Curso de Estadística Básica

Ing. Pablo Jesús Contreras Muñoz

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Objetivo

Conocer y calcular las medidas de tendencia central y medidas de dispersión

Agenda Sesión 2

• Medidas de tendencia central

– Media– Mediana– Moda– Media Armónica– Media Geométrica

• Medidas de dispersión– Rango– Varianza– Desviación

estándar

Estadística descriptivaMedidas de tendencia

central

Medidas de dispersión

Medidas de posición

Tipos de distribución

Medidas de tendencia central

Son valores numéricos que localizan, de alguna manera, el centro de un conjunto de datos. El término promedio a menudo es asociado con todas las medidas de tendencia central.

•Media•Mediana•Moda•Media Armónica•Media Geométrica

Media

Se representa por x (se lee como “x barra” o “ media de la muestra”). Es la suma de todos los valores de la variable x (la suma de valores x se simboliza como Σx) y dividiendo entre el número de estos valores, n. Lo anterior se expresa con una fórmula como:

Media de la muestra: x barra =suma de x

número

x = Σxn

Ejemplo

Un conjunto de datos consta de cinco valores: 6, 3, 8, 6 y 4. Encuentre la media.

Solución

x = Σxn = 6 + 3 + 8 + 6 + 4

5=

275

= 5.4

Media

2 3 4 5 6 7 8

x = 5.4

Centro de gravedad o punto de equilibrio

Mediana

Valor de los datos que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan según su tamaño. Se representa por x (se lee como “x tilde” o “mediana de la muestra”).

Procedimiento para encontrar la mediana

1. Ordene los datos2. Determine la profundidad de la mediana

• La profundidad (número de posiciones a partir de cualquier extremo), o posición, de la mediana se determina con la siguiente fórmula:

• La profundidad (o posición) de la mediana se encuentra al sumar los números de posición de los valores de los datos más pequeños (1) y más grandes (n) y dividir el resultado entre 2. (n es el mismo número que la cantidad de porciones de los datos).

Profundidad de la mediana = número + 12

d( x ) = n + 12

Procedimiento para encontrar la mediana

3. Determine el valor de la mediana. Contar los datos ordenados, localizando el dato que está en la d(x)-ésima posición. La mediana será la misma sin importar a partir de cuál extremo de los datos (máximo o mínimo) ordenados se cuente.

Ejemplo

3 5 6 83

Me = 5

Nota…

• El valor de d(x) es la profundidad de la mediana, NO el valor de la mediana, x. Como se muestra en el anterior ejemplo, cuando n es impar, la profundidad de la mediana, d(x), siempre es un entero. Sin embargo, cuando n es par, la profundidad de la mediana, d(x), siempre es la mitad de un número entero.

Ejemplo Encontrar la mediana de la muestra {9, 6, 7, 9, 10, 8}1. Los datos, ordenados de manera creciente, son 6, 7, 8, 9, 9, 101. Profundidad de la mediana: d(x) = (n+1)/2 = (6+1)/2

= 3.52. Es decir, la mediana está a la mitad entre las porciones

de datos tercera y cuarta. Para encontrar el número situado a la mitad de dos valores cualesquiera, se suman los dos valores y el resultado se divide entre 2. En este caso, se suman el tercer valor (8) y el cuarto valor (9), luego se divide entre 2. La mediana es 8.5. Observe que de nuevo la mediana separa el conjunto de datos ordenados en dos subconjuntos del mismo tamaño.

Me = 8.5

6 7 8 9 109

Moda

Es el valor de x que ocurre más frecuentemente

Nota… Las Cinco medidas de tendencia central

representan Cinco métodos distintos para describir el centro. Estos cuatro valores pueden ser iguales, aunque es más probable que sean diferentes. Para los datos muéstrales 6, 7, 8, 9, 9, 10, la media es 8.2, la mediana es 8.5, la moda es 9

6 7 8 9 109

8.2 8.5 9

Ejercicios1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre:

• La media

• La mediana

• La moda

2. A 15 estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron, 5, 6, 6, 8, 7, 7, 9, 5, 4, 8, 11, 6, 7, 8, 7. Encontrar:

