Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de...

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Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de generalización de patrones en

estudiantes de cuarto grado de educación primaria

Christian Arturo Olarte Zabala

Diana Pahola Suárez Mendoza

Director: Dr Rodolfo Vergel Causado

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencia y Educación

Maestría en Educación

Énfasis en Educación Matemática

Bogotá, 2018

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Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de generalización de patrones en

estudiantes de cuarto grado de educación primaria

Christian Arturo Olarte Zabala

Diana Pahola Suárez Mendoza

Trabajo de investigación para optar al título de Magíster en Educación

Director: Dr. Rodolfo Vergel Causado

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencia y Educación

Maestría en Educación

Énfasis en Educación Matemática

Bogotá, 2018

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Agradecimientos

Al profesor Dr Rodolfo Vergel por compartir su conocimiento y ayudarnos en este proceso

investigativo.

A los niños del Liceo Alta Blanca que participaron en la fase pilotaje y a la coordinadora

Ruth Rodríguez quien siempre estuvo con las puertas abiertas.

A las directivas y niños del colegio Canapro que participaron en la investigación, quienes

con gran entusiasmo asistieron cada sábado con ganas de aprender algo nuevo.

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Resumen Analítico en Educación – RAE

1. INFORMACIÒN GENERAL

Título del documento Tesis de grado de Maestría.

Acceso al documento Universidad distrital Francisco José de Caldas.

Título del documento Evolución de fórmulas corpóreas en procesos de

generalización de patrones en estudiantes de cuarto grado de

educación primaria.

Autores Olarte Zabala, Christian Arturo

Suárez Mendoza, Diana Pahola

Director Dr. Vergel Causado, Rodolfo

Unidad patrocinante Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

Palabras clave Generalización de patrones, Evolución, Fórmulas corpóreas y

Problemas de la generalización.

2. DESCRIPCIÓN

Esta propuesta de investigación aborda la enseñanza-aprendizaje del álgebra en

educación primaria, previa al lenguaje alfanumérico y a partir de la generalización de

patrones como herramienta potenciadora. Desde una perspectiva sociocultural de la

educación matemática, y apoyados en la metodología multimodal se investiga la

evolución de fórmulas corpóreas, como indicativo de pensamiento algebraico, hacia

formas más sofisticadas en generalización de secuencias de patrones. El análisis se

realiza desde los tres problemas de la generalización (epistemológico, fenomenológico y

semiótico), apoyados en la idea que los gestos, movimientos y señalamientos evidencian

formas de pensamiento algebraico que tienen intenciones frente a una labor de

generalización de patrones.

3. FUENTES

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4. CONTENIDOS

La investigación se desarrolla en seis capítulos, de la siguiente forma:

En el capítulo uno se desarrollan los aspectos preliminares: la delimitación del problema

y los objetivos de la investigación. En el capítulo dos se muestra el marco teórico bajo

el que se contextualiza la investigación, teniendo como referencia la teoría de la

objetivación y los tres problemas de la generalización. En el tercer capítulo se describe

la metodología de la investigación, las características de la población y las

reformulaciones de las tareas. Teniendo en cuenta los datos obtenidos, en el capítulo

cuatro se realizará el análisis fundamentado en el marco teórico de la evolución de las

fórmulas corpóreas en el transcurso por los tres problemas de la generalización.

La respuesta a la pregunta de investigación, reflexiones y síntesis se mostrarán en el

capítulo cinco. Finalmente, en el capítulo seis se observarán las referencias

bibliográficas y los anexos que se usaron en el desarrollo del trabajo.

5. METODOLOGÍA

Teniendo en cuenta la pregunta de investigación enmarcada en la perspectiva de la

teoría de la objetivación propuesta por Radford, se realizará un análisis multimodal,

donde, según Arzarello (2006) se debe tener en cuenta la relación de los diferentes

recursos semióticos movilizados durante la actividad (lenguaje escrito, lenguaje

hablado, gestos, acciones, etc). El desarrollo metodológico tomará la estructura de

Radford (2010b) adaptada por Pantano (2014) constituida por: fase 1 de diseño de las

7

tareas, fase 2 de implementación de las tareas, fase 3 de recolección de los datos y fase

4 de interpretación de los datos.

6. CONCLUSIONES

Se plantea una respuesta a la pregunta de investigación, teniendo en cuenta la

articulación entre los objetivos descritos inicialmente, postulados teóricos de la teoría de

la objetivación, y el análisis multimodal. Se encontraron los siguientes medios

semióticos de objetivación:

Señalamientos con el lapicero.

Movimientos en el aire.

El spinner.

Señalamientos con los dedos.

Golpes sobre las hojas de trabajo o escritorio.

En cuanto a la evolución de fórmulas corpóreas se resalta la importancia de los nodos

semióticos, la contracción semiótica, la iconicidad y la experiencia en el trabajo con

secuencias de patrones. Para terminar brindamos en este caso particular del paso por los

tres problemas de la generalización conclusiones en cuanto a los tipos de secuencias

utilizadas en el campo fenomenológico, a la experiencia en la generalización de

patrones y la abducción analítica en el campo epistemológico y en cuanto a la

representación del objeto generalizado y los medios semióticos de objetivación en el

campo semiótico.

Elaborado por: Olarte Zabala, Christian Arturo

Suárez Mendoza, Diana Pahola

Revisado por: Dr. Vergel Causado, Rodolfo

Fecha de elaboración del resumen: 12 05 2018

8

Tabla de contenido

Tabla de contenido ................................................................................................................. 8

Tabla de Tablas....................................................................................................................... 9

Tabla de Ilustraciones ............................................................................................................. 9

Introducción .......................................................................................................................... 12

Capítulo 1 ............................................................................................................................. 14

Planteamiento del problema .......................................................................................... 14

Antecedentes ................................................................................................................. 17

Objetivos............................................................................................................................... 21

Capítulo 2 ............................................................................................................................. 22

Marco teórico ................................................................................................................ 22

Capítulo 3 ............................................................................................................................. 30

Metodología .................................................................................................................. 30

Recolección de la información ...................................................................................... 46

Capítulo 4 ............................................................................................................................. 48

Análisis multimodal ...................................................................................................... 48

Actividad en la tarea 1 ................................................................................................... 48




Capítulo 5 ............................................................................................................................. 97

Conclusiones y reflexiones ........................................................................................... 97

Reflexiones .................................................................................................................. 102

Limitaciones del estudio ............................................................................................. 103

Referencias bibliográficas .................................................................................................. 104

Anexos ................................................................................................................................ 107

Hojas de trabajo Sarah, tarea 1 ....................................................................................... 107

Hoja de trabajo Sarah, tarea 1.1 ...................................................................................... 110




9

Hojas de trabajo Juan David, tarea 1 .............................................................................. 117

Hoja de trabajo Juan David, tarea 1.1 ............................................................................. 119




Hojas de trabajo Manuel, tarea 1 .................................................................................... 127

Hoja de trabajo Manuel, tarea 1.1 ................................................................................... 128




Tabla de Tablas

Tabla 1: Descripción de las tareas. .................................................................................................................. 45 Tabla 2: Fórmulas verbales de Sarah, Juan David y Manuel. ......................................................................... 96

Tabla de Ilustraciones

Ilustración 1: Estructura de la generalización de secuencias figurales (Radford 2013a). .............................. 28 Ilustración 2: Metodología investigación longitudinal. (Radford, 2010b) ....................................................... 31 Ilustración 3: Diseño metodológico. (Pantano, 2014) ..................................................................................... 31 Ilustración 4: Fase de recolección de información (Vergel, 2016). ................................................................. 32 Ilustración 5: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ............................. 33 Ilustración 6: Determinaciones en la dimensión espacial en la tarea 1 etapa de pilotaje. .............................. 33 Ilustración 7: Resultados de la tarea 2 donde el estudiante encuentra una característica común. ................. 34 Ilustración 8: Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a y tarea 2.1 “Término

de Monique” (Radford 2013a). ........................................................................................................................ 35 Ilustración 9: Posible generalidad en la tarea 3. ............................................................................................. 35 Ilustración 10: Tarea 3 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a . ............................ 36 Ilustración 11: Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a ........................ 36

Ilustración 12: Tarea 5 secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a ........................... 37

Ilustración 13: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 38 Ilustración 14: Tarea 2.1 “Término de Monique”. (Radford 2013a) .............................................................. 38 Ilustración 15: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 39 Ilustración 16: Tarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 40 Ilustración 17: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . .......................... 40 Ilustración 18: Tarea 5 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . ........................... 40 Ilustración 19: Tarea 6 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a . .................................. 41 Ilustración 20: Tarea 7 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a . ............................ 42 Ilustración 21: Cambio de la tarea número 7 en la fase de aplicación. Secuencia numérica con apoyo tabular

correspondiente a . ................................................................................................................................. 43 Ilustración 22: Tarea 1. .................................................................................................................................... 48 Ilustración 23: Indicación de cuadrados y señalamientos de filas de Ana Lucia en la figura 1 de la tarea 1. 49 Ilustración 24: Operación de la hoja de trabajo de Sarah para hallar la cantidad de cuadrados de la figura

número mil. ....................................................................................................................................................... 50

10

Ilustración 25: Pregunta 4 de la tarea 1 de Sarah. .......................................................................................... 51 Ilustración 26: Representación de las filas a través de deslizamientos de la mano en el aire. ........................ 51 Ilustración 27: Evidencia de las determinaciones sensibles en la dimensión espacial apoyadas con

determinaciones sensibles en la dimensión numérica. ..................................................................................... 52 Ilustración 28: Imagen de nodo semiótico donde Sarah indica el error de la imagen en la tarea 1.1. (Acción

lingüística-perceptiva-gestual). Radford 2013a. .............................................................................................. 53 Ilustración 29: Tarea 1.1 de Sarah. ................................................................................................................. 53 Ilustración 30: Explicación del término 10 de Juan David. ............................................................................. 54 Ilustración 31: Desarrollo de la tarea 1 de Juan David abordando los términos dados. ................................ 55 Ilustración 32: Fórmula implícita hecha por Juan David. ............................................................................... 55 Ilustración 33: Evidencia que Juan David puede no fijarse en el cuadrado sombreado. ................................ 57 Ilustración 34: Numeración de cuadrados del término 1 y de la tarea 1.1 de Juan David respectivamente. .. 58 Ilustración 35: Señalamientos que acompañan las sentencias de Manuel. ...................................................... 59 Ilustración 36: Frase donde Manuel expresa la generalidad que encontró. .................................................... 59 Ilustración 37a: Tarea 2. .................................................................................................................................. 60 Ilustración 37b: Determinación sensible en la dimensión espacial asociada a la forma de la figura y su

parecido con el “spinner” ................................................................................................................................ 61 Ilustración 38: Sarah dibujando en el aire los círculos. .................................................................................. 62 Ilustración 39: Producción escrita de Sarah, donde se evidencia la estrategia que usa para encontrar la

cantidad de círculos de cualquier figura. ......................................................................................................... 64 Ilustración 40: Uso de medio de objetivación “spinner”. ................................................................................ 64 Ilustración 41: Posible forma en que Sarah ve los términos como dos filas en la base y después unir el centro

a la fila superior. .............................................................................................................................................. 64 Ilustración 42: Hoja de trabajo de Ana Lucía. ................................................................................................. 66 Ilustración 43: Fórmula para las figuras 10000, 853 y 4102 de Juan David. ................................................. 66 Ilustración 44: Fórmula para cualquier figura de Juan David. ....................................................................... 67 Ilustración 45: Figura donde Juan David si sombrea el círculo de la mitad que representa el “uno más”. .. 67 Ilustración 46: Actividad perceptual del Juan David donde realiza deslizamientos en torno al “Spiner”, toca

la figura y acompaña con la mirada sus sentencias. ........................................................................................ 68 Ilustración 47: Manuel describiendo la figura 25 haciendo uso de recursos perceptuales, gestuales y

verbales. ........................................................................................................................................................... 70 Ilustración 48: Término 5 de Manuel con sus posibles determinaciones en la dimensión espacial. ............... 70 Ilustración 49: Explicación de la figura número 25 y 30 de Manuel. .............................................................. 71 Ilustración 50: Fórmula para cualquier término de Manuel. .......................................................................... 71 Ilustración 51: Uso de la fórmula para hallar las figuras 2000 y 10000 en la tarea 2 de Manuel. ................. 71 Ilustración 52: Tarea 3. .................................................................................................................................... 72 Ilustración 53: Sarah indicado con golpes en las hojas 12 más 12 más 1. ...................................................... 73 Ilustración 54: Producción escrita de Sarah al resolver el ítem 5. .................................................................. 74 Ilustración 55: Espacios de los términos dejados intencionalmente en la fase de pilotaje. ............................. 75 Ilustración 56: Operaciones en la hoja de trabajo de Sarah de las figuras 12, 25 y 1500. ............................. 75 Ilustración 57: Primera fórmula concordante para la tarea 3 de Juan David. ............................................... 77 Ilustración 58: Segunda fórmula no concordante para la tarea 3 de Juan David. .......................................... 77 Ilustración 59: Tercera fórmula concordante de Juan David después de la labor conjunta. .......................... 77 Ilustración 60: Manuel muestra el “dos más” que encuentra en lo espacial. ................................................. 78 Ilustración 61: Método inductivo utilizado por Manuel en la tarea 3.............................................................. 79 Ilustración 62: Indicación en la hoja de trabajo de la diferencia de “dos fósforos más”. .............................. 81 Ilustración 63: Los diferentes métodos por ensayo y error de Manuel. ........................................................... 81 Ilustración 64: Manuel señalando el “uno más” en las figuras dadas. ........................................................... 82 Ilustración 65: Tarea 7. .................................................................................................................................... 83 Ilustración 66: Sarah recitando la fórmula para el término t. ......................................................................... 84 Ilustración 67: Uso de la estructura aditiva de las fórmulas que usa Sarah. .................................................. 85

11

Ilustración 68: Patrones figurales realizados por Sarah para representar una secuencia numérica con apoyo

tabular. ............................................................................................................................................................. 86 Ilustración 69: Operaciones de los términos dados en la hoja de trabajo de Juan David. .............................. 87 Ilustración 70: Juan David describiendo cómo encontró la fórmula con un método inductivo teniendo en

cuenta sus determinaciones sensibles de tipo numérico en L24 de la sesión 9. ............................................... 87 Ilustración 71: Respuesta de la pregunta cuatro de la Tarea 7 de Juan David. .............................................. 88 Ilustración 72: Juan David describiendo la figura tres de la tarea 7. ............................................................. 88 Ilustración 73: Respuesta de la pregunta cinco de la Tarea 7 de Juan David. ................................................ 89 Ilustración 74: Fórmulas para términos lejanos de Manuel concordante con lo esperado en la tarea 7. ....... 90 Ilustración 75: Fórmula para calcular cualquier término de la secuencia donde la indeterminancia no es

parte del discurso. ............................................................................................................................................ 90 Ilustración 76: A la izquierda Manuel mostrando la operación para encontrar el número del término con

número 3005 y a la derecha María Paula preguntándole el por qué de la división. ....................................... 91 Ilustración 77: División para encontrar el término a que pertenece el número 3005 y comprobación de su

hallazgo a la izquierda. .................................................................................................................................... 91 Ilustración 78: Manuel haciendo dos golpes y un deslizamiento para decir la fórmula del término p. ........... 93 Ilustración 79: Juan realizando tres golpes en el aire y al mismo tiempo moviendo la cabeza a la derecha

para decir la fórmula del término m, . .............................................................................................. 94 Ilustración 80: María Paula haciendo tres golpes con su dedo índice, hacia el frente, en el puesto y siguiendo

los golpes con la mirada mientras dice la fórmula para el término h. ............................................................. 94

12

Introducción

La preocupación por abordar pensamiento algebraico en edades tempranas no es nueva,

pero su respuesta requiere un estudio muy amplio, que ya se ha venido adelantando desde

diferentes perspectivas.

Al respecto los Lineamientos curriculares para el área de matemáticas (MEN, 1998, p.49)

afirman que “Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional como uno de los

logros para alcanzar en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos

matemáticos fragmentados y compartimentalizados”, lo cual supone que el abordaje del

pensamiento variacional debe (y puede) darse desde los primeros años de escolaridad. Este

documento también propone iniciar el estudio de la variación (y por tanto del álgebra)

como un intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes y

además que su aprendizaje es un proceso que se madura progresivamente para hacerse más

sofisticado a través de representaciones tabulares, gráficas de tipo cartesiano o sagital,

pictóricas e icónicas, instruccional, mecánica, de las fórmulas y las expresiones analíticas.

Por otro lado tomando ideas de Radford, quien ha investigado sobre el pensamiento

algebraico afirma que es muy poco lo que se sabe sobre dicho pensamiento y aún menos en

edades tempranas, al respecto el autor indica que el pensamiento algebraico es todavía muy

general en su caracterización y requiere mucha más investigación, pues los docentes

abordan pensamiento algebraico desde el uso de símbolos alfanuméricos y después de

haber abordado aritmética necesariamente, lo cual desde la postura de Radford pierde

validez, pues él, reconoce la existencia de una zona de emergencia del pensamiento

algebraico altamente ignorada, donde los estudiantes piensan algebraicamente sin

necesidad del uso del sistema semiótico propiamente algebraico y culturalmente e

históricamente constituido.

Ahora bien se pueden abordar los tres vectores del pensamiento algebraico desde los

medios que el estudiante moviliza en la toma de conciencia del objeto que pueden ser

provenientes de diferentes sistemas semióticos, entre los que se encuentran: el lenguaje

13

propio del álgebra, el lenguaje natural y además todas las expresiones gestuales, rítmicas y

corporales, por ello parece importante resaltar lo mencionado por Moreno (2014):

La verbalización no es la única muestra de la emergencia del pensamiento algebraico,

los gestos, movimientos, señalamientos e incluso los tonos de voz evidencian formas

de pensamiento que tienen intenciones frente a una labor de generalización. En este

sentido, las fórmulas corpóreas son un indicativo del pensamiento algebraico.

De los planteamientos anteriores surge el interés de profundizar y poder nutrir lo

investigado en torno al pensamiento algebraico, teniendo en cuenta que la generalización de

patrones es una forma potente para el desarrollo del pensamiento algebraico, al respecto

Arzarello (2006) manifiesta que se deben tener en cuenta las formulaciones que expresan

generalizaciones. La naturaleza multimodal del pensamiento, según este autor, permite

observar actos de generalización a través de fórmulas corpóreas compuestas de acciones,

como gestos, ritmos, miradas, palabras, entre otras; dicha generalización se constituye en el

transcurso de los tres problemas de la generalización a saber el fenomenológico,

epistemológico y semiótico (Radford, 2013a), en el ámbito educativo en el contexto

cultural colombiano se pueden aportar más estudios en torno a evidenciar dichos problemas

en las producciones de los estudiantes y más aún en la evolución de las fórmulas corpóreas.

Se pretende estudiar el paso de los estudiantes por los tres problemas en una tarea de

generalización y enfocándonos en las fórmulas corpóreas que el estudiante moviliza y su

posible evolución a formas más sofisticadas de generalización en la búsqueda del desarrollo

de pensamiento algebraico.

14

Capítulo 1

Planteamiento del problema

De acuerdo con lo planteado por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN,

1998), el estudio de la variación puede ser iniciado desde los primeros grados de

escolaridad en el currículo de matemáticas (p. 51) entendiendo los sistemas algebraicos

como parte del pensamiento variacional, se puede inferir con dicha afirmación que es

posible realizar el tratamiento del álgebra en cualquier grado de escolaridad, en este mismo

sentido afirma Zapatera (2016), que la introducción del pensamiento algebraico desde los

primeros cursos escolares es posible mediante la observacion de patrones, relaciones y

propiedades matemáticas.

