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INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES
DE MONTEREY
CAMPUS EUGENIO GARZA SADA
ESTUDIO DEL EFECTO DE UN MODELO DE ENSEÑANZA DE LA
MATEMATICA BASADO EN PROCESOS CON DOSIFICACION DE
CONTENIDO SOBRE EL RENDIMIENTO DE LOS ESTUDIANTES
DE PROFESIONAL EN EL ITESM
CAMPUS TAMPICO
Tesis presentada como requisito parcial para optar
al título de Maestro en Educación con
especialidad en Matemáticas
Autor: lng. Norma Cervantes Rosales.
Asesor: Dra. Margarita A. de Sánchez.
Monterrey, N.L. 15 de Noviembre de 1991
ESTUDIO DEL EFECTO DE UN MODELO DE ENSEÑANZA
DE LA MATEMATICA BASADO EN PROCESOS CON
DOSIFICACION DEL CONTENIDO SOBRE EL RENDIMIENTO DE
LOS ESTUDIANTES DE PROFESIONAL EN EL ITESM CAMPUS
TAMPICO.
lng. Norma Cervantes Rosales.
Trabajo de Grado aprobado en nombre del Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Eugenio Garza Sada, por el siguiente Jurado:
Dra. Margarita A. de Sánchez Dra. Zenaida Ramos
Dr. Ramón Núf\ez Doval
A mi esposo:
Ruben Ricardo Martínez Vi/legas, que en todo
momento estuvo a mi lado brindándome su apoyo y
comprensión.
A mis padres:
Arturo Cervantes Infante y Ma. del Carmen Rosales
de Cervantes, quienes con su ejemplo me han enseñado a
esforzarme por alcanzar las metas anheladas.
Reconocimientos
A la Dra. Margarita A. de Sánchez por su valiosa asesoría en
la realización de este trabajo y por su entusiasmo y aliento que
me ayudaron a esforzarme en la elaboración de este trabajo de
tesis.
A la Lic. Dora Estela Rodríguez, directora de la maestria en
educación del ITESM Campus Eugenio Garza Sada por el apoyo
administrativo necesario para la realización de este trabajo de
tesis.
Al lng. Jorge Elizondo Montalvo, director del ITESM Campus
Tampico por la oportunidad de estudiar la mestría en educación .
Al lng. Fortunato Méndez E., director de la división de
Ingeniería del ITESM Campus Tampico, por el apoyo brindado
durante todo el tiempo que estudié la maestría en educación .
Al Lic. Rafael Díaz Guerra, por sus valiosas sugerencias en
la parte estadística de este trabajo.
RESUMEN
En este trabajo de tesis se presenta un modelo de enseñanza de la Matemática basado en procesos con dosificación del contenido. Para diseñar dicho modelo, se realizó una revisión bibliográfica acerca de la enseñanza de la Matemática desde una perspectiva no tradicional que se ubica en la didáctica de la Matemática centrada en procesos.
Para determinar el efecto del modelo de enseñanza propúesto sobre el aprendizaje de los alumnos, se condujo una investigación cuasiexperimental con dos grupos intactos de Matemáticas I para las Ciencias Sociales en el ITESM Campus Tampico. Uno de los grupos fue el experimental, en donde se aplicó el modelo de enseñanza, y el otro grupo recibió la metodología convencional.
Teniendo en cuenta que la muestra no fue seleccionada al azar, no es posible realizar inferencia estadística hacia toda la población, sin embargo los resultados obtenidos indican que los alumnos que recibieron el modelo de enseñanza propuesto tuvieron un rendimiento superior en los dos tipos de exámenes aplicados que los estudiantes del grupo control.
Asimismo, los estudiantes del grupo experimental presentaron un nivel completamente satisfactorio de razonamiento matemático.
Se concluyó que la utilización del modelo en el grupo experimental mejoró tanto su rendimiento como su nivel de razonamiento matemático.
Se recomienda realizar futuras investigaciones, donde se lleve a cabo un muestreo aleatorio que permita realizar la inferencia estadística.
INDICE GENERAL
PR ESENT ACION .................................................................... .
RECONOCIMIENTOS............................................................... iv
RESUMEN................................................................................. V
INDICE GENERAL ........................................................•........... vi
LISTA DE TABLAS ..........................•....................................... ix
INTRODUCCION ........................................................................ 1
1. ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA ................ 4
1.1. ANTECEDENTES ........................................................... 4
1.2. DIAGNOSTICO GLOBAL ............................................... 7
1.3. SELECCION DE UNA NECESIDAD .............................. 23
1.4. DEFINICION DEL PROBLEMA ..................................... 24
1.4.1. Enunciado ............................•.......................... 25
1.4.2. Delimitación .................................................. 26
1.4.3. Justificación ................................................. 27
1.5. OBJETIVOS Y METAS DEL PROYECTO ..................... 27
1.6. ESTRATEGIA GENERAL ............................................ 28
1.7. LIMITACIONES DEL TRABAJO ................................. 29
2. MARCO TEORICO CONCEPTUAL. ....................................... 30
2.1. SELECCION Y ORGANIZACION DEL CONTENIDO
DEL CURRICUL0 ....................................................... 31
2.2. PRINCIPIOS QUE ORIENTAN LA CONDUCCION DEL
PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
MATEMATICA DESDE LA PERSPECTIVA
TRADICIONAL ........................................................... 69
2.3. PRINCIPIOS QUE ORIENTAN LA CONDUCCION DEL
PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
MATEMATICA DESDE LA PERSPECTIVA
NO-TRADICIONAL ................................................•.. 82
2.4. EVALUACION DEL APRENDIZAJE ......................... 106
2.5. LINEAMIENTOS CURRICULARES ........................... 122
3. UNA ALTERNATIVA DE SOLUCION: MODELO DE ENSE
ÑANZA BASADO EN PROCESOS CON DOSIFICACION
DEL CONTENID0 .............................................................. 131
3.1.ANALISIS DEL PROGRAMA ANALITICO DEL
CURSO MATEMATICAS I PARA LAS CIENCIAS
SOCIALES ................................................................ 132
3.2. IDENTIFICACION DE LAS CARACTERISTICAS
ACADEMICAS DE LOS ESTUDIANTES INSCRITOS
EN EL CURSO .......................................................... 135
3.3. REDISTRIBUCION DEL CONTENIDO DEL CURSO ... 137
3.4. DEFINICION DE LA METODOLOGIA DE
E NS ENANZA ............................................................. 139
3.5. DETERMINACION DE LA FORMA DE EVALUACION
DE LOS ESTUDIANTES ......................................... 145
3.6. SUPUESTOS GENERALES QUE JUSTIFICAN
EL MODELO ............................................................. 146
4.ESTRATEGIA METODOLOGICA ....................................... 147
4.1. METODO DE INVESTIGACION UTILIZADO ............. 147
4.2. POBLACION Y MUESTRA ........................................ 149
4.3. DISEÑO DEL EXPERIMENTO ................................... 149
4.4. METODO DE RECOLECCION DE DATOS .................. 150
4.5. HIPOTESIS.............................................................. 154
4.6. METODO DE PROCESAMIENTO DE LOS DATOS ...... 155
5. ANALISIS DE DATOS Y PRESENT ACION
DE RESULTADOS ....•.........•...•.......................................... 157
5.1. DESCRIPCION DE LA MUESTRA ............................ 157
5.2. ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS ........................... 158
5.3. ANALISIS DE LOS DATOS ...................................... 166
6. SINTESIS, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ....... 170
6.1. SINTESIS .•...•......•............................. .............. ........ 170
6.2. CONCLUSIONES .........•.••...•........•••.••..•........••........... 173
6.3. RECOMENDACIONES ................................................ 174
7. ANEXOS ............................................................................ 176
7.1. ANEXO A .................................................................. 177
7.2. ANEXO B .................................................................... 181
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
ANEXO e ANEXO D
ANEXO E
ANEXO F
ANEXO G
ANEXO H
ANEXO
ANEXO J
ANEXO
ANEXO
K
L
8. BIBLIOGRAFIA ...................................................................... 264
196
197
199
207
215
242
258
260
262
263
INDICE DE TABLAS
TABLA PAG
1 Estadísticos descriptivos de las califica-
ciones Grupo Experimental ................................... 159
2 Estadísticos descrptivos de las califica-
ciones Grupo Control ............................................... 161
3 Estadísticos descriptivos del Análisis de
razonamiento Grupo Experimental ................. 163
4 Estadísticos descriptivos del Análisis de
razonamiento Grupo Control ............................. 164
5 Resumen de las medias de calificaciones
a comparar entre ambos grupos ...................... 167
6 Resumen de las medias y nivel de satis-
facción en las variables de razonamien
to matemático a comparar entre ambos
grupos .................................................................... 167
7 Medias en los exámenes SAEA y los de
desarrollo a comparar en cada grupo ....... 167
INTRODUCCION
Entre las funciones principales de la educación superior, se
encuentra la de formar profesionistas capaces de asumir en la
sociedad responsabilidades importantes que contribuyan a su
desarrollo social, económico y cultural.
Mucho se ha hablado acerca de la necesidad de preparar
cuadros profesionales acordes con el avance tecnológico de los
últimos tiempos. Desde esta perspectiva, destaca el importante
papel de la ciencia y la técnica en la transformación acelerada de
los procesos productivos. Incluso se afirma, que el futuro a nivel
internacional está determinado por la ciencia y su incorporación
directa a la producción.
Si se considera que la Matemática es instrumento y lenguaje
de la ciencia, se tiene entonces que el desarrollo científico y
tecnológico y la educación en Matemática son inseparables.
En este sentido, José Adem (1991 ), reconocido matemático
mexicano, afirma que la enseñanza de la matemática ocupa una
posición estratégica en el sistema educativo, y el nivel de la
preparación científica y tecnológica puede elevarse más fácilmente
si los conocimientos matemáticos se imparten oportuna y
adecuadamente. Esto implica un estudio cuidadoso de los programas
actuales de los cursos, y una revisión de los métodos de enseñanza a
todos los niveles: elemental, medio y superior.
En la mayoría de las instituciones educativas se presenta el
problema del bajo rendimiento que los alumnos presentan en los
distintos cursos de Matemática que se imparten, lo cual es un
motivo de preocupación constante para todos los involucrados en el
1
quehacer educativo: autoridades educativas, docentes, padres de
familia, alumnos, etc.
Existen muchas interpretaciones reduccionistas que
pretenden explicar el problema mencionado, las cuales, en algunas
ocasiones asignan toda la responsabilidad a los alumnos (no
estudian, son flojos, tienen malos hábitos de estudio, traen malas
bases, etc.); en otros casos la responsabilidad recae en los docentes
(no saben explicar, no estan bien preparados, no saben evaluar, etc.).
En ambos casos, se trata de una explicación, en extremo
simple, de una situación que es sumamente compleja y que, por sus
negativas consecuencias, requiere de un planteamiento más global.
Teniendo en cuenta la importancia de la enseñanza de la
Matemática para el desarrollo científico y tecnológico de una
sociedad y los problemas que se presentan en su enseñanza, es
necesario buscar alternativas que mejoren el proceso de
enseñanza-aprendizaje de esta disciplina.
González (sin fecha) afirma que cuando se aborda el proceso
de enseñanza-aprendizaje, se observa que en él confluye un conjunto
de elementos que, de alguna manera, afectan el rendimiento de los
estudiantes. Entre las principales variables implicadas en este
proceso se pueden señalar las siguientes:
1. Características personales del estudiante: habilidad
académica, motivación para el aprendizaje, actitud hacia la
asignatura, hábitos de estudio, etc.
2. Características personales del docente: capacitación
académica, formación pedagógica, actitud hacia la asignatura,
2
concepción del proceso educativo, concepción de la asignatura.
3. Prerequisitos de los objetivos a desarrollar: nivel de
dominio de los contenidos curriculares previstos y de los procesos
cognitivos requeridos para tener éxito en el aprendizaje.
4. Modalidad en la que se presentan los contenidos
curriculares: verbal, gráfica, pictórica, simbólica, etc.
5. Naturaleza del tópico a enseñar en cuanto a su extensión,
complejidad y nivel de abstracción.
6. Variables del proceso instruccional: estructura de la clase,
técnica de la pregunta, retroalimentación correctiva y distribución
del tiempo.
Teniendo en cuenta las gran cantidad de variables que
influyen en el proceso de enseñanza-aprendizaje, puede afirmarse
que el bajo rendimiento en Matemática no depende sólo de los
alumnos o de los profesores; este problema debe verse en forma
más comprensiva, tratando de abarcar las diferentes variables que
convergen en el proceso, especialmente las que tienen que ver con el
proceso instruccional, que compete directamente a los docentes.
3
CAPITULO 1
1. ANTECEDENTES Y DEFINICION DEL PROBLEMA
En el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey (ITESM) Campus Tampico, el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática, al igual que en muchas
otras instituciones educativas, presenta problemas relacionados
con las diferentes variables que influyen en el mismo, mencionadas
en la introducción de este trabajo.
En este primer capítulo se presentan los antecedentes y el
diagnóstico global del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática en la institución educativa mencionada.
Asimismo, como resultado del diagnóstico realizado, se
presenta una serie de necesidades que permitieron definir el
problema de investigación de este trabajo de tesis.
1.1. ANTECEDENTES
El sector curricular de Matemáticas del ITESM Campus
Tampico está constituido por 8 cursos de Matemáticas: 4 del área de
Ingeniería y 4 del área de Licenciatura, los cuales tienen una
secuencia vertical, ya que cada curso es requisito del seguiente.
Tanto en el área de Ingeniería como de Licenciatura, los cursos
forman parte del tronco común de diferentes carreras profesionales.
Entre las de Ingeniería se encuentran: Ingeniero industrial y de
sistemas, Ingeniero en sistemas computacionales, Ingeniero en
electrónica y comunicación, Ingeniero mecánico, entre otras. En el
4
caso de Licenciatura, se encuentran: Licenciado en Administración
de Empresas, Contador Público, Licenciado en Economía, entre otras.
Una de las actividades tradicionales al inicio de cada
semestre escolar en el ITESM Campus Tampico es la llamada "junta
de inducción", donde el director del Campus se reúne con todos los
maestros que impartirán clases en el semestre que esté por
iniciarse. Entre las actividades que se llevan a cabo en estas
reuniones destaca la lectura que realiza alguno de los directivos del
Campus del documento llamado: "Guía para facilitar el desempeño de
la labor docente de los profesores", que en el apartado referente al
Programa Analítico dice textualmente:
"Revise el programa de su materia y cumpla estrictamente con todos los objetivos. El sistema Tecnológico de Monterrey en toda la República tiene como norma indiscutible, impartir los mismos programas de estudio de todas y cada una de las materias, de cada carrera en todos los Campus. Por lo tanto, no es posible que un profesor modifique el programa de la materia que imparte; antes bien, deberá apegarse estrictamente al nivel marcado en los objetivos específicos de aprendizaje de cada tema. Cualquier observación para mejorar el programa será considerada por su director de departamento, como sugerencia que llevará al comité encargado de actualizar los programas ".
Entre las estrategias institucionales diseñadas para asegurar
el cumplimiento de los programas analíticos por parte de los
profesores destaca el llamado Sistema de Ayuda para la Evaluación
del Aprendizaje (SAEA), que a partir del semestre
Agosto-Diciembre de 1988 fue implantado en el ITESM Campus
Tampico en el área de Matemáticas y Estadística a nivel 5
profesional.
Este sistema consiste en una serie de exámenes
departamentales de opción múltiple que son generados con la ayuda
de una computadora que tiene almacenado un banco de reactivos, los
cuales han sido elaborados por un grupo de profesores de
Matemáticas del Campus Monterrey, teniendo en cuenta los
objetivos específicos de aprendizaje que contienen los programas
analíticos de las materias de Matemáticas y Estadística.
Al inicio de cada semestre , se le entrega a cada profesor el
programa analítico de la materia que va a impartir, el cual tiene
marcado hasta que objetivo específico de aprendizaje debe cubrirse
en cada período de acuerdo con el examen SAEA , de tal manera que
para el examen final (que también es del sistema SAEA) se haya
cubierto todo el programa.
De lo expuesto en esta sección se puede concluir que en el
sistema educativo ITESM se valora el estricto cumplimiento de los
contenidos especificados en cada programa de las diferentes
materias que se imparten, · de ahí que se hayan desarrollado
estrategias institucionales que aseguren el cumplimiento de los
programas, como es el caso del sistema SAEA.
Si bien lo expuesto refleja el aspecto normativo del
acontecimiento educativo, la pregunta natural que surge es, ¿de que
manera se lleva a cabo en la práctica el cumplimento de esta norma
institucional?, ¿cómo se afecta el proceso de
enseñanza-aprendizaje?, ¿qué hacen los maestros y alumnos para
cumplir con ella?.
Para responder la preguntas planteadas, se presenta en la
siguiente sección el diagnóstico global del proceso de
6
enseñanza-apredizaje de la Matemática en el ITESM Campus
Tampico, en donde se describen las situaciones deseada y
observada con respecto a diferentes variables que inciden en dicho
proceso y se extraen conclusiones al comparar ambas situaciones.
1.2. DIAGNOSTICO GLOBAL
El diagnóstico global de todo el sector curricular de
Matemáticas de profesional del ITESM Campus Tampico, se llevó a
cabo en cuatro etapas:
1 . Descripción de la situación observada.
2. Descripción de la situación deseada.
3. Comparación entre la situación observada y la deseada.
4. Identificación de necesidades.
Los factores que se consideraron para realizar el diagnóstico
fueron:
1. La formación docente de los profesores de Matemáticas.
2. El programa analítico de los cursos de Matemáticas y
Estadística.
3. El método de enseñanza utilizado.
4. La evaluación del desempeño del alumno.
En los siguientes apartados se detallan cada una de las
etapas del diagnóstico en relación a cada uno de los factores
mencionados.
7
1.2.1. DESCRIPCION DE LA SITUACION OBSERVADA
Con el propósito de describir la situación observada en
relación a los factores considerados en el diagnóstico, se tomaron
en cuenta tanto la perspectiva del maestro como la del alumno.
La información relativa a cada factor se obtuvo de las
siguientes fuentes:
1. Cuestionario de opinión aplicado a los profesores.
2. Investigación exploratoria de carácter etnográfico con un
grupo, en donde se realizaron: observación participativa de la clase,
entrevistas con el maestro y los alumnos y cuestionario de opinión
a los alumnos.
1.2.1.1. Información proveniente del cuestionario de
opinión aplicado a los profesores
Se aplicó un cuestionario de opinión (Anexo A) a todos los
profesores de Matemáticas del Campus Tampico, cuyos objetivos
son los siguientes:
1 . Conocer la formación académica del maestro que imparte
Matemáticas en profesional en el ITESM Campus Tampico y además
determinar si posee algÚna formación didáctica para la enseñanza
de la disciplina.
2. Contrastar la opinión del docente con respecto al proceso
8
de enseñanza-aprendizaje de la Matemática antes y después de la
implantación del sistema SAEA. Los factores que se utilizaron para
hacer la comparación fueron: cumplimiento del programa analítico,
métodos de enseñanza y formas de evaluación del desempeño de los
alumnos.
Dado que en el Campus solamente hay 6 maestros de
Matemáticas en profesional, incluyendo a la tesista, se les aplicó a
todos (excepto a la tesista) el cuestionario y se obtuvieron los
siguientes resultados:
1. En cuanto a la formación académica y pedagógica de los
maestros, se encontró lo siguiente:
Sólo uno de los cinco maestros entrevistados tiene una
formación académica específicamente en el área de Matemáticas
(Licenciado en Matemáticas), los cuatro maestros restantes son
ingenieros: dos son Ingenieros industriales y de sistemas y los
otros dos Ingenieros químicos administradores.
Tres de los cinco maestros han tomado los talleres de
Microenseñanza y Objetivos específicos de aprendizaje, impartidos
por el sistema ITESM con duración de 8 horas cada uno. En dichos
cursos se proporcionan a los participantes herramientas básicas
para la actividad docente: estructuración de la clase, formulación
de preguntas, retroalimentación a los estudiantes, forma de
elaborar exámenes en relación a los objetivos del programa, etc.
Ninguno de los cinco maestros ha recibido cursos
relacionados específicamente con la didáctica de la Matemática.
9
2. En relación a la situación observada antes de la
implantación del sistema SAEA, los resultados se presentan
ordenados de acuerdo a las siguientes variables:
2.1. Cumplimiento del programa analítico de los cursos de
Matemáticas.
Antes de la implantación del sistema de evaluación SAEA,
ninguno de los maestros encuestados cumplía estrictamente con el
programa analítico de la materia de Matemáticas o Estadística que
impartían.
La razón principal que argumentan para explicar esta
situación, es que el número de clases de que disponían durante el
semestre no era suficiente para cubrir todos los objetivos
específicos de aprendizaje que incluía el programa, de ahí que
cubrían la cantidad de objetivos que el tiempo de clases les
permitía, en promedio un 90% del total del programa, y dado que
ellos mismos elaboraban sus propios exámenes, únicamente
evaluaban aquel material que había sido cubierto en clase.
2.2. Métodos de enseñanza utilizados.
Todos los profesores entrevistados indicaron que antes de la
implantación del sistema SAEA, utilizaban una combinación de
metodologías de enseñanza expositiva y participativa.
Los profesores señalaron que utilizaban esta combinación de
metodologías porque consideran que es necesario asegurarse de que,
una vez visto un tema, los alumnos han comprendido y pueden
resolver los problemas vistos.
1 O
2.3. Evaluación del desempeño del alumno.
Todos los maestros entrevistados, al calificar los exámenes
que ellos mismos elaboraban tomaban en cuenta tanto el
procedimiento como el resultado de los problemas, ya que
consideran que es necesario ver los procedimientos que sus alumnos
utilizan para resolver los problemas para saber cuáles errores son
los que cometen.
Además consideran que el hecho de elaborar ellos mismos los
exámenes y evaluar tanto el procedimiento como el resultado de los
problemas, les permitía llevar un seguimiento más personal de cada
alumno.
3. En relación a la situación observada después de la
implantación del sistema SAEA, los resultados se presentan
ordenados de acuerdo a las siguientes variables:
3.1. Cumplimiento del programa analítico de los cursos de
Matemáticas.
Todos los maestros encuestados cubren el 1 00% del
contenido de los programas analíticos, sin embargo, tres de los
cinco maestros, tienen que dar en promedio dos clases extra por
período parcial, para terminar de cubrir el material
correspondiente.
Además, todos los maestros proporcionan asesoría extra
clase a sus alumnos, a la cual asisten, en promedio, el 30% de sus
alumnos.
1 1
3.2. Métodos de enseñanza utilizados.
Todos los maestros señalaron que utilizan tanto la
metodología de enseñanza expositiva como participativa, ya que
consideran que es necesario asegurarse de que los alumnos han
comprendido lo que el maestro ha explicado.
3.3 Evaluación del desempeño del alumno.
Todos los maestros encuestados coinciden en que el grado de
dificultad de muchos (un 70%) de los reactivos del examen SAEA es
bajo.
Además todos afirmaron que existen diferentes alternativas
que utilizan sus alumnos para resolver el examen, cuando no saben
hacer los problemas que les plantean, entre las que se encuentran:
adivinar, sustituir las respuestas en la ecuaciones, derivar las
cuatro opciones de resupesta cuando no pueden resolver la integral
que se les presenta, etc.
Todos los maestros consideran que las calificaciones del
examen SAEA no siempre son representativas del aprendizaje de sus
alumnos ya que en algunas ocasiones los alumnos no estudian y
aprueban el examen contestándolo al azar.
3.4. Aprendizaje del estudiante.
Todos los maestros encuestados señalaron que la mayoría de
sus alumnos utilizan un aprendizaje por repetición, memorizando
los procedimientos de los problemas tipo, sin razonar lo que están
haciendo. Además, señalaron que la retención de lo aprendido es a
corto plazo, en la mayoría de los casos, sólo para presentar los
exámenes.
12
1.2.1.2. Información proveniente de la investigación
exploratoria
La tesista llevó a cabo una investigación exploratoria con un
grupo de Matemáticas 111 de Ingeniería durante el semestre
Agosto-Diciembre'90, la cual proporcionó información acerca de dos
de los cuatro factores considerados para realizar el diagnóstico
global, éstos son: el programa analítico del curso y el método de
enseñanza utilizado.
La metodología de dicha investigación, consistió en
observación participativa realizada por la tesista en un período de
tiempo de 3 semanas, durante las cuales se observó la clase de
Matemáticas 111 de Ingeniería del Campus Tampico impartida por una
maestra de planta.
El grupo estaba formado por 26 alumnos que cursaban el
tercer semestre del tronco común de Ingeniería.
Con el fin de validar los resultados obtenidos en la
observación participativa se realizaron entrevistas abiertas con la
maestra y con los alumnos, se aplicaron cuestionarios de opinión a
los alumnos y se recabaron algunos documentos como: programa
analítico del curso, listas de asistencia y de calificaciones y
exámenes de los alumnos.
Entre los resultados más importantes obtenidos con este
trabajo, se encuentra la forma en que la maestra y sus alumnos
"sobrellevaban" el programa por objetivos tan extenso del curso de
Matemáticas 111.
La maestra, por su parte, distribuía los objetivos específicos
1 3
de aprendizaje de cada período parcial en el número de clases
disponible y para cada clase, planificaba con anticipación los
objetivos que debía cubrir, lo cual siempre ocurría, es decir,
siempre exponía en clase los objetivos que traía preparados, sin
considerar si los alumnos entendían o no.
La situación anterior, se comprobó cuando se entrevistó a la
maestra para conocer sus procesos de diagnóstico, al preguntarle:
¿De qué manera decides que los alumnos están en capacidad de
pasar de un tema al siguiente?, a lo que respondió: ¡Sinceramente no
lo tomo en cuenta, me baso en los objetivos del programa, cuando
termino de explicar un objetivo paso al siguiente sin considerar si
entendieron o no, pues de lo contrario no terminaría el programa,
estoy segura que la asimilación del contenido ocurre después de la
clase, cuando el alumno estudia por su cuenta los apuntes!
Ante esta situación, los alumnos ya se acostumbraron,
mientras su maestra escribe y escribe en el pizarrón, resolviendo
los problemas en voz alta hablando -para sí misma-, los alumnos se
concretan a copiar lo que ella escribe, y en muy pocas ocasiones
intervienen en la clase. Sólo dos alumnos intervenían regularmente
y cuando lo hacían era para corregir alguna operación equivocada del
problema que estaba resolviendo la maestra.
Al entrevistar a los alumnos, éstos manifestaron que les
gustaría que su maestra explicara más despacio, pues casi nunca
logran entender, dada la rapidez con la que explica, y también que
les gustaría que profundizara un poco más en los temas más
difíciles pues a veces sólo pone uno o dos ejemplos que no son
suficientes para resolver la tarea.
Los alumnos también opinaron que el problema no estaba en
14
la maestra, que lo que pasa es que el programa tiene muchos
objetivos y el tiempo no es suficiente para cubrir todo, un alumno
afirmó: "Son demasiados objetivos y hay muy poco tiempo para
verlos, aunque se alcancen a ver todos rápidamente, se ven muy
superficialmente y por lo tanto se olvidan después".
1.2.2. DESCRIPCION DE LA SITUACION DESEADA
A continuación se describe la situación deseada para cada
uno de los factores considerados en el diagnóstico global.
1. La formación docente de los profesores de Matemáticas.
De acuerdo con Morris Kline (Sin fecha), el profesor de
Matemáticas ideal no sólo debería saber lo que enseña, sino también
a quienes se lo enseña. Se necesitan, profesores de amplios
conocimientos académicos y educativos, por oposición al
investigador especializado y autocentrado. Tales profesores tendrán
que haberse formado en los departamentos de Matemáticas de las
escuelas de graduados.
Este autor destaca la necesidad de profesores que tengan
amplios conocimientos de Matemáticas, y de sus aplicaciones, y
además que sean educadores. Esto último significa que tendrán que
saber qué demostraciones y qué abstracciones pueden manejar los
jóvenes, y cuáles son sus intereses. Además, la amplitud y apertura
de juicio deseable en el profesor ideal requerirían que él viese
también las matemáticas desde un punto de vista no matemático y
que pudiese apreciar así las actitudes y problemas de los jóvenes.
En cuanto al profesor de Matemáticas deseable a nivel de
1 5
educación superior, José Adem (1991) divide los alumnos de este
nivel en dos grupos, ya que considera que en cada caso los
requisitos que deben cumplir los profesores son diferentes. Dichos
grupos son:
a) Alumnos que cursan Matemáticas en el primer o en los dos
primeros años de educación superior. En este grupo están incluidos
los estudiantes de biología y bioquímica, ingenierías, arquitectura,
química, agricultura, economía y administración.
De acuerdo con este autor, los profesores que imparten
clases a este grupo de alumnos deben tener como mínimo el título
de Licenciado en Matemáticas.
b) Los estudiantes que cursan Matemáticas durante todos o
casi todos los años de la carrera. En este grupo quedan incluidos los
estudiantes de ciencias exactas y los de las Escuelas Normales
Superiores, con especialidad en Matemáticas.
El autor señala que los profesores que impartan clase a este
grupo de estudiantes, deben tener el grado de Maestro o de Doctor en
Ciencias.
El autor citado señala que los programas de formación tanto
de Licenciados como Maestros y Doctores en Matemáticas deberán
incluir cursos de Matemática aplicada y práctica docente, lo cual
capacitaría a los egresados para trabajar en la docencia.
Al igual que los autores citados, González (Sin fecha), afirma
que el docente en Matemáticas ha de ser experto en el contenido
propio de su asignatura, pero, además, también debe ser experto en
aquellos procesos que el alumno requiere para adquirir ese
contenido y operar con el mismo.
1 6
2. El programa analítico de los cursos de Matemáticas y
Estadística.
Con respecto a los contenidos de los programas, es deseable
que exista un equilibrio apropiado entre su amplitud y profundidad.
Es deseable, concebir las materias de Matemáticas y
Estadística como una manera ordenada de establecer relaciones
importantes entre los hechos y las ideas fundamentales de la
d1sc1p11na, en contraposición a la concepción de la materia como una
acumulación o colección de hechos descriptivos específicos, ya que
ésto último conduce a abarcar un contenido tan amplio que
prácticamente impide dedicar tiempo a los procesos mentales.
Al respecto Hilda Taba (1987) señala que la profundidad de
los contenidos significa comprender plena y claramente ciertos
principios, ideas o conceptos básicos y su aplicación. Para lograr
conocimientos profundos, es necesario analizar con sumo cuidado
las ideas y en suficiente detalle como para comprender su
significado total, para relacionarlas con otras ideas y aplicarlas a
nuevos problemas y situaciones.
La misma autora menciona que esta conceptualización
sugiere la posibilidad de lograr un equilibrio razonable entre la
amplitud del contenido y su profundidad mediante la selección de
una serie de ideas adecuadas, fácilmente aplicables y transferibles,
al estudio de las cuales se dedicará el tiempo suficiente.
3. El método de enseñanza utilizado.
Es deseable adoptar el enfoque de la enseñanza de la
Matemática basada en procesos, donde se intenta establecer un
1 7
equilibrio entre el proceso cognoscitivo y el contenido implicados
en cada uno de los objetivos que se formulan en el programa de
estudio.
En este enfoque de procesos, el maestro se considera como un
mediador entre el contenido curricular (estímulo) y el alumno para
hacer posible el proceso de aprendizaje. Por su parte, el alumno se
concibe como un ser activo capaz no sólo de recibir información,
sino de transformarla para crear nueva información y de participar
consciente y activamente en su propio proceso de aprendizaje.
Es deseable que los alumnos logren aprender
significativamente el contenido de los cursos de Matemáticas,
entendiendo por aprendizaje significativo, la concepción de Ausubel
(1990), que afirma:
"El aprendizaje significativo por recepción involucra la adquisición de significados nuevos. Requiere tanto de una actitud de aprendizaje significativo como de la presentación al alumno de material potencialmente significativo. La última condición, en cambio, presupone: 1. que el material de aprendizaje en sí puede estar relacionado de manera no arbitraria (plausible, sensible y no azarosamente) y sustancial (no al pie de la letra) con cualquier estructura cognoscitiva apropiada ( que posea significado "lógico") , y 2. que la estructura cognoscitiva del alumno particular contiene ideas de afianzamiento relevantes con las que el nuevo material puede guardar relación. La interacción entre los significados potencialmente nuevos y las ideas pertinentes de la estructura cognoscitiva del alumno da lugar a los significados reales o psicológicos" (46).
4. La evaluación del desempeño del alumno.
González (Sin fecha), señala que dado que la enseñanza de la
1 8
Matemática tiene como eje la solución de problemas, el énfasis
debe estar colocado más en el proceso que conduce a la solución que
en la solución propiamente dicha.
Desde esta perspectiva, a los errores debe dárseles un
tratamiento distinto del que se le da habitualmente en el enfoque
tradicional, en este sentido, una buena respuesta no supone que el
alumno comprenda la fundamentación conceptual que subyace al
proo1ema correspona1ente; al contrario, puede haoer s100 omeniaa
por azar, o mediante la aplicación mecánica de algún algoritmo o la
transposición de algún procedimiento aplicado con anterioridad o,
simplemente, a través de la repetición memorística; en cualquiera
de estos casos, la buena respuesta oculta el hecho real de que el
alumno no tiene un conocimiento comprensivo de la información
matemática requerida por el problema.
Tomando en cuenta lo anterior, es desable combinar el
instrumento de evaluación SAEA con exámenes elaborados por el
mismo maestro, que además de evaluar el resultado, evalúen el
procedimiento, lo cual permitiría que el profesor conociera cuáles
son las dificultades que presentan sus alumnos en la resolución de
problemas para tomarlas en cuenta en el momento de explicar los
temas y de ofrecer retroalimentación.
1.2.3. COMPARACION ENTRE LA SITUACION OBSERVADA Y LA
SITUACION DESEADA
Al igual que en la descripción de las situaciones observada y
deseada, la comparación entre ambas, se llevará a cabo siguiendo el
1 9
orden de los factores que han sido considerados para realizar el
diagnósitco global.
1 . La formación docente de los profesores de Matemáticas.
En cuanto a los conocimientos matemáticos que debe tener el
docente, se tiene que el 80% de los maestros de Matemáticas del
ITESM Campus Tampico no tienen la formación académica requerida
para impartir clases de Matemáticas a nivel superior, ya que de
acuerdo a los autores consultados, los docentes de este nivel
educativo deben tener como mínimo la Licenciatura en Matemáticas.
En cuanto a la formación educativa, el 60% de los maestros
han recibido dos cursos de herramientas básicas para la docencia,
sin embargo, ninguno a recibido capacitación específica en la
didáctica de la Matemática . Ninguno de los maestros tiene la
formación pedagógica que los autores citados consideran tan
necesaria para que el docente pueda desempeñar mejor su labor.
2. El programa analítico de los cursos.
En los programas analíticos de los cursos de Matemáticas, no
existe un equilibrio apropiado entre la amplitud y la profundidad de
los contenidos, lo cual conduce a abarcar un contenido tan amplio
que practicamente impide dedicar tiempo a los procesos de
razonamiento.
Si bien, con la implantación del sistema SAEA se logró que
los maestros cumplieran con la norma institucional de cubrir el
100% de los contenidos de los cursos que imparten, esta situación
tiene repercusiones importantes en el aprendizaje de los alumnos,
ya que el hecho de que se expongan todos los temas del programa no
implica que el alumno los aprenda.
20
La investigación exploratoria proporciona evidencia de que el
profesor cumple con todos los contenidos del programa sin
considerar si los alumnos están comprendiendo lo que él expone
rápidamente.
3. El método de enseñanza utilizado.
Aunque todos los maestros señalaron que utilizan una
como1nac1on oe meroaolog1a ae ensenanza expositiva y
participativa, la concepción de enseñanza participativa de estos
profesores consiste en que los alumnos puedan repetir los
problemas que se explicaron, es decir, que los alumnos sigan los
algoritmos presentados, lo cual conduce al aprendizaje
memorístico, en donde el alumno repite algo que no entiende, algo
que no sabe como aplicar y que olvidará rápidamente una vez que
haya pasado el momento de la prueba que requiere ese conocimiento.
Lo anterior no coincide con la situación deseada en la
enseñanza de la Matemática basada en procesos, donde el alumno
participa activamente en su proceso de aprendizaje, es decir, donde
se concibe al alumno como un ser activo, capaz no sólo de recibir
información, sino de transformarla para crear nueva información.
La investigación exploratoria y las entrevistas con los
alumnos indican que el maestro se ha convertido en un expositor de
los temas, preferenciando más el cumplimiento de los objetivos del
programa que el aprendizaje de los alumnos.
4. La evaluación del desempeño del alumno.
Los exámenes de opción múltiple SAEA, donde sólo se califica
la respuesta, no son los más apropiados para conocer el aprendizaje
21 •
real de los alumnos, ya que de acuerdo a lo dicho en la situación
deseada, una buena respuesta no supone que el alumno comprenda la
fundamentación conceptual que subyace al problema correpondiente,
ya que pudo ser obtenida por azar, o mediante la aplicación
mecánica de algún algoritmo o a través de la repetición
memorística.
Todos los maestros entrevistados conocen las diferentes
rorrnas que utilizan sus alumnos para cumestar un proo1ema cuanao
no saben resolverlo, entre las que se encuentran : el azar, sustituir
valores, descartar opciones, etc.
1 .2.4. IDENTIFICACION DE NECESIDADES
De la comparación entre las situaciones observada y
deseada, se identificó la siguiente lista de necesidades:
1. Capacitar a los maestros de Matemáticas del ITESM
Campus Tampico en tres aspectos:
a) Conocimientos fundamentales de la disciplina desde un
punto de vista más formal para abordar más rigurosamente el
conocimiento matemático en las carreras de ingeniería.
b) Matemáticas aplicadas a las diferentes áreas,
principalmente a aquellas donde se tengan carreras profesionales:
administración, economía, computación, ingeniería industrial, entre
otras.
c) Capacitación docente, en donde se aborde la situación
educativa desde un punto de vista integral, es decir, que no se
limite a dar procedimientos estándares para impartir clases, sino
más bien, proporcionar al docente conocimientos acerca de las
22
diferentes teorías de aprendizaje, métodos de enseñanza, teoría y
diseño curricular y evaluación del aprendizaje.
2. Programar adecuadamente el contenido de los cursos de
Matemáticas teniendo en cuenta el tiempo de clases de que se
dispone en un semestre escolar, de manera tal que el maestro tenga
oportunidad de verificar el aprendizaje a niveles de comprensión y
protund1zación del contenioo y aoemas µu1::aa µ, uµu, c,u, 'ª' a ;:,u;:,
estudiantes una retroalimentación significativa para el logro de la
internalización de las habilidades matemáticas que se pretenden
desarrollar.
3. Buscar alternativas de enseñanza de la Matemática que
promuevan el aprendizaje significativo por parte de los alumnos.
4. Diseñar instrumentos de evaluación que proporcionen
información confiable acerca del aprendizaje de los alumnos, y que
ésta información se utilice para mejorar la enseñanza.
1.3. SELECCION DE UNA NECESIDAD
Dado que una preocupación constante del profesor es el
aprendizaje de sus alumnos, se seleccionó la necesidad relacionada
con la programación adecuada del contenido de los cursos de
Matemáticas.
De todo lo expuesto en el diagnóstico, se presume que la
23
programación de los cursos influye en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática, ya que debido a la
amplitud de contenido que presentan los programas, se fortalece
una enseñanza tradicional que hace énfasis en el contenido que debe
enseñarse descuidándose o ignorándose el proceso de razonamiento
asociado con el conocimiento y enfatizando la comunicación
unidireccional por parte del docente (emisor, agente activo) hacia el
a1umno (recepmr, suJeto pasivo).
De esta manera la enseñanza de la Matemática se convierte
sólo en la transmisión de información a ser adquirida por el alumno
mecánicamente, sin comprenderla. De aquí la necesidad de
programar adecuadamente los contenidos de los cursos de
Matemáticas, en donde se establezca un equilibrio entre el
contenido que debe enseñarse y los procesos de razonamiento
asociados con el mismo.
1.4. DEFINICION DEL PROBLEMA
En base a la necesidad planteada se precisa hacer una
planificación adecuada del programa de Matemáticas, que permita al
profesor utilizar una metodología de enseñanza participativa, donde
el alumno intervenga consciente y activamente en su propio proceso
de aprendizaje . A continuación se define el problema de
investigación de esta tesis.
24
1.4.1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA
¿De qué manera una dosificación adecuada del contenido del
programa analítico y la aplicación de una metodología participativa
para impartir Matemáticas influye sobre el rendimiento de los
alumnos?
Las vanao1es involucraaas en este proo1ema son:
1. Variables independientes:
a) Dosificación adecuada del contenido del programa,
entendiendo por esto, la distribución del contenido en las sesiones
de clase disponibles en el semestre escolar teniendo en cuenta el
tiempo requerido para lograr el equilibrio entre el conocimiento y el
proceso de razonamiento asociado con el mismo.
b) Metodología de enseñanza participativa, en donde el
maestro actúa como mediador del aprendizaje y el alumno
interviente activamente en su proceso de aprendizaje.
2. Variable dependiente: Rendimiento de los alumnos, la cual
tendrá los siguientes indicadores:
a) Puntaje obtenido en el examen SAEA, donde sólo se
califica el resultado de los problemas.
b) Puntaje obtenido en el examen de desarrollo elaborado por
la tesista, donde se determinará el nivel de razonamiento de los
estudiantes, calificando tanto el procedimiento como el resultado
de los problemas.
25
1.4.2. DELIMITACION DEL PROBLEMA
La situación problemática presentada se ubica en el sector
curricular correspondiente al área de Matemáticas a nivel
profesional en el Campus T ampico.
Como se mencionó en los antecedentes, este sector está
constituído por 8 cursos de Matemáticas: 4 del área de Ingeniería y
4 ae1 área de C1t:11~1c1;:, So~1c111;¡;:,.
Aunque lo ideal sería hacer un estudio de todo el sector, dado
el tiempo del que se dispone para elaborar el trabajo de tesis, fue
necesario seleccionar uno de los cursos del área de Ciencias
Sociales: Matemáticas l.
