EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION - ARTURO INFANTE VILLAREAL - CAP 5 AL 6

EI costo anualequivalente 5Existe un tercer metoda para evaluar alternativas de inversi6n. Se trata delcosta anual equivalente, particularmente util para evaluar proyectos queesencialmente constituyen fuentes de egresos, tales como prestar un serviciopublico subsidiado, mantener un servicio de apoyo para otras actividades, etc.

En muchos de estos casos no se puede establecer la rentabilidad del servicio,ya que el proyecto esta conformado unicarnente por desembolsos. Por ejem-plo, el servicio de alumbrado en una fabrica puede ascender a $30000 al afio ypor 10 tanto el proyecto de inversi6n que representa consta simplemente deuna serie de pagos anuales de $ 30000 durante el periodo en que se piensemantener este servicio. Si intentamos calcular la rentabilidad de esta sucesi6nde gastos, descubrimos que es igual a infinito, como se desprende del siguienteanalisis:

VPN(i)=0=-30000[(I+i)n-IJ=-30000[~- I ]i(1 + it i i(l + it

Al insertar el valor de i igual a infinito en la ultima expresi6n, encontramosque el VPN = O. . [(1 + i)n - 1 ]Entonces, como la expresi6n -'-----'---n- se hace igual a cero cuan-

i( 1 + i)

EI costo anual equivalents L.

do i = 00, infinito es la tasa intema de rentabilidad del proyecto de alum-brado. Pero obviamente este resultado no sirve para nada.

Ante situaciones como la anterior no tenemos mas remedio que prescindirde la tasa intema de rentabilidad como indice para medir la bondad econorni-ca y acudir a un indicador mas adecuado, como es el costo anual equivalente.

Cuando desarrollamos las relaciones entre sumas de dinero que aparecen endiferentes momentos, identificamos en particular las que existen entre unapartida actual P y una serie uniforme futura R, y entre una suma futura S yuna serie uniforme R. Estas dos reiaciones son ahora muy utiles porqueconstituyen la base fundamental para el caiculo del costa anual equivalente.

Supongamos que en una planta se requiere comprar un montacargas paraayudar alas diferentes secciones de la misma. Este montacargas aparece comoun costa indirecto para cada una de estas secciones y para cada uno de losproyectos que se adelantan alIi y, en consecuencia, en algun momento se debecalcular la magnitud de su costa por -periodo. Ilustremos la situacion con unejemplo concreto.

La compafiia TRZ piensa adquirir un montacargas que vale $ 600000, quepuede usar durante 5 afios sin que cause problemas y puede vender al final detal periodo en $ 300000. Este aparato requiere ademas $100000 anuales degastos directos (operario, gasolina, aceite, reparaciones, etc.). La gerenciafinanciera de la empresa desea saber cuanto debe imputar como costa anualpor el servicio del montacargas.

Para responder a la pregunta planteada es conveniente acudir al rnetodo delcosto anual equivalente ya que este, en esencia, consiste en convertir elconjunto de ingresos y egresos asociados con el proyecto en una serie uniformede partidas anuales, recordando que para poder efectuar las conversiones esnecesario estipular la tasa de interes de oportunidad.

Los calculos especificos en el caso del montacargas de la TRZ son:Casto anual equivalente = inversion inicial de $ 600000 convertida en una

serie uniforme equivalente de 5 pagos + $100000 anuales + $300000 den-tro de 5 afios transformados en una serie uniforme equivalente de 5 pagos.Paso a paso ocurre 10 siguiente:

1. El proyecto se descompone en elementos que facilitan su conversion en unequivalente de costa anual.

2. Cada elernento se sustituye por su equivalente anual uniforme, como apa-rece en el grafico 5.1.

3. Se suman los equivalentes anuales para obtener el costo anual equivalentetotal.Para cuantificar RI y R2 es preciso identificar la tasa de interes de oportu-

nidad, que en este caso suponemos del 20% anual. R3 no depende de i, ya que

122 Evaluacion de Proyectos

a)0 2 3 4 5 0

I I I I I +$600-000

$300 000$R,

b)

~0 2 3 4 tlI I I I

5 + 0 1 2 3 4 5

c)0 0

$100000

Grafico 5.1

al ser el equivalente de una serie de egresos anuales uniformes, tiene unaestructura identica a la serie original.

En estas condiciones:

R I $600 000 X 0.33438 $ 200 628

R2 - $300 000 X 0.l3438 = - $ 40 314

R 3 $ 100 000 X 1 $ 100 000

Costo anual equiv. (0.20) $260 314

Apoyandonos en el procedimiento anterior podemos entonces establecerque el costa anual de prestar el servicio de montacargas asciende a $260 314.Una manera alterna de llegar al CAE hubiera sido ca1culando el VPN, con-

EI costo anual equivalente 123

virtiendolo luego en una serie uniforme, 10 cual evidencia la existencia de lasiguiente relaci6n entre el VPN y el CAE:

CAE(i) = VPN(i) X [ '(1 ~n it ](1 + I) - 1

donde la expresi6n entre parentesis es el factor ~ que aparece en las tablas.c

Lo anterior demuestra que estos dos indices (VPN y CAE) son plenamenteconsistentes en las evaluaciones que producen y por consiguiente se puedenconsiderar como un mismo indicador, afectado por un factor de escala.

5.1 EI costo anual equivalente como metodopara medir la depreciaci6n econ6mica

Cuando utilizamos la palabra depreciacion, automaticamente pensamos en elsignificado contable que ella tiene y la asociamos con el cargo que imputamosen la cuenta de los activos, para tomar en consideraci6n el uso que de ellos sehace durante un periodo determinado.

Un activo normalmente se registra con un valor inicial de adquisici6n, quese deprecia durante un determinado numero de afios, teniendo en cuenta elvalor de salvamento que pueda tener al final, el cual puede ser negativo en elcaso de activos que requieran desmonte 0 demolici6n.