Teniendo en cuenta lo anterior se evidencia que desde hace algunos años hay estudios

demostrando el desarrollo de pensamiento algebraico en edades tempranas, sin necesidad

de usar símbolos alfa-numéricos, ni la aritmética como prerrequisito, se reconoce a Kaput

como precursor de estos estudios en lo que denominó “early algebra” o álgebra temprana,

al respecto Vergel (2014a) afirma que:

Conocemos muy poco sobre el pensamiento algebraico y, en particular, sabemos

menos sobre el pensamiento algebraico en niños y jóvenes. La investigación en álgebra

temprana comenzó hace apenas algunos años. El pensamiento algebraico es todavía

muy general en su caracterización y requiere mucha más investigación. (p.20)

Las ideas anteriores muestran que aunque existen investigaciones en álgebra temprana, aún

queda mucho por investigar, por ejemplo, Radford tiene una posición frente al pensamiento

algebraico. Tomando las ideas de Radford (2010b) se define pensamiento algebraico como

una forma particular de reflexionar matemáticamente. Desde nuestras consideraciones

podemos aseverar que el pensamiento algebraico, en tanto saber, es un conjunto de

procesos corporizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente. De

acuerdo con Radford (2010b), el pensamiento algebraico está caracterizado por tres

elementos (o vectores) estrechamente relacionados: sentido de la indeterminancia, la

analiticidad y la designación simbólica, siguiendo esas ideas Radford (2010b) afirma que la

15

generalización de patrones es considerada como una de las formas más importantes de

introducir el álgebra en la escuela. (p.75)

Por consiguiente, se puede hablar de generalizaciones factuales y contextuales (Radford

2010b), entendiendo la generalización factual desde Radford (2003) como las acciones

ligadas a términos deícticos, gestos y actividad perceptual, al respecto afirma Vergel

(2014a) los gestos, movimientos, señalamientos e incluso los tonos de voz evidencian

formas de pensamiento que tienen intenciones frente a una labor de generalización. En este

sentido, las fórmulas corpóreas son un indicativo del pensamiento algebraico.

Lo general o lo indeterminado en este estrato factual de generalización queda sin nombrar.

Por otro lado la generalización contextual hace referencia a un nivel más elevado sin

alcanzar las generalizaciones simbólicas, en este estrado de generalidad la indeterminancia

es explicita, se vuelve objeto del discurso.

Considerando las ideas precedentes, Vergel y Rojas (2013) afirman que:

El trabajo con tareas sobre generalización de patrones figurales parece ser una de las

estrategias para introducir el álgebra en la escuela, pues entre otros aspectos, posibilita

a los estudiantes acercarse a situaciones de variación importantes para el desarrollo del

pensamiento algebraico. (p. 692)

Por lo anterior puede afirmarse que la generalización es una forma de desarrollar el

pensamiento algebraico, es entonces cuando nos encontramos con tres problemas

estudiados por Radford, (2013a) que los estudiantes transcurren en su proceso de

generalización de patrones y que están mutuamente relacionados. Dichos problemas son:

1. Problema fenomenológico: donde el estudiante procede a una serie de

determinaciones1 sensibles para la escogencia de unas similitudes y diferencias de

los términos dados.

2. Problema epistemológico: a partir de los trabajos desarrollados en el campo

fenomenológico es posible encontrar una característica común y generalizarla sin

1 Las determinaciones sensibles posibles constituyen un conjunto extenso: los alumnos pueden fijar su

atención en la forma de los términos, en la cantidad de cuadros que constituyen cada uno de los términos, el

color, el espacio entre ellos, etc. (Radford, 2013a, p.5)

16

necesidad de llegar a una “fórmula o regla”. Es en este problema donde se

diferencia la generalización aritmética de la algebraica.

3. Problema semiótico: Donde se hace uso de sistemas semióticos para denotar el

objeto generalizado, con gestos, símbolos o lenguaje natural.

Estos problemas permiten un análisis de la actividad de generalización de patrones de los

estudiantes permitiendo articularlos con los estratos de generalidad propuestos por Radford,

al respecto parece importante mostrar las formas en que los estudiantes expresan la

generalidad, tomando el hecho de que no necesariamente expresan sus ideas por medio del

lenguaje natural, se puede hablar de fórmulas corporeizadas es decir según Vergel (2014a)

fórmulas expresadas a través de acciones que se despliegan en el espacio y el tiempo,

Radford (2005) se pronuncia al respecto expresando que:

La comprensión y el buen uso del simbolismo algebraico implican la consecución de

una forma cultural, sin embargo, no es la única forma de mostrar pensamiento

algebraico, pues se desconocería el papel de las fórmulas corpóreas; por tanto, el

objetivo es que “el proceso de objetivación permita dar cuenta de los aspectos

conceptuales que, debido a su propia generalidad, no pueden ser completamente

mostrados en el mundo concreto”. (p.1)

Retomando los argumentos anteriores y evidenciando que las fórmulas corpóreas son un

campo que requiere mayor investigación nos encontramos de acuerdo con Vergel (2014a)

al decir que es pertinente y necesario indagar la relación de las producciones de los

estudiantes y la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas, por ello

surge la siguiente pregunta:

¿Qué elementos semióticos, epistemológicos y fenomenológicos intervienen en la evolución

de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas en el proceso de generalización de

secuencias de patrones en estudiantes de cuarto de primaria?

17

Antecedentes

En este apartado se presentan algunas investigaciones que se han realizado en torno al

pensamiento algebraico temprano, medios semióticos de objetivación y otros elementos que

permiten dar relevancia y fuerza a esta investigación, además de evidenciar la importancia

de indagar las fórmulas corpóreas y su evolución en cuanto a la generalización de

secuencias de patrones.

Una de las primeras contribuciones a esta investigación se encuentra en Radford (2002)

quien desde el campo de la educación matemática y la teoría de la objetivación realiza un

análisis del signo desde la perspectiva del pensamiento algebraico en dos aspectos. El

primero, la designación de los objetos de discurso en la construcción de narrativas

simbólicas y el significado de afirmaciones simbólicas, el segundo, los problemas surgidos

en las operaciones llevadas a cabo con los signos que relatan dicha narrativa. La actividad

se basó en el planteamiento del siguiente problema verbal: “Kelly tiene 2 caramelos más

que Manuel. José tiene 5 caramelos más que Manuel. Todos juntos tienen 37 caramelos”.

En este estudio se evidencian dificultades de los estudiantes jóvenes en el intento de

producir expresiones algebraicas a partir del lenguaje natural, teniendo en cuenta que la

variable es la cantidad de caramelos de algunos de los personajes del problema. Aquí se

encuentran elementos de juicio para abordar el paso por el tercer problema de la

generalización (Radford, 2013a) el cual es el problema semiótico, además de esto también

se evidencia el tercer estrato de generalidad donde los estudiantes llegan a usar el lenguaje

propio del álgebra. Esto indica que existen avances investigativos en torno a los tres

problemas de la generalización en el estrato factual.

Por otra parte, Radford (2010a) afirma que la generalización en los humanos es un proceso

social, conformado por prácticas propias cambiantes históricamente, asevera que es a través

del proceso visual que se logra generalizar. Por esto se considera importante la

investigación en torno a la generalización de patrones, planteando elementos teóricos y

aplicativos, donde se evidencie como los estudiantes van refinando su mirada en torno a un

objeto matemático en la interacción cultural con otros compañeros, el profesor y el mismo

18

objeto de la actividad. La domesticación del ojo es un proceso largo en el cual llegamos a

ver y reconocer el entorno a partir de los medios culturales.

A través de dicha actividad de generalización de patrones se logra construir fórmulas

encarnadas por medio de movilización de medios semióticos de objetivación como el gesto,

ritmo y lenguaje natural. Se hace énfasis en los recursos que se movilizan y se complejizan

en lo que Vygotsky denomina zona de desarrollo próximo.

Estas fórmulas encarnadas se expresan a través de acciones desplegadas en el espacio y el

tiempo, donde se concluye que pueden evolucionar a formas más sofisticadas por medio de

un refinamiento del ojo pero se requiere mayor investigación. En este sentido, la tesis

doctoral de Vergel (2014a) se constituye en uno de los principales referentes para este

trabajo, ya que esta permite evidenciar lo realizado en Colombia sobre el desarrollo del

pensamiento algebraico en educación primaria. Dicho referente movilizo el interés por

trabajar en el campo del álgebra temprana.

En el trabajo citado anteriormente se manifiesta la necesidad de indagar en el campo del

pensamiento algebraico en primaria, de allí surge la idea de investigar sobre las fórmulas

corpóreas pues el autor afirma que: “en particular, es materia de mayor investigación la

evolución de las fórmulas corpóreas de los estudiantes hacia formas más sofisticadas, lo

cual requiere un refinamiento de la actividad perceptual” (p.12).

La investigación muestra la articulación entre la teoría y la implementación de una serie de

tareas de generalización de patrones y proporciona los siguientes elementos teóricos

(Vergel 2014b):

1. Las generalizaciones que producen los estudiantes podrían no ser tan sofisticadas

entendiendo lo sofisticado como expresiones en términos de signos alfanuméricos.

2. Caracterización del pensamiento algebraico desde los planteamientos de Radford,

por medio de tres vectores: el sentido de la indeterminancia, la analiticidad y la

expresión semiótica.

3. Se debe reconocer que las formulaciones que expresan las generalizaciones de los

alumnos pueden componerse de acciones, tales como gestos, ritmos, miradas,

19

palabras, esto es, de formulaciones que se expresan y se despliegan en el espacio y

el tiempo.

En el primer numeral, el autor expone cómo el uso de los procesos psicológicos surgen de

la actividad humana mediada por instrumentos psicológicos de carácter semiótico. Vergel

(2014b) menciona que “el desarrollo cognitivo parece depender del dominio progresivo de

unos sistemas de mediación simbólica cada vez más complejos” (p.74). En este sentido, la

interacción según Vygotski, es una relación mediada simbólicamente, y se piensa con y a

través de los signos histórico y culturalmente constituidos.

En cuanto al numeral tres Vergel (2016) afirma que los gestos y el ritmo emergen como

medios semióticos de objetivación en una tarea de generalización de patrones; el autor

muestra varias posturas teóricas sobre el gesto y el ritmo en la actividad matemática, lo cual

enriquece las conceptualizaciones que se puedes usar en la presente investigación; define y

ejemplifica conceptos sobre el pensamiento algebraico temprano y una estructuración para

la generalización algebraica de secuencias figurales, pues dicha estructura permite clasificar

las generalizaciones que lleguen a hacer los estudiantes e interpretar sus actuaciones.

En cuanto al pensamiento algebraico temprano y el uso de medios semióticos de

objetivación, Radford (2008) afirma que la transformación de la generalización a través la

evolución de los nodos semióticos hasta llegar a múltiples contracciones semióticas

proporciona que los estudiantes adquieran formas superiores de generalidad algebraica.

En cuanto al estudio de la enseñanza del álgebra en edades tempranas y el uso de

secuencias Zapatera (2016) evidencia que la realización de diferentes tareas en los primeros

grados de escolaridad permite abordar el pensamiento algebraico (corriente denominada

pre-álgebra) haciendo uso de patrones con diferentes atributos (color, tamaño forma u

orientación) concluyendo que si se realiza un trabajo progresivo con los estudiantes se

pueden alcanzar las últimas fases del pensamiento algebraico desde una postura diferente a

la socio cultural.

Finalmente, Radford (2013a) expone la generalización como uno de los procedimientos

principales de la producción de conocimiento, afirmando que está transcurre por medio de

tres problemas mutuamente relacionados:

20

1. Problema fenomenológico: este problema se plantea en la escogencia de unas

determinaciones sensibles, donde participan: la intuición, atención, intención y

sensibilidad, entre otros; para encontrar similitudes y diferencias según la

interpretación que haya hecho el estudiante del objeto.

2. Problema epistemológico: a partir de los trabajos desarrollados en el campo

fenomenológico es posible encontrar una característica común y generalizarla sin

necesidad de llegar a una “fórmula o regla”. Es en este problema donde se

diferencia la generalización aritmética de la algebraica.

3. Problema semiótico: este se problema se plantea en el uso de sistemas semióticos

para denotar el objeto generalizado, con gestos, símbolos o lenguaje natural.

Los referentes mencionados aportan evidencia de algunos estudios relacionados con el

pensamiento algebraico, su relación con la generalización y enseñanza en edades

tempranas.

21

Objetivos

Objetivo general

Identificar los elementos semióticos, epistemológicos y fenomenológicos que intervienen

en la evolución de fórmulas corpóreas hacia formas más sofisticadas de generalización de

secuencias de patrones en estudiantes educación primaria.

Objetivos específicos

1. Describir los medios semióticos de objetivación que emergen en la actividad

matemática con estudiantes de cuarto grado primaria.

2. Determinar elementos que permitan la evolución de fórmulas corpóreas hacia

formas más sofisticadas de generalización de secuencias de patrones en estudiantes

educación primaria.

3. Categorizar los medios semióticos de objetivación que emergen en el transcurso por

los tres problemas de la generalización (fenomenológico, epistemológico y

semiótico) en estudiantes de cuarto grado primaria cuando trabajan secuencias de

patrones.

22

Capítulo 2

Marco teórico

En esta sección se exponen ideas teóricas que se consideran pertinentes para la elaboración

de la investigación. Inicialmente se encuentran ideas sobre la teoría de la objetivación,

definiendo elementos importantes que se trabajan en dicha teoría haciendo énfasis en la

enseñanza-aprendizaje. Posteriormente se definirán y caracterizaran elementos importantes

del pensamiento algebraico, teniendo en cuenta la idea de generalización de patrones.

Sobre la Teoría de la objetivación

La teoría de la objetivación (TO) está dentro de las teorías de tipo sociocultural, donde se

muestra la enseñanza y el aprendizaje como una construcción social, difiriendo de teorías

individualistas en las que se privilegia la trasmisión de saberes y sujetos netamente

cognitivos dejando de lado su realidad cultural.

Por lo anterior surge la teoría de la objetivación donde se evidencia un sujeto de carne y

hueso, por ello es importante iniciar mostrando la forma en que se plantea la educación

desde los planteamientos de Radford (2014) quien afirma que la educación en general y la

enseñanza y aprendizaje en particular trata de saberes y seres, desde una perspectiva

ontológica el ser y el saber no pueden ocurrir de forma separada. Es decir se debe tener en

cuenta que en la enseñanza y aprendizaje deben estudiarse tanto los conocimientos en juego

(es decir el knowing de los alumnos), como la formación del alumno en tanto que sujeto

humano (becoming, es decir una transformación perpetua del sujeto).

Dentro de la TO un principio fundamental es el de labor conjunta entendida como una

actividad humana, este concepto está influenciado por el materialismo dialéctico, donde el

ser humano hace parte de la naturaleza y tiene necesidades que satisface activándose,

moviéndose y no realiza individualmente. La actividad de un sujeto esta mediada por sus

pares y la historia que los objetos llevan. Es este sentido Radford (2018) afirma que:

La característica social de la actividad no desaparece cuando laboramos solos (como

cuando el niño hace su deber de matemáticas en su casa). Podemos estar físicamente

23

solos, pero estamos recurriendo a recursos históricos, culturales y sociales (una

computadora, una calculadora, un lápiz, el lenguaje, la escritura, etc.) que hacen de esa

actividad una actividad social. (p.70)

La actividad en el aula de clase se ve como la forma de producción de saberes y

cooperación humana, donde los estudiantes gastan su energía encontrando gozo y

autorrealización en lo que hacen. Es a través de la labor conjunta que estudiantes y

profesores producen y se coproducen.

En la TO se tiene en cuenta que la enseñanza y el aprendizaje no son actividades separadas,

según Radford (2014) “la enseñanza- aprendizaje es la expresión de una forma de vida: una

labor conjunta que ocurre en un espacio socio-político al interior del cual tiene lugar"

(p.138). Cuando nacemos, nos encontramos en un mundo poblado de significados, un

mundo que ha sido transformado por generaciones pasadas; por ello los objetos que se

encuentran en el mundo llevan una experiencia que depende de la cultura en la que se

desarrollen. Tomando las ideas anteriores los objetos deben empezar a ser reconocidos por

el sujeto, para dicho reconocimiento deben pasar por el denominado proceso de

objetivación, el cual según Radford (2014) define como:

El proceso social, corpóreo y simbólicamente mediado de toma de conciencia y

discernimiento crítico de formas de expresión, acción y reflexión constituidas

históricamente y culturalmente. Es decir que en el proceso de objetivación participan

acciones corporales y simbólicas construidas en un entorno social. (p.141)

Continuando con las ideas anteriores es importante resaltar dentro de la teoría cultural de la

objetivación, los medios semióticos de objetivación, las concepciones teóricas de nodo

semiótico, contracción semiótica y finalmente hablar de elementos característicos del

pensamiento algebraico desde la perspectiva de generalización de patrones.

Medios semióticos de objetivación (MSO): Los medios semióticos de objetivación son

todos aquellos recursos (gestos, artefactos, signos) que moviliza el estudiante y el profesor

en el momento de tomar conciencia y hacer aparecer el objeto. En términos de Radford

(2003) son los “medios utilizados por los individuos que se encuentren en un proceso de

producción de significados, para lograr una forma estable de conciencia, para hacer

24

presente sus intenciones y organizar sus acciones y así adquirir las metas de sus acciones”

(p.4).

Dichos medios hacen parte importante para comprender el significado de las acciones

matemáticas que realizan los individuos, por ello según Vergel (2014a) es importante

identificarlos, analizar su emergencia y evolución.

Moreno (2014) resalta que “dentro de los medios semióticos de objetivación se debe dar

importancia al gesto, según la autora este es uno de los medios más recurrentes (…) en los

estudiantes que les permite comunicar ideas matemáticas abstractas, (…) es decir, los

gestos colaboran a lograr la objetivación del saber" (p.14), se puede decir que los gestos

hacen parte de la comunicación y ayudan a expresar ideas, además Vigotsky (como se cita

en Vergel, 2016) afirma que las dificultades ocasionadas por la comunicación verbal

pueden superarse al acompañar las palabras con gestos; hay que resaltar que la importancia

del gesto no radica solo en superar la dificultad de la comunicación verbal.

Nodos semióticos: En la actividad matemática es común que se usen simultáneamente

varios medios semióticos de objetivación, donde por ejemplo el lenguaje verbal, los gestos

y signos escritos trabajan de manera conjunta para expresar el objeto matemático; cuando

trabajan sistemas o medios semióticos de distinta naturaleza simultáneamente se dice que

aparece un nodo semiótico según Radford (2013b) un nodo semiótico es un segmento de la

actividad semiótica en la que los signos que provienen de diferentes sistemas semióticos se

complementan para lograr una toma de conciencia.

Contracción semiótica: Teniendo en cuenta la idea de nodo semiótico puede verse en

términos de Radford (2008) la contracción semiótica como la evolución de los nodos

semióticos, en tanto la sobriedad en el pensamiento está ligada a la manera como los

recursos semióticos van evolucionando de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más

sofisticadas.

Iconicidad: Desde los planteamientos de Moreno (2014) la objetivación del saber se logra

cuando los nodos semióticos evolucionan, una forma en que esto ocurre es cuando se toman

elementos de labores anteriores que permiten clarificar la labor actual, dentro de la

25

iconicidad se encuentra la orquestación icónica, es el proceso a través del cual los

estudiantes toman gestos o intenciones de otros sujetos para convertirlos en propios.

Sobre el pensamiento algebraico temprano

Como ya se mencionó la teoría de la objetivación surgió como una perspectiva diferente de

concebir la educación matemática, y una preocupación en torno a la enseñanza del álgebra

en la escuela. Este apartado se ocupa de definir rasgos en este último terreno.

Antes de abordar la idea de pensamiento algebraico es necesario aclarar el significado que

adquiere el álgebra desde la teoría de la objetivación, posteriormente se describirán los tres

estratos por los que el estudiante pasa en su proceso de generalización, como parte del

estudio en la teoría de la objetivación hablaremos de los tres problemas al resolver

secuencias de patrones y a partir de ellos se terminará con una breve definición fórmulas

corpóreas.

El álgebra es un lenguaje que comunica de forma sucinta, lo cual facilita su manipulación,

aunque por esta misma razón está dada a la incomprensión por parte de algunos sujetos. A

su vez es una herramienta para comunicar ideas complejas y abstractas, es especialmente

adecuado para expresar declaraciones generales (Mason, Graham, Pimm, y Norman, 2014).

Estos autores afirman que la generalidad es la vida de las matemáticas, y el álgebra es el

lenguaje con el cual se expresa esa generalidad, en este mismo sentido siguiendo a Vergel

(2015), estamos de acuerdo cuando afirma que “la generalización de patrones es

considerada como una de las formas más importantes de introducir el álgebra en la escuela”

(p.194).

