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Estadística Aplicada

Conceptos Estadísticos Fundamentales

Estadística Aplicada CONTENIDOS:

•Tratamiento y análisis de datos

•Distribuciones de probabilidades

•Obtención de información y métodos de muestreo

•Distribución de variables aleatorias

•Cartas o diagramas de control

•Capacidad de procesos

•Muestreo para aceptación

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Estadística Aplicada PLAN DE EVALUACION:

•Tarea previa a parcial 1: 15%

•Parcial 1: 25%

•Tarea previa a parcial 2: 15%

•Parcial 2: 20%

•Trabajo de campo: 15%

•Asistencia: 10%

Antecedentes

Para distinguir entre conocimiento e información, podría decirse:

•El conocimiento implica la formulación de conclusiones con cierto grado de certidumbre, derivada de información obtenida a partir de un número limitado de individuos, objetos o experiencias pasadas, mediante la aplicación de técnicas estadísticas.

•La información de partida, en este caso, se conoce como datos estadísticos y se asemejan a la materia prima de un proceso de manufactura.

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Antecedentes

En muchos casos es necesario trabajar con experiencias o procesos que generan un número muy grande de datos o resultados numéricos, es decir, espacios muestrales con un número infinito o muy grande de elementos.

Por lo que se usa la Estadística como herramienta.

Antecedentes Los orígenes de la estadística, aunque no se sabe con exactitud cuándo

se comenzó a utilizar, pueden estar ligados al antiguo Egipto como a los censos chinos que se realizaron hace unos 4000 años, aproximadamente.

Sin duda, fueron los romanosromanos, maestros de la organización política, quienes mejor supieron ocupar la estadística.

• Cada cinco años realizaban un censo de la población, cuyos datos de:

• Nacimientos,

• Defunciones y

• Matrimonios

• Eran esenciales para estudiar los avances del imperio; sin olvidar los recuentos de ganancias y las riquezas que dejaban las tierras.

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Antecedentes

En 1662, John Graunt, un mercader Inglés, publicó un libro sobre los nacimientos y defunciones ocurridos en Londres; donde concluía acerca de algunos factores relacionados con estos eventos. Esta obra esconsiderada como el punto de partida de la estadística moderna.

La palabra estadística comenzó a usarse en el siglo XVIII, en Alemania, relacionándose al estudios de los grandes números, que constituían datos, de importancia para el estado. Sin embargo, la estadística moderna se desarrolló en el siglo XX a partir de los estudios de Karl Pearson.

Hoy la estadística tiene gran importancia, no sólo por que presenta información, sino que además permite inferir y predecir lo que va a ocurrir, y por lo tanto, es una herramienta fundamental a la hora de tomar decisiones.

Conceptos Fundamentales La estadística es la ciencia de la inducción lógica, ayuda a generar

conclusiones de carácter general a partir de un reducido número de observaciones.

La inducción permite formular generalizaciones acerca de la naturaleza o característica de una determinada clase de objetos, a partir de observaciones realizadas sobre una cantidad limitada de tales objetos.

Al contrario que la deducción la cual conduce a establecer, sobre la base de premisas generales de las propiedades de cualquier objeto, si todos los objetos considerados poseen tales características.

Se dice que la deducción es un razonamiento a priori, mientras de la inducción es un razonamiento en base a la evidencia empírica.

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Conceptos Fundamentales Por ejemplo:

• La estadística aporta herramientas que permiten utilizar una cantidad limitada o incompleta de información, para formular conclusiones acerca de causas y efectos de algún fenómeno estudiado.

• Esto ayuda a comprobar teorías o determinar las relaciones existentes entre datos iniciales y resultados finales.

• En las ciencias sociales, las técnicas estadísticas se usan para predecir el resultado de unas elecciones o la probabilidad de éxito o fracaso de un cierto negocio.

• En el campo médico, los métodos estadísticos se aplican en pruebas experimentales realizadas a los nuevos fármacos, para evaluar su efectividad en el tratamiento de algún tipo de enfermedad o en busca de relación causal directa o indirecta entre el consumo de cigarrillos y el cáncer pulmonar.

EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva

Todo estudio estadístico debe considerar diferentes tipos de variables:

VariablesVariables

Variables cualitativasVariables Cuantitativas

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Variables cualitativas:Relacionadas con características no numéricas de un individuopor ejemplo: atributos de una persona, nacionalidad, color de la piel, sexo, religión.


Variables Cuantitativas: Relacionadas con características numéricas del individuo por ejemplo: edad, precio de un producto, ingresos anuales.

