Estrategias de resolución de problemas contextualizados de ...
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I Universidad Virtual Escuela de Graduados en Educación Estrategias de resolución de problemas contextualizados de matemáticas Tesis para obtener el grado de Magister en Educación Presenta: José Néstor Bolívar Gamboa Asesor tutor: Mtra Margarita Eugenia Laisequilla Rodríguez Asesor Titular: Dra. Rosalía Garza Guzmán Bogotá, Colombia Septiembre de 2015
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I
Universidad Virtual
Escuela de Graduados en Educación
Estrategias de resolución de problemas contextualizados de
matemáticas
Tesis para obtener el grado de
Magister en Educación
Presenta:
José Néstor Bolívar Gamboa
Asesor tutor:
Mtra Margarita Eugenia Laisequilla Rodríguez
Asesor Titular:
Dra. Rosalía Garza Guzmán
Bogotá, Colombia Septiembre de 2015
II
Estrategias de resolución de problemas contextualizados de
matemáticas
Resumen
Esta investigación, se realizó en un colegio distrital de Bogotá Colombia, derivada
de la inquietud de conocer las estrategias que usan los estudiantes de grado décimo
en procesos de resolución de problemas contextualizados (RPMC). La indagación se
propone revisar los procesos de los estudiantes, los factores sociodemográficos que
les caracterizan así como los fundamentos teóricos de pruebas que los evalúan con
miras a generar un aporte significativo para mejorar el desempeño en matemáticas,
los procesos de enseñanza aprendizaje y la vida de los educandos. Se eligió el
enfoque cualitativo que recurre al estudio de caso. La información se obtuvo con la
aplicación de un cuestionario de preguntas de resolución de problemas matemáticos
contextualizados tipo PISA, una encuesta sociodemográfica, una entrevista, y la
triangulación entre los resultados de la aplicación de los instrumentos y los
elementos más relevantes hallados en el marco teórico. Se analizaron dos categorías:
estrategias en RPMC que utilizan los alumnos y situación sociodemográfica de los
mismos. Los estudiantes con mejor desempeño usaron ciertas estrategias heurísticas,
cognitivas organizacionales y de formulación pero no exhibieronn dominio y
conocimiento pleno de éstas. El uso de estrategias metacognitivas fue limitado en
tanto no extrapolaron conocimientos hacia el proceso de resolución ni realizaron auto
monitoreo regular y activo del proceso. Los estudiantes de bajo desempeño no
exhibieron estrategias heurísticas ni de metacognición; sus habilidades cognitivas
mostraron procesos de comprensión deficientes, limitaciones en habilidades
cognitivas propias de la resolución de problemas, falta de gusto y motivación hacia
las matemáticas. Sobre los factores sociodemográficos, se observa que elementos
como formación de los padres, apoyo tecnológico y asesoría en tareas, motivación e
interés y el tipo de vivienda son condiciones casi completamente opuestas entre los
estudiantes con mejor desempeño y los de más bajo desempeño. Se concluye que
para propiciar el mejoramiento del desempeño de los estudiantes en procesos de
resolución de problemas contextualizados matemáticos se debe incentivar desde el
III
proceso de enseñanza aprendizaje la apropiación y dominio de estrategias cognitivas,
heurísticas y metacognitivas.
IV
Índice
1. Capítulo 1. Marco teórico .................................................................................. 1
1.1. Factores que inciden en el desempeño de los alumnos en RPMC ................ 1
1.2. Medición de desempeño de los estudiantes colombianos en la RPMC de
acuerdo al informe PISA .................................................................................. 4
1.3. Marco conceptual de la prueba PISA de matemáticas .................................. 6
1.3.1. Procesos matemáticos ........................................................................ 6
1.3.2. Capacidades matemáticas fundamentales que subyacen a los procesos
matemáticos ....................................................................................... 7
1.4. Definición de problemas ............................................................................. 11
1.5. Modelos de resolución de problemas ......................................................... 12
1.6. Elementos fundamentales en la resolución de problemas .......................... 14
1.6.1 La heurística y la resolución de problemas ..................................... 14
1.5.2 La cognición en la resolución de problemas ................................... 15
1.5.3 La metacognición en la resolución de problemas .......................... 15
2. Capítulo 2. Planteamiento del problema ........................................................ 17
2.1. Problema de investigación .......................................................................... 17
2.2. Objetivo general .......................................................................................... 18
2.3. Objetivos específicos .................................................................................. 18
2.4. Justificación ................................................................................................ 19
2.5. Delimitación ............................................................................................... 20
3. Capítulo 3. Metodología ................................................................................... 21
3.1. Justificación de la selección del método ..................................................... 21
3.2. Participantes ................................................................................................ 22
3.3. Descripción de los instrumentos ................................................................. 23
3.3.1 Cuestionario tipo PISA .................................................................. 23
3.3.2 Encuesta sociodemográfica ............................................................. 23
3.3.3 entrevista semiestructurada ............................................................. 24
3.4. Procedimiento ............................................................................................. 24
3.5. Estrategia de análisis de datos .................................................................... 25
4. Capítulo 4. Resultados ...................................................................................... 26
4.1. Presentación de resultados por categorías de análisis ................................. 26
4.1.1 Resultados de la primera categoría de análisis: Estrategias de
resolución de problemas que utilizan los alumnos .................................... 26
4.1.2 Resultados de la segunda categoría de análisis: situación
sociodemográfica de los alumnos ............................................................. 40
4.2. Discusión de resultados por triangulación .................................................. 42
5. Capítulo 5. Conclusiones ................................................................................... 46
5.1. Principales hallazgos .................................................................................. 46
V
5.2. Limitaciones encontradas .......................................................................... 48
5.3. Nuevas ideas y recomendaciones para estudios futuros ............................. 48
Referencias ............................................................................................................... 50
Apéndices
Apéndice A: Cuadro de preguntas PISA seleccionadas para prueba escrita ............. 54
Apéndice B: Prueba escrita ........................................................................................ 55
Apéndice C: Consentimiento informado a padres y/o acudientes ............................. 65
Apéndice D: Curriculum Vitae ................................................................................. 71
1
Capítulo 1. Marco teórico
El presente capítulo documenta teoría y estudios relevantes para establecer el
problema de investigación cuya pregunta general fue: ¿Cuáles son los procesos que
realizan los estudiantes de grado décimo para la resolución de problemas
contextualizados?
Frente a los bajos desempeños de los estudiantes colombianos en las pruebas
del Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA. Por sus siglas in
inglés: Programme for International Student Assessment) en la competencia de
matemáticas, se ha decidido hacer un estudio acerca del tema con el objetivo de
detectar las estrategias que los estudiantes usan al resolver problemas matemáticos
contextualizados (RPMC) y la influencia de los factores sociodemográficos en su
desempeño. Para esto, fue necesario revisar tópicos como: investigaciones en torno a
la RPMC, desempeños de los estudiantes colombianos en la prueba de matemáticas
en PISA y su relación con las condiciones sociodemográficas de los mismos,
fundamentos teóricos de dicha prueba, estrategias de RPMC y metodologías de
enseñanza aprendizaje de las mismas.
1.1. Factores que inciden en el desempeño de los alumnos en la RPMC
Para determinar los factores que inciden en el desempeño de los alumnos en
la RPMC es importante identificar tanto los elementos cognitivos que intervienen en
dicho proceso como la incidencia de factores de tipo personal, experimental y
contextual del alumno. En el año 2004 se realizó en España un estudio en alumnos de
primero y segundo ciclo de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) que recurrió
al modelo de Mayer (1983) sobre los conocimientos básicos que intervienen en la
RPMC y la teoría triárquica de la inteligencia y el autogobierno mental de Sternberg
(1982), lo anterior, con el fin de validar un instrumento para medir el desempeño de
los alumnos en los componentes básicos de los procesos implicados en la RPMC. En
2
los resultados, se destacó la comprensión lectora como elemento instrumental que
incide significativamente en las demás habilidades cognitivas que intervienen en la
RPMC. La habilidad en la que se observó mejor desempeño en los estudiantes fue
en la ejecución de algoritmos, mientras que las mayores dificultades se presentaron
en el reconocimiento de la naturaleza del problema -elemento clave que da
significado y facilita la selección del plan de resolución-, habilidades para organizar
las estrategias y por ende, estructurar la secuencia de los pasos a seguir en el proceso
de resolución. En cuanto a las variables experienciales y contextuales estudiadas, se
comprobó que la autoestima académica y el nivel escolar de los padres inciden
significativamente en el éxito escolar relacionado con la RPMC (Picazo, 2005).
Otro factor determinante en el proceso de RPMC es el uso de estrategias
metacognitivas. Moreno y Daza (2014) determinaron la incidencia de diferentes
estrategias metacognitivas en la RPMC en tres estudiantes de grado 7 del Gimnasio
los Portales de Bogotá (Colombia). Para la realización del estudio optaron por un
método cualitativo. La información se recolectó a través de una prueba de entrada y
salida que contenía una serie estandarizada de problemas; se realizó una mediación
de ocho sesiones de 40 minutos. Las categorías de análisis de la investigación se
produjeron por un componente procedimental que evaluó el procesamiento de la
información de los sujetos para el desarrollo de una tarea partiendo de la definición y
representación del problema, la planeación, el control y la evaluación del mismo. En
las conclusiones se resalta la incidencia de los procesos de planeación al poner en
marcha mecanismos tales como la supervisión regular del proceso en la RPMC.
Finalmente, los autores destacaron la importancia de la motivación y la
autoconfianza, en especial, en los estudiantes con mayor dificultad.
La actividad metacognitiva está vinculada con un proceso de suma
importancia en todo aprendizaje: la comprensión lectora. En 2014, en Santa Marta
(Colombia), se aplicó un estudio en 40 estudiantes de décimo grado que buscaba
identificar la relación entre ambos elementos. La investigación hizo uso de un diseño
no experimental correlacional con enfoque cuantitativo; aplicaron una prueba de
comprensión lectora usando como instrumento la prueba de comprensión lectora de
PISA en la versión reducida de Herrera y Pool (2009), un cuestionario
3
sociodemográfico de 7 preguntas y un cuestionario de auto-reporte de la actividad
metacognitiva de Mayor, Suengas y Gonzáles (1995). Los resultados mostraron que
el 67, 5% de la población de estudio no tenía habilidades para alcanzar los niveles de
comprensión literal e inferencial, lo que pone en evidencia que las posibilidades del
alumnado de alcanzar niveles de pensamiento superior en la lectura son escasas. En
lo que respecta al autorreporte de actividad metacognitiva, los resultados ubicaron a
la muestra en los niveles medio y bajo, interpretados como poca o ninguna capacidad
de hacer uso de su propio conocimiento de manera consciente, controlada y
autoconstructiva (Barbosa y Sanjuan, 2014).
