ESTADÍSTICA I

Prof. MSc. Edwin Gerardo Acuña Acuña

San José. Costa Rica. 2013 1

• ¿Qué es estadística?

2

• La estadística es una rama de las matemáticas, que a través de un conjunto de técnicas, métodos, normas, reglas y procedimientos que se ocupan en observar, reunir, agrupar, cuantificar y organizar los datos de una muestra, permita no solo describir un hecho o comportamiento de un fenómeno, también analizar y evaluar conclusiones acerca de una población.

3

• Cualquier persona recibe información en forma de datos a través de los periódicos, la televisión u otros medios; y a menudo es necesario obtener alguna conclusión a partir de la información contenida en los datos.

4

Ejemplos de aplicación de la Estadística.

5

Ejercicio 1• Se desea investigar durante el mes de

enero de este año, la opinión de los costarricenses mayores de 18 años sobre los distintos casos de corrupción que involucra a expresidentes.

6

Ejercicio 2• Se desea conocer el porcentaje de

personas que observó el último encuentro de fútbol de la selección nacional, para ello se realizará un estudio telefónico en el Gran Área Metropolitana, entre personas mayores de 12 años.

7

Ejercicio 3• Ingreso salarial neto de los empleados del

ICE.• El número de citas que atiende una clínica.• El grado académico de un profesor

universitario.• El distrito de residencia de los costarricenses.• El número de personas que mueren a causa

del SIDA cada año.• Si una persona ha visitado el parque Simón

Bolívar.• Nivel de rating de una emisora radial• Número de placa de un vehículo

8

• Proporcionar las técnicas, métodos y procedimientos requeridos para describir y analizar un conjuntos de datos y así simplificar sus resultados.

• Permite describir sus características y analizar el estudio de los fenómenos, de los datos destacados (HOLGUIN, 1993, Pág. 14)

• Obtener conclusiones de una población, a partir de la descripción y análisis realizados a una muestra. (SANDOVAL, 2001, P. 15) 9

Las técnicas estadísticas utilizadas para interpretar los datos de una investigación pueden ser

clasificadas en dos grandes grupos en función de que su objetivo sea describir las características

observadas de una muestra o inferir conclusiones sobre la población de la que dicha muestra ha sido

extraída.

SE CLASIFICA EN DOS RAMAS

DESCRIPTIVA INFERENCIAL

10

PROCESO

La estadística descriptiva es una rama de la estadística, que se encarga en representar a un fenómeno

refiriendo variables que caracterizan los datos de la muestra de una población.

El proceso que sigue la estadística descriptiva para el

estudio de una cierta población consta de los siguientes pasos:

11

Selección de variables e indicadores (es una manifestación, observable y medible de los componentes de una variable) (Quivy, 2000) Mediante la recolección de datos se obtiene el valor de cada individuo en los caracteres seleccionados de la muestra.Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada ordenación, clasificación y distribución de los datos del fenómeno estudiado. Representación gráfica de los resultados.

12

La estadística inferencial, extrae y analiza las características de los datos obtenidos de una

muestras formados por individuos de una población. A partir del estudio de la muestra se

pretende conducir a un resultado de los aspectos relevantes de toda la población. Para cuyo estudio se requiere de conocimientos de estadística, probabilidad y matemáticas.

(Esta rama de la estadística se estudia en la asignatura Estadística Aplicada a la Investigación Social II)

13

Concepto de estadística descriptiva e Inferencial.

14

POBLACION Es un conjunto de valores posibles

o el recuento de todos los elementos que presentan una característica común que toma de un colectivo o universo de objetos, ideas, acontecimientos o individuos, al cual se refiere el estudio que se pretende realizar.

El termino población, se usa para denotar el conjunto de elementos del cual extrae una muestra.

15

MUESTRA Es un subconjunto de una

población la cual nos puede servir para generalizar acerca de la población de estudio.Muestra aleatoria:Esta se obtiene cuando seleccionamos una muestra de una población en la que todos los elementos son INDEPENDIENTES Y tienen IGUAL oportunidad de ser seleccionados 16

MUESTRA• La muestra nos sirve para poder

representar el comportamiento de la población con alto grado de confianza.

• El éxito del proyecto depende de la forma en que se seleccione al elemento que participará en el estudio. 17

• Por qué emplear muestras?–La población es infinita–Población finita pero muy grande,

sería imposible o muy costoso estudiarla.

–La unidad estadística se transforma o destruye al ser analizada

–Los resultados que se obtendrían al realizar una encuesta por muestreo serían suficientes y precisos.

18

Existen diferentes tipos de diseño de muestreo, cada uno de ellos tienen características que se pueden ocupar según el tipo de población y el objetivo la investigación.

Es un proceso que determina cómo serán seleccionados los elementos de una parte de la población, para que se puedan

obtener conclusiones fiables a partir de la muestra, es importante tanto su tamaño como el modo en que han sido

extraídos los objetos, ideas, acontecimientos o individuos que componen el estudio.

19

Tipos de muestras• Aleatorias:

–Muestreo simple al azar–Muestreo sistemático–Muestreo estratificado–Muestreo por conglomerados

No aleatorias:–Muestreo por cuotas–Muestreo por criterio–Muestreo por conveniencia

20

Error de muestreo• Se presenta sólo en muestras

aleatorias.• Es la diferencia entre el resultado

dado por la muestra y el resultado que se hubiera obtenido si se hubiera hecho un censo.

• Ventaja: se puede medir haciendo uso de la teoría de la probabilidad. 21

Sesgo• Error sistemático (se da en todas las

observaciones) en un sólo sentido. • No es medible. • Tipos

– Sesgo de selección.– Sesgo de medición.