La elección de la materia Matemáticas I para las Ciencias
Sociales, obedeció a los siguientes criterios:
a) Experiencia de la tesista en la impa·rtición de este curso,
el cual ha sido dictado 6 veces.
b) Unico curso en donde se disponía de dos grupos en el
semestre Enero-Mayo de 1991.
Para contestar la pregunta planteada se condujo un
experimento de campo con dos grupos de profesional de la materia
Matemáticas I para las Ciencias Sociales en el semestre Enero-Mayo
de 1991 en el ITESM Campus Tampico.
26
1.4.3. JUSTIFICACION DEL PROBLEMA
El problema planteado queda justificado con el diagnóstico
global presentado en secciones anteriores.
Hasta el momento, los maestros del ITESM Campus Tampico
se han concretado en cubrir todo el programa de la materia que
imparten, en la mayoría de los casos, solo a nivel expositivo y
aunque están conscientes de la necesidad de hacer algo al respecto,
no se ha realizado ninguna investigación que permita conocer más
acerca de la situación problemática con el fin de buscar
alternativas de solución, de ahí que el presente trabajo sea un
intento por explorar dicha situación para tener un referente más
confiable que ayude a determinar una alternativa de solución
viable.
1.5. OBJETIVOS Y METAS DEL PROVECTO
Los objetivos que se pretenden alcanzar con el presente
trabajo de tesis son los siguientes:
1. Demostrar que una dosificación adecuada del contenido del
programa analítico del curso de Matemáticas I para las Ciencias
Sociales y la aplicación de la metodología de enseñanza basada en
procesos, mejora y permite desarrollar las habilidades de
razonamiento de los alumnos.
2. Determinar si existe diferencia en el puntaje obtenido por
los alumnos entre el examen SAEA y el examen de desarrollo
27
elaborado por el propio profesor.
3. Determinar la cantidad de objetivos específicos de
aprendizaje adecuada para ser cubierta en el número de horas
disponibles en el semestre teniendo en cuenta que el maestro
además de exponer los temas, verifique si está ocurriendo el
aprendizaje de sus alumnos al nivel de comprensión y
profundización, de tal manera que los pueda retroaIImentar
significativamente para que éstos logren la internalización de las
habilidades matemáticas que se persiguen en el curso.
4. Proporcionar con el marco teórico diferentes maneras de
seleccionar y organizar el currículo de Matemáticas.
1.6. ESTRATEGIA GENERAL
Para el logro de los objetivos se trabajó con 2 grupos de
alumnos de Matemáticas en el semestre Enero-Mayo'91,
considerando a uno como grupo experimental y al otro como grupo
control.
En el grupo experimental se utilizó un modelo de enseñanza
basado en procesos con disminución del contenido, el cual se
describe en el tercer capítulo de este trabajo y se fundamenta con
el marco teórico presentado en el segundo capítulo.
Para determinar el efecto de la utilización del modelo de
enseñanza basado en procesos con disminución del contenido sobre
el rendimiento de los alumnos se aplicaron 2 tipos de exámenes: el
28
SAEA y uno de desarrollo elaborado por la tesista.
El examen de desarrollo también permitirá analizar el nivel
de razonamiento que utilizan los alumnos para resolver los
problemas.
1.7. LIMITACIONES DEL TRABAJO
Con los resultados del presente trabajo se tendrá un
referente que permitirá conocer más acerca de la situación
problemática presentada, aunque para efectos de una generalización
a todo el sector curricular será necesario hacer un estudio del resto
de los cursos que lo componen, es decir, los resultados de este
trabajo únicamente servirán como un indicador de lo que sucede en
los otros cursos del sector.
Otra de las principales limitaciones del trabajo, consiste en
que dado que se está trabajando con alumnos inscritos formalmente
en el curso, el cual a su vez es requisito para Matemáticas 11, es
necesario cubrir todo el programa, de ahí que el modelo de
enseñanza basada en procesos con dosificación del contenido que se
propone en este trabajo, se podrá aplicar solamente en los tres
períodos parciales, ya que para el examen final se deberá cubrir con
todo el programa.
29
CAPITULO 2
2. MARCO TEORICO CONCEPTUAL
En este capítulo se presentan los aspectos teóricos más
relevantes relacionados con el problema de investigación, objeto de
esta tesis.
Teniendo en cuenta las variables involucradas en el problema
de investigación presentado en el capítulo anterior, el marco
teórico conceptual que sustenta este trabajo se compone de los
siguientes aspectos:
1. Selección y organización del contenido del currículo.
2. Principios que orientan la conducción del proceso de
enseñanza-aprendizaje desde dos perspectivas:
a) Tradicional;
b) No-tradicional.
3. Evaluación del desempeño del estudiante, de acuerdo a los
métodos de evaluación :
a) Convencional;
b) No-Convencional.
De los aspectos teóricos presentados se desprenderán los
lineamientos curriculares que orientarán el modelo de enseñanza
basado en procesos con dosificación de contenido que se propone en
este trabajo.
30
2.1. SELECCION Y ORGANIZACION DEL CONTENIDO DEL
CURRICULO
Antes de desarrollar lo referente a la selección y
organización del contenido del currículo, es conveniente precisar a
qué llamamos currículo, y ante esta interrogante nos encontramos
con una gran variedad de acepciones acerca del concepto que ponen
de manifiesto los diferentes enfoques ideológicos,
psicopedagógicos, filosóficos, políticos, económicos, etc., que lo
orientan.
Sin embargo, existe cierto concenso entre diferentes autores,
que lo conceptualizan como proceso, es decir, como una propuesta
educativa sujeta a transformaciones y adaptaciones a la realidad
educativa de una institución, en este sentido Gimeno Sacristán (Sin
fecha) afirma:
"Cuando definimos el currículum, estamos describiendo la concreción de las funciones de la propia escuela y la forma particular de enfocarlas en un momento histórico y social determinado, para un nivel o modalidad de educación, en un entramado institucional, etc ... EI currículum es una praxis antes que un objeto estático emanado de un modelo coherente de pensar la educación o los aprendizajes necesarios de los niños y de los jóvenes, que tampoco se agota en la parte explícita del proyecto de socialización cultural en las escuelas... Es una práctica en la que se establece un diálogo, por decirlo así, entre agentes sociales, elementos técnicos, alumnos que reaccionan ante él, profesores que lo modelan, etc. Desarrollar esta acepción del currículum como ámbito práctico tiene el atractivo de poder ordenar en torno a este discurso las funciones que cumple y el modo como
31
las realiza, estudiándolo procesualmente: se expresa en una práctica y toma significado dentro de una práctica en alguna medida previa y que no sólo es función del currículum, sino de otros determinantes. Es contexto de la práctica al tiempo que contextualizado por ella" (16).
Esta concepción práctica del currículo permite entenderlo
como algo que se construye, teniendo en cuenta que esta
construcción no puede ser independiente del contexto ideológico,
cultural, social, político y económico en el que se desarrolla, de ahí
que para entender el currículo en un sistema educativo se requiere
tener en cuenta las prácticas políticas y administrativas que se
expresan en su desarrollo, las condiciones estructurales,
organizativas, materiales, dotación de profesorado, bagage de ideas
y significados que le dan forma y que lo modelan en sucesivos pasos
de transformación.
Todo lo anterior pone de manifiesto la compleja naturaleza
del currículo, misma que no se puede reducir únicamente a la
práctica pedagógica de la enseñanza, ya que se presenta como un
territorio donde se intersectan diversos subsistemas políticos,
administrativos, de supervisión, de producción de medios, de
creación intelectual, etc., que generan fuerzas diversas que inciden
en la acción pedagógica.
Si bien la conceptualización de Gimeno Sacristán, atiende a
una visión macrosocial del currículo al ubicarlo como un cruce de
prácticas que inciden en la acción pedagógica, algunos otros autores
aunque toman en cuenta la necesidad de conceptualizar el currículo
sin desligarlo de su contexto macrosocial, hacen énfasis en
32
vincularlo con lo que sucede en las aulas.
Entre los autores que comparten esta perspectiva, tenemos a
Stenhouse (1984) que señala: " Un currículum es una tentativa para
comunicar los principios y rasgos esenciales de un propósito
educativo, de forma tal que permanezca abierto a discusión crítica
y pueda ser trasladado efectivamente a la práctica"(29). Stenhouse
destaca la necesidad de la retroalimentación del currículo a través
de la práctica educativa; conceptualiza el currículo como una
propuesta educativa que puede ser modificada de acuerdo a lo que
sucede en las aulas.
En este sentido, encontramos otra definición de currículo
planteada por el mismo autor antes citado, "todos los currícula son
verificaciones hipotéticas de tesis acerca de la naturaleza del
conocimiento y de la naturaleza de la enseñanza y del aprendizaje.
Tales currícula son medios en los que las ideas se expresan en
formas que las hacen comprobables por los profesores en los
laboratorios que denominamos aulas"(100). De acuerdo a lo anterior,
es importante la investigación de acción desempeñada por los
docentes, a partir de la cual, éstos van construyendo el currículo
tomando en cuenta su propia práctica docente y el desempeño de sus
alumnos, así como también la práctica de otros profesores.
Todo esto reafirma la idea de Stenhouse: "los currícula son
hipotéticos y siempre defectuosos"(101 ).
Por otra parte, Coll (1986) hace una distinción entre
proyecto o diseño curricular y desarrollo del currículo: el diseño
curricular es el proyecto, en sentido estricto, que preside las
33
actividades educativas, que proporciona informaciones concretas
sobre sus intenciones (qué enseñar) y sobre la manera de llevarlas a
cabo (cuándo y cómo enseñar y también qué, cuándo y cómo evaluar).
Por su parte, el desarrollo del currículo es la puesta en práctica del
proyecto con las necesarias adecuaciones, modificaciones y
enriquecimientos sin fin, que comporta inevitablemente el hecho de
contrastar un proyecto educativo con la realidad de las aulas.
Esta propuesta de Coll coincide con el modelo de currículo
conceptualizado como proceso, tal y como lo menciona Stenhouse. Al
igual que Stenhouse, Coll propone que el desarrollo del currículo
proporciona elementos que permiten reelaborar, revisar y
enriquecer el diseño curricular; de ahí que el diseño curricular y su
desarrollo sean aspectos curriculares indisociables que se nutren
mutuamente.
Siguiendo con esta misma idea que presupone la necesidad de
tomar en cuenta, cuando se diseña un currículo, los aspectos
derivados de la puesta en práctica del proyecto educativo en las
aulas, Hilda Taba (1987) menciona lo siguiente: "Existe un
fundamento razonable para creer que, si la secuencia en la evolución
del currículo se invirtiera --es decir, si los maestros fueran
invitados primero a experimentar con aspectos específicos del
currículo y luego, sobre la base de tales experiencias, se planeara
su estructura--, la elaboración del currículo adquiriría una nueva
dinámica" (23).
Por su parte, Coll plantea un concepto del docente, alejándolo
de la visión tradicional que lo considera como un agente externo al
34
currículo, remitiéndolo a la simple ejecución de los programas,
desde esta perspectiva, el maestro es un agente inherente a la
elaboración del currículo, según lo exresado por el autor mismo: "el
currículm no puede suplantar la iniciativa y la responsabilidad
profesional de los profesores, convirtiéndolos en meros
instrumentos de ejecución de un plan previamente establecido hasta
sus más mínimos detalles. Como proyecto que es, el currículum debe
estar abierto a la consideración de los múltiples factores presentes
en cada una de las situaciones educativas particulares, factores que
solo el profesor está en condiciones de contemplar e integrar
plenamente en su práctica pedagógica" (9).
En síntesis, los autores citados coinciden en conceptualizar
el currículo como una propuesta educativa que al ponerse en
práctica debe adecuarse, modificarse, enriquecerse con la realidad
áulica, destacando la importante participación del maestro en este
proceso de construcción del currículo, a través de la investigación
de acción que puede llevar a cabo en su práctica docente.
Retomando la diferenciación que señala Coll entre diseño
curricular y desarrollo del currículo, para efectos de este trabajo,
se considerará el primer aspecto: el diseño curricular. Este se
entenderá como la propuesta educativa, el proyecto que preside las
actividades educativas, que proporciona informaciones concretas
sobre sus intenciones (qué enseñar) y sobre la manera de llevarlas a
cabo (cuándo y cómo enseñar y también qué, cuándo y cómo evaluar) .
Para el diseño curricular existen diferentes propuestas
metodológicas que incluyen varias etapas que van desde la
35
fundamentación del proyecto curricular hasta su evaluación. Por
ejemplo, Díaz Barriga (1984) propone las siguientes etapas del
proceso del diseño curricular:
1. Fundamentación de la carrera profesional. Incluye la
investigación de las necesidades que pueden ser abordadas por el
profesionista, el mercado ocupacional, las instituciones nacionales
o extranjeras que ofrecen carreras afines a la propuesta, el análisis
de los principios y lineamientos universitarios pertinentes y de la
población estudiantil.
2. Determinación del perfil profesional. Una vez establecida
una fundamentación sólida de la carrera que se va a crear, es
necesario establecer las metas que se quieren alcanzar
determinando el tipo de profesionista que se intenta formar.
3. Organización y estructuración del currículo. El perfil
profesional elaborado en la etapa anterior, proporciona las bases
para decidir cuáles van a ser los contenidos que se incluirán en el
plan curricular, y bajo que organización y estructura se diseñará
dicho plan.
4. Evaluación continua del currículo. Se diseña una plan de
evaluación continua del currículo, ya que el plan curricular no se
considera como algo estático, sino que está basado en necesidades
que pueden ser cambiantes y en avances disciplinarios.
Otra de las propuestas metodológicas de diseño curricular,
muy similar a la presentada por Díaz Barriga es la de Hilda Taba
36
(1987) que incluye las siguientes etapas:
1. Diagnóstico de las necesidades.
2. Formulación de objetivos.
3. Selección del contenido.
4. Organización del contenido.
5. Selección de las actividades de aprendizaje.
6. Organización de las actividades de aprendizaje.
7. Determinación de lo que se va a evaluar y de las maneras y
medios para hacerlo.
En ambas metodologías propuestas por estos autores se
observa que una de las etapas del diseño curricular es precisamente
la selección y organización del contenido, sobre la que se
conceptualizará en los siguientes apartados. En la propuesta de
Díaz Barriga, ésta constituye la tercera etapa, llamada organización
y estructuración del currículo, mientras que en la de Hilda Taba
corresponde a las etapas 3 y 4 denominadas selección y
organización del contenido.
2.1.1.SELECCION DEL CONTENIOO DEL CURRICULO
Este apartado se desarrollará a través de diferentes niveles
de generalidad que se diferencian de acuerdo con el alcance de la
conceptualización curricular que realizan los autores consultados,
37
estos niveles son:
1. La selección del contenido del currículo a nivel general, en
donde no se hace énfasis en ningún nivel educativo en especial, los
autores que se encuentran en este nivel son: Hilda Taba, lmídeo
Nérici y Robert. Gagné.
2. La selección del contenido del currículo a nivel profesional
en México, en donde se citarán los siguientes autores: María de
lbarrola, Raquel Glazman y Armando Rugarcía.
3. La selección del contenido del currículo de Matemáticas,
donde se trabajarán las aportaciones del matemático mexicano José
Adem.
2.1.1.1. Selección del contenido del currículo a nivel
general
Hilda Taba (1987) considera que la selección del contenido,
junto con las experiencias de aprendizaje inherentes a éste, es una
de las decisiones curriculares más importantes, de ahí que se
requiera de un método racional para llevar a cabo esta tarea.
Sin embargo, esta misma autora afirma que existen varios
problemas a los que se enfrenta el diseñador curricular al
emprender esta tarea, entre los que se encuentran:
38
1. La falta de acuerdo entre los diseñadores en cuanto a lo
que debe incluirse o no, a nivel de contenidos, en un currículo. Las
propuestas sobre lo que debe incluirse en el currículo o excluirse de
él, contienen diversidad de criterios, algunas de los cuales son o
insuficientes o irracionales o bien ambas cosas a la vez. Debido a
esta situación, los mismos educadores parecen hallarse confundidos
en cuanto a los criterios por medio de los cuales decidir qué
contenido debe incluir el currículo.
2. La explosión del conocimiento ha hecho imposible la
clásica simplicidad de las materias escolares. A medida que
aumenta el conocimiento especializado, es necesario o bien agregar
más asignaturas o asignar nuevas prioridades a las materias
corrientes para dar lugar a los nuevos conocimientos y conceptos.
3. La extensión de los objetivos de la educación exige nuevos
campos para el aprendizaje que no formaban parte del currículo
clásico, tales como las materias que tratan sobre la sociología de
la familia o la evolución personal, el desarrollo del pensamiento
creativo o la comprensión objetiva de las culturas universales.
4. El crecimiento desproporcionado del alumnado con
relación a la escasez de recursos y de maestros.
39
Con relación a estos problemas, Hilda Taba (1987) señala:
"cuando se trata de enseñar un contenido cada vez más diverso en la misma cantidad de tiempo, se vuelve imposible preservar la unidad, la profundidad o la secuencia en el aprendizaje. es válido decir que, bajo estas condiciones cuanto más se "abarca" menos se aprende. Si bien los nuevos contenidos y los nuevos puntos de insistencia son necesarios, también es importante evitar que el currículo se convierta en una especie oe carncerIa, una IIIezc1a I110IgerrnIe oe misceláneas en lugar de una dieta sistemática de aprendizaje "(348).
La misma autora señala que uno de los aspectos más
importantes en la determinación de los criterios para la selección
del contenido del currículo es el de establecer la diferencia entre el
contenido y las experiencias de aprendizaje, u operaciones mentales
que los estudiantes emplean para aprender el contenido.
La selección del contenido define criterios estructurales del
currículo que brinda los elementos necesarios para alcanzar los
objetivos referidos a la adquisición del conocimiento: los
conceptos, las ideas y los hechos que deben ser aprendidos. Por el
contrario, el logro de objetivos tales como el pensamiento, las
capacidades y las actitudes no es posible mediante la mera
selección y organización del contenido. Para ello, los estudiantes
necesitan pasar por ciertas experiencias que les permitan poner en
práctica la conducta deseada. En este sentido es que se habla de las
experiencias de aprendizaje.
Como se señaló con anterioridad, la selección y organización
del contenido del currículo es una de las etapas del diseño
40
curricular, de ahí que los criterios que se aplicarán en esta etapa se
derivan de las fases anteriores relativas al diagnóstico de las
necesidades y a la formulación de los objetivos del currículo, al
respecto Hilda Taba (1987) afirma:
"la formulación y la aplicación de criterios para la selección y la organizac1on del currículo es, esencialmente, un recurso por medio del cual trasladar 1as cons1aerac1ones aer1vaaas ae1 estua10 ae 1as ruemes para la elaboración del currículo a un currículo en funcionamiento. Estos criterios deben, por consiguiente, abarcar e integrar todo lo que implican los puntos de vista con relación a la función de la escuela en la sociedad, el estudio de las necesidades y las exigencias de la comunidad, el estudio del alumnado y los procesos del aprendizaje y el análisis de la naturaleza del conocimiento y de las asignaturas"(352).
Los criterios para la selección del contenido propuestos por
esta autora son:
La validez y relevancia del contenido. El contenido del
currículo es válido y significativo en la medida en que refleja el
conocimiento científico contemporáneo, sin embargo, al hablar
sobre la validez del contenido es necesario seleccionar lo
fundamental del conocimiento teniendo en cuenta que los hechos
específicos es lo menos fundamental, mientras que la verdadera
esencia de las materias escolares reside en las ideas básicas, los
conceptos y las formas de pensamiento que organizan los hechos y
acontecimientos concretos.
41
Hilda Taba sugiere centrar el estudio de los contenidos sobre
un número limitado de principios cuidadosamente seleccionados que
constituyen el núcleo de la materia y luego emplear estas ideas
como criterios para ejemplificar más bien que para abarcar el
contenido más específico necesario para desarrollarlas. Estas ideas
podrían ser consideradas los elementos esenciales del currículo.
En el caso de la Matemática, las ideas, conceptos y leyes
fundamentales se consideran como la "estructura de la asignatura" y
en los nuevos currícula de Matemática se a visto que es necesario
combinar materias que antes se estudiaban por separado:
Aritmética, Algebra, Geometría y Cálculo.
La tarea de desarrollar un currículo cuyo contenido sea
válido, significativo y fundamental va más allá de la selección de
las ideas básicas. También existe el problema de esta
significatividad en el acto de la adopción de decisiones menores
tales como la elección de temas o actividades particulares. Esto
significa que los hechos particulares del contenido deben
representar también la estructura de la materia.
Hilda Taba considera que es difícil trasladar este criterio de
validez y relevancia del contenido a la práctica, ya que los
maestros, al igual que los diseñadores curriculares no siempre
están suficientemente familiarizados con los límites del
conocimiento en las materias que enseñan, de ahí que en la práctica
se cometan tantos errores, como el de perder el tiempo exponiendo
conceptos que son insuficientemenete comprendidos por los
alumnos, y que, por consiguiente, sólo pueden ser memorizados, así
42
como el de llenar la mente de los estudiantes con hechos triviales
que no están relacionados con las ideas básicas.
La compatibilidad con las realidades sociales. Este criterio
se vincula con la primera etapa del diseño curricular, en donde se
hace el diagnóstico de las necesidades a las que debe responder el
currículo para una población dada, teniendo en cuenta el contexto
socio-cultural en el que ésta se encuentra.
En el caso del contenido, este criterio se refiere a
seleccionar aquellos conocimientos que proporcionen la orientación
más útil con respecto al mundo circundante.
Sin embargo, más que responder a las exigencias de la
situación inmediata, es necesario lograr una orientación reflexiva y
con sentido de realidad hacia las necesidades básicas de la cultura.
El currículo debe ofrecer sólo aquellos conocimientos que arrojen
alguna luz sobre el presente y abran perspectivas para el futuro, en
este sentido la misma autora afirma: "Si deseamos que la educación
sirva a un futuro sin duda imprevisible, es especialmente
importante cultivar el tipo de preces.os mentales que fortalecen la
capacidad para transferir el conocimiento a situaciones nuevas, las
aproximaciones creativas a la solución de problemas y los métodos
de descubrimiento e investigación"(362).
En síntesis, este criterio indica que el contenido y las
experiencias de aprendizaje además de ser válidos y fundamentales
en el sentido científico sean también significativos en el sentido
social respondiendo no sólo a la situación inmediata, sino
43
desarrollando una orientación que perimta entender el futuro, de tal
manera que se disminuya el abismo entre lo que se enseña hoy y lo
que los estudiantes actuales necesitarán en su vida adulta.
El equilibrio entre la profundidad y el alcance del contenido.
El currículo debe presentar un equilibrio apropiado entre la
amplitud y la profundidad. Al respecto, la autora señala que hay dos
perspectivas con respecto al concepto de profundidad.
Por un lado, quienes consideran a la materia y al contenido
como una acumulación o colección de hechos descriptivos
específicos y por otro lado, aquellos que los consideran como una
manera ordenada de establecer relaciones importantes entre los
hechos y tas ideas fundamentales.
En el primer caso, los principios de profundidad del
conocimiento y amplitud del contenido son contradictorios, no es
posible practicar ambos estrictamente, ya que se considera la
profundidad como una extensión del alcance del contenido. Esta
perspectiva conduce a abarcar un contenido tan amplio que
prácticamente impide dedicar tiempo a los procesos mentales.
De acuerdo con el segundo punto de vista, la profundidad
significa comprender plena y claramente ciertos principios, ideas
o conceptos básicos, y su aplicación. Para lograr conocimientos
profundos , es necesario analizar con sumo cuidado las ideas y en
suficiente detalle como para comprender su significado total, para
relacionarlas con otras ideas y aplicarlas a nuevos problemas y
situaciones.
44
Hilda Taba considera que esta conceptualización de
profundidad sugiere la posibilidad de lograr un equilibrio razonable
entre la amplitud del contenido y su profundidad mediante la
selección de una serie de ideas adecuadas fácilmente aplicables y
transferibles al estudio de las cuales se dedicará el tiempo
suficiente.
Las provisiones para alcanzar una amplia gama de objetivos.
El currículo debe adoptar medidas para el logro de una amplia serie
de objetivos. De acuerdo con la autora, un currículo efectivo toma
en cuenta del mismo modo, la adquisición de conocimientos nuevos y
significativos y el desarrollo de modos de pensamiento cada vez
más eficaces, actitudes e intereses positivos y hábitos y
capacidades apropiados.
De acuerdo con Hilda Taba, para lograr esta amplia serie de
objetivos, es necesario tener en cuenta que las experiencias del
aprendizaje, y no el contenido como tal, constituyen los medios para
lograr todos los objetivos además de los del conocimiento y la
comprensión.
En este sentido, los aspectos del pensamiento, tales como la
habilidad para interpretar datos o actitudes tales como la lealtad a
los valores democráticos pueden surgir a través de contenidos muy
diversos. Además, es necesario tener conciencia de que el logro de
las diferentes conductas involucradas en las diferentes esferas de
objetivos, requiere diferentes tipos de experiencias de aprendizaje,
de ahí que, como señala Tyler, la experiencia de aprendizaje debe
45
posibilitar la práctica de la conducta apropiada.
La autora sugiere que son necesarias experiencias de
aprendizaje que lleven en sí mismas las oportunidades para
alcanzar objetivos múltiples, es decir, poner en práctica diversas
conductas. Al respecto la autora afirma: "Resulta posible llevar a
cabo el aprendizaje del contenido de manera tal que existan
oportunidades para el ejercicio activo y simultáneo de varias
funciones mentales: analizar problemas, inferir y hacer
deducciones, descubrir y aplicar ideas y principios, practicar
ciertas habilidades y expresar sentimientos y actitudes"(368).
La autora propone que es posible diseñar experiencias de
aprendizaje, en las cuales el acto mismo de adquisición de
conocimientos, incluya diversos procesos mentales activos:
experiencias que estimulen a los estudiantes a generalizar en lugar
de asimilar generalizaciones, a proyectar, en lugar de seguir planes
ya hechos, a abstraer en vez de absorber abstracciones.
Un factor que debe tenerse en cuenta al diseñar las
experiencias de aprendizaje con objetivos múltiples, es el tiempo,
pues los alumnos ponen en práctica diferentes conductas, lo cual
requiere más tiempo que la tradicional exposición de los contenidos.
La accesibilidad y adaptabilidad a las experiencias de los
estudiantes. Para que el contendio del currículo y las experiencias
de aprendizaje sean accesibles a los estudiantes, es necesario
adaptarlos a su capacidad y a sus experiencias previas.
La autora señala que no es fácil aplicar este criterio en la
46
selección del contenido y de las experiencias de aprendizaje , ya que
los métodos comunes (tests de inteligencia) para determinar la
capacidad de los estudiantes no proporcionan una imagen adecuada
de las diferencias cualitativas en cuanto a las habilidades de los
estudiantes . Es necesario estudiar más profundamente las
diferencias cualitativas en los sistemas mentales, con el objeto de
organizar un currículo que brinde aproximaciones diferenciadas pero
igualmente eficaces al aprendizaje integral para estudiantes con
diferentes sistemas mentales y diversos modelos de aprendizaje
social y motivaciones.
Al respecto, la autora afirma: "Cuanto más heterogéneos o
marginados sean los antecedentes o el aprendizaje social del
estudiante, más importante resulta brindarles diversos puentes
entre lo que saben hoy, los conceptos y los significados actuales, y
lo que se les va a enseñar más adelante" (372) .
La adaptación a las necesidades e intereses de los
estudiantes. Con respecto a las necesidades, las escuelas deben
decidir en qué punto del programa total se cubrirán ciertas
necesidades y en qué grado, ya que es imposible que el currículo
responda a todas las necesidades de los estudiantes.
Por otro lado, con respecto a los intereses de los
estudiantes, Hilda Taba afirma que las investigaciones recientes
indican que cuando el aprendizaje es interesante, parece más fácil,
porque la motivación es mayor y el esfuerzo menos penoso.
Aunque existe cierta controversia alrededor de este criterio,
47
la autora propone que este criterio no es contradictorio con el de
validez y relevancia del contenido, que sugiere la selección de las
ideas básicas de las disciplinas, ya que, a medida que se diferencian
los niveles de elección, es posible "determinar" los elementos
esenciales que deben ser aprendidos y permitir que los detalles por
medio de los cuales se aprenderán sean determinados por el interés
del estudiante, cumpliendo así con ambos criterios.
Por su parte Nérici (1990), propone los siguientes criterios
para la selección del contenido del currículo:
1. El valor funcional de los temas de estudio, entendiendo por
esto seleccionar aquellos que más se vinculen a los problemas de la
actualidad y que tengan mayor valor social.
2. Los intereses y necesidades regionales.
3. Las fases de desarrollo del educando.
4. Las demás disciplinas y actividades del currículo, a fin de
lograr la integración entre todas las disciplinas que lo componen.
Este mismo autor operacionaliza los criterios anteriores a
través del planeamiento del curso, de la unidad y de la clase, para
efectos de este trabajo interesa lo referente al planeamiento del
curso, ya que es necesario conceptualizar acerca de los criterios
que deben aplicarse al planear un curso.
Nérici (1990), define el plan del curso como la previsión de
todas las actividades escolares pertinentes a una actividad, área o
48
disciplina, durante un período lectivo que, de modo general, puede
ser de un año, de un semestre o de cualquier otra duración;
destacando la necesidad de vincular el curso con los grados
anteriores o posteriores de la secuencia vertical del currículo, así
como también con los cursos relacionados en la misma secuencia
horizontal, todo esto permitirá que la enseñanza sea más global,
integrada, orgánica, eficiente y con sentido de continuidad.
Este mismo autor propone los siguientes elementos en la
planificación de un curso:
1. El tiempo disponible. El primer elemento a considerar es el
tiempo disponible, dado que las pretenciones pueden disminuir o
aumentar en función de las horas de clase de que el docente puede
disponer.
2. Los objetivos educacionales. Estos deben especificar las
expectativas generales con relación al comportamiento, en el secotr
de la información, la formación y la automatización.
3. El contenido programático . El cual debe obedecer a los
siguientes parámetros:
a) Articulación con la experiencia anterior del educando;
b) Presentación de sus aspectos teóricos y prácticos básicos;
c) Según el nivel de enseñanza, presentación de una
metodología, para que el educando pueda aplicarla;
c) Relación con lo anterior, considerar el contenido como una
49
continuación del grado inferior, así como también, como base del
aprendizaje subsiguiente, si debe continuar en un grado superior;
d) Funcionalidad;
e) Actualidad;
f) Valor social;
g) Secuencia, continuidad y organicidad;
h) Atención a las condiciones y necesidades del medio;
i) Atención a los intereses revelados por los educandos;
j) Elección de las unidades del contenido o programa que
mejor respondan a lo anterior.
4. Las posibilidades de la escuela en materia de aulas,
material didáctico, recursos humanos y disponibilidad económica.
5. El material didáctico necesario, teniendo en cuenta el
existente en la escuela, el que pueden elaborar los alumnos y el que
será preciso adquirir.
6. La motivación del curso, basada, siempre que sea posible,
en vivencias, indicadas por el comienzo de las tareas, a fin de que
provoquen el interés de los educandos por todo el curso, partiendo,
siempre que sea posible, de las realidades comunitarias vinculadas
con el programa a enseñar.
7. Los trabajos de investigación a realizarse durante el
período lectivo.
50
8. Las actividades extracurriculares que pueden
desarrollarse, relacionadas con la actividad, área de estudio o
disciplina en cuestión.
9. El plan de acción didáctica, indicando en sus líneas
generales, poniendo énfasis en los métodos y técnicas juzgados más
convenientes para el presente plan de curso y que más eficazmente
puedan ayudar a alcanzar los objetivos previstos.
1 O. Los procesos de evaluación del aprendizaje que serán
llevados a la práctica durante el curso.
11. La bibliografía y las informaciones. Lista bibliográfica
mínima y fundamental, indicando uno o dos libros básicos que
deberán ser estudiados sistemáticamente. Indicación de revistas y
otras publicaciones de interés para el curso, así como de otras
fuentes: institutos, centros de estudios.etc.; que puedan suministrar
información relativa a la actividad, área de estudio o disciplina en
cuestión.
Por su parte, Gagné (1990) afirma que la mejor forma de
planificar la enseñanza consiste en empezar por los resultados que
se esperan y luego proceder en orden inverso, lo cual tiene
repercuciones en el contenido de la enseñanza.
Este autor menciona que en la práctica, el planeamiento de la
enseñanza frecuentemente se realiza para un solo curso y no para
51
unidades mayores del plan de estudios total, de ahí que ningún curso
tiene extensión fija ni especificación rigurosa de lo que debe
cubrirse.
De acuerdo con este autor, diversos factores pueden influir
en la elección de la duración del curso o en la extensión de su
contenido, sin embargo el factor determinante es el tiempo de que
se disponga en un semestre o un año de estudios.
Con respecto a la estructuración de los cursos, se lleva a
cabo de manera arbitraria, designando ciertos temas que adquieren
sentido en el medio particular de la escuela, y asignándoles títulos
generales como Historia de América, Inglés 1, etc. El autor menciona
que estos nombres son ambiguos, ya que son muy generales.
La propuesta de Gagné es la de describir los cursos en
función de sus objetivos para evitar la ambiguedad del resultado de
los cursos designados por su nombre. La planificación de la
enseñanza puede simplificarse asignando objetivos que
correspondan a cinco categorías principales de capacidades
humanas. Tales categorías son:
1. Las habilidades intelectuales. Estas son las capacidades
que hacen competente al hombre. Lo habilitan para responder a las
conceptualizaciónes de su medio. Constituyen la estructura
findamental de la educación formal. Abarcan desde las habilidades
más elementales del lenguaje, hasta las avanzadas habilidades
técnicas de la ciencia.
52
2. Las estrategias cognoscitivas. Se trata de las capacidades
que gobiernan el aprendizaje del individuo, su retentiva y conducta
de pensar.
3. La información verbal. Es aquella que se aprende y
almacena en la memoria de los individuos como resultado de la
enseñanza escolar, sin embargo, hay gran cantidad de información
verbal que se adquiere también fuera de la escuela, en la lectura de
libros, revistas, periódicos y a través de los programas de radio y
televisión.
4. Las destrezas motoras. La enseñanza formal de la escuela
debe proporcionar el aprendizaje de ciertas destrezas motoras,
como: escribir las letras, trazar una linea recta, etc.
5. Las actitudes. El efecto de la actitud consiste en
amplificar las reacciones positivas o negativas del individuo hacia
ciertas personas, cosas o situaciones. Generalmente se espera que
en las escuelas se establescan actitudes socialmente aprobables,
como respetar a otras personas, cooperar, ser responsable, al igual
que actitudes positivas hacia el conocimiento y el aprendizaje, así
como la actitud de autoestimarse.
Gagné (1990) propone que las cinco capacidades humanas
descritas son las principales clases de contenido de los cursos,
teneindo en cuenta que un curso tiene por lo general objetivos que
53
se adaptan a varias clases de capacidades hu manas.
En sintesis, Gagné propone que estas cinco capacidades
humanas son el sistema fundamental de la planificación de la
enseñanza y afirma que salvo las destrezas motoras, al planificar
un curso probablemente habrá que atender a todas estas categorías.
No puede haber un curso sin que haya información, y tampoco puede
haberlo sin que se afecte en cierta medida a las actitudes, y lo que
es más importante, no puede haber ningún curso sin habilidades
intelectuales.
Si bien, los autores citados, como Taba, Nérici y Gagné,
proporcionan una perspectiva a nivel general con respecto a la
selección del contenido del currículo, es decir, no se enfocan a un
nivel de educación específico, es necesario considerar las
aportaciones de aquellos autores que han trabajado este aspecto a
nivel profesional, ya que, este trabajo se ubica en dicho nivel, lo
cual se realiza en el siguiente apartado.
2.1.1.2. Selección del contenido del currículo a nivel
profesional
María de lbarrola y Raquel Glazman (1987) han abordado la
temática curricular mexicana a nivel universitario, y ponen de
manifiesto la compleja tarea de seleccionar el contenido del
currículo. Estas autoras sugieren que es necesario hacer una
selección racional del contenido del currículo, ya que éste sufre
constantes modificaciones que se pueden apreciar en los siguientes
54
aspectos:
-los cambios en las profesiones mismas, que surgen de la
creación de nuevas necesidades laborales por influencia de una
serie de modificaciones en las estructuras ecológicas, demográfica,
económica, social, política y cultural (agotamiento de recursos,
contaminación ambiental, explosión demográfica, nuevas
estructuras políticas, nuevas aspiraciones sociales, etc.);
-los cambios en el ejercicio de las profesiones, que resultan
de la aplicación de conocimiento nuevo, nuevas técnicas, nuevos
métodos de trabajo, cambio tecnológico, etc.;
- la generación de conocimiento nuevo, producido por las
continuas investigaciones en todos los ámbitos y la consecuente
superación de los contenidos educativos;
- los descubrimientos sobre las disciplinas mismas, o sea, la
forma de organizar y clasificar el conocimiento, que repercuten
necesariamente en la organización del contenido educativo y de su
enseñanza.
Todo lo anterior, pone de manifiesto, la necesidad de hacer
una selección racional del contenido del currículo, que tome en
cuenta los aspectos anteriores, a fin de lograr un currículo
efectivo, que sirva a los estudiantes de hoy para desempeñarse en
su vida adulta. Sin embargo, es necesario recordar la sugerencia de
55
Hilda Taba (1987), que afirmaba que el currículo más que responder
a la situación inmediata, debe ofrecer aquellos conocimientos que
abran perspectivas para el futuro, cultivando aquellos procesos
mentales que fortalecen la capacidad para tranferir el conocimiento
a situaciones nuevas , así como también desarrollar aproximaciones
creativas a la solución de problemas.
Otro de los autores que han abordado la temática curricular
mexicana, a nivel universitario, es Armando Rugarcía (1991 ), que
propone los siguientes criterios para la selección del contenido del
currículo:
1. El tipo de conocimientos que se describen en el perfil del
egresado. Estos conocimientos deben ser los básicos, de "muchas"
materias y estar organizados congruentemente en el plan de
estudios. Esto permitirá al egresado enfrentar los retos
profesionales de una forma más interdisciplinar, es decir, tendría
los conocimientos de tal manera disponibles que le posibilitarían
enfrentar una situación desde varios puntos de vista.
2. Los antecedentes escolares de los alumnos que ingresan a
las carreras.
3. El balance entre materias teóricas, experimentales y
"profesionales" (estancia en la empresa). Este balance está sujeto a
los recursos humanos y materiales de que dispone la institución
educativa, ya que, de nada sirve poner un curso experimental de
computación en el plan de estudios cuando por falta de equipo de
56
cómputo suficiente , se convierte e un curso teórico.
4. El tiempo disponible en el semestre escolar. Es necesario
hacer énfasis, en la necesidad de tener en cuenta el tiempo del que
se dispone, para evitar el exceso de contenido que conduce a un
currículo informativo. Se requiere planificar adecuadamente los
contenidos, de manera tal, de dejar espacio curricular para
trabajar las otras dos dimensiones del perfil del egresado:
desarrollo de habilidades y actitudes.
A diferencia de Glazman e lbarrola, Rugarcía propone, que se
debe desterrar como criterio de decisión para la selección del
contenido del currículo a los avances en la profesión. Afirma que
este criterio es adecuado para los posg radas, pero no para la
licenciatura, ya que para captar apropiadamente "lo nuevo" se debe
tener bien asimilado y entendido "lo viejo", tanto por alumnos como
por profesores.
2.1.1.3. Selección del contenido del currículo de
Matemáticas.
Al igual que los autores citados, José Adem (1991),
reconocido matemático mexicano, investigador del Departamento de
Matemáticas del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del Instituto Politécnico Nacional, reconoce la necesidad de que la
preparación de las nuevas generaciones sea planeada en forma
adecuada para combatir las deficiencias del momento y resolver los
problemas del futuro.
57
De acuerdo con este autor, en la época actual, el progreso
social y económico de un país depende de su preparación científica y
tecnológica.
Desde esta perspectiva, el desarrollo científico y tecnológico
y la educación en matemáticas son inseparables. Las matemáticas
son el lenguaje de las ciencias, y son vitales para su desarrollo y
aplicación. Los físicos, químicos, ingenieros, biólogos, sociólogos,
administradores de empresas, economistas, etc., necesitan en una u
otra forma conocer y manejar este lenguaje. La enseñanza de las
matemáticas ocupa una posición estratégica en el sistema
educativo, y el nivel de la preparación científica y tecnológica
puede elevarse más fácilmente si los conocimientos matemáticos
se imparten oportuna y adecuadamente. Esto implica un estudio
cuidadoso, una revisión de los programas actuales de los cursos, y
una reforma de los métodos a todos los niveles: elemental, medio y
superior.
José Adem, afirma que durante los últimos años se ha
presentado una proliferación casi explosiva de las matemáticas y de
sus aplicaciones. El acervo matemático crece muy rápidamente y
muchas ramas nuevas tienen más y más aplicaciones en los
diferentes aspectos de la cultura. Por ejemplo, hace unos cuantos
años, un estudiante de ciencias biológicas casi no necesitaba tener
conocimientos matemáticos. Hoy, además de estadística, necesita
conocer elementos de análisis y topología para poder estudiar
programación lineal y teoría de juegos, ramas éstas de reciente
creación, que se utilizan en varios aspectos de las ciencias
biológicas.
58
El autor propone los siguientes principios generales para la
elaboración de los nuevos programas de matemáticas, que tienen
que ver con la selección del contenido del currículo en matemáticas:
1. Incorporar a los cursos, a niveles adecuados y en los
lugares apropiados, las nuevas partes más importantes de las
matemáticas que se considere que los estudiantes necesitan saber y
entender.
2. Eliminar los temas tradicionales que se han vuelto
obsoletos por el progreso matemático y, al mismo tiempo,
conservar aquéllos que la experiencia ha demostrado que son útiles.
3. Hacer igual énfasis en la parte manipulativa y en la parte
conceptual, en tal forma que al mismo tiempo se desarrolle la
habilidad para manejar operaciones y técnicas matemáticas, y se
tenga el conocimiento básico de la estructura matemática que
fundamenta estas manipulaciones.
