Titulació:

Enginyeria aeronàutica

Alumne:

Jordi Vallès Fluvià

Títol del projecte:

ESTUDI DE NOVES EINES PEL PROGRAMA DE

CÀLCUL DE PARACAIGUDES PARACHUTES

Director del projecte:

Roberto Flores

Convocatòria de lliurament:

Gener de 2014

Contingut d’aquest volum: MEMÒRIA I ANNEXOS

Resum. En aquest document es presenta la memòria de disseny de

tres noves funcions de càlcul pel programa d’anàlisi de paracaigudes

Parachutes, desenvolupat a CIMNE. Es recullen els fonaments teòrics

i alguns detalls importants del disseny d’aquestes funcions, que

permeten el càlcul del moviment de sòlids rígids definits en el model,

l’anàlisi energètic del moviment i l ’aplicació de càrregues

aerodinàmiques resultants de coeficients experimentals.

ÍNDEX

Índex de figures 4

Índex de taules 5

1. Objectius 6

2. Justificació 7

3. Abast 9

4. Introducció 10

4.1 El programa Parachutes 10

4.2 Explicació de les noves funcions 11

5. Funció de càlcul de sòlids rígids 13

5.1 Equacions del moviment 13

5.2 Equacions per a sòlids rígids amb punts fixos 14

5.3 Integració en el temps 18

5.4 Integració de la funció dins del programa 19

5.5 Diagonalització del tensor d’inèrcia 19

6. Funció de càlcul de l’energia 22

6.1 Fonaments teòrics 23

6.2 Càlcul de l’energia mecànica 24

6.3 Càlcul del treball en elements deformables 24

6.4 Càlcul del treball en sòlids rígids 25

6.5 Demostració de resultats 26

7. Forces aerodinàmiques tabulades 28

7.1 Preparació de les dades d’entrada 28

7.2 Aplicació de les càrregues sobre el sòlid 31

9. Implicacions ambientals 33

10. Conclusions 34

11. Pressupost 36

12. Referències 37

Annex 1. Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids 38

Annex 2. Diagrama de flux de la funció de càrregues aerodinàmiques 40

Annex 3. Exemple d’arxiu de resultats energètics 42

Annex 4. Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics 43

Annex 5. Exemple d’aplicació de Parachutes 44

Annex 6. Pressupost 46

4

ÍNDEX DE FIGURES

Fig. 1. Parapent durant proves en túnel de vent 7 

Fig. 2. Diagrama de forces i moments sobre un sòlid rígid 16 

Fig. 3. Evolució del moviment del pèndol 26 

Fig. 4. Exemple de coeficients aerodinàmics tabulats 29 

Fig. 5. Diagrames per l’extrapolació de coeficients 31 

Fig. 6. Diagrama de flux del programa Parachutes 38 

Fig. 7. Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids 39 

Fig. 8. Diagrama de flux de la preparació dels coeficients aerodinàmics 40 

Fig. 9. Diagrama de flux de la funció de càrregues aerodinàmiques 41 

Fig. 10. Arxiu de resultats energètics de l’exemple de la Secció 6.5 42 

Fig. 11. Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics 43 

Fig. 12. Forma del paracaigudes abans de la simulació 44 

Fig. 13. Forma i orientació del paracaigudes després de 10 segons 45 

Fig. 14. Distribució del coeficient de pressió en l’ala del paracaigudes 45 

5

ÍNDEX DE TAULES

Taula 1. Exemple d’evolució de l’energia d’un pèndol (en Joules) 27 

6

1. Objectius

La finalitat d’aquest estudi és dissenyar tres eines addicionals al programa

Parachutes de CIMNE, dedicat a l’anàlisi de paracaigudes. Aquestes noves

eines permetran calcular l’evolució de l’energia, calcular el moviment de sòlids

rígids i aplicar càrregues aerodinàmiques tabulades sobre aquests últims.

La funció de càlcul de l’energia ha de permetre seguir l’evolució en el temps del

treball fet pels diferents tipus de forces, així com també l’evolució del valor de les

energies cinètica i potencials.

La funció de càlcul de sòlids rígids ha de permetre calcular el moviment d’un

grup d’elements als quals s’imposa que formin un conjunt rígid, o sigui que

mantinguin les distàncies relatives. A més a més, la funció de càrregues

aerodinàmiques tabulades ha de permetre aplicar a aquests grups d’elements

càrregues aerodinàmiques resultants de coeficients introduïts per l’usuari en un

arxiu.

7

2. Justificació

El programa Parachutes es va dissenyar a CIMNE (Centre Internacional de

Mètodes Numèrics en Enginyeria) l’any 2009 arrel d’un projecte conjunt amb el

fabricant de paracaigudes CIMSA per analitzar el comportament dinàmic de

parapents.

Fig. 1. Parapent de grans dimensions durant proves en túnel de vent (web NASA)

En aquest programa hi ha tres tipus d’elements amb els quals es construeix un

model: cables, triangles i tetraedres. Els cables i les membranes només

resisteixen esforços de tracció i compressió, no tenen rigidesa a flexió, i

serveixen per modelar la tela i els cables del paracaigudes. Els tetraedres, que sí

que tenen rigidesa a flexió, serveixen per modelar la càrrega útil que transportarà

el paracaigudes. En la càrrega útil modelada amb tetraedres les deformacions

són normalment molt petites i la major part del moviment és de sòlid rígid. A més

a més, les deformacions que pateix no són d’interès en la major part d’anàlisis.

En aquí la utilitat de la funció de càlcul de sòlids rígids, que permet calcular el

moviment de la càrrega desconsiderant les deformacions que pugui patir. En els

casos en què no interessa estudiar la deformació de la càrrega, amb la utilització

de sòlids rígids s’aconsegueixen els mateixos resultats amb un càlcul més ràpid.

8

La part de Parachutes que calcula les càrregues aerodinàmiques utilitza el

mètode de panells. Com que les càrregues suspeses acostumen a tenir formes

no aerodinàmiques, com poden ser caixes o contenidors, el mètode de panells

no serveix per calcular les càrregues aerodinàmiques sobre aquestes. La finalitat

de la funció que aplica les càrregues aerodinàmiques de coeficients tabulats és

permetre l’aplicació de forces aerodinàmiques sobre les càrregues d’una forma

senzilla i ràpida, substituint en això el paper del solver aerodinàmic.

Com tots els programes de simulació dinàmica Parachutes permet introduir

manualment dissipació que pot evitar la divergència de la solució i l’aparició de

vibracions d’alta freqüència. Aquesta dissipació s’introdueix amb l’esmorteïment

Rayleigh, a través del qual la força de dissipació que es produeix és proporcional

a la matriu de massa i a la matriu de rigidesa del sistema mitjançant dos

coeficients. Un dels objectius principals de la funció de càlcul de l’energia és

poder conèixer l’energia que es dissipa per mitjà d’aquest mecanisme. Si

l’energia dissipada, o sigui el treball de dissipació, és massa gran en relació a les

forces que aporten energia (gravetat i aerodinàmica) segurament els coeficients

de dissipació són massa alts i els resultats del problema que s’està simulant no

són realistes. La funció de càlcul de l’energia permet detectar aquestes

situacions.

L’altra utilitat de la funció de càlcul de l’energia és que pot permetre detectar

quan s’està produint algun tipus d’error en el càlcul del moviment del model. Com

que es coneix el treball de totes les forces i també l’energia mecànica, es pot fer

un balanç i comprovar que es compleix el principi de conservació de l’energia. Si

no es compleix, vol dir que el moviment que es calcula a partir de les forces no

és correcte. En el cas que siguin les forces que estan mal calculades i no el

moviment resultant d’aquestes forces, el balanç d’energia en general no

permetrà detectar-ho.