22

DATO• Se le conoce como dato u

observación, a cada resultado que se obtiene al realizar un experimento.

23

INFORMACION• A menudo se tiene que organizar

los hechos para que te digan algo. Es en ese momento en que habrás convertido los datos en información.

24

Un instrumento es un mecanismo por el cual se recopilan datos con las variables que pretende medir a través de:

la observación encuestaentrevista

o cuestionario basados en los objetivos de la investigación.

EL INSTRUMENTO TIENE QUE TENER LAS PROPIEDADES DE:

VALIDEZ CONFIABILIDAD

25

Validez de contenidoValidez de criterio Validez de constructo

El termino “validez” denota la utilidad científica de un instrumento de medida en el que puede establecer

ampliamente qué tan bien mide lo que pretende medir.

A la validez se le ha dado tres significados principales:

26

VALIDEZ DE CONTENIDO

Se refiere al grado en que la medición abarca la gama de significados que comprende el concepto

(marco teórico)

VALIDEZ DE CRÍTERIOSe basa en algún juicio externo (expertos)

VALIDEZ DE CONSTRUCTOSe refiere al grado en que una medición se relaciona consistentemente con otras mediciones. En la medida

en que la variable es abstracta y observable se le denomina de constructo.

27

Medidas de estabilidad (Test-retest)

Método de formas alternativas o paralelas

Método de mitades partidas (Split-Halves)

Coeficiente alfa de Cronbach

Coeficiente KR-20 Kuder y Richardson

El termino “confiabilidad” es una medida práctica de que tan consistente y estable podría ser un instrumento de

medición o prueba. Existen diversos procedimientos para calcular la confiabilidad de un instrumento de medición

entre los más utilizados son:

28

Fuentes de información• Fuentes primarias: Publican o

suministran datos recogidos por

ellas mismas.

• Fuentes secundarias: Toman

datos recogidos o publicados

anteriormente por otras.29

Técnicas de Recolección de la información

ENTREVISTA– Personal

– Telefónica

CUESTIONARIO AUTOADMINISTRADO

OBSERVACION Y MEDICION

REGISTRO

Requieren Cuestionario estructurado

30

ENTREVISTA PERSONAL• Motiva al

entrevistado• Permite aclarar

preguntas y/o verificar respuestas.

• Alto porcentaje de respuesta

• Permite accesar a todos los elementos de la población

• Alto costo• Desconfianza del

entrevistado• Longitud limitada

(en ocasiones)• Influencia del

entrevistador puede ser un elemento distorsionador

31

ENTREVISTA TELEFONICA

• Bajo costo• Alto porcentaje de

respuesta• Permite verificar las

respuestas• Más flexible con

respecto a la hora de la entrevista

• Longitud limitada• No permite accesar

a todos los elementos de la población (no todos tienen teléfono)

32

CUESTIONARIO AUTOADMINSTRADO

• Bajo costo• Longitud ilimitada• Libertad de

respuesta• Mayor tiempo para

responder• Permite tratar temas

delicados o embarazosos

• Porcentaje de respuesta bajo

• Dificulta la aclaración de dudas

• Requiere informantes con nivel educativo alto

• Requiere un sistema de correo eficiente

33

OBSERVACION Y MEDICION

• Neutralidad u objetividad

• Errores en la observación

• Instrumento mal calibrado

• Instrumento mal utilizado

• Alto costo en algunos casos

• No se pueden verificar los datos

34

REGISTRO• Bajo costo• Información real y

objetiva

• Puede tener información desactualizada o incompleta

• La información disponible no siempre coincide con los fines estadísticos.

35

El Cuestionario• Identificación

• Párrafo introductorio

• Tamaño

• Numeración

• Caracteres tipográficos (Tipo de letra,

Negrita)

• Símbolos de ayuda (-->, * )36

El Cuestionario• Clasificación de las preguntas

– Cerradas• De escogencia única• De escogencia múltiple• De rangos• De notas

– Abiertas– Abiertas con alguna

clasificación

37

El Cuestionario

• Precodificación

• Prueba del cuestionario

• Revisión y Crítica

• Codificación

• Tabulación

38

El Cuestionario• Longitud del cuestionario• Orden o secuencia de las preguntas

– Iniciales– Flujo de los temas– Delicadas

• Estilo de redacción de las preguntas– Clara, comprensible, precisa y lo más

específica posible.– No debe incomodar al entrevistado– Debe referirse a un solo aspecto– No debe inducir las respuestas 39

Fases de una investigación estadística

• Planteamiento del problema.• Diseño del instrumento de

recolección• Obtención de la información.• Preparación de la información• Análisis e Interpretación.• Presentación de resultados.

40

Presentación de la Información

• Presentación Textual

“En comparación con 1998, la economía experimentó en 1999 una reducción en la tasa de crecimiento, pues alcanzó apenas el 2.5%, mientras que el promedio anual entre 1985 y 1998 había sido de 4.9%”

41

• Presentación semitabular

“En el último mes, la mayoría de los bancos ha disminuido los intereses para vivienda, como se puede apreciar a continuación:

Interés antes del 1 de setiembre

Interés actual

Banco Comerial Banco Industrial Crédito Mutual Banco del Caribe

21.0% 21.5% 20.5% 21.0%

20.0% 20.5% 19.0% 20.0%

Se espera que esta reducción de intereses incentive el sector de la producción.”

Presentación de la Información

42

Presentación tabular: Cuadros

• Muestran la información de forma ordenada por filas y por columnas, de manera visualmente agradable.