Las variables cuantitativas pueden ser:

Discretas (aquellas que pueden tomar solo algunos valores en un intervalo y no valores intermedio, ejemplo: edad, número de hermanos que puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45)

Continuas (aquellas que pueden tomar cualquier valor en un intervalo real, ejemplo: alturas, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.).

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Variables Con relación al fin de la

investigación

Por su nivel de

abstracción

Cualitativas

Cuantitativas

Por su naturaleza

•Dicotómicas•Policotóminas

•Discretas•Continuas

•Independientes•Dependientes•Intervinientes•Extrañas

•Ambientales•Conexas•Actuación y presencia del investigador•Actuación de los sujetos investigados

Por su amplitud

Individuales

Colectivas

•Generales•Intermedias


En la estadística, la información de partida son los datos estadísticos, análogo a la materia prima de un proceso de manufactura.

Los datos se obtienen de alguna fuente, se aplican las operaciones estadísticas apropiadas y se obtiene como resultado un producto terminado bajo la forma de estimaciones o conclusiones.

Estas conclusiones sirven de base para tomar decisiones, permitiendo elegir uno entre varios cursos de acción, con el propósito de alcanzar con la mayor efectividad posible un objetivo predeterminado.

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EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Los datos pueden provenir de fuentes internas o externas.

•En una empresa las fuentes internas están conformados por registros de ventas, producción, nómina, personal y los asientos contables.

•Las fuentes externas están fuera de la organización que los usa, se obtienen a través de publicaciones, pueden ser de dos tipos:

•Fuentes primarias, son datos publicados por quienes los recolectaron y/o produjeron originariamente (censos de población, estadísticas de ingresos, reportes anuales de actividad industrial, etc.)

•Fuentes secundarias, como los diarios, revistas, libros y otros medios de comunicación, que publican información elaborada por las fuentes primarias.

Es preferible obtener la información de fuentes primarias, por las imprecisiones que pueden encontrarse en datos provenientes de fuentes secundarias (errores de trascripción, datos incompletos, ausencia de notas aclaratorias, etc.).


Manejo de los datos:•Aproximación de números

•En la mayor parte de los casos resulta más conveniente usar datos aproximados en lugar de valores exactos.

•Redondeo de cifras•Una regla arbitraria, pero prácticamente de uso universal,

establece lo siguiente: si el último dígito que se desea conservar es par, entonces se redondea por defecto o se descartan los demás dígitos a la derecha. Si el último dígito a conservar es impar, se redondeará por exceso al dígito par más cercano.

•Dígitos significativos•Consiste en la cantidad de dígitos del número original que haya

sido conservada.•Ej. 3.420,0 las cifras significativas son cinco. Para números menores que 1, se cuentan los dígitos que aparezcan a la derecha del último cero decimal; así 0,000190 tiene tres dígitos significativos, lo mismo que 0,0320 o 0,00255.

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A un conjunto muy grande de datos numéricos para analizar se denomina Universo o Población de observaciones.

Universo de Generadores Eléctricos en Venezuela

Generadores Eléctricos Diesel

Muestra


29 26

26

3132

30

27

28

25

29

3230

2927

28

30

30

31

3130 30

31

27

31

2829

32

33

3334

3129

30

Población o Universo

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Cada dato numérico es un elemento de la población o universo.

Una Muestra es un subconjunto pequeño de observaciones extraídas de un universo o población.

30

Se toma un dato de la Población

2926

26

3132

30

27

28

25

29

3230

2927

28

30

30

31

31 3030

27

3128

32

33

34

3129

30


31

29

33


29 26

26

3132

30

27

28

25

29

3230

2927

28

30

30

31

3130 30

31

27

31

2829

32

33

3334

3129

30


2829 3130

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Muestra de 5 datos

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La Estadística trabaja con poblaciones de datos y con muestras extraídas de las mismas.

Los conceptos de población y muestra a veces resultan ambiguos en su aplicación práctica.


En una ciudad de 5.000 habitantes se realiza un censo médico en el cual se mide el peso, la altura y relevándose otros datos de todos los habitantes de la ciudad.

Podría referirse al universo o poblacióncensada teniendo en mente el conjunto de los habitantes de la ciudad.

Pero cuando se habla en términos estadísticos, se refiere a poblaciones o universos de datos.

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Por ejemplo,

•El conjunto de todas las mediciones de altura (de los habitantes de la ciudad) es un conjunto de datos y por lo tanto constituye un universo o población de datos desde el punto de vista estadístico.

