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EVOLUCIÓN DE LOS PATRONES DE INTERACCIÓN COMUNICATIVA
DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICAS.
CASO UPTC.
JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO
DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
RED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA – RUDECOLOMBIA
CADE-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
TUNJA
2017
EVOLUCIÓN DE LOS PATRONES DE INTERACCIÓN COMUNICATIVA
DE LOS DOCENTES DE MATEMÁTICAS.
CASO UPTC.
JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO
Trabajo, requisito parcial para optar el título de
Doctor en Educación
DIRECTOR
Dr. ALFONSO JIMÉNEZ ESPINOSA
DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
RED DE UNIVERSIDADES ESTATALES DE COLOMBIA – RUDECOLOMBIA
CADE-UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
TUNJA
2017
Nota de aceptación
Jurado:
Dr. William Alfonso Pacheco Serrano
Jurado
Jurado
Director
Dr. Alfonso Jiménez Espinosa
A:
Lina María, Lina, mis padres
(Rosalba y Rafael), hermanos,
sobrinos y en general toda mi
familia.
Doy gracias:
A Dios, por darme la fortaleza para culminar esta meta y a todas las personas que
me ayudaron a consolidar este proyecto.
Al doctor Alfonso Jiménez Espinosa, por su dedicación, paciencia, compañerismo
y aportes en pro del desarrollo del proyecto en calidad de director del mismo.
Al doctor Viçenc Font Moll, por su colaboración y sugerencias, tanto en la
consolidación del anteproyecto como en el desarrollo del trabajo investigativo.
Por su acompañamiento durante la pasantía en la Universidad de Barcelona.
A los docentes de la Licenciatura en Matemáticas “Fernando”, “Juan” y
“Gustavo”, ya que, con su colaboración e intervención en el proyecto, hicieron
viable su desarrollo.
A los doctores Joaquín Giménez y Yuly Vanegas, por sus aportes y apoyo durante
la pasantía en la Universidad de Barcelona.
Al doctor Ángel José Chacón Velasco, por su colaboración en el trabajo inicial
del proyecto investigativo.
A los compañeros de la Licenciatura en Matemáticas, que siempre me alentaron
a continuar en este proceso.
A los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas que permitieron nuestra
intervención e hicieron posible avanzar en el desarrollo de la investigación.
A los compañeros Olga Patiño y Zamir Chaparro, por su colaboración en la
lectura y aportes al proyecto.
A mi hermano Rafael por su apoyo en la corrección final del escrito.
A Lina María y Lina, gracias por su cariño y voz de aliento permanente.
Contenido
Pág
Resumen 13 Abstract 14 Introducción General 15 Capítulo 1. Generalidades 19
Problema de Investigación 19
Objetivos 28
Objetivo general 28
Objetivos específicos. 28
Justificación 29
Capítulo 2. Referentes de la investigación 34 Las Interacciones en el Aula de Matemáticas 34
Adaptaciones del interaccionismo simbólico a la educación matemática. 35
Caracterización del interaccionismo simbólico y la educación matemática. 36
Los patrones de interacción y comunicación. 38
Interacción en que la intervención del profesor es discreta. 53
Aspectos interaccionales en la Teoría de Situaciones Didácticas. 56
Tipos de interacción y modelo didáctico del profesor. 58
Modelos Didácticos del Profesor 58
Análisis didáctico 65
Acerca del análisis. 65
Análisis didáctico en la educación matemática. 67
Modelo de Análisis Didáctico del Grupo PNA de La Universidad de Granada. 69
Algunos Aspectos Teóricos del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática. 72
Modelo de Análisis Didáctico utilizado en esta investigación. 85
Estudios Empíricos Relacionados con el Modelo de Análisis Didáctico del EOS. 85
La comunicación 87
Algunos modelos explicativos de la comunicación. 89
Clases de comunicación. 90
Semiótica y comunicación. 92
La comunicación en el aula de matemáticas. 96
Comunicación y control del aula. 101
Contrato didáctico, normas sociomatemáticas y comunicación. 102
Comunicación y discurso matemático. 104
Modos de comunicación. 105
Capítulo 3. Metodología 108 Fases de la Investigación 108
Opciones Metodológicas 109
Metodología para cada Objetivo 111
Sujetos Investigados. Un Estudio de Casos. 116
Métodos, instrumentos y procedimientos para la recolección de información 117
Instrumentos por Objetivos de Investigación. 120
Validez de los instrumentos y del análisis de la Información. 122
7
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas
de la UPTC 124 Aspectos metodológicos 124
Resultados 125
Triangulación de información 133
Capítulo 5: Grupo de Trabajo Colaborativo 134 Trabajo en Contexto Colaborativo 134
El Grupo 138
Reflexiones y Discusiones en el Grupo 144
Reflexiones sobre el Grupo 151
Capítulo 6. Caso Fernando 154 Aspectos Personales 154
Antes del Trabajo Colaborativo 155
Análisis Didáctico de las clases iniciales. 156
Análisis de interacción de las clases iniciales. 190
Análisis de la comunicación en las clases iniciales. 202
Durante el trabajo colaborativo 214
Después del Trabajo Colaborativo 217
Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica. 217
Análisis Didáctico. 218
Análisis de Interacción. 249
Análisis de la Comunicación. 262
Discusión Final 271
Análisis Didáctico. 272
Análisis de Interacción. 280
Análisis de la Comunicación. 292
Capítulo 7. Caso Juan 296 Aspectos Personales 296
Antes del Trabajo Colaborativo 297
Análisis didáctico de las clases iniciales. 299
Análisis de Interacción de las clases iniciales. 323
Análisis de la comunicación en las clases iniciales. 332
Durante el Trabajo Colaborativo 343
Despúes del Trabajo Colaborativo 350
Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica. 350
Análisis de didáctico. 352
Análisis de Interacción. 377
Análisis de la comunicación. 390
Discusión Final 399
Análisis didáctico. 399
Análisis de Interacción. 407
Análisis de la Comunicación. 418
Capítulo 8. Conclusiones 421 Conclusiones en base a los objetivos propuestos 421
Limitaciones de la Investigación 432
8
Posibles ampliaciones. 433
Difusión de los resultados 433
Referencias Bibliográficas 435 Anexos 449
9
Lista de Tablas
Pág
Tabla 1. Patrones de extracción y discusión 43
Tabla 2. Clasificación de los patrones de interacción según Flanders 49
Tabla 3. Clasificación de los patrones de interacción 52
Tabla 4. Elementos y relaciones en la exploración de un concepto 71
Tabla 5. Análisis Didáctico propuesto por el PNA. 72
Tabla 6. Definiciones básicas del Enfoque Ontosemiótico. 73
Tabla 7. Clases de comunicación según criterios varios. 91
Tabla 8. Clasificación de los códigos propuesta por Giraud 96
Tabla 9. Los docentes y su clasificación de acuerdo con Díaz (2010). 126
Tabla 10. Preguntas con mayor frecuencia de respuestas positivas. 128
Tabla 11. Resultados de la evaluación de cada miembro del grupo a la clase del docente
Fernando. 143
Tabla 12. Análisis de la primera clase. 159
Tabla 13. Indicadores de idoneidad primera clase. 171
Tabla 14. Análisis Segunda clase. 177
Tabla 15. Idoneidad didáctica de la segunda clase. 186
Tabla 16. Idoniedad didáctica de las clases iniciales. 190
Tabla 17. Interacciones primera clase. 191
Tabla 18. Orden de interacción comunicativa de la primera configuración. 193
Tabla 19. Participación del estudiante respecto al tiempo en la primera clase. 196
Tabla 20. Interacciones segunda clase. 197
Tabla 21. Interacciones por tiempo y configuración de la segunda clase. 198
Tabla 22. Participación del estudiante respecto al tiempo en la segunda clase. 199
Tabla 23. Análisis de interacción de las clases iniciales. 199
Tabla 24. Participación del estudiante respecto del tiempo en las dos clases. 200
Tabla 25. Modos de comunicación en la primera clase. 206
Tabla 26. Modo de comunicación segunda clase. 212
Tabla 27. Análisis de la tercera clase. 220
Tabla 28. Indicadores de idoneidad en la tercera clase. 229
Tabla 29. Idoneidades de la tercera clase de Fernando. 231
Tabla 30. Análisis de la cuarta Clase. 234
Tabla 31. Indicadores de idoneidad cuarta clase. 244
Tabla 32. Análisis de interacción de la tercera clase. 249
Tabla 33. Análisis de interacción por configuración., tercera clase. 251
Tabla 34. Análisis de tiempo de participación. Tercera clase. 253
Tabla 35. Análisis de interacción cuarta clase. 254
Tabla 36. Análisis de interacción por tiempo y configuración. Cuarta clase. 256
Tabla 37. Análisis de tiempo de participación en la cuarta clase de Fernando. 258
Tabla 38. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clases. 258
Tabla 39. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase. 260
Tabla 40. Modos de comunicación en la tercera clase. 266
Tabla 41. Modos de comunicación en la cuarta clase. 269
10
Tabla 42. Resultados del análisis de los criterios de idoneidad didáctica en las dos fases.
272
Tabla 43. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por
idoneidad. 276
Tabla 44. Interacciones típicas de la clase. 281
Tabla 45. Flujo de participación de la primera clase.. 286
Tabla 46. Flujo de participación de la tercera clase. 290
Tabla 47. Modos de comunicación. 294
Tabla 48. Análisis Didáctico Primera Clase. 301
Tabla 49. Indicadores de idoneidad primera clase. 306
Tabla 50. Análisis didáctico de la segunda clase. 312
Tabla 51. Idoneidad didáctica de la segunda clase. 318
Tabla 52. Tendencia de la idoneidad diáctica. 322
Tabla 53. Análisis de interacción primera clase. 323
Tabla 54. Análisis de participación. Primera clase Juan. 326
Tabla 55. Análisis de interacción de la segunda clase. 327
Tabla 56. Análisis de participación respecto del tiempo en la segunda clase. 329
Tabla 57. Análisis de interacción en las dos clases. 329
Tabla 58. Análisis de participación de los estudiantes respecto del tiempo en las clases
iniciales. 331
Tabla 59. Modos de comunicación en la primera clase. 336
Tabla 60. Modos de interacción en la seguna clase. 341
Tabla 61. Análisis didáctico de la tercera clase. 354
Tabla 62. Análisis de Idoneidad de la tercera clase. 361
Tabla 63. Análisis didáctico de la Cuarta clase. 366
Tabla 64. Análisis de Idoneidad de la cuarta clase. 372
Tabla 65. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase. 376
Tabla 66. Análisis de interacción de la tercera clase. 377
Tabla 67. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la tercera clase. 379
Tabla 68. Participación de los estudiantes en la tercera clase. 381
Tabla 69. Análisis de interacción de la cuarta clase. 382
Tabla 70. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la cuarta clase. 384
Tabla 71. Participación de los estudiantes en la tercera clase. 386
Tabla 72. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clase. 386
Tabla 73. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase. 388
Tabla 74. Modos de comunicación en la tercera clase. 393
Tabla 75. Modo de comunicación cuarta clase. 397
Tabla 76. Tipología del docente antes y después del trabajo colaborativo. 400
Tabla 77. Análisis de idoneidad de la clase del profesor. 401
Tabla 78. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por
idoneidad. 404
Tabla 79. Interacciones del docente. 408
Tabla 80. Flujo de participación de la primera clase. 413
Tabla 81. Flujo de participación de la tercera clase. 416
Tabla 82. Modos de comunicación. 420
11
Lista de Figuras
Pág
Figura 1. Elementos de la Comunicación. 26
Figura 2. Interacciones en el aula de clase. 39
Figura 3. Tendencia del profesor hacia un modelo didáctico. 64
Figura 4. Mapa conceptual sobre sistemas de prácticas institucionales. 74
Figura 5. Sistemas de prácticas personales. 75
Figura 6. Configuración de objetos y procesos matemáticos desde el Enfoque
Ontosemiótico. 81
Figura 7. Interacción entre los objetos matemáticos propuestos por el Enfoque
Ontosemiótico. 82
Figura 8. Mapa Conceptual sobre los signos según Peirce (1974). 93
Figura 9. Tipos de Comunicación según Brendefur y Frykholm (2000). 107
Figura 10. Relación de los docentes con la tendencia tradicional – tecnológica. 131
Figura 11. Relación de las categorías frente a la tendencia tradicional – tecnológica. 132
Figura 12. Resultados de las dos encuestas 133
Figura 13. Hexágono que representa la tendencia de la evaluación del grupo a la clase del
docente Fernando. 143
Figura 14. Resumen de las Idoneidades de la primera clase. 173
Figura 15. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase. 188
Figura 16. Tendencia de las idoneidades de las clases de Fernando. 190
Figura 17. Idoneidades de la cuarta clase de Fernando. 246
Figura 18. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase. 248
Figura 19. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase de Fernando. 248
Figura 20. Tendencia de las idoneidades de las dos fases. 272
Figura 21. Análisis de idoneidad. 273
Figura 22. Resumen de las Idoneidades de la primera clase de Juan. 308
Figura 23. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase. 320
Figura 24. Tendencia de las idoneidades de las clases de Juan. 322
Figura 25. Idoneidades de la Tercera clase. 363
Figura 26. Idoneidades de la Cuarta clase. 374
Figura 27. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase. 376
Figura 28. Tabla de Valores 396
Figura 29. Idoneidades de Juan, en la primera (negro) y segunda (rojo) fases. 400
12
Lista de Anexos
Pág.
Anexo 1. Formato de consentimiento informado. 450 Anexo 2. Cuestionario para identificar la tendencia del modelo pedagógico de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas. 451 Anexo 3. Cuestionario para identificar las concepciones de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas. 455 Anexo 4. Transcripción de la primera clase del docente Fernando. 459 Anexo 5. Transcripción de la primera clase del docente Juan. 482 Anexo 6. Guía entrevista semiestructurada 1 a profesores. 498 Anexo 7. Propuesta para orientar el Grupo de Trabajo Colaborativo. 499 Anexo 8. Guía entrevista semiestructurada 2 a profesores. 500 Anexo 9. Guía entrevista semiestructurada 3 a profesores. 501 Anexo 10. Guía entrevista semiestructurada 4 a profesores. 502 Anexo 11. Guía entrevista semiestructurada 5 a profesores. 503 Anexo 12. Transcripción cuarta clase del docente Fernando. 504 Anexo 13. Transcripción de la cuarta clase del profesor Juan. 521 Anexo 14. Reuniones del Grupo de Trabajo Colaborativo. 532 Anexo 15. Transcripción de la tercera reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 536 Anexo 16. Transcripción de la octava reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 541 Anexo 17. Transcripción de la vigésima reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 551 Anexo 18. Transcripción de la vigésima primera reunión del Grupo de Trabajo Colaborativo. 567
13
Resumen
En esta investigación se pretendió analizar aspectos de la práctica profesional, en
especial los patrones de interacción comunicativa, de docentes de la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC y su (re)significación a partir de la reflexión sobre su propia
práctica. Para ello se asumieron referentes desde cuatro grandes tópicos: las interacciones;
los modelos pedagógicos y didácticos del profesor; el análisis didáctico de una clase,
haciendo énfasis en el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática, el cual fue
tomado como referente para este estudio; y la comunicación, entendida como una interacción
social mediada por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse
entender. Esta investigación corresponde a un estudio mixto, con predominio cualitativo,
con enfoque descriptivo interpretativo, y metodología, estudio de caso. El trabajo de campo
consistió en actividades realizadas al interior de un Grupo de Trabajo Colaborativo,
compuesto por tres profesores y el investigador, todos de la Licenciatura en Matemáticas de
la UPTC, donde se reflexionó sobre la práctica pedagógica de los participantes en el Grupo.
Se realizó un análisis completo antes, durante y después del Trabajo Colaborativo, lo cual
permitió determinar aspectos de (re)significación. Una de las conclusiones fundamentales
de la investigación es que, al finalizar la labor con el grupo de trabajo colaborativo, los
docentes lograron (re)significar sus prácticas profesionales, pues pasaron de una tipología
de clase con características unidireccionales a reflexivas. Así mismo, también lograron
(re)significar los patrones de interacción comunicativa, donde en la primera fase se
presentaron patrones centrados en el profesor, para pasar a unos centrados en el estudiante.
Palabras Clave: Profesor de matemáticas, prácticas pedagógicas, patrones de interacción
comunicativa, comunicación, Enfoque Ontosemiótico, (re)significación.
14
Abstract
In this research, it was intended to analyze aspects of professional practice, in
particular the patterns of communicative interaction, of teachers of the UPTC Mathematics
degree and it´s (re) significance from reflection on its own practice. In order to do so, they
assumed references from four major topics: interactions; the teaching and teaching models
of the teacher; the didactic analysis of a class, emphasizing the Ontosemiótico approach of
mathematical cognition, which was assumed as the basis for this study; and communication.
This research corresponds to a mixed study, with a qualitative predominance, with a
descriptive interpretative approach, and a case study methodology. The basis of the project
was the activities carried out within a collaborative working group, consisting of three
professors and the researcher, all of the degree in mathematics of the UPTC, where he
reflected on the pedagogical practice of the participants in the group. A thorough analysis
was carried out before, during and after the collaborative work, which allowed to determine
aspects of (re) significance. One of the fundamental conclusions of the research is that, at
the end of the work with the collaborative Working Group, the teachers achieved to mean
their professional practices, since they passed from a class typology with unidirectional to
reflective characteristics. Likewise, they also achieved mean the patterns of communicative
interaction, where in the first phase were presented patterns centered on the teacher, to move
to some centered in the student.
Key words: Maths teachers, pedagogical practices, communicative interaction patterns,
communication, Ontosemiotic approach, (re) significance.
15
Introducción General
Uno de los problemas persistentes en cualquier área ha sido ¿qué hacer para facilitar
su aprendizaje?, ¿qué debe hacer el maestro para contribuir con este proceso?, en especial,
en matemáticas existe un aditamento que es la utilización natural de su simbología, aspecto
que acentúa la problemática1. Se reconoce la matemática como una de las áreas más difíciles
de aprender, por diferentes motivos, entre los que se destacan las concepciones del docente
(Leguizamón, Patiño y Suárez, 2015), de las cuales depende en general su práctica
pedagógica, y en especial los roles que tanto docente como estudiante asumen en el aula.
Con relación al papel que tienen los alumnos y el profesor en los procesos aprendizaje
y enseñanza, respectivamente, se ha ido tomando consciencia que éstos están regidos por
determinadas pautas de interacción que merecen ser investigadas por sí mismas (Chaparro y
Leguizamón, 2015). Otro tópico igualmente investigable, es la forma como el docente
imparte sus clases y qué debería hacerse para mejorarlas. De lo anterior surgió la pregunta
que orientó esta investigación: ¿Cómo la toma de conciencia por parte del profesor de
aspectos relevantes de su práctica profesional, en especial de los patrones de interacción
comunicativa, permite (re)significar sus prácticas de aula? Para responderla se realizó esta
investigación, cuya memoria presenta ocho capítulos, estructurados de la siguiente manera.
En el capítulo 1 se presenta el problema de investigación, los objetivos propuestos,
la justificación y el estado del arte. En el capítulo 2 se abordan los diferentes referentes
que se consideraron básicos para el desarrollo de la investigación, aclarando que algunos
de sus elementos se determinaron a priori y otros se fueron complementando con el avance
del proyecto. Inicialmente se presenta el interaccionismo, compuesto por cuatro secciones.
En la primera se trata el interaccionismo en forma general y su relación con la matemática.
En la segunda se estudian los patrones de interacción desde el punto de vista de varios
autores como Voigt, Wood, Peressini y Knuth, Brendefur y Frykholm, Loska, Mercer,
1 Una problemática se toma como el cuestionamiento acerca de una situación determinada.
16
Sierpinska, Villalta y Martinic, Alrø y Skovsmose, y Schwarz, Dreyfus, Hadas y
Hershkowitz. Posteriormente, se trata la interacción donde la intervención del profesor es
discreta. La última sección se refiere a la relación entre la Teoría de las Situaciones y el
Interaccionismo Simbólico, en donde se abordan aspectos como el contrato didáctico, el
efecto topaze y el efecto Jourdain. Luego se presentan los modelos pedagógicos y
didácticos del profesor y el tipo de interacción que prioriza. Se han considerado tanto
modelos genéricos de autores que no son del área de la Educación Matemática, como otros
modelos propuestos específicamente para los docentes de matemáticas. Se plantea la
clasificación de modelos de profesor de matemáticas propuesta por Ernest. A
continuación, se aborda la tipología de modelos pedagógicos y didácticos propuesta por
Porlán. Estas clasificaciones se complementan con el modelo de profesor constructivista,
sugerido por el constructivismo de Piaget, la perspectiva sociocultural de Vygotsky y el
interaccionismo de Bruner. Posteriormente se plantea la sección referente al análisis
didáctico2, en la cual se revisan diferentes modelos teóricos para analizar la práctica del
profesor; se trata de los llamados modelos de análisis didáctico. Finalizando esta tercera
sección se justifica la selección del modelo de análisis didáctico propuesto por el Enfoque
Ontosemiótico de la Cognición Matemática EOS, dada su generalidad y especialmente,
porque propone dos tipos de análisis específicos (el análisis de las trayectorias3 y
configuraciones didácticas4, y el análisis de la dimensión normativa) que permiten
describir y explicar las interacciones en el aula y, por otra parte también propone un tipo
de análisis para la valoración de la interacción (idoneidad didáctica). La cuarta sección se
refiere a la Comunicación. Inicialmente se aborda el concepto de comunicación desde
diversos autores, donde a partir de los existentes se construyó el concepto que se asume
para la investigación: la comunicación es una interacción social mediada por el lenguaje y
donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse entender. Luego se mencionan
2 Análisis didáctico: “...el análisis de los contenidos de las matemáticas que se realiza al servicio de la
organización de su enseñanza en los sistemas educativos…”, (González, S.f, p. 2).
3 Trayectoria didáctica es la distribución a lo largo del tiempo de las configuraciones didácticas (Godino,
contreras, Font, 2006).
4 configuración didáctica “es la secuencia interactiva de estados de las trayectorias que tienen lugar a
propósito de una situación-problema (o tarea)” (Godino, Contreras y Font, 2006, p. 27)
17
algunos modelos de comunicación de acuerdo con la evolución histórica del concepto,
modelos sistémico, lineal y orquestal. Posteriormente, se propone una de muchas
clasificaciones de la comunicación, tomada de Niño (1998). A continuación se trata la
relación entre semiótica y comunicación, estudiando la semiótica desde diversos autores.
También dentro del aula se abordan aspectos como el control de la clase, el contrato
didáctico, las normas sociomatemáticas y el discurso matemático como comunicación.
Finalmente se estudian los modos de comunicación desde el punto de vista de Brendefur
y Frykholm (2000).
El capítulo 3 trata la metodología empleada en el presente documento. El tipo de
investigación es mixto, con diseño anidado o incrustado concurrente de modelo dominante
(Hernández, Fernández y Baptista, 2014), el cual es el cualitativo, con enfoque descriptivo
interpretativo y con metodología estudio de caso agregado (Stake, 1994). En este capítulo se
describen las fases de la investigación, características metodológicas generales, metodología
para cada objetivo, sujetos investigados, aspectos éticos, instrumentos para la recolección de
la información, y la validez de los instrumentos y del análisis de la información.
En el capítulo 4 se presentan los resultados relacionados con el objetivo específico 1.
En concreto, para determinar los modelos didácticos dominantes de los profesores de la
Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, se estudió un grupo de 13 profesores cuya
dedicación es de tiempo completo en la Licenciatura de Matemáticas. El objetivo era situar
a estos profesores en algunos de los cuatro modelos de clase, contemplados en el marco
teórico del capítulo 2. Para ello, se realizó una triangulación de fuentes (dos cuestionarios y
una entrevista no estructurada).
En el capítulo 5 se presenta lo referente al grupo de trabajo colaborativo. Uno de los
aspectos fundamentales en esta investigación fue el trabajo desarrollado en el Grupo
Colaborativo iniciado el 27 de marzo de 2015, y culminado (para el proyecto) el 23 de agosto
de 2016; con 25 sesiones de trabajo. Inicialmente se abordan algunos aspectos teóricos sobre
el trabajo colaborativo, luego se describen características y particularidades del Grupo. De
igual manera, se realizó un planteamiento acerca de las reflexiones del trabajo desarrollado,
18
además de la problemática propuesta para las reuniones, y sobre la continuidad del trabajo
colaborativo.
En el capítulo sexto se abordó el Caso del Docente Fernando, el cual se dividió en
cuatro partes: a) presentación del docente. b) antes del trabajo colaborativo; en la cual se
identificaron algunas concepciones del profesor respecto a la matemática y su didáctica, y
se realizó el análisis didáctico a dos de sus clases, teniendo como parámetro los criterios del
Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática EOS. c) durante el trabajo colaborativo;
se determinaron concepciones de los docentes acerca del trabajo que se estaba realizando en
el grupo colaborativo, sobre la matemática y su didáctica, al igual que sobre los patrones de
interacción comunicativos y la comunicación en sí; el grupo hizo el plan de una clase y de
manera democrática lo aplicó el docente Fernando; la clase fue valorada por todo el grupo
de acuerdo a los parámetros del EOS (capítulo 5). d) después del trabajo colaborativo; en
donde nuevamente se identificaron algunas concepciones del docente sobre la matemática y
su didáctica, y se realizó el análisis didáctico a dos clases, desde el EOS. Se cerró el caso
con una discusión final.
En el capítulo séptimo se trató el Caso del Docente Juan, el cual se analizó siguiendo
la metodología empleada en el caso Fernando. En el capítulo octavo se abordan las
conclusiones del estudio, a partir de la consecución de los objetivos propuestos.
Adicionalmente, se plantean las limitaciones y posibles ampliaciones de esta investigación,
así como la difusión de los resultados presentados en ponencias y revistas indexadas. Una
de las conclusiones fundamentales de la investigación es que, al finalizar la labor con el
grupo de trabajo colaborativo, los docentes lograron (re)significar5 sus prácticas
profesionales, pues cambiaron de una tipología de clase tradicional- tecnológica (centrada
en el docente) a una no tradicional-tecnológica (centrada en el estudiante), es decir, el
docente pasó de presentar características unidireccionales a reflexivas. Así mismo, también
lograron (re)significar los patrones de interacción comunicativa; en la primera fase se
presentaron patrones centrados en el profesor, para mudar a unos centrados en el estudiante.
5 (re)significación es el proceso donde generamos nuevos significados para lo que hacemos y sabemos
(Jiménez, 2005).
Capítulo 1. Generalidades
En este apartado se presenta el problema de investigación, contextualizado desde la
experiencia del investigador y de forma general, se describen sus características y se justifica
su relevancia. También se proponen los objetivos del estudio.
Problema de Investigación
Se inicia destacando aspectos de la experiencia del investigador con las clases de
matemáticas; se van a describir desde tres perspectivas: como estudiante, como docente de
educación básica y media, y como docente universitario.
Estudió su bachillerato hasta quinto (hoy décimo) en la Escuela Normal Mixta de San
Mateo (hoy Escuela Normal Superior de San Mateo) y el grado sexto (undécimo) en la
Escuela Normal de Varones de Tunja (Escuela Normal Superior Santiago de Tunja). Las
clases de matemáticas que recibió eran de tipo trasmisionista, expositivas, con escasa
participación de los estudiantes; en esta etapa la importancia fundamental radicaba en el
avance de los contenidos escolares. El trabajo desarrollado por los docentes se sustentaba en
el modelo repetitivo, algorítmico, las tareas consistían en una gran cantidad de ejercicios con
el mismo patrón y las evaluaciones se basaban en responder ejercicios del mismo tipo o
recitar definiciones o propiedades, características de una clase tradicional (Porlán, 1995). La
comunicación era unidireccional (Shanon, 1949, citado por Winkin, 1994), en donde el
docente es el transmisor y el alumno el receptor.
Al inicio de su formación profesional en la UPTC como Licenciado en Matemáticas,
en 1977, el panorama de las clases de matemáticas impartidas en la Universidad no cambió
mucho, los docentes repetían lo que estaba en un texto, hacían énfasis en las demostraciones
y propiedades, pero realmente no se veía nada de contextualización ni de aplicación. Su
tendencia de enseñanza era autoritaria, el estudiante debía obedecer ciegamente al profesor,
el aprendizaje se basada en procesos de memorización y repetición; según Ernest (1989) esa
Capítulo 1. Generalidades 20
tendencia de enseñanza corresponde a un profesor que tiene características de entrenador,
con un tipo de comunicación unidireccional.
En lo referente a la formación pedagógica recibida en la Universidad, se hizo mucho
énfasis en el planeamiento de la clase con objetivos de tres niveles: cognoscitivos, afectivos
y psicomotores. Los pasos de la clase eran: iniciación, motivación, desarrollo, fijación o
mecanización, evaluación y tarea. La tendencia didáctica enfocada se relaciona con lo que
Porlán (1995) denominó tendencia tecnológica, cuyo aspecto fundamental era cumplir con
los objetivos propuestos. La formación pedagógica era descontextualizada, no había relación
con las otras asignaturas del plan de estudios, básicamente se desarrollaba en tres materias:
Ayudas Educativas, se ilustraba la manera de utilizar diferentes materiales que facilitaban la
enseñanza de la temática por parte del docente; Micro-práctica, se trabajaban estrategias de
enseñanza, manejo de grupo, se realizaban algunas simulaciones de clase con los
compañeros y finalmente se realizaba una clase con estudiantes de bachillerato, de la cual
dependía el éxito o fracaso de la práctica en general; finalmente se realizaba una práctica
integral que era una inmersión de tiempo completo en algún Colegio, durante dos meses.
En lo que respecta a su experiencia como docente de matemáticas de educación básica
y media, se remonta al año 1981 y desarrollada por 8 años. Allí su desempeño estaba basado
en la formación que recibió, junto con las clases de los docentes universitarios que le
parecieron más impactantes. Al mismo tiempo cursó la especialización en matemática
avanzada en la Universidad Nacional, donde nuevamente recibió clases en las que el docente
era totalmente autoritario, no había suficiente participación de los estudiantes y la
comunicación era unidireccional.
Posteriormente, empezó a cuestionar la eficacia de la metodología asumida y que le
habían enseñado, ya que observaba que los estudiantes aparentemente aprendían, pero
tiempo después parecía como si nunca se hubiera estudiado la temática. Adicionalmente,
durante su formación universitaria, tuvo el honor de tener como docente al maestro Manuel
Suárez Martínez, cuya metodología era totalmente diferente, se dio cuenta que era un
docente con tendencia constructivista; y por la experiencia vivida con él, comenzó a plantear
Capítulo 1. Generalidades 21
cambios en su metodología, aunque no muy de fondo, pues el estilo comunicativo que
caracterizaba sus clases era unidireccional.
En mayo de 1990 inició su experiencia docente universitaria en la UPTC, institución
en la cual continúa trabajando hoy en día. Su vinculación fue como asesor docente, es decir
el encargado de orientar las prácticas pedagógicas en la Licenciatura en Matemáticas. En los
primeros años y siguiendo el contexto que se tenía en las demás licenciaturas, se orientaba
hacia una práctica pedagógica desde la perspectiva de la tecnología educativa; seguía los
mismos pasos en la realización de las clases que cuando era estudiante de la Licenciatura.
Sin embargo, recordaba las fabulosas clases recibidas del maestro Manuel Suárez y empezó
a inquietarse por lograr cambios, en ese momento inició a estudiar la Maestría en Educación
en la Universidad Pedagógica Nacional, lo cual le ayudó a reflexionar sobre su práctica
docente. El modelo del momento era el constructivismo (especialmente desde la
epistemología genética de Piaget); decidió tratar de orientar su trabajo hacia allí.
Desde entonces, junto con otros docentes está empeñado en tratar de cambiar la clase
de matemáticas, orientando a los maestros en formación de la Licenciatura en Matemáticas
hacia una clase diferente. Sin embargo, cuando se va a asesorar las prácticas de los maestros
en formación en algunas instituciones educativas de básica y media, se observa que hay
profesores titulares de las instituciones que los orientan hacia una estructura de clase
tecnológica (Porlán, 1995), aspecto que se evidencia en las observaciones que los estudiantes
escriben en los planeamientos de clase. Indagando con estos profesores sobre la situación, y
según sus comentarios, las únicas clases con orientación diferente a la asumida por ellos,
recibidas en la licenciatura, fueron básicamente las que tienen orientación pedagógica (las
didácticas). Esto y el conocimiento del contexto lo llevó a cuestionarse sobre las clases de
la Licenciatura en Matemáticas, especialmente sobre la oportunidad de participación de los
estudiantes; la clase sigue siendo de tipo unidireccional.
A través de los años, la matemática ha tenido el triste honor de ser considerada como
una de las asignaturas del currículo más difíciles de aprender, desde el punto de vista de los
estudiantes; opinión compartida por algunos padres de familia y hasta por algunos docentes.
Capítulo 1. Generalidades 22
Este imaginario popular se debe en gran parte a que la matemática escolar se ve como una
serie de conceptos abstractos, de desarrollo algorítmico, terminada, demostraciones
incomprensibles, definiciones mecánicas, pero sobre todo de un uso prematuro de la
simbología (Bracchi y Paulozzo, 2011; Font, 2003). Dicho imaginario se origina, en parte,
por clases monótonas, repetitivas y con falta de significado, las cuales terminan dando una
imagen negativa de la matemática en los estudiantes; imagen que acaba afectando al proceso
de enseñanza y aprendizaje de esta disciplina (D’Amore, 2006).
A pesar de que es importante la forma en que el profesor enseña matemáticas, ésta no
es la única causa por la que el estudiante no las aprende, ya que el docente no es el único que
interviene en el proceso. Ahora bien, los imaginarios del profesor son un aspecto muy
relevante para tener en cuenta. Por ejemplo, tal como se manifiesta en Jiménez (2010),
existen imaginarios entre los docentes donde el único requisito para ser un buen docente de
matemáticas es saber matemáticas, sin tener en cuenta que tanto el currículo como las
acciones y las concepciones del docente inciden en el aprendizaje del estudiante (D´Amore,
2005). En estos imaginarios, el problema se reduce a que el profesor debe saber matemáticas,
pero no se cuestiona qué tipo de matemáticas debe saber y enseñar, pero “el problema no es
sólo cuánta matemática se sabe, ni cuál es la mejor forma de enseñarla, sino tener suficiente
claridad sobre qué es realmente la matemática” (Hersh, 1986, citado por Jiménez, 2010, p.
135).
Las consideraciones anteriores ponen de manifiesto que la enseñanza de las
matemáticas es un tema complejo en el que hay que tener en cuenta muchos aspectos. Ahora
bien, la práctica profesional6, aunque no totalmente, está dirigida y orientada por el
pensamiento del docente (Ponte, Boavida, Graça, y Abrantes, 1997). Uno de los aspectos
más relevantes en esta práctica, es la concepción del docente acerca de la naturaleza de las
matemáticas, pues ésta y la de las instituciones escolares influyen en su enseñanza tal como
han evidenciado diferentes investigaciones. Por ejemplo, Godino, Contreras y Font (2006,
6 Se considera como práctica profesional a la práctica pedagógica realizada por un docente en ejercicio, es decir
una persona ubicada en una institución educativa que desarrolla la labor de docente.
Capítulo 1. Generalidades 23
p. 38) afirman que “se reconoce la importancia que tiene una visión adecuada de la naturaleza
de la matemática como condicionante de los distintos modelos de instrucción7, así como de
la actuación de los profesores en clases”.
También es importante el conocimiento que tiene el docente de las capacidades y el rol
que debe cumplir el estudiante en el aprendizaje. Con relación a este aspecto, Ponte, Boavida,
Graça, y Abrantes (1997, cap. 4 p. 20) manifiestan “[…] estas creencias y valores tienen que
ver directamente con la naturaleza y finalidades de la disciplina, como cuerpo de saber y
como práctica social y también como objeto de estudio”. Una de las creencias más arraigadas
es que el estudiante se considera como un acumulador de información, cuyo aprendizaje
depende exclusivamente del actuar del docente; es decir, se le considera un usuario de las
matemáticas que debe aplicar técnicas, métodos, reglas y algoritmos, sin capacidad de
ofrecer aportes personales (Edo, 2005).
Con relación al papel que tienen los alumnos y el profesor en los procesos aprendizaje
y enseñanza, respectivamente, se ha ido tomando consciencia que éstos están regidos por
determinadas pautas de interacción que merecen ser investigadas por sí mismas. El estudio
de los patrones instruccionales en el aula se ha desarrollado recientemente por la confluencia
de investigaciones comparadas (Alexander, 2000; Clarke, Keitel y Shimizu, 2006; Stigler,
Gallimore y Hiebert, 2000). La hipótesis de que en cada país dominan patrones
instruccionales específicos ha ido tomando fuerza a partir de los análisis de videos asociados
a los estudios Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS, 1995),
TIMSS-R (1999) y Stigler et al, (2000). Dichos trabajos produjeron evidencia respecto a la
existencia de patrones instruccionales dominantes en diferentes países, para matemáticas y
ciencias. Desde el punto de vista de los intereses de esta investigación, los estudios
mencionados proveen información que permite afirmar que el patrón instruccional que se
7 En este contexto se entiende como “ instrucción matemática (o proceso de estudio dirigido) a los procesos de
enseñanza y aprendizaje organizados, en los cuales intervienen unos determinados sistemas de prácticas matemáticas
(conocimientos institucionales), unos sujetos (estudiantes) cuyo compromiso es la apropiación personal de dichas prácticas, el profesor o director del proceso de instrucción y unos recursos instruccionales” (Godino, Contreras y Font,
2006, p. 40).
Capítulo 1. Generalidades 24
llama formalista8-magistral tiene una fuerte presencia en muchos países y en particular en la
enseñanza universitaria de las matemáticas.
En el ámbito latinoamericano, diversas investigaciones corroboran esta afirmación
(Ramos, 2006; González, 1994) al poner de manifiesto que muchos profesores de
matemáticas basan su docencia en el enfoque formalista (Quevedo, 1998). Su actuar se
centra en explicar las formas y las relaciones entre objetos matemáticos de base axiomática
(González, 1994), con presentación de conocimientos terminados que impiden las acciones,
conjeturas e imaginación de los estudiantes; se usa de forma mecánica y con exceso de
simbología, demasiada generalización y pocos procesos de abstracción, al igual que de forma
totalmente descontextualizada.
Este tipo de enseñanza de las matemáticas se apoya también en las concepciones del
docente sobre las capacidades de sus estudiantes y el papel pasivo que el alumno debe tener en
el aprendizaje (Porlán, 1995). Esta manera de enseñar las matemáticas privilegia el saber
sobre la relación personal con éste, lo que implica un determinado tipo de comunicación que
asigna un rol secundario y pasivo al sujeto que construye conocimiento (D’Amore, 2006).
El enfoque formalista-magistral privilegia un concepto de comunicación unidireccional, en
donde lo importante es la transmisión de mensajes desde un emisor (profesor) hasta un
receptor (estudiante), mediadas por un canal y un código (Jakobson, 1974), lo que no facilita
la comprensión del mensaje y la participación del receptor.
Se acaba de mencionar un concepto básico en la enseñanza y el aprendizaje de
cualquier área y en especial de la matemática; la comunicación. La comunicación en el aula
de matemáticas es un aspecto prioritario; sin embargo, aunque son muchos los estudios que
se han hecho al respecto, en la clase de hoy no se le concede la importancia que merece, no
se le da relevancia a la forma como interactúan el profesor y los estudiantes y su incidencia
positiva o negativa en el aprendizaje.
8 Se toma el término <Formalista> para expresar descontextualizado, pues en este enfoque no hay más que reglas
que permiten deducir fórmulas a partir de otras, en donde cada fórmula no se refiere a nada en especial (Font, 2003).
Capítulo 1. Generalidades 25
La problemática sobre la comunicación en las clases es común a las diferentes áreas,
sin embargo, se acentúa en el aula de matemáticas por la naturaleza abstracta de la misma.
Por lo anterior, a la hora de aprender o enseñar matemáticas la comunicación tiene unas
características específicas que pueden dificultar su aprendizaje; al respecto Cockroft (1985,
p. 4) afirma:
Las Matemáticas proporcionan un medio de comunicación de la información, conciso
y sin ambigüedades porque hace un uso amplio de la notación simbólica. Sin embargo,
es la necesidad de usar e interpretar esta notación y de entender las ideas y conceptos
abstractos que le sirven de base, lo que resulta un escollo para mucha gente. En efecto,
la notación simbólica que capacita a las matemáticas para que se usen como medio de
comunicación, ayudando así a hacerlas ¨útiles¨, puede también hacer las Matemáticas
difíciles de entender y usar.
El enfoque formalista-magistral privilegia un concepto de comunicación
unidireccional, donde el docente no es consciente de las dificultades que puede generar en
el alumno; la comunicación se asume como organización y transmisión de información que
implica una metodología del profesor basada en la exposición de contenidos en forma
algorítmica donde se persigue que el estudiante básicamente repita pasos (Jiménez, Suárez
y Galindo, 2010; Edwards y Mercer, 1988).
Si se adiciona a la anterior problemática el lenguaje utilizado por el docente en su
discurso en el aula, el cual en el enfoque formalista es técnico y básicamente simbólico y
que por ello es diferente al utilizado por el estudiante, va necesariamente a producir una
dificultad en la comunicación, generando un comportamiento pasivo del estudiante, el cual
no va a participar y tampoco a hacer preguntas; espacios que de todas maneras el docente no
brinda (Jiménez, 2011).
Por otro lado, en una clase formalista es típica la interacción donde el profesor es
estructurante, tiende a seguir un patrón de estructura jerárquica (Menezes, 1995), también se
corresponde con un patrón de interacción cíclico (Lampert y Cobb; 1996), en donde el
Capítulo 1. Generalidades 26
profesor expone los procedimientos, luego plantea preguntas o problemas para los
estudiantes, los cuales generalmente son extraídos del texto guía, recibe las respuestas de los
estudiantes, evalúa y continúa el proceso de la clase. Lo anterior muestra que en el aula la
autoridad está representada por el profesor (Alrø y Skovsmose, 2002), el cual plantea una
relación comunicativa asimétrica con los alumnos.
Igualmente, el enfoque formalista se corresponde con el modelo lineal o telegráfico de
comunicación, también llamado el modelo matemático. Se basa en la transmisión de
contenidos, donde se destacan dos protagonistas: el emisor y el receptor; es un modelo
unidireccional, un proceso informativo en un solo sentido, que como lo menciona Galeano
(sin fecha), el modelo se aplica para cualquier mensaje independiente de su significación; su
esquema está compuesto por cinco elementos: fuente, transmisor, canal, receptor y destino;
tiene en cuenta el ruido que causa una perturbación.
Figura 1. Elementos de la Comunicación. Fuente: elaboración propia.
La comunicación en el aula puede interpretarse como el proceso de intercambio de
mensajes entre docente y estudiantes, el cual es muy complejo; sin embargo, cuando se envía
un mensaje este no queda automáticamente comprendido de la misma forma que lo envía el
emisor, sino que el receptor crea su propio significado respecto al mensaje.
Dado que se reconoce que la comunicación9 es una condición necesaria para que se
produzca el proceso de enseñanza y de aprendizaje (Ponte, 1997; Amayuela, Colunga y
9 La comunicación es una interacción social mediada por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto
es entender y hacerse entender.
Capítulo 1. Generalidades 27
Álvarez, 2005); sigue siendo importante la búsqueda de alternativas dentro del aula de
matemáticas que lleven a mejorar el proceso comunicativo.
En esta investigación, se quiere determinar elementos que permitan evidenciar si el
enfoque magistral-formalista, con patrones de comunicación unidireccionales es el
dominante en la enseñanza universitaria en la UPTC10 y en particular en la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC; problematizando las prácticas de aula y los patrones de interacción
comunicativa. Igualmente se pretende identificar si es posible (re)significar11 la práctica
profesional universitaria, mediante el trabajo en grupo colaborativo.
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, se formula la siguiente pregunta:
¿Cómo la toma de conciencia12 por parte del profesor de aspectos relevantes de su práctica
profesional, en especial de los patrones de interacción comunicativa, permite (re)significar
sus prácticas de aula?
La pregunta general, se ha concretado en las siguientes preguntas más específicas:
• ¿Cuál es el modelo de clase preponderante en los profesores de la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC?
• ¿Qué modelos de clase y patrones de interacción comunicativa se pueden inferir del
análisis didáctico de las mismas en algunos docentes de la Licenciatura en Matemáticas
de la UPTC?
• ¿Qué modelo de clase propusieron los profesores de la Licenciatura en Matemáticas de
la UPTC, como (re)significación de sus prácticas de aula, después de participar en un
grupo de trabajo colaborativo en el que reflexionan sobre sus clases; en particular sobre
los patrones de interacción comunicativa que en ellas se dan?
10 Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia (UPTC). 11 (re)significación es el proceso donde generamos nuevos significados para lo que hacemos y sabemos
(Jiménez, 2005). 12 La toma de conciencia se asume como darse cuenta de una situación tras haber reflexionado sobre
ella.
Capítulo 1. Generalidades 28
• ¿Qué (re)significación de las prácticas profesionales y en especial de los patrones de
interacción (si es que se produce) de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas de
la UPTC se puede inferir del análisis didáctico de clases, después de haber participado
en el grupo de trabajo colaborativo?
Objetivos
Objetivo general. Analizar aspectos de la práctica profesional, en especial los
patrones de interacción comunicativa, de docentes de la Licenciatura en Matemáticas de la
UPTC y su (re)significación a partir de la reflexión sobre su propia práctica.
Objetivos específicos.
• Objetivo 1. Caracterizar los modelos de clase de profesores de la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC.
• Objetivo 2. Identificar los patrones de interacción comunicativa de algunos profesores
de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, a partir del análisis didáctico de sus
clases.
• Objetivo 3. Identificar elementos de la práctica pedagógica de algunos profesores de la
Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, en especial de la comunicación, susceptibles
de ser replanteados.
• Objetivo 4. Caracterizar la (re)significación de las prácticas docentes de los profesores
participantes en el grupo colaborativo, mediante el estudio de su participación en el
grupo y el análisis didáctico de clases posteriores.
Capítulo 1. Generalidades 29
Justificación
La motivación que llevó a seleccionar la comunicación en el aula de matemáticas como
problemática a ser analizada, fue inicialmente el reconocimiento de la relevancia que tenía
ésta en la dificultad de los estudiantes para el aprendizaje de las matemáticas. Esta dificultad
observada en las clases era también una problemática de mis colegas de la UPTC, pero,
además, luego de revisar literatura sobe el asunto de la comunicación en el aula, se evidenció
que se trata de un problema relevante en el entorno colombiano y mundial, además en todos
los niveles educativos (Lineamientos Curriculares, 1998; NTCM, 1998, Menezes, 2004).
Dentro de las muchas problemáticas que se tienen acerca de la enseñanza de la
matemática, uno de los aspectos que más llama la atención es justamente la comunicación
que se tiene en el aula de clase, ya que según Vilalba (2006) cualquier actividad humana
entre dos o más personas tiene siempre un carácter comunicativo, cualquiera sea su
dimensión. De por sí, en todas las áreas existen problemas comunicativos, pero dado el
lenguaje particular de la matemática, podría decirse que es un aditamento más para que se
priorice el estudio de la situación.
Al tópico de la comunicación en el área de matemáticas se le ha dado poca importancia,
hasta el punto que se le considera unidireccional, ya sea porque el docente básicamente
resalta los procedimientos y cálculos mecánicos, o por el mismo lenguaje que utiliza en la
clase; estos son algunos de los aspectos que hacen que la comunicación verbal en la clase de
matemáticas sea prácticamente inexistente (Menezes, 1995). Pero esta situación en
Educación Matemática ha venido cambiando a través de los años. Según Menezes (2004) en
países como Estados Unidos, Inglaterra y Australia, la temática se ha venido trabajando
asiduamente desde los años 80 y han surgido referencias sobre la comunicación en
documentos curriculares para la enseñanza de la matemática.
En la National Concilium Teaching of Mathematics (NTCM), importante asociación
de profesores de matemáticas de Estados Unidos, se publicó The Curriculum and Evaluation
Standards for School Mathematics (NTCM, 1998) donde se destaca el papel fundamental
Capítulo 1. Generalidades 30
que juega la comunicación en la construcción de las relaciones entre las nociones informales
y el lenguaje abstracto y simbólico de las matemáticas.
En el caso colombiano, en los Lineamientos Curriculares (1998) se plantea la
comunicación como uno de los procesos generales, donde se reconoce que una necesidad
común inherente a todas las profesiones es la habilidad para comunicarse. También allí se
resalta que la comunicación es vital para la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de los
procesos matemáticos; sin embargo, no se le ha puesto suficiente atención desde las prácticas
de aula de matemáticas por las limitaciones de tiempo, y en parte porque se considera que
no es importante y la responsabilidad corresponde a otras áreas.
Además de las investigaciones sobre los procesos de comunicación en el aula de clases,
autores como Steinbring, Bartolini y Sierpinska (1998) han planteado la imperiosa
necesidad, tanto para el maestro como para el investigador de comprender la naturaleza del
discurso matemático.
Adicionalmente, este estudio se centra especialmente en el profesor, ya que en este
contexto sigue siendo el protagonista de las situaciones de aula, y es creciente el
reconocimiento que se le hace como generador de cambios en las prácticas y clases de
matemáticas (Ponte, 1994). Los docentes siguen siendo figuras centrales en la organización
de los sistemas educativos, por lo que cualquier intento de mejora de éstos pasa
ineludiblemente por sus manos (Menezes, 2004). También se ha centrado en la reflexión del
profesor, ya que diversas investigaciones han venido mostrando la eficacia de crear
dispositivos para la reflexión del profesor sobre su propia práctica, para favorecer su
desarrollo profesional y para la (re)significación de la misma (Jiménez, 2002). Además,
dicha reflexión se orientaría al análisis y valoración de los patrones de interacción
comunicativa ya que la conciencia del profesor sobre ellos es un primer paso esencial para
poder cambiar y mejorar su práctica docente.
Igualmente, la participación de profesores en proyectos de naturaleza colaborativa, aún
escasos pero que en los últimos años han ido aumentando, da más posibilidades de favorecer
Capítulo 1. Generalidades 31
su desarrollo profesional (NCTM, 1994), al respecto Ponte (1995) menciona la necesidad
existente de cooperación entre docentes e investigadores; los docentes deben asumir un papel
protagónico en el grupo y dejar de ser sólo ejecutores ya que cuentan con su propia
experiencia profesional; se aclara que los grupos de trabajo colaborativo son menos
estructurados que los cursos y exigen de los profesores mucho empeño durante un lapso
relativamente largo de tiempo (Boavida y Ponte, 2002). Estos proyectos pretenden llevar a
los profesores a investigar sobre sus prácticas a partir de sus propias problemáticas. Es
importante este tipo de investigación porque es un instrumento valioso para la comprensión
de la realidad, adicionalmente lleva a los profesores a plantear sus concepciones sobre
algunos aspectos de la enseñanza (Elliott, 1990) y finalmente obligan a profundizar en el
papel de estos contextos de investigación en el desarrollo profesional del docente. También
estas investigaciones ayudan a romper con la concepción de muchos docentes, de que
enseñar e investigar son dos cosas diferentes y opuestas; y solo se ve la enseñanza como un
espacio donde se aplican teorías; es decir, como un punto de llegada y no de partida, (Ponte,
1998).
Al revisar las fuentes bibliográficas, en primera instancia se pretendió profundizar en
los modelos pedagógicos y didácticos que eran más afines con la presente investigación y se
aclara que, aunque algunos son genéricos para cualquier área; en este proyecto se enfocaron
hacia la matemática y la clase de matemáticas. Inicialmente se tomó una clasificación de los
docentes según Ernest (1989): profesor entrenador, tecnólogo, humanista, progresista y
crítico, lo cual permitió determinar unas características diferenciadoras de los docentes.
Posteriormente se indagó sobre tendencias didácticas, entre las cuales está la clasificación
de Porlán (1995): tendencia tradicional; tendencia tecnológica, allí se complementó con
Gimeno (1982); tendencia espontaneista o activista, tendencia constructivista, con las ideas
de Sierpinska (1998) y Piaget (1978). Adicionalmente se tomó la tendencia sociocultural con
autores como Sierpinska (1998) y Vygotsky (1995), tratándose el tema de normas
sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996; Voigt, 1995; Planas, 2005; Planas e Iranzo, 2009,
Planas y Edo, 2008; Planas y Civil, 2009); al igual que la tendencia interaccionista (Bruner,
1972; Bruner, 1973; Bruner, 1988; Marques, 2007; Sierpinska, 1998), dentro de la cual se
abordó el tema de la lingüística y conflictos entre significados (Godino, Batanero y Font,
Capítulo 1. Generalidades 32
2007; Hoffmann, Lenhard y Seeger, 2005; Mercer y Littleton, 2007 en Planas e Iranzo, 2009;
Planas e Iranzo, 2009).
Otra preocupación de este proyecto fue el de analizar clases de algunos docentes de la
Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, por lo cual fue importante revisar literatura acerca
del análisis didáctico utilizado por varios autores (Freudhental, 1983; Puig y Cerdán, 1988;
Gallardo y González, 2006; Pappus, 1970, en Rico, 2013; Arnauld y Nicole, 1987, en Rico,
2013; Rico, 2013). En especial se realizó un estudio sobre el análisis didáctico propuesto por
el grupo de Rico (Rico, 1997; Gómez, 2002; Rico, 2004; Gómez, 2006; MEN, 2003) y el
propuesto por el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática (Godino y Batanero,
1994; Godino, Batanero y Font, 2007; Godino, 2002; Font, 2001; Pochulu y Font, 2011;
Ernest 1989; Font, Planas y Godino, 2010; Moore, 1974; Shulman, 2004; Ball, Lubienski
y Mewborn, 2001; Godino, Contreras y Font, 2006; Font, Contreras, 2008; Yackel y Cobb,
1996; Brousseau, 1997; D’Amore, Font y Godino, 2007; Godino, Font, Wilhelmi y Castro,
2009; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006; Alsina y Domingo, 2010; Vygotsky, 1988;
Barrody, 1993).
Un aspecto fundamental para esta investigación son los patrones de interacción, por lo
cual se inició indagando sobre la interacción en general (Brendefur y Frykholm, 2000; Cobb,
1995; Voigt, 1995, Wood, 1995, 1998; Jiménez, 2011; Coll et al, 2008). Teniendo en cuenta
que el interaccionismo surge en un ambiente educativo y no es propio de la matemática,
se proponen inicialmente las adaptaciones del interaccionismo simbólico a la educación
matemática (Godino y Llinares, 2000; Godino et al, 2000; Sierpinska y Lerman, 1996;
Bauersfeld, 1994; Godino, 2002; D´amore, Font y Godino, 2007). Posteriormente se indagó
sobre los patrones de interacción (Godino y Llinares, 2000; Voigt, 1995; Wood, 1995;
Wood, 1998). Así mismo, se plantean algunas clasificaciones de los patrones de interacción
como los siguientes: patrón de estructura jerárquica (Menezes, 1995); patrón de interacción
cíclico (Lampert y Cobb, 1996); el diálogo triádico (Lemke, 1985); autoridad en el aula (Alrø
y Skovsmose, 2002); organización en el aula (Mehan, 1982; Wood, 1999; Lemke, 1990;
Ponte, Oliveira, Cunha y segurado, 1988). Algunas otras clasificaciones son propuestas por
Capítulo 1. Generalidades 33
Voigt (1985), Wood (1995), Peressini y Knuth (1998), Brendefur y Frykholm (2000), Alrø
y Skovsmose (2002), Loska (1998), Schwarz, Dreyfus, Hadas y Hershkowitz (2004),
Sierpinska (1996), Rojas (2011), Schwarz, et al, (2004); Villalta y Martinic (2009); flanders
(1977); Slavin (1996); Velasco (2007); Cornejo y Redondo (2007). Otro aspecto que se
consideró importante se refiere a las interacciones donde la actuación del profesor es
discreta; con autores como: Blunk (1998); Ponte et al (1998); Artzt (1996); Alrø y
Skovsmose (2002); Cesar (2000); Ponte et al (1998); Yackel y Cobb (1996); Cobb (1995).
También se consideraron relevantes las interacciones en la teoría de las situaciones
didácticas, desde: Brousseau (1986); Godino et al (2000); Chevallard, Bosch y Gascón
(1997); Jiménez (2011).
Finalmente se consultó igualmente bibliografía sobre la comunicación, destacando
diferentes aspectos como los que se presentan a continuación. Para la definición de
comunicación se tomaron en cuenta: Niño (1998); Menezes (1999); Ponte (1997); Jiménez
(2011); Vigotsky (1995); Marc y Picard (1992); Porlán (1995); Niss (1999). En cuanto a los
modelos explicativos de la comunicación: Bertalanffy (1950); Poyatos (1994); Shanon
(1949; cit. Dins Winkin, 1994); Galeano (sin fecha); Bateson y Ruesch (1968); Winkin
(1994). En cuanto a las clases de comunicación: Keidar (2005); Niño (1998). Respecto de
Semiótica y comunicación: Peirce (1974); Saussure (1995); Hjelmslev (1969); Eco (1976);
Vygotsky (1988); Vygotsky (1991); Piaget (1978); Piaget (1970); Piaget (1968); Giraud
(1971). Respecto a la comunicación en el aula de matemáticas: Sfard (2002, 2008); Wood
(1998); Alrø y Skovsmose (2006); Lampert y Cobb (2003), Bishop y Goffree (1986); Ponte
y Santos (1998); Ponte y Serrazina (2000); Voigt (1995); Yackel y Cobb (1998); Jiménez
(2011); Sierpinska (1998); Vygotsky( 1995); Vygotsky (1993); Bussi (1998); Bruner (1973);
Bruner (1972); Marques (2007); Ponte et al. (2007); Brousseau (1988); Filloux (1974);
Brousseau (1991); Medeiros (1999); Yackel e Cobb (1996); Brousseau (1986); Sfard
(2008); Rittenhouse (1998); Barufi (1999); Lampert y Cobb (2003); Bonilla (1987); Beyer
(1994). En lo referente a los modos de comunicación: Brendefur y Frykholm (2000); NCTM
(1989,1991); Thompson (1992); Jiménez (2011); Cobb et alter (1997); Lampert (1990);
Menezes (2004); Steffe e D´Ambrosio (1995).
Capítulo 2. Referentes de la investigación
Se presentan como base de la investigación, los siguientes tópicos, que orientaron en
forma general la investigación: las interacciones en el aula de matemáticas; modelos
pedagógicos y didácticos de los docentes; análisis didáctico de clases; y la comunicación en
el aula.
Las Interacciones en el Aula de Matemáticas
Este apartado está dividido en cuatro secciones. Inicialmente se trata la interacción de
forma general y como corriente pedagógica, su adaptación a la educación matemática y la
caracterización del interaccionismo dentro de la educación matemática. En una segunda
parte se estudian los patrones de interacción y comunicación partiendo de qué se entiende
por patrón de interacción, para posteriormente plantear la clasificación de autores como
Voigt, Wood, Peressini y Knuth, Brendefur y Frykholm, Loska, Mercer, Sierpinska, Villalta
y Martinic, Alrø y Skovsmose y finalmente la clasificación propuesta por Schwarz, Dreyfus,
Hadas y Hershkowitz. Luego se trata la interacción donde la intervención del profesor es
discreta. La última sección se refiere a la relación entre la teoría de las situaciones y el
interaccionismo simbólico, en donde se abordan aspectos como el contrato didáctico, el
efecto topaze y el efecto Jourdain.
La interacción se considera la dinámica del proceso comunicativo, y es muy
importante en el estudio de la comunicación en el aula, como lo destacan algunas
investigaciones (Brendefur y Frykholm, 2000; Cobb, 1995; Voigt, 1995; Wood, 1995, 1998;
Jiménez, 2011).
Dado que los procesos de interacción escolar se generan en ambientes
socioculturales, Coll et al (2008b, p. 39) definen la interactividad en términos de la
interacción como: “la articulación de las actuaciones del profesor y los alumnos en torno
a una tarea y un contenido determinados de enseñanza y aprendizaje”, en donde el
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 35
conocimiento emerge del propio proceso de interacción resaltando que la construcción
de éste está estrechamente relacionada con el contexto en que se adquiere.
El interaccionismo como corriente pedagógica, a diferencia del constructivismo
Piagetano y el de Vygotsky, sí fue generado pensando en la educación, pero no de manera
particular a la matemática, por ello se abordará a continuación esta especificidad.
Adaptaciones del interaccionismo simbólico a la educación matemática.
Una parte importante de la investigación en educación matemática estudia las
relaciones entre profesor, estudiante y la tarea matemática en las clases de matemáticas,
donde se responden interrogantes sobre la forma de compartir significados matemáticos,
sin que la continuidad de la clase se pierda y sobre la comprensión del estudiante respecto
de las intervenciones del profesor (Godino y Llinares, 2000).
Para responder estas inquietudes, Godino et al (2000) consideran necesario utilizar
constructos teóricos procedentes de otras áreas como la etnometodología,
interaccionismo social y análisis del discurso, realizándoles algunas adecuaciones ya que
estas disciplinas no están interesadas con aspectos relacionados con enseñanza y
aprendizaje de contenidos curriculares y en especial con los de educación matemática.
Esta perspectiva se basa en que la práctica en el aula de matemáticas es vista como un
proceso orientado por reglas y convenios emergentes de la misma disciplina matemática
y de la práctica, donde las dimensiones culturales y sociales son parte del aprendizaje
matemático.
Según Sierpinska y Lerman (1996) el interaccionismo es una de las corrientes sobre
el desarrollo intelectual que enfoca una perspectiva sociocultural sobre las fuentes y el
crecimiento del conocimiento, tiene como objetivo de estudio las interacciones entre
individuos analizadas dentro de una cultura.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 36
De acuerdo con lo anterior, los fundamentos del interaccionismo se pueden
sintetizar en: la cultura del aula que está constituida por la interacción entre profesores y
estudiantes; las reglas y convenios que emergen interactivamente, tanto los referentes a
la disciplina, como los de índole social; y la comunicación, la cual surge de la búsqueda
de consensos y los significados compartidos.
El interaccionismo simbólico se ubica entre las perspectivas individualista y
colectivista (Bauersfeld, 1994). La individualista proviene de la psicología cognitiva, cuyo
representante es Piaget y en donde el sujeto construye su conocimiento matemático. En la
perspectiva colectivista relacionada con Vygotsky, el sujeto se vuelve objeto de prácticas
culturales y el conocimiento matemático que se da es interiorizado. De esta manera, el
interaccionismo simbólico toma en cuenta tanto los procesos individuales como los sociales
a través de la negociación de las normas de aula, las cuales pueden ser de carácter general
o específico de la matemática.
Caracterización del interaccionismo simbólico y la educación matemática.
El interaccionismo simbólico (Godino y Llinares, 2000) dentro de la educación
matemática puede ser caracterizado de acuerdo con su expresión acerca del significado, del
conocimiento matemático, de las formas de conocer, el lenguaje, el aprendizaje, la
enseñanza, los cuales se tratan a continuación:
Significado. El desarrollo del significado se da en la interacción e interpretación entre
los miembros de una cultura ya que el ser humano se relaciona con lo que lo rodea, de
acuerdo con lo que este entorno significa para él; este significado surge de la interacción
social que cada sujeto tiene con el otro, y se modifica mediante el proceso interpretativo que
realiza cada individuo cuando se relaciona con su contexto (Godino y Llinares, 2000). Para
ese proceso de interpretación es fundamental tener en cuenta las intenciones de los
participantes ya que el significado está en el uso de las palabras, frases, signos y símbolos
más que en sí mismos, de ahí la importancia que se le otorga al lenguaje.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 37
Conocimiento matemático. La perspectiva interaccionista le otorga al conocimiento
un carácter discursivo, la matemática es una forma particular de discurso, entendiéndose éste
como el uso del lenguaje como medio para lograr unos fines cognitivos, sociales y otros.
Respecto a las matemáticas, Godino et al (2000) las consideran como una forma de ver el
mundo y de pensar sobre él; la clase de conocimiento matemático que los estudiantes
desarrollan depende del tipo de comunicación que se establezca, de ahí la importancia de
ésta en el proceso educativo, donde se privilegia una práctica basada en convenciones
sociales más que en verdades universales.
Lenguaje. Aunque el lenguaje del interaccionismo simbólico se distingue del utilizado
en el constructivismo Piagetiano y en la perspectiva de Vigotsky, comparte el sentido en que
el lenguaje no es una representación del mundo; es un medio de comunicación que podría
ser reemplazado por algún otro. Esto implica que en el interaccionismo simbólico dentro de
la clase hay que hacer negociación continua de significados, para poder hacer una buena
adaptación a los significados institucionales del contenido y aumentar la reflexión sobre los
procesos constructivos personales (Godino y Llinares, 2000). También es importante
explicitar que el lenguaje puede ser expresado en forma oral, escrita o gestual y representado
por términos, expresiones, notaciones y gráficos, como lo manifiestan, Godino (2002) y
D´amore, Font y Godino (2007).
Aprendizaje. Para el interaccionismo, el aprendizaje comprende dos aspectos: un
proceso de adaptación interactiva por medio de la participación activa en dicha cultura y un
proceso personal de formación. En la clase de matemáticas, la construcción personal de los
significados se realiza en la interacción con la cultura de la clase y el estudiante contribuye
a su vez con la formación de esa cultura; es decir, que el aprendizaje no se entiende como un
compromiso individual donde la mente de la persona trata de adaptarse a un entorno, ni
tampoco es una enculturación a una cultura ya organizada (Godino y Llinares, 2000). Es
bueno resaltar la particularización tanto de la cultura como del grupo que la construye, lo
que constituye una práctica matemática diferente; es decir, “la práctica matemática en el
aula es un proceso de matematización compartido que define una ‘subcultura’ específica
para ese profesor, esos alumnos y esa aula” (Bauersfeld, 1994; p. 140).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 38
La enseñanza. El profesor debe procurar organizar un ambiente interactivo y
reflexivo con sus estudiantes, proponiendo secuencias realizables de actividades y
construyendo de esta manera la cultura de la clase, más que de transmitir o redescubrir un
conocimiento dado de antemano. Para poder llegar a la construcción subjetiva y a las
adaptaciones viables, el grupo requiere oportunidad para entablar discusiones y negociación
de significados. El uso de los medios educativos depende de las convenciones sociales
compartidas. El estudiante alcanza su conocimiento matemático básicamente por su
participación en las prácticas sociales del aula.
En este apartado se ha realizado la caracterización del interaccionismo simbólico y
su relación con la educación matemática, pero dada la diversidad de culturas que se pueden
generar producto de las diversas clases, es adecuado tratar de identificar regularidades que
permitan comprender las interacciones en distintos contextos. Dichos patrones se
estudiarán a continuación.
Los patrones de interacción y comunicación.
Se puede asumir el patrón de interacción como aquellas regularidades que son
interactivamente constituidas por el profesor y los estudiantes, y que tienen como objetivo
llegar a significados compartidos obtenidos a través de negociación (Godino y Llinares,
2000; Voigt, 1995; Wood, 1995). Según Voigt (1995), dada la ambigüedad y diferentes
interpretaciones que se pueden presentar en la clase de matemáticas, la negociación de
significados es muy frágil.
Para Wood (1998), un observador puede caracterizar los patrones de interacción y
comunicación que se revelan en la clase de matemáticas, pues se identifican las distintas
visiones sobre enseñanza y aprendizaje que son defendidas por los participantes; estos
patrones son construidos durante las primeras clases mediante la negociación explícita o
implícita de normas que van a regular las acciones de la clase y describen una forma de
comunicación, dejan identificar el rol del docente, del estudiante y el de las actividades
matemáticas que se realizan en el aula.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 39
Se pueden tomar diferentes enfoques para caracterizar las interacciones en el aula, por
ello surge de forma natural analizar la relación entre los intervinientes en este proceso, es
decir, interacción profesor-alumno, profesor grupo, profesor-clase, alumno-alumno, alumno-
grupo, alumno-clase, grupo-clase, teniendo en cuenta que son relaciones simétricas.
Figura 2. Interacciones en el aula de clase. Fuente: elaboración propia.
Se parte en este estudio del supuesto de que la mayor parte de las actividades que se
realizan en el aula de matemáticas son definidas por el profesor, destacando que la tipificación
de las interacciones en la clase básicamente está de acuerdo con la posición asumida por éste.
Por lo anterior, se identifican interacciones en que el docente asume claramente un rol
estructurante (la conducción de un diálogo por turnos, por ejemplo) y por otro lado, las
interacciones donde el profesor asume un papel referencial (la asesoría eventual a los
estudiantes que desarrollan una tarea en grupo).
Interacción en donde el profesor es estructurante. Este tipo de interacción es muy
común en las prácticas escolares, y valorada por la enseñanza tradicional. Generalmente el
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 40
docente tiende a seguir un patrón de estructura jerárquica (Menezes, 1995). Por ejemplo,
Lampert y Cobb (1996) se refieren a un patrón de interacción cíclico, en donde el profesor
expone los procedimientos, luego plantea preguntas o problemas generalmente extraídos del
texto guía, recibe las respuestas de los estudiantes, evalúa y continúa el proceso de la clase.
Como este caso surgen otros más, como el propuesto por Lemke (1985), al que
denominó diálogo triádico o secuencia triádica en el que la intervención del alumno está entre
dos intervenciones del profesor. Esta secuencia tiene la siguiente estructura: Iniciación (I),
Respuesta (R), Evaluación (E), la cual, según el autor, tiene una mayor potencialidad en la
medida en que no enfatiza sólo en la evaluación ni en el mismo feedback, sino que tienen algo
adicional y es que reta a los estudiantes para que continúen con su raciocinio, justificación o
argumentación. También la secuencia triádica puede ser tomada como forma de orientar los
aprendizajes, conducir el conocimiento y la comprensión de los alumnos permitiendo al
profesor ¨mantener el control del discurso y también controlar o ignorar determinadas
respuestas¨ (Pimm, 1987, p. 64). Existe una creencia por parte de los profesores que por medio
de la secuencia triádica pueden involucrar un mayor número de alumnos (Lemke, 1990); a
pesar de esta participación los estudiantes se limitan a respuestas muy cortas y a solicitud del
profesor, traduciéndose en una participación alta pero de baja calidad. En la secuencia triádica
los momentos de iniciación y conclusión generalmente son desarrollados por el docente.
Lo anterior lleva a resaltar la existencia de una autoridad en el aula (Alrø y Skovsmose,
2002), es el profesor quien controla las actividades, estableciéndose una relación asimétrica
entre alumnos y profesor. A este tipo de aula, los autores mencionados atribuyen el nombre
de aula absolutista, en donde se parte del principio de que existe una verdad absoluta que el
profesor debe repetir y transmitir, corrigiendo los errores de los alumnos y orientándolos por
los mejores caminos.
Otra forma habitual en el aula es la organización en tres fases: introducción, trabajo y
conclusión-revisión (Mehan, 1982). En la fase inicial se nota claramente el control del
profesor apelando para ello a la secuencia triádica. Cuando los alumnos son incentivados a
plantear preguntas, estos pueden progresivamente asumir algún control (Wood, 1999). Las
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 41
preguntas formuladas por los alumnos generalmente están en la fase de trabajo y orientadas
a resolver sus dudas; el hecho de que determinadas preguntas, si se hacen en la primera fase,
pueden interrumpir la continuidad de la clase, aunque no es una norma explícita, si está inserta
en la cultura de una buena parte de las clases de matemáticas (Lemke, 1990). Los alumnos
que vivencian una clase con esta estructura reconocen la autoridad del profesor especialmente
en las fases de introducción y conclusión, ya que en la fase intermedia generalmente están
presentes otras autoridades como la del texto, la de compañeros con mejor desempeño
reconocido por el grupo y por el profesor (Alrø y Skovsmose, 2002).
Las interacciones profesor-alumno-clase, pueden variar de acuerdo con el aula. Por
ejemplo, el profesor asume el papel de orientador y no de controlador en el aula, no se limita
a la exposición de la materia y a la solución de ejercicios, lo que implica dar respuesta a
preguntas abiertas y exploración de situaciones (Ponte, Oliveira, Cunha y Segurado, 1988).
Las preguntas formuladas por el profesor toman importancia relevante, ya que bien orientadas
pueden desarrollar capacidades de comunicación y raciocinio (Menezes, 1995); el modo y el
momento en que se plantea la pregunta es importante, por ejemplo, si el profesor la formula
al inicio de una interacción estaría condicionando las acciones siguientes.
La investigación en educación matemática identifica varios patrones de interacción,
propuestos por distintos autores como Voigt (1985), Wood (1995), Peressini y Knuth (1998),
Brendefur y Frykholm (2000), Alrø y Skovsmose (2002), Loska (1998), Schwarz, Dreyfus,
Hadas y Hershkowitz (2004), y Sierpinska (1996).
Voigt (1985) propone el patrón de elicitación o extracción y el patrón de discusión. En
el patrón de extracción, Voigt plantea la combinación de dos afirmaciones aparentemente
contradictorias. La extracción de un cuerpo bien definido de conocimientos matemáticos es
yuxtapuesta con la propuesta de un aula de clase liberal y centrada en el estudiante. En este
patrón el autor distingue tres fases:
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 42
• El profesor propone una tarea ambigua y los alumnos presentan diversas respuestas y
soluciones que el profesor evalúa.
• Si las soluciones de los alumnos son muy divergentes, el profesor los guía hacia la
respuesta a través de la formulación de pequeñas preguntas y extrayendo trozos de
conocimiento. Voigt (1985) plantea que este patrón se asimila con el “catecismo
socrático”, en donde los pequeños pedazos de conocimiento son asociados con
pequeños avances en razonamiento.
• El profesor y los alumnos reflexionan y evalúan sobre el resultado obtenido.
Este patrón generalmente se asocia con clases tradicionales, pero sin incluir el tercer
punto.
El patrón de discusión. Voigt (1985) lo organiza de la siguiente manera:
• Los alumnos solucionan el problema propuesto por el profesor en pequeños grupos
de trabajo.
• Los estudiantes presentan la solución y explican su proceso de resolución a toda la
clase sin que el profesor haya tenido la preocupación de saber con anticipación el
resultado al que el estudiante llegará.
• El profesor por medio de preguntas va clarificando partes de la explicación de los
estudiantes, de tal manera que lentamente vaya emergiendo una solución que sea
aceptada por todos.
• El profesor pregunta a otros estudiantes por distintas formas de solución y el proceso
reinicia.
Voigt (1985) afirma que el profesor, cuando obtiene divergencia en las soluciones
presentadas por los estudiantes, aplica automáticamente el patrón de extracción. A
continuación, se presentan algunas diferencias entre los dos patrones propuestos por Voigt.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 43
Tabla 1. Patrones de extracción y discusión
Patrón
Extracción Discusión
Solución El solucionar la tarea es el
principal objetivo
El solucionar la tarea es el inicio
para un proceso de explicación
Participación En la participación los alumnos
tienen que seguir el proceso que
el profesor enseñó
En la participación los alumnos
pueden dar sus argumentos y
contribuciones originales
Competencias de los alumnos Las competencias de los alumnos
son implícitas u ocultas
Las competencias de los alumnos
son públicas
Autonomía La autonomía es nula, debe
repetir los mismos pasos del
profesor
La autonomía es total, los
estudiantes pueden aprender cómo
argumentar matemáticamente. Fuente: adaptado de Voigt (1985).
Paralelamente Wood propone otros tres patrones de interacción: El patrón del embudo,
el patrón de focalización y el tradicional.
En el patrón del embudo (Wood, 1994, 1998) se plantean las fases:
• El profesor propone un problema a sus estudiantes cuya solución ya conoce y
desea verificar el conocimiento de sus alumnos.
• Los alumnos se muestran incapaces de resolverlo.
• El profesor va formulando preguntas más fáciles relacionadas con el problema,
de tal manera que las respuestas se orienten a la solución del mismo.
En este patrón de interacción el aprendizaje del estudiante no es realmente
significativo, pues las actividades intelectuales que exige del estudiante son de bajo nivel.
El patrón de focalización (Wood, 1994, 1998) es al comienzo similar al anterior,
salvo que en lugar de resolver el problema conduciendo al estudiante, el profesor enfoca su
atención a través de preguntas en aquellos tópicos del problema que no han sido
comprendidos por los estudiantes, permitiendo de esta manera la resolución del problema,
así:
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 44
• El profesor propone un problema a los estudiantes, con cierto nivel de dificultad;
• Ante las dificultades de los estudiantes, el profesor formula una serie de preguntas
con el objetivo de focalizar la atención en un aspecto del problema que es clave para
su comprensión y resolución.
• El profesor permite que un estudiante resuelva el problema, incentivando el
raciocinio y la comunicación de sus ideas al resto de la clase.
Wood (1998) propone un patrón adicional que llamó tradicional, el cual se
caracteriza por las siguientes fases:
• El profesor inicia con una pregunta.
• El alumno responde.
• El profesor evalúa la respuesta del alumno.
Este patrón es utilizado por algunos docentes de matemáticas, se caracteriza porque
los alumnos asisten para poder posteriormente reproducir, a través de prácticas repetitivas o
rutinarias, lo que aprendieron.
Coincidiendo con Rojas (2011) es bueno hacer algunas precisiones sobre los patrones
propuestos, pues los dos autores Wood (1998) y Voigt (1985) describen dos posiciones
encontradas. En la primera, tal vez teniendo en cuenta tendencias didácticas tradicionales,
las actividades de clase están centradas en el profesor (patrón del embudo y patrón de
extracción) y en la segunda posición contemplan actividades en donde los significados son
construidos colectivamente, tal vez orientados por una tendencia interaccionista (patrón de
focalización y patrón de discusión).
Otro aspecto de resaltar es que los patrones de uno y otro autor no coinciden; el patrón
de extracción presentado por Voigt (1985) propone adicionalmente una reflexión sobre lo
realizado, que lo hace diferente al patrón del embudo presentado por Wood (1998). De la
misma manera en el patrón de extracción, las opiniones del estudiante son consideradas desde
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 45
el comienzo del proceso, lo que lo diferencia de patrón de focalización. Según Rojas (2011)
entre los dos patrones presentados por Wood (1998) se encuentra el patrón de extracción de
Voigt (1985). Por otro lado, en el patrón de discusión el profesor interviene con aportes que
permiten construir el significado consensuado con los alumnos, criterio que no se tiene en el
patrón de focalización.
Peressini y Knuth (1998) presentan los patrones univocal y dialógico. Es importante
tener en cuenta que asociados a los patrones de interacción, del embudo y de focalización,
está la comunicación univocal y dialógica, a la cual se hará refererencia en otro apartado.
Peressini y Knuth (1998) hablan de los patrones de interacción univocal y dialógico con un
sentido diferente; el patrón univocal tiene como único objetivo la transmisión de la
información, por otra parte, el dialógico es un apoyo al pensamiento en el sentido de dar
significado a través de la interacción.
En el mismo orden, Brendefur y Frykholm (2000), presentan un modelo de cuatro
niveles de comunicación: unidireccional, contributiva, reflexiva e instructiva; asociado a
cada nivel de comunicación, subyace un patrón de interacción, los cuales se describen a
continuación, teniendo en cuenta que los autores los consideran como inclusivos y como
etapas progresivas a nivel de comunicación en el aula.
Patrón unidireccional. Es el más común, el profesor habla casi siempre, hace
preguntas cerradas y no da oportunidades a los alumnos de presentar sus ideas,
pensamientos, estrategias.
Patrón contributivo. Ya se muestra alguna participación de ideas, soluciones y
estrategias, pero sin gran exigencia cognitiva. Las interacciones entre alumnos son acá más
comunes.
Patrón reflexivo. Más allá de participación, se desarrollan conversaciones en torno a
los contenidos y los propios discursos. Las conversaciones son utilizadas como apoyo para
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 46
hacer exploraciones más profundas. Las reflexiones no surgen de forma espontánea por parte
del alumno, son proporcionadas por la participación en la construcción del discurso del aula.
Patrón instructivo. El profesor más allá de motivar la reflexión, procura modificar las
comprensiones matemáticas de sus alumnos, así como su propia práctica. El pensamiento
del alumno se vuelve público, mientras que el profesor se hace consciente de los procesos
de pensamiento, limitaciones y capacidades de los alumnos y eso afecta su propia práctica.
La capacidad de reflexionar sobre su práctica puede llevarlo al cambio.
Loska (1998) plantea las interacciones común y natural; presenta un método de
enseñanza que denominó neo-socrático en contraposición con el conocido método socrático.
Este autor considera que el método socrático se limita a una relación uno a uno, las preguntas
realizadas son de respuesta breve generalmente de tipo si-no, donde el rol del alumno es
seguir los pasos lógicos del pensamiento del profesor y responder una serie de preguntas que
le son formuladas. Propone el método neo-socrático que busca abarcar una buena cantidad
de estudiantes y replantea el rol del profesor; sustenta que el docente no puede hacer juicios
de valor respecto a la participación de los estudiantes en cuanto a sus contribuciones acerca
de la temática en cuestión, sino que debe permitir la participación libre del estudiante. El
alumno tiene la responsabilidad por el desarrollo de ideas y explicaciones a lo largo de la
clase, sin importar el orden en que emerjan.
Adjunto a estos dos métodos de enseñanza, Loska (1998) propone dos tipos de
discusiones o interacciones que pueden ocurrir en el aula y que llamó común y natural.
Discusión común. Está asociada al método socrático, el profesor organiza el aula en
forma lineal, haciendo que los alumnos sigan una ruta previamente fijada. Formula
secuencias de intervenciones del tipo pregunta-respuesta, se aceptan las intervenciones de
los estudiantes si están dentro de la guía propuesta.
Discusión natural. Tiene que ver con el método neosocrático, el profesor a pesar de
tener un planeamiento general no espera que las ideas surjan en un determinado orden,
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 47
procura mantener abierta una discusión que pueda tener diferentes caminos y llevar a
distintas conclusiones. El modo en que se distribuye el tiempo no es previsible en este tipo
de clase.
Basados en Mercer (1995, citado en Schwarz, et al, 2004) se plantean diferentes tipos
de diálogo que se presentan en el aula: diálogo básico, prospectivo, crítico, reflexivo y de
conferencia (Schwarz, et al, 2004). Estos autores relacionan el concepto de diálogo con el
concepto de compromiso.
Diálogo básico. Se procura establecer un conocimiento común. El profesor presenta
un tema e intenta determinar si los alumnos aprendieron lo suficiente. El profesor orienta al
alumno y se preocupa por la consolidación de su conocimiento.
Diálogo prospectivo. El profesor establece un punto de vista inicial para procurar el
aprendizaje del estudiante, clarifica el problema sin apelar a intervenciones muy elaboradas
y motiva a los estudiantes a participar.
Diálogo crítico. La preocupación de los participantes es comprender diferentes puntos
de vista, elaborar y plantear nuevas ideas, desafiar, refutar y argumentar las opiniones de los
demás. El profesor invita a plantear hipótesis y pruebas, elaborar y argumentar la
construcción de conocimiento.
Diálogo reflexivo. Los participantes procuran integrar y generalizar argumentos
válidos. Recapitulan y elaboran conclusiones sobre las acciones realizadas teniendo en
cuenta más los procesos que los resultados. La característica típica es la de recapitular y
evaluar las experiencias realizadas.
Diálogo conferencia. El compromiso es la transmisión del conocimiento. El profesor
prepara y presenta una temática en la clase como si se tratara de una conferencia. Como
alternativa, se propone la lectura de un texto, en el que el profesor plantea preguntas
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 48
previamente elaboradas. Hay preocupación permanente por la aclaración y exposición de
contenidos.
De acuerdo con Schwarz et al (2004), generalmente los profesores apelan a los
diálogos básico y prospectivo, ya que no es fácil la utilización de diálogos argumentativos.
Para desarrollar el diálogo crítico en el aula, el profesor debe tener una participación activa
en la argumentación, procurando desarrollar la discusión, motivando la participación de los
alumnos y preguntándoles para fundamentar y cuestionar los argumentos utilizados. Los
autores resaltan la combinación del diálogo crítico y reflexivo en la clase.
Sierpinska (1996) describe dos patrones más de interacción y comunicación, los
cuales denominó datsit! (¡eso es!) y arusure? (¿estás seguro?), que Godino et al (2000)
rebautizaron como patrones afirmativo e interrogativo, los cuales se describen a
continuación.
Patrón afirmativo. Sierpinska propone los siguientes pasos:
• En clase el estudiante lee un referente teórico (definiciones y ejemplos).
• El profesor hace una revisión o repetición de lo leído y termina con una pregunta
con el fin de que los alumnos encuentren la solución a la problemática
• Un estudiante contesta.
• El profesor evalúa afirmativamente (eso es).
El profesor en este caso no cuestiona cómo obtuvo el estudiante la respuesta, sino que
simplemente da la aprobación.
Patrón Interrogativo. Para este caso, Sierpinska propone que el patrón tiene los
siguientes pasos:
• En clase el estudiante lee un referente teórico (definiciones y ejemplos).
• El estudiante hace afirmaciones sobre lo leído.
• El profesor interroga sobre la afirmación del estudiante (¿Estás seguro?)
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 49
• Hay trabajo conjunto entre estudiantes y profesor para buscar la respuesta a la duda
del estudiante.
El estudiante analiza y se cuestiona sobre los referentes teóricos que le presenta el
docente, muestra dudas, pero lo más importante es que el docente en lugar de convencerlo
directamente trabaja conjuntamente con el estudiante hasta llegar a una negociación de
significados. Godino et al (2000) manifiesta que este tipo de patrón, aunque es ideal, solo
es aplicable en grupos pequeños de estudiantes interesados realmente en aprender y no sólo
por aprobar.
Según Villalta y Martinic (2009), las interacciones se pueden agrupar en tres modelos:
transmisión, sistémico- instruccional y conversacional.
Modelo de la transmisión. Se relaciona con la forma de codificar y decodificar la
información, la codificación que debe hacer el docente para entregar de forma clara la
información a sus estudiantes y la decodificación que debe hacer el estudiante para entender
el mensaje se asocia con el enfoque de directividad y no directividad de Flanders (1977),
cuya categorización se presenta a continuación.
Tabla 2. Clasificación de los patrones de interacción según Flanders
Categoría Explicación
1. Pausas de silencio y hablas
simultáneas
Momentos durante los cuales se interrumpe el intercambio verbal
entre los interlocutores (pausas de silencio) o se lleva a cabo de
una manera confusa, debido a que dos o más participantes hablan
simultáneamente.
2. Hablar sobre el estado de
ánimo de los estudiantes
Hablar acerca de los temores, las angustias, las expectativas, las
alegrías, los malestares, o cualquier otra sensación o sentimiento
de sus alumnos.
3. Elogiar o recompensar a los
estudiantes
Cuando un estudiante responde una pregunta, elabora bien un
trabajo, realiza adecuadamente un procedimiento o lleva a cabo
un comportamiento socialmente útil y recomendable como
paradigma o ejemplo a seguir, el docente debe elogiarlo y
destacarlo en una magnitud directamente proporcional al esfuerzo
hecho por el alumno.
4. Retomar ideas de los
estudiantes
Retomar las ideas expresadas por los alumnos, con el fin de
analizarlas, sin criticarlas ni elogiarlas, produce en el salón de
clases efectos positivos.
5. Solicitar información a los
estudiantes
Preguntas o expresiones del docente que esperan una respuesta
de parte de los alumnos, o del alumno señalado, sin criticar,
ni retomar ideas, ni darles órdenes o instrucciones, ni elogiar,
ni hacer referencia al estado de ánimo de los alumnos
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 50
6. Dar información a los
estudiantes
Intención que el docente le proporcione información a los
estudiantes. Típico de la clase tradicional.
7. Instrucciones u órdenes a los
estudiantes
Se entiende por órdenes, instrucciones o líneas de acción a toda
expresión verbal de parte del maestro que le sirva a los
estudiantes para saber qué hacer o cómo hacer algo, sin
criticarlos ni elogiarlos, ni retomar ideas expuestas antes por
alguno de ellos.
8. Críticas y correcciones a los
estudiantes
Se utilizan en clase expresiones verbales cuya intención es
hacer sentir mal al estudiante, corregirlo, colocarle una
calificación de reprobación, o, incluso, amenazarlo con expulsarlo
de clase o de la institución
9. Respuestas del alumno
limitadas a lo que se le pregunta
Toda expresión verbal de un alumno donde éste se limite a
contestar correcta o incorrectamente lo que le pregunte el
docente
10. Intervenciones verbales de
iniciativa por parte del alumno
Toda expresión verbal de un alumno que no sea considerada como
respuesta limitada exclusivamente a lo que el docente le ha
preguntado, sin importar si su intervención es o no correcta Autor: Flanders (1977).
Aunque a este modelo se le atribuyen bondades, como el reconocer que, si el docente
refuerza positivamente la participación de los estudiantes mejora el clima del aula, o que si
se presentan los contenidos claramente se mejora la comprensión de los estudiantes,
también hay que reconocer que la interacción es unidireccional en donde el discurso del
docente es el único considerado válido en el aula de clase y la didáctica ideal para este
modelo es que se haga una buena transmisión de contenidos.
Modelo sistémico - instruccional. La didáctica allí se entiende como una
comunicación especializada cuyo objetivo es el logro de determinados procesos cognitivos.
Un ejemplo de este tipo de propuestas es el modelo de instrucción efectiva propuesto por
Slavin (1996), el cual consta de cuatro componentes: calidad de la instrucción, nivel
apropiado de la instrucción, incentivo y motivación de los estudiantes, y tiempo; el estudio
prueba que estas variables tienen impacto en los aprendizajes. Adicionalmente emergen
otras dos variables: eficiencia instructiva y tiempo ocupado. Este modelo pretende abordar
las posibles formas de organización en la clase (Slavin, 1996), las cuales pueden ser
modificadas por el profesor buscando facilitar el aprendizaje de los estudiantes.
Otra visión de la interacción didáctica la presenta Velasco (2007), quien la define
como un proceso de razonamiento interpersonal en el aula entre profesor y estudiantes
teniendo como meta promover aprendizajes. Adicional a los indicadores de procesos
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 51
cognitivos de diferente complejidad, sugiere también indicadores sociales organizados en
forma jerárquica según la complejidad de las operaciones cognitivas, las cuales agrupa en
cinco, en forma ascendente y relacionadas con el aprendizaje: recuerda, memoriza, localiza
espacialmente; lee, compara, ordena; analiza, sintetiza, infiere, comprende; soluciona
problemas, lanza hipótesis, estructura, evalúa, diseña; hace metacognición, conocimiento
metacognitivo. Igualmente hay consenso entre investigadores sobre la existencia de
variables asociadas al aprendizaje: de la escuela, la comunidad y el hogar de los estudiantes
(Cornejo y Redondo, 2007).
El modelo Sistémico instruccional se enfoca en las variables de la clase que permiten
obtener aprendizajes, pero resalta los procesos cognitivos y los aspectos organizacionales.
Al estudiante le asigna una condición de aprendiz, pero a la vez interactivamente activo.
Modelos conversacionales. Las orientaciones constructivistas y socioculturales, con
la participación de la filosofía del lenguaje posibilitan la integración de áreas como la
etnometodología, etnografía, sociolingüística, semiótica que hacen emerger una perspectiva
socio-etnográfico-lingüística de la comunicación, que es la que sustenta los modelos
conversacionales del análisis de la interacción en el aula.
Desde esta mirada ya no se ve la interacción en el aula como un hecho de transmisión
de contenidos sino como un proceso que se crea con la estructuración de las prácticas y las
subjetividades de alumnos y profesores en la clase (Delamont, 1984; Villalta, 2009). De
acuerdo con lo anterior las interacciones en el aula se ven como prácticas comunicativas en
contextos culturalmente situados, como lo resalta Planas (2004) “el aula es una cultura con
modelos comunes de interpretación de normas, acciones y creencias que se reconstruyen a
través del discurso por medio de prácticas sociales” (p. 61).
Según Villalta (2009), existe en la escuela un discurso instruccional que se determina
por patrones distintivos de acuerdo con las formas como se utiliza el lenguaje en el aula. El
análisis de estos discursos orienta sobre la forma como los instrumentos de mediación
semiótica transforman el funcionamiento cognitivo, determinado por la participación de los
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 52
estudiantes en actividades específicas (Cubero et al., 2008). En este sentido la didáctica se
piensa como una construcción cultural donde el profesor en el encuentro de la clase,
transmite, reflexiona y reconstruye; dejando atrás la concepción de herramienta para la
transmisión de saberes.
Al igual que en la didáctica, la interacción también ha pasado por diferentes procesos:
en el modelo transmisionista se entiende como una acción unidireccional; en el modelo
sistémico-instruccional se ve como una interacción funcional al aprendizaje, y en el modelo
conversacional se ve como una construcción de significados y procesos culturales (Cubero
et al., 2008).
A continuación, se presenta una tabla donde se integran las clasificaciones
propuestas por diferentes autores, que aunque tienen miradas distintas, todos coinciden en
unos patrones de interacción usualmente desarrollados en el aula y otros que aunque con
menor nivel de utilización son considerados por investigadores como relevantes:
Tabla 3. Clasificación de los patrones de interacción
Autores Patrones de Interacción
Usuales en el Aula Relevantes para el Aula
Voigt (1995) Patrón de elicitación o
extracción
Patrón de discusión
Wood (1995, 1998) Patrón del embudo
Patrón tradicional
Patrón de focalización
Sierpinska (1996) Patrón afirmativo Patrón interrogativo
Peressini y Knuth (1998) Univocal Dialógico
Loska (1998) Discusión Común Discusión natural
Brendefur y Frykholm (2000) Patrón unidireccional
Patrón contributivo
Patrón reflexivo
Patrón instructivo
Alrø y Skovsmose (2002) Aula Absolutista Aula dialógica
Schwarz, Dreyfus, Hadas y
Hershkowitz (2004)
Diálogo Básico
Diálogo prospectivo
Diálogo conferencia
Diálogo crítico
Diálogo reflexivo
Villalta y Martinic (2009) Transmisión,
sistémico- instruccional
Conversacional
Fuente: elaboración propia.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 53
Interacción en que la intervención del profesor es discreta.
Esta clase de interacción se tiene en la clase cuando los alumnos están trabajando una
tarea en grupo y la actuación del profesor es discreta. El profesor se desplaza por el aula,
aclara dudas, hace preguntas; es decir su papel es de generador de ambientes adecuados
para desarrollar tareas y acompañar en este proceso a los alumnos. El rol del docente en
este tipo de interacciones es muy importante, es un referencial en el doble sentido: de
favorecer un medio para las interacciones más directas entre los alumnos y de representar a
la comunidad científica, constituyendo una fuente de legitimación.
Ese papel depende del modo como el profesor afronta el desarrollo de las tareas, en
especial las que realizan los estudiantes en grupo. Algunas veces el profesor ve el trabajo
en equipo como una forma de distribuir los alumnos en el aula, para que se ayuden y de esta
manera transcurra el tiempo de clase. Esto es muy común en trabajo de pequeños grupos,
especialmente de dos alumnos que están sentados en el mismo pupitre. En ese caso el
propósito de construir los grupos no es el desarrollo de la tarea en sí, sino una forma de
compensar la falta de tiempo o la falta de material para la clase. Es necesario que el profesor
considere el trabajo en grupo como importante en sí mismo. El profesor puede contribuir al
desarrollo de las capacidades de trabajo conjunto en los alumnos según dos criterios:
cognitivos y sociales. Los cognitivos cuando se busca hablar sobre el trabajo realizado,
discutir los resultados y conclusiones del grupo; en los sociales se pretende hablar sobre la
forma como se desarrolla el trabajo (Blunk, 1998).
Una dificultad encontrada por el profesor en las clases con trabajo en grupo es el
desconocimiento de lo que hace el grupo mientras él no está con ese grupo; esto se presenta
porque el profesor le da más validez a lo que se hace en su presencia (Blunk, 1998). Sin
embargo, hay docentes que valoran más el trabajo que hace el estudiante de forma
independiente sin ninguna supervisión.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 54
El hecho de que el profesor no participe en la mayoría de las acciones que desarrolla
el grupo tiene bondades, pues no le compete ofrecer respuestas sino preguntas y retos
(Blunk, 1998). El profesor puede aprovechar para percibir si el grupo está trabajando como
equipo, es decir si todos contribuyen con sus ideas, se ayudan mutuamente, son capaces de
solucionar sus desacuerdos, si el ambiente es saludable y si cada uno se preocupa por los
demás compañeros. Adicionalmente si el grupo trabaja sin la presencia del profesor,
desarrolla su autonomía. En los grupos generalmente se ve al profesor como una autoridad,
y su papel cuando se integra con ellos no se ve como el de compartir ideas, sino de responder
a las preguntas que ellos plantean (Blunk, 1998).
A continuación, se trabajará un poco más los tipos de interacción en los que la
intervención del profesor es discreta, distinguiendo las interacciones alumno-alumno-grupo
y alumno-grupo-clase.
La interacción alumno-alumno-grupo tiene lugar cuando dos o más alumnos se
integran sin intervención del profesor. Estas interacciones son importantes para el
crecimiento de los alumnos, sin embargo, la experiencia muestra que “la interacción entre
los alumnos es casi inexistente y poco valorizada por el profesor” (Ponte et al, 1998, p.11),
reduciéndose en muchos casos a la resolución de preguntas a los problemas.
Es a través de la práctica de trabajo en grupo que los alumnos pueden evaluar su tarea
y aprender a confrontar con los compañeros aquello que pensaron individualmente y a
participar con sus ideas. Es después de esto que los alumnos están listos para la siguiente
etapa, explicar sus ideas, argumentar y procurar convencer a los compañeros de sus
opiniones.
Otro aspecto a resaltar es la constitución de los grupos; se le da importancia a la
heterogeneidad considerándola como la mejor forma de maximizar los aprendizajes de los
alumnos. La realización de trabajos en grupo da oportunidad para que los alumnos
pregunten, expliquen y verbalicen obteniendo opiniones de los compañeros de grupo. El
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 55
trabajo en pequeños grupos se constituye en la forma natural para el desarrollo de la
comunicación matemática (Artzt, 1996).
Según varios autores las interacciones alumno-alumno en el aula, ya sea desarrollando
un proyecto o solucionando un problema en grupo, son potencialmente más ricas que un
aula con tareas más estructuradas y donde los alumnos trabajan individualmente (Alrø y
Skovsmose, 2002; Cesar, 2000; Ponte et al, 1998; Yackel y Cobb, 1996). Los alumnos se
sienten más seguros para participar en pequeños grupos que en grupos grandes; pues la
participación es más espontánea y ayuda a que todos los alumnos participen. Si la discusión
es a nivel de toda la clase, el alumno acaba por callarse por considerar que no es pertinente
su comentario, esto porque el alumno busca agradar al profesor (Alrø y Skovsmose, 2002).
Igualmente es importante resaltar que no basta que los alumnos trabajen en grupo,
interactuando con los compañeros, para asumir que el aprendizaje ocurre (Cobb, 1995).
Para Cobb hay dos niveles de análisis en la interacción entre pares de alumnos: nivel de
proceso <colaboración directa/indirecta>, y el nivel de resultado <univocal, multivocal>.
Existe una colaboración directa cuando los alumnos resuelven la tarea en conjunto. En
cambio, la colaboración es indirecta cuando los alumnos piensan o resuelven la tarea solos,
no necesitan escucharse mutuamente, aunque en ocasiones los comentarios de un alumno
influyen en lo que los otros hacen. El resultado se considera univocal cuando la opinión de
un alumno prevalece sobre la de los demás. Ese alumno representa una autoridad con poder
social o científico. Se trata de un resultado multivocal cuando se escuchan todos los
miembros componentes del grupo, y tratan ellos mismos de llegar a consensos con
opiniones divergentes.
La interacción alumno-grupo-clase se presenta cuando un alumno propone una
situación individualizada a toda la clase, a su vez la interacción grupo-clase surge cuando
el representante del grupo o el grupo en su totalidad presentan el resultado del trabajo
realizado a los restantes compañeros de la clase y se proporciona un espacio de discusión.
En general en estos espacios de interacción es importante que los alumnos escuchen a los
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 56
compañeros, especialmente a los de grupos distintos, ser capaces de interpretar lo que los
compañeros expresan y cuestionarlos, si es el caso (Blunk, 1998).
Aspectos interaccionales en la Teoría de Situaciones Didácticas.
La teoría de las situaciones didácticas (Brousseau, 1986) nace como un modelo
teórico cuyo objetivo era constituir una epistemología experimental de la matemática,
independiente del interaccionismo simbólico, pero hay elementos comunes en los dos
marcos teóricos, por ejemplo, las interacciones que Brousseau denominó "efecto Topaze"
y "efecto Jourdain", los cuales se pueden describir como patrones de interacción profesor-
alumno-saber. Otro ejemplo sería la noción de contrato didáctico y las normas
sociomatemáticas. A continuación, se analizan estos aspectos.
Brousseau (1986) afirma que un proyecto social exterior condiciona la relación
didáctica entre profesor-alumnos-saber.
Se establece una relación que determina -explícitamente en una pequeña parte, pero
sobre todo implícitamente- que cada participante, el profesor y el alumno, tienen la
responsabilidad de administrar y de la cual será de una u otra forma responsable ante el
otro. Este sistema de obligaciones recíprocas se parece a un contrato. Lo que nos interesa
aquí es el contrato didáctico, es decir, la parte de ese contrato que es específico del
"contenido": el conocimiento matemático pretendido (Brousseau, 1986, p. 51, citado por
Godino et al. 2000).
Según Godino et al (2000) las actuaciones del profesor y los alumnos deben cumplir
con los siguientes aspectos: el docente debe generar las condiciones para que el alumno se
apropie de un determinado conocimiento y reconozca cuándo sucede; el alumno debe
someterse a las condiciones que el profesor proponga; la relación didáctica debe continuar
pase lo que pase; el profesor debe garantizar que los conocimientos previos y las nuevas
condiciones ofrecen la posibilidad al estudiante de apropiarse del nuevo conocimiento.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 57
Lo fundamental del contrato didáctico no son las normas sociales sino el proceso de
búsqueda (negociación) de un contrato hipotético.
Al igual que en el interaccionismo simbólico se distinguen las normas sociales de las
sociomatemáticas; en la teoría de las situaciones didácticas el contrato didáctico forma parte
del contrato pedagógico y del contrato escolar. Chevallard, Bosch y Gascón (1997, p. 205)
tratan a profundidad estas temáticas.
Por otro lado, se tiene un patrón de interacción llamado "efecto Topaze”, el cual se
caracteriza por las restricciones del sistema social en que se puede dar la enseñanza, lo cual
implica la pérdida del sentido matemático de los conocimientos pretendidos. Este efecto se
caracteriza por lo siguiente:
• El profesor propone una tarea a los alumnos, la respuesta está más o menos
predeterminada.
• El profesor negocia las condiciones en las que se producirá la relación didáctica y
que le darán un sentido.
• Propone preguntas abiertas, con el fin de lograr que este sentido sea lo más rico y
exacto que se pueda.
• Si el alumno fracasa, da informaciones suplementarias para hacer la respuesta más
fácil.
Si los conocimientos pretendidos desaparecen completamente se tiene el "efecto
Topaze" (Brousseau, 1986). Un caso particular del efecto Topaze es el "efecto Jourdain", el
docente para no entrar en debate con el estudiante sobre el conocimiento pretendido, o con
la constatación de un fracaso, acepta una respuesta trivial, desprovista de valor e incluso de
sentido.
También en la Teoría de las Situaciones Didácticas describe otros patrones de
interacción, el relacionado con el profesor y los recursos didácticos que denomina
“deslizamiento metacognitivo” y el que relaciona al profesor con las propias situaciones
llamado “envejecimiento de las situaciones didácticas” (Brousseau, 1986).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 58
Godino et al (2000) afirman que la tipología misma de las situaciones didácticas
(acción, formulación-comunicación, validación, institucionalización) puede ser tomada
como una forma de interacción entre profesor-alumnos-saber-medio. Pero, aunque en la
teoría de las situaciones didácticas se tiene en cuenta el contrato didáctico y algunas normas
sociales, en el fondo “la Teoría de las Situaciones Didácticas sigue viendo el aprendizaje
como un acto individual, desconociendo la influencia social y de alguna forma aún se encaja
dentro de las teorías cognitivistas” (Jiménez, 2011, p. 8).
Tipos de interacción y modelo didáctico del profesor.
Una vez revisada la literatura sobre la interacción en el aula de matemáticas, en el
siguiente apartado pasaremos a caracterizar los diferentes modelos didácticos del profesor,
dado que el tipo de interacción que el profesor prioriza en sus clases es uno de los criterios
fundamentales para caracterizar dichos modelos didácticos.
Modelos Didácticos del Profesor
Uno de los aspectos claves para elaborar los llamados modelos o estilos pedagógicos
y didácticos del profesor es el tipo de interacción que prioriza. En este capítulo se hace una
revisión de las diversas clasificaciones de modelos pedagógicos y didácticos que ha generado
la literatura dedicando especial atención al tipo de interacción de cada modelo. En este caso
en particular se han considerado tanto modelos genéricos del profesor propuestos por autores
que no son del área de la Educación Matemática, como otros modelos propuestos
específicamente para los profesores de matemáticas.
