estadistica diapo

ESTADSTICA PARA ADMINISTRADORES Notas De ClaseUNIVERSIDAD DEL NORTE REA DE CIENCIAS BSICAS MATEMTICAS Y ESTADSTICAS LIC. ANTALCIDES OLIVO July 5, 2011

ii

Contenido

cpitulo 4

Variables aleatorias

Pgina 117117 121 125 130 136 140 142 148 148 149 151 153 153 155 156 157 157 161

4.1Introduccin 4.2Variables aleatorias discretas 4.3Variables aleatorias continuas 4.4Distribuciones de probabilidad conjuntas 4.4.1Distribuciones marginales 4.4.2Distribuciones discretas 4.4.3Cambio de variable 4.5Esperanza matemtica o valor esperado 4.5.1Esperanza de una varible discreta 4.5.2Esperanza para una variable continua 4.5.3Propiedades del valor esperado 4.6Varianza 4.6.1Propiedades de la varianza 4.7Covarianza y correlacin 4.7.1Interpretacin geomtrica de la covarianza 4.7.2Interpretacin geomtrica de la correlacin 4.7.3Propiedades Tarea iii

cpitulo 5

Distribuciones

Pgina 183184 184 185 185 187 188 189 192 193 193 194 196 200 200 204 205 209

5.1Algunas distribuciones discretas importantes 5.1.1Distribucin uniforme 5.1.2Distribucin de Bernoulli 5.1.3Distribucin binomial 5.1.4Distribucin geomtrica 5.1.5Distribucin hipergeomtrica 5.1.6Distribuccin de Poisson 5.1.7Distribuccin Multinomial 5.2Algunas distribuciones continuas 5.2.1Distribucin uniforme 5.2.2Distribucin exponencial 5.2.3Distribucin normal o Gaussiana 5.3Distribucin Gamma 5.3.1Propiedades de la funcin Gamma 5.4Distribucin Gamma 5.4.1Propiedades de la funcin Gamma 5.5Problemas

cpitulo

Bibliografa

Pgina 227

iv

Antalcides Olivo B.

Probabilidad y Estadstica

116

4Variables aleatorias4.1 IntroduccinCuando denimos la probabilidad en el axioma 1 del captulo 3 se estableci de la siguiente manera P :A [0, 1] IR A A 1 P (A) 0 Tomamos un elemento de A y le asignamos un nmero, pero esta forma de trabajar a veces diculta la interpretacin del concepto de proba117

Antalcides Olivo B.


bilidad, porque los elememtos de A no son nmeros si no conjuntos, pero que tal si A estuviera formado no por subconjuntos de S, sino por nmeros, entonces consideremos el ejemplo de lanzar tres monedas al aire para mostrar como podriamos hacer esto. En este caso el espacio muestral es S = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss} ahora si denimos una funcin, por decir X tal que a cada evento fundamental le asignamos un nmero de la siguiente forma

De este modo aparece el concepto de variable unidimensional X : S IR e X (e ) = x de acuerdo con el ejemplo anterior se dne la variable X numero de la siguiente forma X : IR X (CCC ) = 3 X (CCS ) = X (CSC ) = X (SCC ) = 2 X (CSS ) = X (SSC ) = X (SCS ) = 1 X (SSS ) = 0 la varible X no recibe el calicativo de aleatoria por el echo de asignarle a un elemento e S un valor nmerico, (por que de echo este valor118

de

caras

Antalcides Olivo B.


fig 4.3

esta denido de forma precisa), sino por el echo de que al realizar el experimento no sabemos que elemento de S puede ocurrir En funcin del espacio del rango RX esta funcin puede ser clasicada como Variable aleatoria discreta . Si toma un nmero nito o numerable de valores, por ejemplo X : IN Variable aleatoria continua. Si toma un nmero de valores no numerables, por ejemplo X : IR Denicin 4.1 Si E es un experimento que tiene como espacio muestral a S, y X es una funcin que le asigna un nmero real X (e ) a todo resultado e S, entonces X se llama variable aleatoria

Denicin 4.2 Si S es el espacio muestral de un experimento E y una variable aleatoria X con rango el espacio RX se dene en S, y adems si el A S y B RX , entonces A y B son eventos equivalentes si PX ( B ) = P ( A ) donde A = {e S : X (e ) B}

119

Antalcides Olivo B.


[

fig 4

como indica la 4.1. Denicin 4.3 Si A S y B RX denimos la probabilidad de B como PX = P X 1 (B) = P (A) donde A = {e S : X (e ) B} X (B) = {e S : X (e ) B}1

Nota 4.1 si sobre los elementos de S existe una distribucin de probabilidad, esta se transmite a los valores que toma la variable X. Es decir toda variable aleatoria conserva la estructura probabilstica del experimento aleatorio que describe, es decir si P es la funcin de probabilidad denida sobre S A, esta induce otra funcin PX denida sobre IR, de forma que conserva los valores de las probabilidades PX (X = x ) = P ({e S : X (e ) = x}) PX (X (a, b )) = P ({e S : X (e ) (a, b )}) como indica la 4.1120

Antalcides Olivo B.


$$ ;>DE@

3>$@

33 ;

3>D;%@ ;

,

-

fig 4.4

Espacio probablistico De ahora en adelante denotaremos PX como P pero no se debe confundir con la probabilidad P que denimos en el capitulo 3

4.2 Variables aleatorias discretasDenicin 4.4 Si X es una variable aleatoria discreta, asociamos un nmero f (xi ) = P (X = xi ) como cada resultado xi en RX para i = 1, 2, 3 , n, , donde los nmeros f (xi ) satisfacen 1. f (xi ) 0 para toda i 2.x i =1 f

( xi ) = 1

La funcin f (xi ) se llama funcin de probabilidad o ley de probabilidad de la variable aleatoria, y la coleccin de pares (xi , f (xi )) se llama distribucin de probabilidad de X 3. Dada una variable aleatoria discreta X : S IN , su funcin de probabilidad f se dene de modo que f (xi ) es la probabilidad de que X tome ese valor f : IN xi [0, 1] f (xi ) = P (X = xi )

si xi no es uno de los valores que puede tomar X, entonces f (xi ) = 0121

Antalcides Olivo B.


Denicin 4.5 (Funcin de distribucin) De una variable aleatoria discreta, F que se dene de modo que si xi IR, F (xi ) es igual a la probabilidad de que X tome un valor inferior o igual a xi , es decir, F : IN xi [0, 1] F (xi ) = P (xi X )

Nota 4.2 La funcin de distribucin F, es una funcin no decreciente, es decir. Si x1< x2 = F (x2 ) F (x1 ) Adems, es continua a la derechaxa+

lim F (x ) = F (a)

y F () = lim F (xi ) = 0x

F (+) = lim F (xi ) = 1x+

Ejemplo 4.1 Analicemos el experimento del lanzamiento de la moneda tratado en la introduccin y determinemos f (x ) , F (x ) Presentacin tabular x f (x ) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8

0.35 0.3 0.25 0.2 f 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 x 4 5 6

Funcin de probabilidad122

Antalcides Olivo B.


