ESTADÍSTICA INFERENCIAL.pptx

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DIFERENCIA ENTRE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL DESCRIPTIV A INFERENCIA L SE OCUPA DE RESUMIR DATOS RECOPILADOS EN EVENTOS PASADOS SE OCUPA DE: ESTUDIAR LO QUE OCURRIRÁ, LO QUE SUCEDERÁ CON EVENTOS FUTUROS ESTIMAR UTILIZANDO DATOS DE LA MUESTRA PARA LLEGAR A CONCLUSIONES ACERCA DE LA POBLACIÓN Y TOMAR DECISIONES LOS PRECIOS DE VENTAS DE VEHÍCULOS DURANTE EL MES PASADO

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Diapositiva 1

DIFERENCIA ENTRE ESTADSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIALDESCRIPTIVAINFERENCIALSE OCUPA DE RESUMIR DATOS RECOPILADOS EN EVENTOS PASADOSSE OCUPA DE:ESTUDIAR LO QUE OCURRIR, LO QUE SUCEDER CON EVENTOS FUTUROSESTIMAR UTILIZANDO DATOS DE LA MUESTRA PARA LLEGAR A CONCLUSIONES ACERCA DE LA POBLACIN Y TOMAR DECISIONES

LOS PRECIOS DE VENTAS DE VEHCULOS DURANTE EL MES PASADOEJEMPLOS1.-UN FABRICANTE DE ROMPECABEZAS QUIERE SABER SI LOS USUARIOS LO COMPRARN, UTILIZANDO UNA MUESTRA EL FABRICANTE PUEDE ESTIMAR , PRONOSTICAR LA PROPORCIN DE LA POBLACIN QUE VA A COMPRAR

2.- LAS AUTORIDADES SANITARIAS SABEN QUE UNA DETERMINADA ENFERMEDAD INFECCIOSA SE TRASMITE POR CONTACTO, PERO NO TODAS LAS PERSONAS SON SUCEPTIBLES DE CONTAGIARSE Por lo que se puede desarrollar modelos probabilsticos para describir el posible progreso de tales epidemias, con lo que se podr predecir Cunto tiempo durar la epidemia, cuntas personas se contagiarn y la velocidad con la que se difundir a travs de una comunidad

QU ES LA PROBABILIDAD?

ES LA MEDIDA QUE DESCRIBE LA POSIBILIDAD RELATIVA DE QUE UN EVENTO OCURRA; EL TRMINO PROBABILIDAD SE USA PARA SUGERIR QUE EXISTE RIESGO O INCERTIDUMBRE, SE EXPRESA EN DECIMALES YPUEDE ASUMER VALORES ENTRE CERO Y UNO

P(E) 0 ; 1

CERO REPRESENTA ALGO QUE NO PUEDE OCURRIRUNO REPRESENTA LGO QUE S PUEDE OCURRIR

No puede sucederSeguramente va a sucederProbabilidad de que el sol no salga este aoProbabilidad de que este ao llueva0,001,00PROBABILIDADCOMPARACIN ENTRE EVENTOS FAVORABLES Y EL TOTAL DE LA MUESTRACOMPARACIN ENTRE EVENTOS POSIBLES Y ESPACIO MUESTRALELEMENTOS BSICOS DE LAS PROBABILIDADESEXPERIMENTOEVENTOO SUCESO ALEATORIORESULTADOES LA CONSECUENCIA PARTICULAR DE UN EXPERIMENTO 1. ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO2. ES LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES POSITIVAS Y NEGATIVASP(+) POSITIVAS O FAVORABLESP(-) NEGATIVAS O DESFAVORABLESP+q = 1 Espacio muestral

ES UNA ACCIN QUE CONLLEVA A LA OCURRENCIA DE UNO Y SLO UNO DE LOS POSIBLES RESULTADO ESPACIO MUESTRALSON LAS FORMAS COMO PUEDEN PRESENTARSE LOS RESULTADOS DE UN EXPERIMENTOEXPERIMENTORESULTADOEVENTOESPACIO MUESTRALLANZAR UNA MONEDARESULTADO PARTICULAR PUEDE SER CARA O SELLOE(CARA)E(SELLO)SS= (CARA, SELLO)LANZAR UN DADORESULTADO PARTICUAR PUEDE SER UNO, DOS,TRES, CUATRO, CINCO O SEISE (1)E (2)E(3)E(3)E(4)E(5)E(6)SS= (1,2,3,4,5,6)PREGUNTAR AUN GRUPO DE ESTUDIANTES SI COMPRARN O NO UN NUEVO PROGRAMA DE CONTABILIDAD ESTE SEMESTRERESULTADO PARTICULAR PUEDE SER S comprarnNo comprarnE(S COMPRAR)E(NO COMPRARN)SS = (S COMPRARN, NO COMPRARN)EXPERIMENTORESULTADOEVENTOESPACIO MUESTRALREVISAR UN PRODUCTO PARA VER SI EST DEFECTUOSO O NO DEFECTUOSODEFECTUOSONO DEFECTUOSOE(DEFECTUOSO)E(NO DEFECTUOSO)SS= DEFECTUOSO, NO DEFECTUOSO)LANZAR DOS DADOSDADOSA B 1 2 3 4 5 6A (1,2,3,4,5,6)B (1,2,3,4,5,6)SS = A B posibles combinaciones (1,1) (1, 2) (1,3 ) (1,4 ) (1,5) (1,6

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3,) (3,4) (3,5) (3,6 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Total 36

AUTOEVALUACIN 5-1UNA EMPRESA DESARROLL UN NUEVO JUEGO DE VDEO PARA COMPUTADORA, OCHENTA JUGADORES VETERANOS VAN A PROBAR SU POTENCIAL EN EL MERCADOCUL ES EL EXPERIMENTO?CUL ES UN RESULTADO POSIBLE?SUPONGAMOS QUE 65 JUGADORES PROBARON EL NUEVO JUEGO Y DIJERON QUE LES GUSTABA. 65 ES UNA PROBABILIDAD?LA PROBABILIDAD DE QUE EL NUEVO JUEGO SEA UN XITO SE CALCULA EN -1 . COMENTE AL RESPECTOESPECIFIQUE UN EVENTO POSIBLE

SOLUCIN:PRUEBAS DEL NUEVO JUEGO PARA COMPUTADORAA 73 JUGADORES LES GUST EL JUEGONO, LA PROBABILIDAD NO PUEDE SER MAYOR DE 1 . LA PROBABILIDAD DE QUE EL JUEGO TENGA XITO SI SE LANZA AL MERCADO ES 65/80 O 0, 8125NO PUEDE SER MENOR DE 0 . QUIZ UN ERROR EN ARITMTICAA MS DE LA MITAD DE LAS PERSONAS QUE PROBARON EL JUEGO LES GUST. (DESDE LUEGO , SON POSIBLES OTRAS RESPUESTAS)ENFOQUES PARA ASIGNAR PROBABILIDADESENFOQUE OBJETIVOENFOQUE SUBJETIVOPROBABILIDAD CLSICAPROBABILIDAD EMPRICACUANDO NO EXISTE INFORMACIN ANTERIOR SE ESTIMA LA PROBABILIDAD EN BASE A LA INFORMACIN DISPONIBLE