Si llamamos $P al valor de adquisici6n y $L al valor de salvamento, el cargocon table por depreciaci6n en Colombia, donde se acepta la depreciaci6nuniforme 0 de linea recta, es:

Depreciaci6n anual($P - $L)

Numero de afios de vida del activo

Un metodo contable de depreciaci6n como el anterior presenta el inconve-niente de que aunque tiene en cuenta la perdida de valor del activo y el desgaste

124 Evoluacion de Proyectos

o consumo de capital, no incluye la perdida que se produce por no recibir lasganancias que se hubieran po dido generar al colocar, en otras inversiones, losdineros invertidos en el activo. Es decir, si depreciamos un activo en 10 afios,

cargando cada afio _1_ de su valor, solo estaremos teniendo en cuenta la per-10

dida gradual de capital, pero no la oportunidad perdida de la productividaddel mismo. Para inc1uir este ultimo aspecto, es preciso utilizar un metodo dedepreciacion que en ultimas resulta ser el costo anual equivalente de lainversion en el activo.

Supongamos que se adquiere una rnaquina en $P de contado y se utilizadurante 5 afios, al final de 10s cuales se vende en $L. ~Cuanto cuesta anual-mente po seer esta maquina? Veamos el grafico 5.2.

$L

1--------L-------~~------~iL---~--~:--------1$P

Grafico 5.2

Si convertimos a $P en una serie uniforme de 5 pagos y hacemos 10 mismocon $L, habremos calculado el CAE de la inversion en la maquina. Tal sumaes 10 que cuesta po seer la maquina por afio 0, dicho de otra manera, 10 queestariamos dispuestos a pagar por arrendar la maquina, en lugar de cornprar-la. Esta cantidad es la depreciacion financiera del activo. A continuacionpresentamos una f6rmula simplificada para computar tal depreciacion.

Depreciaci6n econ6mica = CAE (i) = P [ i(1 + On . ] - L [ i ](1 + it - 1 (1 + it - I'

Dep. ec. = 1n [Pi(1 + it - u + Li(1 + it - Li(1 + it'](1 + i) - 1

= (P - L) [i(1 + if] + Li[(1 + it - 1], (1 + it - 1 (1 + if - 1


De . Ec. = (P - L) [ i(1 + it J + uP (1 + it - 1

Debemos observar que el factor entre parentesis rectangulares es el mismoque convierte una cantidad P en una serie uniforme R, el cual se encuentratabulado.

Consideremos un ejem plo: una grua vale $ 800 000 y tiene una vida esperadade 12 afios al cabo de los cuales se debe reemplazar. Su valor de salvamento ental momenta futuro es $ 400000. Para esta clase de inversiones la compafiiautiliza una tasa de interes del 12% anual. En estas condiciones y aplicando laformula simplificada:

Dep. ec. ($800000 - $400000)(0.161437) + $400000 X 0.12

$112574.80

Desde el punto de vista financiero, esta ultima cantidad es 10 que cuesta lagrua por afio.

5.2 Un error comun en la tncorporaclonde la depreclaclen

Un error que se introduce frecuentemente en el analisis de proyeetos de in-version euando se desea ineorporar la depreciacion, es el de tenerla en euentasimultaneamente por el camino contable y por el camino financiero. En taleaso, se penaliza el analisis con una doble medici6n de la depreeiaei6n, por viasdiferentes que no son comparables. Aclaremos 10 anterior apoyandonos en elejemplo de la gnia que aeabamos de examinar.

Estableeimos que la depreciacion financiera de la grua asciende a $112574.80.Si adernas averiguamos que se usa el metodo eontable de depreciacion unifor-me podemos, entonces, dedueir que la depreciacion con table es:

$ 800 000 - $ 400 000

12= $33333.33Dep. cont. =


El error frecuente que deseamos resaltar, es el que surge cuando se hace elsiguiente raciocinio:

Costo anual de la grua

Costo anual equivalente de la inversionDepreciacion contable

Total

$112574.8033333.33

$145908.13

Es indudab1e que en el caso anterior se mide dos veces la depreciacion: unavez en terrninos financieros y 1aotra en terrninos contables. Por este motivo, 1acifra total de $145 908.13 realmente no tiene sentido y puede ser peligrosa si seutiliza como elemento de juicio para adoptar la decision de adquirir la gnia.Todo esto se puede ver en forma nitida con el ejemplo extremo de un activoque se adquiere en $ 100000, dura un afio y no tiene valor de salvamento. Siademas suponemos que la tasa de interes de oportunidad es nula, el analisis esel siguiente:

Costo anual del activo

Costo anual equivalente del activoDepreciacion con table

Total

$100000.00100000.00

$200000.00

El resultado es clara mente erroneo, ya que estariamos considerando comocosta del activo el doble de su precio de compra, a pesar de emplear una tasa deinteres de oportunidad nula.

5.3 EI error que acarrea el usode la depreciaci6n contable

La empresa comunitaria IRRIGACION COLECTIVA ha adquirido un con-junto de bombas para irrigar un valle que tiene 10 000 hectareas de extensionCada bomba vale $16 500, tiene una capacidad para irrigar 100 hectareas,ocasiona costos anuales de operacion de $ 5 000 Ytiene una vida esperada de 10aiios, sin valor alguno de salvamento. El director financiero de la empresa sabeque la tasa de interes de oportunidad es del 20% y ha hecho el siguiente calculo

EI costo anual equiva/ente 127

pa~a ~e,terminar el precio que debe cobrar, por hectarea, por concepto detrngecion a cada usuario:

Costos directos anualespor hectarea = $5000 100 = $50.00

Costo de la bomba me didoa traves de la depreciacioncontable

$1650010

100 $ 16.50

$66.50Costo anual por hectarea

Al elaborar el mismo analisis utilizando el metodo del CAE para medir ladepreciacion financiera, se llega al siguiente resultado:

Cost os directos anuales por hectarea = $ 5 000 = $50.00100

Depreciacion financiera (i = 0.20 anual)

Costo anual por hectarea

$ 16 500 X (0.23852)100

$39.36

$89.36

Por tratarse de una empresa comunitaria sin animo de lucro, es probableque apoyado en el resultado de su analisis, el director financiero hubiera fijadocomo precio del servicio su costo de $66.50, y al hacerlo hubiera perdido$89.36 - $66.50 = $22.86 por hectarea irrigada al afio, 0 sea $228600 en lairrigacion de todo el valle.