Ahora bien, en el informe Organización para la Cooperación y el Desarrollo
Económicos (OCDE) (2014), se advierte que entre los aspectos que inciden al
momento de tener éxito al resolver problemas están: que los estudiantes se deben
mostrar abiertos a explorar lo novedoso, tolerar dudas e incertidumbre y atreverse a
usar la intuición para poder abordar una solución; es así, como los estudiantes de los
países con mejores resultados en RPMC se caracterizan por demostrar una capacidad
muy elevada para razonar y aprender de forma autónoma.
Al establecer los elementos incidentes en la RPMC a partir de los resultados y
conclusiones de los anteriores estudios se encuentra que:
Es fundamental el uso de estrategias metacognitivas si se desea tener éxito en la
resolución de problemas (Schoenfeld, 1985), entre éstas: el reconocimiento de la
naturaleza del problema que facilita la selección del plan de resolución, la
habilidad para organizar las estrategias que ordenan la secuencia de los pasos a
seguir y además, los mecanismos de supervisión regular del proceso.
La comprensión lectora es un elemento instrumental determinante y significativo
en el desempeño de los estudiantes en cualquier campo del conocimiento. Prueba
de ello han sido los informes presentados por PISA respecto al rendimiento de los
estudiantes colombianos tanto en la prueba de lectura como en los demás
componentes lo que incluye procesos de la RPMC (Picazo, 2005).
Propender desde el acto pedagógico por el desarrollo de habilidades de
comprensión literal e inferencial redundará en el desarrollo de capacidades de
pensamiento superior en los estudiantes.
4
La metacognición es una capacidad fundamental para el desarrollo de habilidades
de RPMC. De acuerdo a los estudios gran parte de los alumnos colombianos no
logran hacer uso de su propio conocimiento de manera consciente, controlada y
autoconstructiva (Barbosa y Sanjuán, 2014).
Otros elementos incidentes en la RPM son el razonamiento y el aprendizaje
autónomo (OCDE, 2014), el autoestima académico (Picazo, 2005; Schoenfeld
1985), el componente afectivo personal del estudiante hacia la materia (Cárdenas,
(2014); el uso de estrategias heurísticas (Schoenfeld 1985), el nivel escolar de los
padres (Picazo, 2005); (PISA, 2012); (Santín, 2001) y las estrategias de enseñanza
aprendizaje que adoptan los docentes a la hora de resolver problemas (Cárdenas
,2014).
1.2. Medición de desempeño de los estudiantes colombianos en la RPMC de
acuerdo al informe PISA
Las pruebas PISA están dirigidas a estudiantes de 15 a 16 años que están por
concluir su educación obligatoria, con el propósito de evaluar hasta qué punto han
adquirido el conocimiento fundamental y las competencias necesarias para participar
plenamente en las sociedades actuales (Rico, 2007). Estas pruebas se presentan como
una iniciativa de la OCDE, cuyos objetivos son producir indicadores de la calidad
educativa de los países que pertenecen a la organización, investigar acerca de los
factores que la afectan, comparar los resultados entre países y monitorear los avances
de los sistemas educativos a través de periodos de tiempo. La importancia de evaluar
el sistema educativo radica en que la educación de hoy es la economía del mañana,
del progreso social y económico de un país (OCDE, 2014).
Los estudiantes colombianos han presentado bajos desempeños en pruebas
externas como PISA debido a que no extrapolan lo que saben, les falta creatividad,
capacidad para utilizar sus conocimientos y no tienen expectativas acerca del papel
que juega la educación en su futuro, lo que implica el hecho de que no han adquirido
las competencias necesarias para afrontarlo (Schneider, 2014).
Por su parte, el estudio PISA brinda dos tipos de resultados: el puntaje
promedio por país en cada una de las áreas evaluadas y el porcentaje de estudiantes
5
que se encuentra en cada nivel de desempeño. Colombia ha participado en la prueba
en los años 2006, 2009 y 2012, ubicándose siempre entre los últimos lugares. En
2009, en la prueba de matemáticas los estudiantes colombianos se posicionaron en el
puesto 58 de los 65 países participantes (Ronderos, Castellanos, López, Quintero &
Rios, 2010).
PISA (2009 en Barrera, Maldonado y Rodríguez, 2012) relacionó el
resultado promedio de la prueba de matemáticas contra el Producto Interno Bruto
(PIB) per cápita en los países latinoamericanos participantes; allí evidenció que los
estudiantes de países de la región con similar PIB al de Colombia, como Argentina,
Brasil, Chile, México y Uruguay, obtuvieron mejores desempeños.
PISA clasifica los resultados de la prueba de matemáticas en 6 niveles,
siendo el nivel 2 el que mide las habilidades mínimas necesarias para participar en la
sociedad actual. En el año 2009, el 71% de los estudiantes colombianos obtuvieron
resultados que los ubicaron por debajo del nivel 2. Según el informe PISA (2009),
en los resultados inciden factores tales como la diferencia entre estudiantes que
proceden del sistema de educación pública y los que proceden del sistema privado,
en donde se marca una diferencia de 50 puntos a favor de los estudiantes de
educación privada; el nivel educativo de los padres, factor determinante en los
resultados académicos de sus hijos; el estrato socioeconómico, donde se develan
diferencias de hasta15,4% más bajo desempeño en los resultados de estudiantes de
condiciones socioeconómicas menos favorecidas (Santín, 2001).
El género también es un factor que evidencia diferencias importantes: los
resultados muestran que en Colombia los hombres obtuvieron el 6,4% de nivel de
desempeño por encima de los resultados obtenidos por las mujeres. Otro factor es la
ruralidad: un 13% de los estudiantes colombianos asisten a colegios rurales que
presentan brechas de año y medio de atraso de escolaridad; con respecto a colegios
ubicados en poblaciones urbanas, lo que se manifiesta en un 12% de resultados más
bajos de desempeño en la prueba de matemáticas, en comparación con los
estudiantes de colegios urbanos (Casas, 2013; Tiramonti, 2014).
6
En el 2012 América Latina y por ende Colombia presentaron niveles de
desempeño inferiores al promedio de los países de la OCDE. En la prueba de
matemáticas el 74% de los estudiantes colombianos se ubicó en el nivel 1 o por
debajo de este, el 18% en el nivel de desempeño 2, el 3% en el nivel 5 y ningún
estudiante se ubicó en el nivel 6 lo que difiere significativamente de los países de la
OCDE cuyos estudiantes obtuvieron resultados que posicionaron el 7% y el 3% en
los últimos 2 niveles mencionados respectivamente (ICFES, 2013).
A continuación, se realizará un análisis de la fundamentación teórica del
componente de la competencia de matemáticas en PISA para identificar las
habilidades y capacidades que deben desarrollar los estudiantes para mejorar su
desempeño.
1.3. Marco conceptual de la prueba PISA de matemáticas
El desempeño eficaz dentro de la sociedad actual implica la comprensión de
las matemáticas, dado que son innumerables los problemas y situaciones
relacionadas con contextos matemáticos que deben ser sorteadas a diario tanto en el
ámbito personal, profesional, social y científico. Lo anterior exige que cualquier
individuo tenga cierto grado de comprensión de las matemáticas, de razonamiento
matemático y de herramientas matemáticas con el fin de aplicarlas en la comprensión
de situaciones y en la resolución de problemas. PISA (2012, p.9) define la
competencia matemática como:
“La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticas en
distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y la utilización de
conceptos, procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar
y predecir fenómenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel que las
matemáticas desempeñan en el mundo y a emitir los juicios y las decisiones bien
fundadas que los ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos necesitan.”
En los verbos formular, emplear e interpretar, PISA (2012) determina los
procesos que deben realizar los alumnos para resolver problemas de forma activa.
7
1.3.1. Procesos matemáticos. PISA (2012) define como procesos
matemáticos: “Formular: capacidad del individuo para reconocer e identificar
oportunidades para utilizar las matemáticas y posteriormente, proporcionar la
estructura matemática a un problema presentado en forma contextualizada” (PISA,
2012 p.13).
Emplear: capacidad del individuo de aplicar conceptos, datos, procedimientos
y razonamientos matemáticos para con ello resolver problemas y llegar a
conclusiones matemáticas. Los elementos que se emplean para solucionar problemas
son conceptos, datos, procedimientos y razonamientos matemáticos (PISA, 2012
p.14).
Interpretar: capacidad para reflexionar respecto a soluciones, o conclusiones
matemáticas y su interpretación contextualizada con situaciones de la vida real.
Conlleva la interpretación de soluciones matemáticas o generar nuevas reflexiones en
torno al contexto del problema para discriminar resultados y evaluar si son
adecuados y lógicos al contexto” (PISA, 2012 p.15).
A medida que un estudiante trata de resolver un problema contextualizado
activa de manera inmediata el pensamiento y la acción matemática para enfrentar el
desafío, esto lo hace recurriendo a los conocimientos, conceptos y destrezas que
posee en matemáticas. En el marco conceptual de PISA (2012), las acciones
matemáticas se describen en función de siete capacidades a saber: comunicación,
matematización, representación, razonamiento y argumentación, diseño de
estrategias para resolver problemas, utilización de operaciones y lenguaje simbólico,
formal, técnico y uso de herramientas matemáticas.
1.3.2. Capacidades matemáticas fundamentales que subyacen a los
procesos matemáticos. Niss y Hojgaard (2011) en PISA (2012) determinan un
conjunto de ocho competencias matemáticas divididas en dos grupos: el primero se
refiere a la capacidad de formular en y con las matemáticas, lo que incluye pensar
matemáticamente, abordar problemas, modelar y razonar; por su parte, el segundo
grupo se refiere a la capacidad de lidiar con el lenguaje y las herramientas
8
matemáticas y cubre las competencias de representación, simbología y formalismo,
comunicación, recursos y herramientas.
Por su parte el Ministerio de Educación Nacional (MEN) (2003) considera
que existen cinco procesos generales en la actividad matemática que son: formular y
resolver problemas, modelar procesos y fenómenos de la realidad, comunicar y
finalmente, formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. Estos
procesos están encaminados a desarrollar la competencia matemática a través de los
conocimientos conceptual, asociado con el saber qué y el saber por qué, y
procedimental, referido a técnicas y estrategias de representación de conceptos y la
transformación de las representaciones; este último se asocia con el saber cómo.
Un estudiante da muestra de su competencia matemática cuando es capaz de
resolver problemas contextualizados, por cuanto en el proceso de resolución exhibe
siete habilidades matemáticas fundamentales que activa sucesiva y simultáneamente
al recurrir a contenidos apropiados para llegar a soluciones. Estas habilidades se
enunciarán a continuación de acuerdo a PISA (2012), para con ello, evidenciar su
relación con los procesos formulados por el MEN (2003).
- Comunicación: “capacidad para la lectura de los enunciados contextualizados,
decodificación e interpretación de los mismos, preguntas, tareas o elementos que
posibilitan la formación de modelos mentales de una situación. Este paso es
fundamental en la comprensión, clarificación, y formulación de un problema.
- Matematización: capacidad de transformar un problema contextualizado en el
mundo real a una forma estrictamente matemática o también, la interpretación o
valoración de un resultado o de un modelo matemático relacionado con el
problema original.
