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ESTIMADO POSTULANTE:
Desde hoy formas parte del Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional de
Cañete CEPREUNDC. Te espera recorrer con mucho esfuerzo el camino que te
conducirá al anhelado ingreso a la universidad, una meta muy importante para ti y
para toda tu familia.
Claridad de objetivos, organización de tu tiempo, estudio constante, motivación y,
sobre todo, perseverancia son, entre otras, las cualidades del estudiante de
CEPREUNDC. No existe otro camino para lograr el acceso a la universidad.
El presente Modulo Educativo te ofrece informaciones fundamentales para tu
preparación. Te ayudará a organizar tu tiempo y a fijarte prioridades en los cursos y
temas que debes estudiar con mayor constancia y profundidad. Asimismo, expone los
servicios educativos más importantes a los que tienes derecho y que serán parte
esencial en tu formación.
Que pongas todo el esfuerzo y dedicación a fin de lograr tus metas, que la fatiga y el
desaliento no hagan claudicar tus sueños.
COMISIÓN ORGANIZADORA DE LA UNDC
1 Dr. Carlos Eduardo Villanueva Aguilar, Presidente
2 Dr. José Octavio Ruíz Tejada, Vicepresidente Académico
3 Dr. Jorge Hugo Jhoncon Kooyip, Vicepresidente de Investigación
DIRECTIVOS CENTRO PREUNIVERSITARIO
1 Mg. Guido Ruben Lucas Valdez, Coordinador Académico
2 Srta. Carla Terán Cabanillas, Asistente Administrativo
UNIDAD DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN (UTI)
1 Ing° Ricardo Inquilla Quispe, Jefe UTI
2 Gerardo Garibay Palomino, Programador DIPROBIS
3 Bach. Judith Haydee Quispe Machahuay, especialista aula virtual CEPRE
DOCENTE EDITOR DEL MODULO
1 Jessica López Cerrón
PRESENTACIÓN
AUTORIDADES Y DIRECTIVOS
TRIGONOMETRÍA
1
UNIVERSIDAD NACIONAL
DE CAÑETE
LEY DE CREACIÓN N° 29488
RESOLUCIÓN DE AUTORIZACIÓN
N0 666-2013-CONAFU
CENTRO PRE
UNIVERSITARIO
UNDC – 2021 - I
CONTENIDO
SEMANA 01
1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Y SISTEMA DE
MEDIDAS ANGULARES
1.1. Angulo trigonométrico
1.2. Sistema Sexagesimal (S)
1.3. Sistema Centesimal (C)
1.4. Sistema Radial o Circular (R)
1.5. Relaciones entre los Sistemas S, C y R
1.6. Fórmulas de Conversión
SEMANA 02
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
AGUDOS
2.1. Definición de las Razones Trigonométricas para
un Ángulo Agudo
2.2. Razones Trigonométricas de Ángulos
Complementarios (Co - Razones)
2.3. Razones Trigonométricas de Ángulos Notables
SEMANA 03
3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
3.1. Identidades Trigonométricas Fundamentales
3.1.1. Identidades recíprocas
3.1.2. Identidades recíprocas
3.1.3. Identidades Pitagóricas
3.1.4. Identidades Trigonométricas Auxiliares
SEMANA 04
4. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
4.1. Caso I: Reducción para Arcos Positivos: 180° ±
𝜃; 360° ± 𝜃
4.2. Caso II: Reducción para Arcos Positivos: 90° ±
𝜃; 270° ± 𝜃
4.3. Caso III: Reducción para Arcos Positivos:
Mayores que 360°. 𝑛 + 𝜃
4.4. Caso IV: Reducción para Arcos Negativos
SEMANA 05
5. TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICOS
5.1. Razones Trigonométricos de Ángulos
Compuestos
5.1.1. Suma y Diferencia de Ángulos en las
Razones Trigonométricas
5.1.2. Razones Trigonométricas: de Suma y
Diferencia a Producto
5.1.3. Razones Trigonométricas: de Producto a
Suma y Diferencia
SEMANA 06
6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN
ÁNGULO
6.1. Identidades Trigonométricas para un Ángulo
Mitad
6.2. Identidades Trigonométricas para un Ángulo
Doble
6.3. Identidades Trigonométricas para un Ángulo
Triple
SEMANA 07
7. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
7.1. Tipos de Soluciones
7.1.1. Solución General
7.1.2. Solución Principal
7.2. Tipos De Ecuaciones Trigonométricas
7.2.1. Ecuaciones Trigonométricas Elementales
SEMANA 08
8. GEOMETRÍA ANALÍTICA
8.1. Plano Cartesiano
8.2. Distancia Entre Dos Puntos
8.3. Ecuación de una Recta que pasa por un Punto
y tiene Pendiente dada.
2
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
SEMANA 01
ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Y
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES 1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO: Es la figura generada por la rotación horaria (medida angular negativa) o anti horaria (medida angular positiva) de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice desde una posición inicial (lado inicial) hasta la posición final (lado final).
O
C
A
+
-
B
ELEMENTOS:
Final LadoOCOB
Inicial Lado OA
Vértice O
2. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
2.1. SISTEMA SEXAGESIMAL (S)
Su unidad angular es el grado sexagesimal (1º); el cual es equivalente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.
𝐦∡ 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟑𝟔𝟎° Equivalencias:
1° = 60’ ; 1’ = 60’’ ; 1° = 3600’’ 2.2. SISTEMA CENTESIMAL (C)
Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.
𝐦∡ 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟒𝟎𝟎𝐠 Equivalencias:
𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝐦 ; 𝟏𝐦 = 𝟏𝟎𝟎𝐬 ; 𝟏𝐠 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝐬 2.3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)
𝐦∡ 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟐𝛑 𝐫𝐚𝐝. 3. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS S, C y R Equivalencias Fundamentales
𝐦∡ 𝐝𝐞 𝟏 𝐯𝐮𝐞𝐥𝐭𝐚 = 𝟑𝟔𝟎° = 𝟒𝟎𝟎𝐠 = 𝟐 𝐫𝐚𝐝
180° = 200g = πrad.
9° = 10g
4. FÓRMULAS DE CONVERSIÓN Se utiliza cuando las medidas de los ángulos estén expresadas en las unidades principales de medida, esto es, grado sexagesimales, centesimales y radianes.
