El presente trabajo aborda un tema de gran importancia La Etapa Prenumrica en

Grados Intermedios. Todo docente se pregunta Cmo hacer para que un nio de los

grados medios aprenda matemtica?, naturalmente, necesita jugar, tiene energas que

hay que canalizar mediante lo ldico. Tiene necesidad de investigar, l quiere

descubrir. Por tanto el contenido, comenzar por los conceptos conjuntistas, que lo

instrumentarn para transitar en el conjunto de nmeros naturales, en el conjunto de

nmeros racionales, en el conjunto de sistemas para medir y el conjunto de puntos. Por

lo cual llamaremos etapa Prenumrica a la etapa de instrumentacin, entendiendo que

est compuesta por distintas subetapas las cuales son Elaboracin del concepto de

conjunto: elemento y pertenencia: operaciones con conjuntos y elaboracin del

concepto de correspondencia: relaciones binarias en los diversos ciclos y que, en cada

uno, se completa parcialmente.

2.1. ELABORACIN DEL CONCEPTO DE CONJUNTOS, ELEMENTO Y

PERTENENCIA: OPERACIONES CON CONJUNTOS

En toda operacin se ejerce una accin sobre los elementos que

conforman una determinada situacin y que esta accin transforma la

primera situacin en otra. Por ejemplo: en el florero seis rosas rojas y

agrego seis rosas blancas, ahora tengo doce rodas en el florero. La

situacin ha cambiado, por la accin de agregar, ahora tengo en el

florero una situacin distinta. Pensemos en otros ejemplos y casi todos

van a permitirnos decir que una operacin es la modificacin de una

situacin mediante una accin.

Se analizar la accin de formar un conjunto con todos los elementos

que pertenecen a los conjuntos dados. Esta operacin se llama unin.

Para trabajar la unin de conjuntos debemos pedirle al nio que arme

los siguientes conjuntos:

A= {x/x es bloque rojo}

B= {x/x es bloque azul}

Una vez dispuestos, solicitmosle que rodee con la lana roja (la lana

para sealar los resultados) todos los elementos. Preguntmosle que

ha obtenido y dir que se trata de un nuevo conjunto al cual pertenecen

tanto los elementos de A como los elementos de B.

M= {x/x es bloque amarillo}

D= {x/x es bloque triangular}

Ya dispuestos, que la lana roja rodee ahora todos los elementos. Al

nuevo conjunto, que llamamos S, pertenecen los elementos de M o de

D. Por ltimo, pedimos que arme los conjuntos siguientes

E= {x/x es bloque grande}

F= {x/x es bloque rojo grande}

Observar aqu que se trata de un conjunto incluido en otro. Pidamos

que haga pasar la lana roja de modo que encierre a los elementos de E

o de F. EL nio dir que el nuevo conjunto es igual al conjunto E.

En todos los casos, el conjunto resultado ha surgido por la accin de

considerar a los todos los elementos; es decir de unir los conjuntos

En la interseccin de conjuntos trabajemos con los nios en las

semirrectas numricas. Tengamos preparadas tres, de modo que

podamos representar los distintos elementos de los siguientes

conjuntos:

A= {1, 2, 3,4} C= {x/x es nmero dgito par} M= {3, 4,5}

B= {0, 5, 6,7} D= {2, 4, 7,9} N= {2, 3, 4, 5, 6}

En las respectivas semirrectas numricas indicamos los nmeros que

pertenecen a los distintos conjuntos tomados de a dos; para los

elementos de un conjunto con forma cuadrangular y para los elementos

del otro conjunto con forma circular.

A y B C y D

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

M y N

2 3 4 5 6

En otras semirrectas numricas ubicamos el conjunto que resulta

despus de haber considerado la interseccin de los conjuntos dados

2 4 F

3 4 5 M

En el primer caso, no hay ningn nmero sealado con dos formas

distinta por lo tanto la accin de quedarse con los elementos comunes

determina un conjunto vaco como resultado de la operacin

interseccin entre los conjuntos y luego B. Luego A B = O.

En el caso de los conjuntos C y D, el conjunto resultado de la operacin

interseccin entre esos conjuntos es el conjunto F, al cual pertenecen

los nmeros que estn indicando con dos formas, que son 2 y 4.