Tomando como base, todo lo expuesto en relación a la
selección del contenido del currículo en los tres niveles analizados:
general, profesional y en matemáticas, se establecen los siguientes
criterios para la selección del contenido del currículo en
matemáticas:
1. El contenido debe constituirse con las ideas básicas de la
Matemática.
59
2. El contenido, más que responder a la situación inmediata
debe incluir aquellos conocimientos que abran perspectivas para el
futuro, favoreciendo aquellos procesos mentales que fortalezcan la
capacidad para transferir el conocimiento a situaciones nuevas, así
como desarrollar aproximaciones creativas a la solución de
problemas.
3. Las experiencias de aprendizaje asociadas al contenido
deben proporcionar los medios para lograr una amplia serie de
objetivos, entre los que se encuentran: las habilidades
intelectuales, las estrategias cognoscitivas, la información verbal,
las destrezas motoras y las actitudes.
4. El contenido, en la medida de los posible debe tratar de
adapatarse a las experiencias de los estudiantes, así como a sus
necesidades e intereses, lo cual contribuirá enormemente a la
motivación del educando.
5. Al seleccionar el contenido del currículo de matemáticas,
debe explicitarse su relación con las otras disciplinas que
componen el currículo a fin de lograr la integración tan necesaria en
el aprendizaje de los alumnos, para que al egresar de la escuela,
tengan una visión más amplia al enfrentarse a los problemas reales.
6. El contenido debe seleccionarse teniendo en cuenta el
tiempo del que se dispone en el período escolar, lo cual debe
60
realizarse por los profesores y los especialistas tanto en el área de
matemáticas como en el área educativa, a fin de lograr una
planificación adecuada de los diferentes cursos.
7. El contenido debe actualizarse gradualmente, incluyendo
aquellas ramas nuevas de las matemáticas que a juicio de los
especialistas en el área, así como los educadores puedan ser
adquiridas por los estudiantes.
2.1.2. ORGANIZACION DEL CONTENIDO DEL CURRICULO
Como se mencionó en el apartado 2.1. la organización del
contenido del currículo constituye una de las etapas del diseño
curricular posterior a la selección del contenido que se
conceptualizó en los anteriores apartados.
Una vez seleccionado el contenido que se incluirá en los
currícula, el siguiente paso consiste en la organización del mismo a
fin de lograr los objetivos educacionales.
La organización del contenido del currículo se realiza a dos
niveles :
1. La organización del programa total. En donde se elabora el
esquema de todo el currículo de un plan de estudios, ya sea de una
carrera profesional o a nivel de toda la primaria, secundaria o
preparatoria.
61
2. La organización del contenido y de las experiencias de
aprendizaje dentro de una unidad o de una materia.
2.1.2.1. La organización del programa total
De acuerdo con las autoras María de lbarrola y Raquel
Glazman (1987), la necesidad de organizar el contenido del
currículo se debe a limitaciones inherentes a la capacidad del
individuo de aprender y de los recursos docentes de abarcar con la
misma eficiencia todo lo correspondiente al plan de estudios.
Los resultados finales que se plantean como objetivos
generales de un plan de estudios son demasiado complejos; sólo se
alcanzan en forma progresiva al cabo de un período relativamente
largo, mediante una serie de enseñanzas y de aprendizajes
particulares que abarcan períodos más cortos.
Las autoras citadas reconocen que la materia es la forma
más conocida de organizar los estudios de un plan y responde
fundamentalmente a la estructura y organización interna de las
disciplinas académicas. Sin embargo, existen otras formas de
organizar los contenidos de un currículo, entre las que se
encuentran: las áreas, los módulos, las prácticas, los proyectos de
investigación, entre otros.
Estas autoras señalan que los estudios más recientes
recomiendan que la organización, de cada curso, se haga con base en
la integración --interdisciplinaria si se quiere-- de todos los
conocimientos, habilidades, actitudes y valores que se relacionan
62
con la solución de un problema profesional o con alguna función
social, vital, etc.
La forma de organización seleccionada deberá facilitar la
participación del alumno en el proceso de aprendizaje y al mismo
tiempo respetar criterios lógico-pedagógicos y psicológicos del
aprendizaje y adecuarse a una administración escolar. Es necesario
tomar en cuenta la posibilidad de planear cursos alternos, ya que
los objetivos finales se pueden alcanzar de varias maneras.
Otro factor importante en la organización del contenido del
currículo es el tiempo disponible en cada período escolar, de ahí que
el tiempo que abarque cada curso no debe fijarse arbitrariamente.
Las autoras citadas, proponen los siguientes criterios para la
asignación del tiempo a cada curso:
1. La complejidad de los objetivos del curso.
2. Los métodos y medios didácticos disponibles.
3. Las limitaciones académico-administrativas.
Una vez seleccionada la forma de organizar el contenido del
currículo, ya sea en materias, módulos, proyectos de investigación,
etc., es necesario establecer una estructura del currículo, en donde
se expliciten las relaciones que los cursos deberán guardar en el
tiempo.
La estructura de un plan de estudios tienen dos dimensiones:
la horizontal, que representa a los cursos que se imparten en forma
simultánea, y la vertical, que corresponde a los que se imparten en
forma sucesiva.
63
Tanto los cursos que se imparten simultáneamente como los
que se imparten de manera sucesiva, deben guardar entre sí la
misma relación coherente y armónica que se recomienda para los
contenidos de cada curso.
La dimensión vertical puede tener dos modalidades básicas,
una en que la relación sucesiva de los cursos es absolutamente
rígida, o sea que cada curso es requisito ineludible de otro
-excepto el primero- y prepara forzosamente para el siguiente
-excepto el último-, y otra en que la sucesión es libre y los
estudiantes pueden llevar los cursos en la secuencia en que se les
facilite.
De acuerdo a las autoras, los estudios recientes hacen
énfasis en la necesidad de estructurar el plan de estudios de manera
que permita una capacitación gradual, o sea que en función del
aprendizaje de un número menor de cursos de los que forman el plan
de estudios profesional, y al final de cada período (dimensión
horizontal), el estudiante llegue a dominar ciertas capacidades que
le permitan realizar en algún tipo o grado la actividad profesiional.
2.1.2.2. La organización del contenido dentro de una
materia.
Como en el caso de la selección del contenido, es necesario
establecer la diferencia entre organización del contenido y
organización de las experiencias de aprendizaje asociadas a dicho
contenido.
64
Al respecto Hilda Taba (1987) afirma: "Si bien se ha dedicado
gran atención a la organización del contenido, el problema de la
organización de las experiencias del aprendizaje ha sido objeto de
especulación teórica o de experimentación empírica relativamente
escasas"(383).
De acuerdo con esta autora, una estructura de currículo
típica, no sólo detalla las materias y los temas que se abarcarán,
sino también indica la secuencia de estos temas. Por el contrario,
los docentes reciben, a lo sumo, una lista desorganizada de
actividades de aprendizaje, para que ellos escojan. Los principios de
la secuencia son sugeridos generalmente sólo en términos muy
generales, tales como empezar con lo más simple y concreto y
avanzar hacia lo más complejo y abstracto.
Los criterios para la organización del contenido dentro de una
materia propuestos por la autora son:
La determinación de la secuencia. El establecer una secuencia
en el currículo se refiere al ordenamiento del contenido y las
experiencias de aprendizaje dentro de una sucesión. La
determinación de la secuencia dependerá del enfoque adoptado en el
diseño curricular: el currículo informativo, en donde la preocupación
fundamental es la rxposición del contenido o bien el currículo
centrado en el aprendizaje.
En el currículo informativo, la supuesta lógica de la
asignatura es la que determina, en gran medida, el orden de
exposición de los temas.
65
Por otra parte, cuando el currículo es considerado como un
plan para el aprendizaje, es necesario establcer secuencias de
experiencias de aprendizaje necesarias para dominar una conducta
esperada: asimilar un concepto abstracto: desarrollar un método
para analizar problemas o una actitud tolerante con respecto a las
diferencias, dominar la capacidad para analizar datos o aprender un
método de investigación.
De acuerdo con la autora, en el planeamiento de cualquiera de
estas secuencias se aplican ciertos principios generales, tales
como el de moverse desde lo conocido a lo desconocido, de lo simple
a lo compuesto, de un análisis de experiencias concretas al
desarrollo de generalizaciones, especialmente si la meta principal
es promover el aprendizaje activo, un método de descubrimiento
para la formación de conceptos o técnicas autónomas de
investigación.
El aprendizaje acumulativo. El problema del aprendizaje
acumulativo, consiste en lograr un desempeño cada vez más
exigente: materiales de estudio más complejos, análisis más
exactos, mayor profundidad y amplitud en cuanto a las ideas que
deberán ser comprendidas, relacionadas y aplicadas y mayor
refinamiento y sutileza en las actitudes y las sensibilidades. Esto
puede involucrar secuencias a corto o a largo plazo, según la
naturaleza de la tarea.
La progresión acumulativa en el aprendizaje requiere,
planificar las experiencias del currículo de modo de presentar un
material cada vez más complejo y, al mismo tiempo, la exigencia de
66
reacciones mentales más maduras.
Esta progresión comprende también planificar el empleo
continuo de los conocimientos adquiridos con anterioridad: utilizar
lo que sucede en un punto determinado para construir la base para
las experiencias siguientes, como por ejemplo introducir las ideas
de manera tal que cada una de ellas prepare el terreno para la
siguiente, o las habilidades de modo que cada nuevo paso el
estudiante se perfeccione y aplique lo que ya domina.
Sin embargo, es necesario tener en cuenta que no existen
garantías de que aquello que se aprende en un momento dado
permanece en nosotros para siempre, se trate de hechos, ideas,
habilidades, actitudes o facultad para pensar. Generalmente son
necesarios el refuerzo, la repetición y el empleo constante.
La integración del contenido. El aprendizaje resulta más
eficaz cuando los hechos y los principios asimilados en un campo
pueden ser relacionados con otro, especialmente si este
conocimiento se aplica.
Como concepto de organización, la integración puede ser
vista de diferentes maneras. Algunas definiciones señalan la
relación horizontal de los diversos campos del currículo entre sí,
como, por ejemplo, vincular lo que se aprende en matemática con lo
que se aprende en ciencias.
El núcleo de la organización. El problema es decidir qué
aspecto del currículo puede servir como enfoque o núcleo de la
organización.
67
En la práctica se han empleado diversos núcleos de
organización: intereses, experiencias, problemas cotidianos, temas
del contenido, etc. Sin embargo, ninguno de éstos proporciona un
criterio idóneo para seleccionar los detalles que se van a incluir,
para interpretar lo que se aprende o para establear relaciones entre
los hechos.
La autora señala que solo en la medida en que se formulen las
ideas centrales de cada tema, es posible hablar de un núcleo
organizador del estudio. La lógica de las ideas básicas sobre el
tema, materia o el problema, determina generalmente cuáles son las
dimensiones de un tema que es necesario destacar, los detalles
relevantes y los que no lo son y las relaciones más significativas.
La variedad en las formas de aprendizaje. Los diferentes
individuos necesitan también diferentes tipos de actividades de
aprendizaje para su propio desarrollo.
Es necesario un ordenamiento equilibrado en las formas de
aprendizaje y en las condiciones bajo las cuales éste tiene lugar,
para que exista igualdad de oportunidades para aprender.
Las actividades del aprendizaje tienen que representar un
equilibrio entre los diversos medios para aprender: la lectura, el
análisis, la investigación, la observación, la redacción, la
experimentación, la manipulación y la construcción.
68
2.2. PRINCIPIOS QUE ORIENTAN LA CONDUCCION DEL
PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA
DESDE LA PERSPECTIVA TRADICIONAL
Al hablar del proceso de enseñanza-aprendizaje desde una
perspectiva tradicional, es necesario hacer una síntesis de los
acontecimientos históricos que marcan el inicio de una corriente
educativa que nace y se desarrolla a finales del siglo XIX y
principios de este siglo, que algunos autores denominan "renovación
pedagógica" "reforma de la enseñanza" ó "Escuela Nueva".
Este movimiento surge como una reacción a la educación
tradicional, la cual es caracterizada por J.Vial citado por Palacios
(Sin fecha) de la siguiente manera: la educación tradicional,
"disloca lo real, fragmenta el tiempo, procede por vía autoritaria, desconoce tanto la riqueza física, estética, caracterial y social del educando como su singularidad, una educación que desconoce las enseñanzas de la psicología del desarrollo, que no establece nexos entre la motivación y el aprendizaje y cuya eficacia, por ser magistrocéntrica, descansa en el poder de requerimiento del oficiante"(28).
Palacios sostiene que la educación tradicional se
fundamentaba en el formalismo y la memorización, en el didactismo
y la competencia, en el autoritarismo y la disciplina.
Con respecto a los métodos de enseñanza tradicionales, el
autor afirma que eran pasivos, porque el alumno debía someterse a
una sujección exterior, más o menos desagradable o agradable, que
69
le obligaba a aceptar un saber prefabricado del que no comprendía la
necesidad, ni respondía a un interés real, ni a la construcción
mental en la que no participaba directamente.
Frente a esta perspectiva, la educación nueva se ve llevada a
enfatizar la significación, valor y dignidad de la infancia, a
centrarse en los intereses espontáneos del niño, a potenciar su
actividad, libertad y autonomía.
De acuerdo con Palacios, la orientación de la escuela nueva
es:
"preparar al niño para el trinufo del espíritu sobre la materia, respetar y desarrollar los atractivos intelectuales, artísticos y sociales propios del niño, en particular mediante el trabajo manual, y la organización de una disciplina personal libremente aceptada y el desarrollo del esp_íritu de cooperación, la coeducación y la preparación del futuro ciudadano, de un hombre consciente de la dignidad de todo ser humano. Frente al magistrocentrismo precedente, la vida que en la escuela se introduce, la actividad que los niños realizan, el respeto a sus intereses, la preocupación por su libertad individual y todas las demás novedades que se hacen entrar en las aulas, están al servicio de ese rey de la escuela en que el niño se convierte" (29).
Este mismo autor señala que se pueden establecer las
siguientes etapas en el movimiento de la renovación pedagógica, o
Escuela Nueva:
1. La etapa individualista, idealista y lírica, que es la etapa
romántica de la Escuela Nueva, en donde destacan autores como:
70
Rousseau, Pestalozzi, Froebel, etc.
2. La etapa de los grandes sistemas. En donde destacan
autores como: Dewey, Claparede, Montessori, Decroly, Ferriere, etc.
3. La etapa posterior a la guerra de 1914-1918. Donde
destacan autores como: Cousinet , Freinet, Neill, Reddie y Hahn.
4. La etapa de madurez. La cual se manifestó con el Plan
Langevin-Wallon para la reforma de la educación francesa.
La breve reseña histórica presentada tiene como finalidad
poner de manifiesto que la controversia alrrededor de la enseñanza
tradicional no es algo nuevo, sino que se remonta a finales del siglo
pasado, y que sin embargo es motivo de preocupación de los
educadores y docentes de la actualidad.
En el caso de la enseñanza de la Matemática, así como en
muchas otras disciplinas, todavía se observan características de la
tan criticada enseñanaza tradicional.
Fredy Enrique González (Sin fecha), en la ponencia titulada:
"La enseñanza de la Matemática en el contexto de una didáctica
centrada en procesos", caracteriza la enseñanza tradicional de la
Matemática a través de los siguientes aspectos:
1. Procesos Comunicacionales. Los procesos
comunicacionales que se dan en la enseñanza tradicional de la
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Matemática son unilaterales; el flujo de comunicación surge del
docente (emisor, agente activo) y llega al alumno (receptor, sujeto
pasivo). De este modo, la enseñanza de la Matemática consiste sólo
en la transmisión de una información que el alumno adquiere
mecánicamente, sin comprenderla.
Como consecuencia de lo anterior, la capacidad de
razonamiento del alumno se frena (entorpece, inhibe, limita) porque
queda supeditada a normas y pautas dictadas y conocidas sólo por el
docente, por lo cual, permanecen ininteligibles a los alumnos a
quienes no queda otra alternativa (en este enfoque) que seguirlas
dócil y acríticamente si desean tener éxito en la asignatura
(entendiendo este éxito como la no reprobación en los exámenes).
2. Rigidez en la presentación del contenido. Los contenidos
aparecen rígidamente ligados al contexto en que fueron aprendidos
e indisociados de él. Su aplicación sólo es posible en contextos muy
similares a aquellos en los que tuvo lugar el aprendizaje, la más
ligera variación de dicho contexto hace que los contenidos
supuestamente aprendidos dejen de ser aplicables; se da
frecuentemente el caso de alumnos que utilizan correctamente los
conocimientos en los ejercicios escolares pero presentan
dificultades cuando tienen que usarlos espontáneamente en un
contexto distinto al que les ha habituado el aprendizaje escolar.
3. Concepción de la Matemática. En el enfoque tradicional se
concibe a la Matemática como ciencia hecha, es decir, como cuerpo
72
de doctrinas relativamente acabadas y puestas al día, que
constituye el estado de la ciencia en un momento dado. Al
concebirla así, pareciera que la Matemática no tuviera conexión
alguna con el ambiente en el que se desenvuelve el alumno; así se
tiene que, de acuerdo con la enseñanza tradicional:
a) La Matemática parece no tener relación alguna con ningún
hecho de la vida concreta y real del alumno fuera del ámbito
escolar. El alumno se vincula con la Matemática sólo cuando está en
la escuela o cuando hace tareas.
b) En el momento del aprendizaje escolar, el niño asimila las
operaciones matemáticas como una serie de simbolismos gráficos
que no tienen ninguna relación con las acciones que realiza
cotidianamente con los objetos concretos.
c) La naturaleza de las operaciones matemáticas es vivida en
el contexto del aprendizaje escolar como simples grafismos que
deben reproducirse siempre de manera constante, puesto que no
tienen más razón de ser que su reproducción gráfica.
d) El aprendizaje escolar es tan altamente valorado por el
alumno, que éste supedita todos sus intereses concretos y vitales a
los intereses (abstractos, lejanos, incomprensibles y estáticos) que
le ofrece la institución escolar.
4. Carácter alienante de la situación áulica. Este modelo de
enseñanza estimula y valora la actividad intelectual en situaciones
artificiosamente creadas por el docente, a la vez que inhibe y
mensoprecia toda actividad mental provocada espontáneamente por
73
intereses que proceden de la interacción real del niño con su mundo
físico y social, con lo cual promueve una profunda alineación
intelectual.
5. La explicación como esquema típico de la tradicional clase
de Matemática. El esquema típico que el docente sigue en una clase
tradicional, a grandes rasgos, es el siguiente: una vez que ha
seleccionado el algoritmo a enseñar, lo "explica" mediante ejemplos
y, poco después, pide a sus alumnos que imiten el procedimiento
"explicado", resolviendo problemas análogos.
El profesor detalla en el pizarrón una larga demostración,
mientras que el auditorio asiste pasivamente a este esfuerzo y se
limita a tomar nota de lo escrito por el profesor; esta pedagogía de
la exposición a contribuído a crear un esquema único de
presentación de los conocimientos matemáticos.
6. Concepción acerca del docente. El docente se considera
como poseedor absoluto de la verdad y su misión es transmitirla;
existe una subordinación casi total del alumno al "presunto saber"
del docente; como se ve, en este contexto, el docente es concebido
sencillamente como un simple dador de clases y transmisor de
información.
El docente, presionado por los programas y los objetivos
previamente establecidos, coloca el acento en los contendios
descuidando los procesos cognoscitivos; ésto provoca la atrofia de
la capacidad de pensar del alumno, lo cual en lugar de desarrollarse,
74
se inhibe y reduce, al sólo ejercitarse una parte de ella como es la
memorización.
Los seis aspectos de la enseñanza tradicional de la
Matemática propuestos por González reflejan acertadamente la
situación observada en la actualidad en muchos de los cursos de
Matemáticas de los diferentes niveles educativos.
Al igual que González, Morris Kline (Sin fecha) hace énfasis
en el problema de concebir la Matemática como un conjunto de
conocimientos que no tienen ninguna relación con el medio ambiente
en el que se desenvuelve el alumno. Al respecto, este autor afirma:
"la paupérrima enseñanza de las matemáticas puede relacionarse
con el hecho de que los profesores las explican como si no tuviesen
ninguna relación con nada exterior a sus confines técnicos. Lo más
triste en la enseñanza de las matemáticas --antiguas o nuevas-
no es que los profesores no sepan qué es lo que enseñan, sino que
ignoran porqué es importante y por consiguiente no pueden
explicárselo a sus alumnos" (174).
Este mismo autor señala que las matemáticas no atraen a la
mayor parte de los estudiantes, y constantemente se preguntan:
¿porqué tengo que aprender esto?, la cual es una pregunta muy
común que ha escuchado cualquier maestro de matemáticas.
El autor afirma que las matemáticas no atraen, y puede que
no deban atraer, al 98% de los estudiantes. Son estudio esotérico, de
atractivo exclusivamente intelectual y carentes del atractivo
emocional que poseen, por ejemplo, la música y la pintura.
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El matemático creador puede obtener algunas
compensaciones emocionales como la satisfacción del ego, el
orgullo del éxito y la gloria, pero los estudiantes no pueden obtener
ni siquiera ésto del estudio de las matemáticas, o en todo caso, la
intensidad de sus emociones es pequeña. El desafío intelectual
puede mover a algunas personas, pero difícilmente se puede refutar
a quienes sostienen que es más importante el desafío de construir
una sociedad más humana y conseguir dirigentes honrados.
En síntesis, el interés de quienes no sean matemáticos no
puede ser de origen matemático, de ahí que el hecho de utilizar lo
aprendido en matemáticas en las mismas matemáticas no satisface
a los alumnos.
El curso de Matemáticas 1, objeto de esta investigación, no es
una excepción de lo anterior, porque las aplicaciones de los
conceptos de Cálculo aprendidos por los alumnos son de carácter
también matemático. Al respecto, Kline menciona que los textos de
cálculo motivan muchos conceptos y teoremas aplicándolos al
cálculo de áreas y volúmenes y longitudes de arcos. Pero estas son
también cuestiones matemáticas, y el hecho de que el Cálculo nos
permita resolverlas no le convierte en más absorbente para los no
matemáticos.
El mismo autor sostiene que para interesar a los estudiantes,
no siempre es necesario que antes de introducir un tema
matemático se trate un problema sacado de las ciencias o de la vida
real. A veces es más conveniente introducir un tema matemático,
presentar las matemáticas e inmediatamente después aplicarlas a
76
una situación no matemática.
El uso de problemas reales y especialmente físicos no sólo
sirve para hacer interesantes las matemáticas, sino también para
darles un significado. Por ejemplo, los números negativos no son
sólo los inversos de los números positivos con respecto a la suma,
sino también los grados por debajo de cero en un termómetro; la
elipse no es sólo un lugar geométrico particular, sino también la
trayectoria de un planeta o un cometa, etc.
El autor indica que una de las más grandes dificultades que
los estudiantes encuentran en las matemáticas es la solución de
problemas planteados verbalmente. No saben como traducir la
información verbal en forma matemática. Con la presentación
habitual en los planes de matemáticas tradicional y moderna, ésta
dificultad es previsible. Las matemáticas se presentan por y para sí
mismas, divorciadas del significado físico, y después se les exige a
los estudiantes relacionar estas matemáticas aisladas y sin sentido
con las situaciones reales.
Otro de los aspectos relacionados con la enseñanza
tradicional de la matemática desrrollado por Morris Kline es el
referente al tipo de aprendizaje por repetición y memorización que
utilizan los alumnos expuestos a esta enseñanza.
Al respecto, Kline señala que los profesores están tan
ansiosos de avanzar, que presentan a los estudiantes los resultados
y demostraciones finales, y puesto que los estudiantes no están
preparados para asimilarlos, deben recurrir a aprendérselos de
memoria. Para enseñar a pensar, debemos dejar a los estudiantes
77
pensar, dejar a los estudiantes obtener sus propios resultados y
demostraciones, aún si son incorrectos. Dejar también que aprendan
a juzgar por sí mismos el acierto de los resultados. No hagamos a
los estudiantes tragar los hechos. No estamos metiendo objetos en
un bául.
La afirmación comunmente aceptada de que las matemáticas
enseñan a la gente a pensar no ha sido comprobada. La enseñanza de
las matemáticas, viejas y nuevas, no está preparada para enseñar a
la gente a pensar, sino a seguir a un guía, el profesor. En el plan
tradicional se enseña a los estudiantes a seguir los procesos y
repetir las demostraciones. Hoy con las nuevas matemáticas, los
estudiantes aprenden de memoria las definiciones y las
demostraciones. De hecho, se ven obligados a estudiar de memoria,
porque el nivel de los temas está fuera de su alcance.
En contraposición con la postura de Morris Kline que afirma
que es necesario vincular la enseñanza de la Matemática con sus
aplicaciones en el medio ambiente que rodea al alumno, Ablewhite
(1971) proporciona cinco razones muy importantes, por las cuales
es necesaria la enseñanza de la Matemática, que destacan el valor
de la Matemática como lenguaje de las ciencias, ya mencionado
anteriormente en este trabajo por el matemático mexicano José
Adem. Estas razones proporcionan el fundamento para enseñar la
Matemática por su propio valor y no por sus aplicaciones. Dichas
razones son las siguientes:
1. Las matemáticas son el lenguaje del método y del
78
pensamiento ordenado y han hecho posible cosas tales como los
horarios y la identificación de las páginas de un libro, las
carreteras de un mapa o las casas de una calle. A base de números o
series de letras se puede realizar cualquier clase de archivo
metódico, así como distribuciones breves y sistemáticas.
2. Las matemáticas son el instrumento y lenguaje de la
ciencia. Son esenciales para proyectar puentes, vías férreas, coches
y aviones; son el lenguaje utilizado para describir las maravillas
científicas que los niños del siglo XX de un país económicamente
avanzado emplean diariamente. Es importante, por esta razón, que
los niños aprendan la parte de las matemáticas que ha desempeñado
un papel en estos logros y que ha permitido la actual forma de vida.
3. Las matemáticas se estudian por el placer que pueden
proporcionar. Las matemáticas se han desarrollado no sólo porque
hacen frente a las necesidades del hombre y aumentan su poder
sobre la Naturaleza, sino también porque él ha disfrutado con ellas;
algunos de nuestro niños encontrarán de verdad un placer en el
pensamiento matemático. Todos pueden sentir el gozo de la
realización a medida que dominan pequeños estadios en los procesos
matemáticos y resuelven lo que para ellos son pequeños problemas.
Las matemáticas pueden hacer disfrutar a cada individuo de
cuatro maneras diferentes por lo menos.
Primero está el sentimiento de poder y plenitud que se
experimenta al dominar un problema real. Esta satisfacción puede
79
sobrevenir sólo cuando el individuo ha reconocido por sí mismo que
existe un problema y se ha propuesto a resolverlo.
En segundo lugar se halla la alegría experimentada al
descubrir una técnica que evita gran cantidad de trabajo mental o
manual.
Tercero, el indudable placer de resolver un problema que no
ha podido ser resulto y que desconcierta a otros.
Por último, la alegría de reconocer y admirar las reglas y el
orden matemáticos.
4. El niño vive en una comunidad que utiliza el lenguaje de los
números, medidas y formas en cada conversación. Este lenguaje se
ha desarrollado a través de siglos, pero el niño cuenta sólo con unos
pocos años para dominar lo que necesita de él.
Hay un gran almacén de conocimiento matemático construido
a través de los siglos con la contribución de muchas inteligencias.
Si el niños tiene que dominar lo que necesita de este almacén al
dejar la escuela, se plantea el problema de cómo él, o cualquiera,
puede saber lo que le es necesario sin conocer el contenido. Ningún
profesor puede conocer el contenido total de este almacén, ni
tampoco saber exactamente qué partes necesitará dominar el niño.
Lo mejor que podemos hacer es ayudarle en la selección. Si lo que le
mostramos es tan árido como polvoriento, no es lícito reprochrale
que no muestre interés por su contenido.
Por el contrario, si se escoge todo con pericia de modo que
siga día a día los estadios de su desarrollo y sea pertinente e
80
interesante, estará asegurado su deseo de continuar explorando ese
fascinante almacén.
5. Existe en toda mente humana el poder de reconocer el
orden, distinguir el todo y las partes, y combinar los todos para
hacer nuevos y distintos todos. Estas son pautas fundamentales del
pensamiento matemático; sin embargo, estas características no son
exclusivas del pensamiento matemático sino que se hayan presentes
en todas las otras formas de pensar, de aquí que el estudio de la
matemática podría contribuir a desarrollar la inteligencia de los
estudiantes.
De todo lo expuesto en este apartado, se puede concluir que
el proceso de enseñanza-aprendizaje tradicional de la Matemática
presenta muchos problemas, entre los que se encuentran: el papel
del docente como un transmisor del conocimiento, en donde el
alumno se concibe como un ser pasivo, receptor del conocimiento; el
aprendizaje que tiene lugar en estas circunstancias es por
memorización, en donde el alumno, en lugar de pensar, mecaniza los
alogritmos que su profesor le "explica" y los aplica sin
comprenderlos; la concepción de la Matemática como una ciencia
acabada, cuyas aplicaciones sólo son de carácter matemático.
Ahora la pregunta es, ¿Qué hacer para mejorar la enseñanza
de la Matemática?, y en un intento de responder a ella, en el
siguiente apartado se presentan algunas alternativas propuestas por
diferentes autores que pretenden mejorar el proceso de
81
enseñanza-aprendizaje de esta disciplina.
2.3. PRINCIPIOS QUE ORIENTAN LA CONDUCCION DEL
PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA
DESDE LA PERSPECTIVA NO-TRADICIONAL
Carmen Elena Sánchez (1987), en su trabajo titulado "Una
Exploración de la percepción de estudiantes y profesores del ciclo
básico de la facultad de ingeniería acerca de los factores que
afectan las habilidades para resolver problemas" menciona que con
frecuencia, el conocimiento se conceptualiza y presenta a los
alumnos como una valiosa colección de hechos, principios, reglas y
relaciones lógicas, y que esta alternativa, si bien es válida, se ha
comprobado que tiene una utilidad restringida en contextos como el
de la Matemática, en los cuales se exigen niveles de razonamiento
formal difíciles de lograr a través de prácticas convencionales
centradas en la clase magistral expositiva.
Esta misma autora menciona que en la actualidad existe
concenso entre muchos educadores acerca de las limitaciones del
enfoque expositivo, centrado en el maestro, y de la necesidad de
buscar alternativas más dinámicas centradas en el aprendizaje y
basadas en la participación activa del estudiante y en el
procesamiento de la información.
El esfuerzo se concentra en la actualidad en:
a) la identificación de las habilidades requeridas por los
82
estudiantes para realizar razonamiento abstracto, desarrollar
pensamiento crítico, lograr generalizaciones, resolver problemas,
tomar decisiones, optimizar el uso de sus recursos mentales, etc.
b) la definición de estrategias instruccionales para corregir
las fallas detectadas.
Entre las alternativas más importantes para mejorar el
proceso de enseñanza-aprendizaje, se encuentra la llamada
"enseñanza basada en procesos", y entre los autores más destacados
se encuentra Margarita de Sánchez (1991 ), que afirma:
"La enseñanza basada en procesos consiste en la aplicación del enfoque de los procesos en la metodología para estimular el aprendizaje. Los pilares fundamentales del modelo de procesos para desarrollar habilidades intelectuales son: la ·intencionalidad del acto mental y de la actividad mediante la cual se dirige y optimiza el uso de la capacidad intelectual del individuo; la conscientización del acto mental involucrado en el proceso; el enfoque de sistemas como instrumento de pensamiento, como producto de la metodología de procesos y como fuente de retroalimentación y de optimización del acto mental; la participación activa del aprendiz como medio que permite verificar el acto mental y seguir el progreso alcanzado; el monitoreo de los procesos y el papel del maestro como mediador del proceso enseñanza-aprendizaje" (2)
La autora citada, señala que durante el aprendizaje, la
persona es estimulada para que interactúe con los estímulos en
forma intencional y sistemática, conscientice el conjunto de
operaciones que va a emplear, y para que conozca el sistema de
83
control o regulación que le va a permitir reproducir el proceso,
evaluar el producto y mejorarlo a través de la retroalimentación.
Si bien se ha hablado de procesos, es necesario
conceptualizar lo que se entiende por ello. De ahí que es conveniente
hablar del Paradigma de los Procesos.
Margarita de Sánchez (1991), señala que: "El paradigma de
Procesos explica los aspectos conceptuales y metodológicos de un
enfoque de pensamiento basado en la operacionalización del acto
mental"( 1)
La misma autora menciona que el conocimiento se define
como la información acerca de hechos, conceptos, principios, reglas
y planteamientos conceptuales y/o teóricos, que conforman una
disciplina o un campo de estudio; o simplemente en el ámbito de lo
cotidiano, la información incidental acerca de hechos o eventos del
mundo que rodea al individuo.
Por otro lado, los procesos constituyen operaciones de
pensamiento capaces de transformar una imagen o representación
mental en otra o en una actividad motora. La autora afirma que todo
proceso para su aplicación se operacionaliza y se transforma en una
estrategia o procedimiento. La práctica del procedimiento bajo
condiciones controladas genera la habilidad de pensamiento. El
proceso existe por sí mismo, independientemente de la persona que
lo ejecuta, mientras que la habilidad es una facultad de la persona,
cuyo desarrollo requiere de un aprendizaje sistemático y deliberado.
Un proceso puede estar formado por una o más operaciones
mentales. Los procesos involucran transformaciones capaces de
84
generar nuevos productos. Una operación de pensamiento es un tipo
de transformación que actúa sobre estímulos concretos, situaciones
o representaciones mentales, para generar nuevas representaciones
mentales o acciones motoras.
La autora citada, afirma que todo proceso está conformado
por cuatro componentes:
a) El componente estructural, que determina las operaciones
mentales y los nexos entre los elementos del proceso.
b) El componente funcional, que define los operadores que
actúan sobre el contenido para generar el producto;
c) El componente conceptual, constructo que define el
proceso, es decir, que expresa la esencia del proceso.
d) El componente operacional, que especifica la manera de
aplicar el proceso, o sea, que define los pasos requeridos para
aplicar la o las opraciones de pensamiento que integran el proceso.
Aplicando el Paradigma de Procesos a la enseñanza de la
Matemática, González, propone una Didáctica centrada en procesos
como contexto para un nuevo enfoque en la enseñanza de la
Matemática.
El autor citado, explica que todo objetivo instruccional
implica un contenido curricular que está asociado a un proceso
cognitivo que se debe ejercitar sobre dicho contenido; por ejemplo,
en el objetivo "deducir geométricamente la fórmula para el ángulo
entre dos rectas secantes"; el proceso es la "deducción" y el
contenido la "fórmula para el ángulo entre dos rectas secantes".
85
Durante la enseñanza, debe existir equilibrio entre el proceso
cognoscitivo y el contenido implicado en cada uno de los objetivos
que se formulan en los programas de estudio; el primero exige al
alumno la puesta en funcionamiento de su estructura cognoscitiva
de modo tal que a partir de un conjunto de premisas dadas (tales
como ejemplos, definiciones y reglas) él pueda derivar un resultado
o un hecho específico. Desafortunadamente, en la enseñanza
tradicional de la Matemática, se hace énfasis en el contenido que
debe ser enseñado descuidándose o ignorándose totalmente el
proceso cognoscitivo asociado con dicho contenido.
De acuerdo con Heller, citado por González, se trata de
desarrollar un enfoque de la enseñanza que considere los contenidos
pero sin descuidar el desarrollo de los procesos cognoscitivos
generales y específicos asociados con dichos contenidos. Con la
aplicación de este enfoque el alumno adquiere información, pero,
además, aprende acerca del progreso cognoscitivo que aplica a ese
contenido y las estrategias que utiliza para aprehender lo que está
aprendiendo.
Además, debe tenerse presente que la calidad de los
conocimientos que los alumnos adquieren en la escuela están en
correspondencia directa con el nivel y el tipo de proceso
cognoscitivo que él lleve a cabo para adquirir tal conocimiento; así
que, no tiene el mismo rango cualitativo un conocimiento producto
de una actividad repetitiva, memorística y rutinaria que otro al cual
se ha llegado por la vía de un proceso cognoscitivo que implica
raciocinio, confrontación, deducción e inferencias como lo es, por
86
ejemplo, la solución de problemas.
La Didáctica centrada en procesos (DCP) propuesta por
González, se conceptualiza a través de los siguientes aspectos:
1. Características generales. La DCP propone una cambio
metodológico que implique un desplazamiento desde el contenido
(énfasis de la enseñanza tradicional) hacia los procesos.
La Didáctica centrada en contenidos (DCC), propia del enfoque
tradicional de la educación, hace énfasis en el contenido que debe
ser enseñado y no da importancia al proceso mediante el cual se
enseña y se aprende; además, según Carmona (1989), citado por
González: "impone al alumno el trabajo que debe efectuar; le
proporciona excesiva información y lo induce a memorizar sin
comprender, a repetir algo que no entiende, algo que no sabe como
aplicar y que olvidará rápidamente una vez que haya pasado el
momento de la prueba que requiere ese conocimiento"(20).
Por el contrario, la DCP, se preocupa por la manera en que el
alumno aprende y comprende; proporciona al alumno un margen de
actividad que le permita ir entendiendo el conocimiento que se le
presenta, a partir de su propio esfuerzo; enfrenta al alumno con sus
éxitos y sus fracasos, considerando estos últimos como
oprtunidades de aprendizaje.
En general, este enfoque de la enseñanza, "pretende que el
alumno, además de retener un contenido, adquiera una serie de
estrategias para recolectar, organizar y transmitir información;
estrategias que finalmente lo conducirán a solucionar los problemas
87
de tipo académico o de la vida diaria que se le presentarán"
(Carmena cit. por González, 20).
2. Fundamento psicológico de la DCP. En la DCP se relaciona
el proceso y el contenido, buscando un equilibrio para propiciar
aprendizajes permanentes.
El incremento de la calidad de los aprendizajes logrados por
los estudiantes es directamente proporcional a la calidad de la
actividad intelectual que ellos desarrollan durante el proceso de
enseñanza-aprendizaje. De ahí que resulta, absolutamente necesario
intensificar el trabajo cognoscitivo que los estudiantes llevan cabo
durante dicho proceso para que puedan ver con sus propios ojos (y no
con ojos ajenos) y razonar con su propio pensamiento; y aprendan
significativamente y no sólo recuerden algo preparado por otro.
3. Operaciones que subyacen en toda actividad cognoscitiva.
Entre las operaciones que subyacen en toda actividad cognoscitiva,
se mencionan el análisis y la síntesis; estos dos procesos son base
de todos los niveles de desarrollo cognoscitivo, por tanto, deben ser
ampliamente estimulados.
Otros procesos que se deben destacar son la observación, la
comparación y la clasificación (la geometría es un área excelente
para ayudar a desarrollar estos procesos, por ejemplo: las nociones
de congruencia y semejanza, las diferencias entre área y
perímetro).
Las razones que se presentan para justificar el énfasis en
88
estos procesos son varias, entre las que se encuentran: (a) son
procesos comunes en la mayoría de las áreas académicas; (b) son
procesos que permiten configurar estrategias para obtener,
organizar, integrar, evaluar y crear información; (c) son procesos
operacionalizables; (d) son procesos relativamente simples que
pueden ser combinados para configurar estrategias más complejas.
4. Métodos para intensificar la actividad cognoscitiva. Entre
los métodos que permiten intensificar la actividad cognoscitiva del
alumno, estimulando diversos procesos mentales, se encuentra la
formulación de preguntas, las cuales desempeñan un notable papel
en la estimulación de la actividad cognoscitiva del alumno, en el
proceso de asimilación de los conocimientos y en la formación del
pensamiento lógico de los estudiantes.
Además, debe estimularse a los alumnos para que pregunten y
se deben usar preguntas que inviten al razonamiento, al análisis y la
crítica. Para que el docente pueda realizar este tipo de preguntas,
debe entrenarse a fin de desarrollar estrategias que le permitan
elaborar preguntas que activen los procesos cognoscitivos de los
estudiantes.
Margarita de Sánchez (1991 ), en su trabajo titualdo, "Técnica
de la pregunta y activación de procesos cognoscitivos", menciona
que las preguntas cumplen diferentes propósitos, entre ellos,
invitan a pensar, dirigen al que responde a pensar acerca de un
tópico particular, desarrollan habilidades para pensar en términos
de procesos, etc.
89
En el trabajo citado, la autora clasifica las preguntas en base
a los procesos cognoscitivos que son activados, en observacionales,
inferenciales, clasificatorias, evaluativas y trascendentes.
Las preguntas observacionales exigen respuestas basadas en
la experiencia del sujeto acerca del mundo que lo rodea. Se basan en
la observación directa o indirecta de hechos, datos, etc, de la
realidad y piden enumeración de características, descripciones, etc .
Las preguntas inferenciales requieren de un nivel más alto de
procesamiento que las observacionales debido a que exigen
respuestas que involucran relaciones entre hechos o situaciones y
van más allá de la observación .
Las preguntas clasificatorias exigen procesos mentales más
complejos que las observacionales debido a que piden la ubicación
de objetos en clases. Generalmente requieren la realización
secuencial o simultánea de ciertas operaciones de pensamiento
tales como observación, comparación, relación, identificación, etc.
En esta categoría se ubican las preguntas acerca de clasificaciones
simples y jerárquicas y genera subcategorías tales como las
preguntas que piden definiciones de palabras, conceptos, etc;
generalizaciones de hechos y situaciones observadas o inferidas;
verificación de hipótesis, etc.
Las preguntas evaluativas piden la emisión de juicios de
valor, los cuales pueden estar basados en criterios externos o
internos . Generalmente exigen habilidades de pensamiento de alto
nivel cognoscitivo y de mayor complejidad que las categorías
anteriores.
90
Las preguntas trascendentes exigen habilidades
metacognoscitivas y van más allá de los conocimientos de hechos o
situaciones . Constituyen interrogantes acerca del conocimiento de
lo que se sabe o conoce, de objetos, situaciones, actitudes, etc., y
se pueden referir a las personas, las tareas o las estrategias.
Involucran procesos conscientes de elaboración mental que exigen
al sujeto: reflexión, aplicación de procesos de alto nivel
cognoscitivos y despliegue de conocimientos y experiencias acerca
de sus mundos externo e interno.
