-ESTRUCTURA DE LA MATERIA-

-Ejercicios resueltos-

MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ

2º BACHILLERATO

MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ – 2º BACHILLERATO OCTUBRE 2013

1.- Un láser emite luz cuya longitud de onda es de 780 nm. ¿Cuál es la frecuencia de la radiación? ¿Qué

energía tiene el fotón de esa longitud de onda? (c = 3 ⋅ 108 m s⁄ , h = 6,63 ⋅ 10−34Js)

La velocidad de propagación de una onda se define como:

vp =λ

T= λν

Al tratarse de una onda electromagnética, vp = c:

c = λν ⟹ ν =c

λ=

3 ⋅ 108 m s⁄

780 ⋅ 10−9 m= 3,85 ⋅ 1014 Hz

La energía se obtiene a través de la ecuación de la hipótesis cuántica de Planck:

E = hν = 6,63 ⋅ 10−34 Js ⋅ 3,85 ⋅ 1014 Hz = 2,55 ⋅ 10−19 J = 1,59 eV

2.- Considera las transiciones siguientes para el átomo de hidrógeno: (1) n = 1 a n = 3, (2) n = 3 a

n = 4, (3) n = 3 a n = 2 (4) n = 5 a n = 3.

a) ¿Cuál absorbe mayor cantidad de energía?

b) ¿Cuál emite mayor cantidad de energía? (RH = 2,180 ⋅ 10−18 J)

En realidad, la constante de Rydberg tiene como unidad el m−1, pues la ecuación de Rydberg permite calcular

el inverso de la longitud de onda. Aquí, sin embargo, nos la dan en julios, sugiriendo que la ecuación a utilizar

es:

∆E = RH (1

n12 −

1

n22)

De todas formas, no es necesario utilizar la constante para resolver el ejercicio.

a) Sólo se absorbe energía en los tránsitos (1) y (2):

∆E1 = RH (1

1−

1

9) ≅ 0,8RH ∆E2 = RH (

1

9−

1

16) ≅ 0,0486RH

∆E1 > ∆E2

b) Sólo se emite energía en los tránsitos (3) y (4):

∆E3 = RH (1

9−

1

4) ≅ −0,138RH ∆E4 = RH (

1

25−

1

9) ≅ −0,071RH

|∆E3| > |∆E4|

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3.- Calcula la frecuencia y longitud de onda de la radiación absorbida cuando un electrón realiza un salto

entre los niveles de energía -13,6 a -1,51 eV. (h = 6,63 ⋅ 10−34Js)

Según el modelo atómico de Bohr:

Ef − Ei = hν ⟹ ν =Ef − Ei

h=

−2,419 ⋅ 10−19 J + 2,1787 ⋅ 10−18 J

6,63 ⋅ 10−34 Js= 2,92 ⋅ 1015 Hz

c = λν ⟹ λ =c

ν=

3 ⋅ 108 ms

2,92 ⋅ 1015 Hz= 102 nm

4.- Una línea del espectro de la serie Balmer (ninf = 2) tiene una longitud de onda igual a 434,05 nm.

¿Cuál es el valor de n correspondiente al nivel superior que interviene en la transición?

Podemos aplicar la ecuación de Rydberg:

1

λ= RH (

1

n12 −

1

n22)

1

λ=

1

434,05 ⋅ 10−9 m= 2303882,041 m−1 RH = 10974000 m−1

Sabemos que n1 = 2. Queda despejar n2:

2303882,041 m−1

RH=

1

4−

1

n22 ⟹ n2 = 5

5.- Basándote en la hipótesis de Louis de Broglie, calcula:

a) La longitud de onda asociada a un electrón que se mueve a 5,97 * 106 m/s

b) La zona del espectro a que pertenece una radiación que tenga una longitud de onda del mismo orden.

Según de Broglie, todo cuerpo en movimiento presenta un comportamiento ondulatorio (inapreciable fuera

del mundo cuántico) y lleva asociada una longitud de onda de valor:

λ =h

p=

h

mv=

6,63 ⋅ 10−34 Js

9,109 ⋅ 10−31 kg ∙ 5,97 ∙ 106 m/s= 1,22 ⋅ 10−10 m

Corresponde a los rayos X.