IMPLICA UNA DETERMINACIN A PRIORI DE LOS VALORES PROBABILISTICOS;ES DECIR, SE CALCULAN LOS VALORES ANTES DE OBSERVAR LOS HECHOSSE CALCULAN LAS PROBABILIDADES DESPUS QUE SE HAN OBSERVADO LOS RESULTADOS DE UN NMERO DE HECHOSPROBABILIDAD CLSICA

PROBABILIDAD EMPRICA

CONSIDERE EL EXPERIMENTO DE TIRAR UN DADO CON SIES LADOS CUL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EN EL EVENTO LA CARA EN LA QUE HAY UN NMERO PAR DE PUNTOS QUEDE HACIA ARRIBA

DADOS

EN EL GRUPO DE 6 RESULTADOS POSIBLES QUE SON IGUALMENTE PROBABLES, HAY 3 RESULTADOS FAVORABLES (2,4,6)

3 (RES.FAVO)PROB. DE UN NMERO PAR= --- = 0.5 6 TOT.RES.PO)EL 1 DE FEBRERO DEL 2003, EXPLOT EL TRANSBORDADOR ESPACIAL COLUMBIA. ESTE FUE EL SEGUNDO DESASTRE EN 113 MISIONES ESPACIALES PARA LA NASSA. CON BASE EN ESTA INFORMACIN, CUL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA MISIN FUTURA SE REALICE CON XITO?

P = PROBABILIDADPA = PROBABILIDAD DE QUE UNA MISIN FUTURA SE LLEVE A CABO CON XITO

N DE VUELOS EXITOSOSPROB.DE VUELO EXITOSO = --------------------------------- N TOTAL DE VUELOS 111P(A) = ------ = 0.98 113 N RESULTADOS FAVORABLESPROB. CLSICAS= -------------------------------------- N TOTAL RESULTADOS POSIBLES N DE VECES QUE UN EVENTO OCURRIPROB. EMPRICA= -------------------------------- N TOTAL DE OBSERVACIONESAUTOEVALUACIN 5-21. Se va a seleccionar al azar una carta de una baraja estndar de 52 piezas. Cul es la probabilidad de que la carta sea una reina?. Qu estrategia de probabilidad emple para responder esta pregunta?2. El centro para el cuidado del nio reporta el estado civil de los padres de 539 nios. Hay 333 parejas casadas, 182 divorciadas y 24 padres viudos. Cul es la probabilidad de que un nio en particular elegido al azar tenga un padre divorciado?. Qu estrategia emple?.3. Cul es la probabilidad de que el Promedio Industrial Dow Jones sea mayor de 12000 en los prximos 12 meses?. Qu estrategia de probabilidad utiliz para responder esta pregunta?

SOLUCIN 4 reinas tiene La baraja ----------------------------- = 0.0769 52 total de cartas

182 --------- = 0.338 emprico 539

3. El punto de vista del autor al escribir el libro de la probabilidad de que el DJIA aumente a 12000 es 0.25. Usted puede ser 5 o ms optimista. Subjetivo.

12CLASES DE EVENTOSMUTUAMENTE EXCLUYENTESCOLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS CUANDO UN EVENTO OCURRE ,NINGUNO DE LOS OTROS PUEDE OCURRIR AL MISMO TIEMPOEJEMPLO: EN LA VARIABLE GNERO TENEMOS HOMBRE O MUJER, PERO NO PUEDE SER DE AMBOS GNEROS A LA VEZCUANDO AL REALIZAR UN EXPERIMENTO, POR LO MENOS UNO DE LOS EVENTOS DEBE OCURRIR EJEMPLO: AL LANZAR UN DADO TODOS LOS RESULTADOS SERN PARES O IMPARES Ejercicios del 1 al 10 (146-147)REGLAS PARA CALCULAR PROBABILIDADESES APLICABLE A EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES(CUANDO UN EVENTO OCURRE, NINGUNO DE LOS OTROS PUEDE OCURRIR AL MISMO TIEMPO)LA VARIABLE GNERO ES HOMBRE O MUJER, NO PUEDE SER DE AMBOS GNEROSUN PRODUCTO PUEDE SER ACEPTABLE O INACEPTABLE, NO PUEDE SER LAS DOS COSAS A LA VEZSI DOS EVENTOS A Y B SON MTUAMENTE EXCLUYENTES, LA REGLA DE LA ADICIN ESTABLECE QUE LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UNO U OTRO ES IGUAL A LA SUMA DE SUS PROBABILIDADES

REGLA ESPECIAL : P(A o B) = P(A)+P(B)

PARA TRES EVENTOS: P(A o B o C) = P(A)+P(B)+P(C) REGLA ESPECIAL DE LA ADICINEJEMPLO: UNA MQUINA AUTOMTICA LLENA FUNDAS DE PLSTICO CON UNA MEZCLA DE FRIJOLES, BRCOLI Y OTRAS VERDURAS. LA MAYOR PARTE DE LAS FUNDAS CONTIENE EL PESO CORRECTO, PERO DEBIDO A LA VARIACIN EN EL TAMAO DE LOS FRIJOLES Y LAS VERDURAS, UN PAQUETE PUEDE TENER MAYOR O MENOR PESO. UNA REVISIN DE 4000 PAQUETES QUE SE LLENARON REVEL :

PesoEventoN de paquetesProbabilidad de ocurrenciaMenos pesoSatisfactorioMs pesoABC1003 6003004 0000,0250,9000,0751 000

100 ------- 4, 000Cul es la probabilidad de que un paquete en particular est pasado de peso o le falte pesoEl resultado pasado de peso es el evento AEl resultado falto de peso es el evento CAPLICANDO LA RERGLA ESPECIAL DE LA ADICIN TENDRAMOS:P(A o C) = P(A) +P(C) 0,025 + 0,075 = 0,10

NTESE QUE LOS EVENTOS SON MTUAMENTE EXCLUYENTES (lo que significa que un paquete de mezcla de verduras no puede estar pasado de peso y pesar menos al mismo tiempo)

ASIMISMO, SON COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS PORQUE (un paquete seleccionado slo puede estar pasado de peso, o pesar menos)

REPRESENTACIN GRFICA DEL RESULTADO DE UN EXPERIMENTOEl lgico ingls J. Venn (1835-1888) desarroll el Diagrama de Venn , es una herramienta til para representar las reglas de la adicin y multiplicacin. Para elaborar este diagrama primero se delimita un espacio rectangular que representa el total de todos los resultados posibles y dentro de l se representa mediante crculos los eventos en tamao proporcional a la probabilidad del evento; ejemplo

