Estadistica ii

ESTADÍSTICA Desde los comienzos de la civilización ya se utilizaban formas sencillas de estadística con representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas. Hacia el 3000AC los babilonios recopilaban información de su producción agrícola en tablas de arcilla. Los egipcios analizaban datos de su población y la renta del país. El imperio romano fue el primer gobierno que recopiló datos sobre su población, superficie territorial y rentas. Ya en la Edad Media, los reyes carolingios Pepino el Breve y Carlomagno ordenaron realizar estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia (año 758 aprox.)En el Perú, los Incas mantenían un control exhaustivo de su población y territorio almacenando estos datos en “los quipus” los cuales solo podían ser descifrados por los quipucamayoc, una especie de estadistas y contadores del Imperio. El término estadística se deriva del vocablo “Estado”, porque la función primordial de los estados es y ha sido llevar registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, egresos, etc. Hoy en día es importante para realizar el control de calidad de un producto por ejemplo, describiendo con exactitud datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos y físicos. A todo esto el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística.

ESTADÍSTICACONCEPTO Y DEFINICIÓN

La estadística es la ciencia de recolectar, clasificar, describir e interpretar datos. Puede ser:

Estadística DescriptivaEs el conjunto de métodos estadísticos relacionados con el resumen y la descripción de los datos, comotablas, gráficas y análisis. Estadística InferencialConjunto de métodos con los que se hace la generalización o la inferencia acerca de una población, utilizando una muestra. Se precisa de una medida confiable (la probabilidad)

EJEMPLO 1 San Juan de Lurigancho tiene una extensión

de 131.25 km2, lo que representa el 4,91% de Lima.

Según el último censo, en nuestro distrito habitan 812 656 habitantes.

Existen 9 comisarías en el distrito, con unos 1 150 policías.

POBLACIÓN Y MUESTRA

Población es un conjunto de elementos (personas, puntajes, mediciones, etc.) en los cuales se pueden presentar determinadas características observables y que se pueden medir.Muestra es un subconjunto de elementos de una población.

EJEMPLO 2Identificar la población y muestra tomadas del colegio San AgustínLa población está conformada por todos los alumnos del plantel.La muestra son los alumnos del 3er Año…….

VARIABLES ESTADÍSTICAS Es la característica que se quiere

estudiar de los elementos de una población.Pueden ser:

VARIABLES CUALITATIVASSi el valor asignado es un atributo y no son numerables.

EJEMPLO 3Respondamos brevemente las posibilidades

La nacionalidad:……………………………….. El sexo:………………………………………….. El estado civil:…………………………………. El equipo de fútbol favorito:……………………...……………………………………………………

VARIABLES CUANTITATIVASSon aquellos que se obtienen como resultados de conteos y mediciones. Pueden ser:

VARIABLES CUANTITATIVASDISCRETAS Si sus valores son números naturales y se toman contando. Por ejemplo:EJEMPLO 4Obtener la siguiente información El número de alumnos en el aula: ………………..El número de alumnos nuevos del aula:………….La cantidad de alumnas en la clase:……………... VARIABLES CUANTITATIVASCONTÍNUASSon valores reales y se obtienen mediante mediciones. Por ejemplo:EJEMPLO 5Obtener la siguiente información La temperatura en Lima hoy día:…………………La estatura de un alumno:………………………...El peso de un alumno: …………………………...

- 1 -

CONSTRUYENDO

1. Escribe V (verdadero) o F (falso) según corresponda, justificando tu respuesta.

Al concluir que el peso promedio de un niño peruano de 13 años es 5kg, estamos haciendo una inferencia estadística……………..( )

Una población puede llegar a determinar una muestra………………………………..( )

Una muestra puede llegar a determinar una población……………………………...( )

El color de los ojos de una persona es una variable cualitativa……………………( )

2. Con la siguiente información (CUADRO Nº1)

Nombre

Sexo Lugarde

nacimiento

Edad (años)

Estatura(m)

Nº de herm.