Inicialmente se presenta la clasificación de modelos de profesor de matemáticas
propuesta por Ernest. A continuación, se aborda la tipología de modelos propuesta por
Porlán. Estas clasificaciones se complementan con el modelo de profesor constructivista
sugerido por el constructivismo de Piaget, la perspectiva sociocultural de Vygotsky y el
interaccionismo de Bruner. A continuación, se explicita que un docente no se puede ubicar
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 59
exactamente dentro de un modelo, pues tiene características de muchos, pero tiene más
tendencia hacia un modelo que a otro.
Ernest (1989) opina que, a la hora de enseñar matemáticas, los conocimientos de los
conceptos matemáticos son importantes, pero lo que más determina las prácticas del docente
de matemáticas son sus concepciones: acerca de la naturaleza del área, sobre la naturaleza
de la enseñanza de las matemáticas y sobre el proceso de aprendizaje de la misma; las cuales
determinan las tendencias de enseñanza, de aprendizaje y los medios educativos que utiliza.
Por lo anterior propone la siguiente clasificación:
Profesor Entrenador. La base de todo es la autoridad. Entiende la matemática como
un conjunto de normas, reglas y verdades orientadas por la autoridad. Su objetivo es la
fijación de habilidades y destrezas. Su tendencia de enseñanza es autoritaria, donde lo
fundamental es el buen comportamiento del estudiante el cual debe obedecer ciegamente al
profesor. Su modelo de aprendizaje es basado en procesos de memorización y repetición.
Los medios educativos son el papel, lápiz y tablero. Hay un especial rechazo por el uso de
la calculadora en el aula.
Profesor Tecnólogo. La matemática la concibe como conocimiento práctico, útil. El
objetivo de la educación matemática es la aplicación del conocimiento a otras áreas como
las ciencias naturales, sociales, tecnología e industria. La enseñanza busca el desarrollo de
habilidades de los estudiantes donde el docente transmite los contenidos y el aprendizaje se
basa en la solución de problemas prácticos y el desarrollo de destrezas. Se prioriza el uso
recursos tecnológicos como computador, calculadora y en general recursos que faciliten la
experimentación.
Profesor Humanista. La matemática se asocia con conocimiento puro. En la
educación matemática se tienen en cuenta la cultura y el desarrollo del pensamiento. La
enseñanza se basa en la transmisión de estructuras, explicación de los contenidos, motivación
del estudiante. El estudiante al aprender busca comprender los conceptos y sus aplicaciones.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 60
Básicamente no se prioriza en la utilización de medios educativos, se usan los estrictamente
necesarios.
Profesor Progresista. Se concibe la matemática como una estructura de conocimientos
personalizados, donde se pretende utilizar la matemática como fuente de autorrealización y
el desarrollo de cada uno. La enseñanza se orienta al trabajo personal del estudiante y al
desarrollo de su autonomía. El aprendizaje busca la creatividad, exploración e indagación.
No se enfatiza en un medio específico, se utiliza cualquiera que pueda servir para la
formación de conceptos y estructuras.
Profesor crítico. La matemática se entiende como grupo de conocimientos permeados
por la cultura y por tanto dependientes de un sistema social, los cuales al igual que la cultura
están en continua dinámica de cambios. La educación matemática pretende el cambio social
a través de cambios individuales. El profesor metodológicamente se centra en la discusión,
pretende que el estudiante siempre esté cuestionando las verdades matemáticas. El
aprendizaje aquí se concibe como la solución de problemas de la cotidianidad, y la reflexión
personal sobre las concepciones sociales de la matemática. No hay un material específico,
sino que el estudiante de acuerdo a sus requerimientos los utiliza.
A continuación, se plantearán inicialmente aspectos de las tendencias didácticas,
asumidas con la concepción de Porlán (1995), complementada con el constructivismo clásico
de Piaget, el enfoque sociocultural de Vygotsky y el interaccionismo de Bruner.
Modelo tradicional. También llamado obsesión por los contenidos. Se presenta
porque el docente considera que hay una única forma de desarrollar el trabajo en el aula.
Enseñar se asume como explicar los contenidos básicos a los estudiantes, tratando de definir
sus significados y en algunas oportunidades presentando el ejemplo o la demostración. El
docente se preocupa por desarrollar una serie de contenidos organizados secuencialmente,
asumiendo que es el conocimiento que el estudiante necesita de la disciplina en un
determinado grado. En la mayor parte de la clase el profesor explica y el alumno escribe la
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 61
información, en algunos casos se presentan aspectos como hablar acerca de la temática o
ante problemas de aplicación plantear su comprobación o demostración.
Este modelo refleja de alguna manera a una gran cantidad de docentes y se debe a que
“es la única forma como sabemos hacerlo” (Porlán, 1995, p 146), ¿por qué?, por diversas
razones, es lo que el contexto institucional y en fin la sociedad espera de ellos, es lo que se
observaba en las clases en la época de estudiantes.
La transmisión verbal de conocimientos es una práctica generalizada, lo que no implica
que sea la mejor, pues en la mayoría de los casos no consigue un adecuado aprendizaje. Para
Porlán (1995) algunos aspectos negativos serían: se pierde la motivación de los estudiantes
al establecer de manera impositiva por parte del docente las temáticas; se vende la idea de
una matemática terminada, pues se plantean los contenidos como unidades de verdad; el
profesor siempre culpa al estudiante por el fracaso de su aprendizaje, ya que la premisa es
que si el profesor explica adecuadamente el estudiante debe aprender; los estudiantes tienden
a preparar mecánicamente las evaluaciones, ya que casi siempre las evaluaciones buscan la
memorización por parte del estudiante.
Modelo tecnológico. Llamado también obsesión por los objetivos. Su pretensión
inicial es superar algunos problemas que presenta el enfoque tradicional, especialmente el
reduccionismo en los procesos didáctico y metodológico. Se destaca porque toda práctica
educativa se realiza con una intencionalidad, o sea el logro de unos objetivos, es decir se
apoya una mayor rigurosidad donde se clarifican las metas a obtener y las actividades a
desarrollar. Se enfatiza en las relaciones entre los conceptos y distintos grados de
complejidad. En cuanto al aprendizaje Porlán (1995) plantea que sucede por un proceso de
asimilación de conceptos con niveles crecientes de dificultad. Pretende hacer una evaluación
objetiva del progreso de los aprendizajes del estudiante con el fin de determinar la
recuperación de los aspectos no exitosos detectados en la prueba diagnóstica inicial, al igual
que la realización de una prueba diagnóstica final; las pruebas objetivas se realizan en test
de opciones múltiples. Al igual que el enfoque tradicional presenta algunas fallas como: la
idea de eficacia se convierte en una obsesión eficientista, rígida y uniformizadora (Gimeno,
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 62
1982; en Porlán, 1995, 153); los objetivos se tornan rígidos, si no se comprende que éstos
deben ser replanteados a la luz de las necesidades e intereses de los estudiantes; la evaluación
al ser de tipo cerrado tiene la tendencia a favorecer aprendizajes mecánicos; genera
problemas de rigidez en las prácticas causados por las secuencias de actividades cerradas, al
igual que falta de motivación.
Modelo espontaneísta o activista. Denominada igualmente obsesión por los alumnos.
Busca posicionar al estudiante como el centro del proceso para que pueda tomar decisiones
sobre qué y cómo aprender en un ambiente agradable y natural, lo que le permite realmente
interesarse siendo también ente organizador. Lo anterior buscando contrarrestar la posición
de poder total asumida por el docente en los enfoques anteriores, donde en forma autoritaria
decide qué, cómo, cuándo, con qué y por qué se debe aprender matemáticas, sin tener en
cuenta para nada la opinión del estudiante.
La labor del docente pasa a ser orientador, coordinador de actividades de iniciativa del
estudiante, apoyando la interacción y comunicación entre todos los alumnos, pero ante todo
es un improvisador permanente, sin tomar en ningún momento conductas calificadoras o
sancionadoras.
Al ser el estudiante el eje del proceso de enseñanza se asume como contrapuesto a las
anteriores tendencias donde el eje es el docente y pone de manifiesto uno de los problemas
históricos de la educación, los estudiantes mentalmente separan los significados académicos
de los significados de la vida cotidiana (Porlán, 1995).
Según Porlán algunas de las características propias del enfoque espontaneista son: no
existe una programación definida, ni contenidos claros y específicos, completa negociación
con los estudiantes de proyectos a trabajar los cuales pueden ser orientados a todo el grupo
o a pequeños grupos, se da especial importancia a las salidas de observación, actividades de
consenso y comunicación; el plan de trabajo se adecúa según los intereses de los estudiantes
y periódicamente se realizan asambleas con el fin de discutir sobre la dinámica del aula.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 63
Al igual que las tendencias anteriores también tiene sus problemas, pues sin un diseño
previo es imposible que los docentes exploten en su totalidad las potencialidades de los
estudiantes, como se prioriza exclusivamente los intereses de los estudiantes, es decir cambia
la estructura de poder básicamente al estudiante, puede ser tan perjudicial como el caso
contrario.
Modelo Constructivista. Actualmente hay una tendencia a aceptar que el aprendizaje
no es una simple reproducción del contenido que se ha de aprender, sino que implica un
proceso de construcción o reconstrucción en el que las aportaciones de los alumnos juegan
un papel decisivo. Este punto de vista sobre el aprendizaje conlleva la tendencia hacia una
enseñanza en la que el papel del profesor es más complejo, ya que, además de favorecer en
sus alumnos la construcción de significados, tiene que orientarla en la dirección que marcan
los contenidos del aprendizaje. Aceptar que la enseñanza está mediatizada por la actividad
constructiva de los alumnos obliga a sustituir la imagen clásica del profesor como transmisor
de conocimientos por la imagen del profesor como orientador o guía. Pero, aceptar que los
contenidos que han de construir los alumnos son el resultado de una elaboración social,
obliga también a matizar la imagen del profesor-orientador y aceptar que también tiene como
misión conectar los procesos de construcción de los alumnos con los significados colectivos
culturalmente organizados (Sierpinska, 1998; Piaget, 1978; Vygotsky, 1995).
Sin ánimo de ser exhaustivos se puede decir que un modelo de profesor
constructivista, que en particular tiene en cuenta las aportaciones de Piaget, Vygotsky y
Bruner, entre otros (Sierpinska, 1998; Piaget, 1978; Vygotsky, 1995; Yackel y Cobb, 1996;
Voigt, 1995; Planas e Iranzo, 2009; Planas, 2005; Planas y Edo, 2008; Planas y Civil, 2009;
Bruner, 1972; Marques, 2007; Bruner, 1988; Bruner (1960); Godino, Batanero y Font, 2007;
Hoffmann, Lenhard y Seeger, 2005; Mercer y Littleton, 2007) , se caracteriza por:
• Tener en cuenta los niveles de desarrollo evolutivo de los alumnos.
• Procurar un aprendizaje activo y significativo.
• Ser consciente de la importancia que los conocimientos previos del alumno tienen con
respecto al éxito de cualquier actividad de enseñanza/aprendizaje que se vaya a realizar.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 64
• Valorar la importancia que tienen los aspectos afectivos sobre el aprendizaje.
• Tener en cuenta las diferentes explicaciones que dan las distintas teorías
psicopedagógicas sobre las dificultades que tienen los alumnos para aprender
matemáticas.
• Saber que lo que un alumno es capaz de aprender por sí mismo, viene determinado por
su nivel de desarrollo evolutivo y por sus conocimientos previos, pero esta capacidad de
aprendizaje hay que diferenciarla de la capacidad de aprender con la ayuda y el estímulo
de otras personas (no sólo los profesores, también los amigos, padres, compañeros, etc.).
La diferencia entre estos dos niveles de capacidad es lo que Vygotsky llama la zona de
desarrollo próximo. Así pues, la enseñanza más eficaz es aquella que parte del desarrollo
efectivo del alumno, no para amoldarse a él, sino para hacerlo progresar a través de la
zona de desarrollo próximo, y de esa manera generar nuevas zonas de desarrollo
próximo.
• Reconocer que existen unas interacciones sociales que permiten el desarrollo armónico
de las clases de matemáticas, las cuales implícita o explícitamente orientan el actuar tanto
del docente como de los estudiantes.
En general un docente tiene características de varios modelos, por ello se dice que tiene
tendencia hacia un determinado modelo, porque la mayoría de sus características como
docente se corresponden con ese modelo. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:
Figura 3. Tendencia del profesor hacia un modelo didáctico. Fuente: elaboración propia.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 65
Análisis didáctico
Una vez revisada la literatura sobre la interacción y los modelos didácticos del profesor
(haciendo énfasis en el tipo de interacción que propicia cada modelo), se requieren
herramientas teóricas para analizar la práctica del profesor y poder catalogarla con tendencia
hacía alguno de los modelos didácticos teóricos. En este apartado se revisan diferentes
modelos teóricos para analizar la práctica del profesor, se trata de los llamados modelos de
análisis didáctico. Por último, se explica que en esta investigación se opta por el modelo de
análisis didáctico propuesto por el EOS dada su generalidad y, sobre todo, porque propone
dos tipos de análisis específicos (el análisis de las interacciones y de las trayectorias
didácticas, y el análisis de la dimensión normativa) que permiten describir y explicar las
interacciones en el aula y, por otra parte, también propone un tipo de análisis para la
valoración de la interacción (idoneidad didáctica).
En los últimos diez años en Educación Matemática se están utilizando procedimientos,
conceptos y términos, con significados diferentes de referencia al mismo ente, y cuya
utilidad es cada vez más reconocida. Uno de ellos es el Análisis Didáctico (AD), que ha sido
utilizado por algunos autores (Freudhental, H., 1983; Puig, L., Cerdán, F., 1988) para
señalar “...el análisis de los contenidos de las matemáticas que se realiza al servicio de la
organización de su enseñanza en los sistemas educativos…”, (González, S.f, p. 2).
Aunque se encuentran en la literatura muchos puntos de vista y diferentes aspectos, se
va a considerar para su análisis el enfoque del AD como instrumento para el análisis
curricular, en el sentido de diseño, desarrollo del currículo y formación de profesores. Sin
embargo, cabe aclarar que el AD también ha sido tomado como metodología de
investigación (Gallardo y González, 2006).
Acerca del análisis.
Existen dos conceptos cuyos significados van de la mano, pero son complementarios,
por un lado, está el análisis y por otro la síntesis. Según el diccionario de la lengua española
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 66
en su edición de tricentenario, el análisis es “distinción y separación de las partes de algo
para conocer su composición¨, entre otras acepciones; mientras que la síntesis es “la
composición de un todo por la reunión de sus partes” (Real Academia Española, 2006).
El análisis siempre se ha asociado a la filosofía. Fue Sócrates quién planteó las bases del
análisis como lo entendemos en la actualidad; a su vez, Platón adaptó la definición socrática
en su método de división y Aristóteles en su concepción de análisis lo tomó como reducción,
en sus métodos silogísticos.
Igualmente, acerca de los significados de análisis y síntesis se encuentra lo siguiente
en el libro VII de la Colección Matemática de Pappus,
El análisis es el camino que parte de la cuestión que se busca, suponiéndola
conocida, para llegar, por medio de las consecuencias que se deduzcan, a la síntesis
de lo que se dio por conocido. Suponiendo obtenido, en efecto, lo que se busca se
considera lo que se deriva de ello y lo que le precede, hasta que volviendo sobre los
pasos dados, se llega a una cuestión que ya se conoce o pertenece al orden de los
principios; y este camino se llama análisis porque es una inversión de la solución,
mientras que en la síntesis, por el contrario, suponiendo la cuestión, finalmente,
conocida por el análisis, disponiendo sus consecuencias y causas en su orden natural
y enlazando unas y otras, se llega a construir lo que se busca; y este método es la
síntesis. Hay dos clases de análisis, el propio de la investigación, que se llama
teorético, y el que aplica para encontrar lo que se propone, y que se llama
problemático. (Pappus, 1970, p. 991-992; en Rico, 2013, p. 3).
Si se mira con detenimiento la forma de identificación de un objeto matemático, aún
hoy día se tienen en cuenta estos aspectos, basados en conjeturas se hacen
particularizaciones hasta lograr identificar bien el objeto y sus propiedades, es decir se
realiza un proceso de análisis, luego a partir de lo realizado se rearma el ente para poderlo
explicar de una mejor forma y allí está el proceso de síntesis.
Los trabajos de Descartes al inicio de la revolución científica también muestran los
procesos de análisis y síntesis, siempre precediendo el análisis a la síntesis.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 67
Puede denominarse, en general, método al arte de disponer adecuadamente una
secuencia de varios pensamientos bien para descubrir la verdad cuando la ignoramos
o bien para darla a conocer a otros cuando ya es conocida. Así, hay dos clases de
métodos; uno, permite descubrir la verdad y se denomina análisis o método de
resolución y, también puede denominarse método de invención; el otro permite hacer
entender la verdad a otras personas cuando la verdad ya ha sido descubierta. Este
último se denomina síntesis o método de composición, pudiendo ser también conocido
como método de enseñanza. El análisis, por lo general, sirve solamente para resolver
alguna cuestión de ciencia y no para someter a este método el cuerpo completo de una
ciencia (Arnauld y Nicole, 1987, p. 418; en Rico, 2013, p. 3-4).
De acuerdo con lo anterior los autores plantean una definición de lo que se entiende
por método y proponen dos clases de métodos, el de resolución o invención correspondiente
al análisis y el de composición o enseñanza que tiene que ver con la síntesis.
Análisis didáctico en la educación matemática.
Las investigaciones sobre las competencias, los conocimientos matemáticos y el
desarrollo profesional del profesor han adquirido relevancia internacional en los últimos
años y han puesto de manifiesto su complejidad y las limitaciones del conocimiento
producido por dichas investigaciones (Sullivan y Wood, 2008; Schueler y Roesken-Winter,
2016). Por lo tanto, existe una necesidad creciente en el campo de la investigación, por
relacionar los modelos teóricos de la formación docente con la práctica docente, una
necesidad que también está presente en los programas de formación y en la enseñanza de los
proyectos de innovación.
La necesidad de herramientas teóricas para el análisis de la práctica docente se deriva,
por ejemplo, del hecho de que no basta contemplar, en la formación de profesores,
oportunidades para que éstos reflexionen sobre su práctica, porque necesitan herramientas
teóricas que permitan llamar la atención sobre aspectos importantes de los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Por otro lado, la investigación ha proporcionado
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 68
ejemplos para demostrar que estas herramientas teóricas pueden ser enseñadas a maestros y
futuros maestros (Turner, 2016; Giménez, Font y Vanegas, 2013; Seckel, 2016).
Desde diferentes perspectivas de investigación, cada una relacionada directamente con
las prácticas docentes, se hace hincapié en la manera en que el conocimiento de los maestros
sobre el contenido matemático se pone de manifiesto mediante el empleo de buenas prácticas
en sus clases. Entre ellas podemos destacar: 1) las obras de Rowland et al. (Rowland,
Huckstep y Thwaites, 2005; Liston, 2015) y su propuesta de cuatro categorías de
conocimiento (fundación, transformación, conexión y contingencia) que caracterizan el
conocimiento de la enseñanza activa del Maestro; 2) los aportes derivados de la Lesson
Study Methodology (Fernández y Yoshida, 2004), que incluyen un modelo de análisis
colaborativo empleado por los profesores para planificar, implementar, observar y
reflexionar sobre sus clases de matemáticas; 3) Las contribuciones de Davis (Davis, 2008;
Davis y Renert, 2013) en el marco de su propuesta de Estudio Conceptual, que combina
elementos de los dos enfoques relevantes para la investigación de la educación matemática:
“concept analysis” y “lesson study”. Cada una de estas propuestas se centra comúnmente en
la naturaleza específica concedida a los conocimientos matemáticos para la enseñanza. Este
enfoque tiene ventajas sobre otras investigaciones de carácter más general, que diferencian
el conocimiento didáctico general del conocimiento matemático como disciplina científica.
Las investigaciones anteriormente mencionadas tienen como objetivo común mejorar
las prácticas matemáticas en el aula, centrándose en la complejidad a priori de los objetos
matemáticos, o más bien en el conocimiento matemático del maestro que está en juego en el
manejo de los complejos objetos matemáticos. Este es un propósito compartido por otros
enfoques orientados al conocimiento profesional, cuyo objetivo es reconocer las acciones
que permiten al profesor de matemáticas desarrollar con éxito su profesión. Por ejemplo,
Mason (2002) destaca la importancia de la competencia referida como "mirar con sentido"
el pensamiento matemático de los estudiantes. Dicha competencia permite que el profesor
de matemáticas vea contextos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de una manera
profesional que puede diferenciarse de la manera en que un profesor que no es de
matemáticas vería la situación (Fernández, Llinares y Valls, 2012; Mason, 2002). Del mismo
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 69
modo, otros autores hacen hincapié en la importancia de la competencia en el análisis
didáctico (Gómez, 2006), que permiten al profesor identificar y organizar los múltiples
significados del concepto que desea enseñar y, en segundo lugar, seleccionar esos
significados para ser estudiados en los procesos de instrucción.
Para poder realizar sistemáticamente un análisis didáctico que permita la descripción,
explicación y evaluación de los procesos de instrucción, es necesario contar con
herramientas especialmente diseñadas para hacer frente a la complejidad de las matemáticas
y a la complejidad de los procesos de instrucción. Para abordar esta necesidad, la
investigación en la educación matemática ha dado lugar a marcos teóricos específicos que
proporcionan herramientas de análisis. El Enfoque Ontosemiótico (EOS) de la enseñanza de
matemáticas es uno de estos. A continuación se desarrolla con más detalle el modelo de
análisis didáctico de Rico y colaboradores, y el modelo de análisis didáctico propuesto por
el EOS.
Modelo de Análisis Didáctico del Grupo PNA de La Universidad de Granada.
El concepto de AD desde una primera panorámica es planteado por Rico (1997, p.
55), desarrollado entre otros por Gómez (2002), se enfoca en el nivel local de planificación,
es decir, se da relevancia a la planeación considerada como uno de los aspectos importantes
en el trabajo del profesor no sólo de matemáticas sino también de otras áreas del currículo,
asumida como una competencia indispensable del profesor de matemáticas (Rico, 2004). El
docente debe poder desarrollar distintos tipos de planeación, y tener en cuenta que para
planear una unidad didáctica o una sesión de clase, el profesor se debe basar en la
exploración y estructuración de los diversos significados del ente matemático, resultado de
la negociación y construcción de los mismos, apoyado en los organizadores del currículo
planteados por Rico (1997).
La propuesta de Gómez (2006) es analizar el significado de un concepto matemático
desde tres dimensiones: estructura conceptual, sistemas de representación y fenomenología.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 70
La estructura conceptual alude a las relaciones del concepto con otros conceptos, dentro de
la estructura matemática del propio concepto; los sistemas de representación son las formas
como se puede representar el concepto y sus relaciones con otros conceptos; la
fenomenología abarca los contextos, situaciones o problemas que podrían dar sentido al
concepto.
Según Gómez (2002), el profesor puede basarse en el análisis de contenido, análisis
cognitivo, análisis de instrucción y análisis de actuación para planificar una unidad didáctica
o una sesión de clase. La identificación y organización de los diferentes significados de un
concepto por parte del profesor tiene que ver con el análisis de contenido. El análisis
cognitivo hace referencia a la descripción de las hipótesis que asume el docente referente a
cómo los estudiantes pueden progresar en la construcción de su conocimiento a partir de las
tareas y actividades de enseñanza y aprendizaje propuestas. En el análisis de instrucción, el
profesor diseña, analiza y selecciona las tareas que serán las actividades mencionadas
anteriormente. El análisis de actuación alude a la identificación por parte del docente de las
capacidades que los estudiantes han desarrollado, al igual que de las dificultades
manifestadas por los mismos.
Gómez (2006, p. 6) define Análisis Didáctico como “un procedimiento cíclico que
incluye estos cuatro análisis, atiende a los condicionantes del contexto e identifica las
actividades que idealmente un profesor debería realizar para organizar la enseñanza de un
contenido matemático concreto”.
A continuación, describiremos el ciclo de AC del que habla Gómez (2006). Basado
en los resultados obtenidos en el análisis de actuación del ciclo anterior y teniendo en cuenta
los contextos social, educativo e institucional, el profesor determina el contenido a tratar y
los objetivos de aprendizaje que se desean lograr. Luego, el profesor inicia la planeación
con el análisis de contenido, donde el resultado debe ser: identificar y organizar los distintos
significados del concepto asumido como foco de la instrucción, es la base del análisis
cognitivo y la realización de este último sirve como base para la revisión del análisis de
contenido. Igualmente sucede con el análisis de instrucción, donde su formulación depende
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 71
de los resultados de los análisis de contenido y cognitivo, y también al realizarse surge la
necesidad de revisar los anteriores análisis.
Lo anterior se traduce en lo siguiente, al realizar el análisis cognitivo, el profesor
selecciona unos significados del objeto, y teniéndolos en cuenta al igual que los objetivos
que se ha fijado con anterioridad, determina las capacidades que se prospecta desarrollar en
los estudiantes, a su vez plantea hipótesis acerca de las posibles vías por las que se puede
desarrollar su aprendizaje cuando aborden las tareas. Con esta información el profesor
diseña, selecciona y evalúa las tareas. Por lo anterior, las tareas que componen las
actividades deben estar acordes con los resultados de los tres análisis mencionados y el
evaluar las tareas puede llevar al profesor a un nuevo ciclo de análisis antes de escoger las
tareas definitivas. Finalmente, el profesor aplica estas actividades, y en esta etapa analiza
las actuaciones de los estudiantes, que le proveen información que sirve como punto de
inicio para un nuevo ciclo. Según Gómez (2006), el conocimiento didáctico es el
conocimiento que el profesor pone en juego durante este proceso.
Otro aspecto que resalta Gómez (2006), es que el eje articulador de los análisis es una
noción, y los organizadores del currículo expresan el significado técnico de esa noción. A
cada noción le asignan un significado teórico, un significado técnico y un significado
práctico. Lo anterior hace una analogía con las componentes de una competencia: ser,
conocer y saber hacer (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2003).
Según Gómez (2006, p. 8) para la exploración de un concepto en matemáticas escolares
se deben tener en cuenta los siguientes elementos y relaciones:
Tabla 4. Elementos y relaciones en la exploración de un concepto
Concepto
Matemático
Elementos
Objetos Casos particulares de un concepto.
Conforman la extensión del concepto.
Conceptos Predicados que son saturados por los objetos.
Conforman estructuras matemáticas.
Estructuras
Matemáticas
Conformadas por conceptos.
Relaciones Horizontales Relaciones entre representaciones.
Verticales Relaciones entre los tres tipos de elementos.
Fuente: Gómez (2006).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 72
Análisis Didáctico en relación con las capacidades del profesor de matemáticas.
Gómez (2006, p. 10,11) propone una forma para identificar las capacidades que
contribuyen al desarrollo de la competencia de planificación del profesor de matemáticas,
basado en la noción de análisis didáctico, lo cual se plantea en el siguiente cuadro:
Tabla 5. Análisis Didáctico propuesto por el PNA.
Análisis Capacidades
Análisis de Contenido
Recabar la información necesaria que le permita identificar los significados del concepto
Organizar esta información de tal forma que sea útil para la planificación
Seleccionar, a partir de esta información, aquellos significados que él considera relevantes para la
instrucción, al tener en cuenta las condiciones de los contextos sociales, educativos e institucionales
Seleccionar los significados relevantes para la instrucción al tener en cuenta las condiciones del
contexto del aula (que surgen de la información que se obtiene del análisis cognitivo)
Análisis Cognitivo
Establecer
Las competencias que se quieren desarrollar
Los focos de interés que se han de tratar
Las capacidades que los escolares tienen antes de la instrucción
Las capacidades que se espera que los escolares desarrollen con motivo de la instrucción (que
contribuyen a las competencias previamente identificadas y que delimitan los significados a tratar)
Las tareas que conforman la instrucción (cuyo establecimiento involucra las capacidades que se
enumeran en el análisis de instrucción)
Las dificultades que los escolares pueden encontrar al abordar esas tareas
Las hipótesis sobre los caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje.
Análisis de Instrucción
Analizar
una tarea
con el
propósito de
Identificar las capacidades que se pueden poner en juego cuando los escolares la aborden.
Identificar las competencias a las que esas capacidades, con la tarea en cuestión, pueden contribuir.
Establecer los posibles caminos de aprendizaje que los escolares pueden recorrer cuando aborden la
tarea.
Evaluar la pertinencia de la tarea a partir de esta información.
Análisis de Actuación
Comparar las previsiones que se hicieron en la planificación con lo que sucedió cuando esa planificación se puso en práctica en el aula.
Establecer los logros y deficiencias de la planificación (actividades y tareas) en su puesta en práctica en el aula.
Caracterizar el aprendizaje de los escolares con motivo de la puesta en práctica de las actividades.
Producir información relevante para una nueva planificación.
Fuente: Gómez (2006).
Algunos Aspectos Teóricos del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática.
El Enfoque Ontosemiótico (EOS) surge con la formulación ontológica de objetos
matemáticos que tienen en cuenta tres criterios de la matemática: resolución de problemas
como actividad socialmente compartida, lenguaje simbólico y sistema conceptual
lógicamente organizado. El grupo de Godino y Font toma como concepto básico la situación
problemática y definen práctica, objeto y significado, resaltando la génesis institucional y
personal del conocimiento matemático.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 73
Sistemas de prácticas referentes a tipos de problemas. Se mencionó como punto de
partida la resolución de problemas, por lo cual es importante plantear algunas apreciaciones
de lo que se entiende por problema. Según Hoc (1987) citado por Chamorro (2003, p. 276)
“un problema es la representación de un sistema cognitivo construido a partir de una tarea,
sin disponer inmediatamente de un procedimiento admisible para alcanzar el objetivo”. Otra
postura por mencionar es la de Schoenfeld (1985) citado por Santos (2007, p. 48) para el
cual ¨un problema es una tarea difícil para el individuo que está tratando de hacerla¨. Como
se puede deducir de las posiciones anteriores, un problema es una encrucijada en donde hace
falta ingenio para poder salir de ella. Para el caso matemático se pueden aplicar las anteriores
definiciones con la particularidad que las situaciones se refieren a entes matemáticos, lo que
sí es claro es que solucionar un problema matemático va más allá de aplicar algoritmos y
realizar operaciones.
Para facilitar la resolución de problemas matemáticos y el planteamiento de su teoría,
Godino y Batanero (1994, p 334) proponen algunas definiciones que se presentan en la tabla.
Tabla 6. Definiciones básicas del Enfoque Ontosemiótico.
Práctica Matemática Se denomina práctica matemática a toda actuación o manifestación (lingüística
o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a
otros la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas.
Prácticas Personales Las prácticas personales pueden ser acciones observables o no realizadas por una
persona con los mismos fines que la práctica matemática.
Práctica Significativa Ahora bien, es importante destacar que no siempre con la práctica matemática se
logra el objetivo, sino que en algunas ocasiones se fracasa, por lo que Godino
consideró indispensable plantear lo siguiente:
Una práctica personal es significativa (o que tiene sentido) si, para la persona, esta
práctica desempeña una función para la consecución del objetivo en los procesos
de resolución de un problema, o bien para comunicar a otro la solución, validar
la solución y generalizarla a otros contextos y problemas.
Institución Una institución (I) está constituida por las personas involucradas en una misma clase
de situaciones problemáticas. El compromiso mutuo con la misma problemática
conlleva la realización de unas prácticas sociales compartidas, las cuales están,
asimismo, ligadas a la institución a cuya caracterización contribuyen.
Institución
Matemática
Se denomina institución matemática (M) a las personas que pertenecen a una
institución enfocada a la resolución de nuevos problemas matemáticos. Son, por
tanto, los productores del "saber matemático". Otras instituciones alrededor de
las situaciones matemáticas son los "utilizadores" del saber matemático
(matemáticos aplicados) y los "enseñantes" del saber matemático (la escuela del
saber matemático).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 74
Sistema de prácticas
institucionales,
asociadas a un
campo de problemas.
PI(C).
Está constituido por las prácticas consideradas como significativas para resolver
un campo de problemas C y compartidas en el seno de la institución I.
Representaremos a este sistema por la notación PI(C).
Como ejemplos de estas prácticas sociales que son observables se tiene:
descripciones de problemas o situaciones, representaciones simbólicas,
definiciones de objetos, enunciados de proposiciones y procedimientos que son
invariantes características del campo de problemas, argumentaciones, entre otras.
Sistema de prácticas
personales asociadas
a un campo de
problemas.
Pp(C)
Está constituido por las prácticas prototípicas que una persona realiza en su
intento de resolver un campo de problemas C. Se representa este sistema por la
notación Pp(C)
Fuente: Godino, Batanero y Font (2007).
En los sistemas institucionales, Godino, Batanero y Font (2007) proponen la siguiente
tipología:
Figura 4. Mapa conceptual sobre sistemas de prácticas institucionales.
Fuente: elaboración propia
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 75
En cuanto a los sistemas personales plantean los siguientes tipos:
Figura 5. Sistemas de prácticas personales. Fuente: Godino, Batanero y Font (2007).
En el Enfoque Ontosemiótico se busca una adaptación progresiva de los significados
personales a los institucionales. La enseñanza es vista como la participación del estudiante
en la comunidad de prácticas que valida los significados institucionales. El aprendizaje
consiste en la apropiación de los significados institucionales por parte de los estudiantes.
Emergencia de los objetos matemáticos.
En el Enfoque Ontosemiótico los objetos matemáticos son entes abstractos que surgen
de los sistemas de prácticas ligadas a la solución de una tipología de problemas
matemáticos13. Como sistemas, emergen las propiedades holísticas que hacen que el todo
sea algo más que la suma de las partes y que se interrelacionan con todos los elementos del
sistema14. Dado que el objeto es relativo respecto de las prácticas de cada institución, las
cuales cambian de una institución a otra, Godino y Batanero (1994) definen:
13 Un problema es una encrucijada en donde hace falta ingenio para poder salir de ella. Para el caso
matemático, las situaciones se refieren a entes matemáticos.
14 Se asume sistema como ¨un complejo de elementos en interacción" (Bertalanffy, 1950, p 31; cit.
Dins Winkin, 1981/1994: 15).
Global: Todos los sistemas de prácticas personales que el sujeto
manifieste respecto a un objeto.
Declarado: Todas las prácticas realizadas por el sujeto,
teniendo en cuenta las pruebas institucionalmente
propuestas (teniendo en cuenta las correctas y las incorrectas).
Logrado: Todas las prácticas manifestadas que están acordes
con el punto de vista institucional. Hay que tener en cuenta los
significados iniciales y finales de los estudiantes.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 76
Objeto Institucional OI. Es un emergente del sistema de prácticas sociales asociadas
a un campo de problemas, esto es, un emergente de PI(C). Los elementos de este sistema
son los indicadores empíricos de OI. De acuerdo con lo anterior el Objeto Institucional es
considerado conocimiento objetivo, pues fue culturalmente asumido por una Institución y
es el objeto de referencia para los objetos personales. Se aclara que puede ser distinto para
instituciones diferentes. Los objetos personales es un emergente del sistema de prácticas
personales significativas asociadas a un campo de problemas, esto es, un emergente de
Pp(C); es considerado subjetivo ya que va emergiendo progresivamente y acorde con las
experiencias y aprendizajes del sujeto.
Para el tratamiento de los objetos emergentes Godino y Batanero (1994) proponen
una dicotomía para clasificarlos: los que se pueden determinar directamente en un texto
matemático (problemas, definiciones, proposiciones, teoremas, corolarios) y los que
emergen del contexto de los anteriores, de una acción (ver, operar, relacionar) sobre ellos.
Objetos matemáticos primarios. Son los primeros en la dicotomía, que a su vez para
facilitar su tratamiento son clasificados así:
▪ Elementos lingüísticos. Son los términos, expresiones, notaciones, gráficos, los
cuales son expresados por cualquiera de los giros lingüísticos: escrito, oral,
gestual.
▪ Situaciones – problemas. Planteamientos donde indica la exigencia de un
desarrollo.
▪ Conceptos- definición. Claramente identificables dentro de los textos, ya que de
alguna manera describen el objeto emergente.
▪ Proposiciones. Determinan relaciones entre los conceptos.
▪ Procedimientos. Identifican las operaciones entre los conceptos: Cálculos,
operaciones, desarrollos algorítmicos.
▪ Argumentos. Expresiones que permiten explicar los problemas, conceptos,
proposiciones o procedimientos.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 77
Los seis tipos de entidades primarias surgen como contraposición a las entidades
típicas (conceptuales y procedimentales), que no pueden describir en su totalidad los objetos
intervinientes y emergentes del trabajo matemático. Los autores del Enfoque Ontosemiótico
asumen que el considerar una entidad como primaria es un aspecto relativo ya que en cierta
forma están dependientes de los juegos del lenguaje en que están inmersos. Los objetos
matemáticos están relacionados entre sí formando configuraciones (redes de objetos
intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y sus interrelaciones), las cuales a
su vez pueden ser Socio-epistémicas (redes de objetos institucionales) o cognitivas (redes
de objetos personales) (Godino y Batanero, 1994).
Objetos matemáticos secundarios. Toma importancia para la identificación de los
objetos contextuales el significado de los mismos, entendiéndose que el significado de los
objetos matemáticos debe estar referido a la acción (interiorizada o no) que realiza un sujeto
en relación con dichos objetos (Godino y Batanero, 1994), por ello y basados en estos
autores, se define a continuación el significado de los objetos institucionales y personales:
El Significado de un objeto institucional OI es el sistema de prácticas institucionales
asociadas al campo de problemas de las que emerge un OI en un momento dado.
Simbólicamente, para un tiempo t y una institución I: S(OI) = PI(C). Si I=M, se habla del
significado matemático de un objeto.
En cuanto a los objetos personales se tiene que el Significado de un objeto personal Op
es el sistema de prácticas personales de una persona p para resolver el campo de
problemas del que emerge el objeto Op en un momento dado: S(Op) = Pp(C). Dos aspectos
contextuales que enmarcan los significados de los objetos matemáticos son la noción de
institución y juego de lenguaje; a partir de éstos, los objetos matemáticos que intervienen en
las prácticas y los emergentes de las mismas pueden ser clasificados como (Godino, 2002):
▪ Personal – institucional. Son objetos considerados institucionales si son
compartidos al interior de una institución, mientras que son objetos personales si son
propios del sujeto.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 78
▪ Ostensivo – no ostensivo. De acuerdo al juego del lenguaje, se considera que un
objeto es ostensivo cuando se puede mostrar a otras personas; es decir es de
dominio público, si no lo es, se les puede mostrar a través de sus ostensivos
asociados (símbolos, gráficos, formas de notación, entre otros). Para el caso, los
objetos institucionales y personales son no ostensivos, ya que están en el
pensamiento de las personas.
▪ Expresión – contenido. Los objetos matemáticos sólo se pueden comprender como
sujetos relacionados mediante funciones semióticas, entendidas como relaciones
implicativas, donde el antecedente es una expresión o lo que se quiere significar y el
consecuente es un contenido o significado.
▪ Extensivo – intensivo. Se resalta la utilización de un objeto como un caso particular
o como un caso general.
▪ Unitario – sistémico. Dependiendo de la situación, los objetos matemáticos son
asumidos como sistemas (deben descomponerse para su estudio en sus partes
retomando sus relaciones y operaciones) o como objetos unitarios. Ejemplo, los
números Naturales.
Según Font (2001) sólo hay dos maneras de entender la comprensión, como proceso
mental y como competencia; criterios epistemológicos claramente opuestos. Los enfoques
cognitivos en didáctica de la matemática lo entienden como proceso mental, en el EOS se
asume como competencia. La comprensión también se expresa en términos de funciones
semióticas, ya que el conocimiento se entiende como el contenido de funciones semióticas.
Formas de análisis del desarrollo de una clase de matemáticas.
Para este apartado se utilizó como referencia el ejemplo de análisis de una clase no
significativa propuesto por Pochulu y Font (2011). Lo que se pretendió fue clasificar a la
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 79
clase y al profesor de acuerdo a las tipologías planteadas en el capítulo anterior: la propuesta
por Ernest (1989) donde clasifica al docente como entrenador, tecnólogo, humanista,
progresista o crítico y la clasificación de Porlán complementada con los criterios de Piaget,
Vygotsky y Bruner, donde se proponen los modelos teóricos de profesor tradicional,
tecnológico, espontaneista y constructivista. Para lograr lo anterior se toma como referencia
la Teoría de las Situaciones Didácticas y la Teoría Antropológica de lo Didáctico,
caracterizadas por tener en cuenta los puntos de vista socioculturales, y por ende también en
un modelo integrador propio de la educación matemática, como es el enfoque
Ontosemiótico. Se utilizó también el modelo de análisis didáctico propuesto por el enfoque
Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010) el cual permitió analizar los pormenores de una
clase de matemáticas.
Inicialmente se analizó el contexto de la clase con aspectos como: la institución
(ubicación, pública o privada, estrato, número de estudiantes, etc.), el docente (antigüedad
en docencia, selección, etc.), la clase (duración, grado, número de alumnos, etc.). Para el
análisis de la clase, el enfoque Ontosemiótico propone dividir el registro en configuraciones
didácticas entendidas como “las interacciones profesor-alumno, a propósito de una tarea
matemática y usando unos recursos materiales específicos” (Godino, Contreras y Font, 2006,
p 39). Los mismos autores plantean que una configuración didáctica está compuesta por
configuraciones epistémicas (tarea, reglas, argumentaciones, lenguajes), configuraciones
docentes (asignación, motivación, recuerdo, interpretación, regulación, evaluación),
configuraciones discentes (exploración, comunicación, validación, recepción,
autoevaluación), configuraciones cognitivas, afectivas y mediacionales. El cambio de
configuración didáctica está dado por el cambio de realización de una tarea, sin embargo, es
un criterio que se considera flexible y depende del investigador.
Como referente teórico para analizar las configuraciones didácticas, Godino, Contreras
y Font (2006) plantean cuatro tipos de configuraciones: magistral, personal, a-didáctica y
dialógica. Se toma una configuración didáctica como magistral cuando el profesor asume una
manera tradicional de enseñar matemáticas, donde se hace una explicación de los contenidos
por medios expositivos, desarrollo de ejemplos y ejercicios sobre la temática presentada;
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 80
implícitamente se le delega al estudiante la tarea de vivir los momentos de exploración,
formulación y validación. Otro tipo de configuración es la personal, allí es el estudiante el que
estudia sin intervención directa del docente, opuesto al caso tradicional, los estudiantes
solucionan ejercicios tomados de libros o propuestos por el profesor, muestran que están
capacitados para ello. La configuración a-didáctica considerada de naturaleza teórica se da
cuando las situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización determinan el
rol del alumno en interacción con el medio. Por último, se tiene la configuración dialógica,
tomada como intermedia entre la a-didáctica y la magistral, allí el estudiante explora la tarea
y plantea alguna forma de solución, y el docente formula las problemáticas y valida las
respuestas o formulaciones de los estudiantes, quedando el proceso de institucionalización
como un diálogo contextualizado.
Igualmente Font, Planas y Godino (2010) proponen para poder analizar de una forma
completa un periodo de instrucción, cinco aspectos de análisis sobre los procesos de enseñanza
y aprendizaje: identificación de prácticas matemáticas; elaboración de las configuraciones de
objetos y procesos matemáticos; análisis de las trayectorias e interacciones didácticas;
identificación del sistema de normas y metanormas y valoración de la idoneidad didáctica de
la clase como tal.
Identificación de prácticas matemáticas realizadas en una clase de matemáticas.
Es bueno iniciar esta sección recordando la definición de práctica matemática dentro del
enfoque Ontosemiótico, “consideramos la práctica matemática como cualquier acción o
manifestación (lingüística o de otro tipo) llevada a cabo en la resolución de problemas
matemáticos y en la comunicación de soluciones a otras personas a fin de validarlas y
generalizarlas a otros contextos y problemas” (Godino y Batanero, 1994, p. 8). Se busca ir
desde la situación problema y las prácticas propias para su resolución hasta la identificación
de objetos y procesos matemáticos que permiten tales prácticas. Pochulu y Font (2011)
manifiestan que este es un proceso que se debiera dar como si un profesor le comentara a otro
lo que pasó en la clase, desde el punto de vista matemático. Hay que tener en cuenta que en
una práctica inicialmente interviene un agente y un medio, es decir, la persona o institución
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 81
que realiza la práctica y dónde dicha práctica se hace, igualmente hay necesidad de considerar
otros tópicos como los valores e intenciones.
Elaboración de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos.
Se trata de determinar los objetos y procesos matemáticos que intervienen en las
prácticas matemáticas, al igual que los objetos y procesos emergentes de la realización de las
mismas. Debe analizarse las interacciones docente-estudiante y estudiante- estudiante. Se
destaca el uso de lenguajes tanto verbales como simbólicos como la parte ostensiva de los
conceptos, proposiciones y procedimientos. En resumen, busca describir la complejidad de las
prácticas matemáticas. El entramado que conforman estos objetos se presenta en la figura 6.
Figura 6. Configuración de objetos y procesos matemáticos desde el Enfoque Ontosemiótico. Fuente: Font, Planas y Godino (2010)
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 82
En la figura seis se presenta la forma de los objetos matemáticos, pero si lo que interesa
es la dinámica entre ellos, es decir la interacción entre los mismos hay que utilizar la tipología
propuesta por el enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010, p. 10).
Figura 7. Interacción entre los objetos matemáticos propuestos por el Enfoque Ontosemiótico. Fuente: Font, Planas y Godino (2010).
Lo que se pretende es modelar la actividad matemática tomando como base los
sistemas de prácticas tanto operativas (lectura y producción de texto) como discursivas
(reflexión sobre las prácticas operativas). En el primer nivel aparecen los tipos de objetos
matemáticos: lenguaje, definiciones, proposiciones, argumentos, procedimientos y
situaciones. En el último nivel (decágono) aparecen las cinco dimensiones duales bajo las
cuales se pueden analizar los objetos matemáticos: personal/institucional, unitaria/sistémica,
expresión/contenido, ostensiva/no-ostensiva y extensiva/intensiva. En cuanto a los dieciséis
procesos, en la gráfica 7 se determina cuáles están relacionados con las dimensiones duales
y cuáles con los objetos matemáticos (Font, Contreras, 2008).
Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas.
Se deben describir los patrones de interacción, los cuales se utilizan para tipificar las
configuraciones didácticas y las trayectorias didácticas. Unas de las interacciones que hay que
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 83
privilegiar son las que giran alrededor de los conflictos semióticos, los cuales son abordados
desde el Enfoque Ontosemiótico como significados diferentes asignados a un mismo objeto
por dos entidades, ya sean personas o instituciones; si se presentan entre instituciones se les
llama conflictos semióticos epistemológicos o epistémicos, en caso contrario es decir se
presenta entre dos personas se le denomina conflicto semiótico de tipo cognitivo. Si el desfase
significativo surge de una acción comunicativa se trata de conflictos semióticos
interaccionales.
Identificación del sistema de normas y metanormas.
Son los que soportan a las configuraciones y las trayectorias didácticas; regulan las
distintas dimensiones de estos procesos (epistémica, afectiva, cognitiva, etc.). La actividad
matemática también tiene un espíritu social, en cuanto a las interacciones sociales en el aula
como base para la comunicación matemática. El aprendizaje matemático “está condicionado
no sólo por conocimientos matemáticos y didácticos, sino por algunas reglas llamadas
normas sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996) y las cláusulas del contrato didáctico
(Brousseau, 1997)”, (Pochulu y Font, 2011, p. 376).
Desde el enfoque Ontosemiótico se han desarrollado trabajos como los de D’Amore,
Font y Godino (2007), y Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009), en los cuales se plantean
clasificaciones de las normas según diferentes tópicos como: el momento en que intervienen
(diseño curricular, planificación, implementación y evaluación), procesos de enseñanza y
aprendizaje que abordan (epistémica, cognitiva, interaccional, mediacional, etc.) y su origen
(disciplina, escuela, aula, etc.), entre otros. Las normas epistémicas se encuentran en los
elementos de las configuraciones de objetos que controlan las prácticas matemáticas en un
entorno institucional. Se habla de normas metaepistémicas a las que algunos autores aluden
como sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996). Finalmente, para analizar los conflictos es
bueno estudiarlos desde la discordancia entre prácticas personales e institucionales, teniendo
en cuenta que en algunos casos pueden ser prácticas desviadas, aunadas al uso de normas.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 84
Valoración de la idoneidad didáctica.
Hasta este momento con el análisis se responde a la pregunta ¿qué ha ocurrido aquí y
por qué?, pero no se evalúa el proceso de clase como tal y mucho menos se proponen
mejoras, cuestión que se soluciona con este apartado el cual se encarga de la valoración de la
idoneidad didáctica (Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2006). Estos autores proponen seis
criterios para determinar la idoneidad didáctica de los procesos de enseñanza y aprendizaje:
Idoneidad Epistémica. Para valorar los contenidos matemáticos enseñados,
comparando los significados de referencia con los institucionales aplicados o planeados,
según Alsina y Domingo (2010) hay que analizar qué contenidos matemáticos aparecen y
con qué frecuencia, al igual que identificar el modelo implícito que aparece en cada actividad
o serie de actividades.
Idoneidad Cognitiva. Comprende dos momentos, pre y pos ejecución de la actividad,
antes de la clase para valorar si lo que se pretende enseñar está al alcance del estudiante y
después de la clase para identificar si los aprendizajes logrados se aproximan a los
aprendizajes pretendidos, es decir, se mira el grado de proximidad entre los significados
implementados o planeados y los cognitivos o personales iniciales de los estudiantes;
Vygotsky (1988) destaca que se trata de determinar en qué medida los significados
pretendidos o implementados están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos.
Identidad Mediacional. Para valorar los recursos materiales y temporales utilizados en
la clase en cuanto a su disponibilidad y adecuación para el proceso, destacando que según
Barrody (1993) la utilización de materiales manipulativos no es una condición necesaria y
suficiente para el éxito en el aprendizaje.
Idoneidad Emocional. Para determinar el grado de interés o motivación del estudiante
en la clase, aclarando que éste puede depender de los factores internos a la clase o externos
que tienen que ver con las vivencias de los estudiantes.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 85
Idoneidad Interaccional. Para valorar las interacciones de la clase, en el sentido de ser
válidas por los alumnos en lo concerniente a resolver dudas y dificultades, lo cual se evalúa
durante el proceso y a priori identificar conflictos semióticos potenciales. En estudios
realizados por Font, Planas y Godino (2010), y Planas e Iranzo (2009) se plantean algunas
sugerencias para mejorar esta idoneidad.
Finalmente, la Idoneidad ecológica. Para valorar la concordancia de la clase con el
proyecto educativo de la institución, los procesos curriculares, y el contexto social y
profesional.
Modelo de Análisis Didáctico utilizado en esta investigación.
Después de la revisión de la literatura sobre modelos de análisis didáctico de procesos
de instrucción realizada en los párrafos anteriores, en esta investigación se ha optado por el
modelo de análisis didáctico propuesto por el EOS dada su generalidad y, sobre todo, porque
propone dos tipos de análisis específicos (el análisis de las interacciones y de las trayectorias
didácticas, y el análisis de la dimensión normativa ) que permiten describir y explicar las
interacciones en el aula y, por otra parte también propone un tipo de análisis para la
valoración de la interacción (idoneidad didáctica).
Estudios Empíricos Relacionados con el Modelo de Análisis Didáctico del EOS.
Utilizando como marco teórico los constructos del EOS, se han realizado una serie de
experimentos de diseño, estudios de tipo naturalista y cursos de formación, los cuales han
permitido, por una parte, el desarrollo del modelo de conocimientos y competencias del
profesor de matemáticas (CCDM) propuesto por dicho enfoque, y por otra parte, han
permitido poner a prueba dicho modelo de CCDM en situaciones empíricas. En diferentes
investigaciones y contextos de formación, se han diseñado e implementado ciclos formativos
para que los profesores (o futuros profesores) desarrollen las competencias del modelo
CCDM y aprendan los conocimientos que se contemplan en él (por ejemplo, Rubio, 2012;
Pochulu, Font y Rodríguez, 2016; Seckel, 2016). Se trata de ciclos formativos en los que se
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 86
pretende enseñar a los participantes algunos de (o todos) los tipos de análisis didáctico
contemplados en el modelo de análisis didáctico propuestos por el EOS (Font, Planas y
Godino, 2010; Pino-Fan, Assis y Castro, 2015), ya que se supone que realizar estos tipos de
análisis didácticos permite desarrollar la competencia clave de este modelo, la competencia
de análisis e intervención didáctica, y también el aprendizaje de los diferentes tipos de
conocimientos contemplados en el modelo de conocimientos y competencias del profesor
de matemáticas. Por esta razón, en numerosas ocasiones se han realizado ciclos formativos
(muchos de ellos con un formato de taller) con el objetivo de enseñar el modelo de análisis
didáctico propuesto por el EOS. Se trata de ciclos formativos (talleres) diseñados como
entornos potentes de aprendizaje de manera que: 1) los asistentes tengan una participación
activa a partir del análisis de episodios de aula; y 2) los tipos de análisis que propone dicho
modelo de análisis emerjan de la puesta en común realizada en el gran grupo.
Dichos ciclos formativos (talleres), en el Office of State Assessment (OSA) son
considerados experimentos del desarrollo de las competencias y conocimientos del profesor
(EDCCP) y son un tipo de Teacher Development Experiment (TDE). Según Simon (2000),
los TDE estudian el desarrollo profesional del profesor en formación o en servicio, y se
fundamentan en los principios de los experimentos de enseñanza (Steffe y Thompson, 2000;
Cobb et al. 2003), lo que significa que un equipo de investigadores estudia el desarrollo del
profesor a la vez que lo promueve como parte de un ciclo continuo de análisis e intervención.
Este tipo de investigaciones también contemplan el estudio de casos.
En los diferentes talleres para profesores o futuros profesores de matemáticas
implementados (EDCCP) con el objetivo acabado de comentar −dos de las cuales están
descritos en Rubio (2012) y Seckel (2016) −, se han observado algunas regularidades que se
formulan de la siguiente manera:
Los profesores o futuros profesores, cuando tienen que opinar (sin una pauta
previamente dada) sobre un episodio de aula implementado por otro profesor, expresan
comentarios en los que se pueden hallar aspectos de descripción y/o explicación y/o
valoración. Las opiniones de estos profesores se pueden considerar evidencias de algunas de
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 87
las seis facetas (epistémica, cognitiva, ecológica, interaccional, mediacional y emocional)
del modelo del conocimiento didáctico-matemático (CCDM) del profesor de matemáticas
(una parte del CCDM). Cuando las opiniones son claramente valorativas, se organizan de
manera implícita o explícita mediante algunos indicadores de los componentes de los
criterios de idoneidad didáctica (otro componente del modelo CCDM) propuestos por el EOS
(idoneidad epistémica, mediacional, ecológica, emocional, interaccional y cognitiva).
La valoración positiva de estos indicadores se basa en la suposición implícita o
explícita de que hay determinadas tendencias sobre la enseñanza de las matemáticas que
indican cómo debe ser una enseñanza de las matemáticas de calidad. Estas tendencias
(Guzmán, 2007) se relacionan con el modelo CCDM, ya que ellas son la base para proponer
algunos de los criterios de idoneidad didáctica. Por esta razón, para esta investigación, se ha
planteado organizar un grupo de trabajo colaborativo para desarrollar la reflexión de los
participantes asumiendo que, en una primera fase, no era necesario dar herramientas teóricas
a priori para guiar su reflexión, pues se esperaba que se iban a cumplir las cuatro
regularidades señaladas. Dado que en la primera fase se generaron muchos de los
componentes y descriptores de los criterios, en la segunda fase se pasó a dar herramientas
para pautar la reflexión, básicamente en forma de lectura de artículos previos o bien por una
lectura hecha directamente en la sesión del grupo. En una tercera fase se aplicó la pauta a la
clase de uno de los asistentes y se observó que muchos criterios no se cumplían. En una
cuarta fase se valoraron clases con esta pauta. En una quinta fase se diseñó una clase
siguiendo la pauta. Finalmente se implementó la clase diseñada y se realizó su valoración
aplicando la pauta.
La comunicación
Una vez asumido el modelo de análisis didáctico propuesto por el EOS para el análisis
del proceso de instrucción tal como se ha explicado anteriormente, se vio la necesidad, dadas
las características de esta investigación, de complementarlo con análisis de aspectos
comunicativos usando el modelo de Brendefur y Frykholm (2000), el cual destaca la
comunicación unidireccional, contributiva, reflexiva e instructiva.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 88
Inicialmente se abordó el concepto de comunicación desde diversos autores, para
asumir para este proyecto: la comunicación es una interacción social mediada por el lenguaje
y donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse entender. Luego se mencionaron
algunos modelos de comunicación de acuerdo con la evolución histórica del concepto,
modelos sistémico, lineal y orquestal. Posteriormente se planteó una de muchas
clasificaciones de la comunicación, tomada de Niño (1998, p41, 42). A continuación se trató
la relación entre semiótica y comunicación, estudiando la semiótica desde diversos autores.
También dentro del aula se abordaron aspectos como el control de la clase, el contrato
didáctico, las normas sociomatemáticas y el discurso matemático como comunicación.
Finalmente se estudiaron los modos de comunicación desde el punto de vista de Brendefur
y Frykholm (2000).
La comunicación es una temática relativamente nueva en educación matemática, que
pocos pueden definir con claridad. La palabra comunicación entendida como la acción de
comunicar, viene del latín comunis, común, hacer común (Niño, 1998), y se puede definir
de múltiples formas: Menezes (1999) plantea que ¨comunicar es una forma de interacción
social entre individuos y significa compartir¨; por su parte para Ponte (1997) ¨la
comunicación se entiende como la interacción entre los sujetos que hay en una clase,
empleando una lengua propia¨; igualmente Jiménez (2011) define la comunicación como ¨la
acción de tornar algo común para obtener un significado, o sea, un proceso que posibilita la
comprensión mutua y el establecimiento de relaciones entre individuos o grupos¨, para
Vigotsky (1995) ¨la comunicación constituye un proceso complejo y bidireccional, que se
da en el marco de relaciones, se expresa a través del lenguaje y regula el comportamiento
humano tanto en el plano individual como social¨, también se puede definir como ¨conjunto
de elementos en interacción en donde toda modificación de uno de ellos afecta las relaciones
entre los otros elementos¨ (Marc y Picard, 1992, p 39).
En un marco en donde la actividad del docente busca el desarrollo cognitivo del
estudiante, ¨la comunicación es una negociación de significados a través de la cual se
construye el conocimiento compartido en el aula¨ (Porlán, 1995, p 100). El criterio de
comunicación asumido por PISA de una propuesta de Niss (1999) es que la comunicación
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 89
se entiende como un proceso en que la persona debe entender y hacerse entender en forma
oral o escrita. Para este proyecto y muy de acuerdo con Vygotsky (1995), Menezes (1999),
Jiménez (2011) y PISA, se entiende la comunicación como una interacción social mediada
por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto es entender y hacerse entender.
Algunos modelos explicativos de la comunicación.
De acuerdo con del devenir histórico como se fue dando la comunicación, se fueron
planteando unos modelos que pretendieron explicar sus principales características. Por ello
a continuación se describen: el modelo sistémico, el modelo lineal y el modelo orquestal.
Modelo Sistémico (Modelo circular o retroactivo). Fue propuesto por Norbert Winer
en donde utiliza el principio de feed-back aplicado a un proyecto de cibernética y retomado
por Bertalanffy (1950) en la teoría general de sistemas, en la cual se reconocen los procesos
autorreguladores, para ello cuenta con un mecanismo de feed-back o bucle de retroacción,
el cual permite estabilizar el sistema15 ya sea en su forma positiva o negativa.
En otras palabras, estos sistemas permiten la homeóstasis, entendida como la tendencia
del sistema a adaptarse a nuevas condiciones y mantener el equilibrio a pesar de éstas. La
comunicación vista desde este modelo implica que se asume como un conjunto de sistemas
que se interrelacionan dinámicamente de forma intersubjetiva e intrasubjetiva (Poyatos,
1994).
El modelo Lineal o Telegráfico (modelo matemático). La Teoría matemática de la
comunicación fue propuesta por Shanon (1949; cit. Dins Winkin, 1994) que se basa en la
transmisión de contenidos, es decir es un modelo lineal de comunicación donde se destacan
dos protagonistas: el emisor y el receptor, es un modelo unidireccional, es un proceso
informativo en un solo sentido que como lo menciona Galeano (sin fecha), el modelo se
aplica para cualquier mensaje independiente de su significación, es decir permite identificar
15 Dada la diversidad de acepciones acerca del concepto de sistema, para el estudio se asume sistema
como ¨un complejo de elementos en interacción" (Bertalanffy, 1950, p 31; cit. Dins Winkin, 1981/1994: 15).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 90
la cantidad de información de un mensaje dependiendo de la capacidad del medio, se mide
la velocidad de transmisión de un mensaje pudiendo ser disminuida por el ruido, su esquema
está compuesto por cinco elementos: una fuente, un transmisor, un canal, un receptor, un
destino, tiene en cuenta el ruido que causa una perturbación.
Modelo Orquestal de comunicación. Fue propuesto por un grupo de investigadores
de diferentes campos (antropología, sociología, sicología, entre otros) a partir de la
observación del comportamiento del ser humano, en oposición al modelo de Shanon y de
acuerdo con los criterios de Bateson y Ruesch (1968), basados en los principios de la teoría
sistémica, asumiendo el proceso comunicativo con alto índice de complejidad y de múltiples
contextos.
Su nombre se deriva de su mejor representación que sería la imagen de una orquesta
en funcionamiento, pues allí se ve una buena correspondencia entre los objetos y los
conceptos, asumiendo la comunicación como un intercambio o puesta en común (Winkin,
1994).
La comunicación es un sistema abierto y como tal cumple tres principios básicos: el
primero es el principio de totalidad, el cual se resume en la afirmación el todo es algo más
que la suma de las partes, es decir que el todo posee características que no poseen las partes
tomadas por separado. Luego viene el principio de la causalidad circular, donde cada parte
del sistema forma parte de acciones y retroacciones, implicándose unas a otras. El tercero es
el principio de regulación, en donde se aclara que la comunicación no puede existir sino está
basada en unas normas o reglas, las cuales permiten el equilibrio del sistema. (Marc y Picard,
1992).
Clases de comunicación.
A lo largo del siglo XX, la clasificación de la comunicación en verbal y no verbal,
aunque ambigua es la más usual. La información verbal es considerada como fundamental
en los procesos comunicativos, permite identificar elementos e intenciones que de otra forma
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 91
no podrían ser detectados. Sin embargo la comunicación no verbal o lenguaje corporal, se
irradia automática e instintivamente en el sistema nervioso simpático y parasimpático, en un
dicho popular, un gesto vale más que mil palabras, se cree que allí se plasma la importancia
que genera en la comunicación, este tipo de información. Esta forma de comunicación se
muestra según Keidar (2005) por su postura, expresiones faciales, movimiento del cuerpo,
uso del espacio, contacto físico, ambiente, paralenguaje, apariencia externa y vestido. Estos
aspectos deben ser tomados en cuenta por un buen comunicador.
Hay una diversidad de formas de clasificar la comunicación, de acuerdo a distintos
criterios y autores. A continuación, se presenta una clasificación tomada de Niño (1998), que
ayuda a comprender algunas tipologías de la comunicación.
Tabla 7. Clases de comunicación según criterios varios.
Criterio Tipo Caracterización
Participación del
emisor y
destinatario
Recíproca Cambio continuo de roles entre emisor y destinatario.
Unilateral Se desarrolla en una dirección, no hay cambio de rol
Emisor y el
destinatario
Interpersonal Interrelación de persona a persona, casi siempre mediante
el lenguaje oral.
Colectiva Cuando el destinatario es una colectividad, el emisor puede
ser una persona o institución.
Código
Lingüística El medio es el lenguaje natural apoyado por los códigos
paralinguísticos.
Extralinguística Empleo de códigos distintos al lenguaje
Mensaje Privada Es cerrada, no trasciende el ámbito personal
Pública Es abierta, se dirige a un público.
Estilo Informal Espontánea y libre, sin sujeción a patrones.
Formal Se sujeta a patrones o exigencias, fuera de las del código.
Radio de acción Interna No trasciende a la comunidad o institución.
Externa Es abierta, llega a la comunidad o institución.
Naturaleza del
canal
Oral Vocal-auditiva
Audio-visual Impresiona el oído y la vista
Visual Sólo impresiona la vista
Extensión del canal
Directa Implica presencialidad, se da por canales simples
Indirecta Hay que utilizar canales complejos, implican cadenas de
medios.
Dirección Horizontal Entre miembros de un mismo rango
Vertical Personas de distinto rango, mayor a menor o lo contrario. Fuente: Niño (1998).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 92
Semiótica y comunicación.
Semiótica. Sobre el concepto de semiótica no existe una unificación de criterios de si
es ciencia o no, ni de la utilidad que brinda a otras disciplinas ni tampoco sobre si debe
llamarse semiótica o semiología, ya que la denominación semiótica inicialmente se utilizó
en Estados Unidos y el de semiología especialmente en Francia, pero hoy día parece primar
el de semiótica.
La semiótica viene enfocada hacia la medicina desde la escuela griega de Hipócrates,
donde se interpretaban los signos como indicios, señas; sin embargo, fue Peirce en Estados
Unidos hacia 1860 quien realmente le dio una codificación. Su pretensión fue construir una
ciencia formal de los signos que afectara todo el ámbito humano, ya que su concepción era
que todo es signo, pero independiente de la lingüística. En Francia surge la semiología con
Saussure, quien la plantea en su Curso de Lingüística General, optando por una posición
contraria a la de Peirce. Hay que aclarar que la semiótica es más general que la lingüística,
pues mientras la primera hace alusión a cualquier acción comunicativa, la segunda se centra
en los principios que rigen las lenguas naturales.
Los signos. Tampoco hay unicidad de criterios respecto al concepto de signo, por lo
anterior presento los puntos de vista de Peirce y de Saussure que son los autores que
trabajaron el concepto inicialmente, al igual que Piaget y Vygotsky que son ampliamente
reconocidos en el ámbito pedagógico.
Peirce planteó una definición muy utilizada de signo como “que es algo que está, para
alguien, en el lugar de otra cosa en algún aspecto o disposición” (Peirce, 1974, p 22). Para
Peirce el ser humano percibe los signos de las cosas no las cosas, pues piensa y habla a través
de signos; la forma de interpretar los signos es a través de otros signos manteniendo de esta
manera una iteración recursiva infinita. Para él los hombres se comunican por medio de
signos lo cual lo considera muy práctico, ¨la comunicación humana no se basa en una
presencia inmediata de las cosas, sino una referencia mediata o remota a una realidad por
medio de signos¨ (Peirce, 1974, p 23), es decir las referencias de las que habla tratan sobre
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 93
otros signos de esa realidad, pero no a ella misma. Determina tres componentes para los
signos: el representamen que corresponde al símbolo como tal, el interpretante que es la
entidad o correlación mental que se da respecto al signo utilizado y el fundamento que es la
realidad a la que apunta el signo. Estas componentes se vuelven recursivas ya que cada una
a su vez es un signo y por tanto tiene las tres componentes y así se desarrolla un proceso
infinito (Peirce, 1974), se ilustra en la gráfica.
Figura 8. Mapa Conceptual sobre los signos según Peirce (1974).
Por la complejidad para el análisis de estos signos, se hace usualmente referencia
únicamente a íconos, símbolos e índices. Para Peirce el símbolo es un signo cuya relación
con su fundamento o con la realidad es totalmente arbitraria, aspecto contrario para el ícono,
pues su relación con el ente que se representa es casi natural, es decir tiene una semejanza
con lo que representa. Finalmente, el índice (indicio, señal) depende su existencia de aquello
que lo origina (Peirce, 1974).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 94
La semiótica de Peirce es una teoría de los signos independiente de la lingüística como
ciencia y del lenguaje como fenómeno comunicacional relevante, todos los sistemas de
signos son importantes y el lenguaje hablado es tomado como un caso particular. En general
la teoría semiótica de Peirce plantea algunas dificultades, pues ofrece sistemas fragmentados
que en algunas ocasiones se contradicen. Retoma los temas con terminología diferente y
relacionándolos de maneras distintas.
Saussure que era de origen suizo, diferenciaba esencialmente entre lengua y palabra.
Mientras que la palabra la consideraba de orden subjetivo, la lengua la concebía como “un
sistema de signos que expresan ideas, comparable a la escritura, al alfabeto de los
sordomudos, a los ritos simbólicos, a las formas de cortesía, a las señales militares, etc.”
(Saussure, 1995, p. 33).
Para Saussure la lengua era el principal sistema de signos y fue por ello que planteó
la formación de una nueva ciencia que fuera la teoría de los signos y por ende sería más
general que lingüística; podemos concebir, pues, una ciencia que estudie la vida de los
signos en el seno de la vida social; ésta sería parte de la Psicología social y por consiguiente
de la psicología general; la llamó semiología (del griego semeion, ¨signo¨). Ella enseña en
qué consisten los signos y cuáles son las leyes que los rigen. (Saussure, 1995, p. 33.).
Los signos para Saussure son la unión de dos elementos: el concepto (significado) y
la imagen acústica asociada (significante); propone que cuando alguien habla en una
lengua desconocida, parece que se estuviéra oyendo una serie de sonidos sin significado,
que no es posible comprender y por ende analizar, pero si por el contrario se sabe lo que
se habla y se pueden atribuir significados, se tendrán signos con significado (Saussure,
1995, p 145). Lo anterior implica que el signo posee significado cuando está en un contexto
y en relación con otros signos, o sea es un elemento de un sistema. Las ideas de Saussure
fueron continuadas por Hjelmslev (1969) y luego por Eco (1976), entre otros.
La semiótica de Vygotsky surge desde el enfoque de la teoría marxista y en el
tratamiento del pensamiento y su desarrollo. Para Vygotsky (1988), el signo sirve de
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 95
mediación entre el individuo y su entorno, es decir permite pasar de lo intersicológico lo cual
se desarrolla entre personas a lo intrasicológico que permite su internalización. Afirma que
el gesto va dirigido inicialmente hacia alguien y luego hacia sí mismo.
Vygotsky al igual que Peirce adoptó una ontología realista, rompió el esquema
tradicional del idealismo y el racionalismo, el signo es asumido como un medio de
transformación de las funciones psíquicas del individuo.
Respecto de los signos Vygotsky afirmó: ¨En los primeros trabajos ignorábamos que el
significado es propio del signo (...) Partíamos del principio de la constancia del significado
(…)” (Vygotsky, 1991, p. 121).
En cuanto a Piaget se cuestionó sobre el pensamiento como producto del lenguaje,
como consecuencia definió el concepto de función semiótica; y utilizando una terminología
matemática, consideró que el lenguaje era una condición necesaria pero no suficiente para
el pensamiento (Piaget, 1978, p 30), Piaget evidenció la existencia de una inteligencia
práctica antes de la aparición del lenguaje, y define la función semiótica ¨como la habilidad
de representar algo a través de un signo o un símbolo o cualquier objeto¨ (Piaget 1970, p.
45), la cual inicia cuando se logra establecer una diferencia entre significado y significante,
dando la posibilidad de que un solo significante pueda tener varios significados. Piaget siguió
la orientación de Saussure, afirmando que ¨la inteligencia sensoriomotriz se prolonga, a
través del signo, en representación conceptual¨ (Piaget, 1968, p 68-69).
Los códigos. Son grupos de signos organizados para la recepción y emisión de
mensajes regidos por reglas, que se configuran en sistemas de comunicación; los cuales
pueden ser simples cuando manejan una misma clase de signos y complejos cuando se
manejan diferentes tipos de signos. Se presenta la clasificación propuesta por Giraud (1971)
en la tabla 8.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 96
Tabla 8. Clasificación de los códigos propuesta por Giraud
Tipos Clasificación Descripción
Linguísticos Lenguaje natural
o verbal
Código lingüístico formado por signos y reglas propias de
la gramática que se asuma.
Paralinguísticos: Están
en relación con el
lenguaje verbal
Relevos del
lenguaje
Señales que puedan representar los sonidos de la lengua:
escritura alfabética corriente, braile, morse, lenguaje de
mudos.
Los sustitutos del
lenguaje
Signos con los que se pretende sustituir el lenguaje, los
cuales tienen sus propias reglas: escritura ideográfica china,
jeroglíficos, pinturas y las señales que se usen.
Auxiliares del
lenguaje
Pretenden complementar la significación de los signos del
lenguaje como la voz, entonación y expresión corporal,
entre los últimos están:
Kinésico: Utilización de la mímica, como gestos ,
movimientos con las manos, una mirada, etc.
Proxémico: Silencio entre los interlocutores, movimiento
del cuerpo, en general son aportes culturales.
Extralinguísticos:
Autonomía funcional
con respecto al
lenguaje.
Lógicos
Instrumentos significativos de las experiencias humanas
cognitivas, que permiten la interrelación del hombre con el
mundo. Dentro de ellos se encuentran los códigos
científicos o epistemológicos los cuales apoyan la función
del lenguaje natural en pro del conocimiento (origen y
formación). Ej: ∫ f(x)dx
Sociales
Se utilizan para significar toda clase de interacción social y
para el autor se clasifican en: signos de identidad; signos de
cortesía; costumbres, hábitos y utensilios; ritos y reuniones;
modas; juegos y diversiones; patrimonio político y cultural.
Algunos en sí no son códigos, pero asumen este estatus en
la medida en que la cultura les atribuya significación.
Estéticos
Se enfocan a significar la parte estética de la realidad, los
cuales se orientan por la expresividad y la creatividad. Entre
sus géneros se encuentran la literatura, pintura y música. Fuente: Giraud (1971).
La comunicación en el aula de matemáticas.
Distintos autores han estudiado el aula como centro de los procesos de enseñanza y
aprendizaje, en donde resaltan la comunicación como un elemento importante para el logro
exitoso de estos procesos (por ejemplo, Sfard, 2002, 2008; Wood, 1998; Alrø y Skovsmose,
2006; Lampert e Cobb, 2003, Bishop y Goffree, 1986; Ponte y Santos, 1998; Ponte y
Serrazina, 2000; Voigt, 1995; Yackel y Cobb, 1998; Jiménez, 2011; entre otros).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 97
Estos autores consideran la Matemática como un discurso que puede contribuir al
aprendizaje de los estudiantes y el estudio de las regularidades que emergen de ese discurso
del profesor y los alumnos en el aula – Los patrones de comunicación – facilitan la
comprensión de las interacciones que allí ocurren.
Comunicación y tendencias didácticas.
La comunicación en la clase de matemáticas puede ser abordada de diferentes
maneras, dependiendo de la tendencia didáctica asumida para su interpretación, pues cada
una se basa en supuestos epistemológicos diferentes. A continuación, se presenta la
comunicación desde el abordaje constructivista, constructivismo sociocultural e
interaccionismo simbólico.
La comunicación desde la tendencia constructivista. Según Sierpinska (1998), para
Piaget, el aprendizaje necesariamente debe ser activo para que sea efectivo y dependiente de
la maduración biológica. En la teoría Piagetiana el concepto de esquema desempeña un rol
importante, entendido como las estructuras mentales con las que las personas se adaptan
intelectualmente y organizan el ambiente, mediados por los procesos de acomodación y
equilibración.
Los constructivistas consideran el lenguaje como una expresión del pensamiento y
que el aprendizaje de la matemática no se desarrolla a través del lenguaje, a su vez, la
maduración es un pre-requisito para la comunicación (Sierpinska, 1998). El habla del que
aprende es egocéntrica y por ello no es viable el diálogo. Para los constructivistas el discurso
docente es de enseñanza directa y los alumnos no pueden aprender a partir de éste ya que no
están actuando sobre los objetos de conocimiento. Según Sierpinska (1998) desde la
tendencia constructivista no es posible compartir el conocimiento matemático a través de la
comunicación oral, ya sea entre docente –alumno o alumno- alumno. Se concluye que hay
mucha limitación para la comunicación desde esta tendencia.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 98
La comunicación en la tendencia sociocultural. El principal referente de la tendencia
sociocultural es el psicólogo Lev Vygotsky, que basado en las propuestas de Marx, resalta
la importancia de las prácticas sociales en el aprendizaje. Esta tendencia permite un abordaje
diferente sobre la comunicación en el aula de matemáticas, ya que, en contraste con Piaget,
el desarrollo de la persona se asimila como un proceso de enculturación, entendida como el
proceso a través del cual los individuos a lo largo de su vida aprenden los elementos de su
cultura de manera consciente o inconsciente, bajo estructuras formales e informales. Se
enfatiza la construcción del conocimiento como una interacción mediada por diversas
relaciones, pero resaltando que el conocimiento resulta de una acción del sujeto sobre el
objeto de conocimiento.
Para Vygotsky la interacción entre pares o con una persona más experimentada (caso
del tutor o del docente) es un factor importante para obtener aprendizajes significativos. Este
autor define la Zona de desarrollo próximo (ZDP) como la distancia entre el desarrollo real
del individuo y su desarrollo potencial, la cual toma importancia, toda vez que las
interacciones entre pares o con un individuo más experimentado, es el ambiente propicio
para la comunicación. El desarrollo en Vygotsky no comprende sólo el desarrollo de las
estructuras cognitivas abstractas, sino también el desarrollo de conceptos, entendidos como
el significado de las palabras a través de las cuales el pensamiento adquiere existencia. Por
lo anterior este autor atribuye mucha importancia a la comunicación oral; resalta la
importancia de los conocimientos previos o conceptos espontáneos entendidos como los
conceptos desarrollados en la cultura a la que el individuo pertenece, los cuales pueden
relacionarse con los conocimientos científicos, transmitidos por la escuela (Vygotsky, 1995).
Otro contraste de Vygotsky con Piaget, es que considera el lenguaje escrito como un
factor importante para el desarrollo del pensamiento, donde el desarrollo del individuo
precede a la comunicación en el lenguaje escrito. Para este autor, aunque el lenguaje escrito
se basa en un sistema de signos escogidos arbitrariamente, es planeado conscientemente y
de carácter voluntario. Mientras que para Piaget no es adecuado enseñar a los niños el
simbolismo matemático, privilegiando sus propias representaciones, Vygotsky considera
que una herramienta importante en el aprendizaje es el uso de símbolos ligados a las prácticas
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 99
culturales (Sierpinska, 1998; Vygotsky, 1993).
En la tendencia sociocultural, el lenguaje no es un obstáculo para la comunicación, es
un instrumento de la misma, pues es un sistema simbólico. Pese a que se valoriza el trabajo
en la zona de desarrollo próximo, Vygotsky considera que los significados de los conceptos
científicos no pueden ser negociados (Bussi, 1998); en el aula se busca el diálogo entre los
saberes previos o espontáneos y los científicos, pero el único considerado negociable es el
espontáneo.
A pesar de que la tendencia sociocultural brinda más posibilidades para la
comunicación que el constructivismo clásico, se presenta dificultad para articular los
conceptos científicos y espontáneos. Para que lo anterior sea posible hay necesidad de
considerar otros elementos que no hacen parte de estos modelos teóricos.
La comunicación en la tendencia interaccionista. En esta tendencia la comunicación se
da de una forma más interactiva que en el caso constructivista radical donde las teorías se
refieren al sujeto que aprende. En Piaget el sujeto actúa sobre los objetos de conocimiento
para construirlos. En Vygotsky, el sujeto que aprende es ubicado social e históricamente en
una cultura, donde también construye su conocimiento, siendo ese contexto sociocultural
importante para su aprendizaje. Ahora bien, si se quiere pensar en focalizar la comunicación
de modo más efectivo, hay que enfocarse en una teoría que le dé más protagonismo a las
interacciones sociales en el aprendizaje.
Las interacciones fueron estudiadas a profundidad por Jerome Bruner, quién desafió
el behaviorismo, paradigma de aprendizaje a comienzos del siglo XX y que aún tiene fuerte
influencia en nuestras aulas. En la teoría de Bruner el aprendizaje es un proceso activo, donde
la persona basada en la estructura cognitiva, es decir en los conocimientos actuales y
anteriores, construye nuevos conceptos. Esta estructura cognitiva permite al sujeto ir más
allá de la información dada. Para este autor el aprendizaje es un proceso que ocurre
internamente y mediado cognitivamente, y no es un producto directo del ambiente, de las
personas o de factores externos al que aprende (Bruner, 1973).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 100
La teoría de Bruner en contraposición con las de Piaget, fue desarrollada con objetivos
educacionales, pues investigó y desarrolló una teoría de la instrucción que sugiere opciones
para la acción del educador (Bruner, 1972). Sin embargo, gran parte del trabajo de Bruner
está ligado con el desarrollo infantil al igual que le teoría piagetiana. Un aspecto que
diferencia las mencionadas teorías es que en el interaccionismo se le concede un rol
preponderante a la cultura, el lenguaje y las técnicas que permiten emerger los medios de
representación, pues entre más rápido una persona tenga acceso a un medio cultural
estimulante más rápido será su desarrollo cognitivo (Marques, 2007).
Bruner propuso tipificar el desarrollo cognitivo en tres etapas: la de respuestas
motoras hasta los 2 años, le de representación icónica de 3 a 9 años, y a partir de los 10
años la etapa de representación simbólica. En la primera etapa el niño representa los
acontecimientos pasados por medio de respuestas motoras adecuadas y aprende a través
de la manipulación de objetos, busca el desarrollo de automatismos. En la segunda etapa
la representación icónica se basa en la organización visual de percepciones e imágenes,
el niño es capaz de reproducir los objetos, pero es totalmente dependiente de la memoria
visual, concreta y específica. La tercera etapa, la representación simbólica, es la forma
más elaborada de la representación de la realidad, el niño lo hace a través de un lenguaje
simbólico de carácter abstracto. En esta etapa la persona es capaz de hacer una lectura
de la realidad y de transformarla (Marques, 2007). Lo que llama la atención es que el
paso por estas etapas puede ser acelerado mediante la inmersión del sujeto en un medio
cultural y lingüístico rico e interesante; también se destaca la importancia que se le asigna
a la estructura previa como factor esencial en el aprendizaje.
Según Sierpinska (1998), el interaccionismo da prioridad al lenguaje y a la interacción
individuo-cultura; el origen y la validación del conocimiento no está en la observación
objetiva del mundo, como piensan los empiristas, o en la racionalidad innata, como dicen
los racionalistas, o en las estructuras lógico-matemáticas construidas a través de una
secuencia de estadios de desarrollo, como piensan los constructivistas, pero si en el
lenguaje, pues el conocimiento tiene un carácter discursivo. El lenguaje es un instrumento
de comunicación, más no es la comunicación de pensamientos. El profesor de matemáticas,
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 101
al abordar un concepto no está comunicándolo a los alumnos, éstos igualmente no están
comunicando conceptos sociales, histórico y culturalmente construidos.
La comunicación vista desde el ángulo interaccionista está asociada a la escuela de
filosofía del lenguaje cuyos representantes son Wittgenstein, Austin, Searle, Grice y sus
seguidores. No existe transmisión de conocimiento porque éste no está en la mente del
profesor. En el diálogo entre el profesor y el alumno en el aula surge una interacción y el
conocimiento matemático surge de ella. El conocimiento es construido a través de las
palabras, pues son las que indican la acción de los participantes y el tipo de conocimiento
depende de la clase de interacción que se dé, pues el significado está en el discurso. El
interaccionismo ve la comunicación como precedente y preparando el terreno para la
adquisición del lenguaje (Sierpinska, 1998).
Comunicación y control del aula.
Para Ponte et al. (2007) la comunicación matemática puede ser abordada desde tres
enfoques: como medio de control, como objetivo curricular y para promover aprendizajes.
La comunicación matemática como medio de control puede enfocarse de diferentes
maneras, pues es a través de la comunicación, de forma explícita o implícita, como el
profesor mantiene o no el control de la situación de clase, para poder percibir el avance o
las dificultades de los estudiantes. El discurso del profesor se entiende como una práctica
social, en donde utiliza un sistema lingüístico como medio de comunicación.
En la segunda perspectiva la comunicación constituye un objetivo curricular de la
matemática, no todos los profesores valoran este aspecto de la misma forma, algunos dan
más importancia a la comunicación oral y otros a la comunicación escrita.
En cuanto a la última perspectiva, la comunicación constituye un medio para
promover aprendizajes de la matemática, ya que la construcción de significados
matemáticos evoluciona por etapas sucesivas, reguladas por el profesor. Sin embargo, para
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 102
que esto suceda, el alumno debe sentirse en libertad de intervenir y también saberse
autorregular para intervenir adecuadamente.
Por medio de preguntas el profesor controla el proceso de comunicación en el aula de
matemáticas. En casos estudiados por Ponte et al (2007), pudo identificar diferentes
aspectos donde se resalta el control de la comunicación realizada por el profesor. Hay casos
en los cuales el docente privilegia el diálogo con sus estudiantes permitiendo la explicación
de sus raciocinios, lo cual genera un ambiente positivo y agradable de clase, sin que el
profesor pierda el control de la clase; en otros casos se hace explicación temática, donde
el lenguaje es escogido cuidadosamente para no generar indisciplina; otra estrategia
utilizada por los docentes para controlar situaciones de indisciplina es mirar a los
estudiantes fijamente sin decir nada para que reduzcan el ruido a un nivel aceptable;
finalmente presenta casos donde el profesor identifica reglas explícitas del contrato
didáctico, por ejemplo, por norma el estudiante tiene que hablar, y va colocando preguntas
para que los alumnos lleguen a donde se quiere.
El control de la comunicación en el aula por parte del profesor no implica que éste
esté interviniendo todo el tiempo. Implica que el profesor constituye un ambiente, en donde
los estudiantes saben que pueden y no pueden hacer (Ponte et al, 2007), lo cual implica
que la clase se desarrolla de forma natural.
En general para Ponte et al (2007), los profesores plantean la necesidad de controlar
lo que pasa en el aula, sin perder de vista que el ambiente de clase debe ser agradable, lo
cual permite que los estudiantes se sientan cómodos de tal manera que puedan participar y
plantear sus dudas.
Contrato didáctico, normas sociomatemáticas y comunicación.
El aula y en especial el aula de matemáticas es un lugar en donde ocurren complejas
interacciones entre profesor y alumnos, la comunicación es uno de los elementos
fundamentales de ese medio (Alrø y Skovsmose, 2006).
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 103
El contrato didáctico establecido es uno de esos elementos decisivos para validar o no
las diferentes prácticas de comunicación en el aula, el cual es comprendido como el conjunto
de comportamientos del profesor que es esperado por los alumnos y el conjunto de
comportamientos de los alumnos que es esperado por el profesor (Brousseau, 1988). Este
contrato es un conjunto de reglas especialmente implícitas, las cuales deben ser validadas
por cada una de las partes.
La noción de contrato pedagógico establecido entre alumno y profesor con duración
de un año, no se refiere a un conocimiento específico, se basa en la premisa de que el
profesor está allí para enseñar algo y el estudiante para aprender ese algo, es decir, el uno
representa el conocimiento para el otro, pues el conocimiento es el que legitima la relación
(Filloux, 1974).
Es a partir de las ideas de Rousseau y Filloux, que Brousseau (1991) desarrolla la
noción de contrato didáctico, dándole relevancia al conocimiento, pues afirma que con
cada nuevo conocimiento el contrato didáctico es renovado, pero este aspecto en la
mayoría de los casos pasa inadvertido. Adicionalmente las reglas del contrato didáctico se
hacen evidentes cuando éste es trasgredido por alguno de los componentes de la relación
didáctica. La comunicación oral entre profesor y estudiante es un aspecto que puede validar
o no el contrato didáctico (Medeiros, 1999).
Para interpretar las interacciones en el aula de matemáticas, una noción importante
además del contrato didáctico son las normas sociomatemáticas, las cuales difieren de las
normas sociales en que son específicas de los aspectos matemáticos de las actividades de
los alumnos, por ejemplo, lo que es considerado matemáticamente diferente,
matemáticamente sofisticado, matemáticamente eficaz y matemáticamente elegante
(Yackel e Cobb, 1996). La diferencia matemática se refiere a un modo diferente de
solucionar una situación problémica, es decir se puede ver que las matemáticas son
interactivamente construidas.
En las dos nociones, de contrato didáctico y normas sociomatemáticas, el profesor
asume un papel central. Cuando el profesor cambia las reglas del contrato didáctico,
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 104
implica una pérdida de significado en el concepto que se está trabajando (Brousseau,
1986). El autor da nombre a esas rupturas: efecto Topaze, efecto Pigmalion, efecto
Jourdain y el uso abusivo de analogías; éstas se dan cuando el profesor devuelve al alumno
la responsabilidad por la construcción del conocimiento.
Comunicación y discurso matemático.
La matemática puede ser interpretada como una forma de comunicación, una forma
de discurso, el cual es un indicador del aprendizaje de la matemática; por lo anterior, se
asume que el aprendizaje de la persona se origina en la comunicación con otros, donde
surge la necesidad de adaptar el modo discursivo al de otras personas (Sfard, 2008). Para
esta autora existe más de un tipo de comunicación que puede ser considerada como
matemática. Por ello existe la necesidad de considerar diferentes tipos de discurso
matemático especialmente considerando el discurso del diario vivir, el de la escuela y el
de los matemáticos profesionales (Rittenhouse, 1998).
Otra propiedad importante a considerar en el discurso matemático es la mediación
visual, la cual lo distingue de otros tipos de comunicación. La mediación visual ocurre a
través de herramientas mediadoras especiales, es decir, son aquellas con las cuales las
personas se ayudan para comunicarse, por ejemplo, en el discurso coloquial los mediadores
son imágenes de cosas materiales que existen independientes del discurso, mientras que
los otros discursos matemáticos envuelven artefactos simbólicos creados justamente para
esta forma especial de comunicación, como la notación geométrica o algebraica.
Según Barufi (1999) la herramienta fundamental que tiene el docente para lograr su
objetivo no es una tecnología avanzada, ni un programa interactivo, sino la presencia del
profesor con las características propias de un actor, director de orquesta, pero
especialmente su discurso. Para Lampert y Cobb (2003) el discurso que se da en el aula de
matemáticas puede ser clasificado como: discurso reflexivo, discurso calculatorio,
discurso conceptual, discurso multivocal y revoicing.
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 105
Dado que la enseñanza de las matemáticas se da a través de la comunicación de ideas
matemáticas, hay que tener en cuenta que la forma expedita para realizar esa comunicación
es el lenguaje y en el aula de matemáticas se involucran elementos tanto del lenguaje natural
como del lenguaje matemático (Bonilla, 1987). Así, el lenguaje matemático es definido por
Beyer (1994, p. 59), como “el código empleado por una persona para transmitirle a otras
personas ideas matemáticas”; define igualmente cuatro dimensiones a las cuales pertenecen
los mencionados códigos: dimensión verbal, que está conformada por expresiones del
vocabulario matemático y expresiones propias de la matemática; dimensión simbólica, a la
que pertenecen los símbolos matemáticos, dimensión gráfica y dimensión de materiales.
Estas dimensiones se intersectan con los niveles matemático, metamatemático y
perimatemático. En el nivel matemático se encuentran los mensajes que incluyen objetos
matemáticos. El nivel metamatemático comprende todos los mensajes que se pueden
clasificar en un nivel que hace referencia a la matemática de la matemática. Y el
perimatemático comprende mensajes cuyo objetivo es reforzar los significados de los
mensajes de los niveles previos. Lo anterior expone una forma particular de analizar la
comunicación en la clase de matemáticas.
Modos de comunicación.
Brendefur y Frykholm (2000) hacen énfasis en que para poder acceder al conocimiento
matemático es necesario tener en cuenta las diversas formas de comunicación tanto verbales
como escritas que permiten la interacción en el aula; plantean cuatro categorías generales
para organizar las diferentes perspectivas que se presentan dada la diversidad de
interpretaciones que surgen de documentos como las normas NCTM (1989,1991).
El primer tipo es la comunicación unidireccional, la más usual en nuestras
instituciones educativas, los maestros tienden a ser los protagonistas del proceso
interaccional en el aula, permitiendo mínimas oportunidades de participación a los
estudiantes, formulando preguntas cerradas, haciendo ver las matemáticas como un ente
terminado que debe ser transmitido por el docente y recibido pasivamente por el estudiante
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 106
(Thompson, 1992), es decir el profesor habla y el alumno escucha. Este modo comunicativo
se asociaría con las tendencias de tipo racionalista (Jiménez, 2011) donde se toma el
conocimiento como un conjunto de verdades objetivas que pueden ser transmitidas a otros a
través del lenguaje verbal mediante una adecuada codificación.
La segunda categoría es la Comunicación Contributiva, la cual se caracteriza porque
se privilegia la interacción en el aula de forma participativa, aunque con puntos de discusión
muy someros y de poca o ninguna profundidad, según Cobb et alter (1997) se presenta en
las charlas informales que hacen los estudiantes cuando trabajan temas matemáticos.
Brendefur y Frykholm (2000) plantean que estas conversaciones son generalmente
correctivas ¨Así es como lo haces…¨, en donde el docente se reserva la autonomía para la
validación del conocimiento. También este tipo de comunicación se asociaría con una
tendencia racionalista, donde el docente es el trasmisor del conocimiento con algunas
pequeñas participaciones por parte de los estudiantes.
La tercera es la comunicación reflexiva, que proviene del discurso reflexivo
desarrollado por Cobb et al. (1997) donde relaciona el discurso del aula caracterizado por
aproximar la acción a la reflexión, con el desarrollo de competencias matemáticas de los
estudiantes. Se basa en compartir ideas, soluciones, estrategias con los compañeros y con el
docente, pero acá si hay conversaciones matemáticas, las cuales son asumidas como base
para posteriores discusiones, es decir, las acciones de los estudiantes y del docente fruto de
las discusiones son objeto a su vez de discusión. Según Lampert (1990) este tipo de discurso
se presenta cuando los estudiantes comprueban o refutan alguna conjetura planteada por los
compañeros o por el docente. Según Menezes (2004) esta clase de comunicación al igual
que la anterior son dialógicas, resaltando la interacción entre docente y alumnos. La
comunicación reflexiva se asociaría con una tendencia interpretativista (Jiménez, 2011).
La última categoría es la comunicación instructiva, la cual se apoya según Brendefur
y Frykholm (2000) en el trabajo de Steffe e D´Ambrosio (1995). Esta comunicación
contiene las interacciones entre los estudiantes y profesores, pero es algo más, integra las
ideas de los propios estudiantes; busca con las acciones del docente modificar la matemática
Capítulo 2. Referentes de la Investigación 107
de los estudiantes, tanto en modificar el entendimiento matemático de los estudiantes como
en comprender los procesos de pensamiento, fortalezas y debilidades de los mismos. Según
Menezes (2004) las decisiones tomadas por el profesor sobre el desarrollo de las actividades
de enseñanza y aprendizaje son enlazadas con el desarrollo de la comprensión de ideas de
los alumnos a través de la comunicación. Este último tipo de comunicación se enfoca de una
manera diferente que las tres anteriores, mientras que éstas describen lo que el docente y los
alumnos hacen, la comunicación instructiva describe lo que el profesor y los alumnos hacen
para que los primeros tres tipos de comunicación se puedan ver de manera concreta en el
aula de matemáticas. Según Jiménez (2011) este tipo de comunicación se tiene cuando en el
aula se hace mucho más que compartir información, los estudiantes son introducidos en el
discurso matemático.
Figura 9. Tipos de Comunicación según Brendefur y Frykholm (2000).
En el gráfico se quiere expresar lo que Brendefur y Frykholm (2000) plantean acerca
de las cuatro perspectivas, que cada nivel externo incluye las características de los anteriores.
Para analizar el tipo de comunicación que se presenta en una clase de matemáticas hay
que determinar la forma predominante y observando varias clases de un mismo docente se
puede identificar su estilo comunicativo, es decir el que mejor describe la forma de
enseñanza del profesor.
Capítulo 3. Metodología
El propósito de este capítulo es explicitar los aspectos metodológicos de esta
investigación, fases, características metodológicas generales, metodología para cada
objetivo, sujetos investigados, aspectos éticos e instrumentos para la recolección de la
información, y la validez de los instrumentos y del análisis de la información.
Fases de la Investigación
La investigación se diseñó en dos fases. El objetivo de la primera fase fue
problematizar una práctica cotidiana de la UPTC (el modelo de clases) que hasta el
momento no se había considerado especialmente problemática. El objetivo de la segunda
fase fue reflexionar sobre esta manera de dar las clases y estudiar la posibilidad de
(re)significarlas (Jiménez, 2002); las dos fases se retroalimentan, la una a la otra.
Se inició realizando un estudio para caracterizar el modelo didáctico mayoritario
de las clases en la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC. Las evidencias para validar
este trabajo se obtuvieron de cuestionarios aplicados a los profesores y entrevistas.
Posteriormente, se seleccionó un grupo de dos profesores de la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC, el cual se convirtió en el foco de la investigación que se
propuso y con los que se hizo un estudio de casos.
El siguiente aspecto fue conseguir problematizar (y/o modificar) las prácticas y los
patrones de interacción comunicativa en los profesores que participaron en el estudio de
caso. Para ello, se realizó un análisis de clases de los docentes seleccionados y se organizó
un grupo de trabajo colaborativo, que permitió reflexionar sobre sus clases y a partir de
allí mejorar.
Por último, se buscaron evidencias para caracterizar la evolución de las prácticas
docentes de los profesores estudiados, una vez culminó la etapa del trabajo colaborativo.
Dichas evidencias se obtuvieron de fuentes diferentes como son: sus intervenciones y
producciones en el grupo de trabajo colaborativo que permitió la reflexión sobre su
propia práctica; y el análisis de algunas clases posteriores al trabajo colaborativo.
Capítulo 3. Metodología 109
Opciones Metodológicas
A continuación, se hace referencia al paradigma que fue asumido para la
investigación, el enfoque mixto, con predominio cualitativo, el cual fue descriptivo
interpretativo.
Dado que los fenómenos y problemas que enfrentan las ciencias sociales y humanas
son cada vez más complejos y diversos, se ha visto la necesidad de utilizar un enfoque
mixto de investigación (Morse, en Tashakkori y Teddlie, 2003). El método mixto logra
una perspectiva más amplia y profunda de la situación a estudiar, facilitando una mejor
exploración y explotación de los datos (Hernández, Fernández y Baptista, 2014).
Adicionalmente Creswell (2003, en Campos, 2009, p. 34) menciona que “un
estudio de método mixto incluye la recolección y el análisis de datos tanto cualitativos
como cuantitativos en un solo estudio, en el cual los datos se recogen concurrente o
secuencialmente, se dan según cierta prioridad o dominancia”. Para esta investigación se
utilizó un diseño anidado o incrustado concurrente de modelo dominante (Hernández,
Fernández y Baptista, 2014), el modelo dominante es el interpretativo por lo cual se
dedica a su estudio la siguiente sección.
El asumir un determinado paradigma de investigación no es gratuito, ni a la ligera,
ya que el problema de investigación y el paradigma son interdependientes (Strauss y
Corbin, 1990) y lo primero que debe buscar el investigador es una armonización entre
ellos de acuerdo con su visión investigadora.
El escoger el paradigma interpretativo tiene que ver con la temática de estudio, con
el tipo de preguntas que se pretendan responder y con la plena conciencia de la
importancia de este paradigma para la investigación que se pretende hacer; éste permite
un estudio sistemático de una actividad específica, un programa, acontecimiento, una
persona un proceso, una institución o grupo social (Merriam, 1988), pues la pretensión
es conocer la realidad como es vista por los individuos que en ella intervienen. Según
Erickson (1986) procura develar las formas específicas según las cuales las acciones de
las personas se desarrollan y confluyen consensuadamente a la acción social, en el caso
Capítulo 3. Metodología 110
del aula de matemáticas, hay que descubrir de qué manera las decisiones y acciones de
cada participante como miembro del grupo configuran un ambiente de aprendizaje, pues
lo que hay que estudiar es el sentido que da la relación de unos con otros y sus
conformaciones sociales.
El enfoque interpretativo da realce a la explicación y comprensión global de las
situaciones, al igual que la importancia que toma la intersubjetividad fruto de la
interacción de múltiples actores sociales entre los cuales se encuentra el investigador, o
sea que se está de acuerdo con un enfoque relativista, en donde a partir de la interacción
entre el investigador y el fenómeno observado, son construidos los resultados de
investigación (Guba y Lincoln, 1998). El paradigma interpretativo está inserto dentro de
la investigación cualitativa, acerca de la cual Bogdan y Biklen (1999) plantean su carácter
descriptivo, donde se parte de los datos no de los supuestos, se da importancia al proceso
de investigación y a los significados, los cuales no son intrínsecos a las situaciones sino
a una construcción social (Blumer, 1969).
Para Woods (1999) el abordaje del enfoque interpretativo por parte de los
investigadores es considerado una verdadera revolución, ya que es innegable en el
entorno investigativo el aporte de este enfoque y en general del paradigma cualitativo en
la educación; existen ya muchos estudios en donde se analiza el día a día del docente,
cómo realizan sus prácticas, las interpretan y reorganizan, entre las que están: Jiménez
(2002), Menezes (2004), Guimarães (2005), Boavida (2005), Silva (2007), entre otros.
Los tipos de abordaje más comunes dentro del enfoque interpretativo son el análisis
de narrativas y el estudio de casos, el segundo es el escogido para este proyecto. Con el
estudio de caso se pretende el registro y análisis intensivo y global de una determinada
situación empírica (Merriam, 1988; Yin, 1989; Stake, 1994); es característico un buen
nivel de profundidad y de detalle, el contacto directo con las personas y situaciones, pero
sobre todo el carácter dinámico e imprevisible de las situaciones (Silva, 2007).
El estudio de caso se refiere a la indagación de lo que emerge como único de esa
situación particular, contribuyendo a facilitar la comprensión de las situaciones de
análisis (Ponte, 2006). Cuando el objetivo es una situación particular que se pretende
Capítulo 3. Metodología 111
estudiar, se puede denominar estudio de caso intrínseco; cuando el caso es utilizado para
comprender una problemática más amplia, se trata de un estudio de caso instrumental;
cuando el caso está compuesto por varios casos instrumentales, se llama estudio de caso
agregado (Stake, 1994). Para Merriam (1988) los estudios de caso cualitativos se
caracterizan por ser particularistas, descriptivos, heurísticos e inductivos.
Los estudios de caso son particularistas porque centran su atención en una situación
particular, evento, programa o actividad, y son especialmente útiles para analizar cómo
determinados grupos enfrentan problemas particulares; pero el hecho de que el estudio
de caso sea particularista no implica que al esclarecer un problema específico no se pueda
solucionar un problema general. Descriptivo ¨significa que el producto final del estudio
de caso es una descripción rica y completa del fenómeno en estudio¨ (p. 11). Esto tiene
base en la utilización de muchas fuentes de datos que contribuyen para la creación de un
sentido global de la situación. El investigador debe ser abierto a considerar múltiples
posibilidades para dar sentido a lo observado y no analizar unos factores prefijados.
Heurísticos, porque permiten que surjan nuevas relaciones al ayudar al investigador
a comprender algo que se está estudiando, al igual que pueden confirmar lo que se
suponía o conocía, además de la comprensión del problema y el entorno en que surge el
mismo.
Inductivos, porque los conceptos resultan del análisis de los datos ubicados en un
contexto y no de la verificación de hipótesis, es decir, se tiene un enfoque inductivo, lo
cual facilita la interpretación del investigador, que busca integrar todo lo anterior con sus
propias vivencias y experiencias (Ponte, 1994).
Metodología para cada Objetivo
En el capítulo 1 se expusieron los objetivos de esta investigación, para la
consecución de los mismos se utilizaron diferentes metodologías que se detallan a
continuación. Para el O1 se utilizó una triangulación de fuentes, ya que se pudo conseguir
información adecuada para determinar el modelo dominante de clases, de los profesores
estudiados, en la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC (dos cuestionarios a docentes
Capítulo 3. Metodología 112
y una entrevista no estructurada a los mismos). En consonancia con la teoría (capítulo 2,
secciones 2 y 4), se consideró para esta investigación, la clasificación de: modelo
tradicional-tecnológico, cuando la acción de la clase se centra en el docente; y modelo
no tradicional-tecnológico, cuando la acción de la clase se centra en el estudiante. Lo
anterior dada la dificultad de clasificar los patrones de interacción comunicativa y la
comunicación en sí, en alguno de los modelos referidos anteriormente.
Para los objetivos O2, O3 y O4, la metodología en general consistió en el estudio
de caso (Stake, 1994) de los profesores seleccionados. Se trata de estudios de caso
elaborados en un contexto de reflexión sobre las prácticas (en especial sobre los patrones
de interacción comunicativa) en el aula de matemáticas a nivel universitario,
involucrando profesores del programa de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad
Pedagógica y Tecnológica de Colombia, que orientan diferentes asignaturas de
matemáticas en el mismo Programa.
