ESTRUCTURAS DE CONCRETO I 4ED - CAPITULO 3 (Cortante y Torsión).pdf
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C PITULO
CORT NTE Y
TORSION
-
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__
_
Capitulo J C o r t ~ n e
y Torsin
CAPlTU
OR
T
NTE: y TORS I]\
ESf. UERZO CORTANTE
Generalidades
Resistencia al esfueno cor tante:
Segn
la
Nonna NSR-98.
el
diseo de las secciones transversales sometidas a conante debe
basarse en;
donde v es el esfuerzo cortante mayorado en la seccin bajo consideracin y
V
n
es
el
esfuerzo resistente nominal que se calcu la como:
en la cual ve es el esfuerzo resistente nominal del concreto y V
s
es el esfuerzo resistente
nominal del acero de refuerzo a cortante.
Esfuerzo
or
ta nte
El
esfuer,lO cortante nominal total para
el
diseo de las secciones transversales se define
como:
donde:
fuerza cortante mayorada en
la
seccin e igual a U*V
ancho de
la
viga o de su alma
altura efectiva o distanc
ia
del eentroide del refuerzo en traccin a
la
fibra
extrema en compresin
Para efectos del diseo, tomarnos:
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ESlruClums
de
(uncrclo I
:. ofiv
s
= V
u
-
ofiv,. lo
cual quiere decir que se proporcionara refuerzo a conanle
cuando V
u
exceda de
la
resistenc ia a
COTlantc
del concreto. El coeficiente
de
reduccin se toman'l igual
O R5
El calculo de V
u
debe efectuarsc. para elCIllCIl OS no preesforz;ldos. en una seccin
localizada a una d istancia d (altura efectiva) medida desde
b
~ a n l dd apoyo
y
todas las
seccioncs situadas a mcnos de
la
distancia d sc podr;in dise ar pa
ra
el
mismo esfuerzo
conante V
u
Excepciones son los micmbros enmarcados por un et.:menln
de
apoyo en tensin. los
voladizos conos
y
todos aquellos elementos en los
qu
e
el con
a
nh.'
diliere radicalmente
.::ntre
el calculado en el
apoyo, el
obtenido
a
una di st an c i
-
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( I,i do';
( ' u r l J n 1 ~
y r ~ i n
donde Mu e;,
el
mOl11cnlo llector factorizado que se presenta si mullaneamente con V
u
cn
V d
la seccin de diseo, no debe tomarse mayor que 1.
0
al calcular
~ v
y r , es
la
M"
cuanti;1del refuen:o long.itudinal e igual a
Resistencia
all
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b r u c u r ~ s
de C o n c r ~ o
1
_._ _.
__
b. Estribos que forman
un
ngulo de 45 o ms con el rcfuen:o longitudinal a
traccin o refuerzo longitudi nal cuya parte doblada forme
un
ngulo de 300 o
ms con
el
refuerzo longitudinal a traccin.
Av fy(sena cosa )
v
s
= $ -
_._ _ .
,
. hw
s
en donde
= Anguloentre los estribos indinados o las barras longitudinales dobladas
y el eje longitudinal
dd
elemento.
e. Combinaciones de estribos y refuerzo longitudinal doblado: en este caso,
como cn todos cn los que se ut ilice ms de un tipo dc rcfuerzo a cortante. la
resistencia de diseo
\',
se calcu lar como
la
suma dc los valores de
v
s
calculados para los diferentes tipos de refuerzo.
En todos los casos, el esfuerzo
de
nuencia de diseo del refuerzo a cortante no debe scr
mayor de 420 MPa. excepto
ma ll
a clectrosoldada cuyo
f)
no debe ser mayor
de
550 MPa y
la resistencia a co
rt
ante para diseo. proporcionad ] por
el
refuerzo. dcber cumplir la
condicin:
f
Lmites
de
E
spacia
mien
to para
el Re
fu
er zo a Cortante:
Los estribos o la malla soldada ambos perpendiculares al eje del elemento. no se espaeiar: m
a ms de d/2, ni a mas de 600
mm.
