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Economía

ESTADÍSTICA

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Tema 3: Probabilidad

INTRODUCCIÓN

En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son

diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas.

Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, unas veces resultará cara y otras veces cruz. Estos

fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.

El cálculo de probabilidades suministra las reglas apropiadas para cuantificar esa incertidumbre y

constituye la base para la estadística inductiva o inferencial. Cuando aplicamos las técnicas

estadísticas a la recolección, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad

proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias

realizadas.

CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS

Como se definió en el capítulo anterior, un experimento es cualquier proceso o acción que genera

observaciones y que puede ser repetible.

Existen dos tipos de experimentos:

Determinísticos (D): aquellos que repetidos bajo las mismas condiciones dan igual resultado,

por lo tanto, son predecibles; por ejemplo los fenómenos físicos o químicos.

Aleatorios (E): aquellos que admiten dos o más resultados posibles, y si bien estos resultados

se conocen, no puede predecirse con exactitud cual de ellos va a ocurrir; pueden repetirse bajo

condiciones (casi) idénticas.

Los experimentos aleatorios son de interés para la estadística.

Ejemplos:

1. Se lanza un dado y se observa la cara superior.

2. Se registra el tiempo de duración de una lámpara fabricada en una planta.

3. Se tira un par de dados y se anota el resultado de la cara superior de ambos.

4. Un lote que contiene 20 artículos, 4 de los cuales son defectuosos, es inspeccionado tomando un

artículo por vez y volviendo a colocarlo en el lote. Se repite la extracción hasta obtener uno

defectuoso y se anota el número de extracciones efectuadas.

5. Se cuenta el número de niñas en familias con cinco hijos.

6. Se registra la cantidad de abonados de una central telefónica que levantan el tubo entre las 10 y

las 10 hs. 15’.

7. Se registra en dicha central el tiempo transcurrido desde las 10 hs. hasta que pide línea el primer

abonado.

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se

nota con la letra griega (ómega). Según el número de elementos que contenga se clasifica en

finito, infinito numerable o infinito no numerable.

Para cada uno de los ejemplos dados anteriormente, el espacio muestral asociado a cada

experimento es el siguiente:

1. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, finito.

2. = [0;+) infinito no numerable o continuo.

3. = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),...,(3,2),(3,3),...,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}, finito.

4. = {1,2,3,4,..}, infinito numerable.

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5. = {0,1,2,3,4,5}, finito.

6. = {0,1,2,3,4,...}, infinito numerable.

7. = R+ = {xR, x 0}, infinito no numerable.

Álgebra de eventos

Suceso o evento: se denomina suceso o evento a cualquier subconjunto del espacio muestral . Los

eventos se designarán en general con las primeras letras del abecedario en mayúscula: A, B C, ...

evento elemental o simple: es un resultado básico de un experimento; no se puede

descomponer en resultados más simples,

evento compuesto: es el suceso formado por más de un evento elemental.

En el ejemplo 1. referido al lanzamiento de un dado se pueden definir:

A = {1}, B = {2}, C = {3}, D = {4}, E = {5}, F = {6} eventos elementales y,

G = "sale número par" = {2,4,6}, H = "sale número menor que 3" = {1,2} eventos compuestos.

Al espacio muestral se lo denomina evento o suceso seguro pues ocurre siempre que se realiza el

experimento. Se denomina evento imposible a aquel que nunca puede ocurrir y se lo designa .

Tanto el espacio muestral como los sucesos son conjuntos, por lo tanto pueden realizarse

operaciones propias del álgebra de conjuntos. Gráficamente el espacio muestral y los eventos se

suelen representar mediante diagramas de Venn.

Dado un experimento aleatorio E, el espacio muestral asociado, y sean A y B dos eventos

cualesquiera, se define:

evento unión: al evento que ocurre cuando ocurre A o cuando ocurre B, y se denota AB,

evento intersección: al evento que ocurre cuando ocurren A y B simultáneamente, y se denota

AB,

evento complemento: al evento que ocurre cuando no ocurre A, y se denota Ac o A , es decir,

está formado por los elementos del espacio muestral que no pertencen a A, AAc = .

Un evento A se dice incluido o contenido en un evento B si cada vez que ocurre A, ocurre B, es

decir, todo elemento de A pertenece a B, y se denota A B.

Dos eventos o sucesos se dicen mutuamente excluyentes o disjuntos si la ocurrencia de uno de

ellos impide la ocurrencia del otro; o equivalentemente, si su intersección es vacía, AB = .

