Estadística Inferencial

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

1

Sesión No. 9

Nombre: Pruebas de hipótesis referentes al valor de la media de la población. Parte III. Objetivo: Al finalizar la sesión, el estudiante conocerá cómo aplicar el método de

intervalos de confianza para pruebas de hipótesis referentes a la media. Así como

interpretar gráficas de medias empleadas para tener a los procesos bajo control

estadístico.

Contextualización

En muchos estudios o investigaciones es necesario construir un intervalo de

confianza para estimar la media aritmética poblacional, así como contrastar la

hipótesis de ésta con los muestrales de una sola población; considerando sus

estadísticos muestrales como un estimador insesgado, eficiente, consistente y

suficiente, que corresponda a una población representada por su distribución

muestral (Elorza Pérez-Tejada, 2008).

Por otro lado, el control estadístico de procesos consiste en la aplicación de

técnicas estadísticas importantes para mejorar la calidad y productividad. Una de

esas técnicas son las gráficas de control, las cuales tienen una fuerte analogía

con las pruebas de hipótesis.

Como estudiante y profesionista es necesario que conozcas estos métodos que

te servirán para tener bases más confiables en la toma de decisiones.


2

Introducción al Tema

¿Qué instrumento utilizarías para reconocer situaciones donde causas

asignables pueden estar afectando de manera adversa la calidad de un

producto?

En sesiones anteriores, pudiste ver que la decisión de rechazar o no rechazar la

hipótesis nula suele realizarse por medio del método del valor crítico y el método

del valor P. Ahora podrás conocer otro método conocido como de intervalos de

confianza.

A continuación, se expone acerca de las pruebas respecto a la media del proceso

en el control estadístico de procesos. En donde podrás ver que las gráficas de

control son una herramienta importante del control estadístico de procesos.


3

Explicación

4.5 Método de intervalos de confianza para pruebas de hipótesis referentes

a la media

¿Qué relación existe entre un intervalo de confianza y una prueba de

hipótesis?

Tanto los intervalos de confianza como las pruebas de hipótesis están

dedicadas a determinar los valores creíbles para una media poblacional . En una

prueba de hipótesis para una media poblacional , se especifica un valor particular

de (la hipótesis nula) y se determina si ese valor es factible. En contraparte, un

intervalo de confianza para una media poblacional se puede pensar como el

conjunto de los valores de que satisfacen a un cierto criterio de factibilidad,

especificado por el intervalo de confianza con un nivel de 100 1 % .

Efectivamente, la relación entre los intervalos de confianza y las pruebas de

hipótesis es muy cercana (Navidi, 2006).

Para el caso de una sola media poblacional con conocida, la estructura de la

prueba de hipótesis y de la estimación del intervalo de confianza se basan en la

variable aleatoria (Walpole, Myers, & Myers, 1999)

√⁄

La prueba de hipótesis

: :

A un nivel de significancia es equivalente a calcular un intervalo de confianza de

100 1 % sobre y

Rechazar si no está dentro del intervalo de confianza.


4

Si está dentro del intervalo de confianza, la hipótesis no se rechaza.

Con un valor observado el fracaso de rechazar a un nivel de significancia

implica que:

⁄

√⁄⁄

Que es equivalente a:

⁄√

⁄√

La equivalencia del intervalo de confianza a la prueba de hipótesis se extiende a

las diferencias entre medias, varianza, razones de varianza, etc. Como resultado,

no se debe considerar la estimación del intervalo de confianza y la prueba de

hipótesis como formas separadas de la inferencia estadística (Walpole, Myers, &

Myers, 1999).

Esta relación pertenece a pruebas de hipótesis de dos colas para la media

poblacional y se extiende a pruebas de hipótesis de una cola, sin embargo, para

ello se pide elaborar intervalos de confianza unilaterales que son muy poco

utilizados en la práctica (Anderson, Sweeney, & Williams, Estadística para

negocios y economía, 2012)

Ejemplo:

En un centro comercial, una máquina

expendedora de helados se calibra para servir

los vasos con 100 gramos de helado y, según

el fabricante, con una 2 gramos.