Los estribos inclinados y el refuerzo longitudinal
doblado se espaciarn de modo que cualquier linea a
45
trazada desde la mitad de la altura
de l demento h ~ refuerzo longitudinal en traccin sc cruce eun
al
menos \111
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C: pilll[v 3 Cortan1e y Torsin
Refuerzo Mnimo de ortante
En
lodo elemento
de
concreto reforzado, en donde
el
eSfUerLQ
corlante faclaTizado v
1
sea
mayor que la
mitad
de la resistencia de diseo al cortante proporcionada por
el
concreto
$v
c
' se colocar refucr/.O
al
esfuer,w cortante
al
menos siguiendo
la
especificacin de rea
mnima Iran$versal dada
por
la expresin:
Av . bws , donde
b ,
y s se expresan en milmetros y fl'.:n MPa. Esta expresin
Jf
y
puesta en fOnTIa de cuanta, resulta para los aceros usuales:
A,
=
. es decir:
'.
0.001389
para fy
= 240 MPa
0.000794 para fy = 420 MPa
)
v -
Se exceptan de
la
nonna anterior las losas y zapatas, las construcciones con nervaduras y
las vigas con espesor tOlal no mayor
de
250 mm o
2.5
veces
el
espesor del ala o
la
mitad del
ancho del alma,
el
que sea mayor.
En
estructuras de capacidad de disipacin de energa moderada
(DMO)
y especial
(DES)
se
debe cU)Plir los requisitos adicionales del Capitulo C.21 de la Nonna.
A
continuacin tabulamos algunas de las expresiones antes enunciadas y sus limites:
v,
v
=
-- -
11 bwd
=
,
~ v c = ~
6
j
,ff
V ,-
~ v c
= ~
+ 17.lpw - ' - ~ ' O . 3 - J f ~
7 M,
s
.
1
'
f
v
s
>
3\. c
[os
espaciamientos calculados para refuerLo
al
cortante se
deben reducir a la milad.
Para
la
accin en dos direcciones en losas o zapatas ~ c debe tomarse como el
menor de:
~ v
= ~ '
l
+2.
$ ~ ' ~
r
)
r
6 c 3
en donde
Be
es la relacin entre
el
lado largo y el lado corto de la columna, carga
concentrada o rea de apoyo
y:
103
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Estructuras dc COllcreto I
$v
c
''''
4
Y....E... . 1+ a.. :o::
41
L ~
f d) r
f
6 2b
o
3
donde a ~ liene un valor de 40 para columnas interiores. de 30 para columnas de
borde
y
de
20
para columnas de esquina
y
b" es
el
permetro de
la
seccin crtica,
cllpresado en m
m.
La resistencia a conante debe cumplir la condicin: $v
s
5:
$'" 2
m
Tabla con algunos de estos valores lmi tes para concretos de varias calidades:
h
: fi-
4wc
~
< ~ ,
~ v
,, Jt-
(
o
'
0.3
, /
f;-
,
, .
MP, MP, MP,
M
P,
MP,
I
fffi-
,
I
I
1-
1-
Hlt
f:
IAl
Es tribos Perpendiculares
A
partir de la expresin del esfuerl.o cortante nominal total para
el
diseo
A'if
MP,
\. = _VL
.en
u b
d
una viga rectangular de dimensiones b
w
Y d que ha sido diseiiada a
la
nellin con una
armadura a la traccin
As Y
que soporta
un
corte a
la
fa la V ~ se determinar una expresin
para la separacin de estribos
y
su valor mximo en funcin de d = altura efectiva.
V'
t
'
\
h
d
,
h
'
~
Figllrtl 3.2
104
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apiwlo J
Cortante y Torsin
Suponemos una porcin longitudinal de una viga rectangular de dimensiones hwd. con
annadura a la traccin As Y que sop0l1a
un
corte de falla V:
1
fonnndose la grieta
mostrada en la figura 3.2.
Siendo n
el
nmero de estribos de arca Ay que atraviesan
la
grieta contribuyendo a resistir
el corte planteamos:
en donde:
~
corte
de falla
Ve resistencia
al
corte suministrada por
el
concreto
n nmero de estribos
==
d1s
que atraviesan
la
grieta donde s es la
separncin de los estribos
Div idiendo por b d y multiplicando por
>:
expresin de
la
separacin de estribos en funcin del
Figura 3.3
esfuerzo cortante excedente sobre la resistencia a
cortante
del
concreto.