Los estudios de caso de esta investigación son, por una parte, de tipo intrínseco (en
el sentido que es el estudio de una situación particular) y, por otra parte, de tipo
instrumental (el caso es utilizado para comprender una problemática más amplia). De
otro lado, se trata de un estudio de caso agregado, pues corresponde al estudio de varios
casos instrumentales, en donde cada caso particular genera sus propias evidencias, sin
embargo, todos están conformando un mismo proyecto. Se consultaron diferentes
propuestas teóricas y metodológicas para el análisis didáctico, en especial la propuesta
de análisis didáctico de Rico y su grupo, y la propuesta del Enfoque Ontosemiótico de
la Cognición Matemática. Se asumió una posición personal al respecto (Capítulo 2,
Sección 3) y se siguió la propuesta del Enfoque Ontosemiótico.
Así mismo, para alcanzar los objetivos O2, O3 y O4 se realizó el análisis didáctico
de ocho clases videograbadas (cuatro por cada docente del grupo seleccionado y que
conforman este estudio de caso agregado), utilizando el modelo de análisis de clases
elegido. La transcripción de la clase se dividió en diferentes segmentos, los cuales se
analizaron con las herramientas del Enfoque Ontosemiótico y se denominaron
configuraciones didácticas; al respecto, la forma de determinar una configuración es la
realización de una tarea, aunque queda a discreción del investigador la forma de
Capítulo 3. Metodología 113
agrupar las líneas de la transcripción en configuraciones didácticas (Godino, Font,
Wilhelmi y Castro, 2009). Para realizar el análisis didáctico de acuerdo con el EOS
(Font, Planas, Godino, 2010; Pochulu y Font, 2011; Badillo, Figueiras, Font y Martínez,
2013) se plantean cinco niveles de análisis sobre los procesos de instrucción: 1.
Identificación de prácticas matemáticas, 2. Determinación de las configuraciones de
objetos y procesos matemáticos, 3. Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas,
4. Identificación del sistema de normas y metanormas, y 5. Valoración de la idoneidad
didáctica de los procesos de instrucción.
En cuanto a las tablas de indicadores de idoneidad, se aclara que los componentes
e indicadores se tomaron textuales (Godino, 2011); sin embargo, para poder mostrar una
relación entre ellos, se asumió la evaluación de cada indicador, desde el ángulo bivalente
de sí o no. De acuerdo con lo anterior, cada indicador recibió el puntaje de 0% o 100%;
cada componente está compuesta por uno o varios indicadores, por lo cual, la valoración
de la componente es el promedió de sus indicadores. Para la idoneidad, igualmente se
promediaron sus componentes. De la misma manera, desde el Enfoque Ontosemiótico
(Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009),
se plantea el hexágono regular como una forma de observar las diferentes facetas de la
práctica docente. Sin embargo, se aclara que se cambió la manera de mostrar la
información; se trazan tres hexágonos como referencia, el interno representa el 33%, el
medio el 66% y el externo el 100%, pero se pueden tomar valores de 0% a 100%. Lo más
apropiado es aproximarse al 100% en cada una de las idoneidades. Al realizar el análisis
final por idoneidad y de acuerdo con su nivel de logro, se tuvo en cuenta la siguiente
clasificación emergente: aspectos por mejorar, (re)significados y fortalezas. Se
consideran fortalezas del profesor aquellos criterios que estaban inicialmente presentes
dentro de su práctica pedagógica y los siguió manteniendo; un aspecto fue (re)significado
si inicialmente no lo tenía el docente, pero a través del trabajo colaborativo consiguió
desarrollarlo; se tiene un aspecto por mejorar, si inicialmente no estaba presente en sus
prácticas y al finalizar el trabajo colaborativo, sigue sin estarlo.
Por otro lado, como para el análisis didáctico ya se había dividido la clase en
configuraciones didácticas, según el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino,
2010), se realizó el análisis de las interacciones, configuración por configuración. Para lo
Capítulo 3. Metodología 114
anterior, se tomó la transcripción de cada clase y cada línea se fue interpretando y
asumiendo como una acción que representa una intencionalidad comunicativa y de esta
forma fueron emergiendo los diferentes patrones de interacción de cada docente, por
configuración, las cuáles inicialmente se presentan en el análisis de la clase y
posteriormente se tratan y clasifican dentro de los criterios del EOS, por frecuencias,
configuración y tiempo, con el objetivo de identificar los patrones más usuales en el
docente. En la discusión final de cada caso, se hace también una identificación de
patrones de interacción comunicativa, desde clasificaciones planteadas en la teoría (Voigt
(1985), Wood (1995), Peressini y Knuth (1998), Brendefur y Frykholm (2000), Alrø y
Skovsmose (2002), Loska (1998), Schwarz, Dreyfus, Hadas y Hershkowitz (2004), y
Sierpinska (1996)) y como comprobación de características de confrontación con los
patrones emergentes del trabajo.
De la misma manera se trabajó la comunicación, en donde se tomaron
clasificaciones a priori (modelos explicativos de la comunicación, clasificación desde
Niño (1998), clasificación de signos, contrato didáctico, modos de comunicación) con
otras emergentes (que surgen del trabajo). Para estas últimas, igual se dividió la clase en
configuraciones, y de acuerdo con sus características se clasificaron en relación a lo
propuesto por Brendefur y Frykholm (2000), para poder concluir con la clase en general.
Con el análisis didáctico se procuró facilitar la reflexión de los participantes en el
estudio de caso agregado sobre sus prácticas profesionales para su posible mejora. En
este caso la metodología utilizada consistió en la organización del grupo de trabajo
colaborativo con los profesores que participaron en el estudio de caso agregado. Entre
otros aspectos se pretendió:
▪ Hacer conscientes a los docentes sobre “lo qué está sucediendo en sus clases” con
el propósito de que lo familiar se convirtiera en problemático. Esta información se
pudo documentar sistemáticamente a partir del análisis de las videograbaciones de
sus clases.
▪ Comparar “lo que está sucediendo aquí” con “lo que está sucediendo en otros
lugares”, en lo referente a prácticas pedagógicas. El trabajo colaborativo permitió
Capítulo 3. Metodología 115
presentar alternativas a sus clases mostrando otras maneras de explicar lo mismo
que explicaron ellos.
▪ A través del Grupo Colaborativo, dar respaldo a los intentos de planear cambios.
La información ofrecida permite a los docentes discutir sobre la posibilidad de
(re)significar sus prácticas y sus clases
▪ Facilitar la discusión colectiva. Este tipo de diálogo colectivo permite que el
profesor en algunas ocasiones se adhiera al punto de vista de los participantes, y
otras, entrara en confrontación dando argumentos para apoyar o invalidar la
pretensión de validez de sus compañeros. La organización del grupo procuró
conseguir una situación de acción comunicativa, es decir se pretendió una
conversación entre iguales basada en presunciones de validez a fin de alcanzar un
consenso racionalmente motivado. La estrategia metodológica de reflexión dirigida
a profesores se ha utilizado en otras tesis doctorales, aunque con objetivos
diferentes. Por ejemplo, en dos investigaciones sobre concepciones y creencias de
los profesores (Martínez 2003; Ramos, 2006).
Para el desarrollo del trabajo del grupo se procuró generar una relación de equidad,
en donde todos los miembros tuvieran la misma autoridad, la base fue el diálogo y el
respeto por las ideas de los demás. Cada participante podía realizar su lectura de cada
situación, es decir podía hacer su propia contribución basada en el conocimiento, las
dificultades o las dudas. Los participantes deben aprender sobre sí mismos, sobre los
otros y sobre los aspectos del trabajo, sin embargo, no es necesario que todos aprendan
lo mismo, “es la persona la que debe ser valorizada, y no su conocimiento o estado”
(Olson, 1997, p. 21). Se debía generar un clima de seguridad y confianza entre los
miembros del grupo, basados en principios como la honestidad, confianza, compromiso
y respeto (Drake y Basaraba, 1997); brindando oportunidad de compartir experiencias y
un ambiente estimulante, teniendo como objetivo profundizar en el conocimiento o sea
en el desarrollo de las prácticas profesionales de cada uno y haciendo énfasis en sus
patrones de interacción comunicativa.
En general se pretendió que el grupo hiciera una reflexión sobre las clases, teniendo
como eje aquellos aspectos que interferían con la comunicación en la clase. Se procuró
identificar tanto los aspectos facilitadores como los obstáculos de esa comunicación, con
Capítulo 3. Metodología 116
base en el análisis a los docentes, para lo cual el punto de partida fue la identificación de
dificultades por ellos mismos. Entre las actividades que el grupo realizó se tienen:
discusión de temáticas que se consideraron importantes para los miembros del grupo,
análisis de artículos, planificación de clases y tareas, reflexión sobre las prácticas de aula,
especialmente sobre las prácticas comunicativas, y formas de divulgación del trabajo.
Igualmente se quiso que la responsabilidad de las reuniones fuera compartida por todos
los miembros del grupo, en particular se fuera rotando la relatoría. También se hizo un
archivo del grupo con todo el material que se consideró relevante.
Este trabajo colaborativo, pese a que fue idea inicialmente del investigador, tuvo
todas las componentes para ser un trabajo totalmente colaborativo, por lo que cualquier
actividad o decisión fue avalada por todos los miembros del grupo, en el cual se recalca
nuevamente que todos tenían la misma autonomía para colocar propuestas a
consideración para ser consensuadas. En este momento el doctorando aumentó
considerablemente su nivel de implicación ya que era un miembro más del grupo y, en
consecuencia, su observación de la investigación fue claramente de tipo participante. Su
función fue la participación en la primera parte (presentación de los resultados de la
primera fase de la investigación, ejemplos de posibles clases alternativas, etc.) y menor
en la segunda parte del seminario (facilitar la participación y el diálogo en el grupo).
Para el O4 se utilizó una triangulación de fuentes. Por una parte se analizaron sus
intervenciones en el seminario desde una perspectiva hermenéutica − en el sentido que
se hicieron interpretaciones de las interpretaciones que hacen los sujetos investigados (lo
que dicen sobre su práctica profesional). Por otra parte, se analizaron clases de estos
profesores, realizadas después de culminar el trabajo colaborativo.
Sujetos Investigados. Un Estudio de Casos.
Tal como se ha dicho anteriormente, los participantes en la fase inicial de la
investigación fueron los profesores de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC,
mientras que para el resto de la investigación fueron algunos estudios de caso escogidos
entre el grupo de profesores.
Capítulo 3. Metodología 117
La elección. Un trabajo que destaca la colaboración tiene condiciones más
favorables para ser desarrollado por un grupo con un número pequeño de miembros
(Silva, 2007), por lo que se propuso trabajar con dos profesores de la Licenciatura en
Matemáticas. Dado que el proyecto colaborativo es un trabajo exigente, un criterio de
selección fue que los profesores tuvieran vivencias comunes y facilidad para programar
los encuentros, así que el trabajar en la misma escuela (Licenciatura en Matemáticas)
pareció ser un elemento favorable para el desarrollo del proyecto. El otro aspecto
fundamental para considerar en la elección de los profesores, fue que tuvieran la voluntad
de participar en el proyecto, ya que implicaba el desarrollo de tareas adicionales, el
asignar tiempo para el desarrollo de actividades y para las reuniones de trabajo. Por lo
anterior, los participantes escogidos para este estudio fueron los profesores de la
Licenciatura en Matemáticas: Fernando y Juan, que se encuentran vinculados con
carácter ocasional en la UPTC (Tiempos de servicio diversos).
Se obtuvo el consentimiento informado de los participantes de manera que ellos
tuvieran claridad sobre los distintos aspectos del proceso (Anexo 1) y se procuró que el
consenso estuviera presente en todo momento. Los términos iniciales que se tomaron con
los participantes fueron respetados durante el desarrollo de la investigación, al igual que
se resaltó el beneficio compartido del grupo y también para la institución. Se otorgó el
consentimiento para la presencia de cámaras o grabadoras. Se utilizaron pseudónimos
para proteger la identidad de los participantes (Bogdan y Biklen, 2007; Merriam, 1988).
Otro aspecto ético importante es el que tiene que ver con la fidelidad de los datos
obtenidos, se mantuvo la autenticidad de los datos así mostraran resultados contrarios a
lo esperado (Bogdan y Biklen, 2007).
Métodos, instrumentos y procedimientos para la recolección de información
En la investigación cualitativa, el investigador toma una importancia relevante
como mediador, pues en esta clase de investigaciones éste es una persona antes que una
máquina o instrumento (Guba y Lincoln, 1994). Las técnicas que se plantearon
inicialmente para la recolección de información fueron la observación y la entrevista, y
los procedimientos son cuestionarios, entrevistas semi-estructuradas y no estructuradas.
Capítulo 3. Metodología 118
La observación. Esta es una técnica de recolección de datos muy generalizada en
estudios de tipo interpretativo y especialmente es considerada como la mejor para la
recolección de datos en estudios de caso (Bogdan y Biklen, 2007, Merriam, 1988). Según
Ludke y André (1986) la observación permite una buena aproximación entre el
investigador y el fenómeno base de estudio, siendo la forma recomendable para estudiar
los acontecimientos y procesos; facilita que el observador se acerque al punto de vista de
los participantes, ya que va revestido de sus experiencias del contexto en que se desarrolla
la acción. Se resaltan dos extremos de la observación participante: cuando el observador
es totalmente participante; es decir es miembro integrante del grupo observado y cuando
es un espectador. Merriam (1988), de acuerdo con la relación entre el observador con su
observado clasifica la observación participante como: observador como participante y
participante como observador.
En este proyecto se utilizó una observación participante, la que se realizó en
diferentes contextos entre los que están aulas y reuniones. Según la clasificación de
Merriam (1988) el papel del investigador fue de observador como participante, ya que su
participación fue activa dentro del grupo de trabajo colaborativo, y de participante como
observador en lo referente a las aulas, dado que su participación se limitó a la observación
y análisis de las actividades de aula sin participar directamente en las mismas. La forma
de recolección de la información en este paradigma es descriptiva, generalmente basados
en notas de campo y grabaciones de audio y video.
Observaciones de clases de matemáticas. La observación y análisis de las clases
son una forma importante de recolección de datos, en donde el contexto toma relevancia.
En este caso se grabaron 2 clases de cada docente al iniciar el estudio (4 en total), 1 clase
durante el trabajo colaborativo y nuevamente se grabaron 2 clases de cada docente una
vez se culminó el trabajo del grupo colaborativo (4 clases).
La entrevista. Al igual que la observación es muy utilizada en los estudios
cualitativos, en especial cuando se pretende entender el pensamiento humano. Propicia
que el investigador acceda a las perspectivas de otro sujeto, a conocer sus valores y
preferencias, sus actitudes y creencias, le ayudan a entender la visión del mundo de otra
Capítulo 3. Metodología 119
persona especialmente en aspectos que no son directamente observables (Bogdan y
Biklen, 2007; Merriam, 1998). Es útil particularmente cuando se desea hacer un estudio
individualizado de los miembros de un grupo, complementa la información pertinente
para la construcción del historial de cada profesor, permitiendo conocer sus expectativas
frente a la naturaleza de la matemática, a los alumnos, profesión docente, entre otros
aspectos (Goetz y LeComte, 1984). Se pretendió tener acceso a aquellos aspectos de los
docentes que iban a ser objeto de estudio en el caso y que no fueron identificables a través
de la observación o el cuestionario. En la entrevista se precisaron las posiciones
individuales frente a una actividad o hecho, al igual que se pudo hacer un sondeo a
vivencias de la persona, ya sean experiencias positivas o negativas, o momentos
específicos de su vida docente.
Cuestionaros. Se aplicaron dos (2) cuestionarios orientados a docentes al inicio
del proyecto.
Entrevista no estructurada. Se aplicó una al comenzar el proyecto como
complemento a la información recogida en los cuestionarios.
Entrevistas semi-estructuradas. Se realizaron cinco (5), se propusieron dos al
inicio del proyecto, otra dentro del desarrollo del trabajo colaborativo y dos al finalizar
este proceso; se desarrollaron de acuerdo a un guion previamente establecido y fueron
grabadas, para facilitar su posterior transcripción.
Reuniones de trabajo conjunto. Estas reuniones son tal vez la base de todo el
proyecto, se iniciaron en marzo de 2015 y realizaron en general cada 8 o 15 días. Se
fueron analizando y desarrollando las actividades pertinentes como: discusión de
artículos y textos relacionados con la temática de interés, análisis de clases, análisis de
experiencias anteriores, planificación de tareas y actividades, entre otros tópicos. En estas
reuniones se tomaron notas de campo, pero especialmente fueron grabadas, para
posteriormente ser transcritas.
Capítulo 3. Metodología 120
Instrumentos por Objetivos de Investigación.
A continuación, se describen los instrumentos de acuerdo a los objetivos de
investigación.
• Para llevar a cabo la triangulación de fuentes prevista en O1 se tuvieron en cuenta los
siguientes instrumentos.
Cuestionario 1 (anexo 2). Consta de 30 preguntas, es de tipo cerrado. El objetivo
fue identificar la tendencia del modelo pedagógico de los docentes de la Licenciatura en
Matemáticas. Este instrumento fue validado y aplicado por Díaz (2010) y analizado por
el investigador.
Cuestionario 2 (anexo 3). Tiene 38 preguntas, de tipo cerrado. Se trataba de
identificar las concepciones de los docentes de la Licenciatura en Matemáticas acerca de
los objetivos de enseñanza, significado de la temática, importancia que le da el docente
al contexto, como aborda las dificultades en el aprendizaje, las interacciones en el aula,
formas de representación, medios educativos, relación entre la comprensión y la
mecanización, entre otros. Este instrumento fue adaptado de Martínez (2003) el cual lo
validó. Sin embargo, se realizó prueba piloto con dos tesis de maestría en curso, Suárez
(2016) y Vargas (2016).
Entrevista no estructurada con los docentes. Como los cuestionarios se
plantearon de tipo cerrado, el objetivo de la entrevista no estructurada fue ampliar
información, corroborar las respuestas que dieron los docentes y determinar el porqué de
algunas afirmaciones que se plantearon en los dos cuestionarios, especialmente en
aquellas preguntas que apuntaban a la misma información con resultados no tan
congruentes.
• Para la obtención del O2, se tuvieron en cuenta:
Grabación de 2 clases de cada docente para un total de 4 clases, a las cuales se
les realizó su respectiva trascripción (anexos 4-5). A ellas se les efectuó un análisis
didáctico teniendo en cuenta los parámetros del Enfoque Ontosemiótico.
Capítulo 3. Metodología 121
• Para el logro de O3. Se tuvieron en cuenta los instrumentos aplicados para el logro
de O2, y adicionalmente se aplicaron los siguientes instrumentos:
Entrevista semiestructurada 1 (anexo 6). Se aplicó al inicio del trabajo
colaborativo, el objetivo fue identificar aspectos personales de cada docente, disposición
de tiempo, interés en participar en el proyecto, análisis del proyecto (anexo 7),
consentimiento informado y elección de horario de trabajo para el primer semestre.
Entrevista semiestructurada 2 (anexo 8). Se realizó a los 8 días de la anterior
entrevista, se trató de indagar acerca del desempeño profesional de cada docente, de su
concepción sobre la matemática y de la enseñanza de la matemática, haciendo énfasis en
los procesos comunicativos.
• Para O4, se consideraron:
Entrevista semiestructurada 3 (anexo 9). Se llevó a cabo sobre el 60% del
desarrollo del trabajo colaborativo. Se trató sobre lo realizado en el proyecto, el análisis
didáctico de las clases, sobre las prácticas comunicativas y el conocimiento didáctico.
Grabación de clase del docente Fernando. Se hizo al terminar el proyecto. Su
análisis se adicionará en el capítulo (5) de Proyecto Colaborativo.
Entrevista semiestructurada 4 (anexo 10). Se aplicó también al finalizar el
trabajo con el Grupo. Se aplicaron los mismos criterios de la entrevista anterior
adicionando algunos aspectos comunicativos puntuales.
Entrevista semiestructurada 5 (anexo 11). Esta entrevista se realizó al finalizar
el proyecto y una vez se les dio a conocer a cada docente el análisis del caso. Indaga
sobre la opinión general sobre el caso y sobre las categorías.
Grabación de 2 clases de cada docente para un total de 4 clases, una vez finalizó
el trabajo en grupo colaborativo, a las cuales se les realizó su respectiva trascripción
Capítulo 3. Metodología 122
(anexos 12-13). Igualmente, se analizaron teniendo en cuenta los parámetros del Enfoque
Ontosemiótico.
Validez de los instrumentos y del análisis de la Información.
En un proceso investigativo de carácter mixto, es necesario referirse por separado
a cada paradigma en cuanto a validez. En primer lugar, en lo cuantitativo, se aplicaron
algunos instrumentos adaptados de trabajos anteriores, siendo previamente validados
(Díaz, 2010; Martínez, 2003). En general el análisis cuantitativo se limita a extraer
algunas frecuencias que sirven como apoyo a las inferencias que se hacen de tipo
cualitativo. En lo referente al paradigma cualitativo, se tomaron como referencia los
cuatro criterios propuestos por Hernández, Fernández y Baptista (2014), los cuales
pretenden mostrar la veracidad en el proceso de investigación, aclarando que estuvieron
presentes en todo el desarrollo de la investigación:
Credibilidad. Para lograr credibilidad en la investigación, se mantuvo un diálogo
permanente con los participantes en el estudio, lo que permitió determinar que la
información que estaban brindando tenía que ver con la realidad de los docentes, es
decir, ellos la identificaban como válida, al igual que el sentido que se le estaba dando
al análisis. Se contrastó permanentemente lo obtenido en la investigación con el punto
de vista de los docentes.
Transferibilidad. Se refiere a la posibilidad de extender los resultados del
estudio a otras poblaciones. Una vez culminado el estudio, el cual arrojó algunas
conclusiones interesantes, como los patrones de interacción típicos de un docente de
matemáticas, al igual que aspectos de (re)significación de las prácticas profesionales,
las cuales se aclara que son válidas para los participantes del estudio, se deja a libertad
del lector, determinar si es posible transferir los hallazgos a un contexto diferente.
Dependencia. Este criterio se utilizó para identificar la consistencia de los
resultados. Para el proceso de control, el investigador tuvo tres criterios, en primer lugar,
todos los desarrollos y análisis fueron consultados con un experto que es el director de
la tesis, adicionalmente cuando se tuvo la oportunidad, se discutía con otro experto, el
doctor Vicenç Font, quién es el tutor internacional de este trabajo, los cuales sirvieron
Capítulo 3. Metodología 123
de validadores externos. De la misma manera, los resultados y avances se iban
discutiendo con el grupo de trabajo colaborativo, que desempeñó la función de
validador interno. Igualmente se realizaron artículos sobre resultados parciales, los
cuales fueron publicados en revistas indexadas.
Confirmabilidad. Con el propósito de determinar si la información,
interpretación y conclusiones eran pertinentes, se pidió a los expertos y al grupo de
trabajo colaborativo, que examinara y controlara la concordancia entre los datos,
inferencias e interpretaciones realizados por el investigador.
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas
de la UPTC
En este capítulo se presentan los resultados relacionados con el objetivo específico
1. En concreto, para determinar los modelos didácticos dominantes de los profesores de
la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, se estudió un grupo de 13 profesores cuya
dedicación es de tiempo completo en la Licenciatura de Matemáticas (nueve profesores
adscritos directamente a la Licenciatura de Matemáticas, y cinco a la Escuela de Matemáticas
y Estadística de la Facultad de Ciencias). El objetivo fue situar a estos profesores en alguno
de los cuatro modelos de clase contemplados en el marco teórico del capítulo 2. Para ello,
se realizó una triangulación de fuentes (dos cuestionarios y una entrevista no
estructurada). Un primer resultado es que los profesores presentan características de
varios de los modelos estudiados previamente, aunque se puede considerar a uno de ellos
como predominante. Los resultados obtenidos muestran que la mayoría de los profesores
(54%) presentan como modelo predominante el tradicional, seguido del tecnológico”.
Aspectos metodológicos
Tal como se ha explicado en el capítulo 2, en la literatura se encuentran varias de
las clasificaciones de modelos pedagógicos y didácticos de los profesores de
matemáticas. En esta investigación, se consideraron inicialmente las propuestas de Ernest
(1989) (entrenador, tecnólogo, humanista, progresista y crítico) y la de Porlán (1995)
(tradicional, tecnológica, espontaneista e investigativa), la última se complementó
quedando como constructivista, cobijando los enfoques siguientes: constructivista radical
(Piaget), sociocultural (Vygotsky) e interaccionista (Bruner). Se tomó una posición
propia sobre los diferentes modelos que se hallan en la literatura y se seleccionaron como
modelos a priori de referencia los siguientes: tradicional, tecnológico, espontaneista,
constructivista (Constructivismo radical, sociocultural e interaccionista).
Los sujetos investigados fueron un grupo de 13 profesores, cuya dedicación es de
tiempo completo en la Licenciatura de Matemáticas (nueve profesores adscritos
directamente a la Licenciatura de Matemáticas, y cuatro a la Escuela de Matemáticas y
Estadística de la Facultad de Ciencias).
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 125
Se realizó una triangulación de fuentes (dos cuestionarios y una entrevista no
estructurada). Para la recolección de información se aplicaron a estos 13 profesores los
siguientes instrumentos:
Cuestionario 1. Se consideró que una fuente de información relevante para esta
investigación era el cuestionario aplicado por Díaz (2010) a 23 profesores que trabajan
en la Licenciatura en Matemáticas. Las razones para ello, era que los 13 profesores que
son los sujetos-objeto de esta investigación participaron en ella y que, de los cinco
modelos didácticos del profesor considerados en dicho cuestionario, cuatro coinciden
con los que se han seleccionado a priori como modelos de referencia.
Cuestionario 2. Se trata de un cuestionario orientado a determinar si los profesores
tienen en cuenta, en sus procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
determinados aspectos como son los objetivos, contexto, dificultades, entre otros. Las 38
preguntas fueron distribuidas en las siguientes categorías: objetivos (4 preguntas),
significado de la temática (7), importancia del contexto (7), dificultades en el aprendizaje
(2), importancia de los conocimientos previos (3), interrelación entre estudiantes (2),
representación (2), medios educativos (2), operación y su inversa (2), ejercicio y
problema (2), comprensión – mecanización (2) y personal institucional (3). Los
resultados se hallan tabulados en el anexo 3.
Entrevista no estructurada. Se aplicó como complemento a las dos encuestas
anteriores, su objetivo fue ampliar la información suministrada por los profesores en
dichos instrumentos.
Resultados
A continuación, se presentan los resultados obtenidos de la triangulación de los dos
cuestionarios y de las respuestas a la entrevista.
En el Cuestionario Uno, aplicado a 23 profesores por Días (2010), se plantearon 36
preguntas de respuesta múltiple (A, B, C, D y E) relacionadas con los siguientes modelos
didácticos de los profesores: tradicional, tecnológico, espontaneista, pedagogía conceptual y
constructivista. En el anexo 2 se halla la encuesta y su tabulación.
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 126
En esta investigación se ha tomado primero en cuenta el número de respuestas de la
opción A de todas las preguntas del cuestionario (Si está de acuerdo y habitualmente lo
aplica) (ver anexo 2), que se presentan en la tabla 9:
Tabla 9. Los docentes y su clasificación de acuerdo con Díaz (2010).
Fuente: elaboración propia.
De la tabla se puede concluir la siguiente información numérica sobre el tipo de modelo
didáctico dominante en los profesores (lectura por filas):
Ninguno de los 23 profesores tiene tendencia didáctica tradicional. Los profesores 1,
9, 12, 17, 21 y 22 presentan tendencia didáctica tecnológica. Se acercan a la tendencia
espontaneista los docentes 8, 13, 16 y 19. Tendencia hacia la pedagogía conceptual los
docentes 2, 3 y 5. Finalmente los docentes que presentan tendencia constructivista son el 4,
11 y 20. No se puede definir la tendencia didáctica de los profesores 6, 7, 10, 14, 15, 18 y 23.
Es decir, el 26% de los docentes presentan tendencia tecnológica, el 17% tendencia
espontaneista, el 13% tendencia hacia la pedagogía conceptual, el 13% tendencia
constructivista y para el 31% no se puede definir su tendencia, ya que presenta igualdad de
condiciones para varias tendencias o no destaca ninguna tendencia. Se prioriza la tendencia
tecnológica en el 26% de los docentes, aclarando que ninguno mostró una tendencia
exclusiva.
En segundo lugar, se realizó un análisis (pregunta a pregunta) para saber cuántos
profesores habían seleccionado la opción A, a una determinada pregunta, para poder
triangular esta información con la anterior. El primer lugar lo ocupa la pregunta número 5
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 127
con 18 profesores, se trata de una pregunta que permite inferir que el profesor que selecciona
la opción A tiene un modelo tecnológico. El segundo lugar lo ocupa la pregunta 25 con 17
profesores correspondiente al modelo de pedagogía conceptual. En el tercer lugar está la
pregunta 2 con 15 puntos, que vuelve a corresponder al modelo tecnológico (ver anexo 21).
De la triangulación de estos dos datos se infiere que prima la tendencia tecnológica,
cuyas características según la encuesta y la entrevista son: a) la necesidad de planificar
rigurosamente la clase teniendo especial cuidado al proponer los objetivos, considerado
elementos importantes en el currículo, los cuales deben ser planteados jerárquicamente,
planteando primero los conocimientos más concretos y progresivamente hacia lo más
complejo; b) una forma de ejercer control sobre el aprendizaje es analizar las conductas
observables determinadas por los objetivos; c) un estudiante que no realiza correctamente las
tareas propuestas en la clase es porque no tiene interés o voluntad para trabajar, o su
inteligencia está por debajo de lo normal, es decir hay la concepción del aprendizaje
homogenizado, el profesor explica y todos aprenden de la misma manera.
A continuación, en la tabla 10 se presenta una reducción de la información del anexo
3. En particular, se tabulan las preguntas de respuestas positivas más frecuentes. Por ejemplo,
hay cuatro preguntas que pretenden saber qué tipo de objetivos deben conseguirse en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de un determinado contenido matemático (16, 23, 29 y
33). De estas cuatro, las frecuencias fueros respectivamente 7, 4, 6 y 8, por lo cual se tomaron
en la tabla 10 las preguntas 16 y 33. La alta frecuencia de acuerdo con la afirmación 16 (El
propósito de la enseñanza de la derivada es que el estudiante aprenda una técnica que le
permita derivar y aplicar la técnica en la resolución de problemas) indica que el profesor
considera objetivos de tipo instrumental que se pueden asociar tanto al modelo tradicional
como al tecnológico. Lo mismo se infiere de la alta frecuencia de acuerdo con la afirmación
33 (el desarrollar habilidad para solucionar ejercicios sobre derivadas es lo más importante
en la enseñanza de la derivada).
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 128
Tabla 10. Preguntas con mayor frecuencia de respuestas positivas.
Fuente: elaboración propia.
Observación: La numeración de los profesores en la primera columna se hizo de
acuerdo con la misma que tenían en el primer cuestionario, es decir, que el cuarto profesor
de la tabla es el número cuatro de la tabla 9. Las siglas TT indican que la afirmación se
relaciona con el modelo tradicional o tecnológico. La sigla NT indica que la afirmación no
se relaciona con el modelo tradicional ni el tecnológico.
De la información del anexo 3 y la entrevista se concluye:
Objetivos. Hay la tendencia a considerar que la enseñanza de un contenido tiene como
objetivo principal desarrollar habilidad para solucionar ejercicios donde se aplique éste. Con
ello están de acuerdo los docentes 14, 17, 18, 19, 21, 22 y 23, (54%). Dicha consideración
sobre los objetivos del proceso de enseñanza y aprendizaje de un contenido de tipo
instrumental permitió inferir que dichos profesores se ubican en un modelo tradicional o
tecnológico.
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 129
Significado del objeto matemático. Se infiere de la alta frecuencia de las
afirmaciones 5, 24 y 35 que los profesores consideran de manera implícita que “entender o
comprender” el significado de un objeto matemático (la derivada en este caso) es saberlo
aplicar a la resolución de ejercicios y problemas, y que para aprenderlo deben de proponérsele
ejercicios en forma graduada al estudiante. Apoyan esta interpretación los docentes: 10, 14,
17, 18, 21, 22 y 23, (54%). Dicha consideración sobre el significado de los objetos
matemáticos de tipo instrumental (comprender es saber aplicar) permite deducir que dichos
profesores se ubican en un modelo tradicional o tecnológico.
Importancia del contexto. Se asume el trabajar con problemas del contexto solo
como un factor motivador, de acuerdo con ello están los docentes 14, 17, 18, 21, 22 y 23,
(46%). Se cree que el aprendizaje real se da en la escuela, aunque se reconozca que fuera de
ella se dan pequeños aprendizajes, con ello están de acuerdo todos los docentes. Estos
aspectos se corresponden con una tendencia tradicional-tecnológica. Es importante relacionar
la enseñanza de un concepto con los contenidos de otras asignaturas, de acuerdo los docentes
4, 5, 13, 14, 16, 19 y 20, (54%). Este criterio corresponde a una tendencia No tradicional-
tecnológica.
Dificultades en el aprendizaje. Las dificultades en el aprendizaje de una temática se
deben en gran parte a problemas cognitivos, de atención o que no se les facilita aprender
matemáticas a los estudiantes, apoyan este criterio los docentes 10, 14, 17, 18, 21, 22 y 23
(54%). Adicionalmente también se cree que las dificultades de los estudiantes también se
deben a que el profesor presenta fallas en la enseñanza. De acuerdo con este criterio están
todos los docentes. Prima la tendencia tradicional-tecnológica.
Importancia de los conocimientos previos. Se piensa que los conocimientos previos
de un estudiante sobre una temática son un obstáculo para el aprendizaje, según los docentes
10, 14, 17, 18, 22 y 23, (46%), posición tradicional-tecnológica. Mientras que está la posición
contraria, donde se considera importante que el estudiante lance conjeturas e hipótesis sobre
el resultado de un ejercicio o problema. Esta tendencia está respaldada por los docentes 5, 13,
16, 18, 19 y 20, (46%).
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 130
Interrelación entre estudiantes. Se afirma que los estudiantes solucionan mejor un
problema sobre una temática si se les permite intercambiar ideas sobre su resolución, esto lo
creen los docentes 5, 10, 13, 18, 19 y 20, (46%). Está la opción contraria, es preferible que el
estudiante trabaje sólo ya que trabajar en grupo es sólo una pérdida de tiempo y no se obtiene
rendimiento, sugerida por los docentes 14, 16, 17, 18, 21, 22 y 23, (54%), aspecto que es
tradicional-tecnológico.
Representación usada por el estudiante. Está la concepción que es importante que
el estudiante use diferentes tipos de representación de los problemas o situaciones de tal
manera que le ayude a comprender la problemática, tal opción es concebida por los docentes
4, 5, 13, 16, 19 y 20, (46%). Igualmente hay docentes que priorizan el uso de la representación
simbólica o matemática y evita otro tipo de representaciones concretas o gráficas. Esta
posición es relevada por los docentes 10, 14, 17, 18, 21, 22 y 23. Este último enfoque implica
una tendencia tradicional-tecnológica.
Medios educativos. Hay un acuerdo de todos los docentes en reconocer que los
medios educativos facilitan el aprendizaje de los estudiantes, posición no tradicional-
tecnológica.
Estudio de una operación y su inversa simultáneamente. Existe la concepción de
que es importante que se enseñe una operación simultáneamente con su inversa ya que
permite diferenciar claramente las dos operaciones, con ello están de acuerdo los docentes 5
y 20, (15%). Todos los demás opinan que es importante que el estudiante domine primero
una operación y luego si estudie su inversa.
Ejercicio o problema. Los docentes 5, 10, 13, 16, 18, 19 y 20 piensan que para la
enseñanza de una temática es preferible partir de una situación problemática, mientras que el
resto opinan que hay necesidad de ejercitar la operación y si posteriormente colocar los
ejercicios de aplicación. Este último aspecto corresponde a una tendencia tradicional-
tecnológica.
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 131
Comprensión o mecanización. Los docentes 10, 17, 18, 21 y 22 afirman que es
importante que el estudiante aprenda un método para solucionar una operación, aunque por
el momento no lo comprendan, los demás docentes están en una posición contraria, el
estudiante debe comprender lo que está haciendo.
Personal-Institucional. Los docentes 10, 14, 17, 18, 21, 22 y 23 piensan que al
estudiante hay que enseñarle un solo método para solucionar un ejercicio o problema y ese
método se debe exigir al estudiante en las evaluaciones. Tendencia tradicional-tecnológica.
Los demás docentes creen que el estudiante debe tener libertad para utilizar el método
que considere conveniente a la hora de solucionar problemas o ejercicios, es más, los
docentes deben estimularlos para que apliquen sus propios procedimientos.
Se aclara que, de las 38 preguntas planteadas, 23 estaban con un enfoque tradicional-
tecnológico y 15 en la posición contraria. En el siguiente gráfico se presenta la posición de
cada docente frente al número de preguntas con tendencia tradicional-tecnológica.
Figura 10. Relación de los docentes con la tendencia tradicional – tecnológica. Fuente: Datos Cuestionario 1.
Del anterior gráfico se puede concluir que los docentes 4, 14, 16, 17, 18, 22 y 23
tienen una tendencia tradicional-tecnológica, es decir el 54% de los docentes del estudio se
aproximan a una tendencia tradicional-tecnológica. Aunque se vuelve a resaltar que ningún
docente presenta una única tendencia.
0
5
10
15
20
25
4 5 10 13 14 16 17 18 19 20 21 22 23
Frecuen
cia
Docentes
Tendencia Tradicional-Tecnológica
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 132
Otro aspecto que se puede relevar es la relación entre las categorías y la tendencia
tradicional-tecnológica, la cual se muestra en la gráfica:
Figura 11. Relación de las categorías frente a la tendencia tradicional – tecnológica.
Fuentes: Datos Cuestionario 2
En las categorías: objetivos, significado de la temática, importancia del contexto,
dificultades en el aprendizaje, medios educativos, formas de enseñanza de una operación
y su inversa, criterio personal o institucional para solucionar problemas, hacia las cuales
se ve un apoyo mayoritario con un enfoque hacia una tendencia tradicional-tecnológica,
o sea, en el 58% de las categorías la tendencia predominante es la tradicional-tecnológica.
En el resto de las categorías: importancia de los conocimientos previos, la interrelación
entre estudiantes dentro de la clase, la forma de representar situaciones, el plantear
situaciones problémicas para introducir una temática y la relevancia de la comprensión
de los estudiantes en todos los procesos; se ha avanzado hacia metodologías más
modernas.
También es de resaltar que todos los docentes están de acuerdo con las siguientes
aseveraciones: para que el estudiante comprenda el significado de un concepto, se deben
proponer variados problemas que se solucionen con éste; los medios educativos facilitan
el aprendizaje, gran parte de las dificultades que tienen los estudiantes en el aprendizaje
de cualquier temática se debe a fallas en la enseñanza; el aprendizaje real se da en la
escuela, los alumnos aprenden sólo algunos aspectos fuera de la escuela; el solucionar
problemas de la vida diaria es el propósito fundamental de la enseñanza de cualquier
0
20
40
6080
100
120
Frecuen
cia
Categorías
Tendencia Tradicional-Tecnológica
Capítulo 4. Modelos de clase de los profesores de la Licenciatura en Matemáticas 133
concepto. La gran mayoría de las afirmaciones corresponden a una tendencia tradicional-
tecnológica.
Triangulación de información
Para este proceso se tuvieron en cuenta los docentes que presentaron las dos
encuestas. Se muestra en la tabla siguiente la información correspondiente:
Figura 12. Resultados de las dos encuestas
Código del Docente Encuesta Uno Encuesta Dos
4 C NTT
5 PC NTT
10 N TT
13 E NTT
14 N TT
16 E NTT
17 T TT
18 N TT
19 E NTT
20 C NTT
21 T TT
22 T TT
23 N TT Fuente: elaboración propia. C: Constructivismo; PC: Pedagogía Conceptual; N: no define; E: Espontaneista;
T: Tecnológica, NTT: No Tradicional-Tecnológica; TT: Tradicional-Tecnológica.
Se observa que los docentes 17, 21 y 22 que se identificaron inicialmente con
tendencia tecnológica se ratifican en la segunda encuesta con esta tendencia didáctica,
adicionalmente los docentes 10, 14, 18 y 23 que en la primera encuesta no fue posible
identificar su tendencia didáctica, en la segunda se ubicaron con tendencia tradicional-
tecnológica. Es decir, que en definitiva el 54% de los docentes del estudio presentan una
tendencia tradicional-tecnológica. Se aclara que se redujo a 13 el número de docentes,
dado que en el momento del estudio eran los que trabajaban directamente con la
Licenciatura en Matemáticas.
Capítulo 5: Grupo de Trabajo Colaborativo
Uno de los aspectos fundamentales en esta investigación fue el trabajo desarrollado
en el Grupo Colaborativo iniciado el 27 de marzo de 2015, y culminado el 23 de agosto
de 2016; con 25 sesiones de trabajo, motivo por el cual se dedica este capítulo a su
estudio. Inicialmente se abordarán algunos aspectos teóricos sobre el trabajo
colaborativo, luego sobre el Grupo en sí, también acerca de las reflexiones del trabajo
desarrollado, la problemática propuesta para abordar en las reuniones y sobre la
continuidad del trabajo colaborativo.
Trabajo en Contexto Colaborativo
Se inicia por destacar que la colaboración entre investigadores y profesores va
tomando cada vez más importancia como una forma de transformar la educación
(NCTM, 1994); al respecto Ponte (1995) menciona la necesidad existente de cooperación
entre docentes e investigadores; los docentes deben asumir un papel protagónico en el
grupo y dejar de ser sólo ejecutores ya que cuentan con su propia experiencia profesional:
los éxitos, problemas, alegrías y tristezas, y esa es la realidad que se pretende conocer,
comprender y mejorar. El investigar sobre la propia práctica es la mejor forma de
desarrollo profesional, lo cual se considera un privilegio para los docentes participantes
(Ponte, 2002). El objetivo en la conformación de grupos de trabajo colaborativo es
obtener aprendizajes, lo cual se aborda a continuación.
El concepto de aprendizaje colaborativo surge a finales del siglo XX; tiene como
marco teórico el constructivismo sociocultural; considera que para el ser humano es de
su esencia trabajar y aprender juntos, pues todo aprendizaje es social y mediado; ya que
aprender es un proceso dialéctico y dialógico en el que las personas contrastan su punto
de vista con los de otras hasta llegar a un consenso (Zañartu, 2013).
El aprendizaje colaborativo se ha desarrollado desde variados enfoques que buscan
aproximarse a su significado y simultáneamente con los grupos de aprendizaje,
comunidades de aprendizaje, enseñanza entre pares y aprendizaje cooperativo.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 135
Son variados los autores que hablan sobre el aprendizaje colaborativo. Según
Driscoll y Vergara (1977) para que haya aprendizaje colaborativo se debe trabajar en
grupo y cooperar con el logro de un objetivo que individualmente no se podría lograr.
Proponen cinco características del aprendizaje colaborativo: responsabilidad individual,
cada uno es responsable de su desempeño dentro del grupo, visto como individuo;
interdependencia positiva, para lograr una meta en común los miembros del grupo deben
depender unos de otros; habilidades de colaboración, como trabajo en equipo, liderazgo,
solución de conflictos, tienen como meta el logro del objetivo común; interacción
promotora, los miembros del grupo deben interactuar para lograr un clima agradable de
trabajo y buenas relaciones interpersonales, y así poder establecer excelentes estrategias
de aprendizaje; y proceso de grupo donde hay una autorregulación por parte del grupo
que los lleva a reflexionar y evaluar periódicamente para adecuar su efectivo
funcionamiento.
Para Salinas (2000) aprendizaje colaborativo es la adquisición de destrezas y
actitudes producto de la interacción del grupo. Según Panitz (1997) es la construcción de
consensos basados en la cooperación del grupo. En este aprendizaje, los participantes se
comprometen a lograr una meta en común; es el grupo el que decide cómo realizar la
tarea, cómo dividir el trabajo, qué tareas realizar (Gros, 2000).
Algunos autores tienden a asumir estos dos conceptos como sinónimos, pero
existen marcadas diferencias entre los mismos, iniciando porque el aprendizaje
cooperativo responde al enfoque constructivista clásico (piagetiano) y el colaborativo, al
enfoque socio cultural.
Como lo manifiesta Gros (2000) el aprendizaje cooperativo necesita de una
división de tareas entre los miembros del grupo, donde cada uno responde por su parte y
posteriormente hay socialización del trabajo realizado individualmente. Contrasta con el
aprendizaje competitivo donde cada estudiante para lograr sus objetivos particulares
trabaja en contra del resto del grupo. En cuanto a la responsabilidad del aprendizaje; el
cooperativo es estructurado por el profesor, el colaborativo recae básicamente en el
estudiante.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 136
Otro aspecto por el que se diferencian estos dos aprendizajes es por el tipo de
conocimiento que manejan (Gómez y Álvarez, 2011). Hay un conocimiento fundamental
representado por creencias que socialmente son aceptadas: gramática, ortografía,
matemáticas, historia, entre otros. El conocimiento no fundamental es obtenido por
medio del razonamiento y el cuestionamiento, en vez de la memorización. En el
aprendizaje colaborativo nadie tiene la última palabra, el profesor se considera también
un aprendiz; este inicia justo cuando el cooperativo culmina.
Las personas no aprenden solo porque estén en el grupo, sino que al estarlo realizan
interacciones que generan aprendizajes; es decir, que adicionalmente a los aprendizajes
individuales, al estar en grupo se generan interacciones como consensos, desacuerdos
que desarrollan procesos cognitivos como la internalización, extracción, conocimiento,
entre otros, y son a través de los cuales se aprende (Webb, Ender y Lewis, 1986).
Después de realizar un estudio sobre la composición de los grupos y el logro de
objetivos, Webb, Ender y Lewis (1991) llegaron a la conclusión que el grupo que facilita
más interacciones y explicaciones en la clase es el moderadamente heterogéneo
(estudiantes con habilidades altas y medias, o, medias y bajas), según el autor cuando se
tienen estudiantes de los tres tipos de habilidades generalmente se excluyen de la
interacción los de habilidad media. Si se escogen grupos homogéneos de habilidades
bajas, no tienen los dominios básicos para ayudarse colaborativamente, si por el contrario
se escogen los de habilidades altas no interactúan porque se supone que cada uno puede
solucionar la problemática por sí solo.
Según Zañartu (2013) un grupo de trabajo se considera colaborativo si cumple con
los siguientes requerimientos:
Simetría de conocimientos del grupo. Se pueden considerar varios tipos de
simetría: cuando se brindan las mismas posibilidades a cada estudiante (simetría de
acción), si los estudiantes poseen más o menos el mismo nivel de habilidades o
conocimientos (simetría de conocimiento), cuando los estudiantes tienen un mismo
estatus frente al grupo (simetría de estatus). Una pequeña asimetría en cualquier caso se
considera aceptable, pero podría generar conflictos en la interacción. En general, cuando
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 137
un estudiante considera que otro es más capaz que él en algún aspecto, el sentido de la
interacción se daña porque se va a priorizar lo que dice el más capaz.
Meta común. Las metas compartidas pueden fijarse parcialmente al comenzar el
trabajo, pero a medida que este avanza, se deben ir reelaborando, consensuando, de tal
manera que todos se sientan identificados con el desarrollo del trabajo.
Grado de división del trabajo. En la colaboración, el grupo trabaja unido, lo que
no indica que en un momento muy esporádico se pueda dar una división del trabajo. Sin
embargo, los roles dentro del grupo pueden cambiar en un espacio muy breve de tiempo.
Algunas de las características del aprendizaje colaborativo (Zañartu, 2013), son:
La interactividad. El aprendizaje se produce mediante un intercambio de puntos
de vista y de opiniones, por lo cual deben participar en la acción como mínimo dos
personas. La clave está en el impacto de la interacción en el aprendizaje con el
compañero, más no la cantidad de interacciones. En definitiva, se aprende del
intercambio de ideas, de la reflexión grupal.
Sincronía. Hace referencia a que no es posible generar conocimiento sin una
respuesta simultánea que de fundamento a la interacción, y con ella se pueda construir y
sostener una concepción consensuada de un problema. Sin embargo, al generarse un
nuevo conocimiento se debe tener en cuenta la reflexión personal, ya que el construir
conocimiento no solo es un proceso social sino también de reflexión individual e
interiorización.
La negociación. Proceso por el cual dos personas consciente o inconscientemente
llegan a acuerdos con relación a una tarea o problema. En el caso de interacciones
colaborativas la negociación es uno de los aspectos básicos para la misma. La
negociación es parte de la interacción que permite una comprensión mutua, sin
negociación no hay acuerdo y todo se convierte en un monólogo donde el papel del
interlocutor es ser el receptor del mensaje. En la interacción colaborativa el profesor no
se impone por medio de su autoridad sino con la fuerza de los argumentos.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 138
El Grupo
La idea inicial fue convocar a dos profesores de la Licenciatura para conformar el
grupo de trabajo colaborativo, para lo cual, se realizó una invitación oral a diferentes
profesores, pero dado que este trabajo requería de tiempo adicional, muchos declinaron
la invitación. Finalmente se constituyó el grupo con dos compañeros docentes que
voluntariamente quisieron participar: Fernando y Juan16, los dos se identifican con una
tendencia tradicional tecnológica (según estudio presentado en el capítulo anterior), y
mostraron interés en mejorar sus prácticas de aula. El docente Fernando ya venía
colaborando como coordinador de un semillero de investigación y al igual que el docente
Juan estaba culminando su trabajo de grado de Maestría en Educación. A cada uno por
separado se le explicó en qué consistía el trabajo colaborativo y en forma general los
objetivos que se perseguían. Los dos fueron citados para una primera reunión, donde se
inició el trabajo del grupo colaborativo.
A continuación, se hace una presentación de los dos profesores mencionados.
El profesor Fernando: Tiene 35 años de edad, soltero y con cerca de 13 años de
tiempo de servicio. Licenciado en Matemáticas y Física, con especialización en finanzas.
Se preocupa por mejorar sus prácticas de enseñanza, le gusta trabajar en grupo y
colaborar en la medida de lo posible con los demás docentes y estudiantes.
El profesor Juan: Tiene 32 años de edad, soltero y con 10 años de experiencia
docente. Licenciado en Matemáticas. Le preocupa la búsqueda de estrategias para ayudar
a los estudiantes que tienen dificultades para comprender los temas y necesitan más
actividades para alcanzar el conocimiento que otros estudiantes.
En la primera reunión se aprobó el proyecto que iba a guiar el trabajo del grupo en
las sesiones del grupo colaborativo. A continuación, se aborda este proyecto.
La propuesta se presentó en el ámbito del área disciplinar de las matemáticas a
nivel universitario y tiene como meta (re)significar la práctica pedagógica haciendo
énfasis en la comunicación, a través de un grupo de trabajo colaborativo.
16 Los nombres de los profesores fueron cambiados para preservar su identidad.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 139
Los objetivos para crear un grupo de trabajo colaborativo con profesores de la
Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, fueron: reflexionar sobre el trabajo docente
que desarrollan, trabajar en colaboración con otros compañeros, y desarrollar tareas
emergentes de la dinámica del trabajo.
Entre las actividades desarrolladas en las sesiones conjuntas se pueden citar:
Observación de clases (OC). Las clases video grabadas fueron observadas por los
miembros del Grupo, en tiempo fuera de las reuniones o algunas dentro de las reuniones.
Evaluación de clases (EC). Las clases observadas se evaluaban algunas de manera
intuitiva; es decir, sin ninguna pauta; otras mediante unos criterios teóricos determinados,
es decir pautadas.
Discusión de clases (DC). Con los conceptos recogidos en la observación de las
clases, se daba al interior del grupo la discusión sobre los diferentes aspectos trabajados en
ellas.
Reflexión sobre temáticas que tenían que ver con educación matemática y la
mejora de las prácticas pedagógicas, especialmente de aula (RT). Éstas fueron
propuestas por los miembros del grupo, a medida que iba evolucionando su trabajo.
Reflexión sobre aspectos particulares de las clases de los profesores (RCP). Se
daban conexas con las reflexiones que se iban dando en el grupo, especialmente sobre
aspectos teóricos; entonces surgían conceptos de forma espontánea que ilustraban o
aclaraban las discusiones teóricas mencionadas.
Reflexión sobre experiencias de los docentes (RE). Igualmente, dentro de la
discusión del grupo se colocaban en consideración aspectos de la práctica pedagógica de
cada miembro del grupo.
Discusión sobre el trabajo colaborativo (DT). Cuando dentro de las reuniones se
abordaban aspectos que tenían que ver con el trabajo que venía desarrollando el grupo.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 140
Análisis de lecturas (AL). Dentro del grupo se proponían lecturas, algunas de las
cuales debían realizarse en tiempo extra y algunas en las sesiones, para posteriormente ser
discutidas por el grupo.
Discusión de trabajos de grado y Tesis (DT). Los integrantes del grupo estaban
desarrollando su trabajo de grado; por lo cual, en algunas oportunidades se proponían para
discusión, temáticas que hacían referencia a éstos.
Aplicación o análisis de instrumentos (AI). En algunos casos se realizaron
entrevistas o análisis de instrumentos aplicados para la tesis.
Preparación de clases (PC). Otra de las actividades realizadas por el grupo fue la
preparación de una clase que cumpliera con las expectativas de una clase de calidad y sobre
todo, no tradicional-tecnológica.
Actividades no temáticas (ANT). En todo grupo hay ocasiones en donde la
conversación no gira alrededor de la temática que los reúne, sino que hay tópicos alternos
que aunque son importantes para la discusión, no lo son para el desarrollo de los objetivos
del grupo.
Para el esquema del trabajo del grupo se siguieron las siguientes fases, aunque no en
forma lineal, pues respetando los criterios de trabajo colaborativo del grupo se trataban los
temas con el aval y a propuesta de los diferentes miembros del mismo.
Primera fase: Comprensión de lo que es un grupo de trabajo colaborativo.
Segunda fase: Análisis de clases, desde la experiencia de cada miembro del grupo.
Tercera fase: Análisis y aplicación de los criterios de idoneidad del Enfoque
Ontosemiótico en algunas clases.
Cuarta fase: Diseño de una clase por parte del grupo siguiendo los criterios del EOS,
con apoyo en lecturas que favorecen una mejor interacción comunicativa en el aula
de matemáticas.
Quinta fase: Aplicación y valoración de la clase realizada.
Como el objetivo específico del trabajo colaborativo fue mejorar las prácticas de aula,
especialmente lo concerniente a la comunicación, se trabajó con las fases mencionadas. En
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 141
primer lugar y de manera natural surgió la necesidad de documentarse sobre el trabajo
colaborativo, ya que esa era la acción inicial del grupo. Posteriormente y con el fin de
identificar qué estába haciendo cada uno en la práctica profesional, se analizaron clases sin
ningún parámetro definido, sino con la mirada que cada uno tenía de una buena clase. Luego
se realizó la etapa de documentación sobre el análisis didáctico de clases, especialmente el
trabajo que se hace desde el Enfoque Ontosemiótico, y se evaluaron algunas clases con estos
parámetros. Finalmente, y tras bastantes discusiones, se decidió elaborar un bosquejo de
clase que entre todos se consideró era adecuada y para que alguno de los profesores la
ejecutara; para ello fue elegido Fernando, quien realizó la clase que fue video grabada y
observada por el Grupo en su totalidad para posteriormente ser evaluada con los criterios
de idoneidad del Enfoque Ontosemiótico (Pochulu y Font, 2011; Font, Planas y Godino,
2010; Godino, 2011). Finalmente, los profesores contestaron una entrevista (EntJ4, 12
agosto 2016; EntF4, 18 julio 2016), en donde plasman su idea de lo que es una buena clase
de matemáticas y como se debe plantear la comunicación en ella.
Las reuniones de trabajo se pactaron cada ocho (8) días, y a pesar de las dificultades
en cuanto a cruces de horario y reuniones de trabajo no programadas de algunos de los
miembros, las reuniones se llevaron a cabo. La agenda se daba a conocer vía correo
electrónico al igual que cualquier variación al día o la hora.
Es de aclarar que la agenda en ocasiones no se cumplía, ya que había fechas en
donde algún docente deseaba trabajar algún tema en particular y era acogido por el grupo,
así no estuviera agendado, por ejemplo, un incidente en una clase, avances de trabajos de
grado, lecturas propuestas por los docentes, prolongación de la actividad de la reunión
anterior, entre otros.
Como Grupo siempre se procuró reflexionar sobre las clases y sobre el rol del
docente en ellas, haciendo énfasis sobre los aspectos comunicativos. A medida que se iba
avanzando en las reuniones del Grupo, se fue optimizando el tiempo y siempre valorando
las opiniones de los compañeros docentes; es de tener en cuenta que las reuniones
resultaban en discusiones académicas muy interesantes, dado el nivel de los componentes
del grupo de trabajo colaborativo, más adelante se mostrarán evidencias de los resultados
de estas discusiones.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 142
En las 25 reuniones del grupo que se realizaron de marzo de 2015 a agosto de 2016,
se destacaron las discusiones sobre un documento, un tema, clases video grabadas,
análisis de clases con pauta y sin pauta, reflexiones sobre el trabajo colaborativo y
planificación de clases, entre otros aspectos.
Con la autorización verbal de Fernando para la participación del grupo, grabación
y análisis de algunas clases, se comenzó a examinar la primera, sin pauta, es decir, sin
parámetros previamente acordados para su análisis (TG9). De lo anterior surgió la
necesidad de tener unos criterios para poder analizar una clase en detalle, para lo cual se
propuso aplicarlos desde el Enfoque Ontosemiótico (TG10) y posteriormente, luego de
observar una síntesis de la clase, se analizaron las dos clases basados en el análisis previo
del investigador. A continuación, un registro del análisis de la clase:
La faceta más baja es la interacción, ¿por qué razón la interacción? Porque la
comunicación que se está teniendo con el estudiante es del tipo de una clase
tradicional, ¿qué se le deja hacer al estudiante? Pues únicamente contestar si o no
y a veces una frase, cuando no sucede que se lanza la pregunta y el mismo docente
la responde, entonces este fue como el resumen de la primera clase (TG11).
Al respecto el profesor Juan manifiesta: “…es que efectivamente no damos
oportunidad para que los estudiantes propongan sus problemas” (TG11). El profesor
Fernando quien orientó las clases,
[…] no sé… de acuerdo a lo que hablan y lo que he trabajado quiero verificar si
estoy en lo cierto o no; lo que he trabajado es, en primer lugar doy la explicación
del tema, luego doy los ejercicios y es cuando les doy la oportunidad de intervenir
(Fernando, TG11).
Como se puede apreciar, se comienzan a presentar algunos cuestionamientos sobre
la práctica de aula. Posteriormente el grupo en las sesiones 20, 21 y 22 preparó una clase
para que la orientara el docente Fernando. El docente realizó la clase, la cual fue grabada
en video, y el Grupo durante una sesión y media (24 y 25) la observó e individuamente
cada uno realizó la evaluación basados en los criterios del Enfoque Ontosemiótico
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 143
(Pochulu y Font, 2011; Font, Planas y Godino, 2010; Godino, 2011). A continuación,
se presentan los resultados por idoneidad:
Tabla 11. Resultados de la evaluación de cada miembro del grupo a la clase del docente Fernando.
Idoneidad Didáctica Gustavo
%
Juan
%
Fernando
%
Francisco
%
Tendencia
%
Idoneidad Epistémica 83 100 83 90 89
Idoneidad Cognitiva 75 75 75 67 73
Idoneidad Afectiva 100 100 100 100 100
Idoneidad Interaccional 100 100 100 75 94
Idoneidad Mediacional 78 89 100 77 86
Idoneidad Ecológica 100 100 90 100 98 Fuente: elaboración propia.
El hexágono que muestra la tendencia es:
Figura 13. Hexágono que representa la tendencia de la evaluación del grupo a la clase del docente
Fernando. Fuente: elaboración propia.
Lo anterior implica que las facetas epistémica, interaccional, afectiva y ecológica
están en un nivel excelente, la mediacional muy buena y la cognitiva buena. En general
es una muy buena clase, el grupo de trabajo colaborativo al igual que el docente Fernando
quien aplicó el plan lo hicieron muy bien para mejorar la calidad de la clase, en especial
la faceta interaccional, que tiene que ver directamente con los patrones de interacción y
que en análisis anteriores era crítica.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 144
Reflexiones y Discusiones en el Grupo
En esta parte se muestra lo que constituían las reuniones del grupo de trabajo
colaborativo; así mismo, se presentan los temas centrales de las discusiones y reflexiones
del grupo sobre el trabajo desarrollado. Los temas tratados fueron variados y se presentan
a continuación.
En cuanto a la observación de clase ya se habló anteriormente, se realizó en las
sesiones 6, 11, 23 y 24; sin embargo, se vuelve a plantear, ya que se considera importante
en el análisis didáctico de clases.
La evaluación de clase se trató reiterativamente dentro de las sesiones, 8, 11, 18,
23 y 25; es importante dentro del análisis didáctico, ya que va a permitir al profesor
buscar (re)significar sus prácticas (Jiménez, 2002). Este concepto surge inicialmente de
manera intuitiva, hay muchos ángulos desde donde asumirlo; posteriormente ya desde el
enfoque Ontosemiótico se hace de una manera más detallada y profunda, por ejemplo, se
transcribe la conclusión del grupo acerca de la primera clase de Fernando:
En forma general hay dos facetas que están más bajitas, la interaccional y la
mediacional, o sea nos toca intentar mejorar ese par de aspectos; en lo que se refiere
a la interaccional, aquí están los resultados, el porcentaje de la participación de los
estudiantes fue del 13.5%, contando los espacios donde los estudiantes están
trabajando solos el ejercicio, entonces uniendo esos tiempos ¿qué significa esto?,
que la participación de los estudiantes es casi nula (Juan, TG18).
Observese que a la vez que se analiza se proponen acciones que mejoren las
prácticas.
En la discusión de clases, se hace reflexión sobre diferentes aspectos que son
inherentes a la práctica pedagógica, al respecto:
Es que tendemos a no dejar participar al estudiante, por ejemplo, si vamos a hacer
demostración, no dejamos que el estudiante lance hipótesis acerca de la parte
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 145
básica, sino que le presentamos de una vez los procedimientos, de esta manera no
lo dejamos verdaderamente intervenir. Debiéramos dejar que él haga una
aproximación intuitiva (Juan, TG11).
También la discusión de clases se presentó con respecto a lo sucedido en la clase
preparada por el grupo (TG23),
Fernando: Una estudiante sintió que le faltó mucho apoyo del profesor. Lo
único que dijo fue que había sido mucho aprendizaje, que el
aprendizaje había sido solamente autónomo, pero el resto salió
contento, les gustó por el material que habían manipulado, que
habían trabajado, entonces... para mí fue una labor gratificante; al
comienzo, pues digo que habrá sus detalles al ver la grabación, sí
hay sus... porque uno tiende a veces sin querer a…
Francisco Sí, ya tenemos una tipología ahí y de hoy para mañana no la vamos
a cambiar, ¿sí?... eso es muy complicado.
Juan Si la estudiante reconoció que el aprendizaje era autónomo, ya hay
una tendencia porque hay un cambio de paradigma en lo
interaccional, ¿cierto?
Y posteriormente dentro del análisis de la actividad realizada, un aparte que plantea
también la discusión de clase (TG23, 2016):
Gustavo Es importante lo que decía Fernando, que a veces a ellos les queda
muy difícil escribir lo que hablan; pues uno no puede estar todo el
tiempo en todos los grupos, pero lo que dice Fernando, en los
grupos que escuchó se dio cuenta que tenían buenas ideas, aunque
no las lograron escribir; entonces eso es interesante, uno a veces
se queda solo con lo que está escrito y deja de lado...
Francisco No y ese es otro detalle que hay que tener cuidado: ¿por qué razón,
nuestro estudiante no está plasmando lo que piensa? Pues cuando
se le pidió una síntesis, ¿qué está ocurriendo allí? ¿Por qué no está
escribiendo?
Juan […] La comunicación se queda solamente de pronto en lo verbal.
Francisco Correcto, en lo verbal, sin escrito, significa que están flojos en la
parte escrita, ese podría ser otro trabajo.
Juan Ahí podríamos analizar los niveles de comunicación.
Francisco Los niveles de comunicación, si exacto.
Juan El escrito y el verbal.
Francisco El escrito y el verbal o sea comparar; vea ahí tenemos otro trabajo
por delante, que es el comparativo entre la comunicación verbal y
la comunicación escrita; comparativo porque aparentemente
pudiera ser igual, pero resulta que no, cuando va uno a escribir, ya
se limita.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 146
El reflexionar sobre un tema fue el aspecto más común dentro de las reuniones,
se describen algunas temáticas que se abordaron en el trabajo colaborativo: la
interdependencia positiva; el método lancasteriano y la Universidad; medios
audiovisuales de acuerdo a la tendencia didáctica en que se estaba trabajando; aspectos
positivos del método tradicional; en la tecnología educativa la relación con la empresa;
la evaluación, el tiempo, la preparación, la clase desde el constructivismo; aspectos
comunicacionales, el celular en el aula; análisis de idoneidad epistémica en una clase;
análisis sobre la evaluación en el aula de clase; normas sociomatemáticas y contrato
didáctico; normas éticas; la comunicación; análisis de idoneidad cognitiva y mediacional;
semiótica; comentarios sobre artículo publicado en una revista indexada por Juan;
desconcentración de los estudiantes y pausas activas. Como ejemplo se plantea lo
siguiente (TG8), hablando respecto del tiempo,
Fernando Yo lo que le hubiera modificado un poquito a la clase tres, era de
que el chico explorara, que intentara hacer y uno estar detallando;
al ver que ya está como fallando, ahí sí conducir el proceso,
porque les entregó el material como para que trabajaran y
empezó de una vez a explicarles y ellos todavía no habían
iniciado a... eso es lo único que yo le haría.
Francisco Sí, pero hay un problema: el tiempo.
Fernando Bueno el tiempo es una variable muy importante.
Francisco Es que es una variable muy fuerte que a nivel universitario no se
maneja, pero algo que no se puede dejar, es lo que estamos a
veces nosotros haciendo aquí en nuestras sesiones, que llegamos
a cierta conclusión y listo cortamos porque tocó irnos.
Gustavo Sí para que al final se vea el producto todo.
Francisco Claro, que se vea que llegaron a alguna conclusión y si no pues
todos se fueron para diferentes lados y ya.
Fernando Sí, porque de las tres clases que mostraron, pues la tercera es lo
que sería la clase ideal.
La reflexión de aspectos particulares de clases de profesores se presentó en las
sesiones 5, 7, 8, 12, 13, 15, 18,19, 20 y 23. También fue de los aspectos más comunes y
se reflexionó especialmente sobre la forma de actuar del estudiante ante los retos;
evaluación y pruebas externas; importancia de la distribución del tiempo en una clase; la
evaluación que hace el estudiante al docente lo afecta cuando el estudiante tiene una
concepción tradicional y el docente intenta algo diferente; aspectos comunicacionales, el
uso del celular en clase; empate sobre el ciclo complementario de las normales y la
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 147
Universidad; casos especiales de la práctica pedagógica; situación problémica para que
el estudiante aprenda el concepto “el plano”; aspectos de salud de los docentes; uso de
medios educativos como Geogebra y material real; confrontación del docente con una
nueva metodología. Como ejemplo se presenta un fragmento de casos particulares de la
práctica pedagógica (TR12):
Fernando Tenía una pregunta: qué tan bueno es, pasó en situación de clase en
una evaluación y un chico la forma que utilizó para soplarse fue
coger el WhatsApp y en mensaje de voz decirle paso a paso qué iba
hacer, pues claro para mí yo les llamé la atención, pero me causó
curiosidad como una técnica para poder utilizar.
Francisco Si… esa es una oportunidad
Gustavo Un profe nos decía una vez que les dio el examen y les dejo cinco
minutos para que hablaran entre todos y a los cinco minutos les cortó
y ya, y cada uno solo.
Francisco Un compañero hizo ese ejercicio, básicamente cualquier cosa que
haga un estudiante es una oportunidad de aprender; si lo enfocamos
bien. Lo que tú dices es cierto lo hizo porque quería ver, más bien
hacer una especie de sociograma orientado a aspectos matemáticos
en el grupo.
La reflexión sobre experiencias de los docentes se trabajó en las sesiones 2, 3,
12, 13, 15 y 19. Conformación del grupo semillitas educativas17; credibilidad del
profesor; el día del profesor; exclusión del estudiante; lineamientos curriculares; uso
adecuado de los medios educativos, especialmente los tecnológicos y uso de textos. Se
Anexa un episodio de uso de las tecnologías (TG19).
Gustavo […] O algún trabajo en el mismo, por ejemplo, en el Geogebra que
muestre que ahí mismo pueden digamos…
Fernando Pues lo pensé, lo llevé la primera vez, pero el problema… porque
todos no llevaron computadores.
Gustavo De pronto para que el mismo programa le ayude.
Francisco Sí, por lo menos el programa ayuda a motivar.
Juan Ayuda a motivar, pero si no lo tienen todos, eso es una
problemática.
Fernando Porque se pueden atender allá cómo hacen y no lo pueden
manipular y entonces…
Francisco En cambio, el videíto se les puede presentar a todos
17 El grupo semillitas educativas es un semillero de investigación del grupo de investigación
PIRAMIDE de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 148
Juan O que el Geogebra tú lo manipules. Qué pasa si lo giramos aquí, si
lo ponemos allá, cómo quedaría, por ejemplo, que pasa si queda
paralelo…
Fernando ¿Porque saben qué podríamos hacer? Mostrar el video para darles
dirección; después con el video lo pueden ir pensando e ir haciendo
y después ya se ve en el Geogebra más o menos qué es lo que pasa.
Francisco Entonces sería ya como para el cierre.
Fernando Para el cierre, o sea para ya primero ir trabajando y viéndolo.
La discusión sobre el trabajo colaborativo se presentó en la sesiones 12, 15 y 23.
Se habló inicialmente de un futuro proyecto, con una investigación longitudinal; buscar
el patrón de interacción individual o trasversal: recuento de lo trabajado en el grupo en
las últimas sesiones; se discute sobre el futuro del Grupo, de lo cual se adicionan estas
líneas (TG23):
Francisco: Te felicito, de verdad que esa aplicación me pareció interesante,
pues en lo que respecta al proyecto como tal, yo consideraría que
lo cerraríamos en una próxima oportunidad con el análisis de la
clase y lo que nos quedaría pendiente, si es que ustedes me
permitan hacer otras dos sesiones de trabajo posteriores, ahora
cuando arranque el semestre; entonces ahí concluimos lo que es el
proyecto, sin embargo hay que analizar la continuidad del Grupo
y seguir trabajando y sobre todo seguir sacando cosas para
publicación, empezar a hacer publicaciones…
La discusión de trabajos de grado y tesis se trató en las sesiones 1, 15 y 16. Se
plantea la presentación general del proyecto, firmas de consentimiento informado,
elección de pseudónimos y del horario para el trabajo colaborativo; discusiones de
adelanto sobre el trabajo de grado del profesor Juan y de la tesis del investigador. Se
presentan unos apartes (TG16) sobre la lectura del trabajo de grado del profesor Juan,
donde se plantean algunas sugerencias; al referir un planteamiento que no tiene
justificación Juan comenta que está en un apartado anterior,
Francisco ¿Ah eso está más atrás? Sí, ah no, no hay problema, porque esa
puede ser una situación que te van a preguntar. Por lo demás me
parece muy bien, está muy bien enfocado, aquí hay arreglitos pero
de semántica, está la descripción, el trabajo que se hace,
abstracción, muy bien; nos falta es aquí en la parte final, hacer las
recomendaciones; entonces entre otros aspectos utilizar justamente
lo que se encuentra en el patio o sea sugerirle al docente que mire
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 149
más los recreos, que observe detalles, que no se necesita hacer una
investigación a fondo para saber que están utilizando ciertas cosas,
le pueden ser útiles a su gente dentro de su clase, uno; dos, hacer
con cierta frecuencia los sociogramas para que ellos vean primero
la habilidad; sociogramas de interacción que ya no tienen que ver
con la matemática, sino con el gusto por trabajar con X o con Y,
sí?
Juan Por ejemplo, se puede hacer un sociograma de clase…
Francisco Porque tú puedes comparar, este es un argumento que puede salir
después, por ejemplo, se hace un sociograma orientado hacia la
matemática, luego se hace un sociograma general y ver la relación
que se crea entre los dos, o sea a ver si hay variación o no; pues yo
juraría que sí. En el sociograma con tema matemático, volvemos
a hacer lo que hizo otro docente, o sea que en un momento
dado…(Interrupción)
Francisco Entonces les estaba comentando que la idea sería en la sesión de
hoy que trabajemos un poquito, bueno hablar un poco de la parte
de comunicación.
El análisis de lecturas se realizó en las sesiones 2, 3, 5, 7, 8, 12, 14, 16, 18, 19 y
20. Lectura sobre trabajo colaborativo (Fiorentini, 2008); síntesis sobre trabajo
colaborativo (Leguizamón, s.f.); tendencias didácticas (Porlán, 1995); Normas
sociomatemáticas (Yackel y Cobb, 1996) y Contrato Didáctico (Brousseau, 1991,
D’Amore, Font, y Godino, 2007; Planas, 2004); las interacciones comunicativas en el
aula de matemáticas (Leguizamón, s.f.); la comunicación (Leguizamón, s.f.); criterios de
idoneidad (Pochulu y Font, 2011; Font, Planas y Godino, 2010; Godino, 2011); entre
otros. Las siguientes líneas corresponden a la discusión que dio el grupo sobre una lectura
acerca de la comunicación propuesta por el investigador (TG16).
Francisco Esa es la forma, esa la comprensión de comunicación para este
curso. Dice se entiende la comunicación como una interacción
social mediada por el lenguaje y donde el objetivo de cada sujeto
es entender y hacerse entender.
Fernando Y sí eso pasa porque a veces uno habla de una forma que uno no
quiere…
Francisco Es que como ya lo mencionamos aquí…claro realmente…
Fernando Bueno lo que yo quería decir ahí era que es lo que comúnmente
pasa, uno a veces dice algo y la persona lo toma de otra forma, sin
que uno esté pensando nunca en eso, es donde uno realmente… uno
nunca comprende lo quería decir.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 150
Francisco Pues es que hay una interacción social, pues sí porque realmente de
todas maneras cuando yo intento decirle algo a Juan, así Juan no
me responda, porque yo noto que hay ya una interacción o me pone
cuidado o simplemente me ignora, pero de todas maneras hay algo
que nos relaciona ahí, así no me conteste; ahora una interacción
social, mediada por el lenguaje, porque generalmente cómo nos
entendemos los dos? Por el lenguaje ya sea oral o escrito; el
lenguaje tiene más características, oral, escrito, gestual o lo que
quiera, pero eso es el lenguaje en el cual nosotros nos vamos a
poder comunicar; por ejemplo, cuál es la diferencia entre una
interacción corriente si él habla ruso y yo alemán, pues él me habla
y yo le pongo cuidado, sin embargo, no le entiendo nada o sea el
lenguaje no está ahí.
Juan Hay otra cosa también y son los códigos del lenguaje, porque por
ejemplo puede ser que desde lo que yo estoy comunicando, por
ejemplo, está uno en clase y dice, no sé, y uno lo está diciendo en
el sentido de lo que quiere explicar y los chicos por allá están riendo
porque están pensando otras cosas o le encuentran el doble sentido
porque eso concuerda con códigos del lenguaje.
La Aplicación o análisis de instrumentos se presentó en la primera sesión, los
demás instrumentos se aplicaron en tiempo fuera de las sesiones. Se realizó una entrevista
semiestructurada (Entrevista 2, 27 marzo 2015).
La preparación de clases se presentó en las sesiones 16, 18, 19, 20, 21 y 22. Tarea
para Fernando sobre preparación de una clase, discusión sobre formas de grabar y temas;
inicios sobre preparación de una clase por parte del grupo; escogencia del tema “plano”,
búsqueda de la situación problémica, discusión metodológica, distribución del tiempo,
forma de grabación, utilización de medios tecnológicos, concreción de la guía para
estudiantes, (TG 22).
Francisco ¿Técnicamente es deducir el ángulo entre los dos planos? ¿Lo que
se quiere?
Fernando Y llegar más o menos a la noción para que quede lo de los paralelos
y perpendiculares.
Francisco Ah, entonces toca quitarle lo de la general por ahí que escribiste,
porque esos son los casos particulares.
Fernando Entonces una de las ideas que había surgido, no sé si el profe te
contó, por ejemplo, era coger imágenes de arquitectura, por
ejemplo, estaban estas [las muestra impresas], otras que veíamos
por aquí. Pero bueno.
Gustavo Como planos, tan chévere.
Francisco Pero bueno cualquiera sirve, porque tú le puedes hacer el 3D.
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 151
Fernando Eran más o menos por ese estilo, y otra que había por ahí; entonces
entregarle a cada uno de los grupos una imagen y que le hicieran el
análisis o sea que se ubicaran en el plano, el tridimensional,
entonces de ahí ubicaran una cara como del plano, sacaran la
perpendicular y de ahí todo el estudio, que es donde digamos se
armaría...
Francisco Sería, por ejemplo que si cogemos en la arquitectura, pues los dos
planos casi siempre van a ser perpendiculares, los que cojan ellos.
Gustavo Por ejemplo, la otra que mostraba es como el techo.
Fernando Ese nos serviría por lo menos para el caso de...y ahí tocaría que
ellos generaran, esta sería...
Francisco Porque miren cualquiera que escojan, salvo por ejemplo este plano,
pero ellos no van a tomar ese plano, ellos van a seleccionar uno
tradicional, entonces van a decir para mí el 3D o claro que aquí
también está, mire; o la otra es insinuarles que tomen uno que no
sea perpendicular, entonces...
Gustavo Eso, como mostrarle una foto y…
Las actividades no temáticas se relacionaron en las sesiones 5, 8 y 20. El modelo
universitario de ascenso en el escalafón; revisión de las diapositivas para la sustentación
de la tesis de Fernando; discusión sobre el nuevo calendario semestral de la Universidad.
Se presenta en el anexo 14, la tabla resumen de las sesiones del grupo de trabajo
colaborativo, al igual que las trascripciones de las sesiones 3, 8, 20 y 21.
Reflexiones sobre el Grupo
En las primeras reuniones se buscó acostumbrarse a las grabaciones y actuar con
naturalidad, sabiendo de antemano que se tendría en cuenta el respeto hacia las opiniones
de los demás; se podría no estar de acuerdo y opinar, pero con cortesía y respeto a la
diferencia.
Los dos profesores tenían formas de pensar diferentes, lo cual enriqueció el trabajo,
es de aclarar que en general, salvo algunos desacuerdos de horarios, no se presentaron
problemas dentro de las reuniones. Al ser compañeros de trabajo, la participación del
investigador dentro del grupo se asumió de manera natural, por lo cual el acoplamiento
inicial para el trabajo fue rápido, sin desconocer que de alguna manera se le reconocía un
liderazgo. El enfoque que se dio a las reuniones desde un comienzo fue el de partir de las
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 152
prácticas y experiencias de todos, analizarlas con un enfoque crítico pero constructivo e
ir relacionándolos con la teoría.
El tiempo fue aprovechado al máximo, la agenda para la siguiente sesión se
consensuaba por correo, lo cual no implicaba el no realizar cambios cuando se
presentaban otras situaciones que los miembros del grupo querían plantear. Algunas
tareas como análisis de artículos y lecturas en general se propusieron para lectura previa
a los encuentros con el fin de ganar tiempo, sin embargo, algunas otras se hacían dentro
del desarrollo de la sesión. Lo mismo sucedió con algunos videos.
Un aspecto usual dentro de las sesiones era la dispersión temática, en ocasiones se
cambiaba de tema al tenor de un suceso de aula o alguna otra situación y se terminaba
discutiendo sobre criterios diferentes a los iniciales, pero este desarrollo se daba de forma
normal e igualmente se estaba reflexionando sobre las propias prácticas profesionales,
por lo cual se dejaba que la discusión siguiera su curso. Por lo anterior, al iniciar una
sesión que no venía de la semana anterior, se realizaba una síntesis de lo tratado en ella,
como ubicación para el grupo.
En general hay que resaltar que el principal problema del trabajo colaborativo fue
el tiempo, aspecto que en ocasiones impedía que los miembros del grupo cumplieran con
sus tareas; por ejemplo, en muchas ocasiones se dejaban lecturas o videos para realizar
fuera de la sesión de trabajo, sin embargo, algunos no lo podían hacer y entonces se
dejaba la sesión para desarrollar esa actividad, con el fin de que todos pudiésemos
participar. Otros factores en que no se cumplió, fue en la elaboración de la transcripción
de cada sesión, la cual hipotéticamente se iba rotando entre los miembros del grupo, pero
finalmente le tocó al investigador hacer la gran mayoría de éstas.
Este proyecto constituyó un aprendizaje para los miembros del grupo, fue una
oportunidad de reflexionar sobre las acciones diarias, que por premura de tiempo o por
falta de elementos para realizarse no se hacía, y lo cual considero, se logró (re)significar.
Se rompieron barreras al permitir que otros opinaran sobre las situaciones y actividades
de clase, y a la vez, fue una oportunidad para realizar una autoevaluación, que tal vez es
lo más valioso al momento de (re)significar una práctica (Jiménez, 2002). Este trabajo
Capítulo 5. Grupo de Trabajo Colaborativo 153
permitió identificar las fortalezas y los aspectos por mejorar que se tenían en las prácticas
profesionales, y especialmente los patrones de interacción comunicativa que eran
proactivos y permitían una construcción de saberes, pudiendo desarrollar una clase no
centrada en el profesor.
Otro factor importante tiene que ver con la continuidad del proyecto, aspecto
acordado por unanimidad, ya que, por tiempo, quedaron pendientes algunas
publicaciones, al igual que el desarrollo de tareas que emergieron del trabajo
desarrollado.
Capítulo 6. Caso Fernando
Aspectos Personales
El profesor Fernando es docente de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC,
muy colaborador, buen compañero, su evaluación tanto la asignada por el Comité
Curricular de la Licenciatura como por los estudiantes es muy buena, tiene un grado de
aceptación alto por la comunidad educativa. Estudió Licenciatura en Matemáticas y
Física en la UPTC, se graduó en el año 2001. De postgrado, cursó tres semestres de
Maestría en Matemáticas en el convenio Universidad Pedagógica y Tecnológica de
Colombia (UPTC) – Universidad Nacional de Colombia (UNAL), se retiró por motivos
económicos. En el momento de la realización del trabajo de campo de esta investigación,
ya finalizó académicamente sus estudios de Maestría en Educación, y se encuentra
desarrollando el proyecto de grado relacionado con los medios educativos en los procesos
de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Entre las asignaturas que ha orientado
están: Cálculo Integral, Fundamentos de Matemáticas, Algebra Lineal y las Didácticas
Específicas.
Este docente para su preparación de clases manifiesta “reviso el libro guía para ver
cuál es el desarrollo de la temática, registro los aspectos fundamentales en un cuaderno
preparador, haciendo un pequeño bosquejo de lo que voy a desarrollar” (Ent1F, 7
septiembre 2014). Entre los materiales que utiliza están: el tablero, marcador, y Video
beam. En general el profesor evalúa sus clases con quiz individual o grupal y
participación en el tablero. En cuanto a su metodología de clase afirma:
Una forma usual que tengo es revisar los aspectos o compromisos que se dejaron
en la sesión anterior y luego comentar cómo estará divido el trabajo de la presente
sesión: revisión de las tareas, exposición de la temática y el desarrollo de ejercicios
en grupo o de forma individual. En la clase planteo tanto problemas como ejercicios
(Ent1F, 7 septiembre 2014).
Capítulo 6. Caso Fernando 155
Antes del Trabajo Colaborativo
A continuación, se describen las concepciones del profesor y se realizan análisis de
clases desde varios puntos de vista: análisis didáctico, patrones de interacción
comunicativa y comunicación, antes de realizarse el trabajo colaborativo.
Fernando eligió ser profesor, ya que es una labor que permite encaminar a la
juventud, a las personas en el proceso de formación integral y estar en constante proceso
de aprendizaje de las diferentes situaciones que se presentan a lo largo de la vida. Escogió
ser docente del área de matemáticas porque “fue una de las asignaturas que, en los inicios
de mi vida escolar, me presentaban ciertas dificultades” (Ent2F, 27 marzo 2015), pero a
medida que avanzaba en el proceso le gustaban y de ahí nació la inquietud de ayudar a
los que se les dificultan las matemáticas, logrando así la motivación, para el estudio de
esta área.
Se considera una persona idónea y responsable al impartir sus conocimientos y
responsabilidades en el proceso de enseñanza de las matemáticas. Plantea que “los puntos
fuertes en mi práctica profesional están relacionados con el dominio conceptual, la
explicación de la temática a los estudiantes, con el desarrollo de los ejercicios y
problemas correspondientes” (Ent2F, 27 marzo 2015). La organización del tiempo en la
clase para la distribución de la temática, es uno de los aspectos que debe mejorar, para
no solo estar dando información a los estudiantes, sino que ellos tengan el espacio para
asimilar el proceso que se explicó. En el desarrollo de la actividad como docente uno de
los aspectos que le ha dado satisfacción es “ver a mis estudiantes realizar una serie de
ejercicios y problemas de la temática, asociándolos a los temas explicados” (Ent2F, 27
marzo 2015). Piensa que uno de los mayores problemas de la enseñanza de la matemática
está relacionada con brindar demasiada información al estudiante, esperando que
comprenda las diferentes temáticas y desarrolle un proceso algorítmico, sin analizar a
fondo su utilidad en un contexto determinado. Uno de sus principales retos es que los
estudiantes entiendan la temática que se trabaja en clase.
Acerca de las matemáticas, considera que son una herramienta que se emplea
diariamente en los diferentes contextos de la vida, por lo tanto, “deben estar presentes en
la formación de los individuos y contar con los conocimientos básicos para poder
Capítulo 6. Caso Fernando 156
defenderse en cada uno de esos momentos en que las utiliza” (Ent2F, 27 marzo 2015).
El principal objetivo que considera debe tener la matemática a nivel universitario, está
relacionado con “aplicabilidad y utilidad que tiene la matemática en los diferentes
contextos y una explicación de cómo surgen” (Ent2F, 27 marzo 2015). Plantea que la
resolución de problemas es muy importante ya que busca brindar una aplicabilidad de la
temática explicada en el desarrollo de las clases. Para la preparación de las actividades
de clase manifiesta “reviso la temática a explicar, los ejercicios que se encuentran en el
texto guía, de los cuales indico a los estudiantes los que van a trabajar en clase y extra
clase” (Ent2F, 27 marzo 2015); entre los ejercicios que se involucran para trabajar busca
que se incluyan con enfoque de algoritmos y en ocasiones la resolución de problemas.
En cuanto a la resolución de problemas en la enseñanza afirma “busco que se vea una
parte de la utilidad de la temática que se explica en clase” (Ent2F, 27 marzo 2015). Espera
que los estudiantes estén atentos al proceso que se realiza cuando se desarrolla en el
tablero y pregunten cuando tengan inquietudes.
El rol que considera debe asumir como docente es el de “comunicador de la
información matemática, con un enfoque orientativo para que los estudiantes tengan clara
la temática” (Ent2F, 27 marzo 2015). En las interacciones que se deben presentar entre
docente-estudiante es un proceso de escucha, donde se debe estar pendiente de las
orientaciones que se brindan para no perder la idea de la explicación; entre los estudiantes
debe presentarse una discusión interna que permita aclarar las dudas entre ellos. La
comunicación en la clase de matemáticas “la veo como la relación explicativa que hace
el docente al estudiante, teniendo como parámetro que éste puede preguntar en cualquier
momento para aclarar sus dudas” (Ent2F, 27 marzo 2015).
Análisis Didáctico de las clases iniciales.
A continuación, se analizan dos clases del docente Fernando, teniendo en cuenta lo
propuesto por el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font,
Wilhelmi y Castro, 2009).
Primera clase.
La clase tuvo una duración de hora y diez minutos (1:10), orientada al segundo
semestre de la Licenciatura en Matemáticas, con 23 estudiantes.
Capítulo 6. Caso Fernando 157
En general se realizó el siguiente proceso: el profesor inicialmente revisó la
tarea que consistía en determinar la derivada de una función polinómica (𝑦 = 𝑥3 +
2𝑥2 − 5), desarrollada en el tablero por un estudiante y validada por el docente. Luego
propuso un ejercicio sobre derivada de una función compuesta (𝑦 = (𝑥3 − 2𝑥)2), el
cual fue solucionado por él con pequeñas intervenciones de los estudiantes; pretendió
enseñarles el algoritmo para derivar una función compuesta, identificando
explícitamente la función interna y la función externa, pero posteriormente aceptó el
trabajo propuesto por los estudiantes, estableciendo estos elementos de forma
implícita. Determinó igualmente las segundas derivadas e interrogó a los estudiantes
sobre su aplicación. A continuación, el profesor propuso otro ejercicio y=√(4x3-8x+2)
y pidió a los estudiantes que determinaran su derivada; después de dar unos breves
minutos, solucionó el ejercicio en el tablero con ayuda de los alumnos, los cuales
intervinieron con respuestas cortas. Posteriormente solicitó a un estudiante que dictara
un ejercicio 𝑦 = (8𝑥4 − 2𝑥3)7, como era muy similar a uno propuesto inicialmente, lo
complementó así: Y = (8x4-2x3)7/(2x3+3)4; preguntó sobre la forma como se debía
desarrollar, obteniendo como conclusión que se podía trabajar como producto o como
cociente, invitó a que unos estudiantes trabajaran de una forma y los otros de la otra.
Después de un lapso de tiempo, lo desarrolló en el tablero como producto por
considerarlo más rápido, siempre con preguntas cortas dirigidas a los estudiantes.
Luego lo trabajó como cociente, al final dijo que había que factorizar, pero no lo hizo.
A continuación, dictó a los alumnos un problema de aplicación, posteriormente hizo
preguntas cuyas respuestas fue validando y a su vez escribía en el tablero, fue
solucionando el ejercicio, al final aclaró algunas dudas sobre pasos seguidos en el
proceso. Finalmente propuso dos ejercicios como tarea para la siguiente clase.
(Observación de clase, 14 noviembre 2013).
Para facilitar el análisis de la clase se ha dividido en 8 configuraciones didácticas
(Font, Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del
Enfoque Ontosemiótico; la forma de determinar una configuración es la realización
de una tarea, aunque queda a discreción del investigador la forma de agrupar las líneas
de la transcripción en configuraciones didácticas (Godino, Font, Wilhelmi y Castro,
2009).
Capítulo 6. Caso Fernando 158
Para realizar el análisis didáctico de acuerdo con el Enfoque Ontosemiótico de la
Instrucción Matemática (Font, Planas, Godino, 2010) se plantean cinco niveles de
análisis sobre los procesos de instrucción: 1. Identificación de prácticas matemáticas, 2.
Determinación de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos, 3. Análisis de
las trayectorias e interacciones didácticas, 4. Identificación del sistema de normas y
metanormas, y 5. Valoración de la idoneidad didáctica de los procesos de instrucción.
A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.
Capítulo 6. Caso Fernando 159
Tabla 12. Análisis de la primera clase.
Líneas
transcripció
n
Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones del
profesor
Funciones
de los
alumnos
Tipo de
configuració
n didáctica
Patrones
de
interacció
n
Conflictos Normas
1-23 Cálculo de
la ecuación
de la recta
tangente a
la función
y=x3+2x2-5
En el punto
P(1,2)
Lenguaje verbal: Se
usa un lenguaje verbal
ya conocido (función,
función derivada,
derivada, punto,
pendiente, ecuación,
coordenadas ecuación
punto-pendiente,
cúbica, cuadrática,)
Lenguaje Simbólico:
expresiones algébricas
de la función, de la
derivada, de la
ecuación punto
pendiente…
(y=x3+2x2-5…)
Definiciones
implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Procedimiento: 1)
Dada la función hallar
la derivada. 2) hallar la
pendiente evaluando la
derivada en el valor de
la abscisa del punto de
tangencia). 3) hallar la
ecuación de la tangente
evaluando la ecuación
punto-pendiente en el
punto indicado y con la
pendiente hallada.
Propiedades: Se usan
propiedades conocidas
como son las de la
transposición de
términos de una
Proceso de
institucionalización
: El profesor ratifica
la solución dada por
el estudiante A1 al
ejercicio y lo
explica paso por
paso.
Proceso de
mecanización: Se
trata de que los
alumnos practiquen
el cálculo de la
ecuación de la recta
tangente.
Proceso de
comunicación: los
alumnos producen
textos matemáticos
y/o los entienden.
Proceso de
representación y
materialización.
Escribe en el tablero
signos matemáticos
interpretables como
los correspondientes
a la derivada de una
función en un punto.
-Asigna al
estudiante A1
para que
solucione la
tarea en el
tablero.
- Recuerda
normas al
estudiante (no
puede salir a la
pizarra con
capucha, tiene
que explicar lo
que hace en la
pizarra)
- explica y valida
la solución
presentada por el
estudiante.
Pasa al tablero
cuando lo
requiere el
profesor para
resolver la
tarea
Responde a
las preguntas
cortas del
profesor.
Copia en el
cuaderno la
solución
escrita en el
tablero
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Pcd, O, Pc,
O, A, Pc, ric,
R, Pc, Ar, A,
Pcd, ric, A,
Pc, ric, Pc,
ric, R, Pcd,
ric, Pc, ric,
R, Pc, ric
El profesor valida la
derivada que Hugo
ha calculado
incorrectamente, lo
que conlleva a un
conflicto semiótico
epistémico e
interaccional.
El profesor
identifica la
pendiente con la
función derivada
(Función versus
evaluación para un
valor) lo cual puede
causar un conflicto
epistémico.
El profesor plantea
la semejanza de una
función cúbica con
la letra ese (s) lo
cual es
desafortunado, ya
que en este caso la
gráfica no lo sería
de una función, lo
cual puede producir
conflictos
semióticos de
carácter epistémico
e interaccional.
- Hay
libertad para
pasar al
tablero en el
desarrollo
de la tarea,
se deja a
decisión del
estudiante si
desea pasar.
- No se
puede pasar
al tablero
con
capucha.
-La persona
que está en
el tablero
tiene que
explicar lo
que hace,
debe
escribir y
hablar.
-El profesor
debe validar
las
respuestas
de los
estudiantes.
-Siempre
que se
termine un
ejercicio, el
profesor
debe hacer
un recuento.
Capítulo 6. Caso Fernando 160
ecuación, las reglas de
derivación, etc.
Argumento:
(implícito) se ha
aplicado el
procedimiento
respectivo.
24-64 Cálculo de
la derivada
de la
función
compuesta
, y=(x3-2x)2
Lenguaje verbal: Se
usa ya conocido
(función, función
compuesta, función
interior, función
exterior, derivada,
multiplicación de
términos, derivada de
una función
compuesta, derivada
función interior,
derivada función
exterior, factores,
producto, suma,
potencia…)
Lenguaje simbólico:
Expresiones
algebraicas de: la
función y=(x3-2x)2,
función interna, función
externa, función
compuesta, derivada de
la función interna,
derivada de la función
externa, derivada de la
función compuesta.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: La derivada
de una función
compuesta, como
producto de la
derivada de la función
externa y la derivada
de la función interna.
Procedimientos: 1)
Dada la función
Proceso de
institucionalización
: El profesor explica
cómo identificar la
función interna y
externa en una
función compuesta
y como se prueba si
lo hecho está
correcto. Explica
como determinar la
derivada de una
función compuesta.
Proceso de
representación y
materialización: Se
utilizan en el tablero
signos matemáticos
reconocibles para el
grupo.
Proceso de
descomposición:
Para derivar una
función compuesta se
descompone en el
producto de la
derivada de la
función interna y la
derivada de la
función externa.
Proceso de
mecanización: Se
trata de que los
alumnos realicen el
cálculo de la
derivada de una
función (potencia)
-Propone la
función a
trabajar
-Cuestiona a los
estudiantes sobre
la forma de
solucionar el
ejercicio.
-Propone la
función interna y
externa de la
función
compuesta dada
y prueba que
efectivamente es
una función
compuesta.
-Soluciona el
ejercicio
propuesto.
-Interroga a los
estudiantes sobre
la factorización.
-Asume
responsabilidad
ante
equivocación
- Las
iniciales.
-Trabaja
sobre el
ejercicio
propuesto por
el profesor
- Corrobora
que se trata de
una función
compuesta.
- Plantea la
forma de
determinar la
derivada de la
función
compuesta.
-Propone
formas
alternas para
desarrollar la
derivada de
una función
compuesta
(desarrolland
o el binomio
al cuadrado).
-Participa en
la clase con
aportes
cortos.
- Valida el
desarrollo que
se hace en el
tablero,
Corrigiendo
errores si los
hay.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Pm, ric, Pc,
ric, pa, ric,
ric, R, Pc,
ric, A, Pc,
ric, Pc, ric,
A, Pc, Ar,
Pc, ric, Pm,
ric, Pc, ric,
A, Pc, Ar, ic,
Pc, ria, Ap,
Ant, Pc, Ar,
A, Pc, ric,
Pc, rgc, A,
ic, A, Pm,
ria, A, Pc,
ric, Ap, A,
Pc, pc, Rc,
pc, rgc, Pc,
ric, Pc, ric,
A.
El profesor quería
decir la función
interna y externa,
más no la interior y
exterior que tienen
otro significado en
Topología. Se pude
decir que se tiene un
conflicto semiótico
de tipo epistémico
ya que es el profesor
el que se expresa, al
igual que de tipo
interaccional en su
relación con los
estudiantes.
El profesor expresa
la función y=(x3-2x)2
como una función
compuesta donde
define como función
exterior f(x)=x2 e
interior g(x)= x3 -2x.
Obsérvese que no
cambia de variable al
definir la función
compuesta lo cual
produce un conflicto
semiótico cognitivo
potencial.
El alumno A4 le
plantea al profesor
que, si no se puede
desarrollar el
binomio y luego
derivar, sin
embargo, el profesor
-Hay que
probar lo
que se
desarrolla
-Se debe
priorizar el
desarrollo
más corto.
-Hay que
concentrarse
para poder
trabajar bien
los
ejercicios.
- La
respuesta
debe
simplificars
e al
máximo.
Capítulo 6. Caso Fernando 161
compuesta determinar
cuál es la función
interna y cuál la
externa. 2) Derivar
estas funciones. 3)
Determinar la derivada
de la función
compuesta como el
producto de las
derivadas del paso
anterior.
Proposiciones:
El alumno A3 propone
la forma para
determinar la derivada
de una potencia
compuesta.
El alumno A5 propone
desarrollar el binomio
y luego derivar.
Propiedades:
Aplicación de
propiedades ya
conocidas, como
reglas de derivación,
producto de
polinomios…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del ejercicio.
Explícitos:
Explicación del
procedimiento para
determinar la derivada
de la función
compuesta.
compuesta
aplicando la regla
de la cadena.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
docente.
le manifiesta que ese
método es más largo
y no da mayor
explicación. Por lo
tanto, hay allí un
conflicto semiótico
de tipo cognitivo, ya
que no fue resuelta
su duda.
El alumno A4, dicta
el desarrollo de la
derivada de la
función compuesta
propuesta sin
resaltar
explícitamente la
función interna y
externa, pero de
forma correcta, sin
embargo el profesor
sigue insistiendo en
diferenciar la
función externa e
interna
escribiéndolas, lo
que puede causar un
conflicto semiótico
cognitivo potencial
en el estudiante el
cual ya tiene el
concepto claro pero
por la insistencia del
profesor puede
interpretar que aún
no tiene bien el
proceso.
Adicionalmente se
puede decir que se
presenta también un
conflicto semiótico
de tipo interaccional.
El profesor al
desarrollar el
ejercicio propuesto
omite un exponente
el cual es corregido
Capítulo 6. Caso Fernando 162
por el alumno A4,
pero en un
desarrollo posterior,
lo que implica que
el grupo ya había
asumido como
correcto ese
desarrollo, así que
se presenta un
conflicto semiótico
cognitivo.
El profesor en la
respuesta que le
asesora A4,
multiplica la
constante por uno de
los factores no dando
la respuesta lo más
factorizada posible y
dando la idea de que
hay que multiplicar,
posible problema
porque no siempre se
puede hacer, lo cual
lleva implícito dos
tipos de conflictos
semióticos, uno
epistémico ya que se
trata de la
concepción del
profesor y otro
potencial cognitivo.
65-93 Cálculo de
la segunda
derivada
de la
función
compuesta
anterior.
Lenguaje verbal: ya
conocido (Segunda
derivada, regla del
producto para
derivadas, propiedad
distributiva, primer
factor, derivada,
segundo factor, suma,
producto, derivada
interna, ordenar
términos, primera
derivada, máximos,
Proceso de
institucionalización
: El profesor explica
cómo se determina
la segunda derivada
de una función a
partir de la primera
derivada. En este
caso aplicando la
regla del producto.
Adicionalmente
explica para que se
Pregunta sobre
como hallar la
segunda
derivada de las
funciones
obtenidas.
-Soluciona el
ejercicio
propuesto.
-Interroga sobre
la incidencia de
la primera y
-Las iniciales.
-Opina sobre
el
procedimient
o a seguir para
solucionar el
ejercicio,
recordando
fórmulas
básicas.
-Opina que
hay que
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
A, Pc, ric,
Pc, ria, Pc,
Sp, Pm, rgc,
Pm, rgc, A,
Pc, rgc, A,
ic, Ap, Pc,
Ar, ic, Ap,
Pc, Ar, Pc,
ric, Pc, ric,
R, ic, Pm,
pc, Ra, ic, A,
Pc, Ar, ic, A
-Los
alumnos
pueden
sugerir
correcciones
a lo
ejecutado en
el tablero.
Capítulo 6. Caso Fernando 163
mínimos, puntos de
inflexión, curvatura,
Geometría, simetrías,
derivadas de orden
superior …)
Lenguaje simbólico:
Expresiones
algebraicas de: la
derivada de una
función compuesta, la
derivada del primer
factor, la derivada del
segundo factor,
producto de funciones,
suma de términos
semejantes.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: Derivada
de un producto de
funciones.
Procedimientos: 1)
Plantear la derivada
general de un producto
de funciones. 2)
calcular la derivada de
cada factor. 3)
determinar la derivada
de la función
compuesta,
reemplazando los
términos de acuerdo al
planteamiento en 1).
Propiedades:
Aplicación de
propiedades ya
conocidas, como
reglas de derivación,
producto y suma de
polinomios, reducción
de términos
semejantes…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
usa el concepto de
segunda derivada,
especialmente en la
gráfica de
funciones.
Proceso de
particularización:
Se enuncia la regla
general de la forma
de determinar la
derivada de un
producto de
funciones y se
desarrolla como
caso típico el
ejercicio propuesto.
Proceso de
descomposición:
El producto es
descompuesto en
factores los cuales
se derivan para
aplicar la regla de la
derivada de un
producto de
funciones.
Proceso de
mecanización: La
meta es que los
alumnos realicen el
cálculo de la
derivada de un
producto de
funciones aplicando
la regla de la
cadena.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
docente.
segunda
derivadas en las
gráficas de
funciones.
-Ordena la
respuesta en el
tablero.
-Interroga sobre
la aplicación de
la primera y
segunda
derivada en las
gráficas de
funciones.
-Aclara en
Geometría para
que se utilizan
las derivadas.
-Determina el
nombre de las
derivadas.
ordenar los
términos de la
respuesta.
-Explica para
que se utilizan
los máximos
y mínimos.
-Lanzar
hipótesis
sobre el
nombre de las
derivadas de
este tipo.
(efecto
Jourdan).
Capítulo 6. Caso Fernando 164
adecuados para la
solución del ejercicio.
Explícitos:
Explicación de la
aplicación de la regla
del producto como
base para determinar la
derivada de la función
compuesta.
94-111 Cálculo de
la derivada
de la
función
compuesta
, √( 4𝑥3 −5𝑥 + 2)
Lenguaje verbal:
función interna,
función externa,
ejercicio, derivada,
raíz, elevada a la un
medio, regla de la
cadena, producto,
simplificación…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica
de: la función radical
f(x)=√4𝑥3 − 5𝑥 + 2 ,
la función como
potencia, derivada de
la función externa,
derivada de la función
interna, derivada de la
función compuesta,
respuesta expresada en
forma radical…
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Procedimientos: 1)
Expresar el radical
como una potencia. 2)
Derivar la función
externa (la potencia).
3) derivar la función
interna. 4) multiplicar
las dos derivadas. 5)
Expresar la respuesta
determinada en forma
de potencia como un
radical y simplificar.
Propiedades: Se
aplican unas ya
Proceso de
institucionalización
: El profesor explica
cómo convertir un
radical en una
potencia y luego
desarrolla el
ejercicio propuesto
en el tablero, con
pequeñas
intervenciones de
los estudiantes.
Proceso de
comunicación:
Interviene
básicamente el
docente, pero hay
intervenciones de
los estudiantes.
Proceso de
mecanización: La
idea es que se
desarrolle el
ejercicio aplicando
la regla de la
cadena para una
potencia.