Periodicamente el gerente de control de

calidad monitorea el proceso de llenado y se

toma una muestra de 36 vasos obteniéndose

un llenado promedio de 100.5 gramos. Con Fuente: muyinteresante.es


5

cada muestra se realiza una prueba de hipótesis con 5% para ver si la

máquina necesitará servicio de calibración.

Solución:

Esta prueba de hipótesis tiene la forma siguiente:

: 100 : 100

Para probar esta hipótesis con 5%, se tiene 100.5, 2 y 36.

Al aplicar estos resultados a ⁄ se tiene:

5% 0.05 0.025; ⁄ . 1.96

Se obtiene que el intervalo de 95% de confianza para estimar la media poblacional

es:

⁄√

⁄√

Sustituyendo

100.5 1.962

√36100 100.5 1.96

2

√36

100.5 0.653 100 100.5 0.653

99.847 100 101.153


6

Esto permite al gerente de control de calidad concluir que con un 95% de

confianza el llenado medio para la población de vasos de helado está entre 99.847

y 101.153 gramos. Como el valor hipotético de la media poblacional 100está

en dicho intervalo, la conclusión de la prueba de hipótesis es que no se puede

rechazar la hipótesis nula, : 100. En conclusión la máquina expendedora

de helados no necesita calibración.

4.6 Pruebas respecto a la media del proceso en el control estadístico de

procesos

¿Cómo se realiza el control de la media del proceso?

Los procedimientos estadísticos para el control de procesos se basan en la

metodología de pruebas de hipótesis. La hipótesis nula se formula en términos

de un proceso de producción que está bajo control. La hipótesis alternativa se

plantea en términos de un proceso que está fuera de control. Sin embargo, al igual

que, con otros procedimientos de prueba de hipótesis, también es posible cometer

errores tipo I (ajuste de un proceso bajo control) y errores tipo II (que permiten

continuar con un proceso fuera de control). La siguiente tabla muestra cómo se

toman las decisiones correctas para continuar un proceso bajo control, y el ajuste

para un proceso fuera de control (Anderson, Sweeney, & Williams, 2012).

ESTADO DEL PROCESO DE PRODUCCIÓN

verdadera

Proceso bajo control

falsa

Proceso fuera de control

DECISIÓN

Continuación del proceso

Decisión correcta

Error tipo II

(permite que continúe un proceso

fuera de control)

Ajuste del proceso

Error tipo I

(ajuste de un proceso bajo control)

Decisión correcta


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Estructura de una gráfica de control para la media consta de:

Una línea central (CL) que corresponde a la media del proceso cuando está

bajo control.

Una línea vertical que corresponde a la escala de medición para la variable.

Un límite superior de control (UCL).

Un límite inferior de control (LCL).

Cada vez que se toma una muestra del

proceso de producción, se calcula el valor de

la media muestral y se gráfica el punto que

indica el valor de en la gráfica de control de

izquierda a derecha. Cada vez que un punto

se posiciona en la gráfica de control, se está

llevando a cabo una prueba de hipótesis para determinar si el proceso está bajo

control.

La aplicación de la gráfica puede interpretarse como la verificación de la hipótesis

de que el promedio corresponde a la de un proceso bajo control. Cuando la

estadística correspondiente cae fuera de los límites de control, se dice que la

evidencia (la muestra) no es compatible con la hipótesis de un proceso bajo control

estadístico, en cuyo caso la acción correctiva debe ser aplicada tan pronto como

sea posible.

Ahora podrás ver como se construye

una gráfica mediante un ejemplo

ilustrativo. Suponiendo que una

empresa dedicada a la producción de

conservas de productos del mar opera

una línea de producción de enlatados

de atún.

