Capítulo 2 Resonancias coherentes en modelos atómicos simples
Estados ligados y resonancias
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Estados ligados y Resonancias
Calculo de estados ligados y resonanciaspor medio del metodo Riccati-Pade
Javier Garcia, Francisco M. FernandezGrupo Quımica Teorica
Instituto de Investigaciones Fisicoquımicas Teoricas y Aplicadas
2012 - 2017
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Estados ligados y Resonancias
Contenidos
1 IntroduccionMetodo Riccati-PadeImplementacion
2 AplicacionesOscilador cuarticoProblemas asimetricosHamiltonianos no hermıticos
Pozos multiplesEfecto StarkEfecto Stark imaginarioIon molecula H +2
3 Conclusiones
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Estados ligados y Resonancias
Introduccion
Introduccion
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Estados ligados y Resonancias
Introduccion
Metodo Riccati-Pade
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Estados ligados y Resonancias
Introduccion
Metodo Riccati-Pade
Ecuacion de Riccati
Ecuacion de Schrodinger
ψ(x ) + Q (x ; E , λi )ψ(x ) = 0 (1)
f (x ) = g (x )
g (x ) −
ψ(x )
ψ(x ) (2)
f (x ) es regular en x = 0
f (x ) satisface la ecuacion de Riccati:
f (x ) = f 2(x )− 2g (x )
g (x ) f (x ) +
g (x )
g (x ) + Q (x ) (3)
E d li d R i
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Introduccion
Metodo Riccati-Pade
Aproximantes de Pade
f (x ) funcion analıtica en x = 0:
f (x ) = f 0 + f 1x + f 2x 2 + . . . (4)
Aproximante de Pade:
[M /N ](x ) =
M
s =0 as x s
N
t =0 b t x t (5)
La aproximacion racional satisface:
N
t =0
b t x t
∞
r =0
f r x r
=M
s =0
as x s + O(x M +N ) (6)
E t d li d R i
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Introduccion
Metodo Riccati-Pade
Metodo Riccati-Pade
“Pequena” modificacion:
N
t =0
b t x t ∞
r =0
f r x r =M
s =0
as x s + O(x M +N +1) (7)
Obtengo un sistema de ecuaciones sobredeterminado quetiene solucion sii:
H d D (E , λi ) =
f d +1 f d +2 . . . f d +D
f d +2 f d +3 . . . f d +D +1...
... . . .
...f d +D f d +D +1 . . . f 2D +d −1
= 0 (8)
D = N + 1 y d = M − N
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Introduccion
Metodo Riccati-Pade
En resumen...
Calculo los f j
Calculo el/los determinante/s H d D
Resuelvo la ecuacion H d D = 0 para D creciente.
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Estados ligados y Resonancias
Introduccion
Implementacion
Implementacion
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Estados ligados y Resonancias
Introduccion
Implementacion
Calculo de los determinantes
Necesitamos precision arbitraria
Se pueden calcular analıticamente con software de algebracomputacional
Alternativamente, se puede usar la expresion:
H d
D =
H d D −1H d +2
D −1 − H d +1D −12
H d +2D −2 (9)
Y hacer los calculos numericamente.
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Introduccion
Implementacion
Busqueda de raıces
Para buscar las raıces se puede recurrir al metodoNewton-Raphson.
x n+1 = x n − f (x n)
f (x n) (10)
En el caso de hacer los calculos numericos se aproxima la
derivada como cociente incremental:
x n+1 = x n − 2h f (x n)
f (x n + h) − f (x n − h) (11)
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g y
Introduccion
Implementacion
Programacion
Librerıas GNU MPC y MPFRCodigo en C (programacion de librerıas)
Extension de Python
Programacion en Python
¡Mucho mas rapido!
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g y
Aplicaciones
Aplicaciones
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Aplicaciones
Oscilador cuartico
Oscilador anarmonico cuartico
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Aplicaciones
Oscilador cuartico
Oscilador anarmonico cuartico
Ecuacion de Schrodinger:
ψ(x ) + E − x 4ψ(x ) = 0 (12)
Derivada logarıtmica regularizada:
f (x ) = s
x −
ψ(x )
ψ(x ) (13)
Ecuacion de Riccati:
f (x ) − 2sf
x − f 2(x ) + x 4 − E = 0 (14)
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Aplicaciones
Oscilador cuartico
f (x ) − 2sf
x − f 2(x ) + x 4 − E = 0 (15)
Desarrollo en serie de potencias:
f (x ) =
∞ j =0
f j x 2 j +s
(16)
Combinando (16) y (15) obtengo los coeficientes:
f 0 =
E
2s + 1 (17)
f n,s = 1
2n + s + 1
n−1
j =0
f j f n− j −1 − δ n2
, n = 1, 2 . . .
