4.4 Leyes conmutativa, asociativa y distributivaEJERCICIOS 4.41. Dadas A=, B= y C=, verificar que :(a) (A + B) + C = A + (B + C)(b) (A + B) - C = A + (B - C)Solucin:Verificando la propiedad asociativa si (A + B) + C = A + (B + C)( + ) + = + ( + ) + = + = Verificando la propiedad asociativa si (A + B) - C = A + (B - C)( + ) - = + ( - ) - = + = Si se cumple la propiedad asociativa para la suma y resta de matrices.

2. La resta de una matriz B puede considerarse como la suma de la matriz (-1) B. La ley conmutativa de la suma nos permite establecer que A B = B A? En caso contrario, Cul sera el razonamiento correcto?Sea:A= ; B= -= -

La ley conmutativa de la suma no nos permite establecer que A B = B A; por lo tanto el razonamiento correcto seria.

A + B = B + AA + (-1)B = -B + AA B = -B + A

A= ; B= -= - + =

3. Comprobar la ley asociativa de la multiplicacin de las siguientes matrices:

A= B= C=

Solucin:

(AB)C = A(BC)

( ) = ( )

=

=

4. Probar que para cualquiera dos escalares g y k(a) k(A + B) = kA + kB(b) (g + k)A = kA + kA Solucin:Donde A y B son dos matrices cualesquiera.-

A= ; B=

Verificando (a) k(A + B) = kA + kB

K ( + ) = k + k

k = +

=

Verificando (b) (g + k)A = kA + kA (g + k) = g + k

= +

=

5. Probar que (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD.Solucin:Sacando el resultado de (A + B)(C + D)para verificar si es igual a AC + AD + BC + BD.Sean A, B, C, D; 4 matrices cualesquiera.

( +)( + )

( )( )

Sacando el resultado de AC + AD + BC + BD para verificar si es igual a (A + B)(C + D).Sean A, B, C, D; 4 matrices cualesquiera.

( )+( )+( )+( )

+++

Para denotar si son iguales asignemos valores a las matrices A, B, C y D

A=; B=; C=; D=

Luego asignemos los valores correspondientes segn el orden que se demarca en los resultados obtenidos anteriormente:

y

Como resultado de dicha operacin obtenemos que:(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD. =

si se cumple la propiedad distributiva que (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD.6. Si la matriz A del ejemplo 5 tienes sus cuatros elementos no nulos, an dara xAx una suma ponderada de cuadrados? Todava se podra aplicar la ley asociativa?

En el ejemplo 5 tenamos que: x= y A=Ahora nos piden sus cuatro elementos de la matriz A no nulos entonces tendramos que:

x= y A= comprobar si an dara la propiedad asociativa es decir, x(Ax) = (xA)x

( ) = ( )

=

De acuerdo al resultado obtenemos que cuando la matriz a tiene sus cuatro elementos no nulos no se puede dar la propiedad asociativa.

4.5 Matrices identidad y matrices nulasEJERCICIOS 4.5.1. Dadas A = , b = y x = : Calcular: (a) AI (b) IA (c) Ix (d) xIIndicar la dimensin de la matriz identidad utilizada en cada caso.Solucin:(a) AI = La matriz identidad es de dimensin 3x3(b) IA = La matriz identidad es de dimensin 2x2(c) Ix = La matriz identidad es de dimensin 2x2(d) XI = La matriz identidad es de dimensin 2x22 Calcular: (a) Ab (b) AIb (c) xIA (d) xALa insercin de I en (b) afecta el resultado en (a)? La supresin de I en (d) afecta el resultado en (c)?(a) Ab = (b) AIb = = (c) xIA = = (d) xA= = Por lo tanto la supresin de I en (d) y en (c) no afecta el resultado.3 Cul es la dimensin de la matriz nula resultante de cada una de las siguientes operaciones? (a) Premultiplicar A por una matriz nula 4 x 3(b) Posmultiplicar A por una matriz nula 3 x 6(c) Premultiplicar b por una matriz nula 4 x 3(d) Posmultiplicar x por una matriz nula 1 x 5Resolviendo (a) = Resolviendo (b) = Resolviendo (c) =

Resolviendo (d) = 4 Demostrar que una matriz diagonal, es decir, una matriz de forma

Puede ser idempotente slo si cada elemento diagonal es 1 0 cuntas matrices diagonales idempotentes numricamente diferentes, de dimensin n x n, pueden construirse a partir de la matriz anterior? = = Por lo tanto una matriz identidad o una matriz nula multiplicado por n veces te da la misma matriz los cuales son matrices idempotentes.4.6 Transpuestas e inversasEJERCICIOS 4.61 Dadas A= , B=, C= , hallar A, B y CSolucin:Encontrando AA= A= Encontrando BB= B= Encontrando CC= C=

2 Usar las matrices dadas en el problema anterior para verificar que:(a) (A + B) = A + B (b) (AC) = CASolucin:Comprobando (a)( + ) = + = + = Comprobando (b)( ) = ( ) = =

3 Generalizar el resultado (4,11) al caso de un producto de tres matrices probando, que para todas las matrices conformo a, b y c. es vlida de la unidad Comprobamos la propiedad,

4 Dadas la siguientes cuatro matrices, comprobar si alguna de ellas es la inversa de otra.D=

La inversa de la matriz d es como resultado la matriz f

f = . adj (e) La inversa de la matriz la inversa de la matriz fe es la matriz g. Da como resultado la matriz d"

La inversa de la matriz g da como resultado la matriz e

5 generalizada el resultado (4,14) probando que para todo las matrices conformes no singulares a, b y c la ecuacin.