1

0.8

0.6 F 0.4

0.2 0 1 2 x 3 4 5

Funcin de distribucin Ejemplo 4.2 Supngase que tenemos una variable aleatoria X con una distribucin de probabiliadad dada por la relacin f (x ) =

(n)px (1 p )nx x = 0, 1, 2, ..., n x 0 de otro modo

donde n es un entero positivo y 0 p 1. El ejemplo anterior es un caso pareticular de sta distribucin de probabilidad llamada Binomial Ejemplo 4.3 Supngase que hay 100 artculos de los cuales hay 5 defectuosos. Se toma una muestra de de 4 artculos sin reemplazo Determine la distribucin de probabilidad para los artculos defectuosos Solucin 4.3.1 Si X representa el nmero de artculos defectuosos entonces la probabilidad de que se escojan x artculos defectuosos es f (x ) = P (X = x ) =

(5)(1005) x 4x (100) 4

si x = 0, 1, 2, 3, 4

Ya que los casos posibles seran (100) porque de 100 se escogen 4 y los casos 4 favorables seri (5)(1005), debido a que es una muestra sin reemplazo el x 4x nmero de combinaciones distintas que se pueden formar con x artculos defectuosos para formar una muestra de 5 es (5) y la armacin de que x se van a escoger 5 al azar signica que todas las (1005) son igualmente 4x posibles123

Antalcides Olivo B.


x 0 1 2 3 4

f (x ) 0.805 0.178 0.014 0.003 0.00

0.8

0.6

0.4 f

0.2

0 0 1 2 3 x 4 5 6

Funcin de probabilidad ej 4.3

Ejemplo 4.4 Supngase que una variable aleatoria X tiene una distribucin discreta con la siguiente funcin de probabilidad cx para x = 1, 2, 3, 4, 5 0 en otro caso

f (x ) =

Determine el valor de la constante c124

Antalcides Olivo B.


Solucin 4.4.1 Debido a que f(x) es una funcin de probabilidad entonces5

f (xi ) = 1 =i =1

15c = 1 = 1 c= 15 Nota 4.3 Si la variable X puede tomar un nmero enumerable de valores x1 , x2 , x3 , , entoces se tiene que

f (xi ) =i =1 i =1

P ( X = xi ) = 1

4.3 Variables aleatorias continuas

Cuando tenemos una variable aleatoria continua no tiene sentido realizar una suma de las probabilidades de cada uno de los valores que toma, ya que el conjunto es no enumerable por lo que hay que introducir otro concepto. Sea f : IR IR una funcin llamada funcin de densidad de una variable aleatoria continua, integrable que cumple las propiedades f (x ) 0+

f (x ) dx = 1

adems para todo [a, b ] se tieneb

P (a x b ) =a

f (x ) dx

125

Antalcides Olivo B.


[fig 4.5

Funcin de densidad de f (x ) Nota 4.4 Al observar la 4.3 observamos que P (a x b ) es el rea bajo la curva de f Nota 4.5 Por ser f integrable entonces la la probabilidad en un punto es nula, es decira

P (X = a) = P (a x a) =a

f (x ) dx = 0

Nota 4.6 Debido a lo anterior se tiene que La funcin de densidad no es nica P (a x b ) = P (a < x < b ) P (a x b ) = P (a x < b ) = P (a < x b ) La funcin de distribucin de una variable aleatoria, F, continua se dene de modo que dado x IR, F (x ) es la probabilidad de que X sea mayor o igual que x, es decir F : IR [0, 1] x F (x ) = P (x X ) =x f

(t ) dt

Proposicin 4.1 Dado un intervalo de la forma (a, b ], tenemosb

P (X (a, b ]) =a b

f (x ) dxa

=

f (x ) dx

f (x ) dx

= F (b ) F (a)

126

Antalcides Olivo B.


Figure 4.1: Funcin de distribucin F

Se puede observar que la cantidad F (b ) F (a) representa la masa de probabilidad extendida alo largo del intervalo (a, b ] . Si dividimos esta cantidad por la longitud del intervalo, F (b ) F (a) ba tenemos la masa media de probabilidad por unidad de longitud en (a, b ], es decir, su densidad media de probabilidad, ahora si F (b ) F (a) = F (b ) = f (b ) ba ab lim que es la densidad de probabilidad en el punto b Nota 4.7 Si X es una variable continua la funcin de distribucin F es no decreciente, es decir si x1 < x2 = F (x2 ) F (x1 ) esta funcin es absolutamente convergente y se verica F () = lim F (x ) = 0x

F (+) = lim F (x ) (1)x+

Ejemplo 4.5 Suponga que la f.d.p de una variable aleatoria X es 0 si x 0 f (x ) = 1 (1+x)2 si x > 0

127

Antalcides Olivo B.


Represente gracamente la f.d.p encuentre la f.d y representela grcamente Solucin 4.5.1 Su representacin grca es f (x ) = 01 (1+x )2

si x 0 si x > 0

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-4

-2

0

2

x

4

Grca del ejemplox 1 dt 0 (1+t )2 1 = 1 1+x entonces

Si x > 0 entonces F (x ) = F (x ) =

0 1 1 1+x

si x 0 si x > 0

0.8

0.6

0.4

0.2

-4

-2

0

2

x

4

128

Antalcides Olivo B.


Ejemplo 4.6

Determine la grca de laf.d.p y determinar la f.d

f (x ) =

4 3

1 x3 0 0

si 0 < x < 1 si x1 si 0x

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -4 -2 0 2 4

x

f.d.p de 4 (1 x3 ) 3

Si 0 < x < 1 entonces

1 1 4 4 1 t 3 dt = 1 x x4 F (x ) = 1 3 3 x 3 si x0 4 0 F (x ) = 3 x 1 x4 si 0 < x < 1 3 1 si x1

129

Antalcides Olivo B.


1

0.8

0.6

0.4

0.2

-4

-2

0

2

x

4

f.d del ejemplo 4.6

4.4 Distribuciones de probabilidad conjuntasEn muchas situaciones tratamos problemas donde intervienen ms de una variable alaetoria en forma simultnea, por lo que el objetivo de esta seccin es el de tratar y formular las distribuciones de probabilidad cunjuntas para dos o ms variables aleatorias. Denicin 4.6 si S es el espacio muestral de un experimento E, y X1 , X2 , X3 , , Xk son funciones, cada una de las cuales asignan un nmero real, X1 (x ) , X2 (x ) , X3 (x ) , , Xk (x ) a cada resultado x, designaremos como (X1 , X2 , X3 , , Xk ) el vector k dimensional, el espacio del rango del vector (X1 , X2 , X3 , , Xk ) es el conjuto de todos los valores posibles del vector aleatorio En la mayor parte de esta seccin trataremos el caso bidimensional es decir el vector k dimensional es (X1 , X2 ) Denicin 4.7 Funciones de probabilidad bivariada 1. Caso discreto: para cada resultado x1i , x2j de (X1 , X2 ) , asociamos un nmero f x1i , x2j = P X1 = x1i , X2 = x2j donde f x1i , x2j 0 para todo i I, j J siendo I, J conjuntos de subndices

130

Antalcides Olivo B.