\
rIL
d
La
separacin de estribos debe garantizar que las posibles grietas fonnadas segn el
esquema de
la
figura con un ngulo aproximado con
la
horizontal de 45
0
nunca pasen de
la
mitad de la altura efectiva e la viga y puedan interesar la zona de compresiones es decir:
s mxima
= d/2
105
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Eslructuras deConcreto 1
Refuerzo Longitudinal Doblado
V
A
partir de la ex pres in del esfuerzo cortante nominal total para el diseo
u
= _
.... :
en
b ,d
una viga rectangular de dimension es b
w
Y d, que
ha
sido diseada a
la
flexin con una
armadura a la traccin As Y soporta
un
corte a la falla
V ~
se determinara una expresin
para el rea de hierros a doblar
y
el mximo de la separacin de las barras dobladas a
t '
cota d
d (1 +
cota)
d
h
Figura 3.4
Suponemos
un
a porcin lon gitudinal de una viga rectangular
de
dimensiones bwd, con
armadura a la traccin As que soporta un corte a la fa lla
V ~ y
en
la
cual se forma la grieta
mostrada en la figura 3.4.
Siendo n
el
nmero de barras dobladas de arca
Av
que resisten el corte V ~ podemos
plantear:
v ~
=
Ve
+ nA vfy seno.
V "'"
corte de
fa
lla
en donde:
Ve '
resistencia nominal al corte su
mini
strada por el concreto
, d(l+coto.
n
'
numero de barras
do
bladas
'
' ~ ' : ' : ' ~
,
Di vidiendo por bwd y multip licando por >:
10
6
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_
upimlo J Cortante
y
Torsin
V' V d(l + cota) A ,f\,scna
O_ u = 4 1 ~
+ .
-
hwd hwd
S
hwd
s
Fi gura 3.5
Si
en
el g ~
esfuerzo cortante adjunto. de longitud
, se
designa por
Av el
rea
total de las barras necesarias a doblar:
A ,
,ry
scna+cosa)
que para el caso de carga unifonnc y diagrama de csfucrlOs triangular, resulta:
I
2(V
u
- flVc
)bwS
>f
y sen
n + cosa)'
y con el ngulo mas usual
I
= 45 se tiene:
La separacin de barras dobladas debe garantizar que cada linca a
45
que
se
extienda hacia
lu
reaccin desde la mitad de la altura del elemento, hacia
el
refuerzo longitudinal en
traccin, sea cruzada por lo menos por una linea de refuerzo a cortante: por lo tanto. en
el
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~ ~
( ,,,illll,,3 Cortanlc y Torsn
a. Disciio para
c ~ r i b o s
perpendiculares
al
",je de l ele
mCnLO
:
Re
acciones: R ,\ - R
Il
= (corte en d eje
do :
los apoyosl
RB ' 24.64 LOO ' 98.56
2
kN
( '
011c en una s c la
distancia
"d"
del borde:
v
= 9K56 -
~ ~ +
0.4 1) * 24.64 = 85.3X kN
U,il i".ando
clmis1110
coeficie llc
de
carga (U
=
1
8) del problema
2.
16.
que
par;
el
disl'io a corl
-
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ESlruClllrJ.< Cnncrelo 1 _ ___
_____
P:lTa las seccionl s localizadas a menos de la distancia
"d"
de la cara del apoyo
el
valON::.U
'" - 4>\ ,.
=
599 k N m ~
La
scparacin de estribos d.: Q 1/4"' Y3/
8"'
sera:
s
(para estribos de 1/4 . : ,
_ ~ ~ ~ _ ~ : ; - _ '"
0.85 2 . 0 0 0 0 3 ~ 240000 , , 0.073 111
v" 4)\ '
0.5+';'\'.: por lo tanto.
s..:
rcquieren
21
estribos';'
4
que cubren una longitud de
114
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_
apitulo 3 Cortante y Torsin
3.00 m El diseo de los hierros doblados co mplementarios se hani . r t r del
clculo de la distancia Sd (Figura 3.13) en la cual es necesario colocarlos, as:
309 (
Sd = 0 41 + - -
4.00 - 0.125 - 0.41) =
1 27 m
1249
El rea de hierros a doblar Av para a
=
45:
Podemos colocar una sola barra de 1 de las que vienen de la luz y que ya no
necesitamos, a una distancia del borde del apoyo igual al centroide del tringulo
de base 1.27 m; sin embargo, para disminuir el nmero de barras a colocar para
cumplir las especificaciones de separacin y distancia en las cuales
es
necesario
si tuar el refuer.ro
al
esfucrt.o cortante (vase punto b anterior), preferimos
dividir el rea del tringulo mencionado en tres reas iguales colocando en el
centroide de cada rea igual y
co
incidente con el eje de la viga, un rea de
refuer/.o doblado equivalente a un tercio del rea necesaria A Y
I
Por 1 tanto:
Figura 3 14
O.0881S _ 0. 11 3-0.11
0.29625 _
0.376 037
0.61515 - 0.781 0.78
. I
I .