CUANDO LOS EVENTOS SON MTUAMENTE EXCLUYENTES (NINGUNO SE SUPERPONE)

Evento B

Evento AEvento CPOR LGICA:

EN EL EJEMPLO ANTERIOR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA FUNDA DE MEZCLA DE VERDURAS SELECCIONADA : PESE MENOS DE LO QUE DEBE P(A),MS LA PROBABILIDAD DE QUE NO PESE MENOS P ( A); DEBE SER IGUAL A 1

Esto se puede expresar de dos maneras:

Primera: P(A) + P ( A) = 1 Segunda: REGLA DEL COMPLEMENTO = P(A) = 1 P( A)

UTILIZANDO LA REGLA DEL COMPLEMENTO PODRAMOS MOSTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE UNA FUNDA SEA SATISFACTORIA (que no pese ni menos , ni ms de lo que debe)

P(B) = 1- P(A)+P(C)1 0,025 +0,075 = 0,900

AUTOEVALUACIN 5-3:

Una muestra de empleados participa en una encuesta sobre un nuevo plan de pensin. Los empleados se clasifican como sigue:

ClasificacinEventoN de EmpleadosSupervisoresA120MantenimientoB50ProduccinC1460AdministracinD302SecretariasE68Total2000Cul es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea:i )Un empleado de mantenimiento o una secretariaii )Un empleado que no forma parte de la gerenciab. Elabore un diagrama de Venn ilustrando sus respuestas en la parte (a)c. Los eventos en la parte (a) (i) son complementarios, mutuamente excluyentes o ambos?SOLUCIN:

b)

BEDc) No son complementarios, pero s mutuamente excluyentes

REGLA GENERAL DE LA ADICINLOS RESULTADOS DE UN EVENTO PUEDEN NO SER MUTUAMENTE EXCLUYENTES REGLA GENERAL =P(A o B) = P(A)+P(B) P(A y B)Para la expresin P(A o B) , el conectivo o sugiere que puede ocurrir A o puede ocurrir B.

Esto tambin incluye la posibilidad de que ocurra A y B .El uso del conectivo o en ocasiones se conoce como inclusivo.EJEMPLO.SUPONGAMOS QUE LA COMISIN DE TURISMO, DE FLORIDA SELECCION UNA MUESTRA DE 200 TURISTAS QUE VISITARON EL ESTADO DURANTE ESTE AO . LA ENCUESTA REVEL QUE 120 TURISTAS FUERON A DISNEY WORDL Y 100 A BUSCH GARDENS . CUL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA SELECCIONADA HAYA VISITADO DISNEY WORDL O BUSCH GARDENS ?

SI SE EMPLEA LA REGLA ESPECIAL DE LA ADICIN LA ,PROBABILIDAD DE ELEGIR A UN TURISTA QUE HAYA VISITADO DISNEY WORDL ES 120/200 = 0,60DE MANERA SIMILAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN TURISTA VISITE BUSCH GARDENS ES 100/200 = 0,50ENTONCES: P(DISNEY O BUSCH) = P(DISNEY) + P(BUSCH) P(DISNEY Y BUSCH) = 0,60 + 0,50 -- 0,30 = 0,80

LA SUMA DE ESTOS DOS PROBABILIDADES ES 1,10. SIN EMBARGO SABEMOS QUE ESTA PROBABILIDAD NO PUEDE SER MAYOR DE 1; LA EXPLICACIN ES QUE MUCHOS TURISTAS VISITARON AMBAS ATRACCIONES Y SE CUENTAN DOS VECES PORQUE UNA REVISIN DE LA ENCUESTA REVEL QUE 60 DE CADA 200 PARTICIPANTES EN LA MUESTRA LO HICIERON.PROBABILIDAD CONJUNTAES CUANDO OCURREN DOS EVENTOS AL MISMO TIEMPOEN EL EJEMPLO ANTERIOR LA POSIBILIDAD DE QUE UN TURISTA VISITE LAS DOS ATRACCIONES QUE ES (0,30) ES UNA PROBABILIDAD CONJUNTAEL DIAGRAMA DE VEN ILUSTRA DOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, PERO AMBOS SE SUPERPONEN PORQUE SON EVENTOS CONJUNTOS DE QUE ALGUNAS PERSONAS VISITARON LOS DOS PARQUESP(Disney y Busch) = 0,30P(Disney ) = 0,60P( Busch) = 0,50A DIFERENCIA ENTRE LA REGLAS DE LA ADICIN REGLA GENERALREGLA ESPECIALCUANDO LOS RESULTADOS DE UN EVENTO NO PUEDEN SER MUTUAMENTE EXCLUYENTES, PERO SE DAN AL MISMO TIEMPO (PROBABILIDAD CONJUNTA)QUE LOS EVENTOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTESEJEMPLO: CUL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA CARTA ELEGIDA DE UNA BARAJA ESTNDAR SEA UN REY O UN CORAZN?

CARTAPROBABILIDADEXPLICACINREYP(A) = 4 REYES EN UNA BARAJA DE 52CORAZONESP(B) = 13 CORAZONES EN UNA BARAJA DE 52REY DE CORAZONESP(A Y B) = (4) (13 ) (52) (52)1 rey de corazones en una baraja de 52 cartasP(A o B) = P(A) +P(B) P(A y B) = 4 + 13 (4/52) (13/52) 52 52 = 4+13 52 = 17 __ 52 52 2704 = 17 - 0,0192307 = 17 0,99 =0,3077 52 1 52

AUTOEVALUACIN 5-4: CADA AO SE REALIZAN EXMENES FSICOS DE RUTINA COMO PARTE DE UN PROGRAMA DE SERVICIOS DE SALUD PARA LOS EMPLEADOS DE UNA EMPRESA. SE DESCUBRI QUE EL 8% DE LOS EMPLEADOS NECESITAN ZAPATOS ORTOPDICOS, 15% REQUIEREN DE UN TRATAMIENTO DENTAL Y 3% NECESITAN TANTO ZAPATOS ORTOPDICOS COMO UN TRATAMIENTO DENTAL.CUL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UN EMPLEADO SELECCIONADO EN FORMA ALEATORIA NECESITE ZAPATOS ORTOPDICOS O TRATAMIENTO DENTAL?REPRESENTE ESTA SITUACIN EN EL DIAGRAMA DE VENN SOLUCINLa necesidad de zapatos ortopdicos es un evento ALa necesidad de un tratamiento dental es un evento BP(A o B)= P(A) +P(B) P(A y B) = 0,08+0,15 (0,08) (0,15) = 0,23 _ 0,012 = 0,22

Ejercicios 11 al 22 (152-153)

