ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Sesión No. 7

Nombre: Distribuciones de probabilidad para variables

aleatorias continuas

Contextualización

Al igual que la distribución binomial, la distribución de Poisson puede

aproximarse a una normal para procesos de cálculo de probabilidades cuando el

parámetro λ (literal griega lambda) es suficientemente grande. Este tipo de

aproximación permite extender el ámbito de aplicación de la distribución de

Poisson. La distribución exponencial de probabilidad guarda una importante

relación con la distribución de Poisson, sin embargo, debe destacarse que se

orienta a cálculos relacionados con la confiabilidad de sistemas y procesos, por

lo que es de gran utilidad en ingeniería, ciencias sociales, naturales y

administrativas.

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Introducción al Tema

Actualmente la estadística y los medios que se han desarrollado gracias a esta,

ayudan a determinar muchos conocimientos basados en las matemáticas y a

reforzar las formas en que se puede establecer un elemento.

En este caso la aproximación y la distribución son una forma de establecer los

parámetros numéricos con el uso de formulas del calculo integral y diferencial lo

que ayuda a comprobar los resultados para no determinar un error que pueda

ser catastrófico en el medio en que se aplica, se sabe que la estadística no es

100% exacta, por lo que cuenta con un margen de error que es mínimo y

representa la tolerancia que se tiene ante alguna situación, ya sea por el

redondeo de cifras o por la aproximación que se pueda tener.

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Explicación

Aproximación normal de probabilidades de Poisson

La distribución de Poisson cuantifica la ocurrencia de un evento específico por

unidad de tiempo, área o volumen, considerando que la probabilidad de

ocurrencia del evento por unidad de medida es idéntica para el total de las

unidades y que el número de ocurrencias del evento específico es independiente

entre cada unidad de medida. Los fenómenos que siguen este comportamiento

se denominan procesos de Poisson. En consecuencia, dado que el recuento de

ocurrencias de un evento en particular que se presenta por unidad de tiempo,

área o volumen sigue una distribución de Poisson, se presenta el siguiente

resultado denominado reproductividad de la ley de Poisson con respecto al

parámetro λ.

Si X1, X2,... Xn son variables aleatorias independientes tales que Xi p(k; λ),, i=

1,..., n (es decir, la variable aleatoria Xi sigue una distribución de Poisson con

parámetro λ), entonces:

Si λ es lo suficientemente grande (mayor que cinco), la distribución de Poisson

puede aproximarse mediante la distribución normal. La aproximación de la

distribución de Poisson a través de la distribución normal se expresa de la

siguiente manera:

• Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson, Xi (k; λ)

y >5, entonces:

En este sentido, la variable aleatoria X puede considerarse como el número de

veces que ocurre un evento específico de un proceso de Poisson con tasa λ

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dentro de un intervalo unitario. Esto significa que la variable aleatoria X puede

descomponerse como la suma de n variables que contabilizan la ocurrencia de

un evento específico presentado en cada intervalo ((i −1)/ n,i / n),i =1,2,...,n , con

lo que se obtiene:

Siendo X1,... Xn variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas

p(k; λ) . Para n →∞, el Teorema del límite central establece que:

En donde el símbolo N(0,1) significa que se aproxima a una normal

estandarizada. Para calcular la probabilidad de Poisson mediante aproximación

a la distribución normal se tiene que:

Ejemplo: Supóngase que una editorial imprime un texto que contiene erratas al

azar con una tasa λ de 0.5 erratas por página. Calcular la probabilidad de que en

200 páginas se encuentren más de 80 erratas.

Solución: Se tiene la variable aleatoria X= número de erratas en 200 páginas de

texto. Ésta sigue una distribución de Poisson con λ =0.5(200)=100. Dado que

λ>5, es posible realizar la aproximación a la distribución normal:

En donde corresponde al área en tablas de la distribución normal para

el valor

y que es igual a 0.4744 por lo tanto, P (X>80)=

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Distribución exponencial de probabilidad

La distribución exponencial es un modelo matemático que se aplica con

frecuencia en teoría de la confiabilidad, es decir, en el estudio de la confiabilidad

de elementos y sistemas susceptibles de fallo.

Definición

Una variable aleatoria continua X que puede tomar todos los valores no

negativos tiene una distribución exponencial de probabilidad con parámetro

(literal griega alfa) positivo si su función de densidad de probabilidad está dada

por:

f (x) =e−x ,

x>0 =0 para cualquier otro valor.