- Representación: capacidad de representar objetos y situaciones matemáticas a
través de gráficos, tablas, diagramas, imágenes, ecuaciones, fórmulas y
materiales concretos; se hace para reflejar una situación, interactuar con un
problema o representar el propio trabajo.
- Razonamiento y argumentación: capacidad relacionada con los procesos de
pensamiento activados en forma lógica; se emplean para explorar y realizar
concordancias entre los elementos de un problema o situación, para realizar
9
inferencias, justificaciones y comprobaciones de enunciados o soluciones de
problemas.
- Diseño de estrategias para resolver problemas: capacidad relacionada con la
construcción o selección de un plan o estrategia, la cual es útil para la resolución
de un problema; implica un conjunto de procesos de control que guían al
individuo para que reconozca, formule y resuelva problemas de forma eficaz.
- Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico:
capacidad de comprensión, interpretación, manipulación y utilización de
expresiones algebraicas y operaciones aritméticas, en un contexto matemático.
Implica también la comprensión y uso de constructos formales determinados
mediante definiciones, reglas y sistemas formales, al igual que el uso de
algoritmos con estas entidades.
- Utilización de herramientas matemáticas: capacidad de utilización de
instrumentos de medición, calculadoras, herramientas informáticas” (PISA, 2012
p.15).
Al comparar las capacidades propuestas por PISA (2012) con las propuestas
por el MEN (2003) se concluye que en el caso de PISA determinan los procesos
particulares que conforman la globalidad que concierne a la RPMC, mientras que el
MEN (2003) considera la resolución de problemas como uno de los cinco procesos
de la actividad matemática; sin embargo, desde este último, se señala que el proceso
de resolución de problemas involucra los demás procesos con distinta intensidad en
sus diferentes momentos.
En la tabla 1 de PISA (2012), se evidencia cómo las capacidades se vinculan
con cada uno de los tres procesos matemáticos utilizados en la resolución de
problemas. Este cuadro resulta fundamental a esta investigación en tanto es una
herramienta para identificar las estrategias a las que recurren los estudiantes en el
momento de realizar la RPMC.
10
Tabla 1
Relación entre los procesos matemáticos y capacidades matemáticas fundamentales
(PISA, 2012. p.18)
Formulación matemática
de las situaciones
Empleo de conceptos,
datos, procedimientos y
razonamientos
matemáticos
Interpretación,
aplicación y valoración
de los resultados
matemáticos
Comunicación Leer, decodificar e
interpretar
enunciados, preguntas,
tareas,
objetos, imágenes o
animaciones (en la
evaluación electrónica)
para crear un modelo
mental de la situación
Articular una solución,
mostrar el trabajo
asociado a la obtención
de la misma y/o
resumir y presentar los
resultados matemáticos
intermedios
Elaborar y presentar
explicaciones y
argumentos en el
contexto del problema
Matematización
Identificar las variables y
estructuras matemáticas
subyacentes al problema
del mundo real y
formular
supuestos de modo que
puedan utilizarse
Utilizar la comprensión
del contexto para guiar
o acelerar el proceso de
resolución matemático,
por ejemplo: trabajando
a un nivel de precisión
apropiado al contexto
Comprender el alcance
y los límites de una
solución matemática
que son el resultado del
modelo matemático
empleado
Representación Crear una representación
matemática de
información del
mundo real
Interpretar, relacionar y
utilizar distintas
representaciones
cuando se interactúa
con un problema
Interpretar los
resultados matemáticos
en distintos formatos
con relación a una
situación o uso;
comparar o valorar dos
o más representaciones
con relación a una
situación
Razonamiento
y
argumentación
Explicar, defender o
facilitar
una justificación de la
representación
identificada o
elaborada de una
situación del
mundo real
Explicar, defender o
facilitar una
Justificación de los
procesos y
procedimientos
utilizados para
determinar un resultado
o solución matemática.
Relacionar datos para
llegar a una solución
matemática, hacer
generalizaciones o
elaborar un argumento
de varios pasos
Reflexionar sobre la
soluciones matemáticas
y elaborar
explicaciones y
argumentos que
apoyen, refuten o
proporcionen una
solución matemática a
un problema
contextualizado
Diseño de
estrategias para
resolver
problemas
Seleccionar o diseñar un
plan
o estrategia para
reformular
matemáticamente
problemas
contextualizados
Activar mecanismos de
control eficaces y
sostenidos en un
procedimiento con
múltiples pasos
conducente a una
solución, conclusión o
generalización
matemática
Diseñar e implementar
una
estrategia para
interpretar, valorar y
validar una solución
matemática a un
problema
contextualizado
11
Utilización de
las operaciones
en un lenguaje
simbólico,
formal y
técnico
Utilizar variables,
símbolos,
diagramas y modelos
estándar
apropiados para
representar
un problema del mundo
real
empleando un lenguaje
simbólico/formal
Comprender y utilizar
constructos formales
basándose en
definiciones, reglas y
sistemas formales, así
como mediante el
empleo de algoritmos
Comprender la relación
entre el contexto del
problema y la
representación de la
solución matemática.
Utilizar esta
comprensión para
favorecer la
interpretación de la
solución en su contexto
y valorar la viabilidad
y posibles limitaciones
de la misma
Utilización de
herramientas
matemáticas
Utilizar herramientas
matemáticas para
reconocer
estructuras matemáticas
o
describir relaciones
matemáticas
Conocer y ser capaz de
utilizar adecuadamente
distintas herramientas
que puedan favorecer
la implementación de
procesos y
procedimientos para
determinar soluciones
matemáticas
Utilizar herramientas
matemáticas
para determinar la
razonabilidad de
una solución
matemática y los
límites y restricciones
de la misma, dado el
contexto del problema
1.4. Definición de problemas
Las actividades pedagógicas encaminadas a identificar y resolver problemas
potencian el desarrollo de habilidades cognitivas de los estudiantes, es por esto que
se hace necesario tener una idea clara de lo que se entiende por problema; para
Sánchez (1995), un problema es una situación que presenta dificultad y que no tiene
solución inmediata; por su parte, Alonso (2001) define el problema como una
situación matemática desde la que se consideran elementos como: objetos,
características de esos objetos y relaciones entre ellos; estos se agrupan de acuerdo a
las condiciones y exigencias de tales elementos, de modo que el resolutor considere
la necesidad de responder a las exigencias o interrogantes, valiéndose para operar de
su base de conocimientos y experiencias (Alonso, 2001).
Se considera que ambas definiciones son relevantes, lo que también implica
valorar la necesidad de realizar operaciones mentales -clasificación, decodificación,
razonamiento inductivo, deductivo, etc.- en el proceso de solución, así como la
motivación que genera en los estudiantes situarlos en contextos de sus vivencias, lo
12
que hace del proceso de resolución un reto que exige estrategias adecuadas para
solucionarse.
La destreza del estudiante a la hora de solucionar problemas resulta
fundamental en el proceso y es por ello que Livina (1999) la define como:
“Capacidad especifica adquirida en el proceso enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas y que se configura en personalidad del estudiante al sistematizar, con
determinada calidad y haciendo uso de la meta-cognición, acciones y conocimientos
que participan en la resolución de estos problemas” (Livina, 1999 p.59).
1.5. Modelos de resolución de problemas
Los modelos de resolución de problemas son: modelo G Pólya, modelo de H.
Shoenfeld, modelo de Manson-Buerton-Stacy, modelo de resolución que consideran
diferencias entre expertos y novatos, modelos algorítmico de resolución y modelos
de resolución de problemas como investigación (Triana, 2009). A continuación se
describen los que se consideran más relevantes para la presente investigación.
a) Modelo de G. Pólya: éste es uno de los modelos más básicos pero que contiene
elementos esenciales al resolver problemas como son: aceptar y comprender las
condiciones del problema, planificar su solución, llevar a cabo el plan proyectado,
comprobar y verificar su solución (Pólya, 19484). Este modelo centra el interés en: a)
recursos heurísticos para abordar el problema como analogías, inducciones,
generalizaciones, entre otros; b) estrategias meta-cognitivas que se refieren a la
conciencia mental de las estrategias necesarias para resolver un problema, para
planear, monitorear o controlar el proceso mental de sí mismo; c) sistema de
creencias: referido a las concepciones relacionadas con la matemática y con su
naturaleza. Schoenfeld (1985) amplía este modelo en tanto profundiza en los
procesos de metacognición, el análisis heurístico y las categorías.
b) Modelos de resolución de problemas que consideran las diferencias entre
expertos y novatos: desde la psicología cognitiva surge el modelo que contempla el
aprendizaje como procesamiento de la información; se fundamenta en que existen
buenos y malos resolutores o expertos y novatos y también, en el hecho de que el
13
contraste entre ambos tipos de resolutores se debe a la diferencia de estructuración
del conocimiento; el objetivo de las investigaciones que se ocupan de este modelo es
que los novatos conozcan y accedan a las formas eficientes que usan los expertos al
resolver problemas. A partir de las diferencias entre unos y otros, se hacen
recomendaciones y pasos concretos con el fin de que los novatos accedan en algún
momento a tal condición (Pozo, 1994).
c) Modelos algorítmicos de resolución de problemas: son aquellos modelos que se
fundamentan en que existen problemas modelo o tipo cuya solución se trata
previamente, lo que corresponde con la teoría del procesamiento de la información
en la cual se enmarca este método. El modelo avala el hecho de que cuando un
estudiante resuelve un problema e incorpora en su desempeño una estrategia eficiente
que puede derivar en un algoritmo que le permita solucionar otros problemas
similares, también está en capacidad de reflexionar sobre cuándo no puede aplicar
dicho algoritmo, lo que implicará la posibilidad de buscar otros recursos; el proceso
anterior sería el camino de validación de su propio aprendizaje (Pérez, 2001).
e) Modelo de resolución de problemas como investigación: plantea la necesidad
de trabajar no solamente problemas cerrados sino también abiertos para darle a la
matemática un carácter experimental, el modelo consta de las siguientes fases:
explorar el interés de la situación problemática abordada, partiendo de discusiones
previas sobre la misma con el fin de favorecer la motivación hacia la tarea; realizar
un estudio cualitativo de la situación, definiendo lo más preciso el problema y
explicando las condiciones que se consideren fundamentales; emitir hipótesis
fundamentadas en factores que incidan en el resultado, buscar y analizar casos
extremos que den verosimilitud a las soluciones buscadas; planificar estrategias de
solución que guíen el proceso resolutorio; resolución verbalizada al máximo,
fundamentada y sin operativismos carentes de significado; contrastar el resultado
obtenido analizando su consistencia interna en relación con las hipótesis; ampliar la
investigación realizada a un nivel de mayor complejidad o considerar sus
implicaciones teóricas (Pérez, 1988).