9

3. Abast

Abast de la funció de càlcul de l’energia:

1. Permetrà seguir l’evolució en el temps del treball de les diverses forces

que actuen sobre el model, de l’energia cinètica del moviment del centre

de massa, de l’energia cinètica del moviment relatiu al centre de massa,

de l’energia potencial gravitatòria i de l’energia potencial elàstica.

2. Es farà el còmput dels termes anteriors de forma global en tot el model,

no es podrà separar el còmput en les contribucions de diverses zones del

model.

3. Es presentaran els resultats en un arxiu d’una forma que permeti el post-

processament.

Abast de la funció de càlcul de sòlids rígids:

1. El grup d’elements que formen un sòlid rígid podrà tenir nodes fixos.

2. No es permetrà que els sòlids rígids estiguin connectats entre ells.

Només es podran connectar a elements deformables.

3. No hi haurà limitació en quant al número de sòlids rígids calculables.

4. Les forces que actuaran sobre el sòlid rígid seran la gravetat, les forces

d’unió amb elements deformables i les forces aerodinàmiques tabulades.

5. No es podrà aplicar dissipació als sòlids rígids.

Abast de la funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques tabulades:

1. Les càrregues aerodinàmiques es podran aplicar només sobre sòlids

rígids. No es podran aplicar sobre elements deformables.

2. Aquestes càrregues podran ser les forces i moments sobre els tres eixos

vent: resistència, força lateral, sustentació, moment de balanceig,

moment de capcineig i moment de guinyada.

3. Es llegiran els coeficients d’un arxiu, en el qual es podrà seleccionar si els

coeficients introduïts són simètrics. En el cas que ho siguin el programa

extrapolarà internament els coeficients de les parts simètriques.

4. Es podrà carregar dels arxius més d’un tipus de càrrega, que es podran

aplicar segons convingui als sòlids rígids del model.

10

4. Introducció

4.1 El programa Parachutes

Parachutes és un programa dissenyat per l’anàlisi de paracaigudes que

permet la simulació transitòria de l’aerodinàmica i del moviment de l’estructura de

forma acoblada. A partir de la geometria i propietats d’un model, el programa

permet obtenir l’evolució en el temps de la posició, la velocitat, les tensions, les

deformacions i les pressions sobre els elements aerodinàmics. En resum, permet

simular de forma conjunta el moviment del model (incloent la deformació) i les

càrregues aerodinàmiques que aquest moviment provoca. Es pot trobar una

mostra dels resultats que s’obtenen amb Parachutes a l’Annex 5 d’aquesta

memòria.

Parachutes és una eina útil pel disseny de paracaigudes. En una fase de disseny

preliminar, perquè permet preveure el comportament de diverses configuracions

d’una forma ràpida, reduint la necessitat de dur a terme assajos en túnel de vent.

En una fase més avançada del disseny també, per a l’anàlisi en detall del

comportament aeroelàstic i de la resistència estructural.

El programa té dues parts molt diferenciades, que poden funcionar com a

programes independents: una part calcula l’aerodinàmica amb un mètode de

panells transitori i tridimensional, i l’altra part calcula el moviment de l’estructura

amb un mètode d’elements finits explícit. El mètode de panells és potencial, de

manera que no calcula la resistència aerodinàmica. El motiu de la utilització

d’aquest mètode pel càlcul de l’aerodinàmica es troba en la major velocitat de

càlcul en comparació amb altres mètodes com Euler o Navier-Stokes. Per

computar les càrregues aerodinàmiques en elements on el mètode de panells no

es pot aplicar s’utilitzen mètodes empírics.

Com és habitual en aquest tipus de problemes, el càlcul de l’aerodinàmica és el

factor que limita la capacitat per aconseguir resultats realistes. Si no fos perquè

l’aerodinàmica no es pot calcular de forma precisa, els resultats que s’obtenen

amb Parachutes podrien ser molt acurats.

11

4.2 Explicació de les noves funcions

Les noves funcions desenvolupades en aquest estudi no canvien el

funcionament del nucli del programa. Són eines addicionals que funcionen com a

extensions del programa original.

La funció de càlcul de sòlids rígids, que es tracta en detall a la Secció 5 d’aquest

estudi, permet definir un grup d’elements com a sòlid rígid i calcular-ne el

moviment. La incorporació d’aquesta eina fa que hi hagi dos tipus d’elements en

el programa: els elements deformables, que es calculen amb el programa

original, i els elements rígids (els que formen part de sòlids rígids), el moviment

dels quals es calcula en les subrutines de la nova funció.

Aquesta funció necessita un pre-processament de les dades a l’arrancada del

programa, que prepara les dades de cada sòlid rígid per tal que puguin ser

utilitzades per la subrutina principal, que calcula el moviment. Per la sortida de

resultats s’utilitzen les funcions ja existents en el programa original.

La subrutina principal calcula les resultants de força i moment de les càrregues

exteriors, les transforma en eixos principals i calcula les acceleracions angular i

del centre de massa, segons hi hagi cap, un, dos o més de dos punts fixos. Un

cop obtingudes les acceleracions s’aplica el moviment calculat, integrant-lo en el

temps, sobre cadascun dels nodes que formen part del sòlid rígid.

La segona funció desenvolupada en aquest estudi, que es tracta a la Secció 6,

és la que calcula el desglossament energètic del moviment. Aquesta és una

funció de post-processament, el resultat de la qual serveix únicament per a

facilitar l’anàlisi dels resultats d’una simulació. Aquesta funció permet, en

diversos instants de temps, desglossar l’estat energètic del model en els termes

de treball següents: treball de les forces aerodinàmiques, treball de les forces de

dissipació, treball de les forces elàstiques i treball de la força de gravetat. I en els

termes d’energia mecànica següents: energia cinètica associada a la translació

del centre de massa, energia cinètica del moviment relatiu al centre de massa,

energia potencial elàstica i energia potencial gravitatòria.

Per calcular el treball aquesta funció multiplica en cada instant de temps la força

que actua sobre els nodes i el desplaçament d’aquests, i suma la contribució de

cada node a un comptador global, de forma separada per a cada tipus de força.

En els instants de temps en què l’usuari demana que s’imprimeixin els resultats

energètics la funció calcula les energies i llegeix el còmput de treball, per

imprimir-los en l’arxiu de sortida de resultats.

12

L’última és la funció que aplica càrregues aerodinàmiques tabulades a sòlids

rígids, que es tracta en detall a la Secció 7. Aquesta funció permet aplicar sobre

grups d’elements que formen sòlids rígids càrregues aerodinàmiques segons uns

coeficients aerodinàmics introduïts per l’usuari. Aquests coeficients es poden

haver obtingut experimentalment i han de modelar l’aerodinàmica dels sòlids

rígids del model, que normalment seran les càrregues suspeses del

paracaigudes. Aquesta forma d’aplicar càrregues aerodinàmiques sobre aquests

elements és un mètode senzill però eficaç, que permet superar la impossibilitat

d’obtenir amb el mètode de panells càrregues aerodinàmiques sobre cossos amb

formes no aerodinàmiques, on l’aerodinàmica està governada de forma molt

important per la viscositat.

Aquest funció actua de la següent manera: a l’arrancada del programa es llegeix

l’arxiu de coeficients aerodinàmics i es guarden a la memòria. Els coeficients

aerodinàmics són funció de l’angle d’atac i de l’angle de lliscament, per això a

cada orientació del sòlid respecte del vent li correspon un grup de 6 coeficients,

corresponents a les forces i moments que actuen sobre cada eix. En cada pas

de temps, segons l’orientació entre la velocitat incident, es llegiran i

s’interpolaran els coeficients, i se sumarà la força i moment que en resulti sobre

el total de les forces i moments externs aplicats a un sòlid rígid. A partir d’aquí, la

funció de càlcul de sòlids rígids calcularà el moviment.