Figure 4.2: vector k-dimensional

y f x1i , x2j = 1iI jJ

Los valores x1i , x2j , f x1i , x2j para todo i I y j J forman la distribucin de probabilidad de (X1 , X2 ) 2. Caso continuo . Si (X1 , X2 ) es un vector aleatorio continuo con espacio del rango, R, en IR2 , entonces f , la funcin de densidad conjunta, tiene las siguientes propiedades f ( x1 , x2 ) 0 ( x1 , x2 ) R yR

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 1

Denicin 4.8 Se dice que n variables aleatorias X1 , X2 , X3 , , Xk ,tiene una distribucin discreta conjunta si el vector aleatorio X = (X1 , X2 , X3 , , Xk ) puede tomar solamente un nmero nito o una sucesin nita de valores distintos posibles(x1 , x2 , x3 , , xk ) en IRk . La funcin de probabilidad cunjunta de X1 , X2 , X3 , , Xk se dene entonces como la funcin f tal que para cualquier punto x = (x1 , x2 , x3 , , xk ) A IRk , f (x ) = P (X = x )131

x A

Antalcides Olivo B.


donde A es cualquier subconjunto de IRk P (x A) =xA

f (x )

Denicin 4.9 Distribuciones continuas. se dice que n varibles aleatorias X1 , X2 , X3 , , Xk tienen una distribucin conjunta continua si existe una funcin no negativa f denida sobre IRk tal que para cualquier subconjunto A IRk P ((X1 , X2 , X3 , , Xk ) A)

=

A

f (x1 , x2 , x3 , , xk ) dx1 dx2 dxk

Denicin 4.10 La f.d conjunta de k variables aleatorias X1 , X2 , X3 , , Xk , se dene como la funcin F cuyo valor en cualquier punto (x1 , x2 , x3 , , xk ) de un espacio k-dimensional IRk est dado por la relacin F (x1 , x2 , x3 , , xk ) = P (X1 x1 , Xk xk ) Nota 4.8 sta f.d satisface todas las propiedades de la f.d univariada. En el caso bivariado. Si X y Y son variables aleatorias con f.d.p conjunta f se tiene quex y

F (x, y ) =

f (u, v ) dudv

Si la disribucin conjunta de X1 , X2 , X3 , , Xk es continua, entonces la f.d.p conjunta f se puede obtener a partir de la f.d conjunta F utilizando la relacin f (x1 , x2 , x3 , , xk ) = k F ( x1 , x2 , x3 , , xk ) x1 x2 xk

para todos los puntos (x1 , x2 , x3 , , xk ) donde exista la derivada. En el caso bivariado f (x, y ) = 2 F (x, y ) xy

(x, y ) donde exista la derivada parcial de 2o orden132

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Figure 4.3: f.d.p del ejemplo 4.7

Ejemplo 4.7 Supngase que la variable aleatoria X puede tomar solamente los valores 1,2,3, y que la variable Y puede tomar solamente los valores 1,2,3,4, donde la f.p conjunta de X e Y es como indica la tabla X|Y 1 2 3 4 1 0.1 0 0.1 0 2 0.3 0 0.1 0.2 3 0 0.2 0 0 determine los valores de P (X 2, Y 2) y P (X = 1) Solucin 4.7.1 Sumandof (x.y ) sobre todos los valores de x 2 y de y 2, se obtiene p (X 2, Y 2) = f (2, 2) + f (2, 3) + f (2, 4) +

+ f (3, 2) + f (3, 3) + f (3, 4) = 0.54

P (X = 1) =y =1

f (1, y ) = 0.2

Ejemplo 4.8 Supngase que la f.d.p conjunta de x e Y es la siguiente f (x, y ) = cx2 y para x2 y 1 0 en otro caso

Determine el valor de la constante c P (X Y )

133

Antalcides Olivo B.


Solucin 4.8.1 Sea el conjunto S de puntos (x, y ) para los que f(x, y ) > 0 est representado en la gura 4.8 . puesto que f (x, y ) = 0 fuera de S, resulta que 1 1 4 f (x, y ) dxdy = cx2 ydydx = c 21 s 1 x2 y como esta integral debe ser 1, entonces c= 21 4

g(a) Ejemplo 4.8 Sea S0 el conjunto donde x y, entonces f (x, y ) dxdy =S0 1 x 0 x2

21 2 3 x ydydx = 4 20

fig 4.8b

Fig(b) Ejemplo 4.8

134

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Ejemplo 4.9 Supngase que X e Y son variables aleatorias que solamente pueden tomar valores en los intervalos 0 X 2, 0 Y 2. Supongase tambin que la f.d. conjunta de X e Y, para todos los valores 0 x 2, 0 y 2, es la siguiente 1 F (x, y ) = xy (x + 2) (4.1) * 16 Solucin 4.9.1 Se determinar primero la Fx de la variable aleatoria X y luego la f.d.p conjunta f de X e Y. El valor de F (x, y ) en cualquier punto (x, y ) del plano xy que nos representa un par de valores posibles de X e Y se puede calcular a partir 4.1, teniendo en cuenta que F (x, y ) = P (X x, Y y ) . Por tanto, si x < 0 o y < 0, entonces F (x, y ) = 0. Si x > 2 o y > 2, entonces F (x, y ) = 1, Si 0 x 2, y 2 entonces F (x, y ) = F (x, 2) y resulta de la ecuacin 4.1 ya que F (x, y ) = 0 si y > 0 1 F (x, y ) = x (x + 2) 8 anlogamente, si 0 y 2, x > 2, entonces 1 F (x, y ) = y (y + 2) 8 La funcin F(x, y ) queda as denida para todo punto del plano xy . Haciendo y , se determina que la f.d de la variable aleatoria X es 0 si x2 Adems, para 0 < x < 2, 0 < y < 2, 2 F (x, y ) 1 = (x + y ) xy 8 Mientras que si x < 0, y < 0, x > 2, y > 2, entonces 2 F (x, y ) =0 xy Por tanto, la f.d.p conjunta de X e Y es f (x, y ) =1 8

(x + y ) si 0 < x < 2, 0 < y < 2 0 en otro caso

135

Antalcides Olivo B.


4.4.1 Distribuciones marginales cuando nos interesa conocer la distribucion por ejemplo de X1 solamente entonces es necesario introducir el concepto de una distribucin llamada marginal En el caso discreto la distribucin marginal para X1 y X2 es f (x1 ) =todo j

f x1i , x2j i = 1, 2, f x1i , x2j j = 1, 2, todo i

f ( x2 ) =

En el caso continuo la distribucin marginal para X1 y X2 es

f ( x1 ) =

f (x1 , x2 ) dx2 f (x1 , x2 ) dx1

f ( x2 ) =

4.4.1.0 Tablas de doble entrada Consideremos una poblacin de n individuos, desde un punto de vista descriptivo, donde cada uno de ellos presenta dos carcteres que representaremos mediante las varibles X e Y donde la variable X tiene k modalidades y la variable Y tiene p modalidades, el probleme ahora es tratar de representar toda la informacin de manera adecuada y fcil de interpretar, por lo que creamos una tabla formada por kp celdas de forma que tenga k las y p columnas, donde la celda que denotaremos con el subndice ij representar el nmero de elementos de la muestra que presentan simultneamente las modalidades xi , yj X|Y x1 x2 . . . xi . . . xk total y1 n11 n21 . . . ni1 . . . nk1 n1 y2 n12 n22 . . . ni2 . . . nk2 n2 .. . n11 .. . yj n1j n2j . . . nij . . . nkj nj .. . .. . yp n1p n2p . . . nip . . . nkp np total n1 n2 . . . ni . . . nk n

136

Antalcides Olivo B.