De la idea anterior se destacan dos ideas importantes en el desarrollo de este trabajo, la

primera es la importancia del trabajo sobre secuencias de patrones (ya sea numéricos y

figurales) y las segunda, es la importancia de potenciar el pensamiento algebraico en

estudiantes jóvenes. En cuanto a esta última, se toma pensamiento algebraico desde

Radford (2010b) como una forma particular de reflexionar matemáticamente, en tanto saber

son procesos corporeizados de acción y de reflexión constituidos histórica y culturalmente.

De acuerdo con Radford (2010b), el pensamiento algebraico está caracterizado por 3

elementos.

26

1. El sentido de indeterminancia (objetos básicos como incógnitas, variables y

parámetros), aquello opuesto a la determinancia numérica.

2. La analiticidad, como forma de trabajar los objetos indeterminados, es decir, el

reconocimiento del carácter operatorio de los objetos.

3. La designación simbólica o expresión semiótica de sus objetos, esto es, como la

manera específica de nombrar o referir a los objetos. (Vergel 2015a)

Estos 3 vectores o componentes analíticas están estrechamente relacionadas entre sí y dan

forma y sentido a las formas de pensamiento algebraico.

En este pensamiento algebraico Radford (2010c) reconoce tres formas o estratos

caracterizados por los medios semióticos de objetivación movilizados por los sujetos en su

actividad reflexiva, incluyendo percepción, movimientos, gestos o lenguaje natural. Esas

formas de pensamiento algebraico son factual, contextual y simbólico y a continuación

definiremos sus características:

Pensamiento algebraico factual: los medios semióticos de objetivación movilizados son

los gestos, los movimientos, el ritmo, la actividad perceptual y las palabras. En este estrato

de pensamiento, la indeterminancia no alcanza el nivel de enunciación, pues se expresa en

acciones concretas, por ejemplo, a través del trabajo sobre secuencias de números. Por esto

podemos afirmar que la indeterminancia queda implícita. Por ejemplo, el alumno señala

con la mirada, con su índice, realiza movimiento con un lápiz, dice “aquí”, señala y dice

“más dos” o dice “y así sucesivamente” lo que llama el autor deícticos espaciales o

temporales (Radford, 2010c).

Pensamiento algebraico contextual: Los gestos y las palabras son sustituidos por otros

medios semióticos de objetivación tales como frases “clave”. En este estrato de

pensamiento la indeterminancia es explicita, se vuelve objeto del discurso. La formulación

algebraica es una descripción del término general. Por ejemplo, el estudiante dice “arriba

quito uno” o “dos por la figura más uno” o “# de la figura más para la fila de arriba y # de

la figura más dos para la de abajo. Sumar dos para el total”. Esto significa que los

estudiantes en este estrato de pensamiento tienen que trabajar con formas reducidas de

expresión, lo cual sugiere pensar en la idea de contracción semiótica, en tanto hay

evolución de nodos semióticos (Radford, 2010c).

27

Pensamiento algebraico simbólico: Las frases clave son representadas por símbolos

alfanuméricos propios del álgebra. Por ejemplo, mediante expresiones como ó

. En este estrato de pensamiento “hay un cambio drástico en la manera de designar

los objetos del discurso”, a través de signos alfanuméricos del álgebra, lo cual hace pensar

en otro estado del proceso de objetivación de contracción semiótica (Radford, 2010b). En el

trabajo que abordaremos nos centraremos en los dos primeros estratos ya que es de ahí

donde surge la idea de fórmulas corpóreas, que son parte de nuestro objeto de estudio, y

que profundizaremos en ellas una vez definidos los tres problemas que están presentes en el

trabajo con generalización de patrones (Radford, 2010c).

El primero de los tres problemas que se abordara es el fenomenológico y la intención

perceptual en donde para generalizar una secuencia los estudiantes atienden a una serie de

determinaciones sensibles para encontrar similitudes y diferencias. Entre las características

en la que los estudiantes se pueden fijar está la cantidad de elementos de los términos, en la

forma que estos adquieren, el color, el espacio entre los elementos de cada término entre

muchos otros. El estudiante toma algunas de estas características desde la comprensión que

hace del objeto y la intención con la que lo aborda. Esa intención fenomenológica que el

estudiante tiene no es la misma que la del profesor, si lo fuera, no estaría por encima de las

capacidades del estudiante.

Muchas veces la escogencia de esas similitudes y diferencias no es la más adecuada para

abordar la tarea, por ejemplo el estudiante puede limitarse a la dimensión cuantitativa,

perdiendo la forma en la que el término fue dado y que le ayudaría a realizar su proceso de

generalización.

En las tareas que fueron abordadas por Radford (2013a) se les pedía a los estudiantes

realizar los términos no dados 5, 6 y 7 de la secuencia. Para hacer esto los estudiantes han

hecho una generalización de una propiedad común que encontraron en los términos dados

(por ejemplo que entre un término y el siguiente hay dos elementos de más) y afirman que

para encontrar cualquier otro término deben ir sumando dos elementos más hasta llegar al

término solicitado, tarea que deja de ser práctica cuando se piden términos muy lejanos

como el 25, 100 o el número 1000. Otros estudiantes más experimentados realizan un

28

trabajo de ensayo y error para encontrar la expresión correcta que pueda definir todos los

términos, ensayando con números pequeños su validez.

Estos procedimientos se encuentran en el problema epistemológico. Ninguno de ellos

cumple con lo que consideramos pensamiento algebraico, en cambio, si pueden

considerarse aritmético.Se puede considerar que el estudiante hace una generalización

algebraica cuando según Radford (2013a):

1. Se captura o identifica una característica común, sobre algunos elementos de la

secuencia, la toma de conciencia de esta característica se hace en el trabajo sobre un

terreno fenomenológico de observación de algunos términos.

2. La generalización o aplicación de esta característica común se hace sobre términos

cercanos no dados de la secuencia. En otras palabras se hace una generalización de

la característica común C (o como Pierce lo llamaría una abducción), y C se

convierte en hipótesis H.

3. Se usa esta propiedad común dada para deducir una expresión directa que permite

calcular el valor de cualquier término no dado de la secuencia.

Cabe resaltar en este punto que cuando la característica común C solo es utilizada para

pasar de un término a otro, se llega a una generalización aritmética, es decir, no se deduce

una expresión directa que permite calcular cualquier término. Por otro lado cuando el

estudiante induce una fórmula por ensayo y error, no se hace uso sino de la propiedad

numérica de forma aritmética y por tanto, tampoco corresponde a una generalización

algebraica. Este proceso se evidencia en el siguiente diagrama:

Ilustración 1: Estructura de la generalización de secuencias figurales (Radford 2013a).

29

No siempre que el estudiante use símbolos alfanuméricos está haciendo uso de su

pensamiento algebraico, de la misma forma que no siempre que esté ausente el lenguaje

propio del álgebra, se puede decir que el estudiante no posee pensamiento algebraico.

Como se mencionó anteriormente existen otras formas de manifestar pensamiento

algebraico (factual y contextual, en estas formas la generalización algebraica puede ser

efectuada a través de otros sistemas semióticos Radford (2013a).

Por ejemplo en Radford (2013a) los alumnos llegaron a construir una fórmula encarnada

en la acción y en el lenguaje y que se puede aplicar a cualquier término particular. En

palabras de Radford:

En el caso del término 25 la fórmula es 25 + 25 + 1. Pero lo alumnos pueden aplicarla

ahora a otros términos. Otro alumno propone el término 50, y dice: 50 + 50 + 1. La

encarnación (embodiment) de la fórmula en la acción y en el lenguaje natural es

potente, pero tiene sus límites. (Radford, 2013a, p. 12)

En esta fórmula encarnada lo indeterminado no es objeto del discurso pero si aparece

instanciada en algunos de sus términos (lejanos y cercanos), para que esto ocurra habrá que

mover la actividad de enseñanza-aprendizaje a otros niveles de generalidad en el que

aparecerán, del lado de los alumnos (estudiantes), nuevas formas de conciencia

mediatizados por el uso más abstracto del lenguaje oral y escrito (p.12).

Con los planteamientos expuestos se da cuenta de los principales elementos teóricos

necesarios para comprender y abordar la pregunta de investigación para posteriormente

delimitar la metodología implementada.

30

Capítulo 3

Metodología

Enmarcamos la metodología desde un enfoque cualitativo donde, según Vasilachis (2006),

la investigación cualitativa es interpretativa, inductiva, multimetódica y reflexiva. Emplea

métodos de análisis y de explicación, flexibles y sensibles al contexto social en el que los

datos son producidos. Se centra en la práctica real, situada, y se basa en un proceso

interactivo en el que intervienen el investigador y los participantes. (Vasilachis, y otros,

2006, pág. 29)

Teniendo en cuenta nuestro objeto de estudio y pregunta de investigación enmarcada en la

perspectiva de la teoría cultural de la objetivación propuesta por Radford (2006) se

realizará un análisis multimodal. Dicho análisis, según Arzarello (2006) debe tener en

cuenta la relación de los diferentes recursos semioticos movilizados durante la actividad

(Lenguaje escrito, lenguaje hablado, gestos, acciones, etc) tomando como referencia el

ciclo inspirado en Radford (2010b) en donde se desarrollan las siguientes fases: diseño de

las actividades de clase, implementación de las actividades de clase, interpretación de los

datos y generación de teoría.

En el presente desarrollo metodológico se tomará la estructura propuesta por Pantano

(2014) la cual está constituida por las siguientes fases: fase 1 de diseño de las tareas, fase 2

de implementación de las tareas, fase 3 de recolección de los datos y fase 4 de

interpretación de los datos, como se observa en dicha estructura han sido modificadas las

dos últimas fases, ya que no se generará teoría; es importante hacer evidente la recolección

de datos previamente a su interpretación, ya que se adapta a los propósitos de la presente

investigación.

31

Ilustración 2: Metodología investigación longitudinal.

(Radford, 2010b) Ilustración 3: Diseño metodológico. (Pantano, 2014)

Los instrumentos de recolección de datos serán las producciones de los estudiantes, se

tomaran vídeos, registros fotográficos, entrevistas y producciones escritas; teniendo en

cuenta la fase de recolección de datos, se asumirán las consideraciones metodológicas de

Vergel (2016) donde la recolección de información estuvo precedida por el diseño previo

de tareas desarrollado en cuatro fases (Ver ilustración 4):

En la primera fase, se graban en vídeo todas las actividades de clase, por un lado la

sesión de clase completa y, por otro, discusiones focalizadas de algunos grupos en el

aula de clase en el momento de resolver tareas. La segunda fase refiere a la obtención

de hojas de trabajo de cada estudiante, advirtiendo que si la actividad no terminaba en

una sesión, las hojas de trabajo se recogían y se entregaban nuevamente en la siguiente

sesión. Las fases tres y cuatro hacen referencia, respectivamente, a la transcripción de

todos los vídeos correspondientes a las sesiones de trabajo y al análisis de vídeos y de

las hojas de trabajo en los cuales había evidencias de los procesos de resolución de las

tareas sobre generalización de patrones. (Vergel,2016, p.25)

32

Ilustración 4: Fase de recolección de información (Vergel, 2016).

Se debe resaltar que el análisis de los datos se dará a la luz de la teoría recolectada en el

marco teórico, prestando especial atención a los medios semióticos de objetivación

movilizados por los estudiantes, con el fin de centrar nuestra atención en la evolución de las

fórmulas corpóreas.

Para la elaboración de las tareas se tuvo en cuenta una fase de pilotaje realizada con 5

estudiantes de grado tercero de un colegio privado en Bogotá. En el propósito de la tarea se

encontraba la discusión en grupos de trabajo, sin embargo los estudiantes trabajaron de

manera individual y posteriormente socializaron sus respuestas. Con la aplicación del

pilotaje se esperaba observar la emergencia de algunos medios semióticos de objetivación y

el transcurso por los tres problemas de la generalización.

Elaboración de tareas y pilotaje

Las tareas que se plantearon estaban relacionadas con la generalización de patrones, las

tareas 1 y 2 son tareas de patrones figurales con apoyo tabular. La tarea 1 es tomada y

METODOLOGÍA Recolección de los datos

Cuatro fases

1. Grabación en video

4. Análisis

Las clases

Videos

Posterior a la fase 1 Diseño de tareas y

pilotaje

Transcripciones

Diario de campo

Discusiones grupales

2. Obtención de hojas de trabajo Al finalizar cada sesión

3. Transcripción de los videos

Hojas de trabajo

33

adaptada de Godino y Font (2003) se adaptó con el propósito de fijar la atención de las

determinaciones sensibles de los estudiantes en los “fósforos” y no en los triángulos.

Tarea 1

Nombre: ________________Edad: ________Curso: ______________Fecha______________

Observa la siguiente secuencia:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Teniendo en cuenta la información anterior:

1. Dibuja hasta la figura 6 2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin dibujarla. Explica cómo lo haces. 3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 23? 4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de fósforos de cualquier figura.

Ilustración 5: Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a .

En la fase de pilotaje los estudiantes logran crear sus propias generalidades, aunque no son

las que matemáticamente se esperan puede observarse lo que afirma Radford (2015) al

decir que los estudiantes dejan de lado determinaciones espaciales y tienden a fijarse en el

conteo, como se observa en la ilustración 6.

Ilustración 6: Determinaciones en la dimensión espacial en la tarea 1 etapa de pilotaje.

Es importante destacar que al ser la primera vez que los estudiantes se encuentran con este

tipo de tareas hace que no tengan claridad de su forma de proceder y sientan un poco de

temor, esto implica que los medios semióticos de objetivación de los estudiantes no surjan

34

de manera tan natural, por lo tanto se observa que la tarea 1 puede ser implementada pero

no como una tarea inicial.

La tarea 2 es tomada y adaptada de Radford (2013a) se plantea con el propósito de permitir

una familiarización de los estudiantes con este tipo de tareas, además de poder evidenciar

los medios semióticos de objetivación que permitan generar en los estudiantes una fórmula

por ensayo y error como lo afirma Radford (2013a), en la fase de pilotaje se observa que los

estudiantes identifican una comunalidad pero no se evidencia que la conviertan en

hipótesis, tal como se muestra en la ilustración 7. Se considera que la tarea debe ser

propuesta como tarea inicial, ya que facilita un acercamiento a tareas de generalización.

Ilustración 7: Resultados de la tarea 2 donde el estudiante encuentra una característica común.

Se propone una tarea 2.1 con el fin de observar las determinaciones sensibles de los

estudiantes, en la fase de pilotaje no se alcanza a hacer aplicación de dicha tarea, sin

embargo se considera importante su implementación debido a que es una tarea ya aplicada

por Radford (2013a) y es necesario contrastar los resultados en torno a los tres problemas

de la generalización con la misma.

Tarea 2

Nombre: ___________________Edad:____________Curso:_______Fecha:____________ Observa la siguiente secuencia:



1. Dibuja hasta la figura 6

2. Calcula la cantidad de cuadrados de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.

35

3. ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 20?


5. Explica un procedimiento para calcular el número de cuadrados de cualquier figura.

Tarea 2.1

Santiago dibujo la figura 6 que se observa a continuación:

¿Santiago dibujo correctamente la figura? ¿Por qué?

Ilustración 8: Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a y tarea 2.1 “Término de

Monique” (Radford 2013a).

Después de realizar varias tareas figurales con apoyo tabular, se considera importante

observar el proceder de los estudiantes con tareas numéricas y así mismo evidenciar los

medios semióticos que emergen, con la tarea 3 se evidencia que él posiblemente encuentra

una generalidad, aunque no da sentencias contundentes para conocer su característica

común, pues a diferencia de las secuencias numéricas no tiene la forma de verificar con

certeza sus afirmaciones.

Ilustración 9: Posible generalidad en la tarea 3.

36

En la tarea 3 el estudiante responde todas las preguntas dejándose guiar por su intuición y

sus determinaciones en la dimensión numérica. Se decide llevar esta tarea a la fase de

aplicación sin cambios pero en la fase de aplicación se cambiará la secuencia de 3n+1 por

una 3n+2 debido a que todas las tareas anteriores tienen un término independiente de 1, esta

sería la única a la que se le suman dos.

Tarea 3 Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________


Teniendo en cuenta la información anterior: 1. Calcula el término 5. 2. Calcula el término 10 3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100? Explica cómo encontraste la

respuesta. 4. Explica un procedimiento para calcular el número de cualquier término.

Ilustración 10: Tarea 3 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a .




Teniendo en cuenta la información anterior: 1. Dibuja hasta la figura 6.

2. Calcula la cantidad de cubos de la figura 12 sin dibujarla. Explica como lo haces. 3. ¿Cuántos cubos tiene la figura 23? 4. ¿Cuántos cubos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de cubos de cualquier figura.

Ilustración 11: Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a

37





1. Dibuja hasta la figura 6.

2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin dibujarla. Explica cómo lo haces. 3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 23? 4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de fósforos de cualquier figura.

Ilustración 12: Tarea 5 secuencia figural con apoyo tabular correspondiente a

Reformulación de las tareas y fase de aplicación

Posterior a la fase de pilotaje se realizó una reformulación de las tareas y se decide enfocar

la aplicación de las tareas a estudiantes de grado cuarto de primaria. No se aplicaron las

tareas 4 y 5 debido a su complejidad numérica de la generalización para estudiantes de esa

edad, se formularon 3 tareas adicionales para un total de 7 y se cambió el orden para

presentar las tareas a los estudiantes (Ver Tabla 1).

Se decide hacer implementación de un mayor número de tareas figurales con un total de 6 y

se fórmula una tarea numérica con apoyo tabular con el propósito de poder evidenciar una

contracción semiótica de las fórmulas encarnadas a fórmulas enmarcadas en el álgebra de

tipo simbólica y que tenga más influencia del conocimiento cultural e histórico.

A continuación se presentan las tareas para la fase de aplicación con las preguntas

correspondientes pero sin los espacios de respuesta para los estudiantes, las tareas finales

presentadas y escaneadas podrán ser consultadas en los anexos del presente trabajo.

38






2. Calcula la cantidad de cuadrados de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.


4. Explica un procedimiento para calcular el número de cuadrados de cualquier figura.


Tarea 1.1 Tomás dibujo la figura 6 que se observa a continuación:

¿Tomás dibujo correctamente la figura? ¿Por qué?

Ilustración 14: Tarea 2.1 “Término de Monique”. (Radford 2013a)



39



1. Dibuja la figura 5 y la figura 6.

2. Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 sin dibujarla. Explica cmo lo haces.

3. ¿Cuántos círculos tiene la figura 30?

4. Explica un procedimiento para calcular el número de círculos de cualquier figura.






1. Dibuja hasta la figura 6. 2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin dibujarla. Explica cómo lo haces. 3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 20? 4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100? 5. Explica un procedimiento para calcular el número de fósforos de cualquier figura.



40





Figura 1 Figura 2 Figura 3


1. Dibuja la figura 4.

2. Calcula la cantidad de hexágonos de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.

3. ¿Cuántos hexágonos tiene la figura 20?

4. Explica un procedimiento para calcular el número de hexágonos de cualquier figura.


Tarea 6

Figura 1 Figura 2 Figura 3



2. Calcula la cantidad de triángulos de la figura 10 sin dibujarla. Explica cómo lo haces.

3. ¿Cuántos triángulos tiene la figura 30?

4. Explica un procedimiento para calcular el número de triángulos de cualquier figura.

41

Nombre: ___________________Edad:________________Curso:_______Fecha:____________





2. Calcula la cantidad de cuadrados grises de la figura 23 sin dibujarla. EXPLICA CÓMO LO

HACES.

3. EXPLICA UN PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR EL NÚMERO DE CUADRADOS

GRISES DE CUALQUIER FIGURA.

4. Tomás quiere construir la figura 31. Explica lo que debe hacer para construirla.

5. Tomás tiene una figura de esta secuencia. Él usó exactamente 48 cuadrados grises. ¿A qué

número de figura corresponde? Explica la manera como hallaste la respuesta.

6. Escribe un mensaje a un compañero, que no asistió a clase en donde le expliques con

claridad y con todos los detalles cómo procederes para calcular rápidamente el número de

cuadrados grises de la figura 700.