JoelIanAnaKattyElsaRubénMarcia

MMFFFMF

IcaLimaLimaPiuraIquitosCuscoLima

13131413141313

1,571,591,651,631,651,601,66

2312034

Identifique las siguientes variables con los datos obtenidos del cuadro anterior:

VARIABLES ESTADÍSTICAS

CUALITATIVAS……………………………………… CUANTITATIVA DISCRETA……………………………………… CUANTITATIVA CONTÍNUA………………………………………

DATOS ESTADÍSTICOS………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Para tener en cuenta La población, según el número de elementos

que la componen, puede ser finita o infinita. La muestra debe ser seleccionada de manera

que sea representativa de la población.

3. Obtener la siguiente información con los alumnos ubicados en tu fila (CUADRO Nº2)

Nombre Sex Lugar de nacimiento

Edad(años)

Talla(m)

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

....................

...............

4. Identifique las siguientes variables con los datos obtenidos del cuadro anterior:

VARIABLES ESTADÍSTICAS

CUALITATIVAS……………………………………… CUANTITATIVA DISCRETA……………………………………… CUANTITATIVA CONTÍNUA………………………………………

DATOS ESTADÍSTICOS………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ¿Cuáles son las variables que más se repiten en el cuadro Nº 1?

……………………………………………………………………………………………………………………….

6. ¿Cuáles son las variables que más se repiten en el cuadro Nº 2?

……………………………………………………………………………………………………………………….

- 2 -

REFORZANDOMIS CAPACIDADES 6. Clasifica las siguientes variables del censo

de alumnos del colegio:

Grado que cursa Año de ingreso Nacionalidad Estado civil de los padres Número de hermanos Ingreso mensual promedio Tiempo de residencia en Lima Número de cursos desaprobados

7. ¿Cuál de los casos representa una variable de tipo continuo?

(a) El número del DNI de cada persona (b) El número de hermanos que tiene cada

alumno del aula de tercer año.(c) Tiempo de residencia de una persona en

Lima(d) Ingreso mensual de cada familia(e) La estatura de los jugadores de un equipo

8. Para hacer un estudio sobre la migración hacia Lima por parte de los habitantes del departamento de Piura, se escogieron las provincias de Paita, Sullana y Piura.

Identifica la población y muestra respectiva.

9. Completa el cuadro

TIPO DE VARIABLE

NOMBRE DE LA VARIABLE DATO

Cualitativa

Color de ojos

peruanoEstado civil

CuantitativaDiscreta

3 hijosEdad

Cursos aprobados

CuantitativaContinua

75,3 kgTalla

Precio de la gasolina

1. Identifica cuáles corresponden a variables discretas y cuáles a variables continuas.

(a) Número unidades de un artículo en existencia.

(b) Tonelaje total embarcado.(c) Asistencia a una reunión anual de una

Compañía.(d) Edades de los alumnos del curso de

aritmética de tercero.(e) Volumen en milímetros cúbicos de

sangre de una persona.

2. En un estudio sobre el rendimiento de un alumno de secundaria en el colegio; se analizan las notas de los cursos de una sección de tercero de secundaria. En éste caso ¿Cuál es la población?¿Cuál es la muestra?

3. En cada caso, establece una población y una muestra.

(a) Las notas de los alumnos del tercer año.(b) El precio de la entrada al estadio.(c) El estado civil de las personas.(d) la placa de rodaje de un automóvil.(e) la maraca registrada por un atleta.

4. Señala las diferencias entre una variable cuantitativa y una variable cualitativa. Escribe 3 ejemplos de cada uno.

5. Clasifica cada una de las siguientes variables de una encuesta aplicada a un grupo de clientes de una compañía .

Número de teléfono Edad Estado civil Tipo de vivienda. Número de hijos Grado de instrucción Ingresos mensuales Lugar de nacimiento

6. En un estudio acerca del uso del consumo de la electricidad de una urbanización se tomó una muestra de 80 viviendas, registrando el consumo mensual de luz por vivienda, así como el tipo de tarifa (residencial, industrial o comercial). El estudio determinó que el consumo promedio de luz por vivienda es de 580kw. Identifica la población, muestra, variables y tipos de variables.

- 3 -

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( F )

Es la suma de las frecuencias absolutas de los datos inferiores o iguale a dicho dato, es decir lo que se ha acumulado hasta un momento dado.

EJEMPLO 2Con los datos obtenidos del ejemplo anterior, hallaremos ahora la frecuencia absoluta acumulada.