El nmero de individuos que presentan la modalidad xi es la frecuencia absoluta marginal de xi y se representa ni y evidentemente esp

ni =j =1

nij

de manera analoga se dene la frecuencia absoluta marginal para la modalidad yjk

nj =i =1

nij

El nmero total de elementos esk p

n = n =i =1

ni =j =1 n

nj

ij Llamaremos frecuencia relativa fij = n las frecuencia relativas marginales seran

p

fi =j =1 p

fij =

ni n nj n

fj =j =1

fij =

f = 1 Ejemplo 4.10 Supngase que X e Y tienen la f.p conjunta dada por la tabla del ejemplo 4.7. La f.p marginal fx de X se puede determinar sumando los valores de cada la de esta tabla . De esta manera se obtiene que fx (1) = 0.2 fx (2) = 0.6 fx (3) = 0.2 fx (x ) = 0 para los restantes valores de x Ejemplo 4.11 Supngase que la f.p.d conjunta de X e Y es la descrita en el ejemplo 4.8. Obtenga la f.d.p marginal137

Antalcides Olivo B.


Solucin 4.11.1 Se puede observar en la gura (a) del ej. 4.8 que X no puede tomar ningn valor fuera del intervalo 1 X 1 Por tanto, fx (x ) = 0 para x < 1 o x > 1. Adems, para 1 x 1, se observa en la misma gura que f (x, y ) = 0, a menos que x2 y 1.Por tanto, para 1 x 1

fx (x ) =1 x2

f (x, y ) dy =

21 2 21 2 x ydy = x (1 x ) (1 + x ) x 2 + 1 4 8

Se puede obsservar en la gura (a) del ej. 4.8 que Y no pede tomar ningn valor fuera del intervalo 0 Y 1. Por tanto, fy (y ) = 0 para y < 0 o y > 1. Adems, para 0 y 1, se observa en la misma g. Que y x y.Por tanto, para 0 y 1

fy (y ) =

f (x, y ) dx = y y

=

21 2 7 5/2 x ydx = y 4 2

4.4.1.0 Variables aleatorias independientes Se dice que dos variables aleatorias son independientes si Para A, B IR P (X A, Y B) = P (X A) P (Y B) Es decir si P (x X, y Y ) = P (x X ) P (y Y ) F (x, y ) = Fx (x ) Fy (y ) f (x, y ) = fx (x ) fy (y ) En el caso discreto la independencia nos indicara que X, Y son independientes si fij = fi fj pero cada una de las relaciones siguientes expresa por si sola la independencia nij nj n2j nkj = = = = ni n n2 nk138

Antalcides Olivo B.


Ejemplo 4.12 Supngase que se toman dos medidas independientes X eY de lluvia durante un periodo de tiempo en una localidad y que la f.d.p g de cada medida es la siguiente g (x ) = 2x si 0 0x1 en otro caso

Se determinar el valor de P (X + Y 1) Solucin 4.12.1 Puesto que X e Y son independientes y cada una tiene la f.d.p. g, resulta que para cualquier par de valores x e y la f.d.p. conjuta f(x, y ) de X e Y est dada por la relacin f (x, y ) = g (x ) g (y ) . Por tanto f (x, y ) = 4xy si 0 x 1, 0 y 1 0 en otro caso

El conjunto S del plano xy en el que f (x, y ) > 0 y el subconjunto S0 en el que x + y 1 se encuentra representado en la gura 4.9. Por tanto1 1x

P (X + Y 1) =0 0

4xydydx =

1 6

\

1

0.8

0.6

s0

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

[

Ejemplo 4.9

4.4.2 Distribuciones discretas

139

Antalcides Olivo B.


4.4.2.0 Distribuciones condicionales discretas Sean X e Y dos variables aleatorias que tienen distribucin discreta conjunta cuya f.p. conjunta es f , denimos fx , fy como las f.p marginales de X e Y , respectivamente. Si observamos un valor y de la varible Y , la probabilidad de que la variable aleatoria X tome cualquier valor particular x, est dado por la siguiente probabilidad condicional P (X = x|Y = y ) = P (X = x, Y = y ) P (Y = y ) f (x, y ) = fy (y )

A esta distribucin se le denomina distribucin condicional de X dado Y y se denota f (x|y ) =f (x,y ) fy (y )

si fy (y ) > 0

Analogamente se dene la distribucin de probabilidad condicional de Y dado X f (x,y ) f (y|x ) = si fx (x ) > 0 f (x )x

La funcin de densidad conjunta se dene F (x|y ) = P (x X, Y = y ) para un valor jo de y F (y|x ) = P (y Y , X = x ) Para un valor jo de x X|Y 0 Ejemplo 4.13 Analice la independencia para los datos tabulados 1 2 total 4.4.2.0 Distribuciones condicionales continuas Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad conjunta f (x, y ) y las densidades marginales fx (x ) , fy (y ), respectrivamente . Entonces140

1 (0, 2] 24 6 12 42

3 (2, 4] 4 1 2 7

5 (4, 6] 8 2 4 14

t 3 9 1 6

Antalcides Olivo B.


la densidad condicional de X dado un Y = y jo f (x|y ) = De manera analoga f (y|x ) = f (x,y ) fx ( x ) f (x,y ) f y (y )

0

si fy (y ) > 0 en otro caso

0

si fx (x ) > 0 en otro caso

Ejemplo 4.14 Supongase que la f.p conjunta de X e Y es la dada por la tabla del ejemplo 4.7 . Se determinar la f.p condicional de Y dado X = 2 Solucin 4.14.1 A partir de de la tabla fx (x ) = 0.6. Por tanto la probaf (2,y ) bilidad condicional f(y|x ) = 0.6 Por ejemplo si Y = 1 entonces f(1|2) = 0.5 Ejemplo 4.15 Sea la f.d.p conjunta de X e Y la del ejemplo 4.8 Determinar la f.d.p condicional de Y dado X = x Solucin 4.15.1 El conjunto S para el cual f(x, y ) > 0 se observa en la gura (a) del ejemplo 4.8 . Adems la f.d.p marginal se obtuvo en el ejemplo 4.11 y se representa en la g 4.14 .Se puede observar a partir de esta gura que fx (x ) > 0 para 1 < x < 1, pero no para x = 0. Por tanto, para cualquier valor concreto de x tal que 1 < x < 0 0 < x < 1, la f.d.p condicional f(y|x ) de Y es la siguiente

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-2

-1

0

1 x

2

Fig 4.14141

Antalcides Olivo B.


f (y|x ) = En particular si X=0.5 entonces

2y 1x4

0

si x2 y 1 y>1

P (Y 0.75|X = 0.5) 1 7 = 0.75 f (y|0.5)dy = 15 4.4.3 Cambio de variable

4.4.3.0 Funciones de una variable con una distribucin discreta Sea X una variable aleatoria que tiene una f.p discreta f , y sea Y = h (X ) otra variable aleatoria denida como funcin de X, y sea g la f.p discreta de Y , entonces g se puede obtener a partir de f para cualquier valor y de Y , as g (y ) = P (Y = y ) = P (h (X ) = y ) ={x:h(x )=y}

f (x )

4.4.3.0 Funciones de una variable con una distribucin continua Sea X una variable aleatoria que tiene distribucin continua, con una f.d.p de X f , se dene para otra variable aleatoria Y = h (X ) y para cualquier real y, la f.d G (y ) de Y as G (y ) = P (y Y ) P (y h (X )) ={x:y =h(x )}

f (x ) dx

adems si la variable Y tiene una distribucin continua, su f.d.p se puede obtener dG (y ) g (y ) = dy Lo anterior lo podemos formalizar de la siguiente manera Proposicin 4.2 Sea X una variable aleatoria cualquiera. Si realizamos el cambio de variable Y = h (X ), tenemos una nueva variable aleatoria de142