Ejemplo:

Considere el experimento que consiste en el lanzamiento de un dado. Se definen los siguientes

eventos asociados al correspondiente espacio muestral :

A = “salga 5”

B = “salga un número mayor que 2”

C = “salga un número múltiplo de 2”.

El espacio muestral está formado por 6 eventos elementales, = {1,2,3,4,5,6}.

AB = {3,4,5,6} = B.

AC = {2,4,5,6}.

AB = {5} = A.

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AC = , por lo tanto A y C son eventos mutuamente excluyentes.

Bc = {1,2}.

Definición de Probabilidad

El principal objetivo en un experimento aleatorio suele ser determinar con qué probabilidad ocurre

cada uno de los sucesos elementales. Definición clásica:

El planteamiento clásico define la probabilidad de que un evento A ocurra como:

n

n)A(P A ,

donde n representa el número total de resultados posibles de un experimento y nA el número de

resultados en los que se presenta el evento A.

Esta definición es de uso limitado puesto que para que sea válida, cada uno de los resultados

posibles debe ser igualmente posible.

Ejemplo:

Al lanzar un dado normal, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par?

Solución: Sea = {1,2,3,4,5,6} el espacio muestral de todos los posibles resultados del

lanzamiento de un dado. Como todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de

ocurrir, entonces

5.06

3)par(P

Definición como frecuencia relativa (frecuentista o empírica):

La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados

igualmente probables. Sin embargo, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y esta

definición no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se

cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina

produzca artículos defectuosos, entonces no es posible introducir resultados igualmente probables.

Por ello, se necesita un concepto más general de probabilidad. Una forma de dar respuesta a estas

preguntas es obtener algunos datos empíricos en un intento por estimar las probabilidades.

Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones y nA de los resultados son

favorables a un atributo A, el límite de nA / n conforme n se vuelve grande, se define como la

probabilidad del atributo A.

Se denomina frecuencia relativa de A en la secuencia de n repeticiones a: frA = nA / n. La evidencia

empírica muestra que cuando n crece indefinidamente, frA tiende a estabilizarse alrededor de un

número que llamaremos P(A) , es decir,

.P(A)f rA n

lim

Esta definición se basa en el concepto de que el experimento muestra regularidad estadística o

estabilidad de las frecuencias relativas cuando se repite muchas veces.

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Cuando se usa la definición frecuencial, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos:

i. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real.

ii. Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la

probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación.

Definición axiomática (Kolmogorov 1933)

Las definiciones anteriores son netamente empíricas o experimentales, sin embargo después de

establecer una forma de determinar la probabilidad experimentalmente, se pueden deducir leyes o

propiedades de la probabilidad en forma lógica bajo ciertas suposiciones llamados axiomas de la

probabilidad.

Dado un experimento aleatorio E y su espacio muestral asociado , a cada evento A de se le

asociará un número que se notará P(A) y que se llamará probabilidad del evento A. Esta asignación

debe satisfacer los siguientes axiomas:

A1) P(A) 0, para todo evento A

A2) P() = 1

A3) Para toda sucesión de eventos disjuntos A1, A2, A3 ,..., An ,..., es decir, ji AA para

todo i j, se verifica, )A(P)A(P11

i

i

i

i .

Propiedades de la Probabilidad:

(1) P() = 0

(2) P(A1A2...An) = P(A1)+P(A2)+...+P(An) si los eventos son disjuntos, es decir ji AA

(3) Dados A y B eventos cualesquiera P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

(4) P(A B) P(A) + P(B)

(5) Si A B => P(A) P(B)

(6) Para todo A, P(A) 1

(7) )A(P1)A(P para todo suceso A.

Ejemplo:

Una empresa de ensamble espera que todos los trabajadores terminen su trabajo a tiempo y que pase

la inspección final. A veces, alguno de los empleados no satisface el estándar de desempeño, ya sea

porque no termina a tiempo su trabajo o porque no ensambla bien una pieza. El jefe de producción

de la empresa sabe por evaluaciones pasadas que la probabilidad de que un trabajador no termine su

trabajo a tiempo es 0.10, de que ensamble mal una pieza es 0.12 y de que un trabajador no termine

su trabajo a tiempo y arme mal una pieza es 0.04.

¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador no termine a tiempo su trabajo o arme mal alguna

pieza?