13

5. Funció de càlcul de sòlids rígids

L’objectiu de la funció de càlcul de sòlids rígids és permetre calcular el

moviment d’un grup d’elements del model als quals s’imposa que formin un sòlid

rígid. En aquest estudi s’ha simplificat el problema imposant que aquests

elements no es puguin connectar a elements que formin part d’un altre sòlid

rígid, o sigui, no es poden connectar sòlids rígids entre sí. Els sòlids rígids

poden, això sí, tenir punts fixos i es poden connectar a elements deformables,

sense limitacions. Els elements que formen un sòlid rígid són els mateixos que

formen els cossos deformables: cables, triangles i tetraedres.

En l’Annex 1 d’aquesta memòria es pot trobar el diagrama de flux de programa

de la funció de càlcul de sòlids rígids, on s’exposa de forma sintètica com s’ha

dissenyat el codi per a aquesta funció.

5.1 Equacions del moviment

Coneixent les dades geomètriques i la massa nodal dels nodes que formen

un sòlid rígid, es pot calcular la inèrcia i la massa total. A partir de les càrregues

que actuen sobre aquest, sense comptar-hi les possibles reaccions, es calculen

les resultants de força i moment externs des d’un punt de referència, ∑ i

∑ . Pel punt de referència s’utilitza el centre de massa si el sòlid rígid no té

nodes fixos i un dels nodes fixos en el cas que sí que en tingui.

Per trobar les acceleracions del sòlid rígid es diagonalitza el tensor d’inèrcia i es

transformen la força i el moment en eixos principals. A la Secció 5.5 s’explica el

mètode de diagonalització utilitzat. En eixos principals d’inèrcia, pel càlcul de

l’acceleració del centre de massa i de l’acceleració angular s’utilitzen les

següents fórmules. La primera és la generalització de la 2a llei de Newton a

sistemes de partícules, en la qual la força resultant aplicada és la suma de les

forces externes i de les reaccions.

∑ ∑ ∑ 5.1

on és l’acceleració del centre de massa, és la massa del sòlid, ∑ són les

forces de reacció dels suports sobre el cos, i ∑ la resultant de força total,

comptant forces externes i reaccions.

14

Les següents són les equacions d’Euler per a l’acceleració angular, que resulten

de la derivació en base mòbil de l’equació del moment cinètic, prenent com a

punt de referència el centre de massa o un punt fix, i utilitzant eixos principals.

En aquesta equació s’utilitza per representar el moment que provoquen les

forces de reacció i per representar els moments exteriors aplicats i el

moment causat per les forces exteriors.

∑ ∑ ∑ 5.2

∑

∑

∑

5.3

on és la velocitat angular, i el tensor d’inèrcia diagonalitzat.

5.2 Equacions per a sòlids rígids amb punts fixos

Coneixent la força i el moment totals aplicats sobre el sòlid rígid i la velocitat

angular, amb les equacions anteriors es poden aïllar les dues acceleracions.

Però en la força i el moment totals s’ha de comptabilitzar la força i el moment que

produeixen les reaccions en els punts fixos, que no es coneixen directament. A

continuació es presenten els mètodes utilitzats per calcular les acceleracions en

els casos en què hi ha un punt fix i dos punts fixos. El cas de tres o més punts

fixos no s’inclou perquè el moviment del cos està completament restringit, i té

velocitat i acceleració nul·les. Pel cas d’un cos lliure, sense punts fixos, les

acceleracions s’obtenen directament de l’aplicació de les Equacions 5.1 i 5.3,

tenint en compte que ∑ 0, i ∑ 0.

En cada punt fix hi ha tres components de reacció, però en el cas de més d’un

punt fix hi ha lligadures redundants i no hi ha suficients equacions per calcular el

valor de les reaccions. En un cos amb dos punts fixos les dues reaccions vénen

determinades per 6 valors corresponents a les 3 components de la força

( , , , , , ) que són incògnites, però només restringeixen 5 graus de

llibertat al sòlid rígid, de manera que hi ha lligadures redundants i més incògnites

que equacions. No obstant això, es podria calcular el valor de les reaccions

correctament menys en la component paral·lela a l’eix de rotació, que no estaria

determinada. En el cas de tres punts fixos hi ha 9 incògnites de les reaccions i

només 6 equacions, que són els graus de llibertat restringits per les lligadures,

de manera que el valor de les reaccions depèn de 3 paràmetres lliures. El cas

15

d’un punt fix és l’únic en el qual es pot calcular la reacció, perquè amb els 3

lligadures s’obtenen les equacions justes per calcular les 3 components de la

reacció.

Cas d’un punt fix

Com que el punt de referència pel càlcul del moment és el punt fix, l’aplicació

de la reacció no canvia el valor del moment i es pot calcular l’acceleració angular

amb les Equacions 5.3 directament fent . Per al càlcul de la força de

reacció en el punt fix primer s’ha de calcular l’acceleració del centre de massa

amb la següent equació:

5.4

on és l’acceleració del centre de massa, és l’acceleració angular calculada

prèviament amb les Equacions 5.3, és la posició del centre de massa i la

posició del punt de referència (el punt fix), de manera que és la posició

del centre de massa relativa al punt de referència.

Amb aquesta acceleració del centre de massa es pot calcular, mitjançant

l’Equació 5.1, la força resultant que actua sobre el cos ∑ , la qual inclou la força

de reacció. A partir del valor de la resultant de força sense reaccions o externa,

∑ , es pot calcular la força de reacció del cos sobre el suport ∑ amb la

següent equació:

∑ ∑ ∑ 5.5

Cas de dos punts fixos

Per calcular l’acceleració angular d’un cos amb dos punts fixos s’utilitza una

fórmula derivada de l’aplicació del mètode de les potències virtuals, que s’explica

a continuació en base al diagrama de la Figura 2, on es representa un cos amb

el moviment restringit en dos punts fixos.

16

Fig. 2. Diagrama de forces i moments sobre un sòlid rígid amb dos punts fixos

De l’aplicació de les equacions de la potència virtual sobre un sòlid rígid se

n’obté la següent equació:

∗ ∗ ∗ 0 5.6

on ∗ és el treball virtual produït per les velocitats virtuals ∗ i ∗ . i són les

resultants de força i moment (comptant-hi les reaccions), calculades des d’un

punt O qualsevol. En aquest cas el punt O serà el punt fix 1. Els termes i

són les forces d’inèrcia de d’Alembert, que també són vectors, i des del punt fix 1

es calculen de la manera següent:

5.7

5.8

on és l’acceleració del centre de gravetat, la massa total i és el moment

cinètic calculat des del punt fix 1.

El motiu d’utilitzar el mètode de les potències virtuals és que permet calcular

l’acceleració angular sense necessitat de conèixer el moment de les forces de

reacció. El motiu és el següent, prenent, per exemple, el punt fix 1 com a punt de

referència, el moment de la força de reacció en el punt 2 és perpendicular a l’eix

de rotació. Com que el moment exterior està multiplicat per la velocitat

angular virtual, i aquesta té la direcció de l’eix de rotació (perquè les velocitats

virtuals han de ser compatibles amb els enllaços), la component de produïda

per la força de reacció en el punt fix 2 es cancel·la, perquè és perpendicular a

l’eix de rotació. D’aquesta manera es pot calcular l’acceleració angular a partir

dels moments exteriors ∑ . Una altra forma d’explicar-ho és que el moment

de la força de reacció no fa treball (de la mateixa manera que tampoc en fan les

17

forces de reacció) i com que el mètode de potències virtuals es basa en un

balanç d’energia aquests moments es poden excloure del còmput.

