Estimacion no parametrica de procesos monotonos

ESTIMACICN NO PARAMETRICA DE PROCESOS MONOTONOS

Angel Vegas P~ez

1, De~niciSn.

[3iremos que un proceso ~t es mon6tono si sus real izaciones o puntos muestrales X t son funciones mon6tonas del par6metro t~ As~ pues, si

AX t = Xt+ h- X t ~ 0 h > 0

el proceso es ~or~ono creciente, y si

hXt = Xt+h- X,~<O h >0

es mon6tono decreciente.

En el caso en que la segunda diferencia no sea negativa el proceso se Ilarnar6 cdncavo, en el caso en que no sea posit iva se Ilamard convexa.

2, TipificaeiSn del procesoo

Nos referiremos primero a los procesos crecientes,

Un proceso mon6tono creciente se puede considerar como un proceso de Markoff en el que la matriz estoc6stica se caracteriza porque la r ~ f i la tiene la forma

(0, 0 . . . . . O, P , , , P ~ , , + t , 0 . . . . 0 )

[o que supone, evidentemente, que Prr + Pr, r+ s = t

Supondremos que la probabi [idad de queen el interva{o de tiempo ( t , t+ + A t ) , se produzca la transici6n del estado E r al Er+ t es

21

P,, ,+~ = f (t)At + 0 CAt)

en la que 0 ( A t ) indica un inf ini t6simo de ~den superior respecto a A t . Se trata entonces de un proceso aditivo cuya funci6n generatriz dPt(s)= ~. srPr(t) cumple la relaci6n

r = d:t(s) l s f (t) A t + [ i - f ( t ) A t ] + O ( A t ) }

por 1o tanto,

r A, (s)- r o ( a t ) = r - t ) + - -

At A t

luego

ar

a t - - = r (s) f ( t ) . (s - t )

de donde se deduce

f f ( t ) ( s - 1) dt r (s) = H (t) e

Si suponemos que el estado inic ial es E,, se verif icar6 o

I I r : n o

Pr(~ = 0 r ~ n o

6o ( s ) = s ~~

y, por Io tanto,

r (s) = no e (s- l ) ~at fCu)du=anoe (s .vF( t ) )

De todo Io anterior se deduce que la probabilidad de que haya nelemen- tosen el sistema, en el tiempo t, es decir En, set6 la siguiente

Pn #) = e " F(t)

(F (t)) ~" no

I n - n o

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Algunas veces puede set conveniente hater las formulaciones en t~r- minos operativos, es decir, referidas a Io que podri'amos Ilamar tiempa ope- mtlvo, definido per la transformaci6n,

F ( t ) = ~ f ( = ) d = = r"

en donde r es el tiempo operativo.

La interpretaci6n de r es inmediata, oasta reparar en que

0 ~, CS) E (r)= ( ~ ) $ OS =z

=n~ + F ( t ) = .= + r

por 1o tanto res el valor medio del ndmero de elementos ingresados en el sistema en el intervalo de tiempo (0, t).

La probabilidad, pues, de queen el sfstema haya n elementos es

7.1"1, ~ 0

P,, (r)= e-r

Si designamos Igor X t la cantidad de elem'mtos que existen en el sfstema en el tiempo t, tendremos

E (X, )= r~ + F (t)

d E (x,) = f (t)

dt

E (X,) =f lt)

dt ~

Enton~s seg6n se cumpla f (t)> 0 6 f (t)< 0 es decir, que f (t) sea creciente o decreciente, el pr<x:eso set6 e6neava 6 eonvexo.

Fstudiemos ahera los procesos decrecientes. Un proceso decreciente es un pcoceso de Hay Koff, cuya matriz estoc6stica viene caracterizada por el hecho de que la fila r ~ tiene la forma

( 0 , . . . O, P~,~.L)Pr , ~ 0 . . . O)

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siendo la probabitidad de que en el irrtervalo (t, t + A t ) se produzca la tran- sici6n Er-* Er. z de la forma

P,,.,., = f ( t ) a t + O(•

Como en el caso del proceso creciente es unproceso aditivo cuya funci 6n generatr iz satisface [a relaci6n,

luego

de donde

~,+A= ($)= ~= (S) [S-z f (t) ht , (1- f ( t ) At)+ 0 (ht)]

Ot = ~ t ( s ) f ( t ) ( s - z _ ~)

6 t (S) = H (t) e (S-I - 1 ) [ f ( t ) d t

Si suponemos que et'r e~ origen [o cantidad de elementos que hay en el sJstemo es tt o , t~ndremos

Ct (t)= ~"0 r (s-Z-z) fo' f (=) d=

Laprobabilidad de queen el tiempo t el nt~mero de elementos que existen en el sfstema sea n, tiene la forme

P,, ( t ) = e- F (U

El valor medio de r es

(F ( t ) I no - n

I l l - - n

E ( r )= n~ - F (t)

En este caso e[ tiempo operativo r= F (t)= ~o f (u) d u e s el valor media de los elementos salidos de[ sistema en el tiempo (0, t).