• Permiten presentar y divulgar la información de una manera fácil de interpretar y útil para el usuario.

43

Componentes de un cuadro

Número de cuadroTítuloColumna matrizEncabezadosCuerpo o contenidoNota introductoria o

preliminarNota al pieFuente 44

Cuadro #

TITULO

(nota introductoria)

ColumnaMatriz

Encabezados Encabezados

CUERPO

Nota al pieFUENTE

45

CUADRO 2CONSUMO DE DROGAS

SEGÚN CANTÓN DE RESIDENCIA POR TIPO DE DROGA, COSTA RICA, 2,000

(Valores Porcentuales)

*

*Datos preliminaresFUENTE: Consumo de alcohol, tabaco y otras drogas. Distribución geográfica 2001. I.A.F.A.

CANTON Alcohol Tabaco Mariguana Cocaína Crack

Central de San José 69.3 43.4 4.5 1.1 0.4

Desamparados 68.6 41.5 4.2 0 0

Central de Alajuela 61.3 30.7 2.7 0.7 0

Central de Cartago 55.3 31.1 4.9 0 0

Central deHeredia 81.8 36.4 9.1 3 3

Liberia 56 36 4 2 0

Central dePuntarenas 56.9 24.5 1 0 0

Central de Limón 73.5 38.2 16.2 2.9 1.5

46

EXPERIMENTO• Actividad planeada cuyos

resultados producen un conjunto de datos.

47

PARÁMETRO• Valor numérico que resume toda

la información de una población completa.

• Promedio, moda, mediana, desviación estándar, rango, etc.

48

Existen diferentes tipos de variables, entre las más utilizadas son:

VARIABLES

CUALITATIVAS CUANTITATIVAS

Una variable es susceptible de medir cualquier característica de un objeto que

pueda tomar diferentes valores de un conjunto de datos (Un dato es una medida

que se realiza sobre los sujetos de un experimento).

49

EJEMPLO: Sexo, estado civil, o la profesión de una persona.

Una variable cualitativa, también llamada no numérica, se denomina por sus atributos porque expresa distintas cualidades, características o modalidades, que son susceptibles de describirse mediante palabras, cuya medición solo puede ser por una escala nominal u ordinal.

50

• TIPOS DE VARIABLES CUALITATIVAS• Dicotómicas: Sólo hay dos

categoría, que son excluyentes una de la otra

• Ejemplo: enfermo-sano, muerto-vivo, mujer-hombre

• Nominal: tiene mas de dos categorías y no hay orden entre ellas.

• Ejemplo: color de los ojos, grupo sanguíneo

• Ordinal: tiene varias categorías y hay orden entre ellas.

• Ejemplo: grado tumoral, calificación del riesgo en anestesia.

51

Una variable cuantitativa, también llamada numérica, es aquella susceptible de ser expresada numéricamente, cuya medición puede ser utilizada con una escala de intervalo o de razón según el objetivo de la investigación.EJEMPLO: A los pacientes atendidos en la Institución Musas

de Metal se les pregunta el ingreso mensual de sus familias.

$0 a $5,999 b) $6,000 a $11,999 c)$12,000 a $17,999 d)$18,000 a $23,999

52

• TIPOS DE VARIABLES CUANTITATIVAS

• Continuas: números infinito no numerables de elementos. Tiene asociado el concepto de medida

• Ejemplo: Presión arterial, Edad, peso.

• Discretas: números finitos o infinitos numerables de elementos. Se asocia con el concepto de conteo.

• Ejemplo: N° de hijos, N° de casos de tuberculosis por estado. 53

• Hay ocasiones en las que las medidas cuantitativas continuas son transformadas en ordinales mediante la utilización de uno o varios puntos de corte.

• Ejemplo: La variable peso es codificada en varias categorías y se utiliza en términos como: Bajo-peso, peso-normal, Sobrepeso, Obesidad

54

• Las descripciones numéricas de datos suelen ser importantes. Dado un conjunto de n observaciones

• La estadística descriptiva nos puede ayudar mediante resúmenes numéricos, que son medidas de tendencia central, o también llamadas de posición y medidas de dispersión

nxxx ,.....,, 21

55

RECOPILACION DE DATOS

• Es el proceso mediante el cual obtenemos los datos u observaciones de una muestra.

• Posteriormente los datos se organizarán de acuerdo al uso que se les de.

• Experimento, encuesta, censo.

56

ORGANIZAR Si se tiene una serie de datos,

primero hay que organizarlos en forma ordenada y en subconjuntos que presenten características similares.

Los datos agrupados se pueden resumir gráficamente o en tablas y mediante medidas numéricas (parámetros) que obtendremos posteriormente como la media, la mediana, la desviación estándar, etc. 57

• Los datos ordenados en grupos o categorías reciben el nombre de:

distribución de frecuencias.• Para obtener el rango de una

distribución de frecuencias, se realiza la diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos.

• Cuando se tiene un gran número de datos, habrá que distribuirlos en : clases, categorías. 58

Marca de Clase

Frecuencia Absoluta.

Frecuencia Relativa.

Frecuencia Porcentual.

Frecuencia Acumulada.

Algunos tipos de distribución

La distribución de datos ó de frecuencias la cual es la presentación de cuadros o tablas estadísticas. El objetivo principal de una distribución de frecuencias consiste en

presentar los datos de un modo que facilite su comprensión e interpretación.

59

.