REGLAS DE LA MULTIPLICACINREGLA ESPECIAL REGLA GENERALESTA REGLA REQUIERE DE QUE DOS EVENTOS A y B SEAN INDEPENDIENTES SON AQUELLOS CUYAS PROBABILIDADES NO ESTN RELACIONADAS ENTRE S; QUE OCURRAN EN MOMENTOS DIFERENTES); POR LO TANTO LA OCURRENCIA DE UNO DE ELLOS NO ALTERA LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DEL OTROESTA REGLA REQUIERE QUE DOS EVENTOS SEAN DEPENDIENTES ES DECIR AQUELLOS CUYAS PROBABILIDADES ESTN CONDICIONADAS A LA REALIZACIN DE LA PROBABILIDAD DEL SUCESO ANTERIOR.SE UTILIZA PARA ENCONTRAR LA PROBABLIDAD CONJUNTA P(A y B) = P(A)P(B)PARA TRES EVENTOS INDEPENDIENTESP(A y B y C) = P(A) P(B) P(C) P(A y B) = P(A) P(B /A)27EJEMPLOSUNA ENCUESTA REALIZADA POR UNA EMPRESA AERONUTICA, REVEL QUE EL 60% DE SUS MIEMBROS HICIERON ALGUNA RESERVACIN EN UNA LNEA AEREA EL AO PASADO. SE SELECIONARON DOS MIEMBROS EN FORMA ALEATORIA. CUL ES LA PROBABILIDAD DE QUE AMBOS HAYAN HECHO UNA RESERVACIN EN UNA LNEA AREA EL AO PASADO?

La probabilidad de que el primer miembro haya hecho una reservacin en una lnea area el ao pasado es 0,60, se expresaP(R1) = 0,60

La probabilidad de que el segundo miembro seleccionado tambin haya hecho una reservacin, tambin es 0,60, se expresaP(R2) = 0,60Entonces . P(R1 y R2) = P(R1)P(R2) = (0,60) (0,60) = 0,36

CON LA REGLA DEL COMPLEMENTO, podemos calcular la probabilidad conjunta de Todos los resultado posibles, donde:

R = que hizo una reservacinNR= que no hizo ninguna reservacin

RESULTADOS PROBABILIDAD CONJUNTAR1 R2 (0,60)(0,60) =0,36 R1 NR (0,60)(0,40) = 0,24N R R (0,40) (0,60) = 0,24NR NR (0,40) (0,40) = 0,16TOTAL 1,00

REGLA ESPECIALAUTOEVALUACIN 5-5-

Teton Tire sabe que la probabilidad de que su llanta XB-70 dure 60 000 millas antes de que quede lisa o falle es de 0,80. A cualquier llanta que no dura 60 000 millas se le realiza un ajuste. Usted compra cuatro llantas XB-70. Cul es la probabilidad de que las cuatro llantas duren por lo menos 60 000 millas?

SOLUCIN:

P(A y B y C y D) = P(A) P(B) P(C) P(D) = (0,80)(0,80) (0,80) (0,80) = 0,4096

PROBABILIDAD CONDICIONALES CUANDO EL VALOR EST CONDICIONADO ( O ES DEPENDIENTE) DEL OTRO EVENTO EJEMPLO REGLA ESPECIAL DE LA MULTIPLICACIN(INDEPENDIENTES): SUPONGAMOS QUE EXISTEN 10 ROLLOS DE UNA PELCULA EN UNA CAJA Y SE SABE QUE 3 ESTN DEFECTUOSOS, SE SELECCIONA UN ROLLO DE LA CAJA.

LA PROBABILIDAD DE QUE UNO SEA DEFECTUOSO ES 3/10, Y LA PROBABILIDAD DE ELEGIR UN ROLLO NO DEFECTUOSO ES 7/10., LUEGO, SE SELECCIONA UN SEGUNDO ROLLO DE LA CAJA, SIN HABER REPUESTO EL PRIMERO. LA PROBABILIDAD DE QUE ESTE SEGUNDO ROLLO EST DEFECTUOSO DEPENDE DE SI EL PRIMERO ESTABA DEFECTUOSO O NO.

LA PROBABILIDAD DE QUE EL SEGUNDO ROLLO EST DEFECTUOSO ES:

2/9, SI EL PRIMER ROLLO ESTABA DEFECTUOSO (SLO HAY DOS ROLLOS DEFECTUOSOS EN LA CAJA QUE CONTIENE NUEVE ROLLOS)

3/9, SI EL PRIMER ROLLO SELECCIONADO ERA ACEPTABLE (LOS TRES ROLLOS DEFECTUOSOS SIGUEN EN LA CAJA QUE CONTIENE NUEVE ROLLOS)LA FRACCIN 2/9 o 3/9 SE CONOCEN COMO PROBABILIDAD CONDICIONAL, PORQUE SU VALOR EST CONDICIONADO ( O ES DEPENDIENTE) A LA ELECCIN DE UN ROLLO DEFECTUOSO EN LA PRIMERA OCASIN

EJEMPLO REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIN(DEPENDIENTES) CUL ES LA PROBABILIDAD DE ELEGIR UN ROLLO DEFECTUOSO Y DESPUS OTRO ROLLO DEFECTUOSO?

EN EL EJEMLO ANTERIOR DE LOS 10 ROLLOS EN UNA CAJA, 3 DE LOS CUALES ESTN DEFECTUOSOS.SE VAN A SELECCIONAR 2 ROLLOS, UNO DESPUS DE OTRO.

EL PRIMER ROLLO SELECCIONADO DE LA CAJA QUE RESULT DEFECTUOSO ES EL EVENTO D1, P(D1) =3/10, porque 3 de cada 10 estn defectuosos.

EL SEGUNDO ROLLO ELEGIDO QUE TAMBIN EST DEFECTUOSO ES EL EVENTO D2, P(D2/D1) = 2/9 despus de la primera sacada.

DETERMINANDO LA PROBABILIDAD DE DOS ROLLOS DEFECTUOSOS TENDRAMOS:P(D1 y D2 Y D3) = P(D1)P (D2/ D1) = (3/10) (2/9) = 6/90, O ALREDEDOR DE 0,07

ACLARACIONES:SE SUPONE QUE ESTE EXPERIMENTO SE REALIZ SIN REEMPLAZOLA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIN SE PUEDE AMPLIAR A MS DE DOS EVENTOS. As para tres eventos tendramos:P(A y B y C) = P(A) P(B/A) P(C/ A y B)

PARA ILUSTRAR, LA PROBABILIDAD DE QUE LOS TRES PRIMEROS ROLLOS SELECCIONADOS DE LA CAJA SEAN DEFECTUOSOS SERA:P(D1 y D2 y D3) = P(D1) P(D2/D1) P(D3/ D1 y D2) = (3/10) (2/9) (1/8) = 6/720 = 0,00833

AUTOEVALUACIN 5-6

LA JUNTA DE DIRECTORES DE UNA EMPRESA CONSTA DE 8 HOMBRES Y 4 MUJERES, TOTAL 12 PERSONAS. DE ENTRE ELLOS, SE DEBE ELEGIR AL AZAR UN COMIT DE BSQUEDA DE CUATRO MIEMBROS PARA BUSCAR EN TODO EL PAS UN NUEVO PRESIDENTE PARA LA COMPAA.Cul es la probabilidad de que los cuatro miembros del comit de bsqueda sean mujeres?Cul es la probabilidad de que los cuatro miembros sean hombresLa suma de las probabilidades de los eventos descritos en las partes (a) y (b) es igual a 1 ? Explique su respuesta.