Fuente: linkis.com


8

Cuando el proceso está funcionando correctamente, y por lo tanto el sistema está

bajo control, el peso medio de enlatado es 16.05 onzas, y 0.1 onzas. Se

supone que los pesos de enlatado siguen una distribución normal. Debido a esto,

la distribución de muestreo de es normal para cualquier tamaño de muestra. Por

lo tanto, es una distribución normal con media y desviación estándar

La distribución de muestreo de se utiliza para determinar qué valores de son

razonables cuando el proceso está bajo control. La práctica general en el control

de calidad es definir qué tan razonable es cualquier valor de que esté dentro de

las tres desviaciones estándar o errores estándar, arriba o abajo del valor de la

media. Por lo tanto, si un valor de se encuentra dentro del intervalo de 3

a 3 se admitirá que el proceso está bajo control. Los límites de control para

una gráfica : media del proceso y desviación estándar conocida son:

3 3

Si el encargado de control de calidad toma periódicamente muestras de seis cajas

y utiliza la media muestral del peso de enlatado para determinar si el proceso está

bajo control o fuera de control. Para esto determina que el error estándar de la

media es:

√

0.1

√60.04


9

Como la media del proceso es 16.05, los límites de control son:

16.05 3 0.04 16.17 16.05 3 0.04 15.93

En la siguiente imagen se presenta la gráfica de control con los resultados de 13

muestras tomadas en un periodo de 13 días.

Un proceso se puede considerar bajo control mientras todos los puntos se

encuentren situados dentro de los límites superior e inferior de control. El proceso

será más estable cuanto más se acerque a la línea media (Alcalde San Miguel,

2009).

Interpretación de gráficas de medias

Síntomas Algún punto se

escapa fuera de los límites de control

La aparición de 7 puntos consecutivos en sentido creciente o decreciente

dentro de los límites de control

Causas probables

Existe una modificación del proceso o se han producido cambios en los operarios, nuevos instrumentos de medida, etc. En estos casos habrá que parar el proceso y ajustarlo hasta que vuelva a estar controlado.

El proceso está desarrollando una tendencia clara y en una determinada dirección hacia la inestabilidad. Esto podría estar causado por multitud de causas asignables, como, por ejemplo, operarios cansados, desgaste en las máquinas o herramientas, mantenimiento incorrecto, cambios en los procedimientos, acumulación de suciedad, etc.


10

En la gráfica del ejemplo se puede ver que la media de la cuarta muestra se

encuentra por debajo del LCL, lo que muestra una fuerte evidencia de que el

proceso está fuera de control, existiendo causas imputables que ocasionan

variación de la calidad del producto y que se está realizando un llenado

insuficiente de las latas.

Como resultado, la acción correctiva se aplica en este punto para que el proceso

esté nuevamente bajo control. El hecho de que los demás puntos de la gráfica

estén dentro de los límites de control superior e inferior indica que la acción

correctiva se ha realizado adecuadamente.


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Conclusión

Pudiste ver que, con el método del intervalo de confianza para probar una

aseveración acerca de la media poblacional cuando conocemos , se rechaza

si el valor de declarado en la hipótesis nula se encuentra fuera del intervalo de

confianza. Además, cuando la hipótesis planteada es de tipo bilateral, se utiliza

directamente el intervalo al 100 1 % de confianza.

Otra aplicación de la prueba de hipótesis es el control estadístico de procesos, el

cual emplea las gráficas de control para supervisar el funcionamiento de los

procesos. Con la gráfica de control se analiza la variación entre las medias de

las muestras, para así detectar cambios en la media del proceso.

¿Qué medida estadística emplearías para hacer comparaciones de los

valores de una variable, por ejemplo, producción o precios, entre distintos

periodos de tiempo, lugares o circunstancias?


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Para aprender más

¿Cómo construir un intervalo de confianza para la media de una variable

cuantitativa cuando se conoce la varianza de esa variable?

Estadística útil (10 de noviembre de 2014). Intervalo de confianza para la

media con varianza conocida. [Archivo de video]. Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=N36TGN8k2tY

¿Cómo aplicar las gráficas de control y R para el control de calidad de un

servicio?

Pierdant, R. A. I., & Rodríguez, F. J. (2009). Control estadístico de la calidad

de un servicio mediante Gráficas X y R. Política y cultura (32). Enero 2009.