I . I
I .
I . I
I .
. I
.
I
La
primera barra debe pasar a
0
10
m del borde del apoyo medidos en el eje de la
viga y doblarse a 0.30 m del mismo borde, coincidente con la mxima distancia
posible.
La
segunda barra debe pasar a 0.375
m
del borde del apoyo medidos en el eje de
la
viga y doblarse a 0.575
m
del mismo borde, de todas
maneras
a menos 'de 0.30
m de la anterior barra dob lada.
La
tercera barra doblada deberla pasar a 0.78 m del borde del apoyo medidos en el
eje de la viga, pero
su
separacin eon la anterior no debe exceder de 0.30 m; luego
debe
pasar a 0.675 m del borde del apoyo medidos en el eje y doblarse a 0.875 m
de l mismo borde.
115
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EstruclUrasdc Concreto
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
__ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
No obstante haberse completado la necesidad terica de rcfuerl.O en forma de
hierros doblados. debemos colocar algunos adicionales hasta los 1.27 m
necesarios, asi:
4" barra: se debe doblar a I 175 m del borde
5'
barra: se debe doblar a 1.475 m del borde
A manera de conclusin. decimos que esla alternativa de combinacin para el caso
que nos ocupa resulta slo terica, siendo practicable nicamente en aquell:ls
vigas especialm ente cargadas o esfor/.adas y que adems tenga n una seccin lo
suficientemente amplia como para hacer de esta so lucin
una
alternativa aceptable
por diseo y construccin.
Con fin es comparati vos resol ve mo s el proble
ma
anterior para una solucin con estribos.
utilizando la expresin
de
resistencia al esfuerzo cortante proporcionada por el concreto
cuando se tiene cn cuenta el efecto de la Ilcxin.
Problema 3.2
Re solver el problema
3.1
para una solucin con estribos. util/ando la expresin de
resistencia del esfuerzo cortante proporcionada por el concreto
q
vc
,
q
,f
,'. + 17.1pw Vud l::;
q,*
OJ
suponiendo que
la
arnmdura a
la
traccin por
M u
Ilexin. 4
q
1 1/4
-j
- 3 $ 1 l iS pasa sin interrupcin hasta el apoyo.
Solucin: Para la utilizacin
de
esta expresin
de
resistencia debemos calcular Pw.
V y
M
en varios puntos de la viga, obteniendo la curva
de
q,v,. que comparamos
con v para detenninar el rCfUCff.O necesario y su localizacin .
Clculo de
p ,:
5211
P . '
0.042366
" 300*410
Clculo de v
u
: A partir de]:s reacciones R
A
RB
'
98.56 kN, la carga unifomle w ' 24.64
kN /m
y
el mismo coeficien e de carga U l.S
del
problema anterior: con
fines comparativos. calculamos
V
u
al borde de apoyo y a la distancia "d
'
del mismo borde:
w ' I.S*24.64 44.35
kN
/m y V
u
(R
A
YR
B
ltimas) 177.40
kN
En
el
borde: V
u
(borde)
'
177.40 0.125'44.35 171.86
kN.
V
u
171.86/(0.30*0.41)
'
1397 kNm
2
116
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C Jpitu/Q 3 Cortanlc y Torsin
A la distancia d : Yu(d) == 177.40 - (0. 125
+
0.4I)fA4.35
=
153.67 kN
V
u
=
153.67/
(O
.3
00AI
)
=
1249 /m
2
Clculo de ,ve: se calcularn para Mu YVu al borde del apoyo, a la distancia
d
y cada
0.50 m, hasta la mitad de la luz, de acuerdo a la siguiente tabla:
v
c
= c
_
S +*0.3.
