ 848 1010 4,8 _Iy r\,48 y= 7 11= = 4,8 n10 Ej er c i c i o4.Apl i quemoslafrmulaparacalcularlamedi aponderada(enunavariable discreta,conlosdatosdela tabla4.12)conla cualyahab amoscalculadolamediaaritmtica simple. Tabl a4.12Var i abl edi sc r et a. y, niVi n 030 166 21224 3721 428 I3059 y n i 59 30 1966 Losresultadosobtenidosalaplicarlafrmula,tantoparadatosnoagrupadoscomopara osagrupados,enunavariablediscretadebenserexactamenteiguales. 78CIROMARTNEZBENCARDINO Enlavariablecontinua,alaplicarla frmulaenelclculodelamediaaritmticacondatos agrupados,sedebertrabajarconlasmarcasdeclase. Elresultadoobtenido,porlogeneral,noesigualalobtenidoparadatossinagrupar. Ellosedebealaprdidadeinformacinquesepresentaalagruparlosdatoseninterva-los,asporejemplo,lostresvalores(tabla4.13)x,= 48;x5= 47yx2 5= 52quedan incluidosenelprimerintervalo46,1-54delatabla4.15;luegoalcalcularlamedi asehar conlasmarcasdeclase,siendo50elvalorquerepresentaralastresobservacionesdex, queseencuentranenelprimerintervalo.Comparemoselresultadodelatabla4.13dondela mediafue67,966,coneldelatabla4.15. E j e r c i c i o5 Tabl a4.15Var i abl ec ont i nua y n. i y, n , 46,1- 54503150 54,1- 62586348 62,1- 706610660 70,1- 78746444 78,1- 86823246 86,1- 94902180 I- 302.028 S yjn n _2.028 y= = 67,6 30 Seobservarquelosresultadossondiferentes.Enelprimerodio67,97yahora67,6. Enunavariablecontinua,cuandolosvaloresextremosnoestndefinidosylasfrecuen-ciascorrespondientesadichosintervalostienenciertaimportanciadentrodeladistribucin, esmejoraplicarunpromediodiferentealamedia.Ahora,sidichasfrecuenciascarecende pesooimportanciadentrodeladistribucin,sepodrcalcularlamedia,prescindiendopara ellodelosintervalosextremosydelasrespectivasfrecuencias. E j e r c i c i o6 Tabl a6.3Var i abl ec ont i nua y;.,-y;n. y, n. menor o iguala 83 - - -8,1- 12101010100 12,1- 20181618288 20,1- 3014. 2514350 msde305 - - -I50- 42738 -738 y= = 17,57 y42 Clculodelamediautilizandofrecuenciasrelativas Recordandoquen,= sepodrobtenerotrafrmulaparacalcularlamediaaritmtica, utilizandoparaellolasfrecuenciasrelativas.Setieneque v=M=y,n, +yg n2 + . . . +ymnm s e n j 0 . ESTADSTICABSICAAPLICADA 79 nnnn y= y, h,+ y2 h?+ y3 h3+ ...+ y m h mdonde:y =I y , h , Ej e r c i c i o7.Aplicamosla frmulaanterioralosdatosdelastablas4.12y4.15,observando quelosresultadossonexactamenteigualesalosobtenidosal calcularla mediaponderada.Las pequeasdiferenciasquesepuedenpresentarenlosresultados,sedebenalasaproximacio-nesquehacemosalcalcularlasfrecuenciasrelativas,ytrabajarcondosdecimales. Tabl a4.12Var i abl edi s c r et a y, h yh 00,100 10,200,20 20,400,80 30,230,69 40,070,28 1,001,97 Tabl a4.15Var i abl ec ont i nua y-y'h y,y,h 46,1-540,10505,00 54,1-620,205811,60 62,1-700,336621,78 70,1- 780,207414,80 78,1- 860,10828,20 86,1- 