Documento obtenido de:

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0188-

77422009000200009


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Actividad de Aprendizaje

Instrucciones:

Con la finalidad de profundizar en los conocimientos adquiridos a lo largo de esta

sesión, ahora tendrás que realizar la siguiente actividad:

Resuelve los siguientes problemas.

1. La publicidad de una bebida ligth que está endulzada con sucralosa dice

que sólo contiene 50 calorías por botella. Se toma una muestra al azar de

36 botellas y se determina que el promedio de calorías por botella es de

49.3. Sí éstas se encuentran distribuidas de manera normal con 9,

determina empleando 5%:

a) Las hipótesis correspondientes.

b) Si los datos apoyan lo que se anuncia.

2. La dimensión en milímetros se emplea para medir el resultado de un

proceso de producción. Cuando el proceso está bajo control, la media de

éste es 128.5 y la desviación estándar es 0.4.

a) Elabora una gráfica para el proceso si el tamaño de las muestras que

se utilizarán es de 6.

b) Para una muestra de la que se obtienen los datos que se muestran a

continuación, ¿el proceso está bajo control o fuera de control?

Argumenta tu respuesta.

128.8 128.2 129.1 128.7 128.4 129.2


14

Puedes realizar los ejercicios en un procesador de textos, al final tendrás que

guardarlos en formato PDF, y entregarlo de acuerdo a las indicaciones de tu

profesor.

Recuerda que esta actividad te ayudará a reforzar tus conocimientos sobre el

método de intervalos de confianza para pruebas de hipótesis referentes a la media

y, las pruebas respecto a la media del proceso en el control estadístico de

procesos.

Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo

siguiente:

Tus datos generales.

Título.

Procedimiento y desarrollo completo y correcto de los ejercicios.

Ortografía y redacción.


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Bibliografía

Alcalde San Miguel, P. (2009). Calidad. Madrid: Paraninfo.

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística para

administración y economía (10 ed.). México: Cengage Learning.

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2012). Estadística para

negocios y economía (11 ed.). México: Cengage Learning.

Besterfield, D. H. (2009). Control de calidad (8 ed.). México: Pearson

Educación.

Elorza Pérez-Tejada, H. (2008). Estadística para las ciencias sociales, del

comportamiento y de la salud (3 ed.). México: Cengage Learning.

Hansen, B. L., & Ghare, P. M. (1990). Control de calidad. Teoría y

aplicaciones. Madrid: Díaz de Santos.

Heizer, J., & Render, B. (2009). Principios de administración de

operaciones (7 ed.). México: Pearson Educación.

Levin, R. I., & Rubin, D. S. (2004). Estadística para administración y

economía (7 ed.). México: Pearson Educación.

Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. México: McGraw-Hill.

Ojeda, M. M., & Behar, R. (2006). Estadística, Productividad y Calidad.

México: Secretaría de Educación de Veracruz.

Spiegel, M. R., & Stephens, L. J. (2009). Estadística (4 ed.). México:

McGraw-Hill.

Triola, M. F. (2004). Estadística (9 ed.). México: Pearson Educación.


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Wackerly, D. D., Mendenhall III, W., & Scheaffer, R. L. (2010). Estadística

matemática con aplicaciones (7 ed.). México: Cengage Learning.

Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L. (1999). Probabilidad y

estadística para ingenieros (6 ed.). México: Prentice-Hall.

Cibergrafía

Estadística útil (10 de noviembre de 2014). Intervalo de confianza para la

media con varianza conocida. [Archivo de video]. Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=N36TGN8k2tY

Manrique, M. C. (1997). Control Estadístico de Procesos y Aplicaciones a

Empresas de Servicios. IV Premio de Investigación sobre Seguros y

Fianzas. México: Comisión Nacional de Seguros y Fianzas. Secretaría de

Hacienda y Crédito Público. Obtenido de:

http://www.cnsf.gob.mx/Eventos/Premios_2014/1997%20tercer%20lugar

%20vf.pdf

Pierdant, R. A. I., & Rodríguez, F. J. (2009). Control estadístico de la calidad

de un servicio mediante Gráficas X y R. Política y cultura (32). Enero 2009.

Documento obtenido de:

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0188-

77422009000200009

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