Además de la formulación de preguntas que activen los
procesos cognoscitivos, deben desarrollarse métodos de enseñanza
que estimulen el pensamiento divergente, provoquen el conflicto
cognitivo, valoricen los procedimientos heurísticos; propicien la
argumentación intuitiva y la discusión; y posibiliten una actitud
constructiva hacia los errores.
En relación con el planteamiento de problemas, se afirma que
la presentación de situaciones que deban ser resueltas y para las
cuales no se disponga, en lo inmediato, de un algoritmo que permita
hallar directamente la solución, es una de las estrategias de
enseñanza más enriquecedoras y estimulantes del desarrollo de la
capacidad cognitiva de los alumnos.
Algunas características de los problemas que estimulan el
desarrollo de la capacidad cognitiva de los alumnos, propuestas por
Walther (1983), citado por González, son las siguientes:
91
1. Deben permitir una investigación inductiva, es decir, deben
brindar la oportunidad de, a partir de la solución de casos
particulares, formular algún tipo de generalización; esto significa
que, a través de la búsqueda de la solución del problema debe
poderse llegar a algún resultado de validez general en situaciones
análogas a las planteadas en el problema.
2. Debe estar formulado de tal manera que la búsqueda de la
solución constituya un motivo que energice y diriga la conducta del
alumno; esto significa que la solución del problema debe motivar al
alumno.
3. El proceso de solución del problema debe estar dividido en
etapas de dificultad gradualmente creciente; esto quiere decir que
el problema ha de poderse dividir en subproblemas cuyo nivel de
dificultad va de menor a mayor; de este modo la búsqueda de la
solución es un proceso autorreforzado puesto que la solución de uno
de los subproblemas induce y refuerza el proceso de búsqueda de la
solución del subproblema siguiente.
4. La búsqueda de la solución del problema no debe consistir
en un simple acopio de información sino que, al contrario, debe
conllevar a la práctica y desarrollo de algún proceso cognoscitivo
inherente al aprendizaje de la matemática como por ejemplo, la
deducción, la inferencia, la formulación de alguna conjetura, la
inducción, la abstracción o la generalización.
92
5. El problema debe poder ampliarse para generar nuevas
cuestiones relacionadas con él y para abrir nuevas vías de
investigación.
Otro elemento que dinamiza la actividad cognoscitiva del
estudiante es la retroalimentación que él recibe acerca de su
desempeño; la obtención de información sobre los resultados de su
actividad le permite: (a) contrastar su grado de aproximación o
alejamiento de la meta u objetivo; (b) conocer sus puntos fuertes y
sus debilidades en relación con la información manejada; (c) evaluar
sus propios procesos de abordaje de problemas; (d) identificar sus
errores y aprender de ellos.
También debe tomarse en cuenta a cada alumno en particular
con el fin de prestarle asistencia y apoyo específico según lo
requiera; la individualización de la enseñanza (lo cual no es
exactamente lo mismo que la particularización) contribuye a
incrementar el dinamismo cognoscitivo de cada alumno al
colocársele frente a situaciones problemáticas cuya solución está a
su alcance si, por supuesto, realiza el esfuerzo requerido por dicha
situación.
Aunque la DCP, como su nombre lo indica, hace énfasis en los
procesos o actividades mentales que utilizan los alumnos apara
asimilar los contenidos, no se trata de desplazar por completo los
contenidos a un segundo término, sino más bien buscar un equilibrio
93
entre procesos y contenidos que permitan que los alumnos aprendan
significativamente.
Entre las estrategias que permiten articular contenidos y
procesos, se encuentra el esquema general propuesto por Heller
(1989) citado por González, de la articulación contenido-proceso a
lo largo de cuatro fases: inicio, desarrollo, consolidación, y cierre
de una experiencia de aprendizaje.
El docente debe utilizar estrategias que le permitan articular
el contenido o la información con el proceso durante cada fase de la
experiencia de aprendizaje: inicio (preparación para el aprendizaje),
desarrollo. (preparación del contenido nuevo), consolidación de la
experiencia (aplicación e integración) y cierre.
1. Inicio. Una de las razones que explica la dificultad ante un
determinado tema es la creencia por parte del docente de que el
tema es totalmente nuevo para el alumno; o, por el contrario, éste
piensa que lo sabe todo y que no tiene nada que aprender.
Lo anterior crea la necesidad de propiciar en el alumno la
revisión de su información previa, tanto en términos de contenido
como de procesos; si los alumnos presentan deficiencias en el
manejo del proceso, éste se puede ejercitar con un ejemplo libre de
contenido específico, para que, posteriormente, pueda transferir
dicho proceso al contenido específico solicitado en el programa
académico.
Otro aspecto que debe atenderse es la motivación. Si se parte
de la premisa de que el aprendizaje requiere motivación y éste es el
producto de habilidades más voluntad, el docente debe diseñar un
94
plan de clases que incluya estrategias específicas de motivación.
Esto se podría lograr dando significado al tema a tratar,
relacionándolo con situaciones que puedan presentarse tanto dentro
como fuera del contexto escolar.
2. Presentación del contenido. Durante esta etapa se debe
propiciar en el alumno la comparación entre lo que él ya conoce
(información previa) sobre un determinado tema y el juicio que el
autor, el texto, el docente , u otros compañeros tienen sobre el
mismo tema.
Ante un conocimiento nuevo, el alumno puede reaccionar de
diferentes maneras; entre éstas están las siguientes: (a) memorizar
palabras sin buscar la relación entre el mundo real y lo que dice el
texto o el docente; (b) no decodificar la información y dar igual
importancia a los datos relevantes que a los aspectos triviales; (c)
no relacionar datos para desarrollar un amplio enfoque de los
conceptos más importantes; (d) tratar de reforzar lo que ya se sabe,
relacionando lo nuevo con lo anterior pero, la dirección del proceso
de pensamiento la ejerce el conocimiento previo.
Cuando el estudiante tiene frente a sí una información nueva
que debe asimilar, el enfoque de la DCP le exige actividades
distintas a las antes mencionadas: (a) reconocer los conceptos
principales; (b) ser conciente del conflicto entre la explicación del
docente o del texto y sus concepciones, por ello debe tener apertura
y flexibilidad para resolver el conflicto; (c) ser conciente de los
cambios que se están produciendo en su pensamiento; (d) usar el
95
texto o la exposición del docente para responderse preguntas; (e)
integrar tres fuentes de aprendizaje igualmente valiosas: la
autoridad docente (libros), evidencias que él recoge y la
comunicación con otros compañeros.
3. Aplicación e Integración. Durante esta etapa se consolida
el conocimiento y se propicia la generalización o transferencia de
información y habilidades.
El objetivo básico de esta etapa es que el alumno comprenda
el sentido y significado de lo aprendido y comprenda que los
principios y teorías aprendidos son ampliamente aplicables en otros
contextos y los interrelacione con otras áreas e ideas académicas o
de la vida diaria. Esto puede lograrse mediante la técnica de
"reconstrucción de lo aprendido" lo cual consiste en solicitar del
alumno, de manera grupal o individual, hacen abstracción de lo
aprendido a través de actividades como: elaboración de un mapa
conceptual; reporte de supuestos, hallazgos y conclusiones;
priorización de pasos y acontecimientos en la experiencia; dibujos;
expresar opinión sobre la experiencia.
4. Cierre. Esta fase debe ayudar al alumno a: categorizar la
información; sintetizar y resumir información; relacionar ideas y
conceptos; evaluar y revisar; identificar logros.
El esquema anterior, proporciona una modelo para planificar
96
experiencias de aprendizaje que estimulen el desarrollo de la
capacidad cognoscitiva de los alumnos.
La DCP responde al nuevo enfoque en la enseñanza de la
Matemática propuesto por diferentes autores, entre los que se
encuentra Morris Kline (Sin fecha). La enseñanza de la Matemática,
propuesta por este autor, se basa en la aplicación de los siguientes
principios:
1. El principio genético es de gran ayuda como guía para
desarrollar las matemáticas constructivamente. Este principio dice
que el orden histórico es habitualmente el orden de exposición
adecuado y que las dificultades que los mismos matemáticos han
experimentado son exactamente las que encontrarán los
estudiantes .
Por ejemplo, los matemáticos de la antigüedad tuvieron
dificultades con los números irracionales, negativos y complejos,
de ahí que, los estudiantes, seguramente tendrán problemas con
estos números. El docente debe prever estas dificultades y
ayudarles a superarlas, siguienda en gran medida el mismo camino
que siguieron los matemáticos hasta llegar a aceptar estos números
y trabajar con ellos.
2. La utilización del aprendizaje por descubrimiento. Con este
enfoque se estimula y desarrolla el poder creativo del estudiante y
le proporciona el placer del descubrimiento.
97
3. La interpretación intuitiva. La intuición se refiere a cierta
captación directa de una idea, tanto si se trata de un concepto como
de una demostración; aunque su naturaleza es vaga, es de gran ayuda
para la enseñanza de las matemáticas.
Independientemente de que haya o no una facultad intuitiva,
hay ayudas específicas y explícitas a la intuición que le permiten
funcionar. En primer lugar, las matemáticas se comprenden a través
de los sentidos. Por consiguiente, un recurso muy útil será el dibujo.
Por ejemplo.se pueden mostrar varios triángulos para inculcar la
idea en vez de la definición: la unión de tres puntos no alineados y
los segmentos que los unen.
La mayoría de los estudiantes incluso después de haber
aprendido cómo multiplicar (a + b) por (a + b), sea mecánica o
lógicamente, dirán que (a + b)2 = a2 + b2 . Un dibujo de un cuadrado
cuyo lado mide a+ b puede ayudar, ya que su área es a2 + 2ab + b2 .
Además, se incluye en la interpretación intuitiva lo que a
menudo se llaman argumentos heurísticos. Gracias a la experiencia
con objetos reales un niño puede aprender que 3 + 4 = 4 + 3. La
generalización de que a + b = b + a es heurística.
El razonamiento por analogía, aunque no sea deductivo sino
heurístico, puede emplearse con gran utilidad. Es sabido por los
docentes de Matemáticas que los estudiantes tienen grandes
problemas al trabajar con números irracionales expresados
mediante radicales. Por ejemplo, si '12 + '13 = '15, podemos
establecer una analogía con '14 + '19. Está claro que esta suma no es
igual a '113, por tanto, estaremos de acuerdo en que '12 + '13 no es
98
igual a .../5.
Por otro lado, consideremos .../2 X .../3, ¿es igual a .../6?. La
respuesta puede obtenerse tomando -J4 X .../9 = .../36. Por tanto,
obtendremos que .../2 X .../3 = .../6. De hecho, los hindúes y los árabes,
que fueron los primeros en trabajar con radicales, razonaban
completamente por analogía; y los europeos que aprendieron estas
operaciones de los árabes hicieron lo mismo.
Se puede facilitar la intuición mediante argumentos físicos.
Entre las operaciones con números negativos, la multiplicación de
números positivos y negativos es causa de continuos problemas.
Una explicación muy conocida mediante pérdidas y ganancias
puede convencer a los estudiantes, aceptando que en cuestiones de
dinero, una ganancia se representa con un número positivo y una
pérdida con un número negativo. También representaremos el tiempo
futuro con un número positivo y el tiempo pasado con un número
negativo. Ahora podemos usar los números negativos para calcular
el aumento o disminución de la riqueza de un hombre. Así, si gana
cinco dólares al día, tres días después será quince dólares más rico.
En símbolos, (+5)(+3) = 15. Si pierde cinco dólares al día, entonces
tres días más tarde será quince dólares más pobre. En símbolos,
(-5)(+3)= -15.
Todos los recursos citados, los dibujos, los argumentos
heurísticos, la inducción, el razonamiento por analogía y los
argumentos físicos son recursos intuitivos.
Naturalmente la intuición no es algo estático. Así como
nuestra intuición acerca de lo que cabe esperar del comportamiento
99
humano mejora con la experiencia, lo mismo sucede con la intuición
matemática. Nos puede sugerir, como se lo sugirió a Leibnitz, que la
derivada del producto de dos funciones es el producto de sus
derivadas. Esta conclusión deberá comprobarse (otra medida
heurística), y naturalmente se encontrará que es falsa. Un análisis
más profundo mostrará que lo que se verifica para límites de
funciones no se verifica para derivadas, y la intuición se afinará
con la experiencia.
Naturalmente, la intuición puede inducir a errores, pero
cometer errores y aprender a controlar los propios resultados es
parte del proceso de aprendizaje. Si el temor a equivocarse fuese un
obstáculo, un niño nunca aprendería a caminar; y un estudiante que
no cometa errores no hará nada de nada.
El enfoque intuitivo es también recomendable porque es
relativamente fácil dar una motivación genuina o significativa a un
tema matemático cuando se introduce intuitiva o heurísticamente,
pues los problemas físicos son el punto de partida natural para un
enfoque intuitivo.
Kline opina que la comprensión se consigue intuitivamente y
que la exposición lógica es, en el mejor de los casos, una ayuda
subordinada y suplementaria para la enseñanza, y en el peor, un
obstáculo decisivo. Por tanto, en vez de presentar las matemáticas
tan rigurosamente como sea posible, deberían presentarse tan
intuitivamente como se pueda.
Después de que los estudiantes conocen a fondo un resultado
y comprenden que un argumento es admisible, el profesor puede
100
plantear una demostración deductiva. Sin embargo, la misma idea de
demostración deductiva es algo que es preciso aprender, y sólo
puede introducirse gradualmente.
4. El desarrollo del pensamiento crítico. Se ha exaltado el
pensamiento crítico como uno de los resultados fundamentales del
estudio de las matemáticas. La capacidad de los estudiantes para
pensar críticamente es algo que debe desarrollarse. Si se les pide
que asimilen y reflexionen críticamente sobre resultados a los que
los matemáticos han tardado dos mil años en llegar, los estudiantes
se sentirán abrumados, y en vez de pensar se darán por vencidos.
El rigor en las demostraciones matemáticas se va
adquiriendo gradualmente. Afortunadamente, los jóvenes aceptan
como rigurosas demostraciones que en realidad no lo son, y de ellas
aprenden lo que es una demostración. Al aumentar la capacidad para
comprender demostraciones más rigurosas, los jóvenes pueden ver
los defectos de las demostraciones menos elaboradas que les han
enseñado y llegan a dominar demostraciones más sólidas.
5. Las técnicas de presentación. Hay principios que deben
observarse en relación con las técnicas de presentación. Entre los
cuales tenemos el que indica que en lugar de conceptos abstractos
debemos presentar ejemplos concretos mientras fuera posible. Así,
por ejemplo, no importa si un estudiante no puede dar una definición
general de función. Es suficiente que conozca funciones concretas
tales como y=2x e y=x2 y que aprenda a trabajar con ellas. Tras
1 O 1
tener alguna experiencia con funciones, el estudiante podrá dar su
propia definición. Y tampoco pasa nada si cuando tenga más
experiencia debe modificar la definición. Esta es precisamente la
forma en que procedieron los matemáticos desde 1700 hasta 1900.
Piaget ha señalado que los jóvenes necesitan acumular capas
de experiencia antes de poder dominar la abstracción.
Otro de los principios de la técnicas de presentación es el
relacionado con la terminología. En vez de multiplicar la
terminología deberíamos introducir tan pocos términos como fuese
posible. Deberían usarse palabras comunes, preferiblemente
aquellas ya familiares al estudiante, aunque se les dé un significado
técnico.
Las palabras vienen después de la comprensión y pueden ser
las palabras del estudiante mejor que el lenguaje artificial y
compacto de las matemáticas modernas.
Al igual que la terminología, el simbolismo debería reducirse
al mínimo. Los símbolos asustan a los estudiantes. Además, el
significado de los símbolos es algo que es preciso recordar, y por
tanto resultan ser una carga con más frecuencia que una ayuda.
De todo lo expuesto hasta este momento se encuentra que el
nuevo enfoque en la enseñanza de la Matemática, propuesto por los
autores citados, que destaca la necesidad de estimular el desarrollo
de la capacidad cognoscitiva de los estudiantes, a través de la
enseñanza, requiere una conceptualización diferente a la tradicional
de los roles que desempeñan tanto el docente como el alumno
102
durante el proceso de enseñanza-aprendizaje.
En el caso del docente, éste actúa en el aula con el deliberado
propósito de enseñar los contenidos curriculares y de desarrollar
procesos; de este modo se constituye en un agente mediador que se
interpone entre el contenido curricular (estímulo) y el alumno
(organismo) para hacer posible el proceso de aprendizaje.
Esto significa que el docente, previo conocimiento de las
necesidades del alumno (características de entrada), organiza las
experiencias de aprendizaje, siguiendo una secuencia determinada y
en un tiempo dado, de modo que dichas experiencias no tengan como
único fin enseñarle al alumno un contenido curricular "per se", sino,
además, el de enseñarlo a aprender mediante su confrontación con
situaciones que lo induzcan a razonar, a mostrar evidencias lógicas,
a comparar, anticipar consecuencias, pensar críticamente, sacar
conclusiones válidas y tomar decisiones.
Para ello, el docente se vale de: la técnica de la pregunta de
alto y bajo nivel cognoscitivo; la retroalimentación correctiva y las
técnicas de resolución de problemas.
El nuevo rol del docente implica un cambio en su actitud, ya
que debe: conocer la importancia de su rol como docente facilitador
de experiencias de aprendizaje; aplicar una didáctica que haga
énfasis en los procesos de pensamiento al utilizar los contenidos de
las áreas académicas; utilizar las técnicas de enseñanza que
propicien la participación del grupo y la interacción
docente-alumno; identificar las funciones cognoscitivas necesarias
en las diversas situaciones de aprendizaje.
103
El docente realiza tareas cualitativamente diferentes a las
que desarrolla tradicionalmente; usando él mismo los procesos y
estrategias cognoscitivas que espera desarrollar en sus alumnos, se
convierte en el modelo más cercano que tienen sus discípulos para
tal propósito.
Su papel no debe consistir en dar lecciones, sino en organizar
situaciones que inciten a investigar, utilizando los medios
apropiados. Si el alumno se equivoca o comete errores, no lo corrige
de inmediato sino que le proporciona contraejemplos que le llevan a
corregir por él mismo sus errores.
Margarita de Sánchez ( 1991), sugiere las siguiente
características del rol del profesor como mediador del proceso de
enseñanza-aprendizaje:
1. Organiza los estímulos a ser presentados en la clase.
2. Promueve la participación de los estudiantes.
3. Evita el diálogo profesor-estudiante.
4. Formula variedad de preguntas que estimulan la reflexión y
el razonamiento.
5. Redirige la participación.
6. Pide clarificación de ideas.
7. Pide extensión de ideas.
8. Procesa la información producida por los estudiantes.
9. Sigue el progreso de lo alumnos.
1 O. Proporciona retroalimentación.
11. Reconoce el esfuerzo y la producción de los alumnos.
12. Transmite significados.
104
13. Promueve el metaconocimiento.
El rol del docente como mediador del proceso de
enseñanza-aprendizaje, requiere de una participación activa del
alumno en su proceso de adquisición de conocimientos, de ahí que
también es necesario redefinir el rol del alumno.
De acuerdo con Walther (1983) citado por González, en el
nuevo enfoque en la enseñanza de la Matemática, los alumnos:
discuten sus soluciones y explican sus propios procedimientos, esto
les permite descubrir cómo y porqué sus diferentes cálculos
funcionan; comparan sus cálculos en relación con el tiempo
consumido, el esfuerzo demandado, y su simplicidad. Esta discusión
sería estimulada y organizada por el docente, pero en forma
discreta, para no interferir en la naturalidad del trabajo que llevan
a cabo los alumnos. Después de esto, el docente podría introducir la
forma de resolver el problema matemáticamente formalizada, la
cual (muy posiblemente) no será completamente nueva para los
alumnos, sino que estará muy cercana a los métodos que algunos
alumnos habrían utilizado. A los alumnos cuyas soluciones
estuvieron muy alejadas de la solución hay que proporcionarles
contraejemplos para que se den cuenta por sí mismos de sus propios
errores.
En síntesis, el alumno es concebido como un ser activo capaz,
no sólo de recibir información, sino de transformarla y de crear
información nueva, participando consciente y activamente en su
propio proceso de aprendizaje.
105
2.4. EVALUACION DEL APRENDIZAJE
Fabio J. Chacón (1990) en su trabajo titulado:"Hacia una
evaluación del rendimiento basada en los procesos cognoscitivos",
proporciona una síntesis que permite identificar tres grandes
momentos en la teorización acerca de la evaluación del aprendizaje
o evaluación del rendimiento. Dichos momentos se explican a
continuación.
Un primer interés de los autores que analizaron el proceso de
evaluar al aprendizaje, fué el de obtener la medición precisa,
objetiva, confiable y válida del mismo. Esto se debió
fundamentalmente a la ext~apolación de los conceptos extraídos del
desarrollo de los tests psicológicos, hacia el campo educativo.
Un segundo punto de interés surge en la teoría educativa de
Ralph Tyler, a fines de los años 40, quien define como foco central
de la evaluación, la comprobación del logro de los objetivos
propuestos para el estudiante. Esta posición dió origen a lo que se
conoció, ya en los años 60 y más adelante, como el movimiento de la
Evaluación Basada en Criterios . Sin desechar totalmente algunas
ideas psicométricas, como las de confiabilidad y validez, este
movimiento se interesó en la forma de definir con precisión el
dominio de comportamiento asociado a cada segmento de
instrucción, para derivar preguntas que fuesen completamente
pertinentes a la instrucción y a los objetivos propuestos.
Durante la década de los 80's se intensifican los estudios
sobre un tercer foco de interés: la evaluación de los procesos
106
cognoscitivos, aunque los orígenes de este movimiento pueden ser
establecidos con anterioridad. El punto esencial es tratar de evaluar
los cambios profundos y permanentes que ocurren en el individuo
como producto del aprendizaje, en lugar de quedarse solamente en
las cuestiones causísticas de un determiando curso o asignatura.
Los tres momentos en la teorización acerca de la evaluación
del aprendizaje, se desarrollarán en los siguientes apartados, bajo
los títulos: evaluación convencional, que incluirá los dos primeros
momentos (evaluación del aprendizaje basada en la teoría de los
tests, y la evaluación basada en criterios) y evaluación no
convencional que incluirá el tercer momento, relativo a la
evaluación de los procesos cognoscitivos.
2.4.1. EVALUACION CONVENCIONAL
Como se mencionó en el apartado anterior, el objetivo de los
primeros trabajos sobre evaluación del aprendizaje era el de
obtener una medición precisa, objetiva, confiable y válida del
aprendizaje, ya que se extrapolaron los conceptos de la teoría de los
tests psicológicos a la educación.
Al respecto, Angel Díaz Barriga (Sin fecha) afirma:
"La evaluación del rendimiento escolar ganó su rango de cientificidad al apoyarse en la teoría de los tests (gestada en relación con las investigaciones sobre la inteligencia), y debido a la incorporación de la estadística descriptiva como instrumento de cuantificación del material. En el desarrollo de esta forma de evaluación, la
107
medición del aprendizaje ha sido posible por cuanto se opera con un esquema estadístico descriptivo que asigna ciertos valores numericos tanto al instrumento seleccionado para medir el aprendizaje (índice de confiabilidad, de dificultad) como a los propios resultados que muestran los escolares. Es necesario recalcar que estas cantidades asignadas guardan una relación de total independencia respecto al objeto que pretenden medir, lo cual no sucede en el ámbito de la física" (7)
El autor citado menciona que esta perspectiva de medición
del aprendizaje ha tenido muchas críticas, ya que difícilmente da
cuenta de un fenómeno tan complejo como es el aprendizaje y señala
que nunca se insistirá suficientemente en la dificultad
epistemológica que existe para que un símbolo o número reflejen un
proceso de aprendizaje. De ninguna manera una calificación
numérica respeta las propiedades de la teoría de la medición. El
número tiene una relación arbitraria e independiente con el objeto
del cual pretende dar cuenta (un proceso de aprendizaje).
Manuel Fermín (1971) proporciona una explicación al
problema de la medición del aprendizaje planteado por Díaz Barriga,
señalando que existe cierta confusión respecto del significado del
término evaluación, especialmente cuando se lo aplica a la
educación, ya que en muchos casos, el término es usado como
sinónimo de medida. Por ejemplo, muchos educadores, de todos los
niveles educativos, cuando aplican un test de conocimientos usan,
indistintamente, las expresiones "medir conocimientos" o "evaluar
conocimientos".
El autor citado, menciona que medida y evaluación son dos
108
conceptos distintos. Evaluar puede considerarse como sinónimo de
valorar y en este sentido existe una diferencia real y efectiva entre
la valoración de las cosas materiales y la de las cosas
inmateriales, la primera se ~ace mediante medidas y la segunda
mediante la evaluación.
Desde el punto de vista educativo, Manuel Fermín (1971)
define la evaluación de la siguiente manera: "la evaluación es el
proceso sistemático, continuo e integral destinado a determinar
hasta qué punto fueron logrados los objetivos educacionales
previamente determinados. Es un proceso que aprecia y juzga el
progreso de los alumnos de acuerdo con fines propuestos o metas
por alcanzar"(14).
El concepto de evaluación presentado por Manuel Fermín se
ubica en el segundo momento de la teorización sobre la evaluación
del aprendizaje correspondiente al movimiento conocido como
Evaluación basada en Criterios, en donde el interés se centra en la
comprobación del logro de los objetivos propuestos para el
estudiante.
En este mismo movimiento se ubica Ausubel (1990) que
afirma: "la función de la evaluación consiste en determinar el grado
en que varios objetivos, de importancia educativa, están siendo
alcanzados en realidad. Evaluar es hacer un juicio de valor o de
mérito, para apreciar los resultados educativos en términos de si
están satisfaciendo o no un conjunto específico de metas
educativas" (515).
De acuerdo con Manuel Fermín, tos procedimientos de
109
evaluación más usuales en las escuelas son los siguientes:
1 . Las pruebas orales.
2. Las pruebas escritas o de composición.
3. Las pruebas objetivas o de respuestas cortas.
4. Las pruebas de libro abierto.
Con respecto a las pruebas, Ausubel (1990) afirma que todas
ellas deben satsfacer los criterios de validez, confiabilidad,
representatividad, discriminabilidad y factibilidad.
La validez de una prueba se refiere al grado en el que mide lo
que se propone medir. La cuestión de la validez es siempre relativa
a los objetivos enunciados de una prueba. Una prueba que es válida
para un propósito no será necesariamente válida para otro.
La confiabilidad se refiere a la consistencia que una prueba
tiene consigo misma o a su generalidad con respecto a los ítemes
componentes, y a su estabilidad a través del tiempo (o a través de
aplicaciones sucesivas).
Por representatividad de una prueba se entiende el grado en
que los ítemes componentes de la prueba consituyen una muestra
imparcial y aleatoria de la característica o capacidad que pretenden
medir.
La discriminabilidad de una prueba depende de su capacidad
de distinguir adecuadamente entre alumnos deficientes, promedio y
superiores con respecto a una materia o destreza dada.
Por último, Ausubel (1990) afirma que una buena prueba debe
ser factible en términos de la importancia de la información que
11 O
produzca y de la facilidad de su administración, calificación,
interpretación y suceptibilidad de retroalimentación.
Debido a que el sistema de evaluación SAEA de los cursos de
Matemáticas y Estadística utilizado en el ITESM Campus Tampico,
hace uso de exámenes de opción múltiple, se desarrollarán algunas
ideas planteadas por diferentes autores, relacionadas con este tipo
de exámenes.
De acuerdo con Manuel Fermín, las pruebas objetivas se
caracterizan porque la respuesta que el alumno debe dar es
sumamente corta y muchas veces se limita a colocar un número, una
letra, una palabra o, simplemente, a trazar una raya para unir dos
sentencias, subrayar palabras o letras, etc. Se llaman objetivas
porque intentan eliminar, en la medida de lo posible, la subjetividad
del profesor cuando debe analizar, procesar y calificar la prueba.
Por regla general, están formadas por una serie de ítems que
pueden ser, fundamentalmente, de dos clases:
a) Las que requieren que el alumno suministre una respuesta.
b) Las que requieren que el alumno seleccione la respuesta de
entre un número limitado de alternativas que se le ofrecen.
Ruth Beard (1974) menciona que los críticos de las pruebas
objetivas han alegado y algunos todavía lo sostienen, que éstas solo
sirven para probar información fáctica, que las conjeturas
tergiversan los resultados y que los estudiantes inteligentes pueden
obtener las respuestas mediante un proceso de deducción sobre la
estrategia del autor del test y sin referencia directa al propio
contenido de la asignatura.
1 1 1
Por su parte, Manuel Fermín (1971), menciona que la crítica
principal que se formula a las pruebas objetivas es la de que apenas
miden el contenido de la materia que ha memorizado el alumno, y no
aquellas capacidades más complejas que constituyen el verdadero
saber. Además, este tipo de pruebas no evidencian si los conceptos
evocados o reconocidos forman un núcleo de conocimientos o son
ideas simples, o si, únicamente, constituyen meras expresiones
verbales, con un mínimo de asociación mental.
Otra de las críticas a este tipo de pruebas, es que la forma en
que son respondidadas, seleccionado una opción entre varias, da
lugar a que se cometa fraude, ya que siempre existe la posibilidad
de acertar respuestas por azar, independientemente del
conocimiento que se tenga sobre lo que allí se explora.
Por su parte, los argumentos más contundentes que exponen
los defensores de este tipo de pruebas son su validez, confiabilidad
y objetividad. Sostienen que cuando una prueba está bien construida
puede ser tan eficiente en la apreciación de la capacidad crítica,
razonamiento y asimilación como la mejor prueba del tipo de ensayo
o de composición. Además, según ellos, ofrece la ventaja de la
objetividad del resultado para el procesamiento de los datos y la
asignación de la calificación. Señalan, además, que últimamente se
han perfeccionado, eliminándose en gran medida el factor suerte o
azar.
De acuerdo con Manuel Fermín (1971 ), no existe una "prueba
perfecta", completamente confiable y válida. Lo que sí puede decirse
es que, de acuerdo con la situación que va a ser medida, pueden
112
combinarse pruebas objetivas con las de ensayo, y aun con las
tradicionales, de tal forma que unas y otras compensen sus errores
y debilidades.
2.4.2. EVALUACION NO CONVENCIONAL
Como se mencionó con anterioridad, la conceptualización
acerca de la evaluación del aprendizaje no convencional que se
desarrollará en este apartado se ubica en el movimiento de la
evaluación de los procesos cognoscitivos.
Richard E. Snow, citado por Fabio J. Chacón (1990)en su
trabajo titulado: "Hacia una evaluación del rendimiento basada en
los procesos cognoscitivos" señala que el educador o investigador
debe buscar una evaluación del aprendizaje más profunda, basada en
principios teóricos e integrada con la instrucción.
En cuanto a las estrategias de evaluación, Chacón menciona
que sI se concibe como foco principal de la evaluación a los
procesos y no a los resultados, se tienen que aumentar
necesariamente el número de oportunidades en que se evalúa, ya que
la única manera de observar un proceso es hacerle seguimiento y
tomar registros longitudinales. Se podría hablar, entonces, de un
principio práctico de densificación de las evaluaciones.
Por otra parte, los cambios a observar tienen diferentes
horizontes de tiempo: algunos de ellos pueden darse dentro del
contexto de una sola clase o sesión de lectura, pero otros ocurren a
1 1 3
lo largo de un curso o una carrera completa. En este sentido, Chacón
propone que se establezcan diferentes unidades temporales de
análisis para la evaluación.
El mismo autor, proporciona, a manera de ejemplo, cuatro
unidades de análisis y las técnicas que se pueden aplicar para
evaluar los procesos que ocurren dentro de cada unidad, las cuales
se presentan a continuación.
1. Cambios que ocurren dentro de una clase o sesión de
estudio. Un procedimiento utilizado para este fin es la llamada
"prueba adaptativa", en la cual se supone que el estudiante no debe
contestar todas las preguntas; sino que, al responder correctamente
una pregunta de dificultad X, pasará directamente a una de un
objetivo o nivel superior. Pero, si no contestó bien la primera,
tendrá que tratar de contestar otras del mismo nivel. Una forma
sofisticada de llevar a cabo este tipo de evaluación es mediante las
tutorías computarizadas; particularmente cuando se utiliza el
diseño de "secuencias ramificadas".
2. Cambios que ocurren en una semana. Puede utilizarse la
comparación entre estudiantes "expertos" o rápidos y estudiantes
"novicios" o lentos. Así se podrá conocer qué estrategias siguieron
los expertos para aprender más rápido y tratar que los novicios las
utilicen también.
3. Cambios que ocurren en un mes. El profesor puede diseñar
114
una "guía de observación" en la cual se establecen los pasos o
etapas de algo que quiere enseñar, y los criterios para saber si en
cada etapa el estudiante ha aprendido o no. A través de
cuestionarios cortos, exámenes tipo "quiz" y preguntas hechas en
clase, puede determinar y registrar la evolución de los estudiantes
en esas etapas previamente fijadas.
4. Cambios que ocurren a lo largo de un curso. El profesor
establece un "mapa conceptual" en el cual están indicadas las
nociones y principios claves que se espera que los estudiantes
aprendan, y su distribución cronológica en el curso. A través de las
mismas técnicas antes sugeridas, pero usando de manera diferente
la información, podrá determinar en qué medida cada individuo y el
grupo como un todo va adquiriendo ese mapa conceptual. Es
conveniente que las preguntas utilizadas para detectar cada
concepto o principio estén graduadas en un orden de dificultad
creciente, a lo largo el tiempo, ya que esto permite indagar sobre la
profundidad del procesamienton de la información.
El nuevo enfoque en la enseñanza de la Matemática,
presentado en la sección 2.3. de este trabajo, requiere de una
evaluación como la propuesta por Chacón, donde se haga énfasis en
los procesos y no en los resultados, lo cual requiere de más
oportunidades para evaluar, utilizando diferentes técnicas, como
las sugeridas por este autor. Sin embargo, es importante aclarar que
se hace énfasis en el proceso ya que la evaluación tradicionalmente
1 1 5
a estado centrada en los resultados, pero esto no implica que los
resultados no se tomen en cuenta en la evaluación, la propuesta del
autor es buscar una evaluación que tome en cuenta ambos aspectos:
proceso y resultado.
Clarke et. al. en el trabajo titulado: "Cambios en la enseñaza
de la Matemática: llamado a alternativas de evaluación", sugiere que
para poder evaluar con efectividad dentro de un currículo de
Matemática que ponga énfasis en la aplicación y solución de
problemas, se requieren herramientas de evaluación que sean
sensitivas tanto al procedimiento como al resultado.
En el trabajo citado, los autores distinguen entre evaluación
informal y formal. "la evaluación informal es el conjunto de
información sobre evaluación que coincide con la enseñanza. En
cambio, la evaluación formal requiere la organización de un evento
de evaluación" (1 ). La evaluación informal proporciona información
de mejor calidad en un contexto en el cual la información se puede
utilizar de inmediato.
Los autores señalan que cuando los objetivos de la enseñanza
están restringidos a la repetición de procedimientos matemáticos,
las pruebas escritas convencionales dan una idea del nivel de
capacidad del estudiante.
Sin embargo, a medida que los objetivos educacionales se
amplían, las pruebas convencionales resultan inadecuadas.
Los autores conciben la evaluación como una guía que permite
mejorar la enseñanza, ya que consideran que la evaluación debería
hacer algo más que dar idea del nivel de desempeño del estudiante,
116
debería guiar las acciones de todos los participantes en la situación
de aprendizaje. En este sentido, la información obtenida de la
evaluación permitirá:
1. Mejorar la enseñanza, identificando las fuentes
específicas del error de un estudiante que requiere corrección o los
comportamientos específicos del aprendizaje que requerirán
estímulo y desarrollo o desaprobación y reemplazo.
2. Mejorar la enseñanza, identificando las estrategias de
enseñanza que tienen más éxito.
3. Informar al estudiante sobre las fuerzas y debilidades
identificadas tanto en el conocimiento como en las estrategias de
aprendizaje, de modo que las estrategias más efectivas se puedan
aplicar donde más se necesiten.
4. Informar a los profesores subsiguientes de la competencia
de los estudiantes de modo que puedan adaptar con más rapidez su
enseñanza a las necesidades de los estudiantes.
5. Informar a los padres sobre el progreso de sus hijos para
que puedan darles una ayuda más efectiva.
Los comportamientos de aprendizaje deseados, propuestos
por estos autores, incluyen habilidades y atributos que van más allá
117
del contenido matemático específico, por ejemplo, persistencia,
trabajo sistemático, organización eficiente y efectiva, precisión,
conjetura, modelado, creatividad y la habilidad de comunicar con
claridad ideas y procedimientos.
Para valorar tales comportamientos de aprendizaje
deseados, no se podrá utilizar una prueba solamente, los profesores
deberán ampliar su repertorio de estrategias de evaluación.
Los autores, proporcionan enfoques alternativos de la
evaluación, tanto formal como informal, de acuerdo a experiencias
desarrolladas en aulas de Matemática en Australia.
Entre los enfoques alternativos de evaluación presentados
por los autores, se encuentran:
1. Documentar las observaciones en el aula. Se propone
registrar sistemáticamente la evaluación informal que el maestro
hace durante el transcurso de la clase. Introduciendo alguna
estructura en su observación, los maestros pueden llevar hasta el
máximo la información recogida y reducir al mínimo el tiempo
malgastado en una evaluación redundante, no informativa y
contraproductiva.
Los autores señalan que por supuesto es impráctico que un
maestro registre cada día comentarios sobre cada discípulo. Por
consiguiente, esta estrategia enfoca solamente el registro de
1 1 8
eventos significativos. Un evento significativo puede ser:
comportamiento atípico del estudiante o una aclaración de nuevas
comprensiones o de falta de comprensión.
Se sugiere elaborar una lista de verificación de los
comportamientos, habilidades o actitudes de los estudiantes que el
maestro desee fomentar y registrar en ella los momentos
significativos para cada estudiante. Al identificar los momentos
significativos, los autores sugieren que el maestro, se pregunte: El
Saber esto (eventos significativos), ¿cambiará mi enseñanza
subsiguiente a ese estudiante o de esa lección?
2. Crear oportunidades de evaluación por medio de preguntas.
A través de las preguntas, los maestros y los estudiantes
establecen un diálogo, del cual los maestros sacan conclusiones
muy específicas sobre la competencia relativa de los estudiantes.
Además, las preguntas en el aula ofrecen la mejor oprtunidad de
vigilar el desarrollo de la comprensión significante. Además de
preguntas, el docente puede hacer uso de:
2.1. Tareas específicas sin meta. A diferencia de una tarea
convencional, donde por ejemplo se le presenten al alumno, dos
triángulos de diferente tamaño, con algunas medidas, y se le
pregunte: Calcula la longitud del lado X del trángulo más grande, se
podría plantear la siguiente tarea: Averigua todo lo que se pueda
sobre estos dos triángulos.
Al respecto Sweller (1983) citado por los autores, señala
que: "Los solucionadores de problemas que calculan todo lo que se
1 1 9
puede calcular de un juego de cifras precisas pueden aprender más
que los solucionadores de problemas que sólo calculan los valores
requeridos para la solución del problema"(S).
2.2. Análisis de cinco puntos. Cuando los alumnos presenten
dificultades para resolver un problema, se suigiere que el maestro
haga las siguientes cinco preguntas:
1. Si no conocen una palabra del enunciado o de la pregunta de
un problema, déjenla fuera (identificación de errores de lectura).
2. Díganme qué se les pide hacer (identificación de errores de
comprensión)
3. Díganme cómo van a encontrar la respuesta
(indentificación de errores de transformación).
4. Muéstrenme qué hacer para lograr la respuesta. Díganme
qué hacen a medida que trabajan (identificación de errores en el uso
de destrezas de procedimiento) .
5. Ahora escriban la respuesta (identificación de errores de
codificación).
Las cinco preguntas ayudan a los maestros y estudiantes a
evaluar la comprensión del estudiante y a identificar el punto en el
cual se presentan las dificultades.
3. Guiar la auto-evaluación de los estudiantes. Una de las
metas educativas más constructivas sería equipar a los estudiantes
para que guíen su propio progreso.
El proceso de reflexionar sobre nuestro aprendizaje es
120
valioso por sí mismo. Usar una hoja de respuestas da a los
estudiantes la oportunidad de compartir regularmente con su
maestro sus éxitos y sus preocupaciones. La hoja de respuestas,
diseñada para ser completada cada tres semanas, como
comunicación confidencial del estudiante al maestro, podría
contener preguntas como éstas:
- ¿Qué es lo más importante que has aprendido esta semana
en Matemática?
- ¿Cómo te sientes ahora en la clase de Matemática?
- ¿En qué quisieras recibir más ayuda?
- ¿Cuál es la preocupación mayor que afecta tu trabajo en
Matemática?
- ¿Qué problema nuevo puedes hacer ahora?
- ¿Cómo podríamos mejorar la clase de Matemática?
Los posibles beneficios para el maestro de este tipo de
preguntas, incluyen: conocer las dificultades de los estudiantes con
el contenido, tener un conocimiento más amplio de las inquietudes
de los estudiantes, mejor armonía entre estudiante-maestro, y la
identificación de medios de enseñanza más efectivos y apropiados.
Otras alternativas para guiar la auto-evaluación de los
estudiantes son:
3.1. Hojas de trabajo.
3.2. Revistas estudiantiles.
3.3. Reportes de equipos de alumnos.
1 21
4. Alternativas de prueba. Es imperativo que el docente sea
más selectivo en el uso de la prueba escrita. Debe estar convencido
de que es la estrategia más efectiva con la cual cuenta y que
beneficiará a la mayoría de sus estudiantes. También se deberían
considerar formas de prueba alternativas, tales como las
siguientes:
4.1. Pruebas elaboradas por los estudiantes.
4.2. Pruebas prácticas.
2.5. LINEAMIENTOS CURRICULARES
Siguiendo el orden de presentación de los temas abordados en
el apartado anterior, los lineamientos curriculares que se
desprenden del marco teórico, se casif ican en:
1. Lineamientos para la selección y organización del
contenido del currículo.