En el caso de los conjuntos M y N, el conjunto M, al cual pertenecen los

elementos comunes de M y N.

En la diferencia de conjuntos trabajaremos con los nios, armando

conjuntos convenientes elegidos para que puedan analizar esta

operacin en conjuntos disjuntos, en conjuntos intersecados en un

conjunto que est incluido en otro y, en cada caso, rodeen con la lana

roja los elementos que pertenecen al primer conjunto

Con los nios podemos usar expresiones 1, 2, 3 segn sea la que

mejor comprendan. Cada una de ellas definen por comprensin A B;

siento entre s equivalentes. Toda operacin entre conjuntos da por

resultado otro conjunto; en el caso de la interseccin entre conjuntos

disjuntos, el conjunto resultado es un conjunto al cual no le pertenecen

elementos. Cul es el conjunto al que no le pertenecen elementos? Si

A y B son disjuntos: A B = O.

Acerquemos a los nios al concepto de operacin, considerndola una

estructura cuyos elementos son estado inicial, accin y estado final.

Matemticamente sabemos que la accin no tiene por qu modificar el

estado inicial. O sea, el estado inicial y el estado final pueden ser

idnticos.

Situacin 1 Accin Situacin 2

2

Agregar 0

2

2.2. ELABORACIN DEL CONCEPTO DE CORRESPONDENCIA:

RELACIONES BINARIAS

En los grados mediaos, continuamos trabajando las relaciones de

equivalencia presentadas en los grados inferiores que permitan partir

los respectivos conjuntos en clase o subconjunto; se reafirmar el

concepto de clase, subrayndose ahora que, cuando un conjunto no

vaco puede ser separado o repartido en clases, esto permite establecer

entre sus elementos una cierta relacin que es de equivalencia; y

viceversa, si la relacin que existe entre los elementos de un conjunto

de equivalencia, entonces podemos partir ese conjunto en clases.

En los grados inferiores, el nio estableca la representacin de la

relacin por medio de trazos, pero no saba traducirla la representacin

de la relacin de cambio, en los grados medios, el nio expresa de

distinto modo lo que conocemos como las propiedades de la relacin de

equivalencia. En cada clasificacin que surge, reconocemos la relacin

de equivalencia que la produce.

Con respecto a la relacin de orden en los grados medios se continua

con esos trabajos, pero ahora hincapi en las propiedades que se

verifican en la relacin de orden que vincula a los elementos

intervinientes.

La relacin funcional o simplemente funcin este concepto ser

trabajado con el nio persiguiendo fundamentalmente dos propsitos:

visualizar que la relacin es una funcin siempre que se puede hacer

corresponder a cada elemento de un conjunto, con solo un elemento de

otro, y vincular este hecho con el concepto de transformacin,

entendiendo que una funcin convierte a un elemento de un conjunto en

otro elemento no necesariamente diferente.

3.1. ELEMENTO: Estamos frente a un conjunto, en donde cado uno de los

bloques que estn encerrados por la disposicin del hilo se llama

elemento del conjunto. El hilo dispuesto en forma circular para destacar el

conjunto al cual nos estamos refiriendo permite distinguir claramente

cules son los elementos que pertenecen al conjunto.

Ejemplo: Si llamamos A al conjunto y a, b, y c respectivamente a cada

elemento nombrado anteriormente, podemos representar esto

grficamente mediante un diagrama conocido como el diagrama de Venn,

del siguiente modo:

A

Simblicamente:

A = {a; b; c}

a

b

c

3.2. CONJUNTO: un conjunto es una coleccin de elementos considerada en s

misma como un objeto. Los elementos de un conjunto pueden ser

cualquier cosa: personas, nmeros, colores, letras, figuras, etc. Se dice

que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si est definido como

incluido de algn modo dentro de l.

A={x/x figuras geomtricas}

3.3. PERTENENCIA: Es la relacin que se establece entre un elemento y un

conjunto es la relacin de pertenencia o de no pertenencia el signo

significa Pertenece, Luego decimos que a A, b A, c A; para

cualquier otro elemento f, la relacin con A es de no pertenencia,

entonces f A.