RCS
200180 =…..
.....20
109
RCS
SECTORES CIRCULARES
1. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
2. LONGITUD DE ARCO Y AREA DE UN SECTOR CIRCULAR
Longitud de arco: RL .
Área del sector circular:
222
22 LRLRS
.
3
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
3. AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR Y ANGULO CENTRAL
Área del trapecio circular: dLL
s
2
21
Ángulo central: d
LL 21
01. Al expresar en grados, minutos y segundos 32
rad
se obtiene CBA , entonces el valor de “A + B +
C”, es:
A) 72 B) 62 C) 60 D) 45 E) 48
02. Considere la siguiente figura:
Luego, determina:
x
xyK
2
4
A) 15 B) 25 C) 10 D) 5 E) 20
03. De la siguiente figura, el valor de “x”, es:
A) -28° B) -22° C) -20° D) -26° E) -25°
04. Del gráfico adjunto, el valor de y
xK
360
A) 1/54 B) 53 C) 54 D) 55 E) 56
05. Si las medidas de los ángulos zx y
71
65
9
36m
mg
son equivalentes. Entonces el
valor de x + z, es: A) 35 B) 55 C) 65 D) 85 E) 95
06. Si
20
243se expresa en la forma
mg yx ,
entonces el valor de x + y, es: A) 63 B) 64 C) 65 D) 53 E) 60
07. Si los ángulos internos de un pentágono son: 6x°,
gx10 , 4
rad, 30° y
g150 . Entonces el valor
numérico de “x”, es: A) 18 B) 20 C) 22 D) 23 E) 24
08. Al reducir:
rad
rad
g
g
64064
35025
, se obtiene:
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 7
09. Sabiendo que un ángulo se expresa como
(7n + 1)° y también como (8n)g. entonces la medida del ángulo en el sistema radial, es:
A) π
4rad B)
π
5rad C)
π
9rad
D) π
6rad E)
π
3rad
10. Si: radx20
3114
)( , entonces el valor de
“x”, es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 1
xg
4
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
11. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 36° y
su diferencia es g
36 , entonces la medida del mayor
ángulo en radianes, es:
A) 17π
400rad B)
19π
100rad C)
19π
50rad
D) 19π
150rad E)
π
400rad
12. Seis veces el número de grados sexagesimales de
un ángulo, sumando a dos veces el número de sus grados centesimales es 370. Entonces la medida del ángulo en radianes, es:
A) π
5rad B)
π
6rad C)
π
4rad
D) π
3rad E)
3π
4rad
13. Si y son ángulos complementarios y el
número de grados sexagesimales de con el
número de grados centesimales de están en la
relación de 3 a 5, entonces la medida de en
radianes, es:
A) π
3rad B)
π
5rad C)
π
8rad
D) π
4rad E)
π
12rad
14. Si se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro, entonces la medida en radianes, de su ángulo central correspondiente, es:
A) 1 rad B) 2 rad C) 1
2rad
D) 4 rad E) 1
4rad
15. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Si
su extremo recorre m3 , entonces la longitud del
péndulo, es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
16. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva PQR, tiene por
longitud 4m.
A) 12πm2 B) 2πm2 C) 22πm2 D) 10πm2 E) 15πm2
17. En la figura adjunta O es el centro de la semicircunferencia. Si la longitud del arco AB es
m4 , entonces la longitud de arco de CD, es:
A) 2 πrad B) 3πrad C) π
4rad
D) πrad E) π
2rad
18. Siendo O el centro de los sectores circulares AOB
y COD. Si “S” expresa área, entonces el valor
numérico de y
x, es:
A) 3
3 B)
2
26 C)
3
22
D) 3
33 E)
2
22
19. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18
cm, de perímetro. Si BAF, FCE y EBD son sectores circulares, entonces la longitud de la curva que une los puntos D, E, F y B, es:
5
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
A) 12 πcm B) 16 πcm C) 18 πcm
D) 24 π cm E) 30 πcm
20. Sea S, C y R los números que expresan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal,
centesimal y radial. Si RCS
724022 ,
entonces el valor de “ SC ”, es:
A) 0 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 3
SEMANA 02
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS Resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo. Esto es:
Donde: 𝐛: Es la Hipotenusa 𝐚 , 𝐜: Son los Catetos Teorema de Pitágoras Del triángulo rectángulo se puede determinar que:
“La suma de cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa”.
𝐚𝟐 + 𝐜𝟐 = 𝐛𝟐
DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO
AGUDO Consideremos el siguiente triángulo rectángulo:
A partir de del triángulo rectángulo, se puede definir lo siguiente:
Cosb
c
Hip
opCatSen
.
..
Senb
a
Hip
adyCatCos
.
..
Ctga
c
adyCat
opCatTg
.
..
Tgc
a
opCat
adyCatCtg
..
..
Csca
b
adyCat
HipSec
.
.
Secc
b
opCat
HipCsc
.
.
6
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (CO - RAZONES)
b
cCosenoSeno
a
cgenteCoTangente tan
a
banteCoSecante sec
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
01. Si )()( 35472 xctgxtg , entonces el valor
de: )cos()(
)cos()(
12654
11663
xxsen
xxsenE , es:
A) 13 B) 3 C) 5/6
D) 10/11 E) 13/11
02. Si 1ysenx sec. , ademais x e y son ângulos
agudos, entonces el valor de
tgytgxyx
ctgyx
tgR .