Esta tarea se inserta después de la fase de pilotaje y estando en la fase de aplicación ya que

los estudiantes estaban acostumbrados a tener secuencias de patrones en donde la constante

fuese 1. En este caso la constante es cero (o no tiene constante) y se pretende evidenciar

cómo las tareas anteriores influyeron en la generalización de patrones.



Teniendo en cuenta la información anterior: 1. Calcula el término 5. 2. Calcula el término 10.

42

3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100? Explica como encontraste la respuesta.

4. Explica un procedimiento para calcular el número de cualquier término.

Ilustración 20: Tarea 7 secuencia numérica con apoyo tabular correspondiente a .

Aplicación de las tareas

En esta etapa se empieza con la aplicación de las tareas en una institución privada del norte

de Bogotá, con 10 estudiantes de cuarto grado con edades entre los 9 y 10 años y los días

sábados de 10:00 am a 12:00 pm. En este proceso observamos la presentación de estas

secuencias estaba provocando en los estudiantes la idea que en todas las secuencias el

término independiente sumado siempre corresponde a 1, ya que así es en las tareas 1 a 6.

Adicionalmente, en la tarea 6 se insertan las preguntas 5 y 6 que pretenden aportar datos a

la investigación acerca de cómo los estudiantes hacen uso de la fórmula encarnada y la

manipulan para encontrar el número del término dado la cantidad de elementos de este, o

dicho de otra forma, encuentran una relación de la función inversa.

En estas dos últimas tareas se hace especial énfasis en la justificación de las respuestas en

las preguntas 2 y 3, esto para poder evidenciar las interpretaciones de las determinaciones

sensibles en la dimensión espacial y numérica que los estudiantes tienen frente a la tarea.




1. Calcula el término 19.

2. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100? EXPLICA CÓMO ENCONTRASTE LA

RESPUESTA.

3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 29? Explica como lo haces.

4. Explica un procedimiento para calcular cualquier término.

5. Escribe un mensaje a un compañero, que no asistió a clase en donde le expliques con claridad

y con todos los detalles como procederes para calcular rápidamente el número que

43

corresponde al término 5753.

Ilustración 21: Cambio de la tarea número 7 en la fase de aplicación. Secuencia numérica con apoyo tabular

correspondiente a .

Como se mencionó anteriormente esta tarea fue sujeta a cambios con el fin de encontrar

más datos para la investigación. La fórmula de la generalización cambió a una secuencia

del tipo 3n+2 y se adiciona la pregunta 5 con el objetivo de evidenciar cómo los estudiantes

hacen uso de la fórmula encontrada con términos lejanos, en este caso el 5753. En esta tarea

no se introduce la pregunta de relación funcional inversa (como en la tarea anterior) ya que

los estudiantes no han tenido contacto con secuencias numéricas con apoyo tabular.

44

Tabla 1: Descripción de las tareas Las tareas escalan en el nivel de dificultad para propiciar la generalización de patrones de diferentes características en los estudiantes, pasando por generalizaciones de

secuencias correspondientes a ; dedicándole dos, tres, una y una tarea respectivamente.

Tareas

Clasificación de la

secuencia * Preguntas Justificación

FT NT EF EN

Tarea 1: Tomada y

adaptada de Radford

(2013a).

X


2. Calcula la cantidad de cuadrados de la figura 10 sin

dibujarla. Explica como lo haces.


4. Explica un procedimiento para calcular el número de

cuadrados de cualquier figura.

Empezar la aplicación de las tareas con una secuencia ya probada

por Radford y de donde emerge nuestro problema de investigación

en el contexto Colombiano.

Las primeras tres preguntas son adaptaciones de la tarea original,

preguntando por términos cercanos y lejanos, así como de un

procedimiento para hallar la cantidad de elementos de cualquier

figura (indeterminancia).

Tarea 1.1.: Tomada

y adaptada de

Radford (2013a).

X ¿Tomás dibujo correctamente la figura? ¿Por qué?

Evidenciar si la escogencia en las determinaciones sensibles en la

dimensión espacial fue acertada por parte del estudiante para el

desarrollo de la tarea 1.

Tarea 2: Tomada y

adaptada de un

documento de la

Tufts University

((2004).

X


2. Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 sin


3. ¿Cuántos círculos tiene la figura 30?


círculos de cualquier figura.

Continuar la actividad con una tarea de un nivel de complejidad

más alto con una figura que, creemos, es más intuitiva.

Los términos cercanos usados son mayores que en la anterior, pero

los lejanos se reducen.

Se diferencia uno de los elementos de una tonalidad oscura y

representa la suma de una constante en estos casos uno.

Tarea 3: Tomada y

adaptada de una

secuencia propuesta

por Godino y

Font(2003).

X


2. Calcula la cantidad de fósforos de la figura 12 sin


3. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 20?

4. ¿Cuántos fósforos tiene la figura 100?


fósforos de cualquier figura.

Cambia el uso del tipo de elementos, de figuras geométricas

regulares a los clasicos problemas con fosforos. Se inserta una

pregunta donde se pregunta por un termino cercano pero mayos a

los usados anteriormente.

Esta item pregunta por una relacion funcional directa.

Tarea 4: Tomada de

Centro de

Innovación en la

Enseñanza de

Matemáticas

(CIMT, 2005).

X


2. Calcula la cantidad de triángulos de la figura 10 sin


3. ¿Cuántos triángulos tiene la figura 30?


triángulos de cualquier figura.

Esta actividad es parecida a la número 2 pero sus elementos no

están con un espacio intermedio, como en la tarea 1, por esto se cree

que el estudiante debe adquirir una habilidad previa para manejar

este tipo de patrones.

De igual forma se diferencia uno de los elementos de una tonalidad

oscura y representa la suma de una constante en estos casos uno

Tarea 5: Tomada de

Centro de

Innovación en la

X


2. Calcula la cantidad de hexágonos de la figura 10 sin


Continúa la actividad con una tarea de un nivel de complejidad más

alto, ya que la generalización es 6n+1 y las figuras son hexágonos

regulares.

45

Tabla 1: Descripción de las tareas.

Enseñanza de

Matemáticas

(CIMT, 2005).

3. ¿Cuántos hexágonos tiene la figura 20?


hexágonos de cualquier figura.

Los términos cercanos usados son mayores que en la anterior, pero

los lejanos se reducen.

Tarea 6: Tomada de

Centro de

Innovación en la

Enseñanza de

Matemáticas

(CIMT, 2005).

X

1. Dibuja la figura 7

2. Calcula la cantidad de cuadrados grises de la

figura 23 sin dibujarla. EXPLICA COMO LO

HACES.

3. EXPLICA UN PROCEDIMIENTO PARA

CALCULAR EL NÚMERO DE CUADRADOS

GRISES DE CUALQUIER FIGURA.

4. Tomás quiere construir la figura 31. Explica lo

que debe hacer para construirla.

5. Tomás tiene una figura de esta secuencia. Él usó

exactamente 48 cuadrados grises. ¿A qué número de

figura corresponde? Explica la manera como hallaste

la respuesta.

6. Escribe un mensaje a un compañero, que no

asistió a clase en donde le expliques con claridad y con

todos los detalles como procederes para calcular

rápidamente el número de cuadrados grises de la figura

700.

Esta tarea se inserta después de la fase de pilotaje y estando en la

fase de aplicación ya que los estudiantes estaban acostumbrados a

tener secuencias de patrones en donde la constante fuese 1. En este

caso la constante es cero (o no tiene constante) y se pretende

evidenciar como las tareas anteriores influyeron en la

generalización de patrones.

Adicional a esto se insertan las ´preguntas del tipo 5) y 6) que

pretenden aportar datos a la investigación acerca de cómo los

estudiantes hacen uso de la fórmula encarnada y la manipulan para

encontrar el número del término dado la cantidad de elementos de

este, o dicho de otra forma, encuentran una relación de la función

inversa.

En estas tareas se hace especial énfasis en la justificación de las

respuestas en las preguntas 2) y 3), esto para tener evidenciar las

interpretaciones de las determinaciones que los estudiantes tienen

frente a la tarea.

Tarea 7:

Elaboración

autónoma apoyadas

en las tareas de las

anteriores.

X

1. Calcula el término 19.

2. ¿Cuál es el número correspondiente al término 100?

EXPLICA COMO ENCONTRASTE LA

RESPUESTA.

3. ¿Cuál es el número correspondiente al término 29?

Explica cómo lo haces.

4. Explica un procedimiento para calcular cualquier

término.

5. Escribe un mensaje a un compañero, que no asistió a

clase en donde le expliques con claridad y con todos

los detalles como procederes para calcular rápidamente

el número que corresponde al término 5753.

Esta tarea pertenece a una generalizacion 3n+2 y es netamente

numérica. Busca indagar mas profundamente en el aspecto

epistemológico de la generalizacion.

Las preguntas son similares a las tareas anteriores pero sin patrones

figurales.

* FT: Figural con apoyo tabular; NT:Numerica con apoyo tabular; EF: Exclusivamente figural; EN: Exclusivamente numérica.

46

Recolección de la información

Descripción de la población

Las tareas fueron aplicadas en una institución de carácter privado al norte de la ciudad de

Bogotá con un total de 10 estudiantes de grado cuarto con edades de 9 a 10 años. Para la

aplicación se realizaron 9 sesiones los días sábados en las instalaciones del colegio entre

mayo y agosto del 2017, con un tiempo aproximado de 2 horas cada una. Para la

recolección de la información se tienen en cuenta las cuatro fases propuestas por Miranda,

Radford y Guzmán (2007).

Fase 1: Grabación en vídeo de las actividades de clase:

Para esto, se contó con una cámara de vídeo que capturó algunas sesiones completas y en

otros momentos discusiones focalizadas de algunos grupos en el momento de resolver las

tareas. La mayoría de las veces los vídeos fueron tomados por la docente investigadora

mientras el docente investigador interactuaba con los estudiantes. Estas grabaciones fueron

guardadas por sesión de clase.

Fase 2: Obtención de las hojas de trabajo de cada estudiante:

Al finalizar cada sesión se recogen las hojas de trabajo, en caso de no terminar la tarea se

entregaban nuevamente la siguiente sesión, se solicitó escribir con esfero, no borrar ni

tachar lo realizado a no ser que fuese necesario para comunicar algo. Todas las hojas de

trabajo y hojas adicionales fueron escaneadas archivadas por tarea y por estudiante para

facilitar el acceso a las imágenes.

Fase 3: Trascripción de las sesiones:

Las tres primeras sesiones son transcritas en su totalidad, sin embargo para evitar la

saturación de información se seleccionan los videos y los fragmentos que representan un

dato, estos son denominados como segmentos salientes de actividad y son los que se

transcriben (Ver anexos de las transcripciones). Las anotaciones y transcripciones se hacen

según Vergel (2014a) de la siguiente forma:

Es necesario anotar, para efectos de claridad en los diálogos (transcripciones de los

videos) presentados, que las participaciones de los estudiantes fueron caracterizadas

por líneas (e.g., L1, L2,…), cada una de las cuales indica la ocasión en la que un solo

estudiante habló. Si un grupo de estudiantes responde en coro, escribiremos

“Estudiantes en coro”. El número de línea vuelve a comenzar cuando cambiamos de

47

tarea. En cada línea se escribió, en letra tipo cursiva y entre corchetes ([…]), si lo dicho

por el estudiante fue acompañado de algún gesto o de algún símbolo escrito. Algunas

palabras aclaratorias que sirven para dar coherencia a las elocuciones de cada

participante fueron también escritas en ese tipo de letra y entre esos signos

parentéticos. Los puntos suspensivos (…) son utilizados para indicar breves pausas

hechas por parte de los estudiantes y de la profesora durante sus participaciones. Estos

diálogos están acompañados, en la medida de lo posible, de las producciones en las

hojas de trabajo en donde planteamos las tareas y de imágenes que reconstruyen

algunos episodios de los videos y que muestran la movilización de medios semióticos

de objetivación en la actividad matemática de los estudiantes. (p. 98)

En nuestro caso las líneas comenzarán como L01, L02, L03... iniciando de nuevo con la

numeración en los cambios de sesión, es importante resaltar que a medida que se hacen las

transcripciones se toman las imágenes correspondientes a las hojas de trabajo y/o a

imágenes del video que contienen un dato potencial. Para no transcribir todo el volumen de

información se observan todos los videos y se seleccionan aquellos que pueden contribuir a

la solución de la pregunta de investigación. Por último, no se analiza la actividad de todos

los estudiantes sino de tres seleccionados teniendo en cuenta su asistencia y participación

en la totalidad de las sesiones, de igual forma en el análisis aparecerán ocasionalmente los

demás debido a la labor conjunta.

Fase 4: Análisis de video y hojas de trabajo:

Se realiza un análisis multimodal de los datos obtenidos, donde según Arzarello (2006) se

debe tener en cuenta la relación de diferentes recursos semióticos movilizados durante la

actividad.

Teniendo en cuenta los objetivos de esta investigación y siendo coherentes con la teoría

bajo la cual se suscribe, se toma como fuente de análisis los medios semióticos de

objetivación que movilizan los estudiantes durante el desarrollo de las sesiones, de forma

que se pueda dar evidencia de ciertos nodos semióticos, haciendo énfasis en aspectos

fenomenológicos, epistemológico y semióticos que emerjan; se realizará un análisis

multimodal de la actividad, donde se pueda mostrar algunas contracciones semióticas y así

poder evidenciar una posible evolución de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más

sofisticadas.

48

Capítulo 4

Análisis multimodal

Teniendo en cuenta los objetivos de esta investigación y siendo coherentes con la teoría

bajo la cual se suscribe, se tendrá en cuenta para el análisis los medios semióticos de

objetivación que movilizan los estudiantes durante el desarrollo de las sesiones, de forma

que se pueda dar evidencia de ciertos nodos semióticos, haciendo énfasis en aspectos

fenomenológicos, epistemológico y semióticos que emerjan; se realizó un análisis

multimodal de la actividad, donde se pueda mostrar algunas contracciones semióticas y así

poder evidenciar una posible evolución de fórmulas corpóreas hacia fórmulas más

sofisticadas.

Actividad en la tarea 1

Tarea 1: Secuencia figural apoyada por representación tabular correspondiente a .

Ilustración 22: Tarea 1.

Se inicia la sesión aclarando las condiciones básicas para la realización de las tareas de

acuerdo a la TO como lo son el trabajo de manera grupal, que las hojas de trabajo se

marcan con los datos solicitados y se escribe siempre con esfero. En esta primera sesión se

pretende plantear una tarea ya utilizada en investigaciones anteriores en el marco de la TO

con el fin de familiarizar a los estudiantes con este tipo de tareas y la forma de trabajar en

las sesiones de clase.

En el desarrollo de esta tarea se hallaron determinaciones sensibles en la dimensión

espacial y numérica que permitió a los estudiantes responder las preguntas que se les hacía.

Algunas de estas determinaciones tienen sentido para el estudiante aunque no son correctas

si consideramos el objetivo de la tarea. Sin embargo esto les permite empezar a comprender

cómo se comportan los términos de la secuencia. En los estudiantes emergen las primeras

fórmulas expresadas a través del cuerpo y el lenguaje natural oral y escrito.

49

Actividad que involucra a Sarah en la tarea 1

A continuación presentamos un segmento de actividad donde se evidencian algunos

aspectos que intervienen en las fórmulas corpóreas. En este caso un fragmento de

transcripción de la sesión 1 de las estudiantes Sarah y Ana Lucía.

L137. Profesor: Por favor explícame la última respuesta, esa última respuesta, ¿quién

quiere explicarla de las dos?

L138. Estudiantes al tiempo (Sarah y Ana Lucía): Yo.

L139. Profesor: Ella levantó primero la mano, primero tú y luego tú, [Señalando Sarah a

Ana Lucía respectivamente].

L140. Ana Lucía: Acá nos dicen que expliquemos el procedimiento para calcular el número

de cuadros de cualquier figura, y acá nos inventamos una figura 8 [Señala la hoja donde se

encuentra la figura 8].

L141. Profesor: Okey.

L142. Ana Lucía: Y acá [leyendo y señalando la hoja] hicimos que en los cuadros de arriba

tenía uno más que el de abajo y el de abajo tenía uno menos. Porque en la figura uno, acá

tenía uno [refiriéndose al cuadro de abajo] acá tenía uno más [refiriéndose a los cuadros

de arriba] y acá uno menos [refiriéndose al cuadro de abajo nuevamente].

Ilustración 23: Indicación de cuadrados y señalamientos de filas de Ana Lucia en la figura 1 de la tarea 1.

La estudiante se apoya en el término número 1 para caracterizar la forma de las figuras

enfatizando que en la fila de arriba hay “1 cuadrado más” (ver Ilustración 25), la

estudiante muestra una intención perceptiva hacia la estructura espacial al descomponerla

en dos (Radford, 2017). Desde el campo fenomenológico estas determinaciones sensibles

50

permiten en el campo epistemológico y semiótico encontrar fórmulas que permiten hallar

términos cercanos y lejanos.

En el siguiente fragmento de la sesión dos se evidencia cómo las estudiantes después de

trabajar en la tarea 1 por un tiempo y de discutir en las respuestas, pueden dar cuenta de una

fórmula apoyada por frases claves y deícticos, haciendo uso de las determinaciones

sensibles en la dimensión espacial ya que descompone la figura en dos partes “arriba y

abajo” (ver Ilustración 26) y la diferencia entre las filas es “1 cuadradito más” (ver

Ilustración 25) que encontraron al enfrentarse por segunda vez a la tarea, se puede decir que

en las declaraciones de Sarah se quiere hacer referencia a todas las figuras de la secuencia y

las expresa por medio de un nodo semiótico donde involucra gestos, medios lingüísticos,

perceptivos y escritos.

L46. Sarah: En lo que yo le expliqué, como acá decía la secuencia, entonces lo que yo

entendía era acá una menos [refiriéndose a la parte inferior de la figura] y acá una más

[refiriéndose a la parte superior de la figura]. Aquí como decía calcular la cantidad de

cuadrados de la figura 10, aquí sumamos 100 más 101 y en la 1.000 sería 1.000 y 1.001.

Ilustración 24: Operación de la hoja de trabajo de Sarah para hallar la cantidad de cuadrados de la figura número mil.

L48. Mariana: Sarah, pero espera no entiendo, acabo de contar los cuadros y me da 10,

mira, 1, 2, 3, 4, 5 (…) 1, 2, 3, 4 y 5, sería 10.

L49. Sarah: Pero este [señala el cuadro sombreado], sería uno más. Uno más arriba y uno

menos abajo.

L50. Mariana: Bueno.

L51. Sarah: Y acá para la figura 100, sumamos 100 y 101, eso nos da 201. Y acá

explicamos los cuadros de arriba tienen uno más que los de abajo.

L52. Profesora: Digamos si yo le quisiera explicar a alguien que no estuviera acá, digamos

que tú le quieres explicar a Mateo y no tienes la hoja. Le quieres explicar eso que me estás

explicando a mí sin la hoja.

L53. Sarah: ¿Sin la hoja?

51

L54. Profesora: Sí, sin la hoja. Digamos Mateo te dice que le expliques la figura 1.000.

L54. Sarah: Yo le pondría 1.000 cuadros abajo y 1.001 arriba [muestra horizontalmente los

cuadros de arriba y abajo].

L56. Profesora: ¿1.000 cuadros abajo y 1.001 arriba?

L57. Sarah: [Afirma con la cabeza].

L58. Profesora: Y (…) si él te dijera pero yo quiero cualquiera, cualquiera, no importa el

número. No importa el número ¿tú qué le dirías?

L59. Sarah: Cualquiera el número que elijas abajo y arriba uno.

L60. Profesora: ¿Arriba uno?

L61. Sarah: [Afirma con la cabeza].

L62. Profesora: Osea, pone digamos un ejemplo acá tres y arriba uno.

L63. Sarah: Arriba uno más que tres, osea cuatro.

L64. Profesora: Ujum. Entonces otra vez ¿si fuera cualquier número?

L65. Sarah: Abajo pones el número y arriba le sumas uno a ese número.

Ilustración 25: Pregunta 4 de la tarea 1 de Sarah.

Ilustración 26: Representación de las filas a través de deslizamientos de la mano en el aire.