Tabla No 1.3 Datos de la encuesta del ahorro mensual de acuerdo al salario que perciben

los trabajadores. (pesos mexicanos)

VARIABLE FRECUENCIA

ABSOLUTA

AHORRO F

09-12 18

13-15 26

16-18 7

19-21 4

22-24 1

25-27 4

Total 60

La frecuencia absoluta, es el número de veces que se repite un determinado valor o una determinado atributo de la variable. Está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta y la suma de las frecuencias absolutas debe ser igual al número total de los datos en estudio.

60

SE OBTIENE FR = F Frecuencia del intervalo

N Suma de frecuencias

La frecuencia relativa consiste en la proporción del número total de datos que aparece en cada intervalo, la suma de la

frecuencia es siempre la unidad (1).Se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de cada intervalo

entre el número total de datos o elementos del conjunto.La frecuencia relativa también se expresa, en ocasiones, en

tanto por ciento

61

La frecuencia porcentual, consiste en calcular el porcentaje de la relación que se establece entre una de las partes con respecto al todo multiplicándolas por 100, que pertenece a cada intervalo o categoría.

La frecuencia porcentual también se expresa, en ocasiones en frecuencia

relativa.

La palabra porcentaje significa por cien.

PORCENTAJE = ( F / N ) X 100

PORCENTAJE = FR X 100Ó

62

VARIABLE

FRECUENCIA FRECUENCIA

ABSOLUTA ACUMULADA

AHORRO F FA

09-10 18 18

13-15 26 44

16-18 7 51

19-21 4 55

22-24 1 56

25-27 4 60

Total 60

La frecuencia acumulada, indica cómo se van concentrando los datos de un

valor de cada intervalo o una determinada modalidad del atributo.

Puede incluir a cualquiera de las frecuencias: absoluta, relativa o

porcentual; sugiriendo se calcule sólo la que sea necesaria para los fines de

la investigación.

Tabla No. 1.6 Datos de la encuesta del ahorro mensual de acuerdo al salario que perciben

los trabajadores. (pesos mexicanos) 63

Marca de clase = ( Límite inferior + Límite superior ) / 2

9 - 12 10.5Intervalos de clase

Con clasificación continuaMarca

de ClaseX

La marca de clase, solo es aplicable a datos agrupados y es:

Es el punto medio de cada intervalo de clase. Es el valor que representa a todos los datos que

puedan estar integrados en éste.

64

VARIABLEFRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA

MARCA DE CLASEABSOLUTA RELATIVA PORCENTUA

L ACUMULADA

AHORRO F FR % FA MC

9-12 18 0,3 30 18 10,513-15 26 0,43 42 44 1416-18 7 0,12 12 51 1719-21 4 0,07 7 55 2022-24 1 0,02 2 56 23

25-27 4 0,07 7 60 26

Total 60 1 100

Tabla No. 1.7 Se ha realizado una encuesta a 60 personas a las que se les ha preguntado cuanto dinero ahorran mensualmente de acuerdo al salario que perciben, obteniéndose los siguientes resultados (pesos mexicanos) 65

DIAGRAMA DE BARRAS

OJIVASECTORIAL

HISTOGRAMAPOLIGONOS DE FRECUENCIA

Las gráficas se basa por completo en una tabla de datos y sirve para visualizar la forma de distribución de los datos, porque permite mostrar, explicar, interpretar y describir de manera

sencilla, clara y efectiva, los datos estadísticos mediante formas geométricas tales como líneas, áreas, volúmenes.

Para la descripción gráfica, podrá disponer de una amplia galería de gráficas entre las más utilizadas son:

66

Fig. No. 1 Histograma Ahorro (colones)Frecuencia

I n t e r v a l o

Cuantitativa

Se considera uno de las más sencillas y útiles de representar los datos cuantitativos (numéricas) Representa a los niveles de medición ordinal, de intervalo o de razón Se puede graficar con la frecuencia: absoluta, porcentual ó relativa, según los objetivos de la investigación

0

10

20

30

1

9-12 13-15 16-18 19-21 22-24 25-27

67

HISTOGRAMA

TRABAJADORES DEL TALLER ELÉCTRICO

518

42

27

8

01020304050

61 64 67 70 73EDAD DE LOS TRABAJADORES

NU

MER

O E

TR

ABAJ

ADO

RES

edad

68

C a t e g o r i a

Cualitativa

Es una gráfica más utilizada por su sencillez, para representar las características cuantitativas (numérica) y cualitativas (no numérica) Representa a los niveles de medición nominal u ordinal Se puede graficar con la frecuencia: absoluta, porcentual o relativa

Fig. No. 2 Diagrama de Barras Percepción del ahorro

(colones)

05

1015202530

Baja Muybaja

Regular Alta Muy alta

69

Para ello se utiliza la siguiente expresión aritmética:

Total de grados = ( porcentaje ) ( 360 )

Se utilizada para representar principalmente variables cualitativas (no numéricas)

Representa al nivel de medición nominal Se puede graficar con la frecuencia: porcentual o relativa Resultan adecuado cuando hay pocos valores

MUY BAJ OBAJ OREGULARALTO MUY ALTO Cualitativas

Porcentajes

Fig. No. 3 Gráfica sectorial

Ahorro (dólares)

70

Frecuencia

Se utiliza para representar principalmente variables cuantitativas (numéricas) Representa al nivel de medición de intervalo o de razón Se puede graficar con la frecuencia: marca de clase

9-12 13-15 16-18 19-21 22-24 25-27

0,000,100,200,300,400,50

Fig. No. 4 Polígono de Frecuencia

Ahorro (euros)

71

TRABAJADORES DEL TALLER ELÉCTRICO

518

42

27

80

1020304050

61 64 67 70 73EDAD DE LOS TRABAJADORES

NU

MER

O E

TR

ABAJ

ADO

RES

edad

POLIGONO DE FRECUENCUA

72

010203040506070

9 * 12 13 * 15 16 * 18 19 * 21 22 * 24 25 - 27

Fig. No. 5 Ojiva Ahorro (colones)

Los polígonos de frecuencia pueden emplearse asimismo para representar frecuencia acumulada que en tal caso resulta designar como ojiva.