940,07906,30 I1,00- 67,68 y= - y. n, y= 67,68 Desviaciones Antesdeexplicarlosmtodosabreviadosutilizadosparacalcularlamedia,veamosqu sonlasdesviacionesycmoseusan. Lasdesviacionessonlasdiferenciasquesepresentanentrelosvaloresquetomala variable,yaseaxoy;yunvalorconstante,elquepuedeserlamediaaritmticaoun origendetrabajo. EsteltimosesimbolizaporO,ycorrespondeaunvalorcualquiera,seleccionadoarbi-trariamenteyquepuedeestarlocalizadodentroofueradelrangoorecorrido. Seconsiderantresclasesdedesviaciones: a)Desviacionesrespectoalamedia.SesimbolizaporZysedefinecomolasdiferen-ciasquehayentrecadavalorquetomalavariableysumediaaritmtica. Zj= x-x(paradatosnoagrupados)Z= y,-y(paradatosagrupados) E j e r c i c i o8.Utilicemoslosdatosdelastablas4.12y4.15paracalcularlasdiferentes clasesdedesviaciones.Enprimerlugarobtengamoslosvaloresparalasdesviacionesres-pectoalamedi aZ,= y,-y. 80CIROMARTNEZBENCARDINO Tabl a4.12Var i abl edi s c r et a Vin i yn Z.= y.-y 030-1,97 166-0,97 212240,03 37211,03 4282,03 I3059-y, n, n 59 30 1,97 Z|-y,-y Z,= y,-y=0 -|97=-1,97 Z 2 =y 2 -y=1-1,97=-0,97 z 3 =y3z4=y4 z 5=v5y=2 -1,97 =0,03 y=3 -1,97 =1,03 y=4 -1,97 =2,03 Tabl a4.15Var i abl econt i nua y*M-y;y.n Vi n z,= y-y 46,1-54503150-17,6 54,1-62586348-9,6 62,1-706610660-1,6 70,1-787464446,4 78,1-8682324614,4 86,1-9490218022,4 S y n,2.028 30 67,6 Zi= y-y Z,=50 -67,6 = -17,6 Z2=58 -67,6 = -9,6 Z3=66 -67,6 =-1,6 Z4=74 Z5=82 Z6=90 67,6= 6,4 67,6= 14,4 67,6= 22,4 Enlavariablecontinua,elclculodeZ, sedebehacerconlasmarcasdeclase.Veamos ahoraelclculodelasdesviacionesrespectoalamediaendatosnoagrupados. E j er c i c i o9 Supongamosquen= 10,cuyosvaloresson: 4 6 2464 6286 z , = x, -x=2--4,8=-2,8 = x3-x=4 -4,8=-0,8 = x5-x=6 -4, 8= 1,2 z= x7-x=4 -4, 8=-0,8 z5 = x9-x=4 -4, 8=-0,8 X= I x , 48 ==4,8 10 Z2 = x2x=6 -4,8 x=2 -4,8 x=8 -4.8 1,2 2,8 3.2 T0 6-4,8 = 1,2 =6 -4.8 =1,2 EndatosnoagrupadoslaZ z = I>(x,-x) = 0,encambi oparadatosagrupados,porlo general,esdiferenteacero.Endatosagrupadoslasumadelasdesviacionesconrespectoa ESTADSTICABSICAAPLICADA5' lamediaserigualacero,cuandoladistribucinessimtricaocuandocadaZ/estmultipli-cadaporsurespectivafrecuencianrI Z ( n ,= I ( y,-y)n,= 0 b)Desviacionesrespectoaunorigendetrabajo.SesimbolizaporZ' yseleecomoZeta primasubi. Esdegranaplicacinenelclculodelamediaaritmticacondatospresentados entablasdefrecuencias. E j e r c i c i o10.Consi deremos,arbitrariamente,algunosvaloresparaOtycal cul emoslas respectivasdesviacionesZ!paralasvariablesdiscretaycontinua,dadasenlastablas4.12 y4.15. Tabl a4.12Var i abl edi s c r et a y, 0, - 2Of - 4ot =oOt =20 y, z:z: i z:Z i 0-2-40-20 1-1-31-19 20-22-18 31-13-17 4204-16 z| =y -o Consi derandoOt= 2setendrque: z o. o. o 0-1-2-2=2=2=O, O, 3 -2 4 -2 Tabl a4.15Var i abl ec o nt i nua y-i-y; y 0, = 