∑ ∗ ∑

∗ ∑ ∗ ∑

∗ 5.9

Tenint en compte això, aplicant l’Equació 5.6 sobre el punt fix 1 del cos de la

Figura 2, i tenint en compte que ∗ 0, s’obtenen les següents equacions:

∗ ∗ 0 5.10

∗ ∗ 0 5.11

La derivada temporal del moment cinètic, que es calcula mitjançant la derivada

en base mòbil, és el següent:

5.12

On és el tensor d’inèrcia calculat des del punt 1. A partir de l’Equació 5.12,

l’Equació 5.11 es converteix en el següent:

∗ ∗ 0 5.13

∗ ∗ 5.14

Com que l’acceleració té la mateixa direcció que la velocitat angular virtual ∗,

es pot expressar l’acceleració angular en la forma següent:

∗

‖ ∗‖ 5.15

on és la projecció de sobre ∗ normalitzat. Si s’incorpora aquesta expressió

en l’Equació 5.14, s’obté el següent:

‖ ∗‖

∗ ∗ ∗ 5.16

‖ ∗‖

∗

∗ ∗ 5.17

Amb l’Equació 5.15 i l’Equació 5.17 es troba l’equació final que permet calcular

l’acceleració angular:

18

∗

∗

∗

∗ 5.18

on la velocitat virtual ∗ pot ser qualsevol vector amb la direcció de l’eix de

rotació, és la velocitat angular i el moment exterior calculat des del punt

fix 1. El mateix procediment podria ésser fet utilitzant com a referència el punt fix

2 i els resultats obtinguts serien els mateixos.

5.3 Integració en el temps

Un cop obtingudes l’acceleració del centre de massa i l’acceleració angular

d’un sòlid rígid, la integració d’aquestes acceleracions en el temps es fa utilitzant

el mateix mètode que s’utilitza en el programa per a la resta d’elements del

model. És un esquema explícit de 2n ordre de diferències centrals, com s’explica

en l’article Explicit Dynamic Analysis of Thin Membrane Structures [1], que és la

base teòrica del programa original.

Aquest esquema de 2n ordre utilitza una velocitat calculada en un pas de temps

intermedi entre els passos de temps en què es calcula l’acceleració i la posició, i

aquesta velocitat s’utilitza per calcular el desplaçament. Suposant que

l’increment de temps és uniforme per a tots els passos, es calcula l’increment de

velocitat intermèdia amb la següent fórmula:

∆ ∆

∆ 5.19

A partir de les velocitats intermèdies calculades amb l’Equació 5.19, es calcula el

desplaçament a partir de la següent fórmula:

∆ ∆

∆

5.20

Per utilitzar correctament aquest mètode, com a conseqüència de l’Equació 5.19,

en el primer pas de temps és necessari calcular la velocitat en ∆ 2⁄ . Per

fer-ho es pot utilitzar una diferència regressiva d’aquesta forma:

∆∆2

5.21

19

5.4 Integració de la funció dins del programa

En general, el grup d’elements que formen un sòlid rígid pot estar connectat

en algun node amb altres elements del model, amb els que són deformables i

que es calculen amb el mètode d’elements finits. Aquesta unió amb elements

deformables provoca unes forces, que són les que transmeten les forces del

sòlid rígid a la resta d’elements del model, i viceversa.

Sobre els elements deformables actuen les forces internes elàstiques i de

dissipació; i les forces externes, que en general són les aerodinàmiques i la

gravetat. Aquestes forces sobre els elements, mitjançant el mètode d’elements

finits, es redueixen a una força per cada node de l’element, que és la que permet

calcular l’acceleració dels nodes (veure Secció 6.1). Això només es fa sobre els

elements deformables.

Sobre els elements rígids (els que formen part d’un sòlid rígid) també hi poden

actuar forces, però es redueixen directament a una força i moment resultants,

sense necessitat de calcular forces nodals, amb les quals s’utilitzen les

equacions del moviment de la Secció 5.2. Una d’aquestes forces pot ser, si un

node és compartit amb un element deformable, una força d’unió. Aquesta força

d’unió és exactament la força nodal que s’ha calculat per la reducció de forces

sobre els elements. Amb aquestes forces es lliga el càlcul dels elements rígids al

càlcul dels elements deformables i s’integra la funció de càlcul de sòlids rígids

dins del programa original.

5.5 Diagonalització del tensor d’inèrcia

Per la diagonalització del tensor d’inèrcia s’ha utilitzat l’algoritme QR, un

mètode de diagonalització numèricament estable gràcies a que totes les

operacions sobre la matriu original són transformacions ortogonals. Aquest

mètode de diagonalització es basa en la descomposició QR de matrius. Sobre

una matriu no-simètrica només permet obtenir els autovalors, però sobre matrius

simètriques, com és el cas del tensor d’inèrcia, permet calcular també els eixos

principals.

La descomposició QR és la transformació d’una matriu en el producte d’una

matriu ortogonal per una matriu triangular superior. És un mètode que

s’utilitza no únicament per diagonalitzar matrius, sinó que també serveix, per

exemple, per a resoldre sistemes d’equacions d’una forma similar al mètode .

20

5.22

A partir de la descomposició QR de la matriu original , el procés de

diagonalització es basa en l’operació següent:

5.23

que escrita de forma general per a una iteració és l’equació següent:

5.24

En l’Equació 5.24 s’observa que el producte resulta en una nova matriu ,

que és el resultat d’una rotació de la matriu original. Com que la transformació és

ortogonal, els autovalors i autovectors es conserven. La base d’aquest mètode

de diagonalització és el següent teorema:

Si la matriu és invertible amb autovalors , ,.. diferents en

mòdul, es compleix el següent:

lim→

lim→

0 5.25

O sigui, que les iteracions QR tendeixen a fer convergir la matriu en una

matriu triangular superior. Si la matriu original és simètrica, llavors

convergirà a una matriu diagonal.

Com que la transformació de en s’efectua únicament mitjançant rotacions

(amb les matrius ortogonals), es pot trobar la matriu de rotació que obté

, i que en les seves columnes té els autovectors de , amb la següent

equació:

… 5.26

Per fer la descomposició QR en cada iteració s’ha utilitzat el mètode de la

transformació Householder, que utilitza també transformacions ortogonals i és

igualment estable.

21

Sobre aquesta base de l’algoritme QR es poden introduir optimitzacions que

redueixen molt significativament el cost computacional, sobretot en matrius

simètriques. Però com que l’operació de diagonalització només s’efectua una

vegada, a l’arrancada del programa, en el pre-processament de les dades de

sòlid rígid, la millora en el temps de càlcul serà insignificant i, per tant, en aquest

cas és innecessari d’utilitzar aquestes optimitzacions.

22

6. Funció de càlcul de l’energia

L’objectiu de la funció de càlcul de l’energia és calcular el treball que els

diversos tipus de força fan sobre el sistema d’estudi i el canvi d’energia mecànica

que aquestes forces produeixen. La finalitat, des del punt de vista de la utilitat

per a l’usuari, és permetre l’anàlisi dels resultats des del punt de vista de

l’energia.

Aquesta funció fa que Parachutes generi un arxiu de text després del procés de

càlcul on es presenta l’estat energètic per a diversos instants de temps. L’estat

energètic ve descrit pels següents camps1:

1 : Increment d’energia cinètica associada a la translació del centre de massa

2 : Increment d’energia cinètica del moviment relatiu al centre de massa

3 : Increment d’energia potencial gravitatòria

4 : Increment d’energia potencial elàstica

1 : Treball de les forces elàstiques

2 : Treball de la gravetat

3 : Treball de les forces aerodinàmiques calculades internament

4 : Treball de les forces aerodinàmiques calculades externament

5 : Treball de les forces dissipatives o d’esmorteïment

Les forces aerodinàmiques calculades externament són les que són prescrites

explícitament o que s’han calculat en la part aerodinàmica del programa. Les

forces aerodinàmiques internes són les forces restants, que es calculen en la

part estructural.