SOLUCIN:

(4/12) (3/11) (2/10) (1/9) = 24/11 880 = 0,002(8/12) (7/11) (6/10) (5/9) = 1 680/ 11 880 = 0,1414No, porque hay otras posibilidades, tales como tres mujeres y un hombrePROBABILIDADES EN BASE A LAS TABLA DE CONTINGENCIASES UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA QUE PERMITE CLASIFICAR LOS RESULTADOS(OBSERVACIONES) DE UNA ENCUESTA DE DOS VARIABLES DE INTERS Y SU RELACIN GNEROPELCULAS VISTASHOMBRESMUJERESTOTAL020406014030702 o ms101020total7080150EJEMPLOS:CLASIFICACIN DE 150 PERSONAS DE ACUERDO A SU GNERO Y POR EL NMERO DE PELCULAS QUE VEIRON EN EL CINE LA SEMANA PASADA.

CONSUMO DE CAFEdad (Aos)BAJOModeradoAltoTotalMenos de 303632249230 a 341830277540 a 451024205450 o ms26242979total90110100300EJEMPLO 2: LA AMERICAN COFFEE PRODUCERS ASSOCIATION REPORTA LA SIGUIENTE INFORMACIN SOBRE LA EDAD Y CANTIDAD DE CAF CONSUMIDO EN UN MESTIEMPO DE SERVICIOLEALTADMENOS DE 1 AODE 1 a 5 AOSDE 6 a 10 AOSMS DE 10 AOSTOTALB1B2B3B4Permanecera en la compaa ,A11030575120No permanecera con la compaa A2515103080total354515105200EJEMPLO 3: SE ENTREVIST A UNA MUESTRA DE 200 EJECUTIIVOS ACERCA DE SU LEALTAD CON SU COMPAA. UNA DE LAS PREGUNTAS FUE: Si otra empresa le ofreciera un puesto mejor o igual que el que ocupa en la actualidad, seguira con la compaa o aceptara el otro puesto ? Las respuestas se clasificaron segn el tiempo que tienen de servicio.CUL ES LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR AL AZAR A UN EJECUTIVO QUE SEA LEAL A LA COMPAA ( Y SIGA SINDOLO) Y QUE TENGA MS DE DIEZ AOS DE SERVICIO?

NTESE QUE LOS DOS EVENTOS (1)EL EJECUTIVO SEGUIR CON LA EMPRESA Y (2) TIENE MS DE 10 AOS DE SERVICIO)

1.- PARA ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE SUCEDA EL EVENTO A1 SI UN EJECUTIVO SELECCIONADO AL AZAR PERMANECER CON LA COMPAA A PESAR DE UN OFRECIMIENTO O UN POCO MEJOR O IGUAL POR PARTE DE OTRA EMPRESA TENDRAMOS : P (A1) = 120 / 200 = 0,60

2.- LA PROBABILIDAD CONDICIONAL DE QUE UN EJECUTIVO CON MS DE 10 AOS)DE SERVICIO SIGA CON LA COMPAA A PESAR DE RECIBIR UN OFRECIMIENTO MEJOR O IGUAL POR PARTE DE OTRA EMPRESA (EVENTO B4)TENDRAMOS: P(B4 /A1) = 75/ 120

ENTONCES:

PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN EJECUTIVO SELECCIONADO AL AZAR PERMANEZCA CON LA EMPRESA Y TENGA MS DE 10 AOS DE SERVICIO.UTILIZANDO LA REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACIN(EVENTOS DEPENDIENTES)

TENDRAMOS: P(A1 y B4) = P(A1) P(B4/A1) = (120 ) ( 75 ) = 9000/ 24 000 = 0,375 ( 200) ( 120 )

PARA ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE SELECCIONAR UN EJECUTIVO QUE SIGA CON LA COMPAA O TENGA MENOS DE UN AO DE EXPERIENCIA , UTILIZAMOS LA REGLA GENERAL DE LA ADICIN:

TENDRAMOS: P(A1 o B1) = P(A1) + P(B1) P(A1 y B1) = 0,60 +0,175 0,05 = 0,725

El EVENTO A1 SE REFIERE A LOS EJECUTIVOS QUE SEGUIRAN EN LA EMPRESA. DE MODO QUE P(A1) = 120/200 = 0,60EL EVENTO B1 SE REFIERE A LOS EJECUTIVOS QUE HAN TRABAJADO EN LA COMPAA MENOS DE UN AO. LA PROBABILIDAD DE B1 ES P(B1) = 0,175LOS EVENTOS A1, y B1 NO SON MTUAMENTE EXCLUYENTES. ES DECIR, UN EJECUTIVO PUEDE ESTAR DISPUESTO A PERMANECER EN LA COMPAA Y TENER MENOS DE UN AO DE EXPERIENCIA. ESTA PROBABILIDAD, QUE SE CONOCE COMO PROBABILIDAD CONJUNTA, SE DESCRIBE AS.

P(A1 y B1)

HAY 10 EJECUTIVOS QUE SE QUEDARAN EN LA EMPRESA y TIENEN MENOS DE UN AO DE SERVICIO, DE MO DO QUE: P(A1 y B1) = 10/200 = 0,0,05. estas personas estn en ambos grupos, aquellas que permaneceran en la compaa y aquellos que tienen menos de un ao de servicio. En realidad, se cuentan dos veces, de modo que necesitamos restar este valor.

AUTOEVALUACIN: 5-7EN BASE A LA TABLA ANTERIOR:a)Cul es la probabilidad de seleccionar un ejecutivo con ms de 10 aos de servicio?b)Cul es la probabilidad de seleccionar a un ejecutivo que no permanecera en la empresa, debido a que tiene ms de 10 aos de servicio?c) Cul es la probabilidad de seleccionar a un ejecutivo con ms de 10 aos de servicio o a uno que no permanecera en la empresa?

SOLUCIN:

P(B4) = 105/200 = 0,525P(A2 / B4) = 30/105 = 0,286P(A2 o B4) = 80/200+105/200+30/200 = 155/200 =0,775

DIAGRAMA DEL RBOLPASOSEL LADO IZQUIERDO REPRESENTA LA RAZ DEL RBOLDE LA RAZ SALEN DOS RAMAS PRINCIPALES; LA SUPERIOR REPRESENTA PERMANECERA Y LA INFERIOR NO PERMANECERA. SUS PROBABILIDADES ESTN ESCRITAS EN LAS RAMAS: 120/200 Y 80/200. Estas tambin se podran expresar P(A) y P ( B).