6.- Contesta a las siguientes cuestiones:

a) Explica la diferencia entre un espectro de absorción y uno de emisión.

b) ¿Cómo se estudian unos y otros?

a) El espectro de absorción muestra las longitudes de onda absorbidas por un material al ser atravesado por

una onda. El de emisión, por el contrario, contiene longitudes de ondas emitidas por el material.

b) Se estudian con espectroscopios.

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7.- Según el modelo de Bohr, ¿dónde se desprende más energía, en un tránsito desde la segunda órbita

a la primera o desde la cuarta órbita a la segunda?

En un tránsito electrónico, la energía desprendida se calcula, por ejemplo, a través de la ecuación de Rydberg:

∆E = RH (1

n12 −

1

n22)

Sustituyendo para los dos casos:

∆E1 = RH (1

4−

1

1) = −0,75RH ∆E2 = RH (

1

16−

1

4) ≅ −0,059RH

|∆E1| > |∆E2|

8.- Explica la diferencia entre fosforescencia y fluorescencia.

La diferencia se halla en que, si bien en ambos casos hay emisión de fotones, la fosforescencia destaca porque

el material es capaz de retener la energía y permanecer iluminado durante un tiempo prolongado, en contra

de la fluorescencia.

9.- El potencial de ionización (o energía de ionización) del hidrógeno es 1310 kJ/mol. Explica si la

radiación ultravioleta de λ = 50 nm, al incidir sobre átomos de hidrógeno en estado gaseoso y

fundamental, provocará su ionización.

Calculemos la energía de ionización de un único átomo de hidrógeno:

1310 kJ

mol⋅

1 mol

6,022 ⋅ 1023 átomos H⋅

1000 J

1 kJ⋅

1 eV

1,602 ⋅ 10−19 J= 13,58 eV

La energía de la radiación ultravioleta es:

E = hν =hc

λ=

6,63 ⋅ 10−34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 m/s

50 ⋅ 10−9 m⋅

1 eV

1,602 ⋅ 10−19 J= 24,83 eV

Por consiguiente, sí se ionizarían los átomos de hidrógeno.

10.- Una radiación electromagnética cuya longitud de onda es igual a 200 nm incide sobre magnesio.

Calcula la velocidad de los electrones emitidos y la longitud de onda asociada a esos electrones. La

función de trabajo del magnesio es de 3,7 eV y la masa en reposo del electrón es 9,109 * 10-31 kg

La ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico es:

Efotón = W0 + Ec,máx ⟹hc

λ= W0 +

1

2mevmáx

2

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Despejando la velocidad:

vmáx = √2 (

hcλ

− W0)

me=

√2 (

6,63 ⋅ 10−34 Js ⋅ 3 ⋅ 108 m/s200 ⋅ 10−9 m

− 3,7 ⋅ 1,602 ⋅ 10−19 J)

9,109 ⋅ 10−31 kg= 9,4 ⋅ 105 m/s

En cuanto a la longitud de onda de los fotoelectrones:

λ =h

p=

h

mv=

6,63 ⋅ 10−34 Js

9,109 ⋅ 10−31 kg ∙ 9,4 ⋅ 105 m/s= 7,6 ⋅ 10−10 m

11.- Un electrón llega a moverse con una velocidad de 2*10-8 m/s. Este valor se conoce con una

indeterminación del 10%. Olvidando los efectos relativistas sobre la masa, calcula la magnitud de la

indeterminación sobre su posición.

Según el principio de incertidumbre de Heisenberg:

∆x∆px ≥h

4π⟹ ∆x ⋅ m∆v ≥

h

4π

Al ser la indeterminación del 10%, ∆v = 2 ⋅ 10−9 m/s

∆x ≥h

4π ⋅ m∆v=

6,63 ⋅ 10−34 Js

4π ⋅ 9,109 ⋅ 10−31 kg ⋅ 2 ⋅ 10−9 ms

⟹ ∆x ≥ 2,9 ⋅ 10−10 m

12.- Un electrón se acelera dentro de un campo eléctrico establecido con una diferencia de potencial de

2000 V.

a) Calcula la longitud de onda de De Broglie asociada al electrón en movimiento.

b) Indica la precisión con la que se puede calcular la posición del electrón.

a) Al acelerar el electrón en el campo eléctrico se produce una conversión total de energía potencial en

cinética:

Ec = Ep ⟹1

2mv2 = q∆V ⟹ v = √

2q∆V

m

Y, según el principio de Louis de Broglie:

λ =h

p=

h

mv=

h

m√2q∆Vm

=h

√2qm∆V=

6,63 ⋅ 10−34 Js

√2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 kg ⋅ 2000 V= 2,75 ⋅ 10−11 m

b) No conocemos la indeterminación en la velocidad, así que escribiremos simplemente ∆v

∆x ≥h

4π ⋅ m∆v=

6,62 ⋅ 10−34 Js

4π ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 kg ⋅ ∆v⟹ ∆x ≥

5,79 ⋅ 10−5

∆v m

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13.- En 1924 De Broglie postuló la dualidad onda-partícula y en 1927 se confirmó experimentalmente su

postulado proponiendo Heisenberg, en el mismo año, el conocido como principio de incertidumbre.

a) Explica brevemente en qué consisten dichos principios.

b) ¿Qué relación existe entre ambos principios y la llamada ecuación de Schrödinger para el átomo de

hidrógeno?

c) ¿De qué manera cambiaron el concepto de ‘órbita de Bohr’ por el de ‘orbital atómico’?

Según la dualidad onda-partícula de Louis De Broglie, no solo eran los fotones los que poseían un

comportamiento dual (como estudió Max Planck anteriormente), sino que cualquier cuerpo con masa también

presenta esa peculiaridad. De este modo, una misma entidad puede poseer, bajo ciertas circunstancias, las

características propias de un corpúsculo, mientras que, en otras condiciones, se comporta como una onda.

Este fenómeno tan solo es apreciable a escala microscópica, donde la acción es del orden de la constante de

Planck. Fácilmente se comprueba su veracidad, por ejemplo, a través de los fotones, que sufren fenómenos

como la difracción, propio de las ondas, o como el efecto foloeléctrico, que sólo puede explicarse a través de

su comportamiento corpuscular. Otro caso similar son los electrones, los cuales también dan lugar a

fenómenos de difracción.

Matemáticamente, la dualidad onda-corpúsculo se expresa como:

λ =h

p=

h

mv

Por otra parte, Heisenberg concluyó que, en el mundo cuántico, no es posible medir ciertas parejas de

magnitudes, llamadas conjugadas, con absoluta precisión. Esto se conoce como principio de incertidumbre. El

par de variables conjugadas más conocidas es el de la posición y momento lineal:

∆x∆px ≥h

4π

Las ideas previas sugieren que, a escala atómica, las diversas variables que caracterizan a un sistema no están

perfectamente definidas, que siempre hay una cierta indeterminación. Así, se deja de lado el determinismo

propio de la física clásica y se opta por un método probabilístico para el cálculo de posiciones, energías, etc. La

ecuación de Schrödinger aporta información sobre el electrón del átomo de hidrógeno, pero no permite hallar

su posición exacta sino las zonas donde es más probable encontrarlo. Estas regiones del espacio, llamadas

orbitales, acabaron por remplazar la idea determinista de órbita empleada en los modelos de Bohr y

Rutherford.

14.- Justifica si es posible o no que existan en un átomo electrones con los siguientes números cuánticos:

a) (2, -1, 1, ½) no está permitido ya que el número cuántico azimutal es siempre positivo.

b) (2, 1, -1, ½) no da problema.

c) (3, 1, 2, ½) no está permitido pues el número cuántico magnético no puede ser mayor que el azimutal.

d) (1, 1, 0, -1/2) no está permitido ya que el número cuántico azimutal es siempre menor que el principal.

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15.- a) Razone si para un electrón son posibles las siguientes series de números cuánticos: (0,0,0,-½),

(1,1,0, ½), (2,1,-1,½), (3,2,1,-½).

b) Indique a qué tipo de orbital corresponden los estados posibles.

c) Indique en cuál de ellos la energía es mayor.

a) El primero no es posible pues el número cuántico principal no puede ser nulo. El segundo tampoco pues el

número cuántico azimutal es siempre menor que el principal. Los otros dos son posibles.

b) El tercero pertenecería a un orbital del tipo 2p y el cuarto a un orbital 3d.

c) La energía sería mayor en el tercero, en virtud de la regla de Madelung.