5.4 La comparaclen econ6mica de proyectosque tienen diferente duraci6n

Un problema que frecuentemente enfrentan Ios inversionistas, especialmentecuando toman decisiones sobre adquisiciones 0 sustituciones de equipo, es elde como tratar Ia diferencia en la duracion de Ias alternativas. Por ejernplo, laseleccion de un sistema para el movimiento de materiales dentro de una plan-ta industrial, cuando existen las siguientes opciones:

A. Movimiento manual. Requiere una cuadrilla de trabajadores a quienes secontrata a terrnino fijo por un afio. Esta cuadrilla cuesta $1 050000 porafio.


B. Sistema de montacargas. Requiere una cuadrilla mas pequefia que solocuesta $100000 por afio, mas la adquisicion de 2 montacargas, cada unode los cuales vale $1000000 de contado y tiene una vida util de 4 afios convalor de salvamento de $100000. Los costos anuales de mantenimiento,combustible, etc. de cada montacargas, ascienden a $50 OOO/ano.

C. Sistema de rodil/os transport adores. Este sistema, bastante automatizado,requiere un grupo muy pequefio de trabajadores que solo cuestan $50 000por afio. Tiene una vida util de 7 afios con un valor inicial de $3 000 000 yvalor de salvamento de $ 1 000000. Los gastos anuales por mantenimientoy combustible ascienden a $40 000. Si la tasa de interes de oportunidad es25% anual, l,cual sistema se debe escoger desde el punto de vista finan-ciero?

El lector debe apreciar que la situacion planteada se refiere a evaluaralternativas que esencialmente constituyen gastos requeridos para la presta-cion de un servicio; en este caso el movimiento de materiales. Por este motivo,el indice de evaluacion econornica mas indicado es el CAE, que procedemos acomputar para cada una de las alternativas.

Altemativa A. El movimiento manual de los materiales genera un costaanual de $1 050000, correspondiente al valor de los salarios de la cuadrilla. Eneste caso la definicion y significado del costa anual equivalente se confundencon el unico gasto anual que genera la alternativa. Por consiguiente,

CAE(0.25)A = $1050000.00

Altemativa B. Esta alternativa tiene varios componentes que determinan elvalor del CAE: el costa anual de la cuadrilla, el costa anual equivalente de lainversion en los dos montacargas y el costa anual de mantenimiento de estosaparatos. El monto de cada uno de los anteriores costos es:

Costo anual de la cuadrillaCosto anual de la inversion en los montacargas[$900000 X 0.42344 + $25000] X 2 =

Costo anual de mantenimiento ($ 50000 X 2)

CAE (0.25) B =

$100000

$812192$100000

$1012192

Alternativa C. La estructura del CAE de esta alternativa es igual a la de laanterior:

EI costo anual equiva/ente 129

Costo anual de la cuadrillaCosto anual de la inversion en los transportadores

$2000000 X 0.31634 + $250000Costo anual de mantenimiento

$ 50000

CAE(0.25)c =

$882680$ 40000

$972 680

Siguiendo el criterio de evaluacion de este indice, concluiriamos que el cos-to anual de prestar el servicio de movimiento de materiales mediante las alter-nativas C, B y A es $972 680, $1012192 y $1 050000, respectivamente. Poreste motivo, es claro que la mejor alternativa es la C, Ie sigue la B y queda enultimo lugar la A.

La anterior afirmacion es correcta pero debe calificarse con un comentarioreferente a la vida util de cad a posibilidad, puesto que la alternativa B dura 4afios.Ja C dura 7 afios y la A un afio. Esto implica que la alternativa B es unasolucion durante 4 afios, la C durante 7 afios y la A durante un afio, de modoque para poder comparar plenamente las diferentes soluciones, es precisoconsiderar un horizonte de la misma magnitud. Para este fin, 10 mejor quepodemos hacer es mirar el minimo comun multiple de las diferentes vidasutiles, el cual, en el caso que examinamos, es 28 afios, y luego suponer que lainversion en cada solucion se puede repetir en las mismas condiciones hastacubrir 28 afios de prestacion de servicio. Si la alternativa A se repite 28 veces, laB siete y la C cuatro veces, podemos afirmar que:

EI costa anual de prestar el servicio de movimiento de ma teriales durante 28an os es $1050000, $1012192 0 $972 680, segun se emplee 1<J.alternativa A, Bo C, respectivamente.

Debemos destacar la fuerte suposicion implicita que conlleva la compara-cion de alternativas mutuamente excluyentes, con base en el indice del costaanual equivalente: debe ser posible repetir las alternativas en las mismascondiciones, hasta cubrir el minimo cornun multiplo de afios de duracion.

Si se hubiera utilizado directamente el metoda del VPN, aplicandolo a ladescripcion original de la situacion, es po sible que se hubiera adelantado elsiguiente analisis:

VPNA (0.25) = CAEA(0.25) X Factor C (1 afio, 0.25 de i)= $1050000 X 0.8 = $840000

VPN B(0.25) = CAEB(0.25) X Factor C (4 afios, 0.25 de i)= $1012192 X 2.3616 = $2390393

VPN c(0.25) = CAEc(0.25) X Factor C (7 afios, 0.25 de i)= $972680 X 3.1611 = $3074739

130 Evaluacidn de Proyectos

el cual proviene de aplicar el factor de escala que convierte el CAE en el VPN,tal como se describio en la parte inicial de este capitulo.

EI resultado obtenido con este nuevo indice es inconsistente a primera vista,con el que se observe al aplicar el ordenamiento preferencial del CAE. Con elcosta anual equivalente vim os que el ordenamiento preferencial era:

C>B>A

en tanto que con el valor presente neto es ahora:

A>B>C

La aparente contradiccion se resuelve cuando se advierte que el VPN encon-trado es el valor actual de prestar el servicio de movimiento de materiales conla alternativa A durante un afio, con la B durante 4 afios y con el sistema Cdurante 7 afios. En estas condiciones es altamente probable que resulte mayorel VPN de la alternativa que se refiere a la prestacion del servicio durante unperiodo mas prolongado, tal como acontece con el ejemplo que examinamos.