BAILE

FRECUENCIA ABSOLUTA

( f )

FRECUENCIAABSOLUTA

ACUMULADA ( F )

Marinera norteña

5 5

Marinera limeña

2 7

Carnaval cajamarquino

3 10

Diablada puneña

4 14

Danza waca waca

6 20

Carnaval de Huancapi

3 23

Danza del chujchu

4 27

El Ticapalla 7 34

N (TOTAL) = 34 alumnos

EJEMPLO 3¿Cómo se completó la tercera columna?

Al primer dato de la frecuencia absoluta (5) le sumamos su segundo dato (2) y así obtuvimos el segundo resultado de la frecuencia absoluta acumulada (7). Lo mismo hicimos para calcular el tercer resultado de la frecuencia absoluta acumulada (10) que es el resultado de sumar las frecuencias absolutas primera (5), segunda (2) y tercera (3).

EJEMPLO 4¿Qué relación existe entre la frecuencia total N y el valor de la última fila de la frecuencia acumulada?

Al sumar todas las frecuencias absolutas (5+2+3 +4+6+3+4+7), ésta suma corresponde al valor del último cuadro de la frecuencia absoluta acumulada (34) por lo que se deduce que deberán ser siempre iguales.

FRECUENCIAEs el número de veces o repeticiones que aparece, durante el proceso de observación y medición, cada uno de los datos considerados en una variable.

FRECUENCIA ABSOLUTA ( f )De lo anterior podemos deducir que Frecuencia Absoluta (f) es el número de veces que se repite cada valor.

EJEMPLO 1En el colegio se está organizando un festival de danza folklórica, para lo cuál se hará una presentación de bailes, comidas y artesanía peruana. A la clase del profesor A. Huiman le correspondió hacer la presentación de los bailes típicos, donde todos los alumnos del curso deberán participar.

Para la organización de los bailes, decidieron preguntar a los 34 alumnos del curso ¿Qué baile les gustaría realizar? Se anotaron los siguientes resultados en la tabla.

BAILE CONTEO

FRECUENCIA

ABSOLUTA

( f )

Marinera norteña IIIII 5

Marinera limeña II 2

Carnaval cajamarquino

III 3

Diablada puneña IIII 4

Danza waca waca IIIIII 6


III 3

Danza del chujchu IIII 4

El Ticapalla IIIIIII 7

la segunda columna (conteo) representa un alumno del curso.

Entonces la tercera columna representa la cantidad total de alumnos en cada tipo de baile, es decir la frecuencia Absoluta (f).

FRECUENCIA RELATIVA ( h )

Se llama Frecuencia relativa para un dato cualquiera de la variable, al cociente entre la frecuencia absoluta (f) y el número de observaciones realizadas (N).

TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE

No hay cosa que los hombres traten de conservar tanto ni de administrar tan mal, como su

propia vida

La Bruyere

FRECUENCIAS

- 4 -

EJEMPLO 5Veamos a continuación las tablas respectivas de las frecuencias Relativa y Relativa Acumulada,Tomando como referencias los datos obtenidos en los ejemplos anteriores.

EJEMPLO 6¿Cómo interpretamos ahora, la quinta fila?

Hubieron 6 personas que optaron por la Danza Waca Waca. 20 personas optaron por las opciones de marinera norteña, marinera limeña, carnaval cajamarquino,

diablada puneña y la danza waca waca. El 0,18 ó 6/34 de las personas que fueron encuestados, eligieron la danza waca Waca. El 0,60 de los encuestados escogieron entre las opciones de marinera norteña, marinera limeña,

carnaval cajamarquino, diablada puneña y la danza waca waca.

FRECUENCIA RELATIVA ( h )

Se llama Frecuencia relativa para un dato cualquiera de la variable, al cociente entre la frecuencia absoluta (f) y el número de observaciones realizadas (N).

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( H )

Se llama Frecuencia Relativa Acumulada de un dato cualquiera de la variable, a la suma de las frecuencias relativas de los datos inferiores o iguales a dicho dato.