Segons el principi de conservació de l’energia, l’increment d’energia mecànica en

un interval de temps és igual al treball de les forces no-conservatives en aquest

interval2. L’aplicació d’aquest principi permet presentar també en els resultats el

balanç energètic, que pot ésser útil per descobrir si s’estan produint errors en el

càlcul del moviment a partir de les forces aplicades. En aquest estudi, això ha

estat útil per descobrir errors en el càlcul del moviment en sòlids rígids.

1 Evidentment 4 1 i 3 2 i per això només es presenta l’energia potencial gravitatòria i el treball de les forces elàstiques, que són la forma òptima de calcular aquests valors. 2 Energia mecànica = 1 2 3 4. Treball no-conservatiu = 3 4 5

23

Però el resultat més útil per a l’usuari del programa és el còmput del treball de

dissipació, que permet saber si la dissipació introduïda, sempre necessària, pot

estar afectant la qualitat dels resultats.

6.1 Fonaments teòrics

El mètode d’elements finits discretitza un model en elements, i aquests

elements formen nodes. Els valors de les variables en els nodes permeten

extrapolar els valors en qualsevol dels punts del model mitjançant les funcions de

forma.

De l’equació d’equilibri en forma feble per la discretització en elements finits,

seguint l’article Explicit Dynamic Analysis of Thin Membrane Structures3 [1],

,

1,2,3

1, … ,

6.1

On són les funcions de forma, els desplaçaments nodals, les forces

màssiques, les forces de frontera, les tensions i , les derivades

espacials de les funcions de forma, i fent suma sobre i , s’obté l’equació en

forma matricial següent:

6.2

on són les forces màssiques, les forces de frontera, les forces elàstiques i

les acceleracions en els nodes, que són la incògnita del problema. En aquesta

equació la matriu de massa no és, en general, diagonal, de manera que en el

càlcul de l’acceleració d’un node de la malla hi intervenen també els nodes dels

elements als quals aquest node pertany.

En el programa Parachutes s’agilitzen els càlculs desconsiderant els termes de

fora la diagonal. És una pràctica habitual que evita haver de resoldre un sistema

d’equacions per a trobar l’acceleració nodal i que no té pèrdues de precisió

significatives, ja que mai hi haurà una gran diferència entre l’acceleració d’un

node i la dels del seu voltant. Els termes de la nova matriu de massa diagonal es

calculen segons la següent equació, que conserva la massa del sistema.

3 Aquest article és la base teòrica de la part estructural de Parachutes.

24

6.3

Amb la matriu de massa diagonal, es pot llegir l’Equació 6.2 com la 2a llei de

Newton aplicada individualment a diverses partícules. El terme de l’esquerra és

la massa multiplicada per l’acceleració i el terme de la dreta és la força sobre la

partícula. En aquest cas la lectura serà: massa nodal multiplicada per

l’acceleració del node és igual a la força sobre el node. L’analogia és útil perquè

permet el càlcul de l’energia com si el model fos un sistema de partícules.

6.2 Càlcul de l’energia mecànica

De l’energia mecànica només fa falta calcular l’energia cinètica i l’energia

potencial gravitatòria, perquè l’energia elàstica és més senzill calcular-la

mitjançant el treball de les forces elàstiques. Les energies cinètiques i l’energia

potencial gravitatòria es calculen segons les següents fórmules:

112

6.4

212

12

6.5

3 6.6

on és la velocitat del centre de massa en un instant qualsevol, és la

velocitat del centre de massa inicial, i és la posició del centre de massa. Les

variables amb subíndex són les referents als nodes i la velocitat relativa és:

6.7

Per calcular d’una forma més eficient 2 es pot calcular l’energia cinètica total i

restar-ne 1. Això evita haver de fer l’operació de restar en cada velocitat nodal

la velocitat del centre de massa.

6.3 Càlcul del treball en elements deformables

De l’Equació 6.1 s’obté per a cada funció de forma una equació on el

terme de la dreta és la força que s’aplica sobre el node . Si se separa aquesta

força nodal en els diversos tipus de força es podrà multiplicar a continuació

25

cadascun d’aquests tipus de força pel desplaçament experimentat pel node i

obtenir el treball.

Suposant que es coneix la força de tipus que actua sobre el node , s’obtindrà

el treball d’aquesta força sobre tots els nodes en l’interval que va de l’inici de la

simulació ( ) fins a un instant determinat ( ) de la següent manera:

→ 6.8

Que s’integra en el temps numèricament amb els valors en els diversos passos

de temps de la següent manera:

→ ∆ 6.9

6.4 Càlcul del treball en sòlids rígids

En els elements que formen part d’un sòlid rígid, el càlcul del treball pot fer-se

d’una forma molt més ràpida que sumant el treball de les forces en cada node

com es faria en un sistema de partícules. A més a més, poden existir forces que

ja estiguin reduïdes a una força i moment resultants. A partir d’aquesta forma

reduïda de les forces aplicades i de la velocitat angular i la velocitat d’un punt de

referència el treball es calcula molt senzillament.

Si es parteix de l’expressió del treball d’una força sobre un sistema de

partícules de l’Equació 6.8, i es transforma en el següent:

→ 6.10

En el cas que tots els nodes de la suma formin part d’un sòlid rígid es pot

expressar la velocitat nodal segons la velocitat d’un punt de referència i la

velocitat angular del sòlid , en el següent:

6.11

on, és la posició relativa de cada node respecte del punt de referència.

26

6.12

Si s’introdueix l’Equació 6.11 en l’Equació 6.10 s’obté la forma simplificada pel

càlcul del treball en sòlids rígids.

→

6.13

On és la resultant de les forces sobre el sòlid i és el moment resultant

prenent com a referència el punt .

6.5 Demostració de resultats

A continuació, com a demostració de funcionament de la funció de càlcul de

l’energia, es presenten els resultats de l’energia pel cas d’un pèndol (Figura 3)

format per elements rígids sobre el qual actua una força aerodinàmica en el

sentit del vent incident (tipus drag). L’esmorteïment provocat per aquesta força fa

que el pèndol, que sortia en posició horitzontal, es freni poc després de passar

per la posició vertical, amb molt poques oscil·lacions.

Fig. 3. Moviment del pèndol

En la Taula 1 es presenta l’evolució de l’estat energètic del pèndol. Es pot veure

que al finalitzar la simulació, quan el pèndol ja està gairebé quiet, el treball de la

força aerodinàmica, que actua com a dissipació, ha absorbit gairebé tot el treball

de la gravetat, i l’energia cinètica és gairebé nul·la. També es pot veure que

l’increment d’energia mecànica i el treball de les forces no conservatives són

aproximadament iguals per a tots els instants de temps. Aquests petits errors es

27

deuen a la forma de calcular el treball en el programa, que utilitza els

desplaçaments del pas de temps anterior per calcular el treball i d’aquesta

manera fer més ràpid el programa.

Taula 1. Exemple d’evolució de l’energia d’un pèndol (en Joules)

Es pot trobar l’arxiu de resultats energètics d’aquest cas, tal com surt del

programa, en l’Annex 3 d’aquesta memòria.