32, es:
A) 1 B) 1/2 C) 3
D) 2
3 E) 3
3
03. En un triangulo ABC (recto en C) se cumple que:
8tgB
tgA, entonces el valor de
ActgBK cos92 , es:
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 23
04. Al simplificar
º45.2º53.10
º30.3º60.4
CscSen
CtgCosF
, se obtiene:
A) 1/2 B) 3/2 C) 2 D) 1 E) 4
05. Si y son ángulos agudos tal que:
4522sen)cos( y
30csc)csc(
Entonces el valor de
)()( 540 ctgtgM , es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 32 E) 22
06. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se
cumple que senBsenA 23 . Determine la
tangente del mayor ángulo agudo del triángulo. A) 1/2 B) 3/2 C) 2/3 D) 2 E) 3
07. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en C, en el cual se cumple:
3 BAsenBsenA coscos . Determine el
valor de: tgBtgA
. A) 1,2 B) 1,5 C) 1,6
D) 1,25 E) 1,35
08. Si un triángulo ABC, recto en B se cumple:
16
1nCsenActgAse . Determine tgA
A) 11 B) 13 C) 15
D) 17 E) 19
09. De la figura, el valor de: tgQ sec , es:
A) 1/10
B) 1/20
C) 1/30
D) 1/40
E) 1/50
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 𝜶 + 𝜷 = 𝟗𝟎°
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 2
7
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
10. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 7m, la mediana relativa al cateto mayor forma con este un ángulo agudo y mide 5m. Entonces el
valor de sen , es:
A) 5
17 B)
7
5 C)
5
22
D) 17
172 E)
10
2
11. En la figura adjunta AC = CD, entonces el valor
numérico de 2ctg , es:
A) 2
29 B)
21
10 C)
2
5
D) 2
3 E)
20
29
12. De la figura, determine DE en términos de k y
A) ktg B) 33tgk C) 2ktg
D) 3ktg E) tgk 2
13. Determina el valor de ctg(α). tg(β), en:
A) 1/3 B) 2/3 C) 2/5 D) 3/5 E) 1/5
14. En la siguiente figura, S representa el área del
triángulo.
Con los datos consignados en la figura, el valor de
sen , es:
A) √26/26 B) √26 C) 5√26/26
D) √26/5 E) 1/5
15. Desde un punto en tierra se observa la parte alta
de un poste de 12 m de altura como un ángulo de
elevación de 53°. Si nos a cercamos 4 m el nuevo
ángulo de elevación sería θ. Determine el valor de
sec θ.
A) 2.5 B) 3.6 C) 2.6 D) 3.5 E) 3.4
16. La figura ABCD es un cuadrado, M y N son puntos
medios. Determine el valor de ctgθ .
A) 1/3 B) 3 C) 2 D) 1/2 E) 1
17. A partir de la siguiente figura, calcula el valor de
DE̅̅̅̅ en términos de m y α.
A) msenα. cscα B) mcosα. senα C) msen2α. cos2 α
D) mcos2α. sen α E) mcosα. sen2 α
8
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
18. Una hormiga observa lo alto de un poste con un
ángulo de elevación β, si se acerca hacia él una
distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho
poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es
el complemento del anterior. Halle: tgβ.
A) √5+1
2 B)
√5−1
2 C) √5 + 1
D) √5 − 1 E) √5
19. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C). Si el
área es numéricamente igual a su perímetro
(perímetro = 8), entonces el valor de
senAsenBM , es:
A) 2 B) 8 C) 18
D) 9 E) 4
20. En la figura, AP = PC, entonces el valor de
ctgtgE .sec 22 , es:
A) 1 B) 0 C) -1 D) -1/2 E) 1/2
SEMANA 03
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
1. Identidades recíprocas:
𝐒𝐞𝐧 . 𝐂𝐬𝐜 = 𝟏
𝐂𝐨𝐬 . 𝐒𝐞𝐜 = 𝟏
𝐓𝐚𝐧 . 𝐂𝐨𝐭 = 𝟏
2. Identidades recíprocas:
𝐓𝐠𝛉 =𝐒𝐞𝐧𝛉
𝐂𝐨𝐬𝛉
𝐂𝐭𝐠𝛉 =𝐂𝐨𝐬𝛉
𝐒𝐞𝐧𝛉
3. Identidades Pitagóricas
Sen² + Cos² = 1
Sen² = 1 – Cos²
Cos² = 1 - Sen²
221 sectg
221 csc ctg
4. Identidades Trigonométricas Auxiliares
Los más importantes son:
𝐒𝐞𝐧𝟒𝛉 + 𝐂𝐨𝐬𝟒𝛉 = 𝟏 − 𝟐𝐒𝐞𝐧𝟐𝛉. 𝐂𝐨𝐬𝟐𝛉
𝐒𝐞𝐧𝟔𝛉 + 𝐂𝐨𝐬𝟔𝛉 = 𝟏 − 𝟑𝐒𝐞𝐧𝟐𝛉. 𝐂𝐨𝐬𝟐𝛉
𝐓𝐠𝛉 + 𝐂𝐭𝐠𝛉 = 𝐒𝐞𝐜𝛉. 𝐂𝐬𝐜𝛉
2222 csc.seccscsec
01. Reducir:
cos sen sec CscW
tg ctg
A) -1 B) 1/2 C) 2 D) -2 E) 1
02. Simplificar:
P =Sen2x. [1 + Sen2x] + Cos2x. [1 + Cos2x]
Sen2x + Cos4x
A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 4 E) 1/4
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 3
9
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
03. Simplificar la siguiente expresion:
88
44
2
1
cos
cos
sen
senE
A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D) 1 E) 2
04. Simplificar la siguiente expresion:
tgxxx
ctgxxctgxtgB
csc.sec
222
, tal que )( ICx
A) x2sec B) x2csc C) 2tg
D) 2ctg E) 2cos
05. Sabiendo que: ctgtg 2
Determine el valor de la siguiente expresión:
44
44
23
32
cos
cos
sen
senH
A) 12/13 B) 13/14 C) 11/13 D) 11/14 E) 11/15
06. De la siguiente identidad:
cbsenactg
cos
csc
cos
1
el valor de ".." cba , es:
A) 1/6 B) 2/5 C) 1/8 D) 1/4 E) 1/12
07. Al simplificar
232
23224
24
sen
senP
cos
cos, se obtiene:
A) 2tg B) 2ctg C) 2sec
D) 2csc E) 8sen
08. Sabiendo que: 5 tgxctgx
, entonces el valor de
xtgxctgM 22 , es:
A) 20 B) 23 C) 25 D) 30 E) 35
09. Si: 3
1 cossen
entonces el valor de
cos.cos. 33 sensenP , es:
A) 2/9 B) 4/9 C) 8/9 D) 5/9 E) 2/3
10. Al simplificar:
)cos(cos)( xxxsenxsenM 24242323
Se obtiene: A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 4
11. Si 12
22 xtgtg , el equivalente de la
expresion
xsen 22 cos , es:
A) 1 B) 2sen C) 2cos
D) 2tg E) 2ctg
12. Si 1 ctgtg
, entonces el valor de la
siguiente expresion: 44 ctgtgN
, es:
A) 5 B) 52 C) 53
D) 54 E) 55
13. Al simplificar:
151511
xctgxtgM
Se obtiene:
A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 E) -2
14. Si:
2
3 ctgtg
, entonces
4
322 cscsecE, es igual a:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
15. Reducir la expresion:
11
2
seccos
tgM
A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/5 E) -1
16. Sabiendo que:
bsen
asen
33 cos
cos
El equivalente de la expresion baE 23 , es:
A) b3 B) 3 C) a3
D) 2
2a E) ab4
17. Al simplificar la expresion
222
222
cossec
cossec
cossecM
Se obtiene:
A) cos B) cos C) 0
D) sec E) sec
10
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
18. Si
21
sen
cos
)( agudo
, entonces el valor de
)( sentg 15, es:
A) 30 B) 28 C) 34 D) 36 E) 32
19. Al simplificar
sec
sec
csc
csc
1ctg , se obtiene:
A) 2csc B) 2sec C) 22sen
D) 2sec E) 22csc
20. Si: 7
22 cscctg )( agudoanguloun,
entonces el valor de 88 cossen , es: A) 5/3 B) 7/5 C) 8/7 D) 7/16 E) 1
SEMANA 04
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE CASO I: Reducción para arcos positivos de la forma:
...