Antalcides Olivo B.


modo que su f.d.p es f y P(a < x < b ) = 1 y adems supngase que r(x ) es continua y estrictamente creciente o estrictamente decreciente en a < X < b si y slo si < Y < y sea X = h1 (Y ) la funcin inversa de h para < Y < , entonces la f.d.p de g est dada por la relacin g (y ) = f h1 (y ) g (y ) = 0 donde se tiene que 1 dx = dy h (h1 (y )) En el caso que la aplicacin no sea inyectiva, podemos tener para un y dado ciertos x1 , x2 , x3 , , xn tales que f (xi ) = y En este cason dx dy

si

0, (y1 y2 )0.5 < 1, y1 y20.5

< 1}

y1y 2

1

y2 =1 y1

g 4.19 aX1

$

X2

ej 4.19 b147

Antalcides Olivo B.


entonces x1 = h1 (y1 , y2 ) = (y1 , y2 )0.5 1 x2 = h1 (y1 , y2 ) = 2 entonces J= por tanto g (y1 , y2 ) = 2y2 y1 1 y2 0.5 2 y1 0.5 y 1 y2 3 2 1

y1 y2

0.5

1 y1 0.5 2 y2 1 0.5 1 2 y1 y2

=

1 2y1

si

0

(y1 , y2 ) T en otro caso

4.5 Esperanza matemtica o valor esperado

4.5.1 Esperanza de una varible discreta Denicin 4.11 Supngase que una variable aleatoria X tiene una distribucin de probabilidad discreta f. la esperanza matemtica de X, se denota E(X ) y se dene E (X ) =I

xi f (xi )

i I

(*)

Donde I es el conjunto numerable de ndices de los valores que puede tomar la variable Puede de darse el caso de que la serie I xi f (xi ) sea divergente Por lo que en estos casos se dice que la esperanza existe si, y slo si, la suma de la ecuacin (*) es absolutamente convergente es decir si, y slo si, |xi | f (xi ) < I

(**)

Entonces podemos decir que si se cumple (**) E(X ) existe y su valor est dado por la ecuacin (*) y si (**) no se cumple E(X) no existe148

Antalcides Olivo B.


Ejemplo 4.20 A un contratista se le asigna el trabajo de determinar la media de los dias que tarda un trabajador en terminar un trabajador despus de realzar el estudio obtuvo los siguientes datos x 3 4 5 x>5 E (X ) = 3 f(x )1 8 5 8 2 8

0

1 5 2 33 +4 +5 = 8 8 8 8

4.5.2 Esperanza para una variable continua

Denicin 4.12 Sea f(x ) la f.d.p de una variable aleatoria continua, entonces la esperanza matemtica se dene

E (X ) =

xf (x ) dx

Se dice que esta integral existe, siempre que existan nmeros a y b tales que < a < b < y P(a x b ) = 1 en este caso se dice que E(X ) existe Ejemplo 4.21 Supngase que la f.d.p de una variable aleatoria continua es 2 cx si 0 < x < 1 x0 f (x ) = 0 si 0 si x0 Determine su esperanza Solucin 4.21.1 E(X ) =1 3 cx dx 0

= 1c 4

Ejemplo 4.22 Sea la f.d.p de una variable aleatoria continua f (x ) = 1 (1 + x 2 ) si < x <

149

Antalcides Olivo B.


0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -4 -2 0 2 4

x

Distribucin de Cauchy analicemos que

f (x ) dx =

1 dx = 1 (1 + x 2 )

pero

|x| f (x ) dx = 0

x dx = (1 + x 2 )

(+) +

De la grca se observa que la media debera ser cero, pero en la ecuacin (+) observamos que E(X ) no existe, por lo tanto esta distribucin llama da de Cauchy no tiene media

0.15 0.1 0.05 -4 -2 0 -0.05 -0.1 -0.15 2 4

x

xf (x ) 4.5.3 Propiedades del valor esperado

150

Antalcides Olivo B.


Teorema 4.1 Si Y = aX + b donde a y b son constantes entonces E (Y ) = aE (X ) + b donde a y b son constantes Demostracin. Sea X una v.a con f.d.p f continua entonces E (Y ) = E (aX + b ) =

(ax + b ) f (x ) dx = a

xf (x ) dx +

bf (x ) dx =

aE (X ) + b En el caso discreto la demostracin es similar, pero usando sumatoria en vez de integral Teorema 4.2 Si X1 , X2 , X3 , , Xn son variables aleatorias cuyas esperanzas E (Xi ) , i = 1, 2, 3, , n existen, entoncesn

E (X1 + X2 + X3 + + Xn ) =i =1

E (Xi )

Ejemplo 4.23 Sea un experimento de Bernoulli con proporcin de obtener un xito es p,determinar la esperanza al repetir el experimento n veces Solucin 4.23.1 Sea Xi entonces Xi = por tanto P ( Xi = 1 ) = p P ( Xi ) = 0 ) = 1 p entonces E (Xi ) = 1p + 0 (1 p ) = p Si el experimento se repite n veces tenemos que n n E E ( Xi ) = ( Xi ) = i =1 i =1 n

B (esto indica que X es una variable de Bernoulli), 1 si el resultado es xito 0 si no

p = np

i =1

151

Antalcides Olivo B.


Teorema 4.3 Si X1 , X2 , X3 , , Xn son n variables aleatorias independientes cuyas esperanzas E(Xi ) , i = 1, 2, 3, , n existen, entonces E n i =1

Xi =

n

E ( Xi )i =1

Ejemplo 4.24 Sean X1 , X2 , X3 , variables aleatorias independientes tales que 2 E (Xi ) = 2 y E Xi2 = 4 para i = 1, 2, 3, Determine el valor de E X1 (X2 3X3 )

Solucin 4.24.12 2 E X1 (X2 3X3 )2 = E (X1 )E [(X2 3X3 )2 ] 2 2 = 4E X2 6X2 X3 + 9X3

= 4 (4 6 2 2 + 9 4) = 64Proposicin 4.3 Sea X una v.a cuya f.d.p es f, entonces la esperanza de cualquier funcin h(X )se puede determinar asi

E (h (x )) = E (Y ) =

yg (y ) dy =

h (x ) f (x ) dx

Ejemplo 4.25 Determine la esperanza para la X 0.5 si X tiene una f.d.p como lo determina el ejemplo 4.21

Solucin 4.25.1 Del ejemplo 4.21 sabemos que 1 E X 0.5 = 0 x0.5 cx2 dx = 0.285 71c Proposicin 4.4 Sean X1 , X2 , X3 , , Xn variables aleatorias con f.d.p conjunta si existe una relacin tal que Y = h (X1 , X2 , X3 , , Xn ) se tiene que E (Y ) = A h(X1 , , Xn )f (X1 , , Xn )dx1 dxn , A IRn152

Antalcides Olivo B.