Es aplicable a variables ordinales. Representa a la distribución de frecuencias

acumuladas, sean absolutas, porcentuales o relativas. Es una gráfica ascendente.

73

CLASE Ó CATEGORIA• La utilidad de lo anterior, es que

se puede analizar con mayor facilidad un conjunto de números sin que se tenga que considerar cada número.

• Una categoría o clase recibe el nombre de :

intervalo de clase.74

INTERVALO DE CLASE• Los valores extremos de un

intervalo de clase reciben el nombre de:

limites de clase. (inferior y superior)

• Existen otros limites de gran importancia llamados limites reales de clase.

• Para hallar el limite real inferior se suma el limite inferior mas el número anterior y esto se divide entre dos.

75

• Para hallar el limite real superior se suma el limite superior mas el número que le sigue y esto se divide entre dos.

• Tamaño o anchura de clase: basta con realizar la diferencia entre los limites reales considerando primero el superior.

• Marca de clase: se obtiene sumando los limites superior e inferior y dividiendo entre dos.

76

Con la información anterior podemos formar las distribuciones de frecuencia con mayor facilidad si consideramos primero el rango. Después de calcularlo, lo dividimos en un número conveniente de intervalos de clase del mismo tamaño y considerando al mismo tiempo que las marcas de clase coincidan en lo posible con los datos que fueron observados. Por último indicamos la frecuencia de clase.

77

• Al construir una distribución de frecuencias podemos representarla gráficamente, ya sea por medio de un histograma (rectángulo sobre el eje X) o por un polígono de frecuencias (gráfico de línea trazado sobre las marcas de clase)

78

II semana

79

EJEMPLO 1• Se tiene el número de accidentes

que ocurren día a día durante un periodo de 50 días en la autopista Veracruz-Xalapa.

2 9 6 7 0 8 2 5 42

4 4 5 4 4 2 5 6 73

8 3 8 4 4 7 4 7 56

4 7 3 5 1 7 3 8 06

1 5 2 3 0 6 5 6 36

DIA 24

80

Observar que los datos constan de enteros.

Puesto que el mayor número de accidentes es 9 y el menor es 0, por lo tanto el :

rango: 9 – 0 = 9 Considerando 5 intervalos de

clase: (Rango + 1)/5 =

(9+1)/5=10/5=2 Podemos considerar que cada

intervalo de clase constará de : 2 elementos.

81

Formando los intervalos de clase y contabilizando la cantidad de elementos en cada intervalo de clase obtenemos la siguiente distribución de frecuencia:

INTERVALOS DE CLASE FRECUENCIA

0-1 52-3 114-5 166-7 138-9 5

Total ( N) = 50

1ºDIA 152ºDIA 22

82

Identificando las partes de la distribución de frecuencia:

• Primer intervalo de clase: 0-1• Frecuencia de la tercera de clase: 16• Limite inferior del primer intervalo

de clase: 0• Limite superior del tercer intervalo

de clase: 5• Tamaño de tercera la clase: 5.5-

3.5= 2• Marca de la primer clase :

(0+1)/2=.5• Marca de la quinta clase :

(8+9)/2=8.5 …etc.

83

FRECUENCIA RELATIVA• Es la frecuencia de clase

dividida por el total de frecuencias de todas las clases. El resultado se expresa generalmente como porcentajes.

F.R.= f/ N o bien: F.R.%=(f/N) * 100

• Esto nos servirá para la representación gráfica circular o de pastel.

84

FRECUENCIA ACUMULADAS

• Este tipo de frecuencia está diseñada para mostrar el número o porcentajes de elementos que son menores que cierto valor específico o iguales a este.

85

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA RELATIVA

F.R. (0-1)= 5/50 = 0.10 o bien 10%

F.R. (2-3)= 11/50= 0.22 o bien 22%

F.R. (4-5)= 16/50= 0.32 o bien 32%

F.R. (6-7)= 13/50= 0.26 o bien 26%

F.R. (8-9)= 5/50 = 0.10 o bien 10%

1.00

100%

86

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA ACUMULADA

F.A. (0-1) 0.10F.A. (2-3)

0.22+0.10=0.32F.A. (4-5)

0.32+0.32=0.64F.A. (6-7)

0.26+0.64=0.90F.A. (8-9)

0.10+0.90=1.00

Se puede observar que el 64% de los días no

excedió de 5 accidentes y que el 90% de los días

no excedió de 7 accidentes. 87

HISTOGRAMA DEFRECUENCIAS RELATIVAS

NUMERO DE ACCIDENTES EN LA AUTOPISTA VERACRUZ-XALAPA

EN UN PERIODO DE 50 DIAS

0,10,22

0,32 0,260,1

00,10,20,30,4

0-1 2-3 4-5 6-7 8-9RANGO (NUMERO DE

ACCIDENTES)

FREC

UEN

CIA

RELA

TIVA

FrecuenciaRelativa

88

POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

NUMERO DE ACCIDENTES EN LA AUTOPISTA VERACRUZ-XALAPA EN

UN PERIODO DE 50 DIASDIAS

0,10,32

0,640,9 1

00,20,40,60,8

11,2

0-1 2-3 4-5 6-7 8-9RANGO (NUMERO DE

ACCIDENTES)