CUATRO RAMAS CRECEN DE CADA UNA DE LAS RAMAS PRINCIPALES. ESTAS REPRESENTAN EL TIEMPO DE SERVICIO: MENOS DE UN AO, 1 A 5 AOS, 6 A 10 AOS Y MS DE 10 AOS.. LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES PARA LA RAMA SUPERIOR DEL RBOL , 10/120, 30/120 , 5/120 ETC. ESTN ESCRITAS EN LAS RAMAS APROPIADAS. ESTAS SON P(B1/A1), P(B2/A1), P(B3/A1) y P(B4/A1), donde B1 SE REFIERE A MENOS DE UN AO DE SERVICIO, B2 DE 1 A 5 AOS, B3 DE 6 A 10 AOS Y B4 A MS DE 10 AOS. A CONTINUACIN, ESCRIBIMOS LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES PARA LA RAMA INFERIOR.

POR LTIMO, LAS PROBABILIDADES CONJUNTAS, DE QUE LOS EVENTOS A1 y Bi o LOS EVENTOS A Y Bi OCURREN JUNTOS, SE MUESTRAN DEL LADO DERECHO. POR ES: P(A1 y B1)= P(A1) P(B1/A1) = (120/200) (10/120) = 0,05COMO LAS PROBABILIDADES CONJUNTAS REPRESENTAN TODOS LOS RESULTADOS POSIBLES (PERMANECERA, 6 A 10 AOS DE SERVICIO; NO PERMANECERA, MS DE 10 AOS DE SERVICIO, ETC), DEBEN SUMAR 1EJERCICIO:LEALTAD DE LOS EJECUTIVOS Y TIEMPO DE SERVICIO EN LA COMPAALealtadProbabilidadCondicionalServicioProbabilidad conjunta 10/120Menos de 1 ao120/200 x 10/120 = 0,050 30/1201 a 5 aos120/200 x30/120=0,150Permanencia 5/1206 a 10 aos120/200 x5/120 =0,025120/200 75/120 Ms de 10 aos120/200 x75/120=0,375 25/80Menos de 1 ao80/200 x25/80 =0,12580/200 15/801 a 5 aos80/200 x15/80 = 0,075No permanecera 10/806 a 10 aos80/200 x10/80 =0,050 30/80Ms de 10 aos80/200 x30/80 =0,150El total debe ser de 11,00041AUTOEVALUACIN: 5-8SE ENTREVIST ALGUNOS CONSUMIDORES SOBRE EL NMERO RELATIVO DE VISITAS A UNA TIENDA (A MENUDO, EN FORMA OCASIONAL Y NUNCA) Y SI LA TIENDA TENA UNA UBICACIN CONVENIENTE (S U NO). CUANDO LAS VARIABLES SE MIDEN EN FORMA NOMINAL, COMO LA UBICACIN CONVENIENTE ; U ORDINAL, COMO LA FRECUENCIA DE VISITAS, LOS DATOS SE PUEDEN PRESENTAR Y RESUMIR EN UNA FRECUENCIA EN DOS DIRECCIONES O UNA TABLA DE CONTINGENCIA.

CMO SE LLAMA LA TABLA? R : DE CONTINGENCIA

LA FRECUENCIA DE LAS VISITAS Y LA CONVENIENCIA SON INDEPENDIENTES? POR QU?. INTERPRETE SU CONCLUSIN R LA INDEPENDENCIA REQUIERE QUE P(A/B) =P(A). UNA PROBABILIDAD ES : P(VISITAS FRECUENTES / S UBICACIN CONVENIENTE = P(VISITAS FRECUENTES)

ELABORE UN DIAGRAMA DEL RBOL Y DETERMINE LAS PROBABILIDADES CONJUNTAS R GRFICA SIGUIENTE DIAPOSITIVA 60/90 = 80/195?. NO LAS DOS VARIABLES NO SON INDEPENDIENTES(por lo tanto, cualquier probabilidad conjunta en la tabla se debe calcular mediante el uso de la regla general de la multiplicacin)

ConvenientevisitassNoTotalCon frecuencia602080Ocasional253560Nunca5505590105195EJERCICIOS DEL 23 AL 32Probabilidad conjuntavisitas60/90Con frecuencia(90/195)(60/90)=

0,31s

90/195

25/90ocasionalmente (90/195)(25/90)=

0,13convenient

5/90 nunca

(90/195)(5/90)=

0,03

no

20/105Con frecuencia(105/195)(20/105)=0,10105/195Visitas

35/105 5/105 Ocasionalmente

nunca(105/195)(35/105)=

(105/195)(5/105)= 0,18

0,25

1,00044TEOREMA DE BAYES

EN EL SIGLO XVIII EL SACERDOTE PRESBITERIANO INGLS THOMAS BAYES, MANIFEST EN VERDAD EXISTE DIS?, COMO SE INTERESABA POR LAS MATEMTICAS DESARROLL UNA FRMULA PARA LLEGAR A LA PROBABILIDAD QUE DIS EXISTE.

POSTERIORMENTE LAPLACE DETALL El TRABAJO DE BAYES Y LE DIO EL NOMBRE DE TEOREMA DE BAYES P(A1) P (B/A1)TEOREMA DE BAYES = ----------------------------------- P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2)

EJEMPLO:

SUPONGAMOS QUE LOS EVENTOS A1 Y A2 SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS, Y QUE Ai SE REFIERE AL EVENTO A1 o A2. EL SIGNIFICADO DE LOS SMBOLOS QUE SE UTILIZAN ILUSTRAMOS AS:

SUPONGAMOS QUE EL 5% DE LA POBLACIN DE UNA CIUDAD TIENE UNA ENFERMEDAD QUE ES COMN DE ESA CIUDAD. TAMBIN QUE A1 SE REFIERE AL EVENTO tiene la enfermedad Y A2 AL EVENTO No tiene la enfermedad. POR TANTO, SI SELECCIONAMOS AL AZAR UNA PERSONA DE ESTA CIUDAD:

LA PROBABILIODAD DE QUE EL INDIVIDUO ELEGIDO TENGA LA ENFERMEDAD ES P(A1) = 0,05. A ESTA PROBABILIDAD SE LA LLAMA A PRIORI O INICIAL (PORQUE SE LA ASIGNA ANTES DE OBTENER CUALQUIER DATO EMPRICO Y SE BASA EN EL NIVEL DE INFORMACIN ACTUAL)B) LA PROBABILIDAD A PRIORI DE QUE UNA PERSONA NO TENGA LA ENFERMEDAD ES LA DIFERENCIA DE UNO AS:

P(A2) = 1 0,05 = 0,95 3. SUPONGAMOS QUE B INDICA EL EVENTO LAS PRUEBAS DEMUESTRAN QUE LA ENFERMEDAD EST PRESENTE

SUPONGAMOS TAMBIN QUE LAS EVIDENCIAS HISTRICAS DEMUESTRAN QUE SI UNA PERSONA TIENE LA ENFERMEDAD, LA PROBABILIDAD DE QUE LA PRUEBA INDIQUE SU PRESENCIA ES 0,90.