Proceso de
particularización:
Se enuncia en
forma general la
regla para
desarrollar una
función compuesta
cuando se trata de
una potencia y se
desarrolla como
-Propone el
ejercicio de
desarrollo.
- Plantea el
expresar una raíz
como una
potencia.
-Desarrolla el
ejercicio con
participación de
los estudiantes.
-Declara la
imposibilidad de
factorización de
la expresión
resultante.
-Los iniciales.
-Contesta al
profesor las
preguntas que
plantea (como
expresar una
raíz en
términos de
potencia).
-Resalta
posibles
reglas de la
clase (Como
el profesor no
simplifica, en
el parcial
también se
puede dejar
así).
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Pm, ria, Pm,
ria, Pc, ric,
A, ic, ic, Pc,
ric, A, Pc,
ric, A, pc,
Rc.
Capítulo 6. Caso Fernando 165
conocidas como:
derivadas de términos
sencillos, producto de
polinomios, reglas de
factorización.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del ejercicio.
Explícitos:
Justificación de la
expresión de un radical
como una ´potencia y
explicación de la
aplicación de la regla
de la potencia como
base para determinar la
derivada de la función
compuesta.
caso particular el
ejercicio propuesto. Proceso de
representación y
materialización: Se
utiliza en el tablero
una simbología que
es comprensible para
el grupo.
112-130 Cálculo de
la derivada
de la
función
compuesta
, f(x)=
(4𝑥3 −
5𝑥2
3)−2
(3x-4)3
Lenguaje verbal:
función, función
producto, función
interna, función
externa, regla del
producto, producto,
suma, potencia,
factorización…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica
de: la función f(x)=
(4𝑥3 − 5𝑥2
3)−2 (3𝑥 −4)3, la derivada del
producto, derivada de
cada factor, derivada de
la función compuesta,
factorización.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: La regla del
producto para
derivadas, la regla de
la potencia para
derivadas.
Procedimientos: 1)
Proceso de
institucionalización
: El profesor explica
cómo se desarrolla
la regla de la
cadena cuando se
tiene un producto
de funciones,
desarrollando el
ejercicio.
Proceso de
comunicación: Hay
diálogo entre
docente y
estudiantes para
determinar el
producto y para el
desarrollo del
ejercico.
Proceso de
mecanización: Se
desarrolla el
ejercicio aplicando
la regla de la
cadena para un
producto.
-Plantea una
función
compuesta como
un producto,
aunque
perfectamente se
pudiera haber
propuesto como
un cociente ya
que uno de los
factores tiene
exponente
negativo.
-Precisa que son
dos funciones y
cada una tiene su
función interna y
externa.
-Interroga sobre
su desarrollo.
-Deja pausa para
trabajo de los
estudiantes.
-Soluciona el
ejercicio con
pequeñas
intervenciones
-Las mismas
iniciales.
-Contesta al
profesor
algunas
preguntas
sobre la
operación
básica de esa
función
compuesta, el
producto.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Pc, Sp, Pc,
ric, Pm, ric,
A, ric, Pc,
ric, E, Pc,
ric, A, Pc,
ric, Pc, ria,
A, ic, ria, Pc,
Ar, E.
La profesora realiza
la derivada de forma
directa olvidándose
ahora de separar la
función externa e
interna, lo cual
puede producir un
potencial conflicto
semiótico cognitivo.
Capítulo 6. Caso Fernando 166
Aplicación de la
derivada de un
producto de funciones.
2) derivar cada factor.
3) Determinar la
derivada de la función
compuesta mediante el
reemplazo de las
derivadas de 2) en 1)
Propiedades: Se
aplican unas ya
conocidas como:
derivadas de términos
sencillos, producto de
polinomios, reglas de
factorización.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del ejercicio.
Explícitos: explicación
de la aplicación de la
regla del producto y la
potencia como base
para determinar la
derivada de la función
compuesta.
Proceso de
particularización:
Se enuncia en
forma general la
regla para
desarrollar una
función compuesta
cuando se trata de
un producto y se
desarrolla el
producto propuesto. Proceso de
representación y
materialización: Se
utiliza en el tablero
una simbología que
es clara en su
significado para
todos.
de los alumnos.
-Propone
factorizar el
resultado, pero
no lo hace.
131-186 Cálculo de
la derivada
de la
función
compuesta
f(x) =
(8𝑥4 −2𝑥2 +3)7/(3𝑥 −2)2
Lenguaje verbal:
función compuesta,
cociente, producto,
potencia,
factorización,
exponente negativo,
términos semejantes.
Función potencia,
primer término,
derivada del segundo,
segundo término,
derivada del primer
término, suma, regla
del producto, función
cociente.
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica
de: la función f(x)=
(8𝑥4 − 2𝑥2 +
Proceso de
institucionalización
: El profesor explica
cómo se coloca un
cociente como
producto y luego
también explica el
desarrollo del
ejercicio aplicando
la regla de la
cadena para un
producto.
Proceso de
comunicación: Hay
participación de los
estudiantes y el
docente en el
desarrollo del
ejercicio.
-Complementa el
ejercicio
propuesto por el
estudiante A5.
-Hace pausa para
dar opción a que
los estudiantes
trabajen.
-Realiza la
corrección que
propone el
estudiante A3.
-Cuestiona a los
estudiantes sobre
el método más
corto para
solucionar el
ejercicio, según
ella el del
-Los mismas
iniciales.
A5. -Propone
ejercicios
cuando el
docente da la
oportunidad.
-Identifica la
operación
básica del
ejercicio
propuesto en
el tablero
(producto).
-Plantea lo
que dice la
regla del
producto para
derivadas.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
O, pc, O, ric,
Ap, ic, Pc,
ric, A, Pc,
ric, A, Pc,
ric, Pc, ric,
R, ric, Ap,
Pc, ric, ric,
A, Pc, Sp, E,
Pc, ric, Pc,
ria, Pc, ric,
Pm, ric, A,
Pc, ric, E, ic,
Pc, ia, Pc,
ric, Ag, A,
Pm, pc, A,
De, ic, E, ic,
A, pc, Pc,
Ar, E, ic, A,
ia, E, Pc, ric,
El docente propone
un ejercicio
expresado como
producto pero que
también puede ser un
cociente ya que uno
de los exponentes es
negativo y todo el
tiempo insinúa que
la regla a aplicar es
el producto. En este
caso se presenta un
potencial conflicto
semiótico cognitivo.
Propone que lo
siguiente es
factorizar la
expresión, pero no lo
Capítulo 6. Caso Fernando 167
3)7/ (3𝑥 − 2)2,
La función como
producto, regla del
producto, derivada de la
función compuesta,
factorización, términos
semejantes…
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: La regla del
producto para
derivadas, la regla de
la potencia para
derivadas.
Procedimientos: 1)
expresar el cociente
como un producto. 2)
Aplicar la regla del
producto para
derivadas. 3)
simplificar y factorizar
la expresión resultante.
Propiedades: Se
aplican unas ya
conocidas como:
propiedades de las
potencias, derivadas de
términos sencillos,
producto de
polinomios, reglas de
factorización.
Proposiciones:
El ejercicio se puede
abordar como
producto o como
cociente. Se escoge la
opción como producto,
aunque se había
sugerido el desarrollo
por los dos lados y
comparación de
respuestas.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
Proceso de
mecanización: Se
desarrolla el
ejercicio aplicando
la regla de la
cadena para un
producto.
Proceso de
particularización:
Se enuncia en
forma general la
regla para
desarrollar una
función compuesta
cuando se trata de
un producto y se
desarrolla el
producto propuesto. Proceso de
representación y
materialización: Se
utiliza en el tablero
una simbología que
es clara en su
significado para
todos.
Proceso de
comparación: Se
planteó la posibilidad
de desarrollar el
ejercicio por el
cociente o por el
producto, esperando
el mismo resultado.
producto
-Propone que se
trabaje por los
dos lados, por el
producto y por el
cociente, pide
que se haga este
trabajo.
-Desarrolla el
ejercicio por el
método del
producto, con
ayuda de los
estudiantes.
-plantea la
factorización la
cual desarrolla.
-Corrige la
expresión que
falta de acuerdo
a lo que sugiere
A5.
-Hace pausa para
que los
estudiantes
copien lo que
está en el
tablero-
-Desarrolla el
ejercicio por el
método del
cociente, casi sin
participación de
los estudiantes.
-Plantea que se
debe factorizar,
sin embargo, no
lo hacen.
-Aclara dudas
sobre lo
desarrollado en
el tablero.
-Corregir las
fallas, si las
hay, de lo
propuesto
como
solución en el
tablero.
-Opina sobre
la forma de
solucionar el
ejercicio
como un
cociente.
E, Pc, ric, E,
pc,
hace, es decir el
estudiante queda con
la duda de cómo se
hace, no hay una
institucionalización
de la factorización,
por lo cual se
presenta un conflicto
semiótico potencial
cognitivo.
Nuevamente al
docente se le olvida
un exponente que es
corregido
posteriormente
cunado ya están
haciendo otro
trabajo por el
estudiante A3.
Nuevamente el
grupo ya había
asumido como
correcto ese
desarrollo, así que
se presenta un
conflicto semiótico
cognitivo.
El profesor
desarrolla el
ejercicio por los dos
métodos, por el
método del producto
y por el método del
cociente, sin
embargo, no
comparó resultados
para mostrar a los
estudiantes que son
equivalentes. Se
puede presentar un
conflicto semiótico
de tipo cognitivo.
Capítulo 6. Caso Fernando 168
adecuados para la
solución del ejercicio.
Explícitos: explicación
de la aplicación de la
regla del producto y la
potencia como base
para determinar la
derivada de la función
compuesta. Aclaración
de la forma de
factorización y
simplificación de
términos.
187-270 Solución
de un
problema
de
aplicación
a la Física
que
requiere la
derivad de
funciones
compuesta
s
Lenguaje verbal:
problema, gas, globo
esférico, razón
constante, segundo,
forma esférica,
rapidez, radio del
globo, longitud del
globo, ejercicio,
esfera, volumen,
fórmula, regla de la
cadena, derivada, pi,
derivada, regla de la
cadena…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica
de: fórmula del
volumen de la esfera,
derivada del volumen
con respecto al tiempo,
datos conocidos del
problema, regla de la
cadena, ecuación
diferencial del
volumen, derivada del
radio con respecto al
tiempo…
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Proceso de
institucionalización
: El profesor explica
cómo se desarrolla
el problema
aplicando la regla
de la cadena con
cambio de variable.
Proceso de
comunicación: Hay
interacción de los
estudiantes con el
docente y entre los
estudiantes.
Proceso de
generalización: Se
enuncia la regla de
la cadena con
cambio de variable
para la solución del
problema, es decir
para un caso
específico y de ahí
deducen los
estudiantes que se
está aplicando la
regla de la cadena. Proceso de
representación y
materialización: Se
Propone un
problema de
aplicación de un
contexto
extramatemático
.
-Hace aclaración
sobre los datos
que da el
problema,
volumen de la
esfera y
velocidad
constante.
-Plantea las
ecuaciones
iniciales y
continúa
desarrollando el
ejercicio con
poca
participación de
los estudiantes.
Ahora si plantea
la solución como
función
compuesta con
cambio de
variable.
-Aclara dudas de
lo planteado.
-Los iniciales.
-Contesta al
profesor
preguntas
sobre el
volumen de
una esfera.
-Aclara
aspectos
sobre los
datos que
aporta el
problema.
-Opina sobre
la derivada
del volumen.
Identificar
que pide el
problema.
-Solicita a la
profesora la
simplificación
de los
términos.
- Pide al
profesor
aclaración
sobre cómo se
saca la
derivada del
volumen.
Configuración
magistral
en gran grupo.
D, pc, D, pc,
D, Pm, ria,
A, Pc, ric, A,
Pc, ric, Pc,
ric, Pc, ric,
Ap, A, Pc,
ric, R, Pc,
ric, ric, A,
Pc, rgc, ric,
Pc, rgc, A,
ic, E, ia, E,
Pm, ric, ric,
Pm, ric, ric,
Pm, pc, A,
Pc, ric. A, ic,
R, Pc, ric, A,
Pc, ric, A, ic,
R, A, Pc, ric,
E, Pc, ric, A,
Pc, ric, Pm,
Ar, ic, E, Pc,
pc, Rc, Pc,
ric, Pm, ric,
ric, E, Pc,
ric, R, De,
A, Pc, ric, R,
Ant, ia, Ant,
ic, Pc, ric, A,
De, ic, A,
De.
El profesor presenta
para solucionar el
problema la regla de
la cadena con
cambio de variable
dV/dt=(dv/dr)(dr/dt)
, aspecto que no fue
enfocado en ningún
momento de la clase
aunque fue lo que
intentó el profesor al
comenzar la clase.
Lo anterior implica
un conflicto
semiótico
interaccional.
El estudiante A6
pregunta cómo se
derivó el volumen y
no entiende por qué
no se aplicó la regla
del producto. El
profesor aclaró que
se trataba de una
constante por una
función. En este caso
se presentó un
conflicto semiótico
cognitivo de tipo
interaccional.
-Para
solucionar
un problema
siempre hay
que analizar
que dan y
que piden.
Capítulo 6. Caso Fernando 169
Explícitas: expresión
de la fórmula del
volumen de una
esfera. Explicación de
la regla de la cadena 𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Procedimientos: Como
se trata de solucionar un
problema, el proceso
seguido fue: 1)
Identificación de los
datos que da el
problema. 2)
Determinación de la
fórmula para calcular el
volumen de una esfera.
3) derivar el volumen
con respecto al tiempo,
aplicando la regla de la
cadena. 4) reemplazar
datos conocidos y
despejar la derivada del
radio con respecto al
tiempo, que es la
solución a la pregunta.
Propiedades: Se
aplican unas ya
conocidas como:
transposición de
términos, propiedades
de las potencias,
derivadas de términos
sencillos y regla de la
cadena, producto de
polinomios.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del problema.
Explícitos: explicación
de la determinación de
la fórmula del volumen
de una esfera.
Aclaración sobre la
aplicación de la regla
escriben en el tablero
signos que son claros
para todos los
presentes en la clase.
Proceso de
descomposición: Se
descompone el
volumen que está
con respecto al
tiempo, en términos
del radio y el radio
con respecto al
tiempo 𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
-Realiza síntesis
del proceso una
vez terminado el
ejercicio.
-Pregunta
cómo se
comprueba
que la
respuesta es
correcta. La
cual no se
responde.
El estudiante A3
pregunta cómo se
comprueba si la
respuesta es
correcta, aspecto que
no recibió respuesta,
continuando el
profesor con la
propuesta de la tarea.
Se tiene un conflicto
semiótico de tipo
cognitivo.
Capítulo 6. Caso Fernando 170
de la cadena.
Aclaración de la forma
de despejar la
incógnita.
271-272 Solución
de dos
ejercicios
como
trabajo
extraclase
Lenguaje verbal: tarea,
ejercicios.
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica
de las funciones f(x) =
Sen(Cos2x)+Cos(Sen2x
)
f(x)= √𝑥 + √𝑥 + √𝑥.
Definiciones:
Implícitas, lenguaje
conocido.
Proposiciones:
El Profesor propone
dos ejercicios para
determinar la derivada
de funciones
compuestas, donde
incluye funciones
trigonométricas, para
la siguiente clase.
Proceso de
representación y
materialización: Se
escriben en el tablero
signos que son claros
para todos.
-Propone dos
ejercicios para
determinar la
derivada de
funciones
compuestas,
donde incluye
funciones
trigonométricas,
para la siguiente
clase.
-Termina la
clase.
Copia los
ejercicios
propuestos
como trabajo
extraclase.
Configuración
magistral
mecanicista.
D, Ant. -Se debe
dejar tarea
al terminar
la clase.
-En esta
clase el que
utiliza el
tablero es el
profesor,
excepto para
el desarrollo
de la tarea
de la clase
anterior.
Casi toda la
sesión de
clase.
- los
estudiantes
deben
intervenir
cuando el
profesor lo
solicite.
-Hay que
aclarar
dudas de los
estudiantes.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 6. Caso Fernando 171
En la siguiente tabla se plantea el análisis de la idoneidad didáctica sugerido por
Godino (2011), desde el Enfoque Ontosemiótico. Se aclara que los componentes e
indicadores se tomaron textuales, sin embargo, para poder mostrar una relación entre ellos,
se asumió la evaluación desde el ángulo bivalente de si o no. De acuerdo con lo anterior cada
indicador recibió el puntaje de 0% o 100%; para las componentes, se promediaron sus
indicadores; siguiéndose el mismo proceso para la idoneidad.
Tabla 13. Indicadores de idoneidad primera clase.
Componentes: Indicadores S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 46.4%
Situaciones-
Problemas
0%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación.
X
Se proponen situaciones de generación de problemas
(problematización).
X
Lenguajes
66% Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige. X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación. X
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
66%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del
tema para el nivel educativo dado-
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones proposiciones o procedimientos.
X
Argumentos
50% Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas
al nivel educativo a que se dirigen.
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar. X
Relaciones
50% Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,
etc.) se relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que
intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 66.6 %
Conocimientos previos
(Se tienen en cuenta los
mismos elementos que para la
idoneidad epistémica)
100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el
estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor
planifica su estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad
manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares a
las diferencias individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X
Aprendizaje:
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la
apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas:
X
Capítulo 6. Caso Fernando 172
Se tienen en cuenta los mismos
elementos que para la
idoneidad epistémica)
0%
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa
y argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional;
competencia metacognitiva.
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia.
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
X
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 66.6%
Intereses y necesidades
50% Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Actitudes
50%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el
argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
100% Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 18.2%
Interacción docente-discente
40%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación
clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los
conceptos clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.)
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre alumnos
33% Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
matemáticos
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía
0%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan
soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y
conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 66.6%
Recursos materiales
(Manipulativos, calculadoras,
ordenadores).
0%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten
introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos,
argumentaciones adaptadas al contenido pretendido
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas
usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones
X
Número de alumnos, horario
y condiciones del aula
100%
El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la
enseñanza pretendida
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten
todas las sesiones a última hora)
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo
del proceso instruccional pretendido
X
Capítulo 6. Caso Fernando 173
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/tutorización; tiempo de
aprendizaje).
100%
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza
pretendida
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del tema
X
Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más
dificultad de comprensión
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 60%
Adaptación al currículo
100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden
con las directrices curriculares
X
Apertura hacia la innovación
Didáctica.
0%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC,
etc.) en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio-
profesional y cultural
100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes
X
Educación en valores
0%
Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico
X
Conexiones intra e
Interdisciplinares
100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares
X
Fuente: Godino (2011).
Igualmente, desde el Enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino,
2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono regular como una
forma de observar las diferentes facetas de la práctica docente. Sin embargo, se aclara que
se cambió la manera de mostrar la información; se trazan tres hexágonos como referencia,
el interno representa el 33%, el medio el 66% y el externo el 100%, pero se pueden tomar
valores de 0% a 100%. El ideal es aproximarse al 100% en cada una de las idoneidades.
Para la clase en cuestión, en el siguiente gráfico se muestra la resultante.
Figura 14. Resumen de las Idoneidades de la primera clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas,Godino, 2010; Godino, Font,
Wilhelmi y Castro, 2009).
Capítulo 6. Caso Fernando 174
En esta clase de Fernando se pueden señalar algunos aspectos por mejorar, desde el
punto de vista de la idoneidad didáctica:
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 46.4%). No se propusieron en la clase
situaciones problema que permitieran la contextualización, aplicación y ejercitación de
saberes; tampoco escenarios donde el estudiante planteara expresiones matemáticas y su
interpretación, al igual que pudieran negociar los significados de procedimientos,
definiciones o proposiciones y argumentar sobre ello. Así mismo no se privilegió el uso de
diferentes significados de los objetos identificados en las prácticas matemáticas.
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 66.6%). No se mostró o identificó alguna forma
que propusiera el docente como evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre
otros aspectos la comprensión conceptual y proposicional, el avance en las competencias
comunicativa, argumentativa y metacognitiva, y la comprensión situacional. Como no hubo
evaluación no se puede concluir si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de
comprensión y competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta
evaluación se usan para tomar decisiones.
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 66.6%). No se proponen situaciones de contexto
que permitan valorar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana y profesional, tampoco
se promueve la participación en actividades donde se resalten los valores.
Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 18.2%). No se plantean situaciones para
identificar y solucionar los conflictos de los estudiantes, al igual que no se valoran los
argumentos de los estudiantes para llegar a consensos. No hay variedad de recursos retóricos
y argumentativos para motivar a los estudiantes, hay poca participación de los estudiantes
en la clase, no se facilita la comunicación y el diálogo con ellos, y entre ellos. El control de
la clase siempre es del docente, no hay momentos donde se deje la responsabilidad de la
clase al estudiante, y no hay un medio para identificar el progreso sistemático de los
estudiantes.
Capítulo 6. Caso Fernando 175
Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 66.6%). No se usaron materiales
manipulativos ni informáticos para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos
pretendidos. No se utilizaron modelos concretos y visualizaciones para contextualizar las
definiciones y propiedades de la clase.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 60%). No se presentan aspectos que tengan que
ver con la innovación, producto de la investigación y la práctica reflexiva. No hay
integración de nuevas tecnologías en el proyecto educativo.
Segunda clase.
La clase tuvo una duración de una hora y veintinueve minutos (1:29), orientada
igualmente al segundo semestre de la Licenciatura en Matemáticas.
Se desarrolló básicamente el siguiente proceso: el profesor planteó para iniciar la
clase un ejercicio sobre tasas relacionales que luego él mismo solucionó con
intervenciones cortas de los estudiantes; luego propuso un problema de aplicación que
solucionó igualmente en el tablero, explicó y permitió intervenciones cortas de los
estudiantes. De la misma manera formuló uno a uno tres problemas también sobre tasas
relacionales, los cuales solucionó luego de dar un tiempo prolongado para que los
estudiantes de forma individual o grupal los analizaran. Posteriormente, el profesor
planteó que hay muchas aplicaciones de las derivadas y entre ellas señaló las gráficas de
funciones. A continuación, explicó el procedimiento para determinar máximos y
mínimos, sobre la gráfica de una función definida en forma general. Luego propuso
determinar los puntos críticos, máximos y mínimos de la función f(x) = 3x4- 4x3 en el
intervalo cerrado [-1,2]; fue explicando progresivamente el procedimiento, permitiendo
intervenciones cortas de los estudiantes. Seguidamente expuso la forma para identificar los
intervalos donde las funciones son crecientes o decrecientes, y la aplicación de estos
conceptos a las gráficas de funciones; además la manera de determinar los números críticos,
máximos, mínimos y gráfica de la función f(x)=3x4-16x3+18x, en el intervalo [-1,4], aspecto
que desarrolló en el tablero luego de dejar a los estudiantes un tiempo para analizar la
Capítulo 6. Caso Fernando 176
situación. Finalmente solicitó calcular los valores críticos y los intervalos en los que la
función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3
2𝑥2 es creciente o decreciente y la gráfica; el profesor solucionó el
ejercicio siguiendo la misma metodología que en los casos anteriores. (Observación de clase,
19 noviembre 2013).
La clase se dividió en 8 configuraciones didácticas (Font, Planas, Godino, 2010) de
acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque Ontosemiótico. A
continuación, se presenta el análisis didáctico realizado.
Capítulo 6. Caso Fernando 177
Tabla 14. Análisis Segunda clase.
Líneas
transcripción
Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones del
profesor
Funciones de los
alumnos
Tipo de
configuración
didáctica
Patrones
de
interacción
Conflictos Normas
1-8 Solucionar el
ejercicio: que
si x y y son
funciones
derivables de
t, las cuales
están
relacionadas
por la
función
y=x2+3
hallar 𝑑𝑦
𝑑𝑡
cuando xes
igual a 1.
Dado que 𝑑𝑥
𝑑𝑡
=2 cuando x
es igual a 1
Lenguaje verbal: Se usa un
lenguaje verbal ya conocido
(problema, función, función
derivable, derivada, primera
derivada, segunda derivada,
variable, regla de la cadena,
derivación implícita,
ecuación,…)
Lenguaje Simbólico:
expresiones algébricas de la
función y=x2+3, de la
derivada de y con respecto a t
y la derivada de x con
respecto a t,...)
Definiciones implícitas (las
mismas que aparecen en el
lenguaje verbal)
Procedimiento: 1) Dada la
función hallar la derivada con
respecto a t aplicando la regla
de la cadena. 2) Reemplazar
los valores conocidos en la
anterior expresión. 3)
Despejar 𝑑𝑦
𝑑𝑡 y calcular su
valor.
Propiedades: Se usan
propiedades conocidas como
son las de la transposición de
términos de una ecuación, las
reglas de derivación, regla de
la cadena, derivación
implícita, etc.
Argumento: (implícito) se ha
aplicado el procedimiento
respectivo.
Proceso de
institucionalización
El profesor
soluciona el
ejercicio y lo explica
paso a paso.
Proceso de
mecanización: Se
trata de que los
alumnos practiquen
el cálculo de la
regla de la cadena
con cambio de
variable.
Proceso de
representación y
materialización. El
profesor escribe en
el tablero signos
matemáticos
interpretables como
los correspondientes
a la derivada de una
función compuesta
con cambio de
variable.
- Plantea la
distribución de la
clase a nivel de
motivación.
- Hace mención
de la tarea que se
tenía para la
clase.
- Asigna el
ejercicio a
desarrollar y lo
propone en el
tablero.
- Soluciona el
ejercicio
propuesto.
- Resalta como se
debe desarrollar
en forma general
un ejercicio de
este tipo.
Responde a las
preguntas cortas
del profesor.
Copia en el
cuaderno la
solución escrita
en el tablero.
Pregunta cuando
tiene dudas.
Configuración
magistral
mecanicista
en gran grupo.
O, pc, Rc,
Ant, D, E,
Pc, ric, E,
Pc, ric, Sc
El profesor
plantea un
problema que
realmente es
ejercicio,
dejando la
idea que
problema y
ejercicio es lo
mismo. Tal
vez porque en
el texto viene
como
problema, lo
anterior
puede
producir un
conflicto
cognitivo de
tipo
epistémico,
cognitivo e
interaccional.
-El profesor
es el que
define
cómo se
debe
desarrollar
la clase.
-El profesor
propone los
ejercicios a
desarrollar.
-El profesor
es el que
desarrolla el
ejercicio
con
pequeños
apoyos de
los
estudiantes.
-Siempre
que se
termine un
ejercicio, el
profesor
debe hacer
un
recuento.
- Al
terminar el
profesor el
ejercicio el
profesor
deja un
espacio de
tiempo para
que los
estudiantes
Capítulo 6. Caso Fernando 178
terminen de
copiar para
estar todos
atentos a la
siguiente
actividad
9-15 Solución del
problema: Una piedra se
deja caer
sobre un
estanque en
reposo y
produce
ondas
circulares
concéntricas.
El radio r de
la onda
exterior crece
a ritmo
constante de
30
centímetros
por segundo.
Cuando su
radio es de
120
centímetros.
¿A qué ritmo
está
creciendo el
área total de
la zona
perturbada?
Lenguaje verbal: Se usa ya
conocido (problema, radio,
ritmo constante, área,
circunferencia, función
compuesta, derivada,
derivada de una función
compuesta, …)
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas,
entre otras de la función A =πr2, derivada de A con
respecto a t y de r con
respecto a t 𝑑𝐴
𝑑𝑡= 2πr
𝑑𝑟
𝑑𝑡,
dibujo de ondas concéntricas
para explicar el problema.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Procedimientos: 1) Dado el
problema leerlo y
comprenderlo si es posible
hacer una gráfica. 2)
Identificar los datos que da el
problema. 3) Determinar qué
pide el problema. 4) plantear
la fórmula básica. 5) derivar
la fórmula con respecto a la
variable solicitada en este
caso t. 6) Reemplazar los
valores dados en la ecuación
anterior
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como reglas de derivación,
especialmente la regla de la
cadena…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
Proceso de
institucionalización:
El profesor
soluciona el
ejercicio y lo explica
paso a paso.
Proceso de
representación y
materialización: Se
utilizan en el tablero
signos matemáticos y
gráficos reconocibles
para el grupo.
Proceso de
mecanización: Se
trata de que los
alumnos realicen el
cálculo de la
derivada de una
función compuesta
aplicando la regla
de la cadena con
cambio de variable
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
docente.
-Propone el
problema a
trabajar.
-Soluciona el
problema
propuesto.
- Retroalimenta
explicando
nuevamente
como se debe
desarrollar en
forma general un
ejercicio de este
tipo.
- Responde a las
preguntas cortas
del profesor.
- Copia en el
cuaderno la
solución escrita
en el tablero.
-Está atento a lo
que desarrolla la
profesora.
Configuración
magistral
mecanicista
en gran grupo.
Ant, D, A,
Pc, Ar, E,
Pc, ric, A,
int, E, pc,
A.
El profesor
habla del área
del círculo,
dejando
entrever que
círculo y
circunferencia
son
sinónimos, lo
que sería un
conflicto de
tipo
epistémico y
a la vez
interaccional.
-El profesor
propone los
problemas a
desarrollar.
-El profesor
es el que
desarrolla
los
problemas
con
pequeños
apoyos de
los
estudiantes.
-Siempre
que se
termine el
desarrollo
de un
problema,
el profesor
debe hacer
un
recuento.
-El profesor
debe
contestar
las
preguntas
cortas de
los
estudiantes.
Capítulo 6. Caso Fernando 179
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para
determinar la derivada de la
función compuesta con
cambio de variable.
16-17 Solución del
problema: Se
bombea aire
en un globo
esférico a
razón de
4.5cm3 por
minuto.
Hallar la
razón de
cambio del
radio cuando
este es de
2cm
Lenguaje verbal: problema,
gas, globo esférico, razón
constante, segundo, forma
esférica, rapidez, radio del
globo, longitud del globo,
ejercicio, esfera, volumen,
fórmula, regla de la cadena,
derivada, pi, derivada, regla
de la cadena…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de:
fórmula del volumen de la
esfera, derivada del volumen
con respecto al tiempo, datos
conocidos del problema,
regla de la cadena, ecuación
diferencial del volumen,
derivada del radio con
respecto al tiempo…
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Explícitas: expresión de la
fórmula del volumen de una
esfera. Explicación de la
regla de la cadena 𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Procedimientos: Como se trata
de solucionar un problema, el
proceso seguido fue: 1)
Identificación de los datos que
da el problema. 2)
Determinación de la fórmula
para calcular el volumen de
una esfera. 3) derivar el
volumen con respecto al
tiempo, aplicando la regla de
Proceso de
institucionalización:
El profesor explica
cómo se desarrolla
el problema
aplicando la regla
de la cadena con
cambio de variable.
Proceso de
comunicación: Hay
interacción de los
estudiantes con el
docente y entre los
estudiantes.
Proceso de
generalización: Se
enuncia la regla de
la cadena con
cambio de variable
para la solución del
problema Proceso de
representación y
materialización: Se
escriben en el tablero
signos que son claros
para todos los
presentes en la clase.
Proceso de
descomposición: Se
descompone el
volumen que está
con respecto al
tiempo, en términos
del radio y el radio
con respecto al
tiempo 𝑑𝑉
𝑑𝑡=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Propone un
problema de
aplicación de un
contexto
extramatemático.
-Hace aclaración
sobre los datos
que da el
problema,
volumen de la
esfera y
velocidad
constante.
-Plantea las
ecuaciones
iniciales y
continúa
desarrollando el
ejercicio con
poca
participación de
los estudiantes.
-Aclara dudas de
lo planteado.
-Realiza síntesis
del proceso una
vez terminado el
ejercicio.
-Los iniciales.
-Contesta al
profesor
preguntas sobre
el volumen de
una esfera.
-Opina sobre la
derivada del
volumen.
Configuración
magistral
en gran grupo.
O, D, A,
Pc, Ar, Pc,
ric, E, Sp,
pc, Rc,
-Para
solucionar
un
problema
siempre hay
que analizar
que dan y
que piden.
Capítulo 6. Caso Fernando 180
la cadena. 4) reemplazar datos
conocidos y despejar la
derivada del radio con
respecto al tiempo, que es la
solución a la pregunta.
Propiedades: Se aplican unas
ya conocidas como:
transposición de términos,
propiedades de las potencias,
derivadas de términos
sencillos y regla de la cadena,
producto de polinomios.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del
problema.
Explícitos: explicación de la
determinación de la fórmula
del volumen de una esfera.
Aclaración sobre la
aplicación de la regla de la
cadena. Aclaración de la
forma de despejar la
incógnita.
18-20 Solución del
problema:
Un avión
vuela a 6
millas de
altitud en
línea recta
hacia la
posición de
un radar. Sea
s la distancia
en millas
entre el avión
y el radar. Si
s está
decreciendo
a razón de
400 millas
por hora
cuando s es
10 millas.
¿Cuál es la
Lenguaje verbal: Se usa ya
conocido (teorema de
Pitágoras, velocidad, rapidez,
problema, función
compuesta, derivada,
derivada de una función
compuesta, …)
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas,
entre otras de la función
s2=x2+(6)2, derivada de s con
respecto a t y de x con
respecto a t 2𝑠
2𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑡=
𝑑𝑥
𝑑𝑡,
dibujo triangular para explicar
el problema. Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Procedimientos: 1) Dado el
problema leerlo y
comprenderlo si es posible
Proceso de
institucionalización:
El profesor
soluciona el
ejercicio y lo explica
paso a paso.
Proceso de
representación y
materialización: Se
utilizan en el tablero
signos matemáticos y
gráficos reconocibles
para el grupo.
Proceso de
mecanización: Se
trata de que los
alumnos realicen el
cálculo de la
derivada de una
función compuesta
-Propone un
problema de
aplicación de un
contexto
extramatemático.
-Hace aclaración
sobre los datos
que da el
problema, la
razón de
decrecimiento
-Plantea las
ecuaciones
iniciales y
continúa
desarrollando el
problema con
poca
participación de
los estudiantes.
- Responde a las
preguntas cortas
del profesor.
- Copia en el
cuaderno la
solución escrita
en el tablero.
-Pregunta
cuando algún
aspecto
matemático o
no, no se
entiende.
Configuración
magistral
mecanicista
en gran grupo.
D, A, E,
Pc, Ar, Pc,
Ar, A, Sp.
El profesor
habla de la
diferencia
entre
velocidad y
rapidez, pero
no la plantea
claramente, lo
que podría
provocar un
conflicto
cognitivo.
El profesor
propone los
problemas a
desarrollar.
-El profesor
es el que
desarrolla
los
problemas
con
pequeños
apoyos de
los
estudiantes.
-Siempre
que se
termine el
desarrollo
de un
problema,
Capítulo 6. Caso Fernando 181
velocidad del
avión?
hacer una gráfica. 2)
Identificar los datos que da el
problema. 3) Determinar qué
pide el problema. 4) plantear
la fórmula básica. 5) derivar
la fórmula con respecto a la
variable solicitada en este
caso t. 6) Reemplazar los
valores dados en la ecuación
anterior
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como reglas de derivación,
especialmente la regla de la
cadena…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del
problema.
aplicando la regla
de la cadena con
cambio de variable
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
docente.
Proceso de
generalización: Se
enuncia la regla de
la cadena con
cambio de variable
para la solución del
problema, es decir
para un caso
específico y de ahí
deducen los
estudiantes que se
está aplicando la
regla de la cadena
Proceso de
descomposición: Se
descompone el
espacio que está con
respecto al tiempo,
en términos de la
velocidad
-Aclara dudas de
lo planteado.
-Realiza
Síntesis del
proceso una vez
terminado el
problema.
el profesor
debe hacer
un
recuento.
21-22 Solución del
problema:
Una cámara
de televisión
está filmando
desde el
suelo el
despegue de
una nave
espacial que
sube
verticalmente
de acuerdo
con la
ecuación de
posición
s=50t2 donde
Lenguaje verbal: Se usa ya
conocido (teorema de
Pitágoras, ecuación posición,
razón de cambio, problema,
función compuesta, derivada,
derivada implícita, derivada
de una función compuesta,
…)
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas,
entre otras de la función r2=(2000)2+s2, derivada de r
y de s con respecto al tiempo
2r𝑑𝑟
𝑑𝑡+ 2𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡, dibujo triangular
para explicar el problema.
Proceso de
institucionalización:
El profesor
soluciona el
problema y lo
explica paso a paso.
Proceso de
representación y
materialización: Se
utilizan en el tablero
signos matemáticos y
gráficos reconocibles
para el grupo.
Proceso de
mecanización: Se
-propone el
problema a
desarrollar.
-Realiza el dibujo
pertinente para la
problemática
planteada.
-Hace aclaración
sobre los datos
que da el
problema, y lo
que pide la razón
de cambio.
-Plantea las
--Responde a las
preguntas cortas
del profesor.
- Copia en el
cuaderno la
solución escrita
en el tablero.
-Trata de
solucionar
inicialmente el
problema.
-Consulta con el
profesor cuando
Configuración
magistral
mecanicista
en gran grupo.
O, D, Sc,
A, Pc, Ar,
E, Pc, ric,
A, Pc, ric,
A, Sp.
El profesor
habla de
determinar la
razón de
cambio entre
la cámara y el
cohete, omite
la magnitud
es decir la
distancia, lo
cual puede
generar un
conflicto
cognitivo.
El profesor
propone los
problemas a
desarrollar.
-El profesor
es el que
desarrolla
los
problemas
con
pequeños
apoyos de
los
estudiantes.
Capítulo 6. Caso Fernando 182
s… esta
medida en
pies y t está
medida en
segundos. La
cámara está
situada a dos
mil pies de la
rampa de
lanzamiento.
Hallar la
razón de
cambio de
distancia
entre la
cámara y la
base de la
nave a los
diez
segundos de
despegue.
Definiciones:
Implícitas: (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Procedimientos: 1) Dado el
problema leerlo y
comprenderlo si es posible
hacer una gráfica. 2)
Identificar los datos que da el
problema. 3) Determinar qué
pide el problema. 4) plantear
la fórmula básica. 5) derivar
la fórmula con respecto a la
variable solicitada en este
caso t. 6) Reemplazar los
valores dados en la ecuación
anterior
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como reglas de derivación,
especialmente la regla de la
cadena…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del
problema.
trata de que los
alumnos realicen el
cálculo de la
derivada de una
función compuesta
aplicando la regla
de la cadena con
cambio de variable
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
docente.
Proceso de
generalización: Se
enuncia la regla de
la cadena con
cambio de variable
para la solución del
problema.
ecuaciones
iniciales y
continúa
desarrollando el
problema con
poca
participación de
los estudiantes.
-Aclara dudas de
lo planteado.
algo no está
claro.
-Siempre
que el
profesor
termine de
desarrollar
el ejercicio
dejará un
lapso de
tiempo para
que los
estudiantes
copien.
23-32 Hallar los
extremos
tanto
máximos
como
mínimos de
la función
3x4-4x3 en el
intervalo
cerrado [-
1,2].
Lenguaje verbal: gráficas,
máximo, mínimo, primera y
segunda derivada, función
creciente, función
decreciente, extremos,
función, función discontinua,
función continua, teorema
del factor, puntos
terminales…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de las
definiciones de máximo,
mínimo, teorema del valor
extremo, punto crítico.
Tablas de valores, gráficas de
varias funciones.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
-Proceso de
institucionalización:
El profesor
desarrolla el
ejercicio con escasa
participación de los
estudiantes
-Proceso de
comunicación: Hay
diálogo entre
docente y
estudiantes para
determinar el
producto y para el
desarrollo del
ejercicio.
-Proceso de
mecanización: Se
busca que los
-Aclara el
objetivo de la
segunda parte de
la clase, que es
determinar los
máximos y
mínimos de una
función en un
intervalo
cerrado.
- Propone una
serie de
definiciones de
objetos
matemáticos:
valor mínimo,
máximo, valores
extremos,
-Contesta a las
preguntas cortas
del profesor.
-Pregunta cuando
no entiende algún
proceso de la
clase.
-Copia el
ejercicio
desarrollado en el
tablero.
Configuración
magistral
mecanicista
en gran grupo.
Ant, D, Pc,
Ar,. Pc, ric,
Pc, ric, O,
E, Pc, ric,
Pa, ria, R,
pc, Pcd, ric,
A, D, E,
Pc, ric, E,
Pc, ric, Pc,
ric, Pc, ric,
Pc, ric, pc,
A,Sc
-El profesor
propone lo
que se va
trabajar en
la clase.
- El
profesor da
las
definiciones
necesarias.
-El
estudiante
debe
contestar
las
preguntas
Capítulo 6. Caso Fernando 183
verbal)
Explícitas: definición de
valor mínimo, máximo,
valores extremos, teorema
del valor extremo y número
crítico. Procedimientos: 1)
Determinar los números
críticos, derivando la función
igualando a cero y
despejando los valores de x.
2) Determina los puntos
críticos reemplazando en la
función los valores
terminales y los críticos, lo
cual identifica los máximos y
los mínimos 3) Se grafica y
determina que la respuesta
analítica es correcta.
Propiedades: Se aplican unas
ya conocidas como:
derivadas de términos
sencillos, reglas de
factorización.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
estudiantes
aprendan los pasos
para hallar los
puntos máximos y
mínimos de
cualquier función.
-Proceso de
particularización:
Se enuncia en forma
general el
procedimiento para
determinar puntos
máximos y mínimos
de una función y
luego se desarrolla
un ejemplo. -Proceso de
representación y
materialización: Se
utiliza en el tablero
una simbología que
es clara en su
significado para
todos.
teorema del valor
extremo y
número crítico.
- plantea el
ejercicio de
determinar los máximos y
mínimos de la
función 3x4-4x3
en el intervalo
cerrado [-1,2].
-Soluciona el
ejercicio.
-Plantea
preguntas cortas
que los
estudiantes
contestan.
-Aclara dudas de
lo planteado.
cortas del
profesor.
-El profesor
utiliza el
tablero y el
estudiante
el cuaderno.
-El profesor
puede
aclarar
dudas de
forma
individual
33-62 Determinar
los números
críticos,
máximos,
mínimos y
gráfica de la
función
f(x)=3x4-
16x3+18x
[-1,4]
Lenguaje verbal: función,
números críticos, punto
máximo, punto mínimo,
gráficas de funciones,
derivadas, ecuaciones.
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de: la
función f(x)=3x4-16x3+18x
[-1,4]. Su derivada iguala a
cero y despeje de la ecuación,
imágenes de números críticos.
La gráfica de la función en el
intervalo…
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Procedimientos: 1) Derivar la
función. 2) Igualar la
derivada a cero y determinar
Proceso de
institucionalización:
El profesor
desarrolla el
ejercicio aplicando
el procedimiento
mencionado.
Proceso de
comunicación: Hay
participación de los
estudiantes y el
docente en el
desarrollo del
ejercicio.
Proceso de
mecanización: Se
desarrolla el
ejercicio aplicando
un procedimiento
-Hace que una
estudiante
recuerde el
procedimiento
para desarrollar
el ejercicio.
- Repite el
procedimiento a
seguir para
desarrollar el
ejercicio.
-Contesta
preguntas de los
estudiantes.
- Desarrolla el
ejercicio.
-Da espacio al
-Las mismas
iniciales.
A8. Recuerda el
procedimiento
para desarrollar
el ejercicio
-A9 Considera
el procedimiento
fácil.
-A10 opina sobre
el desarrollo del
ejercicio.
-preguntan
acerca de las
dudas
específicas sobre
Configuración
magistral
mecanicista
en gran grupo.
D, Pa, ric,
Pa, Pc, ric,
A, ic, A,
Sp, ic, Ap,
pc, Rc, E,
Pc, ric, R,
A, Pc, Rc,
E, Pc, ric,
R, Pc, ric, ,
Pc, ric, ,
Pc, ric, ,
Pc, ric, E,
pc, Ra
El profesor
habla de que
los puntos
máximos y
mínimos
provienen de
los puntos
críticos, pero
en algunos
casos los
máximos y
los mínimos
pueden ser
los puntos
terminales, se
presenta
entonces un
conflicto
cognitivo y
-El profesor
propone el
ejercicio
para
desarrollar
en la clase.
- El
estudiante
puede
opinar pero
la verdad
definitiva la
tienen el
docente.
- El
profesor es
el que
desarrolla
Capítulo 6. Caso Fernando 184
valores críticos. 3)
reemplazar los valores
críticos y los extremos en la
función. 4) determinar
máximos y mínimos. 5)
Graficar y comprobar lo
realizado analíticamente.
Propiedades: Se aplican unas
ya conocidas como:
propiedades de las derivadas
de términos sencillos, reglas
de factorización.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
generalizado de
pasoso.
. Proceso de
representación y
materialización: Se
utiliza en el tablero
una simbología que
es clara en su
significado para
todos.
final para que los
estudiantes
copien.
el desarrollo.
-Responden las
preguntas cortas
del profesor.
también
interaccional.
El profesor
hace énfasis
en la gráfica
completa lo
que impide
ver lo que
sucede en el
intervalo
cerrado de
análisis, lo
cual puede
provocar un
conflicto
cognitivo.
en el
tablero los
ejercicios.
-El
estudiante
debe copiar
en el
cuaderno lo
que el
profesor
escribe en
el tablero.
-El profesor
al terminar
hace un
recuento de
lo
realizado.
-El profesor
deja espacio
al final para
que los
estudiantes
copien.
-El profesor
debe
responder
las
preguntas
de los
estudiantes.
63-67 Calcular los
números
críticos y los
intervalos en
los que la
función
f(x)=x3- 3
2x2
es creciente
o decreciente
y la gráfica.
Lenguaje verbal: funciones
crecientes y decrecientes,
función, función derivable,
primera derivada, números
críticos, puntos críticos,
extremos, gráfica de
funciones, valores de
prueba….
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de:
teorema de criterio para
funciones crecientes o
Proceso de
institucionalización:
El profesor explica
cómo se desarrolla
el ejercicio
mediante el
procedimiento
descrito.
Proceso de
comunicación: Hay
interacción de los
-Enuncia un
teorema que se
llama criterio
para funciones
crecientes o
decrecientes.
-Propone un
ejercicio para
solucionar.
-Soluciona el
ejercicio.
-A14 realiza
preguntas de
complementación
sobre el ejercicio.
- Responden las
preguntas cortas
del profesor.
-Copian en sus
cuadernos lo
desarrollado por
el profesor en el
Configuración
magistral
en gran grupo.
Ant, D, O,
D, pc, Rc,
pc, Rc, E,
Pc, ric, Pc,
ric, Pc, ric,
Pc, ric, Pc,
ric, Pc, ric,
A
-El profesor
siempre
expone la
base teórica
de la clase.
-El profesor
siempre
propone los
ejercicios
que se den
Capítulo 6. Caso Fernando 185
decrecientes, la función f(x)=x3-
3
2x2
su derivada f’(x)=3x2-3x,
tabla de intervalos, valores de
prueba, y signos, y la gráfica
de la función.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Explícitas: El teorema con
criterios para funciones
crecientes o decrecientes.
Procedimientos: 1) Determino
los números críticos,
derivando la función,
igualando a cero y despejando
las variables. 2) Elaboro una
tabla con los intervalos de la
función marcados por los
valores críticos. 3) Lleno la
tabla utilizando valores de
prueba. 4) De acuerdo al
resultado anterior y basado en
el problema, defino si la
función es creciente o
decreciente.
Propiedades: Se aplican unas
ya conocidas como:
transposición de términos,
propiedades de las potencias,
derivadas de términos
sencillos.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
-Aclaración de la forma de
despejar la incógnita.
estudiantes con el
docente y entre los
estudiantes, aunque
de manera informal.
Proceso de
generalización: Se
enuncia el teorema
de criterios para
determinar si una
función es creciente
o decreciente, para
luego aplicarlo en el
desarrollo de un
ejercicio en
particular.
Proceso de
representación y
materialización: Se
escriben en el tablero
signos que son claros
para todos los
presentes en la clase.
-Realiza
preguntas cortas
a los estudiantes.
tablero.
trabajar en
la clase.
-El profesor
es el que
maneja el
tablero.
-Los
estudiantes
deben
copiar lo
que el
profesor
desarrolla
en el
tablero.
-El profesor
es el que
soluciona
los
ejercicios.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 6. Caso Fernando 186
A continuación, se plantea el análisis de la idoneidad didáctica de la clase.
Tabla 15. Idoneidad didáctica de la segunda clase.
Componentes: Indicadores S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 73%
Situaciones-
Problemas
50%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación
X
Se proponen situaciones de generación de problemas (problematización), X
Lenguajes 100%
Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica, simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
66%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del tema
para el nivel educativo dado.
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o negociar definiciones proposiciones o procedimientos.
X
Argumentos 50%
Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas al nivel educativo a que se dirigen.
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar X
Relaciones 100%
Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) se relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 66.6
Conocimientos previos (Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares a
las diferencias
individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X
Aprendizaje:
Se tienen en cuenta los mismos elementos que para la idoneidad epistémica) 0%
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias pretendidas:
X
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional; competencia metacognitiva
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar decisiones.
X
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 66.6%
Intereses y necesidades
100% Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Capítulo 6. Caso Fernando 187
Actitudes 50%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia, responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el argumento se
valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
50% Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 13.2%
Interacción docente-discente 20%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los conceptos clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen preguntas
y respuestas adecuadas, etc.).
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre
alumnos
33%
Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos matemáticos
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía 0%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 33.3%
Recursos materiales (Manipulativos, calculadoras, ordenadores). 0%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas al contenido pretendido
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones
X
Número de alumnos, horario y condiciones del aula 100%
El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la enseñanza pretendida
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten todas
las sesiones a última hora)
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo del
proceso instruccional pretendido
X
Tiempo
(De enseñanza colectiva /Tutorización; tiempo de aprendizaje). 0%
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza pretendida
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del tema
X
Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más dificultad de comprensión
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 60%
Adaptación al currículo 100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las
directrices curriculares
X
Capítulo 6. Caso Fernando 188
Apertura hacia la innovación Didáctica. 0%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.) en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio- profesional y cultural 100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes
X
Educación en valores 0%
Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento crítico
X
Conexiones intra e Interdisciplinares 100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares X
Fuente: Godino (2011).
Para la clase el hexágono propuesto por el enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011;
Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009) es el siguiente:
Figura 15. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino,
Font, Wilhelmi y Castro, 2009).
Los aspectos por mejorar de Fernando en esta clase se señalan a continuación:
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 73%). No se plantearon situaciones que
permitieran generar problemas, en este caso el docente formuló todos los problemas a
trabajar por parte del estudiante. Igualmente, no se mostraron escenarios donde los alumnos
tuvieran que generar o negociar procedimientos, definiciones o proposiciones. Tampoco en
esta clase se propusieron situaciones donde el alumno argumentara, las explicaciones estaban
a cargo del docente.
Capítulo 6. Caso Fernando 189
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 66.6%). Nuevamente el docente no mostró
forma de evaluación en la clase, por lo cual no fue posible identificar el avance en las
competencias comunicativa, argumentativa, metacognitiva y la comprensión situacional.
Tampoco se pudo identificar si en la evaluación se tienen en cuenta los distintos niveles de
comprensión y competencia por parte del estudiante, ni para qué se usan los resultados de la
evaluación.
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 60%). No se promovió la participación en
actividades, la perseverancia, responsabilidad, los valores en general, ni se propusieron
situaciones de contexto que permitieran valorar la utilidad de la matemática en la vida
cotidiana y profesional.
Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 13.2%). No hubo observación sistemática
del progreso del estudiante. Toda la responsabilidad de la clase la asumió el docente, por lo
tanto, no se detectaron momentos de autonomía del estudiante, el cual tuvo poca
participación, lo que no facilitó la comunicación en el aula. No se presentó variedad de
recursos argumentativos y retóricos, ni se le dio mucha importancia a los argumentos de los
estudiantes por lo cual no se llegó a consensos sino que primó la posición del profesor. No
se plantearon situaciones para solucionar conflictos de los estudiantes.
Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 33.3%). No se utilizaron materiales
manipulativos ni informáticos para facilitar el aprendizaje de los conceptos de la clase. No
se usaron formas para contextualizar las definiciones y propiedades. El tiempo no fue
adecuado para la temática, pues ésta era muy larga; no se le dedicó tiempo especial a alguno
de los contenidos, por considerarlos más importantes o de más difícil comprensión.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 60%). No se vió de forma explícita que el
profesor hiciera énfasis en la formación en valores democráticos y el desarrollo del espíritu
crítico de los estudiantes. No se tuvieron en cuenta en el proyecto educativo, las tecnologías
de la información y la comunicación. No se presentaron aspectos sobre la innovación, la
investigación y la práctica pedagógica.
Capítulo 6. Caso Fernando 190
Idoneidad didáctica de las clases iniciales.
Tabla 16. Idoniedad didáctica de las clases iniciales.
Idoneidad Didáctica Clases Tendencia
% Primera
%
Segúnda
%
Idoneidad Epistémica 46.4 73 59.7
Idoneidad Cognitiva 66.6 66.6 66.6
Idoneidad Afectiva 66.6 66.6 66.6
Idoneidad Interaccional 18.2 13.2 15.7
Idoneidad Mediacional 66.6 33.3 49.95
Idoneidad Ecológica 60 60 60 Fuente: elaboración propia.
El hexágono que indica la tendencia de Fernando sería:
Figura 16. Tendencia de las idoneidades de las clases de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font,
Wilhelmi y Castro, 2009.
En la primera clase se observa que las idoneidades más bajas del docente Fernando en
su orden son la interaccional y la epistémica, en la segunda clase la interaccional y la
mediacional; en general, son la idoneidad interaccional y la mediacional las menos
desarrolladas del docente en mención, pero la crítica es la la idoneidad interaccional.
Análisis de interacción de las clases iniciales.
Se presenta en los siguientes apartados el análisis de interacción de dos clases del
docente, teniendo en cuenta las configuraciones didácticas del Enfoque Ontosemiótico y las
interacciones emergentes del análisis de este proceso.
Capítulo 6. Caso Fernando 191
Primera clase.
Como para el análisis didáctico ya se había dividido la clase en configuraciones
didácticas según el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010), se realizó el
análisis de las interacciones, configuración por configuración. Para lo anterior, se tomó la
transcripción y se fue haciendo la interpretación de lo que allí se plasmó, generando de esta
manera la tabla que aparece a continuación. En la parte izquierda aparecen las abreviaturas,
las cuales se tomaron con primera letra mayúscula para todas aquellas en que interviene el
profesor y en minúscula cuando es una acción que tiene que ver con el estudiante.
Tabla 17. Interacciones primera clase.
AB
Descripción de las
Interacciones
Comunicativas
Configuración Didáctica
Total C1
1-
26
C2
27-
64
C3
65-
93
C4
94-
111
C5
112-
130
C6
131-
186
C7
187-
270
C8
271-
272
A Aclaración del docente,
explicación corta.
3 9 5 3 3 8 14 45
Ag Agradecimiento del
docente a un estudiante
1 1
Ant Aclaración no temática
por parte del profesor
1 2 1 4
Ap Aprobación de la
respuesta dada por el
estudiante
2 2 2 1 7
Ar Autorespuesta del
profesor, es decir pregunta
y responde su pregunta.
1 3 3 1 1 1 10
D Dictado que hace el
profesor a los estudiantes
de problemas o ejercicios.
3 1 4
de Discusión entre los
estudiantes.
1 3 4
E Explicación amplia del
profesor
2 7 5 14
ia Intervención argumentada
que hace el estudiante
2 2 4
ic
Intervención corta del
estudiante, sin que se la
haya solicitado el docente.
2 5 2 1 5 6 21
O El profesor ordena la
ejecución de una acción
2 2 4
Pa Pregunta argumentada por
parte del profesor
1 1
Pc Pregunta corta del
profesor dirigida a todo el
grupo
7 16 9 3 7 15 19 77
Capítulo 6. Caso Fernando 192
pc
Pregunta corta por parte
del estudiante por
iniciativa propia.
2 1 1 4 4 12
Pcd Pregunta corta del
profesor y directa
3 3
Pm Preguntas múltiples por
parte del profesor,
3 3 2 1 2 6 17
R Repetición del profesor de
lo que expresa el
estudiante
3 1 1 1 5 11
Ra Respuesta argumentada
del profesor a una
pregunta de un estudiante
1 1
Rc Respuesta corta del
profesor ante una pregunta
del estudiante
1 1 1 3
rgc Respuesta en coro de
varios estudiantes,
respuesta general corta.
2 3 2 7
ria Respuesta individual
argumentada del
estudiante
2 1 2 2 1 1 9
ric Respuesta del estudiante,
individual y corta
7 14 3 3 6 15 24 73
Sp Silencio prolongado (más
de un minuto)
1 1 1 3
Total 26 59 38 17 24 68 93 8 335 Fuente: elaboración propia.
Se analizó cada configuración, teniendo como base la trascripción de la primera clase
de Fernando (TR1F). Se resalta que todas las configuraciones fueron de tipo magistral
(Godino, Contreras y Font, 2006).
Configuración 1. (Duración 4:16 minutos). Las interacciones que más se destacan son
las preguntas cortas del profesor, dirigidas a todo el grupo y acorde con lo anterior las
respuestas cortas de los estudiantes en forma individual. Aunque menos relevantes se
encuentran las aclaraciones cortas del docente ante las tareas y también las preguntas cortas
del profesor, pero indicando de manera directa qué estudiante debía responder la pregunta.
El orden en que sucedieron las interacciones se presenta en la siguiente tabla.
Capítulo 6. Caso Fernando 193
Tabla 18. Orden de interacción comunicativa de la primera configuración.
Fuente: elaboración propia.
Por espacio, se utilizará la siguiente notación para mostrar el orden de las interacciones
comunicativas: Pcd, O, Pc, O, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, A, Pcd, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R, Pcd,
ric, Pc, ric, R, Pc, ric. Al ver el flujo de las interacciones se percibe que la clase se mueve
entre criterios centrados en el profesor, propio de una interacción de tipo magistral (Godino,
Contreras y Font, 2006).
Configuración 2. (Duración 6:1 minutos). Al igual que en la anterior configuración, las
interacciones que más se destacan son las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el
grupo y las respuestas cortas de los estudiantes en forma individual; también se resaltan las
aclaraciones cortas del docente ante las tareas:
Líneas de
Transcrip
ción
Pregunta
corta
dirigida del
profesor
Orden
del
profesor
Preguna
corta
del
profesor
Aclaración
del
profesor
Respuesta
individual
corta del
estudiante
Repetición
de lo dicho
por el
estudiante
Autorespuesta
del profesor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
T 3 2 7 3 7 3 1
Capítulo 6. Caso Fernando 194
Pm, ric, Pc, ric, pa, ric, ric, R, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc, ric, Pm, ric, Pc, ric,
A, Pc, Ar, ic, Pc, ria, Ap, Ant, Pc, Ar, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, ic, A, Pm, ria, A, Pc, ric, Ap, A,
Pc, pc, Rc, pc, rgc, Pc, ric, Pc, ric, A.
Configuración 3. (Duración 8:29 minutos). Continúan enfatizándose las preguntas
cortas del profesor dirigidas a todo el grupo y las aclaraciones cortas del profesor, sin
embargo, surge la categoría: las intervenciones cortas de los estudiantes sin que hayan sido
solicitadas por el profesor; también, y aunque en menor escala aparecen: la autorespuesta del
profesor, preguntas múltiples del profesor, respuesta corta en coro de varios estudiantes,
respuesta corta individual de los estudiantes. Orden de interacciones:
A, Pc, ric, Pc, ria, Pc, Sp, Pm, rgc, Pm, rgc, A, Pc, rgc, A, ic, Ap, Pc, Ar, ic, Ap, Pc, Ar, Pc,
ric, Pc, ric, R, ic, Pm, pc, Ra, ic, A, Pc, Ar, ic, A.
En el siguiente fragmento se presentan las líneas de trascripción [91] a [93] (TR1F),
para mostrar un caso de efecto Topaze (Brousseau, 1986). El profesor Fernando para facilitar
la comprensión del término ¨superior¨ se aleja del significado del contexto en que se está
trabajando.
[91] Profesor Máximos y mínimos, aquí ya tanto la primera como la segunda derivada me van a servir
para…poder hacer la gráfica, la gráfica de una función. Si retomamos anteriormente en
geometría ¿qué hacíamos? Hallábamos intersectos, simetría y extensión y graficábamos,
entonces aquí esto nos va a permitir hallar asíntotas, (…) y entonces ¿qué es lo que
decimos? Me adelanté con la segunda…derivada de esa función, o sea que puedo estar
hablando de derivadas de orden… ¿si ya estoy hallando dos? Y puedo seguir derivando
esa función
[92] Alumno 2 No se entiende.
[93]Profesor Derivadas de orden…! noo¡ o sea que cada vez que ustedes van elevando…cuando
ustedes están en primero de primaria, después segundo, después tercero, y después hasta
once, entonces derivadas de orden su…perior[sic].
A medida que voy aumentando.
Configuración 4. (Duración 4:07 minutos). Con una frecuencia mínima aparecen las
preguntas cortas del docente, las aclaraciones cortas del docente y las respuestas cortas del
estudiante. Algo relevante es que aparecen las respuestas individuales argumentadas de los
estudiantes, también las preguntas múltiples del profesor e intervenciones individuales de
los estudiantes que no han sido requeridas por el docente:
Pm, ria, Pm, ria, Pc, ric, A, ic, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, pc, Rc.
Capítulo 6. Caso Fernando 195
Configuración 5. (Duración 6:81 minutos). Nuevamente sobresalen las preguntas
cortas del profesor y las respuestas cortas individuales de los estudiantes. También se
destacan las aclaraciones cortas del profesor, pero especialmente se destaca la explicación
amplia del profesor y las respuestas argumentadas individuales de los estudiantes:
Pc, Sp, Pc, ric, Pm, ric, A, ric, Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ria, A, ic, ria, Pc, Ar, E.
Configuración 6. (Duración 20:13 minutos). Priman las preguntas cortas del profesor
y las respuestas cortas individuales de los estudiantes. Adicionalmente las aclaraciones
cortas del profesor al igual que las explicaciones amplias del profesor. Orden de las
interacciones:
O, pc, O, ric, Ap, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R, ric, Ap, Pc, ric, ric, A, Pc, Sp,
E, Pc, ric, Pc, ria, Pc, ric, Pm, ric, A, Pc, ric, E, ic, Pc, ia, Pc, ric, Ag, A, Pm, pc, A, De, ic,
E, ic, A, pc, Pc, Ar, E, ic, A, ia, E, Pc, ric, E, Pc, ric, E, pc.
Configuración 7. (Duración 14:24 minutos). En su orden aparecen respuestas cortas
individuales de los estudiantes, preguntas cortas del profesor, aclaraciones cortas del
profesor, intervenciones cortas del estudiante sin que lo haya pedido el profesor y
explicación amplia del docente.
D, pc, D, pc, D, Pm, ria, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, ric, ric,
A, Pc, rgc, ric, Pc, rgc, A, ic, E, ia, E, Pm, ric, ric, Pm, ric, ric, Pm, pc, A, Pc, ric. A, ic, R,
Pc, ric, A, Pc, ric, A, ic, R, A, Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pm, Ar, ic, E, Pc, pc, Rc, Pc, ric,
Pm, ric, ric, E, Pc, ric, R, De, A, Pc, ric, R, Ant, ia, Ant, ic, Pc, ric, A, De, ic, A, De.
Configuración 8. (Duración 1 minuto). Se priorizan, preguntas múltiples por parte del
profesor, en menor nivel, aclaraciones no temáticas del docente y dictado de ejercicios o
problemas que hace igualmente el docente:
Pm, D, Ant.
La clase en general tuvo una duración de 1:04:40, con 8 configuraciones didácticas,
que caracterizan la clase magistral (Font, Planas y Godino, 2010). Las interacciones de
mayor frecuencia en su orden fueron: preguntas cortas del docente, respuestas cortas
individuales de los estudiantes, aclaración corta del docente, intervención corta del estudiante
Capítulo 6. Caso Fernando 196
sin que la haya solicitado el docente, explicación amplia del profesor y autorespuestas del
docente.
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el
estudiante en las diferentes configuraciones.
Tabla 19. Participación del estudiante respecto al tiempo en la primera clase.
Configuración Tiempo (minutos)
Alumno Docente Total
Configuración 1 2:11 2:05 4:16
Configuración 2 1:21 4:49 6:10
Configuración 3 1:04 6:45 7:49
Configuración 4 0:41 3:26 4:07
Configuración 5 0:23 6:18 6:41
Configuración 6 1:46 18:27 20:13
Configuración 7 3:08 11:16 14:24
Configuración 8 0:15 0:45 1:00
Total 10:49 53:51 1:04:40 Fuente: elaboración propia.
La configuración uno es la que presenta mayor participación de los estudiantes con un
51.17% del tiempo, debido a que en esta configuración fue la única en que un estudiante pasó al
tablero a escribir y fue justamente el desarrollo de la tarea que tenía planteada de la sesión de clase
anterior. Le sigue la configuración dos con un 21.87%, y la configuración siete con 21.76%. La
quinta configuración fue la de menor participación del estudiantado con 5.74% del tiempo total
de la configuración. En general en la clase la participación de los estudiantes fue de un 13,71%,
lo cual indica que la mayor participación la tiene el docente. Este criterio se corresponde con una
clase tipo tradicional-tecnológica.
Segunda clase.
La segunda clase del profesor Fernando también tuvo 8 configuraciones didácticas. A
continuación, en la tabla 20, se plantean las interacciones que se presentaron en cada
configuración.
Capítulo 6. Caso Fernando 197
Tabla 20. Interacciones segunda clase.
Abreviatrura DESCRIPCIÓN
CONFIGURACIÓN DIDÁCTICA
Total C1
1-8
C2
9-
15
C3
16-
17
C4
18-
20
C5
21-
22
C6
23-
32
C7
33-
62
C8
63-
67
A Aclaración del
docente, explicación
corta.
3 1 2 3 2 3 1 15
Ant Aclaración no
temática por parte del
profesor
1 1 1 1 4
Ap Aprobación de la
respuesta dada por el
estudiante
1 1
Ar Autorespuesta del
profesor, es decir
pregunta y responde
su pregunta.
1 1 2 1 1 6
D Dictado que hace el
profesor a los
estudiantes de
problemas o
ejercicios.
1 1 1 1 1 2 1 2 10
E Explicación amplia
del profesor
2 2 1 1 1 3 3 1 14
ic
Intervención corta del
estudiante, sin que se
la haya solicitado el
docente.
2 2
int Intervención no
temática del
estudiante
1 1
O El profesor ordena la
ejecución de una
acción
1 1 1 1 1 5
Pa Pregunta argumentada
por parte del profesor
1 2 3
Pc Pregunta corta del
profesor dirigida a
todo el grupo
2 2 2 2 3 9 8 6 34
pc
Pregunta corta por
parte del estudiante
por iniciativa propia.
1 1 1 2 2 2 9
Pcd Pregunta corta del
profesor y directa
1 1
R Repetición del
profesor de lo que
expresa el estudiante
1 2 3
Ra Respuesta
argumentada del
profesor a una
pregunta de un
estudiante
1 1
Capítulo 6. Caso Fernando 198
Rc Respuesta corta del
profesor ante una
pregunta del
estudiante
1 1 2 2 6
ria Respuesta individual
argumentada del
estudiante
1 1
ric Respuesta del
estudiante, individual
y corta
2 1 1 2 9 8 6 29
Sc Silencio corto de
menos de un minuto
1 1 1 3
Sp Silencio prolongado
(más de un minuto)
1 1 1 1 4
Total 12 13 11 9 14 35 36 22 152 Fuente: elaboración propia.
Se va a realizar también un análisis por configuración para luego concluir sobre la
clase, la base es la trascripción de ésta (TR2F). Al igual que la anterior clase, todas las
configuraciones son de tipo magistral, (Godino, Contreras y Font, 2006).
Tabla 21. Interacciones por tiempo y configuración de la segunda clase.
Configuración Tiempo
(Minutos) Orden De Interacción Total
Configuración 1 3:58 O, pc, Rc, Ant, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Sc 12
Configuración 2 8:41 Ant, D, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, int, E, pc, A 13
Configuración 3 12:16 O, D, A, Pc, Ar, Pc, ric, E, Sp, pc, Rc 11
Configuración 4 6:39 D, A, E, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Sp 9
Configuración 5 13:52 O, D, Sc, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Sp 14
Configuración 6 21:57 Ant, D, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric, O, E, Pc, ric, Pa, ria, R, pc, Pcd,
ric, A, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, A,Sc.
35
Configuración 7 13:08 D, Pa, ric, Pa, Pc, ric, A, ic, A, Sp, ic, Ap, pc, Rc, E, Pc, ric, R,
A, Pc, Rc, E, Pc, ric, R, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, E, pc, Ra
36
Configuración 8 9:18 Ant, D, O, D, pc, Rc, pc, Rc, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric,
Pc, ric, Pc, ric, A.
22
Fuente: elaboración propia.
La clase en general tuvo una duración de 1:29:49, de 67 líneas de interacción y 8
configuraciones didácticas, todas de tipo magistral (Font, Planas y Godino, 2010). Las
interacciones de mayor frecuencia en su orden fueron: preguntas cortas del docente, respuestas
cortas individuales de los estudiantes, aclaración y explicación corta del docente, explicación
amplia del docente, y dictado de ejercicios o problemas por parte del docente.
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el
estudiante en las diferentes configuraciones.
Capítulo 6. Caso Fernando 199
Tabla 22. Participación del estudiante respecto al tiempo en la segunda clase.
CONFIGURACIÓN ALUMNO DOCENTE TOTAL
Configuración 1 0,07 3,51 3,58
Configuración 2 0,12 8,29 8,41
Configuración 3 0,15 12,01 12,16
Configuración 4 1,44 4,55 6,39
Configuración 5 1,35 12,17 13,52
Configuración 6 2,29 19,28 21,57
Configuración 7 5,09 7,59 13,08
Configuración 8 0,24 8,54 9,18
Total 11,55 1.17,54 1.29,49
Fuente: elaboración propia.
Esta vez no había tarea propuesta por lo cual el profesor inició de una vez con la temática.
La séptima configuración fue en la que mayor participación tuvieron los estudiantes con un
39.21% del tiempo total de la configuración, el profesor dio un tiempo para que los estudiantes
trabajaran en sus cuadernos. Le sigue la cuarta configuración con un 26.07%, y la quinta
configuración con 11.42%. La tercera configuración fue la de menor participación del
estudiantado con 2.04% del tiempo total. En general en la clase la participación de los estudiantes
fue de un 13,27%, lo cual indica el dominio de participación que tiene el docente. Este criterio se
corresponde con una clase tipo tradicional-tecnológica.
Patrones de interacción de las clases iniciales.
Se presenta a continuación los patrones de interacción comunicativa que se
identificaron en el desarrollo de las clases del profesor, con la respectiva frecuencia:
Tabla 23. Análisis de interacción de las clases iniciales.
AB Descripción
Clase
Total
1 2
A Aclaración del docente, explicación corta. 45 15 60
Ag Agradecimiento del docente a un estudiante 1 0 1
Ant Aclaración no temática por parte del profesor 4 4 8
Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 7 1 8
Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su
pregunta.
10 6 16
D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o
ejercicios.
4 10 14
De Discusión entre los estudiantes. 4 0 4
E Explicación amplia del profesor 14 14 28
Capítulo 6. Caso Fernando 200
ia Intervención argumentada que hace el estudiante 4 0 4
ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el
docente.
21 2 23
int Intervención no temática del estudiante 0 1 1
O El profesor ordena la ejecución de una acción 4 5 9
Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 1 3 4
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 77 34 111
Pc Pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia. 12 9 21
Pcd Pregunta corta del profesor y directa 3 1 4
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 17 0 17
R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 11 3 14
Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 1 1 2
Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 3 6 9
rgc Respuesta en coro de varios estudiantes, respuesta general corta. 7 0 7
ria Respuesta individual argumentada del estudiante 9 1 10
ric Respuesta del estudiante, individual y corta 73 29 102
Sc Silencio corto de menos de un minuto 0 3 3
Sp Silencio prolongado (más de un minuto) 3 4 7
Total 335 152 487 Fuente: elaboración propia.
Se destacan como las interacciones comunicativas fundamentales de las clases del
profesor Fernando, la pregunta corta por parte del docente, al igual que la respuesta
individual corta por parte del estudiante, las aclaraciones y explicaciones cortas del docente,
la explicación amplia del docente y la autorespuesta por parte del mismo. Lo anterior y dado
que las interacciones básicamente fueron generadas por el docente, permitió concluir que la
clase del profesor es de tipo tradicional-tecnológico.
A continuación, se presenta la información más relevante con relación al tiempo de
ambas clases:
Tabla 24. Participación del estudiante respecto del tiempo en las dos clases.
Tiempo
(minutos)
Clase 1
Porcentaje
Participa de
estudia
Tiempo
(minutos)
Clase 2
Porcentaje
Participa de
estudia
Configuración 1 4:16 51.17% 3:58 2.94%
Configuración 2 6:10 21.89% 8:41 2.3%
Configuración 3 7:49 13.65% 12:16 2.04%
Configuración 4 4;07 16.60% 6:39 26.07%
Configuración 5 6:41 5.74% 13:52 11.42%
Configuración 6 20:13 8,74% 21:57 11.31%
Configuración 7 14:24 21.76% 13:08 39.21%
Configuración 8 1:00 1.64% 9:18 4.30%
Total 1:04:40 13.71% 1:29:49 13.27%
Fuente: elaboración propia.
Capítulo 6. Caso Fernando 201
Como se puede observar el nivel de participación de los estudiantes en las dos clases
es demasiado bajo, esto se explica a partir de las configuraciones, en la primera clase la
configuración uno fue la de mayor participación por parte de los estudiantes, muestra que
los estudiantes intervinieron en el desarrollo de la tarea, y en la segunda clase, configuración
siete, el profesor dio oportunidad de que los estudiantes trabajaran individualmente o en
grupos no formales, un ejercicio que había propuesto en el tablero.
De lo anterior se puede inferir lo siguiente:
Las dos clases del docente se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, lo cual
muestra su tendencia a realizar un desarrollo temático demasiado ambicioso, son muchas
tareas para una sesión de clase. La totalidad de las configuraciones fueron catalogadas de
tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), lo cual implica una clase de tipo tradicional-
tecnológica.
En la primera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: preguntas
cortas del docente, respuestas cortas individuales de los estudiantes, aclaración corta del
docente, intervención corta del estudiante sin que la haya solicitado el docente, explicación
amplia del profesor, autorespuestas del docente. En la segunda clase las interacciones más
destacadas del docente fueron: preguntas cortas del docente, respuestas cortas individuales de
los estudiantes, aclaración y explicación corta del docente, explicación amplia del docente, y
dictado de ejercicios o problemas por parte del docente. Se determinó una identificación
amplia de los patrones de interacción comunicativa del docente Fernando, los cuales se
plasman en la tabla 23.
Se identificaron como las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente,
las siguientes: la pregunta corta por parte del docente, al igual que la respuesta individual
corta por parte del estudiante, las aclaraciones y explicaciones cortas del docente, la
explicación amplia del docente y la autorespuesta por parte del mismo. Lo anterior
nuevamente lleva a pensar que la clase es de tipo tradicional-tecnológica.
Capítulo 6. Caso Fernando 202
El promedio de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 13.49%,
resalta el protagonismo del docente en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un
aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional
- tecnológica.
Análisis de la comunicación en las clases iniciales.
Primera clase.
En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, esta clase tuvo una parte del
modelo sistémico, en el sentido de la retroalimentación (Bertalanffy, 1950), el profesor
buscó desarrollar varios ejercicios del mismo tipo con el fin de retroalimentar el proceso de
aplicación de la regla de la cadena para derivadas (ver análisis de la clase); pero el modelo
predominante fue el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994), la
clase se basó en la transmisión de contenidos, totalmente unidireccional, donde el profesor
fue el protagonista del proceso, el que propuso las tareas y las desarrolló con intervenciones
cortas de los estudiantes. Lo anterior se pudo evidenciar en toda la clase, se presenta como
ejemplo, las líneas de transcripción [77] a [81].
[77] P Seis x más derivada del primer factor y´=(2x3-
4x)(6x)+
[78] A Seis x al cuadrado menos cuatro.
[79] P Seis x al cuadrado menos cuatro por... y ahora
¿qué es lo que debo hacer ahí?
Entonces esto sería seis por dos …bueno que
pasa con las tablas de multiplicar, dos por seis
… más
y´=(2x3-
4x)(6x)+(6x2-4)
(3x2-2)
y´=12x3-24x2 +
La última parte la
escribe, pero no la
dice, aunque es
pronunciada en coro
por los estudiantes.
Los alumnos
murmuran, pero no
se entiende
La profesora
multiplica mal los
exponentes.
Los estudiantes
contestan en coro
[80] A4 Ahí es dos x a la cuatro
[81] P Gracias A4, y ahora tres por seis… seis y
dos…haber aquí sería…seis por dos ¿cuánto me
daría? ..x cuadrado menos doce x cuadrado
menos ocho.
y´=12x4-24x2
+18x4-12x2-
12x2+8
Corrige la expresión
y continúa.
Capítulo 6. Caso Fernando 203
Haber seis por tres …x cuarta, seis por dos
…doce y cuatro por tres otra vez…doce
cuadrados. ¿Ahora qué es lo que hago?
Señala la expresión
con el dedo índice.
También, aunque en mínima parte se tuvo en cuenta el modelo orquestal en lo referente
a la regulación, pues la comunicación no puede existir sino está basada en unas normas, las
cuales permiten el equilibrio del sistema (Marc y Picard, 1992); por ejemplo, algunas normas
que se pueden inferir de [77] a [81]: los alumnos pueden sugerir correcciones a lo ejecutado
en el tablero; el profesor habla y los estudiantes lo escuchan.
Existen diversas clasificaciones de la comunicación. De acuerdo a la participación,
la comunicación fue unilateral, se desarrolló en una dirección, el protagonista fue el docente,
no se dan cambios de roles. Colectiva y abierta, el docente se dirigió a un público que en
este caso fueron los estudiantes. Lingüística, el medio natural fue el lenguaje, apoyado por
códigos paralingüísticos; también fue extralingüística, se emplearon códigos distintos a la
lengua natural, como la simbología matemática de la derivada y otros símbolos. Fue formal
ya que se sujetó a un patrón de clase definido. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación
fue audio visual, el docente hablaba, pero iba escribiendo el proceso en el tablero; igualmente
fue directa, pues implicaba presencialidad, se daba por canales simples. Vertical, se dio de
docente a estudiante, en una forma poco participativa del estudiante (Niño, 1998). Lo
anterior es generalidad en la clase de Fernando, se presenta una secuencia en donde se
verifica lo planteado.
[96] P Y entonces… si quiero derivarla, ¿cuál sería la forma
de derivarla? La expresamos primero ¿Cómo?
[97] A3 A la un medio, como a la un medio. Cuatro x al cubo
menos cinco x más dos todo elevado a la un medio. f(x)=(4𝑥3 − 5𝑥 +
2)1
2
El profesor
va
escribiendo
en el
tablero.
[98] P Repite a la un medio y ya teniéndola elevada a la un
medio, ahora ¿qué proceso sigo? Aplico la regla de
la…entonces cómo me queda…¿me dicen por favor?
f(x)=
[99] A2 Un medio factor de cuatro x al cubo menos cinco x
más dos elevado a la menos un medio f´(x)=
1
2(4𝑥3 − 5𝑥 +
2)−1
2
[100] P Por
[101] A2 Doce x al cuadrado menos cinco f´(x)= 1
2(4𝑥3 − 5𝑥 +
2)−1
2 (12𝑥2 − 5)
[102] P Y…me quedaría así porque no se puede reducir,
vamos a dejarla así.
Capítulo 6. Caso Fernando 204
Entre otros aspectos claves en el proyecto y que se da importancia a la semiótica, es
en el manejo de los signos. Si se consideran los signos desde la propuesta de Peirce, aunque
presenta una gama bastante amplia, los más usuales son el símbolo, el ícono y el índice. Para
esta clase se utilizaron símbolos, el interpretante del fundamento, signos cuya relación con
su fundamento o con la realidad es totalmente arbitraria (Peirce, 1974); por ejemplo, en la
línea de transcripción [79], se encuentra la expresión de la derivada
𝑦´ = (2𝑥3 − 4𝑥)(6𝑥) + (6𝑥2 − 4) (3𝑥2 − 2).
Para Saussure (1995) la lengua es el principal sistema de signos, los consideraba como
la unión de dos elementos: el concepto (significado) y la imagen acústica asociada
(significante). En esta clase se utilizaron símbolos ubicados en un contexto y en relación
con otros símbolos. Es decir, el profesor siempre buscó utilizar símbolos con significado,
tal es el caso de la expresión de derivada en [79], ya que estos símbolos son comprensibles
para todos los estudiantes de la clase.
Los códigos entendidos como grupos de signos organizados para la recepción y
emisión de mensajes regidos por reglas, que se configuran en sistemas de comunicación, y
con respecto a la clasificación de Giraud (1971), se tiene que en la clase se utilizaron los
códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como sustitutos del
lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales, ver líneas [96] a [102].
Para Ponte et al. (2007) la comunicación matemática puede ser abordada desde tres
enfoques: como medio de control, como objetivo curricular y para promover aprendizajes.
Para la clase se consideró inicialmente la comunicación como medio de control y como
medio para percibir el avance o las dificultades de los estudiantes. El profesor utilizó la
comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, se presenta un aparte de la
trascripción de la clase de Fernando.
[26] P Eee. Qué fue lo que dijiste primero,
una función-------
Hace la señal con la mano al
estudiante de que continúe
[27] A3 Compuesta
[28] P Y será que a una función compuesta
yo puedo aplicarle las mismas
reglas de derivación que he venido
trabajando
Con las manos señala el
tablero
Capítulo 6. Caso Fernando 205
[29] A (indefinido) No Contestan en coro
[30] A5 (Andrés) Pues... se aplican, tienen que
aplicarse
Lo dice en un tono fuerte
con seguridad
[31] P Pues se aplican aquí ya me dijo…
Andrés.
Habría que aplicar la regla de la…
Señala con el dedo índice
hacia el estudiante
[32] A Cadena.
El contrato didáctico es asumido como el conjunto de comportamientos del profesor
que es esperado por los alumnos y el conjunto de comportamientos de los alumnos que es
esperado por el profesor (Brousseau, 1988). Desde esa perspectiva en la clase se pueden
identificar diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo:
[5] P Pero háblame…
El profesor hace este
comentario a Hugo mientras
éste escribe en la pizarra.
Cuando Hugo termina le
entrega el marcador al profesor.
[6] P Recordamos que la función era Y’
= 3 x2+4x -5 (lo dice con
palabras) y que debemos hallar la
ecuación de la tangente que pasa
por el punto uno coma dos…De
ahí cuál fue el proceso que se
hizo… Se calculó su primera
derivada…Derivada qué significa
Edy?... Diego
Hace el recuento de lo que hizo
el estudiante, pidiendo
participación de otro.
Con los gestos va señalando los
diferentes pasos que ha escrito
Hugo en la pizarra
Edy no contesta
[7] A2 La pendiente
Se infieren dos normas del contrato didáctico de la sección de clase, la primera que la
persona que esté escribiendo en el tablero debe hablar y otra que el estudiante debe responder
a las preguntas del profesor. Como este caso hay varios dentro de la sesión de clase y se
encuentran en el análisis de la misma.
En cuanto a los modos de comunicación, Brendefur y Frykholm (2000) hacen énfasis
en que para poder acceder al conocimiento matemático es necesario tener en cuenta las
diversas formas de comunicación tanto verbales como escritas que permiten la interacción
en el aula; plantean cuatro categorías generales: Comunicación unidireccional, contributiva,
reflexiva e instructiva.
Capítulo 6. Caso Fernando 206
En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con
las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación pertenecen.
Tabla 25. Modos de comunicación en la primera clase.
Configuración Interacciones Modos de
Comunicación
1 Pcd, O, Pc, O, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, A, Pcd, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R,
Pcd, ric, Pc, ric, R, Pc, ric.
Unidireccional
2 Pm, ric, Pc, ric, pa, ric, ric, R, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc,
ric, Pm, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, ic, Pc, ria, Ap, Ant, Pc, Ar, A, Pc, ric,
Pc, rgc, A, ic, A, Pm, ria, A, Pc, ric, Ap, A, Pc, pc, Rc, pc, rgc, Pc, ric,
Pc, ric, A.
Unidireccional
3 A, Pc, ric, Pc, ria, Pc, Sp, Pm, rgc, Pm, rgc, A, Pc, rgc, A, ic, Ap, Pc,
Ar, ic, Ap, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric, R, ic, Pm, pc, Ra, ic, A, Pc, Ar, ic, A.
Unidireccional
4 Pm, ria, Pm, ria, Pc, ric, A, ic, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, pc, Rc Unidireccional
5 Pc, Sp, Pc, ric, Pm, ric, A, ric, Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ria, A,
ic, ria, Pc, Ar, E.
Unidireccional
6 O, pc, O, ric, Ap, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, R, ric, Ap, Pc,
ric, ric, A, Pc, Sp, E, Pc, ric, Pc, ria, Pc, ric, Pm, ric, A, Pc, ric, E, ic,
Pc, ia, Pc, ric, Ag, A, Pm, pc, A, De, ic, E, ic, A, pc, Pc, Ar, E, ic, A, ia,
E, Pc, ric, E, Pc, ric, E, pc
Unidireccional
7 D, pc, D, pc, D, Pm, ria, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Ap, A, Pc,
ric, R, Pc, ric, ric, A, Pc, rgc, ric, Pc, rgc, A, ic, E, ia, E, Pm, ric, ric,
Pm, ric, ric, Pm, pc, A, Pc, ric. A, ic, R, Pc, ric, A, Pc, ric, A, ic, R, A,
Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pm, Ar, ic, E, Pc, pc, Rc, Pc, ric, Pm, ric,
ric, E, Pc, ric, R, De, A, Pc, ric, R, Ant, ia, Ant, ic, Pc, ric, A, De, ic, A,
De
Unidireccional
8 D, Ant Unidireccional
Fuente: elaboración propia.
Lo que se puede deducir es que la clase es expositiva, con muy poca participación de
los estudiantes (13.71%), cada configuración resultó del modo unidireccional, es decir, en
general, esta clase del docente es de una comunicación unidireccional.
Segunda clase.
Esta clase resultó muy similar a la anterior, en cuanto a los modelos explicativos de
la comunicación, el modelo predominante es el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949;
cit. Dins Winkin, 1994), la clase se caracterizó por la transmisión de contenidos, fue
unidireccional, donde el profesor era el protagonista y el que proponía las tareas, las cuales
desarrolló con intervenciones cortas de los estudiantes. También tuvo una parte del modelo
sistémico, en el sentido de la retroalimentación (Bertalanffy, 1950), desarrolló varios
Capítulo 6. Caso Fernando 207
problemas de tasas relacionadas, con el mismo patrón, para retroalimentar el proceso de
aplicación de la regla de la cadena para derivadas en problemas de tasas relacionadas.
También, aunque en mínima parte se tuvo en cuenta el modelo orquestal en lo referente a la
regulación, pues la comunicación no puede existir sino está basada en unas normas, que
garantizan el equilibrio del sistema (Marc y Picard, 1992), por ejemplo, en el análisis de la
segunda clase del docente Fernando, en la primera configuración se encuentran las siguientes
normas: el profesor es el que define cómo se debe desarrollar la clase; el profesor propone
los ejercicios a desarrollar; el profesor es el que desarrolla el ejercicio con pequeños apoyos
de los estudiantes; siempre que se termine un ejercicio, el profesor debe hacer un recuento.
Al terminar el desarrollo del ejercicio o problema, el profesor deja un espacio de tiempo para
que los estudiantes terminen de copiar para estar todos atentos a la siguiente actividad. Otras
normas más se encuentran en el análisis de la clase y en las diferentes configuraciones.
En lo referente a la clasificación de la comunicación propuesta por Niño (1998, p 41,
42), de acuerdo a la participación, la comunicación fue unilateral, se desarrolló en una
dirección y el protagonismo lo tuvo el docente. Fue colectiva y abierta, el docente se dirigió
a un público, sus estudiantes. Lingüística, el medio natural fue el lenguaje, apoyado por
códigos paralingüísticos, también fue extralingüística, se emplearon códigos distintos a la
lengua natural, como la simbología matemática. Formal, se sujeta a una estructura de clase
definida. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación fue audio visual, el docente hablaba,
pero iba escribiendo el proceso en el tablero ayudándose con diagramas o gráficas;
igualmente fue directa, pues implica presencialidad. Vertical, ya que se dió de docente a
estudiante, en una forma poco participativa del estudiante (Niño, 1998). En las siguientes
líneas de transcripción de la clase, se pueden identificar los aspectos mencionados.
[16]
P Hagamos el siguiente ejercicio.
Se bombea aire en un globo esférico a razón de
4.5cm3 por minuto. Hallar la razón de cambio del
radio cuando este es de 2cm. Entonces analizamos
el ejercicio.
Miremos que estén en las mismas unidades de
centímetros. Que conocemos, es un globo
esférico, entonces nos estamos refiriendo a una
esfera. Que sabemos para calcular el volumen de
la esfera…
Cuál es la incógnita de este caso…
𝑑𝑣
𝑑𝑡= 4.5
𝑐𝑚3
𝑚𝑖𝑛
r=2cm
v=4
3πr3
𝑑𝑣
𝑑𝑟=?
r=2cm
Analiza el
ejercicio
teniendo en
cuenta el
enunciado.
Capítulo 6. Caso Fernando 208
Entonces aquí tenemos la ecuación que es, los
datos que nos dan, tenemos identificada la
ecuación, nuestra incógnita que nos están pidiendo
la razón de cambio, a quien recurrimos a regla de
la cadena y derivación. Entonces aquí la derivada
nos quedaría…
La razón a la que está cambiando ese radio es de 9
32π
𝑑𝑣
𝑑𝑡= 4πr2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
1/4πr2 * 𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
1/4π(2cm)2*4.5cm3=𝑑𝑟
𝑑𝑡
1/4π(4cm2)* 9
2
𝑐𝑚3
𝑚=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
9
32π
𝑐𝑚
𝑚=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
[17] E4 Un estudiante
llama al
profesor para
que le solucione
una duda que
tiene con
respecto al
ejercicio
[18]
P El siguiente ejercicio dice. Un avión vuela a 6
millas de altitud en línea recta hacia la posición de
un radar. Sea s la distancia en millas entre el avión
y el radar. Si s está decreciendo a razón de 400
millas por hora cuando s es 10 millas. ¿Cuál es la
velocidad del avión?
Para hallar la altura recordemos el teorema de
Pitágoras.
Ya tengo la expresión en distancia, que datos nos
dan, me están diciendo que la distancia…
los datos que nos están dando que entre el avión y
el radar está decreciendo a 400 millas. Y me
preguntan que cual es la velocidad. La velocidad
es despejar x…
derivamos implícitamente…
y la derivada de 36 es cero, no conozco s pero si
se puede reemplazar esta expresión, entonces…
La pregunta era cuál es la velocidad del avión es
de -500 millas por hora, ese signo negativo a
que se refiere, es que está decreciendo. Porque la
rapidez acordémonos que hablamos de dos
términos, velocidad y rapidez. La rapidez es
cuando es del recorrido que lleva y su velocidad
está decreciendo es de 500 millas por hora ese
seria del ejercicio.
s= distancia en millas
radar y el avión
s2=x2+(6)2
s2=x2+36 𝑑𝑥
𝑑𝑡= −400
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
ℎ
S=10millas
s2=x2+36
2s𝑑𝑠
𝑑𝑡=2x
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(10millas)2=2x𝑑𝑥
𝑑𝑡
100-36=x2
64=x2
x=√64
x=+
−8
2𝑠
2𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑡=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
10𝑚
8𝑚(−400
𝑚
ℎ) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
-500𝑚
ℎ=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Hace un
bosquejo del
ejercicio,
teniendo en
cuenta el radar y
la distancia del
avión, haciendo
un triángulo.
[19]
Pausa de
silencio donde
los alumnos
copian el
problema y
algunos
aprovechan para
hablar con los
compañeros
[20]
A1 Consulta al
profesor el cual
Capítulo 6. Caso Fernando 209
lo escucha y de
acuerdo a ello
plantea lo
siguiente
Para esta clase se utilizaron símbolos, el interpretante del fundamento [18]; pero
también se plantearon íconos, donde hay una semejanza entre el signo y la realidad (Peirce,
1974), por ejemplo, el dibujo del globo. El docente pretendió usar símbolos con
significado, se pudo ver este aspecto durante toda la clase, en especial en las líneas de
transcripción [16] a [20] (Saussure, 1995).
Se manejaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos
como sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971), se
puede evidenciar en la secuencia de clase mencionada anteriormente.
El profesor recurrió a la comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes
(Ponte et al, 2007). Se presenta un aparte de la trascripción de la segunda clase de
Fernando, donde se destaca que el profesor los mantiene ocupados para evitar la
indisciplina.
[1] P Para poder avanzar en nuestro tema tenemos el
siguiente problema.
Si x, y con funciones
derivables….
El profesor
empieza a
escribir el
enunciado
de un
problema
[2] E1 ¿Profe eso qué es?
[3] P Un problema que vamos a solucionar que teníamos
que trabajar.
Haber vamos a dividir la clase en dos partes, la
primera vamos trabajar problemas de estos, y
después problemas de primera y segunda derivada.
El profesor
inicia a
dictar el
ejercicio.
[4]
P Dice: “que si x y y son funciones derivables de t,
las cuales están relacionadas por la función y=x2+3
hallar 𝑑𝑦
𝑑𝑡 cuando xes igual a 1.
Dado que 𝑑𝑥
𝑑𝑡 =2 cuando x es igual a 1
… por la función
y=x2+3 hallar 𝑑𝑦
𝑑𝑡
cuando x=1.
Dado que 𝑑𝑥
𝑑𝑡 =2
cuando x=1
El profesor
continua
escribiendo
el ejercicio
en el tablero
Capítulo 6. Caso Fernando 210
[5]
P Entonces en este caso nos está hablando que
tenemos que ver que si x y y son funciones
derivables respecto en esta caso a la variable t,
debemos relacionarlas con la función y=x2+3 y
hallar su derivada respecto a t, cuando x vale 1.
Entonces tenemos nuestra ecuación que es…
Conocemos regla de la cadena y derivación
implícita, entonces tenemos que derivarla esa
función implícitamente esa función respecto a que
variable…
Entonces en este caso tenemos la derivada de y…
… y la derivada de t es…
y=x2+3
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
El profesor
escribe la
función en
el tablero.
[6]
E2
Mas cuatro Donde un
estudiante
responde…
Respecto del contrato didáctico (Brousseau, 1988), se presenta una sección de la
trascripción de la segunda clase del docente, en la cual se pueden identificar normas de la
clase:
[9] P Entonces, ahora dice el siguiente problema
para que lo tengamos presente ahí.
[10]
P Una piedra se deja caer sobre un estanque
en reposo y produce ondas circulares…
concéntricas. El radio r de la onda exterior
crece a ritmo constante de 30 centímetros
por segundo. Cuando su radio es de 120
centímetros. ¿A qué ritmo está creciendo el
área total de la zona perturbada?
Nos dicen que tenemos un radio…
que otro dato nos están dando. Nos dice
que se produce a un ritmo constante, estos
son los datos que nos da el ejercicio.
¿Qué nos piden que hallemos? el área, que
ente caso es el área de ¿quién? de la
circunferencia, y el área de la
circunferencia es...
Tenemos ya la fórmula del área, ahora que
nos está diciendo el ejercicio.
Entonces tenemos que hallar…
r=120cm
𝑑𝑟
𝑑𝑡= 30
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
A = πr2
𝑑𝐴
𝑑𝑡=? R=120cm
El profesor dicta el
problema y hace un
bosquejo del tanque,
explicando el efecto
que hace la piedra al
caer sobre él,
haciendo las ondas
señalando la gráfica
dice que las ondas
crecen a un ritmo
constante
donde el profesor
vuelve a leer el
problema.
[11] P Tenemos nuestros datos y la relación de los
datos, área y radio. Nos pide que hallemos
el área constante.
𝑑𝐴
𝑑𝑡= 2πr
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Teniendo los datos
que se conocen,
comienzan a
solucionar el
problema.
Capítulo 6. Caso Fernando 211
Entonces qué quiere decir, de que la
pregunta decía. ” ¿A qué ritmo está
creciendo el área total de la zona
perturbada?”, entonces está creciendo a un
ritmo de 7200 centímetros cuadrados por
segundo.
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 2π(120)(30𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔)
𝑑𝐴
𝑑𝑡= 7200
𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑔
[12]
p Bueno hagamos el siguiente problema. Donde un estudiante
dice que espere, que
estaba poniendo
cuidado y no había
escrito.
[13] P Entonces miren el proceso de lo que
llevamos para poder resolver el ejercicio.
Primero tenemos que asignar las variables
y después de asignar las variables que
cantidades están relacionadas con los datos
que tenemos. Es uno de los primeros pasos
para estar desarrollando mirar que
símbolos tenemos, que variables, que
cantidades están relacionadas con ellas. El
segundo paso es escribir la ecuación en
término de los valores que se estén
calculando.
Tenemos los datos que nos dan. Segundo
vimos que lo que nos preguntaban era el
área de la onda que se buscaba calcular. El
siguiente paso es usar la regla de la cadena
y la derivación implícita.
Después lo que hacemos es derivar
implícitamente por regla de la cadena
utilizando los datos que nos dan
Explica en el tablero
como lo hicieron con
el problema ya
resuelto.
[14]
E3 ¿Cuándo nos dan r y h? Teniendo en cuenta el
problema
desarrollado
[15] P Entonces debe ir una en términos de la
otra.
De la sección de clase se infieren las siguientes normas del contrato didáctico: el
profesor propone los problemas a desarrollar; el profesor es el que desarrolla los problemas
con pequeños apoyos de los estudiantes; siempre que se termine el desarrollo de un
problema, el profesor debe hacer un recuento; el profesor debe contestar las preguntas cortas
de los estudiantes.
En lo referente a los modos de comunicación, en la siguiente tabla se presentan las
configuraciones didácticas (Godino, 2011) con las interacciones y de acuerdo a ellas a qué
modo de comunicación pertenecen bajo el criterio de Brendefur y Frykholm (2000).
Capítulo 6. Caso Fernando 212
Tabla 26. Modo de comunicación segunda clase.
Configuración Interacciones Modos de
comunicación
1 O, pc, Rc, Ant, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Sc. Unidireccional
2 Ant, D, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, int, E, pc, A. Unidireccional
3 O, D, A, Pc, Ar, Pc, ric, E, Sp, pc, Rc. Unidireccional
4 D, A, E, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Sp. Unidireccional
5 O, D, Sc, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Sp. Unidireccional
6 Ant, D, Pc, Ar,. Pc, ric, Pc, ric, O, E, Pc, ric, Pa, ria, R, pc, Pcd, ric,
A, D, E, Pc, ric, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, A,Sc
Unidireccional
7 D, Pa, ric, Pa, Pc, ric, A, ic, A, Sp, ic, Ap, pc, Rc, E, Pc, ric, R, A, Pc,
Rc, E, Pc, ric, R, Pc, ric, , Pc, ric, , Pc, ric, , Pc, ric, E, pc, Ra
Unidireccional
8 Ant, D, O, D, pc, Rc, pc, Rc, E, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric,
Pc, ric, A.
Unidireccional
Fuente: elaboración propia.
Se concluye que la clase es expositiva, con escasa participación de los estudiantes
(13.27%) y como cada configuración es unidireccional, la clase en general es de este modo
de comunicación.
Generalidades de la comunicación en las clases iniciales.
El modelo explicativo predominante en la clase del profesor Fernando es el modelo
lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994), la clase se basó en la
transmisión de contenidos, unidireccional, el protagonismo lo ejerció el profesor y fue quien
propuso las tareas y las desarrolló con intervenciones cortas de los estudiantes. También tuvo
parte del modelo sistémico en lo referente a la retroalimentación (Bertalanffy, 1950), ya que
siempre desarrolló varios ejercicios o problemas con el mismo patrón buscando que los
estudiantes mecanizaran la temática a trabajar. Igualmente se consideró el modelo orquestal
en lo referente a la regulación (Marc y Picard, 1992), se mostró que en estas clases se
manejaban algunas normas que permitieron el buen desarrollo de las mismas en cuanto a
ejecución, pero que tenían que ver con la forma de pensar del docente o sea con su tendencia
didáctica que lleva en su práctica pedagógica.
Asumiendo diversos criterios para la clasificación de la comunicación se tiene: de
acuerdo a la participación, la comunicación fue unilateral, se desarrolló en una dirección;
Capítulo 6. Caso Fernando 213
colectiva y abierta, pues el docente se dirigió a un público que son los estudiantes;
lingüística, el medio natural de comunicación fue el lenguaje, con apoyo de códigos
paralingüísticos; también extralingüística, se emplearon códigos distintos a la lengua
natural, como la simbología matemática; formal, se siguió un patrón de clase definido, el
tradicional. En cuanto al canal, la comunicación fue audio visual y directa; también fue
vertical, se dio de docente a estudiante, con poca participación del estudiante (Niño, 1998).
En cuanto a los signos, para esta clase se utilizaron básicamente los símbolos y en
menor escala los íconos (Peirce, 1974). Se manejaron símbolos ubicados en un contexto y
en relación con otros símbolos (Saussure, 1995); es decir, el profesor siempre buscó utilizar
sígnos con significado. En lo referente a los códigos, se utilizaron los códigos lingüísticos,
el discurso del docente; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje y los
extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).
Se consideró la comunicación como medio de control y como medio para percibir el
avance o las dificultades de los estudiantes (Ponte et al, 2007). El profesor utiliza la
comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje
de los conceptos matemáticos de los mismos.
En la clase se pudieron identificar diferentes apartes donde sobresalen algunas normas
de la clase, entre otras se tienen: la persona que esté escribiendo en el tablero debe hablar; el
estudiante debe responder a las preguntas del profesor; el profesor propone los problemas a
desarrollar; el profesor es el que desarrolla los problemas con pequeños apoyos de los
estudiantes; siempre que se termine el desarrollo de un problema, el profesor debe hacer un
recuento; el profesor debe contestar las preguntas cortas de los estudiantes. Como estos casos
hay varios dentro de la sesión de clase y se encuentran en el análisis de cada una.
Los modos de comunicación propuestos por Brendefur y Frykholm (2000), son
presentados de acuerdo a las configuraciones didácticas (Godino, Planas y Font, 2010) con
las interacciones de clase, en las tablas 25 y 26. De esta información se concluye que la
comunicación en clase típica del docente Fernando es unidireccional, ya que todas las
Capítulo 6. Caso Fernando 214
configuraciones de las dos clases son de este modo de comunicación. Las interacciones
planteadas son del actuar del docente, con muy pocas del estudiante y en tal caso de forma
corta, lo aclara el hecho de que el promedio de participación del estudiante en la clase es del
13,49%.
Durante el trabajo colaborativo
El profesor manifiesta, que este trabajo en grupo colaborativo le ha permitido
enriquecerse con las opiniones de los compañeros, en la práctica pedagógica, tanto en el
planeamiento como en la ejecución de las clases, dado que el análisis que se ha hecho en las
sesiones corresponde a sus clases (Ent3F, 1 julio 2016).
Cree que ha evolucionado como profesor de matemáticas, en la participación del
estudiante, escucharlo, identificar los procesos de pensamiento que ellos tienen en el momento
de desarrollar la actividad, y de ahí mejorar como docente. Considera que debe avanzar en el
control del tiempo de la clase, para dar campo a desarrollar diversas estrategias conducentes
al aprendizaje de los conceptos por parte de los estudiantes. “Otro criterio por mejorar es mi
demasiada tendencia ha intervenir en los procesos de los estudiantes” (Ent3F, 1 julio 2016).
Opina que no se ha podido hacer ya que estos aspectos necesitan ser interiorizados por parte
del docente y esto es un proceso que requiere de tiempo.
En el trabajo del grupo colaborativo el profesor se apropia de su trabajo de aula,
comentando y oyendo a los demás compañeros, lo cual resulta enriquecedor ya que contribuye
a mejorar la práctica pedagógica de cada uno, “mientras que en otras capacitaciones se hace
en forma general y la persona no se siente parte del proceso, sino que lo ve como alguien que
es un experto llega a transmitir su sapiencia a unos aprendices” (Ent3F, 1 julio 2016).
Menciona que a pesar de que el trabajo desarrollado es muy bueno, es necesario asumir mayor
responsabilidad con algunas tareas que surgen del trabajo colaborativo, al igual que de la
dedicación del tiempo para los horarios de trabajo, ya que en ocasiones se cruzan con otras
actividades, las cuales se priorizan.