4.6 VarianzaDenicin 4.13 Sea X una variable aleatoria con esperanza = E (X ) . la varianza de X se denotar V(X ) o 2 y se dene V (X ) = E [(X E (X ))2 ] V (X ) = V (X ) =

(xi )2 f (xi ) X es discretaiI

(x )2 f (x ) dx X es continua

4.6.1 Propiedades de la varianza Si b es una constante V (b ) = 0 si y solo si P (X = b ) = 1 Demostracin. V(b ) = E [(b E (b ))2 ] = E [(b b )2 ] = 0 Sea X una v.a y sea a, b contantes entonces V (aX + b ) = a2 X Demostracin. V (aX + b ) = E [((aX + b ) E (aX + b ))2 ] = E [((aX + b ) (a + b ))2 ] = E [(aX a)2 ] a2 E [(X )2 ] = a2 V (X ) Para cualquier variable aleatoria X, V (X ) = E X 2 (E (X ))2 Sea X1 , X2 , X3 , , Xn variables aleatorias independientes entonces n n = V V ( Xi ) ( Xi ) i =1 i =1

Ejemplo 4.26 Consideremos una variable aleatoria discreta con funcin de probabilidad c si x = 1, 2, 3, ... f ( x ) = 4x 0 si no Obtener153

Antalcides Olivo B.


1. El valor de la constante c para que f sea una funcin de probabiliad 2. calcular P(X = 3) y P(3 X ) 3. Calculese la esperanza y la varianza Solucin 4.26.1 Luego la f.p es f (x ) = 2. P (X = 3) = 3. E (X ) =3 =3 43 64

1.

c x =1 4x

=

1 1 4

1 4

c=

c 3

= 1 = c = 3

3 4x

0

si x = 1, 2, 3, ... si no3 3 x =1 4x

y P (3 X ) =

= 0.987

3x x = 1 4x

= 4 , V (X ) = 3

4 2 3(x 3 ) 4 =9 x =1 4x

Solucin 4.26.2 Sea X una varable aleatoria con f.d f (x ) = Determinar 1. La media 2. La varianza 1. E (X ) = 2. V (X ) =1 xdx 0

1 si 0 x 1 0 si x > 1, x < 0

=

1 2

1 (x 0.5)2 dx 0

= 8. 333 3 102

Ejemplo 4.27 Determine la varianza para la variable de Bernoulli denida en el ejemplo 4.23 Solucin 4.27.1 tenemos que V(X ) = E X 2 E 2 (X ) por lo que nos que determinar2

E

Xi2

=j =1

2 xj f xj = p

V (Xi ) = p p2 = p (1 p )n

V (Xi ) = npqi =1

154

Antalcides Olivo B.


Proposicin 4.5 Cuando estudiamos tablas de doble entrada podemos determinar las medias y varianzas marginales=m

x=i =1 k

fi xi fj yjj =1 m

=

y=

VX =i =1 k

fi (xi x )2 fj (yj y )2j =1

=

VY =

=

Proposicin 4.6 Cuando estudiamos problemas con tablas de doble entrada podemos establecer las medias y varianzas marginales as=

1 x= n 1 n 1 n 1 n

m

ni xii =1 k

=

y=

nj yjj =1 m i =1 k j =1

VX = VY = .

ni (xi x )2 nj (yj y )2=

=

4.7 Covarianza y correlacin

Denicin 4.14 (Covarianza) Sean X e Y variables aleatorias que tienen 2 2 una distribucin conjunta y adems esperanzas y varianzas X , Y , X , Y155

Antalcides Olivo B.


respectivament . La covarianza de X e Y se denota cov (X, Y ) , y se dene cov (X, Y ) = E [(X X ) (Y Y )]m k

cov (X, Y ) =i =1 j =1

fij xi yj x y

==

2 2 Se dice que esta esperanza existe si X < , Y < La covarianza puede ser negativa, positiva o cero

Denicin 4.15 (Correlacin) Si la cov (X, Y ) existe se denota el coeciente de correlacin (X, Y ) el cual se dene (X, Y ) = cov (X, Y )2 2 X Y 2 2 si Y , X

0

4.7.1 Interpretacin geomtrica de la covarianza

Si consideramos una nube de puntos formados por las parejas de los datos concretos de dos v.a X e Y xi , yj el centro de gravedad de esta nube de puntos es x, y , ahora si trasladamos los ejes de tal forma que este punto sea el centro, la nube queda dividida en cuatro cuadrantes los que indica que los puntos que se encuentran en el pimer y tercer cuadrate contribuyen positivamente al valor de la covarianza y los que se encuentran en los otros dos cuadrantes contribuyen negativamente. como lo indica la gura.a y si los puntos se reparten con igual proporcin la covarianza ser nula como en la g bEv_- + -

= =

+-

Ev

_- - - - -- -

+-

-_

_ +

-

SXY >0

uEj

SXY 5) utilizando la tabla que se encuentra al nal del libro. Sugerencia: Utilcese el hecho de que P (X 5) = P (Y 3), donde Y tiene una distribucin binomial con parmetros n = 8 y p = 0.3. 7. S el 10% de las bolas de una urna son rojas y se selecciona al azar y con reemplazamiento el 20%, cul es la probabilidad de que se obtengan ms de tres bolas rojas?161

Antalcides Olivo B.


8. Supngase que una variable aleatoria X tiene una distribucin discreta con la siguiente f.p.: f (x ) =c x2

para

0

x = 1, 2, , en otro caso

Encuntrese el valor de la constante c. 9. Demustrese que no existe un nmero c tal que la siguiente funcin sea una f.p.: f (x ) =c x

para

0

x = 1, 2, , en otro caso

10. Una variable aleatoria discreta X tiene la funcin de probabilidad: x k 1 para x = 1, 2, 3 2 f (x ) = 0 en otro caso (a) Determine el valor de k. (b) Encuentre la funcin de distribucin acumulativa, F (x ). 11. La variable aleatoria discreta N (N = 0, 1, ...) tiene probabilidades de ocurrencia de kr n (0 < r < 1). Encuentre el valor apropiado de k. 12. El servicio postal requiere, en promedio, 2 dias para entregar una carta en una ciudad. La varianza se estima como .4(d a)2 . Si un ejecutivo desea que el 99 por ciento de sus cartas se entreguen a tiempo, con cunta anticipacin las debe depositar en el correo? 13. Dos agentes de bienes races, A y B, tienen lotes de terrenos que se ofrecen en venta. Las distribuciones de probabilidad de los precios de venta por lote se muestran en la siguiente tabla. Precio 1100 1150 0.1 0.3 0.3 0.3

$ A B

1000 0.2 0.1

1050 0.3 0.1

1200 0.05 0.1

1350 0.05 0.1

Suponiendo que A y B trabajan en forma independiente, calcule162

Antalcides Olivo B.