74O( =50O( =900, = 68O,= 30 y-i-y; y z: i z:z: i z:z: i 46, 1-5450-240-40-1820 54, 1-6258-168-32-10*28 62.1-7066-816-24-236 70.1-7874024-16644 78, 1- 8682832-81452 86, 1-9490164C02260 y, - o, Enla variablecontinua,elprocedimientodecalcularlasZ\selmi smoqueelut i l i zadoenl a var i abl edi sc r et a,per oset r abaj ac o nl asmar c asdec l ase. c)Desviacionesrespectoaunorigendetrabajotomadasenunidadesdeintervalos.Se simbolizaporz "yesiguala: Seaplicanicamenteenlavariablecontinuayenespecialcuandolaamplitudenlosinter-valosesconstante. VeamoscmosecalculaZ" (teniendoparaellolosdatosdelatabla4.15). 82CIROMARTNEZBENCARDINO Tabl a4.15Var i abl econt i nua y|-i-y.' yi Ot = 74O,= 50Ot = 90Ot =68Ot = 30 y|-i-y.' yi z: i Z'z: i Z'z:Z"Z" z: 46,1- 5450-24-300-40-5-2,252,5 54,1- 6258-16-281-32-4-1,253,5 62,1-7066-8-1162-24-3-0,254,5 70,1- 787400243-16-20,755,5 78,1- 868281324-8-11,756,5 86,1- 9490162405002,757,5 I- - - - - - - - -Sedijoanteriormentequeelorigendetrabajoesunvalorarbitrario,quepuedeestar localizadodentroofueradelrecorrido,sinembargoesaconsejabletomarunvalorqueapa-rezcaenlacol umnadelasmarcasdeclase(y),siendopreferibleseleccionarcomotalal valorcentraldelavariable,conelfindesimplificarlasoperacionesenelclculodelamedia, comosevermsadelante Enlatabla4.15deacuerdoaloanteriorespreferibletomarcomoorigendetrabajoa66 oa74. Porotraparte,sepodrobservarqueZ'tomaelvalor0,al frentedelorigendetrabajo,y apartirdelsetendr- 1, - 2,-3,...haciaarribay1,2,3...haciaabajodela tabla.Si empreque laamplitudseaconstantesetendrenZ," unadiferenciade1entrecadadesviacin. Mtodosindirectos Sonaplicadosendistribucionesdefrecuencias(datosagrupados),cuandolasvariables tomanvaloresgrandesquehacenengorrosoelclculodelamedia,facilitandoelclculocon operacionesmssencillas. . a)Pr i mermt o d oab r ev i ad o .I mplicalautilizacindeZ.'(desviacionesrespectoaun origendetrabajo),dedondededuci moslafrmulaparaestemtododeclculo: Sabi endoqueZ;= y(-O,luegodespejandoayjsetendrque:y= O,+ Z Elprocesoqueacontinuacinsesigue,consisteenmultiplicaray,porntluegosele anteponeadichoproductoelsignodelasumatoria,ylodividimosporn\lr esul t adoobt eni do c or r esponder al af r mul apar aelprimermtodoabreviado,el queserutilizadoenelclcu-lodelamediaaritmticaponderada.Veamoseldesarrolloanterior: a)Multiplicamospora :y n= O, n+ Z,n b)AnteponemoselsignoI :l y,n,= O,En,+ I Zn l y. n,En,EZrv c)Dividimosporn:= u,+' vnnn Siendoy= O,+ i !frmulacorrespondientealprimermtodoabreviado. Tambinsepuedepresentarla anteriorfrmulaenla siguienteforma:y= 0 {+ESTADSTICABSICAAPLICADA83 b)S egundomtodoabrevi ado.Seaplicaexclusivamentecuandolavariableesconti-nua,ylaamplitudesconstante.EstemtodorequierelautilizacindeZ'laquese puedeobtenerdirectamentepartiendodecero(alfrentedeO)odividiendoaZ!porel valordelaamplitud(C). Z y.