Capítulo 6. Caso Fernando 215
La reflexión realizada en el proyecto le ha permitido revisar y cambiar aspectos de
trabajo en el aula, con el fin de que el estudiante tenga más participación y así poder detectar
más fácilmente las dificultades que se presentan en el aprendizaje de la temática trabajada, y
poder proponer estrategias a tiempo para mejorar estos procesos. En cuanto a su participación
“ha sido a través de comentarios en el grupo, experiencias y análisis de diversas situaciones,
tanto personales como de los compañeros” (Ent3F, 1 julio 2016). El reflexionar sobre
diferentes modelos pedagógicos ha incidido en la mejora de su práctica profesional, en
aspectos como: ¨me ayudó a aclarar las características de cada uno de ellos, para lograr así
generar mejor las actividades hacia un proceso de consenso en el grupo y reflejarlo así en las
actividades de la clase¨ (Ent3F, 01 julio 2016). El recapacitar sobre sus clases de semestres
anteriores incide en que su práctica docente actual cambie, especialmente en la concepción de
que el estudiante aprende sólo si se le explica, lo cual conlleva a modificar las actividades y
asumir que el estudiante puede aprender sin necesidad de que él esté dentro de ese proceso.
El reflexionar sobre las clases a partir de los criterios de idoneidad propuestos por el
Enfoque Ontosemiótico, “he mejorado especialmente en la parte interaccional, que considero
era la idoneidad en la que me encontraba con mayor debilidad” (Ent3F, 1 julio 2016), sin
descuidar las otras idoneidades, las cuales deben ser fortalecidas en conjunto, ya que la clase
debe ser armónica. Igualmente, manifiesta que entre los aspectos positivos del análisis
didáctico está en que le permite al profesor hacer una radiografía de la clase, para así encontrar
las debilidades que se presentan en su quehacer pedagógico y poder ver las idoneidades en las
que mayores falencias se tienen. Igualmente, valorar las fortalezas que hay dentro de las
prácticas pedagógicas del docente. También le facilita conocer aspectos de la clase que tal vez
dentro de su función docente no se habían tenido en cuenta (Ent3F, 1 julio 2016).
Al mirar retrospectivamente las prácticas matemáticas en el aula, se puede establecer
algunas diferencias con la situación anterior al proyecto, pues antiguamente se trabajaba la
explicación de la temática en el tablero y los estudiantes solucionaban los ejercicios siguiendo
un proceso similar al explicado, y actualmente con el trabajo colaborativo “he aprendido a
mirar que la clase se puede trabajar más participativa, donde el estudiante realmente sea el eje
de ella, y comprender que existen otras formas de enfocar la práctica pedagógica que dan
Capítulo 6. Caso Fernando 216
mejores resultados en el proceso de aprendizaje del estudiante” (Ent3F, 1 julio 2016).
También encuentra diferencias en la forma de actuar del estudiante, ya que su rol cambió,
antiguamente su papel era reproducir algorítmicamente los procesos explicados en el
desarrollo de los ejercicios, actualmente, es participe de la construcción de los conocimientos
que se trabajan en el aula, permitiéndole así reflexionar sobre el proceso de aprendizaje que
realiza en cada situación planteada, llevándolo a un verdadero reto (Ent3F, 1 julio 2016). En
cuanto al tipo de tareas, también se identificaron diferencias, ya que actualmente lo que se
busca es llevar al estudiante a reflexionar sobre un concepto, el cual es contrastado con lo que
piensan los compañeros y el profesor, orientados por una base teórica de cualquier texto o
ayuda de internet. Antes se buscaba que el estudiante reprodujera las actividades, teniendo
presente el proceso explicado por el profesor. “La organización del aula es distinta, antes era
en forma matricial en filas y columnas, hoy se distribuyen en pequeños grupos de acuerdo
con el número de estudiantes y el número de grupos que desee distribuir el profesor” (Ent3F,
1 julio 2016), adicionalmente en algunas actividades hay rotación de los integrantes de los
grupos, con la finalidad de lograr un mayor grado de participación.
La forma de comunicación “es uno de los aspectos que más he cambiado, pues
anteriormente era de tipo unidireccional y se creía que efectivamente había consensos, pero
al momento de evaluar sucedía todo lo contrario” (Ent3F, 1 julio 2016); actualmente, si hay
interacción entre ellos, al igual que con el docente, aunque en menor escala, permitiendo así
la reflexión sobre la temática y conllevando a un mejor proceso de aprendizaje. Se pueden
mostrar cambios en sus prácticas, por ejemplo en una clase, cuando se les dio a los estudiantes
modelos arquitectónicos, con el objetivo de que ellos ubicaran el sistema coordenado en tres
dimensiones en alguna parte de la edificación y describieran desde ahí lo que veían en los
diferentes octantes y posteriormente aplicar lo visto en la deducción de los planos, para llegar
finalmente a encontrar los diferentes planos allí descritos.
En cuanto a los conocimientos matemáticos el docente plantea que “ya no los veo como
entes totalmente abstractos, sino como que puede buscarse su representación en la realidad y
así aplicar la matemática en su contexto” (Ent3F, 1 julio 2016). Lo desarrollado en el grupo
de trabajo colaborativo, ha incidido en el cambio de las prácticas pedagógicas, conllevando a
Capítulo 6. Caso Fernando 217
que el estudiante sea el eje en la construcción de su conocimiento. En lo que respecta a las
concepciones de los estudiantes, para el docente son fundamentales, en especial son un reto
el cambiar su forma de aprender, “ya que en este momento esperan es que el profesor les
explique toda la temática, más no valoran cuando se realiza una actividad de otro tipo” (Ent3F,
1 julio 2016). En la forma de concebir las capacidades de los alumnos, el profesor considera
que “pasé de creer que el estudiante no aprendía si el profesor no le explicaba, a pensar que
el estudiante puede aprender por si sólo, con ayuda del profesor y de otros recursos” (Ent3F,
1 julio 2016). En lo referente al conocimiento previo, el docente señala que es un aspecto
fundamental en la construcción de nuevos saberes, ya que sin una base sólida es imposible
lograr que los estudiantes manejen un nuevo concepto. Para concluir, manifiesta que con el
trabajo colaborativo se pudo ver una nueva forma de enfrentar los diferentes aspectos que se
presentan en el aula.
Después del Trabajo Colaborativo
Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica.
Una vez finalizada esta etapa del trabajo colaborativo, el profesor manifiesta “el
modelo de clase que propongo, está enfocado a la participación activa del estudiante en la
solución de situaciones problema donde ponga en juego sus conocimientos previos y logre
así construir los nuevos conceptos” (Ent4F, 18 julio 2016), considera importante la
interacción mutua entre los estudiantes y a la vez entre docente y estudiante, en la asociación
de los nuevos conocimientos y su utilidad, sin olvidar cada una de las idoneidades,
incluyendo siempre la socialización del análisis obtenido por el grupo de estudiantes,
acompañado con la discusión y evaluación del proceso realizado, el cual puede ser visto
como una retroalimentación y el punto de partida de los contenidos que se siguen trabajando
en el aula. En cuanto a los patrones de interacción opina,
Entre los patrones de interacción que busco desarrollar en mis clases actualmente se
encuentra el modelo de Sierpinska (1996) relacionado con el patrón interrogativo, que
pretende se presente un trabajo en equipo entre los estudiantes, donde cada uno aporta
Capítulo 6. Caso Fernando 218
sus conocimientos al socializar y discutir con sus compañeros, y llegar a responder el
interrogante planteado a través de los referentes teóricos y las preguntas orientadoras
del docente (Ent4F, 18 julio 2016).
El tipo de comunicación que trabajaría en el desarrollo de clase “estaría enfocada
hacia la participación y la interacción del estudiante en la construcción y asociación del
conocimiento con el entorno, y lograr así comprender el lenguaje matemático que se trabaja
en cada una de las situaciones planteadas” (Ent4F, 18 julio 2016).
Análisis Didáctico.
Se analizaron dos clases del docente Fernando, las cuales fueron grabadas después de
culminar el trabajo colaborativo.
Tercera clase.
La clase tuvo una duración de una hora y cincuenta y cuatro minutos (1:54),
orientada al cuarto semestre de la Licenciatura en Matemáticas, con 20 estudiantes.
Asignatura Algebra Lineal.
En general se desarrolló el siguiente proceso: el profesor inicialmente realizó una
presentación de un taller sobre introducción a espacios vectoriales, el cual constaba de 5
puntos. El primero se trataba de precisar las definiciones de conjunto, función, operación
binaria, axioma, cuerpo y campo. En el segundo punto se presentó un conjunto en R3
dotado de dos operaciones, una interna y una externa; se pidió realizar algunos
desarrollos con valores numéricos específicos y aclarar cómo se aplicaban las
definiciones del primer punto, allí. El tercero era recordar las propiedades que satisfacen
la suma de vectores y la multiplicación de un escalar por un vector. En el cuarto se dieron
dos operaciones definidas en R2, se solicitó comprobar si se cumplían las propiedades
mencionadas en el ítem anterior. Y finalmente como quinto punto se pidió definir qué es
un espacio vectorial. El profesor Planteó un trabajo en grupos de 4 estudiantes.
Capítulo 6. Caso Fernando 219
Luego se realizó una rotación de grupos, dejando fijos los relatores de cada grupo.
Se propuso que cada relator hiciera el resumen de lo hecho en el grupo y los demás
estudiantes refutaran o complementaran lo desarrollado. Posteriormente se hicieron dos
rotaciones más con el mismo propósito planteado anteriormente.
A continuación, se reunió el grupo original, con el fin de que los estudiantes
llegaran a consensos, complementando con las experiencias de los distintos grupos.
Posteriormente, se socializaron los avances en el desarrollo del taller. Se inició leyendo
cada grupo su conclusión, pero posteriormente por tiempo, el profesor expuso los
resultados hasta el punto tres.
Finalmente, el profesor dejó como tarea, complementar los puntos 4 y 5, los cuales
serían aclarados y discutidos la siguiente clase. También se preguntó por la opinión de
los estudiantes sobre la actividad realizada y fecha para un parcial general. (Observación
de clase, 19 septiembre 2016)
Para facilitar el análisis de la clase, se ha dividido en 7 configuraciones didácticas
(Font, Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del
Enfoque Ontosemiótico. A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta
clase.
Capítulo 6. Caso Fernando 220
Tabla 27. Análisis de la tercera clase.
Líneas
transcripció
n
Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones del
profesor
Funciones
de los
alumnos
Tipo
configur
ación
didáctica
Patrones de
interacción
Conflictos Normas
1-7
Introducción
general de la
clase,
entrega de
taller sobre
introducción
a espacios
vectoriales.
Lenguaje verbal: Se usa un
lenguaje verbal ya conocido y
no matemático
Procedimiento: 1) Se va a
trabajar grupos de 4
estudiantes ya que en total son
20 2) Deben leer muy bien el
taller y contestar de acuerdo a
ello. 3) Se debe nombrar un
relator y al final hay que
entregar un informe en hoja de
examen. 4) Al final cada
relator socializará a todo el
grupo las respuestas a los 5
puntos del taller.
Proceso de
institucionalizaci
ón: el profesor
pone en claro las
reglas para el
trabajo de la
clase.
Proceso de
comunicación:
los alumnos
comprenden lo
que deben hacer
en la clase.
-Distribuye los
estudiantes por
grupos.
- Explica el
trabajo que se va a
desarrollar
durante toda la
clase.
- Entrega el taller
sobre
introducción a
espacios
vectoriales.
-Da la orden de
inicio del trabajo.
- Se
distribuyen
en grupos de
4
estudiantes.
-Reciben el
taller
entregado
por el
profesor.
Configur
ación
magistral
mecanici
sta en
gran
grupo.
O, Ant, Sd, Ant,
O, pc, Rc.
- El trabajo se
desarrolla en
grupos de 4
estudiantes,
distribuidos en
forma libre
inicialmente y
posteriormente en
orden de llegada.
-Hay que entregar
informe al final.
-Hay que socializar
los resultados al
terminar.
7-223 Análisis del
taller por
cada grupo,
contestando
las 5
actividades
propuestas.
Lenguaje verbal: Se usa ya
conocido (definiciones,
conjunto, función, operación,
operación binaria, axioma,
cuerpo, campo, algebre lineal,
elementos, vacío, subconjunto,
conjunto referencial, colección,
relación, parejas ordenadas,
primera componente, segunda
componente, conjunto de
llegada, conjunto de salida,
conmutativa, suma, resta,
multiplicación, vectores,
propiedades, asociativa,
modulativa, invertiva, ley,
dominio, rango).
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas de:
conjunto como V={(x,y,z)€r3;
x,y,z>0}, suma de vectores,
Proceso de
representación y
materialización:
se utilizan en el
cuaderno y en el
taller signos
matemáticos
reconocibles para
el grupo.
Proceso de
descomposición:
Para desarrollar
las operaciones
con vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales.
Proceso de
mecanización: Se
-Asesora a los
estudiantes
cuando lo
solicitan o cuando
el desee intervenir
en algún grupo.
--Cuestiona a los
estudiantes sobre
la forma de
solucionar el
ejercicio.
- Participa
con aportes
al grupo.
- Discute con
los
compañeros
la forma de
desarrollar
los ejercicios
propuestos
en el taller.
-Cuestiona
las
propuestas
de los
compañeros
en pro de
lograr una
mejor
Configur
ación
dialógica
en
pequeños
grupos.
co, l, pcc, ric, o,
cop, cop, cop, r,
o, cop, des, o,
des, ric, a, pcc,
ria, o,o, des, o,
cop, r, pcc, ex,
o, o,o, des,
pccm, o, cop,
pcc, r, ar, ex, l,
o, cop, de, e, a,
a, o, R, o, pcc,
o, int, int, o, pc,
pnt, pc, Pc, o,
pc, Ap, Pc, Ar,
Pc, o, des, a,
pccm, o, des, l,
Pc, ria, Pcm, rc,
A, ric, Pc, ric,
Pc, ric, Pc, ric,
Pc, ric, Ap, Pm,
ric, A, ric, a,
El profesor
pide definir
algunos
conceptos
muy
abstractos
como
conjunto,
que casi
siempre lo
definido
queda en la
definición,
lo cual
puede
producir un
conflicto
semiótico
interaccion
al.
-Hay que utilizar
los conceptos
previos para el
desarrollo del
taller.
-Hay que
concentrarse para
poder trabajar bien
los ejercicios.
-Cada miembro del
grupo debe aportar
al desarrollo de los
ejercicios.
-Se pueden utilizar
apuntes. Libros y
cualquier medio
que les permita
comprender la
Capítulo 6. Caso Fernando 221
producto de escalar por vector,
diversas operaciones en r2 y
r3.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje verbal)
Explícitas: de conjunto,
función, operación binaria,
axioma, cuerpo.
Procedimientos: Para
solucionar el taller 1) Leer
punto por punto. 2) Buscar
teoría asociada. 3) Buscar
ejercicios similares. 4)
solucionar el ejercicio
propuesto.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación y división,
potenciación, al igual que las
propiedades conmutativas,
asociativa, elemento neutro,
invertiva, distributiva…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para determinar
operaciones entre vectores y
de escalares por vectores.
trata de que los
alumnos realicen
el cálculo de la
suma y el
producto con
operaciones no
usuales.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los
miembros del
grupo y en pocas
ocasiones con el
docente.
Proceso de
generalización:
se parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización
del espacio
vectorial
comprensión
de los
ejercicios.
-Trabaja
sobre el
ejercicio
propuesto
por el
profesor en
el taller
pcc, de, int, l,
Pc, ria, Ap, Pc,
A, Pc, ria, Pc,
ric, A, sc,, rp,
Ap, ric, Ap, Pc,
ric, Pc, ric, Pc,
ric, Ap, Pc, ric,
Pm. ric, Ap,
Pm, ric, Pc, Ar,
ric, Ant, de, o,
pcc, ria, des, o,
pcc, o, pcc, sc,
o. cop. Sc, o, sc,
o, Ant, o, o,
pcc, ria, o, ap,
ant, ric, ex, ex,
ex, o, o, ex, pcc,
ric, pcc, ria, o,
pc, pcc, ar, o,
ant, pcc, ar, o,
o, ap, o, o,o,
cop, o, ant, des,
sp, pcc, pcc, l,
Pm, ria, Pc, ric,
Ap, ric, Pc, ric,
Pc, ria, o, Ap,
A, pc, Rc, l, l, o,
ap, cop, pcc, ric,
pcc, rm, pcc,
rm, pc, ar, o, sc,
a, pcc, o, cop, o,
cop, o,o,o,o,
des, l, co, o, o,
r, o, ant, ex, o,
ant, o,o,o,ex, o,
ap, a, des.
Los
estudiantes
presentaron
problema
para
plantear las
definicione
s, lo cual
puede
causar un
conflicto
semiótico
cognitivo
potencial.
.
problemática
propuesta.
Capítulo 6. Caso Fernando 222
224-316 Desarrollo
del taller
propuesto
por el
docente con
rotación de
grupos
quedando
fijo el
relator de
cada grupo.
Lenguaje verbal: ya conocido
(conjunto, colección de
elementos, ecuación, función,
pareja ordenada, parábola,
dominio, operación binaria,
operación interna, operación
externa, axioma, campo, rango
de la relación, conjunto de los
reales, propiedades asociativa,
conmutativa, distributiva,
estructura algebraica, números
complejos, escalares, propiedad
modulastiva, vectores).
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas de:
conjunto como V={(x,y,z)€r3;
x,y,z>0}, suma de vectores,
producto de escalar por vector,
diversas operaciones en r2 y
r3.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje verbal)
Explícitas: de conjunto,
función, operación binaria,
axioma, cuerpo.
Procedimientos: 1) Relator lee
lo consensuado con los
compañeros. 2) Nuevos
compañeros discuten y
confrontan lo propuesto. 3)
Llegar a nuevos consensos.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación y división,
potenciación, al igual que las
propiedades conmutativas,
asociativa, elemento neutro,
invertiva, distributiva…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
Proceso de
representación y
materialización:
se utilizan en el
cuaderno y en el
taller signos
matemáticos
reconocibles para
el grupo.
Proceso de
descomposición:
para desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales.
Proceso de
mecanización: se
trata de que los
alumnos realicen
el cálculo de la
suma y el
producto con
operaciones no
usuales.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los
miembros del
grupo y en pocas
ocasiones con el
docente.
Proceso de
generalización:
se parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización
del espacio
vectorial
- Brinda
Asesoraría a los
estudiantes
cuando lo
solicitan o cuando
el profesor
considere
pertinente su
intervención en
un grupo
específico.
-Debate con los
estudiantes sobre
la forma de
solucionar y
abordar los
ejercicios.
-Las
anteriores.
-escucha al
relator y
corroborar,
complement
ar o
contradecir
lo planteado.
-Llega a
consensos
con base en
lo ya
discutido.
-Aborda las
temáticas
que no se
habían
profundizado
hasta el
momento
Configur
ación
dialógica
en
pequeños
grupos.
Ant, l, ap, o,
cop, l, o, co,
ant, l, o, ant,
pcc, ric, r, l,o,
pcc, ar, l, o, pcc,
ric, Pc, ric, Pc,
ria, Pc, ric, Pc,
ex, Pc, l, Ap, A,
Pc, ric, Pc, ric,
Ant, ic, Pc, ap,
ric, A, Pc, ric,
Pc, ric, Pm, ric,
Pc, ric, Pc, ric,
Pc, ric, An, ic,
Ant, o, o, des, l,
ant, e, e, o, cop,
o, pc, ric, des,
ant. Ap, A, o, o,
pcc, ar, pcc, ric,
o, des, sc, l, r, o,
o, pcc, ric, o, o,
pcc, ria, o, cop,
ant, des, rdes,
ant,co.
-Los
estudiantes
afirman que
un conjunto
es una
ecuación de
elementos
con una
característic
a común, lo
que implica
que
confunden
términos
como
ecuación
con reunión
y definir
términos
como
conjunto,
siempre
conlleva a
un potencial
conflicto
interaccion
al y a la vez
cognitivo.
-Igualmente
dicen que la
operación
modulativa,
es decir
confunden
propiedad
con
operación,
lo cual
puede
causar un
conflicto
cognitivo.
-Como no
hay
comprensió
-los mismos que en
la configuración
anterior
-se debe escuchar
al relator del grupo
a donde se llega.
-Hay que llegar a
consensos
mediante la
reafirmación de
ideas o
controversia con
ellas.
Capítulo 6. Caso Fernando 223
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para determinar
operaciones entre vectores y
de escalares por vectores.
Proceso de
particularización
:
Se enuncia las
operaciones
generales y se
desarrollan casos
particulares.
n de un
concepto, le
otorgan la
culpa a la
profesora,
lo cual
puede
causar un
conflicto
interaccion
al.
317-410 Desarrollo
del taller
propuesto
por el
docente con
segunda
rotación de
grupos
quedando
fijo el
relator de
cada grupo.
Lenguaje verbal: función,
relación, parejas ordenadas,
operación binaria, operación
binaria interna, operación
binaria externa, conjunto,
conjunto referencial, axioma,
proposiciones, cuerpo,
expresión algebraica,
estructura algebraica, vectores,
multiplicación de escalar por
vector, suma, multiplicación,
propiedad conmutativa,
propiedad distributiva,
asociativa, producto punto,
producto escalar…
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas de:
conjunto como V={(x,y,z)€r3;
x,y,z>0}, suma de vectores,
producto de escalar por vector,
diversas operaciones en r2 y
r3.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Explícitas: de conjunto,
función, operación binaria,
axioma, cuerpo, campo,
espacio vectorial.
Procedimientos: 1) Relator lee
Proceso de
representación y
materialización:
Se utilizan en el
cuaderno y en el
taller signos
matemáticos
reconocibles para
el grupo.
Proceso de
descomposición:
para desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales.
Proceso de
mecanización: se
trata de que los
alumnos realicen
el cálculo de la
suma y el
producto con
operaciones no
usuales.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los
miembros del
grupo y en pocas
ocasiones con el
-Asesora a los
estudiantes
cuando estos lo
piden o cuando el
profesor lo
considere
necesario.
-Confronta las
ideas de los
estudiantes sobre
la forma de
solucionar y
abordar los
ejercicios.
-Las
anteriores.
-escucha al
relator y
corroborar o
contradecir
lo planteado.
- Llega a
consensos
con base en
lo ya
desarrollado.
Configur
ación
dialógica
en
pequeños
grupos.
O, ant, pcc, ric,
so,ap, l, Ant,
int, Ant, ex,
cop, l, pcc, o,
co, l, ap, so, l,
ap, so, l, int, l,
des, so, l, cop,
pcc, ric, so, l,
ap, so, pccm,
pcc, ar, ant, l,
des, a, ap, o, so,
l, pcc, ric, cop,
ex, a, pcc, ria, o,
l, a, o,o, ant, l,
Pc, o, o, ap, o,
Pc, ria, Pc, ric,
pc, Des, Ra, ap,
l, o,cop,cop, so,
l, pcc, so, o, o,
des, a, pcc, ar,
des, o, a, sc, o,
pc, A, o, A, o,
Ap, a, A, pc,
Ra, ric, o, o,
pcc, ric, o, o, o,
so, ex, pc, Ric,
o, Pc, Ar, cop,
Ap
El
estudiante
afirma que
el Algebra
Lineal
facilita la
representaci
ón de
ecuaciones
no de
situaciones
de forma
matemática
, aspecto
que lleva a
un posible
conflicto
cognoitivo.
Los
estudiantes
definen la
propiedad
homogénea
como una
de las
propiedades
típicas de
un grupo,
aspecto que
lleva a un
posible
conflicto
cognitivo.
los mismos que en
la configuración
anterior
-se debe escuchar
al relator del grupo
a donde se llega y
confrontar sus
ideas con las
nuestras.
-Se buscan
consensos
mediante la
reafirmación de
ideas del relator o
controversia con
ellas.
Capítulo 6. Caso Fernando 224
lo consensuado con los
compañeros. 2) Nuevos
compañeros discuten y
confrontan lo propuesto. 3)
Llegar a nuevos consensos.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación y división,
potenciación, al igual que las
propiedades conmutativas,
asociativa, elemento neutro,
invertiva, distributiva…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para determinar
operaciones entre vectores y
de escalares por vectores.
docente. El
objetivo es llegar
a consensos.
Proceso de
generalización:
se parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización
del espacio
vectorial
Proceso de
particularización
:
Se enuncia las
operaciones
generales y se
desarrollan casos
particulares, para
lograr su
comprensión
Los
estudiantes
confunden
propiedades
con
operaciones
, aspecto
que puede
llevar a
conflictos
cognitivos
e
interaccion
ales.
411-474 Desarrollo
del taller
propuesto
por el
docente con
tercera
rotación de
grupos
quedando
fijo el
relator de
cada grupo.
Lenguaje verbal: distributiva,
asociativa, propiedades,
operaciones, reales, R2, pareja
ordenada, vectores,
operaciones entre vectores,
transformaciones, distributiva,
escalar…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de:
vectores fundamentalmente.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Explícitas: de operaciones con
vectores y de espacio
vectorial.
Procedimientos: 1) Relator lee
lo consensuado con los
Proceso de
representación y
materialización:
se utilizan en el
cuaderno y en el
taller signos
matemáticos
reconocibles para
el grupo.
Proceso de
descomposición:
para desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales.
Proceso de
mecanización: se
trata de que los
alumnos realicen
-Asesora a los
estudiantes
cuando estos lo
piden o cuando el
profesor lo
considere
necesario.
-Confronta las
ideas de los
estudiantes sobre
la forma de
solucionar y
abordar los
ejercicios.
-Contesta a las
preguntas de los
estudiantes
-Las
anteriores.
-escucha al
relator y
corroborar o
contradecir
lo planteado.
-Llega a
consensos
con base en
lo ya
desarrollado.
-Llama al
profesor para
aclaración de
dudas.
Configur
ación
dialógica
en
pequeños
grupos.
O, ant, ant, ex,
l, cop, l, pcc,
pcc, a, pcc, a,
so, o, pcc, o,
des, o, des, o,
pcc, pcc, o, cop,
r, A, o, a, A, o,
Des, a, o, Ap, o,
o, ap, a, o, o,
pcc, ric, a, ant,
a, pcc, ric, ant,
ex, o, cop, a, ex,
o,o, pcc, ria, a,
des, o, cop, o,
ant.
-Para
comprobar
la
propiedad
asociativa
el
estudiante
manifiesta
que necesita
dos
vectores, lo
que implica
un conflicto
semiótico
cognitivo.
-Un
compañero
habla de la
propiedad
distributiva
y otro
responde
Capítulo 6. Caso Fernando 225
compañeros. 2) Nuevos
compañeros discuten y
confrontan lo propuesto. 3)
Llegar a nuevos consensos.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación y división,
potenciación, al igual que las
propiedades conmutativas,
asociativa, elemento neutro,
invertiva, distributiva…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para determinar
operaciones entre vectores y
de escalares por vectores.
el cálculo de la
suma y el
producto con
operaciones no
usuales.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los
miembros del
grupo y en pocas
ocasiones con el
docente. El
objetivo es llegar
a consensos.
Proceso de
generalización:
se parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización
del espacio
vectorial
Proceso de
particularización
:
Se enuncia las
operaciones
generales y se
desarrollan casos
particulares, para
lograr su
comprensión
que los
términos no
conmutan
lo que
puede llevar
a un
conflicto
semiótico
de carácter
tanto
interaccion
al como
cognitivo.
475-500 Desarrollo
del taller
propuesto
por el
docente con
rotación a
los grupos
originales.
Lenguaje verbal: conmutativa,
distributiva, vectores y
operaciones con vectores,
propiedades,
transformaciones, espacio
vectorial…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de:
vectores en R2 y R3.
Proceso de
representación y
materialización:
Se utilizan en el
cuaderno y en el
taller signos
matemáticos
reconocibles para
el grupo.
Proceso de
-Asesora a los
estudiantes
cuando estos lo
piden o cuando el
profesor lo
considere
necesario.
-Confronta las
ideas de los
estudiantes sobre
-Las
anteriores.
-Escucha al
relator y
corroborar o
contradecir
lo planteado.
- Llega a
consensos
con base en
Configur
ación
dialógica
en
pequeños
grupos.
O, a, ant, Ant,
ant, o, a, pcc,
ric, a, pcc, ria,
cop, cop, a, ant,
sc, o, pcc, ric, o,
pcc, ric, ant,
o,o.
-El
estudiante
opina que
no se
cumple la
propiedad
conmutativ
a porque
sólo les
dieron dos
vectores,
-Se debe llegar a
consensos fruto de
la discusión del
grupo.
-cada grupo debe
sacar su síntesis
para exponer a los
otros grupos
Capítulo 6. Caso Fernando 226
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Explícitas: Las operaciones
con vectores y producto
escalar.
Procedimientos: 1) Relator lee
lo consensuado hasta el
momento. 2) Los compañeros
discuten y confrontan lo
propuesto de acuerdo a lo
vivenciado en los otros grupos.
3) Llegar a nuevos consensos.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación y división,
potenciación, al igual que las
propiedades conmutativas,
asociativa, elemento neutro,
invertiva, distributiva…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para determinar
operaciones entre vectores y
de escalares por vectores.
descomposición:
Para desarrollar
las operaciones
con vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales.
Proceso de
mecanización: Se
trata de que los
alumnos realicen
el cálculo de la
suma y el
producto con
operaciones no
usuales.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los
miembros del
grupo y en pocas
ocasiones con el
docente. El
objetivo es llegar
a consensos.
Proceso de
generalización:
se parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización
del espacio
vectorial
Proceso de
particularización
:
Se enuncia las
operaciones
generales y se
desarrollan casos
particulares, para
la forma de
solucionar y
abordar los
ejercicios.
-Contesta a las
preguntas de los
estudiantes
lo ya
desarrollado.
-Llama al
profesor para
aclaración de
dudas.
esto puede
conllevar a
un conflicto
semiótico
cognitivo.
Capítulo 6. Caso Fernando 227
lograr su
comprensión
501-523 Socializació
n de los
resultados
obtenidos
por los
grupos
respecto del
taller.
Se usa ya conocido
(definiciones, conjunto,
función, operación, operación
binaria, axioma, cuerpo, campo,
algebre lineal, elementos, vacío,
subconjunto, conjunto
referencial, colección, relación,
parejas ordenadas, primera
componente, segunda
componente, conjunto de
llegada, conjunto de salida,
conmutativa, suma, resta,
multiplicación, vectores,
propiedades, asociativa,
modulativa, invertiva, ley,
dominio, rango…)
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas de
vectores en R2 y R3.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Explícitas: de conjunto,
función, operación binaria,
axioma, cuerpo.
Procedimientos: Para
socializarr 1) Se lee cada punto
por cada uno de los grupos y
complementa el profesor. 2)
Buscar consensos.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación y división,
potenciación, al igual que las
propiedades conmutativas,
asociativa, elemento neutro,
invertiva, distributiva…
Proceso de
institucionalizaci
ón: el profesor
confronta las
posiciones
particulares de
cada uno de los
grupos y explica
las situaciones
que sean
convenientes.
Proceso de
representación y
materialización:
se utilizan en el
cuaderno y en el
taller signos
matemáticos
reconocibles para
el grupo.
Proceso de
descomposición:
para desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los
miembros del
grupo y el
docente.
Proceso de
generalización:
se parte de casos
particulares para
llegar a la
-Escucha la
socialización de
los estudiantes.
-Complementa la
información de los
estudiantes.
-Realiza un buen
proceso de
institucionalizació
n.
-Aclara las dudas
de los estudiantes.
-Expone las
conclusiones
de cada
grupo.
-Llega a
consensos
con el
profesor y
compañeros
sobre la
temática del
taller.
-Pregunta al
docente las
dudas.
-Escucha y
confronta al
docente sobre
la temática
del taller.
Configur
ación
magistral
en gran
grupo.
O, Ant, ant, ap,
Ant, Ant, l, Ap,
l, Ant, l, O, Sc,
A, Pc, ric, A,
Pc, ric, A, Pc,
ric, A, Pc, ric,
Pc, ria, E.
-Los estudiantes
proponen ideas y el
profesor
complementa.
-El profesor
expone la temática.
-Cada grupo debe
participar con su
desarrollo del
taller.
Capítulo 6. Caso Fernando 228
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para determinar
operaciones entre vectores y
de escalares por vectores.
generalización
del espacio
vectorial
524-540 Evaluación
de la
actividad y
tarea
Lenguaje verbal: tarea,
ejercicios cuarto y quinto del
taller.
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de
vectores y operaciones con
vectores.
Definiciones:
Implícitas, lenguaje conocido.
Proposiciones:
El Profesor plantea
complementar el taller en lo
referente al cuarto y quinto
puntos.
Proceso de
representación y
materialización:
en el taller
aparecen signos
que son claros
para todos.
-Propone
desarrollar los dos
últimos ejercicios
del taller para
complementarlos
en la próxima
clase.
-Termina la clase.
-Asume los
puntos
mencionados
como trabajo
extraclase.
Configur
ación
magistral
mecanici
sta.
Pc, ap, ic, Ant,
pc, Ra, des, ant,
Des, Ant, pc,
Ra, ex, Ant, ex,
Ant, pc, Rc, de.
-Se debe dejar
tarea al terminar la
clase.
- Los estudiantes
deben opinar sobre
la actividad
realizada en la
clase.
- los estudiantes
deben intervenir
cuando el profesor
lo solicite.
-Hay que aclarar
dudas de los
estudiantes.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 6. Caso Fernando 229
En la siguiente tabla se plantea el análisis de la idoneidad didáctica sugerido por
Godino, J. (2011) entre otros, desde el Enfoque Ontosemiótico.
Tabla 28. Indicadores de idoneidad en la tercera clase.
Componentes: Indicadores S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 70%
Situaciones-
Problemas
0%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación
X
Se proponen situaciones de generación de problemas (problematización) X
Lenguajes
100%
Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X
Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
100%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del
tema para el nivel educativo dado
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones proposiciones o procedimientos
X
Argumentos
100%
Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas al
nivel educativo a que se dirigen
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar X
Relaciones
50%
Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) se
relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que
intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 75 %
Conocimientos previos
(Se tienen en cuenta los
mismos elementos que
para la idoneidad
epistémica)
100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio
del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su
estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad
manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares
a
las diferencias individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X
Aprendizaje:
Se tienen en cuenta los
mismos elementos que
para la idoneidad
epistémica)
25%
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la
apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas:
X
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y
argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional;
competencia metacognitiva
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
X
Capítulo 6. Caso Fernando 230
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 83.3%
Intereses y necesidades
50%
Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Actitudes
100%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el argumento se
valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 75%
Interacción docente-
discente
100%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara
y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los conceptos
clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.)
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre alumnos
100%
Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
matemáticos
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía
100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones;
exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan
una variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver
problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 72.2%
Recursos materiales
(Manipulativos,
calculadoras, ordenadores).
50%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir
buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones
adaptadas al contenido pretendido
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando
situaciones y modelos concretos y visualizaciones
X
Número de alumnos,
horario
y condiciones del aula
100%
El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la
enseñanza pretendida
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten todas
las sesiones a última hora)
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo del
proceso instruccional pretendido
X
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/tutorización; tiempo de
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza
pretendida
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del tema
X
Capítulo 6. Caso Fernando 231
aprendizaje).
66.6%
Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más dificultad
de comprensión
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 90%
Adaptación al currículo
100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las
directrices curriculares
X
Apertura hacia la
innovación
Didáctica.
50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.)
en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio-
profesional y cultural
100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes
X
Educación en valores
100%
Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico
X
Conexiones intra e
Interdisciplinares
100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares
X
Fuente: Godino (2011).
Igualmente, desde el Enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino,
2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el siguiente gráfico:
Tabla 29. Idoneidades de la tercera clase de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro,
2009.
En esta buena clase del profesor Fernando se pueden señalar algunos aspectos por
mejorar, desde el punto de vista de la idoneidad didáctica:
Capítulo 6. Caso Fernando 232
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 70%). Aunque se propusieron unos ejercicios
graduados y de carácter constructivo, no se plantearon en la clase situaciones problema, que
permitieran la contextualización, aplicación y ejercitación de saberes. Igualmente, por el
tiempo no fue posible proponer diferentes significados de los objetos identificados en las
prácticas matemáticas.
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). No se mostró o identificó alguna forma
que propusiera el docente como evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre
otros aspectos la comprensión conceptual y proposicional. Como no hay evaluación no
pudimos fijarnos si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de comprensión y
competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta evaluación se usan
para tomar decisiones.
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 83.3%). No se pudo valorar la utilidad de la
matemática en la vida cotidiana ya que no se plantearon situaciones de contexto.
Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 75%). No se propuso un medio para
identificar el progreso sistemático de los estudiantes.
Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 72.2%). Para contextualizar las definiciones
y propiedades de la clase, no se utilizaron modelos y visualizaciones.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 90%). No se pudo identificar la integración de
nuevas tecnologías en el proyecto educativo.
Cuarta clase.
La duración de la clase fue de una hora y treinta y ocho minutos (1:38), dirigida al
cuarto semestre de la Licenciatura en Matemáticas. Asignatura Algebra Lineal.
Básicamente se planteó el siguiente proceso: el profesor inicialmente realizó la
adecuación del salón para trabajar en grupos de tres estudiantes, posteriormente entregó
Capítulo 6. Caso Fernando 233
un taller a cada grupo e hizo las recomendaciones generales para su desarrollo. Hubo dos
tipos de temario para el taller, cada uno constaba de 4 puntos. En el primer temario se
propuso lo siguiente: en el punto inicial se dio un polinomio de segundo grado y un
conjunto de dos polinomios también de segundo grado, se quería identificar si estos
últimos generan el primer polinomio; en el segundo punto solicitó explicar el proceso
realizado y determinar el significado de los escalares obtenidos en el mismo; en el tercer
punto se dio un conjunto de tres polinomios de segundo grado y se preguntó si son
linealmente dependientes o independientes, y posteriormente se pidió verificar si se
generaba un espacio de la forma ax2 + bx + c, un polinomio arbitrario de segundo grado;
el cuarto punto era explicar el proceso realizado en el punto anterior. En el segundo
temario, en el primer punto se dio un vector y un conjunto de 3 vectores en R3, se quería
verificar si estos vectores generaban el vector inicial. Los demás puntos coincidían con
el otro temario. Se desarrolló luego el trabajo por grupos con asesoría permanente del
docente. Se realizó la rotación de un estudiante de cada grupo, por una sola vez. En la
parte final se realizó socialización, inició con el temario de los vectores, pasó un
estudiante al tablero para que explicara el proceso, solicitando el punto de vista de los
grupos que tenían el mismo temario, luego hizo lo mismo para socializar el segundo
temario, y culminó el proceso con una aclaración general sobre lo desarrollado.
Finalmente, el profesor dejó como tarea terminar los puntos tres y cuatro, los cuales se
socializarían en la siguiente clase. (Observación de clase, 3 octubre 2016)
Para el análisis de la clase, se ha dividido en 7 configuraciones didácticas (Font,
Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque
Ontosemiótico. A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.
Capítulo 6. Caso Fernando 234
Tabla 30. Análisis de la cuarta Clase.
Líneas
transcripción
Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones del
profesor
Funciones de
los alumnos
Tipo de
configuración
didáctica
Patrones
de
interacción
Conflictos Normas
1-5
Ubicación de
estudiantes y
entrega de taller
sobre espacios
vectoriales.
Lenguaje verbal: Se usa
un lenguaje verbal ya
conocido y no
matemático
Procedimiento: 1) Se va
a trabajar grupos de 3
estudiantes 2) Deben leer
muy bien el taller y
contestar de acuerdo a
ello. 4) Al finan se
socializarán los
resultados de cada grupo.
Proceso de
institucionalización:
el profesor propone
el trabajo de la clase.
Proceso de
comunicación: los
alumnos
comprenden lo que
deben hacer en la
clase.
-Distribuye los
estudiantes por
grupos de tres.
- Explica el
trabajo que se va
a desarrollar
durante toda la
clase.
- Entrega el taller
sobre espacios
vectoriales.
-Da la orden de
inicio del
trabajo.
- Se
distribuyen en
grupos de 3
estudiantes.
-Reciben el
taller
entregado por
el profesor.
-realizan
aclaraciones
respecto al
procedimiento
de desarrollo
del taller.
Configuración
magistral
mecanicista
en gran grupo.
O, Pc, Ant,
Ant, Sc,
Ant,
-El trabajo se
desarrolla en
grupos de 3
estudiantes,
en forma
libre.
-Hay que
nombrar un
relator
(implícita).
--Hay que
socializar los
resultados al
terminar.
6-171 Análisis del
taller por cada
grupo,
contestando las
dos primeras
actividades.
Lenguaje verbal: Se usa
ya conocido (R3, vector,
ejercicio, ejemplo,
conjunto, escalares,
dependencia e
independencia lineal,
generadores, generados,
ecuaciones,
programación, matriz,
sistema, producto de
escalar por vector…).
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas
de vectores como v =
(2,1,5), v1 = (1,2,1), v2 =
(1,0,2), v3 = (1,1,0), suma de vectores,
producto de escalar por
vector, diversas
operaciones en r3, y en
polinomios de segundo
grado Þ2, sistemas de
ecuaciones.
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el
cuaderno y en el taller
signos matemáticos
reconocibles para el
grupo, como el de
vector y polinomio de
grado dos.
Proceso de
descomposición: para
desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales, al
igual que los sistemas
de ecuaciones.
Proceso de
mecanización: se
trata de que los
alumnos realicen el
-Asesorar a los
estudiantes
cuando lo
solicitan o
cuando el desee
intervenir en
algún grupo
- Pregunta y
contesta aspectos
relacionados con
la forma de
solucionar el
ejercicio.
- Aporta al
grupo
mediante
buena
participación.
- Plantea
discusión a los
compañeros
sobre la forma
de desarrollar
los ejercicios
propuestos en
el taller.
-Trata de lograr
comprensión
sobre los
ejercicios,
mediante
propuestas y
confrontación
con los
compañeros.
-Trabaja sobre
el ejercicio
Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
Pm, ria, l,
o, ap,l, ant,
ex, pcc,
ant, ex, ant,
o, o, cop,
so, l, pcc,
ant, o, pcc,
ria, ap, pcc,
ap, l, o,
pcc, ant, o,
pcc, pcc,
ex, pcc, o,
pcc, ant,
ric, ant, o,
o, o, o, pcc,
o, o, ant, o,
pcc, so, ric,
o, o, o, pcc,
ex, ant, l, o,
o, r, pcc,
rm, des, o,
r, o, o, r,
ex, r, o, o,
ap, o, pcc,
c, o, pcc,
rm, ed, o,
Los estudiantes
afirman que un
espacio
vectorial es
llamado
espacio
generado o
conjunto
generador, es
decir no hay
claridad sobre
los conceptos,
lo cual puede
producir un
conflicto
semiótico
cognitivo.
-Hay que
nombrar un
relator para
cada grupo
(implícito).
-Se puede
utilizar
cualquier tipo
de
información
para el
desarrollo del
taller: libros e
internet.
-Cada
miembro del
grupo debe
aportar al
desarrollo de
los ejercicios.
-Cuando haya
dudas se
Capítulo 6. Caso Fernando 235
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal).
Explícitas: de conjunto
generado, conjunto
generador,
independencia lineal.
Procedimientos: Para
solucionar el taller 1)
Leerlo todo y analizar
punto por punto. 2)
Buscar teoría asociada.
3) solucionar las
actividades propuestas.
Propiedades: Aplicación
de propiedades ya
conocidas, como suma,
resta, multiplicación y
división, multiplicación
de escalar por vector,
suma y resta de vectores,
solución de
ecuaciones…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del ejercicio.
Explícitos: Explicación
del procedimiento
seguido para solucionar
el primer ejercicio.
cálculo de la suma y
el producto con
vectores,
planteamiento y
resolución de
ecuaciones lineales.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y en
pocas ocasiones con
el docente.
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización del
concepto de espacio
generado.
propuesto por
el profesor en
el taller
o, des, o,
cop, o, o,
ap, pcc,
pcc, ric, ed,
ant, ant, q,
ant, pc, o,
pnt, o, ant,
pnt, ap, ex.
Ant, so, ap,
Pc, l, Ap, o,
Ap, Ant,
ex, O, rm,
pcc, o, o, o,
a, r, r, l, ex,
l, o, o, o,
pcc, ric, o,
o, ap, r, o,
o, r, o, o, o,
des, rdes, a,
o, pcc,
desc, pc, o,
o, o, pcc,
ric, o, des,
des, o, o, o,
o, o, des, o,
o, o, o, pcc,
o, pcc, ric,
cop, r, o, o,
r, o, o, ap,
o, Pc, Ap.
.
puede llamar
a la profesora.
172-387 Desarrollo de la
siguiente
pregunta del
taller; cómo se
expresaría el
vector v en
Lenguaje verbal: ya
conocido (conjunto, R3,
vector, combinación
lineal, determinantes,
matrices, función,
multiplicación, métodos,
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el
cuaderno y en el taller
signos matemáticos
- Asesora a los
estudiantes
cuando lo
solicitan o
cuando lo
considere
-Las anteriores.
-Consulta
aspectos
teóricos
necesarios para
Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
O, so, O,
ant, Ant,
ant, r, Ant,
pcc, ric,
pcc, ric,
ant, ant, ap,
-Los
estudiantes
confunden
matriz con
determinante,
aspecto que
-los mismos
que en la
configuración
anterior
Capítulo 6. Caso Fernando 236
relación de los
vectores v1, v2
y v3. Qué
escalares
permite
expresar el
vector v en
función de los
vectores dados.
sistema, matriz de
eliminación, solución
por Gauss Jordan,
escalares, R2, reales, y
operaciones, ecuaciones
generales…).
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas
de vectores como v =
(2,1,5), v1 = (1,2,1), v2 =
(1,0,2), v3 = (1,1,0), suma de vectores,
producto de escalar por
vector, diversas
operaciones en r3, y en
polinomios de segundo
grado Þ2, sistemas de
ecuaciones.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: de solución
de sistemas de
ecuaciones..
Procedimientos: 1) Leer
bien las actividades del
taller que se proponen. 2)
Consultar el referente
teórico en textos o
internet 3) Desarrollar lo
solicitado en el taller.
Propiedades: Aplicación
de propiedades ya
conocidas, como suma,
resta, multiplicación y
división, propiedades
para solución de
ecuaciones…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
reconocibles para el
grupo, como la
notación de vectores
en R3 y sus
operaciones.
Proceso de
descomposición:
hay que descomponer
en operaciones con
números reales el
desarrollo de
operaciones con
vectores.
Proceso de
mecanización: los
estudiantes deben
realizar operaciones
básicas con reales
para solucionar las
ecuaciones.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y aún con
el docente aunque
en raras ocasiones.
Proceso de
generalización: se
busca entender la
generalidad, a partir
de casos
particulares.
pertinente.
-Contesta en
forma general las
preguntas de los
estudiantes.
-Debate con los
estudiantes sobre
las diversas
actividades del
taller.
entender la
problemática.
-escucha a los
compañeros,
para tratar de
llegar a
consensos.
-Discute con
los
compañeros
los
procedimientos
más adecuados
para solucionar
la
problemática.
-Aborda las
temáticas que
no se habían
profundizado
hasta el
momento
pcc, ant,
ex, Ant,
ant, ant,
ant, ex, ex,
ex, q, pcc,
pcc, ap, o,
o, o, ant, o,
o, pcc, l, o,
ap, o, o, r,
ex, ant, o,
o, o, cop, c,
ant, pcc, a,
o,
puede causar
un conflicto
semiótico
cognitivo, e
interaccional.
Igualmente
hablan de
matriz de
eliminación,
confunden un
tipo de matriz,
con un método
de solución de
ecuaciones,
aspecto que
puede causar
un conflicto
semiótico
cognitivo e
interaccional.
-Mediante la
confrontación
de ideas se
debe llegar a
consensos.
Capítulo 6. Caso Fernando 237
adecuados para la
solución de los
ejercicios.
Explícitos: Explicación
del procedimiento para
solucionar sistemas de
ecuaciones.
388-523 Desarrollo de
Los dos
primeros
puntos del
taller propuesto
por el docente
con rotación de
un compañero
del grupo.
Lenguaje verbal:
vectores, ecuaciones,
escalares, conceptos,
términos, conjunto
generador, sistema
generador, matriz,
combinación lineal,
determinantes, Gauss
Jordan, incógnita,
multiplicación de matriz
por escalar…
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas
de: vectores,
multiplicación de escalar
por matriz.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: de
multiplicación de escalar
por matriz, y solución de
sistema de ecuaciones
lineales por Gauss
Jordan.
Procedimientos: 1) Leer
lo desarrollado hasta el
momento para que el
compañero se entere y
aporte. 2) Confrontar los
saberes de cada uno con
los de los demás. 3)
Llegar a nuevos
consensos.
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el
cuaderno y en el taller
signos matemáticos
reconocibles para el
grupo, como el de
vector y sistemas de
ecuaciones lineales.
Proceso de
descomposición: para
desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales, al
igual que en la
solución de sistemas
de ecuaciones.
Proceso de
mecanización: se
quiere solucionar
ecuaciones por
métodos ya
trabajados, al igual
que realizar cálculos
de vectores por
escalares y suma o
resta de vectores.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo
-Asesorar a los
estudiantes
cuando lo
soliciten o
cuando el
profesor lo
considere
adecuado.
-Confrontar con
los estudiantes la
forma de
plantear y
solucionar los
ejercicios.
-Aclarar dudas
que surgen del
trabajo y la
interacción de
los estudiantes.
- Replantear los
grupos de
trabajo.
-Las anteriores.
-escucha al
relator y
corrobora o
contradice lo
planteado.
- Llega a
consensos con
los
compañeros
con base en lo
ya
desarrollado.
-Pide asesoría
del docente
cuando lo
considere
adecuado.
Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
O, ant, pcc,
ric, so,ap, l,
Ant, int,
Ant, ex,
cop, l, pcc,
o, co, l, ap,
so, l, ap, so,
l, int, l, des,
so, l, cop,
pcc, ric, so,
l, ap, so,
pccm, pcc,
ar, ant, l,
des, a, ap,
o, so, l,
pcc, ric,
cop, ex, a,
pcc, ria, o,
l, a, o,o,
ant, l, Pc, o,
o, ap, o, Pc,
ria, Pc, ric,
pc, Des,
Ra, ap, l,
o,cop,cop,
so, l, pcc,
so, o, o,
des, a, pcc,
ar, des, o,
a, sc, o, pc,
A, o, A, o,
Ap, a, A,
pc, Ra, ric,
o, o, pcc,
ric, o, o, o,
so, ex, pc,
Ric, o, Pc,
Ar, cop,
Ap, o, cop,
Algunos
estudiantes
afirman que X
es el sistema
generador, se
observa que
confunden el
conjunto con
un sistema,
además
también
confunden el
generado con
el generador,
to que lleva a
un posible
conflicto
semiótico
cognitivo.
En otro
apartado algún
estudiante
habla de la
multiplicación
lineal,
confundiéndola
con la
combinación
lineal, lo que
puede incidir
en un conflicto
semiótico
cognitivo.
También se
observa que
algunos
estudiantes
los mismos
que en la
configuración
anterior
-se debe
escuchar al
relator del
grupo a donde
se llega y
confrontar las
ideas con el
compañero
que llega.
-Se debe
llegar a
consensos, a
través de la
discusión con
los
compañeros
sobre la
temática.
-Se deben
sacar
conclusiones
sobre los dos
primeros
puntos.
Capítulo 6. Caso Fernando 238
Propiedades: Aplicación
de propiedades ya
conocidas, como suma,
resta, multiplicación y
división, propiedades de
operaciones con vectores
y producto de escalar por
vector.…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución de los
ejercicios.
Explícitos: Explicación
del procedimiento para
determinar operaciones
entre vectores y de
escalares por vectores, al
igual que la forma de
solucionar sistemas de
ecuaciones
especialmente por el
método de Gauss Jordan.
especialmente, en
contadas ocasiones
con el profesor. Esta
actividad se
caracteriza por la
búsqueda de
consensos.
Proceso de
generalización: se
desea llegar a
criterios generales a
partir de casos
particulares.
o, cop, ex,
ex, o, o, ex,
o o, des,
rdes, o,
pcc, pcc,
pcc, ric,
des, o, ex,
pcc, ric,
des, o, cop,
pcc, ric, o,
ex,ex,ant,
o, r, pcc,
ric, pcc, ric,
o, cop, ant,
ap, pnt, ric,
o, pcc, pnt,
ric, pccm,
0, ex, pnt,
a, o, ap,
pcc, o, o,
des, c, o.o.
ant, o, pcc,
o, ant, ant,
ex, so, ant,
a, ant, ant,
des,
confunden
matrices con
determinantes,
lo que puede
conllevar a un
conflicto
semiótico
cognitivo.
524-638 Desarrollo del
taller propuesto
por el docente,
acuerdos sobre
las actividades
uno y dos, y
desarrollar el
tercero.
Lenguaje verbal:
polinomio de grado 2,
conjunto, cuadrado,
linealmente dependiente,
linealmente
independiente, espacio,
parejas ordenadas,
vectores, corchete…
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de:
vectores
fundamentalmente y de
ecuaciones.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: vectores
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el
desarrollo de la clase,
signos matemáticos
que tienen un
significado común
para el grupo.
Proceso de
descomposición:
Para desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales, algo
similar ocurre cuando
se solucionan los
-Presta asesoría a
los estudiantes
cuando estos lo
solicitan.
-Confronta las
ideas de los
estudiantes sobre
la forma de
solucionar los
ejercicios.
-Contestar a las
preguntas de los
estudiantes
-Las anteriores.
-Llegar a
consensos con
base en lo ya
desarrollado.
-Llamar al
profesor para
aclaración de
dudas.
-Preguntar y
opinar acerca
de la
problemática
planteada por
el profesor.
-Consultar la
base teórica en
Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
L, ant, ap,
ap, l, ex, l,
r, o, pcc, a,
o, o, o, q, o,
des, q, ex,
ed, o, pcc,
ric, o, o,
des, a, Pc,
Pnt, pc, ed,
Des, Ant,
pcc, ar, A,
o, Ap, pc,
Rc, o, A,
ant, o o,
ant, o, ex,
pcc, a, o, o,
des, o, o, r,
o, a, o, o, o,
o, pcc, ric,
pcc, des,
-Los
estudiantes no
alcanzan a
terminar la
actividad tres,
hacen
propuestas y
comentarios
pero a pesar de
que es similar a
la actividad
uno, no hacen
una propuesta
clara, lo cual
puede provocar
un conflicto
semiótico
cognitivo.
-Los
estudiantes
deben
concretar
actividades
uno y dos y
abordar la
actividad tres.
-Se deben
llegar a
consensos.
-Los
estudiantes
deben
participar en
la actividad
de grupo.
Capítulo 6. Caso Fernando 239
linealmente
dependientes e
independientes.
Procedimientos: 1)
Relator lee lo
consensuado con los
compañeros en los
numerales 1 y 2. 2)
Desarrollan el tercer
punto. 3) Llegar a nuevos
consensos.
Propiedades: Aplicación
de propiedades ya
conocidas, como suma,
resta, multiplicación y
división, al igual que las
propiedades para
solucionar sistemas de
ecuaciones …
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución de los ejercicios
planteados.
Explícitos: Explicación
del procedimiento para
determinar operaciones
entre vectores y de
escalares por vectores, al
igual que la forma de
solucionar sistemas de
ecuaciones lineales.
sistemas de
ecuaciones lineales.
Proceso de
mecanización: se
quiere solucionar
ecuaciones por
métodos ya
conocidos como el
de Gauss Jordan,
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo.
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización del
espacio vectorial.
textos o
internet.
cop, cop, o,
pcc, a, pcc,
pc, ant, pc,
ex, a, o,
pcc, ex, ex,
ex, ant, o, r,
o, o, ap, o,
ed, pnt, pnt,
ex, O, des,
ant, ant,
Ant, ant,
pc, o, o, o,
A, ant, o, o,
pnt, Rc,
pcc, ric.
-Se deben
sacar
conclusiones
sin contar
mucho con el
docente.
-Se debe
elaborar
informe para
socializar con
los demás
compañeros
del grupo.
639-692 Socialización
de las
actividades uno
y dos del taller,
correspondiente
al tema 1.
.
Lenguaje verbal: R3,
vector, conjunto
generador y generado,
multiplicación de vector
por escalar, ecuaciones,
solución de sistemas de
ecuaciones por Gauss
Jordan…
Lenguaje simbólico:
Proceso de
institucionalización:
el profesor
confronta las
posiciones de cada
grupo, frente a su
concepción sobre la
temática. Se
realizan
-Asigna los
estudiantes que
deben solucionar
la problemática
en el tablero.
-Confronta las
posiciones
asumidas por los
estudiantes.
-Las anteriores.
-Los relatores
exponen las
conclusiones
del grupo.
-Los demás
estudiantes
están atentos a
Configuración
dialógica en
gran grupo.
Ant, rgc,
Ant, pc,
Rc, e, Ant,
pc, Rc, e,
E, pc, Ap,
Rc, ic, Pc,
Pm, ria, ap,
a, e, O, a,
R, a, Ap, e,
Ant, Pc,
-El estudiante
habla de una
ecuación
generadora,
aspecto que
puede estar
creando un
conflicto
semiótico
cognitivo.
-El relator
que pasa a
exponer
inicialmente
lo hace en
forma
voluntaria.
-Los
estudiantes
Capítulo 6. Caso Fernando 240
expresión algebraica de:
vectores en R3,
planteamiento de
sistemas de ecuaciones,
en forma vectorial y en
forma algebraica.
(215
)
= 𝑥 (121
) + 𝑦 (102
)
+ 𝑧 (110
)
{𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 = 5
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: Suma de
vectores, multiplicación
de un escalar por un
vector, solución de
sistemas de ecuaciones
por Gauss Jordan.
Procedimientos:
Metodología de trabajo:
1) El profesor asigna el
relator que debe pasar al
tablero. 2) El relator debe
exponer lo desarrollado
por el grupo. 3) Los
compañeros que tienen
la misma temática
opinan sobre lo
desarrollado. 4) el
profesor realiza la
institucionalización de
los conceptos.
ampliaciones y
aclaraciones.
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el
cuaderno y en el
tablero signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo como los de
sistemas de
ecuaciones y
representación de
vector.
Proceso de
descomposición: para
desarrollar las
operaciones con
vectores se
descomponen en
operaciones con
números reales
(suma, resta,
multiplicación)..
Proceso de
mecanización: los
estudiantes
solucionan sistemas
de ecuaciones, suma
de vectores,
multiplicación de
escalar por vector,
que son procesos ya
conocidos.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y entre el
grupo y el docente.
El objetivo es llegar
a consensos.
-Complementa
lo planteado por
los estudiantes y
en algunos casos
corrige.
-Expone la
conclusión
general.
las
exposiciones de
los
compañeros.
-Confrontar lo
dicho por los
compañeros y
el profesor.
-Complementar
lo expuesto por
los
compañeros.
-Llegar
finalmente a
consensos.
ric, Ant,
Pc, pnt, Rc,
l, Ant, des,
O, ant, O,
pc, ar, Pc,
ria, A, ap,
Ant, O,
des, O, e,
Pc, ric, R,
a, a, Pc, ria,
Pc, O, Pc, a
- el estudiante
confunde
espacio
generado con
los escalares
para lograr la
combinación
lineal, aspecto
que fue
corregido por
el docente, por
lo cual puede
generar un
conflicto
semiótico
cognitivo e
interaccional.
deben girar
sus pupitres
hacia el
tablero.
-El primer
relator debe
explicar lo
desarrollado
por su grupo
a todos los
demás
compañeros.
-Los demás
relatores
deben
complementar
la exposición
del primer
relator.
-Puede
intervenir
cualquier
estudiante.
-Se debe
llegar a
consensos
fruto de la
discusión del
grupo.
Capítulo 6. Caso Fernando 241
Para solucionar la
actividad 1: Se plantea el
sistema de ecuaciones. 2)
se soluciona el sistema
de ecuaciones (por
Gauss Jordan). 3) se
determinan los escalares
correspondientes, si los
hay.
Propiedades: Aplicación
de propiedades ya
conocidas, como suma,
resta, multiplicación de
reales, al igual que las
propiedades para
solucionar sistemas de
ecuaciones,
multiplicación de escalar
por vector, suma de
vectores.…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución de las
actividades propuestas
en el taller.
Explícitos: Explicación
del procedimiento para
solucionar sistemas de
ecuaciones, sumar
vectores y multiplicar un
escalar por un vector.
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización de
espacio generado
693- Socialización
de las
actividades uno
y dos del taller,
correspondiente
al tema 2.
.
Lenguaje verbal:
Polinomios grado dos,
vector, conjunto
generador y generado,
multiplicación de vector
por escalar, ecuaciones,
solución de sistemas de
ecuaciones por Gauss
Jordan…
Lenguaje simbólico:
Proceso de
institucionalización:
el profesor
complementa y
aclara las
exposiciones de los
relatores de los
grupos.
Proceso de
representación y
-Asigna los
estudiantes
relatores que
deben explicar la
problemática en
el tablero.
-Confronta las
posiciones
planteadas por
los estudiantes.
-Las anteriores.
-Los relatores
exponen las
conclusiones
del grupo.
-Los demás
estudiantes
están atentos a
las
Configuración
dialógica en
gran grupo.
Ag, A, Pc,
ric, Pc, ria,
Ant, Rp, ic,
A, Pc, ric,
A, PC, Ar,
A, O, e,
pnt, e, Pc,
rgc, e, pcc,
ar, e, A, Pc,
ric, Pc, rgc,
A, Pc, Ar.
-El profesor al
escribir la
característica
del polinomio
de segundo
grado, no
aclara que el
coeficiente del
término
cuadrático
-El estudiante
que pasa a
exponer lo
hace en forma
voluntaria.
-Los demás
relatores
deben
complementar
Capítulo 6. Caso Fernando 242
Expresión algebraica de:
polinomios en Þ2,
vectores en R2,
planteamiento de
sistemas de ecuaciones,
en forma vectorial y en
forma algebraica. 𝑟 =∝ 𝑝 + 𝛽𝑞
1 -4x +6x2 = ∝(1-x+x2)
+ 𝛽(2+x-3x2)
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: combinación
lineal, solución de
sistemas de ecuaciones
(Gauss Jordan)
Procedimientos:
Metodología de trabajo:
1) Se asigna el relator
que debe socializar la
temática. 2) El relator
debe exponer lo
desarrollado por el
grupo. 3) Los
compañeros que tienen
la misma temática
opinan sobre lo
desarrollado. 4) el
profesor realiza la
institucionalización de
los conceptos.
Para solucionar la
actividad 1: Se plantea el
sistema de ecuaciones. 2)
se soluciona el sistema
de ecuaciones. 3) se
determinan los escalares
correspondientes.
Propiedades: Aplicación
materialización: se
utilizan en el
cuaderno y en el
tablero signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo como los de
sistemas de
ecuaciones.
Proceso de
descomposición: para
desarrollar las
operaciones con
polinomios,
descomponen en
operaciones con
números reales
(suma, resta,
multiplicación)..
Proceso de
mecanización: los
estudiantes
solucionan sistemas
de ecuaciones, suma
de términos
semejantes,
propiedad
distributiva, que son
procesos ya
conocidos.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y entre el
grupo y el docente.
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares para
llegar a la
generalización de
espacio generado
-Complementa
lo realizado por
los estudiantes y
en algunos casos
corrige.
-Expone la
conclusión
general.
exposiciones de
los
compañeros.
-Confrontar lo
dicho por los
compañeros y
el profesor.
-Complementar
lo expuesto por
los
compañeros.
-Llegar
finalmente a
consensos.
debe ser
distinto de
cero, lo cual
puede generar
un potencial
conflicto
semiótico
epistémico e
interaccional.
la exposición
del primer
relator.
-Puede
intervenir
cualquier
estudiante.
-Se debe
llegar a
consensos
fruto de la
discusión del
grupo.
Capítulo 6. Caso Fernando 243
de propiedades ya
conocidas, como suma,
resta, multiplicación de
reales, al igual que las
propiedades para
solucionar sistemas de
ecuaciones, propiedad
distributiva del producto
respecto a la suma.…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución de las
actividades propuestas
en el taller.
Explícitos: Explicación
del procedimiento para
solucionar sistemas de
ecuaciones.
Propuesta de
tarea Lenguaje verbal: tarea,
ejercicios, tercero y
cuarto puntos del taller.
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de
polinomios de segundo
grado.
Definiciones:
Implícitas, lenguaje
conocido.
Proposiciones:
El Profesor plantea
complementar el taller
en lo referente al tercero
y cuarto puntos.
Proceso de
representación y
materialización: se
En el taller aparecen
signos que son claros
para todos.
-Propone
desarrollar los
dos últimos
ejercicios del
taller para
complementarlos
en la próxima
clase.
-Termina la
clase.
-Asumir los
puntos
mencionados
como trabajo
extraclase.
Configuración
magistral
Mecanicista.
Ant, Pc,
Ar, Ant.
-Se debe dejar
tarea al
terminar la
clase.
-La tarea
deberá ser
socializada en
la siguiente
clase.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 6. Caso Fernando 244
En la siguiente tabla se plantea el análisis de la idoneidad didáctica sugerido por
Godino, J. (2011), desde el Enfoque Ontosemiótico.
Tabla 31. Indicadores de idoneidad cuarta clase.
Componentes: Indicadores S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 70%
Situaciones-
Problemas
0%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación
X
Se proponen situaciones de generación de problemas (problematización) X
Lenguajes
100%
Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X
Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
100%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del
tema para el nivel educativo dado
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones proposiciones o procedimientos
X
Argumentos
100%
Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas al
nivel educativo a que se dirigen
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar X
Relaciones
50%
Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones, etc.) se
relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que
intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 75 %
Conocimientos previos
(Se tienen en cuenta los
mismos elementos que
para la idoneidad
epistémica)
100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio
del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su
estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad
manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares
a
las diferencias individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X
Aprendizaje:
Se tienen en cuenta los
mismos elementos que
para la idoneidad
epistémica)
25%
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la
apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas:
X
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y
argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional;
competencia metacognitiva
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
X
Capítulo 6. Caso Fernando 245
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 83.3%
Intereses y necesidades
50%
Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Actitudes
100%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el argumento se
valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 70%
Interacción docente-
discente
80%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación clara
y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los conceptos
clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.)
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre alumnos
100%
Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
matemáticos
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía
100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan soluciones;
exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y conjeturar; usan una
variedad de herramientas para razonar, hacer conexiones, resolver
problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 72.2%
Recursos materiales
(Manipulativos,
calculadoras,
ordenadores).
50%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten introducir
buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones
adaptadas al contenido pretendido
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas usando
situaciones y modelos concretos y visualizaciones
X
Número de alumnos,
horario
y condiciones del aula
100%
El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la
enseñanza pretendida
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten todas
las sesiones a última hora)
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el desarrollo del
proceso instruccional pretendido
X
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/Tutorización; tiempo de
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza
pretendida
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del tema
X
Capítulo 6. Caso Fernando 246
aprendizaje).
66.6%
Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más dificultad
de comprensión
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 100%
Adaptación al currículo
100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden con las
directrices curriculares
X
Apertura hacia la
innovación
Didáctica.
50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC, etc.)
en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio-
profesional y cultural
100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes
X
Educación en valores
100%
Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico
X
Conexiones intra e
Interdisciplinares
100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares
X
Fuente: Godino (2011).
Igualmente, desde el Enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino,
2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono correspondiente:
Figura 17. Idoneidades de la cuarta clase de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010;
Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009.
Esta clase del profesor Fernando analizada desde los criterios de idoneidad fue muy
similar a la anterior salvo que mejoró la idoneidad ecológica:
Capítulo 6. Caso Fernando 247
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 70%). En la clase se propusieron unos
ejercicios graduados y de carácter constructivo, más no contextualizados; no se plantearon
situaciones problema, que permitieran la contextualización, aplicación y ejercitación de
saberes. No se trabajaron diferentes significados de los objetos identificados en las prácticas
matemáticas, debido al control del tiempo.
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). Como no hubo evaluación explícita, no
se pudieron observar los criterios que tienen que ver con ella. Un aspecto importante a
mejorar tiene que ver con esta problemática.
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 83.3%). No se plantearon situaciones del
contexto por lo cual no se pudo valorar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana.
Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 75%). No se propuso un medio para
identificar el progreso sistemático de los estudiantes.
Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 72.2%). No se utilizaron modelos y
visualizaciones para contextualizar las definiciones y propiedades de la clase.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 100%). Esta faceta está bien, es una de las
fortalezas de este docente, debe mantener estos criterios.
Idoneidad didáctica de las clases tercera y cuarta.
En la siguiente tabla se presenta la idoneidad didáctica de las dos clases de Fernando,
posteriores a la culminación de las actividades con el Grupo de Trabajo Colaborativo.
Capítulo 6. Caso Fernando 248
Figura 18. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase.
Idoneidad Didáctica
Clase Tendencia
% Tercera
%
Cuarta
%
Idoneidad Epistémica 70 70 70
Idoneidad Cognitiva 75 75 75
Idoneidad Afectiva 83.3 83.3 83.3
Idoneidad Interaccional 75 75 75
Idoneidad Mediacional 72.2 72.2 72.2
Idoneidad Ecológica 90 100 95
Fuente: elaboración propia.
El hexágono que representa la tendencia de las dos clases del docente Fernando
sería:
Figura 19. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase de Fernando. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009.
En las dos clases se observa una similitud en todas las idoneidades excepto en la
ecológica, donde el docente mejoró en su última clase. Aún así, las idoneidades más bajas
de Fernando son en su orden la epistémica y la mediacional. La Fortaleza del profesor está
en la idoneidad ecológica y en la afectiva.
Capítulo 6. Caso Fernando 249
Análisis de Interacción.
Tercera Clase.
La tercera clase del profesor Fernando tiene 8 configuraciones didácticas. A continuación,
en la tabla 32, se plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.
Tabla 32. Análisis de interacción de la tercera clase.
AB Descripción
Configuración Didáctica
Total C1
1-7
C2
7-
223
C3
224
316
C4
317-
410
C5
411-
474
C6
475-
500
C7
501-
523
C8
524-
540
A Aclaración del docente a todo el
grupo, explicación corta.
5 3 3 2 4 17
Ant Aclaración no temática por parte
del profesor
2 2 3 2 1 4 4 18
Ap Aprobación de la respuesta dada
por el estudiante
9 2 2 1 1 15
An Negación de la respuesta dada
por el estudiante.
1 1
Ar
Autorespuesta del profesor, es
decir pregunta y responde su
pregunta.
2 1 3
de Discusión entre los estudiantes. 3 1 4
Des Desacuerdo del profesor ante
respuesta dada por el estudiante.
1 1 1 3
E Explicación amplia del profesor 1 1
e
Explicación amplia del
estudiante.
1 2 3
ic Intervención corta del
estudiante, sin que se la haya
solicitado el docente
2 1 3
int Intervención no temática del
estudiante
3 2 5
O El profesor ordena la ejecución
de una acción
2 1 1 1 2 7
Pc Pregunta corta del profesor
dirigida a todo el grupo
5 1 6
pc Pregunta corta por parte del
estudiante por iniciativa propia
al profesor
1 6 1 4 3 15
Pm Preguntas múltiples por parte del
profesor,
4 1 5
R Repetición del profesor de lo
que expresa el estudiante
1 1
Rc Respuesta corta del profesor
ante una pregunta del estudiante
1 3 1 5
Ra Respuesta argumentada del
profesor a una pregunta de un
estudiante
2 2 4
ria Respuesta individual
argumentada del estudiante
9 2 2 1 1 1 16
Capítulo 6. Caso Fernando 250
ric Respuesta del estudiante,
individual y corta
25 16 7 2 3 4 57
rm Respuesta de varios estudiantes
uno después del otro.
2 2
Sc Silencio corto de menos de un
minuto
5 1 1 1 1 9
Sp Silencio prolongado (más de un
minuto)
1 1
ap Aprobación de lo dicho por el
docente por parte del estudiante.
4 1 7 1 1 1 15
S T 6 105 35 35 9 7 24 15 236
Emergentes Después Del Trabajo Colaborativo
a Aclaración temática corta del
estudiante.
7 6 9 4 26
ant Aclaración no temática del
estudiante
5 6 3 5 4 1 1 25
ar Autorespuesta del estudiante,
pregunta y responde su pregunta.
4 2 2 8
co Consenso de grupo de
estudiantes acerca de una tarea
matemática o no
2 2 1 5
cop Complemento a la opinión de un
compañero.
12 3 6 4 2 27
des Desacuerdo del estudiante frente
a la opinión de los compañeros.
10 4 4 3 1 22
ex Expresión sin sentido completo. 8 1 3 3 2 17
l Lectura de un texto, taller o guía
por el estudiante
8 8 14 2 3 35
o Opinión del estudiante respecto
de un tema matemático.
53 17 21 17 5 113
Pcc Pregunta corta del profesor
dirigida al pequeño grupo
20 13 4 37
pcc Pregunta corta del estudiante a
sus compañeros.
20 7 9 9 4 49
pcc
m
Pregunta corta múltiple, varias
seguidas del mismo estudiante.
2 1 3
pnt Pregunta no temática del
estudiante.
1 1
r Repetición de lo que dice el
compañero.
4 2 1 7
rdes Reafirmación a un desacuerdo. 1 1
rp Repetición del estudiante de lo
que dice el profesor.
1 1
Sd Saludo del docente 1 1
so Solicitud de un estudiante a un
compañero
10 1 11
S
TO
1 137 66 84 54 19 4 4 369
TOT 7 242 101 119 63 26 28 19 605
Fuente: elaboración propia.
Capítulo 6. Caso Fernando 251
Se realizó un análisis por configuración, basado en la trascripción de la tercera clase
de Fernando (TR3F). Las configuraciones 1,7 y 8 son de tipo magistral en gran grupo, las
demás son de corte dialógico en pequeños grupos, (Godino, Contreras y Font, 2006).
Tabla 33. Análisis de interacción por configuración., tercera clase.
Configuración Tiempo (Minutos)
Orden De Interacción Total
Configuración
1
5:40 O, Ant, Sd, Ant, O, pc, Rc. 7
Configuración
2
39:55 co, l, pcc, ric, o, cop, cop, cop, r, o, cop, des, o, des, ric, a, pcc, ria,
o,o, des, o, cop, r, pcc, ex, o, o,o, des, pccm, o, cop, pcc, r, ar, ex, l,
o, cop, de, e, a, a, o, R, o, pcc, o, int, int, o, pc, pnt, pc, Pcc, o, pc, Ap,
Pcc, Ar, Pcc, o, des, a, pccm, o, des, l, Pcc, ria, Pcm, rc, A, ric, Pcc,
ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Ap, Pm, ric, A, ric, a, pcc, de, int, l,
Pcc, ria, Ap, Pcc, A, Pcc, ria, Pcc, ric, A, sc, rp, Ap, ric, Ap, Pcc, ric,
Pcc, ric, Pcc, ric, Ap, Pcc, ric, Pm. ric, Ap, Pm, ric, Pcc, Ar, ric, Ant,
de, o, pcc, ria, des, o, pcc, o, pcc, sc, o. cop. Sc, o, sc, o, Ant, o, o,
pcc, ria, o, ap, ant, ric, ex, ex, ex, o, o, ex, pcc, ric, pcc, ria, o, pc, pcc,
ar, o, ant, pcc, ar, o, o, ap, o, o,o, cop, o, ant, des, sp, pcc, pcc, l, Pm,
ria, Pcc, ric, Ap, ric, Pcc, ric, Pcc, ria, o, Ap, A, pc, Rc, l, l, o, ap, cop,
pcc, ric, pcc, rm, pcc, rm, pc, ar, o, sc, a, pcc, o, cop, o, cop, o,o,o,o,
des, l, co, o, o, r, o, ant, ex, o, ant, o,o,o,ex, o, ap, a, des.
242
Configuración
3
17:40 Ant, l, ap, o, cop, l, o, co, ant, l, o, ant, pcc, ric, r, l,o, pcc, ar, l, o, pcc,
ric, Pcc, ric, Pcc, ria, Pcc, ric, Pcc, ex, Pcc, l, Ap, A, Pcc, ric, Pcc, ric,
Ant, ic, Pcc, ap, ric, A, Pcc, ric, Pcc, ric, Pm, ric, Pcc, ric, Pcc, ric,
Pcc, ric, An, ic, Ant, o, o, des, l, ant, e, e, o, cop, o, pc, ric, des, ant.
Ap, A, o, o, pcc, ar, pcc, ric, o, des, sc, l, r, o, o, pcc, ric, o, o, pcc,
ria, o, cop, ant, des, rdes, ant, co.
101
Configuración
4
22:17 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap, so,
l, ap, so, l, int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm, pcc, ar,
ant, l, des, a, ap, o, so, l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l, a, o,o, ant,
l, Pcc, o, o, ap, o, Pcc, ria, Pcc, ric, pc, Des, Ra, ap, l, o,cop,cop, so,
l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des, o, a, sc, o, pc, A, o, A, o, Ap, a, A,
pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex, pc, ric, o, Pcc, Ar, cop, Ap
119
Configuración
5
16:11 O, ant, ant, ex, l, cop, l, pcc, pcc, a, pcc, a, so, o, pcc, o, des, o, des,
o, pcc, pcc, o, cop, r, A, o, a, A, o, Des, a, o, Ap, o, o, ap, a, o, o, pcc,
ric, a, ant, a, pcc, ric, ant, ex, o, cop, a, ex, o,o, pcc, ria, a, des, o, cop,
o, ant.
63
Configuración
6
7:43 O, a, ant, Ant, ant, o, a, pcc, ric, a, pcc, ria, cop, cop, a, ant, sc, o, pcc,
ric, o, pcc, ric, ant, o,o.
26
Configuración
7
2:27 O, Ant, ant, ap, Ant, Ant, l, Ap, l, Ant, l, O, Sc, A, Pc, ric, A, Pc, ric,
A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ria, E.
28
Configuración
8
2:07 Pc, ap, ic, Ant, pc, Ra, des, ant, Des, Ant, pc, Ra, ex, Ant, ex, Ant,
pc, Rc, de
19
Fuente: elaboración propia.
Se resaltan en cada configuración y en orden de frecuencia:
Configuración 1: aclaración no temática del profesor (Ant) y orden del profesor (O).
Capítulo 6. Caso Fernando 252
Configuración 2: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); respuesta
del estudiante individual y corta (ric); pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo
(Pcc) y pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc).
Configuración 3: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); respuesta
del estudiante individual y corta (ric); pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo
(Pcc) y lectura de un texto, taller o guía, por el estudiante (l).
Configuración 4: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); lectura
de un texto, taller o guía, por el estudiante (l); solicitud de un estudiante a un compañero (so)
y pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc).
Configuración 5: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); pregunta
corta del estudiante a sus compañeros (pcc); aclaración temática corta del estudiante (a) y
aclaración no temática del estudiante (ant).
Configuración 6: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o);
pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc); aclaración temática corta del
estudiante (a) y aclaración no temática del estudiante (ant).
Configuración 7: pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); aclaración
del docente a todo el grupo, explicación corta (A); aclaración no temática por parte del
profesor (Ant) y respuesta del estudiante individual y corta (ric).
Configuración 8: aclaración no temática por parte del profesor (Ant), pregunta corta
por parte del estudiante por iniciativa propia al profesor (pc) y respuesta argumentada del
profesor a una pregunta de un estudiante (Ra).
La clase en general tuvo una duración de 1:54, de 540 líneas de interacción y 8
configuraciones didácticas; las interacciones 1,7 y 8 son de tipo magistral, las demás de
carácter dialógico (Font, Planas y Godino, 2010), se confirma con el tipo de interacción que
se desarrolla en cada configuración, de donde se concluye que la clase básicamente es
dialógica. Las interacciones de mayor frecuencia en su orden son: opinión del estudiante
respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros; pregunta
corta del profesor, dirigida al pequeño grupo; y lectura de un texto, taller o guía por el
estudiante.
Capítulo 6. Caso Fernando 253
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el
estudiante en las diferentes configuraciones.
Tabla 34. Análisis de tiempo de participación. Tercera clase.
Configuración Alumno Docente Total Particiipación
Estudiante
Configuración 1 0:10 5:30 5:40 2.9%
Configuración 2 36:53 3:02 39:55 92.4%
Configuración 3 15:00 2:40 17:40 84.9%
Configuración 4 20:05 2:12 22:17 90.1%
Configuración 5 13:07 3:04 16:11 81.1%
Configuración 6 5:15 2:28 7:43 68%
Configuración 7 0:42 1:45 2:27 28.6%
Configuración 8 0:41 1:26 2:07 32.3%
Total 1:31:53 22:07 1.54:00 80.6%
Fuente: elaboración propia.
Se observa que las configuraciones en donde el mayor tiempo de participación la tuvo el
docente fueron: la primera, dado que el profesor ocupó el tiempo dando las instrucciones para el
desarrollo del taller; la séptima, nuevamente se trabajó en gran grupo y se realizó la socialización
de los grupos con el proceso de institucionalización por parte del docente, y la última que
correspondió a la asignación de tarea y discusión de temáticas alternas. El resto de
configuraciones que corresponden a desarrollos en pequeños grupos, fueron los estudiantes los
que tuvieron la mayor participación. En general, en la clase, el grado de participación de los
estudiantes fue alto, del 80.6 %. Este criterio se corresponde con una clase de tipo no tradicional-
tecnológica.
Cuarta Clase.
La cuarta clase de Fernando tiene 8 configuraciones didácticas. A continuación, en la tabla
35, se plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.
Capítulo 6. Caso Fernando 254
Tabla 35. Análisis de interacción cuarta clase.
AB Descripción
Configuración Didáctica
Total C1
1-5
C2
6-
171
C3
172
-387
C4
388-
523
C5
524-
638
C6
639-
692
C7
693-
726
C8
726-
730
A Aclaración del docente a todo
el grupo, explicación corta.
3 3 1 6 13
Ag Agradecimiento del docente a
un estudiante.
1 1
Ant Aclaración no temática por
parte del profesor
3 2 3 2 2 7 1 2 22
Ap Aprobación de la respuesta
dada por el estudiante
3 2 1 2 8
Ar
Autorespuesta del profesor, es
decir pregunta y responde su
pregunta.
1 2 1 4
c Conclusión del estudiante. 1 1 1 3
Des Desacuerdo del profesor ante
respuesta dada por el
estudiante.
1 1 2
E Explicación amplia del
profesor
1 1
e
explicación amplia del
estudiante
5 4 9
ic Intervención corta del
estudiante, sin que se la haya
solicitado el docente
1 1 2
int Intervención no temática del
estudiante
2 2
O El profesor ordena la
ejecución de una acción
1 1 2 2 1 6 1 14
Pc Pregunta corta del profesor
dirigida a todo el grupo
1 2 4 1 8 8 1 25
pc Pregunta corta por parte del
estudiante por iniciativa
propia al profesor
2
4
5 4 15
Pm Preguntas múltiples por parte
del profesor,
1 1 2
Pnt Pregunta no temática del
profesor
1 1 1 3
R Repetición del profesor de lo
que expresa el estudiante
2 2
Rc Respuesta corta del profesor
ante una pregunta del
estudiante
2 4 6
Ra Respuesta argumentada del
profesor a una pregunta de un
estudiante
2 2
rgc Respuesta en coro de varios
estudiantes, respuesta general
corta.
1 2 3
ria Respuesta individual
argumentada del estudiante
2 2 3 1 8
Capítulo 6. Caso Fernando 255
ric Respuesta del estudiante,
individual y corta
6 2 14 3 2 3 30
Rm Respuesta de varios
estudiantes uno después del
otro.
3 3
Sc Silencio corto de menos de un
minuto
1 1 2
ap Aprobación de lo dicho por el
docente por parte del
estudiante.
9 3 9 3 2 26
S T 6 32 11 50 23 51 31 4 208
Emergentes Después del Trabajo Colaborativo
a Aclaración temática corta
del estudiante.
2 1 8 6 6 23
ant Aclaración no temática del
estudiante
13 11 11 9 1 45
ar Autorespuesta del
estudiante, pregunta y
responde su pregunta.
2 1 1 1 5
co Consenso de grupo de
estudiantes acerca de una
tarea matemática o no
1 1
cop Complemento a la opinión
de un compañero.
3 1 11 2 17
des Desacuerdo del estudiante
frente a la opinión de los
compañeros.
7 9 5 2 23
ed Expresión de duda ante lo
que afirma el compañero.
2 3 5
ex Expresión sin sentido
completo.
8 5 11 8 32
l Lectura de un texto, taller o
guía por el estudiante
8 1 14 3 1 27
o Opinión del estudiante
respecto de un tema
matemático.
67 12 41 33 153
pcc Pregunta corta del
estudiante a sus
compañeros.
23 7 19 10 1 60
pccm Pregunta corta múltiple,
varias seguidas del mismo
estudiante.
2 2
pnt Pregunta no temática del
estudiante.
2 3 3 8
q Queja del estudiante
respecto del docente
1 1 2 4
r Repetición de lo que dice el
compañero.
10 2 1 3 16
rdes Reafirmación a un
desacuerdo.
1 1 2
Rp Repetición del profesor de
lo que él mismo dice.
1 1
Sd Saludo del docente 0
so Solicitud de un estudiante a
un compañero
3 1 10 14
Capítulo 6. Caso Fernando 256
S TO 0 150 42 144 88 11 3 0 438
TOT 6 182 53 194 111 62 34 4 646 Fuente: elaboración propia.
Se presenta el análisis por configuración, tomando como referente la trascripción de
la cuarta clase de Fernando (TR4F).
Tabla 36. Análisis de interacción por tiempo y configuración. Cuarta clase.
Configuración Tiempo
(Minutos)
Orden de Interacción Total
Configuración 1 1:30 O, Pc, Ant, Ant, Sc, Ant, 6
Configuración 2 15:32 Pm, ria, l, o, ap,l, ant, ex, pcc, ant, ex, ant, o, o, cop, so, l, pcc,
ant, o, pcc, ria, ap, pcc, ap, l, o, pcc, ant, o, pcc, pcc, ex, pcc, o,
pcc, ant, ric, ant, o, o, o, o, pcc, o, o, ant, o, pcc, so, ric, o, o, o,
pcc, ex, ant, l, o, o, r, pcc, rm, des, o, r, o, o, r, ex, r, o, o, ap, o,
pcc, c, o, pcc, rm, ed, o, o, des, o, cop, o, o, ap, pcc, pcc, ric, ed,
ant, ant, q, ant, pc, o, pnt, o, ant, pnt, ap, ex. Ant, so, ap, Pc, l,
Ap, o, Ap, Ant, ex, O, rm, pcc, o, o, o, a, r, r, l, ex, l, o, o, o,
pcc, ric, o, o, ap, r, o, o, r, o, o, o, des, rdes, a, o, pcc, des, pc, o,
o, o, pcc, ric, o, des, des, o, o, o, o, o, des, o, o, o, o, pcc, o, pcc,
ric, cop, r, o, o, r, o, o, ap, o, Pc, Ap.
182
Configuración 3 13:30 O, so, O, ant, Ant, ant, r, Ant, pcc, ric, pcc, ric, ant, ant, ap, pcc,
ant, ex, Ant, ant, ant, ant, ex, ex, ex, q, pcc, pcc, ap, o, o, o, ant,
o, o, pcc, l, o, ap, o, o, r, ex, ant, o, o, o, cop, c, ant, pcc, a, o,
53
Configuración 4 10:28 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap,
so, l, ap, so, l, int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm,
pcc, ar, ant, l, des, a, ap, o, so, l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l,
a, o,o, ant, l, Pc, o, o, ap, o, Pc, ria, Pc, ric, pc, Des, Ra, ap, l,
o,cop,cop, so, l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des, o, a, sc, o, pc,
A, o, A, o, Ap, a, A, pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex, pc,
Ric, o, Pc, Ar, cop, Ap, o, cop, o, cop, ex, ex, o, o, ex, o o, des,
rdes, o, pcc, pcc, pcc, ric, des, o, ex, pcc, ric, des, o, cop, pcc, ric,
o, ex,ex,ant, o, r, pcc, ric, pcc, ric, o, cop, ant, ap, pnt, ric, o, pcc,
pnt, ric, pccm, 0, ex, pnt, a, o, ap, pcc, o, o, des, c, o.o. ant, o,
pcc, o, ant, ant, ex, so, ant, a, ant, ant, des,
194
Configuración 5 34:30 L, ant, ap, ap, l, ex, l, r, o, pcc, a, o, o, o, q, o, des, q, ex, ed, o,
pcc, ric, o, o, des, a, Pc, Pnt, pc, ed, Des, Ant, pcc, ar, A, o, Ap,
pc, Rc, o, A, ant, o o, ant, o, ex, pcc, a, o, o, des, o, o, r, o, a, o,
o, o, o, pcc, ric, pcc, des, cop, cop, o, pcc, a, pcc, pc, ant, pc, ex,
a, o, pcc, ex, ex, ex, ant, o, r, o, o, ap, o, ed, pnt, pnt, ex, O, des,
ant, ant, Ant, ant, pc, o, o, o, A, ant, o, o, pnt, Rc, pcc, ric.
111
Configuración 6 19:28 Ant, rgc, Ant, pc, Rc, e, Ant, pc, Rc, e, E, pc, Ap, Rc, ic, Pc, Pm,
ria, ap, a, e, O, a, R, a, Ap, e, Ant, Pc, ric, Ant, Pc, pnt, Rc, l, Ant,
des, O, ant, O, pc, ar, Pc, ria, A, ap, Ant, O, des, O, e, Pc, ric, R,
a, a, Pc, ria, Pc, O, Pc, a
62
Configuración 7 5:09 Ag, A, Pc, ric, Pc, ria, Ant, Rp, ic, A, Pc, ric, A, PC, Ar, A, O, e,
pnt, e, Pc, rgc, e, pcc, ar, e, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, Pc, Ar.
34
Configuración 8 1:32 Ant, Pc, Ar, Ant. 4 Fuente: elaboración propia.
Capítulo 6. Caso Fernando 257
Se resaltan en cada configuración y en orden de frecuencia:
Configuración 1: Aclaración no temática del profesor (Ant), dado que el profesor
estaba dando inicio a la actividad de clase y haciendo entrega del taller y las condiciones de
trabajo.
Configuración 2: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); pregunta
corta del estudiante a sus compañeros (pcc) y Aclaración no temática del estudiante (ant).
Configuración 3: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o);
aclaración no temática del estudiante (ant); pregunta corta del estudiante a sus compañeros
(pcc); expresión sin sentido del estudiante (ex).
Configuración 4: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); pregunta
corta del estudiante a sus compañeros (pcc) y lectura de un texto, taller o guía, por el
estudiante (l).
Configuración 5: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o); pregunta
corta del estudiante a sus compañeros (pcc); y aclaración no temática del estudiante (ant).
Configuración 6: OPregunta corta del profesor dirigida a todos los estudiantes (Pc);
aclaración no temática del profesor (Ant); aclaración temática corta del estudiante (a); y
explicación amplia del estudiante (e).
Configuración 7: Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); Aclaración
del docente a todo el grupo, explicación corta (A); explicación amplia del estudiante.
Configuración 8: Aclaración no temática por parte del profesor (Ant); pregunta corta
por parte del profesor a los estudiantes (Pc); y autorespuesta del profesor (Ar).
La clase en general tuvo una duración de 1:41, de 730 líneas de interacción y 8
configuraciones didácticas; las interacciones 1 y 8 son de tipo magistral, las demás de
carácter dialógico, del 2 al 5 en pequeño grupo, la 6 y 7 en gran grupo (Font, Planas y
Godino, 2010), de donde se concluye que la clase es dialógica. Las interacciones de mayor
frecuencia en su orden son: opinión del estudiante respecto de un tema matemático; pregunta
corta del estudiante a sus compañeros; aclaración no temática del estudiante y lectura de un
texto, taller o guía por el estudiante. Se observa que aparecen nuevas interacciones que son
propias de una clase diálogica y participativa.
Capítulo 6. Caso Fernando 258
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por los
estudiantes en las diferentes configuraciones.
Tabla 37. Análisis de tiempo de participación en la cuarta clase de Fernando.
Configuración Alumno Docente Total Partipación del
Estudiante
Configuración 1 0:05 1:25 1:30 5.5%
Configuración 2 14:58 0:34 15:32 96.4%
Configuración 3 12:55 0:35 13:30 95.6%
Configuración 4 10:03 0:25 10:28 96%
Configuración 5 32:15 2:15 34:30 93.5%
Configuración 6 11:10 8:18 19:28 57.4%
Configuración 7 2:55 2:14 5:09 56.6
Configuración 8 0:12 1:20 1:32 13%
Total 1:23:33 17:06 1:41:39 82.2%
Fuente: elaboración propia.
Las configuraciones en donde el mayor tiempo de participación la tuvo el docente, fueron:
la primera, dado que el profesor ocupó el tiempo dando las instrucciones para el desarrollo del
taller; la octava que correspondió a la asignación de tareas para la siguiente clase. El resto de
configuraciones que corresponden a 4 desarrollos en pequeños grupos y 2 en gran grupo, fueron
los estudiantes los que tuvieron la mayor participación. En general, en la clase la participación
de los estudiantes fue del 82.19%. Este criterio se corresponde con una clase de tipo no
tradicional-tecnológica.
Patrones de interacción en la tercera y cuarta clase.
A continuación, se muestran los patrones de interacción comunicativa que se
identificaron en el desarrollo de las clases del profesor Fernando, después de haber
participado en un grupo de trabajo colaborativo, con la respectiva frecuencia:
Tabla 38. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clases.
AB Descripción Clase
3
Clase
4 Total
A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 17 13 30
Ag Agradecimiento del docente a un estudiante. 0 1 1
Ant Aclaración no temática por parte del profesor 18 22 40
Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 15 8 23
An Negación de la respuesta dada por el estudiante. 1 0 1
Capítulo 6. Caso Fernando 259
Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su
pregunta.
3 4 7
c Conclusión del estudiante. 0 3 3
de Discusión entre los estudiantes. 4 0 4
Des Desacuerdo del profesor ante respuesta dada por el estudiante. 3 2 5
E Explicación amplia del profesor 1 1 2
e Explicación amplia del estudiante 3 9 12
ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el
docente
3 2 5
int Intervención no temática del estudiante 5 2 7
O El profesor ordena la ejecución de una acción 7 14 21
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 6 25 31
pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al
profesor
15 15 30
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 5 2 7
Pnt Pregunta no temática del profesor 0 3 3
R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 1 2 3
Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 5 6 11
Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un
estudiante
4 2 6
rgc Respuesta en coro de varios estudiantes, respuesta general corta. 0 3 3
ria Respuesta individual argumentada del estudiante 16 8 24
ric Respuesta del estudiante, individual y corta 57 30 87
Rm Respuesta de varios estudiantes uno después del otro. 2 3 5
Sc Silencio corto de menos de un minuto 9 2 11
Sp Silencio prolongado (más de un minuto) 1 0 1
ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del estudiante. 15 26 41
S T 216 208 424
Emergentes Después del Trabajo Colaborativo
a Aclaración temática corta del estudiante. 26 23 49
ant Aclaración no temática del estudiante 25 45 70
ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 8 5 13
co Consenso de grupo de estudiantes acerca de una tarea matemática o
no
5 1 6
cop Complemento a la opinión de un compañero. 27 17 44
des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los compañeros. 22 23 45
ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 0 5 5
ex Expresión sin sentido completo. 17 32 49
l Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 35 27 62
o Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 113 153 266
Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 37 0 37
pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 49 60 109
pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 3 2 5
pnt Pregunta no temática del estudiante. 1 8 9
q Queja del estudiante respecto del docente 0 4 4
r Repetición de lo que dice el compañero. 7 16 23
rdes Reafirmación a un desacuerdo. 1 2 3
Rp Repetición del profesor de lo que él mismo dice. 0 1 1
rp Repetición del estudiante de lo que dice el profesor. 1 0 1
Sd Saludo del docente 1 0 1
so Solicitud de un estudiante a un compañero 11 14 25
S TO Subtotal 389 438 827
TOT Total 605 646 1251 Fuente: elaboración propia.
Capítulo 6. Caso Fernando 260
De acuerdo con la tabla anterior, las interacciones comunicativas típicas de las clases
del profesor, en su orden, son: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o),
pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y
corta (ric), aclaración no temática del estudiante (ant), Lectura de un texto, taller o guía por
el estudiante (l). Se observa que todas las interacciones corresponden a acciones del
estudiante, lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante y ésta es no tradicional-
tecnológica.
A continuación, se presenta la información más relevante con relación al tiempo de
ambas clases:
Tabla 39. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase.
Tiempo
(minutos)
Clase 3
Porcentaje
Participa de
estudia
Tiempo
(minutos)
Clase 4
Porcentaje
Participa de
estudia
Configuración 1 5:40 2.9% 1:30 5.5%
Configuración 2 39:55 92.4% 15:32 96.4%
Configuración 3 17:40 84.9% 13:30 95.6%
Configuración 4 22:17 90.1% 10:28 96%
Configuración 5 16:11 81.1% 34:30 93.5%
Configuración 6 7:43 68% 19:28 57.4%
Configuración 7 2:27 28.6% 5:09 56.6
Configuración 8 2:07 32.3% 1:32 13%
Total 1.54:00 80.6% 1:41:39 82.2%
Fuente: elaboración propia.
Como se puede deducir de la tabla, el nivel de participación de los estudiantes en las
dos clases es alto (80.6%, 82.2%), esto se explica a partir de sus configuraciones; en la
primera clase las únicas configuraciones donde hay más participación del docente fueron
uno, siete y ocho, es decir los espacios de presentación de la actividad, y las dos de cierre
donde se hace socialización e institucionalización del conocimiento (Godino, Contreras y
Font, 2006) y se asigna el trabajo extraclase; en la segunda clase sucede algo muy similar,
en la primera y en la última son las que muestran mayor participación del docente, por las
mismas razones que la clase anterior, se resalta que estas configuraciones son las de menor
tiempo.
Capítulo 6. Caso Fernando 261
De lo anterior se puede concluir:
Las dos últimas clases del docente se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, lo
cual sigue mostrando su tendencia a realizar un desarrollo temático demasiado ambicioso,
son muchas tareas para una sesión de clase.
De las dos clases, el 31% de las configuraciones fueron consideradas de tipo magistral,
las restantes dialógicas (Godino, Contreras y Font, 2006), de donde se infiere que se está
hablando de un tipo de aula participativo, donde se privilegia el diálogo y el consenso, lo cual
implica una clase de tipo no tradicional-tecnológica.
En la tercera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: opinión del
estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros;
pregunta corta del profesor, dirigida al pequeño grupo; y lectura de un texto, taller o guía por
el estudiante. En la cuarta clase las interacciones más destacadas del docente fueron: opinión
del estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus
compañeros; aclaración no temática del estudiante; y lectura de un texto, taller o guía por el
estudiante. Se observa que aparecen nuevas interacciones que son propias de una clase
diálogica y participativa. Se determinó una identificación amplia de los patrones de
interacción comunicativa del docente Fernando en su segunda etapa, los cuales se plasman
en la tabla 38. Se resalta que hay patrones de interacción que emergieron en esta fase.
Se identificaron como las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente
después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, las siguientes: opinión del
estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta corta del estudiante a sus
compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric), aclaración no temática
del estudiante (ant), Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante (l). Se observa que
todas las interacciones corresponden a acciones del estudiante, lo cual implica que el eje de
la clase es el estudiante y se está ante una tipología de clase no tradicional-tecnológica.
Capítulo 6. Caso Fernando 262
El promedio de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 81.4%, se
destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un
aula donde en algunos momentos asume el control de la clase (Wood, 1999), lo cual es propio
de una metodología no tradicional - tecnológica.
Análisis de la Comunicación.
Tercera Clase.
En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, esta clase asume el modelo
orquestal de comunicación, se están aplicando los tres principios que plantea este modelo:
el principio de la totalidad, se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos con
rotación para permitir intercambio de saberes, al final fue importante el trabajo de
socialización realizado en gran grupo, retomándose todo el trabajo que se había desarrollado
en forma grupal (ver análisis de la clase); en segundo lugar el principio de la causalidad
circular, en donde se observaron acciones y retroacciones, los grupos se implicaron unos a
otros al realizarse las distintas rotaciones; finalmente, la regulación, pues la comunicación
no puede existir sino está basada en unas normas, las cuales permiten el equilibrio del
sistema, algunas de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y otras
que se manejaron de manera implícita por los estudiantes y el docente (Marc y Picard, 1992).
Aunque lo descrito es la generalidad de la clase, se presentan unas líneas de transcripción
[224] a [229], donde se observan acciones y retroacciones entre los miembros del grupo.
Adicionalmente, de este fragmento se pueden destacar normas de clase, como por ejemplo:
una vez roten, el relator comenta a los demás estudiantes que llegan, lo consensuado con el
grupo anterior; y los estudiantes debían refutar o asumir lo planteado de acuerdo a lo
trabajado en otros grupos.
[224] Profesor Vamos a rotar dejan al Relator y el Relator va a complementar las ideas el que
va llegando entonces rotamos hacia la derecha de cada grupo solo queda el
Relator, comentarios varios mientras cambian los estudiantes.
Aclaró que la indicación puede ser que el Relator les comenté a los que acaban
de llegar que conceptos o que definiciones han llegado y ustedes lo
complementan los que llegaron si están de acuerdo o no están de acuerdo con
ese proceso, pueden hacer una notica que es lo que ha variado y dos ir iniciando
el segundo punto.
Capítulo 6. Caso Fernando 263
[225] Relator Bueno nosotros escribimos que un conjunto que es una colección de elementos
de los cuales cumplen una condición para que se forme conjunto,
[226] Estudiante está bien o en otras palabras es una ecuación de elementos con una característica
en común
[227] Relator Que la característica seria la relación.
[228] Relator Bueno, Una función decimos que es una relación de parejas ordenadas donde
no existan dos parejas ordenadas con dos mismas primeras componentes ósea
que si existen si tienen primera componente igual deben tener por consiguiente
una segunda componente igual eso lo definimos como función,
[229] Estudiante nosotros dijimos que ahí relación entre dos conjuntos que a cada elemento
primero corresponde uno del segundo, una parábola es una función,
En cuanto a la clasificación de la comunicación, de acuerdo a la participación, la
comunicación fue recíproca, hay cambio permanente de roles, también interpersonal y
colectiva. Interpersonal, hubo permanente interrelación entre los estudiantes; colectiva y
pública, pues los destinatarios eran grupos pequeños y el gran grupo. Lingüística, dado que
el medio natural fue el lenguaje, apoyado por códigos paralingüísticos, también
extralingüística ya que se emplearon códigos distintos a la lengua natural, como la
simbología matemática, de los vectores y otros símbolos. Informal en el trabajo de grupos y
formal en la socialización. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación fue audio visual,
el proceso se hizo leyendo el taller y libros, y escribiendo en los cuadernos y hojas. También
directa, pues implicó presencialidad, se dio por canales simples. Vertical, se realizó de
docente a estudiante, al inicio y culminación de la clase, pero horizontal en el transcurso de
la clase y en el trabajo en pequeños grupos (Niño, 1998).
[8] Estudiante Quien es el Relator
[9] Relator Bueno empecemos. Dice Verificar las definiciones que se tienen acerca de
conjunto, función, operación, operación binaria, axioma, cuerpo y campo qué
relación existe entre ellas, que finalidad tienen en el álgebra lineal. Entonces eee
bueno Como empezamos
[10] Estudiante Seria mirar las definiciones.
[11] Relator Dicen, que tienen acerca sobre conjunto: Conjunto es una relación un conjunto
es como un grupo
[12] Estudiante Que tiene varios elementos
[13] Estudiante cuyos elementos cumplen un fi de Z
[14] Relator Una condición
[15] Estudiante Una condición
[16] Relator Un conjunto cumple cierta condición.
Un conjunto es construido a partir de una cierta condición Fi de Z, pero esta es
la unión. Esta es la
[17] Estudiante Esta es la unión de varios elementos.
[18] Estudiante No porque puede ser vacío, un subconjunto
[19] Relator Entonces el conjunto vacío.
Capítulo 6. Caso Fernando 264
[20] Estudiante No porque dice ¿Cuál es la definición de conjunto? No la del conjunto vacío
[21] Relator Por eso cual es la definición de conjunto, vacío es un conjunto.
[22] Estudiante ¿Cuál es la definición de conjunto?
[23] Relator Por eso, Decimos que, un conjunto es la colección de conjuntos de un conjunto
referencial que satisface una condición, ósea un conjunto es una colección de
elementos de un conjunto que satisface una condición de un conjunto
referencial.
Se destacó el cambio permanente de roles y de interacción entre los estudiantes,
igualmente el trabajo en grupo, el medio fue el lenguaje apoyado con códigos
paralingüísticos [13], [17]; informal en su forma de participación; directa y horizontal, ya
que se presentó especialmente entre estudiantes.
Para esta clase se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), por ejemplo, la expresión del
conjunto V= {(x,y,z)€r3; x,y,z>0}, los cuales siempre se utilizaron con significado
(Saussure, 1995). En cuanto a los códigos (Giraud, 1971), se tiene que en la clase se
utilizaron los códigos lingüísticos, los discursos del docente y de los estudiantes; los
paralingüísticos como sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales, ver
[8] a [23].
Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007), no
se observó que se asumiera explícitamente para el control de los estudiantes, como ejemplo
se puede observar de [501] a [512].