Desde los planteamientos de Vergel (2016) se puede decir que la estudiante está

actualizando una forma de pensamiento algebraico factual, donde por medio de su actividad

52

semiótica muestra una generalidad, además de evidenciar algunas frases claves; donde la

generalidad encontrada en el campo fenomenológico se convierte en una característica

común; sin embargo es importante aclarar que según Vergel (2016) para la estudiante

“cualquier número” puede hacer referencia a un número particular “el que ella elija” y no

necesariamente a un conjunto de números, este tipo de sentencias puede hacer que Sarah

evolucione haciendo lo indeterminado parte del discurso.

No podemos asegurar que la estudiante se encuentre en un estrato de pensamiento

algebraico contextual, ya que la indeterminación no hace parte de su discurso, como ya se

ha demostrado. En la parte de su producción escrita, tampoco se evidencia todavía

pensamiento algebraico simbólico, pero si aritmético.

En cuanto al paso por los tres problemas de la generalización, en el caso de Sarah se

observa que desde el campo fenomenológico parte de las determinaciones sensibles que

extrajo de la figura en cuanto a lo espacial “filas arriba y filas abajo” y lo numérico “arriba

una más que abajo” para llegar a encontrar la cantidad de cuadrados de figuras lejanas

como la número 1000, hace representaciones en el aire usando sus manos y operaciones en

la hoja de trabajo. En el terreno epistemológico tiene en cuenta las determinaciones

sensibles que le permiten encontrar una característica común y extrapolarla a términos

lejanos, permitiendo así en el campo semiótico dar declaraciones verbales, escritas y

corporales de una fórmula, que no evidencia una escritura algebraica formal.

Ilustración 27: Evidencia de las determinaciones sensibles en la dimensión espacial apoyadas con determinaciones

sensibles en la dimensión numérica.

A continuación se muestra cómo Sarah al trabajar la tarea 1.1 extrae propiedades espaciales

de los términos que apoyan sus determinaciones sensibles en la dimensión numérica, ella

observa que “en la fila de arriba no hay los mismos que abajo” y apoya estas afirmaciones

53

contando los cuadrados e indicando cuántos deben estar en cada fila, dichas afirmaciones se

hacen evidentes en el siguiente segmento saliente de la sesión dos:

L154. Mariana: Yo escribí está mal dos puntos, porque hay empieza por qué ya que en la

figura debería haber seis arriba y cinco abajo ya que arriba le ponemos uno y abajo le

quitamos uno.

L155. Profesor: ¿Y tú qué dices?

L156. Sarah: Que también mal porque en la fila de arriba no hay los mismos que abajo.

L157. Profesor: ¿Y no hay la misma cantidad en la figura arriba y abajo?

L158. Sarah: No, porque acá hay seis y acá seis, acá deberían ser seis [Señalando la fila de

abajo] y acá siete [Señalando la fila de arriba].

L159. Profesor ¿Y tú, lo mismo?

L160. Mariana: Sí.

Ilustración 28: Imagen de nodo semiótico donde Sarah indica el error de la imagen en la tarea 1.1. (Acción lingüística-

perceptiva-gestual). Radford 2013a.

Ilustración 29: Tarea 1.1 de Sarah.

54

Con el trabajo realizado por Sarah en esta tarea puede confirmarse el transcurso por los tres

problemas de la generalización y según Radford (2013a, p.8) “es aquí donde la estructura

espacial es portadora de índices perceptivos generalizables. Para utilizar dichos índices

hay que ver los términos no como un conglomerado de cuadrados, sino como cuadrados

propiciamente organizados.” En este caso, Sarah ve la figura como filas arriba y filas

abajo, donde siempre hay “uno más” en la de arriba.

Actividad que involucra a Juan David en la tarea 1

En el caso de Juan David se evidencia determinaciones sensibles desde la dimensión

numérica dejando de lado la dimensión espacial de la secuencia para hallar una fórmula,

pero respetándola para dibujar términos específicos. Analizado desde el campo

epistemológico y teniendo un pensamiento numérico sofisticado, propone estrategias

basadas en procedimientos de ensayo y error llega a una fórmula que concuerda con

aspecto numérico de la figura, pero no con el espacial, aunque respeta la configuración

espacial en el aspecto pictórico. (Radford, 2013a)

Juan David siempre le resta 4 a los términos, pero no obtiene el resultado correcto. Luego

de una labor conjunta con sus compañeros, a través de la iconicidad evidencia que su

fórmula no concuerda con la de la secuencia “filas abajo y arriba”.

L100. Profesor: ¿Tú quieres explicar la tres?

L101. Juan David: Entonces en la segunda que me ayudo a resolver esta es que yo tome

desde el seis y le sume cuatro veces hasta llegar al diez y yo después lo multiplique por el 3

y me da 30 entonces yo dije no puede ser, entonces yo le reste 3 y no me daba reste 4 y me

dio 26, entonces acá hice lo miso pero con el 100 y ya.

Ilustración 30: Explicación del término 10 de Juan David.

L102. Profesor: Y después le restaste cuatro y te dio 296.

L103. Juan David: Sí.

55

L104. Profesor: Listo. ¿Alguien tiene otra hay? A ver yo cojo uno así al azar. Tú [se dirige

donde Manuel], mira yo veo que en la pregunta número dos tú me dices que la figura 10

tiene (…).

L105. Manuel: Veintiún cuadros.

L106. Profesor: Te falta algo ¿qué te falta?

Como posible conclusión se observa la tarea 1.1 de Juan David para afirmar que las

determinaciones sensibles en la dimensión espacial son importantes para crear una fórmula

encarnada y posterior emergencia de pensamiento algebraico. Desde la perspectiva de

Radford (2017, p.117) “la respuesta tiene sentido para el estudiante, aunque

probablemente es cierto que, al enfocarse en la numerosidad de los términos de la

secuencia, puede resultar más difícil llegar a una fórmula general como ”.

Ilustración 31: Desarrollo de la tarea 1 de Juan David abordando los términos dados.

En este caso el estudiante realiza una generalización que se podría escribir así: se parte de

los términos dados y pretende hallar la cantidad de cuadrados

de cada término . Entonces él procede haciendo donde n es el

número de la figura, e y es la cantidad de cuadrados.

Ilustración 32: Fórmula implícita hecha por Juan David.

56

La multiplicación sofisticada que muestra Juan David da cuenta de una actividad perceptual

refinada, ya que hay evidencia de subitización en la manera cómo percibe la figura, pues

Juan David en un principio es el único estudiante que usa la multiplicación, mientras Sarah

y otros estudiantes la evitan. La expresión que Juan David logra hace uso de una estructura

multiplicativa, lo cual reduce la fórmula en cierto modo, pues según las ideas de Vergel

(2014, p.125) “sugiere una especie de proceso genético en el cual toma decisiones entre lo

que se considera relevante e irrelevante, es un síntoma de aprendizaje y de desarrollo

conceptual, es decir, de toma de conciencia”.

En la sesión dos Juan David socializa con Manuel, Ana Lucía y Samuel, aquí Juan David se

da cuenta que su respuesta es diferente a la de sus compañeros como se observa en el

siguiente diálogo:

L01. Manuel: Como en la secuencia siempre hay un cuadro de más arriba, yo puse seis

cuadros arriba y cinco cuadros abajo y en la figura seis lo mismo siete cuadros arriba y seis

cuadros abajo. En el punto dos para calcular los cuadros de la figura 10, eh entonces como

ya dije arriba siempre hay uno de más, entonces yo hice once cuadros arriba y diez abajo,

sume los cuadros y me dio 21. Lo mismo hice para el 10, para el 100 digo.

L02. Profesora: Entonces explícales ¿qué harías si tuvieras que encontrar cualquier figura,

digamos la figura 1.000.000, qué harías?

L03. Manuel: Aaa ya sé, ja un osea habría un millón uno de cuadros arriba y un millón

abajo [acompaña sus sentencias con movimientos horizontales].

L04. Profesora: ¿Entonces cuántos cuadros habría en total?

L05. Manuel: Habría dos millones uno.

L06. Profesora: ¿Dos millones uno?

L07. Manuel: Sí.

L08. Profesora: Ahora tú, cuéntanos ¿cómo hiciste esos ejercicios? [Refiriéndose a Juan

Felipe].

L09. Juan Felipe: (…) En la figura cinco hice seis arriba, cinco abajo, en la figura seis, siete

arriba y seis abajo. En la figura diez me dieron 26.

L10. Profesora: ¿Y por qué hiciste eso?

L11. Juan Felipe: Para que me diera el número de cuadros.

57

L12. Profesora: [Pregunta a Manuel] ¿y tú estás de acuerdo con ellos?

L13. Manuel: No.

L14. Profesora: ¿Por qué no?

L15. Manuel: Porque (…), osea, no te entiendo ¿por qué restaste?

L16. Profesora: Entonces digamos si hiciera la misma pregunta a Juan David y Juan Felipe,

que le hice ahorita a Manuel ¿cuántos cuadros tendría para ustedes la figura un millón?

L17. Juan David: (…) ¿Un millón? Dos millones novecientos noventa y seis. No digo, 996

cuadritos.

L18. Samuel: Profe yo.

L19. Profesora: A ver ¿qué quieren decir ustedes?

L20. Samuel: Esa pregunta sería como que un millón abajo y un millón noventa y nueve

abajo.

L21. Profesora: ¿Dime? Otra vez.

L22. Samuel: Pues un millón uno arriba y un millón abajo [acompaña sus sentencias con

movimientos horizontales, diferenciando los cuadros de arriba y abajo] y ya.

L23. Profesora: ¿Y entonces cuántos serían en total?

L24. Samuel: Dos millones uno.

En las líneas L15, L16 y L17 se ve como Juan David evade la respuesta a la pregunta de

Manuel y no responde el por qué hace uso de la resta, en las producciones escritas de Juan

David se observa que no tiene en cuenta el cuadrado sombreado debido al método de

ensayo y error de las figuras dadas 1, 2, 3 y 4 para deducir la fórmula. En el mismo

fragmento de actividad a Juan David se le dificulta hallar la cantidad de cuadrados de la

figura un millón, según Radford (2013a) este tipo de procedimientos inductivos hacen que

la abducción no sea usada de forma analítica, por lo tanto la generalización de Juan David

aún no es algebraica. Estas afirmaciones están apoyadas en las producciones escritas al no

sombrear el cuadrado superior derecho del término (ver Ilustración 33) y numerar los

cuadrados de forma consecutiva (ver Ilustración 34).

Ilustración 33: Evidencia que Juan David puede no fijarse en el cuadrado sombreado.

58

Ilustración 34: Numeración de cuadrados del término 1 y de la tarea 1.1 de Juan David respectivamente.

Desde los planteamientos de Radford (2013a) en el campo fenomenológico Juan David

centra su atención en la dimensión numérica contando la cantidad de cuadrados de cada

figura, desde el campo epistemológico evidencia que la secuencia es ascendente, además

encuentra una característica común inducida, haciendo una generalización de tipo

aritmética lo cual le dificulta encontrar términos lejanos, desde el campo semiótico puede

hacerse evidente desde las producciones escritas que en su representación la variable en sí

(el número del término) no es objeto del discurso, sin embargo puede hallar la cantidad de

cuadrados de términos cercanos.

Actividad que involucra a Manuel en la tarea 1

Manuel desde el inicio de la tarea se fija en la dimensión espacial y numérica de la figura, a

pesar de ser la primera vez que se enfrenta a este tipo de tareas él identifica que la figura

está compuesta por cuadrados debidamente ordenados en dos filas e indica el cuadrado

oscuro tomándolo como “uno más”, esto evidencia que Manuel tiene una mirada refinada

(Radford, 2015), por lo tanto se debe observar la evolución en la percepción visual del

estudiante pues el tener un ojo crítico será importante en el estudio y la actividad que

establezca con sus compañeros permitirá un avance significativo, donde Manuel irá

domesticando aún más su mirada y logrará reconocer los medios culturales de manera más

rápida, pues según Radford (2010a, p.4) la domesticación del ojo es un proceso largo en el

cual llegamos a ver y reconocer las cosas de acuerdo a medios culturales.

A continuación se muestra un segmento de diálogo entre Manuel y el profesor, en el cual se

puede hacer evidente lo descrito anteriormente:

L129. Profesor: ¿Quieres explicarme algo? Haz de cuenta que yo no sé nada de eso.

L130. Manuel: En el segundo punto, entonces como en la figura siempre tiene (…) por

ejemplo la figura uno tiene arriba dos cuadros y abajo uno, entonces arriba los cuadros de

59

arriba siempre tienen uno más a la cantidad de la figura entonces en todos yo hice (…) once

cuadros arriba y once cuadros arriba, diez cuadros abajo entonces yo lo sume me dio 21

cuadros.

L131. Profesor: Entonces en la 100.

L132. Manuel: En la 100 yo hice lo mismo, eh 101 cuadros arriba 100 cuadros abajo, los

sume y me dio 201 [Tímidamente Manuel hace señalamientos en el aire de los cuadros e

indica con su mano el uno más que agrega].

Ilustración 35: Señalamientos que acompañan las sentencias de Manuel.

En lo realizado por Manuel se puede evidenciar el papel que juegan los tres problemas de la

generalización planteados por Radford (2013a) ya que en el campo fenomenológico el

estudiante extrae determinaciones sensibles frente a lo espacial y numérico; esto le permite

transitar al campo epistemológico al utilizar sus determinaciones para hallar términos

lejanos de la secuencia, expresando una generalidad al afirmar: “yo cojo siempre la misma

cantidad, pero uno más y luego lo sumo para que me del resultado”.

Ilustración 36: Frase donde Manuel expresa la generalidad que encontró.

60

Los registros semióticos movilizados se evidencian permanentemente por medio del

cuerpo, gestos y habla, Manuel despliega una serie de medios semióticos para expresar la

característica común hallada. Desde la perspectiva de Stacey (como se cita en Vergel 2014)

Manuel usa una pauta lineal ya que asume indirectamente que (𝑛) = 𝑎𝑛 + 𝑏 apoyado en la

evidencia, se nota una cierta influencia del dibujo en el desarrollo de la estrategia por

Manuel. Con lo observado en este fragmento de actividad se puede inferir que en el

transcurso de las siguientes tareas las fórmulas corpóreas pueden evolucionar y llegar a un

pensamiento algebraico simbólico.



Ilustración 37a: Tarea 2.

Con esta tarea se pretende acercar un poco más a los estudiantes al trabajo con este tipo de

configuraciones, además de identificar las determinaciones sensibles que tienen los

estudiantes para lograr sus generalizaciones, es importante empezar a comparar los medios

semióticos de objetivación que surgen en los estudiantes y así mismo comenzar a

identificar una posible evolución de las fórmulas corpóreas que van emergiendo en el

trabajo realizado. En esta tarea se prestó especial atención a las determinaciones sensibles

asociadas a la dimensión espacial de la figura y su parecido a un juguete que estuvo de

moda en el momento de la aplicación llamado Fidget spinner y que posteriormente permitió

a un grupo de estudiantes referirse a la forma de la figura (Ver ilustración 37b) usándolo

como medio semiótico de objetivación.

61

Ilustración 38b: Determinación sensible en la dimensión espacial asociada a la forma de la figura y su parecido con el

“spinner”


Para el desarrollo de esta tarea Sarah trabaja con su compañero Luis Felipe, en un primer

momento los estudiantes se fijan en la dimensión espacial de la figura asegurando que son

“tres filas” con la misma cantidad de círculos en cada una, sin embargo al avanzar en los

planteamientos de la tarea identifican que les hace falta incluir el círculo del centro, al

evidenciar que les hace falta el círculo oscuro empiezan a dirigir su mirada hacia la

dimensión numérica sin olvidar la espacial, los planteamientos anteriores se hacen

evidentes en la producción escrita por Sarah y en el siguiente diálogo:

L45. Profesor: Tú, pregunta número 3 [refiriéndose a Juan Felipe].

L46. Juan Felipe: ¿La 3?

L47. Profesor: Sí, ¿o quieres explicar la 2?

L48. Juan Felipe: No, ¿cuántos círculos tiene la figura 30? Yo sume 30 tres veces y (…)

Entonces lo sume y me dio 90, entonces 90 cuadros en cada fila.

L49. Profesor: Entonces, te hago una pregunta ¿cuántos círculos tiene la figura 1?

L50. Juan Felipe: Círculos (…).

L51. Sarah: Uno arriba [señala con la cabeza] otro a los lados que es la fila (…).

L52. Profesor: Dime, dime.

L53. Sarah: Que (…) aquí como todo empieza, aquí es uno, aquí es uno y aquí es uno y

después dos, dos, dos, después tres, tres, tres y va sumando [mientras habla va marcando

los círculos en el aire].

62

Ilustración 39: Sarah dibujando en el aire los círculos.

L45. Profesor: ¿Entonces cuántos circulitos tiene la figura 1?

L46. Sarah: 4.

L47. Profesor: ¿Cuántos circulitos tiene la figura número 2?

L48. Juan Felipe: 7.

L49. Profesor: 7, ¿la figura número 3?

L50. Sarah: Diez.

L51. Profesor: 10 ¿la 4?

L52. Sarah: [Dirigiéndose a Juan Felipe] Solo tienes que sumarle 3.


L54. Profesor: 13, ¿La figura número 5?

L55. Sarah: ¿Señor?

L56. Profesor: ¿La figura número 5?


L58. Sarah: [Cuenta en su hoja de trabajo] 16.

L59. Profesor: 16, utiliza esta fórmula para hallar la cantidad de círculos de la figura 5

[señala la fórmula que Sarah había dado al principio de sumar tres veces el número] a ver

si te da.

L60. Sarah: A entonces acá 5 más 5 más 5.

L61. Profesor: Dale, a ver cuánto te da.

L62. Sarah: Da 15.

L63. Profesor: ¿15?

L64. Sarah: No, no [niega con la cabeza].

L65. Profesor: Pues sí si da 15, pero entonces tú me estás diciendo que acá hay 16.

L66. Juan Felipe: Aa profe, profe.

63

L67. Profesor: Cuéntame.

L68. Juan Felipe: Acá contaríamos este cuadro [refiriéndose al círculo negro]

L69. Profesor: ¿Cuadro?

L70. Juan Felipe: Aa círculo, círculo y hay quedaría el 15.

L71. Profesor ¿Entonces, apliquemos la fórmula para la figura número 6? Primero

contemos la cantidad de círculos de la figura 6.


L73. Sarah: Más el del centro 19.

Después del diálogo con el profesor, los estudiantes empiezan a realizar nuevos

planteamientos, ya que Sarah no observa que el círculo sombreado hace parte de la figura

añadiendo una unidad más al resultado, si está en su campo perceptivo “el problema radica

más bien en la no identificación de que la espacialidad de los términos nos da claves

interesantes desde el punto de vista algebraico” (Radford, 2013a, p. 118), Se podría deducir

una forma de ver la secuencia de Sarah la cual corresponde a la figura 19, está apoyado en

la fórmula que ella extrae al observar que estaba olvidando el círculo sombreado de la

mitad la adhiere al último sumando.

Sarah muestra en su producción escrita la estrategia usada para incluir el círculo que les

hace falta “el del centro” (ver Ilustración 39), además de ello usa el medio semiótico de

objetivación “spinner” (que emergió en el trabajo con la tarea 2) para estar segura de la

dimensión espacial de las figuras (ver Ilustración 40). Dicho medio semiótico de

objetivación emerge de Juan David quien al iniciar la sesión asocia las figuras dadas en la

tarea con un spinner.

64

Ilustración 40: Producción escrita de Sarah, donde se evidencia la estrategia que usa para encontrar la cantidad de

círculos de cualquier figura.

Ilustración 41: Uso de medio de objetivación “spinner”.

.

Ilustración 42: Posible forma en que Sarah ve los términos como dos filas en la base y después unir el centro a la fila

superior.

Como se evidencia en la actividad de la tarea 1 de Sarah, ella hace uso de una estructura

aditiva para determinar fórmulas, por tanto el recurso que usa en esta ocasión es tomar el

último sumando y adicionarle el “uno más”. En la parte derecha de la Ilustración 41 se

evidencia la corrección de la fórmula de Sarah (corrección de la suma 25+25+25 a

25+25+26) después de la interacción con el docente.