-o. C1c siendoZj= CZ",reempl azamosenlafrmulautilizada,paracalcularlamedi aporel primermtodoabreviado: ICZ"n. y= Ot+ '-IZ' n. y= ot +c'-tambin,y= O,+ C MrE j e r c i c i o11.Elcmputodelamedia,aplicandolosdosmtodosabreviadosanteriores, seharutilizandolosdatosdelatabla4.15. Tabl a4.15 a)O f - >b)O y,n i z:z:n,ZiZ," ni 503-8-24-3-9 5860-2-12 6610880-1-10 74616960 - 3 1 ^ " " " 823247213 902326424 I30- 288- -24 y =o, SZi ri i 288 y=58+ = 58+ 9,60= 67,60 30 O.+C IZ"n y= 74 +8 - 24 30 74 192 30 = 74-6,4= 67,60 Desardelarecomendaci ndeconsiderarcomoorigendetrabajoalvalorcentraldela 'le,sehatomadounvalorquenoestubicadoeneselugar,parademostrarquese eelmi smoresultadotrabajandoconcualquiervalorcomoorigendetrabajo.Adems, el productodela frecuenciaporsudesviacin,enelorigendetrabajo,suresultadoser icero,dichoespacioloutilizamosparaanotarlassemi - sumasdelosvaloresnegativos tivos. Propiedadesdelamedia Dadaalimportanciaquetieneelclculodelamediaaritmticaysufrecuenteuso,con-detenernosaconsideraralgunasdesuspropiedades. Primerapropiedad:Lasumadelasdesviacionesrespectoalamediaaritmticaesigual 84CIROMARTNEZBENCARDINO a)EndatosnoagrupadosuoriginalessetienequeI Z = 0 IZ,= I( x, - x)= I x,- I x= I x,-nx -Ex Siendo: x=-JJ-;nx=I x ,reemplazando,setendrnx- nx= 0siendoigual aconsiderar:I x,-I x,=0 b)Entablasdefrecuencias,lasdesviacionesconrespectoala mediadebernponderarse, esdecir,multiplicadasporsusrespectivasfrecuenciasabsolutas.Endistribucionessi-mtricasnohaynecesidaddeponderarlasdesviacionesparaquelasumaseacero. IZ n= I(y -y)n- 2 y, n,-yIn= Iy n-yn Siendoy=sy.n, se tendrqueyn= Synreemplazando,se obtienequeZ y ^- E y ^ = 0 E j e r c i c i o12.Lossueldosde5personasenunal macnson: $382.000,365. 000,358.000, 375. 000y380.000.Calcularlasdesviacionesrespectoalamedia. So l u c i n : 382. 000 365. 000 358. 000 375. 000 380. 000 1.860.000 x=n 1.860.000 x= 372.000 10.000 -7.000 14.000 3.000 8.000 I Z =0 E j e r c i c i o13.Lossueldosde20personasquetrabajanenunal macn,sepresentana continuacinenunatabladefrecuencias.Calcularlasdesviacionesrespectoalamedia. So l u c i n : y n Y i n i Zn, 352. 0002704. 000-18.800-37.600 360. 00031.080.000-10.800-32.400 368. 00051.840.000-2.800-14.000 376. 00062.256.0005.20031.200 384. 00041.536.00013.20052.800 I207.416.000- 0 y= u - i=n y= 370.800 I Z;n;7.416.000 20 0 Segundapropiedad:Lamediaaritmticadeunaconstante,esigualalaconstante. SetienequeM, I x, = x; siendoxlavariable. Ahora,considerandoaKcomoconstante,reempl azamos: I KnK K(endatosnoagrupados) ESTADSTICABSICAAPLICADA 85 M I K n ,r m, i = K " n i = K r m, i = K nnn K(endatosagrupados) Estapropi edadsepuedecomprenderfcilmente.Sinembargo,veamosunejemplo. Ej e r c i c i o14.Enlaconstruccindeunedificiosecontrataron20obrerosconunsueldo de$362. 