5.5 La remuneraelen integral en Colombia

La legislacion laboral colombiana se caracteriza por el enorme enfasis quehace en los aspectos relacionados con las prestaciones sociales de los asalaria-dos. Esta peculiaridad del sistema genera grandes costos por este concepto, loscuales frecuentemente no se valoran en su plena magnitud.

EI costa anual equivalente aparece como un indice muy adecuado paraanalizar estas situaciones, porque permite apreciar todo el impacto de la cargaprestacional, de una manera intuitivamente comprensible.

El aspecto mas relevante de este tern a se refiere a la retroactividad de lascesantias y a los intereses que se deben pagar sobre ellas. En terminos generalesla ley establece que por cad a afio de antiguedad, el patrono debe reconocer alasalariado una suma por cesantia igual al ultimo salario devengado. Lacesantia se acumula en una cuenta especial que debe pagarse en el momento dela desvinculacion. Pero la ley establece tam bien que el total acumulado se debereca1cular cad a afio, utilizando como base el ultimo salario recibido, produ-ciendose asi el ajuste retroactivo que se ha mencionado.

Mauricio ha sido nombrado gerente de division de una empresa, con unsueldo de $100 000 por meso Al concluir el primer afio de labores en este cargo,en su cuenta de cesantia acumula $ 100 000 que corresponden a un mes de


salario. Para el segundo afio recibe un aumento del 25%, de manera tal que sumensualidad asciende a $125000. Al concluir este segundo periodo su acumu-lado de cesantias no es $100000 del primer afio mas $125000 del segundo,sino $ 125 000 del segundo afio multiplicado por dos, que es el numero de afiostrabajados. Entre los dos calculos existe una diferencia de $25 000 que repre-senta un sobrecosto atribuible a la retroactividad de las cesantias.

La anterior situacion no es notoria ni drarnatica cuando se trata de personascon poca antiguedad. Pero si Mauricio hubiera tenido 20 afios de vinculacioncon la empresa, al concluir su primer afio de labores como gerente de divisionsu cesantia acumu1ada en ese momento habria ascendido a:

$100000 X 20 = $2000000

y al finalizar el segundo afio, el total acumulado seria

$125000 X 21 = $2625000

En estas condiciones, nuestro amigo, debido a la retroactividad de lacesantia, habria ganado adicionalmente, durante el segundo afio:

$2625000 - $125000 - $2000000 = $500000

Pero adernas de 10 anterior existe el pago de intereses sobre el total de lascesantias acumuladas, que segun la Ley, se deben liquidar y entregar anual-mente al asalariado. Estos intereses son el 12% anual calculados sobre lacesantia neta, es decir, deduciendole los anticipos que se hayan hecho en 10scasos autorizados por la Ley.

Por este concepto, como Mauricio no obtuvo anticipos, recibiria, entonces,al final del primer afio como gerente de division:

$ 2000000 X 0.12 $240000

y al concluir el segundo:

$2625000 X 0.12 = $315000

10 cual implica que la retroactividad de las cesantias tendria una incidencia deincremento en 10s intereses pagados al terminar el segundo afio de gerencia,igual a:

($2615000 - $2125000) X 0.12 $60000


Como consecuencia de todo 10 anterior, en el caso de que Mauricio tuvieraantiguedad, el efecto total de la retroactividad durante el segundo afio seria de$560000.

Las empresas deben ser muy cautelosas al computar el verdadero costa de sunomina, porque aspectos como los presentados pueden introducir enormesdistorsiones yaqui es donde el CAE ayuda a aclarar y precisar la situacion.

Cuando se desea conocer el costo mensual de un funcionario para unacornpafiia, es prudente ca1cular el CAE de todos los egresos que el genera porconcepto de retribucion de sus servicios. Por este motivo, si se pretendeconocer el costo mensual que Mauricio representa, es preciso empezar porconstruir el respectivo flujo de fondos, teniendo especial cuidado de inc1uir lospagos por intereses sobre las cesantias y el acumulado total de ellas.

Luego de tener en cuenta el 25% de aumento, los egresos que ocasiona ---Mauricio, son:

1. Salario mensual

$125000

0 2 3 4 5

Grafico 5.3

2. Primas

$62500 $62500

I I

~I I t

0 2 3 4 5 10 11 12 meses

Grafico 5.4

3. Intereses sobre las cesantias

Dependen del monto total de cesantia acumulada, el cual a su vez dependede la antiguedad del funcionario. En el caso de Mauricio la cesantiaacumulada al conc1uir el segundo afio es $2 625 000, razon por la cuallosintereses ascienden a $ 315 000. -


$315000

LI__ ~~ __ ~I~ __ ~I~ __ ~I ~I__ ~I\~ __~I~ __ ~I to 2 3 4 5 . V 10 11 12 meses

Grafico 5.5

4. Incremento en la cesantia

Como al empezar el segundo afio de gerencia, Mauricio ya tenia acumuladauna cesantia por 2 millones, 10 imputable por este concepto al periodo e _analisis, es el incremento que resulta ser: ~

o....loU

$2625 000 - $2 000 000 $625 000

lI)

El flujo anterior supone que nuestro amigo retirara la cesantia al conc1uirel~segundo afio. ~

Al reunir los diferentes componentes en un solo diagrama de flujo de dinero,se Uega a la situacion del grafico 5.7.

Al computar el CAE de este flujo utilizando una tasa de descuento de12.5%mensual, obtenemos $202922, suma que representa el costo por mes queMauricio genera a la entidad que 10emplea. Sobre la mensualidad nominal de$125 000, je1costo anual equivalente encontrado representa un incremento del62.34%!

Analisis similares al presentado son los que llevan alas empresas a utilizarfacto res en el rango de 1.5 a 1.7 sobre el salario nominal para inc1uir el efectopleno de la carga prestacional.