º360
º180. TrigFunTrigFun
CASO II: Reducción para arcos positivos de la forma:
..
º270
º90. TrigFunCoTrigFun
CASO III: Reducción para arcos positivos mayores que
360º:
𝐹𝑢𝑛. 𝑇𝑟𝑖𝑔 (360° . 𝑛 + 𝜃) = 𝐹𝑢𝑛. 𝑇𝑟𝑖𝑔. 𝑡. (𝜃) ∀ 𝑛 𝒁
CASO IV: Reducción para arcos negativos
1. Sen(−) = −Sen 4. Ctog(−) = −Ctg
𝟐. 𝐂𝐨𝐬(−) = 𝐂𝐨𝐬 𝟓. 𝐒𝐞𝐜(−) = 𝐒𝐞𝐜
3. Tg(−) = −tg 6. Csc(−) = −Csc
CASO IV: ARCOS RELACIONADOS
Arcos Suplementarios
Si: + = 𝟏𝟖𝟎° ó
Sen = Sen
Csc = Csc
Arcos Revolucionarios
𝐒𝐢: + = 𝟑𝟔𝟎 ó 𝟐
Cos = Cos Sec = Sec
01. Simplifique el cociente:
)2().2(
2).(
xSenxCtg
xTgxSen
A) 3 B) -1 C) 1 D) 2 E) -2
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 4
11
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
02. Reducir la siguiente expresion:
2
3
2
3
2
2
tgtg
ctgctg
ctgctg
tgtg
E
.
).(
)(.
.
A) -2 B) 0 C) 1
D) -1 E) 2
03. Simplificar la expresion:
3423152210939716 )(sec ctgtgH
A) 0 B) 1 C) -10 D) -13 E) -24
04. El valor de la expresion:
)cos(cscsec 150240330453 senC ,
es:
A) 62 B) ).( 1233 C) 26
D) 62 E) 26
05. Si a y b son ângulos complementários,
simplificar la expresion:
)().cos(
)().(
batgab
abtgbasenM
111054
141376
A) -2 B) -1 C) 2 D) 0 E) 1
06. Al simplificar:
70
1102203
cos
cossenH se
obtiene:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
07. Reducir la siguiente expresión:
2
6184
2
391997
sen
ctg
M
).sec(
cos).(
A) sen B) cos C) tg
D) sen E) cos
08. Si: 02 AsenA cos
Entonces el valor de:
)cos().csc().(
)().sec().(
AAAsen
ActgAAtgE
180180360
27018090
es: A) -5 B) 5 C) 5/4 D) -5/4 E) -4
09. Reducir la siguiente expresión:
)sec()cos().(
)csc(..
1620810540
2
3
2
ctg
tgsen
E
A) 1 B) 2sen C) 2cos
D) 2tg E) 2ctg
10. Sabiendo que:
12
77
2
55
cos..senm
Al determinar ctgtgE en términos de “m”,
se obtiene:
A) 2m B)
2m C) m2
D) m E) m
11. Dado un triángulo ABC, indique la veracidad de las
siguientes proposiciones:
I. )( CBsensenA
II. )cos(cos CBA
III. )( CBAsensenB 2
A) VVV B) VFV C) VFF D) FVF E) FFF
12. Si A y B son ángulos complementarios, al
simplificar:
)().cos(
)().(
BAtgBA
BAtgBAsenE
342
322
, se obtiene:
A) 3 B) 2 C) 2
D) - 1 E) 1
13. Si: 3
yx , entonces al reducir
)(
)(
yxsen
yxsen
yxtg
yxtgR
58
2
34
3103
, se
obtiene: A) -1 B) -5 C) 5 D) 1 E) 0
14. Reducir:
4625
3317
5805
tgsenP cos
A) 2 B) 1 C) 0 D) -2 E) -1
15. El valor de la expresion:
180179321 coscoscoscoscos E ,
es: A) 0 B) -1 C) 2 D) -2 E) 1
12
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
16. Reduzca la siguiente expresion:
)(
14762
8241994
tgctg
ctgtgM
A) 1/3 B) 2/5 C) 5/2 D) 2/3 E) 2
17. Si A y B son ángulos suplementarios, reduzca la
siguiente expresion:
)cos()cos(
)cos()(
BA
BABAsenM
270360
22
A) -1 B) 1 C) 2 D) 0 E) -2
18. Siendo que : α + β = 180°
Determine el valor de:
C = )200()140(
)40()20(
SenCos
CosSen
A) -2 B) 0 C) 1 D) 2 E) -1
19. Si 2
13 yx , entonces el valor de la
expresion:
)sec()sec()( ctgxtgyxysenE
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2
20. Reduzca la siguiente expresion:
atgc
actgcsen
bctga
asenbtg
M
7
2
5
2
2
33
2
3
.cos
.