000mensual escadauno;lamediaaritmticasimpleseobtendr asumandoveinte veceslos$362. 000yeltotalresultante,sedividirporveinte,siendoelpromedi oiguala $362. 000. Tercerapropiedad:Lamediadelproductodeunaconstanteporunavariable,esiguala multiplicaralaconstanteporlamediadelavariable. M I K X; [k. = K I x, = Kx(endatosnoagrupados) M.M M . = K M In ly,n Ky(endatosagrupados) Ej e r c i c i o15.Enuninventariorealizadoenlabodegadeunal macn,seencontraron200 art culosquefueroni mportadosadiferentesprecios(datosendlares).(Vertabla6.5). Tabl a6.5 y, n y, n , 20, 520410 32, 030960 48, 6502.430 50,0603.000 60, 4402.416 I2009.216 y=y =sy.n, n 9.216 200 46,08 Elpreciopromedi odelart culoesde US$46, 08. Resultaahora,quesequierehacerelregistrocontabledeesos200art culosenpesos colombianos.Siel tipodecambi oactualfuerade$1.396setendr aqueelpreciopromedi ode esosart culosser a: MK(y)= (1.396)(46,08)= $64.327,68 Unmtodoinnecesario,queseaplicapordesconocimientodelaanteriorfrmula,eselde convertirenpesos,lospreciosendlaresparacadagrupodeart culos.Veamosacontinua-cincomosehubieranefectuadoesasoperaciones. Tabl a6.6 n i y, n , 28. 618, 0020572. 360 44. 672, 00301.340.160 67. 845, 60503.392.280 69. 800, 00604.188.000 84. 318, 40403.372.736 I20012.865.536 y=sy.n, y. 1 2 8 6 5 - 5 3 6.64.327,68 y200 y= 64.327,68 86 CIROMARTNEZBENCARDINO Cuartapropiedad:Lamediaaritmticadeunavariablems(omenos)unaconstante, serigualalamediadelavariable,ms(omenos)laconstante. M [ X , K ]= M [ X ]+ M [ K ]= x+ KM[ X _ K ]= M[ x ]-M[ K ]= x-K E j e r c i c i o16.Unafirmadedicadaalaconstruccincontrata80obreros,ofrecindoles unsalariodiario(vertabla6.7)deacuerdoconlaclasedetrabajoqueejecutan. Tabl a6.7 CLASEDE TRABAJ O y, nj yn P lomeros11.32010113.200 Ayudantes11.38020227. 600 Albailes11.50025287.500 Carpinteros11.600558.000 Electricistas11.700781.900 Pintores11.75013152.750 - -80920. 950 l y , ^ _920.950 n"80 11.511,87 Elpromediodesalariodiarioparaestegrupodeobrerosesde$11.511,87.Resultaque elgerentedelafirmaresuelvereconocerlesunaumentode$1. 000diarios,porlotantoel nuevopromedi oser M [ y t K ]= y+ Ky= 11.511,87+ 1.000= 12.511.87 Sinel conocimientodeestapropiedad,la mediasehubiesecalculadoenla formasiguiente: Tabl a6.8 y, njy n , 12.32010123.200 12.38020247. 600 12.50025312. 500 12.600563.000 12.700788.900 12.75013165.750 I801.000.950 sy.n, n 1.000.950 12.511,87 80 y= 12.511,87 Ej e r c i c i o17.Elsalariomediomensualporobrerodelaempresafuede$278. 000durante 1998.Para1999laempresadaacadaunodesusobreroslasumade$42. 000,admitiendo quelascategor asysalariosnosehanmodificadodesdeentonces Culeselpromedi ode salariomensualen1999? So l u c i nx= 278.000M[ Kt x ]= K+ x K= 42.000M[ k,= 42.000+ 278.000= 320.000 x= $320. 