$625000

I$315000

ttIFTt~:--T:r

~ meses

Grafico 5.7

PROBLEMAS

5.1 Los equipos de fundici6n para una empresa manufacturera tienen uncosta de $19200000 y una vida uti! esperada de 30 arios. AI terrnino deeste periodo se estima que pod ran venderse por $2 400000, pero el costade su desmonte y demolici6n sera de $3200000. Si la tasa de interes deoportunidad de est a empresa manufacturera es del 20%, i-cual es el costaanual equivalente de sus equipos de fundici6n?

(RI: $ 3 856 922)

5.2 La Cornpanla Plastica S.A. tiene dos alternativas para la fabricaci6n decubetas plasticas. La primera irnplica la Inversion de $100 000 en equiposque tienen una vida util de 10 anos y un valordesalvamento de $10000. Lasegunda alternativa irnpllca el reemplazo del viejo equipo que se venderfaen $10000 Y la compra de u no nuevo que vale $150000, el cual tiene unavida uti! esperada de 10 afios y un valor de salvamento de $30000. Si elinteres de oportunidad para Plasticos S.A. es del 10%, calcule el VPN yelcosta anual equivalente de cada alternativa y determine cual de las dosescogeria usted, sabiendo que el costa de operaci6n y mantenimiento dela primera es $5 OOO/ano y que el de la segunda es $3 ooo/ano.

(R: Al > A2)


5.3 Construya un ejemplo en el cual al comparar el valor presente neto, elcosto anual equivalente y el valor futuro de dos proyectos mutuamenteexcluyentes con distinta vida util esperada, se produzcan inconsistenciasen el ordenamiento preferencial.

5.4 Un ingeniero consultor tiene las siguientes alternativas de construccionde un puente:

Alternativa A: puente metalico con un costo inicial de $3 000000, cos-tos anuales de mantenimiento por $80000 durante sus 50 afios de vidautil y un valor de salvamento de $200000.

Alternativa B: puente de concreto reforzado con un costo inicial de$4200000, costos anuales de mantenimiento por $20 OOOdurantesus 100anos de vida utll, costos de dernolicion al termino de esta por $1 500000 Yun valor de salvamento de $ 300000. .

iCual de las dos alternativas de inversion debera escoger si su tasa deinteres de oportunidad es deI10%? Compare este resultado con el que seobtiene al emplear el rnetodo de depreciacion uniforme.

5.5 Utilizando el ejemplo presentado sobre la rernuneracion integral en Co-lombia, construya una qrafica en la cual aparezca la antiquedad en un ejey el verdadero incremento porcentual en la rernuneraclon, en el otro.

La relaclonbeneficio-costo 6Este indice, cuya utilizacion es muy frecuente en estudios de grandes proyectospublicos de inversion, se apoya en el metoda del valor presente neto, aunqueesto no impide que en ocasiones, como 10 veremos mas adelante, produzcaresultados inconsistentes con los que arroja el VPN.

La relacion beneficio-costo (B/C), se calcula de la siguiente manera:

I. Se calcula el valor presente de los ingresos asociados con el proyecto encuestion,

2. Se calcula el valor presente de los egresos del proyecto.

3. Se establece una relacion entre el VPN de los ingresos y el VPN de losegresos, al dividir la primera cantidad por la segunda. EI resultado de taldivision es la relacion beneficio-costo:

En terminos simbolicos

B/C(i) VPN ingresosfz)= VPN egresos(i)

La relacion beneficio-costo 137

Debemos observar que la relaci6n beneficio-costo es una funci6n de la tasade interes que se emplea en los calculos del VPN de los ingresos y egresos, demodo que al ca1cular este indice con prop6sitos decisorios, es menester uti-lizar la tasa de interes de oportunidad.

La relaci6n beneficio-costo puede asumir los siguientes valores:

>1B/C(i) 1

< 1

Cuando su valor es superior a la unidad, significa que el VPN de los ingresoses superior al de los egresos, es decir, que el VPN de todo el proyecto espositivo y en consecuencia el proyecto es atractivo.

Cuando la relaci6n B/C es igual a I, el valor presente neto de los ingresos esigual al de los egresos; cuando esto acontece, el valor presente neto de todo elproyecto es igual a cero. Por consiguiente, en tales circunstancias el proyectoes indiferente y la tasa de interes utilizada representa la tasa interna derentabilidad del proyecto. .

Finalmente, cuando el valor de esta relaci6n es negativo, tenemos unproyecto en el cual el VPN de los ingresos es menor que el de los egresos, 10 cualsefiala que el VPN de todo el proyecto es negativo, es decir, que el proyecto noes atractivo.

La relaci6n beneficio-costo se utiliza especialmente en proyectos relaciona-dos con obras publicas 0 con inversiones financiadas por organismos interna-cionales tales como el Banco Interamericano de Desarrollo (BID) 0 el BancoMundial (BIRF). Estas entidades han establecido el uso de este indice comoresultado de la practica prevalente en las agencias gubernamentales de losEstados Unidos que exigen, por ley, una comparaci6n explicita de los benefi-cios y de los costos. La relaci6n beneficio-costo tarnbien es uti! para adelantarla evaluaci6n econ6mico-social del proyecto, ya que este enfoque requiere quese hagan explicit os los beneficios y costos para poder afectarlos con losfacto res de ajuste. Veamos ahora un ejemplo que ilustra la forma como seca1cula y se puede malinterpretar la relaci6n beneficio-costo.

6.1 La evaluaclon de un proyectopublico de inversion

Un proyecto de adecuaci6n de tierras requiere el siguiente calendario deinversiones:


Durante el primer afioDurante el segundo afioDurante el tercer afio

$ 50000000$100000000$100000000

De alli en adelante y durante 4"'anos, se deben invertir $10 000 000 anualespara mantenimiento ..Se estima que con este proyecto se recuperaran 10000hectareas, cada una de las cuales puede producir un neto de $10 000 enproductos agricolas, despues de deducir los costos de fertilizantes, equipo, etc.El costa de la mana de obra no se tiene en cuenta, ya que el gobiemo le haasignado un valor de oportunidad ere cero.j Cual es la relaci6n beneficio-costode este proyecto, si el gobiemo utiliza una tasa de interes de oportunidad del10% anual?