).cos(
).(
A) 2 B) 1 C) -1 D) 0 E) -2
SEMANA 05
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICOS
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICOS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
1.1. SUMA Y DIFIRENCIA DE ÁNGULOS EN LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
𝐒𝐞𝐧(𝐀 + 𝐁) = 𝐒𝐞𝐧𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 + 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐂𝐨𝐬𝐀
𝐒𝐞𝐧(𝐀 − 𝐁) = 𝐒𝐞𝐧𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 − 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐂𝐨𝐬𝐀
𝐂𝐨𝐬(𝐀 + 𝐁) = 𝐂𝐨𝐬𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 − 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐒𝐞𝐧𝐀
𝐂𝐨𝐬(𝐀 − 𝐁) = 𝐂𝐨𝐬𝐀. 𝐂𝐨𝐬𝐁 + 𝐒𝐞𝐧𝐁. 𝐒𝐞𝐧𝐀
1.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: DE SUMA Y DIFERENCIA A PRODUCTO
Sen A + Sen B = 2 Sen
2
BA.Cos
2
BA
Sen A – Sen B = 2 Cos
2
BA.Sen
2
BA
Cos A + Cos B = 2 Cos
2
BA.Cos
2
BA
Cos B – Cos A = 2 Sen
2
BA.Sen
2
BA
Dónde: A > B
1.3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: DE PRODUCTO A SUMA Y DIFERENCIA
𝟐𝐒𝐞𝐧𝐱 . 𝐂𝐨𝐬𝐲 = 𝐒𝐞𝐧(𝐱 + 𝐲) + 𝐒𝐞𝐧 (𝐱 + 𝐲)
𝟐𝐂𝐨𝐬𝐱 . 𝐒𝐞𝐧 𝐲 = 𝐒𝐞𝐧 (𝐱 + 𝐲) – 𝐒𝐞𝐧 (𝐱 − 𝐲)
𝟐𝐂𝐨𝐬𝐱 . 𝐂𝐨𝐬𝐲 = 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 + 𝐲) + 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 − 𝐲)
𝟐𝐒𝐞𝐧𝐱 . 𝐒𝐞𝐧𝐲 = 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 − 𝐲) – 𝐂𝐨𝐬 (𝐱 + 𝐲)
𝐃𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐱 > 𝐲
01. Simplificar:
xx
xsenxsen
xx
senxxsenE
35
35
7
7
coscoscoscos
A) x82cos B) xctg42 C) x42csc
D) x82csc E) xctg82
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 5
13
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
02. Al reducir:
x
xsenxxxsenK
3
73106
cos
.coscos. ,
se obtiene:
A) xsen3 B) xsen10 C) xsen13
D) xsen6 E) x13cos
03. Determine el valor de:
).sec(cossecsec 304537441 senP
A) 0 B) -1 C) 1 D) 2 E) 3
04. Indique el valor de:
xxx
xxxxM
522
645
cos.cos.cos
coscoscoscos ,
Cuando 12
x
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
05. Simplifique la siguiente expresión:
AsenAsenxAsen
AsenxAsenAM
753
753
cos
cos.cos
A) Atg5 B) Actg5 C) Atg3
D) Actg3 E) Asen5
06. Al resolver:
104
102041
sen
senJ
.cos, se obtiene:
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0,5
07. Si 750,cos , entonces el valor de
22332
sensenJ . , es:
A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16
08. Al simplificar:
4814421428 sentgtgM coscos ,
se obtiene:
A) 6cos B) 8sen C) 12cos
D) 14sen E) 14cos
09. Simplifique la expresión:
1023
1021
senJ
cos
A) 20ctg B) 352ctg C) 10ctg
D) 25ctg E) 35ctg
10. Determine el valor de k, si:
1004040 secsec.ksen
A) 3 B) 32 C) 32
D) 34 E) 34
11. Si en un triangulo ABC se cumple:
)(
cos
BCsensenA
CBtgB
, entonces la
medida del ângulo A es:
A) 45° B) 60° C) 75° D) 90° E) 105°
12. El valor de:
8040
6565
sec.sec
cossenK , es:
A) 8
2 B)
8
3 C)
8
5
D) 8
6 E)
8
7
13. Si n6cos , entonces el valor de
722122
1senV csc
A) 2
n B) n2 C) n
D) n2
1 E)
n
2
14. Si: 3
1
35
7
xsenxsen
senxxsen.
Entonces el valor de:
xsenxsen
xsenxsenxsenH
227
6106
, es:
A) 8/3 B) 1/6 C) 1/3 D) 2/3 E) 4/3
15. Determine el valor de:
1248981 sensensensen ..