000 Quintapropiedad.Lamediaaritmticadeunamuestradivididaensubmuestras,esigual, alamediaponderadadelassubmuestras,tomandocomoponderacinlostamaosdelas mismas. ESTADSTICABSICAAPLICADA 87 x=n,+n 2+...+n mGeneralizandose tendrquey=oy =yi ni+y2 n 2+. . . + ym nf 1^ +n2+... +nmAhora,si se consideraqueh=,setendr: n x=x,h,+x2h2 + xmhr x= Ix, h, y =zy h, E j e r c i c i o18.Un inversionistatiene1.200 accionesde un precioinferior a $ 3.490,siendo suvalorpromedi ode $ 2.905; adems,800 accionescuyovalorunitarioes superiora $3.490 ysu valorpromedi ode $4.275. Sequiereaveriguarel valorpromediode las 2.000acciones. So l u c i n Unaoperacinmuy comn,peroerrnea,consisteen sumarlos dos promedi osydividir-losentredos. x=2.905+4.2757.180 = 3.590 n22 Lasolucinacertadaesaplicandolaquintapropiedad. __x ^ + x 2 n 2_2.905(1.200)+4.275(800) n1 +n21200+800 3.486.000+3.420.0006.906.000 2.0002.000 3.453 Ej e r c i c i o19.El preciode un centenarde art culoses $1.857,los art culosse dividenen oosgrupos,conmedi as$1.758y$1.978. Cuntosart culoshay en cadagrupo? So l u c i n x=1.857 *i=1758 N = -JOO x2=1978 N I=? n,+n2=100 N 2 =? n,=100-n2x, n,+ x2 n2r\n21.758 n+1.978 n 1857= J8-100 1857(100) =1758 (100 -n j+1978n2185.700=175.800-1.758 n2+1978 n2185.700-175.800=1978 n,-1758 n. 9-900 =220 n2 9.900 n?= =45 2220 n,=100 -45=55 88CIROMARTNEZBENCARDINO Ej e r c i c i o20.Lamedi adelos salariospagadosenunmes alosempleadosde una empresaascendi a$380. 000.Lamediadelossalariospagadosaloshombresyalas mujeresfueron,respectivamente,de$390.000y $373. 000.Determinarlosporcentajesde hombresymujeresempleadosendichaempresa. So l u c i nx=380.000X1 =390.000x2=373.000ht =?h2 =? _x, n.+xn2__ x= ;x=x, h, +x2h2siendo1 =h, +h2;h, =1 -h2reemplazandosetiene 380.000=390.000(1 -h2 ) +373.000 h2380.000=390. 000-390.000h2+373.000h2390.000h2-373.000h2=390.000-380.000 17.000h2=10.000h2= ^jjjj^-0,5882h, =1 -0,5882=0,4118 58, 82%mujeres41, 18%hombres Sextapropiedad:Lamediaaritmticade lasumadedosvariablesquetienenlamisma ponderacinseriguala lasumade lasmediasdedichasvariables. Siexistenn paresde valoresde la variablexy de la variabley, se puedenformarsumas x,+y, I (xl+ y,)n,zxjsM x+ y ix+yj nnn y y ' Lapropiedadanteriorpuedeser aplicadaparala sumaorestade unnmerocualquiera devariables. Sptimapropiedad:Lasumade loscuadradosde lasdesviacionesrespectoa lamedia esmenor,si secomparacondesviacionesrespectoa unorigendetrabajo. (1)2 ^ - 0 , (2)z. =y. -yDela ecuacin(1) retamosla (2) z rz = (y-0t )-(vi- y) z rz =y - y+ y -t z! -z. =y-Otsiendoy- Ot=K se tendrque :z! -z. =K z! =z. +K z.2 =fz. +K)2 zj2 n. =(z.+K)2 n. Sz:2 n. = l (z . +K)2 n. I z | 2 n i = s z ] n \2 Ksz n i + K 2 I IsiendoI z . a -0 I z '2n. =Zz2 n+n K2 ;Por lo tantoSzf n=I z!2 n-nK2I I I I'I I I I Setendrque:I z. 2 n.281521221 31227