- 5 -

BAILE FRECUENCIA ABSOLUTA

(f)

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADA(F)

FRECUENCIA RELATIVA

(h)

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADA(H)

Marinera norteña

5 5 5 = 0,15 34

0,15

Marinera limeña 2 7 2 = 0,06 34

0,21

Carnaval cajamarquino 3 10 3 = 0,09

340,30

Diablada puneña

4 14 4 = 0,12 34

0,42

Danza waca waca

6 20 6 = 0,18 34

0,60


3 23 3 = 0,09 34

0,69

Danza del chujchu

4 27 4 = 0,12 34

0,81

El Ticapalla 7 34 7 = 0,21 34

1,02

N (TOTAL) = 34 alumnos 1,00 APROX. 1,00

1. Coloca en los espacios libres de cada enunciado alguno de los términos dados a continuación:

Frecuencia acumulada - marca de clase- rango de variación de datos - numero de intervalos - distribución de frecuencias- ojiva - histograma.

a.- La grafica de frecuencias acumuladas para datos continuos se llama____________

b.- Utilizando la regla de Sturges podemos hallar el___________________________

c.- La ________________________de x; se obtiene de la suma de frecuencias absolutas menores o iguales a x;

d.- La grafica de barras para datos continuos se denomina___________________

c.- La ____________________es útil para construir el polígono de frecuencias.

2. Completa la tabla correspondiente a las edades de 32 jóvenes excursionistas.

EDAD fi Hi % Fi Hi %

9 12,510 1612 0,7

513 215 416

Total

3. Del cuadro anterior, responda:

(a) ¿Cuántos jóvenes menores de 13 años fueron a la excursión?

………………………………………………

………………………………………………

(b) ¿Qué porcentaje de jóvenes son mayores de 13 años?

………………………………………………

………………………………………………

4. Al finalizar la inauguración de un centro se consulto a los primeros en retirarse si es su opinión la organización había sido buena (B), regular (R) o mala (M), obteniéndose los siguientes resultados: B,B,M,R.B.R,R,B,B,R,M,BElabora una tabla de frecuencias.

5. Para realizar un estudio sobre el costo de alquiler se seleccionaron 100 viviendas y se clasificaron según el valor de alquiler mensual, en 6 intervalos. A continuación se muestran las marcas de clase y las frecuencias absolutas de cada intervalo.

Alquiler ($) Viviendas

225 9275 14325 19375 26425 15475 17

Construye la tabla de frecuencia

CONSTRUYENDOMIS

- 6 -

REFORZANDOMIS CAPACIDADES

6. De un estudio socioeconómico se han obtenido los siguientes ingresos familiares (en dólares).

450 360 310 210 100 620 530 260 325 370 420 550 640 795 230 340 380 350 280 430 575 680 240 345 390 450 585 160 460 290

Construye una tabla de frecuencias de 7 intervalos de amplitudes iguales.

Calcula el porcentaje de familias cuyos ingresos sean menores a $ 500.

En una prueba de actitud, 40 personas obtuvieron las siguientes calificaciones.

71 32 65 48 44 8368 45 90 38 58 5851 63 73 66 51 5060 51 36 56 67 4144 20 53 76 45 66

1. Construye una tabla de frecuencia de 7 intervalos.

2. Con los datos obtenidos en la pregunta anterior ¿Qué porcentaje de personas tienen calificaciones mayores o iguales a 60?

3. La siguiente es la distribución de los pasos reales de mercancía entregada de una muestra de estudio.Completa la distribución de frecuencias

Peso de Mercancías (en Kilos)

Frecuencias Absolutas

Frecuencias absolutas

acumuladas 88;89 7 89;90 31 90;91 15 91;92 3 92;93] 50

4. Se registró el tiempo (en minutos) que utilizan 30alumnos para ejecutar una tarea; los resultados fueron:

7:0 9:5 8:5 13:5 12:5 11:2 9:1 11:4 8:4 15:5 14:0 10:5 9:2 13:1 10:2 13:0 11:0 10:1 9:0 16:0 10:4 17:0 12:4 9:1 9:4 7:2 11:2 12:0 14:5 8:3

Construye una distribución de frecuencias de 6 intervalos de igual amplitud.

¿Qué porcentaje de alumnos utiliza menos de 12 minutos para terminar la tarea?

5. En una prueba de actitud, 40 personas obtuvieron las siguientes calificaciones.

71 32 65 48 44 8368 45 90 38 58 5851 63 73 66 51 5060 51 36 56 67 4144 20 53 76 45 66

Construye una tabla de frecuencia de 7 intervalos.

¿Qué porcentaje de personas tienen calificaciones mayores o iguales a 60?