6 sea: .a) debe ser cuadrada? y ?b) demostrar que la matriz a es indepotente.[nota: si Idempotente

A si debe ser cuadrada x siempre es cuadrada5 Modelos lineales y algebra matricial (continuacin)EJERCICIOS 5.11. En los siguientes pares de comunicados, sea p el primero y q el segundo. Indicar para caso si se aplica (S.1), (S, 2) 0 (S.3).a) Es una fiesta; es el da de accin de gracias

b) Una figura geomtrica tiene cuatro lados; es un rectngulo.

c) Dos pares ordenados (a,b) y (b.a) son iguales; a es igual a b

d) Un nmero es racional; puede expresar una relacin de dos enteros.

e) Una matriz 4x4 es no singular; el rango de la matriz es 4

f) El tanque de gasolina de mi coche esta vaci; no puedo arrancar mi coche.

g) Han devuelto la carta al remitente por franqueo insufiente; el remitente olvido poner un sello en el sobre.

2) Sea p el enunciado 2 una figura geomtrica es un cuadrado y sea q. a) tiene cuatro lados.

a) Tiene cuatro lados iguales.

b) Tiene cuatro lados iguales cada uno perpendicular al adyacente

3) son lealmente independiente las faltas de las siguientes matrices?

NO ES LINEALMENTE INDEPENDIENTE

4) Comprobar si las columnas de cada matriz del problema precedente la misma respuesta que para la independiente por filas?

a) Las columnas de la matriz A con linealmente independiente

b) Las columnas de la matriz B son linealmente independiente c) Las columnas de la matriz D son linealmente independientes y no se obtienen la misma respuesta que en las filas.

5.2 Criterios de no singularidad a travs del determinanteEJERCICIOS 5.21. calcular los siguientes determinados:

SOLUCION:Mtodo de la estrella: 2. Determinar el signo que toman los menores correspondientes en orden a obtener los siguientes cofactores de un determinante.

3) dado:

4) Calcular los siguientes determinantes: c) b)

HALLANDO EL DETERMINANTE

a)

DET (A) = 0+0+0+0-(0+0+0+0) = 0

b)

DET (B) = 432+0+0+0-(0+ (432) +0+0) = 864

5 en el primer determinante del problema anterior, halle el valor del cofactor del elemento 9.

A =

5.3 Propiedades bsicas de los determinantes.EJERCICIOS 5.31.-Usar el determinante para verificar las primeras cuatro propiedades de los determinantes.PROPIEDAD I.- Intercambio de filas y columnas no afecta al valor del determinante.===-24PROPIEDAD II.- El intercambio de cualesquiera dos filas (columnas) alterar el signo, pero no el valor numrico.=-24=24PROPIEDAD III.- La multiplicacin de una fila (o una columna) por una escalar k cambia el valor del determinante k veces.=k

PROPIEDAD IV.- La adicin (o sustraccin) de un mltiplo de una fila a otra, dejar el valor del determinante inalterado.=

2.-Demostrar que, cuando todos los elementos de un determinante de orden n estn multiplicados por un nmero k, el resultado ser kn.

3.- Qu propiedades de los determinantes nos permiten escribir lo siguiente?= =18 PROPIEDAD V PROPIEDAD III

4.- Comprobar si las siguientes matrices son no singulares:=4-0+1=510NO SINGULAR=7-0+3=140NO SINGULAR=7+1+0=0SINGULAR=7-9+5=-80NO SINGULAR

5.- Qu podemos concluir acerca del rango de cada una de las matrices del problema anterior?

6.-Pueden todos los conjuntos de los tres vectores siguientes generar el tercer espacio? Razonar la respuesta.

Generarn un tercer espacio si son tridimensionales.

7.- Reescribir el modelo sencillo de renta nacional (3.23) en la forma Ax= d(siendo Y la primera variable en el vector x), y entonces comprobar si la matriz de coeficientes A es no singular.

A=su matriz de cofactores ser Adj(A)=Sabemos que, para el sistema de ecuaciones Ax=d, la solucin se puede expresar como x=A-1d. Aplicado al presente modelo, esto significa que:==Es no singular si b toma cualquier valor diferente que 1.

5.4 Calculo de la matriz inversaEJERCICI0 5.41.-Supongamos que desarrollamos un determinante de cuarto orden por su tercera columna y los cofactores de los elementos de la segunda columna. Cmo escribira la suma de productos resultante en notacin ? Cul ser la suma de productos en notacin si lo desarrollamos por la segunda fila y los cofactores de los elementos de la cuarta fila?2.- Hallar la inversa de cada una de las siguientes matrices:A=

B=

C=

D=

3.- Apoyndose en las respuestas al problema anterior, formular una regla de dos pasos para hallar la adjunta de una matriz 2x2: En el primer paso, indicar qu debera hacerse con los dos elementos de la diagonal de A para obtener los elementos de la diagonal de la adj A; en el segundo paso, indicar lo que debera hacerse con los otros dos elementos de A. (Atencin: Esta regla slo sirve para matrices 2x2.)Aadir un tercer paso que, en conjuncin con los dos pasos previos, d la matriz inversa A-1 2x2.A= como

4.- Hallar la inversa de cada una de las siguientes matrices:

5 Es posible que una matriz coincida con su propia inversa?

Sea :

Reemplazando (2) en (1)

5.5 Regla de CramerEJERCICIOS 5.5 1) usar la regla de Cramer para resolver los sigts sistemas de ecuaciones:

a) c) b) d) Solucin: a) b) c) d) 2 para cada uno de los sistema de ecuaciones del problema anterior hallar la inversa de la matriz de coeficientes y obtener la solucin por la formula a) b) c)

d) 3 Utilizar la regla Cramer para resolver los sistemas de ecuaciones siguientes:(a) (c) (b) (d) Solucion :a) b) c)