A) 0 B) 1/2 C) 1 D) -1 E) -1/2
16. Al reducir:
20
254085
cos
.sensensenM , se
obtiene:
A) 1 B) 2 C) 2
2
D) 2 E) 2
3
17. Si 450ba , entonces el valor de
senbsena
baE
coscos, es:
14
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
A) -1/2 B) 3
3 C) 1
D) -3 E) -1
18. En un triangulo ABC de lados a , b y crespectivamente, el valor de
tgAcba
tgBcbaE
222
222
, es:
A) 0 B) 2 C) -1 D) -2 E) 1
19. Si a ,b y c son los lados de um triangulo ABC,
entonces al reducir
tgBbcatgAcbaM 222222 ,
se obtiene:
A) ba B) 22 ba . C) c
D) 22 bc E) 0
20. El perímetro de um triangulo ABC, donde A=60°,
74AC y 76AB , es:
A) 5772 B) 772 C) 716
D) 2737 E) 72
SEMANA 06
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PARA UN ÁNGULO
I. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO MITAD
Las principales propiedades para un ángulo mitad son:
1. 𝑆𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 2
:
2 𝑆𝑒𝑛2
2
= 1 − 𝐶𝑜𝑠
𝑺𝒆𝒏2
=
2
Cos1
2. 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 2
:
2𝐶𝑜𝑠²2
= 1 + 𝐶𝑜𝑠
𝑪𝒐𝒔2
=
2
Cos1
Donde:
() Depende del cuadrante al cual “2
”
3. 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 2
:
𝒕𝒈2
=
Cos1
Cos1
4. 𝐶𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 2
:
𝐶𝑡𝑔2
=
Cos1
Cos1
5. Fórmulas Racionalizadas
𝑇𝑔2
= 𝐶𝑠𝑐 − 𝐶𝑡𝑔
𝐶𝑡𝑔2
= 𝐶𝑠𝑐 + 𝐶𝑡𝑔
II. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO DOBLE
1. 𝐒𝐞𝐧𝐨 𝐝𝐞 𝟐:
𝑺𝒆𝒏 𝟐 = 𝟐𝑺𝒆𝒏 𝑪𝒐𝒔
15
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
2. 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝟐:
𝑪𝒐𝒔 𝟐 = 𝑪𝒐𝒔² − 𝑺𝒆𝒏²
3. Fórmulas para reducir el exponente
𝟐 𝑺𝒆𝒏² = 𝟏 – 𝑪𝒐𝒔 𝟐
𝟐 𝑪𝒐𝒔² = 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝟐
4. 𝑻𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝟐 ∶
𝒕𝒈𝟐 =
2Tg1
Tg2
Es decir:
Del triángulo rectángulo se obtiene las siguientes relaciones:
𝑺𝒆𝒏 𝟐 =
2tg1
tg2
𝑪𝒐𝒔 𝟐 =
2
2
tg1
tg1
III. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN ÁNGULO TRIPLE
Algunas propiedades de ángulo triple:
Seno de 3x:
𝑆𝑒𝑛 3𝑥 = 3𝑆𝑒𝑛𝑥 – 4 𝑆𝑒𝑛3𝑥
𝑆𝑒𝑛 3𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑥 (2𝐶𝑜𝑠 2𝑥 + 1)
Coseno de 3x:
𝐶𝑜𝑠3𝑥 = 4𝐶𝑜𝑠3𝑥 – 3 𝐶𝑜𝑠𝑥
𝐶𝑜𝑠3𝑥 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 (2𝐶𝑜𝑠 2𝑥 − 1)
Tangente de 3x:
𝑇𝑔3𝑥 = xTan
xTanTgx2
3
31
3
01. Si: 53 )( yxtg y 42 )( xytg
Entonces el valor de ctgy es:
A) 20 B) 21 C) 18 D) 14 E) 15
02. Determine el valor de “K” para que se verifique la siguiente identidad:
xksensenxx
xsenx21
33
cos
cos
A) 1/2 B) 1/4 C) 2 D) 4 E) 3
03. Al determinar el valor de la expresión
1860
15
037212
tgsen
senF , se obtiene:
A) -2 B) 2 C) 3
D) 3 E) 32
04. En la figura mostrada, el valor de la tg , es:
A) 1/2 B) 2 C) 3/2 D) 5/2 E) 1/6
05. Sabiendo que: 5022 secsec
Al determinar el valor de
22 sen
tg
sen
tgF ,
se obtiene:
A) 25 B) 5 C) 25
D) 10 E) 20
06. De la expresion: 18183184 tgk.seccos
El valor que se obtiene para “k”, es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
07. El valor de la expresion
804020402022 tgtgtgtgtgF .. , es:
A) 6 B) 3 C) 1/3
D) 3 E) 3
3
08. El valor de 131321 tgtgH , es:
A) 0 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
09. Si 1tg y 4
3tg , entonces el valor de
)( tgE 28 , es:
A) 4 B) 2 C) 5 D) 9 E) 10
1 + Tg2
2Tg
1-Tg 2
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 6
16
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
10. En la figura, si 5
1 tg , entonces el valor de
tg , es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/2
11. El valor de
70
20502
tg
tgtgE , es:
A) -2 B) 0 C) 1 D) -1 E) 2
12. En el grafico el valor de “x”, es:
A) 5 B) 3 C) 7
D) 7 E) 32
13. En la figura, la longitud del segmento AB es:
A) 32 B) 33 C) 34
D) 35 E) 36
14. En la figura mostrada, se tiene un trapecio isósceles
en el que la longitud de la base menor es igual a la
de su altura y la longitud de su base mayor es igual
a la de su diagonal. Entonces la tg
A) 2 B) 4/3 C) 1/7 D) 3/4 E) 1/3
15. Si: 180904
3cos .
Entonces el valor de “2
cos ”, es:
A) 2
2 B)
3
2 C)
4
2
D) 3
2 E)
4
2
16. Si: 2701808
1;cos
Entonces el valor de 𝐾 = 𝑆𝑒𝑛(𝛽
2) , es:
A) 1/5 B) 5/7 C) 3/4 D) 1/8 E) 1/2
17. Si: 4
3
2
cos , entonces el valor
de la expresión 22
7
cos senE , es:
A) 0 B) 1 C) 2
D) 2 E) 22
18. Del gráfico, el valor de la tg , es:
A) 3/16 B) 6/17 C) 7/19 D) 12/17 E) 14/19
17
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
19. Si la siguiente igualdad
D
xCxBAxxsen
8488 coscoscos
, es una
identidad, entonces el valor de A + B + C+ D, es: A) 64 B)128 C) 32 D) 100 E) 1
20. Del gráfico adjunto, determine la tg
A) -4 B) -8 C) -16 D) -9 E) 32
SEMANA 07
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
DEFINICIÓN.
Son igualdades entre las funciones trigonométricas de una determinada variable (una sola incógnita), dichas igualdades verifican solamente para algunos valores que puede tomar la función trigonométrica, Los valores que verifica en la ecuación trigonométrica se les denomina como soluciones o raíces. TIPOS DE SOLUCIONES
a) Solución General Conjunto de valores que verifican la ecuación las cuales como son infinitas, se les representa por comprensión. Ejemplo. Sea la ecuación trigonométrica:
Senx =1
2
Entonces;
𝐶. 𝑆. = { … ; −17𝜋
6; −
13𝜋
6; −
5𝜋
6;𝜋
6;5𝜋
6;13𝜋
6; … }
Luego, la Solución General se expresa:
𝐱 = 𝐧𝛑 + (−𝟏)𝐧 𝛑
𝟔
b) Solución Principal
Se considera a la menor solución positiva que verifica la ecuación. De:
x = nπ + (−1)n π
6
Para n=0:
x = 0π + (−1)0 π
6
∴ 𝐱 = 𝛑
𝟔 , 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐩𝐫𝐢𝐧𝐜𝐢𝐩𝐚𝐥.