Una empresa mayorista distribuidora de aparatos eléctricos desea estudiar sus cuantas por cobrar para dos meses sucesivos. Se seleccionan dos muestras independientes para 50 cuentas en cada uno de los meses. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

- 7 -

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DISTRIBUCIONES


RENÉ DESCARTES

Los cobardes mueren muchas veces, los valientes

solo una

SHAKESPEARE

- 8 -

Las tablas de frecuencias de los datos estadísticos muestran una información ordenada del hecho que se analiza y estudia. También se pueden representarlos gráficamente para obtener una apreciación global, rápida y visual de la información señalada.

DIAGRAMA DE BARRAS SEPARADAS

Es aquella representación gráfica que se usa cuando se tienen muchos datos, pero pocos valores distintos de la variable.

Se elaboran colocando en el eje de las abscisas los distintos valores de la variable y sobre cada una de ellas se levanta una línea perpendicular (barra), cuya altura es la frecuencia (absoluta o relativa) de dicho valor.

EJEMPLO 1El siguiente gráfico representa la información obtenida en una empresa al preguntarle a 60 empleados el número de hijos de cada uno.

Nº de empleados

33

12 9 6

1 2 3 4 Nº de hijos

Para tener en cuenta: Este diagrama no tiene uso si la variable es

continua. DIAGRAMA CIRCULAR

Empleado para fines comparativos, cuando se quiere mostrar diversos componentes de una serie de valores de la variable comparada con el total.

EJEMPLO 2El siguiente gráfico representa la información obtenida en una empresa al preguntarle a 60 empleados el número de hijos de cada uno, agrupado en porcentajes.

HISTOGRAMA

Es aquella representación gráfica de una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de clase, mediante rectángulos contiguos con base en el eje x, con centros en las marcas de clase y de longitud igual al tamaño de los intervalos de clase, las alturas son proporcionales a la frecuencia (absoluta o relativa) en el eje y.

EJEMPLO 3El siguiente gráfico representa la información obtenida en una empresa al preguntarle a 60 empleados su peso en kilogramos.

Nº de empleados

30

15 9 6

Peso de los 60 empleados (kg)

50 60 70 80 90


discreta.

1 hijo 10%

2 hijos 4 hijos

55% 20%

3 hijos 15%


continua.

- 9 -

CONSTRUYENDOMIS

POLIGONOS DE FRECUENCIAS

Resulta al unir los puntos medios de las bases superiores de cada región en el histograma.


Nº de empleados

30

15

9 6 Peso de

6 los 60 empleados (kg)

50 60 70 80 90

Para tener en cuenta: Tanto en el Histograma y en el polígono de

frecuencias es posible obtener la tabla estadística a la que pertenecen los datos señalados.

DIAGRAMA ESCALONADO.

Son diagramas de barras o rectángulos, similares al histograma, cuyas bases representan los intervalos de clase y las alturas son proporcionales a las frecuencias absolutas o relativas acumuladas.


Nº de empleados acumulados 60

45 39

9 Peso de empleados (kg)

50 60 70 80 90

4. Completa la tabla correspondiente a las edades de 32 jóvenes excursionistas.

EDAD fi Hi % Fi Hi %

9 12,510 1612 0,7

513 215 416

Total

Construye una grafica de barras para los datos obtenidos.

5. Al finalizar la inauguración de un centro se consulto a los primeros en retirarse si es su opinión la organización había sido buena (B), regular (R) o mala (M), obteniéndose los siguientes resultados: B,B,M,R.B.R,R,B,B,R,M,B

Elabora un DIAGRAMA CIRCULAR con los datos obtenidos en la respectiva tabla de distribución de frecuencias.

- 10 -

Para realizar un estudio sobre el costo de alquiler se seleccionaron 100 viviendas y se clasificaron según el valor de alquiler mensual, en 6 intervalos. A continuación se muestran las marcas de clase y las frecuencias absolutas de cada intervalo.

Alquiler ($) Viviendas225 9275 14325 19375 26425 15475 17

3. Con la tabla de distribución de frecuencias construida en el capítulo anterior dibuja el HISTOGRAMA .

4. Dibuja el POLÍGONO DE FRECUENCIAS respectivo.

De un estudio socioeconómico se han obtenido los siguientes ingresos familiares (en dólares).