SEGN LA PROBABILIDAD CONDICIONAL EXPRESARAMOS P(B/A1) = 0,90

SUPONGAMOS QUE LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA QUE EN REALIDAD NO TIENE LA ENFERMEDAD LA PRUEBA INDICAR LA PRESENCIA DE STA ES 0,15P(B/A2) = 0,15

4. SUPONGAMOS QUE SELECCIONAMOS AL AZAR A UNA PERSONA DE ESA CIUDAD, LE REALIZAMOS LA PRUEBA Y STA INDICA QUE LA ENFERMEDAD EST PRESENTE.Qu probabilidad hay de que la persona realmente padezca la enfermedad?

P(tiene la enfermedad / los resultados de la prueba son positivos)P(A1 /B )ESTA PROBABILIDAD ES A POSTERIORI (BASADA EN INFORMACIN ADICIONAL)

DETERMINAR LA PROBABILIDAD A PRIORI MEDIANTE EL TEOREMA DE BAYES P(A1) P (B/A1)TEOREMA DE BAYES = ----------------------------------- P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) (0,05) (0,90)TEOREMA DE BAYES = ----------------------------------- -----------= 0,24 (0,05) (0,90) + (0,95) (0,15)

ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PERSONA TENGA LA ENFERMEDAD, DEBIDO A QUE LA PRUEBA DIO POSITIVO

INTERPRETACIN:

SI SE SELECCIONA UNA PERSONA AL AZAR, LA PROBABILIDAD DE QUE PADEZCA LA ENFERMEDAD ES 0,05SI LA PERSONA SE SOMETE A LA PRUEBA Y EL RESULTADO ES POSITIVO, LA PROBABILIDAD DE QUE REALMENTE EST ENFERMA AUMENTA CINCO VECES, DE 0,05 a 0,24.

EN EL PROBLEMA ANTERIOR TENEMOS SLO DOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO A1 y B1, SI HAY n eventos EL TEOREMA DE BAYES SERA:

P(A1) P (B/A1)TEOREMA DE BAYES = ----------------------------------- P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + .P(An) P (B/An)

LA TABLA ANTERIOR QUEDARA:

EVENTOAiPROBABILIDAD ANTERIOR (P(Ai)PROBABILIDAD CONDICIONAL P(B/A1)PROBABILIDAD CONJUNTA P(Ai y B)PROBABILIDAD POSTERIOR P (Ai/B)Enfermedad A10,050,900,04500,0450/0,1875 =0,24Sin Enfermedad0,950,150,1425P(B)=0,18750,1425/0,1875=0,76 1,00EJEMPLO : TEOREMA DE BAYESUN FABRICANTE DE VIDEO RREPRODUCTORAS COMPRA UN MICROCHIP A TRES PROVEEDORES:Hall Electronics el 30% pero sabe que el 3% estn defectuosos A Shuller Sales el 20%, sabe que el 5% son defectuososA Crawford Components, el 50% y sabe que el 4% son defectuosos

Los chips se colocan directamente en un depsito y no se identifican de acuerdo con el proveedor, ni se inspeccionan. Un trabajador elige uno para instalarlo y se da cuenta que est defectuoso Qu probabilidad hay de que el fabricante sea Schuller Sales?1.- HAY TRES EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS; ES DECIR TRES PROVEEDORES:A1 El Ships se compr a Hall ElectronicA 2 Se compr a Schuller salesA3 Se compr a Crawford Componente

2. LAS PROBABILIDADES ANTERIORES SON:P(A1) =0,30 La probabilidad de que Hall Electronics haya fabricado el chips`P(A2) = 0,20 La probabilidad de que Schuller Sales haya fabricadoP(A3) = 0,50 La probabilidad de que Crawford Components haya fabricado

3. LA INFORMACIN ADICIONAL PUEDE SERB1 el chips est defectuosoB2 el chips no est defectuoso

4. SE DAN LAS SIGUIENTES PROBABILIDADES CONDICIONALESP(B1/A1) = 0,03 La probabilidad de que un chips fabricado por Hall Electronics est defectuosoP (B1/A2)=0,05 La probabilidad de que un chips fabricado por Schuller Sales est defectuosoP(B1/A3)=0,04 La probabilidad de que el Chips fabricado por Crawford Components est defectuoso

5. EL CHIPS SE SELECCIONA DEL DEPSITO , NO, SE EST SEGURO QU PROVEEDOR LO FABRIC. SE DESEA SABER LA PROBABILIDAD DE QUE EL CHIPS DEFECTUOSO SEA DE SCHULLER SALE, SE EXPRESA AS:

P(A2 /B1)

EVENTO

AiPROBABILIDAD ANTERIORP(Ai)% DE PRODUCCINPROBABILIDAD CONDICIONALP(B1 /A1)% DEFECTUOSOSPROBABILIDAD CONJUNTAP(Ai y B1)multiplicacinPROBABILIDAD POSTERIORP(Ai /B1)HALLO,300,030,0090,009/0,039 =0,2308 SCHULLER0,200,050,0100,010/0,039=0,2564CRAWFORD0,500,040,020P(B1)=0,039

0,020/0,039=0,5128 1,000

Probabilidad a prioriProbabilidad condicionalProbabilidad conjuntaP(B1/A1)=0,03B1=DefectuosoP(A1 y B1)=P(A1)P(B1/A1)A1 = Hall(0,30)(0,03) = 0,009P(A1) =0,30P(B2/A1) = 0,97B2=Bueno

P(A1 y B2) =P(A1)P(B2/A1)(0,30)(0,97) = 0,291 A2= Schuller P(A2) =0,20 P(B1/A2)=0,05

B1=DefectuosoP(A1 y B2) =P(A2)P(B1/A2)(0,20)(005) = 0,010P(B2/A2)=0,95

B2 = BuenoP(A2 y B2) = P(A2)P(B2/A2)(0,20) (0,95) = 0,190A3=CrawfordP(A3)=0,50P(B1/A3)=0,04

B1=DefectuosoP(A3 y B1) =P(A3)PB1/A3)(0,50) (0,04) = 0,020P(B2/A3)=0,96

B2=Bueno

P(A3 y B2) =P(A3)P(B2/A3)(0,50) (O,96) = 0,480 1,00053MEDIANTE EL TEOREMA DE BAYESCUAL ES LA PROBABILIDAD DE QUE EL CHP DEFECTUOSO PROVENGA DE Schuller Sales P(A2 / B1)