TIPOS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ecuaciones trigonométricas elementales Se llaman así a aquella igualdad en la cual se conoce el valor de una razón trigonométrica de una determinada variable, es decir, son igualdades de la forma:
𝑭. 𝑻. (𝒂𝒙 ± 𝒃) = 𝒏, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒏 ∈ 𝒁
01. Luego de resolver la siguiente ecuación:
03
223 xsen , en el intervalo de
20
;
Dé como respuesta el numero de soluciones A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 7
18
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
02. Determine las tres primeras soluciones positivas
de: 2
1152 xsen
A) 360º B) 335°/2 C) 715º/2 D) 725º/2 E) 735°/2
03. Al resolver la ecuación, indique la menor solución.
xsenx 2213 cos)(
A) 210º B) 90º C) 45°º D) 60º E) 30º
04. Dado la siguiente ecuación:
;, 003
2 xctgxtgx . La suma de
sus soluciones, es:
A) 6
7
B) 6
5
C)
D) 2
E)
34
05. El menor ángulo positivo que satisface la
ecuación
12482 xsenxsenxsen , es:
A) 72
B)
36
C)
20
D) 18
E)
12
06. Dada la siguiente ecuacion
0316322 xxctg cos , una raíz positiva
perteneciente al IIIC, es: A) 230º B) 260º C) 245º D) 210º E) 265º
07. Dada la ecuacion cos 12sen ,
determine la suma de sus raíces en 30;
A) 2 B) C) 6
D) 23 E) 3
08. Al resolver la ecuación, indicar una respuesta:
xsenxsensenx 23
A) 10º B) 20º C) 30º D) 50º E) 60º
09. Indicar una solución:
0348 senxxsenxx .cos.cos
A) 9º B) 12º C) 15º D) 18º E) 21º
10. La menor solución positiva de la ecuacion
xxxsenxsen 1353135 coscos , es:
A) 36 B) 9 C) 18
D) 27 E) 8
11. El menor valor positivo de x que satisface la
ecuacion xxtg 2232 cos , es:
A) 3
B)
6
C)
4
D) 12
E)
2
12. Determine la suma de los dos menores valores
positivos de x que sastifacen:
244 xtgxctg
A) 327 B) 325 C) 163
D) 8 E) 165
13. Dada la ecuación xsenx 2113 cos)( ,
determine la suma de las soluciones que
pertenece al intervalo 20; .
A) 3
7
B) 6
13
C) 2
9
D) 3 E) 3
10
14. Dada la ecuación tgxxsenx cos1 ,
determine la suma de las soluciones que
pertenece al intervalo 20; .
A) 2
3
B) 2
5
C) 2
7
D) 2 E) 4
9
15. Resolver e indicar la suma de las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:
xtgxxsentgx 211211 cos
La suma de las soluciones compreendidas entre 0° y 180°, será:
A) 360º B) 240º C) 245º D) 315º E) 325º
16. Resolver e indicar la suma de las 2 primeras
soluciones positivas de al ecuación:
xxsenx 4522 coscos
A) 125 B) 245 C) 247
D) 127 E) 2411
17. Al resolver: 333 211 tgxtgx
Determine la mayor solución positiva menor de 720°
A) 225º B) 405º C) 585º D) 645º E) 675º
18. Si: 900 ; , entonces la suma de las
soluciones de la ecuación 3742 tgtg ,
es: A) 37º B) 45º C) 82º D) 90º E) 180º
19
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
19. La menor solución positiva que pertenece al tercer cuadrante de la ecuación
0142 tgxxtg , es:
A) 12
11 B)
12
13 C)
12
17
D) 13
15 E)
17
19
20. Indica la menor solución positiva en:
2222 xxsenxtg cos.
A) 15º B) 45º C) 90º D) 60º E) 30º
SEMANA 08
GEOMETRÍA ANALÍTICA
PLANO CARTESIANO
Es el sistema coordenado rectangular en el plano que establece una correspondencia biunívoca entre cada punto P (x; y) del plano y un par ordenado de números reales (x e y).
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos, 𝐏𝟏(𝐱𝟏; 𝐲𝟏) 𝐲 𝐏𝟐(𝐱𝟐; 𝐲𝟐), se determina aplicando el teorema de Pitágoras:
A partir de la figura, se observa:
𝐝(𝐏𝟐, 𝐏𝟏) = 𝐝(𝐏𝟏, 𝐏𝟐) = √(𝐱𝟐 − 𝐱𝟏)𝟐 + (𝐲𝟐 − 𝐲𝟏)𝟐
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE PENDIENTE DADA.
La ecuación de la recta que pasa por el punto dado P1(x1; y1) y tiene la pendiente dada 𝒎, es:
𝑳: 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
20
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
01. De la figura, determine las coordenadas del punto P (x; y)
A) (1/2; -1) B) (-1/4; -1) C) (-1/2; -1)
D) (1/2; 1) E) (1; 3/4)
02. La longitud de la mediana relativa al lado AB, es:
A)6 B) 8 C)9
D) 10 E) 12
03. El área del triángulo AOB, es:
A) 6 B) 12 C)10
D) 8 E) 16
04. Si A(-2;3), B(6;-3) y P(x; y) son tres puntos
colineales, si 2PB
AP, el valor de “x + y”, es:
A) 1 B)2 C) 3
D) 4 E) 5
05. El ángulo de inclinación de una recta mide 135°. Si pasa por los puntos (-3; b) y (-5; 7), el valor de “b”, es:
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
06. El área de un triángulo que tiene como vértices a los puntos son A (3; 1); B (9; 1) y C (3; 7), es:
A) 36 B)18 C) 24 D) 26 E) 9
07. Se tiene dos vértices opuestos de un cuadrado (-5; 8) y (1; 2) determine su centro de gravedad.
A) (-1; 3) B) (-2; 3) C) (-2; 5)
D) (-1; 5) E) (1; 3)
08. Si un vértice de un triángulo ABC, es A (1; 3) y el baricentro del triángulo es G (3; 1). ¿Cuál es la suma de coordenadas del punto medio “M” opuesto al vértice A?