450 360 310 210 100 620 530 260 325 370 420 550 640 795 230 340 380 350 280 430 575 680 240 345 390 450 585 160 460 290

5. Con la tabla de frecuencias de 7 intervalos de amplitudes iguales construido en el capítulo anterior, grafica el polígono de frecuencias.

6. Interpreta la gráfica dibujada en la pregunta 5

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………...

- 11 -


En una prueba de actitud, 40 personas obtuvieron las siguientes calificaciones.

71 32 65 48 44 8368 45 90 38 58 5851 63 73 66 51 5060 51 36 56 67 4144 20 53 76 45 66

1. Grafica el histograma (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

2. Grafica la representación por barras de frecuencias (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

3. La siguiente es la distribución de los pasos reales de mercancía entregada de una muestra de estudio.Grafica la ojiva de porcentajes (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

Peso de Mercancías (en Kilos)

Frecuencias Absolutas

Frecuencias absolutas

acumuladas 88;89 7 89;90 31 90;91 15 91;92 3 92;93] 50

4. Se registró el tiempo (en minutos) que utilizan 30alumnos para ejecutar una tarea; los resultados fueron:7:0 9:5 8:5 13:5 12:5 11:2 9:1 11:4 8:4 15:5 14:0 10:5 9:2 13:1 10:2 13:0 11:0 10:1 9:0 16:0 10:4 17:0 12:4 9:1 9:4 7:2 11:2 12:0 14:5 8:3Grafica el polígono de frecuencias (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

5. En una prueba de actitud, 40 personas obtuvieron las siguientes calificaciones.

71 32 65 48 44 8368 45 90 38 58 5851 63 73 66 51 5060 51 36 56 67 4144 20 53 76 45 66

Grafica el histograma (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)


Monto de las cuentas en

soles

Cuentas por cobrar en marzo

Cuentas por cobrar

en abril 1 000 ; 2 000 6 10 2 000; 3 000 13 14 3 000; 4 000 17 13 4 000; 5 000 10 9 5 000; 6 000 3 1 6 000; 7 000 ] 1 3

6. Grafica la ojiva de porcentajes (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

7. Grafica mediante barras de frecuencias absolutas acumuladas (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

Los consumos de Agua (en metros cúbicos) de 30 viviendas en el mes de marzo fueron:

4,3 7,8 6,1 15,7 12,8 17,2 3,5 16,1 12,4 6,9 18,0 11,5 13,4 6,5 14,3 8,7 13,0 9,2 12,8 3,0 4,2 11,2 16,2 7,0 4,5 7,8 15,9 16,5 8,4 5,9

8. Grafica el histograma (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

9. Grafica el polígono de frecuencias (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

10. Se tienen pocos datos sobre las notas de 100 alumnos en el curso de lenguaje.

Intervalo

mi fi Fi hi Hi

0,106 0,25

0,4514 0,90

100

Grafica el histograma de frecuencias relativas, el polígono de frecuencias y la ojiva (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

- 12 -

MEDIDAS DE TENDENCIA Son aquellos valores a los cuales convergen los demás valores de la variable. Estudiaremos la media, la mediana y la moda.

MEDIA ARITMÉTICA ( X )

Está dada por los suma de todos los datos de la población dividida entre el número total de ellos.

EJEMPLO 1Citaremos algunos ejemplos de medias o promedios aritméticos.

(a) El salario promedio de un obrero.(b) El precio medio o promedio de un pantalón.(c) El rendimiento promedio de un trabajador.(d) la temperatura media promedio durante la

semana.(e) El promedio de goles por partido de un

delantero de fútbol.(f) la nota final anual obtenida en el curso de

aritmética por un alumno.

La media aritmética se usa para datos no tabulados y datos tabulados.

PARA DATOS NO TABULADOSDado un conjunto N de números

EJEMPLO 2Un estudiante gasta diariamente en movilidad 3; 2; 5; 4; 6 y 3 nuevos soles. Su promedio de gastos en movilidad será.

__ _X = 3 + 2 + 5 + 4 + 6 + 3 = 23 = 3,83

6 6

PARA DATOS TABULADOS O AGRUPADOS

Sean x1; x2; x3;...; xk las marcas de clase de los k intervalos de una distribución respectivamente y además f1; f2; f3;...; fk son las frecuencias absolutas de los N intervalos respectivamente. Tenemos:

EJEMPLO 3En la siguiente tabla correspondiente al ingreso mensual promedio (en soles) de cierto número de familias.