A2 .SE REFIERE A SCHULLER SALESB1.SE REFIERE AL HECHO DE QUE EL CHIP SELECCIONADO ESTABA DEFECTUOSO

P(A2) P (B1/A2)TEOREMA DE BAYES = --------------------------------------------------------- P(A1) P(B1/A1) + P(A2) P(B1/A2)+ P(A3) P (B1/A3)

(0,20) (0,05)TEOREMA DE BAYES = ------------------------------------------------------= 0,010 = 0,2564 (0,30) (0,03) + (0,20) (0,05)+ (0,50) (0,04) 0,039

PRINCIPIOS DE CONTEO

CUANDO EL NMERO DE RESULTADOS POSIBLES EN UN EXPERIMENTO ES BAJO, CONTARLOS ES RELATIVAMENTE FCIL. POR EJEMPLO EN EL LANZAMIENTO DE UN DADO PUEDEN DARSE 1, 2,3 ,4 ,5 o 6NO OBSTANTE SI HAY GRAN CANTIDAD DE RESULTADOS POSIBLES POR EJEMPLO AL LANZAR UNA MONEDA 10 VECES, SERA TEDIOSO Y DIFCIL CONTAR TODAS LAS POSIBILIDADES

PARA FACILITAR ESTO SE UTILIZAN TRES FRMULAS:

LA FRMULA DE LA MULTIPLICACINLA FRMULA DE LA PERMUTACINLA FRMULA DE LA COMBINACIN

MULTIPLICACIN

SE APLICA PARA CALCULAR EL NMERO DE ARREGLOS POSIBLES PARA DOS O MS GRUPOSREGLA DE LA MULTIPLICACIN

Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra, hay m x n formas de hacer ambasEN TRMINOS DE FRMULA: NMERO TOTAL DE ARREGLOS = (m)(n)PARA TRES EVENTOS TENDRAMOS: (m)(n)(o)

EJEMPLO:

UN DISTRIBUIDOS AUTOMOTRIZ QUIERE ANUNCIAR QUE CON s/ 29 999 ES POSIBLE COMPRAR UN VEHCULO MODELO CONVERTIBLE, DE DOS PUERTAS O DE CUATRO PUERTAS Y ELEGIR SI DESEA RINES DE RAYOS O PLANOS. CUNTOS ARREGLOS DIFERENTES DE MODELOS Y RINES PUEDE OFRECER EL DISTRIBUIDOR?m es el nmero de modelosn es el tipo de rines

Entonces: total de arreglos posibles = (m)(n) = (3)(2) = 6AUTOEVALUACIN : 5-10

UN DETALLISTA DE ROPA EN INTERNET OFRECE SUTERES Y PANTALONES PARA DAMAS. SE OFRECEN EN COLORES COORDINADOS. SI HUBIERA SUTERES EN CINCO COLORES Y PANTALONES EN CUATRO. CUNTOS ARREGLOS DIFERENTES SE PODRAN ANUNCIAR?

PIONEER FABRICA TRES MODELOS DE APARATOS ESTREO, DOS REPRODUCTORES DE CINTAS, CUATRO BOCINAS Y TRES CARRUCELES DE CD. CUANDO LOS CUATRO TIPOS DE COMPONENTES SE VENDEN JUNTOS, FORMAN UNSISTEMA. CUNTOS SISTEMAS DIFERENTES PUEDE OFRECER LA EMPRESA DE ELECTRNICA?

(5)(4) = 20

(3)(2)(4)(3) =72PERMUTACIN

SE APLICA PARA ENCONTRAR EL NMERO POSIBLE DE ARREGLOS CUANDO HAY UN SOLO GRUPO DE OBJETOS

AQU, EL ORDEN DE LOS OBJETOS SELECCIONADOS DE UN CONJUNTO ESPECFICO SI ES IMPORTANTE

Ejemplo:

Tres partes electrnicas se van a armar en una unidad complementaria para un televisor. Las partes se pueden armar en cualquier orden . La duda es : de cuntas maneras diferentes se pueden armar las tres partes? El operador de una mquina debe realizar cuatro revisiones de seguridad antes de encenderla. No importa en qu orden las haga. En cuntas formas el operador puede hacer las revisiones?

El orden para la primera ilustracin podra ser: primero el transistor, en segundo lugar las LED y en tercero el sintetizador

PREMUTACIN

Permutacin cualquier distribucin de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles

FORMULA DE LA PERMUTACIN n Pr = __n!__ (n r )! Como n =1 = n!Donde: p es el nmero de permutaciones n es el nmero total de objetos r es el nmero de objetos seleccionados n! Es n factorial, significa el producto de n(n-1) (n-2) (n-3).(1) por ejemplo 5! = 5x4x3x2x1 = 120

LOS NMEROS SE PUEDEN SIMPLIFICAR CUANDO LOS MISMOS SE INCLUYEN EN EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR AS:

6! 3! = 6*5*4*3*2*1 (3*2*1) = 180 4! 4*3*2*1

POR DEFINICIN, CERO FACTORIAL , 0! =1

EJEMPLO: REFIRNDONOS AL GRUPO DE TRES PARTES ELECTRNICAS QUE SE VAN A ARMAR EN CUALQUIER ORDEN DE CUNTAS FORMAS DIFERENTES SE PUEDEN ARMAR? n = 3 porque son tres partes electrnicas que se van a armar r = 3 porque las tres se tienen que insertar en la unidad complementaria

nPr = n! = 3! = 3x2x 1 = 6 (n-r)! (3 3)! 0!Podemos revisar el nmero de permutacin al que llegamos utilizando la frmula de la multiplicacin. Determinamos cuntos espacios se tienen que llenar y las posibilidades para cada espacio. Hay 3 lugares para 3 partes. Para el primer lugar hay 3 posibilidadesDos para el segundo (uno ya se us)Uno para el tercero(3)(2)(1) = 6 permutacionesLas seis maneras de distribuir las tres partes electrnicas, ilustramos con letras A,B,C.ABC BAC CAB ACB BCA CBA

COMBINACIN

AQU EL ORDEN DE LOS OBJETOS SELECCIONADOS DE UN CONJUNTO ESPECFICO NO ES IMPORTANTE

nCr = n! r! (n r)!Ejemplo:

El departamento de mercadotecnia tiene la tarea de designar los cdigos de color para las 42 distintas lneas de discos compactos que vendo Goody Records. En cada CD se va a usar tres colores, pero una combinacin que se utiliz para un CD no se puede reordenar y usarse para identificar un CD diferente. Esto significa que los colores verde, amarillo y violeta (o cualquier combinacin de esos tres colores)no se pueden usar para identificar otra lnea. siete colores en combinaciones de tres seran adecuados para marcar un cdigo de color las 42 lneas.

nCr = n! = 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 35 r! (n r)! 3! (7-3)! 3x2x1 (4x3x2x1)