El comportamiento de esta distribución puede mostrarse gráficamente. Por

ejemplo, para =5 se obtiene la siguiente gráfica:

5 exp (-5x)

Cálculo de probabilidades con la distribución exponencial

La función de distribución acumulativa está dada por:

F (x)= P(X≤ x)=

=0, para cualquier otro valor.

En consecuencia, P(X > x)= .

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Conclusión

El uso de fórmulas matemáticas dentro de esta rama de estudio es importante,

pues con estas se facilita la forma de obtener resultados de algún medio en el

que se trabaja. Si no se cuentan con las formulas adecuadas, es necesario

conocer todos los elementos que se desean descifrar y de un procedimiento mas

laborioso y repetitivo que servirá para determinar el resultado.

Estas mismas formulas sirven para poder graficar en un rango ya establecido, es

decir, solamente requieren de la sustitución de variables y la resolución de la

ecuación, lo que dará los puntos cardinales útiles para marcar el comportamiento

del objeto de estudio dentro de un plano cartesiano ya enumerado.

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Aplicaciones de cómputo. Aplicación de una hoja de cálculo

para calcular probabilidades con distribución normal

La hoja de cálculo Excel dispone de la función DISTR.NOR M.ESTAND(x), la

cual devuelve la probabilidad P( X < x) siempre y cuando X sea una variable

aleatoria normal estandarizada, con media µ= 0 y desviación estándar =1,

Ejemplo:

Sea X una variable aleatoria normal estandarizada. Utilizando la función DISTR.

NOR M.ESTAND(x) de Excel®, calcular las siguientes probabilidades:

Soluciones:

1. Se introduce el valor 2 en la celda A1.

Posteriormente, en la celda A2 se introduce la función DISTR. NOR

M.ESTAND( ).

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Con el argumento A1, es decir, DISTR.NOR M.ESTAND(A1), se obtiene como

resultado el valor 0.977249868.

2. Se introduce el valor 2 en la celda A1.

Posteriormente, en la celda A2 se introduce la fórmula: =(1-DIST. NOR

M.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.022750132 como resultado.

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3. Se introduce el valor 2 en la celda A1. Una vez hecho lo anterior, se introduce

en la celda A2 la fórmula: =(DISTR.NOR M.ESTAND(A1)-0.5). Con lo que se

obtiene 0.477249868 como resultado.

4. Se introduce el valor 0 en la celda A1. Posteriormente, se introduce en la

celda A2 la fórmula: =(DISTR.NORM.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.5

como resultado.

5. Se introduce el valor 1 en la celda A1. Posteriormente, se introduce en la

celda A2 la fórmula: =((DISTR.NORM.ESTAND(A1)-0.5)*2). Con lo que se

obtiene 0.682689492 como resultado.

6. Se introduce el valor 2 en la celda A1.

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Posteriormente, se introduce en la celda A2 la fórmula: =(1-DISTR.

NORM.ESTAND(A1)). Con lo que se obtiene 0.022750132 como resultado.

7. Primero se introducen por simetría, los valores 2 y 2.5 respectivamente en las

celdas A1 y A2. Luego se introduce en la celda A3 la fórmula

=DISTR.NORM.ESTAND(A1) y en la celda A4 la fórmula =DISTR.

NORM.ESTAND(A2).

Finalmente, se introduce en la celda A5 la fórmula =(A4-A3), con lo que se

obtiene como resultado 0.01654047.

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Actividad de Aprendizaje

Instrucciones: en base a lo visto anteriormente, resuelve los siguientes

elementos. Recuerda que puedes utilizar formulas de apoyo las cuales se

han explicado a lo largo de las sesiones.

1. El tiempo en que un cajero automático dispensa efectivo a los clientes sigue

una distribución exponencial con un parámetro de =0.5 minutos. Calcular la

probabilidad de que un usuario tenga que esperar más de 0.65 para recibir su

efectivo.

2. Una editorial imprime un texto que contiene erratas al azar con una tasa λ

de 0.5 erratas por página. Calcular la probabilidad de que en 200 páginas

se encuentren más de 85 erratas.

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Bibliografía

García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de

Cultura Económica.

Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística.

México: Sociedad Matemática Mexicana.

Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley

Iberoamericana.

Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México:

UNAM.

Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.