(a) El precio de venta esperado de A y de B. (b) El precio de venta esperado de A dado que el precio de venta de B es $1,150. (c) La probabilidad de que tanto A como B tengan el mismo precio de venta. 14. Demuestre que la funcin de probabilidad para la suma de los valores obtenidos al lanzar dos dados puede escribirse como f (x ) = x1 36 13x 36

0

si x = 2, 3, , 6 si x = 7, 8, , 12 en otro caso

Determine la media y la varianza de X. 15. Una organizacin de consumidores que evala automviles nuevos reporta regularmente el nmero de defectos importantes en cada automvil examinado. Detonemos por X el nmero de defectos importantes en un automvil seleccionado al azar de un cierto tipo. La f.d de X es como sigue F (x ) = 0 0.06 0.19 0.39 0.67 0.92 0.97 1 si si si si si si si si x0

(5.9)

1 0.5 0.8 0.4 0.6 0.3 0.2 0.1 0.4

0.2

0

2

4

6

x8

10

12

14

0

2

4

6

x8

10

12

14

f .d.p de la Gamma

f .d.a de la Gamma

que es la suma de los trminos de Poisson con media x con lo que nos queda que podemos utilizar la distribucin de Poisson para calcular la distribucin Gamma f (y ) haciendo y = x, = 1 Ejemplo 5.15 Sea X una variable aleatoria tal que X 1 1 , , esta 2 variable se puede representar con una Gamma haciendo = 1, = 1 Exp

Ejemplo 5.16 Un sistema de control opera como muestra la gura . al principio la unidad 1 est en lnea, en tanto que las unidades 2 , 3 y 4 estn en espera. Cuando la unidad 1 falla entra en funcionamiento la unidad 2 hasta que falla y entonces se activara la unidad 3, cuando esta falla entre en funcionamiento la unidad 4 el interruptor de decisin se supone perfecto,202

Antalcides Olivo B.


por lo que la vida del sistema puede representarse como la suma de las vidas de los subsistemas. As X = X1 + X2 + X3 + X4 . Si la vidas de los subsistemas son independientes entre s, y cada subsistema tiene una vida Xj, j = 1, 2, 3, 4, con f .d.p xj 1 e 1000 g xj = 1000 0 xj 0 xj < 0 (5.10)

Calcule la probabilidad de que el sistema operar al menos x horas Solucin. Entonces X tendr una f .d.p Gamma con = 4 y = 0.0011 de acuerdo con el teorema5.5 y el ejemplo anterior, decir 0.001 (0.001x )3 e0.01x x > 0 f (x ) = 3! (5.11) 0 x0 por lo que nos queda3

P ( > x ) =k =0

e.0.001x (0.001x )k /k!unidad 1

(5.12)

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 4

Ejemplo 5.17 Suponga que el tiempo de reaccin X a cierto estmulo en un individuo seleccionado al azar tiene una distribucin estndar ( = 1) con = 2s calcular la probabilidad de que el tiempo de reaccin sea mayor de 4 Solucin entonces tenemos que1

P (X > 4) =k =0

e4 (4)k = 5e4 = 9. 157 8 102 k!

(5.13)

203

Antalcides Olivo B.


Ejercicios 1 Suponga que el tiempo X de supervivencia en semanas, de un ratn macho seleccionado al azar y expuesto a 240 rads de radiacin gamma, tiene una distribucin Gamma con = 8 y = 15. El tiempo esperado de supervivencia es E (X ) = (8) (15) = 120 semanas y la varianza es V (X ) = (8) (15)2 semanas2 . Cul es la probabilidad de que un ratn sobreviva entre 60 y 120 semanas Solucin tenemos que calcular P (60 < X < 120) = P (X < 120) P (X < 60)7

=k =0

e(120/15) (120/15)k + k!

7 k =0

e(60/15) (60/15)k = 0.495 91 k! (5.14)

Ejercicios 2 para una distribucin gamma con = 2 y =

v , donde v es 2 un entero positivo est distribucin as denida se le denomina chi-cuadrada y se denota 2 , y su f .d.p es v x2 1 1 x2 e 2 x > 0 f X2 = v v (5.15) 2 2 2 0 x0

0.2

1

0.8 0.15 0.6 0.1 0.4 0.05

0.2

0

5

10

u

15

20

25

0

5

10

x

15

20

25

5.4 Distribucin GammaMuchos problemas de estadstica se resuelven con la distribucin Normal como estudiaremos a partir del prximo captulo, pero en ocasiones los problemas nos indican que la distribucin de la variable de204

Antalcides Olivo B.


inters no es acampanada y simtrica , por lo que tenemos que usar distribuciones sesgadas y estas son precisamente las familias de distribuciones Gamma y Beta. Antes de denir la distribucin Gamma deniremos una funcin muy utilizada en matemticas llamada funcin Gamma y de la cual la distribucin Gamma toma su nombre. Denicin 5.7 (Funcin Gamma) Para cualquier positivo , el valor ( ) se dene por la integral

( ) =0

x1 ex dx,

(5.16)

se puede demostrar que esta integral existe para cualquier > 0 5.4.1 Propiedades de la funcin Gamma Teorema 5.4 Si > 1, entonces ( ) = ( 1) ( 1) Lema 5.3 Si n es un entero positivo se tiene que (n) = (n 1)! , n + n 1 2 n 3 2 n 5 1 1 2 2 2 1 = 2

Lema 5.4

1 = 2

Denicin 5.8 (Distribucin Gamma) Sea X una variable aleatoria continua se dice que tiene una distribucin Gamma Si su f .d.p es 1 x x e para x > 0 f (x ) = ( ) (5.17) 0 para x 0 Calculemos la esperanza y la varianza de XAntes de seguir con esta distribucin deniremos una funcin llamada generadora de momentos Denicin 5.9 Sea X una variable aleatoria la funcin generadora de momentos se dene (t ) = E etX , para cada real t (5.18)

205

Antalcides Olivo B.


resulta que (0) = E (X ) , y en general (t ) existe para todos los valores de t en un intervalo alrededor de t = 0 y adems (n) ( 0 ) = dn E etX dt n

= E (X n )t =0

(5.19)

De esta forma la funcin generadora de momentos para nuestro caso sera

(t ) =0

etx f (x ) dx =

( ) = ( t ) , t < ( ) ( t )

(5.20)

Determinemos E (X n ) = x +n1 ex dx ( ) 0 0 ( + n) ( + n) = n = +n ( ) ( ) ( + 1) ( + 2) ( + n 1) n

xn f (x ) dx =

(5.21)

es decir E (X ) = V (X ) = ( + 1) , E X2 = 2 ( + 1) 22

(5.22)

=

2 , 2

Si X tiene una distribucin Gamma se denota X

gamma

Teorema 5.5 Si las variables aleatorias X1 , X2 , Xk son independientes y k k i i k i =1 i i i =1 Xi , 2 , para todo i = 1, 2, 3, , k entonces , 2 Xi i =1 ahora estamos en condiciones de determinar la f .d.a de X206

Antalcides Olivo B.


1 F (x ) =

x

(t )1 et dt x > 0 ( ) 0 x0

(5.23)

si es un entero positivo esta integral puede integrarse por partes obteniendo F (x ) = 1 1 x e (x )k k =0

k!

, x>0

(5.24)

1 0.5 0.8 0.4 0.6 0.3 0.2 0.1 0.4

0.2

0

2

4

6

x8

10

12

14

0

2

4

6

x8

10

12

14

f .d.p de la Gamma

f .d.a de la Gamma

que es la suma de los trminos de Poisson con media x con lo que nos queda que podemos utilizar la distribucin de Poisson para calcular la distribucin Gamma f (y ) haciendo y = x, = 1 Ejemplo 5.18 Sea X una variable aleatoria tal que X 1 1 , , esta 2 1 variable se puede representar con una Gamma haciendo = 1, = Exp Ejemplo 5.19 Un sistema de control opera como muestra la gura . al principio la unidad 1 est en lnea, en tanto que las unidades 2 , 3 y 4 estn en espera. Cuando la unidad 1 falla entra en funcionamiento la unidad 2 hasta que falla y entonces se activara la unidad 3, cuando esta falla entre en funcionamiento la unidad 4 el interruptor de decisin se supone perfecto, por lo que la vida del sistema puede representarse como la suma de las vidas de los subsistemas. As X = X1 + X2 + X3 + X4 . Si la vidas de los207

Antalcides Olivo B.


subsistemas son independientes entre s, y cada subsistema tiene una vida Xj, j = 1, 2, 3, 4, con f .d.p xj 1 e 1000 g xj = 1000 0

xj 0 xj < 0

(5.25)

Calcule la probabilidad de que el sistema operar al menos x horas Solucin. Entonces X tendr una f .d.p Gamma con = 4 y = 0.0011 de acuerdo con el teorema5.5 y el ejemplo anterior, decir 0.001 (0.001x )3 e0.01x x > 0 f (x ) = 3! 0 x0 por lo que nos queda3

(5.26)

P ( > x ) =k =0

e.0.001x (0.001x )k /k!