• La media

• La mediana

• La moda

Ejercicios

A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de los 20 reclutas:

a. Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio.

b. Elabore una gráfica de barras para estos datos y localice la media, la mediana, la moda y el rango medio sobre la gráfica.

c. Describa la relación que hay entre los cuatro promedios (semejanza) y qué propiedades muestran los datos por las que dichos promedios son semejantes

25 27 30 33 30 32 30 34 30 2726 25 29 31 31 32 34 32 33 30

Estadística descriptivaMedidas de tendencia

central

Medidas de dispersión

Medidas de posición

Tipos de distribución

Medidas de dispersión

Valores que describen la cantidad de variabilidad que se encuentra entre los datos: datos bastante agrupados poseen valores relativamente pequeños, y datos más dispersos tienen valores más grandes. El agrupamiento más estrecho ocurre cuando los datos carecen de dispersión (ya que todos los datos tienen el mismo valor), para los cuáles la medida de dispersión es cero.

Las medidas de dispersión incluyen:• Rango• Varianza• Desviación Estándar

Rango

• Es la diferencia en valor entre las porciones de datos de mayor valor (Máx) y de menor valor (Mín):

rango = Máx - Mín

Ejemplo

El rango de la muestra 3, 3, 5, 6, 8 es

Máx – Mín = 8 – 3 = 5

3 5 6 83

Rango

Mín Máx

Desviación con respecto a la media Una desviación de la media, x – x, es la

diferencia entre el valor de x y la media x.

x > x Desviación positiva

x < x Desviación negativa

x = x 0

Ejemplo

Considere la muestra 6, 3, 8, 5, 3. Calcular la desviación con respecto a la media de cada valor de la muestra.

x = Σxn

= 5

Datos

Desviación

x

x - x

6 3 8 5 3

1 -2 3 0 -2

Varianza de la muestra

La varianza de la muestra, s2, es la media de las desviaciones al cuadrado, calculada usando como divisor a n-1.

s2 = Σ(x – x)2 n - 1

Donde n es el tamaño de la muestra, es decir, el número de datos que hay en la muestra

Ejercicio

Calcular la varianza para la muestra {6, 3, 8, 5, 3}

Paso 1. Calcula Σx Paso 2. Calcula x Paso 3. Calcula x – x Paso 4. Calcula Σ(x – x)2

Paso 5. Calcula la varianza

Cálculo de la varianza

Paso 1. Encuentre Σx

Paso 2. Encuentre

Paso 3. Encuentre Cada

Paso 4. Encuentre

Paso 5. Varianza de la muestra

6 6 - 5 = 1 (1) * (1) = 1

3 3 - 5 = -2 (-2) * (-2) = 4

8 8 - 5 = 3 (3) * (3) = 9

5 5 - 5 = 0 (0) * (0) = 0

3 3 - 5 = -2 (-2) * (-2) = 4

25 5

nx

x

x xx 2xx

0xx 182xx

5.4

418

1

22

nxx

s

Ejercicio

Calcular la varianza para la muestra {1, 3, 5, 6, 10}

Desviación estándar

2ss • La desviación

estándar de una muestra, s, es la raíz cuadrada positiva de la varianza:

Rango

Varianza

Desviación estándar

Ejercicios

1. Considere la muestra 2, 4, 7, 8, 9. Encuentre:• Rango• Varianza• Desviación estándar

2. Dada la muestra 7, 6, 10, 7, 5, 9, 3, 7, 5, 13. Encuentre:• Varianza• Desviación estándar

Ejercicios.

A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de los 20 reclutas:

• Encuentre el rango• Encuentre la varianza• Encuentre la desviación estándar• Use la gráfica de barras que obtuvo en el anterior ejercicio y trace 1) una recta que represente al rango y 2) una recta que empiece en la media y cuya longitud represente el valor de la desviación estándar• Describa cómo están relacionados la distribución de los datos, el rango y la desviación estándar.

25 27 30 33 30 32 30 34 30 2726 25 29 31 31 32 34 32 33 30