Ante todo, dibujemos el grafico de flujos de dinero asociados con esteproyecto (grafico 6.1).

$100'~

o 1 2 3 4 1\ 46 47l-'-l---'-f -.....--,----,.V t t$50' $10

$100 $100'

t t

Grafico 6.1

Calculemos ahora el valor presente de los ingresos y de los egresos, porseparado:

VPNingresos(0.10) = $100'(9.863)(0.8264) = $815078320

VPN egresos (0.10) = $ 50' + $100'(1.736) + $10'(9.863)(0.8264)

= $ 50' + $173 600000 + $ 81 507 832 = $ 305 107 832

Calculemos final mente la relaci6n beneficio-costo:

B/C (0.10) = $815078 320 = 2.67$305107832

Este dato indica que el proyecto de adecuaci6n de tierras es atractivo, yaque el valor obtenido es superior a 1. Pero muchas personas van mas alla y

La relaci6n beneficio-costo 139

frecuentemente interpretan este resultado como si cada peso de inversi6nprodujera $2.67 de rendimiento y, por consiguiente, la rentabilidad del pro-yecto fuera $ 2.67 - $1.00 = $1.67 0 sea, 167%. Quienes hacen este ra-zonamiento adicional cometen un grave error, que ilustraremos medianteun ejemplo sencillo que identifica el verdadero significado de la cifra quearroja la relaci6n beneficio-costo. ~ c

6.2 EI significado de la relaci6n beneficio-costo

EI fondo mutuo de inversiones INTERNATIONAL INC. desea atraer inver-sionistas con planes de inversi6n en US$ que rinden ell0% anual. Uno de talesplanes es el del grafico 6.2.

US$57619 US$57619

o2

US$100000

Grafico 6.2

John Brown desea comprobar que este plan de inversi6n rinde efectivarnen-te el 10% anual, para 10 cual adelanta el siguiente calculo del valor presenteneto:

VPN(0.10) = - US$100 000 + US$57 619 (1.736) = 0

B/C (0.10) = US$ 100000 = 1US$100 000

6

Habiendo verificado que el rendimiento es del 10% anual, John examina elvalor de la relaci6n beneficio-costo y se asombra al ver que es 1, porqueinterpreta este resultado como una indicaci6n de que cada peso de inversi6n


produce $ 1 de rendimiento; piensa entonces que la relaci6n beneficio-costosefiala que la rentabilidad es nula, 10 cual se contradice con la realidad.

Para complicar la situaci6n, su cufiado Tomas analiza el mismo proyecto ala luz de su tasa de interes de oportunidad que es del 5% y encuentra:

B/C (0.05) = US$107 113 = 1.07113US$100000

Tomas deduce de esto que el rendimiento de la inversi6n es del 7.113%anual. Se produce entonces una intensa discusi6n entre John y Tomas; elprimero afirma que la rentabilidad puede ser el 0% 0 ell 0% y el segundo estaconvencido de que la rentabilidad es el 7.113%. l,Quien tiene la raz6n?

Esperamos que ellector no dude de que la verdadera rentabilidad es ellO% yque el problema se encuentra en la interpretaci6n que se da a la cifra debeneficio-costo.

Cuando se explor6 el significado de la cifra que representa el VPN, seestableci6 que es el valor de oportunidad extraordinario qut tiene el proyectoen cuesti6n, es decir, que constituye el valor de la "prima" que se debe pagaral duefio de la opci6n para que acceda a cederla. Entonces:

VPN = "prima" = VPN ingresos - VPN egresos

si multiplicamos los dos miembros de la ecuaci6n por , obtene-VPNegresos

mos:"prima"VPNegresos

-1.VPN ingresos

VPNegresos

o sea:BC

1 = "prima"VPNegresos

de esta manera el significado de la cifra que arroja la relaci6n beneficio-costoes que al sustraer de ella la unidad, se obtiene la relaci6n entre la "prima" y elvalor presente de los egresos, es decir, la cantidad de "prima" que genera cad apeso de inversi6n, cuando este ultimo se expresa en valor presente.

En el caso anterior el resultado obtenido por John indica que:

~ (0.10) = 1

Al restar de este resultado la unidad, obtenemos cero, que es la contribuci6nde la inversi6n a generar "prima". Es decir, que con este proyecto y con estatasa de interes, no se genera ninguna "prima".

La relacion beneficia-costa I·U

El result ado de Tomas se interpreta asi:

~ (0.05) = 1.07113

Al restar la unidad se obtiene 0.07113,0 sea que cad a peso de inversi6n envalor presente genera $0.07113 de "prima".

Vemos asi que el significado de la cifra de la relaci6n B/C es un pococonfuso, pero al mismo tiempo vemos que definitivamente no representa elrendimiento de la inversi6n.

6.3 Discrepancias entre la relaci6n beneficio-costoy el valor presente neto

Como acontece con 1aTIR, tambien se pueden presentar discrepancias entre elordenamiento preferencial de altemativas mutua mente excluyentes producidopor la relaci6n beneficio-costo y por el valor presente neto. Para analizar estasdiscrepancias, es conveniente examinar algunos ejemplos concretos:

Consideremos primero las altemativas A y B que se utilizaron en el subti-tulo 4.4, y recordemos que:

VPNA(O.lO) = $1506.80VPN B (0.10) = $1 363.00

y que, por consiguiente, A es preferible a B.Si calculamos ahora la relaci6n beneficio-costo para estas alternativas, ob-

tenemos:

B VPNingresos B(O.lO) $11506.80 1.15068C (O.lO)A = =VPNegresos A(0.10) $10000.00

B VPNingresos B(O.lO) $11 363.00-(O.lO)B = 1.13630C VPNegresos A (0.10) $10000.00

B B 1.13630como C (O.lO)A 1.15068 > C (O.10)B


podemos concluir que A es preferible a B. Apreciamos asi que en este ejemploparticular, el metodo de la relacion beneficio-costo es consistente con elmetodo del valor presente neto.