(18)
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Aplicaciones
Oscilador cuartico
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
5 0
0
p
2
+ x
4
l o g
1 0
| E
D
− E
D − 1
| v s D
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
3 4 5 6 7 8 9 1 0
1 6
1 4
1 2
1 0
8
6
4
2
0
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Aplicaciones
Oscilador cuartico
Energıa del estado fundamental...E = 1.060362090484182899647046016692663545515208728528977933216245241695943563044344421126896299134671703510546244358582525580879808210293147013176836373824935789226246004708175446960141637488417282256905935757790888061788790263601549395690275196148900942934873584409442694897901213971464290951923354533828347033505757615112025703988852372024022184110308657373109139891545365841031116794058335486000922744006963112670238862297142969961059215583226671376935508673610000831830027517926233573913906136180776498596961814994127928092728407079561060440722946809949136275729273872791368902798424722261716944488954751370438068405439187787729532342458743725431783231906038106874160440343745301468472781391861294047043103401351071607110353008929823275427661518986950565047160252756089526262191025688200964410287815640052705292932405076382650282591124773625384718547144025722854384852974504585709788402490669995704768445877091762029124375273254907116433440230294730692398190895685374535988446016002313291933059395869304916644281633946163324287004261461237743009952234204208597735690153565416850308941851348795734106585479719467596466796613467688586437952654519560568286715958338884743467012042420714918747871038429573389138985245894022263471696176996560440931170998547160646641857421281143088181114951122148431408871216620593130769234180229827246883626045356507913236221596486925870033200744409688064046239788178394698378070482686021742719460350750696
19165822498300960613457266639286359217643534013718920448148464837302894125296386344044695435393447373343344770723047821550882096423511069003828339002378482309391948. . .
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Aplicaciones
Problemas asimetricos
Problemas asimetricos
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A li i
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Aplicaciones
Problemas asimetricos
Ecuacion de Schrodinger:ψ(x ) + [E − V (x )]ψ(x ) = 0 (19)
V (x ) admite desarrollo en serie:
V (x ) =∞
j =0
v j x j (20)
Derivada logarıtmica:
f (x ) = −ψ(x )
ψ(x ) (21)
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A li i
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Aplicaciones
Problemas asimetricos
Ecuacion de Riccati:
f (x )− f 2(x ) + V (x )− E = 0 (22)
f (x ) tambien:
f j = 1
j + 1
j −1k =0
f j −k −1f k − v j −1 + E δ j 1
, j = 1, 2, . . .
(23)
En este caso no se conoce f 0 → tenemos dos incognitas:E y f 0
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Aplicaciones
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Aplicaciones
Problemas asimetricos
Varias alternativas...F (E , f 0) = H
d 1D = 0
G (E , f 0) = H d 2D = 0
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Aplicaciones
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Aplicaciones
Problemas asimetricos
Determinantes con coeficientes pares e impares:
H e (D , d ) =
f 2d +2 f 2d +4 . . . f 2d +2D
f 2d +4 f 2d +6 . . . f 2d +2D +2
... ...
. . . ...
f 2d +2D f 2d +2D +2 . . . f 4D +2d −2
= 0
H o (D , d ) =
f 2d +1 f 2d +3 . . . f 2d +2D −1
f 2d +3
f 2d +5
. . . f 2d +2D +1...
... . . .
...