•Otro universo o población de datos son los pesos medidos (de los habitantes de la ciudad).

•La población de habitantes, es decir, las personas que habitan la ciudad no son la población (objeto de estudio) a la que se refiere desde el punto de vista estadístico.

EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva El tratamiento estadístico considera dos categorías principales de datos:

• Variables y constantes.

• Las variables se denotan usualmente por medio de las últimas letras del alfabeto, tales como x, y, o z.

• Dentro de esta categoría se incluyen también los estadísticos y los parámetros.

•Un estadístico es una característica medida u observada en una muestra y usualmente se denota mediante una letra específica.

• La media aritmética de una muestra se denota mediante Ẋ

• La característica o parámetro correspondiente a la población o universo al cual pertenece la muestra seleccionada se denota mediante µ.

• Generalmente los estadísticos de una muestra se denotan mediante letras del alfabeto latino, mientras los parámetros de la población correspondiente se denotan mediante letras griegas Por ejemplo,

• El conjunto de todas las mediciones de altura (de los habitantes de la ciudad) es un conjunto de datos y por lo tanto constituye un universo o población de datos desde el punto de vista estadístico.

• Otro universo o población de datos son los pesos medidos (de los habitantes de la ciudad).

• La población de habitantes, es decir, las personas que habitan la ciudad no son la población (objeto de estudio) a la que se refiere desde el punto de vista estadístico.

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EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Con respecto a las constantes, existen dos tipos: Ordinarias

y “naturales”. •Las constantes ordinarias se denotan mediante las primeras letras

minúsculas del alfabeto, es decir a, b, c, …•También en este caso, es necesario distinguir entre constantes

basadas en la observación de una muestra y los parámetros de la población correspondiente.•Por ejemplo la siguiente relación entre dos variables X y Y observada en una muestra: • Y = a + bX.

•La ecuación correspondiente a la población o universo sería: • Y = α + βX.

•En el ejemplo, a y b son estadísticos de la muestra mientras que αy β son los parámetros de la respectiva población.

•Por constantes “naturales” se entienden los valores específicos usados en las matemáticas, siendo el número irracional e = 2,71828..... y π = 3,14159... dos de las constantes naturales más frecuentemente utilizadas.

EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Por ejemplo si una empresa se fabrica un lote muy grande, de 10

toneladas de un producto químico, y un técnico debe controlar la calidad del mismo.

El técnico toma una pequeña porción, por ejemplo, 100 gramos, lo cual es una muestra del producto para analizar en el laboratorio.

Hasta el momento, la muestra no fue analizada y por lo tanto no se dispone de ningún dato numérico.

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EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Cuando el laboratorio efectúa algún ensayo en la muestra y obtiene

un resultado numérico, recién ahí se tiene un dato que puede ser analizado desde el punto de vista estadístico.

EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Si el técnico continuara sacando otras muestras del producto, hasta

agotar el lote y cada una es ensayada en el laboratorio, el cual da los resultados.

Como se tenían 10 toneladas de producto y las muestras son aproximadamente de 100 gr, el técnico seguramente extraeráalrededor de 100.000 muestras y el laboratorio entregará alrededor de 100.000 resultados.

Este conjunto de datos numéricos es el universo o población de datos.

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EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Si se toman al azar 10 de esos resultados, se dice tener una

muestra de 10 elementos de ese universo o población.

No debe confundirse esta muestra (Desde el punto de vista estadístico) con la primera muestra de material que extrajo el técnico para ser analizada en laboratorio.

Muchas veces el universo o población de datos a veces no existe en la realidad, sino que es un concepto o abstracción que se usa para referirse al universo o población que hipotéticamente podría existir.

EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Del ejemplo anterior, si el técnico toma solamente 5 muestras

del lote original y las envía para analizar al laboratorio.

El laboratorio enviará sólo 5 resultados, y se tiene una muestra de datos extraída del universo o población de datos total.

Y se piensa en el universo o población que tendría si se hubieran extraído y analizado las 100.000 muestras de material.

Muchas veces resulta difícil imaginarse cual es el universo del cual se extraen los datos.

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Si se tiene una máquina que produce piezas de plástico en serie y un técnico toma 5 piezas sucesivas y les mide la altura con un calibre.

Se cuenta con 5 resultados, es decir una muestra de 5 elementos.

¿Cuál es el universo al cual pertenece esa muestra de datos?.

EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Debe considerarse lo siguiente:

•Si la máquina continuara trabajando en las mismas condiciones:

•A la misma velocidad,

•Con las mismas materias primas,

•A la misma temperatura,

•Manejada por el mismo operario, etc. ...

... y a cada pieza que produce se le mide la altura, se tiene un conjunto muy grande de resultados numéricos.

Ese conjunto muy grande de resultados numéricos que no existe, pero que lo podría obtenerse en esas condiciones es el universo o población del cual se extrae la muestra de 5 observaciones.

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En otro caso, el sindicato de la industria textil desea saber cual es el sueldo promedio que gana un operario en esa industria.

Entonces, encarga una encuesta a una empresa especializada, que entrevista a 20 operarios de la industria textil y averigua sus salarios.

Estos datos son una muestra de 20 observaciones del universo o población formado por los salarios de todos los operarios de la industria textil del país.

EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva Aunque el encuestador no disponga de esos datos, se sabe

que existen miles de trabajadores que ganan un salario determinado y por lo tanto puede hablarse de un universo o población cuyos elementos son los salarios de los trabajadores de la industria textil en el país.

Además, esa población de datos es seguramente diferente de la población de salarios de los operarios de la industria textil ecuatoriana o brasileña (Usando una misma moneda de referencia).

Entonces,

•¿Qué representa una Población de datos?

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El análisis estadístico de una población o universo de datos tiene como objetivo final descubrir las características y propiedades de aquello que generó los datos.


Por ejemplo, se tiene una población de escolares (Población física, población humana) y se les mide la altura.

El conjunto de datos de altura constituye una población o universo estadístico.

El análisis de estos datos de altura (Universo estadístico) sirve para caracterizar y estudiar a la población de estudiantes (Que no es una Población estadística).

Población real Población estadística

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Un instituto dedicado a estudios económicos ha realizado una encuesta de ingresos en el país.

El universo de datos generados por la encuesta sirve a los fines de caracterizar a la población física, a la población real del país, desde un punto de vista económico.


Población real

Salarios (Bs.)800

1250950

21501780134015002100

...

Salarios (Bs.)800

1250950

21501780134015002100

...

Población estadística

Población real

Población estadística

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Un ingeniero controla un proceso industrial, que genera a diario muchos lotes de un producto (Población de lotes).

Para cada lote se mide una característica de calidad, obteniéndose una gran cantidad de resultados numéricos (Población de datos).


Resultados Numéricos

Medición

Proceso

Producto

Muestra

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EstadEstadíística Descriptivastica Descriptiva A través de esos datos numéricos se puede evaluar el comportamiento

del proceso, que es lo que realmente le interesa.

Es importante destacar que detrás de un universo o población de datos se encuentra una población física subyacente, formada por elementos de la realidad, de la cual, a través de algún tipo de medición, se obtuvieron los datos numéricos.

Es esa población física subyacente (Elementos de la realidad, seres humanos, lotes de material, máquinas, etc.) la que se estudia y caracteriza por medio del análisis estadístico de los datos obtenidos.


La población estadística representa una población física o natural formada por elementos de la realidad, con respecto a una característica o propiedad de esa población física.

Al utilizar métodos estadísticos, no confundir la población física, formada por elementos de la realidad estudiada con la población o universo de datos generados a partir de la primera.

En adelante, cuando se use los términos población o universo sin otro aditamento se estará refiriendo a población o universo de datos numéricos (También llamados observaciones o mediciones o valores).

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Distribución de Frecuencias Una Población o Universo de datos es un conjunto muy grande de

números.

Estos números pueden estar en un gran listado o puede ser un conjunto hipotético.

Puede imaginarse los números pero no se tienen realmente.

Una gran tabla de números ordenados al azar prácticamente no muestra información acerca de la población de datos.

Suponiendo que se tienen los datos del universo

•¿Cómo pueden clasificarse y ordenarse los números para obtener más información acerca de ese universo de datos?

Distribución de Frecuencias

Gráficos Estadísticos•• La informaciLa informacióón contenida en las tablas de frecuencias resulta mn contenida en las tablas de frecuencias resulta máás s

accesible y faccesible y fáácil de interpretar si se representan por medio de grcil de interpretar si se representan por medio de grááficos ficos estadestadíísticos.sticos.

Diagrama de barras

En él se asocia a cada valor de la variable una barra, cuya longitud es igual o proporcional a su frecuencia.

Histograma

Está formado por rectángulos, cuyas bases corresponden con los intervalos de clase y sus áreas son iguales o proporcionales a sus frecuencias.