Ii xi fi hi

300; 500> 500; 700> 700; 900> 900; 1100>

4006008001000

40361410

40%36%14%10%

n = 100_X = 400x40 + 600x36 + 800x14 + 1000x10 100_X = 4(40) + 6(36) + 8(14) + 10(10)_X = 160 + 216 + 112 + 100_X = 588

Para tener en cuenta:La media también llamada media aritmética o promedio aritmético, es el más usado por todos nosotros y el más fácil de calcular

MEDIANA ( Me )

Es el valor que divide al total de observaciones (n) debidamente ordenadas o tabuladas en 2 partes de igual tamaño. La mediana dependerá de la cantidad de datos mas no de los valores de estos.

PARA DATOS NO TABULADOSCuando se obtengan datos obtenidos de una muestra se tendrán 2 casos.En primer lugar, tendremos que ordenarlos en forma ascendente o descendente.

Tenemos los siguientes casos:

1. Cuando se tiene un número impar de datos.La mediana será igual al valor del término central.

EJEMPLO 3Si se tiene el número de hijos de 7 familias las cuales son 5; 1; 6; 1; 2; 1 y 4

Ordenando: 1; 1; 1; ; 4, 5; 6

Notamos que el dato central es 2, por lo que diremos que el cuarto dato es la llamada mediana, entonces Me = 2

2

21+25

x=a1+a2+a3+ .. .aN

n

x=x1 f i+x2 f 2i+x3 f 3+x k f k

n

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CONSTRUYENDOMIS

2. Cuando se tiene un número par de datosLa mediana es igual a la semisuma de los dos términos centrales.

EJEMPLO 4Se tiene la cantidad de alumnos que asistieron a un aula de clases en los últimos 6 días: 26; 20; 21; 30; 25 y 21.

Ordenando: 20; 21; ; 29, 30

Entonces: Me = 21 + 25 = 23 2


Cuando se tengan datos, los cuales están clasificados por una cantidad de intervalos, tendremos que hallar el dato que hace dividir en dos partes de igual tamaño a la muestra.Luego se utiliza la siguiente fórmula:

n _ Fi - 1 Me = Li + 2 . A

fi

Donde: n : Número de datos. Li : Límite del intervalo de la mediana Fi – 1 : Frecuencia acumulada absoluta del

intervalo inmediatamente anterior al intervalo de la mediana.

fi : Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana.

A : Amplitud del intervalo de la mediana. EJEMPLO 5En la siguiente tabla correspondiente al ingreso mensual promedio (en soles) de cierto número de familias.

Ii fi Fi hi

300; 500> 40 40 40%

500; 700> 36 76 36%

700; 900> 900; 1100>

1410

90100

14%10%

n = 100

Como: n = 100 / 2 = 50 Por lo tanto I2 es el intervalo que contiene a la

mediana. Identificando valores:

L2 = 500 F1 = 40 f2 = 36A = 500 – 700 = 200

En la fórmula

Me = 500 + 50 - 40 .200

36

Me = 500 + 55,6Me = 555,6

Entonces la mediana es 555,6

MODA ( Mo )

Es el valor o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos.

PARA DATOS NO TABULADOS

La moda será el dato que se repite más (con mayor frecuencia) EJEMPLO 6Se tienen las edades de 9 personas: 17; 18: 16; 15; 18; 16; 18; 15 y 17. ¿Cuál será su moda?

La edad que más se repite es 18, entonces: Mo = 18

EJEMPLO 7Se tienen las notas del curso de aritmética, de 10 alumnos de un cierto colegio, las cuales son 17; 11; 12; 12; 16; 12; 13 16; 15 y 16. ¿Cuál será su moda? Las notas que más se repiten son 12 (con una

frecuencia igual a 3) y 16 (con una frecuencia igual a 3).

En este caso la distribución es bimodal, porque existen dos modas que son 12 y 16.