[501] Profesor Explicación de las definiciones por los grupos. Un voluntario que quiera
[502] Estudiante tu puedes todo el apoyo
[503] Estudiante si tu puedes
[504] Profesor todos van a participar, veamos la experiencia de todos
Se realiza la socialización de resultados.
[505] Profesor No se si haya un voluntario o voluntaria que quiera socializar, la intención es que
participemos todos y llegar a consensos.
[506] Estudiante nosotros definimos conjunto como una colección de elementos de un conjunto
referencial
[507] Profesor Bueno y la siguiente
[508] Estudiante (lee la definición no se escucha), operación interna y externa.
[509] Profesor David puede leer la siguiente
[510] Estudiante axioma…
[511] Profesor este grupo cuerpo y campo, qué pasó (no contestan)
Capítulo 6. Caso Fernando 265
[512] Profesor Bueno por tiempo, verifiquemos todos para cerrar, Hemos visto y recordemos que era
una serie de conjuntos y establecemos que un conjunto siempre lo numeramos con
una…
En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la clase se pueden identificar
diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo:
[53] Estudiante ¿Una operación binaria?
[54] Relator Una operación binaria es una operación que se satisface un conjunto referencial, si me
entiende, digamos que x operado y, x más y en el conjunto referencial porque puede dar
una operación binaria.
[55] Relator Hola tienes el cuaderno de lógica ahí.
[56] Estudiante es para mirarlo ahí ja ja ja.
[57] Relator Una operación binaria ósea que “x” más “y”, “y” el conjunto de “A” más “B”. y que no
es conmutativa, ¿Profe? ¿entonces como quedaría la definición?
[58] Estudiante ¿Que hay que hacer ahí?
[59] Relator Profe una pregunta Una operación binaria digamos el conjunto operado “Y” pero en un
conjunto referencial pero como podría definir.
[60] Profesor Cómo es, ¿cómo es?
[61] Relator ¿Una operación binaria es digamos tenemos dos conjuntos, conjunto D y el conjunto T,
dentro de la suma A conjunto operado “¿Y” que sería la suma en la operación, pero en
el referencial que sería con los números naturales?
[62] Profesor ¿Ajá cómo quedaría? ¿Tiene el conjunto de, termínelo de construir, a ver como lo
armaron ustedes?
[63] Estudiante Entonces una operación binaria es la operación de dos conjuntos.
tiene un conjunto de llegada y un conjunto de salida
[64] Relator no pero ahí no habría conjunto
Se infieren varias normas del contrato didáctico de la sección de clase: la primera, que
la persona que tiene la última palabra es el docente, es decir la autoridad, aunque no la esté
ejerciendo directamente la tiene el docente; que el profesor no debe responder directamente
las preguntas del estudiante sino sobre conclusiones que hayan sacado los estudiantes; es
factible sacar textos y cuadernos para poder contestar el taller. Como este caso hay varios
dentro de la clase y se encuentran en el análisis de ésta.
En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con
las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y
Frykholm, 2000).
Capítulo 6. Caso Fernando 266
Tabla 40. Modos de comunicación en la tercera clase.
Configu
ración
Interacciones Modos de
comunicación
1 O, Ant, Sd, Ant, O, pc, Rc. Unidireccional
2 co, l, pcc, ric, o, cop, cop, cop, r, o, cop, des, o, des, ric, a, pcc, ria, o,o, des,
o, cop, r, pcc, ex, o, o,o, des, pccm, o, cop, pcc, r, ar, ex, l, o, cop, de, e, a, a,
o, R, o, pcc, o, int, int, o, pc, pnt, pc, Pcc, o, pc, Ap, Pcc, Ar, Pcc, o, des, a,
pccm, o, des, l, Pcc, ria, Pcm, rc, A, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric,
Ap, Pm, ric, A, ric, a, pcc, de, int, l, Pcc, ria, Ap, Pcc, A, Pcc, ria, Pcc, ric, A,
sc,, rp, Ap, ric, Ap, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Ap, Pcc, ric, Pm. ric, Ap, Pm,
ric, Pcc, Ar, ric, Ant, de, o, pcc, ria, des, o, pcc, o, pcc, sc, o. cop. Sc, o, sc,
o, Ant, o, o, pcc, ria, o, ap, ant, ric, ex, ex, ex, o, o, ex, pcc, ric, pcc, ria, o, pc,
pcc, ar, o, ant, pcc, ar, o, o, ap, o, o,o, cop, o, ant, des, sp, pcc, pcc, l, Pm, ria,
Pcc, ric, Ap, ric, Pcc, ric, Pcc, ria, o, Ap, A, pc, Rc, l, l, o, ap, cop, pcc, ric,
pcc, rm, pcc, rm, pc, ar, o, sc, a, pcc, o, cop, o, cop, o,o,o,o, des, l, co, o, o, r,
o, ant, ex, o, ant, o,o,o,ex, o, ap, a, des.
Reflexiva
3 Ant, l, ap, o, cop, l, o, co, ant, l, o, ant, pcc, ric, r, l,o, pcc, ar, l, o, pcc, ric,
Pcc, ric, Pcc, ria, Pcc, ric, Pcc, ex, Pcc, l, Ap, A, Pcc, ric, Pcc, ric, Ant, ic,
Pcc, ap, ric, A, Pcc, ric, Pcc, ric, Pm, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, Pcc, ric, An, ic,
Ant, o, o, des, l, ant, e, e, o, cop, o, pc, ric, des, ant. Ap, A, o, o, pcc, ar, pcc,
ric, o, des, sc, l, r, o, o, pcc, ric, o, o, pcc, ria, o, cop, ant, des, rdes, ant,co.
Reflexiva
4 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap, so, l, ap, so,
l, int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm, pcc, ar, ant, l, des, a, ap, o,
so, l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l, a, o,o, ant, l, Pcc, o, o, ap, o, Pcc, ria,
Pcc, ric, pc, Des, Ra, ap, l, o,cop,cop, so, l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des,
o, a, sc, o, pc, A, o, A, o, Ap, a, A, pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex,
pc, ric, o, Pcc, Ar, cop, Ap
Reflexiva
5 O, ant, ant, ex, l, cop, l, pcc, pcc, a, pcc, a, so, o, pcc, o, des, o, des, o, pcc,
pcc, o, cop, r, A, o, a, A, o, Des, a, o, Ap, o, o, ap, a, o, o, pcc, ric, a, ant, a,
pcc, ric, ant, ex, o, cop, a, ex, o,o, pcc, ria, a, des, o, cop, o, ant.
Reflexiva
6 O, a, ant, Ant, ant, o, a, pcc, ric, a, pcc, ria, cop, cop, a, ant, sc, o, pcc, ric, o,
pcc, ric, ant, o,o.
Reflexiva
7 O, Ant, ant, ap, Ant, Ant, l, Ap, l, Ant, l, O, Sc, A, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc,
ric, A, Pc, ric, Pc, ria, E.
Unidireccional
8 Pc, ap, ic, Ant, pc, Ra, des, ant, Des, Ant, pc, Ra, ex, Ant, ex, Ant, pc, Rc, de Unidireccional Fuente: elaboración propia.
Lo que se puede deducir es que la clase es participativa, las interacciones que se
identificaron en cada configuración lo reafirman; 5 configuraciones resultaron con un
modelo comunicativo reflexivo, las cuales abarcan la mayor parte de la clase y 3 con el
modelo unidireccional, es decir que el modelo comunicativo del docente según estas
configuraciones es reflexivo, lo que se corresponde con un modelo de clase no tradicional-
tecnológico.
Capítulo 6. Caso Fernando 267
Cuarta Clase.
En lo referente a los modelos explicativos de la comunicación, esta clase se asocia
con el modelo orquestal de comunicación, se aplicaron los tres principios del modelo: el
principio de la totalidad, pues se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos
(3 estudiantes) con rotación de un estudiante una vez, para permitir intercambio de saberes,
pero al final se realizó el trabajo de socialización en gran grupo, exponiéndose el trabajo
desarrollado por los grupos (AC4F); en segundo lugar el principio de la causalidad circular,
pues se presentaron acciones y retroacciones, los grupos se implicaron unos a otros al
realizarse la rotación y la socialización, (ver [6] a [16]); el principio de la regulación también
estuvo presente. Se muestran unas líneas de transcripción que dan cuenta de lo anterior.
[6] profesor ¿Que hacer? el primer enunciado qué les está pidiendo.
[7] Relatora
El R3 determinar si el vector X(2, 1,5) están en G, v1, v2 y v3 donde v1 es (1, 2, 1),
v2 ( 1, 0,2), donde, v3 (1,1,0) .
[8] Est1 yo supongo que es v3
[9] Relatora
Si también, para solucionar el ejercicio anterior identifique los elementos básicos
por ejemplo en qué conjunto se están trabajando como se expresaría el vector en
relación de los vectores v1, v2 y v3 que escalares permiten expresar el vector v en
función de los vectores dados…
Supongo lo que hicimos la vez pasada en el cuaderno
[10] Est1 Determinar…
[11] Est2 ¿Acá es v3 cierto?
[12] Est3 Dan ejercicios diferentes
[13] Est1 Determinar…
[14] Est3 Est7 me lo regalo hace mucho, Est7.
[15] Relatora toca hacer lo que hicimos en el cuaderno, eso de buscar el valor, como lo que hicimos
en el parcial
[16] Est1 Determinar si v(X) en (2,1,5); están en G donde v1, v2, v3 donde v1 es (1, 2,1), v2…
En lo referente a las normas de clase, se pueden inferir las siguntes: la distribución en
los grupos de trabajo es de 3 estudiantes, en forma libre; se debe nombrar un relator,
(implícita). Hay que socializar los resultados al terminar.
En cuanto a la clasificación de la comunicación, coincidió con la clase anterior, fue
recíproca, interpersonal, colectiva y pública, se desarrolló entre grupos pequeños y al final
en gran grupo. Lingüística, extralingüística, informal en el trabajo de grupos y formal en la
socialización. Fue audio visual, directa, vertical en una mínima parte de la clase, a su inicio
Capítulo 6. Caso Fernando 268
y culminación, pero horizontal en el transcurso de la misma (Niño, 1998). Se presenta la
trascripción de un fragmento de la clase, como evidencia.
[51] Est2 De estos dos
[52] Est1 Según esto uno es el generador
[53] Relatora Uno es el generador
[54] Est1 ¿Cuál sería el generador acá?
[55] Est3 X
[56] Relatora El conjunto S
[57] Est1 No, el generador sería los vectores
[58] Relatora Los vectores
[59] Est1 Esto seria
[60] Relatora Estos son los generados, este el generador
[61] Est1 De X sería el generador
[62] Est2 De X serian seria generador
[63] Relatora Si, v1, v2 y v3 serían
[64] Est1 Serian
[65] Relatora Un conjunto S, S es el conjunto el cual se genera
[66] Est1 Un conjunto generado
En esta clase al igual que en la anterior se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), por
ejemplo, la expresión vectorial de un sistema de ecuaciones (AC4F)
(215
) = 𝑥 (121
) + 𝑦 (102
) + 𝑧 (110
)
También se manejaron símbolos ubicados en un contexto y en relación con otros
símbolos (Saussure, 1995), por ejemplo,
𝑟 =∝ �⃗� + 𝛽�⃗�
1 -4x +6x2 = ∝(1-x+x2) + 𝛽(2+x-3x2)
Así mismo, se utilizaron los códigos lingüísticos, los paralingüísticos y los
extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).
Para la clase se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes
(Ponte, 2007), se evidencia en las siguientes lineas:
[41] Relatora Pero toca explicar todo [42] Est1 Identifique los elementos básicos. ¿Cuáles son los elementos básicos? [43] Est2 Borrador mujeres. [44] Est1 Borrador no tengo [45] Relatora Primero ahí los elementos básicos
Capítulo 6. Caso Fernando 269
[46] Est1 y los elementos básicos son los dados [47] Est2 Es identificar los nombres de cada uno: (1, 2 ,1); menos (1,0,2) menos (1,10). [48] Relatora ¿En qué conjunto se está trabajando? [49] Est1 Elementos [50] Relatora Miré lo que dice yo no leí la otra parte
El conjunto A es un sistema generador si existe un conjunto S al cual genera
es decir si todo vector S se puede expresarse como combinación lineal de los
elementos de A, en ese caso se dice A es generador de S, o bien se engendra a
S es la combinación lineal, también pues ahí esta y 2 matrices pero se tienen
que sumar para que de una
En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la clase se pueden identificar
diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo, teniendo en cuenta el
párrafo anterior ([41] a [50]): se puede utilizar cualquier tipo de información para el
desarrollo del taller: cuaderno, libros e internet; cada miembro del grupo debe aportar al
desarrollo de los ejercicios, hay que tomar como derrotero el taller y debemos solucionar las
actividades allí propuestas.
En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con
las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y
Frykholm, 2000).
Tabla 41. Modos de comunicación en la cuarta clase.
Configu
Ración
Interacciones Modos de
comunicación
1 O, Pc, Ant, Ant, Sc, Ant, Unidireccional
2 Pm, ria, l, o, ap,l, ant, ex, pcc, ant, ex, ant, o, o, cop, so, l, pcc, ant, o, pcc, ria,
ap, pcc, ap, l, o, pcc, ant, o, pcc, pcc, ex, pcc, o, pcc, ant, ric, ant, o, o, o, o,
pcc, o, o, ant, o, pcc, so, ric, o, o, o, pcc, ex, ant, l, o, o, r, pcc, rm, des, o, r, o,
o, r, ex, r, o, o, ap, o, pcc, c, o, pcc, rm, ed, o, o, des, o, cop, o, o, ap, pcc, pcc,
ric, ed, ant, ant, q, ant, pc, o, pnt, o, ant, pnt, ap, ex. Ant, so, ap, Pc, l, Ap, o,
Ap, Ant, ex, O, rm, pcc, o, o, o, a, r, r, l, ex, l, o, o, o, pcc, ric, o, o, ap, r, o, o,
r, o, o, o, des, rdes, a, o, pcc, des, pc, o, o, o, pcc, ric, o, des, des, o, o, o, o, o,
des, o, o, o, o, pcc, o, pcc, ric, cop, r, o, o, r, o, o, ap, o, Pc, Ap.
Reflexiva
3 O, so, O, ant, Ant, ant, r, Ant, pcc, ric, pcc, ric, ant, ant, ap, pcc, ant, ex, Ant,
ant, ant, ant, ex, ex, ex, q, pcc, pcc, ap, o, o, o, ant, o, o, pcc, l, o, ap, o, o, r, ex,
ant, o, o, o, cop, c, ant, pcc, a, o,
Reflexiva
4 O, ant, pcc, ric, so,ap, l, Ant, int, Ant, ex, cop, l, pcc, o, co, l, ap, so, l, ap, so, l,
int, l, des, so, l, cop, pcc, ric, so, l, ap, so, pccm, pcc, ar, ant, l, des, a, ap, o, so,
l, pcc, ric, cop, ex, a, pcc, ria, o, l, a, o,o, ant, l, Pc, o, o, ap, o, Pc, ria, Pc, ric,
pc, Des, Ra, ap, l, o,cop,cop, so, l, pcc, so, o, o, des, a, pcc, ar, des, o, a, sc, o,
Reflexiva
Capítulo 6. Caso Fernando 270
pc, A, o, A, o, Ap, a, A, pc, Ra, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, so, ex, pc, Ric, o, Pc,
Ar, cop, Ap, o, cop, o, cop, ex, ex, o, o, ex, o o, des, rdes, o, pcc, pcc, pcc, ric,
des, o, ex, pcc, ric, des, o, cop, pcc, ric, o, ex,ex,ant, o, r, pcc, ric, pcc, ric, o,
cop, ant, ap, pnt, ric, o, pcc, pnt, ric, pccm, 0, ex, pnt, a, o, ap, pcc, o, o, des, c,
o.o. ant, o, pcc, o, ant, ant, ex, so, ant, a, ant, ant, des,
5 L, ant, ap, ap, l, ex, l, r, o, pcc, a, o, o, o, q, o, des, q, ex, ed, o, pcc, ric, o, o,
des, a, Pc, Pnt, pc, ed, Des, Ant, pcc, ar, A, o, Ap, pc, Rc, o, A, ant, o o, ant, o,
ex, pcc, a, o, o, des, o, o, r, o, a, o, o, o, o, pcc, ric, pcc, des, cop, cop, o, pcc, a,
pcc, pc, ant, pc, ex, a, o, pcc, ex, ex, ex, ant, o, r, o, o, ap, o, ed, pnt, pnt, ex, O,
des, ant, ant, Ant, ant, pc, o, o, o, A, ant, o, o, pnt, Rc, pcc, ric.
Reflexiva
6 Ant, rgc, Ant, pc, Rc, e, Ant, pc, Rc, e, E, pc, Ap, Rc, ic, Pc, Pm, ria, ap, a, e,
O, a, R, a, Ap, e, Ant, Pc, ric, Ant, Pc, pnt, Rc, l, Ant, des, O, ant, O, pc, ar, Pc,
ria, A, ap, Ant, O, des, O, e, Pc, ric, R, a, a, Pc, ria, Pc, O, Pc, a
Reflexiva
7 Ag, A, Pc, ric, Pc, ria, Ant, Rp, ic, A, Pc, ric, A, PC, Ar, A, O, e, pnt, e, Pc, rgc,
e, pcc, ar, e, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, Pc, Ar.
Reflexiva
8 Ant, Pc, Ar, Ant. Unidireccional Fuente: Elaboración propia.
Del cuadro anterior se infiere que la clase es participativa, 6 configuraciones poseen
un modelo comunicativo reflexivo, y abarcan la mayor parte de la clase; 2 configuraciones
tienen el modelo unidireccional, es decir que el modelo comunicativo del docente según
estas configuraciones es reflexivo, lo que se corresponde con un modelo de clase no
tradicional- tecnológico.
Generalidades de la Comunicación clases tercera y cuarta.
La clase del profesor se asocia con el modelo orquestal de comunicación, ya que se
aplicaron los tres principios que enfoca este modelo: el principio de la totalidad, pues se tuvo
en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos, una clase con varias rotaciones de
estudiantes, otra con una sola rotación, buscando facilitar la confrontación de saberes, los
cuales fueron socializados en gran grupo en la etapa terminal de la clase. En segundo lugar
el principio de la causalidad circular, se presentaron acciones y retroacciones ya que los
grupos se implicaron unos a otros al realizarse la rotación y la socialización; Por último, el
principio de la regulación también estuvo presente, pues la comunicación no puede existir si
no hay normas, algunas de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y
durante la clase, otras que se asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor
(Marc y Picard, 1992).
Capítulo 6. Caso Fernando 271
En cuanto a las clases de comunicación, de acuerdo a la participación, la comunicación
fue recíproca, se presentaron cambios de roles. Interpersonal, huvo permanente interrelación
entre los estudiantes; colectiva y pública, se desarrolló en su mayor parte entre grupos
pequeños y al final el gran grupo. Lingüística, el medio básico fue el lenguaje, con códigos
paralingüísticos; extralingüística, se usó una simbología matemática. Informal en el trabajo
de grupos y formal en la socialización. Audio visual, ya que el proceso se hizo leyendo el
taller y libros, y escribiendo en los cuadernos, hojas y tablero. También fue directa. Vertical
al inicio y culminación de la clase, pero horizontal en el transcurso de la misma (Niño, 1998).
De acuerdo con Ponte (2007), para la clase se tomó la comunicación como medio para
promover aprendizajes. Ejemplos se mostraron en cada una de las clases. En cuanto al
contrato didáctico (Brousseau, 1988), se pudieron identificar diferentes normas las cuales
se evidenciaron en su respectivo análisis. Se destaca en estas clases que las normas tuvieron
que ver con las reglas generales de la misma, pero especialmente en la interacción entre los
estudiantes.
Los modos de comunicación propuestos por Brendefur y Frykholm (2000), son
presentados de acuerdo a las configuraciones didácticas (Godino, Planas y Font, 2010) con
las interacciones de clase, en las tablas 40 y 41. Como se puede deducir de la información
anterior, el tipo de comunicación de la clase del profesor Fernando es reflexiva, ya que el 31.25%
de las interacciones son unidireccionales y el resto son reflexivas (Brendefur y Frykholm,
2000). Es decir, esta clase es de tipo básicamente dialógico, con momentos magistrales.
Discusión Final
A continuación, se realizará un análisis por cada una de las categorías, teniendo en
cuenta los ya elaborados a las clases anteriores al trabajo colaborativo (primera fase) y los
de las clases después de que el docente participó en el grupo de trabajo colaborativo
(segunda fase), con el fin de identificar factores de su práctica profesional, que fueron
(re)significados por el profesor, en la clase de matemáticas.
Capítulo 6. Caso Fernando 272
Análisis Didáctico.
La elaboración del análisis didáctico con los criterios del Enfoque Ontosemiótico
refleja la situación de la clase a profundidad, permitiéndo realizar una descripción detallada
de la clase, por lo cual el trabajo se concentrará en los criterios de idoneidad didáctica, dado
que permiten determinar la calidad y las mejoras en los procesos de enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas (Breda, Font y Lima, 2015).
Se presenta en una tabla los resultados del análisis didáctico de Fernando, antes y
después del trabajo colaborativo.
Tabla 42. Resultados del análisis de los criterios de idoneidad didáctica en las dos fases.
Fuente: Elaboración propia.
La representación hexagonal sería:
Figura 20. Tendencia de las idoneidades de las dos fases. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010;
Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009.
Idoneidad didáctica Antes
del Trabajo Colaborativo
%
Posterior
al Trabajo Colaborativo
%
Idoneidad epistémica 59.7 70
Idoneidad cognitiva 66.6 75
Idoneidad afectiva 66.6 83.3
Idoneidad interaccional 15.7 75
Idoneidad mediacional 49.95 72.2
Idoneidad ecológica 60 95
Capítulo 6. Caso Fernando 273
En la primera fase se observa que las idoneidades más bajas del docente Fernando en
su orden son la interaccional y la mediacional, pero la crítica a desarrollar para este docente
es la idoneidad interaccional.
En la segunda fase (Posterior al trabajo colaborativo) la idoneidad más baja es la
epistémica seguida por la mediacional. Se resalta que hay re(significación) en todas las
idoneidades, especialmente hay que destacar que la idoneidad interaccional dejó de ser el
punto crítico.
A continuación, se mira puntualmente por idoneidad:
Figura 21. Análisis de idoneidad.
Componentes: Descripción Idoneidad epistémica
Situaciones-
Problemas
ATC: no se propusieron en la clase situaciones que permitieran generar problemas,
en este caso el docente planteó todos los problemas a trabajar por parte del
estudiante. Igualmente, no se propusieron situaciones donde los alumnos tuvieran
que generar o negociar procedimientos, definiciones o proposiciones. Tampoco se
presentaron diferentes significados de los objetos matemáticos.
DTC: Sucedió la misma situación en cuanto a generación de problemas por parte de
los estudiantes, y abordaje de diferentes significados de los objetos matemáticos.
M: En este criterio no se mejoró en cuanto al planteamiento de problemas por parte
de los estudiantes, al igual que sobre determinar diferentes significados de los
objetos. Sin embargo, si se propusieron situaciones donde los estudiantes tuvieron
que generar o negociar procedimientos, definiciones o proposiciones.
Lenguajes
ATC: fue adecuado el uso de diferentes modos de expresión matemática, tanto
verbal, como gráfica y simbólica. El lenguaje es adecuado al nivel universitario que
se está trabajando, así mismo, en la clase se propusieron actividades de
interpretación y de expresión matemática.
DTC: igualmente este aspecto fue similar. M: son aspectos positivos del docente que debe mantener.
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
ATC: no se observaron fallas en el planteamiento de las definiciones y
procedimientos, y están adaptados para el nivel universitario. Sin embargo, no se
proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o negociar definiciones
proposiciones o procedimientos.
DTC: Se hace un buen planteamiento de las definiciones y procedimientos,
adaptados al nivel universitario. Acá si se propusieron situaciones de generación
y negociación de conceptos.
M: Se mejoró el criterio de generación y negociación de conceptos.
Argumentos
ATC: las explicaciones fueron adecuadas al nivel universitario, pero no se
promovieron situaciones donde el alumno pudiera argumentar.
DTC: el docente tiene como fortaleza el adaptar las explicaciones para el nivel
universitario, además propuso situaciones donde el alumno tuvo que argumentar.
M: Se mejoró en que el profesor propuso situaciones donde el alumno tenía que
argumentar, mediante el trabajo en grupo y la socialización.
Capítulo 6. Caso Fernando 274
Relaciones
ATC: se relacionaron y conectaron los objetos matemáticos (problemas, definiciones,
proposiciones, etc.), pero no se abordaron los distintos significados de éstos.
DTC: igual.
M: no se mejóro el abordar los distintos significados de los objetos matemáticos.
Idoneidad Cognitiva
Conocimientos previos
ATC: los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del
tema y el profesor considera que los contenidos pretendidos se pueden alcanzar.
DTC: igual
M: es una fortaleza del docente.
Adaptaciones
curriculares a
las diferencias
individuales
ATC: Se incluyeron actividades de ampliación, y se promovió el logro de todos los
estudiantes.
DTC: igual.
M: es una fortaleza del docente.
Aprendizaje:
ATC: No se mostró o identificó alguna forma que propusiera el docente como
evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre otros aspectos la
comprensión conceptual y proposicional. Como no hay evaluación no pudimos
fijarnos si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de comprensión y
competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta evaluación
se usan para tomar decisiones.
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y
argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional; competencia
metacognitiva
DTC: igual
M: No se mejoró en este aspecto, queda como criterio por mejorar.
Idoneidad afectiva
Intereses y necesidades
ATC: se propusieron tareas que tenían interés para los alumnos y algunos problemas
que mostraban lan utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana.
DTC: aunque las tareas fueron interesantes para los estudiantes, no se propusieron
problemas contextualizados.
M: se desmejoró ya que en la segunda fase no se propusieron problemas de
contexto, queda como aspecto por mejorar, ya que no es una práctica usual del
profesor.
Actitudes
ATC: se favoreció la argumentación en situaciones de igualdad, más no la
participación real del estudiante, con los valores de responsabilidad y perseverancia.
DTC: se respetó el proceso de argumentación independiente de la persona,
adicionalmente se dio buena participación al estudiante para generar valores de
responsabilidad y perseverancia.
M: se mejoró en el sentido de dar mayor participación al estudiante, y dar
oportunidad de desarrollo de valores como la responsabilidad y la perseverancia.
Emociones
ATC: se motivó al estudiante promoviendo el agrado por las matemáticas y
fomentando su autoestima, pero no se resaltaron las cualidades estéticas y precisión
de las matemáticas.
DTC: igual
M: no se mejoró el hecho de resaltar las cualidades y precisión de la matemática,
queda como aspecto por superar.
Idoneidad Interaccional
Interacción docente-
discente
ATC: el profesor realizó una buena presentación del tema, sin embargo, no se
hicieron preguntas adecuadas sino esperando una respuesta corta del estudiante,
tampoco se buscó el llegar a consensos, tampoco se usaron otros recursos retóricos
para motivar a los estudiantes.
Capítulo 6. Caso Fernando 275
DTC: se hizo una buena presentación del tema, la participación del estudiante fue
adecuada, pero no se motivó a los estudiantes con otros recursos retóricos.
M: Se mejoró en cuanto a la participación del estudiante, pero siguen faltando
recursos retóricos y argumentativos que mejoren la motivación del estudiante, queda
como aspecto por mejorar.
Interacción entre
alumnos
ATC: aunque se evitó la exclusión, no se buscó una participación significativa de
los estudiantes, que favoreciera el diálogo y la comunicación entre ellos.
DTC: se evitó la exclusión y se dio participación a los estudiantes, favoreciendo
el diálogo y la comunicación entre ellos. M: se mejoró el criterio de dar participación a los estudiantes favoreciendo el
diálogo y participación entre ellos.
Autonomía
ATC: dado que el profesor siempre explica todo en la clase, no da oportunidad de
que el estudiante asuma la responsabilidad del estudio.
DTC: el profesor hizo la clase participativa, dio oportunidad a que los estudiantes
asumieran la responsabilidad de la clase, realizando actividades como: plantear
cuestiones y presentar soluciones; explorar ejemplos y contraejemplos para
investigar y conjeturar; usaran una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos, etc.
M: mejoró el aspecto comunicativo en general y en particular los procesos
matemáticos que de ello se derivan.
Evaluación formativa
ATC: no se realizó una observación sistemática del progreso cognitivo de los
alumnos.
DTC: igual
M: No mejoró el aspecto de la observación sistemática del progreso del alumno.
Queda como aspecto por mejorar para el docente.
Idoneidad Mediacional
Recursos materiales
(Manipulativos,
calculadoras,
ordenadores).
ATC: No se utilizaron materiales manipulativos e informáticos, al igual que las
definiciones y propiedades no fueron contextualizadas.
DTC: se utilizaron materiales manipulativos (talleres, calculadoras), lo que permitió
la contextualización de los objetos matemáticos.
M: Se mejoró en el criterio de utilizar materiales manipulativos que permitieran
contextualizar los objetos matemáticos.
Número de alumnos,
horario
y condiciones del aula
ATC: el horario, la distribución de los estudiantes (forma matricial), al igual que su
número, permitió llevar a cabo la enseñanza pretendida.
DTC: igual, excepto la distribución de los alumnos, pequeños grupos.
M: es una fortaleza del docente.
Tiempo
(De enseñanza
colectiva
/Tutorización; tiempo
de aprendizaje).
ATC: uno de los problemas del docente es el tiempo, escoge una temática
demasiado ambiciosa, por lo cual el tiempo no es suficiente para la enseñanza
pretendida, no dedicando tiempo especial alos contenidos más importantes o que
son de más dificultad para el estudiante.
DTC: igual
M: el aspecto de control de tiempo queda por mejorar.
Idoneidad Ecológica
Adaptación al currículo
ATC: los contenidos, su implementación y evaluación son coherentes con las
directrices curriculares.
DTC: igual
M: es fortaleza del profesor.
Apertura hacia la
innovación
Didáctica.
ATC: la clase no tiene que ver con la Innovación basada en la investigación y la
práctica reflexiva, al igual que no integra las Tecnologías de la Información y
Comunicación.
DTC: se planteó una metodología que es innovadora, donde se utiliza material
Capítulo 6. Caso Fernando 276
manipulativo.
M: mejoró el criterio de nuevas metodologías y tecnologías en la clase de
matemáticas.
Adaptación socio-
profesional y cultural
ATC: los contenidos abordados contribuyen con la formación socio-profesional de
los estudiantes.
DTC: igual
M: fortaleza del docente.
Educación en valores
ATC: Se promovió la formación en valores democráticos y el pensamiento crítico.
DTC: igual
M: fortaleza del docente.
Conexiones intra e
Interdisciplinares
ATC: los contenidos abordados se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares.
DTC: igual
M: fortaleza del docente.
Fuente: elaboración propia. ATC: Antes del trabajo colaborativo. DTC. Después del trabajo colaborativo. M: análisis de mejora.
Se consideran fortalezas de Fernando aquellos criterios que estaban inicialmente dentro
de su práctica pedagógica y los siguió manteniendo; un aspecto fue (re)significado si
inicilamente no lo tenía el docente, pero a través del trabajo colaborativo consiguió
desarrollarlo; se tiene un aspecto por mejorar, si inicialmente no estaba presente en las
prácticas del profesor y al finalizar el trabajo colaborativo, sigue sin estarlo. Lo anterior, se
detalla a continuación,
Tabla 43. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por idoneidad.
Idoneidad Fortaleza Re(Significación) Aspectos por Mejorar
Idoneidad Epistémica. Los lenguajes Reglas y argumentos Situaciones problema y
relaciones.
Idoneidad Cognitiva. Conocimientos previos y
adaptaciones
curriculares
Aprendizaje, lo que
tiene que ver con la
evaluación explícita de
la clase.
Idoneidad Afectiva. Actitudes Intereses y necesidades,
y emociones
Idoneidad Interaccional. Interacción docente-
discente, interacción
entre alumnos y
autonomía
Evaluación formativa
Idoneidad Mediacional Número de alumnos,
horario y condiciones de
aula
Recursos materiales Tiempo, especialmente
en la distribución de
tareas.
Idoneidad Ecológica. Adaptación al currículo,
adaptación socio-
profesional y cultural, y
conexiones intra e
interdisciplinares
Apertura hacia la
innovación didáctica
Fuente: Elaboración propia.
Capítulo 6. Caso Fernando 277
Se presentan a continuación algunos aspectos referentes a la idoneidad epistémica o la
calidad de las matemáticas enseñadas. El profesor en las clases iniciales prácticamente no
propone problemas (uno en las dos clases), lo anterior coincide con lo que piensa, pues plantea
“en los ejercicios que involucro para trabajar, busco que se incluyan con enfoque de
algoritmos y en ocasiones la resolución de problemas” (Ent2F, 27 marzo 2015), explicando
de ésta manera la poca importancia que le da al planteamiento de problemas en el aula, lo
cual está acorde con su metodología “se trabaja la explicación de la temática en el tablero y
los estudiantes solucionan los ejercicios siguiendo un proceso similar al explicado” (Ent3F, 1
julio 2016); sin embargo, en la segunda fase, en las dos clases planteó situaciones
problémicas aunque sin utilizar el contexto (Alsina y Domingo, 2010), lo cual coincide con
su metodología después de reflexionar acerca de sus prácticas dentro del grupo de trabajo
colaborativo “el modelo de clase que propongo, está enfocado a la participación activa del
estudiante en la solución de situaciones problema donde ponga en juego sus conocimientos
previos y logre así construir los nuevos conceptos” (Ent4F, 18 noviembre 2016), pero aún
no se preocupa por generar actividades en donde promueva que el estudiante plantee sus
problemas.
El criterio sobre generación y negociación de conceptos fue (re)significado por el
profesor. En la primera fase esta generación y negociación no existía, pues el docente
pensaba que en la clase debía darse una “relación explicativa que hace el docente al
estudiante, teniendo como parámetro que éste puede preguntar en cualquier momento para
aclarar sus dudas” (Ent2F, 27 marzo 2015), lo cual no dejaba lugar a una búsqueda de
consenso. En la segunda fase, Fernando asumió un cambio, “especialmente en la concepción
de que el estudiante aprende sólo si le explico, lo cual conlleva a modificar las actividades y
asumir que el estudiante puede aprender sin necesidad de que yo esté dentro de ese proceso”
(Ent3F, 1 Julio 2016) lo cuál permitió que en sus clases se fomentara el trabajo en grupo, la
discusión y generación de conceptos.
En la idoneidad cognitiva, un aspecto por mejorar es la realización explícita de la
evaluación y el dejar inferir cuál es su objetivo; este factor no ha sido aún interiorizado por
el docente, al respecto manifiesta “hay aspectos que necesito interiorizar y esto es un proceso
Capítulo 6. Caso Fernando 278
que requiere de tiempo” (Ent3F, 1 julio 2016). El graduar los contenidos de acuerdo con los
conocimientos previos de los estudiantes, teniendo como objetivo una mejor comprensión
de los nuevos conceptos (Vygotsky, 1988), es una fortaleza del docente.
En la idoneidad afectiva, un aspecto por mejorar es el proponer tareas matemáticas que
tengan que ver con el contexto; aunque es un criterio interiorizado por el docente;
inicialmente decía que uno de los problemas de la enseñanza de la matemática “ es brindar
demasiada información al estudiante, esperando que comprenda las diferentes temáticas y
desarrolle un proceso algorítmico, sin analizar a fondo su utilidad en un contexto
determinado” (Ent2F, 27 marzo 2015), lo cual permite afirmar que existe una conciencia
por parte del docente hacia la importancia del contexto en la problemática de la clase. En la
segunda fase, en cuanto a los conocimientos matemáticos, el docente plantea que “ya no los
veo como entes totalmente abstractos, sino como que puede buscarse su representación en la
realidad y así aplicar la matemática en su contexto” (Ent3F, 1 julio 2016), lo cual lleva
nuevamente a pensar que Fernando cree en la importancia del contexto en la clase de
matemáticas, sin embargo, no lo ha puesto en práctica. Un aspecto que logró (re)significar
el docente fue referente a las actitudes, inicialmente por la estructura tradicional- tecnológica
de la clase (Porlán, 1995), la participación del estudiante se limitó básicamente a respuestas
cortas a preguntas del profesor lo cual no daba margen a mayores desarrollos participativos;
al cambiar el docente su estilo de clase, proponiendo actividades de trabajo de grupo, permitió
que los estudiantes realizaran interacciones entre ellos, con situaciones de igualdad y en
fomento de valores; respecto al rol del estudiante, el profesor manifestó
Mi rol cambió, antiguamente mi papel era reproducir algorítmicamente los procesos
explicados en el desarrollo de los ejercicios, actualmente, soy participe de la
construcción de los conocimientos que se trabajan en el aula, permitiéndole al estudiante
reflexionar sobre el proceso de aprendizaje que realiza en cada situación planteada,
llevándolo a un verdadero reto (Ent3F, 1 julio 2016).
En lo que respecta a la idoneidad interaccional, el aspecto que quedó por mejorar fue el
de la evaluación formativa, lo cual ya se fundamentó en la idoneidad cognitiva. Un criterio
Capítulo 6. Caso Fernando 279
que se (re)significó fue la relación docente-estudiante, en la primera fase el docente menciona
que “es un proceso de escucha, donde se debe estar pendiente de las orientaciones que se
brindan para no perder la idea de la explicación” (Ent2F, 27 marzo 2015) lo cual es
coherente con el actuar del docente; en la segunda fase hace comentarios como el siguiente
“he aprendido a mirar que la clase se puede trabajar más participativa, donde el estudiante
realmente sea el eje de ella, y comprender que existen otras formas de enfocar la práctica
pedagógica que dan mejores resultados en el proceso de aprendizaje del estudiante” (Ent3F,
01 Julio 2016), lo anterior indica un cambio de paradigma en cuanto a la relación docente-
estudiante, lo cual se evidenció en la práctica.
Otro factor que se (re)significó fue la relación estudiante-estudiante, inicialmente el
docente prácticamente no daba mucha posibilidad de una interacción entre los estudiantes,
consideraba que “entre los estudiantes debe presentarse una discusión interna que permita
aclarar las dudas entre ellos” (Ent2F, 15 Julio 2014), no llegar a consensos sino sólo aclarar
dudas, pero no brindaba el espacio para ello; posteriormente, Fernando manifiesta que “hoy
día lo que se busca es llevar al estudiante a reflexionar sobre un concepto, el cual es
contrastado con lo que piensan los compañeros y el profesor, orientados por una base teórica
de cualquier texto o ayuda de internet” (Ent3F, 1 Julio 2016), lo que lleva a una manera
diferente de actuar del docente como se logró evidenciar en las últimas clases. Finalmente y
como corolario de lo anterior, el criterio de autonomía del estudiante también se (re)significó,
que como se evidenció en las clases iniciales fue casi nulo, pero en las posteriores ya se
presentó este factor, “actualmente, si hay interacción entre ellos, al igual que con el docente
aunque en menor escala, corroboración en los textos de trabajo e internet, permitiendo así la
reflexión sobre la temática y conllevando a un mejor proceso de aprendizaje” (Ent3F, 01 Julio
2016), de lo cual se infiere que a menor participación del profesor se presenta una mayor
participación del estudiante y por ende mayor autonomía del mismo (Alrø y Skovsmose,
2002).
En lo que respecta a la idoneidad mediacional, el manejo del tiempo, principalmente
en lo que se refiere a la distribución de tareas, es un aspecto por mejorar de Fernando, el
cual lo reconoce, inicialmente el docente afirmó “la organización del tiempo en la clase
Capítulo 6. Caso Fernando 280
para la distribución de la temática, es uno de los aspectos que debo mejorar” (Ent2F, 27
marzo 2015), lo que implica que existe conciencia sobre la necesidad de (re)significar este
aspecto, sin embargo una vez culminado el trabajo colaborativo, manifiesta que “debo
evolucionar más en el control del tiempo de la clase, para dar campo a desarrollar diversas
estrategias conducentes al aprendizaje de los conceptos por parte de los estudiantes” (Ent3F,
1 Julio 2016), reconoce que este concepto no evolucionó lo esperado, por lo cual se
considera como no (re)significado. Así mismo dice, que “el estudiante puede aprender por
si sólo, con ayuda del profesor y de otros recursos” (Ent3F, 1Julio 2016), da importancia al
uso de recursos, en las primeras clases no utilizó material fuera del texto y el tablero,
posteriormente si utilizó fichas con talleres, los cuales entregó a cada grupo, teniendo en
cuenta la importancia del uso de medios educativos (Barrody, 1993).
En la idoneidad ecológica, un aspecto que logró el docente (re)significar, fue la
apertura hacia la innovación didáctica, ya que incluyó material manipulativo dentro de la
clase, y una metodología no tradicional-tecnológica (Porlán, 1995), “el modelo de clase que
propongo, está enfocado a la participación activa del estudiante en la solución de situaciones
problema donde ponga en juego sus conocimientos previos y logre así construir los nuevos
conceptos” (Ent4F, 18 Julio 2016), lo que propende por una innovación metodológica,
basada en la práctica reflexiva.
Análisis de Interacción.
Se resalta que las interacciones que aparecen son propias del docente Fernando y
fueron emergiendo del análisis de sus clases, realizado en páginas anteriores.
La clase que inicialmente mostró Fernando fue de estructura jerárquica (Menezes,
1995), acorde con una tradicional-tecnológica (Porlán, 1995) y producto de ello emergieron
unas interacciones propias de este tipo de aulas (ver tabla 23). El análisis a clases realizadas
después de la participación del docente en el grupo de trabajo colaborativo mostró una
tipología no tradicional-tecnológica e interacciones emergentes nuevas, y sobre todo que
cambia en frecuencia el tipo de interacción (ver tabla 38). A continuación, se presentan las
interacciones de Fernando en sus dos fases.
Capítulo 6. Caso Fernando 281
Tabla 44. Interacciones típicas de la clase.
AB Descripción Fase 1 Fase 2
A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 60 30
Ag Agradecimiento del docente a un estudiante. 1 1
Ant Aclaración no temática por parte del profesor 8 40
Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 8 23
An Negación de la respuesta dada por el estudiante. 0 1
Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su pregunta. 16 7
c Conclusión del estudiante. 0 3
D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o ejercicios. 14 0
de Discusión entre los estudiantes. 4 4
Des Desacuerdo del profesor ante respuesta dada por el estudiante. 0 5
E Explicación amplia del profesor 28 2
e Explicación amplia del estudiante 0 12
ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el docente 23 5
ia Intervención argumentada que hace el estudiante 4 0
int Intervención no temática del estudiante 1 7
O El profesor ordena la ejecución de una acción 9 21
Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 4 0
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 111 31
pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al profesor 21 30
Pcd Pregunta corta del profesor y directa 4 0
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 17 7
Pnt Pregunta no temática del profesor 0 3
R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 14 3
Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 9 11
Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 2 6
rgc Respuesta en coro de varios estudiantes, respuesta general corta. 7 3
ria Respuesta individual argumentada del estudiante 10 24
ric Respuesta del estudiante, individual y corta 102 87
Rm Respuesta de varios estudiantes uno después del otro. 0 5
Sc Silencio corto de menos de un minuto 3 11
Sp Silencio prolongado (más de un minuto) 7 1
ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del estudiante. 0 41
S T 487 424
Después del Trabajo Colaborativo
a Aclaración temática corta del estudiante. 0 49
ant Aclaración no temática del estudiante 0 70
ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 0 13
co Consenso de grupo de estudiantes acerca de una tarea matemática o no 0 6
cop Complemento a la opinión de un compañero. 0 44
des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los compañeros. 0 45
ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 0 5
ex Expresión sin sentido completo. 0 49
l Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 0 62
o Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 0 266
Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 0 37
pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 0 109
pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 0 5
pnt Pregunta no temática del estudiante. 0 9
q Queja del estudiante respecto del docente 0 4
r Repetición de lo que dice el compañero. 0 23
Capítulo 6. Caso Fernando 282
rdes Reafirmación a un desacuerdo. 0 3
Rp Repetición del profesor de lo que él mismo dice. 0 1
rp Repetición del estudiante de lo que dice el profesor. 0 1
Sd Saludo del docente 0 1
so Solicitud de un estudiante a un compañero 0 25
S TO Subtotal 0 827
TOT Total 487 1251 Fuente: elaboración propia.
De los análisis realizados a las clases se puede inferir lo siguiente.
Las clases del docente se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas inicialmente,
las posteriores de 7, lo cual muestra su tendencia a realizar un desarrollo temático demasiado
amplio, se considera que son demasiadas tareas para una sesión de clase, lo cual se evidenció
en el análisis didáctico de las clases.
En la primera fase la totalidad de las configuraciones fueron catalogadas de tipo
magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), lo cual implica una clase tradicional-tecnológica.
En la segunda fase, el 31% de las configuraciones fueron consideradas de tipo magistral, las
restantes dialógicas (Godino, Contreras y Font, 2006), de donde se infiere un tipo de clase
participativo, se privilegia el diálogo y el consenso, lo cual implica una clase de tipo no
tradicional-tecnológica (Porlán, 1995).
Igualmente se pueden mirar los patrones de interacción desde diversos autores. Se tuvo
el patrón de interacción cíclico (Lampert y Cobb, 1996), evidencia se presenta en el fragmento
de transcripción de la primera clase (Tr1F).
[26] P Eee. ¿Qué fue lo que
dijiste primero, una
función…?
Hace la señal con la
mano al estudiante de
que continúe
[27] A3 compuesta
[28] P Y será que a una función
compuesta yo puedo
aplicarle las mismas reglas
de derivación que he
venido trabajando
Con las manos señala el
tablero
[29] A
(indefin
ido)
No Contestan en coro
Capítulo 6. Caso Fernando 283
[30] A5 Pues... se aplican, tienen
que aplicarse
Lo dice en un tono fuerte
con seguridad
[31] P Pues se aplican aquí ya me
dijo… A5.
Habría que aplicar la regla
de la…
Señala con el dedo
índice hacia el estudiante
En las líneas [26] a [28] se observa un ejemplo del diálogo triádico (Lemke, 1985), es
decir que el profesor posee el control del discurso (Pimm, 1987) y orienta a los estudiantes
hacia las respuestas correctas, es un aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), igualmente
en [26] a [31] se puede mirar un enfoque de introducción, trabajo y conclusión-revisión
(Mehan, 1982). Así mismo, en el siguiente trozo de transcripción de Fernando (Tr1F), se
puede identificar el patrón de extracción (Voigt, 1985).
[94] P Bueno ahora si yo escribo
la siguiente función.
Quiero que a esta función
le hallen ¿cuál es la
función interna? ¿Cuál es
la función externa? Y que
la derivemos.
¿Cuál es la función
interna? A7 y ¿cuál es la
función externa?
f(x)=√4𝑥3 − 5𝑥 + 2
El profesor deja un lapso
de tiempo para que los
alumnos trabajen el
ejercicio.
[95] A Los alumnos aportan
diferentes ideas.
[96] P Y entonces… si quiero
derivarla, ¿cuál sería la
forma de derivarla? La
expresamos primero
¿Cómo?
[97] A3 A la un medio, como a la
un medio. Cuatro x al
cubo menos cinco x más
dos todo elevado a la un
medio.
f(x)=(4𝑥3 − 5𝑥 + 2)1
2
El profesor va
escribiendo en el tablero.
[98] P Repite a la un medio y ya
teniéndola elevada a la un
medio, ahora ¿qué proceso
sigo? Aplico la regla de
la…entonces cómo me
queda…¿me dicen por
favor?
f(x)=
[99] A2 Un medio factor de cuatro
x al cubo menos cinco x
más dos elevado a la
menos un medio
f(x)= 1
2(4𝑥3 − 5𝑥 + 2)
−1
2
[100] P Por
[101] A2 Doce x al cuadrado menos
cinco f(x)=
1
2(4𝑥3 − 5𝑥 +
2)−1
2 (12𝑥2 − 5)
Capítulo 6. Caso Fernando 284
[102] P Y…me quedaría así
porque no se puede
reducir, vamos a dejarla
así.
[103] A4 En el parcial también Todos ríen.
[104] A5 Me parece que se puede
trabajar con el exponente.
El profesor borra el
sector derecho del
tablero
[105] P Pues bueno ¿qué función
tendría ahí?
En esta transcripción también se puede determinar el patrón tradicional (Wood, 1994,
1998), en esta clase lo que interesa es la transmisión de la información es decir se sigue un
patrón univocal (Peressini y Knuth, 1998); también es considerada con un patrón
unidireccional (Brendefur y Frykholm, 2000), esta característica, aunque es genérica, se
puede observar en todo el fragmento [94] a [105]. En las siguientes líneas de trascripción,
correspondientes a la segunda clase de Fernando (Tr2F), se puede identificar el patrón del
embudo (Wood, 1994, 1998).
[4] P Dice: “que si x y y son funciones
derivables de t, las cuales están
relacionadas por la función y=x2+3 hallar 𝑑𝑦
𝑑𝑡 cuando xes igual a 1.
Dado que 𝑑𝑥
𝑑𝑡 =2 cuando x es igual a 1
… por la función y=x2+3
hallar 𝑑𝑦
𝑑𝑡 cuando x=1.
Dado que 𝑑𝑥
𝑑𝑡 =2 cuando
x=1
El profesor continúa
escribiendo el ejercicio en el
tablero
[5] P Entonces en este caso nos está hablando
que tenemos que ver que si x y y son
funciones derivables respecto en este caso
a la variable t, debemos relacionarlas con
la función y=x2+3 y hallar su derivada
respecto a t, cuando x vale 1.
Entonces tenemos nuestra ecuación que
es…
Conocemos regla de la cadena y
derivación implícita, entonces tenemos que
derivarla esa función implícitamente esa
función respecto a que variable…
Entonces en este caso tenemos la derivada
de y…
… y la derivada de t es…
y=x2+3
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
El profesor escribe la
función en el tablero.
[6] E2
Mas cuatro Donde un estudiante
responde…
Capítulo 6. Caso Fernando 285
[7] p Cero porque es una constante.
Que conocemos acá, nos piden que
hallemos 𝑑𝑦
𝑑𝑡 cuando x=1. Conocemos
𝑑𝑥
𝑑𝑡 y
conocemos x=1, entonces cual es la otra
etapa
Quiere decir que la función 𝑑𝑦
𝑑𝑡 es igual a 4.
Reemplazar los valores 𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2(1)(2)
=4
El profesor corrige diciendo.
[8] P Ahora, eso es cuando solamente nos dan
una función y que tenemos que derivarla
respecta a otra y hallar sus párrafos, que
era lo que tenía que ver con el ejercicio 8 y
9 de los que tenían que desarrollar, que rea
derivar respecto a otra variable.
En lo anterior se observa que prima en el aula una discusión común (Loska, 1998), es
decir que el docente es el que posee el uso de la palabra con pocas intervenciones de los
estudiantes. Así mismo, el profesor prioriza la transmisión de la información y hace una
exposición tipo conferencia (Schwarz, et al, 2004), lo que concuerda con los patrones
afirmativo (Sierpinska, 1996) y transmisionista (Villalta y Martinic, 2009); esto se evidencia
en [4] a [8], (Tr2F).
Se identificaron como los patrones de interacción comunicativa típicos del docente en
su primera fase, los siguientes: la pregunta corta por parte del docente, al igual que la
respuesta individual corta por parte del estudiante, las aclaraciones y explicaciones cortas
del docente, la explicación amplia del docente y la autorespuesta por parte del mismo. Lo
anterior nuevamente lleva a pensar que la clase es de tipo tradicional-tecnológica.
Una forma de mostrar el flujo de participación en el aula es presentada a
continuación, cambiando el patrón de interacción por el autor del mismo, ya sea el docente
o el estudiante. Para ello, plantearemos las interacciones de la primera clase del docente
Fernando.
Capítulo 6. Caso Fernando 286
Tabla 45. Flujo de participación de la primera clase..
Configu
Ración
Interacciones Flujo De Participación Total
1 Pcd, O, Pc, O, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, A, Pcd, ric, A,
Pc, ric, Pc, ric, R, Pcd, ric, Pc, ric, R, Pc, ric
P, P, P, P, P, P, e, P, P, P, P, P, e, P, P, e,
P, e, P, P,e, P, e, P, P, e.
P = 19
e = 7
2 Pm, ric, Pc, ric, pa, ric, ric, R, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc,
ric, A, Pc, Ar, Pc, ric, Pm, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, ic,
Pc, ria, Ap, Ant, Pc, Ar, A, Pc, ric, Pc, rgc, A, ic, A,
Pm, ria, A, Pc, ric, Ap, A, Pc, pc, Rc, pc, rgc, Pc, ric,
Pc, ric, A.
P, e, P, e, e, e, e, P, P, e, P, P, e, P, e, P, P,
P, P, e, P, e, P, e, P, P, P, e, P, e, P, P, P, P,
P, P, e, P,e,P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, P, e,
P, e, e, P, e, P, e, P.
P = 36
e = 23
3 A, Pc, ric, Pc, ria, Pc, Sp, Pm, rgc, Pm, rgc, A, Pc,
rgc, A, ic, Ap, Pc, Ar, ic, Ap, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric,
R, ic, Pm, pc, Ra, ic, A, Pc, Ar, ic, A.
P, P, e, P, e, P, P, P, e, P, e, P, P, e, P, e, P,
P, P, e, P, P, P, P, e, P, e, P, e, P,e, P, e, P,
P, P, e, P.
P = 25
e = 13
4 Pm, ria, Pm, ria, Pc, ric, A, ic, ic, Pc, ric, A, Pc, ric,
A, pc, Rc.
P, e, P, e, P,e, P, e, e, P, e, P, P, e, P, e, P. P = 9
e =8
5 Pc, Sp, Pc, ric, Pm, ric, A, ric, Pc, ric, E, Pc, ric, A,
Pc, ric, Pc, ria, A, ic, ria, Pc, Ar, E.
P, P, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P,
e, P, e, e, P, P, P.
P = 15
e = 9
6 O, pc, O, ric, Ap, ic, Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc,
ric, R, ric, Ap, Pc, ric, ric, A, Pc, Sp, E, Pc, ric, Pc,
ria, Pc, ric, Pm, ric, A, Pc, ric, E, ic, Pc, ia, Pc, ric,
Ag, A, Pm, pc, A, De, ic, E, ic, A, pc, Pc, Ar, E, ic,
A, ia, E, Pc, ric, E, Pc, ric, E, pc,
P, e, P, e, P, e, P, e, P, P; e, P, P, e, P, e, P,
e, P, P, e, e, P, P, P, P, P, e, P, e, P, e, P, e,
P, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, P, e, P, P, e, P,
e, P, e, P, P, P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e.
P = 41
e = 27
7 D, pc, D, pc, D, Pm, ria, A, Pc, ric, A, Pc, ric, Pc, ric,
Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, ric, ric, A, Pc, rgc, ric,
Pc, rgc, A, ic, E, ia, E, Pm, ric, ric, Pm, ric, ric, Pm,
pc, A, Pc, ric. A, ic, R, Pc, ric, A, Pc, ric, A, ic, R, A,
Pc, ric, E, Pc, ric, A, Pc, ric, Pm, Ar, ic, E, Pc, pc, Rc,
Pc, ric, Pm, ric, ric, E, Pc, ric, R, De, A, Pc, ric, R,
Ant, ia, Ant, ic, Pc, ric, A, De, ic, A, De.
P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e, P, e,
P, P, P, e, P, P, e, e, P, P, e, e, P, e, P, e, P,
e, P, P, e, e, P, e, e, P, e, P, P, e, P, e, P, P,
e, P, P, e, P, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, e,
P, P, e, P, P, e, P, e, e, P, P, e, P, P, e, P, P,
e, P, e, P, e, P, P, e, P, P..
P = 57
e = 38
8 D, Ant. P, P. P = 2 Fuente: elaboración propia.
Se evidencia el protagonismo del docente en todas las configuraciones y en todo caso
las intervenciones de los estudiantes en una gran mayoría corresponden a respuestas cortas
del docente. Lo anterior implica por sus características de participación, que es una clase
magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), y por ende tradicional-tecnológica (Porlán, 1995).
En la segunda fase, las configuraciones fueron consideradas dialógicas (Godino,
Contreras y Font, 2006), es decir es una clase participativa, donde prima el diálogo y el
consenso, lo cual genera una clase no tradicional-tecnológica (Porlán 1995).
En esta aula se promueve la participación del estudiante y se considera que por
momentos los estudiantes asumen el control de la clase, básicamente cuando se desarrolla el
trabajo en grupo, es decir existe cierta autonomía por parte del estudiante (Wood, 1999); se
identifica también que la autoridad del docente por instantes se transfiere al relator del grupo
o por el alumno que dentro del grupo posea el mayor respeto por sus conocimientos en el área
(Alrø y Skovsmose, 2002). El rol del docente es el de orientador y generador de ambientes
Capítulo 6. Caso Fernando 287
de aprendizaje, totalmente opuesto al de la primera fase (Ponte, Oliveira, Cunha y Segurado,
1988). En el siguiente tramo de transcripción, correspondeinte a la tercera clase de Fernando
(Tr3F) donde se está discutiendo sobre el concepto de ley de composición interna, operación
binaria y axioma, se pueden observar evidencias de las apreciaciones anteriores.
[116] Profesor P entonces, exacto, ¿cómo lo llamarían?
Bueno otro ejemplo, me salgo de lugar para ver si…
[117] Relator Yo entiendo profe, pero no sé cómo llamarlo
[118] Profesor Voy a dejarlo que lo piensen
[119] Est1 Discusión de grupo
[120] Relator Es interno
[121] Est2 ¿Cómo?
[122] Relator Es un conjunto del subconjunto referencial entonces es un subconjunto.
[123] Est2 ¿No por qué?
[124] Est3 Es un conjunto subconjunto del referencial
[125] Profesor ¿Cuál es la otra?
[126] Relator ¿Una operación binaria es la operación… ¿Cómo? Una operación binaria es la
operación
[127] Relator Es la operación en un conjunto
[128] Est1 Entre dos conjuntos
[129] Relator Una operación entre dos conjuntos
[130] Relator La cual está definida en un conjunto referencial
[131] Profesor Ya casi están ubicados
[132] Relator La cual está definida en un conjunto referencial la cual tiene como resultado un
conjunto interno del subconjunto de este conjunto referencial del mismo conjunto.
[133] Est1 Operación interna
[134] Est3 ¿Del mismo conjunto?
[135] Relator Del mismo y obtiene como resultado un subconjunto del mismo, o sea del referencial
[136] Est2 Eso es una operación interna
[137] Relator Si es una operación interna
[138] Est3 Qué más hay por aquí
[139] Relator Cuerpo y campo
[140] Estudiant
es
Risas
[141] Est2 Bueno ahí vamos
[142] Estudiant
es
Risas
[143] Est1 Eso es una función
[144] Est2 Compleja eee un conjunto en una relación
[145] Relator Cuerpo y campo
Capítulo 6. Caso Fernando 288
[146] Est2 ¿Qué es un axioma?
[147] Est3 El axioma es algo como verdadero
[148] Relator ¿Qué es un axioma?
[149] Est2 Es una ley, una regla una regla ya demostrada siempre se va a cumplir ya está
demostrada.
[150] Est1 Entonces un axioma es una regla que podemos seguir
[151] Relator ¿Un axioma… Profe?
[152] Relator Qué es cuerpo y campo. No primero axioma.
[153] Relator Un axioma es algo que ya está comprobado
[154] Est2 Un teorema o algo así
[155] Relator Dejémoslo así y ahorita miramos el cuaderno
[156] Relator Qué es un axioma, un axioma es una ley, no no, es algo que ya está
[157] Est2 Es una norma que ya está
[158] Relator Es como más que todo una ley
[159] Est1 Puede ser, es como una regla
[160] Relator Una regla ya demostrada que siempre va a cumplir
[161] Est1 Puede sacar la demostración, pero no sabe que ya está demostrada
[162] Relator Es como verdadero, ya está demostrada. Es como una regla que ya está demostrada
Se resalta que el docente interviene especialmente con preguntas, buscando mayor
fluidez en el análisis que están realizando los estudiantes (Menezes, 1995), [116] y [125]; en
la estructura de las clases de la segunda fase de Fernando, los estudiantes trabajan inicilamente
en grupos, para luego socializar lo realizado con la respectiva complementación por parte del
docente, lo que concuerda con el patrón de discusión (Voigt, 1985) y el de focalización
(Wood, 1994, 1998). El objetivo de mejorar la interacción entre los estudiantes, fue priorizar
los conocimientos personales de los estudiantes, lo cual se asocia con un patrón dialógico
(Peressini y Knuth, 1998); de la misma manera también concuerdan con los patrones
contributivo y reflexivo (Brendefur y Frykholm, 2000), estas características se pueden
observar en el anterior fragmento de trasncripción.
El profesor aplicó la discusión natural (Loska, 1998) cuando planteó un taller y dejó
libertad a los estudiantes para discutir y llegar a multiples conclusiones de acuerdo a lo que
consideran pertinente; su intención fue que los estudiantes argumentaran y refutaran las ideas
de los demás, llegando a nuevas propuestas, lo cual está acorde con el diálogo crítico
(Schwarz, et al, 2004) y con el patrón interrogativo (Sierpinska, 1996), o sea que lo
Capítulo 6. Caso Fernando 289
pretendido en el aula fue promover aprendizajes mediante procesos de razonamiento entre
docente y estudiantes (Velasco, 2007). Evidencia de lo anterior lo encontramos en el
siguiente fragmento correspondiente a la cuarta clase de Fernando (Tr4F).
[639] Profesor Quiero que socialicemos el primer punto entonces le damos un giro hacia al lado del
tablero.
Entonces en esta socialización vamos a identificar sobre el primer punto, los que van en
el tercer y cuarto punto saben que es necesario del primer punto para poder
complementar el segundo y el tercero.
Entonces quiero hacerlo al azar, un voluntario o voluntaria
Entonces que vamos, me escuchan al primero que vamos a socializar 2 factores: primero
cuando ustedes leyeron van a pasar uno de los relatores en ese caso casi fueron todos
solo hubo una persona que tuvo movimiento, que dificultades encontró y como las sorteo
en el grupo y a qué solución llegaron con el grupo, entonces vamos a empezar con el
grupo de Est1 voluntario o voluntaria, bueno ahí son voluntarias
[640] estudiantes Est1
[641] Profesor Est1 la escogieron por democracia, ahí está el tablero, ahí están los marcadores.
Primero cuéntanos cuando leyeron la guía o la hojita con que se enfrentaron ustedes
cuales fueron las primeras dificultades que encontraron ahí y como la lograron sortear,
entonces escribe el enunciado que tienes ahí
[642] EST1 Se lo escribo o se lo leo
[643] Profesor Escríbelo lo que dice ahí
[644] EST1 En R3 determinar si el vector X es igual a (2, 1, 5) en G, v1, v2 y v3 donde v1 es (1, 2,
1), v2 es igual a (1, 0,2) y v3 es igual a (1, 1 ,0), para solucionar el ejercicio anterior
identifique los elementos básicos por ejemplo en qué conjunto se están trabajando en el
conjunto R3 anteriormente como se expresaría el vector en relación de los vectores v1,
v2 y v3
[645] Profesor Entonces escribamos en el tablero
[646] EST1 ¿Los vectores?
[647] Profesor Los vectores y los determinamos
[648] EST1 Los escribo
Generardor= V1=(1,2,1) V2=(1,0,2) V3=(1,1,0)
Generado = V(X)=(2,1,5)
(215
) = 𝑥 (121
) + 𝑦 (102
) + 𝑧 (110
) {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑧 = 1𝑥 + 2𝑦 = 5
x=1, y=2, z= -1
[649] Profesor Entonces nos dice que en el ejercicio de ellas que el vector v que ese vector v (2, 1, 5)
es generado por los vectores v1, v2 y v3, eso es lo que nos están diciendo es lo que
genero varias preguntas que, qué conjunto era cierto para los grupos que tenían ese
ejercicio estuvimos de acuerdo con la primera parte que ellas están haciendo. Listo,
ahora después de que nos decían en qué conjunto estábamos trabajando como
expresarían el vector v en relación con los otros 2 vectores, con los 3 vectores en este
caso
[650] EST1 ¿Como expresaría este, con este?
[651] Profesor Con este si señora
[652] EST1 Con los otros 3 vectores
[653] Profesor ¿Entonces que hicieron ahí?
Capítulo 6. Caso Fernando 290
¿Listo, Est7 esa estructura que ella hizo ahí en el tablero es coherente o no coherente
que nos quiere decir?
[654] EST7 Pues ahí está buscando ósea la, multiplicó los vectores de la del se me olvido, organizo
los valores de los escalares
[655] estudiantes Si
[656] EST7 Y pues para encontrar unas ecuaciones y para hacer un despeje de ecuaciones y al hacer
el despeje encuentra ya los valores de cada escalar
[657] estudiante La deducción como tal no viene así porque primero deberíamos saber, por ejemplo, al
sumarlos puede que los vectores de una vez generen el Vx como tal, o al multiplicar
Est7 puede que nos genere los vectores como tal entonces se puede deducir que mediante
unos escalares se multiplican a cada vector que nos dan para que pueda generar el vector
Vx.
[658] Profesor Est7 y sigue Est9
[659] EST7 Lo que entendí ahí es que están escogiendo las ecuaciones generadoras
[660] Profesor Las ecuaciones generadoras, los vectores generadores
[661] EST7 los vectores generadores y los igualo al que tenemos que hallar con la relación de esos
dos
[662] Profesor Bueno si
[663] EST9 Profe lo que nosotras hicimos fue colocar X, Y y Z como escalares para luego sacar las
ecuaciones y mirar en las ecuaciones los valores de X, Y y Z que nos cumplieran con
que esos 3 vectores fueran los generadores del vector generado
[664] Profesor ¿Bueno quien más otro grupo que tenía, aquí ustedes a que conclusión llegaron?
[665] estudiante Nosotros hicimos todo normal
A continuación, se presenta el flujo de participación en la tercera clase del profesor
(segunda fase), cambiando el patrón de interacción por el autor del mismo.
Tabla 46. Flujo de participación de la tercera clase.
Configu
Ración
Flujo De Participación Total
1 P, P, P, P, P, e, P. P = 6
e = 1
2
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, P, P, P, P, e, e,
e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, e, P, e, e, e, e, e, e, P, e, P, P, P,
P, e, P, e, P, e, e, P, e, P, P, e, P, e, P, e, P, P, e, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, e, P, P, e, P, e,
P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.
P = 47
.e = 206
3
P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, P, P,
e, P, e, P, e, P, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, P, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
P = 22
e = 80
4
P, e, e, e, e, e, e,P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, P,e, P, e, e, P,
P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, P, e, P, e, P, e, P, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, P, e, P.
P = 16
e = 104
Capítulo 6. Caso Fernando 291
5 P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, P, e, P, e, e, P, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.
P=5
e =60
6 P, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e. P = 2
e = 24
7 P, P, e, e, P, P, e, P, e, P, e, P, P, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, P, e, P, e, P. P = 16
e = 10
8 P, e, e, P, e, P, e, e, P, P, e, P, , e, P, , e, P, e, P, e. P = 9
e = 10
Fuente: elaboración propia. P: profesor e: estudiante.
De acuerdo con el flujo de participación presentado, se resalta el protagonismo del
estudiante y las pocas intervenciones del docente, el cual participa especialmente en la
primera configuración explicando el taller y en las últimas que corresponden a la
socialización, lo anterior implica que es una clase dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006).
En la segunda fase, los patrones de interacción comunicativa propios del docente
después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, son los siguientes: opinión del
estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta corta del estudiante a sus
compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric), aclaración no temática
del estudiante (ant), lectura de un texto, taller o guía por el estudiante (l). Se resalta que todas
las interacciones corresponden a acciones del estudiante, lo cual implica que el eje de la clase
es el estudiante y ésta es no tradicional-tecnológica (Porlán, 1995). Se observa que hay un
cambio de patrones de interacción comunicativa, el profesor pasa de tener unos patrones
centrados en el profesor a unos centrados en el estudiante.
En la primera fase, el promedio de participación de los estudiantes fue de 13.49%,
resalta el protagonismo del docente en el desarrollo de las clases, es decir se trata de un aula
absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional –
tecnológica (Porlán, 1995). El promedio de participación de los estudiantes en la segunda
fase fue de 81.4%, es decir se trata de una clase donde el estudiante en algunos momentos
asume el control del aula (Wood, 1999), lo cual es propio de una metodología no tradicional
- tecnológica.
Lo anterior se evidencia claramente en las tablas de flujo de participación de las
clases analizadas. En general, el docente cambia de una clase donde el que más participa es
el docente, a proponer una donde se prioriza la participación del estudiante.
Capítulo 6. Caso Fernando 292
Análisis de la Comunicación.
Se realiza un análisis comparativo de las dos fases en cada subcategoría.
En lo referente a modelos explicativos de comunicación, en la primera fase, el modelo
predominante en la clase del profesor Fernando es el modelo lineal o matemático (Shanon,
1949; cit. Dins Winkin, 1994), pues la clase se basa en la transmisión de contenidos, es
unidireccional, el profesor es quien propone las tareas y las desarrolla. Aunque en menor
escala, se asume el modelo sistémico en lo referente a la retroalimentación (Bertalanffy,
1950), ya que desarrolla ejercicios o problemas con el mismo patrón buscando que los
estudiantes mecanicen la temática a trabajar. Igualmente se tiene en cuenta el modelo
orquestal en lo referente a la regulación (Marc y Picard, 1992), se mostró que en estas clases
se manejan algunas normas que permiten el buen desarrollo de las mismas en cuanto a
ejecución.
La clase del profesor en la segunda fase se asocia con el modelo orquestal de
comunicación, se aplican los tres principios que enfoca este modelo: el principio de la
totalidad, pues se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en pequeños grupos, con rotación de
estudiantes, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron socializados en
gran grupo en la etapa terminal de la clase. En segundo lugar el principio de la causalidad
circular, se presentaron acciones y retroacciones ya que los grupos se implicaron unos a
otros al realizarse la rotación y la socialización; Por último, el principio de la regulación
también estuvo presente, pues la comunicación no puede existir si no hay normas, algunas
de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y durante la clase, otras
que se asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor (Marc y Picard, 1992).
Como se puede observar, el profesor pasa de un modelo explicativo de la
comunicación básicamente lineal, con pocas componentes de los modelos sistémico y
orquestal, a un modelo explicativo orquestal, es decir hay una mejora sustancial en la
comunicación de su clase.
Capítulo 6. Caso Fernando 293
Teniendo en cuenta distintos criterios para la clasificación de la comunicación, en la
primera fase se tiene: de acuerdo a la participación, la comunicación es unilateral, se
desarrolla en una dirección; es colectiva y abierta, el docente se dirige a un público que son
los estudiantes; es lingüística, el medio natural de comunicación es el lenguaje, con apoyo
de códigos paralingüísticos; también es extralingüística, se emplean códigos distintos a la
lengua natural, como la simbología matemática; es formal ya que se sujeta a un patrón de
clase definido, el tradicional-tecnológico. En cuanto al canal, la comunicación es audio
visual y directa; vertical, ya que se presenta de docente a estudiante, con poca participación
del estudiante (Niño, 1998).
La segunda fase, coincide con la primera en que es colectiva y pública, es lingüística,
con códigos paralingüísticos; también es extralingüística. Es informal en el trabajo de grupos
y formal en la socialización. Es audiovisual y directa. Sin embargo, difiere en cuanto a: la
participación, la comunicación es recíproca, se presentan cambios de roles; interpersonal
pues hay permanente interrelación entre los estudiantes; básicamente horizontal ya que
priman las interacciones entre estudiantes (Niño, 1998). Se identifican cambios sustanciales
especialmente en lo referente a la participación, se pasó de unilateral a recíproca, y de vertical
a horizontal.
Para la clase se consideró la comunicación como medio de control y como medio para
percibir el avance o las dificultades de los estudiantes (Ponte et al, 2007). El profesor utiliza
la comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje
de los conceptos matemáticos de los mismos; éste último aspecto también se tuvo en cuenta
en la segunda fase. El tomar la comunicación como medio de control está implicando un
contexto de clase tradicional-tecnológico.
En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la primera fase, en una sección
de clase se identificaron algunas normas de la clase, como las siguientes: la persona que esté
escribiendo en el tablero debe hablar; el estudiante debe responder a las preguntas del
profesor; el profesor propone los problemas a desarrollar; el profesor es el que desarrolla los
problemas con pequeños apoyos de los estudiantes; siempre que se termine el desarrollo de
Capítulo 6. Caso Fernando 294
un problema, el profesor debe hacer un recuento; el profesor debe contestar las preguntas
cortas de los estudiantes. Igualmente en una sección de clase de la segunda fase se tienen
normas como: la persona que tiene la última palabra es el docente, es decir la autoridad
aunque no la esté ejerciendo directamente la tiene el docente; el profesor no debe responder
directamente las preguntas del estudiante sino sobre conclusiones que hayan sacado los
estudiantes; el estudiante puede sacar textos y cuadernos para poder contestar el taller.
Se observa que se cambia de unas normas que se centran básicamente en el docente, a
unas que tienen que ver con la relación docente-estudiante y estudiante-estudiante.
En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, Planas y
Font, 2010) y a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y Frykholm, 2000).
Tabla 47. Modos de comunicación.
Config
Clase 1 Clase 2 Clase 3 Clase 4
1 Unidireccional Unidireccional Unidireccional Unidireccional
2 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
3 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
4 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
5 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
6 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
7 Unidireccional Unidireccional Unidireccional Reflexiva
8 Unidireccional Unidireccional Unidireccional Unidireccional
Fuente: elaboración propia.
En la primera fase, se concluye que la comunicación en la clase de Fernando es
unidireccional, las configuraciones de las dos clases son de este modo de comunicación. Las
interacciones planteadas son del actuar del docente, con muy pocas del estudiante y en tal
caso de forma corta, lo aclara el hecho de que el promedio de participación del estudiante en
la clase es del 13,49%. En la segunda fase (clases tercera y cuarta), como se puede deducir de la
tabla anterior, el tipo de comunicación del profesor es reflexiva, ya que el 68.75% de las
interacciones son reflexivas y el resto unidireccionales (Brendefur y Frykholm, 2000). Es decir,
esta clase es de tipo básicamente dialógico, con momentos magistrales.
Capítulo 6. Caso Fernando 295
El docente Fernando evoluciona de un modo de comunicación unidireccional a reflexivo,
de una clase magistral a dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006); es decir, (re)significa su
modo de comunicación y su tipología de clase.
Capítulo 7. Caso Juan
Aspectos Personales
El profesor Juan es docente de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC,
considerado un excelente compañero, colabora con los demás docentes y en general es muy
estimado también por sus estudiantes. Su evaluación tanto por el Comité de Currículo como
por parte de los estudiantes es muy buena (Sistema SIRA UPTC). El profesor terminó
estudios de Licenciatura en Matemáticas en la UPTC, en el año 2009. En cuanto a estudios
de postgrado, en el momento de la realización del trabajo de campo de esta investigación se
encontraba terminando la Maestría en Educación; está en la etapa de culminación de trabajo
de grado, relacionado con el tema de las interacciones sociales en el patio del recreo,
realizando un análisis de las prácticas matemáticas que allí se generan. En lo referente a su
experiencia docente, en educación básica trabajó durante 4 años en diferentes instituciones
educativas, en los niveles de sexto a noveno. En Educación Superior, trabajó tres años como
catedrático universitario y desde el año anterior como profesor de tiempo completo en la
UPTC.
Ha orientado asignaturas como: cálculos, geometrías, algebra lineal y lógicas. Para la
preparación de una clase, toma aspectos básicos de lo que va a tratar la asignatura, no
necesariamente de un libro, toma a veces videos u otros medios como material de consulta.
Algo con lo que no ha podido es con una clase magistral, dice que escribe un contenido
general, que los estudiantes quieran trabajar. Pero considera que tiene un problema y es que
no deja participar a los estudiantes en ese trabajo (Ent1J, 15 septiembre 2015).
En cuanto a la metodología seguida para una clase, plantea lo siguiente:
Parto de una situación y a través de preguntas se espera que los estudiantes exploren
lo que está pasando ahí, por ejemplo, a través de una gráfica, qué entienden, qué más
encuentran, para que se vayan orientando. Lo que se busca es de tipo “mayéutico”, es
Capítulo 7. Caso Juan
297
decir, se desarrolla un diálogo en el que interactúan docente y estudiantes buscando
una aproximción intuitiva al objeto de conocimiento, luego de eso se plantea un
ejercicio para trabajar entre todos, dependiendo de la forma de avance, en cada clase
se mira si se dejan trabajos o no. Uno de los aspectos en que soy reiterativo es en
preguntar lo que no entienden, pues tengo la política de que la pregunta de uno es la
pregunta de todos. Evalúo de forma tradicional con parciales, lo hago así para que ellos
evidencien lo que se hace en clase. Las evaluaciones son siempre individuales, la idea
es ver en que se avanzó en ese proceso (Ent1J, 15 septiembre 2015).
Antes del Trabajo Colaborativo
A continuación, se describen las concepciones del profesor Juan, al inicio de la
investigación y antes del trabajo colaborativo, también se realiza análisis de clases desde
varios puntos de vista: análisis didáctico, patrones de interacción comunicativa y
comunicación.
El profesor Juan no pretendía ser docente, se inclinaba por aspectos que tenían que ver
con Ingeniería Electrónica. “Escogí ser docente del área de matemáticas porque era afín al
área que me gustaba y adicionalmente era económica, lo cual me permitíó costearme los
estudios” (Ent2J, 27 Marzo 2015). Cree que la ciencia es importante, pero más aún lo son
las personas, piensa que las matemáticas las hacen personas y por esto es necesario
comprender las matemáticas desde un sentido humano, ver que al que aprende le cuesta
trabajo y por eso no tiene que tratársele con desdén. “Como profesor estoy dispuesto a
explicarle a un estudiante las veces que éste lo considere necesario” (Ent2J, 27 Marzo 2015).
Entre los aspectos que resalta de su práctica profesional está el tratar bien a los estudiantes,
eso le permite motivarlos con las matemáticas, que no estén temerosos, que vean que el
aprendizaje es un proceso que requiere de esfuerzo, pero que el profesor está para apoyarlos.
Considera que son muchos sus aspectos por mejorar como docente, pero resalta “debo
cambiar mi paradigma sobre la evaluación, hacer que los contenidos sean más prácticos, que
los estudiantes los vean útiles” (Ent2J, 27 Marzo 2015). Su mayor satisfacción como docente
Capítulo 7. Caso Juan
298
es ver que los estudiantes aprenden, obtienen buenas notas, reconocen que el proceso fue
bueno. Por el contrario, sus mayores frustraciones se dan cuando “en ocasiones los
estudiantes mencionan que la clase les pareció aburridora y no entendieron, o cuando los
resultados que espero de los estudiantes no se dan, eso me decepciona mucho” (Ent2J, 27
Marzo 2015). Piensa que entre los mayores problemas de la enseñanza de la matemática en
Colombia está la relación entre las matemáticas y la realidad, es el problema de la
transferencia de las matemáticas a la vida práctica, muchos contenidos pierden significado
fuera del aula. Uno de los principales retos personales es hacer ver a los estudiantes que las
matemáticas son una herramienta práctica de pensamiento.
Juan cree que las Matemáticas son importantes en la formación de las personas, porque
les brindan una perspectiva más estructurada y ordenada de las cosas, permite pensar de
manera práctica sobre las situaciones y tomar decisiones bajo argumentos más consistentes.
El principal objetivo de la actividad matemática a nivel universitario es “hacer un
acercamiento más conceptual, y entender los fundamentos de la actividad matemática, pero
además poner en juego esos conceptos con la actividad práctica” (Ent2J, 27 Marzo 2015). En
cuanto a la importancia de la resolución de problemas en el aprendizaje de la matemática, el
profesor Juan manifiesta que es indiscutible su importancia, pero que muchos de los
contenidos que se les presentan a los estudiantes no dan tiempo para el trabajo de resolución
de problemas.
En cuanto a la enseñanza de las matemáticas, manifiesta que generalmente “me
preparo para las actividades de la clase de matemáticas, mencionándoles a los estudiantes de
qué va a tratar la clase, se empieza dando las definiciones, luego se dan unos ejemplos,
algunos ejercicios de práctica y les solicito que indiquen en dónde se presentan dificultades”
(Ent2J, 27 Marzo 2015). No es usual la resolución de problemas en su aula de clase, salvo
que haya una sección del contenido temático que incluya el análisis de problemas. Para el
docente, la resolución de problemas tiene el propósito de ver la aplicación de los contenidos,
lo cual requiere de un dominio de la parte operatoria. “El papel que los alumnos deben jugar
en mi clase es que sean actores dinámicos, que pregunten y sean críticos, eso me demuestra
que están aprendiendo” (Ent2J, 27 Marzo 2015). Como profesor de matemáticas, su rol
principal es estar en función de la buena enseñanza de los contenidos.
Capítulo 7. Caso Juan
299
En lo referente a la participación dentro de la clase, “la relación docente-estudiante
debe ser cordial, en donde el profesor le responde de la manera más clara posible al
estudiante y así resolver sus dudas” (Ent2J, 27 Marzo 2015). La participación estudiante-
estudiante usualmente se realiza en los trabajos en grupo, donde los estudiantes tienen que
apoyarse mutuamente para resolver los talleres planteados. Entre otras interacciones que
considera importantes está la relación de los estudiantes y docentes con los medios
tecnológicos, “pueden ser buenos en algunos casos, pero en otros terminan siendo una
distracción e interrumpen las clases” (Ent2J, 27 Marzo 2015). La comunicación en la clase
de matemáticas es importante porque permite que los conceptos y las definiciones se
comprendan de manera clara. Además, de la manera como el profesor explique, depende que
se produzcan aprendizajes efectivos en la clase, la cual desarrolla por medio de explicaciones
y ejemplos, pero también de preguntas; algunas de éstas tienen como propósito la
participación de los estudiantes que son más tímidos. Respecto de su proceso didáctico de
clase manifiesta:
En cada clase se abordan conceptos de acuerdo con los contenidos programáticos
previstos, se inicia mencionando los temas que se abordarán en el tiempo estimado de
la clase y luego empieza el desarrollo de la clase. Durante la clase, cada vez que se da
un concepto se procede a realizar un ejemplo que de claridad sobre el uso del mismo,
luego de lo cual se deja un ejercicio para que lo trabajen los estudiantes y se procede
a socializarlo mediante la participación de algún estudiante (Ent2J, 27 Marzo 2015).
Análisis didáctico de las clases iniciales.
Se analizan dos clases del docente Juan, teniendo en cuenta lo propuesto por el
Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro,
2009).
Primera clase.
La clase tuvo duración de una hora, nueve minutos (1:09), orientada al cuarto
semestre de la Licenciatura en Matemáticas, con 18 estudiantes. Habían transcurrido
Capítulo 7. Caso Juan
300
cuatro semanas del semestre académico. Asignatura Cálculo Diferencial.
Se realizó el siguiente proceso: el profesor planteó inicialmente un problema sobre
tasas relacionadas (¿Cuál es la variación del volumen, cuando la longitud es 15 cm, el alto
es 10 cm y ancho es 8 cm?), el cual fue desarrollado por el profesor, con participaciones
cortas de los estudiantes. Luego propuso otro problema (¿Cuál es la rapidez de cambio de la
función área de una caja dadas unas condiciones iniciales?); al igual que el anterior, fue
solucionado por el docente, con escasas participaciones de los estudiantes, salvo que en esta
oportunidad dio dos espacios de menos de un minuto para que los estudiantes analizaran
algunos aspectos de la solución del problema. Posteriormente, planteó otro problema (el
ángulo alfa de un triángulo tiene 60 grados y Δt crece a razón de 5 grados / segundo, el lado
c mide 10 cm. ¿Cómo es el lado izquierdo si crece a razón de 1 cm /seg, y el lado b mide 16
cm, y crece a razón de medio centímetro por segundo? ¿Hallar la velocidad de variación del
lado 𝑎?). Para solucionar el problema, el profesor hizo preguntas a los estudiantes para
aclarar la problemática, les ayudó haciendo la gráfica y luego les otorgó tiempo prolongado
para que analizaran y solucionaran el problema, hizo preguntas para contrastar lo realizado
por ellos y dio la oportunidad de que un estudiante solucionara el problema en el tablero,
con las aclaraciones respectivas por parte del profesor. Para finalizar, el profesor propuso el
desarrollo de un ejercicio (Sea 𝑤 = 𝑓(𝑢, 𝑣), una función de dos variables, demostrar que,
dw
dx+ 2
dw
dy+
dw
dz+
dw
dt= 0), hizo aclaraciones iniciales y dejó tiempo para que los
estudiantes analizaran el problema, realizó una rifa para ver cuál estudiante debía pasar al
tablero a desarrollar el ejercicio, pero se acabó el tiempo (Observación de clase, 25 febrero
2014).
Para facilitar el análisis de la clase se ha dividido en 4 configuraciones didácticas
(Font, Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del
Enfoque Ontosemiótico. A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta
clase.
Capítulo 7. Caso Juan
301
Tabla 48. Análisis Didáctico Primera Clase.
Líneas
transcripción
Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones del
profesor
Funciones
de los
alumnos
Tipo de
configuración
didáctica
Patrones
de
interacción
Conflictos Normas
1-44
Solución
del
problema: Cuál es la
variación
del
volumen,
cuando la
longitud es
15 el alto
es 10 y
ancho es 8
cms.
Lenguaje verbal: Se usa
un lenguaje verbal ya
conocido (función,
función volumen,
longitud, ancho, largo,
alto, rapidez,
dimensiones,
derivadas…).
Lenguaje Simbólico:
expresiones algébricas
de la función v = f
(l.a.h), da/dt, dl/dt, dh/dt,
al igual que dv / dl *dl /dt
+ dv/ da * da/dt.+dl/dh
*dh/dt. Gráfica de una
caja con sus dimensiones.
Definiciones implícitas
(las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Procedimiento: 1)
Destaca la función que
nos da el problema, la
función volumen en este
caso. 2) Se realiza un
gráfico (mamarrachito)
si es posible. 3) Se
comprende que pide el
problema y que da. 4) Se
plantea la estrategia para
la solución. 5) Se aplica
la estrategia y se
soluciona el problema.
Propiedades: Se usan
propiedades conocidas
Proceso de
institucionalización:
el profesor
desarrolla paso a
paso el problema
propuesto.
Proceso de
mecanización: los
alumnos deben
practicar la
aplicación de la
regla de la cadena
Proceso de
comunicación: los
alumnos producen
textos matemáticos
y/o los entienden.
Contestan las
preguntas del
profesor.
Proceso de
representación y
materialización:
escribe en el tablero
signos matemáticos
interpretables como
los correspondientes
a la regla de la
cadena al igual que
elabora gráficos
como el de la caja e
este caso, colocando
sus respectivas
dimensiones. Proceso de
descomposición: al
derivar la función
-Ubica a los
estudiantes en el
proceso de
estudio en el
que van.
-Propone el
problema sobre
variación de
volumen.
- Aclara los
elementos del
problema y
elaborar la
gráfica
correspondiente.
- Desarrolla el
problema en el
tablero.
-Responde a
las preguntas
cortas del
profesor.
-Copiar en el
cuaderno la
solución
escrita en el
tablero
Configuración
magistral
Mecanicista en
gran grupo.
Ant, Pc, Ar,
E, Pc, Ar,
Pm, ric, A,
Pc, ric, O,
ric, A, Pc,
ria, Pc, Ar,
Pc, Ar, A,
Pc, A, Pc, A,
Pc, ric, Ap,
A, Pc, ric, R,
Pc, Ar, Pc,
ric, Pc, ric,
A, Pc, Ar,
Pc, Ar, A,
Pc, ric, ric,
Pc, Ar, Pc,
pc, Rc, Pm,
ric, R, Pc,
Ar, E
- El profesor
habla de
ejercicios de
aplicación y
desarrolla un
problema
dejando entrever
que estos dos
conceptos son
equivalentes,
provocando un
conflicto
cognitivo e
interaccional.
- El profesor
es el que
debe utilizar
el tablero.
-El profesor
debe
desarrollar
los
problemas
que
propone.
-El profesor
debe
explicar
cómo se
soluciona un
determinado
tipo de
problema.
El
estudiante
debe
contestar las
preguntas
cortas del
profesor.
Los gráficos
sirven para
dar claridad
en la
comprensión
del
problema.
Capítulo 7. Caso Juan
302
como son las de la
transposición de
términos de una
ecuación, las reglas de
derivación, etc.
Argumento: (implícito)
se ha aplicado el
procedimiento
respectivo.
compuesta V se
descompone en el
producto de la
derivada de la
función con respecto
a cada variable por la
derivada de la
variable con respecto
al tiempo.
45-98 Solucionar
el siguiente
problema:
cuál es la
rapidez de
cambio de
la función
área de una
caja, dadas
unas
condiciones
iniciales.
Lenguaje verbal: se usa
ya conocido (función,
función área, área,
rapidez de cambio de la
función área, rapidez de
cambio de cada
magnitud, derivadas
parciales, regla de la
cadena…).
Lenguaje simbólico:
expresiones algebraicas
de: la función
y=A(x,y,z), área total es
base *altura /4, El área de
la base por altura, la suma
de las 4 caras, 2 veces 16
cm + 20cm* 3cm / seg, 66cm2/seg. Gráfica de la
caja con sus dimensiones.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal).
Procedimientos: 1)
Destaca la función que
nos da el problema, la
función volumen en este
caso. 2) Se realiza un
gráfico (mamarrachito)
si es posible. 3) Se
comprende que pide el
problema y que da. 4) Se
plantea la estrategia para
la solución. 5) Se aplica
Proceso de
institucionalización:
el profesor
desarrolla paso a
paso el problema
propuesto.
Proceso de
mecanización: los
alumnos deben
practicar la
aplicación la regla
de la cadena
Proceso de
comunicación: los
alumnos producen
textos matemáticos
y/o los entienden.
Contestan las
preguntas del
profesor.
Proceso de
representación y
materialización:
escribe en el tablero
signos matemáticos
interpretables como
los correspondientes
a la regla de la
cadena al igual que
elabora gráficos
como el de la caja en
este caso, colocando
sus respectivas
dimensiones.
-Realiza
aclaración sobre
el tipo de
problema que se
va a proponer
para su
desarrollo, en
cuanto a nivel
de dificultad. Lo
considera más
sencillo que el
anterior.
-Propone el
problema a
trabajar.
-Realiza
preguntas cortas
aclaratorias
hacia los
estudiantes.
- Aclara los
elementos del
problema y
elaborar la
gráfica
correspondiente.
- Desarrolla el
problema en el
tablero.
-Trabaja
sobre el
problema
propuesto por
el profesor,
rapidez de
cambio de la
función área.
- Responde a
las preguntas
cortas del
profesor.
-Copia en el
cuaderno la
solución
escrita en el
tablero.
-Pregunta
cuando no
entiende
algún paso.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Ant, Pa, ric,
Pa, Ar, E, ap,
Pa, ria, Pc,
ric, E, Pc,
ric, E, Pc,
ric, R, Pc,
ric, R, A, Pc,
Ar, E, Pc,
ric, E, pc, E,
Pc, Ar, E,
Pc, A, Pm,
ic, E, Pc, Ar,
E, Pc, ric, A,
Pc, ria, E,
Pc, Ar, E,
Pc, Ar, E,
Pc, ric, A,
Pc, ric, A,
Pc, Ar, A,
Pc, ric, E,
Pc, Ar, A,
Pc, ric, E.
- El profesor
habla de
ejercicios de
aplicación y
desarrolla un
problema
dejando entrever
que estos dos
conceptos son
equivalentes,
provocando un
conflicto
cognitivo.
- El profesor
afirma que la
función área
depende de tres
variables, largo,
ancho y alto, lo
cual entraría en
contradicción
con el concepto
de área normal,
lo cual generaría
un conflicto
cognitivo e
interaccional.
-El profesor
plantea que ya
pueden omitir la
regla de la
cadena, más lo
que quería
expresar es que
ya no había
-- El
profesor es
el que debe
utilizar el
tablero.
-El profesor
debe
desarrollar
los
problemas
que
propone.
-El profesor
debe
explicar
cómo se
soluciona un
determinado
tipo de
problema.
El
estudiante
debe
contestar las
preguntas
cortas del
profesor.
Los gráficos
sirven para
dar claridad
en la
comprensión
Capítulo 7. Caso Juan
303
la estrategia y se
soluciona el problema.
Propiedades: Aplicación
de propiedades ya
conocidas, como reglas
de derivación, producto
de polinomios…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del ejercicio.
Proceso de
descomposición: al
derivar la función
compuesta A se
descompone en el
producto de la
derivada de la
función con respecto
a cada variable por la
derivada de la
variable con respecto
al tiempo.
necesidad de
escribir la
definición de la
regla de la
cadena por que
los estudiantes ya
la manejan, sin
embargo así
escrito puede
crear conflictos
tanto
interaccionales
como cognitivos.
del
problema.
99-169 El Angulo
alfa de un
triángulo
tiene 60
grados y At
crece a
razón de 5
grados /
segundo, el
lado c mide
10 cm
como es el
lado
izquierdo,
Y crece a
razón de 1
cm /seg, y el lado b
mide 16
cm, y crece
a razón de
medio
centímetro
por
segundo.
Hallar la
velocidad
de
variación
del lado a.
Lenguaje verbal: ya
conocido (ángulo,
triángulo, tasa de
crecimiento, velocidad
de variación, triángulo
rectángulo, teorema del
seno y del coseno,
derivada, regla de la
cadena…).
Lenguaje simbólico:
expresiones algebraicas
de: < ∝ = 60°, t= 5
grados / segundo,
variaciones de los
lados…, gráfico del
triángulo con sus
respectivas dimensiones.
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal)
Procedimientos: 1)
Destaca la función que
nos da el problema, la
función volumen en este
caso. 2) Se realiza un
gráfico (mamarrachito)
Proceso de
institucionalización:
el profesor
desarrolla paso a
paso el problema
propuesto.
Proceso de
mecanización: los
alumnos deben
practicar la
aplicación la regla
de la cadena
Proceso de
comunicación: los
alumnos producen
textos matemáticos
y/o los entienden.
Contestan las
preguntas del
profesor.
Proceso de
representación y
materialización:
escribe en el tablero
signos matemáticos
interpretables como
los correspondientes
.Realiza
aclaración sobre
el tipo de
problema que se
va a proponer
para su
desarrollo, en
cuanto a nivel
de dificultad,
más difícil. Lo
considera más
complicado que
los problemas
anteriores.
-Propone el
problema a
trabajar.
-Realiza
preguntas cortas
aclaratorias
hacia los
estudiantes.
- Aclara los
elementos del
problema y
elabora la
gráfica
correspondiente.
-Opinar sobre
el
procedimiento
a seguir para
solucionar el
problema,
recordando
fórmulas
básicas.
-Trabaja
sobre el
problema
propuesto por
el profesor,
rapidez de
cambio del
ángulo de un
triángulo.
- Responde a
las preguntas
cortas del
profesor.
-Copia en el
cuaderno la
solución
escrita en el
tablero.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Ant, D, Pm,
Ant, D, Pnt,
ric, D, A, Pa,
A, Pc, ric,
Ap, Pm, Ar,
Pm, Ar, Pm,
A, E, Pc, ric,
Pc, ric, Pm,
ria, A, Pc,
Ar, E, Pc,
Ar, E, Pc,
Ar, E, Pc,
Ar, Pc, ria,
O, ric, An,
Pc, Ant, Pc,
Ar, O, Pc,
ric, Ap, O,
Ant, Pc, ric,
Ant, Pm,
Ant, Pc, Ar,
pc, Ra, ia, A,
Ant.
-El profesor se
refiere a ejercicio
cunado está
trabajando un
problema,
aspecto que deja
entrever que para
él estas dos
palabras
significan lo
mismo, lo
anterior puede
provocar
conflictos de
carácter
interaccional,
cognitivo y si es
reiterativo podría
ser epistémico.
-Se refiere al
igual que el caso
anterior de la
misma manera a
velocidad y
rapidez, lo cual
plantea conflictos
cognitivo e
interaccional.
-El profesor
debe
proponer la
actividad
que se debe
desarrollar
en la clase.
-El
estudiante
puede
escribir en el
tablero sin
que tenga
que hablar,
eso lo hace
el profesor.
-El
estudiante
debe
contestar las
preguntas
cortas del
profesor.
-El
estudiante
puede hacer
preguntas.
Capítulo 7. Caso Juan
304
si es posible. 3) Se
comprende que pide el
problema y que da. 4) Se
plantea la estrategia para
la solución. 5) Se aplica
la estrategia y se
soluciona el problema.
Propiedades: Aplicación
de propiedades ya
conocidas, como reglas
de derivación, reducción
de términos semejantes.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del ejercicio.
a la regla de la
cadena al igual que
elabora gráficos
como el del triángulo
en este caso,
colocando sus
respectivas
dimensiones. Proceso de
descomposición: al
derivar la función
compuesta se
descompone en el
producto de la
derivada de la
función con respecto
a cada variable por la
derivada de la
variable con respecto
al tiempo.
- Asigna
estudiante para
que solucione el
problema en el
tablero.
-Orienta el
desarrolla del
problema en el
tablero.
- Repasa el
procedimiento
seguido por el
estudiante.
-Pregunta
cuando no
entiende
algún paso.
-Soluciona el
ejercicio en el
tablero.
-Opina
cuando no
está de
acuerdo con
el profesor.
-Cuando se está
refiriendo al
teorema del seno
y el coseno para
la solución del
triángulo,
manifiesta que
algunas cosas
hay que sacarlas
de la memoria
que de eso se
trata el ejercicio,
lo cual puede
plantear
conflictos
interaccional y
afectivo.
-El profesor
plantea muchas
preguntas que
son respondidas
por él mismo, lo
cual puede
generar
conflictos
interaccionales.
-Hay inquietud
de los estudiantes
respecto de las
unidades, lo cual
el profesor
plantea que hay
que solucionarlo,
pero no lo hace,
lo cual puede
generar
conflictos
cognitivos.
-El
estudiante
puede
intervenir si
lo considera
conveniente.
170-173 Sea w, una
función de
dos
variables u
y v,
demostrar
Lenguaje verbal:
función, función de dos
variables, derivadas
parciales, regla de la
cadena, ecuación
diferencial, suma de las
Proceso de
comunicación:
interviene
básicamente el
docente, pero hay
-Propone el
ejercicio para el
desarrollo, en
este caso una
ecuación
diferencial.
- Copiar el
ejercicio
planteado en
el tablero.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
E, Pm, Ar, E,
Ant.
-El profesor
propone la
actividad a
trabajar.
Capítulo 7. Caso Juan
305
que, dw/dx,
más 2
dw/dy, mas
dw/dz más
dw/dt es
igual a
cero.
derivadas.
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de:
la función w=f (y-x-t, z-
y+t) , u=y-x-t, v=z-y+t,
también, dw/dx + 2
dw/dy+ dw/dz + dw/dt =
0,
Definiciones:
Implícitas (las mismas
que aparecen en el
lenguaje verbal).
Propiedades: Se aplican
unas ya conocidas como:
derivadas parciales, regla
de la cadena, entre otras.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación
de los procedimientos
adecuados para la
solución del ejercicio.
intervenciones de
los estudiantes.
Proceso de
mecanización: la
idea es que se
desarrolle el
problema aplicando
la regla de la cadena
. Proceso de
representación y
materialización: se
utiliza en el tablero
una simbología que
es comprensible para
el grupo.
-Aclarar la
terminología y
el proceso para
su desarrollo.
- Realiza una
rifa para ver
quien pasa a
desarrollar el
ejercicio en el
tablero.
-Desarrollar
en conjunto
con otros
estudiantes el
ejercicio.
-Participar en
la rifa
organizada por
el profesor.
-Los
estudiantes
deben tratar
de resolver
el ejercicio
propuesto.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 7. Caso Juan
306
En la siguiente tabla se plantea el análisis de la idoneidad didáctica sugerido por
Godino (2011), desde el Enfoque Ontosemiótico.
Tabla 49. Indicadores de idoneidad primera clase.
COMPONENTES: INDICADORES S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 56.4%
Situaciones-
Problemas
50%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones
de contextualización, ejercitación y aplicación.
X
Se proponen situaciones de generación de problemas
(problematización)
X
Lenguajes
66% Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige. X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación. X
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
66%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales
del tema para el nivel educativo dado.
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones proposiciones o procedimientos.
X
Argumentos
50% Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas
al nivel educativo a que se dirigen.
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar. X
Relaciones
50% Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,
etc.) se relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos
que intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 66.6 %
Conocimientos previos
(Se tienen en cuenta los mismos
elementos que para la idoneidad
epistémica)
100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el
estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor
planifica su estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad
manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares a
las diferencias individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes. X Aprendizaje:
Se tienen en cuenta los mismos
elementos que para la idoneidad
epistémica)
0%
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la
apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas.
X
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa
y argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional;
competencia metacognitiva.
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia.
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
X
Capítulo 7. Caso Juan
307
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 66.6%
Intereses y necesidades
50% Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Actitudes
50%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el
argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
100% Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas. X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 18.2%
Interacción docente-discente
40%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación
clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los
conceptos clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.).
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre alumnos
33% Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
matemáticos.
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía
0%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan
soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y
conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 66.6%
Recursos materiales
(Manipulativos, calculadoras,
ordenadores).
0%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten
introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos,
argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas
usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones,
X
Número de alumnos, horario
y condiciones del aula
100%
El número y la distribución de los alumnos permiten llevar a cabo la
enseñanza pretendida.
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten
todas las sesiones a última hora).
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el
desarrollo del proceso instruccional pretendido.
X
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/tutorización; tiempo de
aprendizaje).
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la
enseñanza pretendida.
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del
tema.
X
Capítulo 7. Caso Juan
308
100% Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más
dificultad de comprensión.
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 60%
Adaptación al currículo
100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden
con las directrices curriculares.
X
Apertura hacia la innovación
Didáctica.
0%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva. X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC,
etc.) en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio-
profesional y cultural
100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes.
X
Educación en valores
0%
Se contempla la formación en valores democráticos y el
pensamiento crítico.
X
Conexiones intra e
Interdisciplinares
100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares.
X
Fuente: Godino (2011).
Igualmente, desde el Enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino,
2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono regular como una
forma de visualizar las diferentes facetas de la práctica docente. Para la clase en cuestión, en
la siguiente figura se muestran los resultados.
Figura 22. Resumen de las Idoneidades de la primera clase de Juan. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi
y Castro, 2009).
Capítulo 7. Caso Juan
309
En esta clase del profesor Juan se pueden señalar algunos aspectos por mejorar, desde
el punto de vista de la idoneidad didáctica:
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 56.4%). Aunque en la clase se solucionaron
problemas no se propusieron situaciones que favorecieran la generación de los mismos. De
igual forma, aunque se hizo uso de expresiones matemáticas, no se dio tiempo a la
interpretación de éstas. No se presentaron espacios donde los estudiantes tuvieran que
generar o negociar definiciones, proposiciones o procedimientos y argumentar al respecto.
No se plantearon diferentes significados de los objetos identificados en las prácticas
matemáticas.
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 66.6%). No se determinó algún proceso
evaluativo que propusiera el docente, que mostrara entre otros aspectos la comprensión
conceptual y proposicional, el avance en las competencias comunicativa, argumentativa y
metacognitiva, y la comprensión situacional. De la misma manera, no se pudo indagar si los
resultados de la evaluación se utilizaron para tomar decisiones y si el docente tuvo en cuenta
los distintos niveles de comprensión y competencia por parte del estudiante
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 66.6%). Aunque en la clase se propuso la
resolución de problemas, no se tuvieron en cuenta situaciones de contexto que permitieran
vislumbrar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana y profesional. Tampoco se
promovió la participación en actividades, la perseverancia, responsabilidad, entre otros.
Faceta interaccional (Porcentaje de logro 18.2%). No se presentaron variados recursos
retóricos y argumentativos como factor motivante para los estudiantes, ni se facilitó la
comunicación y el diálogo en general en el aula, existió escasa participación de los
estudiantes. No se propusieron acciones que conllevaran a identificar y solucionar los
conflictos de los estudiantes, ni se buscó llegar a consensos, sino que el docente tuvo siempre
la última palabra y ejerció el control total de la clase. No se determinaron medios que
utilizara el docente para identificar el progreso sistemático de los estudiantes.
Capítulo 7. Caso Juan
310
Faceta mediacional (Porcentaje de logro 66.6%). Faltaron materiales manipulativos e
informáticos que facilitaran la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos. Tampoco se
presentaron formas contextualizadas para trabajar los conceptos de la clase.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 60%). No se plantearon acciones innovativas
derivadas de la práctica reflexiva y la investigación, al igual que no se observaron aspectos
que desarrollaran la autonomía del estudiante, los valores democráticos y un pensamiento
crítico.
Segunda clase.