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Polígono de frecuencias

Es una línea poligonal que une los vértices superiores de las barras de un diagrama de barras, o los puntos medios de las bases superiores de los rectángulos de un histograma.

Diagrama de sectores

Es un gráfico formado por un círculo dividido en sectores circulares cuyas amplitudes son proporcionales a las frecuencias de los datos representados.




Pictogramas

Los pictogramas son gráficos similares a los gráficos de barras, pero empleando un dibujo en una determinada escala para expresar la unidad de medida de los datos. Generalmente este dibujo debe cortarse para representar los datos. Se usan para lograr el interés masivo del público.

Gráfico de líneas

En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí.Se pueden usar para representar: una serie o más series

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Una forma sería escribir los números desde el menor hasta el mayor y colocar encima de cada uno tantas cruces como veces que figure repetido en la población:

Ordenando la Información

Al ordenar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías.

Al determinar cuántos pertenecen a cada clase, se tiene la frecuencia.

Se Construye así una tabla de datos llamada tabla de frecuencias.


24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x

29 26

26

3132

30

27

28

25

29

3230

2927

28

30

30

31

31 3030

31

27

31

28

29

32

33

3334

3129

30


25


…o utilizar cuadrados en vez de cruces:

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

29 26

26

3132

30

27

28

25

29

3230

292728

30

3031

31 3030

31

27

31

28

29

32

33

3334

3129

30



¿¿Para quPara quéé se construyen las tablas de frecuencias ?se construyen las tablas de frecuencias ?• ORDENARORDENAR•• AGRUPARAGRUPAR•• RESUMIR informaciRESUMIR informacióónn

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

26


El número de veces que aparece repetido cada dato es la frecuencia de dicho valor.

Esta representación gráfica se denomina Distribución de Frecuencias de la población.

La representación gráfica permite ver información que antes no aparecía tan evidente.

Por ejemplo, sin hacer ningún cálculo puede verse donde está aproximadamente el promedio de la población.


24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Promedio29 26

26

3132

30

27

28

25

29

3230

2927

28

30

30

31

31 3030

31

27

31

28

29

32

33

3334

3129

30


27

Distribución de Frecuencias También muestra cuales son los valores máximo y mínimo de la

población, es decir, el rango:

29 26

26

3132

30

27

28

25

29

3230

292728

30

3031

31 3030

31

27

31

28

29

32

33

33 34

3129

30

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

RangoRecorrido o intervalo total


En la siguiente tabla se presenta el motivo de la consulta médica, durante una semana.

20

18

7

13

19

Número de pacientes

Vacunas

Fracturas

Heridas

Otitis

Bronquitis

Motivo Consulta

28


Tipos de frecuencias1. Frecuencia o Frecuencia Absoluta: Es el número de veces que se

presenta un valor o categoría de una variable. Se representa por fi.2. Frecuencia Relativa: La frecuencia relativa se puede expresar en

términos de porcentaje o de proporción y se representa por fr. (Es la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos)

El formato general de una tabla estadística , llamada también TABLA DE FRECUENCIAS O TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS es la siguiente:

Nombre de la variable Frecuencia

Categorías oRecorrido de la variable

FrecuenciasObservadas

TOTAL n


Los siguientes datosdatos corresponden a las notas obtenidas por un curso de 24 alumnos24 alumnos en un trabajo de matemáticas:

3,2 4,2 5,6 6,0 2,8 3,9 4,2 4,2 5,0 5,0 3,9 3,9 3,2 3,2 4,2 5,6 6,0 6,0 3,2 6,0 4,2 5,0 5,6 5,0

Se Ordenan estos datos en una tabla considerando:Se Ordenan estos datos en una tabla considerando:

•• Nombre de variable: Nombre de variable: NotaNota

•• Frecuencia Absoluta Frecuencia Absoluta ffii

•• Frecuencia relativa Frecuencia relativa ffrr

Si el resultado es un decimal, se pueden usar 3 dSi el resultado es un decimal, se pueden usar 3 díígitos gitos despudespuéés de la comas de la coma

29


Nota Nota ObtenidaObtenida

Frecuencia Frecuencia AbsolutaAbsoluta

Frecuencia Frecuencia RelativaRelativa

Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Porcentual (%)Porcentual (%)

2,82,8

3,23,2

3,93,9

4,24,2

5,05,0

5,65,6

6,06,0

Tabla de frecuencias de datos agrupados


Nota Nota ObtenidaObtenida

Frecuencia Frecuencia AbsolutaAbsoluta

Frecuencia Frecuencia RelativaRelativa

Frecuencia Relativa Frecuencia Relativa Porcentual (%)Porcentual (%)

2,82,8 1 0,041 4,166

3,23,2 4 0,166 16,666

3,93,9 3 0,125 12,500

4,24,2 5 0,208 20,833

5,05,0 4 0,166 16,666

5,65,6 3 0,125 12,500

6,06,0 4 0,166 16,666

Tabla de frecuencias de datos agrupados

30

Distribución de Frecuencias Hasta el momento sólo se ha trabajado con una pequeña cantidad de

datos. • ¿Cómo se procede si se tiene muchos datos?