2. Lineamientos para la conducción del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
3. Lineamientos para la evaluación del aprendizaje.
122
2.5.1. LINEAMIENTOS PARA LA SELECCION Y ORGANIZACION
DEL CONTENIDO DEL CURRICULO
De la revisión bibliográfica presentada en la sección 2.1 . , se
tienen los siguientes lineamientos curriculares:
a) El currículo debe ser entendido como una tentativa para
comunicar los principios y rasgos esenciales de un propósito
educativo, de forma tal que permanezca abierto a discusión crítica
y pueda ser trasladado efectivamente a la práctica.
b) El profesor debe contribuir a la elaboración del currículo a
través de la investigación de acción que puede llevar a cabo en su
práctica docente.
En cuanto a los criterios para la selección del contenido del
currículo de Matemáticas, se tienen los siguientes:
c) El contenido debe constituirse con las ideas básicas de la
Matemática.
d) El contenido , más que responder a la situación inmediata,
debe incluir aquellos conocimientos que abran perspectivas para el
futuro, favoreciendo aquellos procesos mentales que fortalezcan la
capacidad para transferir el conocimiento a situaciones nuevas, así
como desarrollar aproximaciones creativas a la solución de
problemas.
e) El currículo debe presentar un equilibrio apropiado entre la
amplitud y la profundidad del contenido, entendiendo por
profundidad, el comprender plena y claramente ciertos principios,
123
ideas o conceptos básicos y su aplicación.
f) Las experiencias de aprendizaje asociadas al contenido
deben proporcionar los medios para lograr una amplia serie de
objetivos, entre los que se encuentran: las habilidades
intelectuales, las estrategias cognoscitivas, la información verbal,
las destrezas motoras y las actitudes.
g) El contenido, en la medida de lo posible, debe tratar de
adaptarse a las experiencias de los estudiantes, así como a sus
necesidades e intereses, lo cual contribuirá a la motivación del
educando.
h) Al seleccionar el contenido del currículo de Matemáticas,
debe explicitarse su relación con las otras disciplinas que
componen el currículo para lograr la integración interdisciplinaria.
i) El contenido debe seleccionarse teniendo en cuenta el
tiempo del que se dispone en el período escolar, lo cual debe
realizarse por los profesores y los especialistas tanto en el área de
Matemáticas como en el área educativa, a fin de lograr una
planificación adecuada de los diferentes cursos.
j) El contenido debe actualizarse gradualmente, incluyendo
aquellas ramas nuevas de las Matemáticas que a juicio de los
especialistas en el área, así como los educadores puedan ser
adquiridos por los estudiantes.
En cuanto a los criterios para la organización del contenido
del currículo de Matemáticas, se tienen los siguientes:
k) Establecer una secuencia en el currículo, tanto para el
124
contenido como para las experiencias de aprendizaje.
1) Planificar el empleo continuo de los conocimientos
adquiridos con anterioridad: utilizar lo que sucede en un punto
determinado para construir la base para las experiencias siguientes.
m) Utilizar como enfoque o núcleo de la organización , las
ideas centrales de cada tema.
n) Organizar un currículo equilibrado en cuanto a los diversos
medios para aprender: la lectura, el análisis, la investigación, la
observación, la redacción, la experimentación, la manipulación y la
construcción.
2.5.2. LINEAMIENTOS PARA LA CONDUCCION DEL PROCESO DE
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
De lo expuesto en la sección 2.3 se tienen los siguientes
lineamientos curriculares relacionados con los principios que
orientan la conducción del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática desde la perspectiva oo tradicional:
a) Durante la enseñanza debe existir equilibrio entre el
proceso cognoscitivo y el contenido implicados en cada uno de los
objetivos que se formulan en los programas de estudio.
b) Proporcionar al alumno un margen de actividad que le
permita ir entendiendo el conocimiento que se le presenta, a partir
de su propio esfuerzo; enfrentar al alumno con sus éxitos y sus
fracasos, considerando estos últimos como oportunidades de
125
aprendizaje.
c) Propiciar que el alumno, además de retener un contenido,
adquiera una serie de estrategias para recolectar, organizar y
transmitir la información.
d) Estimular el desarrollo de los procesos mentales, entre
los que se encuentran: la observación, la comparación, la
clasificación, el análisis y la síntesis.
e) Utilizar métodos para intensificar la actividad
cognoscitiva de los alumnos, entre los que se encuentran: la
formulación de preguntas que estimulen los procesos cognoscitivos,
plantear problemas para los cuales no se disponga, en lo inmediato,
de un algoritmo que permita hallar directamente la solución.
f) Desarrollar métodos de enseñanza que estimulen el
pensamiento divergente, provoquen el conflicto cognitivo, valoricen
los procedimientos heurísticos, propicien la argumentación
intuitiva y la discusión y posibiliten una actitud constructiva hacia
los errores.
g) Proponer problemas que estimulan el desarrollo de la
capacidad cognitiva del alumno, lo cuales, deben: (1) permitir una
investigación inductiva, es decir, deben brindar la oportunidad de
que, a partir de la solución de casos particulares, formulen algún
tipo de generalización; (2) estar formulados de tal manera que su
solución motive al alumno; (3) tener un proceso de solución que
pueda dividirse en etapas de dificultad gradualmente creciente; (4)
tener una solución, cuya búsqueda conlleve a la práctica y
desarrollo de algún proceso cognnoscitivo inherente al aprendizaje
126
de la Matemática, como por ejemplo: la deducción, la inferencia, la
formulación de alguna conjetura, la inducción, la abstracción o la
generalización.
h) Proporcionar retroalimentación al estudiante acerca de su
desempeño, lo cual le permite: (1) contrastar su grado de
aproximación o alejamiento de la meta u objetivo; (2) conocer sus
puntos fuertes y sus debilidades en relación con la información
manejada; (3) evaluar sus propios procesos de abordaje de
problemas; (4) identificar sus errores y aprender de ellos.
i) El docente debe utilizar estrategias que le permitan
articular el contenido o la información con el proceso durante cada
fase de la experiencia de aprendizaje.
j) El principio genético es útil para desarrollar las
Matemáticas constructivamente. Este principio sugiere que el orden
histórico es habitualmente el orden de exposición adecuado y que
las dificultades que los mismos matemáticos han experimentado
son exactamente las que encontrarán los estudiantes.
k) Utilizar el aprendizaje por descubrimiento.
1) Utilizar la interpretación intuitiva. Entre los recursos
intutivos se tienen: los dibujos, los argumentos heurísticos, la
inducción, el razonamiento por analogía y los argumentos físicos.
m) Desarrollar el pensamiento crítico.
En cuanto al papel del docente, se tienen los siguientes
lineamientos:
n) Debe actuar en el aula con el deliberado propósito de
127
enseñar los contenidos curriculares y de desarrollar procesos
cognitivos.
ñ) Es un mediador que se interpone entre el contenido
curricular y el alumno para hacer posible el proceso de aprendizaje.
o) El docente, previo conocimiento de las necesidades del
alumno, organiza las experiencias de aprendizaje siguiendo una
secuencia determinada y en un tiempo dado, de modo que dichas
experiencias, además de enseñarle al alumno un contenido
curricular, lo enseñen a aprender mediante su confrontación con
situaciones que lo induzcan a razonar, mostrar evidencias lógicas,
comparar, anticipar consecuencias, pensar críticamente, sacar
conclusiones válidas y tomar decisiones.
p) Debe usar los procesos y estrategias cognoscitivas que
espera desarrollar en sus alumnos.
q) Debe promover la participación de los estudiantes.
r) Redirige la participación, pide clarificación y extensión de
ideas.
s) Procesa la información producida por los estudiantes.
t) Promueve el metaconocimiento.
En cuanto al rol del alumno, se tienen los siguientes
lineamientos:
u) El alumno se concibe como un ser activo capaz, no sólo de
recibir información, sino de transformarla y de crear información
nueva, participando consciente y activamente en su propio proceso
de aprendizaje.
128
v) Los alumnos discuten sus soluciones y explican sus
propios procedimientos, esto les permite descubrir cómo y porqué
sus diferentes cálculos funcionan; comparan sus cálculos en
relación con el tiempo consumido, el esfuerzo demandado y su
simplicidad.
2.5.3. LINEAMIENTOS PARA LA EVALUACION DEL APRENDIZAJE
De lo expuesto en la sección 2.4.2 en relación a la evaluación
del aprendizaje se tienen los siguientes lineamientos:
a) La evaluación del aprendizaje además de comprobar el
logro de los objetivos propuestos para el estudiante (evaluación
basada en criterios), debe tratar de evaluar los cambios profundos y
permanentes que ocurren en el individuo como producto del
aprendizaje (evaluación de los procesos cognoscitivos).
En cuanto a la evaluación basada en criterios, las pruebas son
los instrumentos más utilizados, las cuales deben satisfacer los
siguientes lineamientos:
b) Todas las pruebas deben satisfacer los criterios de:
validez, confiabilidad, representatividad, discriminabilidad y
factibilidad.
c) Deben combinarse pruebas objetivas (de opción múltiple)
con pruebas de desarrollo, de tal forma que unas y otras compensen
sus errores y debilidades.
En cuanto a la evaluación de los procesos cognoscitivos, se
129
tienen los siguientes lineamientos:
d) La evaluación de los procesos cognitivos deberá estar
integrada a la instrucción y dado que la única manera de observar un
proceso es hacerle seguimiento y tomar registros, se tiene que
aumentar el número de oportunidades en que se evalúa. De ahí que se
establecen diferentes unidades temporales de análisis para la
evaluación.
e) La evaluación deberá guiar las acciones de todos los
participantes en la situación de aprendizaje, en este sentido, la
información obtenida de la evaluación, permitirá: mejorar la
enseñanza, identificar las fuentes de error, identificar las
estrategias de enseñanza que tienen más éxito, retroalimentar al
estudiante, informar a los profesores subsiguientes de la
competencia de los estudiantes, informar a los padres sobre el
progreso de sus hijos, etc.
f) Ampliar el repertorio de estrategias de evaluación,
utilizar: registros de observaciones en el aula, preguntas que
estimulen los procesos cognitivos, ejercicios de metacognición,
pruebas elaboradas por los estudiantes, etc.
130
CAPITULO 3
3. UNA ALTERNATIVA DE SOLUCION: MODELO DE
ENSEÑANZA BASADO EN PROCESOS CON DOSIFICACION DEL
CONTENIDO
De todo lo expuesto, tanto en el marco teórico como en los
lineamientos curriculares, se genera el modelo de enseñanza basado
en procesos con dosificación del contenido que se propone en este
trabajo y cuyos efectos sobre el rendimiento y habilidades de
razonamiento de los alumnos se determinó llevando a cabo un
experimento de campo con dos grupos de Matemáticas I del ITESM
Campus Tampico en el semestre Enero-Mayo de 1991. La estrategia
metodológica y los resultados del experimento de campo se
presentan en los siguientes capítulos.
El diseño del modelo se llevó a cabo en cinco etapas:
1. Análisis del programa analítico del curso Matemáticas
para las Ciencias Sociales.
2. Identificación de las características académicas de los
estudiantes inscritos en el curso.
3. Redistribución del contenido del curso.
4. Definición de la metodología de enseñanza.
5. Determinación de la forma de evaluación.
1 31
3.1. ANALISIS DEL PROGRAMA ANALITICO DEL CURSO
MATEMATICAS I PARA LAS CIENCIAS SOCIALES
El programa de Matemáticas I para las Ciencias Sociales se
analizó teniendo en cuenta los siguientes aspectos:
1. Generaciones a las que se imparte.
Esta materia se imparte en el primer semestre de las
carreras profesionales de la División de Administración y Ciencias
Sociales (DACS) del sistema ITESM que incluye carreras como:
Licenciado en Administración de empresas, Contador Público,
Licenciado en Economía, entre otras.
2. Ubicación en la secuencia vertical del sector curricular de
Matemáticas para las Ciencias Sociales.
tema.
Este curso se ubica en la siguiente secuencia vertical:
111 Matemáticas remediales para las Ciencias Sociales. ·
22 Matemáticas I para las Ciencias Sociales.
32 Matemáticas II para las Ciencias Sociales.
42 Matemáticas 111 para las Ciencias Sociales.
3. Distribución de las sesiones de clase dedicadas a cada
132
El curso se imparte a razón de tres sesiones de clase con
duración de 50 minutos cada una por semana, contándose con un
total de 44 sesiones de clase en el semestre, las cuales se
distribuyen en los siguientes temas:
Unidad 1: Números Reales, desigualdades y valor absoluto (5
sesiones);
Unidad 11 : Funciones (8 sesiones);
Unidad 111: Límites (6 sesiones);
Unidad IV: Continuidad (2.5 sesiones);
Unidad V: Derivada (6.5 sesiones);
Unidad VI: Aplicaciones de la derivada (6 sesiones);
Unidad VII: Diferenciales y Antidiferenciación (3.5 sesiones);
Unidad VIII: Integral Definida (6.5 sesiones).
4. Objetivo general del curso .
Proporcionar al alumno las herramientas matemáticas para
el análisis del comportamiento de una función de una variable
independiente, utilizando el Cálculo Diferencial e introducirlo al
estudio del Cálculo Integral.
5. Objetivos específicos de aprendizaje.
Para cada unidad se presenta una lista de objetivos
específicos de aprendizaje (Anexo 8), en total son 90 objetivos.
Entre los tipos de aprendizaje que se incluyen en los
objetivos se tienen los siguientes:
a) Aprendizaje de datos. Por ejemplo: propiedades de las
133
desigualdades, del valor absoluto, etc.
b) Aprendizaje de conceptos, principios y generalizacione.
Entre los más importantes destacan: los conceptos de límite,
función, continuidad derivada e integral, los teoremas sobre
límites, continuidad y derivada, el teorema del valor extremo, etc.
c) Aprendizaje de resolución de problemas. Por ejemplo:
resolver desigualdades, aplicar en la reslución de problemas los
teoremas sobre límites de funciones, resolver problemas utilizando
los teoremas sobre derivada, etc.
6. Estructura del programa.
La estructura conceptual del programa corresponde a la del
Cálculo infinitesimal, donde la idea central es el concepto de límite
de una función, a partir de la cual se definien otros conceptos
importantes de Cálculo, como son: continuidad, derivada e integral
de una función.
7. Organización de los contenidos del programa.
Existe una secuenciación bien definida en cuanto a los
contenidos organizados en los objetivos específicos, en todos los
casos (dentro de una misma unidad) un objetivo actúa como
antecedente del siguiente, de igual manera, una unidad es
antecedente de la siguiente.
8. Estrategias de Enseñanza.
El programa del curso no especifica ninguna estrategia de
134
enseñanza, más bien proporciona algunas recomendaciones para el
alumno en su proceso de aprendizaje, dice textualmente:
"es importante hacer notar que los objetivos descritos representan el material mínimo que debes aprender en el transcurso del semestre y que éste constituye parte de las bases necesarias para tener éxito en tu carrera. El procedimiento recomendado para lograr el aprendizaje del material, consiste fundamentalmente, en atender las explicaciones del maestro en el salón de clase, estudiar los temas recomendados por él y realizar las tareas que te asigne. Todas las actividades anteriores debes complementarlas procurando la asesoría de tu profesor fuera del salón de clase, en las horas que el desgine para eso".
Aunque el programa no lo especifica directamente, el método
expositivo convencional es el que responde a la recomendación
citada: "Atender las explicaciones del maestro en el salón de clase",
y en la práctica es el que se utiliza, donde existe muy poca
participación por parte del alumno.
3.2. IDENTIFICACION DE LAS CARACTERISTICAS
ACADEMICAS DE LOS ESTUDIANTES INSCRITOS EN EL CURSO
Entre las características académicas de los estudiantes
inscritos en el curso de Matemáticas 1, se consideraron las
siguientes:
1. Conocimiento previo del contenido del curso.
135
2. Habilidades matemáticas básicas.
Para recolectar la información relativa a cada una de las
características, se aplicó una encuesta (Anexo C) y un examen
exploratorio (Anexo O) a los alumnos.
Los resultados de la encuesta indican que el 71 % de los
alumnos inscritos en Matemáticas I es la primera vez que llevan un
curso de Cálculo, de ahí que todo el contenido es nuevo para ellos.
Sólo el 29 % llevaron un curso de Cálculo en la preparatoria.
Estos alumnos provienen de la preparatoria del ITESM Campus
Tampico.
En cuanto a las habilidades matemáticas básicas, el examen
exploratorio incluyó reactivos para evaluar: la capacidad para
interpretar la simbología matemática de conjuntos y
proposiciones, manejo de operaciones algebraicas, como: binomios
al cuadrado, binomios al cubo, producto de binomios conjugados,
factorización, suma de fracciones algebraicas, simplificación de
fracciones complejas, leyes de los exponentes y resolución de
ecuaciones lineales y cuadráticas.
Los temas evaluados en el examen exploratorio constituyen
las bases algebraicas que el alumno debe manejar a un nivel
satisfactorio para tener éxito en el estudio del Cálculo.
El promedio de calificaciones en el examen exploratorio en el
grupo control fue de 6.57 y en el grupo experimental fue de 6.54.
Como puede observarse la diferencia entre ambos promedios es de
0.03, lo cual indica que ambos grupos eran homogéneos en cuanto a
136
sus habilidades matemáticas básicas antes de iniciar el
experimento de campo.
Teniendo en cuenta que la calificación mínima aprobatoria en
el sistema ITESM es de 7, el promedio de calificaciones de ambos
grupos es reprobatorio, lo cual indica que los alumnos presentan
deficiencias en las bases algebraicas necesarias para estudiar
Cálculo.
3.3. REDISTRIBUCION DEL CONTENIDO DEL CURSO
El análisis del programa del curso de Matemáticas I y las
características de los estudiantes presentados en las dos secciones
anteriores, así como los lineamientos curriculares para la selección
y organización del contenido del currículo proporcionan los
elementos para llevar a cabo la redistribución del contenido del
curso.
Como se mencionó con anterioridad el experimento de campo
tenía la restricción de estar trabajando con alumnos formalmente
inscritos en Matemáticas 1, que es requisito para Matemáticas 11, de
ahí que se tenía que cubrir con todo el programa.
La estrategia que se siguió para cumplir con todo el programa
en el grupo experimental consistió en redistribuir el contenido de
los tres períodos parciales, es decir, se disminuyó el contenido que
debía cubrirse de acuerdo a los exámenes SAEA en los tres períodos
parciales, y el resto del contenido se cubrió en el útlimo mes del
curso, por medio de clases extra, de tal manera que al final del
137
semestre en ambos grupos se había cubierto todo el programa.
De esta manera, el modelo de enseñanza basado en procesos
con dosificación de contenido solamente se utilizó en los tres
períodos parciales en el grupo experimental.
Los criterios que se utilizaron para dosificar el contenido
fueron:
1. Experiencia de la tesista en la impartición del curso, la
cual indica que el tiempo especificado en el programa para cubrir
los temas es insuficiente, principalmente en las unidades 111, V y
VI, de límites, derivada y aplicaciones de la derivada, que deben
cubrirse en 6, 6.5 y 6 sesiones de 50 minutos respectivamente.
El concepto de límite de una función, que es la idea central de
Cálculo y que fue el producto de siglos de estudio de los
matemáticos dedicados al desarrollo del Análisis infinitesimal,
debe cubrirse en una sesión de 50 minutos, lo cual resulta imposible
si se toma en cuenta que para la mayoría de los alumnos este
concepto es totalmente nuevo y además si se requiere que el alumno
lo comprenda y lo pueda aplicar en el tratamiento de los temas
siguientes: continuidad, derivada e integral.
2. Lineamientos curriculares. Uno de los lineamientos
curriculares para la selección del contenido señala que para lograr
conocimientos profundos es necesario analizar con sumo cuidado las
ideas y en suficiente detalle como para comprender su significado
total, para relacionarlas con otras ideas y aplicarlas a nuevos
problemas y situaciones, para lo cual se debe dedicar el tiempo
138
suficiente.
3. Características de los estudiantes. Las características
académicas de los estudiantes presentadas en la sección anterior,
indican que para la mayoría, el contenido del curso es nuevo, de ahí
que se requiera más tiempo que el especificado en el programa para
cubrir todo el contenido.
De acuerdo a lo anterior, se disminuyó el contenido de los
tres primeros períodos, de manera tal que se dedicara el tiempo
necesario para que el alumno comprendiera los contenidos y los
pudiera transferir a las situaciones siguientes.
En el Anexo E se presentan las listas de los objetivos
específicos de aprendizaje que se cubrieron en cada período parcial
en el grupo experimental, en donde se redistribuyó el contenido. Asi
mismo, en el Anexo F se presentan las listas de los objetivos
específicos de aprendizaje que se cubrieron en cada período parcial
en el grupo control, las cuales son exactamente las que se utilizan
en la práctica.
3.4. DEFINICION DE LA METODOLOGIA DE ENSEÑANZA
El modelo de enseñanza propuesto se ubica en el enfoque de la
enseñanza de la Matemática basada en procesos, de ahí que los
lineamientos curriculares presentados con anterioridad orientan
dicho modelo.
139
Básicamente la metodología de enseñanza participativa
consiste en proporcionar al alumno un margen de actividad que le
permita ir entendiendo el contenido que el profesor le presenta a
partir de su propio esfuerzo, para ello, se utilizan estrategias que
intensifiquen la actividad cognoscitiva del alumno, de tal manera
que el alumno utilice sus operaciones mentales para asimilar el
contenido.
El objetivo de esta metodología no es sólo que el alumno
retenga el contenido que se le presenta, sino que desarrolle
estrategias que le permitan hacer inferencias, deducciones,
abstracciones, generalizaciones, etc. con dicho contenido.
Entre las estrategias utilizadas para intensificar la
actividad cognoscitiva del alumno, se tienen: la formulación de
preguntas que estimulen los procesos cognoscitivos, la
retroalimentación correctiva y la resolución de problemas en donde
no se disponga de un algoritmo inmediato.
Otra de las estrategias didácticas utilizada con frecuencia
en esta metodología, es la interpretación intuitiva, para lo cual se
utilizan las interpretaciones geométricas de los conceptos
matemáticos, los argumentos heurísticos, la inducción, el
razonamiento por analogía, y los argumentos físicos.
3.4.1. EL PAPEL DEL DOCENTE.
El docente se concibe como un mediador que se interpone
entre el contenido curricular y el alumno para hacer posible el
140
proceso de aprendizaje.
Entre las características del rol del profesor como mediador
del proceso de enseñanza-aprendizaje se tienen: organizar los
estimulos a ser presentados en la clase; promover la participación
de los alumnos; formular una variedad de preguntas que estimulen
los procesos cognoscitivos; redirigir la participación; pedir
clarificación y extensión de ideas; procesar la información
producida por los alumnos; retroalimentar significativamente a los
alumnos y promover el metaconocimiento.
3.4.2. EL PAPEL DEL ALUMNO
El alumno se concibe como un ser activo capaz, no sólo de
recibir información, sino de transformarla para crear nueva
información, participando consciente y activamente en su propio
proceso de aprendizaje.
Con el propósito de mostrar la forma en que se
operacionalizaron las características de la metodología de
enseñanza participativa basada en procesos, se presenta a
continuación un modelo de clase para enseñar el objetivo número 1
del la Unidad IV del programa que dice: Definir continuidad de una
función en un punto.
3.4.3. LECCION TIPO
Objetivo General de la lección: Al término de esta lección, el alumno
141
definirá el concepto de continuidad de una función en un punto.
Objetivos Específicos:
1. El alumno clasificará, intuitivamente, un conjunto de gráficas de funciones
en continuas y discontinuas.
2. Para cada una de las gráficas de las funciones continuas y discontinuas en el
punto X=a clasificadas en el objetivo anterior, el alumno asignará un valor a cada una de
las siguientes variables:
a) Valor de la función en el punto x"'a.
b) lim f(x)
X a
3. El alumno elaborará una lista con las características (valores asignados a
las variables) de cada gráfica trabajada en el objetivo anterior.
4. El alumno, identificará las características comunes de las funciones
continuas y de las discontinuas y elaborará una lista con estas características.
5. El alumno, expresará con sus propias palabras el concepto de continuidad de
una función en un punto.
6. El alumno, identificará ejemplos y contraejemplos del concepto de
continuidad de una función en un punto.
7. Dada una función y un punto x"'a, el alumno determinará si la función es
continua o no en ese punto y verficará su respuesta haciendo la gráfica de la función.
Método de ensefíanza: El método es inductivo, ya que el asunto estudiado se
presenta por medio de casos particulares, sugiriéndose que se descubra el principio
general que los rige. La inducción se basa en la experiencia, en la observación, en los
hechos. La técnica es la verificación de hipótesis, que incluye las siguientes estrategias:
1) Observar los objetos;
2) Identificar posibles características esenciales;
3) Plantear hipótesis;
4) Observar contraejemplos;
5) Confirmar o rechazar la hipótesis;
6) Validar el resultado.
142
LECCION
111 Apertura:
El maestro inicia la lección con la siguiente pregunta amplia:
¿Qué significa para ustedes el término Continuidad?
Con las respuestas de los alumnos, el maestro elabora una lista en el pizarrón
de los significados de la palabra Continuidad y les pide a los alumnos que lleguen a un
concenso, en el cual establezcan con sus propias palabras a qué llamarán Continuidad
{esto se logra haciendo que los alumnos interactúen entre sí).
Una vez establecido el significado del término Continuidad, el maestro elabora
la siguiente pregunta:
¿Cómo sería la gráfica de una función continua? --para esta pregunta, el
maestro no espera una respuesta específica, el propósito de la pregunta es que el alumno
transfiera el término continuidad, previamente discutido, a las gráficas de las
funciones, con lo cual se prepara para el siguiente ejercicio--
Para desarrollar la intuición de los alumnos, el maestro les propone un
ejercicio para que intuitivamente clasifiquen ciertas funciones en continuas y
discontinuas.
Para ello, les pide que se organicen en equipos de 5 personas y a cada equipo le
entrega un conjunto de gráficas de funciones y les da la siguiente instrucción:
clasifiquen las funciones en continuas y discontinuas.
Como aspecto motivacional, se les presentan algunas gráficas de funciones
relacionadas con la Administración, por ejemplo: función de precio de determinado
producto, función de costo de operación, etc.
Cada equipo presentará sus resultados a los demás explicando los criterios que
utilizaron para la clasificación. En caso de que algunos equipos no coincidan en sus
resultados, se les pedirá que discutan hasta llegar a un acuerdo.
211 Desarrollo:
Para cada una de las clases {funciones continuas y discontinuas) obtenidas en el
143
ejercicio de apertura, se les pedirá a los alumnos que analicen las gráficas en
relación a:
a) Valor de la función en el punto x=a.
b) Lim f{x)
X a
En seguida, el maestro hace las siguientes preguntas que estimulan los procesos
cognitivos, por ejemplo:
- ¿Qué tienen en común las gráficas del grupo de las funciones continuas?
- ¿Qué tienen en común las gráficas del grupo de las funciones discontinuas?
- ¿Porqué la gráfica_ no pertenece al grupo de las funciones continuas?
- Enumeren las características esenciales de una función continua en un punto
X=a.
- Expresen con sus propias palabras que significa el hecho de que una función
sea continua en x=a.
A continuación el maestro formaliza el concepto de continuidad de una función
en un punto.
311 Cierre:
A cada alumno se les proporcionarán por escrito los siguientes ejercicios:
- Dado un conjunto de gráficas de funciones, el alumno identificará ejemplos y
contraejemplos de funciones continuas en X=a.
- Dada una función y un punto X=a, el alumno determinará si la función es
continua o no en ese punto y verificará su respuesta haciendo la gráfica de la función.
Y se les darán las siguientes instrucciones:
Resuelvan los ejercicios y en 5 minutos se seleccionará al azar a algún alumno
que pase al pizarrón a resolverlo.
Cuando el alumno pase al pizarrón, el maestro efectuará una serie de
preguntas a todos los alumnos, para diagnosticar si comprendieron el concepto de
continuidad de una función en un punto. Entre estas preguntas se tienen las siguientes:
-¿Qué pasaría con la continuidad de la función de la gráfica __ en el punto
144
x=a si el límite existiera?
-¿Qué pasaría con la continuidad de la función de la gráfica __ en el punto
X=a si f(a) existiera?
-¿Qué tendría que ocurrir en la gráfica __ para que la función fuera
continua?
Estas preguntas además de diagnosticar la comprensión del concepto de
continuidad, motivan el siguiente tema referente a tipos de discontinuidad.
La clase se termina aplicando la siguiente estrategia metacognoscitiva: Se les
pedirá a los alumnos que escriban en una hoja lo que entendieron del tema tratado en
clase.
Dado que en este modelo de ensenanza, la evaluación se considera integrada a la
ensenanza, el maestro revisará lo que escribieron sus alumnos y tomará las medidas
instruccionales que correspondan.
Por último, el maestro asignará la tarea para la próxima clase.
3.5. DETERMINACION DE LA FORMA DE EVALUACIQN DE
LOS ESTUDIANTES
Para determinar el efecto de la utilización del modelo de
enseñanza basado en procesos con diminución del contenido
utilizado en el grupo experimental, se aplicaron 2 pruebas en cada
uno de los tres períodos parciales a cada grupo. Dichas pruebas
fueron: un examen SAEA y un examen de desarrollo elaborado por la
tesista.
La prueba de desarrollo permitió observar el desempeño de
los estudiantes en sus habilidades específicas de razonamiento para
plantear los problemas, definir las estrategias de solución,
encontrar los resultados y justificar sus respuesta.
145
3.6 SUPUESTOS GENERALES QUE JUSTIFICAN EL
MODELO
De lo expuesto en este capítulo se enuncian los siguientes
supuestos generales que justifican el modelo propuesto:
1. El rendimiento de los estudiantes mejora si se hace una
selección racional del contenido que proporcione el tiempo de
consolidación requerido para lograr el conocimiento y si se aplica
una metodología activa para su imparticion.
2. El nivel de razonamiento de los estudiantes mejora cuando
la cantidad de contenidos se distribuye adecuadamente en el tiempo
disponible en el período escolar y cuando la metodología de
enseñanza estimula la comprensión, el análisis y la aplicación de
dichos contenidos.
146
CAPITULO 4
4. ESTRATEGIA METODOLOGICA
En este capítulo se describe el método de investigación
utilizado para llevar a cabo el experimento de campo que permitió
determinar el electo del moaelo de ensenanza oasado en procesos
con dosificación del contenido sobre el rendimiento de los
estudiantes.
Se presentan también la población y muestra que se
utilizaron en el experimento de campo, el diseño del experimento y
los métodos y técnicas de recolección y procesamiento de datos.
4.1. METODO DE INVESTIGACION UTILIZADO
Como se mencionó en el primer capítulo, para realizar este
trabajo de tesis, se partió de una impresión diagnóstica del proceso
de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el ITESM Campus
Tampico, para ello se recolectó información acerca de algunas de
las variables que influyen sobre dicho proceso, entre las que se
encuentran: formación académica y docente de los profesores de
Matemáticas, métodos de enseñanza utilizados, programa analítico
de los cursos y evaluación del desempeño de los alumnos.
Con la información recolectada acerca de las variables
mencionadas, se obtuvo una visión más amplia de la situación
observada, la cual al ser comparada con la situación deseada,
147
permitió identificar una serie de necesidades, que permitieron
definir y justificar el problema de investigación de este trabajo,
cuyo enunciado es: ¿De qué manera una dosificación adecuada del
contenido del programa analítico y la aplicación de una metodología
participativa para impartir la materia influye sobre el rendimiento
de los alumnos?
Para contestar la pregunta planteada se condujo un
experimento de campo con dos grupo de profesional de la materia
Matemáticas I para las Ciencias Sociales en el semestre Enero-Mayo
de 1991 en el ITESM Campus Tampico.
El método de investigación utilizado fue un estudio
cuasi-experimental evaluativo con postest solamente, ya que el
contenido del curso de Matemáticas I es nuevo para la mayoría de
los alumnos.
Se trabajó con dos grupos intactos, tal y como se presentan
en la realidad, de ahí que el estudio fue evaluativo de la realidad de
lo que sucede en las aulas.
La utilización de la investigación cuasi-experimental se
justifica porque permite trabajar con condiciones reales, a
diferencia de la investigación experimental, en donde las
condiciones de laboratorio no revelan la realidad áulica.
148
4.2. POBLACION Y MUESTRA.
La población está formada por todos los alumnos inscritos en
los ocho cursos del sector curricular de Matemáticas de profesional
del ITESM Campus Tampico en el semestre Enero-Mayo de 1991.
De esta población se tomó una muestra arbitraria formada
por dos grupos intactos de Matemáticas I para las Ciencias Sociales
que estaban bajo la responsabilidad de la tesista.
De los dos grupos de Matemáticas 1, se trabajó con uno como
grupo experimental, el cual estaba formado por 21 alumnos y el otro
como grupo control, el cual estaba formado por 24 alumnos.
Es importante aclarar que con este trabajo no se pretenden
extraer conclusiones que sean válidas para la población, teniendo en
cuenta que la muestra no fue seleccionada al azar. Este es un
estudio exploratorio válido solamente para los grupos considerados
y útil para proporcionar información con miras a plantear hipótesis
que puedan extenderse a la población en futuras investigaciones.
Puede decirse, que este estudio va a constituir la base para
plantear hipótesis con una mayor fundamentación.
4.3. DISEÑO DEL EXPERIMENTO.
La investigación cuasiexperimental consistió en un estudio
piloto para el curso de Matemáticas I para las Ciencias Sociales en
un grupo de alumnos, el cual recibió el modelo de enseñanza
149
propuesto.
El estudio piloto duró tres meses y durante este tiempo, el
grupo experimental recibió el modelo de enseñanza basado en
procesos con dosificación del contenido y el grupo control recibió la
metodología de enseñanza convencional.
4.4. METODO DE RECOLECCION DE DATOS
Los datos necesarios para determinar el efecto de la
utilización del modelo de enseñanza basado en procesos con
dosificación del contenido son:
1. Calificaciones obtenidas en las dos pruebas aplicadas:
examen SAEA y examen de desarrollo.
2. Nivel de razonamiento matemático de los alumnos.
Para recolectar los datos anteriores, se utilizaron
respectivamente los siguientes procedimientos:
1. Calificar ambas pruebas.
2. Analizar el nivel de razonamiento.
En los siguientes apartados se explican en que consistieron
ambos procedimientos.
150
4.4.1. PRUEBAS APLICADAS
En cada período parcial se aplicaron dos exámenes a cada
grupo: uno SAEA y uno de desarrollo. Ambos exámenes se
presentaban el mismo día a diferentes horas.
De acuerdo a las políticas del sistema SAEA, la duración del
examen parcial en el curso de Matemáticas I para las Ciencias
Sociales, es de 90 minutos y dado que las clases con ambos grupos
tenían una duración de 50 minutos, el examen SAEA se aplicaba a
ambos grupos fuera del horario de clases, de 3 a 4:30 pm el día del
examen.
En el caso del examen de desarrollo, éste se aplicaba en el
horario de clases, de 11 a 11 :50 am en el grupo control y de 12 a
12:50 pm en el grupo experimental el día del examen.
Los exámenes SAEA aplicados contienen 1 O reactivos y en
cada reactivo se ofrecen cuatro opciones, de las cuales el alumno
selecciona la que considera correcta.
Al presentar los exámenes SAEA, a cada alumno se le
proporcionó un examen SAEA, tres hojas para realizar operaciones y
una hoja de respuestas.
De acuerdo a las políticas del sistema de evaluación SAEA,
sólo se califican las respuestas, asignandóle un punto sobre diez a
cada respuesta correcta.
Los reactivos del examen SAEA consisten en planteamiento
de problemas y preguntas de teoría (definiciones, conceptos,
teoremas, etc.). Los reactivos estan elaborados de acuerdo a los
151
objetivos específicos del programa que deben cubrirse en cada
parcial.
Dado que el grupo experimental estaba recibiendo menos
contenido que el grupo control, la tesista elaboró exámenes SAEA
especiales para este grupo, donde se incluían solamente reactivos
correspondientes a los objetivos que se habían cubierto. En el Anexo
G se presenta una muestra de los examenes SAEA aplicados a cada
grupo en cada parcial.
Con respecto a los exámenes de desarrollo, se diseñaron de
acuerdo al contenido cubierto en cada período en cada grupo
respectivamente. A diferencia de los exámenes SAEA, en los
exámenes de desarrollo se calificó tanto el procedimiento como el
resultado, y se asignó el puntaje a cada reactivo ponderando tanto
el procedimiento como el resultado.
En el Anexo H se presenta una muestra de los exámenes de
desarrollo aplicados a cada grupo en cada parcial.
4.4.2. ANALISIS DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO
El análisis del nivel de razonamiento matemático consistió
en determinar la calidad de razonamiento que utilizaron los alumnos
de ambos grupos para resolver los problemas en los exámenes de
desarrollo.
Para ello, se construyó una escala con cuatro categorías que
indican la calidad del razonamiento matemático. Dicha escala es la
152
siguiente:
1: Completamente satisfactorio.
2: Satisfactorio.
3: Insatisfactorio.
4: Completamente insatisfactorio.
La escala anterior, se aplicó a las siguientes variables de
razonamiento matemático:
1. Lógica del planteamiento del problema.
2. Lógica del procedimiento del problema.
3. Justificación del resultado.
Como se mencionó con anterioridad, las pruebas aplicadas a
ambos grupos fueron diferentes, ya que en el grupo experimental se
cubría menos contenido en cada parcial que en el grupo control. Sin
embargo, como se puede observar en el anexo H, los exámenes de
desarrollo de ambos grupos presentan algunos problemas iguales, de
ahí que para realizar el análisis del razonamiento matemático se
seleccionaron los mismos problemas en ambos grupos.
En síntesis, el procedimiento utilizado para realizar el
análisis del razonamiento matemático fue el siguiente:
1. Seleccionar los problemas comunes de los tres exámenes
de desarrollo de ambos grupos.
2. Especificar el tema evaluado por cada uno de los problemas
seleccionados.
153
3. Asignar un número de la escala de calidad de razonamiento
a cada una de las variables de razonamiento para cada problema
seleccionado.
4.5. HIPOTESIS
Con los datos recolectados se verificarán las siguientes
hipótesis:
1. No existe diferencia entre las medias de los puntajes
obtenidas por los estudiantes de los grupos experimental y control,
cuando se comparan:
a) Las calificaciones del primer examen parcial SAEA;
b) Las calificaciones del segundo examen parcial SAEA;
c) Las calificaciones del tercer examen parcial SAEA;
d) El promedio de los tres exámenes SAEA;
e) Las calificaciones del primer examen parcial de
desarrollo;
f) Las calificaciones del segundo examen parcial de
desarrollo;
g) Las calificaciones del tercer examen parcial de desarrollo;
h) El promedio de los tres exámenes de desarrollo;
2. No existe diferencia entre las medias de los promedios de
los tres exámenes SAEA y los tres exámenes de desarrollo
obtenidos por los estudiantes del grupo experimental.
3. No existe diferencia entre las medias de los promedios de
154
los tres exámenes SAEA y los tres exámenes de desarrollo
obtenidos por los estudiantes del grupo control.
4. No existe diferencia entre las medias de los puntajes en
la variable de razonamiento matemático: lógica del planteamiento
del problema obtenidas por los estudiantes de los grupos
experimental y control.
5. No existe diferencia entre las medias de los puntajes en la
variables de razonamiento matemátcio: lógica del procedimiento del
problema obtenidas por los estudiantes de los grupos experimental
y control.
6. No existe diferencia entre las medias de los puntajes en la
variable de razonamiento matemático: justificación del resultado
obtenidas por los estudiantes de los grupos experimental y control.
4.6. METODO DE PROCESAMIENTO DE LOS DATOS
Como se mencionó con anterioridad, en este trabajo no se
pretende hacer inferencia estadística hacia la población, dado que
la muestra no fue seleccionada al azar. De ahí que el procesamiento
de los datos incluyó los siguientes aspectos:
1. Análisis de los estadísticos descriptivos de los datos
obtenidos;
2. Comparación entre los puntajes obtenidos por los grupos
experimental y control en las diferentes pruebas aplicadas.
3. Comparación entre los puntajes obtenidos por los grupos
155
experimental y control en el análisis del nivel de razonamiento
matemático.
4. Comparación entre el rendimiento promedio en los
exámenes SAEA obtenidos por cada grupo con el nivel de
satisfacción requerido por el Departamento de Matemáticas del
Campus Tampico, que es una calificación de 8.
5. Asignación del nivel de satisfacción del razonamiento
matemático de los alumnos de ambos grupos, de acuerdo a la
siguiente escala:
Puntaje
1 - 1.9
2 - 2.9
3 - 4
Categoría
Completamente satisfactorio (CS)
Satisfactorio (S)
Insatisfactorio (1)
156
CAPITULO 5
5. ANALISIS DE DATOS Y PRESENT ACION DE
RESULTADOS
Este capítulo se estructuró de la siguiente manera:
1 . Descripción de la muestra.
2. Estadísticos descriptivos de los datos obtenidos.
3. Análisis de los datos.
A continuación se desarrollan cada uno de estos aspectos.
5.1. DESCRIPCION DE LA MUESTRA
Como se mencionó con anterioridad, se trabajó con dos
grupos de alumnos de Matemáticas I para las Ciencias Sociales,
donde el grupo experimental estaba formado por 21 alumnos y el
control por 24. Al final del experimento se contó con todos estos
alumnos.
Las características de los alumnos se presentaron en la
sección 3.2. de este trabajo.
157
5.2. ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS
Como se mencionó en la sección 4.4, los datos necesarios
para determinar el efecto de la utilización del modelo de enseñanza
basado en procesos con dosificación del contenido, son: .
1. Calificaciones obtenidas por los estudiantes del grupo
experimental en ambos tipo de exámenes (Anexo 1).
2. Calificaciones obtenidas por los estudiantes del grupo
control en ambos tipos de exámenes (Anexo J).
3. Puntajes obtenidos en el análisis del nivel de
razonamiento matemático de los estudiantes del grupo experimental
(Anexo K).
4 . Puntajes obtenidos en el análisis del nivel de
razonamiento matemático de los estudiantes del grupo control
(Anexo L) .
A partir de estos datos se calcularon los estadísticos
descriptivos que se presentan en las tablas de la No. 1 a la No. 4.