Como conclusión, los modelos de resolución de problemas presentados tienen
muchos puntos de encuentro que evidencian fortalezas y debilidades. El modelo de
14
Pólya (1984) aunque es el más simple, presenta la estructura básica del proceso de
resolución de problemas, lo que resulta clave a la labor de enseñanza aprendizaje;
por su parte, el modelo de Schoenfeld (1985) amplía el anterior, pero no evidencia el
carácter social de las matemáticas; en cuanto al modelo de expertos y novatos, se
observa que presenta vacíos pues no determina las diferencias entre expertos y
novatos al resolver problemas. Los modelos algorítmicos no abarcan aquellos
problemas que no se pueden resolver sin algoritmos; el modelo por investigación
busca justificar la aplicación de procedimientos eficientes para los científicos tales
como análisis de las condiciones iniciales para llegar al problema preciso, propiciar
uso de hipótesis y elaboración de estrategias de resolución, acciones propias de la
investigación científica lo cual, es lejano a la realidad escolar.
La mayor dificultad que se observa en los modelos estudiados es que no
describen el tratamiento didáctico que le permita al estudiante entenderse como
sujeto de aprendizaje capaz de ser protagonista de su propio proceso; además, en la
enseñanza del proceso de resolución de problemas se debe hacer énfasis en los tres
siguientes aspectos: a) el tipo y las características de los problemas; b) los métodos
de enseñanza utilizados por el profesor y c) los conocimientos, las creencias y las
actitudes del profesor sobre las matemáticas y su enseñanza-aprendizaje (Puig, 1993;
Blanco, 1998, citados por Pifarré y Sanuy, 2001).
1.6. Elementos fundamentales en la resolución de problemas. Según Schoenfeld
(1985), entre los elementos fundamentales en la resolución de problemas se
encuentran las estrategias heurísticas, la cognición, y la metacognición.
1.6.1. La heurística y la resolución de problemas. En las metodologías de
enseñanza aprendizaje de las matemáticas se presentan comúnmente dos enfoques: el
heurístico que por naturaleza se presenta como un método inductivo y el método
deductivo. Para empezar, la heurística se define como la parte del método que lleva
al descubrimiento más que a la demostración del descubrimiento (Beuchot, 1999).
Son numerosas las investigaciones iniciadas por Pólya (1945) que dan una serie de
estrategias heurísticas que se adaptan a las cuatro fases propuestas por este autor para
la resolución de problemas, entre estas estrategias se encuentran: ensayo-error;
búsqueda de patrón; realización de representación, esquema, diagrama; realización
15
de tabla; búsqueda de problema análogo; particularización; generalización; comienzo
del problema desde el final (meta); distinción de diversas partes de la condición;
descomposición y composición del problema; utilización de notación adecuada;
análisis de propiedades vinculadas al problema, etc.
Estas estrategias son las adoptadas por los buenos resolutores de problemas y
son las que guían su acción y les ayudan a superar las dificultades que van
encontrando durante el proceso de resolución. Es importante tener en cuenta que
tanto las estrategias heurísticas como la fundamentación conceptual son esenciales al
proceso de resolución; por lo anterior, Schoenfeld (1985) puntualiza que el dominio
de lo heurístico no remplaza el dominio de lo conceptual.
1.6.2. La cognición en la resolución de problemas. Los procesos
cognoscitivos se definen como aquellas acciones mentales mediante las cuales las
personas adquieren, almacenan, recuperan y usan el conocimiento (Navarro, 2008).
Estos procesos son necesarios en la RPMC y en este sentido Mayer (1983) y
Sternberg (1982) definen los componentes cognitivos que intervienen en el proceso
de resolución que son: componente lingüístico-semántico: relacionado con la lengua,
en la que se redacta el problema para el entendimiento de las palabras que lo
conforman y para la comprensión de los hechos que se comunican; componentes
esquemáticos: referidos a relacionar la situación problemática encontrada con unos
esquemas mentales, los cuales permiten configurar un plan de trabajo para lograr la
solución del problema; componentes estratégicos: organizadores del proceso que
estructuran el orden de las secuencias de operaciones para lograr la solución y
componentes operativos: encargados de la ejecución del plan de trabajo, a través de
la puesta en marcha de los diversos conocimientos adquiridos.
Por otra parte, en lo que se refiere al proceso de enseñanza-aprendizaje, se
deben incorporar estrategias metacognitivas de planificación, de regulación y de
control del proceso de resolución, las cuales se describen a continuación.
1.6.3. La metacognición en la resolución de problemas. González (1996) y
Vargas (2002) citan los trabajos de Campione, Brown, y Connell (1989) en los que
encuentran que la metacognición tiene que ver con tres procesos a saber:
16
- El conocimiento estable y consciente que las personas tienen acerca de la
cognición: lo anterior implica el autoconocimiento del ser como aprendiz, como
solucionador de problemas, del conocimiento de los recursos que se tienen para
resolverlos, además de la estructura que se posee acerca del conocimiento que se
está trabajando.
- Autorregulación: entendida como el monitoreo y el ordenamiento de sus propias
habilidades cognitivas por parte de los sujetos.
- La habilidad para reflexionar acerca de su propio conocimiento y de sus procesos
de manejo de dicho conocimiento.
Ahora bien, el desempeño en la resolución de problemas implica habilidades
en el manejo de estrategias heurísticas así como habilidades para monitorear y
regular activamente los procesos cognitivos. En este sentido, Rodríguez (2006) cita a
Sternberg (1998), el cual afirma que prima la metacognición sobre las estrategias,
en tanto garantiza la efectividad de la implementación de éstas.
Como conclusión y de acuerdo a la literatura consultada, se puede evidenciar
que el éxito en el proceso de resolución de problemas depende del dominio de las
habilidades cognitivas del área específica, es decir, el conocimiento matemático,
adecuado manejo de estrategias heurísticas que permita superar los obstáculos que se
presentan en el proceso de RPMC y habilidades de monitoreo y regulación de los
procesos cognitivos para el logro de la extrapolación de los conocimientos
específicos del área a otras áreas o situaciones problema, el sistema de creencias,
que está relacionado con la forma que el estudiante ve la matemática y sobre su
desempeño en ella.
17
Capítulo 2. Planteamiento del problema
En el presente capítulo se realizará una presentación del hilo argumentativo
que fundamenta el problema y los objetivos de investigación, para posteriormente
determinar la justificación y delimitación de la misma.
2.1. Problema de investigación
Actualmente, la visión del saber cómo realidad transversal permite concebir
áreas del conocimiento como las matemáticas como herramientas idóneas para el
desarrollo personal, cívico y profesional de los ciudadanos. Desde esta perspectiva,
organizaciones internacionales como la OCDE (OCDE, 2012), han contemplado en
pruebas PISA que la competencia matemática, y más específicamente la
comprensión de las matemáticas es fundamental a la preparación de los educandos
para vivir en el mundo actual.
Tanto el razonamiento matemático como los procesos y capacidades en él
implícitos, evidencian habilidades relevantes en la cotidianidad personal, profesional
y científica de los individuos para comprender situaciones y resolver problemas
significativos; por ello, PISA se ha enfocado en medir las capacidades de los jóvenes
de 15 años en procesos de resolución de problemas matemáticos contextualizados.
Ahora bien, la prueba PISA 2006, 2009 y 2012 presentada por los estudiantes
colombianos, evidenció en el componente de matemáticas bajo desempeño en
procesos como extraer información, realizar interpretaciones literales de los
enunciados, reconocer situaciones que requieren inferencias directas, responder
preguntas relacionadas con contextos conocidos, identificar aspectos matemáticos en
contextos determinados y responder preguntas claramente definidas (NinEduacion,
2008).
En las pruebas internas “SABER 11” aplicadas por el Instituto Colombiano
para el Fomento de la Educación Superior (ICFES), que evalúan cada uno de sus
componentes sobre cien puntos, en el componente de matemáticas los estudiantes
del Colegio Distrital San Francisco de Asís I.E.D han obtenido resultados de 48.73
en 2011; 42,1 en 2012; 45,67 en 2013 y 50,5 en 2014. La media distrital fue de 49
18
en 2011; 52,5 en 2012; 47,5 en 2013 y 52,5 en 2014. Los resultados anteriores
muestran que los promedios del alumnado de la Institución Educativa (I.E) han
estado en todos los años por debajo de la media distrital (ICFES, 2011, 2012, 2013 y
2014).
Ante este panorama, surge la inquietud de explorar cuáles son las estrategias a
las que recurren los educandos al momento de realizar procesos de RPMC y
distinguir si éstas son permeadas por sus condiciones sociodemográficas para así,
determinar posibles razones del fracaso escolar en el desempeño en la competencia
matemática y abrir camino a la discusión de cuáles son las estrategias de enseñanza
aprendizaje que deberían emplearse para fomentar el desarrollo de habilidades y
capacidades implicadas en los procesos de resolución de problemas matemáticos
contextualizados, núcleo mismo que evalúan tanto las pruebas externas como las
internas.
También se hace necesario revisar los elementos implicados en los procesos
de resolución de problemas contextualizados para posteriormente realizar un trabajo
de campo descriptivo de la realidad cognitiva, práctica y sociodemográfica del
alumnado para identificar factores determinantes y elaborar un diagnóstico preciso
de las razones del bajo desempeño en la competencia de matemáticas en el alumnado
de la Institución Educativa IE.
Por lo anteriormente expuesto, se plantea el siguiente problema de investigación:
¿Cuáles son las estrategias que usan los estudiantes de grado décimo de un colegio
distrital de Bogotá en procesos de resolución de problemas contextualizados?
Los objetivos de la investigación son:
2.2. Objetivo General
Describir las estrategias en RPMC que utilizan los estudiantes de grado
décimo de un colegio distrital.
2.3. Objetivos específicos
1. Describir cuáles son las estrategias que usan los estudiantes para la RPMC
19
2. Describir las condiciones sociodemográficos de los alumnos con altos y bajos
desempeños para abrir un camino hacia la identificación de posibles causas en su
desempeño en matemáticas.
3. Identificar elementos relevantes para el diseño de una propuesta sobre estrategias
de resolución de problemas que podrían favorecer el desempeño de los
estudiantes en matemáticas.
2.4. Justificación
La educación debe abordar los aspectos que los individuos en determinado
momento necesiten para realizarse a sí mismos y contribuir al progreso de su
comunidad, lo que implica un reto en el siglo XXI, en el que la transmisión
pertinente y eficaz de conocimientos teóricos, prácticos y sociales adaptables a la
sociedad de la información y del conocimiento, descubren los pilares de las
competencias del mundo de hoy.
De acuerdo con Delors (1998) aquellos pilares son: el saber conocer como
dominio del intelecto y desarrollo de las habilidades cognitivas, el saber hacer como
dominio de la técnica y por ende de las labores prácticas, el saber convivir con los
otros en el que el individuo se entiende como parte de un todo y comprende las
bondades de trabajar en equipo, y el saber ser como autorrealización personal.
Pero no basta con lograr que cada individuo acceda a un cúmulo de saberes,
también debe estar en capacidad de actualizar, profundizar y enriquecer su saber y en
la misma medida, adaptarse al cambio y transformación del mundo (Delors, 1998).