Las producciones escritas de Sarah dan cuenta de las dimensiones numéricas y espaciales

pues según Radford (2008, p. 8) “el trabajo algebraico sobre el terreno fenomenológico va

a reposar sobre la articulación de dos estructuras diferentes: una de tipo numérica y otra

de tipo espacial”; al comparar la figura seis con el spinner nos muestra que la figura está

conformada por un centro y “tres filas de círculos”, en L51 Sarah identifica la figura

compuesta por filas; en el campo epistemológico se evidencia que al centrar su atención en

lo numérico y espacial es posible hacer abstracciones a otros términos, en este caso Sarah

expresa su comunalidad al afirmar: “Que si me dan el número en vez de la gráfica, el

número que me dé lo sumo una vez también otra, pero para la otra le sumo uno que es el

de la mitad”; en el campo semiótico Sarah expresa su generalidad por medio de la

65

“actividad multimodal donde interviene gestos, señalamientos, registros escritos con

símbolos matemáticos y lenguaje natural”. Radford (2018, p. 12).


A continuación observamos un fragmento de la actividad de Juan David en su labor

conjunta con el docente y Ana Lucía. Se evidencia que por el contrario del trabajo con la

Tarea 1, Juan David ya tiene en cuenta la configuración espacial de la secuencia para

determinar una fórmula y apoyándose en el medio semiótico de objetivación el “Spinner”.

L01. Juan David: Profe por fin a la moda, escogieron los spinner, esto es lo mismo que la

pasada. ¿Toca calcular todo, o solo de un lado?

L02. Profesor: De toda la figura.

L03. Ana lucía: Primera pregunta, dibuja la figura cinco y seis.

L04. Juan David: En la figura cinco, nosotros vimos que acá en el spinner hay en un lado

cuatro, por otro lado cuatro y por otro cuatro, en la figura seis pusimos cinco, cinco, cinco y

el de la mitad.

L05. Profesor: Pregunta número dos.

L06. Ana Lucía: Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 sin dibujarla, sumamos 25

más 25 más 25 y sumamos uno nos da 76.

L07.Profesor: Listo, pregunta 3.

L08. Juan David: ¿Cuántos círculos tiene la figura 30? Entonces cogemos la figura 30 y

multiplicamos por tres que son los tres lados y nos dio noventa, después le sumamos uno

que es el centro y nos dio noventa y uno

L09. Profesor: Cuatro.

L10. Ana Lucía: [leyendo su hoja de trabajo] Acá hicimos la figura siete, nosotros

multiplicamos el número de la figura por los lados que son 3, después de multiplicarlo le

sumamos 1.

66

Ilustración 43: Hoja de trabajo de Ana Lucía.

L10. Profesor: ¿Y esa figurita de allá es la figura…?

L11. Juan David: Siete.

L12. Profesor: ¿Siete? Ven déjame ver, cuenta los circulitos.

L13. Juan David: Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete. Uno, dos, tres, cuatro, cinco,

seis y siete. Y uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete.

L14. Profesor: Listo chicos, al respaldo de la hoja encontrar la cantidad de círculos de los

términos: primero 2.000, segundo10.000, tercero 853 y cuarto 4.102.

L15. Juan David: Tenemos que hacer lo mismo. En la línea L04 y L08 se evidencia un

aparente dominio de la fórmula, que es la que corresponde con la dimensión espacial de la

secuencia, apoyado en las figuras 5 y 30. Después de esto los estudiantes encontraron la

cantidad de circulitos de cada una de las figuras como se evidencia en la Ilustración 42 y

que también concuerda con lo expresado por ellos en el segmento de actividad de anterior.

Ilustración 44: Fórmula para las figuras 10000, 853 y 4102 de Juan David.

En la fórmula se evidencia que las sentencias están acompañadas de frases claves que

indican que puede extrapolar su característica común no solo a términos lejanos sino

también a cualquier “número” del término.

67

Ilustración 45: Fórmula para cualquier figura de Juan David.

En los dibujos de sus figuras 5 y 6 puede intuir que comprende características en la

dimensión espacial de la figura como sus tres brazos y el círculo sombreado de la mitad que

indica que se le suma “uno más” y adicionalmente que la cantidad de círculos en cada

brazo de la figura corresponde al “número” del término.

Ilustración 46: Figura donde Juan David si sombrea el círculo de la mitad que representa el “uno más”.

En los movimientos de Juan David caracterizando el término 7 (línea del dialogo L14)

señala primero el “lado” inferior derecho del “spinner”, después el inferior izquierdo, y

finalizando con el lado superior. Cuando se le pregunta porque pintaste ese de la mitad lo

apunta y dice “le sumamos 1”.

68

Ilustración 47: Actividad perceptual del Juan David donde realiza deslizamientos en torno al “Spiner”, toca la figura y

acompaña con la mirada sus sentencias.

En este caso designa la indeterminancia con el término “número”, el cual es tratado

analíticamente: “Primero multiplicamos el número de la figura por sus lados sin contar el

centro y después al resultado le sumamos uno”. La expresión semiótica de la

indeterminancia (Ver ilustraciones 42 a 46) es el “número de la figura” y su carácter

operatorio es “multiplicamos por sus lados sin contar el centro y después al resultado le

sumamos uno”.

En el campo fenomenológico el estudiante desde la dimensión espacial extrae

determinaciones sensibles asociadas a los tres lados de la figura y el círculo sombreado y

desde la dimensión numérica cuenta la cantidad de círculos en cada lado y el centro. En el

campo epistemológico observa que la cantidad de círculos en cada “lado” corresponde al de

la figura y que el sombreado es el “uno más” del Spinner, extrapolando estas dos

características comunes para hallar la fórmula. Por último las diferentes expresiones

semióticas que el estudiante utiliza forman un nodo semiótico ya que utiliza su

corporalidad, su percepción para describir términos cercanos, también utiliza lenguaje

verbal para dar fórmulas de “cualquier término” y escrito para dar la cantidad de círculos

de términos lejanos.

69


A continuación se muestra un segmento de actividad donde Manuel trabaja en labor

conjunta con Dayan y María Paula. En esta transcripción Manuel demuestra una vez más

que sus posibles determinaciones sensibles en la dimensión espacial y numérica permiten la

emergencia de fórmulas para términos lejanos y términos desconocidos.

L198. Profesor: Dayan, figura número cinco.

L199. Dayan: Porque hay cinco círculos y aquí hay cinco círculos.

L200. Profesor: Ok, ¿y la figura número seis?

L201. Dayan: Que tiene seis acá, seis acá y seis acá. [Señala con el esfero la hoja].

L202. Profesor: Ok, pregunta número dos Manuel.

L203. Manuel: Calcula la cantidad de círculos de la figura 25 , sin dibujarla, explica cómo

lo haces, pues yo, a mí me dio 26 ya que yo cogí el veinticinco y lo multiplique por tres y le

sume uno [Hace movimientos en el aire para explicar lo que realizó, con sus manos forma

en el aire la configuración de la figura].

L204. Profesor: Pregunta número tres.

L205. Manuel: Hice lo mismo, treinta por tres y le sume uno.

L206. Profesor: Pregunta número cuatro.

L207. Manuel: Ahora, explica un procedimiento para calcular el número de círculos de

cualquier figura, yo cojo el número lo multiplico por tres y el resultado lo sumo más uno,

ya que eso me daría el resultado. q

En L203 el estudiante Manuel acompaña sus sentencias con movimientos para demostrar

que su fórmula funciona correctamente (ver Ilustración 47) moviendo primero su mano

hacia el frente y después dos movimientos rápidos indicando los lados de inferiores de la

figura.

70

Ilustración 48: Manuel describiendo la figura 25 haciendo uso de recursos perceptuales, gestuales y verbales.

Los ítems 2 y 3 de la hoja de trabajo sugieren que Manuel identificó dos características

comunes de la figura las cuales son los tres lados de los términos y el círculo sombreado de

la mitad. Notemos para el caso de esta secuencia las determinaciones sensibles que los

estudiantes obtuvieron fueron similares, lo cual indica un nivel de éxito de la tarea 2

propuesta (ver Ilustración 48).

Ilustración 49: Término 5 de Manuel con sus posibles determinaciones en la dimensión espacial.

Para Manuel la forma de ver la figura influyó en la fórmula encontrada que se evidencia en

la resolución de los ítems 2 y 3 de la tarea 2, ya que multiplica por tres el número de la

figura y después le suma 1 que es “el del centro”.

71

Ilustración 50: Explicación de la figura número 25 y 30 de Manuel.

Después de evidenciar que las operaciones realizadas le permiten con cierta seguridad

encontrar la cantidad de círculos de términos cercanos y también otros fuera de su campo

perceptual. Manuel propone una fórmula concordante con la secuencia para dar respuesta al

ítem 4 de la tarea que se ve apoyada en la actividad previamente estudiada.

Ilustración 51: Fórmula para cualquier término de Manuel.

En la Ilustración 50 Manuel utiliza su fórmula para hallar términos fuera de su alcance

perceptivo haciendo uso de la abducción que logró extrapolando sus características

comunes.

Ilustración 52: Uso de la fórmula para hallar las figuras 2000 y 10000 en la tarea 2 de Manuel.

En este caso designa la indeterminancia con el término “Cualquier figura”, el cual es

tratado analíticamente: “yo cojo el número lo multiplico por tres y el resultado lo sumo más

uno”. La expresión semiótica de la indeterminancia en el caso de la producción de Manuel

72

(Figuras 26 a 29) es “número de círculos de cualquier figura” y su carácter operatorio o

analiticidad: “lo multiplico por tres y el resultado lo sumo más uno”. (Vergel, 2015)

En cuanto al paso por los tres problemas, Manuel en el campo fenomenológico observa los

tres lados de los términos (arriba, y los lados de la base) junto con el círculo sombreado y

desde la dimensión numérica cuenta que la cantidad de círculos en cada lado y el centro. En

el campo epistemológico observa, al igual que Juan David, que la cantidad de círculos en

cada lado es igual al número de la figura y que el sombreado es el “sumar 1”, extrapolando

estas dos características comunes para hallar una fórmula concordante.




Esta tarea se plantea con la intención de aumentar la cantidad de preguntas que indagan por

figuras cercanas pero manteniendo los términos lejanos. Esto se realiza para que los

estudiantes plasmen en las hojas de trabajo sus determinaciones sensibles en términos

dentro de su campo perceptivo debido a que la configuración espacial es diferente a la

Tarea 1 aunque corresponde a la misma expresión , y con el fin de identificar las

fórmulas corpóreas que usan los estudiantes en el momento de enfrentarse a

configuraciones más complejas en las cuales es menos evidente observar el “más uno”.


En esta sesión surge evidencia que Sarah en labor conjunta con Ana Lucia encuentra una

fórmula que corresponde a la secuencia. La fórmula surgió después de realizar una

multiplicación por tres, ya que las determinaciones sensibles en el campo espacial se

centran en la configuración de triángulos que se observan en la figura, dejando de lado que

cada triángulo comparte un fósforo con el de la derecha exceptuando el primero.

73

Sarah junto con sus compañeros y los profesores realizan varios intentos para interpretar la

figura y los contrastan con la cantidad de fósforos hasta llegar a la conclusión que se ve en

el siguiente fragmento de transcripción:

L108. Sarah: Surgió algo más chévere profe.

L109. Samuel: Están haciendo experimentos ahí.

L110. Profesora: Otra vez, háganlo y me cuentan.

L111. Ana Lucía: Es que nos acabamos de dar cuenta de que contamos estos [refiriéndose a

los fósforos de la figura 3], 1, 2, 3, 4, 5 (…) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, entonces más tres seis, más

una siete.

L112. Sarah: Pasa lo mismo aquí [señala la figura 4]

L113. Ana Lucía: Cuatro más cuatro ocho más una nueve, entonces nos acabamos de dar

cuenta de eso.

L114. Profesora: ¿Entonces cómo podrían hacer la 12?

L115. Estudiantes en coro: ¡Eh!

L116. Profesora: Aquí me dicen que tres más tres más uno [señala la figura 3] ¿cierto?

Cuatro más cuatro más uno [señala la figura 4] ¿Y en la doce entonces?

L117. Ana Lucía: Sería, seis más seis doce más una trece.

L118. Sarah: Ya entendí, doce más doce y más una [golpea con el lapicero la mesa para

indicar el doce más doce e indica el más uno en el aire].

Ilustración 54: Sarah indicado con golpes en las hojas 12 más 12 más 1.

74

L118. Profesora: ¿Cuánto les da a ver?

L119. Sarah: Espera [realiza la operación en la hoja] doce más doce, cuatro, dos más una

25, no tengo que hacerla, 25 palitos.

L120. Profesora: ¿Entonces la figura 20?

L121. Sarah: 41.

L122. Profesora: ¿Por qué 41?

L123. Sarah: Porque 20 más 20, 40, 40 más 1 41.

L124. Profesora: ¿La 100?

L125. Sarah: 201.

L126. Profesora: ¿Y la 1.000?

L127. Sarah: 2.001.

L128. Profesora: ¿Y entonces la figura n?

L129. Sarah: n (…) n (…) n máximo uno [risas].

L130. Ana Lucía: Sería 2.001.

L131. Profesora: No, la n.

L132. Samuel: m, u, 1(…) ¿n 1?

L133. Ana Lucía: N mil uno.

L134. Sarah: Entonces solo lo sumamos dos veces y le sumamos uno [expresa con sus

manos lo que hace].

L135. Profesora: ¿Entonces cómo sería?

L136. Ana Lucía: N más n más uno.

L137. Sarah: ¡Aa! Listo ya lo tenemos.

Ilustración 55: Producción escrita de Sarah al resolver el ítem 5.

En el campo fenomenológico desde la dimensión espacial los estudiantes ven triángulos, las

puntas de los fósforos pero no toman los espacios en las figuras (Ver Ilustración 55) y

desde la dimensión numérica evidencian que el doble del número de la figura más uno da

como resultado la cantidad de fósforos, sin embargo esta característica común, ya en el

75

campo epistemológico, es encontrada exclusivamente desde lo numérico dejando de lado lo

espacial y apoyados con la labor conjunta (Profesores, Ana Lucia, Samuel y Sarah).

Ilustración 56: Espacios de los términos dejados intencionalmente en la fase de pilotaje.

Ya en el campo semiótico Sarah representa corpóreamente las figuras con movimientos

circulares y tres golpes en la hoja de trabajo acompañados con su mirada o percepción

visual. Es importante en esta parte evidenciar que ella representa la fórmula con

operaciones aisladas acompañadas de lenguaje verbal (Ver Ilustración 56) ya que en L120

afirma que “doce más doce, cuatro, dos más una 25, no tengo que hacerla, 25 palitos”

haciendo referencia a que no tiene que sumar el “más uno” de forma escrita por que ella

tiene conocimiento de que siempre se va a sumar y no ve necesario realizarlo en su hoja de

trabajo. Es decir que en la cantidad de fósforos que representan las operaciones de la

Ilustración 56 son 25, 51 y 3001.

Teniendo en cuenta la producción de Sarah puede decirse que en este caso ella expresa la

generalidad con cantidades indeterminadas y así mismo se hace evidente su evolución de lo

corpóreo al usar menos gestos, movimientos y palabras, al hacer uso de la N estamos de

acuerdo con Vergel (2016, p. 116) “al decir que la abducción, convertida en hipótesis, es

aplicada para deducir apodícticamente una fórmula que proporciona el valor de cualquier

figura particular”.

Ilustración 57: Operaciones en la hoja de trabajo de Sarah de las figuras 12, 25 y 1500.

76

La evidencia de los videos, las transcripciones y las hojas de trabajo sugieren que desde las

determinaciones sensibles en la dimensión espacial no eran las adecuadas para determinar

una fórmula para la secuencia. Por ejemplo, al observar la cantidad de triángulos

correspondía con el número de la figura los estudiantes (en su totalidad) multiplicaban el

número de la figura por tres, pero al contrastar con los casos dados evidenciaban que no

correspondían con la cantidad de fósforos. Es decir que las determinaciones sensibles en la

dimensión espacial no garantizan el éxito en la evolución de las fórmulas corpóreas como

lo podrían hacer las determinaciones sensibles en la dimensión numérica junto a la espacial,

la labor conjunta y la experiencia previa con secuencias de patrones.


Juan David evidencia que las figuras tienen una configuración espacial determinada,

muestra la conformación de los fósforos pero al igual que Sarah no fijan su atención en lo

espacial (ver figura 33). En el desarrollo de esta área se observa que el estudiante toma un

método similar al usado en la tarea 1, posiblemente Juan David asoció la dimensión

numérica de estas dos tareas. Se había visto una evolución en la tarea 2 cuando la

característica común que abduce está apoyada en la dimensión espacial de la figura sin

embargo en la tarea 3 volvió a usar un método previo fijándose en la dimensión numérica y

haciendo uso de un método inductivo. A continuación se muestra un fragmento de dialogo

entre Juan David y el profesor dando evidencia de lo descrito anteriormente.

L65. Juan David: Cojo el número de la figura le resto uno y ese número que me dio lo

multiplico por dos y le sumo 3 y me da el resultado de los palitos que hay.

L66. Profesor: Entonces eso es lo que me tienes que escribir bien resaltado, cojo el número

de la figura le resto uno y ese número que me dio lo multiplico por dos y le sumo 3.

L67. Juan David: ¿Qué?

L68. Profesora: Lo mismo que le dijiste a él es lo que tienes que escribir.

L69. Juan David: Se me olvido lo que dije profe. ¿Qué era?

L70. Profesor: Entonces tú vuelves y me explicas.

L71. Juan David: Cojo el número de la figura le resto uno y ese número que me dio lo

multiplico por dos y le sumo 3.

L72. Profesor: Eso es lo que me tienes que escribir.

77

|En la Ilustración 57 se evidencia que la primera fórmula que obtiene concuerda en el

aspecto numérico pero al ser hallada por inducción no corresponde con la dimensión

espacial. Juan David es reiterativo con este método aritmético para hallar fórmulas ya que

lo había usado en la Tarea 1.

Ilustración 58: Primera fórmula concordante para la tarea 3 de Juan David.

La segunda fórmula emerge mediante labor conjunta modificando la primera parte de

donde restaba uno, pero al contrastar con la cantidad de fósforos de los términos dados

cambia de nuevo su fórmula a la que se muestra en la Ilustración 59.

Ilustración 59: Segunda fórmula no concordante para la tarea 3 de Juan David.

La tercera fórmula que sí corresponde a la dimensión espacial y numérica de la secuencia la

logra a partir de la iconicidad. No se puede afirmar que Juan David posea pensamiento

algebraico en este punto, pues hasta el momento sus conclusiones han estado basadas en el

ensayo y error.

Ilustración 60: Tercera fórmula concordante de Juan David después de la labor conjunta.

En el campo fenomenológico su atención sigue enfocada en el aspecto numérico de la

secuencia, por tanto en el campo epistemológico las características que abduce dependen

del método inductivo por ensayo y error, “estos métodos de generalización son más bien

78

aritméticos” (Radford, 2013a, p. 6) Por último en el campo semiótico representa las

fórmulas a través del lenguaje escrito, de operaciones aritméticas y a través de su

corporalidad. En cuanto a fórmulas corpóreas de Juan David se puede decir no

evolucionaron en esta tarea pero si lo habían hecho en la anterior al tener en cuenta la

dimensión espacial.


Para desarrollar esta tarea Manuel trabaja dos sesiones, donde inicialmente centra su

atención en la dimensión espacial, haciendo uso de los espacios que muestra el aumento de

“dos más” (ver ilustraciones 33 y 38), después de observar la dimensión espacial empieza a

fijarse en lo numérico, hace varios métodos y comparte sus hallazgos con sus compañeros,

sin entender muy bien la relación entre la cantidad y lo espacial, tras varios intentos es el

único estudiante que hace evidentes sus determinaciones sensibles en lo numérico y

espacial encontrando una relación entre ambas. En el siguiente dialogo se hace evidente lo

descrito hasta el momento:

L01. Profesor: Manuel una pregunta ¿osea que tú te fijaste en estos espacios chiquitos que

hay en las figuras? [Señala las figuras dadas en la tarea].