Designando por X t el n6mero d~ elementos que hay en el sfstema en t tendremos

24

~z E ( X t ) = - f ( t )

d t

d = E (Xt) = - F ( t )

d t �9

Lo que supone que seg6n que f ( t ) sea decreciente a creciente, el proceso set6 cSncavo 6 convexo.

3. Estimacign no paramdtriea del proceso.

Vamos a proceder a la estirnaci6n del valor media del proceso partiendo exclusivamente de sus propiedades de monotonfa y de concavidad o convexidad, es decir, prescindiendo tie la formulaci6n param~trica de la fun- ci6n de probabilidad.

Seg6n hemos vis:to F ( t )= f : f ( u ) d u es el valor medio del n6mero de elementos que han ingresado en el s&tema en el intervalo de tiempo (0, t).

Si Ilarnamos G (t)a la probabilidad de que un elemento ingrese en el intervalo (O,t) y si el n6mero de elementos que han ingresado en el intervalo muestran (to, - tu) es Xt - Xto tendremos,

F ( t )~-(X, - X,~ ) C ( t) t l

de donde deducimos

F' ( t )= (X t - Xt, ) C' (t)

F (t) = (X - X,o ) g ( t) tg

siendo g ( : ) l o funci6n de densidad correspondiente a G ( t ) , es decir, g ( t ) A t + 0 (&t )es la probabilidad de que un elemento ingrese en el srste- ma de tiempo (t , t+ A t ) .

Evidentemente que el proceso set6 c6ncavo 6 convexo seg6n sea creciente o aescreciente g ('t~l,

Si el pro~ ~o fuese decreciente tendrfamos

25

E ( X t ) = Xt, - F ( t ) = Xt, - (X~, - X f l ) G {t)

en la que G (t)representa la probabilidad de que un elemento salga del s[s- temaen el intervalo (0,t), pc," la tanto, g (OAt+ 0 (At) la probabilidad de que un elemento salga del sfstema en el intervalo (t, t + At).

Procederemos ahora a la estimaci6n de ambas clases de pro<:esos.

a) Procesos crecientes.

Seguiremosed m~todo de m4xima verosimilidad. !_a funci6n de verosimilitud de la muestra es:

L (X,, X,, . . . . . X , ) = g ( t , ) " ' . - % g (e,) x ' , - x,~ . . . . g ( t , , )x , - x,,~

Se trata de determinar las g (er) que hagan m4xima L, con las siguien- ~ condiciones:

f ~ g (u) d u = g Ct, ) ( t , - t~ ) + . . . . . + ~ ( t~) ( t~- t~ . ~) -- 1

Y

g {to)<_ g C t , )~ g (e , )~ . . . . ~ g fl~)

Supongamos que esta ordenaci6n mon6tona es de la siguiente forma:

g ( t , ) = g C~) . . . . . . . . g fir, ) = ~ ,

g (t,, +,~)= g Ct,,+ 2) . . . . . . .= g C%) = ~

a e e e e e o e e o o e e e e e o e e o a e o e e e e o e o o e o e e m o e o o ~ e e e e e o e o e e o e e e

~ Ct~ ) = g ( t , + 2) . . . . . . . . g (t,,) = ~ , + s-F-1

F:n cuyo r las anteriores relaciones adaptan la siguiente forma:

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X t - rt X t o X t - X t X t - X t q = r ,

[ L = r r . . . . . . r

.foo f ( u ) du = r (t~, - t , ~ ) + . . . . + ck,+t (t~, - t , ) = 1 r $ o

r < r < . . . . < r + ,

FI problema se plantea per [o tonto, en los siguientes t6rminos:

Determinar los Cr que hocen m6xima Io funci6n

r = (X ) _ X, ) Iog r + . . . . + (X , - X, ) Iog r + , F 2 0 l& I'$

- x [ r ( t - to) + . . . . + r (t~ - t r . ) - 1]

en la que X es el multiplicador de I_agronge, con la condici6n

$t < 62 < . . . . < $ s * t

k ~ derivadas parciales de r adoptan la forrr~

Xg - X t 0 ~ ri r i . 1

- X ( t q - t ,~. , )

de donde se deduce igualondo o cero y determinondo X per la condici6n

E r (tq- trs. * ) = 1 , que lOS valores r tienen la siguiente forma:

1 Xtr t- X% ~Z~ t - -

X t - X t ~ t r I - t o ti

1 Xtr ~ - X%t

Xg - X to tra- t r t

Xg - X t I n r $

dPs+ I = Xt . X~ t~ - trs

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La condi'ci6n de monotonfa de. las r exige queen el piano cartesiano-(X,#) la soluci6n sea una poligonal cuye=, segmentos, tienen una inc~ina- ci6n creciente. (fig. 1).

X t

) I I ! ) I I ) I I t. h t, t

ka estimaci6n de E (X , t ) si t, < t < G. i - 1

tiene, pues, la fa'ma

1 Xtr I - X~ �9 +

= X,~ + ( X , , , - X,~ ) [ X , - X~ t,, - to

1 X t r z - Xtrl + (t~, - t,, ) + . . . +

X t - X~o" tr a - tr~

X t -- X t r 1 q i . I

+ . O - t , . . 1 )= Xtn - Xto tri - t r* ' . l *

X t r . -- Xtr"

= X - X~ + X, + r i - I t ri - tri= I

(t - tr.

= X~ r i . 1

X t r l - X t r i - 1

+ t r. - t r i . 1

~-- t.r.) g

=

28

Es claro, que si t coincide con la abscisa-de un v~rl' ice de la pol igo- hal, la est imaci6n coincide con el valor muestral, es decir, R t = X t . En

r . r . g

el caso en que t est$ com~endido entre (tri.1, t q ) la estimaci6n set6 la

crdenada del punto perteneciente al segmento que une los v6rt ices que co-

rresponden a Xtr ~ y Xtr . "-1 i

I-b.mos supuesto que conocemos los v~rt ices de la poligonal, o sea los

valores t r l , trs , . . . , t r . Varnos ahora a determinar estos puntos partiendo de la muestra y del s ig~if icado del cr i ter io seguido para la estimaci6n, es der el de m&~ima verosimilitud,

La poligonal, lugar geomgtrieo de los valores estimados ha de carac- terizarse porque no puede existir ningKn valor muestral que sea rrtenor a su eorrespondiente estimaei6n, es deeir,

En efecto, si suponemos que esto no se cumple resulta que la est ima-

d6n no hace m6xima la funci6n de verosimili~'ud.

Sea x,. < (Fig 2).

xt,, " v i I I I I I I I I I I t I [ r 1~ t I

Habr6 un X ' tal que Xt. < X ) < ,~). que tomaremos como v6rt ice de

una nueva po[igonal c6ncava para la que la funci6n de verosimi[ i tud toma un va I or mayor. E I factor que corresponde e n la funci6n de verosimi t itud a I seg-

mento cuyos v~rt ices son X t y X t es en [a primera poligonal el s iguiente: r 8

29

X t - X t r $

g

Este factor se transforma al pasar a la nueva poligonal en

X t - X, Xts - X h i r ~ " (g _ e ) (g + _)

~ i ' - t r t s - t i

en la que

-'- - X ' = X , - X " z~ti s

Desarrollando las potenr de los binomios, tendremos:

Xt - Xt r Xt ~ X t r - 1

[ g - (Xt i - Xt ) ~ g + . . . ] t i - t r

X, - X t . X t - X , . - 1 $ t ~ $ l

[g +(x, -X~ ) ~ g + . . . ] = s ~ $ s - - Ss

X t - X t X t - X t . X t . - X t X t - X t - 1 $ r $ $ t r $ t

= g + e ( ) g + O~e) t s - t i $i ~" t r

El p3r~n~sis es posit ivo ya que

X, (t~ - t , ) + X , , (*~ - t t ) $

-- X,. > X,.