Lo anterior justifica enfocar los esfuerzos de la educación hacia el desarrollo de
capacidades que faciliten tanto el razonamiento matemático como las habilidades
para desarrollar procesos de resolución de problemas, por cuanto son indispensables
en la cotidianidad personal, profesional y científica de los individuos tanto para su
desarrollo personal y el de su comunidad.
En consecuencia, desarrollar una indagación que se proponga revisar los
fundamentos teóricos de pruebas externas como PISA o ICFES SABER 11, así como
las estrategias a las que recurren los estudiantes para resolverlas y cuáles son los
factores sociodemográficos que les caracterizan, se considera de gran valor al
20
momento de generar un aporte significativo en el camino de mejorar el desempeño
en la competencia matemática, los procesos de enseñanza aprendizaje y por ende, el
nivel de calidad de vida de los educandos.
2.5. Delimitación
Este estudio se realizó en el año 2015 en estudiantes de grado décimo del
Colegio Distrital San Francisco de Asís I.E.D, ubicado en la localidad de Mártires en
Bogotá Colombia que participan en el programa distrital de Media Fortalecida, con
énfasis en formación en ingeniería; la muestra se tomó de los estudiantes
matriculados en el grupo Ingeniería 1, conformado por 27 estudiantes, 20 mujeres y 7
hombres. Este grupo cuenta con una mayoría de alumnos con edades de 15 años,
rango de edad de donde PISA saca la muestra en la que aplica la prueba;
adicionalmente, ha sido el grupo que durante el año lectivo ha presentado el más bajo
desempeño en matemáticas, lo que justifica plenamente la intervención.
21
Capítulo 3. Metodología
En el presente capitulo se hace referencia a la metodología que se aplicó para
describir cuáles son las estrategias que usa un grupo de estudiantes de grado 10 del
Colegio San Francisco de Asís en RPMC. Para ello, se determinará y justificará la
metodología y se identificarán los participantes, instrumentos de recolección de
datos, procedimientos y estrategias para analizar la información de la recolección de
datos.
El propósito general del estudio es describir las estrategias en RPMC tipo
PISA a las que recurre un grupo de estudiantes de grado décimo de un colegio
distrital y la relación de las condiciones sociodemográficas en los desempeños de los
mismos. Específicamente, se busca reconocer las estrategias que usan los estudiantes
con mejor desempeño y con bajo desempeño en la resolución de problemas estilo
prueba PISA, determinar la incidencia de los factores sociodemográficos en el
desempeño del alumnado de la I.E en la RPMC e identificar elementos relevantes
para el diseño de una propuesta sobre estrategias de resolución de problemas que
podrían favorecer el desempeño de los estudiantes en matemáticas.
3.1. Justificación de la selección del método
Se recurre a la metodología cualitativa de tipo descriptivo y se usará el
estudio de caso. Esto por cuanto se busca producir datos descriptivos (Taylor y
Bodgam, 1990), ver el escenario y las personas de modo holístico, comprenderlas en
su marco de referencia, considerar la validez de todas las perspectivas, resaltar la
relevancia de la investigación, los escenarios y personas, y suspender las creencias,
perspectivas y disposiciones de quien investiga (Álvarez y Jurgenson, 2003). Se
busca aplicar procesos de indagación contextualizados que entienden lo real como
constructo social no reductible a un objeto observable (Merriam, 2009). Lo anterior,
se ajusta a las necesidades de este estudio en tanto se pretende comprender las
razones del bajo desempeño del alumnado en la competencia matemática desde la
22
descripción de las estrategias que usan en procesos de resolución de problemas y
reconocer la incidencia de los factores sociodemográficos en su desempeño.
Se implementará el estudio de caso cualitativo, pues se tomará el caso como
algo específico, completo, en funcionamiento y contrario a fenómenos generales y no
específicos (Stake, 1998) lo cual, resulta pertinente al describir las estrategias de los
alumnos en RPMC.
Para el análisis se recurrió a la triangulación entre la información obtenida
por medio de la aplicación de instrumentos y el marco teórico.
3.2. Participantes
La población objeto de estudio fueron los estudiantes de grado décimo de un
colegio distrital de Bogotá, Colombia. Se tomó un grupo de 27 estudiantes inscritos
voluntariamente en la cátedra de Matemáticas con énfasis en Ingeniería que ofrece la
Institución Educativa; inscripción según proyección vocacional, habilidades e
intereses. Las edades oscilan entre los 15 y 17 años. Se elige el grupo pues
prevalecen estudiantes con quince años de edad, condición de las pruebas PISA.
Se eligieron seis estudiantes de acuerdo a su desempeño en la solución de un
cuestionario de resolución de problemas tipo PISA, se les solicitó a los acudientes
firmar el consentimiento informado para participar en la muestra de la investigación;
se escogieron los estudiantes con los desempeños más altos y los estudiantes con los
desempeños más bajos de cada uno de los 3 procesos evaluados por PISA: formular,
emplear e interpretar, para evidenciar el contraste en el fenómeno estudiado
(Valenzuela y Flores, 2012). En caso de que dos o más estudiantes obtuvieran la
misma valoración, se escogería el promedio más alto o bajo según sea el caso.
23
3.3. Descripción de los instrumentos
Los instrumentos utilizados en esta investigación fueron: un cuestionario tipo
PISA de 15 preguntas PISA (5 de cada uno de los procesos evaluados en resolución
de problemas), una encuesta sociodemográfica, y una entrevista semiestructurada.
3.3.1 Cuestionario tipo PISA. Se eligió el cuestionario de PISA por ser
material idóneo con preguntas validadas internacionalmente y codificadas para
realizar análisis de investigación científica o para usarlas con fines educativos
(INEE, 2013) (Ver apéndices A y B), lo que permitió describir las estrategias en
resolución de problemas de la muestra. Las preguntas seleccionadas son abiertas, con
el fin de detallar los procedimientos de los alumnos. La aplicación del cuestionario
buscó obtener información acerca de las estrategias y procedimientos que realizan los
estudiantes al momento de solucionar preguntas tipo PISA.
Se eligieron 15 preguntas pues su desarrollo se ajustaba al tiempo disponible
en aula así como para el análisis de los resultados. La prueba fue realizada a lápiz y
papel pues se buscaba observar y describir el desempeño de los estudiantes sin la
influencia de recursos como Internet o expertos.
Para el análisis de los procedimientos y respuestas de los estudiantes se
tuvieron en cuenta los tres procesos de resolución de problemas y las siete
habilidades implicadas en los mismos determinados por PISA.
Para este análisis se utilizó una tabla de registro en la que se ubicó cada
estudiante junto con la descripción de los procesos realizados por los estudiantes en
los tres procesos de RPMC de acuerdo a lo evaluado por PISA (2012).
También se creó otra tabla en la que se registró el rendimiento académico de
cada estudiante y sus características sociodemográficas.
3.3.2 Encuesta sociodemográfica. En cuanto al diseño de la encuesta
sociodemográfica, esta se conformó por tres categorías que son: A. Datos personales:
edad, género, vivienda y preguntas abiertas como: ¿piensa seguir estudiando?, ¿qué
tipo de estudios piensa continuar? (técnico, tecnólogo, profesional), ¿cuál carrera
técnica, tecnológica o profesional piensa estudiar? B. Datos familiares: ocupación de
24
la madre, nivel de escolaridad, ocupación del padre, nivel de escolaridad. C. Datos
académicos: ¿En cuál de las siguientes áreas ha tenido mejores resultados
académicos?: ciencias naturales, ciencias sociales, educación artística, educación
ética, educación física, educación religiosa, humanidades, matemáticas, tecnología e
informática, otras; de las anteriores áreas ¿cuál es su favorita?, ¿a cuál de las
anteriores áreas le dedica más tiempo de trabajo y estudio?, ¿a cuál de las anteriores
áreas le dedica menos tiempo de trabajo y estudio?, ¿en su casa cuenta con
computador?, ¿cuál es el uso que más le da al computador?, ¿cuál es la fuente
principal de consulta para sus trabajos?, ¿de quién recibe ayuda para la realización de
sus trabajos y tareas?, ¿a qué actividad dedica más tiempo en el tiempo de su
descanso?
El objetivo de la encuesta fue realizar una caracterización sociodemográfica
del grupo de estudiantes observados en esta investigación.
3.3.3 Entrevista semiestructurada. En cuanto al diseño de la entrevista,
elemento ideal para obtener descripciones del entrevistado respecto a la
interpretación de los significados de los fenómenos descritos (Steiner Kvale, s.f. en
Álvarez y Jurgenson, 2003), se formularon las preguntas detonadoras en base a los
procedimientos realizados por el estudiante en RPMC, haciendo énfasis en el proceso
en que se evidenció mejor y menor desempeño.
El objetivo de la entrevista fue registrar las explicaciones que hicieron los
estudiantes sobre sus propios procedimientos y estrategias en la resolución de
problemas tipo PISA.
Para la validación del instrumento de caracterización sociodemográfica y de
la entrevista, se recurrió al Ms José Guadalupe Casas Puente (asesor de esta
investigación) y el Ms Rubén Hernández (docente de la Maestría de Didáctica de las
Ciencias en la Universidad Autónoma de Colombia).
25
3.4. Procedimiento
Las fases de la aplicación de los instrumentos fueron: Encuesta: a) diseño
encuesta sociodemográfica; b) validación; c) reestructuración; d) aplicación; e)
análisis de resultados y f) consolidado descriptivo final; Cuestionario: a) selección de
los problemas; b) diseño instrumento; c) aplicación; d) análisis de resultados y f)
consolidado descriptivo final; Entrevista: a) diseño protocolo; b) criterios de
selección de la población; c) análisis e interpretación de resultados y f) consolidado
descriptivo final; Triangulación y Conclusiones.
3.5. Estrategia de análisis de datos
Para el análisis de datos primero se realizó un consolidado descriptivo de los
resultados de la encuesta. Seguidamente se realizó un proceso similar con la
información de los cuestionarios, para lo cual, se identificaron procedimientos
similares para codificar las estrategias de los estudiantes en la resolución de
problemas y los niveles en que estas fueron congruentes con los procesos evaluados
por PISA; posteriormente, se analizaron e interpretaron los resultados de las
entrevistas. Se determinaron las Categorías de análisis en relación a los Objetivos de
la investigación, y finalmente, se realizó la triangulación de datos entre el
consolidado descriptivo de los resultados de la aplicación de los instrumentos y los
hallazgos del marco teórico.
26
Capítulo 4. Resultados
En el presente capitulo se presentarán los resultados del trabajo de campo
realizado en este estudio cuya pregunta general de investigación fue: ¿Cuáles son las
estrategias que usan los estudiantes de grado décimo de un colegio distrital de
Bogotá en procesos de resolución de problemas contextualizados?
Se aplicaron tres instrumentos: un cuestionario de preguntas de RPMC tipo
PISA, una encuesta sociodemográfica y una entrevista.
A continuación se presentarán los resultados de la aplicación de los
instrumentos para posteriormente realizar una triangulación entre el consolidado de
los mismos y los hallazgos más relevantes del marco teórico.
