Mate5_unidad4. Ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Estudiando ecuaciones diferenciales
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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden
U.N.P.S.J.B. Facultad de Ciencias Económicas Sede Comodoro Rivadavia Matemática II
Ing. Nilda E. Belcastro
yxdx
dy ⋅⋅= 2.0
U.N.P.S.J.B. Fac.de Cs. Econ. Sede Com. Riv. Matemática IIEcuaciones diferenciales ordinarias de primer Orden
¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación diferencial se trata de una relación entre una función, su variable independiente y las derivadas de dicha función, donde la función
es la incógnita.
Por ejemplo:
2( )d y x yd x
= + 6dy
x ydx
= ⋅ ⋅
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20.6 ( ) xy x e ⋅=
6dy
x ydx
= ⋅ ⋅Que es un ejemplo de ecuación diferencial
Su derivada es:
20.6 1.2 xdyx e
dx⋅= ⋅ ⋅
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Si
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Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.
yxdx
dy ⋅⋅= 2.0
variable dependiente
variable independiente
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5 ey dx
dy x=+
1) Ecuación diferencial ordinaria Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.
Ejemplo :
puede contener más de una variable dependiente:
Clasificación por tipo:
yx dt
dy
dt
dx +=+ 2
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2) Ecuación diferencial parcial :
Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.
Ejemplos:
t
u
t
u
x
u
y
u
x
u
∂∂−
∂∂=
∂∂=
∂∂+
∂∂
2 02
2
2
2
2
2
2
2
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Notaciones
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux, uy, uxx, uyy, uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:
5 ey dx
dy x=+
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xeydy
dx
dx
yd =−
+
↓↓
45
3
2
2
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
segundo orden primer orden
Entonces es una ecuación diferencial de segundo orden.
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Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
Ejemplo:La siguiente ecuación diferencial:
es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.
87 53
−=
xxydx
dy
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Ejercicios
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)3
2
22
6
2
2
7
+=
+
dx
ydx
dx
dyx
dx
yd
735 25
2
22
4
4
+=
+
−
x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
17 2 += xdx
dy3
2
2
dx
dyx
dx
yd =+
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ydx
dyx
dx
yd53
3
3
+
=
3 53 3
3 323 9
dy d y d yx
dx dx dx
+ = +
3
37 19
d y dyx
dx dx − =
2 3
72 3
9d y d y
xdx dx
+ =
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) b)
c)
d)
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A veces se escriben las ecuaciones en forma diferencial
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente y x la independiente en la ecuación diferencial en forma diferencial:
0'4
'
04)(
=+−
=
=+−
xyxydx
dyy
xdydxxy
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Forma general de orden n de una ecuación diferencial:
Forma normal de orden n de una ecuación diferencial :
Por ejemplo, las formas general y normal de la ecuación diferencial
son:
0) , ,' , ,(variables2
)( =+
n
nyyyxF
) , ,' , ,(variables1
)1(
+
−=n
nn
n
yyyxfdx
yd
f(x, y)x (x – y)/y’
x y)/ y’ - (x –)F(x, y, y’
====
4
04
x, y xy’ =+4
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Clasificación según la linealidad:
Se dice que una ecuación diferencial de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).
)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
0)()()()()( 011
1
1 =−++++ −
−
− xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
O bien:
)()()()( 012
2
2 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa =++
primer orden
segundo orden
)()()( 01 xgyxadx
dyxa =+
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)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
Lineal homogénea: El término independiente g(x) es nulo.
Lineal con coeficientes constantes: Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
Lineal con coeficientes variables: Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.
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)()()()()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++ −
−
−
xeyyy =+− 2')1(
024
4
=+ ydx
yd
En una ecuación diferencial lineal de orden n: 1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado. 2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la variable independiente x.
Ejemplos de Ecuaciones no lineales:
El coeficiente depende de y.
0siny2
2
=+dx
yd
O función no lineal de y:
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4416
322/142/1 xx
xx
xxy =⋅=
⋅=
Ejemplo:
Comprobar que la función indicada es la solución de la ecuación diferencial dada.
(a) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.
Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-∞, ∞).
(a) Lado izquierdo :
Lado derecho:
Y la igualdad se cumple para todo x de (-∞, ∞).
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4164
33 xxdxdy =⋅=
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xxeyyyy ==+′−′′ ;02
Solución:
(b) Derivando la solución dos veces:
y' = x ex + ex
y'' = x ex + 2 ex
y(x) = 0 se conoce como solución trivial.
Otro ejemplo:
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0)(2)2(2 =++−+=+′−′′ xxxxx xeexeexeyyy
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Solución de una ecuación diferencial
Llamamos solución de una ecuación diferencial a una función tal que al sustituirla en la ecuación reduzca a ésta a una identidad.
O sea, posee al menos n derivadas y cumple :
IxxxxxF n ∈∀= 0))( , ),(' ),( ,( )(φφφ
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Una ecuación diferencial puede tener:
Infinitas soluciones:
Una única solución:
Ninguna solución:
tCexyxyy sin)(;cos' ==
0)(;0)'( 22 ==+ xyyy
0)'( 22 =+ xy
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La solución general de una ecuación diferencial de orden n es una relación entre sus variables que contiene a n constantes arbitrarias linealmente independientes y satisface idénticamente la ecuación diferencial.
Una solución particular de una ecuación diferencial es aquella que se obtiene de la solución general por medio de la asignación de valores específicos a las constantes arbitrarias que aparecen en tal solución.
Solución general una ecuación diferencial
Solución particular una ecuación diferencial
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Cuando se resuelve una ecuación diferencial de orden n, se busca una familia no paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
F(x, y, y') = 0
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Por ejemplo :
y = cx – x cos x
es la solución general de
xy’ – y = x2 sin x
Tomando c = 0, tenemos:
y = x cos x que es una solución particular.
La solución particular es una solución libre de parámetros arbitrarios.
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EjemploComprobar que la y = x 2 + C no es solución de la ecuación diferencial:
xdx
dy2=
Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto y = x 2 + C no es solución de la ecuación diferencial dada.
SoluciónDerivando y = x 2 + C tenemos
xdx
dy =
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Ejercicios
Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:
yxdx
dyxCxxy +=
+= 22 ;
025);5cos()5(2
2
=++= ydx
ydxBxAseny
( ) 084; 23
2 =+
−
−= y
dx
dyxy
dx
dyCxCy
( ) 2412 ''; yxxyyCxCy =++= −
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Ejemplo:
Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general es y = x 2 + C.
Solución
Sólo tenemos una constante de integración, entonces derivamos una sola vez la solución general y = x2 + C
Nos queda
Como en esta ecuación no aparecen constantes de integración, esta es la ecuación diferencial de la solución general presentada al inicio.
xdx
dy2=
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Ejemplo
Encuentre la ecuación diferencial cuya solución general es y = C x2.
xx
y
dx
dy
=
222x
yC =
Por lo tanto:
es la ecuación diferencial de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración.
x
y
dx
dy 2=
Solución
Observemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = C x2.
Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ecuación diferencial.
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Ejercicios
Encuentre la ecuación diferencial de las siguientes soluciones generales de
xx eCeCy −+= 21
)3tan( Cxy +=
( ) 22
221 CyCx =+−
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