Tabla de DistribuciTabla de Distribucióón de Frecuencias agrupadas con n de Frecuencias agrupadas con intervalos de clase o categorintervalos de clase o categorííasas

En ocasiones, conviene agrupar los datos en intervalosintervalos, esto ayuda a realizar un mejor análisis.

Definiciones:• Rango: Diferencia entre el máximo y el mínimo valor de una variable,

también denominado recorrido o intervalo total.

• Marca de clase: Representante de un intervalo, y corresponde al promedioentre los extremos de éste.

• Tamaño de un intervalo: Es la fracción entre el valor del rango (intervalo total) y la cantidad de intervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que sea mayor o igual al cuociente obtenido.

Distribución de Frecuencias Una manera de caracterizar una población es construir una tabla distribución de

frecuencias o gráfico de frecuencias, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se anota el valor máximo y el valor mínimo de la serie de datos que se está estudiando.

2. El número de clases o categorías se obtiene dividiendo la diferencia del máximo y el mínimo(rango o intervalo total) entre el tamaño del intervalo de clase (ic) deseado,

número de clases=Rango/ic

3. El tamaño del intervalo de clase (ic) debe ser tal que no haya ni excesivas clases ni muy pocas, puede usarse la Regla de Sturge.

)log(322,31 NRangoicdeTamaño

Rango, recorrido o intervalo total

Valo

r Mín

imo

Valo

r Máx

imo

Tamaño del ic

31


4. También puede decidirse a priori en cuántas clases desean agruparse los datos, entonces el tamaño del intervalo de clase es:

Tamaño ic = Rango/número de clases

5. Se cuenta el número de datos que se encuentra dentro de cada intervalo (frecuencia). Por ejemplo, si en el intervalo i hay ni observaciones, entonces ( ni = N).

6. Para construir el gráfico, se coloca en el eje de horizontal los intervalos y se levanta en cada intervalo un rectángulo de altura proporcional al número ni de datos dentro del mismo.


Los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a las estaturas de 80 estudiantes de Cuarto año de Educación Media.

1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,921,75 1,84 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,771,73 1,75 1,78 1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,711,85 1,84 1,93 1,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,761,75 1,80 1,79 1,84 1,86 1,80 1,77 1,80 1,761,88 1,75 1,79 1,87 1,79 1,77 1,67 1,74 1,751,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76 1,83 1,77 1,751,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,76 1,761,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77

32

Distribución de FrecuenciasEstatura Mayor: 1,93 metros

Estatura Menor: 1,66 metros

Rango: 1,93 metros - 1,66 metros = 0,27 metros = 27 cm.

Se decide formar 6 clases o categorías – Cantidad de intervalos

Para calcular el tamaño de intervalo se divide el Rango27cm entre 6, obteniendo finalmente 4,5 ~ 5cm

Luego los intervalos de la tabla son:

NTotal

Intervalo Marca de Clase Frecuencia Absoluta

1,65 – 1,69 n1

1,70 – 1,74 n2

1,75 – 1,79 n3

1,80 – 1,84 n4

1,85 – 1,89 n5

1,90 – 1,94 n6


1,931,881,881,881,871,871,861,84

1,921,861,851,841,841,841,831,831,81

1,841,841,831,831,831,831,81,791,77

1,831,821,821,811,81,791,781,771,76

1,811,81,81,791,791,771,771,771,76

1,791,791,771,771,771,761,761,751,74

1,781,771,761,751,751,751,741,731,72

1,761,751,751,751,741,731,731,721,69

1,721,721,711,71,671,671,671,661,66

0,07561,671,691,65

0,150121,721,741,70

0,375301,771,791,75

0,275221,821,841,80

0,10081,871,891,85

0,02521,921,941,90

FrFiMarca de claseIntervalo

1,00080

Gráfico de Distribución de Frecuencias

05

101520253035

1,65 – 1,69 1,70 – 1,74 1,75 – 1,79 1,80 – 1,84 1,85 – 1,89 1,90 – 1,94

Estatura (m)

Frec

uenc

ia A

bsol

uta

33

Distribución de Frecuencias Histograma de Frecuencias “Peso de varones adultos”: Si se hace el área de cualquier rectángulo sobre el intervalo i-ésimo

igual a la frecuencia relativa fr = ni/N, el área total bajo el histograma será igual a la unidad:

1 N

NN

nNnATotalArea ii

i


0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20

60 66 72 78 84 90 96

Peso Kg.