Sea A el evento el empleado no terminó el trabajo a tiempo y B el evento el empleado armó mal una

pieza. Entonces: P(A) = 0.10, P(B) = 0.12 y P(A B) = 0.04.

La pregunta hace referencia a la probabilidad de la unión de los dos eventos. Es decir, se desea

hallar P(A B).

Aplicando la propiedad de unión resulta:

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0.10 + 0.12 - 0.04 = 0.18.

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Definición subjetiva

La probabilidad subjetiva está basada en las creencias de la persona que efectúa la estimación de

probabilidad. Se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo,

basada en la evidencia que se tenga disponible. Esta forma de asignación subjetiva de

probabilidades a los resultados de un experimento, usa toda la información disponible, por ejemplo,

la propia experiencia o la intuición. Después de considerar dicha información se asigna un valor de

probabilidad que expresa el grado de confianza (en una escala de 0 a 1) que se tiene acerca de que

un resultado experimental ocurra. El valor de probabilidad asignado a cada resultado experimental

debe estar entre 0 y 1, inclusive, y la suma de las probabilidades de todos los resultados

experimentales debe ser 1.

Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con más frecuencia cuando los eventos se

presentan sólo una vez o un número reducido de veces. Como en casi todas las decisiones sociales y

administrativas de alto nivel se refieren a situaciones específicas y únicas, los responsables de tomar

decisiones en este nivel hacen un uso considerable de la probabilidad subjetiva.

Asignación de Probabilidades

Suponga que el espacio muestral asociado a cierto experimento es finito o infinito numerable. En

este caso, una manera simple de trabajar es asignar probabilidades a los sucesos elementales, ya que

cualquier suceso A será unión de sucesos elementales que son obviamente mutuamente excluyentes.

Ejemplo:

Se arroja un dado normal. En este caso = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y, por tratarse de un dado normal, los

sucesos elementales E1 = {1}, E2 = {2}, E3 = {3}, E4 = {4}, E5 = {5} y E6 = {6} tienen probabilidad

pi = 1/6, i = 1,2, ..., 6.

Si se define el suceso A = “el resultado es mayor que 3”, A puede expresarse de la siguiente

forma:

A = E4 E5 E6 = {4, 5, 6}

por lo tanto,

P(A) = P(E4) + P(E5) + P(E6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½.

Ejemplo:

Para determinar si la proporción de artículos defectuosos producidos por los trabajadores de un

taller era la misma durante el día, la tarde y la noche se analizó un lote de 2000 artículos

correspondientes a una semana de producción, obteniéndose los siguientes resultados.

Calidad

Turno

Defectuoso No defectuoso TOTAL

Mañana 34 636 670

Tarde 88 502 590

Noche 68 672 740

TOTAL 190 1810 2000

Estimar la probabilidad de que un artículo del lote elegido al azar:

i) provenga de la producción del turno Mañana.

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ii) provenga de la producción del turno Tarde y no sea defectuoso.

iii) sea defectuoso o provenga de la producción del turno Noche.

iv) provenga de la producción del turno Tarde o Noche.

Se definen los siguientes eventos:

M = {el artículo elegido proviene del turno Mañana}, T = {el artículo elegido proviene del turno

Tarde} y N = {el artículo elegido proviene del turno Noche}.

D = { el artículo elegido es Defectuoso}, B = { el artículo elegido es No defectuoso } = Dc

A partir de la definición de estos eventos, aplicando las propiedades de probabilidad, se estiman las

probabilidades pedidas:

i) P(M) = 670/2000 = 0.335, ii) P(T B) = 502/2000 = 0.251,

iii) P(D N) = P(D) + P(N) - P(D N) = 190/2000 + 740/2000 - 68/2000 = 862/2000 = 0.431,

iv) P(T N) = P(T) + P(N) = 590/2000 + 740/2000 = 1330/2000 = 0.665; los eventos T y N son

mutuamente excluyentes por lo tanto T N = y P(T N) = 0. Probabilidad condicional

Definición: Sean A y B eventos tales que P(B) > 0, la probabilidad del evento A condicional a la ocurrencia del

evento B es

.P(B)

B)P(A)BA(P

Ejemplo:

Considere el ejemplo de la página anterior referido a la proporción de artículos defectuosos y turnos

de producción. Estimar la probabilidad de que un artículo del lote seleccionado al azar:

i) sea defectuoso si se sabe que provino de la producción del turno Noche.

ii) provenga de la producción del turno Mañana si se sabe que no es defectuoso.