[ f Ll70MPa
y - -
:S: I.O
1
K
V d} V d
7
Mu
Mu
Disrancia al
M,
V,
V,d
k
V,d )
-
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Estructuras de
Concreto 1 _ _ _
De la figura obtenemos que para las secciones localizadas a menos de la distancia d de la
cara del apoyo, el valor de
(v
u
~ v c es 254
kN/m
y para la seccin localizada a 0.875 m
de la cara del apoyo, el valor v
u
- ,v
c
) es 308 eN m
2
; por consiguiente las separaciones
de estribos,
114
y
3/8
sern:
Los estribos colocados deben cumplir la nonna sobre separacin mxima O.
Sd :o
0.20 m y
rea mnima de refuerzo a cortante:
2*32*3*240
a r a e s t r i b o s ~
1/4 s mxima = I
S3nun-0.15m
300
Por
1
que colocaremos 24 E 1/4 clO.14 a partir del borde del apoyo que cubrirn 3.22 m
> 3.10 m necesarios.
0.85* 2 * 0.000071* 240000 = 0 .1 1m
308 *0.30
Los estribos colocados deben cumplir la nonna sobre separacin mxi
ma
0.5 3.10 m necesarios.
Adicionalmente, por tratarse de una viga con refuerzo a la compresin por flexin, se debe
asegurar este refuerzo
con
estribos cuya separacin mxima sea de 0.30 m vase el
problema 3.1).
A manera de comparacin, decimos que la annadura transversal colocada de acuerdo a la
expresin de resistencia al esfuerzo cortante proporcionada por el concreto en funcin de la
r;
flexin es inferior a la que se necesita cuando ~ v c se calcula como
,
6e . Sin embargo,
compartimos la opinin de algunos autores en el sentido de que
falta
investigacin
al
respecto y que por lo tanto el diseador debe proceder con prudencia en este tipo de
trabajos.
118
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_ _
__
( pi,,/o J COrlantc 1 Torsin
~ s O
Ceneralidades
Sc puede definir como
el
efecto de f
uer
.as ext ( riores torsionales que tienden a retorcer al
elemento con respecto a su eje long itudina r
.
Se consideran dos clases d e torsin: torsin p
ri
mari
a. ll
a
ma
da tambin torsin de cquilibrio
o torsin estticamente dctenninada y se presenta cuando la carga externa no puede ser
resistida sino por
la
torsin. como por ejemplo
la
( xislente sobre la viga que soporta una
losa en voladizo; existe tambin la torsin secundaria. llamada tambin torsin por
compatibilidad o torsin cstalicamente indctenJlinada y se prcse J1la a partir
de
los requis ilUs
de continuidad o de compatibilidad dc defonnaciones entre las partes adyacentcs de una
estructura. como por ejemplo la torsin provocada en la viga peri
me
tral que 50p0 l1 n 1IS
cargas de las viguetas que ,lll tenninan.
El
procedimiento presentado en
la
Nornla NSR9X para el diseo de la anmldura a o r ~ i
contempla un primer paso en el cual sc detcrmina si la torsin debe considerarse. diciendo
que en elementos slidos
no
preesforJ:ados la torsin se considera si:
1
(
,
,
.- -
0.00079. resultando correcta la separacin de 0.06 m.
d - 0.30
Figura
3. 19
Se observa que
en es
te caso muy
f r ~ u n t
de carga uniformemente dist
ri
buida y
un
mo men to de torsin aplicado y distribuido
de igual forma, que tanto Vu como Tu
disminuyen linealmente hasta anularse
en
la
mitad de la
lu
z.
125
-
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Estruetur.Js de Concreto [ _ _ _ _
_ _
Por [o tanto. los requerimientos de refuer/.o para cortante y lorsin seguirn una misma
variacin,
10
cual, si se ruede, significara
un
aumento
en
la separacin de estribos, entre
olras posibilidades. Sin embargo,
en
cualquier caso nos remitimos
al
criter
io
del diseador
para
la
correcta colocacin de
e.
-
5/21/2018 ESTRUCTURAS DE CONCRETO I 4ED - CAPITULO 3 (Cortante y Torsin).pdf
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_ _ _ _ _ _ _ _
Cupitulo
3 eonante y Torsin
Resumen de
la
ammdura longitudina l
Arriba:
Medio:
Abajo:
0.000426
-
+
0.000297
e
0.000439
m
2
3
0.000426 = 0.000142 111
2
3
O 0 0 0 4 2 ~
+ 0.000297 ' 0.000439 m
3
Refuerl.o a flexin
en
la
losa maciza
del
alero:
2