La clase tuvo duración de hora y cuarenta minutos (1:40), orientada al séptimo
semestre de la Licenciatura en Matemáticas, Sede Tunja. La clase se realizó en las
primeras semanas del semestre académico. Asignatura Geometría Euclidea. Se desarrolló
el siguiente proceso: el profesor inició la clase explicando la teoría de las situaciones
didácticas como base epistemológica para las demostraciones geométricas con software,
aspecto que desarrolló con una exposición magistral, por medio de un diagrama en el tablero
el cual iba complementando a medida que avanzaba en su charla. A continuación, planteó
solucionar el problema de construcción 1 con la utilización de software. Este proceso
lo realizó exponiendo y dejando tareas parciales para que los estudiantes fueran
desarrollando, algunas de las cuales eran trabajadas posteriormente en el tablero. Dejó que,
en grupos de tres estudiantes, plantearan procesos diferentes a los del docente, los cuales iba
resaltando, pero siempre orientando que debían hacer; para finalizar la configuración,
explicó cómo se aplicó la teoría de las situaciones didácticas en el problema 1, en esta parte
ocupó el 70% de la clase (Observación de clase, 24/02/2014).
Luego propuso el problema de construcción 2 , aclarando que era el último
problema de construcción para pasar a problemas de demostración. Dejó que los alumnos
trabajaran en grupos, asesoró los distintos grupos, les advirtió que había que grabar al
finalizar el proceso, esta vez no hizo la institucionalización del conocimiento, sino que
Capítulo 7. Caso Juan
311
planteó el siguiente problema para aquellos grupos que iban terminando, , el cual fue
desarrollado en grupos de estudiantes con asesoría del profesor. Para finalizar propuso el
problema de demostración: todo cuadrilátero se puede inscribir en una circunferencia; resaltó
que un estudiante logró hacer la demostración, y dejó el problema para el resto como trabajo
extra clase.
La clase se dividió en 5 configuraciones didácticas (Font, Planas, Godino, 2010) de
acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque Ontosemiótico.
A continuación, se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.
Capítulo 7. Caso Juan
312
Tabla 50. Análisis didáctico de la segunda clase.
Líneas
transcripción Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones
del
profesor
Funciones
de los
alumnos
Tipo de
configuració
n didáctica
Patrones
de
interacció
n
Conflictos Normas
1-6
La teoría de
las
situaciones
didácticas
como base
epistemológic
a para las
demostracion
es
geométricas
con software.
Lenguaje verbal: Software,
teoría de las situaciones
didácticas (Guy Brosseau,
geometría empírica; Pier
Ravander, situación
adidáctica, saber, situación
didáctica, saber sabio,
conocimiento, computador,
intención, retroacción,
construcción, validación…)
Lenguaje Simbólico: Cuadro
explicativo de la teoría de las
situaciones didácticas.
Definiciones implícitas (las
mismas que aparecen en el
lenguaje verbal)
Definiciones explícitas: -
Situación adidáctica:
interacción que se da sin que
se pretenda aprender o enseñar
algo. –Saber: elementos que
quedan luego de una
interacción con el medio. El
saber es impersonal y
descontextualizado. –
Situación didáctica, es donde
intervienen el saber del
estudiante, interviene el saber
sabio, todos tenemos un saber
distinto y haciendo uso de él
obtenemos el conocimiento, el
cual es personal y
contextualizado. –
Institucionalización: proceso
que se realiza en la transición
de saber a conocimiento.
Proceso de
institucionalización
el profesor explica
toda la
conceptualización
referente a la teoría
de las situaciones
didácticas y su
relación con la
utilización de
software en la clase
de matemáticas.
Proceso de
mecanización: se
trata de que los
alumnos apliquen
los pasos para la
utilización de la
teoría de las
situaciones
didácticas.
Proceso de
comunicación: los
alumnos y el
profesor interactúan
para lograr
comprensiones.
Proceso de
representación y
materialización.
Plantea en el tablero
un cuadro que va
complementando
con flechas y nuevos
elementos, el cual es
interpretable por los
estudiantes.
-Explica todo
el
procedimient
o para
utilizar la
teoría de las
situaciones
didácticas en
el uso de
software
matemático
en el aula de
matemáticas.
-Hace
preguntas
cortas.
-Elabora
diagrama en
el tablero, a
medida que
realiza la
exposición.
-Recuerda
normas de la
clase. Todos
deben ir
desarrollando
el
procedimient
o.
-Responder a
las preguntas
cortas del
profesor
cuando no las
responde el
mismo.
-escribir en el
cuaderno el
resumen de
lo que el
profesor está
exponiendo.
-Estar atentos
a la
exposición
del profesor.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Ant, A, Pc,
Ar, E, Pc,
O, E, Pc,
Ar, Pm, Ar,
E, Pc, Ar,
E, Pc, Ar,
E, Pc, Ar,
E, Pc, Ar,
E, Pc, Ar,
E, Pc, Ar,
Ant.
-El profesor
hace una
exposición
tradicional de
la teoría de
las
situaciones
didácticas en
lugar de
haber
mostrado una
aplicación en
sí misma, lo
cual se
considera un
conflicto de
tipo
epistémico y
cognitivo.
-El profesor es
el que expone
el tema.
-Todos deben
ir
desarrollando
los pasos de la
construcción
Capítulo 7. Caso Juan
313
Procedimiento: Etapas en la
implementación del software
de demostración. 1) intención
de lo que el maestro quiere
que haga el estudiante con el
medio. 2) el sujeto realiza una
acción sobre el medio, el
medio es el software 3) el
docente plantea la situación
problema, la cual puede ser las
demostraciones 4) el
programa les muestra una
retroacción. Muestra que
necesita ser demostrado y que
no. 5) Interpretación de lo
realizado. 6) validación.
Identificar si la construcción
corresponde al problema
planteado. Si la validación es
positiva se rehace la acción
sobre el medio. Si la
validación es negativa hay que
realizar un cambio de acción.
Argumento: (implícito) se ha
planteado el procedimiento
respectivo.
7-79 Solucionar el
problema de
construcción
1 con la
utilización de
software.
Lenguaje verbal: Problema de
construcción, preguntas
alrededor del problema,
polígono exterior, polígono
interior, medio, acción sobre
el medio, validación, click,
dobleclick, segmento,
proposiciones, proposiciones
demostrables, cuadrado,
medidas, trasladar medidas,
circulo, arrastre, figura, curva,
herramienta ocultar,
herramienta validar, …
Lenguaje simbólico:
Expresiones gráficas en el
software.
Definiciones:
Proceso de
institucionalización
: el profesor explica
y aclara los
procedimientos
seguidos por
algunos estudiantes
para realizar las
construcciones.
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan
construcciones en el
software, las cuales
son reconocibles
para el grupo.
-Propone el
problema a
trabajar.
-Ofrece las
indicaciones
iniciales para
la
construcción.
-Cuestiona a
los
estudiantes
sobre la
forma de ir
haciendo las
construccion
es, sobre el
arrastre.
-Trabaja
sobre el
ejercicio
propuesto
por el
profesor.
- Plantea la
forma de
realizar la
construcción.
-Propone
formas
alternas para
desarrollar la
construcción
propuesta.
Configuración
magistral
mecanicista en
gran grupo.
Pc, Ar, E,
Ant, Ant,
A, O, A,
Pc, Ar, A,
tg, A, A,
Ap, ic, E,
Pc, Ar, E,
tg, Pm, Ar,
E, Pc, Ar,
Pc, Ar, tg,
Pc, Ar, E,
tg, A, E, pc,
Pc, Rc, tg,
A, tg, O, E,
e, An, Ap.
A, e, Ap.
O, E, e, Pc,
Ar, A, E,
Pm, Ar, E,
-El docente
habla de
trasladar las
medidas de
manera que
los lados del
cuadrado
sean iguales,
por esta
expresión los
estudiantes
pueden
presentar un
potencial
conflicto
cognitivo e
interaccional.
-El profesor
- El profesor es
quien decide
qué se debe
trabajar en la
clase, en este
caso el que
propone el
problema a
solucionar.
-Siempre que
se haga una
parte de la
construcción
hay que hacer
click para
validarla.
Capítulo 7. Caso Juan
314
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Explícitas: -geometría I de las
formas: donde los estudiantes
simplemente clasifican los
polígonos. –geometría de las
propiedades II, cuando el
estudiante hace figuras que
resisten el arrastre, el cual está
vinculado con el
reconocimiento de ciertas
propiedades. –geometría III,
geometría del razonamiento,
se reconocen todos los
elementos de la construcción y
se hacen preguntas: ¿por qué
de esa manera? ¿Para qué de
esa manera? – geometría IV,
geometría de las
demostraciones, hacemos la
formalización de los
elementos de la geometría, es
la ideal y permite realizar
razonamientos más complejos.
Procedimientos: Los que
realizan los estudiantes y el
profesor para solucionar el
problema.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como el paralelismo, la
perpendicularidad, cortes, …
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del problema.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para realizar la
construcción.
Proceso de
descomposición:
para realizar las
construcciones se
descomponen en
construcciones
parciales que van
orientando la
construcción
solicitada.
Proceso de
mecanización: se
trata de que los
alumnos realicen
construcciones de
algunas figuras
muy frecuentes en
el ámbito
geométrico.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
docente.
-Interroga a
los
estudiantes
sobre el
proceso
seguido para
solucionar el
problema.
-Propone la
teoría que
acompaña el
desarrollo del
problema.
-Define las
cuatro
geometrías
que se basan
en el
software.
-Propone
reglas
generales
para el
trabajo con el
software.
-Escoge las
herramientas
más
apropiadas
para realizar
la
construcción.
- Valida el
desarrollo
que se hace
en el tablero.
-solicita
ayuda del
docente si es
del caso.
-
tg, pc, Rc,
tg, pc, Rc,
E, E, Pc,
Ar, A, Pc,
Ar, tg, ,A,
tg, Pc, ric,
tg, A, tg, A,
O, e, R, Ap,
e, Ap, e,
Pc, ric, E,
e, A, Pc, E,
Pc, E, Pm,
Ar, E, Pc,
Ar, A.
plantea tener
un acto de fe
cuando un
estudiante
hace una
elipse por un
círculo, en
lugar de
corregir la
gráfica, lo
cual puede
generar
conflictos
cognitivos e
interaccional
es.
. Todos deben
iniciar a
trabajar al
tiempo.
80-85 Solucionar un
problema de
construcción
Lenguaje verbal: ya conocido
(problema de construcción,
diferentes geometrías,
Proceso de
particularización:
-Propone el
problema de -Soluciona el
problema
planteado por
Configuración
magistral
Pm, O, A,
Pc, A, Pc,
-Toda
construcción
Capítulo 7. Caso Juan
315
geometría del razonamiento,
geometría de las formas,
triángulo equilátero, isósceles
o escaleno. Lenguaje
simbólico: Expresiones
gráficas para el desarrollo de
la construcción
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Procedimientos: Para
desarrollar la construcción,
pero no es explícito para
todos.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como las que se usan para
cuadrados y triángulos…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
se deben aplicar
algunas
propiedades
orientadas
específicamente al
problema de
construcción.
Proceso de
descomposición:
para la elaboración
de la construcción
hay que ir
trabajando paso a
paso en
construcciones
menores.
Proceso de
mecanización: la
meta es que los
alumnos realicen la
construcción
basados en la
construcción inicial
del cuadrado,
aspecto que ya
dominan.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y entre
ellos y el docente.
construcción
a trabajar.
-Realiza
aclaraciones
sobre las
diferentes
geometrías y
en cual como
mínimo
debemos
quedar.
-Cuestiona a
los
estudiantes
sobre el tipo
de triángulo
que se
propuso.
-Plantea que
siempre en
estas
construccione
s debe estar
presente el
arrastre.
-Pide a los
estudiantes
que graben
los
procedimient
os
desarrollados.
el profesor.
-Discute con
los
compañeros
de grupo y
con el
profesor para
llagar a la
solución.
- Acata las
órdenes del
profesor.
mecanicista en
pequeños
grupos.
Pm, A, Ant.
A.
debe permitir
el arrastre.
.Se debe
trabajar sobre
la base del
primer
problema.
-Se deben
grabar los
procedimientos
ya finales.
86-101 Solucionar la
construcción
mediante
software
Lenguaje verbal: problema de
construcción, punto medio,
expresiones del lenguaje usual
no matemático….
Lenguaje simbólico:
Expresión gráficas para el
desarrollo de la construcción
Proceso de
institucionalización
: el profesor
muestra para toda
su solución al
problema anterior.
Proceso de
comunicación: se
realiza bastante
interacción entre
-Propone
inicialmente
el problema
nuevo para
los
estudiantes
que han
culminado el
anterior.
-Realiza
-Indaga sobre
aspectos de
cómo guardar
el trabajo
realizado.
-Realizan
trabajo de
construcción
consultando
con los otros
Configuración
constructiva en
pequeños
grupos.
A, Pm, Ar,
Ant, pc, Ra,
tg, Pc, tg,
Pc, Ant, tg,
Ant, tg, As,
Ant, int,
Ant, pc, Ra,
tg, As.
-Para iniciar el
Nuevo
problema de
construcción
hay que haber
culminado el
anterior.
-A este tipo de
trabajos hay
que ponerles
Capítulo 7. Caso Juan
316
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Procedimientos: No
explícitos, los seguidos por
cada grupo de estudiantes para
realizar la construcción.
Propiedades: Se aplican unas
ya conocidas como: lo
referente al cuadrado y tipos
de triángulos…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del ejercicio.
los grupos y
algunos con el
docente.
Proceso de
mecanización: la
idea es que se
desarrolle el
ejercicio aplicando
propiedades ya
conocidas por los
estudiantes acerca
de construcciones
anteriores.
Proceso de
particularización:
se deben aplicar
algunas
propiedades
orientadas
específicamente al
problema de
construcción.
. Proceso de
representación y
materialización: se
utiliza el computador
con un software que
en sus aspectos
básicos es
comprensible para el
grupo.
aclaraciones
sobre cómo y
por qué hay
que guardar
los trabajos
que han
realizado los
grupos de
estudiantes.
-Cuestiona el
razonamiento
seguido por
algunos
grupos, en
este caso
referente a la
utilización
del punto
medio.
-Presiona el
desarrollo del
problema
para poder
proponer el
teorema de
demostración
.
-Da
orientaciones
institucionale
s referentes a
la
culminación
de las clases.
-Presenta
aclaraciones
generales
sobre el
semestre
académico.
miembros del
grupo (2) o
con el
profesor.
-Manifiestan
su opinión
ante el
aplazamiento
de una
semana del
semestre
académico.
nombre y
guardarlos.
102-105 Solucionar el
problema de
demostración
Lenguaje verbal: problema de
construcción, problema de
demostración, problema
Proceso de
comunicación: hay
diálogo entre
-Plantea el
problema de
demostración
-Trabajan en
grupo el
problema
Configuración
constructiva en
Pc, Ar, D,
A, Pc, A,
Pc, Ar, A,
-El profesor
habla
inicialmente
-Se debe
realizar la
demostración
Capítulo 7. Caso Juan
317
:todo
cuadrilátero
se puede
inscribir en
una
circunferencia
.
fundamental de la geometría
euclidea, cuadrilátero,
circunferencia, arrastre.
Lenguaje simbólico:
Representación gráfica del
problema, en el tablero y el
computador.
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Procedimientos: No explícitos
seguidos para solucionar el
problema de demostración.
Propiedades: Se aplican unas
ya conocidas que tienen que
ver con los cuadriláteros y la
circunferencia.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados
para la solución del problema
de demostración.
docente y
estudiantes y entre
estudiantes para
solucionar las dos
problemáticas, las
del problema y las
de aplazamiento de
semestre.
Proceso de
mecanización: se
desarrolla el
problema utilizando
aspectos de
desarrollos
anteriores.
Proceso de
representación y
materialización: se
utiliza una
terminología básica
comprensible para
todos.
.
-Explica en
forma
general que
se debe hacer
para
solucionar el
problema,
reglas
generales.
-Invita a
hacer la
demostración
formal.
-Felicita y
comprueba
que un
estudiante
logró
solucionar el
problema de
forma rápida.
-Deja
planteado el
problema
como trabajo
extraclase.
propuesto por
el docente.
-A5 soluciona
el problema.
pequeños
grupos.
Pc, Ar, A,
tg, Ap, A,
A.
de problemas
de
construcción
y de
demostración
, pero no
queda claro
en esta clase
cual es la
diferencia
entre los dos,
lo cual puede
generar un
conflicto
cognitivo e
interaccional.
formal del
problema
planteado.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 7. Caso Juan
318
A continuación se plantea el análisis de la idoneidad didáctica de la clase.
Tabla 51. Idoneidad didáctica de la segunda clase.
COMPONENTES: INDICADORES S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 80%
Situaciones-
Problemas
50%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación.
X
Se proponen situaciones de generación de problemas
(problematización).
X
Lenguajes
100%
Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige. X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación. X
Reglas
(Definiciones, proposiciones,
procedimientos)
100%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del
tema para el nivel educativo dado.
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones proposiciones o procedimientos.
X
Argumentos
100%
Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas
al nivel educativo a que se dirigen.
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar. X
Relaciones
50%
Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,
etc.) se relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que
intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 66.6 %
Conocimientos previos
(Se tienen en cuenta los mismos
elementos que para la idoneidad
epistémica)
100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el
estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor
planifica su estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad
manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares a
las diferencias individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X
Aprendizaje:
Se tienen en cuenta los mismos
elementos que para la idoneidad
epistémica)
0%
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la
apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas.
X
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa
y argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional;
competencia metacognitiva
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
X
Capítulo 7. Caso Juan
319
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 66.6%
Intereses y necesidades
50%
Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Actitudes
50%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el
argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 40%
Interacción docente-discente
60%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación
clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los
conceptos clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.)
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre alumnos
100%
Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
matemáticos.
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía
0%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan
soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y
conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 77.7%
Recursos materiales
(Manipulativos, calculadoras,
ordenadores).
100%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten
introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos,
argumentaciones adaptadas al contenido pretendido.
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas
usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones.
X
Número de alumnos, horario
y condiciones del aula
100%
El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la
enseñanza pretendida.
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten
todas las sesiones a última hora).
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el
desarrollo del proceso instruccional pretendido.
X
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/tutorización; tiempo de
aprendizaje).
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza
pretendida.
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del
tema,
X
Capítulo 7. Caso Juan
320
33% Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más
dificultad de comprensión
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 70%
Adaptación al currículo
100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden
con las directrices curriculares
X
Apertura hacia la innovación
Didáctica.
50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC,
etc.) en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio-
profesional y cultural
100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes
X
Educación en valores
0%
Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico.
X
Conexiones intra e
Interdisciplinares
100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares.
X
Fuente: Godino. (2011).
El hexágono propuesto por el enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas,
Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009) para la clase, es el siguiente:
Figura 23. Resumen de las Idoneidades de la segunda clase.
Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font,
Wilhelmi y Castro, 2009).
Capítulo 7. Caso Juan
321
Los aspectos por mejorar se señalan a continuación:
Faceta epistémica (Porcentaje de logro 80 %). Aunque se propusieron situaciones
problémicas en la clase, todas fueron planteadas por el profesor, no se permitió la generación
de problemas por parte del estudiante. Tampoco se analizaron los distintos significados que
pueden generar los entes matemáticos.
Faceta cognitiva (Porcentaje de logro 66.6%). El docente realiza una evaluación
permanente dentro de la clase, sin embargo no es suficiente para identificar si en verdad
hubo una apropiación de los conocimientos y competencias pretendidas. Igualmente, no es
posible determinar el avance en las competencias comunicativa, argumentativa,
metacognitiva y si evalúa o no diferentes niveles de competencia o si se usa la evaluación
para tomar decisiones.
Faceta afectiva (Porcentaje de logro 66.6 %). No se plantean situaciones de contexto
que permitan valorar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana, ni se dan acciones que
faciliten el desarrollo de valores como la autonomía, la responsabilidad, etc.
Faceta interaccional (Porcentaje de logro 40 %). Toda la responsabilidad de la clase
la asume el docente, y aunque hay periodos donde el estudiante trabaja en grupo, no se ven
momentos de autonomía del estudiante. No hay variedad de recursos argumentativos y
retóricos, ni se le da mucha importancia a los argumentos de los estudiantes pues no se
buscan consensos sino llegar a la respuesta del docente; igualmente, no se proponen
situaciones para solucionar conflictos de los estudiantes.
Faceta mediacional (Porcentaje de logro 77.7 %). El tiempo no fue adecuado para la
temática, pues ésta era demasiado amplia. Se dedicó mucho tiempo a un solo problema que
tal vez no era la base de la clase.
Faceta ecológica (Porcentaje de logro 70%). El profesor no hizo énfasis en la
formación en valores democráticos y el desarrollo del espíritu crítico de los estudiantes, al
igual que no se presentan aspectos sobre investigación y práctica pedagógica.
Capítulo 7. Caso Juan
322
Idoneidad Didáctica de las Clases iniciales.
Se presenta la tendencia didáctica de las dos primeras clases del profesor Juan.
Tabla 52. Tendencia de la idoneidad diáctica.
Idoneidad Didáctica
Clases Tendencia
% Primera
%
Segunda
%
Idoneidad Epistémica 56.4 80 68.2
Idoneidad Cognitiva 66.6 66.6 66.6
Idoneidad Afectiva 66.6 66.6 66.6
Idoneidad Interaccional 18.2 40 29,1
Idoneidad Mediacional 66.6 77.7 72.15
Idoneidad Ecológica 60 70 65
Fuente: elaboración propia.
En el hexágono se observa la tendencia de las dos clases de Juan.
Figura 24. Tendencia de las idoneidades de las clases de Juan. Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi
y Castro, 2009.
En la primera clase se observa que las idoneidades más bajas del docente Juan son la
interaccional y la epistémica; en la segunda, la interaccional, cognitiva y afectiva; en general
Capítulo 7. Caso Juan
323
las idoneidades menos desarrolladas del docente en mención son la interaccional y la
ecológica, pero la idoneidad crítica a desarrollar es la interaccional.
Análisis de Interacción de las clases iniciales.
Se presenta el análisis de interacción de dos clases iniciales del docente Juan, teniendo
en cuenta las configuraciones didácticas del Enfoque Ontosemiótico y las interacciones
emergentes del análisis de este proceso.
Primera clase.
El enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010) propone dividir el registro
en configuraciones didácticas; siguiendo esa propuesta, esta clase está dividida en 4
configuraciones. En la tabla 54, se presentan las interacciones emergentes por
configuración, que al totalizarlas permite identificar cuáles son las más frecuentes en el
docente.
Tabla 53. Análisis de interacción primera clase.
AB Descripción C1
1-44
C2
45-
98
C3
99-169
C4
170-
173
Total
A Aclaración del docente, explicación corta. 8 7 5 20
An, Negación de la respuesta dada por el estudiante. 1 1
Ant Aclaración no temática por parte del profesor 1 1 7 1 10
Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 1 1 2 4
Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y
responde su pregunta.
9 8 8 1 26
D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de
problemas o ejercicios.
3 3
E Explicación amplia del profesor 2 14 4 2 22
ia Intervención argumentada que hace el estudiante 1 1
ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya
solicitado el docente.
1 1
O El profesor ordena la ejecución de una acción 1 3 4
Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 3 1 4
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 19 19 13 51
pc Pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa
propia.
1 1 1 3
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 2 1 6 1 10
Pnt Pregunta no temática del profesor 1 1
Capítulo 7. Caso Juan
324
Fuente: Elaboración propia.
Se analizó cada configuración (Font, Planas y Godino, 2010), para luego concluir
sobre la clase, tomando como referencia la trascripción (TR1J).
Configuración 1. (Duración 11:17 minutos). Líneas 1 a 44. Esta configuración es de
tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006). Las interacciones que más se destacan son
las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo y en menor escala están las
respuestas cortas de los estudiantes en forma individual, las autorespuestas del profesor y las
aclaraciones o explicaciones cortas del profesor:
Ant, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pm, ric, A, Pc, ric, O, ric, A, Pc, ria, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, A, Pc, A,
Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, Pc, ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, ric, ric, Pc, Ar, Pc,
pc, Rc, Pm, ric, R, Pc, Ar, E
Configuración 2. (Duración 14:17 minutos). Líneas 45 a 98. Esta configuración es de
tipo magistral. Las interacciones que más se destacan son las preguntas cortas del profesor,
seguida por las explicaciones amplias del profesor, las respuestas cortas e individuales de los
estudiantes, en menor escala las autorespuestas del profesor y las aclaraciones o explicaciones
cortas del profesor:
Ant, Pa, ric, Pa, Ar, E, ap, Pa, ria, Pc, ric, E, Pc, ric, E, Pc, ric, R, Pc, ric, R, A, Pc, Ar, E, Pc,
ric, E, pc, E, Pc, Ar, E, Pc, A, Pm, ic, E, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ria, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,
Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, Ar, A, Pc, ric, E, Pc, Ar, A, Pc, ric, E.
R Repetición del profesor de lo que expresa el
estudiante
2 2 4
Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta
de un estudiante
1 1
Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del
estudiante
1 1
ria Respuesta individual argumentada del estudiante 1 2 2 5
ric Respuesta del estudiante, individual y corta 10 11 7 28
ti Trabajo individual de los estudiantes 1 1
Total 58 71 67 5 201
Capítulo 7. Caso Juan
325
Configuración 3. (Duración 37:07 minutos). Líneas 99 a 169. Esta configuración es de
tipo magistral. Siguen las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo como la
interacción con más frecuencia para esta clase, le siguen las respuestas cortas e individuales
de los estudiantes al igual que las autorespuestas del profesor. También están las aclaraciones
no temáticas del profesor y las explicaciones cortas o aclaraciones del profesor:
Ant, D, Pm, Ant, D, Pnt, ric, D, A, Pa, A, Pc, ric, Ap, Pm, Ar, Pm, Ar, Pm, A, E, Pc, ric, Pc,
ric, Pm, ria, A, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pc, ria, O, ric, An, Pc, Ant, Pc, Ar, O,
Pc, ric, Ap, O, Ant, Pc, ric, Ant, Pm, Ant, Pc, Ar, pc, Ra, ia, A, Ant.
Configuración 4. (Duración 6:53 minutos). Líneas 170 a 174. Esta configuración es de
tipo magistral. Al ser la última configuración es corta y compuesta de 5 interacciones nada
más, las cuales aparecen en orden de frecuencia: explicaciones amplias del profesor, las
autorespuestas, las preguntas múltiples del profesor y las aclaraciones no temáticas del
profesor:
E, Pm, Ar, E, Ant.
La clase en general tuvo una duración de 1:10:14, de 174 líneas de interacción y 4
configuraciones didácticas, todas de tipo magistral (Font, Planas y Godino, 2010), de
donde se concluye que en general la clase es magistral. Las interacciones de mayor frecuencia
en su orden son: preguntas cortas del docente, respuestas cortas individuales de los estudiantes,
autorespuesta del profesor, explicación amplia del profesor, aclaración o explicación corta del
profesor y aclaraciones no temáticas por parte del profesor.
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el
estudiante en las diferentes configuraciones.
Capítulo 7. Caso Juan
326
Tabla 54. Análisis de participación. Primera clase Juan.
Configuración Tiempo (minutos)
Alumno Docente Total
Configuración 1 1:06 10:11 11:17
Configuración 2 1:09 13:08 14:17
Configuración 3 11:52 25:15 37:07
Configuración 4 1:20 6:13 7:33
Total 15:27 54:47 1:10:14 Fuente: elaboración propia.
La configuración tres es la que presenta mayor participación de los estudiantes con un
31.01% del tiempo, ya que se planteó un ejercicio para el cual el profesor otorgó tiempo para que
los estudiantes de forma individual o grupal lo trabajaran, y posteriormente una alumna pasó al
tablero a solucionar la problemática. Le sigue la configuración cuatro con un 17.3%. La segunda
configuración fue la de menor participación del estudiantado con 7.7% del tiempo total de la
configuración. En general en la clase la participación de los estudiantes fue de 21.45%, lo cual
indica que el protagonismo lo tuvo el docente. Este criterio se corresponde con una clase
tradicional-tecnológica.
Segunda clase.
De acuerdo con el Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas y Godino, 2010), la segunda
clase del profesor Juan está dividida en 5 configuraciones didácticas. En la tabla 56, se
plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración. El análisis se realizó
por cada configuración para luego concluir sobre la clase, tomando como referente la
trascripción (TR2J).
.
Configuración 1. (Duración 16:19 minutos). Corresponde a las 6 primeras líneas. Esta
configuración es de tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006). Las interacciones que
más se destacan en su orden son: las preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo,
las autorespuestas del profesor y la explicación amplia del profesor:
Ant, A, Pc, Ar, E, Pc, O, E, Pc, Ar, Pm, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc,
Ar, E, Pc, Ar, Ant.
Capítulo 7. Caso Juan
327
Tabla 55. Análisis de interacción de la segunda clase.
Fuente: elaboración Propia.
Configuración 2. (Duración 58:31 minutos). Líneas 7 a 79. Esta configuración
también es de tipo magistral. Las interacciones que más se destacan son las explicaciones
amplias del profesor, las preguntas cortas del profesor, las aclaraciones o explicaciones cortas
del profesor, las autorespuestas del profesor y el trabajo en forma grupal de los estudiantes:
Pc, Ar, E, Ant, Ant, A, O, A, Pc, Ar, A, tg, A, A, Ap, ic, E, Pc, Ar, E, tg, Pm, Ar, E, Pc, Ar,
Pc, Ar, tg, Pc, Ar, E, tg, A, E, pc, Pc, Rc, tg, A, tg, O, E, e, An, Ap. A, e, Ap. O, E, e, Pc, Ar,
AB Descripción C1
1-6
C2
7-79
C3
80-85
C4
86-101
C5
102-105 Total
A Aclaración del docente, explicación corta. 1 15 4 1 6 27
An Negación de la respuesta dada por el
estudiante.
1 1
Ant Aclaración no temática por parte del
profesor
2 2 1 5 10
Ap Aprobación de la respuesta dada por el
estudiante
5 1 6
Ar Autorespuesta del profesor, es decir
pregunta y responde su pregunta.
9 13 1 3 26
As Asesoría del profesor 2 2
D Dictado que hace el profesor a los
estudiantes de problemas o ejercicios.
1 1
E Explicación amplia del profesor 8 16 24
e Explicación amplia del estudiante 7 7
ic Intervención corta del estudiante, sin que se
la haya solicitado el docente.
1 1
int Intervención no temática del estudiante 1 1
O El profesor ordena la ejecución de una
acción
1 4 1 6
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo
el grupo
9 15 2 2 4 32
pc Pregunta corta por parte del estudiante por
iniciativa propia.
3 2 5
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 1 3 2 1 7
R Repetición del profesor de lo que expresa el
estudiante
1 1
Ra Respuesta argumentada del profesor a una
pregunta de un estudiante
2 2
Rc Respuesta corta del profesor ante una
pregunta del estudiante
3 3
ric Respuesta del estudiante, individual y corta 2 2
tg Trabajo grupal de los estudiantes. 12 5 1 18
Total 31 103 10 22 16 182
Capítulo 7. Caso Juan
328
A, E, Pm, Ar, E, tg, pc, Rc, tg, pc, Rc, E, E, Pc, Ar, A, Pc, Ar, tg, A, tg, Pc, ric, tg, A, tg, A,
O, e, R, Ap, e, Ap, e, Pc, ric, E, e, A, Pc, E, Pc, E, Pm, Ar, E, Pc, Ar, A.
Configuración 3. (Duración 6:19 minutos). Líneas 80 a 85. Esta configuración es de
tipo magistral. Se destaca aunque con muy poca frecuencia la aclaración o explicación corta
del profesor, con la mitad de la frecuencia de la anterior se encuentran las preguntas cortas
del profesor dirigidas a todo el grupo y las preguntas múltiples del profesor:
Pm, O, A, Pc, A, Pc, Pm, A, Ant. A.
Configuración 4. (Duración 14:4 minutos). Líneas 86 a 101. Esta configuración es de
tipo magistral. Entre las frecuencias más altas se encuentra las aclaraciones no temáticas por
parte del profesor y el trabajo grupal de los estudiantes. Las demás interacciones que
aparecen en esta configuración tienen frecuencias muy bajas de 1 o 2:
A, Pm, Ar, Ant, pc, Ra, tg, Pc, tg, Pc, Ant, tg, Ant, tg, As, Ant, int, Ant, pc, Ra, tg, As.
Configuración 5. (Duración 4:32 minutos). Líneas 102 a 105. Esta configuración es
magistral. Las más altas frecuencias son la aclaración o explicación corta del docente,
preguntas cortas del profesor y el trabajo grupal de los estudiantes:
Pc, Ar, D, A, Pc, A, Pc, Ar, A, Pc, Ar, A, tg, Ap, A, A.
Analizando la clase en general, su duración fue de 1:40:21, de 105 líneas de interacción
y 5 configuraciones didácticas, todas magistrales (Font, Planas y Godino, 2010), luego la
clase también lo es. Las interacciones de mayor frecuencia en su orden son: preguntas cortas
del profesor dirigidas a todo el grupo; aclaración del docente o explicación corta, autorespuesta
del profesor y explicación amplia del profesor, en menor escala el trabajo en grupo de los
estudiantes.
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el
estudiante en las diferentes configuraciones.
Capítulo 7. Caso Juan
329
Tabla 56. Análisis de participación respecto del tiempo en la segunda clase.
Alumno Docente Total
Configuración 1 0 16:19 16:19
Configuración 2 32:15 26:16 58:31
Configuración 3 3:27 2:52 6:19
Configuración 4 12:24 2:16 14:40
Configuración 5 1:35 2:57 4:32
Total 49:41 50:40 1:40:21
Fuente: elaboración propia.
En la primera configuración el docente explicó la teoría de las situaciones didácticas de una
forma totalmente expositiva, por lo cual no hubo participación de los estudiantes. La cuarta
configuración fue la de mayor participación de los estudiantes, con 84.57% del tiempo total de la
configuración, por grupos desarrollaron el trabajo con intervenciones cortas del profesor; al
finalizar no se presentó la etapa de institucionalización del conocimiento. Le sigue la segunda
configuración con 55,12%, y la tercera configuración con 54,59%. En general en la clase la
participación de los estudiantes fue de un 49,51%, lo cual indica que la mayor intervención es del
docente; aunque dio posibilidades de trabajo grupal casi la mitad de la clase. A pesar de lo
mencionado, por la estructura de la clase, se corresponde con una clase tradicional-tecnológica.
Patrones de interacción de las dos clases iniciales.
Se presenta a continuación los patrones de interacción comunicativa que se
identificaron en el desarrollo de las clases del profesor Juan, con la respectiva frecuencia:
Tabla 57. Análisis de interacción en las dos clases.
AB Descripción C 1 C2 Total
A Aclaración del docente, explicación corta. 20 27 47
An, Negación de la respuesta dada por el estudiante. 1 1 2
Ant Aclaración no temática por parte del profesor 10 10 20
Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 4 6 10
Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su pregunta. 26 26 52
As Asesoría del profesor 0 2 2
D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o ejercicios. 3 1 4
E Explicación amplia del profesor 22 24 46
Capítulo 7. Caso Juan
330
e: Explicación amplia del estudiante 0 7 7
ia Intervención argumentada que hace el estudiante 1 0 1
ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el docente. 1 1 2
int Intervención no temática del estudiante 0 1 1
O El profesor ordena la ejecución de una acción 4 6 10
Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 4 0 4
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 51 32 83
pc Pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia. 3 5 8
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 10 7 17
Pnt Pregunta no temática del profesor 1 0 1
R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 4 1 5
Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 1 2 3
Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 1 3 4
ria Respuesta individual argumentada del estudiante 5 0 5
ric Respuesta del estudiante, individual y corta 28 2 30
tg Trabajo grupal de los estudiantes. 0 18 18
ti Trabajo individual de los estudiantes 1 0 1
Total 201 182 383 Fuente: Elaboración propia.
Se resalta la pregunta corta por parte del docente dirigida a todo el grupo como la más
frecuente, seguida de: las autorespuestas del profesor, las aclaraciones y explicaciones cortas
del docente, explicación amplia del profesor y respuesta corta por parte del docente. Aunque
con frecuencias menores también es de resaltar: aclaración no temática del profesor, trabajo
grupal de los estudiantes y preguntas múltiples del profesor. Se destaca igualmente que en
la primera clase se plantean las siguientes interacciones que no se dan en la segunda clase:
respuesta argumentada por parte del estudiante, pregunta argumentada por parte del profesor,
intervención argumentada que hace el estudiante, pregunta no temática del profesor y trabajo
individual de los estudiantes. Así mismo, las interacciones que aparecen en la segunda clase
más no en la primera son: trabajo grupal de los estudiantes, explicación amplia del
estudiante, asesoría del profesor e intervención no temática del estudiante. Lo anterior nos
llevaría a concluir por las interacciones de la clase, que es centrada en el profesor, por lo cual
se corresponde con una clase tradicional-tecnológica.
A continuación, se presenta la información más relevante con relación al tiempo de
participación del estudiante, de ambas clases:
Capítulo 7. Caso Juan
331
Tabla 58. Análisis de participación de los estudiantes respecto del tiempo en las clases
iniciales.
Tiempo (minutos)
Clase 1
Porcentaje
Participación
de los estudiantes
Tiempo (minutos)
Clase 2
Porcentaje
Participación
de los estudiantes
Configuración 1 1,1 9,75% 0 0
Configuración 2 1,15 8,05% 32,25 55,11%
Configuración 3 11,87 31,98% 3,45 54,59%
Configuración 4 1,33 17,62% 12,4 84,53%
Configuración 5 1,58 34,88%
Total 15,45 22% 49,68 49,51%
Fuente: elaboración propia.
Como se puede observar el nivel de participación de los estudiantes en las dos clases
es menor que la del docente, esto se explica a partir de las configuraciones. En la primera
clase la configuración tres fue la de mayor participación por parte de los estudiantes, el
docente dejó trabajo grupal lo que subió el nivel de participación y en la segunda clase, la
configuración cuatro, pues allí el docente dejó que todo el tiempo los estudiantes trabajaran
grupalmente uno de los problemas, y no realizó la etapa de institucionalización, lo cual
incrementó el nivel de participación de los estudiantes.
De lo anterior se puede inferir lo siguiente:
Las dos clases del docente se distribuyeron en 4 y 5 configuraciones didácticas, lo cual
muestra su tendencia a realizar un desarrollo temático prudente para una sesión de clase.
La totalidad de las configuraciones fueron catalogadas de tipo magistral (Godino,
Contreras y Font, 2006), en la primera clase en gran grupo y en la segunda, en pequeños grupos
algunas configuraciones y otras en gran grupo. De lo anterior, se concluye que se trata de una
clase centrada en el docente, es decir, tradicional-tecnológica.
En la primera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: preguntas
cortas del profesor dirigidas a todo el grupo; aclaración del docente o explicación corta,
autorespuesta del profesor y explicación amplia del profesor, en menor escala el trabajo en
Capítulo 7. Caso Juan
332
grupo de los estudiantes. En la segunda clase las interacciones más destacadas del docente
fueron: preguntas cortas del profesor dirigidas a todo el grupo; aclaración del docente o
explicación corta, autorespuesta del profesor y explicación amplia del profesor, en menor
escala el trabajo en grupo de los estudiantes.
Se determinó una identificación amplia de los patrones de interacción comunicativa
del docente Juan, los cuales se plasman en la tabla 58.
Se identificaron como las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente
las siguientes: la pregunta corta por parte del docente, las autorespuestas del profesor, las
aclaraciones y explicaciones cortas del docente, explicación amplia del profesor y respuesta
corta por parte del docente. Lo anterior nuevamente lleva a pensar que la clase es de tipo
tradicional-tecnológico.
En general la participación de los estudiantes en las dos clases fue de 35,76%, resalta
el protagonismo del docente en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un aula
absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional-
tecnológica.
Análisis de la comunicación en las clases iniciales.
Primera clase.
En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, el modelo predominante en
esta clase es el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994), entre
las características de la clase están: la transmisión de contenidos, la cual es totalmente
unidireccional, donde el profesor es el protagonista del proceso, es el que propone las tareas
y las desarrolla con intervenciones cortas de los estudiantes. También esta clase tiene
características del modelo sistémico, en el sentido de la retroalimentación (Bertalanffy,
1950) el docente buscó desarrollar varios problemas del mismo tipo con el fin de
retroalimentar el proceso de tasas relacionadas (tema tratado); Igualmente, aunque en
Capítulo 7. Caso Juan
333
pequeña escala, se tiene en cuenta el modelo orquestal, en lo referente a la regulación, pues
la comunicación no puede existir sino está basada en unas normas, las cuales permiten el
equilibrio del sistema. (Marc y Picard, 1992), por ejemplo, el profesor habla y los estudiantes
lo escuchan.
En lo referente a las clases de comunicación, de acuerdo a la participación, la
comunicación es unilateral pues es unidireccional y el protagonismo lo tiene el docente, no
se dan cambios de roles. Es colectiva y abierta, el docente se dirige a un público que en este
caso son los estudiantes. Es lingüística, el medio natural es el lenguaje, apoyado por códigos
paralingüísticos; también es extralingüística, se emplean códigos distintos a la lengua
natural, como la simbología matemática, de la derivada y otros símbolos. Es formal, se sujeta
a un patrón de clase definido. En cuanto al canal, la comunicación es audio visual, el docente
habla pero va escribiendo el proceso en el tablero; igualmente es directa, pues implica
presencialidad, se da por canales simples. Vertical, de docente a estudiante, en una forma
poco participativa del estudiante (Niño, 1998). En el siguiente fragmento de transcripción se
puede evidenciar lo anterior (TC1J).
[18]
p Como resulta todo esto entonces toda
esa cuestión entonces ¿ya tenemos la
función volumen...? ¿Cuál es la función
volumen?
se dirige a sus
guías en la mesa
... y pregunta
[19] A2 Por largo por ancho por alto
[20]
P Si señor... la función volumen está dada
para este caso... por l.a.h... empecemos
entonces todas la derivaditas parciales
que están involucradas en la regla de la
cadena
Largo , alto y
ancho ( l. a . h )
[21]
P Entonces decimos que la rapidez de
variación de volumen en un instante de
tiempo está dada por dv/ dl que nos
queda?
señala el tablero
[22] A1 a*h
[23]
P A*h ... si estoy derivando … a* h se
convierten en constante cierto ¿ ... bien
por dl / dt … lo tengo ¿... si es 3c/seg
dl / dt
Repite lo dicho
[24] P Bien… quién es?.. dv / da
[25] A2 l h El docente afirmó
lo dicho por el
estudiante
Capítulo 7. Caso Juan
334
[26]
P da /dt ... tengo da/dh si quien es ¿ 2cm /
seg + quien es da /dh
[27]
A2 l* a
[28]
p Quien es dh /dt 1cm /seg... listo...
haciendo el análisis dimensional en que
unidades nos debe dar la rapidez de
volumen en un instante de tiempo
determinado en...?
Afirma lo que
dijo el estudiante
Si se consideran los signos desde la propuesta de Peirce, que, aunque presenta una
gama bastante amplia de signos, los más usuales son el símbolo, el ícono y el índice. Para
esta clase se utilizaron símbolos, el interpretante del fundamento, signos cuya relación con
su fundamento o con la realidad es totalmente arbitraria (Peirce, 1974); por ejemplo la
expresión algebraica de funciones y derivadas, 𝑣 = 𝑓 (𝑙. 𝑎. ℎ), 𝑑𝑎/𝑑𝑡, 𝑑𝑙/𝑑𝑡, 𝑑ℎ/𝑑𝑡, al
igual que 𝑑𝑣 / 𝑑𝑙 ∗ 𝑑𝑙 /𝑑𝑡 + 𝑑𝑣/ 𝑑𝑎 ∗ 𝑑𝑎/𝑑𝑡. +𝑑𝑙/𝑑ℎ ∗ 𝑑ℎ/𝑑𝑡.
Así mismo, en esta clase se utilizaron símbolos ubicados en un contexto y en relación
con otros símbolos (Saussure, 1995); es decir, el profesor siempre buscó utilizar símbolos
con significado. En lo referente a los códigos, en la clase se utilizaron los códigos
lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje y los
extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971), como se evidencia en las líneas [18] a
[28].
Para la clase se consideró la comunicación como medio de control y como medio
para percibir el avance o las dificultades de los estudiantes (Ponte et al., 2007). Se presenta
un fragmento de la trascripción de la primera clase del profesor Juan (TC1J) que resalta este
aspecto.
[1] p bueno ... tenemos nuestra función ya
para continuar con los ejercicios de
aplicación entonces
tenemos definida nuestra función, …
tenemos los ejercicios de aplicación nos
acordemos cual es la función asociada a
este tipo de ejercicio entonces
se encuentra un
ejercicio una
gráfica de una caja
con sus
respectivas
dimensiones
el docente ya
tenía preparado
los ejercicios y los
estudiantes se
encuentran
copiándolos y
señala el tablero
para realizar la
respectiva
explicación
Capítulo 7. Caso Juan
335
[2] p Entonces cual es la función ¿?,. ¿La
función volumen verdad? la función
volumen es una función que depende de
la longitud del ancho y del alto de la
figura o del solido o del recipiente con el
que estamos trabajando. Listo
(𝑣 = 𝑓 (𝑙. 𝑎. ℎ)), Docente mira a
una alumna y
continua
escribiendo en el
tablero como para
llamar la atención
y que lo escuchen.
[3] p y además debemos ver que cada una de
ellas , debemos ver que cada una de ellas
tanto la longitud, como el ancho como el
alto dependen del instante de tiempo
entonces efectivamente habla de una
función que depende de tres variables en
donde cada una de ellas
Depende a su vez del tiempo, en donde
cada una de ellas
Depende a su vez del tiempo ¿verdad?..
.listo
Y señala el tablero
para explicar lo
que va diciendo
[4] p Entonces hagamos cada uno los cálculos
que nos sugiere el ejercicio...
En la mesa del
docente hay unas
guías donde tiene
preparada la clase
y las mira
[5] P Volvamos a leer entonces. ¿Dice que la
longitud es de cuánto? ¿qué es de
cuánto?
le pregunta a los
estudiantes
[6] A1 15 centímetros El docente afirma
lo dicho
El contrato didáctico es entendido como el conjunto de comportamientos del profesor
que es esperado por los alumnos y el conjunto de comportamientos de los alumnos que es
esperado por el profesor (Brousseau, 1988). Desde esa perspectiva en la clase se pudieron
identificar diferentes apartes donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo:
[45]
p Listo captado lo dicho entonces vamos a
continuar con lo que estábamos haciendo
… veamos entonces un ejemplo
más…un poco más complejo .. a bueno
ya este es .. el siguiente es un poco más
sencillo porque el siguiente vamos a
hablar de la función área
El docente borra
el tablero
[46]
p ¿ Quién es la función área para esa caja
que estamos trabajando?
[47]
A6 base *altura /4 ¿Perdón ?
responde mirando
el docente con
cara de asombro ..
[48]
p Quién es la función área con la que
debemos trabajar … las dimensiones se
mantiene y ojo por que no están tan
sencillo como por decir las cuestiones de
las que está hablando… no resulta tan
Capítulo 7. Caso Juan
336
sencillo porque estamos hablando ahora
del área
[49] A6 Sonríe
[50] p Se supone que el área en esta figura es
mejor ¿Quienes conforman el área para
esa cajita rectangular?
[51] A7 El área de la base por altura
[52] P Es suficiente decir el área de la base * la
altura.
[53] A6 pues la suma de las 4 caras
[54] p Más bien es un poco más lógico decir
que el área suma total de las caras ¿de
cuantas caras?
[55] A6 Pues de 4
Algunas de las normas de clase que se pueden inferir de lo anterior, son: el profesor es
el que propone los ejercicios y utiliza el tablero; el profesor debe desarrollar los problemas
que propone; el profesor debe explicar cómo se soluciona un determinado tipo de problema;
el estudiante debe contestar las preguntas cortas del profesor. Un detalle completo de este
aspecto en la sesión de clase se encuentra en el análisis de la misma presentado
anteriormente.
Brendefur y Frykholm (2000) plantean cuatro categorías generales de comunicación:
Comunicación unidireccional, contributiva, reflexiva e instructiva. En la siguiente tabla se
presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con las interacciones y de acuerdo
a ellas a qué modo de comunicación pertenecen.
Tabla 59. Modos de comunicación en la primera clase.
Configuració
n
Interacciones Modos de
Comunicación 1 Ant, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pm, ric, A, Pc, ric, O, ric, A, Pc, ria, Pc,
Ar, Pc, Ar, A, Pc, A, Pc, A, Pc, ric, Ap, A, Pc, ric, R, Pc, Ar, Pc,
ric, Pc, ric, A, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, ric, ric, Pc, Ar, Pc, pc, Rc,
Pm, ric, R, Pc, Ar, E.
Unidireccional
2 Ant, Pa, ric, Pa, Ar, E, ap, Pa, ria, Pc, ric, E, Pc, ric, E, Pc, ric,
R, Pc, ric, R, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, E, pc, E, Pc, Ar, E, Pc, A,
Pm, ic, E, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ria, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,
Pc, ric, A, Pc, ric, A, Pc, Ar, A, Pc, ric, E, Pc, Ar, A, Pc, ric, E.
Unidireccional
3 Ant, D, Pm, Ant, D, Pnt, ric, D, A, Pa, A, Pc, ric, Ap, Pm, Ar,
Pm, Ar, Pm, A, E, Pc, ric, Pc, ric, Pm, ria, A, Pc, Ar, E, Pc, Ar,
E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pc, ria, O, ric, An, Pc, Ant, Pc, Ar, O, Pc,
ric, Ap, O, Ant, Pc, ric, Ant, Pm, Ant, Pc, Ar, pc, Ra, ia, A, Ant.
Unidireccional
4 E, Pm, Ar, E, Ant. Unidireccional
Fuente: elaboración propia.
Capítulo 7. Caso Juan
337
Se puede deducir de la información anterior, que la clase es expositiva, con muy poca
participación de los estudiantes (21.45%), las interacciones magistrales que se identificaron
en cada configuración lo reafirman, cada configuración es del modo unidireccional; es decir,
esta clase del docente es de una comunicación unidireccional, centrada en el profesor.
Segunda clase.
Esta clase en cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, posee
características de los tres modelos considerados. El modelo lineal o matemático (Shanon,
1949; cit. Dins Winkin, 1994) estuvo presente en toda la clase, es el docente quien propone
las tareas; pero especialmente al iniciar, el docente hizo una exposición sobre la teoría de las
situaciones didácticas. También esta clase tiene una parte del modelo sistémico, el docente
propuso varios problemas para realizar con software, dejando que los estudiantes plantearan
sus soluciones, pero siempre orientando y redireccionando la actividad; en ocasiones
llevándolos a seguir el camino que el docente proponía. También se tuvo en cuenta el modelo
orquestal en lo referente a la regulación, por ejemplo, en la primera configuración de la
segunda clase del docente Juan (TC2J), entre otras, se describen las siguientes normas: el
profesor es el que debe utilizar el tablero, el profesor debe desarrollar los problemas que
propone, el profesor debe explicar cómo se soluciona un determinado tipo de problema, el
estudiante debe contestar las preguntas cortas del profesor, los gráficos sirven para dar
claridad en la comprensión del problema. Algunas normas adicionales se encuentran en el
análisis de la clase y en las diferentes configuraciones.
De acuerdo a la participación, la comunicación es unilateral, se desarrolla en una
dirección y el protagonismo lo tiene el docente; la variación está en algunos momentos que
deja para que trabajen los estudiantes en grupo, se desarrolla una comunicación recíproca.
Es colectiva y abierta, el profesor se dirige a un público, sus estudiantes, pero cuando están
trabajando entre ellos, se plantea una comunicación interpersonal. También es lingüística, el
medio natural es el lenguaje, apoyado por códigos paralingüísticos; también es
extralingüística, se emplean códigos fuera de la lengua natural, como la simbología
matemática. Es formal, se sujeta a unas reglas definidas. Es audiovisual, el docente habla
Capítulo 7. Caso Juan
338
pero va escribiendo el proceso en el tablero ayudándose con diagramas o gráficas;
igualmente es directa, pues implica presencialidad. Al inicio de la clase es vertical, se da de
docente a estudiante, en una forma poco participativa del estudiante, pero posteriormente
hay una mayor participación del estudiantado, especialmente entre ellos, por lo cual se
vuelve horizontal (Niño, 1998).
Se utilizaron tanto símbolos como íconos. El símbolo entendido como el interpretante
del fundamento, signos cuya relación con su fundamento o con la realidad es totalmente
arbitraria; los íconos, donde hay una semejanza entre el signo y la realidad (Peirce, 1974).
Detalles se pueden observar en el análisis de la clase. Adicionalmente, el docente pretendió
utilizar símbolos con significado, pues se ubicaron en un contexto y en relación con otros
símbolos, los cuales fueron comprensibles para todo el grupo (Saussure, 1995).
En esta clase resaltó el discurso del docente, es decir se utilizaron los códigos
lingüísticos, también los paralingüísticos en vez del lenguaje y los extralingüísticos lógicos
y sociales (Giraud, 1971). Lo anterior lo podemos evidenciar en las siguientes líneas de
transcripción (TC2J).
[24] ag Los alumnos
trabajan por
grupos y hablan
entre ellos.
[25] p ¿A algún grupo le hace falta el programa?
¿Ya todos lo tienen? ¿Todos tenemos el
programa verdad? Bueno… hacemos el
cuadrado rápido, ¿se acuerdan cómo hacer el
cuadrado? Bueno entonces ya teníamos este
segmento, ¿verdad? Ya teníamos este
segmento, necesitamos, necesitamos un
cuadrado sobre ese segmento, para que sea
cuadrado necesitamos trasladar las medidas,
de modo que los lados sean iguales, nosotros
¿ya sabemos cómo trasladar medidas, no? Ya
lo habíamos hecho con el compás otras veces,
entonces escojan círculo y lo trazaremos con
centro en A y que pase por el punto B, luego
vamos a la herramienta perpendicular y le
indico que sea una perpendicular que pase por
el punto A y que sea una perpendicular al
segmento AB listo valido y cierro ahora
puedo trazar una perpendicular al segmento
A B
Capítulo 7. Caso Juan
339
El profesor Juan utilizó la comunicación como control de la clase y para promover
aprendizajes. A continuación se presenta un fragmento de la trascripción de la segunda clase
del profesor Juan (TC2J), donde se resaltan estos aspectos (Ponte et al, 2007).
AB y que pase por el punto B la valido, la
manito para salir de ahí. Ahora vamos a
cerrar, ha perdón hagan el punto de
intersección, hacemos click en la intersección
del círculo con la recta, se resalta el círculo y
la recta cuando se marca la intersección y lo
marcamos como c, ahora si con ese punto de
intersección trazamos una perpendicular que
pase por el punto C y sea perpendicular al
segmento que pasa por B , hacemos click en
validación y tenemos el cuadrado, cuales son,
cuál es la propiedad de ese cuadrado? Y luego
podemos hacer el arrastre, si está bien hecho
resiste el arrastre. Pero las funciones van a
permanecer. Bien, hace falta, hace falta un
punto de intersección y es un punto de
intersección entre dos rectas entonces ¿cuáles
son las rectas? Las rectas D2 y la recta D3
hacemos click en validación me marca el
punto D y tengo totalmente construido el
cuadrado. ¿Cierto? Cuando tengo el cuadrado
aparecen todas esas proposiciones y muchas
de esas son lo que llamamos proposiciones
demostrables, ¿listo? Bien, teniendo entonces
esas proposiciones demostrables, ahora si van
a retomar el problema de construcción
C
A B
Agranda y achica
el gráfico con el
arrastre.
[26] Los estudiantes
trabajan
[27] p Qué le hace falta, ¿qué le hace falta al gráfico
para completar la construcción? A partir de
aquí entonces ustedes tienen que decidir en
qué lugar está este punto, este punto y este
punto. Y se van a guiar un poco por la
intuición y por lo que logran ver de la figura,
no se si alcanzan a reconocer las propiedades
de la curva,
Muestra los
puntos en la
pantalla.
Habla con algunos
estudiantes.
[7] P Bien listo, ¿tienen ya el cuadro y todo?
Si. Entonces les voy a mostrar los problemas de
construcción y me van contando qué sucede
alrededor de estos problemas de construcción.
Baja el telón para
utilizar el video
beam
[8] p Bien, baja el soporte del video beam si es tan
amable
Le pide al
estudiante Pedro
[9] ag Hablan varios
estudiantes no se
entiende
Capítulo 7. Caso Juan
340
[10] p Bien, veamos esos problemas de construcción,
entonces problemas de construcción
[11] P Pausa mientras
enciende el video
beam y el
computador, al
igual que los
estudiantes
encienden el
computador
[12]
p Un minuto que tengo un problema en el video
beam.
[13]
Pausa de silencio
[14] p Aquí tienen el primer problema de construcción en
el geotix por favor, y unas preguntas alrededor de
ese problema de construcción, inicien por favor.
Presenta un
cuadrado
[15] p Entonces está claro, está claro que lo único que
tiene que quedar claro en la construcción es el
polígono exterior y el polígono interior, ¿de
acuerdo? Bien realicemos todas las acciones
necesarias sobre el software para lograr solucionar
ese problema de construcción. Bien a partir de este
momento entonces tienen el medio y van a realizar
la acción sobre el medio, y luego me van a decir
que les devuelve ese medio y como obtuvieron el
proceso de validación.
[16]
p Le muestra a un
estudiante cómo
manejar comandos
del paquete.
[17] eg Los estudiantes
trabajan,
[18] p Cuando lo vayas a ejecutar tienes que entrar como
administrador para que no tengas ningún problema
El profesor
asesora un
estudiante
[19] P Bueno… listo Le alcanza el cd
de instalación a
otro grupo
[20] A
1
Juan David colócalo
[21] p Bueno inicia la construcción y yo voy a ir
preguntando en donde tuvieron dificultad y ahí
estará el proceso de validación
[22] p Ya realizaron la construcción , iniciamos el proceso
de validación, vamos a ver como hacen esa
construcción, recuerden que para colocar los
objetos hacemos simplemente dobleclick y todo lo
demás se hace… recuerden que tienen que hacer en
la en la partecita de validación en el sector de
validación ya les muestro aquí para recordar cómo
funciona , entonces
les muestra en
pantalla con la
utilización del
video beam
[23] p Hacen dobleclick y aparecen dos puntos, en los
segmentos recuerden que debo seleccionar la
herramienta segmento y que siempre que quiero un
Capítulo 7. Caso Juan
341
Teniendo en cuenta el fragmento presentado anteriormente, se pueden determinar
algunas normas del contrato didáctico (Brousseau, 1988), como las siguientes: el profesor es
quien decide qué se debe trabajar en la clase, en este caso el que propone el problema a
solucionar; siempre que se haga una parte de la construcción hay que hacer click para
validarla; todos deben iniciar a trabajar al tiempo.
A continuación, se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con las
interacciones y clasificadas de acuerdo con lo propuesto por Brendefur y Frykholm (2000).
Tabla 60. Modos de interacción en la seguna clase.
Configuració
n
Interacciones Unidireccional
1 Pc, Ar, E, Pc, O, E, Pc, Ar, Pm, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,
Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Ant.
Unidireccional
2 Pc, Ar, E, Ant, Ant, A, O, A, Pc, Ar, A, tg, A, A, Ap, ic, E, Pc, Ar, E,
tg, Pm, Ar, E, Pc, Ar, Pc, Ar, tg, Pc, Ar, E, tg, A, E, pc, Pc, Rc, tg, A,
tg, O, E, e, An, Ap. A, e, Ap. O, E, e, Pc, Ar, A, E, Pm, Ar, E, tg, pc,
Rc, tg, pc, Rc, E, E, Pc, Ar, A, Pc, Ar, tg, ,A, tg, Pc, ric, tg, A, tg, A,
O, e, R, Ap, e, Ap, e, Pc, ric, E, e, A, Pc, E, Pc, E, Pm, Ar, E, Pc, Ar,
A.
Unidireccional
3 Pm, O, A, Pc, A, Pc, Pm, A, Ant. A. Unidireccional
4 A, Pm, Ar, Ant, pc, Ra, tg, Pc, tg, Pc, Ant, tg, Ant, tg, As, Ant, int,
Ant, pc, Ra, tg, As.
Reflexiva
5 Pc, Ar, D, A, Pc, A, Pc, Ar, A, Pc, Ar, A, tg, Ap, A, A. Reflexiva
Fuente: elaboración propia.
segmento que pase por el punto A y el punto B
señalo y hago click y al mismo tiempo en el chulito
de validación. Terminada esta acción, usen la
manito roja para seleccionar cualquier otra acción
del programa y entonces lo que les decía tenemos
los datos y de acuerdo como estamos haciendo la
construcción se encontrará luego cuales son las
proposiciones y cuáles de esas proposiciones
debemos demostrar, ¿de acuerdo? Ustedes hicieron
esa manipulación inicial del programa, hicieron
como funciona, tienen su problema de construcción,
veamos que hace el programa cuando hacemos esas
construcciones, recuerden entonces hacer todo el
tiempo el click en validación , obviamente seguir
con cuidado todos los pasos de construcción … y
ahí tenemos el problema de construcción
[24] ag Los alumnos
trabajan por
grupos y hablan
entre ellos.
Capítulo 7. Caso Juan
342
Es una clase parcialmente expositiva, en especial al iniciar, pero posteriormente se
enfocan procesos constructivos, con una participación alta del estudiantado, la cual en
general fue de 49,51%. La comunicación en las tres primeras configuraciones fue de tipo
unidireccional, en las dos últimas la comunicación fue de tipo reflexivo.
Generalidades de la comunicación en las clases iniciales.
Dado que la clase se basó fundamentalmente en la transmisión de contenidos, el
protagonismo lo tuvo el docente; fue quien propuso las tareas y las desarrolló en su gran
mayoría. Se considera que el modelo explicativo predominante en la clase del profesor Juan
fue el modelo lineal o matemático (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994). El docente
propuso y desarrolló varios ejercicios o problemas buscando la mecanización de conceptos,
es decir que se referenció el modelo sistémico (Bertalanffy, 1950). También se mostró que
en estas clases se emplearon algunas normas en cuanto a regulación se refiere, por lo cual se
consideró también el modelo orquestal (Marc y Picard, 1992, p 39).
En cuanto a las clases de comunicación, por la participación fue unilateral, se
desarrolló en una dirección. Colectiva y abierta, se dirigió los estudiantes; lingüística, el
medio natural de comunicación fue el lenguaje, con apoyo de códigos paralingüísticos;
también extralingüística, se emplearon códigos distintos a la lengua natural, como la
simbología matemática; formal, siguió un patrón de clase definido, el tradicional
tecnológico. En cuanto al canal, la comunicación fue audio visual y directa; vertical, de
docente a estudiante (Niño, 1998).
Según Peirce (1974) en esta clase se utilizaron especialmente los símbolos y en menor
escala los íconos. Se utilizaron símbolos ubicados en un contexto y en relación con otros
símbolos; el profesor siempre intentó utilizar símbolos con significado (Saussure, 1995).
Se utilizaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como
sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).
Se consideró la comunicación como medio para percibir el avance o las dificultades
de los estudiantes y como medio de control (Ponte et al, 2007). El profesor utilizó la
Capítulo 7. Caso Juan
343
comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje de
los conceptos matemáticos de los mismos.
De acuerdo con el contrato didáctico (Brousseau, 1988), en la clase se pudieron
identificar algunas normas: El profesor es el que propone los ejercicios y utiliza el tablero,
el profesor debe desarrollar los problemas que propone, el profesor debe explicar cómo se
soluciona un determinado tipo de problema, el estudiante debe contestar las preguntas cortas
del profesor, el profesor es quien decide qué se debe trabajar en la clase; en este caso el que
propone el problema a solucionar; siempre que se haga una parte de la construcción hay que
hacer click para validarla; todos deben iniciar a trabajar al tiempo. Como este caso hay varios
dentro de las sesiones de clase y se encuentran en el análisis de las mismas.
Los modos de comunicación propuestos por Brendefur y Frykholm (2000), son
presentados de acuerdo a las configuraciones didácticas (Godino, Planas y Font, 2010) con
las interacciones de clase, en las tablas 60 y 61.
De lo anterior se deduce que la comunicación unidireccional es la típica de la clase del
docente Juan, ya que la mayoría de las configuraciones de las dos clases son de este modo
de comunicación. En la parte final de la segunda clase se dio la comunicación reflexiva, sin
embargo no es la regularidad. Las interacciones planteadas generalmente son del actuar del
docente con muy pocas del estudiante, se manifiesta adicionalmente en el promedio de
participación del estudiante en la clase, que es del 35.76%.
Durante el Trabajo Colaborativo
Se considerararon dos momentos importantes para mirar el avance del proceso, uno
dentro del desarrollo de las reuniones del grupo de trabajo colaborativo y otro al finalizar.
En cuanto a su participación en el grupo de trabajo colaborativo, el profesor plantea que
el balance es positivo, cree que ha sido “un espacio en el que se ha creado un ambiente de
confianza para contar las situaciones de clase e incluso socializar los problemas que se
presentan en las clases, pero además ha permitido que nos arriesguemos a diseñar ambientes
de aprendizaje” (EntJ3, 12 mayo 2016). Dice que ha evolucionado como profesor de
Capítulo 7. Caso Juan
344
matemáticas al reconocer que los contenidos no son lo importante, sino que se deben presentar
situaciones que le permitan al estudiante explorar los conceptos y que de dichas situaciones
emerjan ideas más relevantes que los contenidos mismos, lo cual supone un esfuerzo de
constante reflexión sobre la práctica docente, sin lo cual no es posible cambiar la inercia del
paradigma tradicional.
Se debe evolucionar, compartir experiencias de clase con otros colegas, de modo que
permita conocer variadas metodologías. Un aspecto que le ha sido especialmente difícil es “el
de ceder espacios a los estudiantes, pues algunos estudiantes consideran que la labor del
profesor en el salón debe acaparar toda la atención en el tiempo de clase” (EntJ3, 12 mayo
2016). Este aspecto no se ha podido realizar por varias razones. El profesor Juan plantea que
uno de los factores que dificulta las socialización entre compañeros es el tiempo, pero además
también se dan casos en que los colegas no son abiertos a compartir sus experiencias de clases,
sin embargo, un aspecto positivo del grupo colaborativo es que todos los miembros van con
la intensión de compartir y aprender (EntJ3, 12 mayo 2016). De otra parte, sobre ceder espacio
a los estudiantes, la dificultad se ha mantenido, por dos causas: los estudiantes reclaman que
las clases se hagan de forma magistral, se debe a que la única experiencia de clase que han
tenido es con el paradigma tradicional. Otra causa corresponde a las incertidumbres que se
puedan presentar ante situaciones no previstas de las cuales no se tengan respuestas
inmediatas.
En el grupo realmente se vivencia un trabajo colaborativo, “pues en el grupo todos
asumimos con interés las actividades que nosotros mismos nos proponemos” (EntJ3, 12 mayo
2016). Piensa que ha sido una experiencia enriquecedora, porque todos están en un mismo
nivel y tienen la intención de mejorar las prácticas, y a pesar de que los puntos de vista no
sean iguales, se buscan puntos de convergencia de manera que todo al final sea un acuerdo.
La relación entre los compañeros ha sido un factor importante, “porque nos permite asumir
una identidad propia, sin presión por parte de algún miembro lo cual ha permitido que cada
uno se considere como una parte importante dentro del grupo” (EntJ3, 12 mayo 2016), pues
se valoran las ideas de cada integrante.
Capítulo 7. Caso Juan
345
Manifiesta que el actual trabajo que se viene desarrollando al interior del grupo de
trabajo colaborativo se puede mejorar “explorando otros referentes teóricos que nos permitan
entender nuestras prácticas desde otros puntos de vista, así como vincular a estudiantes de
pregrado para que nos aporten una mirada distinta de las prácticas” (EntJ3, 12 mayo 2016).
El profesor plantea que “la reflexión generada al interior del grupo colaborativo me ha
permitido reconocer múltiples aspectos de la práctica docente” (EntJ3, 12 mayo 2016),
algunos de los cuales habían descuidado por su desconocimiento o por desestimar su
relevancia dentro de la configuración de un ambiente de aprendizaje.
Ha participado en la reflexión del grupo aportando diferentes experiencias vividas como
docente de matemáticas en distintos niveles de educación, pero también relacionando esa
experiencia con aspectos de las teorías pedagógicas y didácticas que ha tenido la oportunidad
de estudiar, y que al igual que los compañeros del grupo, proporcionan una visión más amplia
de las prácticas docentes. Afirma que en el grupo:
hemos estudiado las características específicas de los modelos pedagógicos más
dominantes, y esto me ha servido para identificar la tendencia general de mi práctica
docente. Conocer esas características específicas de mi práctica es un elemento clave
para transformarla, porque permite generar procesos de autorregulación y reflexión, es
decir la práctica docente ya no es una acción rutinaria y descuidada, sino que es una
acción consiente (EntJ3,12 mayo 2016)
El reflexionar sobre sus clases de semestres anteriores, le ha permitido identificar
aspectos positivos, al igual que buscar cómo mejorar su práctica docente, con lo cual ha
podido redireccionar estrategias o pensar en adoptar otras que serían más pertinentes en
algunas situaciones de clase. Cree que conocer los criterios de idoneidad propuestos por el
Enfoque Ontosemiótico para análisis de clases, “ha facilitado determinar cuáles pueden ser
las dificultades a la hora de mantener un equilibrio sistémico en cada una de las dimensiones:
epistémica, ecológica, cognitiva, afectiva, interaccional y mediacional” (EntJ3, 12 mayo
2016).
Capítulo 7. Caso Juan
346
En conclusión, luego de hacer los análisis didácticos, considera que uno de los aspectos
positivos de su práctica docente tiene que ver “con la preocupación por el uso de mediaciones
apropiadas, que le permitan al estudiante acercarse a la comprensión de conceptos
matemáticos” (EntJ3, 12 mayo 2016). Otro aspecto que considera una fortaleza tiene que ver
con la dimensión ecológica, en cuanto a la búsqueda de conexiones entre los conceptos
trabajados en clase y el desarrollo profesional de los estudiantes, así como la relación con
otros contenidos intra e interdisciplinares. Cree también que quedan muchos aspectos por
mejorar, por ejemplo en la dimensión epistémica, “pues hace falta la incorporación
sistemática de situaciones problema que impliquen mayor esfuerzo por parte del estudiante
para poner en juego tanto los saberes previos como su espíritu investigativo” (EntJ3, 12 mayo
2016). Así mismo, en su práctica docente ve dificultades en la dimensión interaccional, pues
el estudiante sólo asume un rol pasivo y por tal razón no está plenamente comprometido con
su propio aprendizaje.
En cuanto al desarrollo de las prácticas comunicativas, la opinión del docente es que al
mirar retrospectivamente las prácticas matemáticas en el aula, se puede establecer algunas
diferencias con la situación anterior al proyecto, “particularmente en el tratamiento de los
contenidos y en los procesos de comunicación en aula” (EntJ3, 12 mayo 2016); antes los
estudiantes se limitaban a transcribir los conceptos y definiciones del tablero a sus cuadernos,
era una actividad muy simple y para ellos no demandaba muchos recursos cognitivos;
adicional a esto “los niveles de atención resultaban ser escasos debido a que los estudiantes
no reflexionaban ni se cuestionaban sobre los conceptos tratados en clase, finalmente ésta
terminaba siendo monótona” (EntJ3, 12 mayo 2016). Luego de los procesos de reflexión y
autoevaluación, dentro del grupo colaborativo se propusieron actividades de clase:
que le permitieron al estudiante tener más protagonismo y promover procesos
metacognitivos, mi rol en la clase fue más de acompañamiento y orientación, sin
embargo esta orientación no se limitaba a responder todo lo que pregunta el estudiante,
es decir no busqué suplantarlo, sino que es más un ejercicio de tipo mayéutica donde el
estudiante tiene que contrastar lo que sabe y lo que desconoce con sus compañeros para
generar su aprendizaje (EntJ3, 12 mayo 2016).
Capítulo 7. Caso Juan
347
Antes del trabajo del grupo colaborativo, los estudiantes al no intervenir de manera
activa en la clase, encontraban distracciones o hablaban de temas distintos o que no tenían
nada que ver con el tema tratado, supone que es a causa de la inercia en la dinámica de la
clase. Al realizar cambios paulatinos mediante la implementación de situaciones problema,
que implicaran que el estudiante hiciera uso de diferentes herramientas cognitivas como
plantear un modelo, realizar representaciones gráficas apropiadas, establecer estrategias, entre
otras, llevó a los estudiantes a comparar sus procesos de elaboración conceptual, lo que
implicó que entre ellos cuestionaran las ideas tanto de sus compañeros como las propias, y en
ese sentido se creó un ambiente de interdependencia y de colaboración, en el que se
evidenciaron procesos metacognitivos (Idem).
En cuanto a las tareas propuestas, la diferencia radicó en que las actividades anteriores
eran más rutinarias, y en la clase se limitaba a dar la explicación magistral del tema; en
cambio, “el proceso de reflexión al interior del grupo permitió pensar en las múltiples
dimensiones del enfoque Ontosemiótico para el diseño de situaciones problema” (EntJ3, 12
mayo 2016). Cabe resaltar que el proceso de diseño y planeación de la clase fue más exigente
para el profesor, pues no se limitaba a presentar los contenidos, sino que tenía que prever las
diferentes condiciones que le permitieran al estudiante reelaborar conceptos y relacionarlos
con otros contenidos.
En lo concerniente al trabajo solicitado a los alumnos, según él, pasó de ser rutinario a
ser interpretativo, esto demandó más interés por parte de los estudiantes, y facilitaba la
comunicación entre ellos, así como formulación de preguntas más elaboradas a partir de los
elementos conceptuales que se trabajaban en clase. La organización de los alumnos paso de
ser o lineal o caótica, a estar organizados por grupos de trabajo identificables. En cuanto a su
papel como docente planteo que ¨pasé de ser trasmisor de información, a orientador de
procesos de aprendizaje¨ (EntJ3, 12 mayo 2016), es decir, se cambió la metodología de clase
magistral a involucrar al estudiante en la resolución de situaciones problema. En la nueva
forma de trabajo en clase se cuestionaba al estudiante sobre sus afirmaciones, de modo que
mediante la interacción con sus compañeros demostrara seguridad al momento de reconstruir
conceptos y dar sus conclusiones.
Capítulo 7. Caso Juan
348
Según el profesor, la clase dejó de ser monótona y pasó a tener una dinámica de
interacción constante, en donde cada grupo determinaba su ritmo de trabajo, sin embargo
había espacio para la construcción colectiva. En el entorno de aprendizaje contempló el uso
de varias herramientas, tales como el tablero de clase, computadores, calculadoras, proyector
e incluso los celulares para el análisis gráfico.
En lo referente a la comunicación, cree que se dio prioridad a la comunicación entre los
estudiantes, pues eran ellos los que realizaban los análisis y tenían que reconocer la
importancia de las ideas de los demás compañeros.
También al desarrollar un proceso de reflexión sobre las prácticas de aula, como las
realizadas al interior del grupo colaborativo, pudimos notar que se hace necesario profundizar
en muchos de los conceptos que se abordan en la clase, pues “se requiere una visión más
amplia para realizar las transformaciones adaptativas de los conceptos matemáticos
implicados en las situaciones problema, que se le plantean a los estudiantes” (EntJ3, 12 mayo
2016). Cree que la relación con la matemática cobra un sentido distinto, por cuanto se busca
establecer conexiones entre las matemáticas y otros campos del conocimiento, que permitan
al estudiante acercarse a conceptos matemáticos, o reelaborarlos. En ese aspecto, las
matemáticas no se considerarían como un cuerpo organizado y definitivo de conocimientos,
sino que es un campo de conocimiento dinámico y en donde es posible la exploración de los
conceptos desde diferentes perspectivas (EntJ3, 12 mayo 2016).
Acerca de su rol dentro del grupo de trabajo colaborativo, manifestó:
dentro del grupo mi rol ha tenido dos aspectos, uno como agente de la práctica docente,
en el que se me permitió compartir mis experiencias de aula y dar mi punto de vista
desde lo que considero mi enfoque teórico sobre la educación, particularmente la
educación matemática; el otro aspecto ha sido el de ser aprendiz de mis colegas, para
entender otras formas de desarrollar las prácticas docentes, así mismo poder estar
abierto a las sugerencias expresadas sobre aspectos por mejorar de mi práctica
Capítulo 7. Caso Juan
349
docente. Fue un papel interactivo, en el que el interés principal cada semana era tratar
de mejorar nuestras prácticas (EntJ3, 12 mayo 2016).
Considera que la comunicación y la resolución de problemas son procesos que están
estrechamente relacionados, es decir, las situaciones problema terminan siendo un potencial
detonante de los procesos de comunicación en el aula, y necesariamente favorecen los
procesos metacognitivos en los estudiantes, lo que a la larga redunda en un aprendizaje más
significativo, pues la reelaboración conceptual termina siendo una herramienta versátil que le
permite al estudiante aplicar los conceptos en otros contextos distintos al de la clase.
En cuanto a la importancia que le atribuye a las concepciones de los alumnos en el
aprendizaje de las matemáticas, plantea que “las concepciones de los estudiantes son un punto
de partida, sin embargo es mediante el trabajo progresivo sobre las situaciones problema que
se van transformando esas concepciones en conceptos institucionales” (EntJ3, 12 mayo 2016).
Puede ocurrir que esas concepciones sean próximas a los conceptos matemáticos o por el
contrario necesiten ser transformados completamente, pues pueden ser ideas resistentes al
cambio que se convierten en obstáculos de aprendizaje (Leguizamón, 1996). “Esa
transformación de las concepciones implica el proceso de comunicación entre el profesor y
los estudiantes para establecer una negociación de significados, y determinar las ideas más
cercanas al concepto matemático definido” (EntJ3, 12 mayo 2016). Piensa que al permitirle a
los estudiantes ser los agentes principales de la clase, se promueve la autonomía y les permite
ganar confianza sobre sus capacidades para abordar conceptos de matemáticas, sin que el
profesor suplante su aprendizaje; además esta configuración de la clase demanda el uso de los
conocimientos previos y la interdependencia entre los estudiantes como factor fundamental
en el proceso de comunicación.
Fueron varios los momentos en los que el profesor Juan sintió incertidumbre sobre los
fines de la enseñanza de las matemáticas, pues la constante reflexión realizada al interior del
grupo generó gran debate y polémica sobre los paradigmas sobre los cuales se han centrado
tanto las matemáticas como la educación matemática. En ese sentido ha considerado que
enseñar matemáticas va más allá de un simple ejercicio rutinario que le permite al estudiante
Capítulo 7. Caso Juan
350
desarrollar algunas estrategias mecánicas y algorítmicas, piensa que las matemáticas poseen
un componente práctico que le permite al estudiante relacionarlo con situaciones de la vida
cotidiana, es decir, las matemáticas desde su punto de vista son herramientas de pensamiento
práctico con las cuales hacer frente a diversas situaciones problema.
En cuanto al currículo de matemáticas, propone que podría plantearse un posible
camino, en el que la enseñanza de las matemáticas no tenga como fin la memorización de
conceptos y la mecanización de procedimientos, sino que el currículo favorezca la exploración
conceptual, en el que las clases se correspondan con un modelo que integre sistemáticamente
las dimensiones propuestas por el Enfoque Ontosemiótico.
Despúes del Trabajo Colaborativo
Propuestas del profesor sobre su práctica pedagógica.
En lo que respecta a la propuesta por su parte de un modelo de clase, considera que el
trabajo en el grupo colaborativo es un proceso de evolución constante de las prácticas
docentes, por tal razón es difícil proponer un modelo final o acabado, sin embargo manifiesta
que “es posible determinar elementos más específicos de la práctica docente que se pueden
mejorar a partir de los aspectos evidenciados en el proceso de análisis de las clases que se
realizó dentro del grupo colaborativo” (EntJ4, 12 agosto 2016). En este sentido piensa que:
el modelo que buscaría tendría que priorizar el trabajo centrado en el estudiante, a
pesar de que el paradigma de clase centrada en el docente sea todavía muy resistente
al cambio, no sólo por parte de los profesores sino también por los mismos estudiantes;
a veces termina siendo incluso más fuerte la resistencia de los estudiantes, pues ha sido
un paradigma al cual se han acostumbrado durante muchos años (EntJ4, 12 agosto
2016).
Capítulo 7. Caso Juan
351
También opina que a partir del trabajo en el grupo colaborativo fue posible hacer una
autoevaluación con criterios más claros, y aunque posiblemente fuera muy complejo cuidar
cada uno de los aspectos de las configuraciones didácticas:
mi aspiración es poder brindar a los estudiantes mejores herramientas de construcción
y apropiación de significados, pues fue uno de los aspectos que detecté en el análisis
de mi práctica, que al ser mejorados favorece los niveles de comprensión y los
procesos metacognitivos. La incorporación de problemas relevantes en la clase de
matemáticas es un detonante para la comunicación entre estudiantes, que les permite
plantearse nuevas preguntas sobre el significado de los conceptos matemáticos
implicados. Pienso que el modelo de clase debe valerse de significados cotidianos,
pues ayuda a la construcción y apropiación de conceptos ya que apela a las nociones
intuitivas, a pesar de que el conocimiento intuitivo es muy flexible y depende tanto
de las experiencias como de los conocimientos previos de cada estudiante, por tal
razón las institucionalización del conocimiento, termina siendo también importante
en el desarrollo de la clase, sin embargo en el ideal de modelo de clase que pretendo,
la institucionalización termina siendo una construcción colectiva fruto del trabajo de
los participantes de la clase (EntJ4, 12 agosto 2016).
Otro aspecto que resalta es que en su propuesta de modelo de clase, la evaluación
como proceso objetivo con pretensiones de estandarización no resultaría ser útil, pues se
pretende reconocer la individualidad en los procesos cognitivos y niveles de comprensión
de cada participante, dentro de los procesos de construcción conceptual colectiva.
A partir de los avances logrados en el desarrollo del trabajo en el grupo colaborativo,
ha encontrado muy provechoso para motivar el aprendizaje de los estudiantes, la aplicación
de mecanismos de interdependencia cognitiva, tales como:
la implementación de situaciones problema en pequeños grupos y luego la
socialización en plenaria de las conclusiones, lo cual permite que la interacción en
clase esté centrada el estudiante y se propicie un patrón discusión, en las que cada
Capítulo 7. Caso Juan
352
participante de la clase tiene que manifestar lo que piensa y argumentarlo para que el
grupo llegue a consensos. Consideró que este patrón de discusión tiene múltiples
beneficios en los procesos metacognitivos y de aprendizaje, pues al implicar a cada
participante de la clase en un ejercicio dialógico se valoran las ideas, se promueve la
autonomía, se desarrolla el pensamiento crítico, se fortalece la autoestima y se propicia
la construcción de significados compartidos (EntJ4, 12 agosto 2016).
Igualmente plantea que como resultado de la experiencia trabajando en el grupo
colaborativo ha encontrado que para lograr cambios en su práctica docente, la estructura en
términos de mediaciones tiene que cambiar, por tal razón la distribución espacial de los
participantes de la clase puede ser dinámica y puede requerir la incorporación de elementos
audiovisuales; en este sentido:
la comunicación tiende a ser multidireccional y polifónica, sin perder de vista la
construcción colectiva de significados orientados a la conceptualización matemática.
Este tipo de comunicación requiere de una participación activa y reflexiva, que
implica la interdependencia de cada uno de los miembros de la clase (EntJ4, 12
agosto 2016).
Análisis de didáctico.
Se analizaron dos clases de Juan, las cuales fueron grabadas después de culminar el
trabajo colaborativo.
Tercera clase.
La tercera clase, de la Asignatura Cálculo Diferencial, tuvo una duración de una
hora y veinticinco minutos (1:25), orientada al segundo semestre de la Licenciatura en
Matemáticas de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Sede Tunja, con
24 estudiantes.
En términos generales se presentó el proceso descrito a continuación: el profesor
inicialmente hizo la distribución del salón para trabajar en grupos de 4 estudiantes.
Capítulo 7. Caso Juan
353
Entregó un taller con cinco actividades: la primera consistía en deducir la fórmula del
área de una caja sin tapa que tenían que construir los estudiantes a partir de una lámina
cuadrada (de diferentes tamaños). Posteriormente solicitaba graficar e identificar el rango
y el dominio, justificando la respuesta. Una segunda actividad fue graficar en computador
o celular, funciones de segundo grado, variando los coeficientes, se pedía unas
conclusiones al respecto. La tercera era realizar un análisis muy similar al anterior, pero
adicionando valor absoluto a la función cuadrática. La cuarta correspondía a una
descripción de la relación de lo que estaba sucediendo al variar los coeficientes, tanto en
la función cuadrática, como en la función con valor absoluto. Finalmente la actividad era
muy similar a la primera, pero ahora con la función volumen. Al culminar la sesión de
trabajo, el profesor dejó planteada la socialización de lo realizado para la siguiente clase.
(Observación de clase, 17 octubre 2016).
La clase se dividió en 6 configuraciones didácticas, de acuerdo con el marco
teórico y metodológico del Enfoque Ontosemiótico (Font, Planas, Godino, 2010). A
continuación se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.
Capítulo 7. Caso Juan
354
Tabla 61. Análisis didáctico de la tercera clase. Líneas
transcri
p
ción
Prácticas Objetos primarios Procesos Funciones del
profesor
Funciones de los
alumnos
Tipo de
configuración
didáctica
Patrones de
interacción Conflictos Normas
1-49
Entrega de
taller.
Elaborar
una caja sin
tapa a partir
de una
lámina
cuadrada.
Lenguaje verbal: Se usa un
lenguaje verbal no
matemático como:
computador, libro, celular,
pila, hoja, caja, regla,
canasticas; y lenguaje
matemático ya conocido
(ejercicios, fórmulas,
gráficas, base cuadrada,
términos, tabla de valores,
función, distancia, medida,
centímetros, lado,
cuadrado, simplificación,
cuadrado perfecto…)
Lenguaje simbólico:
expresiones algebraicas
como
𝑥2 − 24𝑥 + 36 Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Explícitas: de función, de
área superficial.
Procedimientos: Para
solucionar el taller 1) Leer
todos los puntos. 2) Iniciar
solucionando la situación
problémica, 3) Plantear
una ecuación que la
represente.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
propias de la solución de
ecuaciones, como suma,
resta, multiplicación,
división, transposición de
términos…
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo, tanto en el
taller como en el
cuaderno.
Proceso de
descomposición:
para desarrollar la
situación
problémica hay
necesidad de
plantearla en varias
situaciones más
sencillas, cómo la
determinación de
las áreas de cada
cara.
Proceso de
mecanización: los
alumnos deben
realizar cálculos
básicos como
cálculos
numéricos.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares para
llegar a la solución
-Distribuye los
estudiantes por
grupos.
- Explica el
trabajo que se
va a desarrollar
durante toda la
clase.
- Entrega el
taller sobre
gráficas de
funciones.
-Permite que
un candidato
de los
estudiantes al
Consejo
Académico se
dirija a los
estudiantes.
-Invita
posteriormente
a los
estudiantes a
concentrarse
nuevamente en
el taller.
- Se distribuyen
en grupos de 4
estudiantes.
-Reciben el taller
entregado por el
profesor.
-Discuten acerca
de la
problemática
planteada.
-Escuchan los
planteamientos
de un compañero
candidato a su
representación
en el Consejo
Académico.
-Plantean desde
su concepción la
función
generada de la
situación
problémica.
Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
O, pnt, Rc,
Ant, ap, tg,
ent, tg, Ant,
pnt, Pnt,
rpnt, Rc, pm.
pccm, ed, ed,
ant, pcc, l, o,
pcc, pcc, o,
des, o, pcc,
o, pcc, Pc, rc,
A, ap, Pc, o,
ant, pcc, ar,
o,o,o,o,o,
cop, o, o, o,
a, ap, o, o,
pccm, ric,
pcc, ap, o,
ap.
- El trabajo se
desarrolla en
grupos de 4
estudiantes.
-Es importante
socializar los
resultados al
terminar.
-Es relevante
atender cuando
algún
compañero
externo da una
información.
-El estudiante
debe confrontar
las ideas de los
compañeros.
-Es importante
buscar
consensos.
Capítulo 7. Caso Juan
355
Argumentos:
Implícitos: Explicación de
los procedimientos
adecuados para la solución
de la situación problémica.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para
determinar el área
superficial de una caja.
de la situación
problémica.
50-99 Elaborar la
gráfica de
la función
determinad
a por la
situación
problémica
.
Identificar
el dominio
y el rango.
Lenguaje verbal: Se usa ya
conocido (función, recta,
tabla de valores, gráfico,
área, positivo, escala,
dominio, rango…).
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas y
gráfica de la función:
𝑆(𝑥)
= (𝑎 − 2𝑥)2 + 4𝑥(𝑎− 2𝑥)
𝑆(𝑥) = 𝑎2 − 4𝑥2
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Explícitas: de función,
dominio de una función y
rango.
Procedimientos: 1)
Elaborar una tabla de
valores. 2) Graficar
3) Identificar el dominio de
la función. 4)
Determinar el rango.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación desy
división…
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el
cuaderno y en el
taller signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo como la
representación de la
función.
Proceso de
mecanización: Se
trata de que los
alumnos realicen el
reemplazo repetido
de números en la
variable, para
determinar la tabla
de valores y poder
graficar.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo,
buscando llegar a
consensos sobre la
gráfica de la
función.
Proceso de
generalización: se
parte de
reemplazar valores
-Asesora a los
estudiantes
cuando lo
solicitan o
cuando el
desee
intervenir en
algún grupo
-Cuestiona a
los estudiantes
sobre la forma
de solucionar
el ejercicio.
-Aclara lo que se
solicita en el
taller.
-Participan con
aportes al grupo.
- Discute con los
compañeros la
forma de
graficar la
función.
-Cuestionar las
propuestas de los
compañeros
sobre cómo
realizar la
gráfica, en pro
de comprender
como se hace
ese proceso.
-Trabaja sobre el
ejercicio
propuesto por el
profesor en el
taller.
Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
Ant, pnt, o,
ap, pcc, a,
ant, ant, pnt,
so, ric, l, ant,
pcc, pnt, ric,
o, ap, ant,
des, ant,
pccm, ar,
pnt, ric, o,
pcc, a, pcc,
pcc, ar, des,
pcc, ric, a,
so, pccm, ar,
o, des, o,
pcc, ric, a, o,
ant, so, ap, a,
o, o, a, des,
pcc, ric, pcc,
ric, pcc, ric,
o, o, ap.
Los estudiantes
plantean dudas
acerca de la
escala que deben
tomar para la
gráfica, creen
que si varían la
escala obtienen
una figura
diferente, lo cual
puede producir
un conflicto
semiótico tanto
interaccional
como cognitivo.
-Es bueno
respetar los
turnos de la
palabra.
-Se deben
desarrollar todos
los ejercicios
propuestos en el
taller.
-Es relevante
analizar bien el
procedimiento
para solucionar
el ejercicio.
-Es bueno
verificar que lo
analizado en el
grupo es lo que
copia el relator.
-Hay necesidad
de confrontar las
ideas de los
demás para
poder llegar a
consensos.
Capítulo 7. Caso Juan
356
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de
los procedimientos
adecuados para la gráfica
de la función, al igual que
para identificar su dominio
y rango.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para
graficar funciones y
determinar su dominio y
rango.
particulares para
poder representar
la generalidad que
es la función.
Proceso de
particularización:
se tiene la función
y se reemplazan
valores para hallar
un valor particular.
100-148 Identifican
las
propiedade
s de una
función
cuadrática,
mediante
gráficas en
computado
r o celular.
Lenguaje verbal: ya
conocido (gráfica, valores,
computador, celular, tabla
de valores, funciones,
factor, números aleatorios,
cuadrado, mesa, geogebra,
línea recta, cuadrado,
curva, recta, parábola,
valor fijo…).
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas de
funciones cuadráticas:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,𝑎≠ 0
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 2
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal)
Explícitas: función
cuadrática y propiedades.
Procedimientos: 1) Escribir
la función cuadrática en
forma general. 2) cambiar
los valores de a, b y c, y
graficar en computador o
celular. 3) Plantear las
conclusiones.
Propiedades: identificación
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el
cuaderno, en el
celular y en el
computador, signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo.
Proceso de
mecanización: los
alumnos realizan,
muchas
sustituciones de los
valores de a, b y c,
en la función
cuadrática
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo, con el
fin de llegar a
consensos.
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares, dando
valores a, b y c en
la función
- Asesora a los
estudiantes,
cuando lo
considere
pertinente o
porque ellos
solicitan su
ayuda.
-Confronta las
ideas de los
estudiantes
acerca de las
propiedades de
la función
cuadrática.
-Las anteriores.
-lee y
comprende la
parte pertinente
a la gráfica de
funciones
cuadráticas y sus
propiedades.
- Discute acerca
de la forma de
desarrollar la
problemática
propuesta.
-Elabora gráficas
de funciones
cuadráticas.
-Llega a
consensos sobre
las propiedades
de las funciones
cuadráticas con
base en las
gráficas
elaboradas.
.Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
A, pcc, ar,
des, ant, o,
pcc, pcc, ar,
o, pcc, ap,
pccm, ant, a,
o, des, pcc,
pcc, ric, pcc,
ric, a, ex, ant,
pnt, o, pcc,
pcc, ric, des,
o, ex, pcc, ar,
ant, a, o, des,
o, o, ant, so,
pcc, ric, r,
ant, pcc, pcc,
a, pcc, ex, o,
des, pcc, ar,
o, so, des,
ant.
-A pesar de las
indicaciones del
profesor de
graficar en el
computador o
celular, los
estudiantes
insisten en que
hay que hacer
tabla de valores
para poder
graficar, lo cual
puede causar un
conflicto
semiótico de
carácter
cognitivo.
-Los estudiantes
consideran que
deben dibujar la
parábola para
explicar sus
propiedades,
pero lo que pide
el docente en el
taller es la
descripción de
las propiedades,
lo cual puede
causar un
conflicto
cognitivo de
carácter
-los mismos que
en la
configuración
anterior
-En esta parte
del taller hay
que hacer las
gráficas de la
función
cuadrática
utilizando el
computador o el
celular.
-Es bueno hacer
gráficas pero lo
que interesa son
las conclusiones.
-Dado que la
gráfica es una
curva, para su
gráfica el único
elemento que se
puede utilizar es
el curvígrafo.
Capítulo 7. Caso Juan
357
de propiedades ya
conocidas de las funciones
cuadráticas
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de
los procedimientos
adecuados para graficar
funciones cuadráticas e
identificar sus propiedades.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para
graficar funciones en
computador o en celular,
utilizando el software
Geogebra.
cuadrática, para
poder inferir sus
propiedades.
Proceso de
particularización:
Se plantea la
función cuadrática
en general, para
reemplazando
valores obtener
funciones
cuadráticas
específicas.
interaccional.
-Un estudiante
cree que para
graficar una
parábola, puede
mejor el
bosquejo si
utiliza la
escuadra para
disimular el mal
pulso, lo cual
puede causar un
conflicto
cognitivo
interaccional.
149-213 Característi
cas del
valor
absoluto de
una
función
cuadrática.
Lenguaje verbal: ya
conocido (valor absoluto,
función, cuadrado, gráfica,
punto, rango, positivo,
fuente de diodos, corriente,
corriente alterna…).
Lenguaje simbólico:
Expresiones algebraicas de
función cuadrática con
valor absoluto
𝑔(𝑥) = |𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐|,𝑎≠ 0
ℎ(𝑥) = |−3𝑥2 + 4𝑥 − 2|
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Explícitas: función
cuadrática, función valor
absoluto, rango.
Procedimientos: 1)
Reemplazar con valores
numéricos los coeficientes
a, b y c, en la función valor
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo tanto en el
cuaderno, como en
el celular y en el
computador.
Proceso de
mecanización: los
alumnos realizan
sustituciones de los
valores de a, b y c,
en la función valor
absoluto de una
cuadrática.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo.
Proceso de
generalización: se
dan casos
-Asesora a los
estudiantes de
diferentes
maneras.
-Mediante
preguntas hace
reflexionar a
los estudiantes
sobre los
procesos
seguidos en el
abordaje de los
ejercicios.
-Las anteriores.
-Grafican
funciones de la
tipología
solicitada.
-Argumentan
sobre casos
particulares.
-Concluir sobre
la generalidad
del
comportamiento
de una función
valor absoluto de
una cuadrática.
.Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
Ant, pnt, pcc,
ric, pcc, ric,
o, o, pcc, ric,
o, o, o, pcc,
ex, o, o, pcc,
ar, des, ex,
A, o, o, pcc,
o, o, o, pcc,
o, des, rdes,
a, pcc, ric,
pcc, ric, pcc,
e, o, pcc, ap,
o, des, o,
pcc, ric, o,
ant, ant, ex,
ant, ant, ant,
ex, pcc, o, o,
ex, o, ex, o,
pcc, ric, pcc,
ric, ap, pcc,
ar, des, o, so,
pcc, ric, r.
-El estudiante
afirma que el
valor absoluto le
convierte el
rango en
positivo,
hablando del
valor absoluto de
una función
cuadrática, sin
tomar en
consideración
todas las
posibilidades que
este tipo de
ejercicio puede
tener, lo cual
puede causar un
conflicto
semiótico
cognitivo.
-los mismos que
en la
configuración
anterior
-El estudiante
debe realizar
gráficas
tomando
diferentes
valores y
observar su
comportamiento
para concluir.
.El estudiante
debe sacar
conclusiones
generales de los
casos
particulares
analizados.
-Los estudiantes
pueden sacar
aplicaciones al
contexto sobre
la temática.
Capítulo 7. Caso Juan
358
absoluto de una función
cuadrática. 2) Extraer
conclusiones de cada caso.
3) Plantear las
conclusiones generales.
Propiedades: identificación
de propiedades ya
conocidas de las funciones
cuadráticas, pero
especialmente de la
función valor absoluto.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de
los procedimientos
adecuados para graficar
funciones de valor
absoluto de funciones
cuadráticas e identificar
sus propiedades.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para
graficar funciones de valor
absoluto de funciones
cuadráticas e identificar
sus propiedades, mediante
el uso del computador o en
celular.
particulares, dando
valores a los
coeficientes a, b y
c en la función
valor absoluto de
una cuadrática,
para poder inferir
sus propiedades.
Proceso de
particularización:
Se plantea la
función valor
absoluto de una
función cuadrática
en general, para
reemplazar y
obtener valores
específicos.
-Los estudiantes
deben hacer las
gráficas
utilizando el
celular o el
computador.
.
214-283 Relación
de la
función
cuadrática
con la del
valor
absoluto de
la misma
función.
Lenguaje verbal: ya
conocido (funciones,
gráficas, cuadrado, valores,
factores, negativos,
positivos, parábolas,
energía, volumen, caja…).
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraica de
funciones como:
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5𝑥 + 2
ℎ(𝑥) = |−𝑥2 + 2𝑥 − 3|
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo tanto en el
cuaderno, como en
el celular y en el
computador.
Proceso de
mecanización: los
alumnos realizan
sustituciones de los
valores de a, b y c,
tanto en la función
valor absoluto de
-Asesorar a los
estudiantes
cuando estos lo
piden o cuando
el profesor lo
considere
necesario.
-Confrontar las
ideas de los
estudiantes
sobre la forma
de solucionar y
abordar los
ejercicios.
-Las anteriores.
-Llama al
profesor para
aclaración de
dudas.
-Hace gráficas
en computador o
celular, para
sacar relaciones.
-Interviene
dentro de la
discusión del
grupo para llegar
a comprender la
problemática.
.Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
Pccm, ric,
pccm, pcc, o,
pcc, o, o,
des, so, o,
des, o, o,
pcc, ric, ap,
o, o, pccm,
pccm, ar, so,
pcc, ant, o,
des, pccm,
ric, o, o, ex,
ex, o, o, o,
pccm, ric,
des, ant, pcc,
ric, o, pcc,
ric, pcc, a,
pcc, ric, des,
pcc, ric, pc,
-El estudiante
afirma que si a
toma un valor, b
y c no pueden
tomar ese mismo
valor lo cual
puede causar un
conflicto
semiótico
cognitivo.
-Un estudiante
afirma que si c es
positivo la
gráfica da haca
abajo y si c en
negativo, la
gráfica da hacia
-La s anteriores.
-Las gráficas las
deberá hacer el
estudiante
utilizando el
computador o el
celular.
-Los estudiantes
del grupo deben
intervenir en las
discusiones para
llegar a
conclusiones.
Capítulo 7. Caso Juan
359
Explícitas: relaciones entre
los dos tipos de funciones
mencionadas.
Procedimientos: 1)
Reemplazar con valores
numéricos los coeficientes
a, b y c, en la función valor
absoluto de una función
cuadrática y en la función
cuadrática. 2) Extraer
conclusiones de cada caso.
3) Plantear conclusiones
generales.
Propiedades: propiedades
ya conocidas de las
funciones cuadráticas y de
la función valor absoluto.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de
los procedimientos
adecuados para graficar
funciones de valor
absoluto de funciones
cuadráticas, funciones
cuadráticas e identificar
sus propiedades.
Explícitos: Explicación de
la forma de relacionar las
gráficas de los dos tipos de
funciones, mediante el uso
del computador o el
celular.
una cuadrática,
como en la
cuadrática.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo,
orientados a sacar
conclusiones del
grupo.
Proceso de
generalización: se
dan casos
particulares, dando
valores a los
coeficientes a, b y
c en la funciones
dadas, para poder
inferir sus
propiedades.
Proceso de
particularización:
Se plantean las
funciones en
general, para
reemplazar y
obtener valores
específicos.
-Contestar a las
preguntas de los
estudiantes
-Saca
conclusiones de
los casos
particulares.
ric, o, pcc,
pcc, ric,
pccm, ar, o,
o, pcc, ant,
ap, pnt, pcc,
ria, o, pcc,
ric, pcc, ric,
pcc, ria, o, o,
o, ap, o,o.
arriba, lo cual
también puede
causar un
conflicto
semiótico
cognitivo.
284-309 Desarrollo
de las
actividades
faltantes
del taller.
Determinar
la ecuación
del
volumen
de la caja.
Lenguaje verbal: lenguaje
ya conocido (caja, caja
abierta, material, ejercicio,
volumen, aristas, cuadrado,
área…).
Lenguaje simbólico:
Expresión algebraicas
correspondientes a lo
realizado en las
configuraciones anteriores.
Proceso de
representación y
materialización: los
signos que se
utilizan en el
cuaderno,
computador y
celular, son signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo.
-Asesora a los
estudiantes
cuando estos lo
piden o cuando
el profesor lo
considere
necesario.
-Confronta las
ideas de los
estudiantes
-Las anteriores.
-Informa al
profesor sobre
los nombres de
los componentes
de cada grupo.
-Analiza la caja
de la primera
actividad, pero en
.Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
Ant, Pc, pc,
Rc, pcc, pcc,
ric, ant, pnt,
ria, a, ppc,
ar, pcc, ar,
ant, ant, pcc,
pcc, pcc, pcc,
ric, o, pcc,
pcc, o, o, o,
ex, pcc, ric,
O.
-El estudiante
plantea como
volumen de un
paralelepípedo,
la arista elevada
al cuadrado, lo
cual puede
conllevar a un
conflicto
semiótico
cognitivo.
-Se debe
terminar el
análisis de lo
faltante en el
taller.
-Hay que
elaborar informe
para socializar
en la próxima
clase.
Capítulo 7. Caso Juan
360
Definiciones:
Implícitas (las mismas que
aparecen en el lenguaje
verbal).
Explícitas: volumen de un
paralelepípedo.
Procedimientos: 1)
Desarrollar lo faltante de
los ejercicios anteriores 2)
Deducir la ecuación del
volumen de la caja inicial.
3) Llegar a nuevos
consensos.
Propiedades: Aplicación de
propiedades ya conocidas,
como suma, resta,
multiplicación y división
de reales.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de
los procedimientos
adecuados para la
determinación de la
ecuación del volumen.
Explícitos: Explicación del
procedimiento para hallar
la ecuación del volumen.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo.
Proceso de
generalización: se
dan casos
particulares, dando
valores específicos
a la lámina que se
toma como base
para poder inferir
una ecuación
general a cualquier
caja.
sobre la forma
de solucionar y
abordar los
ejercicios.
-Contesta a las
preguntas de los
estudiantes.
lo referente a su
volumen.
-Trabaja en
grupo haciendo
aportes para
lograr la
comprensión de
la temática.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 7. Caso Juan
361
En la siguiente tabla se plantea el análisis de la idoneidad didáctica sugerido por
Godino, J. (2011) entre otros, asumido desde el Enfoque Ontosemiótico.
Tabla 62. Análisis de Idoneidad de la tercera clase.