Solución: i) 092.02000740

200068

)N(P

)ND(P)ND(P

ii) .351.020001810

2000636

)B(P

)BM(P)BM(P

Regla de la multiplicación:

Dados dos sucesos A y B, tales que P(B) > 0,

P(B) )BAP( B)P(A .

Si además, P(A) > 0,

P(A) )ABP( B)P(A .

Ejemplo:

Considere el ejemplo de la página 22. Suponga ahora, que se eligen al azar dos artículos sin

reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos provengan de la producción del turno Mañana?

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Sean los eventos M1 = {el primer artículo elegido proviene del turno Mañana} y

M2 = {el segundo artículo elegido proviene del turno Mañana}

Se quiere calcular la P(M1 M2). Aplicando la regla de la multiplicación:

11203998000

448230

1999

669

2000

670 )MMP()P(M )MP(M 12121 ..

Eventos independientes:

Hay casos en los que P(A/B) P(A), mientras que en otros P(A/B) = P(A), es decir, que la

ocurrencia del suceso B a veces altera la probabilidad de ocurrencia de A y otras veces no la altera. Definición:

Dos eventos A y B cualesquiera de un espacio muestral se dicen estadísticamente

independientes si la información acerca de la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad

de ocurrencia del otro, es decir,

P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B)

Si A y B no son eventos independientes, se dice que son eventos estadísticamente dependientes.

Si los eventos A y B son estadísticamente independientes, la probabilidad de la intersección de A

y B es igual al producto de las probabilidades de A y B, es decir,

P(B) P(A) B)P(A

Ejemplo:

A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el propósito de determinar el

número de lectores de los periódicos Time y Newsweek. Los resultados de la encuesta fueron los

siguientes: 20% de los habitantes lee el Time, el 16% lee el Newsweek y un 1% lee ambos

periódicos.

Definidos los eventos T = {el habitante lee el Time} y N = {el habitante lee el Newsweek}, ¿son

eventos independientes?

Para evaluar si los eventos T y N son independientes, basta verificar si se cumple la siguiente

igualdad: P(N) P(T) N)P(T .

El enunciado proporciona la siguiente información: P(T) = 0.20, P(N) = 0.16 y 0.01 N)P(T .

Como P(T) P(N) = 0.20 0.16 = 0.032 resulta que P(N) P(T) N)P(T . Por lo tanto, los eventos

T y N no son independientes.

Definición:

Una colección de eventos A1, A2, A3 ,..., An constituye una partición del espacio muestral si

(1) ji AA i j,

(2) P(Ai) > 0 i,

(3) n

i

i

1

A

= .

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Teorema de la Probabilidad Total:

Sea A1, A2, A3 ,..., An una partición del espacio muestral y sea B un suceso cualquiera de ,

)P(A)P(B/AP(B)1

i

n

i

i

Teorema de Bayes:

Sea A1, A2, A3 ,..., An una partición del espacio muestral y sea B un suceso cualquiera tal que

P( B ) > 0,

.n,,,j,

(

))(

i

n

i

i

jj

j 21

)P(A)/ABP

)P(AABP(BAP

1

Ejemplo:

Suponga que existen sólo tres compañías que ofrecen motores de búsqueda en internet: Yahoo, Aol

y Google, que se reparten el mercado en 30, 10 y 60 % respectivamente. Por experiencia pasada se

conoce que de las personas que buscan información en Yahoo, un 83% encuentra esa información

que busca, mientras que de las que buscan en Aol un 75% la encuentra y de las que buscan en

Google un 90% encuentra la información buscada.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar haya encontrado la

información que buscaba en internet?

2. Sabiendo que la persona ha encontrado en internet la información que buscaba, ¿cuál es la

probabilidad de que haya utilizado el buscador Aol?

Del enunciado se extrae la siguiente información:

90.0)GE(P75.0)AE(P83.0)YE(P

donde,

Y = “la persona busca información en Yahoo”, A = “la persona busca información en Aol”, G = “la

persona busca información en Google” y E = “la persona encuentra la información buscada en

internet”.

1. 0.8640.600.90.10 00.750.30 0.83

P(G) /G)E(PP(A) /A)E(PP(Y) /Y)E(PP(E)

2. .0868.0864.0

10.075.0

P(G) /G)E(PP(A) /A)E(PP(Y) /Y)E(P

P(A))AEP()EA(P

__________________________________ Fin Tema 3 __________________________________

60.0P(G)10.0P(A)0.30 P(Y)