158
TABLA No. 1 Estadísticos descriptivos de las calificaciones Grupo Experimental
X 1: 19 SAEA Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
l s.4 76 l 1.03 1 .225 11.062 112.157 l 21
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
7 1 O 3 178 1530 o
X2: 12 DESARROLLO Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
19.036 1.863 1.188 1. 746 19 .556 121
Minimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
7.25 1 O 2.75 189. 75 1729.438 o
X3: 22 SAEA Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
l 0 .571 , 1.248 1 .272 l 1.ss7 ,14.558 121
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
5 1 O 5 180 1574 o
X4: 22 DESARROLLO Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
19 .071 1 .965 1 .211 1.932 110.643 l 21
Minimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
7 1 O 3 190.5 1746.75 o
X5: 311 SAEA Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
18.095 11.3 1.284 11.69 116 .061 l 21
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
6 1 O 4 170 1410 o
159
Continuación de la Tabla No. 1
X5: 32 DESARROLLO Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
19 . 155 l 1.271 1 .277 l 1.615 l 13.884 121
Minimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
6 .25 1 O 3.75 192.25 1792.312 o
X7: PROM. SAEA Mean: Std. Dev.: Std. Error : Variance : Coef. Var.: Count :
l s .352 1 .751 1.164 1.565 18.996 121
Mínimum : Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared : # Missin
7 9.6 2.6 175.4 14 76 .3 o
Xe: PROM.DES. Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
19 .067 , .883 , . 193 1 .78 19.742 121
Minimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
7 .41 10 2 .59 190.41 1742 .081 o
160
Tabla No. 2. Estadísticos descriptivos de las calificaciones Grupo Control
X1: 12 SAEA Mean: Std. Oev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
17 .042 l 1.853 1.378 13.433 126.312 124
Minimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
2 9 7 169 1269 o
X2: 12 DESARROLLO Mean: Std. Oev. : Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
l s.oss 11 .31 7 1.269 11 . 734 116 .34 7 124
Minimum : Maximum: Ran e: Sum S uared: # Missin
5.5 1 O 4.5 193.35 1597.568 o
X3: 22 SAEA Mean: Std. Oev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
, 7.625 12 . 143 1.437 14.592 128 .105 124
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
2 1 O 8 183 1501 o
X4: 22 DESARROLLO Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
17.219 12.236 1.457 15 .002 130.981 124
Minimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
2 .25 1 O 7.75 173.25 1365.688 o
X5: 32 SAEA Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
17.083 12.283 1.466 15.21 132.225 124
Minimum : Maximurn: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
1 O 9 170 1324 o
1 61
Continuación de la Tabla No. 2
Xs: 32 DESARROLLO Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
17.26 12.859 1.583 18.171 139.371 124
Mínimum : Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
o 1 O 1 O 174.25 1453.062 o
X7: PROM. SAEA Mean: Std. Dev. : Std. Error : Variance : Coef. Var.: Count:
17.213 l 1. 634 1.333 12.669 122 .651 124
Mínimum : Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
2 .3 9 .3 7 173. 1 1309.87 o
Xs: PROM. DES. Mean: Std. Dev.: Std. Error: Varían ce: Coef. Var.: Count:
17.517 l 1.a4 7 1.377 13 .413 l 24 .577 124
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
3 .3 9 .5 6.2 180.4 1434.503 o
162
TABLA No. 3. Estadísticos descriptivos del Análisis de raz. Grupo Experimental
X1: LOGICA PLANT. Mean: Std. Dev. : Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
l 1. 051 1 .084 1.027 , .007 17.979 110
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared : # Missin
1.21 .21 10 .51 11 . 1 09 o
X2: LOGICA PROC. Mean : Std. Dev. : Std. Error: Variance : Coef. Var. : Count:
1 1. 1 91 1.202 , .064 , .041 116 .994 110
Mínimum : Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
1.57 .57 11. 91 14.553 o
X3: JUSTIF. RES. Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance: Coef. Var.: Count:
, 1.249 1.224 1 .071 1 .05 117.905 110
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
1. 6 . 6 12 .49 16 .05 o
163
TABLA No. 4. Estadísticos descriptivos del Análisis de raz. Grupo Control
X1: LOGICA PLANT. Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance : Coef. Var.: Count:
12.059 1 .88 1 .278 1.774 142.719 110
Minimum : Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
3.2 2.2 20 .59 49.358 o
X2: LOGICA PROC. Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance : Coef. Var.: Count:
12 .312 , .891 1.282 1.793 138 .527 110
Minimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
3.5 2.5 23 .12 60.594 o
X3: JUSTIF. RES. Mean: Std. Dev.: Std. Error: Variance : Coef. Var.: Count:
l 2.424 1 .915 1 .289 1.837 137.744 110
Mínimum: Maximum: Ran e: Sum: Sum S uared: # Missin
3.6 2 .6 24.24 66 .291 o
164
5.2.1. ANALISIS DE LAS CALIFICACIONES DE LAS PRUEBAS
SAEA Y DESARROLLO
Como puede observarse en la tabla No. 1, las medias de las
calificaciones en ambos tipos de exámenes obtenidas por los
estudiantes del grupo experimental oscilan entre 8.095 y 9.155 y
las desviaciones estándar entre 0.751 y 1.3, ésto último indica que
las calificaciones no presentan una gran dispersión con respecto a
la media, lo cual sugiere que el grupo fue homogeno en cuanto a las
calificaciones de las pruebas.
Por otro lado, de la tabla No. 2, se observa que las medias de
las calificaciones en ambos tipos de exámenes obtenidas por los
estudiantes del grupo control, oscilan entre 7.042 y 8.056 y las
desviaciones estándar entre 1.634 y 2.859, estas desviaciones
indica una mayor dispersión de los datos con respecto a la media, lo
que a su vez sugiere una heterogeneidad en el grupo en cuanto a las
calificaciones de las pruebas.
5.2.2. ANALISIS DEL NIVEL DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
En el caso del grupo experimental, como se observa en la
tabla No. 3, las medias de los puntajes en las tres variables de
razonamiento consideradas oscilan entre 1.051 y 1.249, y las
desviaciones estándar entre 0.084 y 0.224, esto ultimo indica una
mínima dispersión de los datos con respecto a la media.
Por otra parte, en el caso del grupo control, como se observa
165
en la tabla No. 4, las medias en las tres variables de razonamiento
oscilan entre 2.059 y 2.424 y las desviaciones estándar entre 0.88 y
0.915, lo cual también indica poca dispersión de los datos con
respecto a la media.
5.3. ANALISIS DE LOS DATOS
El análisis de los datos se llevó cabo a través de los
siguientes aspectos:
1. Verificación de las hipótesis.
2. Comparación de los resultados obtenidos con los
estándares de satisfacción especificados.
5.3.1. VERIFICACION DE LAS HIPOTESIS
En las tablas de la No. 5 a la No. 7 se presenta un resumen de
las medias que se comparan en las hipótesis planteadas.
Para la verificación de dichas hipótesis, se tendrán en cuenta
las diferencias encontradas entre las medias obtenidas por los
grupos experimental y control, tanto en las pruebas aplicadas como
en el análisis del nivel de razonamiento. Estas diferencias también
aparecen en las tablas mencionadas.
166
TABLA No. 5. Resumen de las medias de calificaciones a comparar entre arroos grupos.
EX. 1' 2ª 3ª PR0.4. p
EXP. SAEA SAEA SAEA SAEA DES.
( EXP. 6.536 8.476 8.571 8.095 8.352 9.036 F L P~R. 6.573 7.042 7.625 7.083 7.213 8.056 e
PFEFEOCIA -0 .037 1.434 0.946 1.012 1.139 0.98
2ª 3ª PI0.4. DES. DES. DES.
9.071 9.155 9.067
7.219 7.26 7.517
1.852 1.895 1.55
TABLA No. 6. Resumen de las medias y nivel de satisfacción en las variables de razonamiento matemático a comparar entre ambos grupos.
G R u p
o
M E D 1
A
LOOCADEL NIVEL LOOCADB.. NIVEL JUSTIFCACION PLANTEAMIENTO DESAT PFmDt.l:NTO DESAT DEL FESUL TAOC
EXPERIMENTAL 1.051 es 1.191 es 1.249
como.
DIFEROCIA
2.059 s 2.312 s
-1.008 - 1.121
TABLA No. 7. Medias en los exámenes SAEA y los de desarrollo a comparar en cada grupo.
2.424
- 1.175
ttVEL DESAT
es
s
GRIJlO EXPERIMENTAL GRJPOcomn..
PFo.1EDO SAEA 8.352 7.213
PAOv1EDO DES. 9.067 7.517
DIFERENCIA -0.715 -0.304
167
Como puede observarse en la tabla No. 5, en todos los
exámenes SAEA y de desarrollo aplicados existe diferencia entre
las medias de calificaciones de ambos grupos. En todos los casos,
las medias de calificaciones del grupo experimental son mayores
que las del grupo control, esta diferencia a favor del grupo
experimental, oscila entre 0.98 y 1.895.
En el caso del nivel de razonamiento matemático, se observa
en la tabla No. 6 que el grupo experimental presentó un mejor nivel
en las tres variables de razonamiento consideradas que el grupo
control.
Como puede observarse en la tabla No. 7, si existe diferencia
entre los promedios de los exámenes SAEA y de desarrollo en ambos
grupos, sin embargo esta diferencia no es muy grande, en el caso del
grupo experimental fue de 0.715 y en el control de 0.304.
5.3.2. COMPARACION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON LOS
ESTANDARES DE SATISFACCION ESPECIFICADOS
Teniendo en cuenta que una de las metas del Departamento de
Matemáticas del ITESM Campus Tampico es la de obtener un
promedio de calificaciones de 8 en todos los cursos del sector, se
observa en la tabla No. 5 que en todos los exámenes aplicados, el
grupo experimental superó esta meta teniendo rendimientos que
oscilan entre 8.095 y 9.155.
Por otra parte, el grupo control solamente en el primer
168
examen parcial de desarrollo alcanzó la meta de 8 de promedio y en
todos los demás exámenes la media osciló entre 7 .042 y 7 .625.
En la tabla No . 6 se observa que el grupo experimental
presentó un nivel de razonamiento completamente satisfactorio
(CS) en las tres variables de razonamiento consideradas, mientras
que el grupo control tuvo un nivel satisfactorio (S).
169
CAPITULO 6
6. SINTESIS, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Como su nombre lo indica, en este capítulo se presenta una
síntesis de todo el trabajo de tesis, en donde se articulan todos los
capítulos que la componen, la cual permitirá tener una visión global
del problema de investigación trabajado.
Asimismo se presentan las conclusiones emanadas de la
revisión bibliográfica elaborada en el marco teórico así como
aquellas que resultan del análisis de los datos obtenidos en el
experimento de campo realizado.
Por útlimo, se presentan las recomendaciones que propone la
tesista en base al trabajo de tesis elaborado.
6.1. SINTESIS
El trabajo de tesis se inició a partir de una impresión
diagnóstica del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática
en el ITESM Campus Tampico. La información necesaria para llevar a
cabo el diagnóstico se recoplió a través de cuestionarios de opinión
aplicados a profesores de Matemáticas y a estudiantes que cursan
esta disciplina, también se realizaron observaciones en el salón de
clase.
El diagnóstico realizado permitió identificar una serie de
170
necesidades relacionadas con la capacitación docente, los
programas de los cursos, los métodos de enseñanza utilizados, el
tipo de aprendizaje que utilizan los alumnos, la evaluación del
rendimiento, entre otras.
Teniendo en cuenta que una de las preocupaciones constantes
de todo profesor, es el aprendizaje de los alumnos, se seleccionó la
necesidad de programar adecuadamente los contenidos de los cursos
de Matemáticas.
El diagnóstico realizado y la experiencia docente de quien
suscribe señalan que la mayoría de los programas de los cursos de
Matemáticas presentan mucho contenido y aunado esto a la
evaluación con exámenes departamentales, el maestro se ve en la
necesidad de preferenciar el cumplimiento del programa que el
aprendizaje de sus alumnos, convirténdose en un expositor del
contenido, favoreciendo así una enseñanza tradicional de la
Matemática, en donde el alumno recibe un conocimiento que no
comprende y no tiene más remedio que memorizarlo, mecanizando
los algoritmos empleados por su profesor para resolver los
problemas en el salón de clase.
En base a lo anterior se definió el problema de investigación
de esta tesis, cuyo enunciado es: ¿ De qué manera una dosificación
adecuada del contenido del programa analítico y la aplicación de una
metodología participativa para impartir Matemáticas influye sobre
el rendimiento de los alumnos?
Dadas las variables que intervienen en el problema planteado
171
se conceptualizó en el marco teórico acerca de: la selección y
organización del contenido del currículo, los enfoques tradicional y
no tradicional de la enseñanza de la Matemática y la evaluación del
rendimiento de los alumnos, también desde las perspectivas
convencional y no convencional.
La revisión bibliográfica realizada en el marco teórico
permitió definir los lineamientos curriculares que orientan el
modelo de enseñanza basado en procesos con dosificación de
contenido que se propone en este trabajo.
Dicho modelo consiste básicamente en la distribución del
contenido en las sesiones de clase disponibles en un semestre
escolar, teniendo en cuenta el tiempo que requiere el docente para
verificar si esta ocurriendo el aprendizaje en sus alumnos y para
retroalimentarlos significativamente. La metodología de enseñanza
utilizada para impartir el contenido se ubica en la llamada
didáctica de la Matemática centrada en procesos.
Para responder a la pregunta del problema de investigación,
se llevó a cabo una investigación cuasiexperimental, en donde se
trabajó con dos grupos de Matemáticas I para las Ciencias Sociales
en el ITESM Campus Tampico en el semestre enero-mayo de 1991.
Uno de los grupos se consideró como experimental y se utilizó el
modelo de enseñanza propuesto, en el otro grupo se trabajó de
manera convencional.
Para determinar el efecto del modelo propuesto sobre el
rendimiento de los alumnos, se aplicaron dos tipos de exámenes: uno
de opción múltiple y otro de desarrollo elaborado por la tesista.
172
Se encontró que los estudiantes del grupo experimental
obtuivieron un rendimiento superior a los del grupo control, tanto en
la calificaciones de las pruebas como en sus habilidades de
razonamiento matemático.
6.2. CONCLUSIONES
En el análisis de los resultados del experimento de campo se
encontró que los estudiantes que recibieron el modelo de enseñanza
basado en procesos con dosificación del contenido tuvieron un
rendimiento superior que los estudiantes del grupo donde se trabajó
de manera convencional. De esta situación, se concluye que las dos
variables que se incluyen en el modelo, dosificación del contenido y
la metodología basada en procesos influyeron de manera positiva en
el rendimiento de los alumnos.
Además del rendimiento superior en las pruebas aplicadas,
los estudiantes del grupo experimental también presentaron un
nivel superior de razonamiento matemático que los del grupo
control, lo cual puede atribuírse también a la utilización del modelo
propuesto.
Como se mencionó en su oportunidad, la tesista esta
conciente de la imposibilidad de realizar inferencia estadística a
toda la población dada la forma en que se seleccionó la muestra. Sin
embargo, con los resultados de este trabajo se concluye que existen
alternativas para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de
la Matemática, como es el caso del modelo propuesto y que los
173
docentes tenemos el compromiso de buscar tales alternativas.
De acuerdo a lo expuesto en el marco teórico y
principalmente a la puesta en práctica de la didáctica de la
Matemática centrada en procesos, se concluye que ésta es una de las
principales alternativas para mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Al comparar el aspecto teórico del diseño curricular y lo que
sucede en la práctica, se concluye que no hay consistencia entre lo
que dice la teoría curricular y lo que hacen en la práctica los
encargados de diseñar los programas, contribuyendo de esta manera
a agudizar los problemas inherentes al proceso de
enseñanza-aprendizaje de las diferentes disciplinas.
Teniendo en cuenta que el docente es el encargado de llevar a
la práctica los programas, su participación es necesaria en la
evaluación continua de los mismos a fin de adecuarlos a la realidad
de lo que sucede en las aulas.
6.3 RECOMENDACIONES
De este trabajo de tesis emanan las siguientes
recomendaciones:
1. Llevar a cabo futuras investigaciones, en donde se realice
una selección aleatoria de la muestra de estudio con el fin de
realizar inferencia estadística a toda la población acerca del uso
del modelo de enseñanza basado en procesos con dosificación del
contenido.
174
2. Hacer una propuesta curricular del programa de
Matemáticas I para las Ciencias Sociales que incluya la
dosificación del contenido presentada en esta tesis.
3. Capacitar a los docentes en Matemáticas en el enfoque de
la enseñanza basado en procesos.
4. Desarrollar laboratorios de resolución de problemas fuera
del horario de clases que proporcionen oportunidades a los alumnos
de practicar y reforzar lo que aprenden en los cursos de
Matemáticas.
5. Combinar el instrumento de evaluación SAEA con exámenes
elaborados por el profesor a fin de conocer el procedimiento que
utilizan en la resolución de los problemas y utilizar esta
información para mejorar la enseñanza.
175
ANEXOS
176
ANEXO A
Cuestionario de opinión acerca del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en profesional en el ITESM Campus Tampico
CUESTIONARIO DE OPINION ACERCA DEL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA HATEMATICA EN PROFESIONAL EN EL
ITESM CAMPUS TAMPICO
PROFES ION: __________________ _ OTROS GRADOS ACADEMICOS, ____________ _ AÑOS DE EXPERIENCIA EN LA DOCENCIA: _______ _ AÑOS DE EXPERIENCIA EN LA DOCENCIA EN MATEMATICAS: ---
1. ¿Ha impartido clases de Matemática o Estadística a nivel profesional en el ITESM Campus Tampico?
51 NO 2. Cursos que ha impartido:
NOMBRE DEL CURSO Maternal ica:
Estadística
NUMERO DE VECES
3. ¿Ha tomado usted algún(os) curso(s) relacionado(s) con la actividad docente?
51 NOMBRE DEL CURSO: _________ _
NO
4. ¿Ha recibido usted algún tipo de curso relacionado espec1f1camente con la didáctica de la Matemática o Estadistica?
51 NO
S. ¿impartía usted clases de Matemáticas o Estadistica antes de la implantac1ón del s1stema SAEA? En caso afirmativo responda las
· siguientes preguntas, en caso contrario pase a la pregunta 11 SI NO
Las siguientes preguntas se refieren a situaciones observadas antes de la implantación del sistema SAEA
177
6. Cumplía estrictamente con el programa analítico de la materia de Matemática o Estadística dentro del tiempo es tablecido en el mismo?
51 NO PORQUE: ____________ _
% del programa cubierto (aprox.) _____ _
7. Seleccione cuál de las siguientes metodologías utilizaba usted para la enseñanza. A) Expositiva lPor qué? _______________ _
B) Participativa lPor qué? ______________ _
C) Ambas lPor qué? ________________ _
8. Seleccione de los siguientes aspectos, los que más concuerden con los criterios que usted utilizaba para evaluar a sus alumnos A) sólo el examen B) examen y tareas C) examen, tareas y participación D) otros ____________________ _
9. Seleccione cuál de los siguientes criterios aplicaba usted en la evaluación de los exámentes: A) Sólo el resultado. lPor qué? ____________ _
Bl Sólo el procedimiento. lPor qué? ___________ _
Cl Ambos. lPor qué? ________________ _
1 O. lPiensa usted que su método de evaluación permitía saber si sus alumnos realmente aprendieron?
SI lPORQUf? ____________ _
NO lPOROUÉ? ___________ _
178
Lo:, :,iguiente:, pregunto:, :,e refieren o lo :,ítuoción eictuol util1zondo
el sistema SAEA
11. lle alcanza el tiempo especificado en el programa para cubrir los temas?
SI NO 12. lHa tenido que dar clases extra?
SI I de horas (aprox.l por periodo parcial: ___ _ % (aprox.l de alumnos que asisten: _____ _
NO l J. lProporciona asesoría extra clase a sus alumnos?
SI % (aproxl de alumnos que asisten: _____ _ NO
14. Selecc1one cuál de las siguientes metodologias utiliza usted para la enseñanza Al Expositiva lPor qué? _______________ _
Bl Participativa lPor qué? ______________ _
C) Ambas. lPor qué? ________________ _
15. lCuál es su opinión respecto al grado de dificultad de los examenes SAEA?
16. Además de resolver e 1 examen en e 1 orden propuesto lConoce usted algunas otras alternativas que utilizan sus alumnos para contestar el examen?
SI POR EJEMPLO ___________ _
t~O
17. lConsidera ustede que las calificaciones del examen SAEA son representativas del aprendizaje de sus alumnos?
SI lPOR QUÉ?: ___________ _
NO lPOR QUÉ? ____________ _
179
18. lRetienen sus alumnos a largo plazo Cal final del semestre ó en los siguientes semestres) lo aprendido?
19. lOué nivel de comprensión <memorización, razonamiento, etc.) cree usted Que logran sus alumnos?
20. En slntesls, lcuál es su opinión del sistema de evaluación SAEA?
180
ANEXO B
Programa analítico del curso Matemáticas I para las Ciencias Sociales
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
DIYISION DE CIENCIAS Y ~IOADES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
PROGRM1A ANAi ITlfO Y Of\.lFTIVOS PARA El CURSO
MATEMATICAS PARA LAS CIENCIAS SOCIALES 1 (DACS, LSCA, llll, LLE, LCC, LCI, IAP, IAZ,LED)
MA-9O-011
1 81
DEPARTN'IENTO DE t1ATEt1ATICAS
Al alumno:
A continuación se presenta et programa anallttco y los objetivos del curso Ma-90-011, t1atemttllcas para las Ciencias Sociales 1, en el cual estas Inscrito.
El programa analltlco lista los temas de que consta el curso y la distribución de las sesiones de clase dedicadas a cada tema.
[s Importante hacer notar que los objetivos descritos representan el material mlnlmo que debes aprender en el transcurso del semestre y que éste constituye parte de las bases necesarias para tener éxito en tu carrera.
El procedimiento recomendado para lograr el aprendizaje de dicho material, consiste fundamentalmente, en atender las expltcaclones del maestro en el salón de clase, estudiar los temas recomendados por él y reallzar las tareas que te asigne. Todas las actividades anteriores debes complementarlas procurando la a-.Pc;orla dPI rroff!'c;or fuPr~ '1c-l c;;tlón '1P rl;tr.P , Pn la'l horas que ~I destine para eso.
f M"q 1
182
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROGRAMA ANALITICO PARA El CURSO
MATEMATICAS PARA LAS CIENCIAS SOCIALES 1 (DACS.LSCA,LRI ,LLE.LCC.IAP ,1 AZ,LED)
MA-90-011
TEXTO: ___ c...,a .... J.,.c-u1 ... o'""'c=o~o ... G....,e,...om.......,e..,t ... r ... 1a_A~n,..,a .... 1 .... 1t .. i~ca=---------AUTOR: __ _.D....,e~o=o~ts.......,.6..__Zl~I ... I, _____________ _ EDITORAL: __ G..._ru_o..,o .... E...,d ... t .... to .. c ... 1 .... a1._..11>e .......... r .... oam ..... f .. r .... 1-ca ___ "--____ _
Expllcac16n de las polltlcas del cuno (Sistema de Ensei'lanza-Aprendtzaje, Sistema de Evalu.a clón, Faltas, etc.)
UNIDAD 1
sesiones de CJase
NUl'1EROS REALES, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
Desigualdades y sus propiedades. Intervalos de números reales. Valor absoluto y sus propiedades.
UNIDAD 11 FUNCIONES
SU8JOJAL:
Definición, dominio.imagen y gráfica de funciones
_2 1/2 1 1/2
5
algebraicas. 4 Definición, dominio, imagen y grálica de la función valor absoluto, y de las lunr.iones trigonométricas seno y coseno. 2 Suma, diferencia, producto, cociente y composición de funciones. 2
5U8TOlAl : 8
183
UNIDAD 111 LIMITES
Definición de limll,e de Ul'la función. Teorema de unicidad de ltmlte. Teoremas sabre limites de funciones. limites unilaterales. Llm ttes al tnflnllo y limites Infinitos.
UNIDAD IV CONTINUIDAD
Continuidad de una función en un punto. Teoremas sobre continuidad de runclones.
UNIDAD Y LA DERIVADA
Definición de derivada y su Interpretación geométrica. Teorema sobre derivadas ele funciones. Regla de la Cadena. Derivadas de orden superior. Derivada de funciones impllcitas.
184
SUBJOJAI.:
SUBTOTAL:
SUBIOIAL:
Sesiones de ciase
1/2
' 1/2 1 2
6
1 1/2 1
2 t/2
1 1/2 2
1/2 1 1/2
6 1/2
UNIDAD VI APLICACIONES DE LA DERIVADA
Maxtmos y M1nlmos relativos y absolutos. Función creciente y decreciente. Concavidad y puntos de 1nflexl6n. Gráfica de una función.
UNIDAD VII
SUB TOTAL:
DIFERENCIALES Y ANTIDIFERENCIACION
El diferencial de una función y = f(x). Definición de la anUderlvada de una función. Fórmulas de anlldlferenctact6n. Aplicación de las fórmulas de antldlferenclaclón. Regla de la cadena para la antlderlvada.
SUB TOTAL:
UNIDAD VIII INTEGRAL DEFINIDA
Notación sigma y sus propiedades. Area bajo una curva mediante recUngulos. Definición y propiedades de la Integral definida. Teorema fundamental del Ctllculo. Integral definida de funciones algebraicas. Areas bajo una curva y airea entre curvas.
185
SUB TOTAL :
TO í A 1
Sesiones de ciase
6
1/2 1/2 1/2 1/2
1/2
1/2 1/2
3 1/2
1 2
1/? l /2
1/2
6 1/2
BIBLIOGRAFIA
1. The Brlef Calculus. James E. Shocley. Holt Rlnehart and Wlnston, lnc.
2. Matematlcas Universitarias. Brltton, Ben Krelgl\ and Rutlaxd. C.E.C.S.A.
3. Calculus. Frank Ayres Jr. t1c.6raw-Hll1 Company, Serle Schaum·s.
4. caIculo. Alvaro Pinzón. Harper and Row.
5. El catculo con Geometrla Anallttca. louls Letthold. Harla.
6. Matem:itlcas para Administración y Economla. Jean E. Weber Harla.
7. Matem,Hlcas para Admlnlstracl6n y Economla. Haeussler y Paul. brupo 1:.<11torial lberoamér1ca.
186
PR06RAMA ANALITICO DE: Ma-90-0J J Matemáticas para Jas CJencJas socJaJes 1
HORAS DE CLASE J DE LABORATORIO O UNIDADES___Jl__ REQUISITOS ACAOEMICOS: Matemáttcas Remediales para las
CJenclas sociales GENERACIONES" LAS QUE SE IMPARTE: lo, Sem. de las carreras de DACS, LSCA, LRI, LLE LCC LCI, LEO Y 20. de IAP, IAZ,
l. OBJETIVOS GENERALES.
Proporcionar al alumno las herramientas matemáticas para el antlllsls del comportamiento de una runclón de.una variable Independiente. utilizando el Calculo Otrérenclal, e introduclrlo al ·estudio del Cálculo Integral.
11. OBJETIVOS ESPECIFICOS DE APRENDIZAJE.
UNIDAD 1 NUMEROS REALES, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
l. Definir deslgualdad. l. l. Establecer la definición de:
1. I .> Intervalo abierto. 1.2.l Intervalo cerrado. 1.3.) Intervalo semlablerto. 1 .4J Intervalo Infinito.
2. Reconocer la notación ullllzada en la representación de ,.,,; slgult>ntt>s tipos de Intervalos:
2.1. Abierto. 2.2. Cerrado. 2. J. Sem !abierto. 24 lnílnlto.
3.- Reconocer las propiedades de las desigualdades.
4 - Resolver desigualdades. a) lineales b) Cuadráticas: 1) factorizab!~s directamente, 11)
Factorizables usando la fórmula general cuadrática, iil) No ractorlzables en los reales.
187
5. Definir valor absoluto. 5. 1.- Reconocer las propiedades del valor absoluto. 5.2.- Resolver problemas que Involucren valor absoluto de
funciones algebraicas que contengan a lo más, el valor absoluto en un sólo miembro, con expresiones lineales.
UNIDAD 11 FUNCIONES
1. 1.- Definir los siguientes conceptos: l. l. 1.- Func Ión. 1.1 .2.- Domtnto de una función. 1. 1 .3. - Imagen de una función. 1.1.4.- Gr.Ulca de una función.
1.2.- Determinar si una expresión matemática es función o no.
1.3.- Definir y obtener el dominio, Imagen y gráfica de funciones:
· a) Pollnomtales. (constante, Identidad, linea!, cuadrática - simple, cuadráticas de la forma y e ax2 • C y y = (ax • c)2 y cúbicas).
b) Seccionadas. (Considerando en las secciones exclusivamente expresiones del tipo pollnomlal).
c) Racionales. Tales como:
ax • b r<x> = f(x) ----
ax• b ex• d
r<x> x1
d) Algebraicas en general. Considere algunas como tas siguientes:
. - -··· -- -----· .. r<xl = .¡ x7 • 32 r<x) -1 a2 - xZ
188
r<•> • - I x2 - a2 r<x> - .¡ a2 - x2
r<>c) ./ ax• b r<,c) - ./ ax• b
r<x> "' l.f x2
2. - Definir la funcl6n valor absoluto y obtener su dorntnto, Imagen y gráfica constderando funciones valor absoluto de expresiones ltneales (ax • b) y cuadráticas del l lpo <x2 ! a2). Además, manejar funciones que tmpltcan las expresiones c ! m (x) y c m <•>. en donde c es una constante y m <•> es una función valor absoluto de los tipos mencionados.
3.- Definir y obtener el dominio, Imagen y grárlca de tas funciones trigonométricas seno y coseno.
4.1.- Evaluar una runcl6n dada en un punto. 4.2. - Dada una función, evaluar ésta cuando se sustituye la
variable Independiente por una nueva función.
S. l.- Definir la suma, diferencia, producto y división de funciones.
5.2.- Obtener las funciones suma. diferencia, producto y cociente de funciones pollnomlales, racionales y algebraicas en general y establecer sus correspondientes dominios.
(,_l. ·· Definir función lUIIIPUt!Slci ('-um¡,osiLión de íunc iones). 6.2.- Dadas dos funciones, obtener la expresión de la función
compuesta.
7.- Dada la función y = r<x>, obtener el dominio, imagen y gráfica de funciones: r<ax), í(x • a), ar<x> y rcx) • a.
UNIDAD 111 ! IMITES
1.- Establecer la definición Intuitiva del limite de una func Ión r de variable real en un punto.
189
2.- Enunciar t'I teorema sobre unicidad de llmlte y obtener ltmttes unllaterales.
J. - Enunciar los teoremas sobre: a) Limite de una runclón constante. b) limite de una runclon llneal. e> Limite de la suma de runclones. d) Limite de un producto de funciones. e) Limite de un cociente de funciones. f) Limite de una runcl6n elevada a un exponente. (entero o
fraccionarlo). g) limite de una runcl6n pollnomlal.
4. - Aplicar en la resolucl6n de problemas, los teoremas sobre limites de funciones.
5. - Lim I tes lnrtnl tos. 5.1.- Establecer y aplicar la definición Intuitiva de limites
Infinitos. 5.2. - Determinar las aslntotas verticales de un curva
6.- limites al Infinito. 6.1.- Establecer y aplicar la deflnlcl6n Intuitiva de llm ltes al
Infinito. 6.2. - Determinar las aslntotas horizontales de una curva.
UNIDAD IV CONIINUIDAD
1.- Definir continuidad de una runclón en un punto. 1. 1. - Determinar si una runcl6n es continua o no en un punto.
'J . Dad;; una función r<xl, obtener los valores de x para los c11.ilc'.; f(x) es continua o discontinua.
J ~mmciar y apllcar los siguientes teoremas sobre conllnuidad en un punto. a) Oc una suma o diferencia de funciones. b) Oe un producto de dos runc Iones. c) Del cociente de dos funciones. d) De una funcl6n pollnomlal.
190
4.- Definir discontinuidad removlble (evitable) y esencial (finita o Infinita).
4.1.- Determinar si la discontinuidad de una función es removlble (evitable) o esencial; si es removible (evitable), reconocer la condición que elimina esta dlscont lnuldad.
UNIDAD V LA DERIVADA
1.- Definir la derivada de una función. l. l.- Establecer la Interpretación geométrica de la derivada de
una runc Ión. 1.2.- Obtener la derivada de una función a partir de la
definición de derivada.
2. - Enunciar y aplicar los teoremas sobre derivada:; de: a) La función constante. b) La función xn. en donde n es un número racional en
general. c) Una constante por una runc Ión. d) Una suma y dHerencla de funciones. e) La función lineal. r> Un producto de runclones. g) Un cociente de funciones. h) Las funciones trigonométricas sen x y cos x.
2. 1.- Demostrar los siguientes teoremas de runr.iones algebraicas: (objetivo de AUTOESTUDIO Incluyendo del 2. l. 1 al 2. 1.J).
2. 1. 1. - Derivada de una runc Ión constante. 2.1.2.- Derivada de una función lineal. 7.1.3. - Derivada de una suma algebraica de runclones.
2. 2. - Resolver problema'i uti I itancfo los teoremas sobre derivadas del objetivo 2.
3.- Obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva en un punto.
1 91
4.- Enunciar y aplicar et teorema de la regla de la cadena. (Caso especial: Regla de potencia de una función con exponentes racionales en general).
S. - Obtener derivadas de orden superior.
6.- Definir función lmpllclta. 6 . 1.- Obtener la derivada de funciones Implícitas.
UNIDAD VI APLICACIONES DE LA DERIVADA
1. Definir los siguientes conceptos: a) Valores m:.Xlmo y mlnlmo de una runcl6n. t,) Valores extremos relativos de una función. c) Valores m~xlmo y mlnlmo absoluto de una función. d) Valores extremos absolutos de una función. e) Punto critico de una función.
2. Enunciar y aplicar el teorema referente a la existencia de valores extremos absolutos de funciones continuas en Intervalos cerrados.
J . Enunciar y aplicar el teorema que establece que todo número donde ocurre un extremo relativo de una función es un número critico.
4.- Establecer la definición de función creciente y decreciente.
4. 1. - Enunciar y aplicar el teorema sobre derivadas, que da las condiciones para que una función sea creciente o decreciente.
5. Establecer y aplicar el criterio de la primera dr.rivada para dcterm lnar los extremos rclatlvos de una runc Ión.
6.- Definir concavidad hacia arriba o hacia abajo, en un punto de una función.
6. 1. Ulili1ar la segunda derivada para determinar el :.cntldo de la concavidad de una curva en un punto.
6 2. - lJtilil?.ndo la segunda derivada determinar los intervalo :. en donde una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
192
- .
7.- Oertnlr punto de lnflexl6n de una runcl6n. 7.1.- Utilizar la segunda derivada en la determinación de tos
puntos de lnflexl6n de una runcl6R.
8.- Enunciar y aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar los extremos relativos de tangencia horizontal de una función. <En los puntos criltcos de tangencia vertical recurrir al criterio de la primera derivada.)
9. - Analizando las Intercepciones, el dominio y la Imagen, extensión, aslntotas, y haciendo uso de las primera y la segunda derivadas, bosquejar la gráfica de una función algebraica (polinomiales, racionales, etc.).
UNIDA[) VI 1 DIFERENCIALES Y ANTIDIFERENCIACION
1.- Definir e Interpretar geométricamente el diferencial de una runcl6n y = r<x>.
2. - Establecer la deftntct6n de anttderlvada de una función.
J. l.- Enunciar y aplicar las siguientes fórmulas de antldtferenciactón de funciones algebraicas:
a) f dx = x • c
b) f xn dx = n I t
• c, para n ,, - 1.
c) f af(x)d11 = a f Hx)dx, donde a es una constante.
d) f (r(x) • g(x)) dx ~ f r(x)dx • f g(xldx
1 (f(x) - g(x)) dx" f f(x)dx - f g(x)dx
4.1 fnunciar y aplicar el teorema de la regla de la cadena para la anl idiferenciación de una función.
193
UNIDAD VIII INTEGRAL DEFINIDA
1.1.- Reconocer el signtrlcado de la notación sigma. 1.2.- Utilizar las siguientes propiedades y f6rmulas de la
notación en la resolución de problemas.
n Propiedad 1: I e = en, donde e es una constante.
1~1
n n Propiedad 2: I cf(I) = e
1=1 I f(I), donde e es una jz I constante.
n n n Propiedad J: I (f(I) • G(I)) = I f (1) • I G (1)
1=1 1=1 1=1
n fórmula 1: I
1=1 ,n <n • J >
2
n Fórmula 2: I 12
1~1 n <n • 1 > < 2n • 1 >
6
n n2 (n • 1 )2
Fórmula 3: I ¡J ~ _______ _
l=I 4
n n < n • 1 l < 6nJ • 9n2 • n - 1) Fórmula 4: I i., • - - --- ----------
l·i JO
2.- Obtener el área bajo una curva usando rectángulos lnscr i tos o c lrcunscr ltos.
J 1 · Oer inir la integral der in Ida.
194
l .2. - Reconocer las siguientes propiedades de la Integral dertnlda.
a J.2.1.- f nx> dx = o
a
b a l .2.2.- J Hx> dx = J nx> dx
a b
b b l .2.l.- I e r<x> dx = e f r<x> dx. donde e es una constante.
a a
e b b J .2.4.- l ((x) dx + I r<x> dx = J fCx) dx, cuando a< ce b.
a c a
4.1.- Establecer el teorema fundamental del cálculo. 4.2.- Utilizar el teorema rundamenlal del cálculo en la
resolución de problemas.
5.- Obtener la integral definida de funciones algebraicas.
6. - Obtener el área bajo una curva y el árta entre curvas usando la integral definida.
195
ANEXOC
Encuesta aplicada a los alumnos para conocer sus características académicas
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SL'PEHIORES DE W.ONTERRE'i
CA!f.PUS TAMPICO
Profr. Ing, Norma Cervantes.
NOMBRE DEL ALUMNO1
PARTE I. INFORMACION ACADEMICA DEL ALUMNO,
Contesta las siguientes preguntas,
l.- Preparatoria de Procedencias
15 - Enero - 91
MATRICULA:
2,- ¿Estudiaste Cálculo en la Preparatoria?, F.n caso afirmativo,
¿Cuántos semestres? En caso negativo, LQJ.é estudiaste en tu
Último curso de Matemáticas de Preparatoria?
3.- ¿Presentaste el exa:nen de Algebra al ingresar al ITESM?
¿Lo aprobaste? En caso negativo, . ¿Lleva!:te el curso de Matemá
ticas remediales para las Ciencias Socüales?
4,- ¿Es la primera vez que llevas Matemáticas I para las Ciencias
Sociales?, en ca!!O negativo, ¿Cuántas veces has llevado este
curso?
196
ANEXO D
Examen exploratorio
PARTE II. HABILIDADES ~iATErrlATICAS BASICAS,
1.- Indica si la proposici6n x € A, donde x = O y
A.= { x 1 x es mayor que 2 y menor que 4} es verdadera o falsa.
2,- Si A =l-2, -1, O, 1, 2} y B = {o, 2, 4, 6, 8}
Encuentra AU B y A() B
2 2 3 .. - Efectuar la siguiente operaci6ns (3x - 5x + 2} - (7x + x - 3)
4.- Efectuar la siguiente operaci6n, escribien~o el resu..latdo en la
forma más eimples 3 2
(x + 3x - x + 3) 2
(2x + X - 2}
5,- Desarrollar (4x - 2>2
6.- Desarrollar (4x - 2)3
7.- Encontrar el siguiente productos (y - 3}(y + 3)
8 .- Facto rizar: 3x3 - 9x2
- 6x
9.- F . 2 acton&ar x - Bx - 20
10.- Pactonzar1 X 2
- 9
11.- P'actorizar: 3 - 27 X
12º- Efectuar la siguiente operaci6n: 3 2 2 3 2 2
6x y - 9X y + 12x y 2 2
.3x y
13.- Efectuar la siguiente operaci6n y reducir a su mínima expre-
si6n: 2x - l
2 + X
X X - l
197
14.- Simplificar la siguiente fracci6n compleja:
1
1/2 15 .- Calcular 9
X - --X
16.- Efectuar la siguiente operaci6n:
(x411Hx3)
18.- Efec41uar1 x2 x4
19.- Resolver la siguiente ecuación: 3x -12 = 5
20.- Resolver la siguiente ecuacicSn: 2x2
+ 5x + 2 = O
198
ANEXO E
Objetivos específicos de aprendizaje cubiertos en cada período parcial en el grupo experimental
!NST!TUTO TEC~JOLOGICO y DE E~TUDIOS SUPER!ORE$ DE r··;o:-nERRE~· CAMPUS lAMPICO
OBJEllVOS ESPECIFICOS PRIMER PERIODO MA-911 GR UPO: EXP ER IMENTAl
UNIDAD 1 NUMEROS REALES, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUlO
1. Definir desiguoldod. 1.1. Establocer la definición de
1. 1.) 1 ntervr,lo abierto. 1.2.) lnt&rvalo cerrado. 1.3.) Intervalo semiabierto 1.4.) lntervolo infinito.
2. Reconocer la notación ut111,ooa en la representoc1on ae ios s1ou;emes tipos oo interviilos:
2. 1. Abierto. 22. cerraoo. 2.3. Sem1abierto. 2 4. lnf1n1to
3. - ReconOC(jr las propiedí,:l,r,; d9 la-,; desigualdMes.
4. - Resolver des"igualdades a) Lineales D) cuaarat1cas: 1) Factor1zao1es otrectamente , 11) Fac1or1zao1es usanjJ la rormula
general cuadráticas, iii) No faclorizables en los reales. e) Con cociente en un solo miembro, sienoo el numeraxir y el denominador
expresiones lineales.
5. Definir valor absoluto. 5. 1. - Reconocer las propiedades del valor absoluto. 5.2.- Resolver problemas que involucren valor absoluto de funciones ali;,2bra1cas que
conten9an a lo m6s, el valor absoluto en uri sólo miembro, con expresiones 11neales
199
INSTITUTO TECNOLOOICO Y DE ESTUDIOS SUPERIOAES DE MONTERREY CAMPUS TAMPICO
OBJETIVOSESPECIFICOSSEGUNDOPERIOOOMA-911 GRUPO: EXPERIMENTAL
UNIDAD 11 FUNCIONES
1.1.-1.1.1.-1.1.2.-1.1.3. -1.1.4.-
1.2.-
1.3-
Definir los siguientes oonreptos Función Dominio de una función 1 m!IJen de une función Gráfica de una función.