FREC

UEN

CIA

ACUM

ULAD

A FrecuenciaAcumulada

89

EJEMPLO 2CONSIDEREMOS LA EDAD DE CIEN

ADULTOS MAYORES QUE VARIAN ENTRE 60 Y 74 AÑOS62 72 72 69 69 69 61 68 71 7164 67 64 67 60 64 67 62 64 6765 64 74 64 73 65 63 74 64 6373 64 67 73 71 71 67 65 67 6767 63 63 63 64 71 64 74 71 7170 67 70 66 70 67 70 66 70 6666 68 66 66 69 67 67 68 68 68

68 66 68 70 70 66 67 66 66 70 68 68 68 70 67 67 68 68 67 6967 67 67 70 70 70 70 61 70 70

90

RESOLUCION DE EJEMPLO 2• Rango 74-60= 14 años

• Dividiremos todo en cinco intervalos de clase. intervalos de clase (AÑOS)

60-62 63-65

66-68 69-71

72-74

91

RESOLUCION DE EJEMPLO 2

60 Limite inferior del primer intervalo de clase.

62 Limite superior de primer intervalo de clase.

(59+60)/2 = 59.5 Limite real inferior.(62+63)/2 = 62.5 Limite real superior.

Tamaño C = 62.5 - 59.5 = 3C = 65.5 - 62.5 = 3, ……..,

etc.92

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

(AÑOS) ( ADULTOS MAYORES)

INTERVALOS DE CLASE FRECUENCIAS

60-62 563-65 18 66-68 4269-71 2772-74 8 100

93

RESOLUCION DE EJEMPLO 2

• Marca de Clase(60+62)/2 = 61(63+65)/2 = 64, ……., etc

94

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

MARCAS DE CLASE FRECUENCIA61 564 1867 4270 2773 8

N= 100

AÑOS ADULTOS MAYORES

95

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA.

• Distribución de frecuencia relativa. F. R. (60-62) = 5/100 = 0.05

F. R. (63-65) = 18/100 = 0.18 “ “ 0.42 “ “ 0.27 “ “ 0.08 1.00

96

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

F.A. (60-62) 0.05F.A. (63-65) 0.18+0.05=0.23F.A. (66-68) 0.42+0.23=0.65F.A. (69-71) 0.27+0.65=0.92F.A. (72-74) 0.08+0.92=1.00 97

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

• Estas medidas se emplean para indicar un valor que tiende a ser el más representativo de un conjunto de números. Las tres medidas de mayor importancia son:

• Media• Mediana• Moda 98

X = x1+ x2+…+xn = ∑nj=1xj =

∑xj N N

N

MEDIA• De las 3 medidas está es la más

importante. La media se determina al sumar los valores de un conjunto y dividir el resultado de esta suma entre el número de valores del mismo.

99

MEDIA Esta medida de tendencia central

posee varias propiedades:• Se puede calcular para un conjunto

de números• La media es única, es decir, existe

una y solo una para un conjunto de datos.

• Si cambia algún valor del conjunto de números, entonces también cambia la media.

• La suma de desviaciones de los números a partir de la media es 0.

∑(xj-X) = 0

100

MEDIA• Cuando se tiene una tabla de una

distribución de frecuencias en donde hemos clasificado nuestros datos y deseamos calcular la media tenemos que considerar únicamente las marcas de clase de cada intervalo. Estas marcas de clase multiplicadas por las frecuencias y divididas entre la frecuencia total, nos da como resultado la media.X = f1x1+ f2x2+…+fkxk = ∑k

j=1fjxj = ∑fxj

N N N

101

EJEMPLO 3• En un examen de habilidad

matemática aplicado a 25 alumnos se les pidió completar en forma individual un “cuadro mágico”. El tiempo que necesitó cada estudiante para completar el trabajo fue registrado en minutos . Los resultados fueron los siguientes:

Minutos x 1 2 3 4 5 6 7Alumnos f 1 2 3 0 4 6 9 102

HALLANDO LA MEDIAX = f1x1+ f2x2+…+fkxk = ∑k

j=1fjxj = ∑fxj N N

N

X = 1(1)+2(2)+3(3)+0(4)+4(5)+6(6)+9(7)= 133= 25 25

X= 5.32 min.103

MEDIANA• La característica de mayor

importancia es que divide un conjunto ordenado en dos grupos iguales, es decir, la mediana de un conjunto de datos ordenados en orden de magnitud, es el valor medio o la media de los valores medios.

• Una regla para obtener la mediana es:

• Clasificación u ordenamiento de los datos.

104

MEDIANA• Contar para conocer si existen

un numero par o impar de datos.• Si se tiene un numero impar de

valores, la mediana es el valor intermedio. Para un numero par de valores, la mediana es la media de los valores intermedios.

105

MEDIANA• Considerando una distribución de frecuencias

para datos agrupados, la mediana se obtiene mediante:

• Donde:• L1 = Limite real inferior de la clase mediana

(esto es, la clase que contiene la mediana).• N = Frecuencia Total (Numero total de Datos)• (∑f)1=Suma dde las frecuencias de todas las

clases que se encuentran debajo de la clase mediana.

• Fmediana = Frecuencia de la clase mediana• C= Tamaño del intervalo de la clase mediana.