4.1. Presentación de resultados por Categoría de análisis
A continuación se presentan los resultados de la aplicación de instrumentos,
organizados por las Categorías de análisis. Se presentan dos tablas: la primera
contiene los resultados de cada alumno en lo que respecta a la solución del
cuestionario tipo PISA y el resultado del análisis realizado a las respuestas de las
entrevistas, todo a la luz de los procesos implicados en la RPMC según PISA (2012);
en la segunda tabla se presentará en una columna el desempeño académico de cada
estudiante en la RPMC y sus características sociodemográficas. La nomenclatura
(E1) hace referencia al estudiante uno y así sucesivamente hasta llegar al sexto
estudiante (E6) de las unidades del caso.
4.1.1 Resultados de la primera categoría de análisis: Estrategias de
resolución de problemas que utilizan los alumnos. La información
correspondiente a esta primera categoría de análisis fue obtenida del grupo
seleccionado, mediante el cuestionario tipo PISA aplicado y la correspondiente
entrevista.
Al analizar a través de los procesos matemáticos a los estudiantes con mejor
desempeño en la RPMC de la prueba PISA se logró identificar plenamente el uso de
27
ciertas estrategias de tipo heurístico: ensayo – error, hacer una representación,
esquema, diagrama y búsqueda de un problema análogo. Las estrategias cognitivas
encontradas fueron estrategias de organización tales como: lectura comprensiva de
los enunciados, relaciones y reflexiones en torno a enunciados y soluciones,
identificación de un problema, organización de datos, y el establecimiento de
relaciones; estrategias de formulación: realización de gráficos; estrategias de
ejecución: uso de cálculos mentales simples y exactos a través de operaciones
elementales.
Todas las anteriores estrategias se encuentran en el desarrollo de algunos
problemas, sin embargo vale la pena afirmar que lo hacen de una manera incorrecta y
sin exhibir en algún grado dominio y conocimiento pleno de éstas.
En cuanto a las estrategias de tipo metacognitivo en los estudiantes con mejor
desempeño, se evidencia que realizan en un nivel muy superficial la extrapolación de
los conocimientos hacia el proceso de resolución, no se evidenció un monitoreo
regular y activo del proceso. En tanto que los estudiantes de más bajo desempeño no
exhiben ninguna estrategia de metacognición.
En los estudiantes con más bajo desempeño se encontró principalmente
deficiencia en los procesos de comprensión lectora, en tanto presentaron una gran
dificultad en la realización de la lectura de los problemas, esto puede evidenciarse en
el proceso de comunicación tabulado en la tabla 2, de tal manera que no lograron
superar la comprensión literal ni inferencial y debido a esto no podían establecer
donde estaba el problema; de ahí en adelante no se podía encontrar lógica en las
estrategias que ellos utilizaban, incluso se encontraron respuestas como “fue lo
primero que se me vino a la cabeza” lo cual evidencia el no uso de habilidades
cognitivas propias de la resolución de problemas y la falta de gusto y motivación
hacia la competencia. Lo mencionado se presenta en detalle a continuación en la
tabla 2.
Tabla 2
28
Presentación de los resultados de la Primera categoría de análisis: Estrategias de
resolución de problemas que utilizan los alumnos.
Estu-
diante
Capacidades
matemáticas
Procesos matemáticos (Indicadores)
Indicador 1. El
alumno tiene la
capacidad de
Formular: reconocer
e identificar
oportunidades para
utilizar las
matemáticas y
proporcionar la
estructura
matemática a un
problema
presentado en forma
contextualizada
Indicador 2. El alumno
muestra la capacidad de
Emplear: aplicar
conceptos, datos,
procedimientos y
razonamientos
matemáticos para
resolver problemas, con
el objetivo de llegar a
conclusiones
matemáticas.
Indicador 3. El
alumno muestra la
capacidad de
Interpretar:
reflexionar acerca
de las soluciones o
conclusiones
matemáticas y su
interpretación
contextualizada a
problemas de la
vida real.
E1 Comunicación Lee, codifica,
decodifica e
interpreta
enunciados de
problemas que
requieren baja
comprensión
Articula soluciones y
muestra el trabajo
asociado a la obtención
de está, aunque en nivel
básico; presenta
resultados intermedios de
sus procesos en
problemas sencillos
Elabora de manera
superficial y poco
rigurosa,
explicaciones en el
contexto del
problema
29
Matematización Identifica variables
en problemas con
relaciones simples
Representación Hace
representaciones
matemáticas
simples del mundo
real
Interpreta, relaciona, y
utiliza un solo tipo de
representación en la
solución de un problema
30
Razonamiento y
argumentación
Justifica de manera
poco rigurosa la
representación de la
información
Reflexiona acerca
de las soluciones
matemáticas
encontradas aunque
no argumenta
sólidamente con el
uso de conceptos
Diseño de
estrategias para
resolver
problemas
Selecciona
estrategias para
formular
matemáticamente
problemas simples;
utiliza estrategias de
resolución como
ensayo-error
Presenta mecanismos de
control aunque poco
eficaces en procesos de
varios pasos conducentes
a la solución de
problemas
Utilización de
operaciones y un
lenguaje
simbólico,
formal y técnico
Utiliza variables y
símbolos, para
representar un
problema del
mundo real
empleando un
lenguaje simbólico
elemental
Emplea los algoritmos
aritméticos de las
operaciones básicas en la
solución de problemas
Utilización de
herramientas
matemáticas
Describe relaciones
matemáticas
sencillas dentro de
un problema
Hace uso de
herramientas
matemáticas muy
básicas en la
determinación de
una solución aunque
no proyecta los
límites y
restricciones de la
misma.
31
E2 Comunicación Lee, decodifica e
interpreta
enunciados muy
sencillos
Elabora de manera
superficial y poco
rigurosa,
explicaciones en el
contexto del
problema
Matematización Utiliza la comprensión
del contexto del problema
trabajando a un nivel de
precisión apropiado al
contexto del problema
32
Representación Hace
representaciones
matemáticas
simples del mundo
real
Interpreta, relaciona, y
utiliza un solo tipo de
representación en la
solución de un problema
Interpreta los
resultados
matemáticos en
distintos formatos
con relación al tipo
de problema
Razonamiento y
argumentación
Justifica de manera
poco rigurosa la
representación de la
información
Relaciona datos
presentados en gráficos
para encontrar la solución
a un problema
Reflexiona acerca
de las soluciones
matemáticas
encontradas aunque
no lo argumenta
sólidamente con el
uso de conceptos
Diseño de
estrategias para
resolver
problemas
Selecciona
estrategias para
formular
matemáticamente
problemas simples;
sin embargo de
manera errónea
Utilización de
operaciones y un
lenguaje
simbólico,
formal y técnico
Hace uso de las
variables
presentadas en
problemas, sin
embargo no recurre
al planteo de estas
en problemas
Comprende la
relación entre el
contexto del
problema y la
representación de la
solución matemática
en situaciones
sencillas
33
Utilización de
herramientas
matemáticas
Hace uso de
razonamientos poco
elaboradas para
determinar la
solución de un
problema, sin
embargo no
proyecta los límites
y restricciones de la
misma.
E3 Comunicación Lee, decodifica
enunciados de
problemas aunque
comete muchos
errores en su
interpretación
Articula soluciones y
muestra el trabajo
asociado a la obtención
de está, aunque comete
muchos errores en el
proceso
Elabora
explicaciones en el
contexto del
problema aunque de
manera superficial,
poco rigurosa, y
errónea
Matematización Identifica variables
en problemas
aunque no las define
de manera formal
Utiliza la comprensión
del contexto del problema
en la búsqueda de
soluciones a través de
tanteos
Hace interpretación
de resultados
matemáticos aunque
comete muchos
errores en el
proceso
Representación Hace
representaciones
matemáticas del
mundo real, sin el
uso del formalismo
matemático y con
muchos errores
Interpreta, relaciona, y
utiliza un solo tipo de
representación en la
solución de un problema
Hace interpretación
de resultados
matemáticos,
aunque comete
muchos errores al
hacerlo
34
Razonamiento y
argumentación
Justifica la
representación de la
información
extraída de un
problema
Justifica los procesos
utilizados en la solución
de problemas aunque
comete errores en estos;
relaciona en ocasiones
incorrectamente datos
para llegar a una solución
de un problema
Reflexiona acerca
de las soluciones
matemáticas,
presenta
explicaciones y
argumentos aunque
en el proceso
comete errores
Diseño de
estrategias para
resolver
problemas
Selecciona
estrategias para
formular
matemáticamente
problemas simples;
utiliza razonamiento
inductivo
Muestra el uso de
estrategias
inductivas para
valorar y validar
una solución a un
problema
contextualizado
Utilización de
operaciones y un
lenguaje
simbólico,
formal y técnico
Emplea los algoritmos
aritméticos de las
operaciones básicas en la
solución de problemas
Relaciona la
solución matemática
con el contexto del
problema aunque a
veces en forma
errónea
Utilización de
herramientas
matemáticas
Describe relaciones
matemáticas dentro
de un problema
aunque en ocasiones
en forma errónea
Exhibe el uso de solo un
tipo de razonamiento en
la solución de problemas
Hace uso de solo
raciocinios
inductivos para
valorar la solución
de un problema.
35
E4 Comunicación Lee, decodifica
enunciados de
problemas aunque
comete muchos
errores en su
interpretación
Articula soluciones y
muestra el trabajo
asociado a la obtención
de está, aunque en forma
muy simple y comete
muchos errores en el
proceso
Elabora
explicaciones en el
contexto del
problema aunque de
manera superficial,
poco rigurosa, y
bastante errónea
Matematización Utiliza la comprensión
del contexto del problema
en la búsqueda de su
soluciones, aunque muy
erróneamente
Representación Hace muy pocas
representaciones
matemáticas del
mundo real, sin el
uso del formalismo
matemático y con
muchos errores
Interpreta, y utiliza un
solo tipo de
representación en la
solución de un problema
Hace algunas
interpretaciones de
resultados
matemáticos,
aunque muy
erróneamente
Razonamiento y
argumentación
Justifica la
representación de la
información en
algunas ocasiones y
en nivel básico
Justifica en algunas
ocasiones los procesos
utilizados en la solución
de problemas
Reflexiona en pocas
ocasiones acerca de
las soluciones
matemáticas de los
problemas
36
Diseño de
estrategias para
resolver
problemas
Utilización de
operaciones y un
lenguaje
simbólico,
formal y técnico
Emplea algunos
algoritmos aritméticos de
las operaciones básicas
en forma errónea
Utilización de
herramientas
matemáticas
Exhibe el uso de solo un
tipo de razonamiento en
la solución de problemas
En algunas
ocasiones hace uso
de raciocinios
inductivos para
valorar la solución
de un problema
E5 Comunicación Lee, decodifica
enunciados de
problemas aunque
en forma errónea
todo el tiempo
Exhibe trabajo asociado a
la obtención de una
solución, aunque en
forma muy simple y con
muchos errores en el
proceso
37
Matematización
Representación Crea
representaciones
matemáticas
elementales de la
información del
real
Interpreta y utiliza un
solo tipo de
representación en la
interacción con el
problema, y en la
mayoría de las veces en
forma errónea
Razonamiento y
argumentación
En ocasiones
explica una
justificación de la
representación
elaborada de un
problema aunque
erróneamente
Diseño de
estrategias para
resolver
problemas
Utiliza estrategias
de tipo inductivo en
la solución de
problemas, aunque
casi siempre en
forma errónea
38
Utilización de
operaciones y un
lenguaje
símbolo formal
y técnico
Utiliza operaciones
aritméticas básicas
aunque la mayoría
de las veces en
forma errónea
Utilización de
herramientas
matemáticas
E6 Comunicación Lee, decodifica,
interpreta
enunciados e
imágenes aunque
casi siempre en
forma errónea
Matematización
39
Representación Crea
representaciones
matemáticas de la
información aunque
casi siempre en
forma errónea
Razonamiento y
argumentación
Explica
representaciones
elaboradas de un
problema aunque
casi siempre de
manera errónea
Diseño de
estrategias para
resolver
problemas
Utilización de
operaciones y un
lenguaje
símbolo formal
y técnico
40
Utilización de
herramientas
matemáticas
4.1.2 Resultados de la Segunda categoría de análisis: Situación
sociodemográfica de los alumnos. La información correspondiente a esta segunda
categoría de análisis fue obtenida mediante la Encuesta sociodemográfica aplicada a
los alumnos. En esta categoría de análisis existió un único indicador que son las
propias características sociodemográficas de los alumnos.