(5.27)

unidad 1

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 4

Ejemplo 5.20 Suponga que el tiempo de reaccin X a cierto estmulo en un individuo seleccionado al azar tiene una distribucin estndar ( = 1) con = 2s calcular la probabilidad de que el tiempo de reaccin sea mayor de 4 Solucin entonces tenemos que1

P (X > 4) =k =0

e4 (4)k = 5e4 = 9. 157 8 102 k!

(5.28)

208

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Ejercicios 3 Suponga que el tiempo X de supervivencia en semanas, de un ratn macho seleccionado al azar y expuesto a 240 rads de radiacin gamma, tiene una distribucin Gamma con = 8 y = 15. El tiempo esperado de supervivencia es E (X ) = (8) (15) = 120 semanas y la varianza es V (X ) = (8) (15)2 semanas2 . Cul es la probabilidad de que un ratn sobreviva entre 60 y 120 semanas Solucin tenemos que calcular P (60 < X < 120) = P (X < 120) P (X < 60)7

=k =0

e(120/15) (120/15)k + k!

7 k =0

e(60/15) (60/15)k = 0.495 91 k! (5.29)

v , donde v es 2 un entero positivo est distribucin as denida se le denomina chi-cuadrada y se denota 2 , y su f .d.p es Ejercicios 4 para una distribucin gamma con = 2 y = v x2 1 1 x2 e 2 = v v 2 2 2 0

f X2

x>0 x0

(5.30)

0.2

1

0.8 0.15 0.6 0.1 0.4 0.05

0.2

0

5

10

u

15

20

25

0

5

10

x

15

20

25

5.5 Problemas

209

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1. La presin de aire de un neumtico seleccionado al azar, instalado en un automvil nuevo, est normalmente distribuida con valor medio de 31 Ib/pulg2 y desviacin estndar de 2 Ib/pulg2 (a) Cul es la probabilidad de que la presin de un neumtico seleccionado al azar exceda de 30.5 lb/pulg2 ? (b) Cul es la probabilidad de que la presin de un neumtico seleccionado al azar se encuentre entre 30.5 y 31.5 Ib/pulg2 ? y entre 30 y 32 Ib/pulg2 ? (c) Suponga que un neumtico se considera con presin baja si su presin est debajo de 30.4 Ib/pulg2 . Cul es la probabilidad de que al menos uno de los cuatro neumticos de un automvil se encuentre desinado?(sugerencia Si A = {al menos un neumtico est desinado}, cul es el complemento de A?) 2. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta) la super210

cie del metal y luego se mide la profundidad de penetracin del punto Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleacin est normalmente distribuida con media de 70 y desviacin estndar de 3 (suponga que la dureza Rockwell se mide en una escala continua) (a) Si un espcimen es aceptable slo si su dureza est entre 67 y 75, cul es la probabilidad de que un espcimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable ? (b) Si la escala aceptable de dureza fue (70 c, 70 + c ), para qu valor de c tendra una dureza aceptable el 95% de todos los especmenes? (c) Si la escala aceptable es como en la parte (a) y la dureza de cada diez especmenes seleccionados al azar se determina independientemente, cul es el nmero esperado de especmenes aceptable entre los diez? (d) Cul es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez especmenes selec-

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cionados independientemente tengan una dureza menor de 73.84 (sugerencia Y = el nmero entre los diez especmenes con dureza menor de 73.84 es una variable binomial, cul es p? 3. La distribucin del peso de paquetes enviados de cierto modo es normal con valor medio de 10 libras y desviacin estndar de 2 libras. El servicio de paquetera desea establecer un valor de peso c, ms all del cual habr cargo extra Cul valor de c es tal que 99% de todos los paquetes pesen por lo menos 1 libra abajo del peso con cargo extra? 4. Suponga que la tabla de la distribucin normal del Apndice contiene (z) slo para z > 0 Explique cmo se podra calcular todava (a) P (1.72 Z 0.55). (b) P (1.72 Z 0.55). es necesario poner (z) en la tabla para z negativa?, que propiedad de la curva normal estndar justica su respuesta? 5. Represente por X el nmero de pginas de texto de211

una tesis de doctorado en matemticas seleccionado al azar. Aun cuando X puede tomar slo valores enteros positivos, suponga que est distribuida normalmente en forma aproximada con valor esperado de 90 y desviacin estndar de 15 Cul es la probabilidad de que una tesis seleccionada al azar contenga (a) A lo sumo 100 pginas ? (b) Entre 80 y 110 pginas ? 6. Haga que X tenga una distribucin binomial con parmetros n = 25 y p calcule cada una de las siguientes probabilidades para los casos p = 0.5, 0.6 y.8 (a) P (15 < X < .20) (b) P (X15) (c) P (20 < X ) 7. Suponga que el 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso estn fuera de especicaciones, pero se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos la chatarra) Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y denote por X el nmero

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entre ellos que estn fuera de especicaciones y se puedan volver a trabajar Cul es la probabilidad (aproximada) de que X sea (a) A lo sumo 30? (b) Menosde30? (c) Entre 15 (inclusive)? y 25

que ayuda a sostener un edicio est normalmente distribuida con media de 15.0 kips y desviacin estndar de 1.25 kips Cul es la probabilidad de que la fuerza (a) Sea a lo sumo 17 kips? (b) Se encuentre entre 12 y 17 kips? (c) Diera de 15.0 kips en a lo sumo 2 desviaciones estndar? 11. Suponga que el tiempo de revelado para un tipo particular de papel fotogrco cuando se expone a una fuente luminosa durante 5 s est normalmente distribuido con una media de 25 s y una desviacin estndar de 1.3 s Cul es la probabilidad de que (a) Una impresin en particular necesite ms de 26.5 s para revelarse? (b) El tiempo de revelado sea por lo menos 23 s? (c) El tiempo de revelado diera del tiempo esperado en ms de 2.5 s? 12. Un tipo particular de tanque de gasolina para un automvil compacto est diseado para contener 15 ga-

8. Suponga que slo el 40% de todos los automovilistas de cierto estado usan con regularidad su cinturn de seguridad Se selecciona al azar una muestra de 500 automovilistas Cul es la probabilidad de que X este entre 180 y 230 (inclusive) de los automovilistas de la muestra utilice su cinturn con regularidad? 9. Si X es una va normal con media 80 y desviacin estndar 10, calcule las siguientes probabilidades mediante estandanzacin (a) P (X 80) (b) P (X < 100) (c) P (65 < X < 100) (d) P (70 < X ) (e) P (|X 80| < 10) (f) P (85

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