Mediana = L1 + N/2 – (∑F )1

Fmediana

C

106

EJEMPLO 4• En un examen de habilidad

matemática aplicado a 25 alumnos se les pidió completar en forma individual un “cuadro mágico”. El tiempo que necesitó cada estudiante para completar el trabajo fue registrado en minutos . Los resultados fueron los siguientes:

Minutos x 1 2 3 4 5 6 7Alumnos f 1 2 3 0 4 6 9 107

HALLANDO LA MEDIANAMediana = L1 + N/2 –

(∑F )1 c FmedianaRecuerde que gráficamente la mediana

es el valor que corresponde a la mitad de la frecuencia total.25/2= 12.5 = N/2La ∑ de la “f” hasta la quinta clase es 10 : (∑F )1

La ∑ de la “f” hasta la sexta clase es 16En esta clase se localiza la mediana.Clase mediana : sexta clase

108

HALLANDO LA MEDIANA

Limite real inferior de la sexta clase:

L1 = (5+6)/2= 5.5(∑F )1= 10

Fmediana = 6

C= 1N/2= 12.5

Mediana: 5.5 + 12.5-10 (1) 6Mediana=5.5 +0.416 = 5.916 min.

109

MODA• La moda es el valor que mayor

número de veces se presenta en un conjunto de números. Existen algunos casos en los cuales no existe la moda y otros en los cuales existen mas de una moda. Una distribución que cuenta con una moda se le conoce como unímodal.

110

MODA• Para una distribución de frecuencias, la moda es

el valor o los valores máximos de la curva y se puede calcular por medio de

• Donde:• L1 = Limite real inferior de clase de la clase

modal. La clase modal es aquella donde se localiza la moda.

• Δ1 = Es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia anterior o premodal

• Δ2 = Es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia siguiente o posmodal

• C = Tamaño del intervalo de clase modal

Moda = L1 + Δ1

Δ1 + Δ2

C

111

EJEMPLO 5• En un examen de habilidad

matemática aplicado a 25 alumnos se les pidió completar en forma individual un “cuadro mágico”. El tiempo que necesitó cada estudiante para completar el trabajo fue registrado en minutos . Los resultados fueron los siguientes:

Minutos x 1 2 3 4 5 6 7Alumnos f 1 2 3 0 4 6 9

Moda: 7 min. 112

EJEMPLO MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

• En una compañía automotriz hay 100 trabajadores los cuales producen refacciones. Algunos por sus capacidades y experiencias construyen mas que otros al termino de cada mes. La distribución de frecuencias es la siguiente:

113

Intervalo de Clase Frecuencia(f) x 45-47 2

4648-50 44951-53 155254-56 2155

57-59 3958

60-62 561

63-65 1464

114

MEDIA, MEDIANA Y MODA

MEDIA X =56.86 refacciones producidas

MEDIANA =57.11 refacciones producidas

MODA= 57.53 refacciones producidas

115

MEDIA Promedio aritmético del

conjunto de datos. Un dato extremo disperso afecta

al resultado de la media.

116

MEDIANA Es el número del medio del

conjunto de datos, establece un punto que divide al conjunto de datos en dos grupos de la misma cantidad.

117

MODA Es el número más popular en el

conjunto de datos.“Es importante saber la marca de

cereales que se vende más de manera que se pueda estar seguro de tener suficiente en el almacén.

118

MEDIA Y MEDIANA Para un conjunto de datos con

dos o más modas, será mejor usar la media o la mediana como característica del grupo, recordando que al haber un extremo disperso, es mejor el uso de la mediana.

119

EJEMPLO 6 Una persona que sirve mesas en

el restaurante del hotel “PLAZA VERACRUZ” de Veracruz, Veracruz, registra las propinas que percibió durante 7 días.

Día 1 2 3 4 5 6 7$ 24 15 22 80 16 21 19

120

ANALISIS ¿Cuánto te haces de propina en

un día?X = $ 28.14Moda : no hayMediana: 15,16,19,21,22,24,80

= $ 21 ¿Cuál seria el valor más

característico o representativo de este conjunto de datos? 121

EJEMPLO 7Datos de producción de tres

operarios.Número de artículos producidos

por díaDía de trabajo

Operario día 1 día 2 día 3 día 4 día 5 día 6 día 7 día 8 día 9 día 10 A 1 2 2 3 3 4 5 4 5 5 B 6 1 2 5 3 2 2 2 7 1 C 7 6 5 4 2 3 2 3 2 2

122

MODA

MEDIA

MEDIANA

OPERARIO A

5 3.5 3.4

OPERARIO B

2 2.5 3.2

OPERARIO C

2 3 3.6¿Qué operario elegirías para que continuara en el puesto?

¿Te ayudaría el rango a reafirmar tu decisión? ¿Qué mas observas?

123

MEDIDAS DE DISPERSION

• Este tipo de medidas también reciben el nombre de Medidas De Variación.

• Las Medidas de Dispersión o Variación se emplean para saber si los valores están relativamente cercanos uno al otro o si se encuentran dispersos. Todas las medidas de dispersión exceptuando la de Amplitud o Rango toman a la media como punto de referencia.

124

MEDIDAS DE DISPERSION

Las medidas de dispersión son:

• Rango o Amplitud de Variación• Desviación Media o Promedio de

Desviación• Varianza• Desviación Estándar

125

RANGO O AMPLITUD DE VARIACION

• Es la diferencia entre el mayor valor y el menor de todos ellos.

• El rango es una medida limitada puesto que considera a los valores extremos de un conjunto y no proporciona mayor información respecto a los demás valores del mismo.

126

DESVIACION MEDIA O PROMEDIO DE DESVIACION

• Se emplea para medir el promedio de los alejamientos de los datos observados en la muestra respecto a la media de estos datos.