Los siguientes fueron algunos de los resultados encontrados en relación a la
situación sociodemográfica de los estudiantes con más alto y más bajo desempeño.
Se parte por reconocer que no se encontró el origen del buen o mal desempeño de los
alumnos, pero se resalta el hecho de que desde la observación de estas
particularidades se evidencia una forma de guía hacia la identificación de posibles
causas de su desempeño en matemáticas, entre éstas se destaca que: los estudiantes
que presentan mejor desempeño, alguno de sus padres tiene como mínimo estudio de
bachillerato; tienen un promedio de edades de 15 años; aunque la matemática no es
la materia que más gusta, sí es la materia a la que todos le dedican más tiempo; todos
cuentan con computador en casa y tienen acceso a internet y se apoyan en este medio
para la realización de sus actividades académicas; algunos reciben asesoría para la
realización de sus tareas, aunque también se encuentra que existe autonomía para la
realización de estas; todos cuentan con vivienda propia.
En los estudiantes de más bajo desempeño se encontró que: alguno de los
padres tienen niveles de escolaridad de solo primaria; su promedio de edades es
superior a los quince años, debido quizá a que algunos repitieron algún grado
escolar; solo algunos le dedican más tiempo a la materia de matemáticas; tiene la
41
mayor parte de ellos una inclinación hacia la educación artística; varios de ellos no
cuentan con computador en casa y por ende no hacen mucho uso de Internet, ninguno
de ellos manifestó autonomía en la realización de sus tareas; la mayoría de ellos
viven en arriendo y no manifiestan que reciban asesoría de sus padres para la
realización de sus tareas. Es de notar que tanto los estudiantes de mejor y de más
bajo desempeño habitan en el estrato socio-económico 3, sin embargo se encuentran
diferencias en cuanto a recursos económicos. Lo mencionado se presenta a
continuación en la tabla 3.
Tabla 3
Presentación de los resultados de la Segunda categoría de análisis: Situación
sociodemográfica de los alumnos como posible origen de su desempeño económico
Estudiante Desempeño académico Indicador único. Los alumnos tienen
características sociodemográficas que
pudieran haber afectado (positiva o
negativamente) en su desempeño escolar
en matemáticas
E1 Aspecto cognitivo: realiza
codificaciones, decodificaciones,
interpretaciones, comprensiones,
elaboraciones, identificaciones,
representaciones, relaciones,
justificaciones, reflexiones,
formulaciones, descripciones,
proyecciones, y articula soluciones,
todo en un nivel básico
Los factores sociodemográficos que
caracterizan a la estudiante son el nivel
medio de escolaridad de la madre en tanto
es bachiller, acceso a recursos
tecnológicos para el desarrollo de sus
labores escolares, y apropiación de su
proceso de aprendizaje debido al interés
que manifiesta hacia la matemática.
Aspecto metacognitivo: muestra
compatibilidad de sus conocimientos
previos y los usa en la RPMC; muestra
tener conciencia lógica de los procesos
en la actividad de RPMC
Aspecto heurístico: Utiliza el ensayo
error, la representación,
descomposición y composición del
problema; utilización de notación
adecuada
E2 Aspecto cognitivo: realiza
decodificaciones, interpretaciones,
explicaciones, comprensiones,
representaciones, relaciones,
justificaciones, elaboraciones, en un
nivel muy básico al momento de
RPMC
Los factores sociodemográficos que
caracterizan a la estudiante son la
formación académica de sus padre, nivel
técnico y de postgrado; el acceso a
recursos tecnológicos para la realización
de sus tareas escolares y baja posibilidad
de apropiarse de su proceso de aprendizaje
de RPMC por el poco interés que
manifiesta hacia ello Aspecto metacognitivo: no se
evidencia
42
Aspecto heurístico: realiza
representaciones elementales
E3 Aspecto cognitivo: realiza
decodificaciones, articulaciones
soluciones, elaboraciones,
identificaciones, interpretaciones,
justificaciones, reflexiones,
deducciones, sin embargo realiza los
procesos con grandes deficiencias
Los factores sociodemográficos que
caracterizan a la estudiante son el nivel de
escolaridad de los padres que es medio y
universitario, cuenta con recursos
tecnológicos para realizar sus tareas
escolares y presenta altas probabilidades
de apropiarse de su proceso de aprendizaje
de la RPMC por cuanto posee motivación
hacia la matemática
Aspecto metacognitivo: muestra
compatibilidad de sus conocimientos
previos y los usa
Aspecto heurístico: aplica estrategias
de descomposición y composición del
problema
E4 Aspecto cognitivo: realiza
decodificaciones, elaboraciones,
comprensiones, explicaciones,
interpretaciones articula soluciones,
razonamientos, deducciones,
mostrando bastante deficiencia en la
RPMC
Los factores sociodemográficos que
caracterizan a la estudiante son es el nivel
de escolaridad de sus padres, medio y
técnico; no cuenta con recursos
tecnológicos o de otro tipo para el
desarrollo de sus tareas escolares, y las
posibilidades de apropiarse de su proceso
de aprendizaje de la RPMC son escasos
debido a que no manifiesta motivación
hacia la matemática.
Aspecto metacognitivo: no se
evidencia
Aspecto heurístico: no se evidencia
E5 Aspecto cognitivo: realiza
decodificaciones, representaciones,
interpretaciones, justificaciones,
deducciones, todas las anteriores con
bastante deficiencia en la RPMC
Los factores sociodemográficos que
caracterizan a la estudiante son el nivel de
escolaridad de los padres que es básico y
medio; no cuenta con recursos
tecnológicos para realizar sus tareas
escolares y las posibilidades de apropiarse
de su proceso de aprendizaje de la RPMC
es alto debido a que manifiesta dedicarle
bastante tiempo a la matemática.
Aspecto metacognitivo: No se
evidencia
Aspecto heurístico: no se evidencia
E6 Aspecto cognitivo: realiza
decodificaciones, representaciones,
aunque con bastante deficiencia
Los factores sociodemográficos que
caracterizan a la estudiante son el nivel
elemental de escolaridad de sus padres en
tanto solo alcanzaron el grado de primaria,
no cuenta con recursos tecnológicos o de
otro tipo para realizar sus tareas escolares
y la capacidad de apropiarse de sus
proceso de aprendizaje en RPMC es baja
debido a que manifiesta no es de su
interés.
Aspecto metacognitivo: no se
evidencio
Aspecto heurístico: no se evidencio
4.2. Triangulación de resultados
43
Al revisar los procesos desarrollados por los estudiantes tanto en la prueba
escrita como en la entrevista, e interpretarlos a la luz de los conceptos del marco
teórico, se evidenciaron los siguientes hallazgos.
- Realizan procesos de codificación y decodificación de la información para
problemas con estructuras y relaciones explícitas más no con las implícitas,
proceso evaluado por PISA (2012) y que evidencia la importancia de desarrollar
habilidades de comprensión literal para acceder a procesos de pensamiento
superior tal y como lo señalan (Barbosa y Sanjuan, 2014).
- Identifican las variables explícitas en una situación contextualizada mas no lo
hacen con las variables implícitas o las variables que están relacionadas a través
de relaciones más complejas; la identificación es una estrategia cognitiva
indispensable en la resolución de problemas y que permite la selección del plan
de resolución (Schoenfeld, 1985).
- Realizan razonamientos y argumentaciones con escasa rigurosidad; proceso
evaluado por PISA (2012), y recurso necesario para solucionar problemas, el cual
implica poseer un conocimiento estable y consciente necesario para el aprendiz
como solucionador de problemas (González, 1996 y Vargas, 2002).
- Realizan reflexiones básicas y poco eficientes a partir de los métodos ensayo-
error en la resolución situaciones problemáticas; el ensayo error es una estrategia
heurística adoptada por los buenos resolutores y que ayudan a superar la
dificultad encontrada en el proceso de resolución (Schoenfeld, 1985).
- Analizan y aplican los conceptos y algoritmos de las operaciones aritméticas
básicas para dar solución a problemas contextualizados pero no usan algoritmos
algebraicos. El manejo de algoritmos es la estrategia propia de los modelos
algorítmicos de resolución de problemas (Pérez, 2001).
- Proyectan estrategias de relaciones entre los elementos o variables en situaciones
problemáticas sencillas pero en las complejas no lo realizan; la proyección es una
estrategia heurística que permite llevar a cabo un plan, comprobar y verificar la
solución de un problema (Pólya, 1984).
- Articulan de manera muy elemental y confusa procesos y procedimientos
intermedios al momento de solucionar problemas; la articulación de procesos y
procedimientos es una habilidad necesaria para organizar las estrategias y por
44
ende estructurar la secuencia de pasos necesaria en el proceso de resolución
(Picazo, 2005).
- Realizan representaciones matemáticas de situaciones problemáticas a través de
modelos matemáticos, gráficos, algoritmos en forma elemental y distorsionada; el
uso de modelos y gráficos es una estrategia heurística que ayudan a superar la
dificultad encontrada en el proceso de resolución (Schoenfeld, 1985).
- Hacen elaboraciones, argumentan y explican las soluciones en el contexto de una
situación problemática del mundo real, pero no lo realizan con rigor matemático;
la carencia del conocimiento propio de la disciplina implica el no poseer un
conocimiento estable y consiente, conocimiento necesario para el uso de
estrategias metacognitivas, necesarios en el proceso de resolución de problemas
(González, 1996 y Vargas, 2002).
- Proyectan el alcance de una solución matemática a una situación problemática
mas no justifica los límites de la solución; la proyección es un proceso cognitivo
relacionado con el uso del conocimiento (Navarro, 2008).
