Estadística...Estadística Independientes y dependientes Contrastes para los parámetros de dos...

Estadística

Independientes y dependientes

Contrastes para los parámetros de dos poblaciones Normales

Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff

Ejemplo de problema a resolver: Se quiere comprobar si entre la zona Norte (x) y Sur (y) del Cabo de Santa Pola existen diferencias en la Litorina punctata. Para ello se han recogido mediante observación dos muestras en cada zona, obteniéndose los siguientes datos: Comprobar si se observan diferencias entre ambas poblaciones

Estadística

Contrastes para dos Poblaciones independientes

Objetivo y contenidos

Comparación de medias de dos poblaciones a partir de muestras independientes.

Se pueden dar tres situaciones que vamos a estudiar: 1.   Varianzas conocidas

2.   Varianzas desconocidas iguales

3.   Varianzas desconocidas y distintas

Recordar: Para el segundo y tercer caso se debe averiguar si en efecto las varianzas son iguales a partir de:

Contraste de igualdad de varianzas

Estadística

Contrastes para dos Poblaciones independientes

Contrastes para dos Poblaciones Independientes

Estadística

Intervalos de confianza

Para dos variables independientes y sabiendo que Para obtener los intervalos de confianza para los cocientes de las

varianzas se busca una variable aleatoria con función de distribución conocida y parámetro desconocido

Distribución F de Sdenecor:

Estadística

),( xxNX σµ≡ ),( yyNY σµ≡

212

)1(−≅

−xn

x

xx Snχ

σ212

)1(−≅

−yn

y

yy Snχ

σ

22yx σσ

1,122

22

−−=yx nn

xy

yx FSSσ

σ

Contrastes para dos Poblaciones independientes. Igualdad de varianzas

Intervalos: que queda como:

Estadística

ασ

σα

σ

σαα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤≤⇒−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤≤

−−−−−11

2,1,122

22

21,1,122

22

yxyx nnxy

yx

nnxy

yx FSS

FPbSS

aP

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−−

−−

−2

2

2,1,12

2

2,1,1

1/

,122

y

x

nny

x

nnSSF

SS

FI

xy

yx

yxα

α

ασσ


Contraste de hipótesis (bilateral)

1.  Región de aceptación:

2.  Método alternativo (recomendado por su simplicidad):

Estadística

⎪⎭

⎪⎬⎫

≠

=⇔

⎪⎭

⎪⎬⎫

≠

=

1/:

1/:

:

:22

1

220

221

220

yx

yx

yx

yx

H

H

H

H

σσ

σσ

σσ

σσ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈−−

−−

2

2

2,1,12

2

2,1,1

,11y

x

nny

x

nnSSF

SS

F xy

yx

αα

2,1,12

2

2,1,12

2

αασ

σ−−−−

<⇒<denomnumdenomnum nn

menor

mayor

nnmenor

mayor FSS

F


Ejemplo: Para comparar la efectividad de dos medicamentos en la hipertensión se administran cada uno de ellos a dos grupos de pacientes diferentes, obteniéndose los siguientes resultados:

Admitiendo normalidad, ¿se puede aceptar la igualdad de varianzas para un alfa de 0.1?

1.  Formula hipótesis: 2. Calcula datos necesarios:

Estadística

857.13571.15

=

=

yx

⎪⎭

⎪⎬⎫

≠

=⇔

⎪⎭

⎪⎬⎫

≠

=

1/:

1/:

:

:22

1

220

221

220

yx

yx

yx

yx

H

H

H

H

σσ

σσ

σσ

σσ

476.14

619.172

2

=

=

y

x

SS

7

7

=

=yy

x

nn


3. Calcula la región de aceptación

Estadística

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈−−

−−

2

2

2,1,12

2

2,1,1

,11y

x

nny

x

nnSSF

SS

F xy

yx

αα

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈−−

−−476.14619.1728.4,

476.14619.17

28.41

476.14619.17,

476.14619.1711

205.0,17,17

205.0,17,17

FF

( )209.5,284.01∈ No rechazamos



Sabiendo que y Al conocer las varianzas de la pob. es posible tipificar la var. aleatoria a

partir de:

Estadística

⎩⎨⎧

≡

≡

),(),(

yy

xx

NYNX

σµ

σµ

y

y

x

x

yx

nn

YXZ

22

)()(

σσ

µµ

+

−−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−≅−

y

y

x

xyx nn

NYX22

,σσ

µµ

Contrastes para dos Poblaciones independientes. Diferencia de medias, varianzas conocidas

Por tanto:

Estadística

ασσ

µµ−=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≤

+

−−−≤ 1

)()(22

b

nn

YXaP

y

y

x

x

yx

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−+−−=−

−y

y

x

x

y

y

x

x

nnZYX

nnZYXI

yx

22

2/

22

2/1 )(,)(

σσσσαα

αµµ


1.  No se rechaza para un determinado nivel de significación si

2.  Que traducido a estadístico queda como

3. Recordad que para el p-valor calculado como:

Estadística

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

=−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−∈−

y

y

x

x

y

y

x

x

nnz

nnzYX

22

2/

22

2/ ,σσσσ

αα

chazoNoz

nn

YX

y

y

x

x

Re2/22⇒<

+

−α

σσ

chazoNop Re⇒>α

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=−⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=

y

y

x

x

y

y

x

x

nn

YXZPvalorp

nn

YXZPp2222

*22/σσσσ

Contraste de hipótesis


1.  No se rechaza si

2.  Estadístico

3. p-valor:


2.  Estadístico: 3. p-valor:

Estadística

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞−∈

y

y

x

x

nnZX

22

,σσ

α

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=−

y

y

x

x

nn

YXZPvalorp22 σσ

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

chazoNoz

nn

YX

y

y

x

x

Re22

⇒<

+

−α

σσ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞+−∈ ,

22

y

y

x

x

nnZX

σσα

ασσ

z

nn

YXchazoNo

y

y

x

x

−>

+

−⇒

22Re


⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−<=−

y

y

x

x

nn

YXZPvalorp22 σσ


Sabiendo que y La varianza desconocida se puede estimar como media ponderada de las

varianzas muestrales: Y el estadístico sería

Estadística

⎩⎨⎧

≡

≡

),(),(

yy

xx

NYNX

σµ

σµ

( ) ( )211 22

−+

−+−=

yx

yyxxd nn

SnSnS

yxd

yx

nnS

YXt

11)()(

+

−−−=

µµ

Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−≅−

y

y

x

xyx nn

NYX22

,σσ

µµ

Por tanto:

Estadística

αµµ

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≤+

−−−≤ 1

11)()(b

nnS

YXaP

yxd

yx

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−+−−= −+−+

−−

yxdnn

yxdnn nn

StYXnn

StYXIyxyxyx

11)(,11)( 2/,22/,21

αααµµ





Estadística

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

=−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−∈− −+−+

yxdnn

yxdnn nn

Stnn

StYXyxyx

11,112/,22/,2 αα

2/,211Re α−+<

+

−⇒

yx nn

yxd

t

nnS

YXchazoNo

chazoNop Re⇒>α

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=−⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>= −+−+

yxd

nn

yxd

nn

nnS

YXtPvalorp

nnS

YXtPpyxyx 11

*211

2/ 22




2.  Estadístico

3. p-valor:



Estadística

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞−∈− +

yxdnn nnStYX

yx

11,,α

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=− −+

yxd

nn

nns

YXtPvalorpyx 112

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

α,211Re −+<

+

−⇒

yx nn

yxd

t

nns

YXchazoNo

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞+−∈− + ,11

,yx

dnn nnStYX

yx α

α,211Re −+−>

+

−⇒

yx nn

yxd

t

nns

YXchazoNo


⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−<=− −+

yxd

nn

nns

YXtPvalorpyx 112

Ejemplo 1: Los sig. datos corresponden a muestras de la sp. Jania de dos zonas cercanas a un punto de vertido de aguas residuales. Verificar si hay diferencias entre ambas zonas.

x y

Estadística Contrastes para dos Poblaciones independientes.

Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales

1.  Comprueba si se da la igualdad de varianzas:

2.  Calcula datos necesarios desconocidos

Estadística

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈−−

−−

2

2

2,1,12

2

2,1,1

,11y

x

nny

x

nnSSF

SS

F xy

yx

αα ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈−−

−−

2

2

2005.0,115,1162

2

205.0,116,115

06.851.7

,06.851.711 F

F

( )561.2,299.01∈ No rechazo, igualdad de varianzas

( ) ( )211 22

−+

−+−=

yx

yyxxd nn

SnSnS

( ) ( )21615

06.811651.7115 22

−+

−+−=dS 779.7=dS


3. Criterio de región de aceptación:

4. Calcula por estadístico:

Estadística

No rechazo


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−∈− −+−+

yxdnn

yxdnn nn

Stnn

StYXyxyx

11,112/,22/,2 αα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−∈ −+−+ 161

151*779.7*,

161

151*779.7*61.0 2/05.0,216152/05.0,21615 tt

( ) )727.5,727.5(360.0*779.7*0452.2,360.0*779.7*0452.261.0 −=−∈

yxd

obs

nnS

YXt11

+

−= 218.0

161

151779.7

61.0=

+=obst

0452.2025.0,29 =t

025.0,290452.2218.0 ttobs =<=

No rechazo

5. P-valor:

Estadística

No rechazo


( )obsnn ttPpyx

>= −+ 22/ ( ) 25.02/218.02/ 2 >⇒>= −+ ptPpyx nn

5.0>− valorp

Ejemplo 2: Se quiere comprobar si entre la zona Norte (x) y Sur (y) del Cabo de Santa Pola existen diferencias en la Litorina punctata. Para ello se han recogido mediante observación dos muestras en cada zona, obteniéndose los siguientes datos: Medx = 2,2 Medy = 1,9 Sx = 0,12 Sy= 0,10 nx= 155 ny = 208 Comprobar si se observan diferencias entre ambas poblaciones


Dif. de medias, varianzas desconocidas e iguales


Sabiendo que y Situación sin solución exacta. Utilizaremos método de Welch que

sustituye las varianzas por sus estimadores insesgados en el estadístico:

En este caso, el estadístico se aproxima auna dist. t de Student con m

grados de libertad, donde m (como nº natural):

Estadística

⎩⎨⎧

≡

≡

),(),(

yy

xx

NYNX

σµ

σµ

y

y

x

x

yx

nS

nS

YXt

22

)()(

+

−−−=

µµ

Contrastes para dos Poblaciones independientes. Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−≅−

y

y

x

xyx nn

NYX22

,σσ

µµ

Por tanto:

Estadística

αµµ

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

≤

+

−−−≤ 1

)()(b

nS

nSYX

aP

y

y

x

x

yx

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−+−−=−

−y

y

x

xm

y

y

x

xm n

SnStYX

nS

nStYXI

yx

22

2/,

22

2/,1 )(,)( αααµµ





Estadística

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

=−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−∈−

y

y

x

xm

y

y

x

xm n

SnSt

nS

nStYX

22

2/,

22

2/, , αα

2/,22Re αm

y

y

x

x

t

nS

nS

YXchazoNo <

+

−⇒

chazoNop Re⇒>α

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=−⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=

y

y

x

x

m

y

y

x

x

m

nS

nS

YXtPvalorp

nS

nS

YXtPp2222

*22/




2.  Estadístico

3. p-valor:



Estadística

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞−∈−

y

y

x

xm n

SnStYX

22

,, α

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−>=−

y

y

x

x

m

nS

nS

YXtPvalorp22

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

≤−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

α,22Re m

y

y

x

x

t

nS

nS

YXchazoNo <

+

−⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∞+−∈− ,

22

,y

y

x

xm n

SnStYX α

α,22Re m

y

y

x

x

t

nS

nS

YXchazoNo −>

+

−⇒


⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−<=−

y

y

x

x

m

nS

nS

YXtPvalorp22

Ejemplo Se ha efectuado un estudio por parte de la Comisión de Caza y Pesca para estimar cantidades de residuos químicos en tejidos de pelícanos. En una prueba de DDT para muestras aleatorias de 10 pelícanos jóvenes y 13 polluelos se obtuvieron los siguientes resultados: ¿Se puede afirmar que el comportamiento en ambos es igual con una significación del 0.05?


Dif. de medias, varianzas desconocidas y distintas

Jóvenes Adultos Número 10 13 Media 0.041 0.026 S 0.017 0.006

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−

=−⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=

0:

0:

:

:

1

0

1

0

yx

yx

yx

yx

HH

HH

µµ

µµ

µµ

µµ

1.  Comprueba que efectivamente las varianzas son diferentes:

2.  Calcula m



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈−−

−−

2

2

2,1,12

2

2,1,1

,11y

x

nny

x

nnSSF

SS

F xy

yx

αα ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∈−−

−−

2

2

2005.0,110,1132

2

205.0,113,110

006.0017.0

,006.0017.011 F

F

( )025.29,175.21∈ Rechazo, varianzas diferentes

1185.10 =⇒= mm

3. Criterio de región de aceptación:

4. Criterio de estadístico:



Rechazo

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−∈−

y

y

x

xm

y

y

x

xm n

SnSt

nS

nStYX

22

2/,

22

2/, , αα

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−∈

13006.0

10017.0

,13006.0

10017.0

015.022

025.0,11

22

025.0,11 tt ( )0123.0,0123.0015.0 −∈

y

y

x

x

obs

nS

nS

YXt22

+

−=

66.20078.0015.0

==obst

201.2025.0,11 =t

025.0,11201.266.2 ttobs =<= Rechazo

4. p-valor:

Dado que se demuestra que no son iguales, ¿serías capaz de saber si es mayor o menor? (compara con contrastes unilaterales)



Rechazo ( )obsm ttPp >=2/ 05.002.0

025.02/01.0<−<

<<

valorpp α<− valorp

Estadística

Contrastes para los parámetros de dos

poblaciones normales dependientes

Contrastes para los parámetros de la Normal

Contrastes para dos Poblaciones Dependientes

Supongamos que queremos comprobar si realmente se produce una disminución significativa en la cobertura de Enteromorpha después de constatar un impacto ambiental con residuos de alquitrán. Se tienen medidas de antes y se mide después del impacto.

