ESTADÍSTICAUNIDAD III

MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y NO CENTRAL

UNIDAD 3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE POSICIÓN CENTRAL Y NO CENTRAL

Las medidas de tendencia central tienen como propósito hallar con toda precisión el centro de un conjunto de observaciones.

Medidas de Posición

Central No Central

Cuartiles (Qx)

Deciles (Dx)

Percentiles (Px)

Promedios Matemáticos Promedios No Matemáticos

Media Aritmética

X

Media Geométrica

MG

Media Ponderada

wX

Mediana (Med)

Moda (Mo)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS SIMPLES

La Media Aritmética La media aritmética o media es la medida de tendencia central que frecuentemente llamamos promedio, consiste en la suma de los valores del grupo de datos dividida entre la cantidad de valores. La media aritmética de una población se representa con el símbolo:

(mu), y la media aritmética de una muestra se representa con el símbolo X (equis barra) y sus fórmulas son las siguientes:

N

X

n

XX

Siendo:

X La sumatoria de todos los datos

N Poblaciónn MuestraAmbas fórmulas son idénticas, con la única diferencia que en el primer caso trabajamos con la población entera y en el segundo con una muestra.

Ejemplo: Durante cada hora de trabajo de un día una cooperativa produce las siguientes cantidades de artículos de limpieza: 14, 19, 20, 15, 12, 18, 16, 10.¿Cuál es el número medio de unidades producidas?

50,158

124

8

1016181215201914

N

X

15,5 redondeamos el número decimal que sería igual a 16

Propiedades de la Media Aritmética:

Para calcular la media se toman todas los valores Un conjunto de datos sólo tiene una media. La media es única La media es una medida útil para compara dos o mas

poblaciones La media aritmética es la única medida de posición en la que las

suma de las desviaciones de los valores de la media es siempre cero:

Ejemplo: La media de 3, 8 y 4 es 5

Propiedades de la Media Aritmética:

Para calcular la media se toman todas los valores Un conjunto de datos sólo tiene una media. La media es única La media es una medida útil para compara dos o mas

poblaciones La media aritmética es la única medida de posición en la que las

suma de las desviaciones de los valores de la media es siempre cero:

Ejemplo: La media de 3, 8 y 4 es 5

0132)54()58()53()( XX

MEDIA PONDERADA La media ponderada o promedio ponderado es una media aritmética en al que cada uno de los valores se le pondera de acuerdo a su importancia con el grupo general. Las fórmulas de media ponderada poblacional y muestral son idénticas:

w ó w

wXX w

)( Donde:

wX Media Ponderada

X Observación individualW Peso o ponderación asignada a cada observación

Ejemplo: Un estudiante obtuvo las siguientes calificaciones en su curso de estadística I: 19, 20, 18 y 16. Sin embargo dentro de los porcentajes la tercera calificación es la que tiene mayor ponderación o mayor valor, debido a que representaba el 30 % de la calificación final, a continuación se reflejan los datos en la siguiente tabla:

Calificaciones Ponderación XW

19 1 1920 1 2018 3 5416 1 16 6 109

16,186

109)(

w

wXX w

El promedio ponderado de calificaciones de este estudiante es de 18,16 puntos.

MEDIA GEOMÉTRICA

La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, proporciones, índices o tasas de crecimiento. Tiene mucha aplicación en el comercio y en la economía debido a que nos interesa encontrar el porcentaje de cambio en ventas, salarios o cualquier otro dato económico. La media de un conjunto n de números positivos se define como la n-ésima raíz del producto de los n valores. La formula de la media geométrica se escribe así:

nnxxMG ))...(( 1

Ejemplo: Un empleado gana 700.000 bolívares al mes, este año va a recibir un 5% de aumento y el próximo año un 15%, si sacamos la media aritmética de estos de ambos porcentajes nos daría un promedio de 10%, pero el verdadero promedio es 9, 886. Empleemos la fórmula de media geométrica:

La media geométrica será siempre menor o igual a la media aritmética, pero nunca mayor.

09886,1)15,1)(05,1( MG

Verifiquemos: si el trabajador del que hablábamos gana Bs. 650.000 con los dos aumentos su sueldo quedará:650.000 * 0,05= 32.500682.000 * 0,15= 102.370Total con el aumento 784.870 bolívares Ahora realicemos el cálculo con nuestra media geométrica700.000*0,09886=64.259714.259*0,09886=70.611,6Total = Bs.784.870

MEDIANA Y MODA

MEDIANA

La mediana o media posicional queda en la mitad un grupo de elementos ordenados de forma ascendente o descendente. En este caso la mitad de los números estará por debajo de la mediana y la otra mitad por encima de ella. La mediana se obtiene con la siguiente ecuación:

2

1n

Med

Si el grupo de datos es impar la mediana se calcula así de la siguiente forma.