L02. Manuel: Mira yo vi que en un triángulo siempre hay tres fósforos, pero ya cuando

empiezan a poner más fósforos son de a dos, como por ejemplo en la figura dos acá está el

triángulo y empezaron a poner dos y dos [dibuja en el aire con el lapicero la configuración

de ese más dos], lo mismo con la figura tres.

Ilustración 61: Manuel muestra el “dos más” que encuentra en lo espacial.

79

L03. Profesor: Ok, la pregunta es la misma osea ¿tú te fijaste en estas formaciones que

quedan acá aparte? ¿Cierto? Mira que acá hay dos fosforitos pegados despegados del resto

y así mismo los dibujaste.

L04. Manuel: Sí.

L05. Profesor: Ok, entonces por eso es que tú dices que siempre se le pega un pedacito de

estos que son (…).

L06. Manuel: Dos fósforos.

L07. Profesor: Dos fósforos, listo. Entonces figura cinco ¿Cuál es?

L08. Manuel: La figura cinco es esta [Señala la figura que realizó con su lapicero]

L09. Profesor: ¿Por qué?

L10. Manuel: Porque tiene los cinco triángulos.

L11. Profesor: Cinco triángulos, señálame los cinco triángulos.

L12. Manuel: Este, este, este, este y ese [Señala con su lapicero los cinco triángulos de la

figura].

L13. Profesor: A ok. Figura número seis.

L14. Manuel: La figura número seis es esta [Señala con su lapicero] (…) que tiene seis

triángulos.

L15. Profesor: Listo, no tienes que contármelos, ya sabemos que hay seis ¿cierto?

L16. Manuel: Ujum, aquí en la 12 hice la primera yo puse 3 y empecé a sumar 2 hasta

llegar a la cantidad y me dio en este caso 25.

Ilustración 62: Método inductivo utilizado por Manuel en la tarea 3.

L17. Profesor: Dice, en la figura primera cogí tres fósforos y luego empiezo a sumar dos

hasta llegar a la cantidad. ¿Entonces cómo llegaste a la figura número 20?

80

L18. Manuel: La figura número 20, como ya tenía los resultados de la figura 12 empecé a

sumar hasta llegar a 20.

En este fragmento de transcripción Manuel encuentra una característica común que abduce

para llegar a un método (no a una fórmula) para encontrar la cantidad de fósforos de las

figuras dadas y de las figuras 20 y 25, lo cual indica que la propiedad no es usada de forma

analítica y por tanto no se puede afirmar que sea pensamiento algebraico. En lo que sigue

de la transcripción se evidencia el intento de encontrar una fórmula a partir de sus

determinaciones espaciales, que consiste en observar los triángulos, olvidando la sentencia

de la línea L02 donde suma dos fósforos cada vez.

L19. Profesor: ¿Entonces para la figura 100 cómo hiciste?

L20. Manuel: La figura 100, como casi nunca da un número par, entonces yo empecé

multiplicando (…) esto 100 por 3 nos da 300, pero como aquí nunca nos da un número par

y en los números que tienen ceros en el último me da uno, como por ejemplo en la 20 da

41, en la 100 da 301.

Dentro de sus determinaciones en el aspecto numérico Manuel afirma que el resultado

siempre es un número impar lo cual va a ser importante cuando contraste sus resultados con

las figuras dadas. Sin embargo dentro de sus determinaciones espaciales no extrae las

similitudes y diferencias que son más importantes al momento de encontrar una fórmula, ya

que al igual que Juan David utiliza un método inductivo de ensayo y error, lo cual hace que

sea difícil llegar a una generalidad y encontrar términos lejanos.

En la sesión 5 Manuel continúa con la tarea 3, hace evidente el uso de varios métodos, al

ser socializados muestra que no son coherentes con lo que requiere, logra identificar el

comportamiento de la secuencia frente a lo numérico, como se muestra en siguiente

fragmento de transcripción.

L01. Manuel: Ahora si entre en una triple confusión.

L02. Profesor: ¿Triple confusión uno cómo puede estar confundido tres veces? Miremos las

figuras, ¿tú qué haces cuándo haces la figura número uno?

L03. Manuel: Pues (…) tres fósforos.

L04. Profesor: Tres fósforos, listo, figura número 2.

81

L05. Manuel: Pues dos fósforos más.

L06. Profesor: Dos fósforos más, listos, muéstrame los dos fósforos que le sumaste.

Ilustración 63: Indicación en la hoja de trabajo de la diferencia de “dos fósforos más”.

L07. Profesor: Listo, figura número 3.

L08. Manuel: Ya hice eso, he probado varios métodos pero ningún concuerda.

L09. Profesor ¿Osea tú quieres llegar al resultado con una única multiplicación?

L10. Manuel: He multiplicado por varios números pero ninguno me da.

L11. Profesor: Pues mira las figuras a ver si alguna te coincide.

L12. Manuel: No coincide, he intentado con el 2, 3, 4 y 5, ninguno me sirve.

L13. Profesor: Bueno intentemos, empecemos con el 4, figura uno, uno por cuatro, cuatro

¿y la figura uno tiene cuatro?

Ilustración 64: Los diferentes métodos por ensayo y error de Manuel.

L59. Manuel: Con el dos me dio 110.

L60. Profesor: No, tú hiciste mal la multiplicación, eso te da 100.

82

L61. Manuel: Igual no me coincide.

L62. Profesor: No te coincide, ¿pero qué te haría falta?

L63. Manuel: Tendría que sumarle uno.

L64. Profesor: Ah bueno, intentemos hacer eso con estás [señala las figuras encontradas

anteriormente].

L65. Manuel: (…).

L66. Juan David: dos por una dos más una tres, dos por dos cuatro más una cinco, dos por

tres seis más una siete dos por cuatro ocho más una nueve, listo, fin.

L67. Manuel: ¿Por qué voy a sumarle uno? ¿Por qué voy a sumarle uno?

L68. Profesor: Tú no entiendes por qué toca sumarle uno, no lo ves por ningún lado, vuelve

y mira las figuras, la disposición de los fósforos a ver si de pronto.

L69. Profesor: ¿Cómo van?

L70. Manuel: Me dio 201.

L71. Profesor: Te acuerdas lo que yo te había dicho de mirar como habías dibujado la

figura.

L72. Manuel: Sí, un palo y (…) [dibuja en el aire].

L73. Profesor: ¿Sabes de dónde sale ese más uno?

L74. Manuel: Sí [Señala el primer fósforo de cada figura].

Ilustración 65: Manuel señalando el “uno más” en las figuras dadas.

L75. Profesor: Listo, entonces ya sabes de donde sale ese más uno. Figura número mil.

83

L76. Manuel: 2001, por fin.

En el caso de Manuel se puede evidenciar que sus fórmulas corpóreas son expresadas a

través de los diálogos y producción escrita, ya que expresa menos desde lo gestual. En el

paso por los tres problemas se observa en lo fenomenológico tiene en cuenta la dimensión

espacial al centrar su atención en los espacios, conformación por triángulos, a diferencia de

sus compañeros no se fija en las cabezas de los fósforos, sin embargo en el campo

epistemológico usa solo algunas de las determinaciones encontradas en el terreno

fenomenológico que no le permiten hallar una fórmula sino un método aritmético.

Es importante resaltar la insistencia de Manuel por encontrar el “uno más” del cual hablan

sus compañeros, esto lo lleva a revisar nuevamente sus determinaciones en el campo

espacial y encontrar una justificación de la fórmula. Sus representaciones en el campo

semiótico pasan por señalamiento y actividad perceptual, a diferencia de sus compañeros

expresa menos a través de los movimientos, pero su producción escrita es más elaborada

dando evidencia de su paso por una estructura de generalización de la secuencia. En las

hojas de trabajo no se muestra una fórmula general para cualquier término de la secuencia,

es decir que la variable no aparece como objeto del discurso: esta aparece instanciada en

algunos de sus valores, podemos hablar de una fórmula encarnada a través de una

actividad multimodal en la que interviene la percepción, (…) los símbolos matemáticos y el

lenguaje natural (Radford, 2013a, p. 12) pero sus gestos aparecen en menor medida.


Tarea 7: Secuencia numérica apoyada por representación tabular correspondiente a

5 8 11 14 17

Término 1 Término 2 Término 3 Término 4 Término 5


Esta tarea pertenece a una generalizacion y fue modificada en la etapa de aplicación

ya que correspondia a , los estudiantes en tareas anteriores buscaban continuamente

el “uno mas” y en este caso la suma es de dos unidades mas. La tarea busca indagar más

profundamente en el aspecto epistemológico de la generalizacion, las preguntas son

84

similares a las tareas anteriores pero sin patrones figurales y la intención es observar como

emergen las fórmulas corpóreas en una secuencia de este tipo.


En este caso Sarah no expresa la fórmula con una estructura aditiva como era usual en

tareas anteriores, la recita verbalmente con una estructura multiplicativa a diferencia de las

veces anteriores Sarah no realiza gestos o movimientos corporales cómo se evidencia en el

siguiente segmento de transcripción donde trabaja en labor conjunta con Ana Lucia.

L01. Profesor: Digamos si yo te pregunto por la figura número 150 ¿qué te toca hacer?

L02. Sarah: ¿Cómo?

L03. Profesor: Digamos si yo te pregunto por el término 150.

L04. Sarah: Entonces sumo (…) multiplico 150 por 3 y al resultado le sumo dos [En este

caso Sarah no hace expresiones corporales sino que solo recita la fórmula].

Ilustración 67: Sarah recitando la fórmula para el término t.

L05. Profesor: ¡He! Anita si yo te preguntara por el término número 250. ¿Cómo harías?

L06. Ana Lucia: ¿Término qué?

L07. Profesor: 250.

L08. Ana Lucia: Pues sería sumar [audio no entendible]

L09. Profesor: Ok, ¿Y el término un millón?

85

L10. Ana Lucia: Se suma tres veces un millón, más un millón, más un millón y al resultado

le sumamos dos daría tres millones dos.

L11. Profesor: Figura 1503 Sarita

L12. Sarah: 1503?

L13. Profesor: ¿Cómo harías para encontrar el numerito?

L14. Sarah: 1503 por 3 y al resultado le sumo dos.

L15. Profesor: ¿Si yo te preguntara por la figura t?

L16. Sarah: ¿T?

L17. Profesor: Donde t es cualquier número.

L18. Sarah: Multiplicarlo por tres y al resultado le sumo dos.

L19. Profesor: Anita si yo te preguntara por la figura s.

L20. Ana Lucia: Pues sería sumar tres veces s y al resultado le sumo dos.

En las declaraciones de Sarah en las tareas 1, 2 y 3 hace uso de la suma para expresar su

fórmula, hasta ese momento se observa que intenta evitar la multiplicación para dar sus

generalidades (Ver tabla 2). Sin embargo en la tarea 7 hace un intento por usarla, pero al

revisar sus registros escritos expresa su generalidad con la suma (Ver Ilustración 67), hasta

este momento y con lo visto en las diferentes tareas se tiene la hipótesis de que la estructura

multiplicativa facilita el desarrollo del pensamiento algebraico, sin embargo al hacer

revisión bibliográfica no se encontró ninguna referencia que apoye esta postura por lo cual

nos atrevemos a realizar la anterior afirmación desde nuestras observaciones con respecto a

la evolución de fórmulas corpóreas.

Ilustración 68: Uso de la estructura aditiva de las fórmulas que usa Sarah.

86

Las producciones de Sarah y Ana Lucía muestran que parece ser cierta la declaración de

Vergel (2016) al expresar que la movilización de gestos y movimientos es menos intensa en

tareas numéricas que en aquellas que tienen índices geométricos. Al presentar a los

estudiantes secuencias figurales estuvieron motivados por encontrar una configuración

espacial que correspondiera con los términos numéricos dados, es por ello que Sarah ve la

necesidad de asociar una figura a la secuencia como se observa en la Ilustración 68.

Ilustración 69: Patrones figurales realizados por Sarah para representar una secuencia numérica con apoyo tabular.

En cuanto al paso por los tres problemas de la generalización en el campo fenomenológico

Sarah ve la necesidad de usar determinaciones espaciales, identifica en labor conjunta con

sus compañeros la necesidad de sumar 2, Sarah logra tener en cuenta sus determinaciones

espaciales y hacer una generalidad expresando: “Multiplicar por tres y al resultado le sumo

dos” finalmente en el campo semiótico se puede decir que Sarah en esta tarea hizo uso de

registros verbales y escritos.


A continuación se observa cómo Juan David en la tarea 7 hace uso nuevamente de un

método inductivo por ensayo y error para hallar la fórmula. Aunque según Radford (2013a)

no posee pensamiento algebraico, a través de sus movimientos se puede inferir que si hace

uso de la indeterminancia al realizar un movimiento con su mano derecha y elevar su

mirada (ver Ilustración 70).

L21. Profesor: Término 100.

87

L22. Juan David: 302.

L23. Profesor: ¿Por qué? acá, me explicas. ¿Tú por qué utilizas el 1 del término 1 el dos del

término dos y el tres del término tres? ¿cómo es que haces esto acá? vuélveme a explicar

eso.

L24. Juan David: (...) Lo primero que hice fue que, fue [audio no entendible] y vi que era

una secuencia de a tres, entonces empecé a multiplicar por tres y vi que no daba, luego le

sumé dos y me dio cinco [señalando y observando el término 1 de la tarea 7 con

movimientos circulares], después empecé a sumarle dos [señalando y observando el

término dos con movimientos circulares] y me dio todos los resultados [haciendo un

desplazamiento de izquierda a derecha de la secuencia de la tarea 7 y levantando la

mirada al tiempo que hace el desplazamiento].

Ilustración 70: Operaciones de los términos dados en la hoja de trabajo de Juan David.

Ilustración 71: Juan David describiendo cómo encontró la fórmula con un método inductivo teniendo en cuenta sus

determinaciones sensibles de tipo numérico en L24 de la sesión 9.

88

En la misma sesión Juan David encuentra, nuevamente, una fórmula general a partir de

ensayo y error pero en el caso de este tipo de secuencias, este método le permitió

encontrarla con facilidad, ya que había usado este método inductivo en múltiples ocasiones.

L47. Profesor: Explica un procedimiento para calcular cualquier término [leyendo la

pregunta 4 de la hoja de trabajo].

L48. Juan David: Multiplico el término por tres y le sumo dos [leyendo la respuesta dada

en la pregunta 4 de la hoja de trabajo].

Ilustración 72: Respuesta de la pregunta cuatro de la Tarea 7 de Juan David.

L49. Profesor: Multiplico la figura (...) término por tres (…).

L50. Juan David: Figura o término [haciendo movimientos de “saltos” con las manos].

Ilustración 73: Juan David describiendo la figura tres de la tarea 7.

L51. Profesor: (...) y le sumo dos. Escríbele un mensaje a un compañero que no asistió a

clase (…) [refiriéndose a la pregunta 5].

L52. Juan David: Toca multiplicar 5753 y al resultado le sumo dos [leyendo su hoja de

trabajo]. Está muy claro.

89

Ilustración 74: Respuesta de la pregunta cinco de la Tarea 7 de Juan David.

Teniendo en cuenta la producción de Juan David en la tarea 7 puede decirse que él busca

establecer ciertas relaciones entre los números de los términos y los números

correspondientes, al no tener elementos espaciales obliga a Juan David a establecer

relaciones numéricas que al parecer provocan una generalización, lo realizado por Juan

David está en relación con lo planteado por Vergel (2016) en no encontrar relación entre la

abducción y la hipótesis, pues en la línea L48 se observa que ha logrado crear su hipótesis,

aunque parece que las generalizaciones creadas por Juan David son aritméticas están muy

cerca de ser algebraicas. Se puede concluir que Juan David por medio de procesos

inductivos ha logrado domesticar su ojo y centrar su atención en las determinaciones

numéricas, constantemente logra extrapolar una propiedad en el campo epistemológico y

denotarla con diferentes recursos semióticos (gestos, señalamientos, palabras, escritos).


A continuación observamos como Manuel en la séptima y última tarea deduce una fórmula

para encontrar cualquier término de una secuencia numérica con apoyo tabular y sin la

necesidad de generar una secuencia figural de apoyo para expresar la generalidad. En el

fragmento de transcripción y en las imágenes de sus hojas de trabajo se ve reflejado que no

solo comprende cómo se comporta la figura sino que va un poco profundo y encuentra

parcialmente una función inversa.

L47. Profesora: Manuel ¿Cómo?

L48. Profesor: ¿Qué fue lo que acabaste de decir?

L49. Manuel: Que tocaba multiplicar (...) esto (...) por tres y sumarle dos. Acá en el

término, digamos, tres por uno, tres por dos, así [señalando el término número uno].

L50. María Paula: Puede servir el término uno pero no entiendo este término dos.

L51. Manuel: Término dos, dos por tres (...) [audio no entendible].

90

Ilustración 75: Fórmulas para términos lejanos de Manuel concordante con lo esperado en la tarea 7.

Ilustración 76: Fórmula para calcular cualquier término de la secuencia donde la indeterminancia no es parte del

discurso.

En este fragmento es “interesante aquí notar que si bien este estudiante había comenzado

con un procedimiento en el cual la abducción analítica o hipótesis no era clara, al parecer el

esquema operacional adquiere mayor consolidación” (Vergel, 2016, p.123). En este caso

como en el de Juan David en la tarea 7 se fortalece más esta afirmación, ya que en estos dos

casos es muy evidente que las operaciones manifiestan e inclusive fortalecen el

entendimiento del comportamiento de la secuencia como se observa en L55 y en las

Ilustraciones 74 y 75.

Continuando en esta misma sesión Manuel, más adelante, produce un método efectivo para

encontrar la relación entre un número dado y su término correspondiente.

L70. Profesora: Duro [hablándole a Manuel].

L71. Manuel: Porque el término de acá atrás, entonces acá se multiplica por tres (…).

L72. María Paula: Pero esto es una división [Mira su propia hoja y después mira la de

Manuel y señala su división].

91

Ilustración 77: A la izquierda Manuel mostrando la operación para encontrar el número del término con número 3005 y

a la derecha María Paula preguntándole el por qué de la división.

L73. Profesora: Espérate, esa pregunta de Paula me gusta, ¿Por qué divides?

L74. Manuel: Porque acá tocaría dividir esto en 3 en 3005 (...) ¿si me entienden?

Ilustración 78: División para encontrar el término a que pertenece el número 3005 y comprobación de su hallazgo a la

izquierda.

En la Ilustración 76 y 77 apoyados con el fragmento de transcripción en L74 se sugiere que

Manuel en labor conjunta con María Paula y la profesora están encontrando un método de

cálculo numérico para la función inversa en el caso del número 3005. Realiza una división

descubriendo que el cociente le da indicios del término, pero Manuel no evidencia, que el

residuo le da evidencia del “más dos” de la secuencia, sin embargo hace la comprobación

de su hallazgo en la parte izquierda de la Ilustración 77.

Desde el campo fenomenológico Manuel halla varias características comunes que le

permiten generar, en labor conjunta, una fórmula concordante con la secuencia desde el

epistemológico, esto lo realiza apoyado en operaciones básicas para hallar los términos

92

preguntados e inclusive halla un método numérico potente para una función inversa de la

secuencia que se encuentra representada en el campo semiótico.

Actividad de Manuel, Juan David y María Paula en labor conjunta de la tarea 7

A continuación se realiza análisis de una discusión focalizada en el grupo de trabajo

conformado por María Paula, Juan David y Manuel, quienes logran a través de la labor

conjunta concluir aspectos importantes para el desarrollo de la tarea; se muestra una parte

de la transcripción de lo trabajado en la sesión:

L132. Profesor: Bueno cómo es la fórmula digamos para el término 100.

L133. Juan David: Eh.

L134. María Paula: Multiplicar el número de la figura por tres y al resultado le sumo dos.

L135. Profesora: ¿Cómo? Yo no escuché nada.

L136. Juan David: Multiplicar el 100 por tres y después sumarle dos y ya.

L137. Profesor: Figura 150 ¿cómo la hallarías? [Mirando a Juan David].

L138.Juan David: Multiplicar el 100 por tres y después sumarle dos.

L139. Profesor: Figura 1000 [Mirando a María Paula].

L140. María Paula: Multiplicar el 1000 por tres y al resultado le sumo dos.