El resultado que hemos obtenido nos podria tentar a afirmar que siempreexiste esta consistencia. Sin embargo, como 10 veremos a continuacion, nosiempre los dos metodos producen el mismo ordenamiento.

La cornpafiia AVIOC S.A. tiene la perspectiva de comprar uno de dos tiposde avion, el Rapijet y el Grandijet, que reemplazaran la actual flotilla deaeroplanos.

Los flujos de fondos asociados con la operacion de cad a uno de estosaparatos son los del grafico 6.3.

230'

100'

o

60'

o

100'

3 43 42

Rapijet

250' Grandijet

Grafico 6.3

Como en la AVIOC S.A. tiene participacion el gobierno, este exige que laescogencia entre los dos tipos de avion se haga utilizando el metodo de larelacion beneficio-costo y que la tasa de interes de oportunidad sea la deinteres social, que es el 12% anual.

En consecuencia los calculos son 10s siguientes:

Rap ije t

~ (0.12)C

$59 150000 + $60627060$100000000

$119777 060$100000000

1.1977706

La relacion beneficio-costo 143

Grandijet

~(0.12) =C

$17858000 + $47832000 + $71180000 + $146165000$250000000

$283035000$250000000

1.13214

Como ~ (0.12) = 1.1978

Rapijet

> ~ (0.12) = 1.13214

l Grandijet

EI Rapijet resulta preferible al Grandijet.Uno de los ejecutivos de la empresa ha estado preocupado con este proyecto

y decide hacer las cuentas de otra manera, utilizando el metodo del valorpresente neto. Obtiene los siguientes resultados:

VPN (0.12) = $119777060 - $100000000 = $19777 060Rapijet

VPN (0.12) = $ 283035000 - $ 250 000 000 = $ 33035000Grandijet

Como VPN (0.12) = $33035000 > VPN(0.12) = $19777060Grandijet . Rapijet

(Encuentra que el Grandijet es preferible al Rapijet, y que este resultado es

exactamente opuesto al que arroja el metodo de la relacion beneficio-costo.Debemos preguntarnos entonces, ~cUlil es la respuesta correcta? Como

estan las cosas, nos encontramos en un estado de incertidumbre muy frus-trante.

Una manera de resolver la contradiccion encontrada es examinar 10 queimplica comprar el Grandijet en vez del Rapijet. Cuando compramos elGrandijet, debemos desembolsar $150 millones mas en el momento de lacompra, que cuando compramos el Rapijet; ademas, al finalizar el primer afiorecibimos $ 15 millones menos, al finalizar el segundo $ 25 millones mas, alconcluir el tercer afio $55 millones mas y al terminar el cuarto afio obtendre-mos $ 185 millones mas.

Se desprende de 10 anterior que comprar el Grandijet en lugar de comprar elRapijet, equivale de hecho a emprender el proyecto de inversion del grafico6.4.


$185'

$55'

$25'

o3 4

$150'

Grafico 6.4

El problema de la escogencia entre los dos tipos de avion se reduce, enton-ces, a establecer la bondad econornica de este ultimo proyecto de inversion,que llamaremos proyecto G-R.

VPN(0.12)G-R = -$150000000 - $13 393 500 + $19930000+ $ 39 149000 + $117567500

VPN (0. 12)G-R = - $ 163 393 500 + $ 176 646 500 = $ 13 253 000

Como el valor presente es positivo, el proyecto es aconsejable, 10 cualimplica que es mejor comprar el Grandijet que el Rapijet. '

Si calculamos la relacion beneficio-costo del proyecto G-R, obtenemos:

BC(0.12)G-R

$176646500$163393500

= 1.0811109

Y como el resultado obtenido es mayor que la unidad, concluimos, tambienpor este camino, que el proyecto G-R es aconsejable y, por ende, que elGrandijet es mejor que el Rapijet.

Ellector debe advertir que el metodo del VPN produce la respuesta correctadesde un principio, sin tener que hacer el analisis especifico de la diferenciaexistente -en flujos de dinero- entre las dos alternativas en cuestion. A esteultimo tipo de analisis se Ie da el nombre andlisis incremental y es precise

La relacion beneficio-costo 14-

hacerlo cuando se quiere establecer el ordenamiento preferencial de alternati-vas de inversi6n mutua mente exc1uyentes, utilizando el metoda de la tasainternade rentabilidad 0 el metoda de la relaci6n beneficio-costo.

Si se tratara de establecer la bondad comparativa de comprar no un Grandi-jet vs. un Rapijet, sino de varios Grandijets vs. varios Rapijets, el analisis seriadiferente e incorporaria problemas de tipo combinatorio que analizaremosmas adelante. Por ejemplo, si se compara la alternativa de comprar unGrandijet vs. comprar dos Rapijets, por cualquiera de los caminos que escoja-mos para evaluar las opciones, resulta preferible comprar los dos aviones maspequefios. EI lector debe recordar que el analisis inicial se hizo para laescogencia estricta entre un Rapijet 0 un Grandijet. Examinemos por que larelaci6n beneficio-costo falla en producir el ordenamiento correcto desde unpnncipro.

6.4 La supcslclcn implicita que se haceen la relaclon beneficio-costo

Consideremos los proyectos G y R, que examinamos en la secci6n anterior.Supongamos que el VPN G es mayor que el VPN R cuando se calculan estosindices utilizando la tasa de interes de oportunidad. Ante este resultado, comodebe ser muy claro para el lector, el proyecto G es preferible al R.