Temps (seg)

E.C.

c.d.m. E.C.

relativa Treball

aerodinàmic Treball gravetat

Energia mecànica

Treball no conservatiu

0.000 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.609 0.62 0.03 -4.83 5.51 -4.86 -4.83 1.218 0.60 0.03 -11.01 11.67 -11.04 -11.01 1.827 0.57 0.03 -16.82 17.44 -16.85 -16.82 2.436 0.53 0.02 -22.11 22.69 -22.14 -22.11 3.045 0.48 0.02 -26.79 27.32 -26.82 -26.79 3.654 0.43 0.02 -30.81 31.28 -30.83 -30.81 4.263 0.38 0.02 -34.15 34.56 -34.17 -34.15 4.872 0.32 0.01 -36.84 37.19 -36.85 -36.84 5.481 0.27 0.01 -38.93 39.22 -38.93 -38.93 6.090 0.22 0.01 -40.49 40.72 -40.49 -40.49 6.699 0.17 0.01 -41.60 41.78 -41.60 -41.60 7.308 0.13 0.01 -42.35 42.49 -42.36 -42.35 7.917 0.09 0.01 -42.83 42.93 -42.83 -42.83 8.526 0.06 0.00 -43.11 43.18 -43.11 -43.11 9.135 0.04 0.00 -43.25 43.29 -43.25 -43.25 9.744 0.02 0.00 -43.31 43.33 -43.31 -43.31 10.001 0.01 0.00 -43.33 43.34 -43.32 -43.33

28

7. Forces aerodinàmiques tabulades

L’objectiu d’aquesta funció és permetre aplicar sobre els sòlids rígids forces i

moments aerodinàmics obtinguts de dades experimentals. Sobre els cossos amb

formes no-aerodinàmiques no és possible obtenir resultats correctes de les

càrregues aerodinàmiques utilitzant el mètode de panells. Essent així, per poder

modelitzar les càrregues sobre els sòlids rígids de forma ràpida, sense afectar

negativament el temps de càlcul, la millor manera és utilitzar coeficients

aerodinàmics experimentals.

El programa llegeix els coeficients experimentals introduïts per l’usuari en un

fitxer, i a partir de l’actitud del cos respecte de la velocitat incident, es calculen

els coeficients corresponents i s’aplica la força sobre el cos. Els coeficients

aerodinàmics són de les següents forces i moments: resistència aerodinàmica ,

força lateral , sustentació , moment de balanceig , moment de capcineig

, moment de guinyada . Els coeficients són la força o moment dividits per

la pressió dinàmica. Essent així, els coeficients no són adimensionals. Els

coeficients de les forces tenen dimensió i els coeficients de moments tenen

dimensió .

En l’Annex 2 d’aquesta memòria es pot trobar el diagrama de flux de programa

de la funció d’aplicació de forces aerodinàmiques, on s’exposa de forma sintètica

com s’ha dissenyat el codi per a aquesta funció.

7.1 Preparació de les dades d’entrada

Una vegada el programa llegeix els coeficients aerodinàmics d’un cos

determinat de l’arxiu on l’usuari els ha introduït, s’han de preparar les dades

abans de ser utilitzades. En el programa que s’ha dissenyat es fan dues

correccions: primer es recalculen els coeficients amb un espaiat uniforme, i

després, si és necessari, s’aplica la simetria en els coeficients. Es presenta un

exemple de l’arxiu d’entrada de dades aerodinàmiques a l’Annex 4.

Els coeficients aerodinàmics són funció de l’angle d’atac i de l’angle de

lliscament , que estan definits en els següent intervals:

90° α 90°, 180° 180° 7.1

29

Per cada coeficient introduït, el programa ha de saber a quin i aquest

correspon. Per això, com és lògic, els coeficients s’introdueixen en forma de

taula, on les files corresponen a , i les columnes a . Normalment passa que

els valors de i els valors de no estan separats uniformement (com és el cas

de l’exemple de la Figura 4). En aquests casos, una bona pràctica per disminuir

el temps de càlcul del programa és interpolar inicialment els coeficients amb un

espaiat uniforme. D’aquesta manera quan es busca el coeficient per uns angles

i determinats i aquest s’ha d’interpolar dels valors inferiors i superiors, el

programa no ha de buscar de forma successiva a quin interval de la taula

correspon sinó que el pot calcular directament.

Per això, la primera preparació que es fa a les dades d’entrada és recalcular-les

amb una distribució uniforme de i . Això es fa mitjançant interpolacions.

Fig. 4. Exemple de coeficients aerodinàmics tabulats [2]

La segona preparació que es fa sobre les dades d’entrada és l’extrapolació. Si

els coeficients introduïts corresponen a un cos simètric, es podran conèixer els

valors en tot el domini de i , definit en l’Equació 7.1, a partir del rang de la

següent equació (veure Figura 4).

0° α 90°, 0° 90° 7.2

Hi ha altres tipus de simetries (amb rangs diferents) però aquesta és la més

habitual. Quan es dóna el cas d’un cos simètric, en l’arxiu d’entrada de dades

s’ha donat la opció d’especificar-ho i així no haver d’entrar els coeficient per a tot

30

el rang de i de l’Equació 7.1, sinó només en el rang de l’Equació 7.2,

facilitant així la feina a l’usuari.

Per extrapolar els coeficients a la resta del rang de i , s’han obtingut les

relacions d’extrapolació de [2], que es presenten a continuació:

, ,

7.3

, ,

7.4

° , ° ,

7.5

/ resistència / , moment de balanceig

/ , força lateral / , moment de capcineig

+ + + +

+ + + + 0°

90°

90° 0° 90° 180° 90° 180°

+ +

+ + 0°

90°

90° 0° 90° 180° 90° 180°

+ +

+ + 0°

90°

90° 0° 90° 180° 90° 180°

+ +

+ + 0°

90°

90° 0° 90° 180° 90° 180°

31

/ , sustentació / , moment de guinyada

Fig. 5. Diagrames per l’extrapolació de coeficients

L’Equació 7.3 indica la simetria o anti-simetria respecte de 0°, l’Equació 7.4

respecte 0°, i l’Equació 7.5 respecte 90°. Les mateixes relacions en

forma de diagrames es presenten en la Figura 5. La simetria o anti-simetria en

els diferents intervals de i respecte de l’interval de partida (Equació 7.2) es

marca amb signe positiu i signe negatiu respectivament.

7.2 Aplicació de les càrregues sobre el sòlid

Per determinar els angles i és necessari haver establert un sistema de

referència sobre el cos, a partir del quals es podrà conèixer l’orientació d’aquest

respecte dels eixos vent. Aquest sistema de referència són els eixos body, i

l’usuari els ha d’introduir com a dades del problema.

A partir de la velocitat incident, es calculen els angles i a partir de les

fórmules següents (obtingudes de [2]):

tan 90° 90° 7.6

sin| |

180° 180°

cos

7.7

on , , són els eixos body del cos i la velocitat del cos respecte de l’aire.

Per l’aplicació de les forces i moments sobre els cossos corresponents, una

vegada obtinguts els coeficients, s’han de conèixer els eixos vent del cos. Els

eixos vent, a partir dels eixos body i dels angles i , es calculen de la manera

següent:

+ +

+ + 0°

90°

90° 0° 90° 180° 90° 180°

+ +

+ + 0°

90°

90° 0° 90° 180° 90° 180°

32

| |

cos sin

7.8

Calculats els eixos vent amb l’equació anterior, l’obtenció dels vectors de força i

moment en la referència fixa es fa mitjançant les següents equacions, que tenen

en compte que les forces i , en eixos vent en realitat són i – .

7.9

7.10

33

9. Implicacions ambientals

Es considera que els temes tractats en aquest estudi no tenen cap implicació ambiental.

34

10. Conclusions

Les noves funcions pel programa Parachutes desenvolupades en aquest

estudi funcionen correctament. La funció de càlcul de l’energia dóna resultats

amb sentit físic i el balanç d’energia és correcte. La funció de càlcul del

moviment de sòlids rígids obté els resultats esperables en casos de solució

evident. A més a més, com ja s’ha dit anteriorment, es compleix el principi de

conservació de l’energia en tots els casos. També la subrutina de

diagonalització, associada a aquesta funció, dóna els resultats correctes. La

funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques a sòlids rígids calcula

correctament els angles d’atac i lliscament, i els eixos vent, que són les

operacions més crítiques. S’ha comprovat també el correcte funcionament del

pre-processament associat a aquesta funció, concretament de les operacions

d’interpolació amb espaiat uniforme i d’extrapolació de coeficients simètrics.