Ejemplo: Calculemos la mediana de los kilos(ordenados de forma ascendente) de materia prima utilizadas durante esta semana: 33, 36, 40, 45, 57,60 y 68.

42

8

2

17

2

1

n

Med

La mediana es el valor que está en la posición 4: 33, 36, 40, 45, 57,60 y 68.

Si el grupo de datos es par, aplicamos la misma ecuación promediando los dos valores centrales, observemos el ejemplo: Datos: 10, 15, 18, 25, 32, 36, 45, 60, 77, 80

5,52

11

2

110

2

1

n

Med

El punto 5,5 estaría entre los valores de las posiciones 5 y 6, por lo buscamos ambos valores y los promediamos 10, 15, 18, 25, 32, 36, 45, 60, 77, 80

432

86

2

3632

X

La mediana es 43.

MODA Es la medida de tendencia central más fácil de recordar ya verás por qué:

¿Por qué sabemos que algún producto está de moda?

Por que lo usan muchas personas, o por que lo vemos frecuentemente en la calle, y efectivamente eso es la moda, el dato que más se repite dentro de nuestro conjunto de elementos. Veamos este ejemplo: Edades de los niños de nuestra familia: 12, 1, 10, 1, 10, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11. El número que más se repite es el 10, a pesar del que el 1 también se repite, el 10 se repite mayor número de veces.

Ejercicios:

1.- Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.2.- Se desea estimar el rendimiento promedio de las llantas de cierta marca. Para ello se toma una muestra de cuatro automóviles a los que se les coloca esta marca de llanta. Una vez las llantas se desgastan completamente se anota el número de kilómetros recorridos por cada auto, encontrándose los siguientes valores:

Número de Auto Recorrido (kms)

1 56000

2 42000

3 23000

4 73000

3.- En la clase de Probabilidad y Estadística, para determinar la nota que un alumno obtendrá en el curso se asignan pesos de importancia, de la siguiente forma: Unidad I (20% del curso), Unidad II (35% del curso), Unidad III (20% del curso), Unidad IV (15% de la calificación), Unidad V (20% de la calificación).

Si las calificaciones de un alumno son 80 en la primera unidad, 50 en la segunda, 80 en la tercera unidad, 100 en la cuarta unidad y 80 en la última unidad, obtiene la siguiente tabla:

UNIDAD PONDERACIÓN (Wi) DATOS(Xi)

I 20% 80

II 35% 50

III 20% 80

IV 15% 100

V 10% 80

4.- Las tasas de interés vigentes de tres bonos son 5%, 7% y 4%. ¿Cuál es la media geométrica

1.-

UNIDAD PONDERACIÓN (Wi) DATOS(Xi)

I 20%/100 = 0,20 80

II 35%/100= 0,35 50

III 20%/100= 0,20 80

IV 15%/100= 0,15 100

V 10%/100= 0,10 80

2.- 48,500 Kilómetros

3.-

La media ponderada de las notas del alumno se determina de la siguiente manera: X w = 80(0.2) + 50(0.35)+ 80(0.20)+ 100(0.15)+ 80(0.10)/1 = 72.50

MG =4.-

Comparativamente, la media aritmética correspondiente sería de: X = (5 + 7 + 4)/3 = 5.333%.

Como puede observase, la MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%

=5.192%

Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados

Media Aritmética:

Es una medida de tendencia central que se obtiene dividiendo la suma de los valores del conjunto de datos entre el número total de éstos.

Media Aritmética:

Es una medida de tendencia central que se obtiene dividiendo la suma de los valores del conjunto de datos entre el número total de éstos.

Media Ponderada:

Es un caso especial de media aritmética pero cuando todos los datos tienen diferentes valores

o ponderaciones que los discrimina según su importancia

Media Ponderada:

Es un caso especial de media aritmética pero cuando todos los datos tienen diferentes valores

o ponderaciones que los discrimina según su importancia

Media Geométrica:

Es una medida que calcula los promedios de los porcentajes

Media Geométrica:

Es una medida que calcula los promedios de los porcentajes

Mediana:

Observación de la mitad de los datos después de que se han colocado de forma ordenada

Mediana:

Observación de la mitad de los datos después de que se han colocado de forma ordenada

Moda:

Es el valor que más se repite dentro de su conjunto, es decir, posee mayor frecuencia

Moda:

Es el valor que más se repite dentro de su conjunto, es decir, posee mayor frecuencia