A) 1 B)2 C) 3
D) 4 E) 5
09. Del gráfico, la ecuación de la recta “L”, es:
A) 01243 yx
B) 0934 yx
C) 0932 yx
D) 0823 yx
E) 01243 yx
10. Si en el gráfico: (AB=2BC). El valor de la pendiente de la recta “L”, es:
A) 2/3 B) -2/3 C) -1/6
D) -2/9 E) 2/9
11. Señale la ecuación de la recta que pase por el
punto P (3;2) y cuyo ángulo de inclinación es de 37°.
A) 3x – 4y -1 = 0
B) 3x - 4y +1 = 0
C) 3x – 4y +1 = 0
D) 3x + 4y +1 =0
E) 4x + 3y +1 = 0
PREGUNTAS PROPUESTAS N° 7
21
TRIGONOMETRÍA 2021 - 1 CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
12. Si la ecuacion de una recta es 02054 yx
entonces el área que forma dicha recta con los ejes de coordenados, es:
A) 82 B) 12
2 C) 102
D) 142 E) 20
2
13. Una recta L de pendiente -2 pasa por el punto (2; 7) y por los puntos P (x; 3) y Q (6; y) el valor de x + y, es:
A) 3 B) 5 C) 1
D) -1 E) -5
14. Si 1L tiene por ecuación 5
2
1 xy . Determine la
pendiente de la 2L que es perpendicular con la recta
1L .
A) 1 B) -2 C) -1/2
D) ½ E) 2
15. Si la distancia del punto A al punto B es de 5u, siendo A = (m + 3; 3a +1) y B = (m – 1, 2a), entonces el valor de “a”, es:
A) 2 B) 6 C) 4
D) 10 E) 8
16. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento AB, donde A (-4, 3) y B (2; 9).
A) y = -x + 5
B) y = 2x + 5
C) y = 4x - 3
D) y = x + 5
E) y = x – 1
17. La ecuacion de la recta que es perpendicular al segmento de extremo A (-1;3), B (4;8) y que pasa por su punto medio.
A) 07 yx
B) 012 yx
C) 07 yx
D) 052 yx
E) 01 yx
18. El punto de intersección de la recta 2xL : y la
mediana del triángulo de vértices A(1; 5), B(2; 0) y C(0; 1) relativa al lado AC, es: A) (-2;0) B) (-2;6) C) (-2;4) D) (-2;8) E) (-2;2)
19. Si AM es la mediana del triángulo ABC, Si A (1; 3) y
M (1/2; -2). Entonces la suma de las coordenadas de los tres vértices, es: A) 2 B) 1 C) -2 D) -1 E) 3
20. El punto P equidista a los puntos M (-1; 2) y N (3; 4).
El área del triángulo PMN es 2
5 . Determine las
coordenadas de P sabiendo, además, que su ordenada es menor que 2. A) (-2;1) B) (2; -2) C) (0; -5) D) (2; -1) E) (2;1)
PREGUNTAS ADICIONALES
01. Si radn
m 812125 ( m y n primos entre sí) ,
entonces el valor de “m + n”, es:
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 15
02. Si las medidas de los ángulos zx y
71
65
9
36o
m
mg
son equivalentes. Determine el
valor de “x + z”. A) 80 B) 85 C) 90
D) 94 E) 95
03. Si S y C son los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente, el valor de
17
SC
SC
SC
SC, es:
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
04. Del gráfico mostrado, determine tgwtg , si
ABCD es un cuadrado.
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3
D) 0,4 E) 0,5
05. Si 1ysenx sec. , con x e y agudos. Determine
el valor de tgytgxyx
ctgyx
tgE ..
32
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 6
06. Determine el lado “x” en función de “m” y ""
A) tgm .sec B) csc.cosm
22
TRIGONOMETRÍA – 2021 - I CENTRO PRE – UNIVERSITARIO UNDC
C) ctgm .cos D) cos.msen
E) mtg
07. Una hormiga observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37°, luego se acerca 7m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53°. Determine la altura del árbol.
A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 20
08. El valor de la expresión
70
160
10230
50190
ctg
tgK
cos.sec
sec.cos, es:
A) 1 B) -2 C) 3
D) -1/2 E) 2
09. Reducir la expresión:
11
2
seccos
tgM
A) 2 B) 1 C) 1/2
D) 1/5 E) -1
10. El valor de 402080 cos.cos.cosE , es:
A) 2 B) 3/4 C) 4
D) 1/2 E) 1/8
11.Si 5
4sen y
24
7tg .El valor de la expresión
213
tg , es:
A) 11 B) 10 C) 9
D) 12 E) 8
12. Si 5
3cos y es agudo, entonces el valor de la
expresión 12
2
sec
tgE , es:
A) 3/4 B) 5/2 C) 4/3
D) 2/5 E) 7/3
13. Si 02
32
5
cossen , entonces el valor de
seccsc
35E , es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
14. Si 52080222 BsenAsensen , entonces
el valor de 4
122 BA , es:
A) 6 B) 3 C) 5
D) 2 E) 4
15. Si 2
121 2
cos
cos
sen, entonces el valor de
cos.senE , es:
A) 1/4 B) 1/8 C) 3/8
D) 3/4 E) 1/2
16. La suma de los dos primeras soluciones positivas que satisface la ecuacion
523222 ,cos xxsen , es:
A) 180° B) 160° C) 120°
D) 190° E) 210°
17. Al resolver la ecuación 0113 xx coscos , el
menor valor positivo de “x”, es:
A) 3 B) 4 C) 5
D) 14 E) 13
18. Dados los puntos A (-2; -3), B (2; 1), C (4; -9) y M
punto medio de BC . La distancia de M al
segmento AC , es:
A) 2 B) 22 C) 4
D) 24 E) 6
19. El valor de “a” para que las rectas
0161 yaxL : , 07232 ayxL : son
paralelas. A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
20.Una recta contiene al punto (-5; 6) y su pendiente
es 2
3 . La abscisa de un punto de la recta cuya
ordenada es 4, es: A) 11/3 B) -13/3 C) 11/2
D) -13/2 E) 11/5