f 2d +2D −1 f 2d +2D +1 . . . f 4D +2d −3
= 0
(24)
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Aplicaciones
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Aplicaciones
Problemas asimetricos
Separacion de la funcion de onda en partes par e impar:
ψ(x ) = ψP (x ) + ψI (x ) (25)
ψP (x ) + Q P (x )ψP + Q I (x )ψI (x ) = 0
ψI (x ) + Q P (x )ψI (x ) + Q I (x )ψP (x ) = 0(26)
Se pueden resolver las dos ecuaciones acopladas con el
RPM
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Aplicaciones
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Aplicaciones
Hamiltonianos no hermıticos
Hamiltonianos no hermıticos con espectro real
Estados ligados y Resonancias
Aplicaciones
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p
Hamiltonianos no hermıticos
Caso paradigmatico:
H = p 2 + x 2(ix ) (27)
Condiciones de contorno dependientes de Para < 2 se puede trabajar sobre el eje real
Funcionan todas las variantes para potenciales asimetricos
¡Ojo! Incluso para valores pares de el problema esasimetrico
Estados ligados y Resonancias
Aplicaciones
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p
Hamiltonianos no hermıticos
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
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Hamiltonianos no hermıticos
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
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Hamiltonianos no hermıticos
5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5
4 5
4 0
3 5
3 0
2 5
2 0
1 5
1 0
5
0
p
2
+ i x
3
l o g
1 0
| E
D
− E
D − 1
| v s D
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
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Pozos multiples
Pozos multiples
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
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Pozos multiples
0
1
2
3
4
5
6
−6 −4 −2 0 2 4 6
V (x ) = x 2 − 2g 2x 4 + g 4x 6 (28)
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
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Pozos multiples
Posee infinitos estados ligados
Tambien ¿infinitas? resonanciasEl RPM converge a ambos exponencialmente
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Pozos multiples
0 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 . 2 0 0 . 2 5 0 . 3 0
g
1 4 0 0
1 2 0 0
1 0 0 0
8 0 0
6 0 0
4 0 0
2 0 0
0
l
o
g
1
0
|
(
E
)
|
V ( x ) = x
2
− 2 g
2
x
4
+ g
4
x
6
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
P ´l i l
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Pozos multiples
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
g
1 . 5 5
1 . 5 0
1 . 4 5
1 . 4 0
1 . 3 5
1 . 3 0
1 . 2 5
1 . 2 0
1 . 1 5
β
l o g
1 0
| E
D
− E
D − 1
| = α + β D
l i g a d o
r e s o n a n c i a
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
P ´lti l
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Pozos multiples
Im (E ) ∼ A
1
g 2 e − 1
2g 2
g → 0 (29)
0,68
0,7
0,72
0,74
0,76
0,78
0,8
0,82
0,84
0,86
0,19 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,3
g 2 e x p [ 1 / ( 2 g
2 ) ] I m E ( g
2 )
g
Benassi, L., S. Graffi y V. Grecchi: Phys. Lett., 82B(2):229–232, 1979
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
Pozos multiples
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Pozos multiples
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
g 2 e x p [ 1 / ( 2 g
2
) ] I m E ( g
2 )
g
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
Pozos multiples
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Pozos multiples
0
1
2
3
4
5
6
−10 −5 0 5 10
V (x ) = x 2 − 2J exp(−λx 2) + 2J (30)
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
Pozos multiples
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Pozos multiples
El RPM da una resonancia extrana en lugar de dar elestado ligadoFernandez F. M: J. Phys. A 29, 3167 (1996)
Mediante el metodo variacional con rotacion complejaobtuvimos dicha resonancia
Usando valores de D mas grandes pudimos obtener elestado ligado.
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
Efecto Stark
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Efecto Stark
Efecto Stark
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
Efecto Stark
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Efecto Stark en el atomo de Hidrogeno
La ecuacion−
1
2∇2 −
1
r + Fz
ψ(x , y , z ) = E ψ(x , y , z ) (31)
Se puede separar en coordenadas parabolicas cuadradas
d 2ω1(µ)
d µ2 +
1 − 4m2
4µ2 + 2E µ2 − F µ4 + Z
ω1(µ) = 0
d 2ω2(ν )d ν 2
+
1 − 4m2
4ν 2 + 2E ν 2 + F ν 4 + 4 − Z
ω2(ν ) = 0
(32)
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
Efecto Stark
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Se puede aplicar el RPM para resolver las dos ecuacionesacopladas simultaneamente
El RPM converge exponencialmente a las resonancias
−300
−250
−200
−150
−100
−50
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
|0, 0, 0 >
|0, 5, 0 >
|0, 0, 1 >|0, 1, 0 >|1, 0, 0 >
l o g 1 0
[ | R e ( E D )
− R
e ( E D − 1
) | ]
D
Los resultados coinciden con los que se encuentran enliteratura y con nuestros calculos usando rotacion
compleja y teorıa de perturbaciones
Estados ligados y ResonanciasAplicaciones
Efecto Stark
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Pudimos verificar una formula WKB:
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
l o g 1 0 [
| I m ( E ) | ]
F
RPMasymptotic
Im E 00,0(F ) ∼ −2
F e −
23F
1 + A00F + B 00F 2 (33)
L. Benassi, V. Grecchi: J. Phys. B: At. Mol. Phys., 13, 911 (1980)
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Efecto Stark
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Calcular estados excitados:
−15
−10
−5
0
5
10
15
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
1 0 5
R e (
E )
105 F
ab
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
1 0 6
I m (
E )
105 F
ab
|39, 0, 0 > a: V. V. Kolosov Journal of Physics B , 20, 2359 (1987), b: RPM
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Efecto Stark
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Y tambien corregir calculos de otros autores:Re E Γ
[1] −0,5000553416 0,8944475605× 10−7
[2] 9,4983× 10−56
CRLM −0,500056284793 < 1 × 10−13
RPM −0,5000562847938 9,49802741674× 10−56
[1] L. Fernandez-Menchero, H. P. Summers, Phys. Rev. A 88, 022509 (2013)[2] L. Benassi, V. Grecchi: J. Phys. B: At. Mol. Phys., 13, 911 (1980)
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Efecto Stark imaginario
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Efecto Stark imaginario
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Efecto Stark imaginario
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La ecuacion ahora es:−
1
2∇2 −
1
r + i Fz
ψ(x , y , z ) = E ψ(x , y , z ) (34)
Las ecuaciones separadas:d 2ω1(µ)
d µ2 +
1 − 4m2
4µ2 + 2E µ2 − i F µ4 + Z
ω1(µ) = 0
d 2ω2(ν )
d ν 2 +1 − 4m2
4ν 2 + 2E ν 2
+ i F ν 4
+ 4 − Z ω2(ν ) = 0
(35)
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Efecto Stark imaginario
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Efecto Stark imaginario
El metodo funciona de igual maneraMisma velocidad de convergencia
Mismas propiedades de convergencia
Francisco M. Fernandez, Javier Garcia: Ann. Phys., 363, 496 (2015)
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Ion molecula H +2
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Ion molecula H +
2
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Ion molecula H +2
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Ecuacion de Schrodinger:−
1
2∇2 −
1
r 1−
1
r 2
ψ = E e (R )ψ (36)
Es separable en coordenadas esferoidales:
d
d λ
λ2 − 1
dL(λ)
d λ
+
−
m2
λ2 − 1 − λ2 + 2R λ + A
L(λ) = 0
d
d µ1 − µ2 dM (µ)
d µ+ − m2
1 − µ2
+ µ2 − AM (µ) = 0
(37)
= −R 2E e /2, A: constante de separacion.
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Ion molecula H +2
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Ambas ecuaciones se pueden escribir de la siguiente
manera:
Y (x ) + P (x )Y (x ) + Q (E , x )Y (x ) = 0 (38)
Haciendo µ = x obtenemos P y Q para M (µ):
P (x ) = − 2x
1− x 2, Q (x ) =
x 2 − A
1− x 2 −
m2
[1 − x 2]2 (39)
Haciendo λ = x
+ 1 los obtenemos para L
(λ):
P (x ) = 2 (x + 1)
x (x + 2), Q (x ) =
2R (x + 1) + A − (x + 1)2
x (x + 2) −
m2
x 2(x + 2)2
(40)
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Ion molecula H +2
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Definimos nuestra f (x ):
f (x ) = s
x −
Y (x )
Y (x ) , s =
|m|
2 (41)
Y obtenemos los f j :
f −1 = 2s 2 + s − + 2R + A
2(2s + 1) (42)
f n = 1
2n + 2s + 1
n−
1 j =0
f j f n− j −1 −n−
1 j =0
P j f n− j −1 + sP n + Q n
(43)
n = 0, 1, 2, . . . (44)
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Ion molecula H +2
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A continuacion calculamos los determinantes de Hankel yencontramos sus raıces:
F (,A) = H 0D µ = 0, G (,A,R ) = H 0D λ = 0 (45)
Tambien se puede calcular la distancia internuclear deequilibrio agregando una ecuacion:
∂ E
∂ R =
∂ F
∂ A
∂ G
∂ R −
∂ F
∂ R
∂ G
∂ A∂ F
∂ E ∂ G
∂ A − ∂ F
∂ A∂ G
∂ E = 0 (46)
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Aplicaciones
Ion molecula H +20 . 3 0
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2 4 6 8 1 0
R
0 . 6 0
0 . 5 5
0 . 5 0
0 . 4 5
0 . 4 0
0 . 3 5
U
(
R
)
U ( R ) = E
e
( R ) +
1
R
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Aplicaciones
Ion molecula H +25
l o g
1 0
| E
D
− E
D − 1
| v s D
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4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
3 0
2 5
2 0
1 5
1 0
R
e q
= 1 . 9 9 7 1 9 3 3 1 9 9 6 9 9 9 2 1 2 0 0 6 8 2 9 8 1 4 1 1
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Conclusiones
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Conclusiones
Estados ligados y Resonancias
Conclusiones
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Conclusiones
En todos los casos que probamos el RPM converge tantoa los estados ligados como las resonancias
En la mayorıa de los casos la convergencia es exponencial
Nuestra nueva implementacion del metodo es mucho maseficiente que la anterior; esto nos permite
Obtener resultados extremadamente precisosObtener resultados con buena precision y enorme rapidez
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Cosas en el tintero
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Cosas en el tintero
Resonancias asimetricasPotenciales singulares
¡Escribir la tesis!
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¡Gracias por su atencion!