- Hacen representaciones únicas en la solución de un problema; al no realizarlo de
manera variada se les imposibilita comparar o valorar diferentes representaciones
de la soluciones de problemas; la realización de representaciones constituye una
estrategia heurística que ayuda a superar la dificultad encontrada en el proceso de
resolución (Schoenfeld, 1985).
- Reflexionan superficialmente sobre las soluciones matemáticas encontradas y no
exhiben elaboración a la luz de conceptos matemáticos; la habilidad de reflexión
acerca de su propio conocimiento y de sus procesos de manejo, es propia de las
habilidades metacognitivas necesarias en la resolución de problemas (Schoenfeld,
1985).
- Diseñan y usan estrategias en un nivel elemental o erróneo para validar
soluciones matemáticas de problemas contextualizados; las habilidades para
organizar estrategias se desarrollan cuando el estudiante presenta un claro
reconocimiento de la naturaleza del problema (Picazo, 2005) .
- Comprenden básica o equívocamente la relación entre las soluciones y el
contexto del problema, así como también la viabilidad y las limitaciones de las
posibles soluciones; el reconocimiento de la naturaleza del problema es un
45
elemento clave que da significado y facilita la selección del plan de resolución
(Picazo, 2005).
- Razonan básica o erróneamente sobre soluciones matemáticas de problemas
contextualizados, lo mismo sucede con la proyección de límites y restricciones de
las soluciones, dado el contexto del problema; el razonar y aprender en forma
autónoma es propio de los estudiantes con los mejores resultados en RPMC
(OCDE, 2014).
46
5. Conclusiones
En este capítulo se presentan los principales hallazgos de la investigación
acerca de cuáles son las estrategias que usan los estudiantes de grado décimo de un
colegio distrital de Bogotá en RPMC.
Para ello, primero se desarrollará un apartado dedicado a la presentación de
los principales hallazgos, seguidamente se determinarán las limitaciones encontradas
en este estudio, en tanto que en la última parte se presentan algunas ideas y
recomendaciones útiles en futuras investigaciones acerca del tema.
5.1. Principales hallazgos
Al triangular los resultados del análisis de la aplicación de los instrumentos
con los referentes teóricos más relevantes de la investigación se encontró que:
Las principales estrategias heurísticas utilizadas en RPMC a las que recurrieron
los estudiantes que se destacaron por su desempeño fueron: el ensayo error, la
representación a través de esquemas y/o diagramas y la búsqueda de problemas
análogos; cabe resaltar, que solo algunos de los estudiantes recurrieron a dichas
estrategias, presentando errores y falta de destreza en su uso. En lo que respecta a
los estudiantes de más bajo desempeño no exhibieron el uso de ninguna estrategia.
Lo anterior corrobora la investigación de Cárdenas (2014) en el sentido que los
docentes de Bogotá le dedican más atención a los aspectos cognitivo/ conceptual
que a la fundamentación en el uso de estrategias heurísticas.
En la exhibición de estrategias cognitivas se encontró que usan las del
componente lingüístico-semántico de manera poco eficiente puesto que la
mayoría de estudiantes mostraron poca habilidad para intuir cierto vocabulario y
además no comprendieron muy bien los hechos que se comunicaban en el
problema; también utilizaron estrategias del componente esquemático, en donde
se evidenció muy poca habilidad de relacionar el problema con esquemas
mentales propios, dominio necesario para tener un plan de trabajo que permita
lograr la solución del problema. Al no tener habilidad en los anteriores
47
componentes no se puede ejecutar con éxito los componentes estratégicos y
operativos. La solución de problemas matemáticos de narración requieren de estas
habilidades cognitivas (Mayer, 1983 y Sternberg, 1982).
En cuanto a la exhibición de estrategias metacognitivas por parte de los
estudiantes de mejor desempeño, se muestra que los que alcanzan a realizar la
interpretación contextualizada de la situación problema planteada, logran realizar
extrapolación de los conocimientos hacia el proceso de resolución en una manera
muy superficial, pero no logran monitorear y regular activamente el proceso de
resolución, en tanto que los estudiantes de más bajo desempeño no exhiben
ninguna estrategia de metacognición; esto confirma la investigación de Moreno y
Daza (2014) en el sentido que el desarrollo de habilidades de metacognición
favorece las habilidades de resolución de problemas.
Los estudiantes con mejores desempeños se caracterizan por ser hijos de madres
o padres que poseen niveles educativos superiores, tienen mejores condiciones
socio- económicas tales como vivienda propia, computador con acceso a Internet
y manifestaron interés por desarrollar sus propios procesos de aprendizaje; esto
corrobora los estudios PISA (2012) y Santín (2001).
Aunque en esta investigación no se diseñó ningún objetivo sobre este aspecto, aun
cuando se presentó su relevancia en el marco teórico, vale la pena resaltar que se
encontró que la deficiencia en los procesos de comprensión lectora fue el
elemento que se evidenció con más regularidad en los estudiantes de más bajo
desempeño, razón por la cual se piensa que exhiben baja capacidad de
comunicación y por ende, presentan deficiencias en los tres procesos matemáticos
definidos por PISA (formulación, empleo, interpretación), en tanto que, al no
lograr superar la comprensión literal e inferencial, esto puede limitar las
posibilidades de empezar a utilizar alguna estrategia que permita acceder al inicio
de la solución de una situación problemática; lo anterior, concuerda exactamente
con los hallazgos de Barbosa y Sanjuán (2014) al inferir que cuando un estudiante
no posee esta habilidad, entonces no es capaz de alcanzar niveles de pensamiento
superior, y con Picazo (2005) el cual da cuenta de la incidencia significativa de la
comprensión lectora en el proceso de resolución de problemas.
48
5.2. Limitaciones encontradas
Es preciso decir que en las limitaciones dentro de este estudio se encontró que
varios de los estudiantes de la muestra eran nuevos en la institución y por tal motivo
se desconoce el tipo de currículo y procesos que intervinieron en su formación en
desempeños de matemáticas; también se puede señalar que los estudiantes no habían
presentado pruebas de este tipo, ya que la prueba interna SABER que presentan
todos los estudiantes colombianos en noveno, difiere en la formulación de la
preguntas con el modelo que sigue PISA; finalmente, se resalta el hecho de que el
alumnado que presentó la prueba lo hizo al finalizar una jornada de casi 10 horas, ya
que hacen parte del grupo que debe realizar las actividades de intensificación en
contra jornada.
5.3. Nuevas ideas y recomendaciones para estudios futuros
A partir de los resultados encontrados se plantean nuevas ideas de
investigación y unas pautas para desarrollar un camino pedagógico y didáctico que
potencie la habilidad del estudiante en la resolución de problemas.
Debido a los hallazgos de falta de dominio en el desempeño en comprensión
lectora y la falta de habilidad para extrapolar los conocimientos a situaciones
problemáticas, se plantea la siguiente pregunta que bien podría constituir una futura
investigación: ¿Cómo desarrollar un currículo que se centre en la extrapolación de
los conocimientos adquiridos en la escuela hacia las habilidades fundamentales
requeridas por ciudadanos del siglo XXI?
Para cumplir con el tercer objetivo específico de la presente investigación,
que fue identificar elementos relevantes para le diseño de una propuesta sobre
estrategias de resolución de problemas que podrían favorecer el desempeño de los
estudiantes en matemáticas surgen los siguientes aportes desde esta investigación:
La resolución de problemas es una actividad que requiere del desarrollo de
competencias desde muy temprana edad, es por esto que se hace necesario
49
implementar un currículo que propenda por el desarrollo de procesos de
metacognición (Gusmão, 2006). Para lo anterior el estudiante debe ser orientado e
inducido al logro sistemático de acciones de metacognición (conocimiento de la
cognición) y a la concientización de las mismas (regulación de la cognición). Lo
anterior se propone porque un estudiante a pesar de poseer conceptos y estrategias
para la resolución de problemas, debe ser capaz de monitorear y regular activamente
los procesos cognitivos.
En cuanto a las estrategias de tipo cognitivo se propone desarrollar trabajo
enfocado al dominio de procesos que involucren los componentes lingüístico,
esquemático, estratégico y operativo (Sternberg, 1983). Lo anterior, acompañado del
uso de estrategias heurísticas tales como: ensayo-error; búsqueda de patrón;
realización de representación, esquema, diagrama; realización de tabla; búsqueda de
problema análogo; particularización; generalización; comienzo del problema desde el
final, entre otras (Schoenfeld, 1983). La implementación de los anteriores
constructos debe estar acompañada del desarrollo de una adecuada autoestima
académica, alta motivación y autoconfianza en el proceso de resolución.
50
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Apéndices
Apéndice A: Cuadro de preguntas PISA seleccionadas para prueba escrita
Tabla 9
Preguntas relacionadas con la formulación matemática de las situaciones
Nombre Puntaje Proceso
cognitivo
Nivel de
dificultad
Situación Área de
Matemática
El tipo de cambio 1 Reproducción 1 Publica Cantidad
El tipo de cambio 1 Reproducción 2 Publica Cantidad
El tipo de cambio 1 Reflexión 4 Publica Cantidad
Subida al monte
Fuji
1 Formular 3 Social Cantidad
Subida al monte
Fuji
1 Formular 5 Social Cambio y
relaciones
Tabla 10
Preguntas relacionadas con empleo de conceptos, datos, procedimientos y
razonamientos matemáticos
Nombre Puntaje Proceso
cognitivo
Nivel de
dificultad
Situación Área de
Matemática
Subida al monte Fuji 1 Formular 5 Social Cantidad
Compra de un
apartamento
1 Formular 4 Personal Espacio y
forma
Caminar 1 Reproducción 5 Personal Cambio y
relaciones
Caminar 3 Conexiones 2 Personal Cambio y
relaciones
Caramelos de colores 1 Reproducción 4 Personal Incertidumbre
Tabla 11
Preguntas relacionadas con interpretación y valoración de los resultados
matemáticos
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Nombre Puntaje Proceso
cognitivo
Nivel de
dificultad
Situación Área de
Matemática
Basura 1 Reflexión 4 Científico Incertidumbre
Lista de éxitos 1 Interpretar 5 Social Probabilidad
Lista de éxitos 1 Interpretar 4 Social Probabilidad
Lista de éxitos 1 Interpretar 4 Social Probabilidad
Elena, la ciclista 1 Interpretar 4 Personal Cambio y
relaciones
Apéndice B: Prueba escrita
CUESTIONARIO PREGUNTAS PISA
El objetivo de esta evaluación es medir el nivel de desempeño de los estudiantes en
la resolución de problemas contextualizados tipo PISA
56
Pregunta 4
57
Pregunta 5
58
Pregunta 6
Pregunta 7
59
60
Pregunta 8
Pregunta 9
Pregunta 10
61
62
Pregunta 11
Pregunta 12
63
Pregunta 13
64
Pregunta 14
Pregunta 15
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Apéndice C: Consentimiento informado a padres y/o acudientes
66
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68
69
70