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Cuando se tengan datos clasificados en una cierta cantidad de intervalos, para poder hallar la moda será necesario construir un Histograma de la distribución e identificar la clase modal (aquella clase con mayor altura). Tenga en cuenta que la distribución puede ser multimodal.Luego se utilizará la siguiente fórmula:

d1

Mo = Li + . A d1 + d2

Donde: Li es el límite inferior del intervalo modal d1 = fi - fi - 1 d2 = fi - fi + 1 A es la amplitud del intervalo modal

EJEMPLO 8En la siguiente tabla correspondiente al ingreso mensual promedio (en soles) de cierto número de familias. Hallar la moda.

Ii xi fi hi

300; 500> 500; 700> 700; 900> 900; 1100>

4006008001000

40361410

40%36%14%10%

n = 100

Construyamos el Histograma de fi de la tabla

fi (cantidad de familias) 40 36

14

10 ingreso en S/.

300 500 700 900 1100

Para nuestro problema: d1 = 40 - 0 = 40 d2 = 40 - 36 = 4

40 Mo = 300 + . 200 = 481, 82 40 + 4

En estudio de edades de estudiantes de derecho se obtuvieron los siguientes datos:

16; 17; 18; 20; 16; 17; 18: 17; 17; 19; 17; 18: 17; 19; 17; 18; 16; 19; 16; 20; 17; 18; 16; 17; 19; 17;

Determina:

1. El promedio aritmético de los valores observados.

2. La media ponderada de las edades.

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3. La mediana

4. La moda correspondientes a los datos.

Se clasificaron los sueldos de los obreros de dos empresas, obteniéndose los siguientes resultados:

Empresa A

Sueldos ( s/.)Nº Obrerosfi Fi

140; 160 20 20 160; 180 30 50 180; 200 20 70 200; 220 ] 10 80

Empresa B

Sueldos ( s/.)Nº Obrerosfi Fi

135; 145 20 20 145; 155 30 50 155; 165 20 70 165; 185 ] 10 80

Si los obreros de la empresa A reciben posteriormente un aumento del 20 %, más una bonificación de 18 soles sobre sus haberes, y los obreros de la empresa B un aumento del 30 %, más una bonificación de 22 soles sobre sus sueldos, responde:

5. ¿En cuál empresa los obreros están mejor considerados, desde el punto de vista de sus salarios?

6. Calcula la mediana de los sueldos de los obreros de las dos empresas

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Una empresa paga sueldos que varían de $ 300 a $ 800 mensuales a sus 100 trabajadores, distribuidos en cinco intervalos de igual amplitud con frecuencias relativas de 0,10; 0,15; 0,30; 0,25; y 0,20 respectivamente

1. ¿Cuánto vale la media de los sueldos?

2. ¿Cuánto vale la mediana de los sueldos?

3. ¿Cuánto vale la moda de los sueldos? 4. ¿Qué porcentaje de trabajadores tienen sueldos de al menos 600 soles?

Los siguientes datos proporcionan las remuneraciones mensuales (en dólares) de 50 obreros:

73 47 67 82 67 70 60 67 61 8065 70 57 85 59 70 57 79 77 5869 58 76 67 52 68 69 66 72 8676 79 77 88 94 67 77 54 93 5673 64 70 46 68 63 72 84 63 74

5. Construye un cuadro de distribución de frecuencias.

6. Calcula la media aritmética

7. Calcula la mediana

8. Calcula la moda.

9. El gerente de una empresa de confecciones toma una muestra de 5 sueldos de sus trabajadores y afirma que el promedio de sus trabajadores es de S/ 1 500 soles mensuales, que la mediana es de S/ 1 200 soles y que la moda es de S/ 2 000 soles. ¿ Es posible que la afirmación del gerente sea verdadera? justifica tu respuesta

10. En un informe (que se supone correcto) sobre sueldos en todo el país, el INEI publica la siguiente tabla

Clase A Clase B% Población 20 % 30%

Media de sueldos

S/ 2 500 S/ 1 500

Y concluye diciendo que “el sueldo promedio en todo el país es S/ 1500”. ¿Qué comentario te merece el informe? si

fuese cierto la conclusión ¿Qué datos faltarían en el informe para una

clase C adicional?

El promedio anual de peleas ganadas por un boxeador es de 12 en el 2004, 10 en el 2005, 14 en el

2006.¿Cuánto es su promedio en los

últimos 3 años?

Nunca olvides que el sendero de la virtud es difícil de seguir, pero

una vez vencido honrosamente, tiene

por meta la inmortalidad.

NAPOLEÓN

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