Si el analisis de los dos proyectos se hubiera hecho utilizando la relaci6nbeneficio-costo (computada con la misma tasa de interes de oportunidad) paraque hubiera consistencia con el resultado arrojado por el VPN, seria preciseque:

B B- > - ~En que condiciones acontece esto?CG CR

Si tomamos la desigualdad:

BCG

VPNing. G B>-VPN egres. G C R

VPNing. R

VPNegres. R

y le restamos la unidad a los dos miembros, preservamos la naturaleza de ladesigualdad:

VPN ing. G VPN ing. R _ 1-1>VPN egres. G VPN egres. R


Pero esto es:

VPN ingres. G - VPN egres. G > VPN ingres. R - VPN egres. R

VPN ingres. G VPN egres. R

Y al advertir que el numerador en cada uno de los terrninos es el valor pre-sente neto, tenemos que:

VPNG VPNR-~-~>VPN egres. G VPN egres. R

De este modo al usar el metodo de la relaci6n beneficio-costo para ordenaralternativas, se exige no s610 que el VPN de la mejor alternativa sea mayor queel de la peor alternativa, sino tambien que sea mayor que el VPN de la peoralternativa multiplicado por la relaci6n.

(VPNegresos MEJOR )

VPN egresos PEOR

Esta ultima exigencia es arbitraria, como se puede apreciar en el caso de laAVIOC S.A.:

VPNG = $33035000 > VPNR = $19777060

VPN egres. G = $ 250 000 000; VPN egres. R = $100 000 000

Entonces:

VPNG $33035000 = 0.13214VPNegr. G $250000000

Y

VPNR $19777060 = 0.19777VPNegr. R $100000000

La relacidn beneflcio-costo 147

VPNG VPNRComoO.19777 > 0.13214noesciertoque > y

VPN eg. G VPN egres. R

no se cum ple la exigencia implicita de la relaci6n beneficio-costo. Por estemotivo encontramos inconsistencia.

De nuevo nos encontramos con una situaci6n en la cual el metodo del valorpresente neto produce la respuesta acertada desde un principio y apreciamosque para adelantar un analisis correcto utilizando la relaci6n beneficio-costoes necesario hacer un estudio incremental de las alternativas en cuesti6n, esdecir, averiguar que pasa con la inversi6n adicional que requiere la altern a-tiva mas costosa; j,vale la pena hacerlo?

6.5 EI periodo de restltuclon

Este metodo, que en ingles se conoce con el nombre de payback period, midela bondad de un proyecto de inversi6n en terrninos del tiempo que se demoraen recuperar la inversi6n. Por ejemplo, en el proyecto del grafico 6.5.

$50000 $50000

$20000 $10000a

3 42

$100000

Graflco 6.5

el periodo de restituci6n es 3 aiios, periodo que constituye el tiempo que sedemora el inversionista en recuperar su inversi6n de $100000.

Las deficiencias que se presentan con este metodo las podemos ilustrar conla identica evaluaci6n que hace de las siguientes alternativas, que "a ojo"aparecen en orden descendente de conveniencia (grafico 6.6).

El periodo de restituci6n es un indice pobre ya que, por una parte, asignael mismo valor a cantidades que aparecen en diferentes momentos, 10 cual hace


$90000

o$10000 PR = 2 anos

$50000

2 3

$100000

$50000 $50000 $50000PR :;= 2 anos

o2 3

$100000

$90000

$10000 PR = 2 anos$50000

o2 3

$100000

$90000

$10000

PR = 2 anos

o2

$100000

Grafico 6.6

que las partidas de 90 000 dentro de un afio y 10 000 dentro de dos seconsideren tan convenientes como 10 000 dentro de un afio y 90 000 dentro dedos.

La relacion beneficio-costo 1 9

Por otra parte, el metoda ignora las sumas que aparecen despues de que seha recuperado la inversion, 10 cual es obviamente incorrecto.

La primera objecion no se puede justificar en ningun caso, pero la segundatiende a perder importancia cuando la tasa de interes de oportunidad es muyalta.

La utilizacion de este indice, que tiene tan serias deficiencias, se debe a lainsistencia de much os hombres de negocios en saber en cuanto tiempo recupe-ran su inversion.

PROBLEMAS

6.1 Recientemente aparecio un papel en el mercado financiero con las si-guientes caracteristicas: interes nominal del 9% semestral, pagadero porsemestres vencidos y madurez del titulo a los 3 anos de su expedicion. Siel valor de adqulsicion en el momento de ser expedido es de un 60% de suvalor nominal,

a) (,Cual es su relaclon beneficio-costo para un ahorrador cuya tasa deinteres de oportunidad es del 25.44% anual?

b) (,Cual debe ser el descuento inicial para que el titulo resulte indiferentepara el ahorrador?

c) Si el ahorrador dispone de $200000, (,cuanto puede esperar obtenerde ganancias extraordinarias al invertir esta suma en los nuevos titu-los?

6.2 a) Dibuje un gratico donde se muestre la variacion de la relacionbeneficio-costo del anterior proyecto, ante cambios en la tasa dedescuento. Sefiale alii la ubicacion de la TIR y de la tasa de interes deoportunidad.

b) Sobre el mismo qrafico dibuje las anteriores curvas correspondientes aesta inversion cuando los descuentos son del 40, 30, 20, 10 Y 0%.

6.3 A medida que se aproxima la madurez del titulo, el descuento por suadquisicion en el mercado secundario disminuye. Asi, un titulo que seredime dentro de dos anos, tiene un descuento en su valor nominal de25%.

a) (,Cual es la B/C para el ahorrador de nuestra historia, en estas nuevascondiciones?


b) Dibuje un qrafico en el cual aparezca en el eje horizontal el tiemporestante hasta la madurez del titulo y en el vertical el descuento quedebera tener para que la qeneracion de "prima" se mantengaen 0.2 porcad a peso de inversion inicial.

c) iSe mantiene inmodificada la TIR a 10 largo de la curva anterior?Explique las razones para sustentar su respuesta.

6.4 Calcule la relacion beneficio-costo del problema planteado en el caso dePuebla (ver capitulo 14) en torno a la alii lIamada alternativa B-A.

a) iCual es la BIC calculada sobre el flujo neto de fondos?

b) iCual es la BIC calculada sobre el flujo de ingresos y de egresos?Explique las diferencias que pueden surgir entre los dos calculos.

EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSION - ARTURO INFANTE VILLAREAL - CAP 5 AL 6

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