L141. Profesor: Figura 5000 [Mirando a Juan David].

L142. María Paula: Lo mismo.

L143. Profesor: ¿Cómo sería? Dímelo.

L144. María Paula: ¿Yo?

L145. Profesor: Si tú.


L147. Profesor: Figura w.

L148. Juan David: Eh w, w por dos Eh (...) W por tres igual dos igual cualquier número.

[María Paula niega lo que dice Juan David con la cabeza].

L149. María Paula: ¿Lo del abecedario? ¿Las vocales?

L150. Profesora: W cualquier número.

L151. Profesor: W no representa una letra como tal, w representa cualquier otro número,

cualquiera, cualquiera. Si y les preguntara (...).


93

L153. Profesor: por eso, ¿y la w?

L154. María Paula: Uno.

L155. Profesor: No porque la w no sé cuánto vale.

L156. María Paula: Por eso [María Paula mira al piso y hace una pausa].

L157. Profesor: Cómo Haríamos, figura w ¿cómo sería la fórmula?

L158. Juan David: Cualquier número.

L159. María Paula: Coger un número.

L160. Juan David: [audio no entendible].

L161. Profesor: No, el número es w, como sería la fórmula con w.

L162. Manuel y Juan David: [al tiempo] W por tres [Juan David hace movimientos con la

mano para callar a Manuel y levanta la voz].

L163. Manuel: W por tres más dos igual cualquier número.

L164. Profesor: Y figura p, Manuel, Manuel, Manuel [Mira a Manuel para darle la

palabra].

L165. Manuel: P por tres más dos igual un número [Manuel golpea con el marcador su

dedo anular mientras dice cada parte de la fórmula].

Ilustración 79: Manuel haciendo dos golpes y un deslizamiento para decir la fórmula del término p.

L166. Profesor: Figura m Juan.

L167. Juan David: ¿La figura qué?

L168. Profesor: La figura m.

94

L169. Juan David: M por tres más dos igual cualquier número [Hace movimientos en el

aire hacia su izquierda a medida que dice la fórmula y que gira la cabeza hacia su

derecha].

Ilustración 80: Juan realizando tres golpes en el aire y al mismo tiempo moviendo la cabeza a la derecha para decir la

fórmula del término m, .

L170. Profesor: Mapis, Figura número h.

L171. María Paula: Multiplicar h por tres y al resultado le sumo dos.

Ilustración 81: María Paula haciendo tres golpes con su dedo índice, hacia el frente, en el puesto y siguiendo los golpes

con la mirada mientras dice la fórmula para el término h.

95

En el fragmento de transcripción entre L132 y L171 y en las imágenes 78, 79 y 80 emerge

el resultado de una labor conjunta que ha transcurrido a lo largo de la sesión 9 donde los

estudiantes exponen los argumentos que han construido, a partir de las preguntas hechas

por el profesor. Con las evidencias se toma en cuenta lo dicho por Vergel (2014a)

El diálogo, como parte de la labor conjunta, sugiere que los estudiantes no sólo han

tomado conciencia de la característica común sino que la han generalizado, han

propuesto una abducción, esto les permite encontrar el término de figuras grandes o

remotas. (p. 114)

De esta labor conjunta que emerge se debe destacar los señalamientos, saltos en el aire que

movilizan casi de forma sincrónica los estudiantes, desde los planteamientos de Pantano

(2014) “puede inferirse que en la labor conjunta está emergiendo un nodo semiótico

colectivo, en el cual los gestos realizados por un sujeto son complementados por otro para

objetivar el saber puesto en juego en la actividad” (p.57).

Para finalizar, a continuación en la Tabla 2 se presentan las frases claves que tres de los

estudiantes produjeron a través de las 7 tareas. Esto con el objetivo de seguir el transcurso

de la evolución de fórmulas a nivel verbal y/o escrito.

Tabla 2: Fórmulas verbales de Sarah, Juan David y Manuel.

Estudiante Producción

tarea 1

Producción

tarea 2

Producción

tarea 3

Producción

tarea 4

Producción

tarea 5

Producción

tarea 6

Producción

tarea 7

Sarah En lo que yo

le expliqué,

como acá

decía la

secuencia,

entonces lo

que yo

entendía era

acá una

menos

[refiriéndose

a la parte

inferior de la

figura] y acá

una más

[refiriéndose

a la parte

superior de

la figura].

Que si me da

el número en

vez de la

gráfica, el

número que

me dé lo

sumo una vez

también otra,

pero para la

otra le sumo

uno que es el

de la mitad.

Entonces

solo lo

sumamos

dos veces y

le sumamos

uno [expresa

con sus

manos lo

que hace]

N más n más

uno.

Toca sumar

cualquier

número tres

veces y

después

sumarle

uno.

Cualquier

número lo

multiplicamos

por seis y le

sumamos uno.

Toca

multiplicar

el número

de la figura

por 4.

Toca sumar

el término 3

veces y

después

sumarle 2.

96

Juan

David

Entonces en

la segunda

que me

ayudo a

resolver esta

es que yo

tome desde

el seis y le

sume cuatro

veces hasta

llegar al diez

y yo después

lo

multiplique

por el 3 y me

da 30

entonces yo

dije no

puede ser,

entonces yo

le reste 3 y

no me daba

reste 4 y me

dio 26,

entonces acá

hice lo

mismo pero

con el 100 y

ya.

Primero

multiplicamos

el número de

la figura por

un lado sin

contar el

centro,

después al

resultado le

sumamos 1.

Cojo el

número de la

figura le

resto uno y

ese número

que me dio

lo multiplico

por dos y le

sumo 3 y me

da el

resultado de

los palitos

que hay.

Multiplico

el número

por 3

después le

sumo 1 que

es el centro.

Multiplicamos

los lados de la

figura por el

número de la

figura después

sumar 1 que

es el centro.

Multiplico

el número

de la figura

sumándole

una por

cuatro que

son los

lados.

Multiplicar

el término

por 3 y

sumarle 2.

Manuel Yo cojo

siempre la

misma

cantidad,

pero uno

más y luego

lo sumo para

que me del

resultado

Yo cojo los

círculos de la

figura y los

multiplicó

con el 3 y el

resultado lo

sumo más 1.

Pues es que

a mí siempre

me da un

número

impar y

estoy

confundido

acá

[refiriéndose

a la figura

100] porque

no sé si da

301 o 201

La cantidad

de la figura

tiene dos

cuadros

más se lo

sumo y

luego

multiplico

por 4 para

llegar al

resultado.

Multiplicar

por 3 y

sumarle 2

para hallar

el resultado.

Tabla 2: Fórmulas verbales de Sarah, Juan David y Manuel.

97

Capítulo 5

Conclusiones y reflexiones

A continuación se plantea una posible respuesta a la pregunta de investigación, teniendo en

cuenta la articulación entre los objetivos descritos inicialmente, postulados teóricos de la

teoría de la objetivación, y un análisis multimodal; posteriormente se plantean algunas

reflexiones frente al ejercicio de investigación realizado.

Respuesta a la pregunta de investigación

Para dar respuesta a la pregunta de investigación ¿Qué elementos semióticos,

epistemológicos y fenomenológicos intervienen en la evolución de fórmulas corpóreas

hacia formas más sofisticadas en el proceso de generalización de secuencias de patrones

en estudiantes de cuarto de primaria? se analizaron las producciones de cada una de las

tareas (las grabaciones en video, las transcripciones de los segmentos salientes de actividad,

las hojas de trabajo y el diario de campo) prestando especial atención en las formas en que

los estudiantes comunican sus ideas entre sí, por ello se busca evidencia de los medios

semióticos de objetivación que surgieron en el desarrollo de la investigación:

Señalamientos con el lapicero: Es un medio semiótico de objetivación usado en diferentes

momentos por los estudiantes, donde por medio de éste hacen conteos y relaciones entre los

elementos presentados en las tareas, generalmente los señalamientos fueron acompañados

con elocuciones y acentuaciones de voz junto con golpes en el aire o su hoja de trabajo.

Puede decirse que es una forma en la que los estudiantes expresan sus opiniones con los

recursos con los que disponen sin necesidad de hacer uso del lenguaje escrito.

Movimientos en el aire: Los estudiantes movilizan este medio semiótico de objetivación

para expresar la configuración espacial o numérica de algunos elementos de los términos de

las secuencias, el medio semiótico de objetivación surgió especialmente para denotar el

“uno más” de muchas secuencias, realizar movimientos circulares o rectilíneos como un

intento por describir figuras cercanas o lejanas al profesor u otro compañero. Estos

movimientos en el aire se realizaban comúnmente con la mano derecha y regularmente se

acompañaban de movimientos con la cabeza y/o la mirada.

98

El spinner: En la tarea 3 surge la necesidad de caracterizar la forma de las figuras, para

ello los estudiantes parten de sus determinaciones sensibles en la dimensión espacial de la

figura, asociadas a un centro y tres brazos con igual cantidad de círculos. Un grupo de

estudiantes asociaron esto a la forma de un Fidget spinner (juguete de moda en el momento

de la aplicación de la tarea 2 que se muestra en la Ilustración 37b), lo cual permitió referirse

a la configuración espacial de los términos dados apoyando el proceso de generalización y

permitiendo la objetivación del saber. El spinner se convierte en medio semiótico de

objetivación al mediar la intención de los estudiantes.

Señalamientos con los dedos: Este medio semiótico de objetivación permite a los

estudiantes evidenciar signos, conceptos y permite mostrar las soluciones que plantean en

las hojas de trabajo, los señalamientos permiten interpretar y reflexionar la actividad

realizada en las tareas.

Golpes sobre las hojas de trabajo o escritorio: Este medio semiótico de objetivación fue

usado por los estudiantes para expresar el comportamiento de las secuencias, fue usado más

frecuentemente por Sarah en el momento de conformar sus fórmulas basadas en lo aditivo.

En este medio semiótico de objetivación los estudiantes hacían tantos golpes como

acentuaciones en la frase, por ejemplo, hacían tres golpes (Ver última parte de

análisis de María Paula) y en el caso se realizaban 4 golpes.

Evolución de fórmulas corpóreas

Teniendo en cuenta la postura de fórmulas corpóreas y de evolución que se tomó en este

trabajo y que se aborda en el marco teórico se llegó a las siguientes conclusiones.

La contracción semiótica: En el transcurso de la aplicación los estudiantes usaron

diferentes medios semióticos de objetivación como se enunció en el apartado anterior. Al

inicio de las actividades fueron más frecuentes, sin embargo con el transcurso del tiempo

cuando trabajaban con más tareas fueron disminuyendo en intensidad y variedad de medios

semióticos, siendo más evidentes los medios escritos y verbales, es importante nombrar que

se evidenció mayor uso de medios semióticos de objetivación en tareas que tenían

99

componentes espaciales o geométricos y en las tareas numéricas con apoyo tabular se

potenciaba el uso de la fórmula y las operaciones de forma escrita o verbalizada.

La iconicidad: Un ejemplo de ello es el medio semiótico de objetivación (MSO)

“spinner”, en un principio fue tomado para comprender y llegar a la fórmula .

Otros MSO fueron “filas arriba y filas abajo” junto con “arriba uno más y abajo uno

menos”; “uno más”.

Transcurso por los tres problemas

Después de la aplicación de las tareas se puede evidenciar que los estudiantes toman

determinaciones espaciales y numéricas en el campo fenomenológico, las determinaciones

que toman los estudiantes dependen de lo refinada que esté su mirada, entre más

experiencia tenga el estudiante con tareas relacionada con patrones será más fácil notar sus

determinaciones. Con lo realizado en esta investigación se evidencia que la característica

común es extrapolada al tener un trabajo arduo en el campo epistemológico, aunque es

difícil lograr una abducción analítica porque los estudiantes se basan en procedimientos

inductivos de ensayo y error, es posible lograrla por medio de la labor conjunta realizada

con otros compañeros. En cuanto a la forma de denotar los objetos matemáticos es

importante resaltar los diferentes medios semióticos de objetivación que van evolucionado,

ya que en los estudiantes va emergiendo una fórmula encarnada, como en el caso de los tres

estudiantes analizados, denotándola a través del cuerpo y la producción escrita.

En cuanto a los tipos de secuencias utilizadas y el campo fenomenológico:

Las secuencias geométricas apoyan la evolución de fórmulas corpóreas con la condición

que estas tengan ayudas visuales en lo espacial y geométrico, ya que entre más indicios de

una fórmula estén implícitos en la figura, mayor será la actividad desde el campo

fenomenológico al extraer determinaciones sensibles desde la dimensión espacial con

mayor facilidad.

Un ejemplo de estas ayudas visuales que permitieron la producción de determinaciones

sensibles estuvo en la tarea uno (una secuencia ya aplicada y probada en investigaciones

anteriores) donde la cantidad de cuadrados sin sombrear en las “filas arriba y abajo”

100

correspondía al número del término y el cuadrado sombreado correspondía al “uno más”.

Un segundo ejemplo se observó en la tarea 2 donde la cantidad de círculos en cada lado del

“Spinner” también correspondía al número de la figura y el círculo sombreado de la mitad

al “más uno”. En contraste en la tarea tres, los estudiantes requirieron de más tiempo para

hallar la generalidad debido a que en la figura no eran muy evidentes el “más uno” y lados

o filas que le indicaran al estudiante donde encontrar el número de la figura y así hallar una

fórmula. En el caso de Manuel fue necesario mayor tiempo para el análisis de la secuencia

para relacionarla con la fórmula que había hallado aparentemente de manera inductiva, sin

embargo en la interacción con el profesor pudo encontrar los espacios que le indicaban la

separación de dos fósforos y el fósforo inicial que indicaba el “más uno”. En conclusión, es

enriquecedor el trabajo con secuencias figurales que hablen por sí solas ya que permiten el

surgimiento de fórmulas.

En cuanto las secuencias numéricas (no figurales) se puede trazar una serie de rutas

similares a la estructura de generalización de secuencias figurales (ver ilustración 1) sin

embargo dentro de las determinaciones sensibles los estudiantes toman recursos de tareas

anteriores o de otros compañeros (surgimiento de iconicidad) para poder extraer

características comunes en el campo epistemológico. En parte de estas generalizaciones los

estudiantes hacen uso de métodos inductivos de ensayo y error, como lo hace Juan David y

Manuel, pero es más interesante observar los recursos que tomaron Sarah junto con Ana

Lucía al generar una secuencia figural que correspondiera con la numérica (ver actividad de

la tarea 7 de Sarah). Este último caso es meritorio de mayor investigación ya que todavía

quedan muchas inquietudes como investigador para poder entrar a hacer inferencias.

Es importante aclarar que para el análisis en esta investigación fue importante el uso de los

dos tipos de secuencias, tanto numéricas como geométricas (las dos con apoyo tabular) ya

que permitieron el surgimiento de datos de gran importancia para dar respuesta a la

pregunta de investigación, sin embargo, la secuencia presentada pudo ser más productiva en

el sentido de la evolución de fórmulas corpóreas ya que se usaron secuencias

correspondientes a fórmulas iguales ( o por ejemplo). La variedad de

secuencias y de posibles fórmulas amplia el espectro de MSO y de recursos movilizados

por el estudiante, en otras palabras, no es conveniente usar las mismas fórmulas para varias

101

tareas ya que esto produce en los estudiantes la sensación que en todas, por ejemplo, hay

que sumarle “más uno” cuando puede que no sea necesario sumar algo adicional o sumarle

“más dos”. En este sentido se amplían las determinaciones sensibles desde la dimensión

numérica al usar variedad de tareas, de secuencias y de tipos de secuencias.

En cuanto a la experiencia en la generalización de patrones y la abducción analítica

Tanto la variedad de tareas, de secuencias y de tipos de secuencias como el uso de

secuencias que hablen por sí solas que permiten el surgimiento de fórmulas mediante las

determinaciones sensibles son de gran importancia en la abducción de características

comunes en el campo epistemológico con mayor eficacia y prontitud. En este caso la

experiencia de los estudiantes con seis tareas con fórmulas correspondientes a

y (todas figurales con apoyo tabular) permitió a los estudiantes

abordar una secuencia numérica y extraer una fórmula concordante a la esperada través de

diferentes recursos usados con anterioridad.

En cuanto a la representación del objeto generalizado y los MSO

En cuanto a la utilización de diversas secuencias se evidenció que a medida que los

estudiantes adquirían más experiencia en el transcurso por la estructura de generalización

de secuencias figurales denotaban o representaban lo indeterminado a través de MSO

menos ininteligibles o complejos mediante la contracción semiótica de los nodos

semióticos utilizados reiteradamente.

De la misma forma la representación del objeto generalizado y su comprensión se ven

fuertemente influenciadas por el tipo de generalización abducida ya sea aritmética o

algebraica. En el caso de la generalización algebraica, la abducción analítica del objeto

generalizado depende del carácter operatorio, en este sentido el dominio de una estructura

multiplicativa permite ampliar la variedad de cálculos que se pueden hacer, por ejemplo, el

surgimiento de una fórmula para la función inversa de una secuencia en el caso de Manuel.

En conclusión, el uso de una estructura aditiva también permite realizar generalizaciones

como es el caso de las tareas de Sarah, pero generar fórmulas de las secuencias aplicadas en

este trabajo con una multiplicación asociada permite una generalización más útil para los

estudiantes.

102

Reflexiones

En este apartado se encuentran las reflexiones generales de esta investigación, mostrando

alcances y limitaciones que se encontraron en el proceso.

El buen constructo teórico facilitó el análisis debido a la investigación en torno a la teoría

de la objetivación. En cuanto a la metodología hay es conveniente ser muy riguroso en la

fase de pilotaje, ya que permite agilizar el proceso de investigación permitiendo dar

respuesta a la pregunta planteada de forma eficiente, pues las tareas planteadas deber ser

pertinentes para el objeto de investigación.

Por otro lado se debe resaltar la importancia de las observaciones ya que identificar medios

semióticos de objetivación es complejo, teniendo en cuenta que todo gesto o movimiento

que se despliegue en la actividad no necesariamente es un medios semióticos de

objetivación, por ello se considera un factor relevante que la persona encargada de grabar

las sesiones tenga conocimiento de la Teoría de la Objetivación.

La variedad del tipo de tareas y de preguntas adquirió mayor importancia que la cantidad,

ya que aplicar tareas similares provoca en la recolección de datos saturación teórica, ya que

os datos se van a emerger muy similares de forma repetitiva, en cambio, la variedad de

secuencias de patrones en cuanto a las fórmulas que podrían emerger de estos y su

representación gráfica, evidencian datos más enriquecedores en menor cantidad de

sesiones.

103

Limitaciones del estudio

Desde las experiencias vividas en la construcción de esta investigación es importante

resaltar algunos aspectos limitantes para desarrollar un estudio bajo la perspectiva de la

teoría de la objetivación, desde nuestra experiencia encontramos:

1. Selección de las tareas: es importante empezar a cambiar el tipo de tareas que se

presenta a los estudiantes, teniendo en cuenta su contexto cultural. Las tareas

pueden ser elaboradas con material concreto, donde posiblemente los estudiantes

puedan extrapolar comunalidades de forma vivencial y así lograr conciencia. La

fase de pilotaje debe ser trabajada rigurosamente, centrando la atención en el objeto

de estudio planteado.

2. Refinamiento de la actividad perceptual: como investigadores se debe tener claro el

objeto de estudio, de forma que la mirada no se desvié hacia elementos que

posiblemente no contribuyan a resolver la pregunta de investigación, desde el marco

de la teoría de la objetivación van a hacerse evidentes muchos constructos teóricos

que se deben reportar sin embargo los investigadores deben tener cuidado en no

desviar la mirada de su objetivo. Las preguntas que se formulen a los estudiantes

deben ser claras y tener un propósito, ya que la constitución del dato depende en

gran medida de las interacciones que hay entre profesor y estudiante.

104

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Anexos

Hojas de trabajo Sarah, tarea 1

110

Hoja de trabajo Sarah, tarea 1.1

111


113


115


117

Hojas de trabajo Juan David, tarea 1

119

Hoja de trabajo Juan David, tarea 1.1

120


123


125


127

Hojas de trabajo Manuel, tarea 1

128

Hoja de trabajo Manuel, tarea 1.1

129


131


133


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