Delerminor si una expresión melemé\ica es función o no. ~ .
Definir y obtener el oominlo, imEgen y gréflce de fuoclones: e) Polinomiales. (ronstante, t~tidoo, lineal, CUcáática simple, cua:hticas de la
forna y= ex2 + e y y + (ax + e )2 y cúbicas). b) Sec:cionm. (Conslderanoo en 1115 soo:iones exclusivamente expresiones del tipo
polinomial). e) R~ionales. Tales como:
f(x) = _1_ 8X + b
f(x)=~ X
f(x)= ..a!..!....b. ex• d
d) Aloebralcas en oeneral. Consloore algunes como les siguientes:
f( x) = ./ x2 + a2 f( x) = ./,; -x2
f( x) = - .fx2 - e? f(x) = - ./ a2-x2
f( X) = ./ a,. + b f(x) = - ./ ex• b
f( X)= 3./ X f(x) = 3./ -;i-
2. - Definir la función valor absoluto y obtener su oomlnio, im¡g¡o y gr6f1ca considerando funciones valor absoluto de expreslcnes llneeles (ax• b) y cuadr6ticas del tipo (x2 ± e2). Además, manejer funciones que implican las expresiones C.!.m (x) y cm (x), en oonoa e es una ronst&ite y m (x) es una función valor ebsoluto de los tipos mencionlldJs.
3. - Definir y obtener el oominlo, im1rJ811 y (}"áflca de las fuoclones tril1)000letricas seno y conseno.
4. 1. - Evaluc,r uno función~ en un punto. 4.2.- Dade uM función, evaluer éste cuanoo se sustituye la verieble independiente por une
nueve función.
S. 1. - Definir la suma, diferencia, prcducto y división de funciones.
200
5.2.- Obtener las funcionas sume, diferencie, prooucto y cociente de funciones polinomiales ra:lonales v aloobraicas en ooneral y establecer sus rorresoondientes oomlnlos
6. 1. - Definir función compuesl11 ( composición de funciones). 6.2. - Dm oos funciones, obtener 111 expresión Ó3 la función computesta.
7. - DMI la función y=f( x), obtener el minio, lmtq311 y gréflca de funciones: f(IIX). f(x • 11), 11f(x) y f(x) • a.
UNIDAD 111 LIMITES
1.- Estoblec:er le ooflniclón intuitivo mil limite oo une función f oo vcrloble rael en un punto.
'l.- Enunch,r el tooreme sobre unlcl~ di3 limite y cbtaner limites unlleterales.
3. - Enunclcr los looremes sobre: a) L Imite di3 una función constante. D) Limite li3 una func1on 11nei,1. c) L Imite di3 le sume de funcionas. e) Limite de un cociente li3 funciones. f) Llm lle de une función eleveól II un exponenele. ( entero o frflX:101'161'1o). g) Limite di3 une función poltnomlnel.
'l. - Apllcm- en lo resolución re problemes, los teoremes sobre limites de funciones.
201
INSTITUTO TEWOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUC:HdOD.ES DE MONTED.DEY
CAMPUS TAl1PICO OBclETIVOS ESPECIFICOS MA-011 32 PERIODO GRUPO: EXPER !MENTAL
5. - L Imites 1nf1n1tos 5. 1. - Esteblecer y oplicar la definición intuitiva de límites infinitos. 5.2.- Determinar les estntotes verticales de una curva.
6. - Límites al infinito. 6. 1. - Establecer y aplicar la definición intuitiva de limites al infinito. 6.2.- Determinar las asíntotas horizontales de una curva.
UNIDAD IV CONTINUIDAD
1. - Definir continuidad de una función en un punto. 1. 1.- Determinar si una función es continua o no en un punto.
2.- Dim uno función f(x), obtener los valores de x para los cuales f(x) es continua o discontinua.
3. - Enuncior y ap 1 icor los siguientes teoremas sobre continuidod en un punto. 3. 1. - De una suma o diferencia de funciones. 3.2. - De un prooucto de oos funciones. 3.3. - Del cociente de oos funciones 3. 4. - De una función polinomial
4. - Definir discontinuidad removib le (evitable) y esencial ( finita o infinita). 4. 1. - Determ1nar s1 la d1scont1nu1dad re una función es removible ( evttable) o esenc1al; si es
removible (evitable), reconocer la condición que elimina esta discontinuidoo.
1. - Definir la derivada re una función.
UNIDAD V LA DERIVADA
1.1.- Establecer la interpretación geométrica de la derivooa re una función. 1.2.- Obtener la derivooa re una función a partir re la definición re derivooa.
2. - Enunciar y aplicar los teoremas sobre derivadas de: e) La función constante. b) La función xn, en donre n es un número racional en ~neral. c) Una constante por una función. d) Une sumo y diferencia de funciones. e) La función lineal f) Un prooucto de funciones. g) Un cociente de funciones. h Las funciones tri93nómetricas sen x y cos x.
2.1.- Demostrar los siguientes teoremas de funciones alqabraicas: (objetivo oo AUTOESTUDIO incluyendo del 2.11 al 2.1 3)
2. 1. 1. - Derivede re una función constante. 2. 1.2. - Derivooa re una función lineal. 2. 1.3. - Derivooa de una suma al~braica de funciones.
2.2.- Resolver problemas utilizando los teoremas sobre deriva:las del objetivo 2.
202
3. - Obtener les ecuaciones de le recte tangente y normal e la curve en un punto.
4. - Enunciar y aplicar el teorema de la regla de la cooena. ( caso especial: Regla de potencie de una función con exponentes racioneles en general).
5. - Obtener derivlldas de orden superior.
6. - Definir función lmplfclta. 6.1.- Obtener la derivada de funciones implicilas.
203
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPEP.IORES DE MONTERREY CAMPUS TAMPICO
OBJETIVOSESPECIFICOSULTIMOPERIODOMA-911 GRUPO: EXPERIMENTAL
UNIDAD VI APLICACIONES DE LA DERIVADA
1. - Definir los siguientes conceptos a) Volores máximo y mínimo de uno función b) Valores extremos relativos de una función c) Valores máximo y mínimo absoluto de una función d) Volores extremos absolutos de una función. e) Punto crítico de una función.
2.- Enunciar y aplicar el taorema referente a la existencia de valores extremos absolutos de funciones continuas en intervalos cerrao:is
3.- Enunciar y aplicar·el teorema que establece que todo número ronde ocurre un extremo reletivo de una función es un número critico.
4.- Extablecer la definición de función creciente y decreciente 4. 1.- Enunciar y aplicar el teorema sobre derivadas, que da las condiciones para que una
función sea creciente o oocreciente.
5.- Establecer y aplicar el criterio de la primera derivida paro determinar ios extremos relativos de una función.
6. - Definir concavidad hacio arriba o hacia abejo, en un punto de uno función. 6. 1.- Utilizar la segunda derivada para determinar el sentioo de la concavidl:(l de una curva en
un punto. 6.2.- Utilizanoo la segunda derivada determinar los intervalos en oonde una función es cóncava
ha::ia arriba o hacia abajo.
7.- Definir punto de inílexión de una función. 7.1.- Ut111zar la s-eounda derivada en la liltermlnaclón de los puntos de lnnex1ón de una
función.
8. - Enunciar y aplicar el cr1\erio de la segunda derivada para determinar los extremos relativos de tangencia horizontal de una función. ( En los puntos critiCllS de tangencia vertical recurrir al criterio de la primera derivada)
9.- Analizando las intercepciones, el dominio y la ima,;en, extensión, asíntotas, y hacienoo uso de las primeras y la seounda derivadaS, bosi:¡ueJar la oráfica de una función olgebroica ( polinomioles, racionales, etc)
UNIDAD VII DIFERENCIALES Y ANTIDIFERENCIACION
1. - Definir e interpretar geométricamente el diferencial de una función y=f( x)
2. - Establecer la defin lclón de antililrlvada lil una función.
3.1.- Enunciar y aplicar las siguientes fórmulas de antidiferenciac1ón de funciones all}:!Dr alcas:
204
al J dx = x + e
xn+ 1 b) J xn dx = __ +e, paran"' - l.
n + 1
e) J af( x)dx = a J f( x)dx, OJnde a es una constante.
d) f (f(x) + g(x)) dx "J f(x) dx + f g(x)dx
f (f(x) - g(x)) dx = J f(x) dx - J g(x)dx
4. 1. - Enunciar y ap11car el teorema de la r8ijla ele la ca:ena para la antiellferencla::ión ele una función.
5. 1.- Enunciar y aplicar el metro> ele 1ntegrac10n por partes para resolver Integrales lnd8flnld.,s.
UNIDAD VIII INTEGRAL DEFINIDA
1 . t . - Reconocer el significai:l de la notición sigma. 1.2. - Utilizar las siguientes propiedlldes de fórmulas de le notición en la resolución de
problemas. n
PropiedOO 1: r e= en, oonde e es una constante. 1=1
n n PropiedOO 2: r cF( 1 )=e
i=i r F( 1), oonde e es uno
i=i constante.
n n n Propieded3: f(F(l)+G(I))- H(I) + rG(I)
l=i 1=1 l=f
n Fórmula 1: r
i=i
n Fórmule 2: r i2 = n ( n + 1) ( 2n + 1)
i=i 6
n n2 (n+t>2 Fórmule 3: r i3 •
i=i 4
n n ( n + 1 ) ( 6n3 + 9n2 + n - 1 ) Fórmula 4: r i4 =
l=I 30
2.- Obetener el 6rea baJo una curva usan()) rectánoulos 1nscr1tos o c1ncunscr1tos.
205
3. 1. - Definir la integral definida. 3.2. - Reconocer las siguientes propied003s de la integral !llfinida.
a 3.2.1. J f(x)dX=O
" b e
32.2.-J f(x)dx: - J f( x') dx b e
b 3.2.3. - J
ll
c 3.2.4.- f
e
b c f( x) dx = e f f( x) dx, ronde c es une constante.
a
b b f(x) dx + f f(x) dx = J f(x) dx, cuando e< e< b.
e a
4. 1. Estab1EC8r el teorema fundamenta 031 cálculo. 4.2. - Utilizar el teorema fundamental del cillculo en la resoluc1On ae problemas.
S. - Obtener la integral 03finida de funciones algebraicas.
6. - Obtener el área bajo una curve y el área entre curves usando la integro! deiinioa.
206
ANEXO F
Objetivos específicos de aprendizaje cubiertos en cada período parcial en el grupo control
INSTl1 UTO TE C:NOLOGICO \' DE ESTUDIOS sur•ERIORE S DE MOl~TERKE Y CAMPUS TAMP1C(1
ODJE11V05 E.SPECIF ICOS PRIMER PERIOOO MA-O11 GRUPO: CONTROL
UNIDAD 1 NUMEROS REALES, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
1. Definir reslgualcbt 1. 1. Establecer la definición de:
1.1.) Intervalo abierto. 1.2.) Intervalo c:erraoo. 13) Intervalo semiabierto. 1.4.) Intervalo infinito.
2 Reconocer la no\oción utilizada en la representación de los siguientes tipos de intervalos:
2.1. Abierto. 22. Cerraoo. 2.3. Semiabierto. 2.4. Infinito.
3. - Rocxmocer las propiedades de les resigualdéó!s. 4. - Resolver resioualda'.les
i,)Lineoles b) Cuedráticas: i) Fa:torizables directamente, ii) Fa:lorizables usanoo le fórmula
general cucdr&tlcas, 111) No factorlzables en los reales. e) Con cociante en un solo miembro, sienó:I el numeraoor y el danom inaoor
expresiones lineales.
5. Definir valor absoluto. 5. 1. - Reconocer las propl~ del velor absoluto. 5.2. - Resolver problemes que involucren valor ebsoluto de funciones algebraicas que
contengan a lo más, el valor absoluto en un sólo miembro, con expresiones lineales
UNIDAD 11 FUNCIONES
1. 1. - Definir los siguientes conceptos: l. 1. 1.- Función. 1. 1.2. - Dominio de una función . 1. 1.3. - lmc.;¡en de uno función. 1.1.4.- Gráfica de una función.
1.2.- Determinar si una expresión matemática es función o no. 1.3. - Definir y obtener el ó:lminio, Imagen y gráfica oo funciones:
o) Polinomioles. ( constonte, it'entidad lineo!, cuodrétice simple, ~réticas de la forma y= ax2 • e y y = ( ax + c)2 y cúbicas).
b) Se1ecc1onadas. ( Cons1derarm en les 51:ttiones exclus1vamente expresiones del tipo polinomiol)
e) R~ionales. Tales como
f( x) = ax• b
8X + b f(x)= ___ _
Cl(. d
207
1 f(x) = __
x2
d) Algebraica;; en general. Cons1oere algun,E wmo laS ; 1gu;en(.,.;,.
f(x) = /;2:-1J2 f( X)= /42-~,2
f(x)•-/x2-a2 f(x) • -~
f(x)•-~ f(x) • -~
f(x) = t'x; f(x) = -~
208
INSTITUTO TECNOLOOICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS TAMPICO
OOJETIVOSESPECIFICOSSEGUNDOPERIOOOMA-911 GRUPO: CONTROL
1.3- Definir y obtener el cklm1nto , tmegen y gréf1ce de funciones: e) Po11norn1ales. (constnnte, ·1di3nt1drll, 111'18111, CU8Ó"'ética simple, CUld"éticas de le
fome y= ex2 + e y y+ (ex+ e )2 y cúbicas). b) Seccionedas. ( Considerenoo en les seccionas sxclus1v111T1ente expresiones del ttpo
poltnomial ). e) Recionales. Tales como:
f(x)= _L_ ex+ b
í( x) = 1 7
f(x)=~ O(+ d
d) Algebrelcas en (J308ro1. C.OOsldere algunas romo las siguientes:
f(x) = I x2 + a2
f(x) = - ./ x2- a2
f( x) = ./ ex + b
f(X) = 3./ X
f(x) = I a2 -x2
f(x) = - ./,? -x2
f(x) = - ./ ox+ b
f(x) = 3./ -;r-2. - Definir le función valor absoluto y obtener su oornlnlo, tm(Q:ln y gréf1ce
oonsiderenoo funQ1ones valor ebsoluto de expresiones linee les ( ex + b) y cusr6t1C8S del tipo (x2 t e2) Ademés, meneJar funciones Que 1mpl1can les expresiones C.!.m(x) y cm(,c), en oonde e es une a,nstonte y m(,c) es unafunc1ón velor absoluto de los tipos mencioneibs.
3. - Definir y Obtener el oominio, imegen y gréfic:e de las funciones trl~etricos seno y oonseno.
4. t .- Evaluar une función dada en un punto. 4.2.- Dada una función, evaluar éste cuanoo se sustituye la variable Independiente por una
nueve función.
5. 1. - Definir le sume, diferencie, prClkJC:to y dtvtslón de funciones. 5.2. - Obtener las funciones sume, diferencie, prooucto y ox:iente de funciones poltnomieles
racioneles y elgebreicas en genere! y establea!!" sus correspondientes oominios.
6.1.- Definir función rompuesta (CXJmpos1ción de funciones) . 6.2. - Dr:áls oos funciones, Obtener la e,cpresión de 111 funciérl computesta.
7.- Dtm le función y=f(,c), obtener el oominio, tmegen y gráfica de func1ooes: f(ex), f(x + 11),11f(,c)yf(x) + e.
209
UNIDAD 111 LIMITES
1.- Esteblocer le definición intuitiva ool limite de une función f oo vorioble reel en un punto.
2. - Enunciar el tooremo sobre unlc1da:I oo limite y obtener limites unlloteroles.
3. - Enunclor los tooremas sobre: 11) Um ite oo u1111 función constente. b) L ímlte oo um1 funclon lineal. e) L Imite de la sume oo funciones. e) Limite de un cociente de funciones. O Limite de una función elevo e un exponenete. ( entero o frettlONrlo). g) Llm1\e oo une función pol1nomln11l.
4. - Aplicar en le resolución de problemas . los tooremas sobre 11m1tes de fuocicries.
5. - Limites infinitos. 5. 1. - Estoblocer y epllcor le definición 1ntult1ve d8 limites Infinitos. 5.2.- Determlnor las eslntotas verticales oo uno curvo.
6. - Llm1\es ol Infinito. 6. 1.- Esteble::er y ap11CIW" la definición lntu1\1ve da llmltes el Infinito. 6.2. - Determinar las aslntotes horizontales oo une curve.
UNIDA IV CXMINUIDAD
1.- Definir contlnui~ de une función en un punto. 1. 1. - ootermlner si une función es continuo o no en un punto. 2.- Do u1111 función f(x),obtener los valores d8x para los cuales f(x) es continua
o dlsrontinue.
3.- Enuncler y apl1cer los sl~lentes teoremes sobre continuidad en un punto. e) De une sume o diferencio oo funciones. b) De un producto oo dos funciones .
.e) Del coclnete de dos funciones. d) De uno funclOn pollnomlel
210
INSTITUTO T[(;l~OLOGI CO Y DE ESTUDIOS su,rn10PES DE MOt,nrnt:.E\
CAMPIJ.$ lA11PICO OBJEllVOS ESPECIFICOS 11A-OI 1 32 PERIODO · GRUPO: CONTROL
4. - Definir discontinuid!ld removible ( evitoble) y esenciol ( finito o infinito). 4.1.- Determinar si la discontinuidad de una función es removible (evitable) o esencial; si es
removible (evitable), reconocer la condición que elimina esta cliscontinuida:l.
1. - Definir la derivada de una función.
UNIDAD V LA DERIVADA
1.1 .- Estoblecer le interpretoción geométri~ de lo derivlX!o de uno función. 1.2. - Obtener la derivada ele una función a partir de la definición de derivada.
2. - Enunciar y aplicar los teoremas sobre derivadas de: a) La función constante. b) Lo función xn, en oonde n es un número rc,cionel en generl!l. e) Una constante por una función. d) Una suma y diferencia de funciones . e) La función lineol O Un producto de funciones. g) Un cociente de funciones. h Las funciones trigonómetricas sen x y cos x.
2.1.- Demostrar los siguientes teoremas de funciones algebraicas: ( objetivo re AUlOESlUDIO incluyendo del 2. 11 al 2 1.3 ).
2. 1. 1. - Derivada de una función constante. 2. 1.2. - Derivado de uno función lineal. 2. ! .3. - Derivocla oo una suma algebraica de funciones.
2.2.- Resolver problemas utilizando los teoremas sobre derivadas del objetivo 2.
3. - Obtener las ecuoc1ones de la recta tangente y normal a la curva en un punto.
4. - Enunciar y aplicar el teorema de la regla de la ca:iena. ( caso especial : Regie de potencia de une función con exponentes recionales en general).
5. - Obtener derivadas de orden superior
6. - Definir función impliclla 6.1 .- Obtener lo derivada de funciones implícitas
UNIDAD VI APLICACIONES DE LA DERIVADA
1. - Definir los siguientes conceptos a) Valores máximo y mínimo de una función . b) Valores extremos relativos de una función. e) Vi,lores mtiximo y mínimo ebsoluto óe una función . d) Valores extremos absolutos de una función . e) Punto crit1co de una función .
2.- Enunciar y aplicar el teorema referente a la existencia de valores extremos absolutos de funciones continuas en 1ntf1'valos ce.rr~
211
3. - Enunciar y aplicar el teorema que establece que tcd'.l número donde ocurre un extremo relativo de uno función es un número critico.
4. - Establecer la def1n1c10n de func10n crec1ente y decreciente 4. 1. - Enuncior y aplicar el teoremo sobre derivodas, que do les condiciones paro que una función
sea creciente o decreciente.
5.- EstablEK:er y aplicar el criterio de le primera derivada para determinar los extremos relativos de una función.
6. - Definir concavidad hocia arriba o h~la abajo, en un punto de una función . 6. 1. - Ut111zar la segunoa der1v~ para determinar el senlloo oe la concavtCIOO oo una curva en
un punto. 6.2. - Utlli2anoo la segunda derivaóa determinar los intervalos en donde una función es cóncava
hoc1a arr1ba o hoc1a abajo.
7. - Definir punto de inflexión de una función. 7.1.- Utilizor la segunda derivi,ja en la determinoción de los puntos de uno función .
8. - Enunc1ar y aplicar el criterio de la se;¡unda derivcm para determinar los extremos relotivos de tongencia horizontal de uno función . ( En los puntos críticos de tongencio vertical recurir al criterio de la primera derivada)
9.- Analizando las intercepciones, el oominioy la imagen, extensión, asíntotas, y hacienoo uso de las primera y la segunda derivadas , bosquejar la gráfica de una función algebraica ( polinomioles, rocionales, etc)
UNIDAD VII DIFERNCIALES Y ANTIDIFERENCIACION
1. - Definir e interpretar geométricamente el óiferncial de una funcion y = f( x ).
2. - Establecer la definición de antiderivaóa de una función.
212
INSTITUTO TECNOLOOICO Y DE ESTUDIOS SUí'H(I ORES DE MONTER~EY CAMPUS iAMPICO
OBJETIVOSESPECIFICOSULTIMOPERIOOOMA-911 GRUPO: CONTROL
UNIDAD VII DIFERENCIALES Y ANTIDIFERENCIACION
1. - Definir e interpretar geométricamente el diferencial de una función y=f( x)
2. - Establecer la definición de antiderlvada de una función .
3. 1. - Enunciar y opliccr los siguientes fórmulos de onlidiferenciación de funciones algebraicas:
a) J dx • x + e
xn+ 1 b) J xn dx = __ + e, paran# - 1.
n + 1
e) J af( x )dx = a f f( x )dx , oonde a es una constante.
d) J (f(x) + g(x)) dx • J f(x) dx + J g(x)dx
J (((,,:) - g(x)) dx = J f(x) dx - J g(x)dx
4. 1. - Enunciar y aplicar el teorema de la reola de la cadena para la antidiferenci3::ión de una función.
5. 1. - Enunciar y ap11car el métOOJ de 1nteqra::I6n por partes para resolver inteqrales indefinidas.
UNIDAD VIII INTEGRAL DEFINIDA
1. 1. - Reconocer el sfgn1ficaoo de la notación s1gmo. 1.2 - Utilizar las siguientes propiEm:les de fórmulas de la nota::ión en la resolución de
problemas. n
Propiediil 1: r e= en, oonde e es una constante. 1=1
n Prop1tml 2: r cF( 1)=c
i=l
n r F( 1), l)Jmle e es una
i=i constante.
n n n Propiedad3: í:[F(i)+G(i))= H(i) + í:G(i)
i=1 i=i i=i
213
n Fórmula 1 I i = n..í..n....!...
i=i 2
n Fórmula 2: I ¡2 • n ( !l + 1 l ( 2n + 1 l
i=1 6
n n2(n + 1)2
Fórmula 3: r i3 = i=i 4
n n ( n + 1 ) ( 6n3 + 9n2 + n - 1 ) Fórmula 4: I 14 =
1=i 30 .. 2. - Obetener el área bajo una curve usanoo rectángulos in ser ltos o c1ncunscrltos.
3. 1. - Def1n1r la 1ntegrel Ó3f1n1da. 3.2. - Reconooer las siguientes propiedades de le integrai óafinida.
a 3. 2. 1. J f ( x) dx = O
a
b 8
3.2.2.-J f(x)dx= - J r(x>ctx b a
b 3.2.3. - f
a
c 3.2.4.- J
o
b e f( x) dx = e J f( x) dx, oonoa ces una ronstante.
a
b b f( x) dx + J f( x) dx = J f( x) dx, cuenoo a< e< b.
e a
4. 1. Establecer el te:ireme fundmnente del c:illculo. 4.2.- Utilizar el teorema fundamental del cálculo en la resolución de problemas.
5. - Obtener lo integre,! definido de funciones algebraicas.
6. - Obtener el érea beJo une curva y el érea entre curvas usanoo la integral oof1n1cla
214
ANEXOG
Muestra de los exámenes SAEA aplicados
16 \GO. 90 CUR S J 1L l UNID. 001 VERS- J¡ HOJA O¡
O 1)
02)
O 3)
c•iaJ. ·~e los siq1Ji,?ntes enuncia1os jefine correct -nei.te intervalo 1nf1n1to:
A. r:l intt"!rv1lo i:1finito es 11n intervalo cerr.ado.
B- El interv~lo infinito es el gue va Je meaos infinito ah c~r~ado par li izquierda 1onde bes 1Jn nu~ero real.
c. r:l intervalo iufi:iito es el con;•into de todos los :i:.111eros reales ·:rntr:-"! 1 ~- b ir:cluyendo a a y a b.
o. El intervalo infini~o es el ~ue va de . raen".ls infinito a mas infinito , o ·!~ u} p·1nto a a ·mas infinito, o de meno:, infinito a un p1J:ito n, ~onae a y h son numaros reales.
El coij~:ito s::ilucion para la iesiqualdaj 2 l
- 4 > X X
- -'> est -1
1ado ?OC un3 de las siguientes o~ciones. Seleccionar la clrrecta:
11,. ro-:¼ x no ;?n ~-112,'l)
fl. Toda x n0 en (-112,'l)
e • ,- 11 2, + i .1 f i II i t ,:i >
o. ro :h x r.o e:. [-112,1121
Indic~r cQal ~e la5 siJUitntes onciones contiene e! con1~nto sol11c1on d~ la ~e~1gua11ad
2 (X - 3) + 3 ', 1t (5 - X)
A. (-i!lfi.nit::i, 3)
a. (-infinito,JJ
c. O, +infinito)
o. [3,+inrinito)
215
16
04)
05)
0(,)
07)
I-T-E-S-M. I S-A-E-A. t\GO. 90 CURSO 011 UNID- no1 EXAl'lEN 16957 VERS. 01 HOJA
Indi~a~ 3ual de ¡os st'ru Íentes enunciados expresa alguna prop1e a del va or a so uta.
A- 1 X 1 ~3. si )' so le si -a~x~.a don:ie a<.J
8- 1 X 1 >a si y S'JlO si x>-,t :) x<a. rlonde 3.>0
e- 1 X 1 ~3. si i s:Jlo si a<x<-a donde a>O
O- 1 X 1 (;,¡, si 'f s0lo si -a<x <a aonde :i>O
seleccionar la op~ion 1ue contienn la solucion de la desi1ualdad 1 (4x+z) / (X+'l) 1 > 2
/\. (-infinit'l ,-g¡ 1J (7 ,ir.finit.J}
a. (7 ,infinito)
c. (-9 ,-3) U (7 ,infi:ii to)
r>- r-infinit0 ,-,) u (-A ,-J) 'J (7 ,infinito)
Seleccioo1r la nncion ~ue contiene la s'Jlucion de la desi~ual~ad . 1 ( x + l) / ( x- l ) 1 > l
A. (-infinito , J)
13. (-infinit:i ,O) u (2 ,infinito)
c. (1 ,ir.fi~ito)
o. (O ,ll U (1 ,infinito)
Indicar_clal ie las si1~ientcs opciones ~o define el conc~pto de fnnc1oa:
A- coni~nto 1e nares 9rdenados dopie ~ehe existir exactamente un valor de la var1ahle rlenend1ente nara cada valor de 11 variable independiente en el db~inio de la funcion.
B- CopiJnt9 dt n1res,ordenados donde en dos p~res distintos no dehé ex1st1r el ~1smo pri~er valor.
c. coniJpto je 01res ordenados donje de~e existir exacta~en•e un 93.lor de la variable indeocndiente para caia val~r de la variahle depeidiente eh el do~inio de la f~ncion.
D- Es ~na rel~c on c~ya arafica es interscctad3. cuando ~as una vez nor ualquier·rc~ta pe~pendicular al eje sobre el cual se ~ra! ca su dominio.
216
02
..
)J) 1t1dicar -::::nl <le lds siCJaient~s expresi1Joes corresponde a una func100:
" <.. a. r =x-3
í' J. 2 c.'! =(x -4)
D. X = l / Y 2
)9) seleccionar la opcion que contenga la solucion de la desigualdad 1 ( t + 1) / ( x- 1) 1 < O
A. (-infi .nito ,-1) u (1 ,infin,ito)
s. NO tiene solucion.
c. (-infinito ,-1)
o. (1 ,infinito)
)) selecc;:iona r cual de las siguientes opciones contiene el conjunto soluc1on de la desigualdad
1 ;~! 1 > 6
A. (- S.2, -3)
a. conjunto vacío
c. e- s.2, - J> u e- J, - 1011¡
o. (-infinito,- s. 2)
217
L6 AGO. ')0 CURSO 0Ll UNID. !J0l EXAKEN 16948 VERS. 01 HOJA 01
01)
1) J)
O 3)
)4)
C~ll de los siguientes enunciados define correctamente intervalo au1erto:
A- ~! int¿rvalo ahierto de a ah, es el conjunto de t~~os los ~umeros reiles comorendidos entre a y b sin incluir a a ni a b. -
~- El intervalo 1bierto de a a b, es el conjunto de toJos los nu~~ros reales entre a y b ,incluyenio a y~-..
c. El i~terv1lo abierto ~e a ah, es el conjunto ie to1os los nu~eros r~ales entre a y b, incluyendo a a y excluyendo a~-
D. El interv~lo abi~rto de a a b, es el conjunto de t,j~s los nuceros reales entre a y h, excluyenio a a e incluyendo a h.
~l conjunto solucion le la desiguallad 2.
2X + x- l O ) 0 es:
A. 3. c. D.
f- infinito, -512 ) U (2, infinito). -sn , 21 . . . (- t:1f:¡.n1to, -'i/2) 'J (-512 , 1nflnito) l'l/'2, 1nf1n1to)
¡n:Hcar c·Hl :le 11~ siguie!lt.es opcion<!s co!ltiene el con-iu!lta ~olucion ~e la ies1gualdad
2 ( X - 3) + 3 '> 4 ( 5 - X)
A. (-infinito,3)
13 • r - i n fi Ji t •) , 3 ]
c. r1,+infinito)
D. [ 3, +iafini to¡
Indica~ ~u11 ie los s~quientes enu:iciaJos expresa :1.lgurn ?ropie a , ?.l val-or a so uto.
A• 1 x 1 > 'l si y S)lO si x>a o x<-a don1e a)IJ
e. 1:,:: 1 ('l si ·1 S'.llO si -a<x<1 donde '\(O
c. 1 X 1 ~'l _:;;_ y S'l lo si x~--a o x:Sa :ionde 1>J
o. 1 X 1 $a si y SllO si -a:Sx:S:1. donde 1<0
218
05) frl'lic'lr- c1¡::i1 l~ hs sig~i~ntes opciones c,J11tiene el conjunto soluci~~ 3 11 Je~igualdad
"· (l/2,l]
l2XI 14x-21
< l
~- 1-infinito,l/j) U c1,+infinito)
c. (t,tinfinito)
D, (-inFinito,t/2) u (1,+infinito)
Ot,) Sel\:!c.:;ionu C'H l lq las siguientes opciones c:rnti.ene el coniunto solucton -le la 1e~1qualdad
(X + 2) / (ll:) ( 4
A. (-?/5 ,+ infinito)
~- C-215, 2/3)
c. r- infinito, -215) u (2/3,+ infinito)
!) • (- 2 / 'i ·,O) IJ ( - in fin i t ·'.l, 2 /3)
07) 2 El inter~alo solucion de x <x+zo es:
A. (-infinito,-4) U (5,infinito)
e. (-4,5)
c. (-4,5)
o. (-infinito,5)
Oe) El valor absoluto de x se define como:
A. 1 XI = -x si x>O 1 XI = X si x<O
e. 1 XI = -x si x>O 1 XI = X si x>O
c. J1q = X si x<O , 1 X 1 = X si x>O ,
o. 1 XI = -x si x<O , 1 X 1 = X si x>O
219
y 1 XI
y 1 X 1 y 1 X 1
, y 1 X 1
=O si x=O
= o si x=O
= o si x=O
= o !'li x=O
Oq) selecc;:ioriar cual de las siguientes opciones cootieoe el conjunto soluc1on <le la desigualdad
(3 - 2 .Xj/(X t 2) f S
A. [-2,5J B. ( 5, +infinito)
c. ( l /3 , 5)
o. [ l /3 , 5 J
1D) seleccionar cual de las siguientes opciones contiene el conjunto solucion de la desigualdad
1 ::: 1 ) 6
A. (- 5-2, -3)
B. con;untc vacio
c. e- s.2, - 3) u e- 3, - 10111
o. (-infinito,- 5-2)
220
1-T-E-S • . "1. / S-A-E-A-
1l SEP. 90 CU~Sll O¡ 1 UNID- 002 EXAIIEN 18749 VERS- 01 HOJA 01
01) seleccionar cual de las siguientes opciones contiene el valor de 2
02)
03)
f (X)= 3 + 2 X - X
en la variable 2
(X) :
2 4 .!\. 3 + zx - X
2 8- 3 + 2X - X
3 6 c. 3 + 2X - X
2 o. 3 X
solo una je l~s cuatro funciones abajo anotadas tiene como dominio al coajunto Je los numeros reales. Seleccio-nar la opcioa correcta:
3 2 A. y = X + X + 5/X
1/3 1/ 5 LL 1 = (X) + ( X)
1/3 1/6 (. y= {X) + (X)
1/ 2 1). 1 = (X + l)
sel€cciona~ ca¼l de las sigqiente~ oocioues coatiene la formula de l:1 tunc1on compuesta li (J:) = t[ glx) J si
f (X) = (X + 2) / (X - 4) A. h (X) = (4 + 4X) / (X - 5) e. h (X) = X
2 2
y g(X) = (2 + 4X) / (X - l)
c. h(x) o. h{x)
(4X + 1ox + 4) / (X - 5X + 4) = (X - 5) / (4 + 4X)
221
1-T-E-S-M- / S-A-E-A-
LL SEP. 90 cu~so ')11 UNID- 002 EXA!!EN L8749 VERS- 01
seleccionar la opcion que contiene la definicion de li~ite 1e una funcion.
HOJA 02
A- sea f(xl una funcjon definida en todo punto de alg~n intervalo abierto -El limite de f(x) cuariio x tiende a a ,es L y se denota como
l i m f (X) = L x-->a
si para cualquier &>O ,existe una DELTA>D ,tal que
lf(x)-LI<& siempre que 0<1x-a1<DELTA
B- sea f{Xl una funcion definida en todo ounto de algun intervalo abierto qnc contenga a aL excepto·posi~lcmente en el nur.ei:-o a mismo • El limite de ! (x) c:ia nJo x tiende a a es L, y se denota como
lim f (x) = L x-->a
si ?ara c:ialg~ier &>O ,existe una JELTA>') ,tal que
lf(x)-LI<& siempre que 0<1x-a1<)ELTA
c. sea f (x) 1,1na funcion gue est:1 d~f:inda e::i todos los punt9s de algun intervalo abierto que contenga a a, exceryt? Qos1-blemente en el numero a mismo -El limite de f(x) t:iando x se aproxima a a es L y se denota com~
- li m f ( X) = l x-->a
si ?ara cualquier &>O ,existe una DEL TA>J , t:11 que
lf(x)-LI<& siempre que 0~1x-a1<0ELTA
[). sea f (x) un.1 funcion definida en todos los puntos de algun intervalo abierto que contenga :1 a, ~xce~to posiblemente en el numero a mismo. El limite de f(x) cuando x se aproximi a a es L y se denota c~mo
lim f(X) = l x->a
si ?ara cualquier &>O, existe un:1 1ELTA>O tal que
lf(t)-LJ<& siempre que DELTA<1x-a1<0
222
11
05)
06)
O 7)
I-T-E-S-M. I S.A. E.A.
SEP. 90 cu~so 011 UNID- 002 EXAr!EN U:1749 VERS- 01
~f 9fCi8n e~ui va lett te al teoremJ ~ue afirma que si existe el 1.m1. e e u a func1.on este es un1.c, es:
A. Si li11 g(x)=L y lim f(x)=L entonces L =L x->a 1 x->a 2 l 2
a. Si li11 1<x)=Ll y li111 f(x)=L entonces l =L 2 l 2
x->a x->a
c. Si lill f(x)=L y li111 f(x)=L entonces l =L x->a l x->b 2 l 2
o. Si lim f(x)=L y lim f(x)=L entonces L =L x->a l x->a 2 l 2
Indic:ir cual de hs sig~ientes opciones contiene el li~ite de r
,si 1 x-1 x es g(x)=<
,si l 6 x=s
diferente de 5
A. 6
B. 4
c. No existe
Q. 6 y 4
Las asintotas horizontales de f(x) =
A- y=l Y y=-1
B. y= 1
c. y=-1
o. NO tiene asintotas horizontales.
223
,cuaado x tiende 3. 5.
Y. son:
2 l/2 ( X + l)
HOJA 03
t.J.E.$.M. / $.A.E-A-
11 SEP. 90 CURSO 011 UNID. 002 EXAMEN 18749 VERS. 01 HOJA 04
O 8)
09)
seleccionar de entre las siguientes opciones, la que contiene las asintotas horizontales J verticales ie la grafica de
2 f (:X)= 2X/ (X +4)
A. Horizontales: f (X)= o verticales x= -2 x= 2
s. Horizontales: :r= -z , Y.= 2 verticales f(x)= O
c. NO tiene
D~ Horizonhles: f (X)= o verticales : no tiene
Indicar cual de las siguientes opciones contiene nec~sarias y suficientes para que la funcion
las condiciones
A.
s.
c.
o.
2 2X - 7X + 3
f (X) X - 3
5 sea continua en x = 3
li11 +
X -) 3
li• X -> 3
lim +
X-) 3
f ( 3)
f (X)
f (X)
f (X)
= 5
= lim f (X)
X-> 3
-= f (3)
= 5
224
si x es diferente de 3
si x = 3
11 SEP. 90 CURSO 011 UNID. 002 EXA!IEN 18749 VERS. 01
l O) Indicar cual de las siguientes opciones representa al conjunto ,'le valores don1e la funcion
r -1
X
f(x)= 2
l X
x-2
es discontimia
A- (-1,l}
9. {0,1}
~- {- 1,0,l}
o. {l}
si X ~ - l
si - 1 (X~ 0
~ 0 < X ( l
si X ~ l
225
HOJA 05
09 ENE- 90
l·T·E•S•M• / S0 A-E 0 A
CU~SO 011 UNlu. 002 EXAMEN 14882 VEKS- J¡
Jl) lndicac cual de las siguientes opciones define el concept~ de f"J nc1.o o:
HOJA O¡
A. Es una rel3cion cuya qraficd es intersectada cuando ~is una v~z por cua~q~ier recta paralela al eje sobre el cu.il se gra fl.C¾ su dom1.n1.o.
a. Es una relacio~ cuya grafica e~ intersecta4a cuando aas una vez poc. cua1qu1.er. :t~cta pecpenaiculac ,11 e Je sobre ei cu,11 se graf1ca su do~1n10.
c. Es una relacion cuya qrafic~ es intecsectada cuando z~nos un¾ vez t1or cualqu,tei; recta perpcn ,hcular 31 eje sobre ei cual se gc3f1.ca su dominio.
o. Es una relacion cuya grafic~ es intersectada cuando ~as una vez por_cualgu~ec recta pcrp2ndicular dl eje sobre el cual se grafica su 1.aagen.
02) SeleccioijaC de entre la$ sijuientes opciones, la que contiene a li ecuac1an de una func1.on.
2 2 A- X + 1 = 16
B. y = (.l 2
+ 4X + 3) I (JC + 3) X 1 -J
c. X = 7
2 2 o. X /3 - y /5 = 2
226
09 ENE. 90 CURSO O 11 UNID- 002 EXAMEN 14882 VERS. 01 HOJA 02
O 3) ¡ ndicar C'lal de las siguientes opciones contiene el do11inio e imagen de 2 . ·
y = f ( X} = ( .1 -x - b ) / ( X + 2} :
0011inio 111agen
A. .1 & Reales con X f. -2 y & Reales .. a. X & Reales con l( f. -2 y é, Reales COll y f. -5
c. .1 & Reales con X # -2 1 & Reales con y # o
o. X ~ Reales 1 & Reales
04) Si y=f(l:)=(t/r:) +x, entoaces el valor ,ie f(3-x) esta .iado por
A. [ 1/ (3-x) ] +x
a. U/3) +3
c. ' [ 1/ (3-x)] + (3-x)
o. ( l/ (x-3) ] +x+3
05) . 2 1/2 - l/2 si f (~) := (4-x ) . y g (X} = (;<.:-4) , seleccionar :: ,1al de las s1g~1entes opciones contiene el ao~in10 de f(x) + g(x) :
A- Reales
a. (-2,2 l c. (-infinito,-2) lJ (2,+infinito)
o. x=-¿ , x=2
227
EXAMEli: 14682 VERSION: O 1
&_8) Indicar cual de las siguientes opicones contiene el dominio e imagen de:
DOMINIO
A. x e Reales con x 7- -1
B. XE Reales con x ~ -1
C. x, Reales con x 7- -1
y =_X_
X + 1
D. x E Reales con x -;. -1 y x ~ o
228
IMAGEN
y E Reales
y e Reales con y :: 1
y e Relaes con y :: O
y e Reales con y 7- 1
09 ENE• 90 CiJRSO 011 UNID• 002 EX.\l!EN 14832 VERS. 01 HOJA 03
J6) oadas dos funciones f(x) x g(x), la fuocion compuesta f de g ie x esta definida por.
A. f[ g (:1) ] , CIJJO dominio es la iaagen de f (x)
B. f[ g (x) J , cayo doainio es la iaagen de g (x).
C• fí g (:i.J l, <;:uro dominio es el CODiunto de todos lo~ D.lll'jC-05 X eb el domLn o de g tales-que g(i) esta en el doaLnio ~e f.
O. f(g (X) l, ~uro dominio es el conjunto de todos los n~ieros :1 en el domLn o de f, tales que f1x) esta en el doainio de g.
J7) Indicar cual de las siguientes opciones contiene el valoc de
A. NO existe
a. -2
e. o
o. 1/ 2
lill x->-1
2 2 (X - 1) / (X • 3X + 2)
03) Encontrar las asíntotas horizontales¡ verticales de la grafica. 2 2
de la fa.!lcion f {x) = 4.x / (x -9) :
A. Horizontal: y=4 .vertical: x=3
a. Horizo~tal: y=4 .verticales: x=3, x=-3
c. Horizontales: y=J, y=-3 .vertical: x=4
o. Horizontal: y=4 .vertical: no hay.