F={x/x figuras geomtricas}

3.4. CONJUNTO UNITARIO: es el conjunto al cual pertenece un solo

elemente. Ejemplo:

A={X/X N; 7

3.5. CONJUNTO REFERENCIAL O UNIVERSAL: Estos conjuntos que se

forman a partir de dar una propiedad y que abarcan la totalidad de la

referencia se llama conjunto universal. A estos conjuntos de fundamental

importancia los representamos de una forma muy especial, con un

diagrama rectangular y el smbolo que lo distingue es U.

U= {x7x son animales}

3.6. INCLUSIN: Es una relacin que vincula a conjuntos entre s, puede estar

incluido o no incluido. Se lee el conjunto A est incluido en el conjunto R

3.7. CONJUNTOS IGUALES: Cuando les pertenecen los mismos elementos

ejemplo:

G= {1, 2, 3, 4,5} G = H

H= {1, 2, 3, 4,5}

3.8. CONJUNTOS DISJUNTOS: El prefijo dis nos indica negacin; luego

disjuntos significa que no estn juntos. S, estos conjuntos A y B estn

dispuestos separadamente porque no les pertenecen elementos en comn

y por esta causa llevan tal nombre.

A= {1, 2, 3, 4,5}

B= {7, 8, 9} A B

. perro . vaca . tigre . elefante

. pato . chivo . Len

U

A

R

1 2 3 4 5

7

8

9

3.9. INTERSECCIN DE CONJUNTOS: Describimos la accin de formar un

conjunto al cual pertenecen los elementos comunes a los conjuntos dados.

Ejemplo: A = {c; r; i; s; t; o } y B = { a; m; i; g; o }

A B = {i; o} A B: Se lee: "A interseccin B"

3.10. DIFERENCIA DE CONJUNTOS: Describimos la accin que forma el

conjunto constituido por los elementos que pertenecen solo al primer

conjunto. Esta accin da como resultado un nuevo conjunto al que

pertenecen los elementos del primer conjunto y no los del segundo conjunto

Ejemplo: A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }

A B = {b, c, d}

3.11. PRODUCTO CARTESIANO: Llamaremos producto cartesiano de dos

conjuntos que simbolizaremos como AXB a todos los pares de

elementos ordenados que podamos formar tomando como primer

elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del

conjunto B.

Ejemplo:

Sea los conjuntos A= {1, 2,3} y B= {4, 5,6} se tiene:

AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5) ,(3,6)}

3.12. RELACIN FUNCIONAL O SIMPLEMENTE FUNCIN: El concepto de

funcin es un caso especial de relacin, pues consiste en la relacin por

la cual todos y cada uno de los elementos del conjunto de partida se

corresponden con uno y solo un elemento del conjunto de llegada

El nio tiene elaborado el concepto de conjunto, de elemento y de

pertenencia porque ha tenido que armar conjuntos y determinarlos por

extensin y por comprensin; ha visualizado el conjunto vaco, el

conjunto unitario, el conjunto que est incluido en otro; ha operado con

conjuntos; ha establecido relaciones entre los elementos de un conjunto

entro elementos de distintos conjuntos. Ahora en esta etapa trabajar

estos conceptos expresados no solo en el lenguaje coloquial en que

naturalmente se expresa el nio, sino en el lenguaje de los signos que

representan a los contenidos.

Es de gran importancia que el docente ponga en prctica cada una de

las consideraciones didctico matemticas que plantea Irma Pardo en su

libro, pues estos ayudan al mejor aprendizaje de los estudiantes y a una

buena enseanza por parte del docente. Esto permitir que el nio de

manera prctica pueda entender y comprender cada uno de estos

conceptos matemticos que se dan en estos grados que se encuentran.

Debemos dedicar tiempo al tratamiento de la teora conjuntista ser, en

cada grado, suficientemente amplio como para lograr el objetivo de su

enseanza. La importancia del desarrollo de este tema reside en que la

instrumentacin bsica, es el lenguaje unificador necesario para la

introduccin de los conceptos matemticos que se dan en esta etapa

Prenumrica de los grados intermedios.

Pardo de de Sande, I.N. (1995). Didctica de la matemtica para la

escuela primaria. (4ta. Edic.). Buenos Aires: Editorial el Ateneo.