Frec

uenc

ia R

elat

iva

Distribución de Frecuencias El Histograma obtenido muestra la distribución de

frecuencias de la población, peso de varones adultos.

Esta distribución de frecuencias muestra las características de una población, por ejemplo, si hay resultados que son mas frecuentes que otros.

Muestra si los valores están ubicados alrededor de un valor central, si están muy dispersos o poco dispersos.

Se observar que fracción de todas las mediciones cae entre el rango de 70 y 80 Kg. (Zona rayada en el gráfico):

34



0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20

60 66 72 78 84 90 96

Peso Kg.

Frec

uenc

ia R

elat

iva


Si se elige una persona del grupo y se le pesa, el resultado es un dato que pertenece a la población de datos representada en el gráfico.

•Se dice estar extrayendo un dato de la población de datos.

Pero hay distintas maneras de elegir la persona, es decir, distintas maneras de realizar la extracción del dato.

Si el observador se coloca frente al grupo y elige una persona, se podría seleccionar al más gordo, al más flaco o al más alto (y por lo tanto pesa más que otros), de acuerdo a criterios subjetivos que no se pueden evitar.

35


En cambio, si se escribe los nombres de todas las personas en una etiqueta, y se introducen todas las etiquetas en una caja y luego se retira una etiqueta, la selección no estará influida por la del observador subjetividad.

En este caso, se dice que la extracción es aleatoria.

Juan

Distribución de Frecuencias Una extracción aleatoria es aquella en que cada miembro

de la población tiene la misma posibilidad de ser elegido.

Si se realiza una extracción aleatoria de la población anterior y se obtiene el valor y.

Entonces:

1. La probabilidad P (y<70) de que y sea menor que 70 Kg. es igual al área del histograma a la izquierda de 70 Kg.

2. La probabilidad P (y>70) de que y sea mayor que 70 Kg. es igual al área del histograma a la derecha de 70 Kg.

3. La probabilidad P (y>70, y<80) de que y sea mayor que 70 Kg. pero menor que 80 Kg. es igual al área del histograma entre 70 y 80 Kg.

36


10.710.610.710.710.72410.710.610.710.610.72310.710.710.810.710.82210.810.810.710.010.52110.710.610.710.610.62010.710.710.910.710.71910.610.710.610.710.81810.810.710.910.710.81710.910.810.810.810.91610.710.810.810.810.81510.610.810.910.710.71410.710.810.810.710.71310.710.710.910.810.91210.910.510.910.810.81110.710.810.610.710.61010.810.910.910.810.7910.710.810.710.810.6810.810.810.710.810.6710.710.910.810.810.6610.810.910.710.810.7510.710.810.710.710.6410.810.710.810.810.8310.710.910.810.910.8210.910.710.710.710.71

Dato 5Dato 4Dato 3Dato 2Dato 1No.

Asignación 1:En una empresa durante 24

días se han anotado 5 observaciones de una variable dada, obtener:

• Máximo dato obtenido• Menor dato obtenido• Rango• Dato que más se repite• Construir tabla de

frecuencias con 7 intervalos.• Construir Histograma de

frecuencias.• Cuál es la probabilidad que

un dato sea mayor a 10,7• Cuál es la probabilidad que

esté comprendido entre 10,4 y 10,6


Asignación 2:•En su lugar de trabajo seleccionar una población física a estudiar.

•Describirla y delimitarla.•Especificar la poblaciones estadísticas que serán objeto de estudio.•De esta, seleccione las variables a caracterizar estadísticamente.

•Tipo de variable, valores que toma.•Datos a recoger para caracterizar la(s) variable(s) objeto de estudio

•Tipo de datos•Procedencia de los datos.•Reglas para su expresión.•Formas de obtención y manejo.•Parámetros y estadísticos de interés.