Durant l’escriptura del codi s’han anat corregint errors, tant de programació com

plantejaments teòrics equivocats. La versió definitiva és el resultat d’una llarga

sèrie de correccions i comprovacions.

Malgrat el correcte funcionament de l’actual versió, es vol deixar constància

d’alguns punts febles que caldria revisar per a futures versions. Primer de tot, la

subrutina que diagonalitza el tensor d’inèrcia amb el mètode QR té problemes de

convergència en casos, completament artificials, en què algun dels moments

principals d’inèrcia és pròxim a 0. Caldria revisar en aquest cas el criteri de

convergència. També, a la funció de càlcul del moviment de sòlids rígids, que

actua en cada pas de temps, caldria fer-li un anàlisi d’optimització i comprovar

que les operacions utilitzades en el codi són les més eficients, per tal que la

velocitat de càlcul sigui la màxima possible.

De forma general a totes les funcions desenvolupades, caldria paral·lelitzar la

part del codi que s’executa en cada pas de temps. Les operacions de pre-

processament, que s’executen una sola vegada a l’arrancada del programa, no

és necessari paral·lelitzar-les ja que la millora en temps de càlcul que en pogués

resultar seria inapreciable. També de forma global a totes les funcions, caldria

afegir al codi els missatges d’advertència i informació que apareixen en la

consola en la resta del programa.

Una possibilitat de millora que es podria considerar per a noves versions de

Parachutes és l’aproximació de la resistència aerodinàmica sobre l’ala. Com ja

s’ha dit anteriorment, la utilització del mètode de panells en la part aerodinàmica

35

del programa permet una rapidesa de càlcul que és indispensable, però al mateix

temps impedeix el càlcul d’una aerodinàmica realista, desconsiderant els efectes

de la resistència aerodinàmica. Malgrat això, la utilització d’un mètode de càlcul

de l’aerodinàmica basat, per exemple, en les equacions de Navier-Stokes, que

permetria calcular la resistència, actualment tampoc garantiria poder obtenir els

resultats aerodinàmics correctes, i requeriria un temps de càlcul molt més gran

que el que permet el mètode de panells. Per superar aquesta situació en el

programa s’utilitzen coeficients aerodinàmics experimentals per tractar la

resistència aerodinàmica dels cables, i en les noves funcions d’aquest estudi per

tractar tota l’aerodinàmica de les càrregues suspeses. Una possible millora en

aquest sentit seria l’aplicació de resistència aerodinàmica a partir de coeficients a

l’ala del paracaigudes. Per a fer-ho s’hauria d’introduir manualment la polar dels

perfils que formen l’ala i, a partir del coeficient de sustentació local en cada

secció calculat a partir de les pressions, calcular el coeficient de resistència local

i aplicar la força resultant als nodes d’aquesta secció.

Finalment, com a proposta de nou camp d’aplicació pel programa, estudiar si

podria ser útil la utilització de Parachutes com a eina de suport al disseny

d’aerogeneradors. Amb algunes modificacions, el càlcul acoblat aerodinàmic-

estructural de Parachutes podria permetre’n l’anàlisi aeroelàstic.

36

11. Pressupost

El pressupost per a l’elaboració d’aquest estudi, considerant la redacció de la

memòria i el treball de programació, és de 1,600€. Aquest pressupost es troba

detallat a l’Annex 6 d’aquesta memòria.

37

12. Referències

[1] R. Flores, E. Ortega, E. Oñate. Explicit Dynamic Analysis of Thin Membrane

Structures. Publicació de CIMNE, 2010.

[2] L. Cicolani, G, Kanning. A Comprehensive Estimate of the Static Aerodynamic

Forces and Moments of the 8- by 8- by 20-Foot Cargo Container. Publicació de la

NASA, 1987.

38

ANNEX 1

Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids

En la Figura 6 es presenta el diagrama de flux del programa Parachutes, resumit

en els blocs de càlcul bàsics per mostrar on s’emmarca la funció de càlcul de

sòlids rígids. El pre-processament de dades de sòlids rígids s’inclou en el bloc de

pre-processament general. En la Figura 7 es mostra el flux de programa de la

funció de càlcul de sòlids rígids.

Fig. 6. Diagrama de flux del programa Parachutes

CÀLCUL DEL

MOVIMENT

EN SÒLIDS

RÍGIDS

CÀLCUL DEL

MOVIMENT EN

ELEMENTS

DEFORMABLES

ENSAMBLATGE

DE FORCES EN

ELEMENTS

DEFORMABLES

OUTPUT DE

RESULTATS

PRE-

PROCESSAMENT

INPUT DADES

D’ENTRADA

CÀLCUL

AERODINÀMIC

final

inici

∆t

39

Fig. 7. Diagrama de flux de la funció de càlcul de sòlids rígids

CÀLCUL

RESULTANTS

FORÇA I MOMENT

EXTERIORS

CONVERSIÓ

RESULTANTS A

EIXOS PRINCIPALS

D’INÈRCIA

CÀLCUL

ACCELERACIONS

SEGONS PUNTS

FIXOS

CONVERSIÓ

ACCELERACIONS A

EIXOS DE

REFERÈNCIA

ORIGINALS

INTEGRACIÓ DE

L’ACCELERACIÓ

PER TROBAR EL

DESPLAÇAMENT I

LA VELOCITAT

APLICACIÓ DEL

MOVIMENT I

VELOCITAT ALS

NODES

40

ANNEX 2

Diagrama de flux de la funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques sobre sòlids rígids

En la Figura 8 es presenta el diagrama de flux de la part de la funció que llegeix

l’arxiu on l’usuari ha introduït els coeficients i prepara les dades per ser

utilitzades posteriorment. Aquest procés es duu a terme només una vegada, a

l’arrancada del programa, dintre del bloc de pre-processament.

Fig. 8. Diagrama de flux de la preparació dels coeficients aerodinàmics

En la Figura 9 es presenta el diagrama de flux de la funció que aplica càrregues

aerodinàmiques de coeficients tabulats. Aquesta funció està dins de la subrutina

de càlcul del moviment de sòlids rígids, i s’executa en cada pas de temps.

LECTURA DE

L’ARXIU DE

COEFICIENTS

AERODINÀMICS

INTERPOLACIÓ

DELS COEFICIENTS

AMB ESPAIAT

UNIFORME

EXTRAPOLACIÓ DE

COEFICIENTS

SIMÈTRICS

GUARDA

COEFICIENTS EN

MEMÒRIA

41

Fig. 9. Diagrama de flux de la funció d’aplicació de càrregues aerodinàmiques

CÀLCUL DELS

ANGLES ALFA I

BETA

CÀLCUL DELS

EIXOS VENT

CÀLCUL DE LES

FORCES I

MOMENTS EN

EIXOS VENT

CONVERSIÓ DE

LES FORCES I

MOMENTS EN

EIXOS GLOBALS

La força i moment es passa a la funció

de càlcul del moviment de sòlids rígids.

42

ANNEX 3

Exemple d’arxiu de resultats energètics

(1) Translation K.E. - Increment in the kinetic energy of the center of mass

(2) Relative K.E. - Kinetic energy of velocities relative to the center of mass

(3) Elastic W. - Work done by elastic forces

(4) Internal W. - Work done by forces calculated by the structural solver

(5) External W. - Work done by forces calculated by the aerodynamic solver

(6) Dissipation W. - Work done by all dissipation forces

(7) Gravity W. - Work done by gravity

(8) Change in M.E. - Change in mechanical energy since start of computation

(9) Non-Cons. W. - Work done by all non-conservative forces

Step Translation K.E. Relative K.E. Elastic W. Internal W. External W.