Media Aritmética para Valores Agrupados

Para aproximar la media aritmética de datos organizados en una distribución de frecuencias, comenzamos por asumir que las observaciones de cada clase están representadas por el punto medio de la clase. La media de una distribución de frecuencias se calcula así:

n

fXX

En la que X = media aritmética X= valor o punto medio de cada clase f= frecuencia de cada clase fX= frecuencia en cada clase por el punto medio de la clase fX = suma de estos productos

n= número total de frecuencias

Ejemplo: Calculemos la media del precio de venta de los vehículos del plan Venezuela Móvil

Precio de Venta de vehículos (millones de bolívares)

Frecuencia

18 a 23 25 23 a 28 28 28 a 33 26 33 a 38 17 38 a 42 13 Total 109

Al precio de venta medio de los vehículos puede estimarse a partir de datos agrupados en una distribución de frecuencias, lo primero que debemos calcular es el punto medio de cada clase, para eso le calculamos el promedio: 18+23/2=20,5 luego ese valor medio se multiplica por la frecuencia, como se muestra en la siguiente tabla:

Precios de

venta Frecuencia

(f) Punto Medio

(X) fX

18 a 23 25 20, 5 512, 5 23 a 28 28 25, 5 714 28 a 33 26 30, 5 793 33 a 38 17 35, 5 603, 5 38 a 43 13 40, 5 526, 5 Total 109 3. 149, 5

9,28109

5,149.3

n

fXX

Decimos entonces que la media del precio de venta del plan Venezuela Móvil es de Bs. 28.800.000.

La Mediana Para Valores Agrupados

La mediana es el valor por debajo del cual se encuentran una mitad de los valores y por encima del cual se encuentra la otra mitad. Como los datos están organizados en una distribución de frecuencias, se ha perdido algo de información. Así no podemos calcular la mediana exacta, sin embargo, se puede estimar de la siguiente manera:

)(2 if

CFn

LMed

Donde: L= Límite inferior de la clase que contiene la mediana. n= Número de frecuencias. f= frecuencia en la clase mediana. CF= número de las frecuencias acumuladas en las clases que preceden a la clase que contiene la mediana. i= amplitud de la clase en la que se encuentra la mediana.

Utilicemos los datos del ejemplo anterior, pero en esta oportunidad debemos calcular la frecuencia acumulada, que no es más que la suma acumulada de las frecuencias de cada clase o categoría, veámoslo en la siguiente tabla:

Precios de Venta Frecuencia (f) Frecuencia Acumulada 18 a 23 25 25 23 a 28 28 53 28 a 33 26 79 33 a 38 17 96 38 a 43 13 109 Total 109

Debemos localizar en cual clase se encuentra la mediana, para eso dividimos el

total de la frecuencia entre 2, 2n =109/2=54,5. Ahora buscamos en la frecuencia

acumulada el grupo de intervalos que tenga a este número:

Precios de Venta Frecuencia (f) Frecuencia Acumulada 18 a 23 25 25 23 a 28 28 53 28 a 33 26 79 33 a 38 17 96 38 a 43 13 109 Total 109

Podemos apreciar fácilmente que el tercer grupo de intervalos es el que posee al número en la posición 54,5 debido a que el anterior sólo llega hasta el número 53, observemos este diagrama.

53 79

? Mediana Bs. 28.000.000 Bs.33.000.000

Sustituyamos ahora los valores:

000.288.28000.288000.000.28)000.000.5(26

532

109

000.000.28)(2

if

CFn

LMed

La mediana del precio de venta es 28.288.000.

Si comparamos la mediana con la media aritmética se nos presenta una diferencia, pero recordemos que…

No podremos determinar una mediana exacta porque hemos perdidos datos en el proceso de agrupación

Moda Para Datos Agrupados

Siendo la moda el valor con más frecuencia, sólo debemos buscar dentro de nuestra distribución de frecuencias los intervalos con mayor cantidad de frecuencia, revisemos la tabla de precios de venta del Plan Venezuela Móvil.

Precios de Venta Frecuencia (f) 18 a 23 25 23 a 28 28 28 a 33 26 33 a 38 17 38 a 43 13 Total 109

El intervalo de 23 a 28 millones es que tiene mayor cantidad de observaciones, por lo tanto para determinar la moda calculamos el punto medio de la clase: 23+28/2=25,5; por lo tanto la moda del precio de venta es Bs. 25.500.000.

Media Geométrica para Datos Agrupados

La media geométrica para datos agrupados se determina con la siguiente ecuación:

nfn

fn f XXXMG ...2121

DondeX= punto medio de los intervalosf = frecuencia

1. Con los datos de la tabla Intervalo de clase fi

70 – 78 1 78 - 86 2 86 – 94 6

94 – 102 7 102 – 110 10 110 – 118 3 118 – 126 5 126 – 134 8 134 – 142 6 142 – 150 2

a) Calcula la media aritmética y mediana.