229
1-T-E-s.n. / S-A-E-A. 09 ENE. 90 CURSO 011 UNID- 002 EXAMEN 14882 VERS. 01 HOJA 04
)9)
l O)
indicar cual de las siquientes o~ciooes contiene a la ecaacion de a funcion h (:e) = .g[ g p:) ] si : ·
2 1/2 f ( X) = :X - 5 g ( XJ = "L
A. h (X)= X
h ( lC) = 1/4 a. X
c. h (X)= X - 5
h(X)= 2 1/2 o. .X + l[ -5
seleccionac de entre las siquienLes opciones,la ~ue co~pléaenta gl enunciado siguiente ,pará focmar un teocema fundamental en liilites. sea f (.x) una func100 defic1ida en un intecvalo abiecto cue contiene a un punto a, aun cuando no necesaciamente este defifiida en a, entonces:
A. Si .!.im f(x)-=L y li11: f(:x)=L ,entonces L +L =. 2 :x->a 1 x->a 2 1 2
a. Si liill f(x)=L y lim f(.x¡=L ,e~tonces L +L = o x->a 1 x->a 2 1 2
c. Si lim f(x)=L y lim f (X) =t ,entonces (L ) ( L ) = l :c->a l x->a 2 1 2
o. Si ii11 f(x)=L 'f li• f(:c)=L x->a 1 x->a
, en ton ces L = L 2 1 2
230
03 AM. 91 CURSO 011 UNID- 003 EXAMEN 2694 7 VERS. 01
01) seleciionar de entre las siguientes opciones, la que contiene la derivada con respecto ax de
2 1/2 f (X) = 5X + [ (2) /X)
A. f' ( X) = 1 0 X - [ ( 2) l / 2
/ x2 ) -4/5 (X) /5
1/5 (X)
HOJA 01
B. f, ( X} = l O% 1/2 2 -112 -4/5
[ ( 2) / X ] + [ ( 2) / 2X ] - (X) / 5
021
1/2 2 e. f' e i:) = 1ox + [ ( 2) / X ] -415
(X} /5
1/2 2 -112 O. f' (X)= tOx + [ (2) / X ] + [ (2) · ¡ 2X)
6/5 (X) /5
si¡,lecciona r cual cton de la recta
y = f (X) = X (16
A. x+4y=0
s. y-4r-O
c. x-3y=0
o. -x+4y=0
de las siguientes opciones contiene una ecuanormal a la grafica de la curva
2 1/2 + x ) en el origen es
231
03 ABR. 91 CURSO 011 UNID. 003 EXAl1EN 26947 VERS- 01 HOJA 02
OJ) Seleccionar cual de las siguientes opciones contiene la derivada con respecto a x de la funcion co11puesta g[ f (x) ) si :
04)
O 5)
f (l() 2 1/2
.:: I + 2X - 1 g ( X) = (x + 3)
donde X & Reales:
A. X / ( 2
X + 2X + 2) 1/2
2 1/ 2 8- (l + l) / ( X + 2x - 1)
2 1/2 c. (X+ 1) / (X + 2X + 2)
D. l + 1 / (X+ 3) 1/2
seleccionar cual de las siguientes opciones contiene la derivada de y con respecto ax de:
1/2 2 (r/y) + (y) = 3X - 5
[ 1/2 2
A- -' [ !,I - (l/y) ] / l / (2 y - X/y ') )
B. (6 X) 2
/ [ (- r / y ) + (1/2) (YI 1/2
c. -[ 6X - (l/Y)] / [ (l/[2 1/í (y) -2
] (r/y )
D- ( 6 X - (y - 1) I y 2
] / ( (l/2) (y) 1/2
]
S~leccionar cual de las siguientes opciones completa la definicLon de funcion decreciente que dice:sea f una funcion definida en un intervalo dado, y sean e y d dos numeres cualesquiera en este intervalo. Entonces:
A. f (e) > f (d) cuando e > d
B. f(c) < f (d) cuando c < d
c. f (e) =. f (d) cuando e < d
o. f (e) > f ( d) cuando e < d
232
J.T.E-S.M. / S.A.E-A-
O] A!JR. 91 CURSO O L L UNID- 003 EXA!!EN 2694 7 VERS- 01 HOJA 03
06) UTILIZANDO EL CRITERIO DE LA SEGUN~A ºsEIRGUIVIAE .P.ATÉ SELECCIONAR LA OPCION CORRECTA DE ACUERDO CON LA •• FUNC[ON.
2 F ( X) =X (X-9)
11
/1.. F.(X) TIENE UN IHNIIIO_ RELATIVO EN x=O PORQUE F (0) <O.
" B. F (X) T[ENE UN 111 NIIIO REl4TlVO EN x=9 PORQUE F (9) >O.
" c. F (X) TIENE UN 111 NIIIO RELATIVO EN x=6 PORQUE F (6) )().
" O. EN X=J NO SE PUEDE CONCLUIR NADA PORQUE F (3)~0.
07) La segunda derivada de una funcion f (x) representa geoi!letricamente
A- La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.
B- La C3ncavidad de la grafica de la funcione~ u~ intervalo dado
c. Los puntos d~nde la curva corta al eje x.
o. La ecuacion de la recta nor~al a la curva en un punto.
Seleccionar de las siguientes opciones la qae contiene el valor o valores de x en donde la funcion cuya ecuacion esta por
f 2 2 . d . fl . (x) = (X -1) tienen puntos e 1.n ex1.on.
l /2 A- solamente en X = (-1) I (3)
solamente 1/2
B- en x = 1 I (3)
1/2 l /2 c. X = (-1) I (3) y X = 1/0)
o. NO tiene puntos de inflexion
233
03 ABR. 91 CURSO O 11 UNID- 003 EXAMEN 26947 VERS. 01 HOJA 04
09)
l O)
Seleccionar de entre ¡as siguientes opciones la que contiene los intervaios en los cua es la siguiente funciones concava hacia arriba o hacia abajo:
4 3 2
A• Hacia
Hacia
f(Xl = x +2x -3x -4x+4 para x & Reales abajo: (-infl.nito,-2.1Jt,...2) U (O. 73/2, infinito)
arriba: (-2. 73/2 , 0. 73/2)
B. Hacia abajo: (-2. 73/2, 0. 73/2)
Hacia arriba: (-infinito,-2. 73/2) U (0. 73/2, infinito)
c. Hacia abajo: (-2, l)
Hacia arriba: (-infinito,-2) U ( l,infinito)
o. Hacia abajo: (-infinito,-2) U (l,infinito)
Hacia arriba: (-2, l)
Seleccionar cual de las siguientes opciones contiene el valor o valores de x en donde ocurren los extremos relativos de la funcion cuya ecuaciones dada por:
A
B
c.
o.
llaximo
X = -2
X
X
X
=
=
=
relativo
y x· = 2
-2
-4
-2
5 3 f(X) = 3X - 20X
234
llini110 reliltivo
X = 0
X = · 0
X = 4
X = 2
1.T.f.S-M- / S-A-f-A. 10 ENE. 90 CURSO 011 UNID• 003 EXAIIEN 15202 VERS- 02 HOJA 01
Jt) seleccion3r cu3l Je las siguientes opciones expresa las cJnjicio-3
ncs neces3rias y .iuficientes para que f(x) = (t+x )/(x+l) sea continaa en x=2:
A- lim f (X) = 3 l( -> 2
.. a. f (2) = 3
lim f ( X) = 3 X -> 2
lim f (X) = f (2) X -> 2
c. f (2) = 3
lim f (X) = 3
X -> 2
lim f ( X) = f (2) l( -> 2
o. E 12) = 3
lim f (X) = 3 +
X -> 2
lim f (X) = 3 +
X -> 2
235
1-T-E-S-M. / S-A-E-A. iO ENE• 90 CURSO Oll UNID- 003 EXAl!EN 15202 VERS. 02
Jz¡ indicar cual de las siqu¡entes opciones representa al conjunto de valores donde la fufic1on
r -1
X
f(i:)= < 2
l )(
x-z
si X~ - 1
si - l ( X S 0
si O ( X < l •
si X ~ l
es discontinua
A- (-1,l}
B- ( Q I 1}
c. (- 1,0,1}
D- (l}
236
HOJA 02
1-T-E-S-M. / S-A-E-A-
10 ENE- 90 cuuo 011 UNID- 003 EXAISEN 15202 VERS- Oz HOJA 03
03) sel~~cionac de entre las sig~ientes opciones la que contien~ las conoiciones necesarias y suticientes para que f(l) sea continua en un punto x=a:
A- H1 Í 1a) existe u f (x) existe
x->-1 iii) lim f (x) =f (a)
x->a
B. Hi fía) existe l1m f (x) existe
+ x->a
i ii} lill f(x)=f(a) +
x->1
c. i) lim +
f (X) existe
x->a ii) li11 f (X) existe
x->a iii) lim f (X) =lim f (X)
+ x->a x->a
o. ib Í fa) existe 111 f (X) existe
x->a i i i) li11 f (X) =f (a)
x->a
237
10 ENE. 90 1-T-E-S-H. / S-A-E-A
CURSO 011 UNID- 003 EXAMEN 15202 VERS. 02 HOJA 04
04) lndica~ ~n.cual de las ~iqijientes opcion~ se encuentra expresada a definicion de la deriváda de una funcion:
J 5)
A- sea y = f (X) una funcion. Si el liaite
t' (x) = lim h->O
f(:r.+-b) - f(X) _____ ñ ___ _
existe y es finito, se dice ~ue este limite es la derivada de y ~on respecto a x, y ~ue f es derivable en x.
a. sea y = f {1) una funcion. Si el limite
f' (X) = lim h->O
f(x+h) - f(x) _______ X __ _
existe y es finito, se dice 1ue este limite es la derivada de y Con respecto a x, y ~ue f es derivable ea x.
C. Sea y = f (X) una tuncion. Si el limite
f' (I) = lim h->O
f(x+h) + f(x)
h
exiate y es finito, se dice que este limit~ 'es la derivada de 1 con respecto a x, y ~ue f es derivable en :1.
o. sea y=f (X) una funcion. si el limite
f, ( I) = lim h->O
f ( x- b) _ - _ f (X)
h
existe J es finito, se dice ~ue este limite es la derivada de y con respecto a x, y ~ue f es derivable en x.
Indicar.cual d~ las ~iq~icntes op~ion~s da la interpretacion geometrica de la derivada de una tuncion en un punto :
A- La secante entre dos puntos de la curva
a. La grafica de una nueva funcion ~ue pasa por el punto.
c. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
o. La ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto.
238
l O ENE. 90 CURSO 011 UNID• 003 EXA!!EN 15202 VERS• 02
J6) IN8ICAR CUAL OE LAS SIGUIENTES OPCIONES CONTIENE LA CONOICl N QUE ELIMINA LA DlSCONTlNUIDAD DE LA FUNClON
1/ 2 F(x)=x/[(x+1) -1) EN x=O
A. F (O) =O
B· F(0)=2
c. f(O)=l
c. F (O) NJ EXISTE
07) sel~ccj.on"-r de entre las siguientes opciones , la que contiene la aer1V3da con respecto a u de
r (U)=
-3 u + u
-1 u + u
-1 -z -3 , (u + u ) (1 - 3u ) - (u + u J (1 - 1)
A. r , (u)=--------------------------------------------1 Z
(u+ u ) -3 -2 -1 -4
, ( U + U ) ( 1 + U ) - ( U + U ) ( 1 - 3U )
8. C (U)-------------------------------------------
e. r' e u) =
0. r 1
(U)=
-1 l. (u + u )
-1 -4 -3 -2 (U + U ) (1 - 3U ) - (U + U ) (l - U )
- l 2 (U + U )
-1 -4 -3 -1 -z (u + u ) (1 - Ju ) - z (u + u ) (u + u ) (l - u ) --------------------------------------------------1 Z
(u + u )
239
HOJA 05
10 ENE. 90 l-T-E-S.M 0 / S-A·E-A
CURSO 011 UNID• 003 EXAMEN 15202 VERS- O¿
Ja) seleccionar de entre las siquientes o~ciones la que contiene a la ecuacion de la recta tángente a f (I) en el punto .ie coordenada x=-1 si :
f (X)= 2 2
X + 3.I + 1/X
A- 1= -x-2 .. B• y= -X/3 - 4/3
c. y= 3X + 2
Q. y= X
HOJA 0ó
seleccionar cual de las siguientes opciones contiene la .ierivada con respecto a x de la funtion compuesta g( f (x) ) si :
f ( X) 2
= X + 2.1 - l 'J ( .1) = ( X + 3) 1/2
donde X & Real es;
( 2 1/2
A. X I X + 2X + 2)
a. (X+ 1) I cx2 + 2X - 1) 1/2
c. (X + l) I c:i:2 + 2.x + 2) 1/ 2
D. l + l I (X+ 3) 1/2
240
10 ENE- 90
1.r.e.s.l!. / S-A-E-A
CURSO 011 UNID- 003 EXAMEN 15202 VERS- 02 HOJA 07
1nd1·car cu~l de las ~iqutent~s.opciones corresponde a la deLivada de a siguiente fJncion 1mpl1cita:
1/J (xy) -x/y = 100
2 1/3 2 1/ 3 2 A. y. [ l/1 - ( Y/X ) (1/3) ]/[ ( 1/3) {X/ 'f ) + X/ y ]
2 1/3 2 1/ 3 2 6. y• = ( 1/Y +(y/X) (l/J) ]/[ (l/3) (x/y ) + .. ,y ]
3 1/3 2 1/3 2 c. y• = [ 1/ y + ( Y/X ) (l/3) ]/[ ( 1/3) (X/J ) + X/y )
o. N IN;;UNA JE LAS ANTERIORES
241
..
ANEXO H
Muestra de los exámenes de desarrollo aplicados
1 NSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS TAHPICO
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEHATICAS 1 ( MA-911) GRUP0:02
NOMBRE DEL ALUMNO: __________ MATRICULA: ___ _ 4 DE FEBRERO DE 1991 1 NG. NORMA CERVANTES ROSALES
1.- ( 1 punto) Define invervl.'llo cerrn,jo ,je números reales 'J su notación
2.- ( 1 punto) Resuelve lo siguiente de:3iguolije,d y expresa la solución en la notoción de intervolos
1 O - X < 4 X ~ 25 - X
3.- ( 1 punto) Resuel'v:e la siguiente desigualda,j y expres1:1 la solución en 1 a notoci ón de i nterva I os
_L <8 V - ,1 I\ L
4.- (t punto) Resuelve lo siguiente desigualdl:ld 'd expresa la solución en la not::,ción de intervalos
_...,a3 __ < _ _c4_ X+4 X-5
5.- ( t punto) Resuelve 11.'l si,~uient.e ,jesigualdad y e>:pr-es::, la solución en la notación de intervalos
2X2 +X< 3
6.- ( 1 punto) Resuelve lo siguiente desigualdo,j y expre::;o lo solución en la notllción de intervalos
3X2 + X+ 1 > O
7. - ( t punto) Define va 1 or absoluto de un número r-ea 1 )(
B.- ( t punto) Resuelve la siguiente desiguoldad 'd expresa la :::olución en la not/lción de intervalos
11 - 2)( I ~ 1
9.- ( 1 punto) Resuel·,e lo siguiente desiguoldod 'd expre:3a la solución en
la notación de interv,1017
; 3
X
1
, 1
1 O. -( 1 punto) Resuelve lo siguiente desigu/:Jlded y expresa 1::, solución en la notación de intervolos
2-3X ! l 3 .. X 4
242
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS TAMPICO
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS 1 ( HA-911) GRUP0:02
NOMBRE DH ALUMNO: ___________ MATRICULA: ___ _ 4 DE FEBRERO DE 1991 1 NG. NORMA CERVANTES ROSALES
1.- ( 1 punto) Define inven1alo abierto 1je nr.ímeros r·eales y su notación.
2.- ( 1 punto) Resuelve la siguiente desigualda1j y e>:presa la solución en la notación 1je inter·valos
X i 3;( + 2 ~ :~ + 6
3.- ( 1 punto) Resuelve la :c;iguiente 1je:3i1~ualda1j 1d e>:pr·esa la :3olución en la notación de intervalos
...JL < 4 )( - 3
4.- ( 1 punto) Resuelve la si1~uiente desigual1jad 1d expre::.a la solución en la notación 1je inter·· . ..-elos
6 < 4 --- ---2X + 6 2~: - 1 O
5.- ( 1 punto) Re:3uelve la :3iguiente desiguálda1j IJ e>:presa la ':;olución en la notación de int.er·.rnlo:3
6.- ( 1 punto) Resuelve la siguiente desigualdad IJ e>:pres;:ci la :3olución en la noUición de intervalos
sx2 - x + 2 i o
7.- ( 1 punto) Define valor· absoluto de un número r·eal X
8.- ( 1 punto) Resuelve la siguiente 1jesigualdad y expr·e::;a la ::;olución en la notación de intervt:Jlos
16 - 3X 1 < 1
9.- ( 1 punto) Resuelve la si1~uiente 1jesigualdad y e>:pr-esa la solución en la notación de intervalos
1 1
~ < 1 _.;
L.
1 O. -( 1 punto) Resuelve 1 a sigui ente desi gua 11jad IJ expresa 1 a so 1 uci ón en la notación de intervalos
1
5 1~ 1 2X - 1 2
243
1 N:,TI TUTO HCNOLOOICO Y O[ r:,TUOIO!> !JUP[RIOR[:, O[ MONHRR['r'
CAMPUS TAHPICO PRIH[R EXAM[N PARCIAL OE MAHMAllCIIS 1
(MA-911) GRUPO:O1
NOMBRE DH ALUMNO: ____________ MATRICULA: ___ _ 4 DE FEBRERO DE 1991 1 NG. NORMA CERVANTES ROSALES
1.- ( 1 punto) Define inve,~.1:110 cerrado de números re1:1les y su notación.
2.- ( 1 punto) Resuelve la siguiente desii~ualijad 'd e:~presa la solución en 1 ,:1 notación de i nterva 1 os
1 O - X < 4 ;~ f 25 - X
3.- ( 1 punto) Resuelve la siguiente de~;i1lrnl,jád 'd expn3Sá lti sol,;ción en l,1 noláción ,je inten1alos
V - ,·j ,", ..:.
4.- ( 1 punto) Pe~;uelve la ~;iguiente ,jesigualda,j 'd expresa la solución en L:i nol.tición de int.er-vtilo:,
6 < 4 --- ---2)( + 6 2)<'. - 1 O
5.- ( 1 punto) Resuelve lti siguiente desigualdtid y expr'esa la solución en ie nol.áción ,je int.ervolo:::
6.- ( 1 punto) Pesuelve la siguiente 1jesigtrnldad y e:,:pr·esa la solución en l,:i not.áción ,je interválos .
1 7 + 3X ~ 1
2
7.- ( 1 punto) Resuelve la siguiente desigualdad y expresa la soluc'.ón en lti notación ,je int.er·,,-alos
0_7v .::. .._,,•\
3 + X
B.- ( 1 punto) Define iunción
, l 4
9.- ( 1 punto) ¿qué característica geométrica presenta la gráfic,:i ,:1e una función?
1 O.-( 1 punto) Gr-afica la siguiente función y detemina su dominio e imagen
f(X) = -8 3
244
IN5TITUTO HCNOLOGICO Y O[ [5TUDI05 5UP[RIOR[5 O[ HONHRR[Y
CAMPUS TAMPICO PRI M[R EXAMEN PARCIAL O[ NAHMATICAS 1
(HA-911) GRUP0 :01
NOMBRE DEL ALUMNO: ___________ MATRICUL~: ___ _ 4 DE FEBRERO DE 1991 ING. NORMA CERVANTES ROSALES
1. - ( 1 punto) Define invervalo 6bierto de número reales y su notación.
2.- ( 1 punto) Re:;uelve 16 siguiente de:,;iguálrj;j,j 'J expres/J la solución en ];j notación ,je inter',:' 6los
:~ i .3X + 2 i ~~ -t6
3.- ( 1 punto) Re e:,uelve lo -:dguieri\e ,jesiguold1J,j y e;<pr·esá-lá -:;olución en la nof.(lción de interv6lo:;
_....:i.:....: __ < 4
4.- ( 1 punto) Resuelve la ~;iguiente 1jesi1~ualdad y expn3sa J;:i solución en 1.:; n,jf.;:ición ,je inten1alo :3
_...,::3 __ < _....::¿=-·· -
:~+4 :~-5
5.- ( 1 punto) Resuelve la siguiente desigualdad y e::-:presa la :3olución en le notl'.lción ,je interválos
2:~2 + :~ < 3
5.- ( 1 punto} Resuel ve la siguiente ¡jesigualdad y expresa la solución an (lj notación ,je intervalos
-2
7.- ( 1 punto) Re:3uelve la :3i9uiente de:,;1guolda,j y expr·esa la ::;0lución en J.j not;:ición ,je intervolos
5 :e 1 2X - 1 2
B.- ( 1 punto) Deiine función
9.- ( t punto) GOué u¡r·acter-fst.ica 9eometrica presenta la gr;sii ca ,:le una función?
:0.-U punto} Grnfica la siguiente función y determina su 1jominio e im1:1gen
f(X) = 1 5
245
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS TAMPICO SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE MATEHATICAS 1
(MA-911) GRUPO 02
NOMBRE: ____________ MATRICULA: __ _ · PROF. ING. NORMA CERVANTES ROSALES MARZO 6, 1991. ****************************************************
1. ( 1 punto) Define función
2. ( 1 punto) Determina si el conjunto dado es una función. Si fuera una función, lCuál es su dominio?
((x,y) 1 y = Jx2 - 25]
J. ( 1.5 puntos) Dada ;:,'.'.9{"')~:e~f~:CJón 6 - X
Determrnar a) su dominio b) su imagen c) su gráfica
4. ( 1.5 puntos) Dada la siguiente función
Determinar: a) su dominio b) su imagen c) su gráfica
246
Si q -4 Si -4 < X < 4 Si X} 4
S. (3 puntos) x3 + 1
Sean f(x)" __ _ X +
b) f + g y su dominio
e) f. y su dominio g
d) g o f
6. (2 puntos) 2x2 + X - 3
sea f(x) = ___ _
X - 1
Obtener: al su dominio b) su imagen e) su gráfica d) lim f(x)
X71
y g(x) = x2 -x • 1
247
INSTITUTO TECNOL06ICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS TAMPICO SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS 1
(MA-911) GRUPO 02
NOMBRE: ____________ MATRICULA: __ PROF. ING. NORMA CERVANTES ROSALES MARZO 6, 1991. ****************************************************
1. ( 1 punto) Define función
2. ( 1 punto) Determina si el conjunto dado es una función. Si fuera una función, lCuál es su dominio? [(x,y)lx2 +y2 = 25)
3. ( 1.5 puntos) Dada ;;,'.'.g{uij:~·{~:ción
x-5 Determinar
a) su dominio b) su imagen c) su gráfica
4. ( 1.5 puntos) Dada la siguiente función:
f(x)= lx2 - 161
Determinar: al su dominio bl su imagen cl su gráfica
248
Si X< -5 Si -5 ~X~ 5 Si X> 5
S. (3 puntos) x2 - 25
Sean f(x)z __ _
X - 5 Obtener
a)f (:)
b) f T g y su dominio
e) f y su dominio g
d) g o f
6. (2 puntos) -4x2 - 36
sea f(x) = __ _
2X T 6
Obtener al su dominio b) su imagen e) su gráfica d) lirn f(x)
X~ -3
y g(x) E x T 5
249
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPEAIOAES DE MONTERREY
CAMPUS TAMPICO SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS 1
(MA-911) GRUPO O 1
NOMBRE: ____________ MATRICULA: __ _ PROF. ING. NORMA CERVANTES ROSALES MARZO 6, 1991. ****************************************************
1. (J puntos) Dada la siguiente función
Determinar al su dominio b) su imagen cl su gráfica d) 1 im f(x)
X~ -4 e) lim f(x)
X~ 4
f(x)= {j~: -x2
6-X
f) lEs continua en x = 4?
2. (J puntos) Dada la siguiente función
f(x)= ~
x-3
Determinar
al las asíntotas verticales de su gráfica
Si X .( -4 si -4 < X < 4 si x.) 4
b) las asíntotas horizontales de su gráfica c) trazar su gráfica d) su dominio e) su imagen f) El conjunto de valores de x para los cuales es continua la función
dada.
250
3. ( 1.5 puntos)
x3 + 1 Sean f(xl = __ _
X + 1
Obtener:
al r(;)
bl f. y su dominio g
el g o f
4. (2.5 puntos)
2 x2 + X - 3 sea f(x) = ___ _
X -
Obtener:
al su domin1o bl su imagen e) su gráfica d) lim f(x)
X "7 1 e) lim f(x)
X 7' +""
y g (X) = x2 - X + 1
251
INSTITUTO TECHOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE
MONTERREY CAMPUS T AMPICO
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS 1 (MA-911) GRUPO O 1
NOMBRE: ____________ MATRICULA: __ _ PROF. 1 NG. NORMA CERVANTES ROSALES MARZO 6, 1991. ****************************************************
1. CJ puntos) Dada la siguiente función:
Determinar: a) su dominio b) su imagen c) su gráfica d) lim f(x)
X "7 -5 e) lim f(x)
)( -t 5
{
X+ 5 f(x) 2 J2s - x2
x-s
f) ¿Es continua en x = 57
2. (J puntos) Dada la siguiente función
f(x)= 4- 3x X • 1
Determinar:
a> las asíntotas verticales de su gráfica
51 X < -5 s1 -5 ~X~ 5 Si X> 5
b) las asíntotas horizontales de su gráfica c) trazar su gráfica d) su dominio e) su imagen f) El conjunto de valores de x para los cuales es continua la función
dada.
252
3. ( 1.5 puntos)
x2 - 25 Sean f(x) ~ y g (X)= X + 5
X - 5 Obtener:
a) f (:)
b) f.. y su dominio g
e) g o f
4. (2.5 puntos)
4 x2 - 36 sea f(x) =
2x + 6
Obtener:
a) su dominio b) su Imagen e) su gráfica d) 11m f(x)
X~ - 3 e) lim f(x)
X~+ 00
253
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS TAMPICO TERCER EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS 1 (MA-911) GRUPO: 02
NOMBRE: ___________ MATRICULA: ___ _ ABRIL 17, 1991. 1 NG. NORMA CERVANTES ROSALES
1) (4 puntos) Dada la siguiente función: f(x) = 4 - 3X
X • 1
Determiar; a) Las asíntotas verticales de su gráfica b) Las asíntotas horizontales de su gráfica c) Trazar su gráfica d) Su dominio e) Su imagen f) El cojunto de valores de X para los cuales es continua la función dada.
2) (6 puntos) Dada la siguiente función: f(x) ~ l X4 -x3
4 a) Determina si fes continua en X= O, en caso de ser d1scontmua, Wué
tipo de discontinuidad presenta?, y en caso de ser discontinua eliminable, dar la condición que elimina la discontinuidad.
b) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto (2, -4) ·
c) Determinar los extremos absolutos de f en el intervalo [O, 4] d) Determinar los extremos relativos de f. e) Los intervalos donde fes creciente f) Los intervalos donde f es decreciente g) Las asíntotas horizontales y verticales h) Trazar la gráfica de la fución e inrlu1r en el mismo d1bu.10 la gráfica
de las rectas tangente y normal obtenidas en el inc1c;o b.
254
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS T AMPICO TERCER EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS 1 (MA-911) GRUPO: 02
NOMBRE: ____________ MATRICULA: ___ _ ABRIL 17, 1991. ING. NORMA CERVANTES ROSALES ****************************************************
1) (4 puntos) Dada la siguiente función: f(x) = 2X..::J.
X-:- 3
Determiar; a) Las asíntotas verticales de su gráfica. b) Las asíntotas horizontales de su gráfica cl Trazar su gráfica d) Su dominio el Su imagen f) El cojunto de valores de X para los cuales es continua la función dada.
2) (6 puntos) Dada la siguiente función: f(xl : l x4 -x3
2 a) Determina si fes continua en X: O, en caso de ser discontmua, Wué
tipo de discontinuidad presenta?, y en caso de ser discontinua eliminable, dar la condición que elimina la discontinuidad.
b) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto< 1, -1 /2)
e) Determinar los extremos absolutos de f en el intervalo [O, 2] dl Determinar los extremos relativos de f. e) Los intervalos donde fes creciente f) Los intervalos donde fes decreciente g> Las asíntotas horizontales y verticales h) Trazar la gráfica de la fución e incluir en el mismo dibu10 la oráfi ca
de las rectas tangente y normal obtenidas en el inciso b
255
INSTITUTO TfCNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS TAMPICO TERCER EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICAS 1 (MA-911) GRUPO: 01
NOMBRE: ___________ MATRICULA: ___ _ ABRIL 17, 1991. ING. NORMA CERVANTES ROSALES
1) Dada la siguiente fución: f(x) = 1X4 - x3
2
a) ( 1 punto) Determina si f es continua en x ~ O, en caso de ser discontinua, lOué tipo de discontinuidad presenta?, y en caso de ser discontinua ellmlnable, dá la condición Que elimina la discontinuidad.
b) ( 1 punto) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en e I punto ( 1, -1 /2).
e) ( 1 punto) Determinar los extremos absolutos de f en el intervalo [O, 2]
d) < 1 punto) Determinar los extremos relativos der.
e) ( 1 punto) Encuentra los puntos de inflexión de la gráfica de f.
f) (0.5 punto) Los intervalos donde f es creciente.
g) (0.5 punto) Los Intervalos donde f es decreciente.
h) (0.5 punto) Los Intervalos donde la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
O (0.5. punto) Los intervalos donde la gráfica de f es cóncava hacía abajo.
j) ( 1 punto) Las ·asíntotas horizontáles y verticales.
k) (2 puntos) Trazar la gráfica de la función e incluir en el mismo dibujo la gráfica de las rectas tangente y normal obtenidas en el inciso b.
'
256
INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
CAMPUS T AMP I CO TERCER EXAMEN PARCIAL DE MATEMA TI CAS 1 (MA-91 1 ) GRUPO: O 1
NOMBRE: ____________ MATRICULA: ___ _ ABRIL 17, 1991. ING. NORMA CERVANTES ROSALES
1) Dada la siguiente fución: Hx> = 1x4 - x3
4
a) ( 1 punto) Determina si f es continua en x = O, en caso de ser discontinua, lOué tipo de discontinuidad presenta.?, y en caso de ser discontinua eliminable, da la condición que elimina la discontinuidad.
b) ( 1 punto) Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto (2, -4).
c) ( 1 punto) Determinar los extremos absolutos de f en el interval-o [O, 4)
d) < 1 punto) Determinar los extremos relativos de f.
e) (1 punto) Encuentra los puntos de inflexión de la gráfica de f.
o (0.5 punto) Los Intervalos donde f es creciente.
gl (0.5 punto) Los Intervalos donde fes decreciente.
h) (0.5 punto) Los intervalos donde la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
D (0.5. punto) Los intervaros donde la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
j) (1 punto) Las asíntotas horizontales y verticales.
k:) (2 puntos) Trazar la gráfica de la función e Incluir en el mismo dibujo la gráfica de las rectas tangente y normal obtenidas en el inciso b.
257
1
2
3 4 5 6 7
8
9 1 O 1 1 1 2
1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 20 21
ANEXOI
Calificaciones obtenidas por los estudiantes del grupo experimental en los dos tipos de pruebas aplicadas
1º SAEA 1 º DESARROLLO 2º SAEA 2º DESARROLLO 3º SAEA
8.00 9.00 9.00 7.00 7.00
7.00 8.25 8.00 10.00 6.00 9.00 10.00 9.00 10.00 9.00 9.00 9.00 8.00 9.50 6.00 8.00 8.50 8.00 7.50 9.00
10.00 . 9.50 9.00 10.00 10.00 8.00 8.25 10.00 8.50 9.00 7.00 8.50 9.00 9.00 8.00
7.00 9.00 10.00 9.50 8.00 9.00 10.00 8.00 10.00 9.00 7.00 7.25 7.00 9.50 8.00
10.00 9.50 9.00 9.00 9.00 10.00 9.50 7.00 9.50 8.00
9.00 10.00 8.00 9.00 9.00 8.00 10.00 9.00 10.00 9.00 7.00 8.25 8.00 9.00 9.00 9.00 8.75 9.0.0 7.00 6.00 9.00 9.75 10.00 9.00 6.00 9.00 10.00 10.00 10.00 8.00 9.00 9.50 ! 10.00 9.50 10.00 9.00 7.25 i 5.00 8.00 7.00
258
3Q DESARROLLO PROM. SAEA PROM.DES.
'•
1 9.00 8 .00 8.30 2 10 .00 7 .00 9,41
3 10.00 9.00 10.00
4 10.00 7.60 9.50
5 6.25 8.30 7.41
6 10.00 9.60 9.83
7 7.00 9.00 7.91
8 10.00 8.00 9 .16
9 9 .00 8.30 9.16 1 O 9.75 8.60 9.91 1 1 9.25 7 .30 8.60 1 2 10.00 9.30 9.50 1 3 10.00 8.30 9.60 1 4 10.00 8.60 9.60 1 5 10 .00 8.60 10.00 1 6 7.25 8.00 8.16
···-• 1 7 7.00 8.00 7.58
1 8 10.00 8.30 9.58 1 9 10.00 9.00 10.00 20 10 .00 9.60 9.60 21 7 .75 7.00 7.60
:.; . .
259
1
2 3
4 5 6 7 8
9 1 O 1 1 12
13 14
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
ANEXOJ
Calificaciones obtenidas por los estudiantes del grupo control en los dos tipos de pruebas aplicadas
1 !! SAEA 1 !! DESARROLLO 2!! SAEA 2!! DESARROLLO 3!! SAEA
7.00 5.50 7.00 4.75 6.00 5.00 6.00 5.00 2.25 6.00 7.00 7.50 8.00 7.25 9.00 8.00 9.50 8.00 7.25 6.00 8.00 9.50 9.00 7.75 9.00 7.00 9.50 9.00 7.75 7.00 8.00 8.30 8.00 1 0.00 7.00 5.00 7.00 2.00 4.00 8.00 8.00 6.00 7.00 5.50 5.00 7.00 7.00 10.00 9.00 8.00
· 2.00 8.50 4.00 2.50 1.00 7.00 7.50 5.00 7.50 6.00 9.00 7.00 8.00 5.25 8.00 9.00 1 O.DO 9.00 9.00 7.00 7.00 9.00 9.00 9.00 1 O.DO 8.00 8.50 10.00 9.25 8.00 5.00 7.25 9.00 5.50 3.00 4.00 6.80 5.00 7.50 10.00 7.00 7.50 6.00 8.75 8.00 9.00 10.00 9.00 8.25 10.00 9.00 9.00 7.00 10.00 6.00 9.00 9.00 9.00 9.50 10.00 9.00 9.25 10.00 9.00 8.00 5.00 8.25 10.00 6.75 4.00
260
3º DESARROLLO PROM. SAEA PROM. DES.
1 8.50 6.60 6.25
2 1.75 5.30 3.30
3 5.75 8.00 6.83
4 9.50 7.30 8.75
5 7.25 8.60 8.1 6
6 7. 75 7.60 8.30
7 7.75 7.60 8.68
8 3.25 5.00 4.75
9 6.50 6.60 6.30
10 9.50 8.30 8.50 1 1 o 2.30 3.60
12 4.75 6.00 6.58
13 9.25 8.30 7.16
14 8.75 8.30 9.25 15 8.50 8.60 8.83
1 6 10.00 8.60 9.25 17 2.50 5.60 5.08 18 7.00 6.30 7 .1 O 19 10.00 7.00 8.75 20 10.00 9.30 9.41 21 9.50 7.30 9.50 22 8.00 9.30 8.83
23 1 º·ºº 9.00 9.41 24 8.50 6.30 7.83
261
ANEXO K
Puntajes obtenidos en el análisis del nivel de razonamiento en el grupo Experimental
LOG I CA PLANT. LOG I CR PROC. JU ST I F. R ES.
1 1.00 1.00 1.00 2 1.00 1.30 1.50 3 1.14 1.00 1.24 4 1.16 1.57 1.60 5 1.00 1.00 1.00 6 1.00 1.45 1.50 7 1.00 1.20 1.30 8 1.21 1.19 1.20 9 1.00 1.00 1.00
10 1.00 1.20 1.15
262
ANEXO L
Puntajes obtenidos en el análisis del nivel de razonamiento en el grupo control
C:-:..:!!1
LOG l CA PLANT. UJ GICA PROC. JUSTI F. RES .
.:..~, ~-
1 1.00 1.00 1.00 2 1.26 2.00 2.14 3 2.32 2.12 2.30 4 3.20 3.40 3.60 5 1.00 1.00 1.00 6 2.1 O 2.70 3.1 S 7 3.1 6 3.50 3.12 8 2.87 3.00 3.20 9 2.45 2.60 2.80
10 1.23 1.80 1.93
263
8. BIBUOGRAFIA
Ablewhite, A.C. Las Matemáticas y los menos dotados. Madrid,
España: Mora ta, 1971.
Adem, José. "Las Matemáticas y su enseñanza." Avance y
Perspectiva. México, D.F.: CINVESTAV, 1991 , pp. 145-153.
Ausubel, David. Psicología educativa: un punto de vista
cognoscitiyo. Trad. Mario Sandoval Pineda. 2a. edición. México,
D.F. : Trillas, 1990.
Beard, Ruth . Pedagogía y didáctica de la enseñanza universitaria.
Madrid, España: Oikos-tau, 1974.
Clarke, D.; Clarke, D. y Lovitt, Ch. "Cambios en la enseñanza de la
Matemática llamado a alternativas de evaluación. Sin lugar.
Sin fecha.
Coll, César. "Hacia la elaboración de un modelo de diseño
curricular." Cuadernos de Pedagogía, 139. Barcelona, España:
Fontabla, 1986, pp. 8-1 O.
Chacón, Fabio J. "Hacia una evaluación del rendimiento basado en
los procesos cognoscitivos." Seminario de Técnicas de
Instrucción y Evaluación. Universidad Nacional Abierta. Julio
264
de 1990.
Díaz Barriga, Angel. "Problemas y retos del campo de la evaluación
educativa." Perfiles Educativos, 37. México, D.F.: CISE-UNAM.
Sin fecha. pp. 3-15.
Díaz Barriga, Frida A.,María de Lourdes Lule G., Diana Pacheco P.,
Sylvia Rojas D. y Elisa Saad D. "Metodología de diseño
curricular par la enseñanza superior." Perfiles educativos. 7
(oct.-dic., 1984), México, D.F.:CISE-UNAM, pp. 30-40.
Fermín, Manuel. La Evaluación, los exámenes y las calificaciones.
Buenos Aires, Arg.: Kapelusz, 1971.
Gagné, Robert M y Briggs, Leslie J. La Planificación de la enseñanza.
Trad. Jorge Brash. 1 a. edición. México, D.F.: Trillas, 1990.
Glazman, Raquel y María de lbarrola. Planes de estudios: Propuestas
institucionales y realidad curricular. México, D.F.: Nueva
Imagen, 1987.
González, Fredy E. "La Enseñanza de la Matemática en el contexto de
una didáctica centrada en procesos (la Matemática se aprende
haciéndola)." Venezuela. Sin fecha.
Kline, Morris. "La dirección conveniente para una reforma." Sin
265
lugar. Sin fecha.
Nérici, lmídeo G. Metodología de la enseñanza. Trad. María Celia
Eguibar. 4ta. edición, México, D.F.: Kapelusz, 1990.
Palacios, J. La Cuestión escolar. Sin lugar. Sin fecha.
Rugarcía, Armando. "Diseño óptimo de un plan de estudios a la luz
de las endencias profesionales." 111 Congreso Internacional
de Ciencias de la Educación. Universidad de Monterrey. Garza
García, N.L. 18, 19 y 20 abril, 1991.
Sacristán, J. Gimeno. El Currículum: una reflexión sobre la práctica.
España: Morata. Sin fecha.
Sánchez, Carmen Elena. Una Exploración de la Percepción de
estudiantes y profesores del ciclo básico de la facultad
de Ingeniería acerca de los factores gue afectan las
habilidades para resolver problemas. Trabajo de ascenso.
Universidad Central de Venezuela, 1987.
Sánchez, Margarita de. El profesor como mediador del aprendizaje.
Monterrey, N.L. 1991.
Sánchez, Margarita de. Paradigma de procesos. Monterrey, N.L. 1991 .
266
Stenhouse, L. lovestjgación y desarrollo del currículum. Madrid,
España: Morata, 1984.
Taba, Hilda. Elaboración del currículo: Teoría y práctica. Trad. Rosa
Albert. 7a. edición. Buenos Aires, Arg.: Troquel, 1987.
267
VITAE
Norma Cervantes de Martínez nació en Tampico, Tamaulipas; México,
el 18 de septiembre de 1964, es hija de María del Carmen Rosales
de Cervantes y Arturo Cervantes Infante. Se recibió de bachiller en
la preparatoria Madero en 1981 y en ese mismo año entró al
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, donde
en 1985 obtuvo el título de Ingeniero Bioquímico. Durante los 3 años
siguientes trabajó como jefa de producción en Langostinos
Asiáticos, S.A. Desde el año 1985 hasta el presente ha trabajado
como profesora de Matemáticas en el ITESM Campus Tampico,
primero como maestra auxiliar y a partir de 1989 como profesora
de planta. En 1989 ingresó al ITESM Campus Eugenio Garza Sada para
optar por el título de Maestra en Educación con especialidad en
Matemáticas. Recibió el título correspondiente en diciembre de
1991. La señora de Martínez esta casada con el Biol. Ruben Ricardo
Martínez Villegas.
Dirección permanente:
Ave. Jalisco No. 407 Sur
Col. Monteverde
Cd. Madero, Tamps., México
Tel: 15-77-79
268
![[203031] Modelo de scheduling bajo efecto de aprendizaje ...](https://static.fdocuments.co/doc/165x107/6156f73ca097e25c764f7b18/203031-modelo-de-scheduling-bajo-efecto-de-aprendizaje-.jpg)