0.006767 0.4210E-02 0.1823E-03 0.0000E+00 0.0000E+00 0.0000E+00

0.609021 0.6170E+00 0.2898E-01 0.0000E+00 -0.4827E+01 0.0000E+00

1.218042 0.5978E+00 0.2675E-01 0.0000E+00 -0.1101E+02 0.0000E+00

1.827064 0.5676E+00 0.2605E-01 0.0000E+00 -0.1682E+02 0.0000E+00

2.436085 0.5282E+00 0.2455E-01 0.0000E+00 -0.2211E+02 0.0000E+00

3.045106 0.4817E+00 0.2113E-01 0.0000E+00 -0.2679E+02 0.0000E+00

3.654127 0.4302E+00 0.2098E-01 0.0000E+00 -0.3081E+02 0.0000E+00

4.263148 0.3761E+00 0.1673E-01 0.0000E+00 -0.3415E+02 0.0000E+00

4.872169 0.3215E+00 0.1471E-01 0.0000E+00 -0.3684E+02 0.0000E+00

5.481191 0.2680E+00 0.1345E-01 0.0000E+00 -0.3893E+02 0.0000E+00

6.090212 0.2174E+00 0.9959E-02 0.0000E+00 -0.4049E+02 0.0000E+00

6.699233 0.1707E+00 0.7438E-02 0.0000E+00 -0.4160E+02 0.0000E+00

7.308254 0.1288E+00 0.6362E-02 0.0000E+00 -0.4235E+02 0.0000E+00

7.917275 0.9235E-01 0.5152E-02 0.0000E+00 -0.4283E+02 0.0000E+00

8.526297 0.6172E-01 0.3558E-02 0.0000E+00 -0.4311E+02 0.0000E+00

9.135318 0.3715E-01 0.2105E-02 0.0000E+00 -0.4325E+02 0.0000E+00

9.744339 0.1875E-01 0.1069E-02 0.0000E+00 -0.4331E+02 0.0000E+00

10.001481 0.1285E-01 0.7581E-03 0.0000E+00 -0.4333E+02 0.0000E+00

Dissipation W. Gravity W. Change in M.E. Non-Cons. W.

0.0000E+00 0.3904E-02 0.4880E-03 0.0000E+00

0.0000E+00 0.5507E+01 -0.4861E+01 -0.4827E+01

0.0000E+00 0.1167E+02 -0.1104E+02 -0.1101E+02

0.0000E+00 0.1744E+02 -0.1685E+02 -0.1682E+02

0.0000E+00 0.2269E+02 -0.2214E+02 -0.2211E+02

0.0000E+00 0.2732E+02 -0.2682E+02 -0.2679E+02

0.0000E+00 0.3128E+02 -0.3083E+02 -0.3081E+02

0.0000E+00 0.3456E+02 -0.3417E+02 -0.3415E+02

0.0000E+00 0.3719E+02 -0.3685E+02 -0.3684E+02

0.0000E+00 0.3922E+02 -0.3893E+02 -0.3893E+02

0.0000E+00 0.4072E+02 -0.4049E+02 -0.4049E+02

0.0000E+00 0.4178E+02 -0.4160E+02 -0.4160E+02

0.0000E+00 0.4249E+02 -0.4236E+02 -0.4235E+02

0.0000E+00 0.4293E+02 -0.4283E+02 -0.4283E+02

0.0000E+00 0.4318E+02 -0.4311E+02 -0.4311E+02

0.0000E+00 0.4329E+02 -0.4325E+02 -0.4325E+02

0.0000E+00 0.4333E+02 -0.4331E+02 -0.4331E+02

0.0000E+00 0.4334E+02 -0.4332E+02 -0.4333E+02

Fig. 10. Arxiu de resultats energètics, en dues parts, de l’exemple de la Secció 6.5

43

ANNEX 4

Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics

En la Figura 11 es presenta l’exemple d’un arxiu d’entrada de coeficients

aerodinàmics, que corresponen al contenidor de càrrega per helicòpters conegut

com MILVAN [2], de dimensions 2.5 x 2.5 x 3 metres. Com que es tracta d’un

exemple no s’han inclòs tots els coeficients. Es pot veure en la figura que els

coeficients introduïts corresponen als rangs 0 90° tant per com per , la qual

cosa vol dir que el cos és simètric. Per aplicar l’aerodinàmica descrita pels

coeficients a sòlids rígids del programa s’han d’escriure els números que els

identifiquen on diu Assignation to Rigid Bodies.

Fig. 11. Exemple d’arxiu d’entrada de coeficients aerodinàmics

=============================================================================

= Aerodynamic Coefficients for Rigid Bodies =

=============================================================================

-> Type of Body:

-> Source:

-> Comments:

=============================================================================

# Assignation to Rigid Bodies # ! rigid body numbers, separated by comma

1

# Symmetry # ! 1=yes, 0=no

1

# Values for Alfa #

0,4,8,12,20,30,40,60,90

# Values for Beta #

0,8,16,25,40,60,90

# Select Coefficients to Read # ! D,Y,L,RM,PM,YM

0,0,1,0,0,0

# Coefficients for Drag #

# Coefficients for Sideforce #

# Coefficients for Lift #

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

10.5 13.3 17.9 21.0 12.6 3.6 0.0

17.8 21.0 32.3 37.1 21.1 3.6 0.0

23.0 26.4 40.8 47.7 25.1 3.6 0.0

35.8 39.6 53.9 63.7 32.7 7.3 0.0

57.2 54.2 59.2 62.5 47.9 18.3 0.0

66.6 64.1 66.4 67.6 55.0 27.6 0.0

83.9 83.9 76.3 64.5 37.9 21.3 0.0

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

# Coefficients for Roll Moment #

# Coefficients for Pitch Moment #

# Coefficients for Yaw Moment #

=============================================================================

44

ANNEX 5

Exemple d’aplicació de Parachutes

A continuació es presenta un exemple de l’aplicació de Parachutes per un cas

d’un paracaigudes amb una càrrega, com el que es veu a la Figura 12. Se simula

el moviment del paracaigudes a partir de deixar-lo anar amb una velocitat inicial

de 12 m/s i un angle d’atac de 20°.

Fig. 12. Forma del paracaigudes abans de la simulació

A partir dels arxius de resultats del programa, utilitzant pel post-processament el

programa GiD de CIMNE, es pot visualitzar el moviment del paracaigudes, com

es pot veure en la Figura 13, que mostra una imatge de la forma del

paracaigudes després de 10 segons de deixar-lo anar. La gravetat actua en la

direcció de l’eix Z.

Els resultats de la part estructural de Parachutes que es poden analitzar amb

GiD són desplaçaments, velocitats i tensions. Els de la part aerodinàmica són el

coeficient de pressió (veure Figura 14), la velocitat en els panells i la intensitat

dels doblets que modelen el camp de pressions.

45

Fig. 13. Forma i orientació del paracaigudes després de 10 segons

Fig. 14. Distribució del coeficient de pressió en l’ala del paracaigudes

46

ANNEX 6

Pressupost

Es pressuposta aquest estudi i la feina de programació que l’acompanya en

1,600€.

Considerant que no s’han de comprar llicències de programes, el cost resulta

únicament de pagar les hores de feina. Un enginyer mitjanament experimentat

en aquest tipus de feina completarà les tasques abans descrites en dues

setmanes, o sigui en 80 hores. Si cobra 20 € per hora, el cost total de la seva

feina serà de 1,600 €.