37

Las medidas de tendencia central son:•Promedio aritmético simple - Media•Promedio geométrico simple•Promedio armónico simple•Mediana•Modo•Promedio aritmético en distribución de frecuencias•Mediana en distribución de frecuencias

Medidas de posición•Cuartiles•Percentiles

La media, mediana y modo describen alrededor de cuáles valores se agrupan los datos.

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central Promedio aritmético simple:

n

x

nxxxx

X

n

ii

n

1321 .....

Promedio geométrico simple:

Promedio armónico simple:

n

i in

h

x

n

xxxx

nX

1321

__

11...111

Calcular modo ely mediana la,,,______

hg XXX

Dados 3, 2, 3, 6, 4, 5

nng xxxxX ..... 321

__

38

Medidas de Tendencia Central Promedio aritmético distribución de frecuencias

757069697270716970767270697268646868717064676870686870677270706771716768656971717371726674736468706972696663727164667067677371697472697070747370716971666571707066736970767571706869687068726670

53,6996

667596

7*7527*7243*6914*665*63__

X

N = 9677576742772737143697068146667655636462fixiLsLi

n

ii

n

iii

f

fxX

1

1

Medidas de posición

Cuartiles•Son los valores de la distribución de frecuencias que la dividen en 4

partes iguales.•Q1 es el primer cuartil:

•25% de las frecuencias se encuentran por debajo de él.•75% de las frecuencias se encuentran por encima de él.

•Q2 es el segundo cuartil (mediana)•50% de las frecuencias se encuentran por debajo de él.•50% de las frecuencias se encuentran por encima de él.

•Q3 es el tercer cuartil:•75% de las frecuencias se encuentran por debajo de él.•25% de las frecuencias se encuentran por encima de él.

32,1.4.

1ópdondeic

f

fNp

LQi

a

ip

39

Medidas de Dispersión Las medidas de dispersión son:

• Rango• Desviación Media• Varianza• Desviación típica o estándar.

Estas medidas indican qué tan agrupados alrededor de un valor se encuentran los datos.

Permiten medir la variabilidad de los datos obtenidos con respecto al valor central representativo.

En qué medida se alejan los valores individuales del promedio

Medidas de Dispersión

Recorrido, intervalo total o rango:• Valor mayor – Valor menor

N

xxDM

i

__

Varianza

La desviación típica o estándar

La desviación media

Datos no agrupados o en series simples

NxxS i

2__

2 )(

NxxS i

2__

)(

40

Medidas de Dispersión

Recorrido, intervalo total o rango:• Valor mayor – Valor menor

Varianza

NfxxS ii *)( 2

__

2

NfxxS ii *)( 2

__

La desviación típica o estándar

La desviación media

N

fxxDM

ii *__

Datos agrupados en distribución de frecuencias

Medidas de Dispersión Desviación típica en Distribución de Frecuencias

757069697270716970767270697268646868717064676870686870677270706771716768656971717371726674736468706972696663727164667067677371697472697070747370716971666571707066736970767571706869687068726670

773,916675209,4529,925,475251,000960,073164,726,102,4719440,927890,28112,080,28-0,5329670,646620,448174,4512,46-3,539240,198190,146213,2042,64-6,533150,05250,052

(xi-ẋ)2.Fi(xi-ẋ)2xi-ẋxi.FiFraFaFr

7572696663xi

96N=72743145Fi

76747371706867656462LsLi

53,6996

667596

7*7527*7243*6914*665*63__

X

84,206,896

91,773*)( 2__

N

fxxS ii

41

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

757069697270716970767270697268646868717064676870686870677270706771716768656971717371726674736468706972696663727164667067677371697472697070747370716971666571707066736970767571706869687068726670

53,6996

667596

7*7527*7243*6914*665*63__

X

84,206,896

91,773*)( 2__

N

fxxS ii

2,71S70Mo70Md

69,61Ẋ7,97No. Clases1,63IC13Rango76Max63Min96N

Solución Excel

Medidas de Tendencia Central y DispersiónAsignación 3:Los siguientes datos corresponden al peso de 80 personas en kilogramos,

que han sido ordenados. Se requiere:

1. Especificar la población estadística, variable de estudio, su definición y unidad de medida.

2. Ordenarlos en una tabla de distribución de frecuencias.3. Cuáles son los valores mínimo y máximo registrados.4. Qué porcentaje de la población pesa menos de 50 Kg.5. Cuál es el peso promedio de la población.6. Cuál es la mediana de la población y el modo.7. Qué valor separa el 75% superior de la distribución de frecuencias.8. Cuál es la desviación típica de la población.

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