Estadística


- En este tipo de análisis el interés no se centra en la variabilidad que puede haber entre los individuos - Sino en las diferencias que se observan en un mismo sujeto entre un momento y otro Por este motivo, resulta intuitivo trabajar con la diferencia de ambas observaciones (en el ejemplo será la disminución de porcentaje de cobertura), de modo que se quiere contrastar la hipótesis

H1:La disminución del porcentaje de cobertura es mayor que cero

Estadística


Sabiendo que y El procedimiento de obtención del intervalo es el mismo que en temas

anteriores: Donde:

Estadística

⎩⎨⎧

≡

≡

),(),(

yy

xx

NYNX

σµ

σµ( )DDND σµ ,≅


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= −−

−

nStD

nStDI D

nD

nD 2/,12/,11 , ααα

µ

( )∑ ∑= =

−==n

i

n

iiii YX

nDD

1 1

1 ( )∑=

−−

=n

iiD DD

nS

1

22

11

1) Definimos la variable D como: D = {Antes - Despues} ó D = {Despues - Antes} ó D = { X - Y} ó D = { Y - X}

2) Proponemos el contraste 3) Calculamos el estadístico en función de la definición de D y del contraste propuesto, siendo D una variable Normal 4) Obtenemos las conclusiones y aportamos el p-valor

Estadística



nSDtD

t =exp




Estadística

⎩⎨⎧

≠

=

0:0:

1

0

D

D

HH

µ

µ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−∈ −− nSt

nStD D

nD

n 2/,12/,1 , αα

2/,1Re α−<⇒ nd

tnS

DchazoNo

chazoNop Re⇒>α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>=−⇒⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>= −− nS

DtPvalorpnS

DtPpd

nd

n 11 *22/



2.  Estadístico

3. p-valor:



Estadística


⎩⎨⎧

<

≥

0:0:

1

0

D

D

HH

µ

µ

⎩⎨⎧

>

≤

0:0:

1

0

D

D

HH

µ

µ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞−∈ − nStD D

n α,1,⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈ − ,,1 nStD D

n α

2/,1Re α−<⇒ nd

tnS

DchazoNo2/,1Re α−−>⇒ nd

tnS

DchazoNo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>=− − nS

DtPvalorpd

n 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=− − nS

DtPvalorpd

n 1


Supongamos que queremos comprobar si realmente se produce una disminución significativa en la cobertura de Enteromorpha después de constatar un impacto ambiental con residuos de alquitrán. Se tienen medidas de antes y se mide después del impacto.

1. Calculemos los estadísticos

Estadística

⎩⎨⎧

<

≥

0:0:

1

0

D

D

HH

µ

µ

081.5081.574.8581.90

==

==

yx SSYX


2. Calculemos D media y S de D: 3. Calculemos los criterios de aceptación o rechazo a) Región de aceptación:

Estadística

( ) 071.511 1

=−==∑ ∑= =

n

i

n

iiii YX

nDD ( ) 511.2

11

1

22 =−−

= ∑=

n

iiD DD

nS

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈ − ,,1 nStD D

n α

( ) ),918.0(,501.01.8331,10584.1071.5 05.0,9 +∞−=+∞⋅−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞−∈ t No rechazo


b) Estadístico: c) p-valor

Estadística

nSDtd

t =exp 12.1010584.1

071.5exp ==tt

1.833105.0,9,1 −=−=− − ttn α

05.0,9exp tt t −>−

No rechazo

No rechazo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<=− − nS

DtPvalorpd

n 1

995.0)12.10(1 9 >−⇒>−=− valorptPvalorp

Comandos de R:

Dos pob., diferencia de varianzas: var.test(x, y, ratio = 1,alternative = "two.sided“,conf.level = 0.95) Dos pob. independientes, varianzas desconocidas e iguales: t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0,

var.equal = TRUE, conf.level = 0.95) Dos pob. independientes, varianzas desconocidas y diferentes: t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0,

var.equal = FALSE, conf.level = 0.95) Dos pob. apareadas (dependientes): t.test(x, y, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired

= TRUE, conf.level = 0.95)

Estadística Contrastes para dos Poblaciones Independientes o

Dependientes

Estadística...Estadística Independientes y dependientes Contrastes para los parámetros de dos...

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