Este resultado indica que eligiendo ~ suficientemente 13eque~o 1:3arc que el signo de 0 (8 ) no influya, cosa siempre posible, la funci6n de verosimilitud es mayor en la nueva poligonal que incluye como v~rtice, donde se deduce que la poligonal primera no es una estimaci6n por "m6ximax~rosimi- l i tud" en contra del supuesto. Asf pues, clebe ~ r i f i ca rse que Xti <X~ i , por

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Io tento, de aquf surge le regla pare Io determinaci6n de los v~rtices de la poligonal estimado. En le figura 3 eparece con I~nea de puntos Io estimaci6n err6nea y con trazo conffnuo, la verdaderao

I ! ) [ ' )

I ! ) ) ] , J ) , [

F|$ $

Nos hemos referido haste ahore el proceso creciente e6neavo.

razonemientos has sirven I:XarO los procesos r

Los mismos

En ~stos, el se r f (t) decreciente, Io ser6 g(t) y, par la lento, el proble- mo consiste en determiner g(t), de tel forma que la funci6n de verosimilitud de le muestra tome el valor m6ximo con la condici6nde monotonfedecrecien- re, es decir,

zl:l " ~'$0 - x t 2" ' I t | xSrr ~" x$ max L = g ( t , ) "g r . . . . . . . g(t ) n - ,

con les condiciones

Y. ~ (t~) ( t i - ~ . , ) = t

g ( t , , ) >. g ( t , j ~ . . . . . . >..g ( t , , )

Procediendo de forma an61oga a coma se hizo pare el proceso c6ncavo, ~n - dremos,

g ( t , ) = . . . . . . . . . . . . . = g ( b , ) = r

g t t + , ) _ . . . . . . . . . . . = g ( t , , ) = 4~,

o , o l , , , o , o o . e . o , o o , o , , o . . , , Q o , o , . o ,

gCt, + , ) = . . . . . . . . . . . . = g ( t , , ) = 4 ' ~ + ~ $

X) ~ X t Xt o Xt Xt a r I o r 2 r I " X t r

L = q ~ , . r . . . . . . . . . . r �9

31

Los valores de ~ ( t ) que hacen mdxima la funci6n

~P = (Xtr I - Xto ) log r + . . . . + (X tn - Xtr ) log q~s + ' s

- X [ r ( t ,~- to)+ . . . . . . + r (t,, - t r ) - l ]

serdn X|t l ~ X t

1 o D , . ,

X t , - Xt ~ tr 1" t o

1 Xtr2- Xtrl

X t o Xt n - tr2 -- tq

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II r 1 ~

X t - X t ta - t r $

o

puesto que

~ >~)2 > . . . . . . > ~ s + 1

Se tratar6 de una poligonal r en el piano r

La estimaci6n de E ( X t ) '

I I I I I

~ i - ~ < t < t r . ser(] e n t o n c e s

32

X t - X t Xt - X,o [" ,~ o

~ = X , + L to ( t r ' - X t n - X t ~ tr I - -

X t - I" r .

o t - I ( t t r . t o ) + . . . . + -- t - t

t r . - t r . /. g - l

Lo que indica que, coma antes, el valor estimada coincide can el muestral en los v~rtices, yen otro caso estd en el [ado correspondiente de la poligo- hal. Tambi~n aquf puede demostrarse que el hecho de que la poligonal sea una estimaci6n par m6xima verosimil i tud, l leva consigo, en este caso, que el valor estimado no puede ser menor que el muestral, es cbcir, 'Yt >/Xt 1o que conduce a la determinaci6n de los v6rtices de la poligonal estimada.

En la figura 5 aparecer6 con Ifnea de trazo canffnuo la estimaci6n verdadera, y con trazo de puntos, la err6nea.

x . i ti.-fl I I

I i I

1 ,I I s

Hasta aqu~ nas hemas referido a procesos can una cancavidad o can- vexidad permanente, es decir, cuando es constante el signo de if(t), y, par Io tanto, cuando na cambia el sentido de la mano'~onfa de f i t)

Supongamas queen tn el procesa pasa de c6ncava a canvexa (el casa cantraria se trata de farina rata Imente and logo ). Tendremas entances:

g (t o )4 g (t,)<~ . . . . . . . . . . ..< g Cth., )..< g (th) ~ gCt~ +~ )>/ . . . >/gft~)

Mediante el procedimienta anterior, determiv~aremas los vatares de g(t)supa- nienda que el procesa es permanentemente c6ncava, abteniendo

g*(to)..< g*(q )..<. . . . . . ~< g*(t h . , )~< g*fth) ~ g*(t~ + [ ) ~ . . . . . . 4 g* (t~)

Cansideramos ahara la funci6n de verasimilitud

L = g*(th) Xth - Xth'z g(t~+ ~)X%+ 1- Xt Xt~- �9 ~ . . . . . . . g O ~ ) X,,,.~

33

y las condiciones

g*(th) > g(th+ s) > . . . . . ~ gctn)

es d ecir,

f ~ g (u) du = l - f ~ A g * c , , ) du

II

g Cti) (t t - t i .1)= 1 ~-h

i Xsn - Xth

(X,h - X~, ) = X , - X~ X , - X~

En la figura 6 aparece la poligonal estimada

I I I I t.h

rlt~ 6

Hemos supuesto que t h es conocido, en el caso en que as[ no fuer6, habr6 que estirnarle. Para el lo repararemos en que el cambio de concavidad a convexidad en t h exige que A2X~h.1 > 0 A2Xth+ 1 < 0.