• Para un conjunto de valores se obtiene al restar la media de cada valor del grupo, eliminando el signo negativo (esto se logra por medio del valor absoluto) dividida entre el número total de observaciones. 127

DESVIACION MEDIA O PROMEDIO DE DESVIACION

• Sus formulas son: Para una distribución

de frecuencias:

• N = numero total de datos.• x = Marcas de clase• X = Media• f = frecuencias de clase

DM = ∑ x-X N

DM = ∑f x-X N

128

VARIANZA• La varianza de una muestra se

determina en forma similar que la desviación media pero con las siguiente diferencia:

Las desviaciones se elevan al cuadrado antes de ser sumadas.

129

VARIANZA• Sus formulas son: Para una

distribución de frecuencias

• Donde:• N = numero total de datos.• x = Marcas de clase o datos• X = Media• f = frecuencias de clase

S2 = ∑(x-X)2

NS2 = ∑f (x-X)2

N

130

DESVIACION ESTANDAR• La desviación estándar es la raíz

cuadrada positiva de la varianza. Para obtener la desviación estándar se debe calcular la varianza y hallar su raíz cuadrada positiva.

• La desviación estándar queda representada por la letra mayúscula S.

• La desviación estándar es una de las medidas mas importantes dentro de la Estadística.

131

DESVIACION ESTANDAR• Sus formulas son: Para una

distribución de frecuencias

Donde:• N = numero total de datos.• x = Marcas de clase o datos• X = Media• f = frecuencias de clase

S = ∑(x-X)2

N√ √S = ∑f (x-X)2

N

132

DESVIACION ESTANDAR• El 68% de los valores cae dentro del

rango de una vez la desviación estándar con respecto de la media.

• En cualquier conjunto de valores graficados que se ajusten a una curva normal, el 95% de los valores quedan dentro de dos desviaciones típicas respecto del valor de la media del conjunto.

• Generalmente en un rango de 3 desviaciones típicas con respecto a la media queda contenido el 100% de los valores del conjunto. Esta información tiene uso inmediato en la aplicación de tolerancia o medidas de control de calidad de artículos manufacturados.

133

68 %

LA MEDIA, LA MODA Y LA MEDIANA SON IGUALES

PUNTOS DE INFLEXION

PUNTOS DE INFLEXION

UNA DESVIACION TÍPICA O

ESTANDAR

REPRESENTACION DE LA DESVIACION ESTANDAR

DOS DESVIACIONES

TÍPICAS O ESTANDAR

134

EJEMPLO DE MEDIDAS DE DISPERSION

• En un experimento aleatorio se obtuvo la muestra de elementos:

17, 15, 25, 23, 18, 18, 20, 19, 20, 20, 20, 21, 20, 20

Determinar • Desviación Media• Varianza• Desviación estándar.

135

OBTENIENDO LA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

x f f.x15 1 1517 1 1718 2 3619 1 1920 6 12021 1 2123 1 2325 1 25

N = 14 ∑fx= 276136

MEDIA

Media = ∑fx / N

= 276/14

= 19.714

137

x media Desv│x-X│ F F.│x-X│15 19.7142857 4.7142857 1 4.714285717 19.7142857 2.7142857 1 2.714285718 19.7142857 1.7142857 2 3.428571419 19.7142857 0.7142857 1 0.714285720 19.7142857 0.2857143 6 1.714285821 19.7142857 1.2857143 1 1.285714323 19.7142857 3.2857143 1 3.285714325 19.7142857 5.2857143 1 5.2857143

N = 14

∑ F.│x-X │= 23.1428572

138

DESVIACION MEDIA

DESV. MEDIA 1.65306123

139

CALCULO DE LA DESV. ESTANDAR Y LA VARIANZA

Desviación │x-X│ (x-X)2 f f(x-X)2

4.7142857 22.2244897 1 22.22448972.7142857 7.36734686 1 7.367346861.7142857 2.93877546 2 5.877550920.7142857 0.51020406 1 0.510204060.2857143 0.08163266 6 0.489795971.2857143 1.65306126 1 1.653061263.2857143 10.7959185 1 10.79591855.2857143 27.9387757 1 27.9387757

N = 14

∑ f(x-X)2 = 76.8571429

140

DESVIACION ESTANDAR Y VARIANZA

varianza 5.48979592Desv. Estandar 2.340309

141

CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES.

• Los cuartiles, deciles y percentiles se asemejen mucho a la mediana porque también subdividen una distribución de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas y ordenadas.

• Mientras la mediana divide una distribución en dos mitades, los cuartiles la dividen en cuatro cuartos, los deciles la dividen en 10 décimos y los puntos percentiles la dividen en 100 partes. 142

• Considerando que el lugar de la mediana se puede encontrar por:

Lugar de la mediana: n/2 + ½• Para el primer cuartil será:

n/4 + ½• Para el tercer decil será:

3n/10 + ½• Para el septuagésimo percentil será:

70n/100 + ½

143

EJEMPLO

• Si ocho empresas vendieron las siguientes cantidades de unidades de aire acondicionado, 5, 8, 8, 11, 11, 11, 14, 16.

Busque la posición del tercer cuartel para esta distribución;

C3 = 3n/4 + ½C3 = 3(8)/4 + ½= 6.5

• Lo cual nos indica que el tercer cuartel se encuentra ubicado entre el sexto y séptimo valor del grupo ordenado. O sea:

(11 + 14)/ 2 = 12.5

144

DESVIACION CUARTIL• Es la medida de dispersión más

usada en relación con la mediana; también es llamada rango semiintercuartil. Se simboliza por Q y se le define por la fórmula:

• en la cual Q1 y Q3 son los puntos bajo los cuales se halla el 25% y el 75% de los datos, respectivamente, como ya se había visto anteriormente. 145

146