Por Io tanto, bastar6 con calcular para los diferentes valores h el signo de las expresiones

A2Xth+l = Xth+3 - 2 X~h+2 + Xth+l

AsXth.i =Xth+ 1-2Xt h + Xth. 1

En el caso en que la primera sea negativa y la segunda positiva ten-

34

dremos queen t/~ e4 proceso pasa de cdncavo a convexo, en el caso contra-

rio, de convexo a cdncavo.

6).- Procesos decrecienteSo

Vamos a ocuparnos ahora de los procesos mondtodos decrecientes, es decir, 1o que se caracteriza pot los siguientes propiedades

AXt~ 0

E (X,)= Xt, - F (t)= X~ - ( X t - X,o )G(O

En~dste,caso la diferencia X, - X, representa el ndmero de ele- �9 h h~- 1 t t mentos que ban salido del slstema en el intervalo de iempo ( h, t~l )"

Razonaremos de forma andloga a c6mo 1o hemc~ hecho en el caso de los procesos crecientes.

g (~,)-- g (~) . . . . . . . . . . . . . . . . . g ( t , , ) = r

e e o t o o �9 �9 o t o o e e e e e e e u o o o o e o o ~ o e e ~ e o o e o e e e e o e o o o a o e e o o e

g ( t , + z ) = g( t ;+ 2 ) . . . . . . . . . g (~ ) = r z

La funcidn de verosimilitud serd

Xt~ X t - X t X t - X t r z r s r a r

$ L = r " r . . . . . . ~ , + z - X t

La estimacidn se: hard maximinando-

r = (,1: - X, ) bg r + . . . . . + (X, r I r

s

- X t ) l o g r

- , [ r (tr, -

con la condici6n

t0) + r (% - t , , ) + . . . + r z (t~ - t , )1 $

35

Ct < r < . . . < ~bs+ z

si el proceso es convexo o cuando el proceso sea convexo.

Ct > r > . . . > r I

El mdximo de d~ s~- cumple para los va lo res :

X I o - - XI; 1 r

X t~-Xtn trx - t~

X 1 - X t l r n ( J D s + 1 - ~ " $

Xto - X t t n - t r Ii S

En el piano cartesiano X), t tendrfamos una poligonal, c6ncava o convexa, seg6n las condiciones impuestas. Fig. 7 y 8.

Xt

r ,S7 8

La estimaci6n de E (Xt) ser6, par 1o tanto,

Xto - X) X~o Xt X~ [ -X,,~ # ' , - t ~ " - l - ~ ( t - t ~ . l ) l

Xt o - X t t r I - to ~i - t i . l

X t - Xt. = X t + ~ , ( t _ t i . z)

i . I t i - t i . l

36

que nos indica que si t corresponde a un v&'tice el valorestirnado es el mis- mo valor muestral en caso con~rario, el valor estimado~sta en un lado de la poligonal.

los resull'ados, como era de esperar, con andlogos a los obtenidos en el caso de que el proceso sea creciente.

Tambidn cabe aqu~ suponer que el proceso decreciente sea mixto, es decir, c6ncavo en un intervalo de tiempo y convexo en otto, siendo la solu- ci6n andloga tambidn a la obtenida para el proceso creciente.

En resumen, la estimaci6n de los procesos mon6tonos vendr6 dada por

una poligonal ~:uyosvertir~s son (to, XtQ).ftrx, X t ) . . . . (Q, X t )y , por Io tanto, de ecuaci6n, r~ n

en ra que los a t , a, b, e, vienen deterrninadas pot [as coordenadas de los vdrtices.

ka estimaci6n de X t serd, pues,

1 X,=--[I t -~l+a, l t- tql+ .... +a , . z l t - t q I - b t - r

tl - I

BIBLIOGRAFIA

Doob: "Stochastic Processes".

Bartheles:-Introduction of sticharts processes".

Srenander: On the theory of mortality mesurement.

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