COMPONENTES: INDICADORES S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 90%
Situaciones-
Problemas
100%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación
X
Se proponen situaciones de generación de problemas
(problematización)
X
Lenguajes
100%
Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
100%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del
tema para el nivel educativo dado
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones proposiciones o procedimientos
X
Argumentos
100%
Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas
al nivel educativo a que se dirigen
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar X
Relaciones
50%
Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,
etc.) se relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que
intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 75 %
Conocimientos previos
(Se tienen en cuenta los
mismos elementos que para la
idoneidad epistémica)
100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el
estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor
planifica su estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad
manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares a
las diferencias individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X
Aprendizaje:
Se tienen en cuenta los mismos
elementos que para la
idoneidad epistémica)
25%
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la
apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas:
X
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa
y argumentativa; fluencia procedimental; comprensión situacional;
competencia metacognitiva
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
X
Capítulo 7. Caso Juan
362
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 100%
Intereses y necesidades
100%
Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Actitudes
100%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el
argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 80%
Interacción docente-discente
100%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación
clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los
conceptos clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.)
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre alumnos
100%
Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
matemáticos
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía
100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan
soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y
conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 77.7%
Recursos materiales
(Manipulativos, calculadoras,
ordenadores).
100%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten
introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos,
argumentaciones adaptadas al contenido pretendido
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas
usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones.
X
Número de alumnos, horario
y condiciones del aula
100%
El número y la distribución de los alumnos permiten llevar a cabo la
enseñanza pretendida.
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten
todas las sesiones a última hora).
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el
desarrollo del proceso instruccional pretendido,
X
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/tutorización; tiempo de
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza
pretendida.
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del
tema.
X
Capítulo 7. Caso Juan
363
aprendizaje).
33.3%
Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más
dificultad de comprensión
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 100%
Adaptación al currículo
100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden
con las directrices curriculares
X
Apertura hacia la innovación
Didáctica.
100%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC,
etc.) en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio-
profesional y cultural
100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes
X
Educación en valores
100%
Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico
X
Conexiones intra e
Interdisciplinares
100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares
X
Fuente: Godino (2011).
Igualmente, desde el Enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino,
2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea el hexágono como una forma de
visualizar las diferentes facetas de la práctica docente:
Figura 25. Idoneidades de la Tercera clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi
y Castro, 2009.
Capítulo 7. Caso Juan
364
Según los indicadores del análisis, esta es una muy buena clase de Juan; sin embargo,
se señalan algunos aspectos por mejorar, desde el punto de vista de la idoneidad didáctica:
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 90%). No se propusieron diferentes
significados de los objetos identificados en las prácticas matemáticas, debido entre otros
aspectos a que faltó mejorar la distribución del tiempo y no se realizó la etapa de
institucionalización del conocimiento.
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). No pudimos identificar los distintos
niveles de comprensión y competencia por parte del estudiante, al igual que decidir si los
resultados de esta evaluación se usan para tomar decisiones, ya que el profesor no realizó
una evaluación explícita. Por la misma razón, tampoco pudimos determinar si se presentó o
no la comprensión conceptual y proposicional.
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 100%). Esta es una fortaleza del docente.
Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 80%). No se propuso un medio para
identificar el progreso sistemático de los estudiantes. Igualmente, el profesor no realizó una
presentación formal del taller, sino que lo entregó para que los estudiantes lo desarrollaran.
Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 77.7%). En esta clase al profesor le faltó
control de tiempo, ya que no alcanzó a realizar la socialización de las conclusiones obtenidas
en cada grupo y el proceso de institucionalización.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 100%). Es una fortaleza del docente.
Cuarta clase.
La duración de la clase de Cálculo Diferencial, fue de una hora y treinta y dos
minutos (1:32), orientada igualmente al segundo semestre de la Licenciatura en
Matemáticas de la UPTC, Sede Tunja.
Capítulo 7. Caso Juan
365
Se realizó el siguiente proceso: el profesor, a solicitud de algunos estudiantes
decidió continuar trabajando el taller planteado en la clase anterior, distribuyendo los
mismos grupos, a esta actividad dedicó la mayor parte del tiempo. Luego pasó al tablero
a un estudiante como representante de un grupo para que expusiera el trabajo realizado
sobre el primer punto del taller (trazar una gráfica a partir de una tabla de valores e
interpretar), él fue complementando lo que consideró pertinente. Posteriormente asignó
otro estudiante como representante de otro grupo para que desarrollara el segundo punto
del taller (graficar unas funciones, elaborando tablas de valores), donde la dinámica fue
similar. A continuación, indicó a otro estudiante para que pasara al tablero, y desarrollara
el tercer punto (dada la gráfica de una función definida a trozos, hallar su respectiva
ecuación), se iba complementando con la participación de los compañeros y
especialmente del profesor. Finalmente, se dejó el desarrollo de los puntos restantes para
socializar en la siguiente sesión de clase. (Observación de clase, 20/10/2016).
Para facilitar el análisis de la clase, se dividió en 5 configuraciones didácticas (Font,
Planas, Godino, 2010) de acuerdo con el marco teórico y metodológico del Enfoque
Ontosemiótico.
A continuación se presenta el análisis didáctico realizado a esta clase.
Capítulo 7. Caso Juan
366
Tabla 63. Análisis didáctico de la Cuarta clase.
Líneas
transcripción Prácticas Objetos primarios Procesos
Funciones del
profesor
Funciones
de los
alumnos
Tipo de
configuración
didáctica
Patrones
de
interacción
Conflictos Normas
1-177
Culminación
de taller
entregado en
la sesión
anterior,
preparación de
informe.
Lenguaje verbal: Se usa un lenguaje
matemático ya conocido (variable,
propiedad, valores, sumar, raíz cuadrada,
tablas de valores, objetivo, problema,
gráficas, cuadrado, función, portátil,
curvígrafo, línea recta, punto, dimensión,
constante, abierto, cerrado, positivo,
negativo, menor o igual, mayor o igual,
reales…).
Lenguaje simbólico: expresiones
algebraicas como 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑔(𝑥) = |𝑥2 + 𝑥 − 6|
Definiciones:
Implícitas (las mismas que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: de función, de área superficial,
de volumen.
Procedimientos: Para la clase 1) Mirar
cada grupo que le hace falta y terminar. 2)
Elaborar el informe para entregar 3)
Socializar con toda la clase.
Propiedades: Aplicación de propiedades ya
conocidas, propias de las gráficas de
funciones, despeje de ecuaciones, suma,
resta, multiplicación, división,
transposición de términos…
Argumentos:
Implícitos: Explicación de los
procedimientos adecuados para la solución
del taller.
Explícitos: Explicación del procedimiento
para determinar el volumen y la superficie
de una caja; y graficar diversos tipos de
funciones.
Proceso de
representación y
materialización:
Los signos
matemáticos
utilizados por los
estudiantes, tanto
en el taller como los
escritos en el
cuaderno, son de
uso típico dentro del
grupo.
Proceso de
descomposición:
para desarrollar los
diferentes puntos del
taller, hay que
recurrir a
situaciones más
sencillas, cómo la
determinación de las
áreas de cada cara
para la superficie, la
elaboración de
tablas para graficar
funciones, entre
otros aspectos.
Proceso de
mecanización: para
poder inferir acerca
de la función
cuadrática tienen
que realizar
muchas gráficas.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo,
- Explica cómo
se va a
desarrollar la
clase.
-Plantea a los
estudiantes que
hay que realizar
un informe para
entregar.
-Interactúa con
los estudiantes
cuando lo
considera
necesario o
cuando éstos lo
llaman.
-Hace
aclaraciones a
los estudiantes.
- Siguen
trabajando
en grupos de
4
estudiantes.
-Discuten
acerca de la
problemática
planteada
por el
profesor en
la sesión
anterior.
-Elaboran
informe para
entregar al
profesor.
-Hacen
preguntas al
docente
cuando lo
consideran
pertinente.
Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
Ant, O, pc,
Rc, ap, ant,
Pc, Ar, Pm,
Ar, ant,
pcc, pcc,
ar, pcc, ric,
pcc, ed, o,
pcc, ar,
pccm, ric,
pnt, ex, ant,
ant, ex,
pcc, ric, o,
o, pcc, ar,
pcc, pcc,
ric, pccm,
ar, ant, ant,
o, ex, o,
cop, o, pnt,
ant, ant,
ant, o, pcc,
pcc, ric,
pcc, ric,
pcc, ric,
pcc, Ant,a,
pc, Ra, pcc,
pcc, ar,
pcc, ric,
ant, pcc, o,
o, pcc, o,o,
pcc, ric,
pcc, ric, o,
ex, pnt, ric,
Pnt, Ar, Pc,
ant, ant, ex,
ant, ant,
ant, o, pcc,
ant, pccm.
ar, o, A,
pnt, ric,
pcc, ant,
pcc, ant,
pnt, ar, des,
- El trabajo se
desarrolla en
grupos de 4
estudiantes.
-Es importante
socializar los
resultados al
terminar.
-El estudiante
debe
confrontar las
ideas de los
compañeros.
-Es
indispensable
llegar a
consensos.
Capítulo 7. Caso Juan
367
buscando
consensos.
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares para
llegar a
conclusiones
generales.
Proceso de
particularización:
se parte de
reemplazar valores
en la ecuación
general, para poder
sacar conclusiones.
o, ex, o,
pcc, o, pcc,
o, pcc, ria,
des, o, cop,
pnt, ric, o,
des, a, pcc,
ric, pnt, o,
pcc, ar,
pccm, pcc,
o, pcc, apc,
pcc, pnt,
pcc, ric,
pcc, ar, ric,
pcc, ric, o,
o, ant, o,
pcc, a, pcc,
ex, o, apc,
o, pccm, o,
apc, o, apc,
o, pcc, ar,
pccm, ric,
A, o, pc,
Rc, ic, A,
pcc, pccm,
ar, o, apc,
o, pcc, o,
pcc, ric, e,
pcc, ar, a,
pcc, ria, o,
o, pcc, o, o,
o, o, pcc,
pcc, ant,
ric, pcc, ric,
pcc, ric, ex,
A, ant, ant,
apc, ant,
ant, pcc,
ric, pcc, ar .
178-226 Trazado de
una gráfica a
partir de una
tabla de
valores.
Lenguaje verbal: Se usa ya conocido
(Temperatura, grados Farangeith, gráfica,
función, función, eje vertical, ejercicio,
escala, unidades, sumar, números,
promedio…).
Lenguaje simbólico: Expresiones
Proceso de
institucionalización.
El profesor aclara
las posiciones de los
estudiantes frente
al trabajo
desarrollado en los
-Asigna los
estudiantes que
deben
socializar el
trabajo
realizado en
grupo
-Presta
atención al
compañero
que pase al
tablero.
-Participa
Configuración
dialógica en
gran grupo.
Ant, O,
Ant, O, ant,
A, ap, A, a,
Pc, ric,
Ant, A, Pc,
ric, Pm, ric,
Ap, pc, Pc,
-Los
estudiantes
muestran
dudas sobre
la escala que
se debe
asumir para
-Cada grupo
debe entregar
informe escrito
al docente.
-Deberá
exponer las
Capítulo 7. Caso Juan
368
algebraicas gráfica de puntos, entre otros:
Definiciones:
Implícitas (las mismas que aparecen en el
lenguaje verbal).
Explícitas: de función, dominio de una
función y rango.
Procedimientos: 1) Graficar lo
correspondiente a la tabla de valores. 2)
explicar la gráfica de acuerdo a lo
trabajado.
Propiedades: Aplicación de propiedades ya
conocidas, como suma, resta,
multiplicación y división…
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados para elaborar la
gráfica de la función.
Explícitos: Explicación del procedimiento
para graficar funciones a partir de las
tablas y hallar su significado.
grupos.
Proceso de
representación y
materialización: los
signos matemáticos
utilizados en el taller
y en el cuaderno,
son reconocibles
para todo los
estudiantes, en
especial la tabla de
valores y el trazo de
la función
correspondiente.
Proceso de
mecanización: los
estudiantes ubican
puntos en el plano
cartesiano, y los
unen para formar
una gráfica.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
profesor, teniendo
como objetivo
llegar al consenso
del significado de
la gráfica obtenida.
Proceso de
generalización: se
inició ubicando
puntos en el plano,
para
posteriormente
llegar al
significado de la
gráfica.
-Invita a todos
los estudiantes
a estar atentos a
lo planteado
por sus
compañeros.
-Cuestiona a
los estudiantes
sobre la forma
de solucionar
los ejercicios y
problemas
propuestos.
-Complementa
lo planteado
por los
estudiantes en
el tablero.
-solicita el
informe escrito
de lo
desarrollado
por los
diferentes
grupos de
estudiantes.
con sus
opiniones ya
sea
exponiendo
en el tablero
o desde su
silla.
- Contesta
las
preguntas
del docente
o de los
compañeros.
-Debe
exponer en
el tablero la
síntesis del
grupo, si
llega a ser
asignado por
el profesor.
-
ria, A, ic,
Pnt, ria,
Pnt, Pc, Ar,
Pc, Ar, ex,
E, ap, ic,
Pc, ric, Pc,
pc, Pc, ric,
Pc, Ar, ic,
A, ap, Pc,
ric, Pc, ex,
Ant, ic, a,
Ap, A, pc,
ric, ic, Ap,
ant.
realizar la
gráfica, lo
cual puede
causar un
conflicto
semiótico
especialmente
de tipo
cognitivo.
-No hay
claridad el
estudiante
sobre la
forma de
interpretar la
tabla para
realizar la
gráfica, en
este caso la
relación
temperatura
tiempo, lo
cual puede
producir un
conflicto
cognitivo.
conclusiones
del grupo, el
estudiante que
asigne el
profesor.
-El profesor
entrega los
elementos
necesarios para
que el
estudiante
trabaje.
-El profesor
debe aclarar
aquello que los
estudiantes no
planteen
correctamente.
227-266 Trazo de la
gráfica de
funciones
Lenguaje verbal: ya conocido (gráfica,
tabla de valores, función, paralela, punto,
parábola, cerrada, abierta…).
Proceso de
institucionalización:
el profesor llega a
-Pide a los
estudiantes estar
atentos a lo
-Las
anteriores.
Configuración
dialógica en
gran grupo.
A, Ant, O,
a, O, a, A,
Pc, ric, A,
No hay
claridad sobre
algunas
-Se debe poner
atención a los
estudiantes que
Capítulo 7. Caso Juan
369
especiales:
constante,
radical,
racional y a
trozos,
elaborando
tabla de
valores
inicialmente.
Lenguaje simbólico: Expresiones
algebraicas de funciones como:
𝑓(𝑥) = {2 si 𝑥 ≤ −1 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 > −1
, 𝑓(𝑥) = 2
Definiciones:
Implícitas (las mismas que aparecen en el
lenguaje verbal)
Explícitas: Diversos tipos de funciones
(constante, a trozos, racional, radical) y
propiedades.
Procedimientos: 1) Elaborar la tabla de
valores. 2) Graficar la función
correspondiente. 3) Plantear conclusiones
de lo realizado.
Propiedades: identificación de propiedades
ya conocidas de tipos especiales de funciones.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados para graficar las
funciones solicitadas en el taller.
Explícitos: Explicación del procedimiento
para graficar funciones, basados en tablas
de valores previamente determinadas.
consensos con los
estudiantes respecto
a la forma de
graficar funciones
constantes,
radicales, racionales
y a trozos.
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el tablero
y en el cuaderno,
signos matemáticos
reconocibles para el
grupo.
Proceso de
mecanización: los
alumnos
reemplazan valores
de forma
sistemática para
elaborar las tablas
de valores.
Proceso de
comunicación: Los
estudiantes
interactúan con el
profesor y los
compañeros en
búsqueda de
claridad acerca del
trabajo
desarrollado.
Proceso de
generalización: se
parte de casos
particulares, dando
valores en la
función, para poder
inferir su gráfica y
propiedades.
planteado por
sus compañeros
en el tablero
-Cuestiona lo
planteado por
los estudiantes.
-Hace preguntas
a los estudiantes
expositores y al
grupo.
-Solicita
explicación
sobre un
planteamiento
no claro.
-Atiende a
los
compañeros
que están
exponiendo
en el tablero.
-Contesta las
preguntas
del docente
y de los
compañeros.
-Expone las
conclusiones
del grupo si
es asignado
por el
profesor.
ic, Ap, Pc,
ric, Pc, Ar,
Ant, Pm,
ric, Ant,
Pc, ric,
Ant, a, Ant,
A, Pc, ic,
Pc, ric, A,
des, a, ic,
Ant, Pm,
ant, Pc, ric,
O, Ap, a,
Ap, des, A.
propiedades
de las
funciones,
por ejemplo
dominio de
las funciones
racionales y
de las
funciones
radicales, lo
cual es un
posible
conflicto
semiótico
cognitivo.
pasan al
tablero a
exponer.
-El profesor
debe
cuestionar lo
planteado por
los estudiantes
para lograr
mejor
comprensión
de la
problemática.
-El profesor
debe preguntar
a los
estudiantes
para aclarar
dudas.
-Los
estudiantes
pueden
controvertir lo
propuesto por
un compañero
representante
de algún
grupo.
Capítulo 7. Caso Juan
370
267-304 Determinar la
ecuación de
una función a
trozos, dada
su gráfica.
Lenguaje verbal: ya conocido (fórmulas,
gráficas, función, punto, valor, tabla de
valores, valor negativo, enunciado,
elíptica, enunciado, sumar, multiplicar,
signo, cantidad, ejercicio, grupo, valores
negativos…).
Lenguaje simbólico: Expresiones
algebraicas de funciones como la función
definida a trozos
Definiciones:
Implícitas (las mismas que aparecen en el
lenguaje verbal).
Explícitas: función definida a trozos.
Procedimientos: 1) Analice detenidamente
la gráfica. 2) Determine la ecuación
respectiva, trozo por trozo. 3) Plantee las
conclusiones generales de lo realizado.
Propiedades: identificación de propiedades
ya conocidas de las funciones constante y
lineal, inmersas dentro de una función a
trozos.
Argumentos:
Implícitos: Aplicación de los
procedimientos adecuados para graficar
funciones a trozos, donde están inmersas
las funciones lineales y constantes.
Explícitos: Explicación del procedimiento
para graficar funciones a trozos y como
extrae la ecuación dada la gráfica de la
función.
Proceso de
institucionalización:
el profesor
confronta con los
estudiantes la forma
de extraer la
ecuación de una
función a trozos, de
su gráfica.
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan en el tablero
y en el cuaderno,
signos matemáticos
reconocibles para el
grupo.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo y el
profesor.
Proceso de
generalización: se
va extrayendo la
función trozo por
trozo para poder
dar la ecuación
general de la
función.
- Solicita
aclaración a los
estudiantes
sobre las
fórmulas que
deben utilizar
para graficar
las funciones
dadas.
-Aclara los
aspectos que
observa muy
confusos en sus
estudiantes.
-Aprueba las
propuestas
correctas de sus
estudiantes.
-Solicita
revisión de
procedimientos
no claros o no
correctos.
-Propone ideas
acerca de
algunos
procedimientos,
para que los
estudiantes los
discutan.
-Las
anteriores.
-responde
las
preguntas
del profesor.
-Confronta
las ideas
propuestas
por el
compañero.
-Discute las
propuestas
de los
compañeros
y el
profesor.
.Configuración
dialógica en
pequeños
grupos.
Ant, ic,
Ant, a, Ap,
a, Ap, Pc,
ric, des, ic,
Pc, ric, Pc,
ex, Ant, a,
Ap, ex,
Ant, Pc,
ric, Pc, ric,
Pc, ric, pc,
Pm, Ar, Pc,
ric, Pa, ria,
Pc, ric, A,
ap, E, a, A,
pc, Pc, ric,
apc, Ant.
Los
estudiantes
presentaron
problemas
para
identificar la
ecuación de
una función
lineal a partir
de la gráfica,
lo cual puede
generar un
conflicto
semiótico
cognitivo.
los mismos
que en la
configuración
anterior
-El profesor
debe preguntar
a los
estudiantes
para aclarar
dudas.
-Los
estudiantes
pueden
controvertir lo
propuesto por
un compañero
representante
de algún
grupo.
-El profesor
debe aprobar
las propuestas
correctas de
sus
estudiantes.
-El profesor
puede pedir
revisión de los
procedimientos
aprobados por
el grupo.
304-307 Planteamiento
de lo faltante
del taller, lo
cual queda
Lenguaje verbal: ya conocido (gráfica,
máximo, caja, ancho, lado, cuadrado,
altura, grosor, volumen…).
Proceso de
institucionalización:
el profesor plantea
la tarea para la
-Plantea el
trabajo
pendiente para
la siguiente
-realiza un
recuento de
los puntos
del taller que
.Configuración
dialógica en
gran grupo.
e, e, Ant. Lo que no se
alcance a
exponer de un
trabajo de
Capítulo 7. Caso Juan
371
propuesto
para el inicio
de la
siguiente
clase.
Lenguaje simbólico: Expresión algebraica
de la situación problemática dada:
Definiciones:
Implícitas (las mismas que aparecen en el
lenguaje verbal).
Explícitas: Volumen de un paralelepípedo.
Propiedades: propiedades ya conocidas del
volumen de un paralelepípedo.
siguiente sesión.
Proceso de
representación y
materialización: se
utilizan signos
matemáticos
reconocibles para el
grupo tanto en el
cuaderno, como en
el tablero.
Proceso de
comunicación:
existe interacción
entre los miembros
del grupo, y el
profesor.
sesión.
no se
expusieron.
clase, se deja
para la
siguiente
sesión.
Fuente: Adaptada de Godino (2011); Font, Planas y Godino (2010); Godino, Font, Wilhelmi y Castro (2009).
Capítulo 7. Caso Juan
372
En la siguiente tabla se plantea el análisis de la idoneidad didáctica sugerido por
Godino (2011), asumido desde el Enfoque Ontosemiótico.
Tabla 64. Análisis de Idoneidad de la cuarta clase.
COMPONENTES: INDICADORES S N
Componentes e indicadores de idoneidad epistémica (matemática) 80%
Situaciones-
Problemas
50%
Se presenta una muestra representativa y articulada de situaciones de
contextualización, ejercitación y aplicación
X
Se proponen situaciones de generación de problemas
(problematización)
X
Lenguajes
100%
Uso de diferentes modos de expresión matemática (verbal, gráfica,
simbólica...), traducciones y conversiones entre los mismas.
X
Nivel del lenguaje adecuado a los estudiantes a que se dirige X Se proponen situaciones de expresión matemática e interpretación X
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
100%
Las definiciones y procedimientos son claros y correctos, y están
adaptados al nivel educativo al que se dirigen.
X
Se presentan los enunciados y procedimientos fundamentales del
tema para el nivel educativo dado
X
Se proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o
negociar definiciones proposiciones o procedimientos
X
Argumentos
100%
Las explicaciones, comprobaciones y demostraciones son adecuadas
al nivel educativo a que se dirigen
X
Se promueven situaciones donde el alumno tenga que argumentar X
Relaciones
50%
Los objetos matemáticos (problemas, definiciones, proposiciones,
etc.) se relacionan y conectan entre sí.
X
Se identifican y articulan los diversos significados de los objetos que
intervienen en las prácticas matemáticas.
X
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva 75 %
Conocimientos previos
(Se tienen en cuenta los
mismos elementos que para la
idoneidad epistémica)
100%
Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el
estudio del tema (bien se han estudiado anteriormente o el profesor
planifica su estudio).
X
Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar (tienen una dificultad
manejable) en sus diversas componentes.
X
Adaptaciones curriculares a
las diferencias individuales
100%
Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo. X
Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes X
Aprendizaje:
Se tienen en cuenta los mismos
elementos que para la
idoneidad epistémica)
25%
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la
apropiación de los conocimientos, comprensiones y competencias
pretendidas.
X
Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa
y argumentativa; influencia procedimental; comprensión situacional;
competencia metacognitiva
X
La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y
competencia
X
Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar
decisiones.
X
Capítulo 7. Caso Juan
373
Componentes e indicadores de idoneidad afectiva 83.3%
Intereses y necesidades
50%
Las tareas tienen interés para los alumnos X
Se proponen situaciones que permitan valorar la utilidad de las
matemáticas en la vida cotidiana y profesional.
X
Actitudes
100%
Se promueve la participación en las actividades, la perseverancia,
responsabilidad, etc.
X
Se favorece la argumentación en situaciones de igualdad; el
argumento se valora en sí mismo y no por quién lo dice.
X
Emociones
100%
Se promueve la autoestima, evitando el rechazo, fobia o miedo a las
matemáticas.
X
Se resaltan las cualidades de estética y precisión de las matemáticas X
Componentes e indicadores de idoneidad interaccional 70%
Interacción docente-discente
80%
El profesor hace una presentación adecuada del tema (presentación
clara y bien organizada, no habla demasiado rápido, enfatiza los
conceptos clave del tema, etc.).
X
Reconoce y resuelve los conflictos de los alumnos (se hacen
preguntas y respuestas adecuadas, etc.)
X
Se busca llegar a consensos con base al mejor argumento. X
Se usan diversos recursos retóricos y argumentativos para implicar y
captar la atención de los alumnos.
X
Se facilita la inclusión de los alumnos en la dinámica de la clase. X
Interacción entre alumnos
100%
Se favorece el diálogo y comunicación entre los estudiantes. X
Tratan de convencerse a sí mismos y a los demás de la validez de sus
afirmaciones, conjeturas y respuestas, apoyándose en argumentos
matemáticos
X
Se favorece la inclusión en el grupo y se evita la exclusión. X
Autonomía
100%
Se contemplan momentos en los que los estudiantes asumen la
responsabilidad del estudio (plantean cuestiones y presentan
soluciones; exploran ejemplos y contraejemplos para investigar y
conjeturar; usan una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos).
X
Evaluación formativa 0% Observación sistemática del progreso cognitivo de los alumnos X
Componentes e indicadores de idoneidad mediacional 72.2%
Recursos materiales
(Manipulativos, calculadoras,
ordenadores).
50%
Se usan materiales manipulativos e informáticos que permiten
introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos,
argumentaciones adaptadas al contenido pretendido
X
Las definiciones y propiedades son contextualizadas y motivadas
usando situaciones y modelos concretos y visualizaciones
X
Número de alumnos, horario
y condiciones del aula
100%
El número y la distribución de los alumnos permite llevar a cabo la
enseñanza pretendida
X
El horario del curso es apropiado (por ejemplo, no se imparten
todas las sesiones a última hora)
X
El aula y la distribución de los alumnos es adecuada para el
desarrollo del proceso instruccional pretendido
X
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/Tutorización; tiempo de
El tiempo (presencial y no presencial) es suficiente para la enseñanza
pretendida
X
Se dedica suficiente tiempo a los contenidos más importantes del
tema
X
Capítulo 7. Caso Juan
374
aprendizaje).
66.6%
Se dedica tiempo suficiente a los contenidos que presentan más
dificultad de comprensión
X
Componentes e indicadores de idoneidad ecológica 100%
Adaptación al currículo
100%
Los contenidos, su implementación y evaluación se corresponden
con las directrices curriculares
X
Apertura hacia la innovación
Didáctica.
50%
Innovación basada en la investigación y la práctica reflexiva X
Integración de nuevas tecnologías (calculadoras, ordenadores, TIC,
etc.) en el proyecto educativo.
X
Adaptación socio-
profesional y cultural
100%
Los contenidos contribuyen a la formación socio-profesional de los
estudiantes
X
Educación en valores
100%
Se contempla la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico
X
Conexiones intra e
Interdisciplinares
100%
Los contenidos se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares
X
Fuente: Godino (2011).
Igualmente, desde el Enfoque Ontosemiótico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino,
2010; Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009), se plantea la siguiente figura:
Figura 26. Idoneidades de la Cuarta clase.
Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi
y Castro, 2009.
Esta clase del profesor Juan desde los criterios de idoneidad fue muy interesante y
positiva, sin embargo, se pueden proponer algunos aspectos por mejorar:
Capítulo 7. Caso Juan
375
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro 80%). Se plantearon ejercicios interesantes
más no contextualizados, culminando con problemas, pero no se propusieron situaciones que
permitiera a los estudiantes proponer problemas. Aunque se trabajaron tres significados
distintos del objeto función, éste es muy complejo y tiene muchos significados.
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro 75%). Aunque el profesor recogió informe del
trabajo realizado por cada uno de los grupos, explícitamente no comentó cómo realizaría la
evaluación o para qué utilizaría esos informes, éste sigue siendo un aspecto por mejorar del
docente.
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro 83.3%). No se pudo valorar la utilidad de la
matemática en la vida cotidiana, dado que no se plantearon situaciones del contexto.
Faceta interaccional. (Porcentaje de logro 70%). Por tiempo, el profesor no realizó
una presentación formal de la temática, sino que se apoyó en las conclusiones logradas por
los estudiantes. No se evidencia una forma de identificar el progreso de los estudiantes.
Faceta mediacional. (Porcentaje de logro 72.2%). Algunos de los puntos propuestos
en el taller eran ejercicios, por lo cual no se utilizaron modelos y visualizaciones para
contextualizar las definiciones y propiedades de la clase.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro 100%). Esta faceta es fortaleza de este docente,
debe mantener estos criterios.
Idoneidad didáctica de las clases tercera y cuarta.
En la siguiente tabla se presenta la idoneidad didáctica de las dos clases de Juan,
posteriores a la culminación de las actividades con el Grupo de Trabajo Colaborativo.
Capítulo 7. Caso Juan
376
Tabla 65. Idoneidad didáctica de la tercera y cuarta clase.
Idoneidad Didáctica
Clase Tendencia
% Tercera
%
Cuarta
%
Idoneidad Epistémica 90 80 85
Idoneidad Cognitiva 75 75 75
Idoneidad Afectiva 100 83.3 91.7
Idoneidad Interaccional 80 70 75
Idoneidad Mediacional 77.7 72.2 75
Idoneidad Ecológica 100 100 100
Fuente: elaboración propia.
El hexágono que representa la tendencia de las dos clases de Juan sería:
Figura 27. Tendencia de las idoneidades de la tercera y cuarta clase. Fuente: Adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi
y Castro, 2009.
Aunque en la última clase el docente desmejoró ligeramente en algunas de las
idoneidades, cada idoneidad del docente sigue siendo significativamente alta. Aún así, las
idoneidades más bajas de Juan son la cognitiva, interaccional y mediacional. Las Fortalezas
del profesor están en la idoneidadad ecológica y afectiva.
Capítulo 7. Caso Juan
377
Análisis de Interacción.
Tercera Clase.
La tercera clase del profesor Juan tiene 6 configuraciones didácticas. A continuación, en la
tabla 68, se plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.
Tabla 66. Análisis de interacción de la tercera clase.
AB Descripción Configuración Didáctica
T C1
1-49
C2
50-99
C3
100 -148
C4
149-213
C5
214-283
C6
284-309
A Aclaración del docente a todo
el grupo, explicación corta. 1 1 1 3
Ant Aclaración no temática por
parte del profesor 2 1 1 1 5
e
Explicación amplia del
estudiante 1 1
O El profesor ordena la ejecución
de una acción 1 1 2
Pc Pregunta corta del profesor
dirigida a todo el grupo 2 1 3
pc Pregunta corta por parte del
estudiante por iniciativa propia
al profesor
1 1 2
Pm Preguntas múltiples por parte
del profesor, 1 1
Pnt Pregunta no temática del
profesor 1 1
Rc Respuesta corta del profesor
ante una pregunta del
estudiante
2 1 3
ria Respuesta individual
argumentada del estudiante 2 1 3
ric Respuesta del estudiante,
individual y corta 2 8 4 9 12 3 38
tg Trabajo grupal de los
estudiantes. 2 2
S T 14 9 5 12 15 9 64
Patrones de interacción que surgieron de las últimas clases del docente
a Aclaración temática corta del
estudiante. 1 6 4 1 1 1 14
ant Aclaración no temática del
estudiante 2 6 7 5 3 3 26
apc Aprobación del estudiante a lo
dicho por un compañero. 5 4 1 2 3 15
Capítulo 7. Caso Juan
378
ar Autorespuesta del estudiante,
pregunta y responde su
pregunta.
1 3 4 2 2 2 14
cop Complemento a la opinión de
un compañero. 1 1
des Desacuerdo del estudiante
frente a la opinión de los
compañeros.
1 4 6 4 5 20
ed Expresión de duda ante lo que
afirma el compañero. 2 2
ent Explicación no temática amplia
del estudiante 1 1
ex Expresión sin sentido completo
del estudiante 3 6 2 1 12
l Lectura de un texto, taller o guía
por el estudiante 1 1 2
o Opinión del estudiante respecto
de un tema matemático. 16 10 10 22 24 4 86
Pcc Pregunta corta del profesor
dirigida al pequeño grupo 2 2
pcc Pregunta corta del estudiante a
sus compañeros. 7 10 15 17 15 11 75
pccm Pregunta corta múltiple, varias
seguidas del mismo estudiante. 2 2 1 6 11
pnt Pregunta no temática del
estudiante. 2 4 1 1 1 1 10
r Repetición de lo que dice el
compañero. 1 1 2
rdes Reafirmación a un desacuerdo. 1 1
rpnt Repetición de la pregunta no
temática por parte del
estudiante
1 1
so Solicitud de un estudiante a un
compañero 3 2 1 2 8
S TO 43 53 55 63 66 23 303
TOT 57 62 60 75 81 32 367
Fuente: elaboración propia.
Se va a realizar un análisis por configuración para luego concluir sobre la clase, la cual
corresponde a la trascripción de la tercera clase de Juan (TR3J). Todas las configuraciones
son de tipo dialógico, desarrolladas en pequeños grupos, (Godino, Contreras y Font, 2006).
Capítulo 7. Caso Juan
379
Tabla 67. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la tercera clase.
Configuración Tiempo
(minutos) Orden de interacción Total
Configuración 1 12:30
O, pnt, Rc, Ant, apc, tg, ent, tg, Ant, pnt, Pnt, rpnt, Rc, pm. pccm,
ed, ed, ant, pcc, l, o, pcc, pcc, o, des, o, pcc, o, pcc, Pc, rc, A, apc,
Pc, o, ant, pcc, ar, o,o,o,o,o, cop, o, o, o, a, apc, o, o, pccm, ric,
pcc, apc, o, apc.
57
Configuración 2 14:00
Ant, pnt, o, apc, pcc, a, ant, ant, pnt, so, ric, l, ant, pcc, pnt, ric, o,
apc, ant, des, ant, pccm, ar, pnt, ric, o, pcc, a, pcc, pcc, ar, des,
pcc, ric, a, so, pccm, ar, o, des, o, pcc, ric, a, o, ant, so, apc, a, o, o,
a, des, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, o, o, apc.
62
Configuración 3 17:15
A, pcc, ar, des, ant, o, pcc, pcc, ar, o, pcc, apc, pccm, ant, a, o,
des, pcc, pcc, ric, pcc, ric, a, ex, ant, pnt, o, pcc, pcc, ric, des, o,
ex, pcc, ar, ant, a, o, des, o, o, ant, so, pcc, ric, r, ant, pcc, pcc, a,
pcc, ex, o, des, pcc, ar, o, so, des, ant.
60
Configuración 4 18:15
Ant, pnt, pcc, ric, pcc, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, pcc, ex, o, o, pcc,
ar, des, ex, A, o, o, pcc, o, o, o, pcc, o, des, rdes, a, pcc, ric, pcc,
ric, pcc, e, o, pcc, apc, o, des, o, pcc, ric, o, ant, ant, ex, ant, ant,
ant, ex, pcc, o, o, ex, o, ex, o, pcc, ric, pcc, ric, apc, pcc, ar, des, o,
so, pcc, ric, r.
75
Configuración 5 17:30
pccm, ric, pccm, pcc, o, pcc, o, o, des, so, o, des, o, o, pcc, ric,
apc, o, o, pccm, pccm, ar, so, pcc, ant, o, des, pccm, ric, o, o, ex,
ex, o, o, o, pccm, ric, des, ant, pcc, ric, o, pcc, ric, pcc, a, pcc, ric,
des, pcc, ric, pc, ric, o, pcc, pcc, ric, pccm, ar, o, o, pcc, ant, apc,
pnt, pcc, ria, o, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ria, o, o, o, apc, o,o.
81
Configuración 6 6:15 Ant, Pc, pc, Rc, pcc, pcc, ric, ant, pnt, ria, a, ppc, ar, pcc, ar, ant,
ant, pcc, pcc, pcc, pcc, ric, o, pcc, pcc, o, o, o, ex, pcc, ric, O. 32
Fuente: Autor.
De esta clase surgen las categorías: explicación no temática amplia del estudiante (ent)
y repetición de una pregunta no temática realizada por un compañero (rpnt). Se resaltan en
cada configuración y en orden de frecuencia:
Configuración 1: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta
corta del estudiante a sus compañeros (pcc) y aprobación del estudiante a lo dicho por un
compañero (apc).
Configuración 2: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o),
pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante individual y
corta (ric), aclaración temática del estudiante (a) y aclaración no temática del estudiante
(ant).
Capítulo 7. Caso Juan
380
Configuración 3: Pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), opinión del
estudiante respecto de un tema matemático (o), aclaración no temática corta del estudiante
(ant) y desacuerdo del estudiante a lo que plantea el compañero (des).
Configuración 4: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta
corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric)
y expresión sin sentido completo por parte del estudiante (ex).
Configuración 5: Opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta
corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric)
y pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante (pccm).
Configuración 6: Pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), opinión del
estudiante respecto de un tema matemático (o), aclaración no temática del estudiante (ant) y
respuesta del estudiante, individual y corta (ric).
La clase en general tuvo una duración de 1:25 horas, de 309 líneas de interacción y 6
configuraciones didácticas; todas las configuraciones fueron de tipo dialógico (Font, Planas
y Godino, 2010); las de mayor frecuencia en su orden son: opinión del estudiante respecto
de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros; respuesta del
estudiante individual y corta; aclaración no temática del estudiante; y desacuerdo del
estudiante a lo que plantea el compañero. Lo anterior nos permite concluir que la clase es de
corte no tradicional-tecnológico. Es decir es una clase centrada en el estudiante, desarrollada
en pequeño grupo, donde es fácil pensar que el estudiante se siente más libre para opinar e
interactuar con sus compañeros, por ello la interacción más usual es la opinión del estudiante
frente al desarrollo de la temática, de manera natural se da un incremento muy significativo
de la pregunta al compañero para aclarar situaciones. También se destaca la serie de
aclaraciones no temáticas que se hacen en el grupo, lo que implica que también existe la
tendencia a hablar sobre temas adicionales a la clase. Otro aspecto, es que surge una categoría
que es difícil encontrar en una clase tradicional, y es que el estudiante exprese su desacuerdo
Capítulo 7. Caso Juan
381
con la opinión que da el compañero, pues se da cuando hay cierta autonomía del estudiante,
para su libre expresión.
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el
estudiante en las diferentes configuraciones.
Tabla 68. Participación de los estudiantes en la tercera clase.
Tiempo Participación
Estudiante Alumno Docente Total
Configuración 1 9:20 3:10 12:30 74.7%
Configuración 2 11:46 2:14 14:00 84%
Configuración 3 14:40 2:35 17:15 85%
Configuración 4 16:23 1:52 18:15 89.8%
Configuración 5 17:30 0:00 17:30 100%
Configuración 6 3:58 2:17 6:15 63.5%
Total 1:13:37 12:08 1:25:45 85.9%
Fuente: elaboración propia.
Se observa que en todas las configuraciones el protagonismo correspondió al estudiante, e
incluso hay una donde el docente no participó. En general la participación de los estudiantes fue
de 85.9%, lo cual indica el alto grado de interveción que tuvieron éstos. Este criterio, donde el eje
de la clase es el estudiante, corresponde con una clase de tipo no tradicional-tecnológica (Porlán,
1995).
Cuarta clase.
La cuarta clase del profesor Juan tiene 5 configuraciones didácticas. En la tabla 71, se
plantean las interacciones que se presentaron en cada configuración.
Capítulo 7. Caso Juan
382
Tabla 69. Análisis de interacción de la cuarta clase.
AB Descripción
Configuración didáctica
T C1
1-49
C2
50-
99
C3
100 -148
C4
149-213
C5
214-283
A Aclaración del docente a todo el
grupo, explicación corta.
4 6 6 2 18
Ant Aclaración no temática por parte
del profesor
2 4 6 5 1 18
Ap Aprobación de la respuesta dada
por el estudiante
3 3 3 9
Ar
Autorespuesta del profesor, es
decir pregunta y responde su
pregunta.
3 3 1 1 8
E Explicación amplia del profesor 1 1 2
e
Explicación amplia del estudiante 1 2 3
ic Intervención corta del estudiante,
sin que se la haya solicitado el
docente
1 5 3 2 11
O El profesor ordena la ejecución de
una acción
1 2 3 6
Pa Pregunta argumentada por parte
del profesor
1 1
Pc Pregunta corta del profesor
dirigida a todo el grupo
2 11 7 9 29
pc Pregunta corta por parte del
estudiante por iniciativa propia al
profesor
3 3 2 8
Pm Preguntas múltiples por parte del
profesor,
1 1 2 1 5
Pnt Pregunta no temática del profesor 1 2 3
Pntd Pregunta del docente, no temática
y directa (menciona quien debe
contestar)
3
Rc Respuesta corta del profesor ante
una pregunta del estudiante
2 2
Ra Respuesta argumentada del
profesor a una pregunta de un
estudiante
1 1
ria Respuesta individual argumentada
del estudiante
2 2 1 5
ric Respuesta del estudiante,
individual y corta
23 7 6 8 44
ap Aprobación de lo dicho por el
docente por parte del estudiante.
1 3 1 5
S T 48 53 37 37 3 178
EMERGENTES DESPUÉS DEL TRABAJO COLABORATIVO
a Aclaración temática corta del
estudiante.
4 2 5 4 15
ant Aclaración no temática del
estudiante
24 2 1 27
Capítulo 7. Caso Juan
383
apc Aprobación del estudiante a lo
dicho por un compañero.
6 1 7
ar Autorespuesta del estudiante,
pregunta y responde su
pregunta.
13 13
cop Complemento a la opinión de un
compañero.
2 2
des Desacuerdo del estudiante
frente a la opinión de los
compañeros.
3 2 1 6
ed Expresión de duda ante lo que
afirma el compañero.
1 1
ex Expresión sin sentido completo
del estudiante
8 2 2 12
o Opinión del estudiante respecto
de un tema matemático.
40 40
pcc Pregunta corta del estudiante a
sus compañeros.
50 50
pccm Pregunta corta múltiple, varias
seguidas del mismo estudiante.
7 7
pnt Pregunta no temática del
estudiante.
8 8
S TO 166 6 8 8 0 188
TOT 214 59 45 45 3 366 Fuente: elaboración propia.
Se presenta un análisis por configuración, la cual corresponde a la trascripción cuarta
de Juan (TR4J). Todas las configuraciones son de tipo dialógico, una desarrollada en
pequeños grupos, y las restantes en gran grupo (Godino, Contreras y Font, 2006).
Capítulo 7. Caso Juan
384
Tabla 70. Análisis de interacción por tiempo y configuración de la cuarta clase.
Configuración Tiempo
(minutos) Orden de interacción Total
Configuración 1 52:08
Ant, O, pc, Rc, ap, ant, Pc, Ar, Pm, Ar, ant, pcc, pcc, ar, pcc, ric,
pcc, ed, o, pcc, ar, pccm, ric, pnt, ex, ant, ant, ex, pcc, ric, o, o,
pcc, ar, pcc, pcc, ric, pccm, ar, ant, ant, o, ex, o, cop, o, pnt, ant,
ant, ant, o, pcc, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, pcc, Ant,a, pc, Ra, pcc,
pcc, ar, pcc, ric, ant, pcc, o, o, pcc, o,o, pcc, ric, pcc, ric, o, ex,
pnt, ric, Pnt, Ar, Pc, ant, ant, ex, ant, ant, ant, o, pcc, ant, pccm.
ar, o, A, pnt, ric, pcc, ant, pcc, ant, pnt, ar, des, o, ex, o, pcc, o,
pcc, o, pcc, ria, des, o, cop, pnt, ric, o, des, a, pcc, ric, pnt, o, pcc,
ar, pccm, pcc, o, pcc, apc, pcc, pnt, pcc, ric, pcc, ar, ric, pcc, ric,
o, o, ant, o, pcc, a, pcc, ex, o, apc, o, pccm, o, apc, o, apc, o, pcc,
ar, pccm, ric, A, o, pc, Rc, ic, A, pcc, pccm, ar, o, apc, o, pcc, o,
pcc, ric, e, pcc, ar, a, pcc, ria, o, o, pcc, o, o, o, o, pcc, pcc, ant,
ric, pcc, ric, pcc, ric, ex, A, ant, ant, apc, ant, ant, pcc, ric, pcc, ar
.
214
Configuración 2 14:04
Ant, O, Ant, O, ant, A, ap, A, a, Pc, ric, Ant, A, Pc, ric, Pm, ric,
Ap, pc, Pc, ria, A, ic, Pnt, ria, Pnt, Pc, Ar, Pc, Ar, ex, E, ap, ic,
Pc, ric, Pc, pc, Pc, ric, Pc, Ar, ic, A, ap, Pc, ric, Pc, ex, Ant, ic, a,
Ap, A, pc, ric, ic, Ap, ant.
59
Configuración 3 11:07
A, Ant, O, a, O, a, A, Pc, ric, A, ic, Ap, Pc, ric, Pc, Ar, Ant, Pm,
ric, Ant, Pc, ric, Ant, a, Ant, A, Pc, ic, Pc, ric, A, des, a, ic, Ant,
Pm, ant, Pc, ric, O, Ap, a, Ap, des, A. 45
Configuración 4 12:03
Ant, ic, Ant, a, Ap, a, Ap, Pc, ric, des, ic, Pc, ric, Pc, ex, Ant, a,
Ap, ex, Ant, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, Pm, Ar, Pc, ric, Pa, ria,
Pc, ric, A, ap, E, a, A, pc, Pc, ric, apc, Ant. 45
Configuración 5 3:10 e, e, Ant. 3 Fuente: elaboración propia.
A continuación, se resaltan en cada configuración y en orden de frecuencia:
Configuración 1: Pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc); opinión del
estudiante respecto de un tema matemático (o); aclaración no temática del estudiante (ant);
y respuesta del estudiante, individual y corta (ric).
Configuración 2: Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); respuesta
del estudiante individual y corta (ric); aclaración del docente a todo el grupo, explicación
corta (A); e intervención corta del estudiante sin que la haya solicitado el docente (ic).
Configuración 3: Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); respuesta
del estudiante individual y corta (ric); aclaración del docente a todo el grupo, explicación
Capítulo 7. Caso Juan
385
corta (A); aclaración no temática por parte del profesor (Ant); y aclaración temática corta
del estudiante (a).
Configuración 4: Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc); respuesta
del estudiante individual y corta (ric); aclaración no temática por parte del profesor (Ant); y
aclaración temática corta del estudiante (a).
Configuración 5: Explicación amplia del estudiante (e); y aclaración no temática por
parte del profesor (Ant).
La clase tuvo una duración de 1:32:32 horas, de 307 líneas de interacción y 5
configuraciones didácticas; todas las configuraciones fueron de tipo dialógico (Font, Planas
y Godino, 2010). Las interacciones de mayor frecuencia en su orden son: pregunta corta del
estudiante a sus compañeros; respuesta del estudiante individual y corta; opinión del
estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del profesor dirigida a todo el
grupo; y aclaración no temática del estudiante. Lo anterior nos permite concluir que la clase
es de corte no tradicional-tecnológico. Es decir, es una clase centrada en el estudiante,
desarrollada inicialmente en pequeño grupo, donde el estudiante se siente más libre para
opinar e interactuar con sus compañeros, por ello la interacción más usual es la pregunta
corta del estudiante a sus compañeros, de manera natural surge la respuesta del estudiante
individual y corta, seguida de la opinión del estudiante frente a un tema matemático.
También se destaca la serie de aclaraciones no temáticas que se hacen en el grupo, lo que
implica que también existe la tendencia a hablar sobre temas adicionales a la clase. Otro
aspecto que se resalta y que es muy típico de una clase tradicional, aunque este no es el caso,
es la pregunta corta del docente dirigida a todo el grupo, pero esta vez se dio en la etapa de
socialización de lo trabajado en grupo por parte de los estudiantes, y la institucionalización
del conocimiento que debe hacer el docente en toda clase.
En la siguiente tabla se muestra el tiempo utilizado tanto por el docente como por el
estudiante en las diferentes configuraciones.
Capítulo 7. Caso Juan
386
Tabla 71. Participación de los estudiantes en la tercera clase.
Tiempo Participación
Estudiante Alumno Docente Total
Configuración 1 48:35 3:33 52:08 93.2%
Configuración 2 7:52 6:12 14:04 55.9%
Configuración 3 5:52 5:15 11:07 52.8%%
Configuración 4 6:53 5:10 12:03 57.1%
Configuración 5 2:30 0:40 3:10 78.9%%
Total 1:11:42 20:50 1:32:32 77.5%
Fuente: elaboración propia.
Se evidencia que en todas las configuraciones el mayor tiempo de participación
correspondió al estudiante, que fue en general del 77.5%. Este criterio, donde el eje de la clase es
el estudiante, se corresponde con una clase de no tradicional-tecnológica.
Patrones de interacción en la tercera y cuarta clase.
A continuación, se muestran los patrones de interacción comunicativa que se
identificaron en el desarrollo de las clases del profesor, después de haber participado en un
grupo de trabajo colaborativo; con la respectiva frecuencia:
Tabla 72. Análisis de interacción en la tercera y cuarta clase.
Ab Descripción Clase
Total Tercera Cuarta
A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 3 18 21
Ant Aclaración no temática por parte del profesor 5 18 23
Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 0 9 9
Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su
pregunta.
0 8 8
E Explicación amplia del profesor 0 2 2
e Explicación amplia del estudiante 1 3 4
ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado
el docente
0 11 11
O El profesor ordena la ejecución de una acción 2 6 8
Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 0 1 1
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 3 29 32
pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al
profesor
2 8 10
Capítulo 7. Caso Juan
387
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 1 5 6
Pnt Pregunta no temática del profesor 1 3 4
Pntd Pregunta del docente, no temática y directa (menciona quien
debe contestar)
0 3 3
Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 3 2 5
Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un
estudiante
0 1 1
ria Respuesta individual argumentada del estudiante 3 5 8
ric Respuesta del estudiante, individual y corta 38 44 82
ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del
estudiante.
0 5 5
Tg Trabajo grupal de los estudiantes. 2 0 2
S T 64 178 242
Emergentes después del trabajo colaborativo
a Aclaración temática corta del estudiante. 14 15 29
ant Aclaración no temática del estudiante 26 27 53
apc Aprobación del estudiante a lo dicho por un compañero. 15 7 22
ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 14 13 27
cop Complemento a la opinión de un compañero. 1 2 3
des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los
compañeros.
20 6 26
ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 2 1 3
ent Explicación no temática amplia del estudiante 1 0 1
ex Expresión sin sentido completo del estudiante 12 12 24
l Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 2 0 2
o Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 86 40 126
Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 2 0 2
pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 75 50 125
pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 11 7 18
pnt Pregunta no temática del estudiante. 10 8 18
r Repetición de lo que dice el compañero. 2 0 2
rdes Reafirmación a un desacuerdo. 1 0 1
rpnt Repetición de la pregunta no temática por parte del estudiante 1 0 1
so Solicitud de un estudiante a un compañero 8 0 8
S TO 303 188 491
TOT 367 366 733 Fuente: elaboración propia.
De acuerdo con la tabla anterior, las interacciones comunicativas típicas de las clases
del profesor, en su orden, son: opinión del estudiante respecto de un tema matemático (o),
pregunta corta del estudiante a sus compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y
corta (ric), aclaración no temática del estudiante (ant), pregunta corta del profesor dirigida a
todo el grupo (Pc) y Aclaración temática corta del estudiante (ant). Se observa que todas las
interacciones corresponden a acciones del estudiante, excepto la pregunta corta del profesor
dirigida a todo el grupo, que se dio justamente en la socialización, lo cual implica que el eje
de la clase es el estudiante y la tipología de clase es no tradicional-tecnológica.
Capítulo 7. Caso Juan
388
A continuación, se presenta la información más relevante con relación al tiempo de
ambas clases:
Tabla 73. Análisis de participación respecto al tiempo, de la tercera y cuarta clase.
Configuración
Clase 3 Clase 4
Tiempo
(minutos)
Participación de estudiantes
%
Tiempo
(minutos)
Participación de
estudiantes
%
Configuración 1 12:30 74.7% 52:08 93.2%
Configuración 2 14:00 84% 14:04 55.9%
Configuración 3 17:15 85% 11:07 52.8%%
Configuración 4 18:15 89.8% 12:03 57.1%
Configuración 5 17:30 100% 3:10 78.9%%
Configuración 6 6:15 63.5%
Total 1:25:45 85.9% 1:32:32 77.5%
Fuente: elaboración propia.
La participación de los estudiantes en las dos clases es alta (85.9%, 77.5%), pues ésta
es mayor en todas las configuraciones, a pesar de que se hace socialización e
institucionalización del conocimiento (Godino, Contreras y Font, 2006), y se asigna el trabajo
extraclase; se resalta que estas últimas configuraciones son las de menor tiempo.
De lo anterior se puede afirmar que:
Las dos clases del docente se distribuyeron en 5 y 6 configuraciones didácticas, lo
cual es ya práctico para una clase de calidad, sin embargo, el tiempo programado no fue
adecuado por lo cual quedaron algunas actividades pendientes para sesiones futuras. En las
dos clases, las configuraciones fueron consideradas dialógicas (Godino, Contreras y Font,
2006), de donde se infiere un tipo de clase participativo, donde se privilegia el diálogo y el
consenso, lo cual implica una clase de tipo no tradicional-tecnológica.
En la tercera clase las interacciones más frecuentes del docente fueron: opinión del
estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del estudiante a sus compañeros;
Capítulo 7. Caso Juan
389
respuesta del estudiante individual y corta; aclaración no temática del estudiante; y
desacuerdo del estudiante a lo que plantea el compañero.
En la cuarta clase, dentro de las interacciones más destacadas están: pregunta corta del
estudiante a sus compañeros; respuesta del estudiante individual y corta; opinión del
estudiante respecto de un tema matemático; pregunta corta del profesor dirigida a todo el
grupo; y aclaración no temática del estudiante. Se determinó una identificación amplia de
los patrones de interacción comunicativa del docente Juan en su segunda etapa, los cuales se
plasman en la tabla 74.
Entre las acciones de interacción comunicativa clásicas del docente, después de
participar en el grupo de trabajo colaborativo, se identificaron las siguientes: opinión del
estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta corta del estudiante a sus
compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric), aclaración no temática
del estudiante (ant), Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc) y Aclaración
temática corta del estudiante (ant).
Se observa que todas las interacciones corresponden a acciones del estudiante, excepto
la pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo, que se dio justamente en la
socialización, lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante y ésta es no tradicional-
tecnológica. La tendencia de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 81.7%,
se destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de
un aula donde en algunos momentos asume el control de la clase (Wood, 1999), lo cual es
propio de una metodología no tradicional - tecnológica.
Capítulo 7. Caso Juan
390
Análisis de la comunicación.
Tercera Clase.
En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, se asume el modelo
orquestal de comunicación, se aplicaron los tres principios que plantea este modelo: el
principio de la totalidad, se trabajó en pequeños grupos (4 estudiantes); el principio de la
causalidad circular, en donde se observaron acciones y retroacciones entre los miembros de
cada grupo; finalmente, la regulación, la comunicación no puede existir sino está basada en
normas que permitan el equilibrio del sistema, algunas de las cuales fueron planteadas por
el profesor al inicio de la clase y otras que se manejaron de manera implícita por los
estudiantes (Marc y Picard, 1992).
Se plantean enseguida unas líneas de transcripción de la clase, que corresponden a la
tercera configuración (Tr3J).
[125] Est 3 No, estos tienen que cambiar, el profesor dijo: puede tomar un valor fijo, digamos
para A, que todos valgan dos, pero estos diferentes.
[126] Est 1 Sabe qué?...
[127] Est 3 Ah, culpa mía? yo ni siquiera sabía, yo no le dije que hiciera acá, acá...
[128] Est 1 Yo tampoco sabía, bueno a él lo que le interesa son las conclusiones, grafique esto y
esto, no puede dar una línea recta porque lleva cuadrado.
[129] Est 3 Es que igual lleva la curva acá, la curva viene acá en el curvígrafo.
[130] Est 1 Pero es que tiene que dar cuadrada, eso no puede dar recto.
[131] Est 3 Pero es que no da recta.
[132] Est 1 Una curva no lleva rectas por ningún lado sino va es así o sea lleva la curva, no
puede ir recto...
En la trascripción se pueden evidenciar las acciones y retroacciones que sustentan el
principo de la causalidad circular, al igual que se pueden inferir algunas normas como: el
estudiante debe confrontar las ideas de los compañeros; y hay que llegar a consensos.
Referente a las clases de comunicación, de acuerdo con la participación, la
comunicación es recíproca, hay cambio permanente de roles. Es interpersonal, hay
permanente interrelación entre los estudiantes; es colectiva y pública, los destinatarios eran
Capítulo 7. Caso Juan
391
grupos pequeños. Es lingüística, el medio natural es el lenguaje; también es extralingüística,
se emplea la simbología matemática de función cuadrática y otros símbolos. Es informal en
el trabajo de grupo. Teniendo en cuenta el canal, la comunicación es audio visual, el proceso
se hace leyendo el taller, graficando en el computador o en el celular, escribiendo en los
cuadernos y hojas. También es directa, implica presencialidad, se da por canales simples.
Horizontal en el trabajo en pequeños grupos (Niño, 1998). Esta es la generalidad de la clase,
pero se presentan unas líneas de transcripción para evidenciar lo anterior.
[69] Est 1 Porque ahí sí lo hallaría por lo de adentro.
[70] Est 2 Vamos a hallar lo de afuera?
[71] Est 3 Necesitamos hallar el área, porque ahí hallaríamos solamente este pedazo...este
pedacito vale C menos dos X...
[72] Est 1 Y por qué de acá pasa acá otra vez?
[73] Est 2 A qué? a C y es que la gráfica... aquí pasa lo mismo, con el valor de cuatro sube
hasta menos seis.
[74] Est 1 No, no, es que pasa pero a seis positivo, no a negativo o es que copié mal?
[75] Est 2 Yo creo que copiaste mal porque es de dos positivo.
[76] Est 1 Por eso y mira los otros, por eso, baja acá y sube acá.
Se puede apreciar que hay una comunicación participativa, reciproca, interpersonal,
colectiva y pública; intervienen todos los estudiantes y hacen continuo intercambio de roles.
Igualmente es lingüística, pero también extralingüística (ver [71], [73]); informal y directa,
no se observa ningún orden específico en la participación, más que la dinámica del trabajo y
el estar presentes. Para evidenciar que es audiovisual, obsérvese el siguiente segmento de la
clase:
[121] Est 3 Vea, mira A, B, C, así mire y después meterlos en geogebra, meterlos acá, no hay
necesidad de tablas...
[122] Est 1 Será que pueden tener un valor fijo y cambiar los otros?
En cuanto a los signos desde la propuesta de Peirce (1974), en esta clase se utilizaron
símbolos, por ejemplo
𝑆(𝑥) = (𝑎 + 2𝑥)2 + 4𝑥
Capítulo 7. Caso Juan
392
Según Saussure (1995), en esta clase se manejaron símbolos ubicados en un
contexto y en relación con otros símbolos; es decir, el profesor siempre buscó utilizar
símbolos con significado, lo cual se evidencia en las expresiones cuadráticas anteriores, ya
que para el estudiante un concepto previo es el concepto de función y los tipos de
funciones, especialmente las funciones polinómicas.
En los códigos (Giraud, 1971), se tiene que en la clase se utilizaron los códigos
lingüísticos, los discursos, especialmente de los estudiantes, lo cual se evidencia en su
porcentaje de participación (85.9%); y los extralingüísticos lógicos como la simbología
matemática, se pueden apreciar en las expresiones anteriores; y extralingüísticos sociales, en
términos de costumbres, como las normas mencionadas anteriormente: el estudiante debe
confrontar las ideas de los compañeros; y hay que llegar a consensos, se infirieron de las
líneas de transcripción [125] a [132]. En las siguientes líneas de transcripción, se ve la
interacción de los estudiantes en pro de la construcción de las propiedades de la parábola.
[224] Est 2 Solo se le dan valores a A, B, y C.
[225] Est 1 X más uno...no entonces tres factor de X más uno al cuadrado más dos.
[226] Est 3 La otra?
[227] Est 1 Y la otra sería...
[228] Est 2 Pues si C valía tres...
[229] Est 1 Aquí la otra sería: dos factores de X más uno elevado al cuadrado más tres.
[230] Est 3 Más tres? otra vez igual?
[231] Est 1 No le da cinco? no?...la otra da: uno factor de X, más tres elevado al cuadrado más
dos.
Igualmente se evidencia la negociación de saberes previos, en pro del saber científico.
Se observa un diálogo entre los alumnos, conducente a la construcción individual del
concepto, en el aula surge una interacción y el conocimiento matemático surge de ella
(Sierpinska, 1998; Vygotsky, 1993).
Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007), más
no se observó que se asumiera explícitamente para el control de los estudiantes, lo cual se
puede determinar en las líneas de transcripción [224] a [231].
Capítulo 7. Caso Juan
393
En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), se pueden identificar diferentes
fragmentos donde sobresalen normas de la clase, por ejemplo, de las líneas de transcripción
[50] a [99] (ver análisis de la clase). Se pueden inferir las siguientes reglas: hay que respetar
los turnos de la palabra dentro del grupo; se deben desarrollar todos los ejercicios propuestos
en el taller; hay que analizar bien el procedimiento para solucionar el ejercicio; es bueno
verificar que lo analizado en el grupo es lo que copia el relator; existe la necesidad de
confrontar las ideas de los demás para poder llegar a consensos.
En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con
las interacciones y de acuerdo a ellas se determina a qué modo de comunicación pertenecen
(Brendefur y Frykholm, 2000).
Tabla 74. Modos de comunicación en la tercera clase.
Configuración Interacciones Modos de
comunicación
1
O, pnt, Rc, Ant, apc, tg, ent, tg, Ant, pnt, Pnt, rpnt, Rc, pm. pccm,
ed, ed, ant, pcc, l, o, pcc, pcc, o, des, o, pcc, o, pcc, Pc, rc, A, apc,
Pc, o, ant, pcc, ar, o,o,o,o,o, cop, o, o, o, a, apc, o, o, pccm, ric, pcc,
apc, o, apc.
Reflexiva
2
Ant, pnt, o, apc, pcc, a, ant, ant, pnt, so, ric, l, ant, pcc, pnt, ric, o,
apc, ant, des, ant, pccm, ar, pnt, ric, o, pcc, a, pcc, pcc, ar, des, pcc,
ric, a, so, pccm, ar, o, des, o, pcc, ric, a, o, ant, so, apc, a, o, o, a, des,
pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, o, o, apc.
Reflexiva
3
A, pcc, ar, des, ant, o, pcc, pcc, ar, o, pcc, apc, pccm, ant, a, o, des,
pcc, pcc, ric, pcc, ric, a, ex, ant, pnt, o, pcc, pcc, ric, des, o, ex, pcc,
ar, ant, a, o, des, o, o, ant, so, pcc, ric, r, ant, pcc, pcc, a, pcc, ex, o,
des, pcc, ar, o, so, des, ant.
Reflexiva
4
Ant, pnt, pcc, ric, pcc, ric, o, o, pcc, ric, o, o, o, pcc, ex, o, o, pcc, ar,
des, ex, A, o, o, pcc, o, o, o, pcc, o, des, rdes, a, pcc, ric, pcc, ric,
pcc, e, o, pcc, apc, o, des, o, pcc, ric, o, ant, ant, ex, ant, ant, ant, ex,
pcc, o, o, ex, o, ex, o, pcc, ric, pcc, ric, apc, pcc, ar, des, o, so, pcc,
ric, r.
Reflexiva
5
pccm, ric, pccm, pcc, o, pcc, o, o, des, so, o, des, o, o, pcc, ric, apc,
o, o, pccm, pccm, ar, so, pcc, ant, o, des, pccm, ric, o, o, ex, ex, o, o,
o, pccm, ric, des, ant, pcc, ric, o, pcc, ric, pcc, a, pcc, ric, des, pcc,
ric, pc, ric, o, pcc, pcc, ric, pccm, ar, o, o, pcc, ant, apc, pnt, pcc, ria,
o, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ria, o, o, o, apc, o,o.
Reflexiva
6 Ant, Pc, pc, Rc, pcc, pcc, ric, ant, pnt, ria, a, ppc, ar, pcc, ar, ant, ant,
pcc, pcc, pcc, pcc, ric, o, pcc, pcc, o, o, o, ex, pcc, ric, O. Reflexiva
Fuente: elaboración propia.
Capítulo 7. Caso Juan
394
Se puede deducir que la clase es participativa, en la tabla anterior se observa que las
interacciones de mayor frecuencia corresponden a la relación estudiante-estudiante; el
modelo comunicativo del docente según estas configuraciones es reflexivo, lo que se
corresponde con un modelo de clase no tradicional- tecnológico (centrado en el estudiante).
Cuarta clase.
En cuanto los modelos explicativos de la comunicación, esta clase se relaciona con el
modelo orquestal, se aplican los tres principios de que trata este modelo: el principio de la
totalidad, pues inicialmente se realizó el trabajo en pequeños grupos, lo que permitió el
intercambio de saberes, pero al final se realizó el trabajo de socialización, donde un
estudiante de cada grupo socializó uno de los puntos del taller, con los complementos
respectivos por parte del profesor, realizando así su proceso de institucionalización.
En segundo lugar, se aplicó el principio de la causalidad circular, se presentaron
acciones y retroacciones, que evidencian la interacción entre los miembros de cada grupo.
El tercer principio, de regulación, también estuvo presente, la base de la comunicación está
en las normas, algunas de las cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y
durante la clase, y otras que se asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor
(Marc y Picard, 1992). Se proponen unas líneas de transcripción que permiten evidenciar lo
planteado.
[1] Profesor A solicitud de algunos estudiantes se van a dejar unos minutos para terminar con todas
las actividades del taller, deberán entregar un informe escrito por grupo.
[2] Estu1 Cuánto tiempo profe?
[3] Profesor No sé, yo voy mirando
4] Estu1 Sí, iniciemos por la parte que se dobla
[5] Profesor Esto es X, cierto? claro...sumarlo que el X sea más grande, si el X es más grande,
entonces la porción que le quitas es más grande o más pequeña quiere decir la porción
más pequeña, si lo entendiste? es solo reemplazar? o es aclarar para hacerle el... pero
nos toca hacer la propiedad, no este no, con este...es simplemente darle valores...a
estos dos...
[6] Estu1 Uy, mírala cómo quedó, mira como quedó...y esto...si lo entiende?...
[7] Estu2 Cómo te dio, no te dio?...hice dos tres...qué valores tiene...cuando vale uno, vale dos,
menos dos, aquí dos, sí falta uno, es que aquí le hicieron falta...cuando vale dos, dos
menos tres...?
[8] Estu3 No, es que puedes sumar las que quieras...
Capítulo 7. Caso Juan
395
[9] Estu2 Cuando vale dos, dos menos tres menos uno...?
[10] Estu3 Puede ser, pero qué cuáles tres, no sea así, ahí está bien; pero esa sale...dos más raíz
cuadrada de dos, cuánto te da? dos punto cuatro...
[11] Estu2 Qué pasó? quedó mal?
[12] Estu1 Sí, ahí está bien...el borrador qué lo hicieron?
[13] Estu3 Me hizo pasar toda esta ficha para nada...
En la transcripción se observa la interacción entre los estudiantes y el trabajo en
pequeños grupos, igualmente se pueden destacar las siguientes normas: se debe entregar un
informe por cada grupo al finalizar la sesión; hay que ir llenando una ficha para poder
entregar el informe al final; el informe debe ser presentado por los estudiantes al finalizar la
clase, por lo cual deben ir llevando adicionalmente un borrador. Más normas las podemos
observar en el análisis de la clase.
En lo referente a las clases de comunicación, en cuanto a la participación, la
comunicación es recíproca, hay cambio de roles. Interpersonal, existe permanente
interrelación entre los estudiantes; colectiva y pública, se desarrolla entre grupos pequeños,
al inicio y al final en gran grupo. Es lingüística, el medio básico es el lenguaje, con códigos
paralingüísticos; también es extralingüística, se usa una simbología matemática, expresiones
como tablas de valores, funciones de varias clases y otros símbolos. Es informal en el trabajo
de grupos y formal en la socialización. Es audio visual, el proceso se hace leyendo el taller
y libros, escribiendo en los cuadernos, hojas, tablero y computador. También es directa.
Horizontal, se respeta la opinión del estudiante durante toda la clase (Niño, 1998). En las
siguientes líneas se evidencia todo lo anterior.
[89] Estu3 Es que P en función de R...
[90] Estu2 Me dijiste que la tres, cuál es la tres?
[91] Estu1 No es que la tres no va acá, va en...oiga y quién ensució esto?
[92] Estu3 Pero cuando R vale dos, pero Y a cero es...
[93] Estu1 Y esto es ahí?
[94] Estu4 Ahí está bien; todas nacen en punto cinco, nacen por una dimensión...es que AB, no, da
como cero, cero, punto cinco, hágalo y verá...da once por once...da ciento setenta...
dividido no sé en cincuenta, porque son números o sea...
[95] Estu3 No pero dese cuenta que este X va al cuadrado.
[96] Estu4 Por eso, cincuenta al cuadrado, dos por diez a la menos cuatro o sea que queda cuatro
ceros a la izquierda de...
[97] Estu2 Tercero...pero espera qué hora es?
[98] Estu2 Vamos bien Est5...
Capítulo 7. Caso Juan
396
En esta clase se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), por ejemplo, las funciones
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑔(𝑥) = |𝑥2 + 𝑥 − 6|
Los símbolos siempre se ubicaron en un contexto y en relación con otros símbolos
(Saussure, 1995), por ejemplo, la tabla de valores que aparece a continuación.
Figura 28. Tabla de Valores Fuente: elaboración propia.
Se utilizaron entre los códigos lingüísticos: los discursos del docente y de los
estudiantes; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje, los extralingüísticos lógicos
dentro de lo que aparece toda la simbología matemática, los sociales asumidos como
costumbres y que se reflejan en las normas de la clase (Giraud, 1971); por ejemplo, de [89]
a [98], se pueden inferir normas como: todos los estudiantes pueden participar en la discusión
temática; el trabajo que se va desarrollando no se debe ensuciar; hay que tener un control de
tiempo para poder terminar el taller.
Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007), se
puede evidenciar que los estudiantes están concentrados tratando de terminar su taller ([133]
a [143]).
[133]
Estu2
Quién Est7? pero por qué? esto está cerrado o acá está abierto?
[134] Estu1 Abierto.
[135] Profesor Es que viene cerrado y viene abierto; aquí viene cerrado, aquí viene abierto...tendrían
que practicarlo también con la escala; primero van a graficarlo con la escala de uno,
dos, , tres...
[136] Estu1 Mayores a dos...
[137] Estu3 Pero no dan más rectas?
[138] Profesor Lo que les de la gráfica.
[139] Estu3 Es que pareciera que fuera más...
[140] Profesor Pareciera pero no..
[141] Estu1 Profe es que hay una función que también llama, ya se la digo...
[142] Estu2 Cuáles más nos falta? y los del resto no sabes? estos ya, estos ya...
[143] Estu1 Estos ya están desarrollados, voy acá en el C o sea: para qué valores de X tiene
sentido la función...voy ahí.
Capítulo 7. Caso Juan
397
En cuanto al contrato didáctico (Brousseau, 1988), en el análisis de la clase se pueden
identificar apartes donde es posible determinar normas de clase, por ejemplo, de [133] a
[143]: el estudiante debe confrontar las ideas de los compañeros; hay que llegar a consensos
entre los miembros del grupo.
En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, 2011) con
las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y
Frykholm, 2000).
Tabla 75. Modo de comunicación cuarta clase.
Configuración Interacciones Modo de
comunicación
1
Ant, O, pc, Rc, ap, ant, Pc, Ar, Pm, Ar, ant, pcc, pcc, ar, pcc, ric, pcc,
ed, o, pcc, ar, pccm, ric, pnt, ex, ant, ant, ex, pcc, ric, o, o, pcc, ar,
pcc, pcc, ric, pccm, ar, ant, ant, o, ex, o, cop, o, pnt, ant, ant, ant, o,
pcc, pcc, ric, pcc, ric, pcc, ric, pcc, Ant,a, pc, Ra, pcc, pcc, ar, pcc,
ric, ant, pcc, o, o, pcc, o,o, pcc, ric, pcc, ric, o, ex, pnt, ric, Pnt, Ar,
Pc, ant, ant, ex, ant, ant, ant, o, pcc, ant, pccm. ar, o, A, pnt, ric, pcc,
ant, pcc, ant, pnt, ar, des, o, ex, o, pcc, o, pcc, o, pcc, ria, des, o, cop,
pnt, ric, o, des, a, pcc, ric, pnt, o, pcc, ar, pccm, pcc, o, pcc, apc, pcc,
pnt, pcc, ric, pcc, ar, ric, pcc, ric, o, o, ant, o, pcc, a, pcc, ex, o, apc, o,
pccm, o, apc, o, apc, o, pcc, ar, pccm, ric, A, o, pc, Rc, ic, A, pcc,
pccm, ar, o, apc, o, pcc, o, pcc, ric, e, pcc, ar, a, pcc, ria, o, o, pcc, o,
o, o, o, pcc, pcc, ant, ric, pcc, ric, pcc, ric, ex, A, ant, ant, apc, ant,
ant, pcc, ric, pcc, ar .
Reflexiva
2
Ant, O, Ant, O, ant, A, ap, A, a, Pc, ric, Ant, A, Pc, ric, Pm, ric, Ap,
pc, Pc, ria, A, ic, Pnt, ria, Pnt, Pc, Ar, Pc, Ar, ex, E, ap, ic, Pc, ric, Pc,
pc, Pc, ric, Pc, Ar, ic, A, ap, Pc, ric, Pc, ex, Ant, ic, a, Ap, A, pc, ric,
ic, Ap, ant.
Reflexiva
3
A, Ant, O, a, O, a, A, Pc, ric, A, ic, Ap, Pc, ric, Pc, Ar, Ant, Pm, ric,
Ant, Pc, ric, Ant, a, Ant, A, Pc, ic, Pc, ric, A, des, a, ic, Ant, Pm, ant,
Pc, ric, O, Ap, a, Ap, des, A.
Reflexiva
4
Ant, ic, Ant, a, Ap, a, Ap, Pc, ric, des, ic, Pc, ric, Pc, ex, Ant, a, Ap,
ex, Ant, Pc, ric, Pc, ric, Pc, ric, pc, Pm, Ar, Pc, ric, Pa, ria, Pc, ric, A,
ap, E, a, A, pc, Pc, ric, apc, Ant.
Reflexiva
5 e, e, Ant. Reflexiva Fuente: elaboración propia.
Teniendo en cuenta lo anterior, se puede afirmar que fue una clase participativa, es
decir, el modelo comunicativo del docente según estas configuraciones es reflexivo, lo que
se corresponde con un modelo de clase no tradicional- tecnológico.
Capítulo 7. Caso Juan
398
Generalidades de la comunicación en la tercera y cuarta clases.
En cuanto a los modelos explicativos de la comunicación, la clase del profesor se
asocia con el modelo orquestal de comunicación, se aplican los tres principios que enfoca
este modelo: el principio de la totalidad, se tuvo en cuenta inicialmente el trabajo en
pequeños grupos, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron
socializados en gran grupo en la etapa intermedia de la clase. En segundo lugar el principio
de la causalidad circular, se presentaron acciones y retroacciones, los estudiantes se
implicaron unos a otros durante todo el trabajo realizado y luego confrontaron saberes con
el profesor, ya en el espacio de socialización; Por último, el principio de la regulación
también estuvo presente, la comunicación no puede existir si no hay normas, algunas de las
cuales fueron planteadas por el profesor al inicio de la clase y durante la clase, otras que se
asumieron implícitamente por los estudiantes y el profesor (Marc y Picard, 1992), ejemplos
de lo anterior se pueden verificar en el análisis de cada clase.
En lo que tiene que ver con las clases de comunicación, de acuerdo con la
participación, la comunicación es recíproca, se presentan cambios de roles. Interpersonal,
hay permanente interrelación entre los estudiantes; colectiva y pública, se desarrolla en su
mayor parte entre grupos pequeños y al final el gran grupo. Es lingüística, el medio básico
es el lenguaje, con códigos paralingüísticos; también es extralingüística, se usa una
simbología matemática. Es informal en el trabajo de grupos y formal en la socialización. Es
audio visual, el proceso se hace leyendo el taller y libros, escribiendo en los cuadernos,
hojas y tablero. También es directa. En una mínima parte de la clase es Vertical, al inicio y
culminación de la clase, pero horizontal en el transcurso de la misma (Niño, 1998).
Se utilizaron símbolos (Peirce, 1974), los cuales se manejaron ubicados en un
contexto y en relación con otros símbolos. Es decir, el profesor siempre buscó utilizar
símbolos con significado (Saussure, 1995). Se utilizaron entre los códigos lingüísticos: los
discursos del docente y de los estudiantes; los paralingüísticos como sustitutos del lenguaje
y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).
Capítulo 7. Caso Juan
399
Se tomó la comunicación como medio para promover aprendizajes (Ponte, 2007).
Ejemplos se mostraron en cada una de las clases.
Los modos de comunicación propuestos por Brendefur y Frykholm (2000), son
presentados de acuerdo a las configuraciones didácticas (Godino, Planas y Font, 2010) con
las interacciones de clase, en las tablas 76 y 77. Como se puede deducir de esa información, el
tipo de comunicación de la clase del profesor Juan es reflexiva, ya que el 100% de las
interacciones son reflexivas (Brendefur y Frykholm, 2000). Es decir esta clase es de tipo
dialógico.
Discusión Final
A continuación, se realizará un análisis por cada una de las categorías, teniendo en
cuenta los realizados a las clases anteriores al trabajo colaborativo (primera fase) y a las
clases después de que el docente participó en el grupo de trabajo colaborativo (segunda
fase), con el fin de identificar factores que fueron (re)significados por el profesor (Jiménez,
2002), con respecto a sus prácticas en la clase de matemáticas.
Análisis didáctico.
La elaboración del análisis didáctico con los criterios del Enfoque Ontosemiótico
refleja la situación de la clase a profundidad, permitiéndonos realizar una descripción
detallada de la clase, por lo cual el trabajo se concentrará en los criterios de idoneidad
didáctica, dado que nos permiten analizar la calidad y las mejoras en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (Breda, Font y Lima, 2015).
Se presenta en la tabla siguiente, la tipología del docente Juan antes y después del
trabajo colaborativo.
Capítulo 7. Caso Juan
400
Tabla 76. Tipología del docente antes y después del trabajo colaborativo.
Idoneidad Didáctica
Trabajo Colaborativo
Antes
%
Posterior
%
Idoneidad Epistémica 68.2 85
Idoneidad Cognitiva 66.6 75
Idoneidad Afectiva 66.6 91.7
Idoneidad Interaccional 29,1 75
Idoneidad Mediacional 72.15 75
Idoneidad Ecológica 65 100 Fuente: elaboración propia.
En la primera fase se observa que las idoneidades más bajas del docente Juan, en su
orden, son la interaccional y la ecológica, pero la idoneidad crítica a desarrollar para este
docente es la interaccional.
En la segunda fase (Posterior al trabajo colaborativo) este docente mejoró en todas las
idoneidades; las más bajas son la cognitiva, interaccional y mediacional, pero no a nivel
crítico, ya que las tres están valoradas con 75%, dejando de ser la idoneidad interaccional
punto crítico.
La representación hexagonal sería:
Figura 29. Idoneidades de Juan, en la primera (negro) y segunda (rojo) fases. Fuente: adaptada del análisis del Enfoque Ontosemiotico (Godino, 2011; Font, Planas, Godino, 2010; Godino, Font, Wilhelmi
y Castro, 2009).
Capítulo 7. Caso Juan
401
A continuación, se va a mirar puntualmente por idoneidad:
Tabla 77. Análisis de idoneidad de la clase del profesor.
Componentes: Descripción
Idoneidad epistémica
Situaciones-
Problemas
ATC: El profesor planteó situaciones de contextualización, ejercitación y
aplicación de conceptos, sin embargo aunque sí se plantearon problemas, no se
permitió la generaración de éstos por parte de los estudiantes.
DTC: Sucedió la misma situación.
M: Al no mejorar en este criterio, el docente deberá tenerlo en cuenta.
Lenguajes
ATC: fue adecuado el uso de diferentes modos de expresión matemática, tanto
verbal, como gráfica y simbólica. El lenguaje es adecuado al nivel universitario
que se está trabajando, pero en la clase no se propusieron actividades que
facilitarán el desarrollo de la interpretación y de la expresión matemática.
DTC: En estas clases si se propusieron actividades de interpretación y los otros
dos aspectos permanecieron igual. M: el uso de diferentes modos de expresión y la adecuación del lenguaje a nivel
universitario, son aspectos positivos del docente, se mejoró en que ya se preocupó
por plantear actividades de interpretación y expresión matemática.
Reglas
(Definiciones,
proposiciones,
procedimientos)
ATC: no se observaron fallas en el planteamiento de las definiciones y
procedimientos, y están adaptados para el nivel universitario. Sin embargo no se
proponen situaciones donde los alumnos tengan que generar o negociar definiciones
proposiciones o procedimientos.
DTC: Se sigue haciencoun buen planteamiento de las definiciones y
procedimientos, adaptados al nivel universitario. Acá si se propusieron
situaciones de generación y negociación de conceptos.
M: Se mejoró el criterio de generación y negociación de conceptos. Lo demás son
aspectos positivos del docente.
Argumentos
ATC: las explicaciones fueron adecuadas al nivel universitario, pero no se
promovieron situaciones donde el alumno pudiera argumentar.
DTC: el docente tiene como fortaleza el adaptar las explicaciones para el nivel
universitario, además propuso situaciones donde el alumno tuvo que argumentar.
M: Se mejoró en que el profesor propuso situaciones donde el alumno tenía que
argumentar, mediante el trabajo en grupo y la socialización. Una fortaleza del
docente es adecuar los contenidos a nivel universitario.
Relaciones
ATC: se relacionaron y conectaron los objetos matemáticos (problemas,
definiciones, proposiciones, etc.), pero no se abordaron los distintos significados de
éstos.
DTC: igual.
M: Aunque se relacionan los objetos matemáticos, no se mejóro el abordar los
distintos significados de los objetos matemáticos. El docente debe asumir como
aspcto por mejorar este criterio.
Idoneidad Cognitiva
Conocimientos previos
ATC: los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del
tema y el profesor considera que los contenidos pretendidos se pueden alcanzar.
DTC: igual
M: es una fortaleza del docente.
Capítulo 7. Caso Juan
402
Adaptaciones
curriculares a
las diferencias
individuales
ATC: se promovió el logro de todos los estudiantes y se incluyeron actividades de
ampliación.
DTC: igual.
M: es un aspecto positivo del docente. Aprendizaje:
ATC: No se mostró o identificó alguna forma que propusiera el docente como
evaluación de los procesos y prácticas, que señalara entre otros aspectos la
comprensión conceptual y proposicional. Como no hay evaluación no pudimos
fijarnos si en ella se tienen en cuenta los distintos niveles de comprensión y
competencia por parte del estudiante, al igual que si los resultados de esta evaluación
se usan para tomar decisiones. Tampoco se evidenció un desarrollo de las
competencias comunicativa y argumentativa.
DTC: Siguió igual en los primeros aspectos, pero planteó situaciones que
permitieron un desarrollo de las competencias comunicativas y argumentativas.
M: Sólo se mejoró este último aspecto. Lo demás queda como criterio por mejorar.
Idoneidad afectiva
Intereses y necesidades
ATC: se propusieron tareas que tenían interés para los alumnos, pero no situaciones
que pudieran mostrar la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana.
DTC: aunque las tareas fueron interesantes para los estudiantes, no se propusieron
problemas contextualizados.
M: permaneció igual, es decir que sigue siendo un aspecto por mejorar el proponer
situaciones problémicas contextualizadas.
Actitudes
ATC: se favoreció la argumentación en situaciones de igualdad, más no la
participación real del estudiante.
DTC: se respetó el proceso de argumentación independiente de la persona,
adicionalmente se dio buena participación al estudiante para generar valores de
responsabilidad y perseverancia.
M: se mejoró en el sentido de dar mayor participación al estudiante, y dar
oportunidad de desarrollo de valores como la responsabilidad y la perseverancia.
Emociones
ATC: se motivó al estudiante promoviendo el agrado por las matemáticas y
fomentando su autoestima, y resaltando las cualidades estéticas y precisión de las
matemáticas.
DTC: igual
M: es una fortaleza del docente
Idoneidad Interaccional
Interacción docente-
discente
ATC: el profesor realizó una buena presentación del tema, sin embargo, no se
hicieron preguntas adecuadas sino esperando una respuesta corta del estudiante,
tampoco se buscó llegar a consensos, ni se usaron otros recursos retóricos para
motivar a los estudiantes.
DTC: Se invirtieron los papeles, se permitió la participación de los estudiantes en
búsqueda de consenso, se utilizaron diversos recursos retóricos, sin embargo por la
falta de organización del tiempo, no palcanzó a realizar una buena exposición del
tema, como proceso de institucionalización. M: En general se mejoró este criterio.
Interacción entre
alumnos
ATC: aunque se evitó la exclusión, no se buscó una participación significativa de
los estudiantes, que favoreciera el diálogo y la comunicación entre ellos.
Capítulo 7. Caso Juan
403
DTC: se evitó la exclusión y se dio participación a los estudiantes, favoreciendo
el diálogo y la comunicación entre ellos. M: se mejoró el criterio de dar participación a los estudiantes favoreciendo el
diálogo entre ellos.
Autonomía
ATC: dado que el profesor siempre explica todo en la clase, no da oportunidad de
que el estudiante asuma la responsabilidad del estudio.
DTC: el profesor hizo la clase participativa, dio oportunidad a que los estudiantes
asumieran la responsabilidad de la clase, realizando actividades como: plantear
cuestiones y presentar soluciones; explorar ejemplos y contraejemplos para
investigar y conjeturar; usaran una variedad de herramientas para razonar, hacer
conexiones, resolver problemas y comunicarlos, etc.
M: mejoró el aspecto comunicativo en general y en particular los procesos
matemáticos que de ello se derivan.
Evaluación formativa ATC: no se realizó una observación sistemática del progreso cognitivo de los
alumnos.
DTC: igual
M: No mejoró el aspecto de la observación sistemática del progreso del alumno.
Queda como aspecto por mejorar para el docente.
Idoneidad Mediacional
Recursos materiales
(Manipulativos,
calculadoras,
ordenadores).
ATC: No se utilizaron materiales manipulativos e informáticos, al igual que las
definiciones y propiedades no fueron contextualizadas.
DTC: se utilizaron materiales manipulativos (talleres, calculadoras), lo que
permitió la contextualización de los objetos matemáticos.
M: Se mejoró en el criterio de utilizar materiales manipulativos que permitieran
contextualizar los objetos matemáticos. Número de alumnos,
horario
y condiciones del aula
ATC: el horario, la distribución de los estudiantes (forma matricial), al igual que
su número, permitió llevar a cabo la enseñanza pretendida.
DTC: igual, excepto la distribución de los alumnos, pequeños grupos.
M: es una fortaleza del docente.
Tiempo
(De enseñanza colectiva
/tutorización; tiempo de
aprendizaje).
ATC: uno de los problemas del docente es el tiempo, escoge una temática
demasiado ambiciosa, por lo cual el tiempo no es suficiente para la enseñanza
pretendida, no dedicando tiempo especial alos contenidos más importantes o que
son de más dificultad para el estudiante.
DTC: igual
M: Este aspecto es tal vez el de mayor importancia para el docente, el de control
de tiempo, queda por mejorar.
Idoneidad Ecológica
Adaptación al currículo
ATC: los contenidos, su implementación y evaluación son coherentes con las
directrices curriculares.
DTC: igual
M: es fortaleza del profesor.
Apertura hacia la
innovación
Didáctica.
ATC: la clase no tiene que ver con la Innovación basada en la investigación y la
práctica reflexiva, al igual que no integra las Tecnologías de la Información y
Comunicación.
DTC: se planteó una metodología que es innovadora, donde se utiliza material
manipulativo.
M: mejoró el criterio de nuevas metodologías y tecnologías en la clase de
matemáticas.
Capítulo 7. Caso Juan
404
Adaptación socio-
profesional y cultural
ATC: los contenidos abordados contribuyen con la formación socio-profesional de
los estudiantes.
DTC: igual
M: fortaleza del docente.
Educación en valores
ATC: No se promovió la formación en valores democráticos y el pensamiento
crítico.
DTC: Se realizaron actividades que favorecieran la formación en valores.
M: Se mejoró el hacer explícito la formación en valores.
Conexiones intra e
Interdisciplinares
ATC: los contenidos abordados se relacionan con otros contenidos intra e
interdisciplinares.
DTC: igual
M: fortaleza del docente.
Fuente: elaboración propia. ATC: Antes del trabajo colaborativo. DTC. Después del trabajo colaborativo.
M: análisis de mejora.
Teniendo en cuenta que se considera una fortaleza del docente aquellos criterios que
tenía inicialmente dentro de su práctica pedagógica y los siguió manteniendo; un aspecto fue
(re)significado si inicilamente no lo tenía el docente, pero a través del trabajo colaborativo
consiguió desarrollarlo; se considera un aspecto por mejorar si inicialmente no estaba presente
en las prácticas del docente y al finalizar el trabajo colaborativo, sigue sin estarlo. En general
lo que muestra este análisis es lo siguiente,
Tabla 78. La práctica pedagógica del docente al finalizar el trabajo. Análisis por idoneidad.
Idoneidad Fortaleza (re)significación Aspectos por mejorar
Idoneidad Epistémica. Los lenguajes; Reglas y
argumentos.
Situaciones problema y
relaciones.
Idoneidad Cognitiva.
Conocimientos previos;
adaptaciones
curriculares,
Aprendiazaje
Idoneidad Afectiva. Emociones Actitudes Intereses y necesidades
Idoneidad Interaccional.
Interacción docente-
discente; interacción
entre alumnos; y
autonomía.
Evaluación formativa
Idoneidad Mediacional
Número de alumnos,
horario y condiciones de
aula
Recursos materiales
Tiempo, especialmente
en la distribución de
tareas.
Idoneidad Ecológica.
Adaptación al currículo;
adaptación socio-
profesional y cultural; y
conexiones intra e
interdisciplinares
Apertura hacia la
innovación didáctica;
educación en valores.
Fuente: elaboración propia.
Capítulo 7. Caso Juan
405
Uno de los aspectos más complicados de valorar fue la idoneidad epistémica o la calidad
de las matemáticas enseñadas, sin embargo, en cuanto a la resolución de problemas es de
aclarar que el docente sí planteó problemas en sus clases, a pesar de que inicialmente pensaba
que “muchos de los contenidos que se les presentan a los estudiantes no dan tiempo para el
trabajo de resolución de problemas (Ent2J, 27 Marzo 2015), pero no logró finalmente que el
estudiante planteará sus propias situaciones problémicas, al igual que contextualizar los
problemas planteados (Alsina y Domingo, 2010); lo anterior lo menciona el docente al
finalizar el proceso:
quedan muchos aspectos por mejorar, por ejemplo en cuanto a la dimensión epistémica,
pues hace falta la incorporación sistemática de situaciones problema que impliquen
mayor esfuerzo por parte del estudiante para poner en juego tanto los saberes previos
como su espíritu investigativo (EntJ3, 12 mayo 2016).
En la idoneidad cognitiva un aspecto que quedó por mejorar fue la realización explícita
de la evaluación y el dejar entrever cuál es el objetivo de la misma. Al respecto el docente
afirmaba inicialmente, “debo cambiar mi paradigma sobre la evaluación, y hacer que los
contenidos sean más prácticos, que los estudiantes los vean útiles” (Ent2J, 27 Marzo 2015).
Una de las fortalezas fue graduar los contenidos de acuerdo a los conocimientos previos de
los estudiantes, de tal manera que pudieran estar dentro de la zona de desarrollo próximo del
estudiante (Vygotsky, 1988).
En la idoneidad afectiva, quedó igual un aspecto por mejorar, que está relacionado con
el epistémico, el proponer tareas matemáticas que tengan que ver con el contexto y por lo
tanto mejoren la motivación del estudiante hacia su estudio, aunque al terminar el proyecto
opina que “enseñar matemáticas va más allá de un simple ejercicio rutinario que le permite al
estudiante desarrollar algunas estrategias mecánicas y algorítmicas, considera que las
matemáticas poseen un componente práctico que le permite al estudiante relacionarlo con
situaciones de la vida cotidiana” (EntJ3, 12 mayo 2016), lo cual lleva a pensar que hay una
(re)significación del concepto, pero no se alcanzó a plasmar en la práctica.
Capítulo 7. Caso Juan
406
En lo referente a la idoneidad interaccional también quedó un aspecto por mejorar
referente a la evaluación formativa, la cual está también relacionada con la idoneidad
cognitiva y allí se explicó la situación. Se (re)significaron las interacciones entre los
diferentes entes de la clase, al inicio del trabajo el profesor planteaba “la relación docente-
estudiante debe ser cordial, en las que el profesor le responde de la manera más clara posible
al estudiante y así resolver sus dudas” (Ent2J, 27 Marzo 2015) y ésta era la forma más clara
de interacción presente dentro de la clase; pero después del trabajo colaborativo, el profesor
plantea al respecto “en mi práctica docente veo dificultades en la dimensión interaccional,
pues el estudiante sólo asume un rol pasivo y por tal razón no está plenamente comprometido
con su propio aprendizaje” (EntJ3, 12 mayo 2016). En sus últimas clases tuvo muy en cuenta
la interrelación estudiante- estudiante como fundamental, “La organización de los alumnos
pasó de ser lineal o caótica, a estar organizados por grupos de trabajo identificables” (EntJ3,
12 mayo 2016); tiene en cuenta las concepciones de los estudiantes “son un punto de partida,
sin embargo es mediante el trabajo progresivo sobre las situaciones problema las que van
transformando esas concepciones en conceptos institucionales” (EntJ3, 12 mayo 2016).
También se identificaron conflictos cognitivos y se reflexionó sobre ellos, pues lo más
importante es tratar de evitarlos (Font, Planas y Godino, 2010). Otro aspecto sobre el cual se
trabajó en el grupo, fue sobre las normas, las cuales permitieron el buen desarrollo de la clase
(Planas e Iranzo, 2009). Sobre estos aspectos también se presentó una (re)significación, por
ejemplo al respecto Juan menciona que
las reglas van surgiendo del grupo, porque si nos fijamos uno no pone las mismas
reglas para todas las clases, ni para todos los grupos. Hay grupos muy activos, muy
pilosos, que están sobre la temática. Hay otros que son todos perezosos, que no se
concentran, entonces las actividades de la clase no pueden ser las mismas (TG14).
En lo que tiene que ver con la idoneidad mediacional, se tiene un aspecto por mejorar,
el manejo del tiempo, especialmente en lo referente a la distribución de tareas, aunque
inicialmente el profesor afirmaba “ en cada clase se abordan conceptos de acuerdo con los
contenidos programáticos previstos, se inicia mencionando los temas que se abordarán en el
Capítulo 7. Caso Juan
407
tiempo estimado de la clase y luego empieza el desarrollo de la clase” (Ent2J, 27 Marzo
2015), lo que aclara que coloca un tiempo estimado para la clase, pero aún así no lo pudo
manejar. Al respecto dice que “un aspecto que me ha sido especialmente difícil es el de ceder
espacios a los estudiantes, pues algunos estudiantes consideran que la labor del profesor en el
salón debe acaparar toda la atención en el tiempo de clase” (EntJ3, 12 mayo 2016), es decir
reconoce la problemática. También manifiesta que “uno de los aspectos de mi práctica docente
que me preocupa es el uso de mediaciones apropiadas, que le permitan al estudiante acercarse
a la comprensión de conceptos matemáticos” (EntJ3, 12 mayo 2016), aunque según Barrody
(1993) la utilización de materiales manipulativos no es una condición necesaria y suficiente
para el éxito en el aprendizaje, pero si aporta mucho; este fue uno de los aspectos que el
profesor Juan logró (re)significar.
En la idoneidad ecológica, un aspecto que logró el docente (re)significar, fue la
apertura hacia la innovación didáctica, ya que incluyó material manipulativo dentro de la
clase y algunos de los elementos de las tecnologías de la información y la comunicación.
Análisis de Interacción.
Se resalta que las interacciones que aparecen son propias del docente Juan y fueron
emergiendo del análisis de sus clases, el cual se realizó previamente y aparece en páginas
anteriores de este proyecto. Es de destacar que el docente mostró inicialmente una clase de
estructura jerárquica (Menezes, 1995), propia de una tipología de clase tradicional-
tecnológica y producto de ello emergieron unas interacciones propias de este tipo de clases
(ver tabla 58). El análisis a clases realizadas después de la participación del docente mostró
una tipología no tradicional-tecnológica e interacciones emergentes nuevas, y sobre todo
que cambia en frecuencia el tipo de interacción (ver tabla 74); por lo anterior, se
determinaron interacciones propias de la tipología de clase del docente. Sin embargo, a
continuación se presentan las interacciones de Juan en sus dos fases.
Capítulo 7. Caso Juan
408
Tabla 79. Interacciones del docente.
AB Descripción Fase 1 Fase 2
A Aclaración del docente a todo el grupo, explicación corta. 47 21
Ant Aclaración no temática por parte del profesor 20 23
Ap Aprobación de la respuesta dada por el estudiante 10 9
An Negación de la respuesta dada por el estudiante. 2 0
Ar Autorespuesta del profesor, es decir pregunta y responde su pregunta. 52 8
As Asesoría del profesor 2 0
D Dictado que hace el profesor a los estudiantes de problemas o ejercicios. 4 0
E Explicación amplia del profesor 46 2
E Explicación amplia del estudiante 7 4
Ic Intervención corta del estudiante, sin que se la haya solicitado el docente 2 11
Ia Intervención argumentada que hace el estudiante 1 0
Int Intervención no temática del estudiante 1 0
O El profesor ordena la ejecución de una acción 10 8
Pa Pregunta argumentada por parte del profesor 4 1
Pc Pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo 83 32
Pc pregunta corta por parte del estudiante por iniciativa propia al profesor 8 10
Pm Preguntas múltiples por parte del profesor, 17 6
Pnt Pregunta no temática del profesor 1 4
Pntd Pregunta del docente, no temática y directa (menciona quien debe
contestar)
0 3
R Repetición del profesor de lo que expresa el estudiante 5 0
Rc Respuesta corta del profesor ante una pregunta del estudiante 4 5
Ra Respuesta argumentada del profesor a una pregunta de un estudiante 3 1
Ria Respuesta individual argumentada del estudiante 5 8
Ric Respuesta del estudiante, individual y corta 30 82
Ap Aprobación de lo dicho por el docente por parte del estudiante. 0 5
Ti Trabajo individual de los estudiantes 1 0
Tg Trabajo grupal de los estudiantes. 18 2
A Aclaración temática corta del estudiante. 0 29
Ant Aclaración no temática del estudiante 0 53
Apc Aprobación del estudiante a lo dicho por un compañero. 0 22
Ar Autorespuesta del estudiante, pregunta y responde su pregunta. 0 27
cop Complemento a la opinión de un compañero. 0 3
des Desacuerdo del estudiante frente a la opinión de los compañeros. 0 26
Ed Expresión de duda ante lo que afirma el compañero. 0 3
ent Explicación no temática amplia del estudiante 0 1
Ex Expresión sin sentido completo del estudiante 0 24
L Lectura de un texto, taller o guía por el estudiante 0 2
O Opinión del estudiante respecto de un tema matemático. 0 126
Pcc Pregunta corta del profesor dirigida al pequeño grupo 0 2
pcc Pregunta corta del estudiante a sus compañeros. 0 125
pccm Pregunta corta múltiple, varias seguidas del mismo estudiante. 0 18
pnt Pregunta no temática del estudiante. 0 18
R Repetición de lo que dice el compañero. 0 2
rdes Reafirmación a un desacuerdo. 0 1
rpnt Repetición de la pregunta no temática por parte del estudiante 0 1
So Solicitud de un estudiante a un compañero 0 8
TOT 383 733 Fuente: elaboración propia.
Capítulo 7. Caso Juan
409
Las clases iniciales se distribuyeron en 4 y 5 configuraciones respectivamente, las de
la segunda fase en 5 y 6 confuguraciones, lo que muestra un desarrollo sensato por parte del
profesor, para el tiempo que se ha proyectado para estas clases. En la primera fase, todas las
configuraciones fueron consideradas de tipo magistral (Godino, Contreras y Font, 2006), de
lo anterior se concluye que se trata de una clase tradicional-tecnológica (Porlán, 1995).
Igualmente se pueden mirar los patrones de interacción desde diversos autores. Se
presentó el patrón de interacción cíclico (Lampert y Cobb, 1996), evidencia se presenta en el
fragmento de transcripción de la primera clase (Tr1J).
[18] p Como resulta todo esto entonces toda esa
cuestión entonces¿ ya tenemos la función
volumen... ¿ cuál es la función volumen ?
se dirige a sus
guías en la mesa
... y pregunta
[19] A2 por largo por ancho por alto
[20] P Si señor... la función volumen está dada
para este caso... por l.a.h... empecemos
entonces todas la derivaditas parciales que
están involucradas en la regla de la cadena
Largo , alto y
ancho ( l. a . h )
[21] P Entonces decimos que la rapidez de
variación de volumen en un instante de
tiempo está dada por dv/ dl que nos queda?
señala el tablero
[22] A1 a*h
[23] P A*h ... si estoy derivando … a* h se
convierten en constante cierto ¿ ... bien por
dl / dt … lo tengo ¿... si es 3c/seg
dl / dt
Repite lo dicho
[24] P Bien… quién es?.. dv / da
[25] A2 l h El docente afirmo
lo dicho por el
estudiante
[26] P da /dt ... tengo da/dh si quien es ¿ 2cm / seg
+ quien es da /dh?
[27] A2 l* a
[28] p Quien es dh /dt 1cm /seg... listo ... haciendo
el análisis dimensional en que unidades nos
debe dar la rapidez de volumen en un
instante de tiempo determinado en ...?
Afirma lo que
dijo el estudiante
[29] P cm 3 * debe ser de aquí halamos la función
la formulita para fines de cambio cierto ¿’
… ahora apliquémosle a esa fórmula las
condiciones principales del ejercicio …
Señala el tablero
También se pudo identificar el diálogo triádico (Lemke, 1985), [24] a [27], el profesor
mantiene el control del discurso (Pimm, 1987), corrije y orienta a los estudiantes hacia las
respuestas correctas, es un aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), así mismo el trabajo
Capítulo 7. Caso Juan
410
del profesor se puede mirar desde un enfoque de introducción, trabajo y conclusión-revisión
(Mehan, 1982). Igualmente se observó que se presentó el patrón de extracción (Voigt, 1985),
el trozo de transcripción corresponde a la primera clase de Juan (Tr1J).
[31] P A*h es a*h es? Repite la pregunta
y luego responde
[32] P A esas 10 cm y h es 8 cm ... es decir que son
80cm cuadrados y eso * 3 cm por segundo
10 cm y h es 8
cm
3cm ^3
Los estudiantes
escriben en el
cuaderno
[33] P Cuanto es l*h … ahora si? Y repite la
pregunta
[34] A4 120
[35] A5 120
[36] P Quien es l*a..? 120cm ^2 *-2cm
/seg +
El docente
escribe la
respuesta en el
tablero
[37] p 150 verdad ¿150 cm^2? Responde la
pregunta
[38] P Señor? Un estudiante
hace una pregunta
[39] A6 Pues ya como la multiplica ¿hay para qué?
[40] P ammm .. bueno pues quiero que se note
completamente lo que sucede con las
dimensiones cm/seg.. listo … entonces hay
ya simplemente tenemos que operar esas
magnitudes y estará resuelto el ejercicio
verdad ¿ si bien ..
En esta transcripción también se puede determinar el patrón del embudo, al igual que
el patrón tradicional (Wood, 1994, 1998); el aula es univocal, lo que interesa es la transmisión
de la información (Peressini y Knuth, 1998). La clase también es considerada con un patrón
unidireccional (Brendefur y Frykholm, 2000), esta característica, aunque es genérica, se
puede observar en el siguiente fragmento de transcripción, correspondiente a la segunda
clase de Juan (Tr2J).
[1]
p Bueno entonces, entonces vamos a hablar un minuto
sobre la fundamentación del software que en la clase
de geometría estamos trabajando y que estamos
llevando a cabo. Todo ha sido planeado todo ha sido
fundamentado desde el punto de vista de la teoría de
las situaciones didácticas, ¿de acuerdo? Todo ha sido
planeado desde ese punto de vista.
El representante principal el representante principal
de esta teoría
El profesor se
desplaza
hacia el
tablero y
toma un
marcador
Capítulo 7. Caso Juan
411
[2] p El representante principal de esta teoría es Brousseau.
Quien plantea toda una secuencia para hacer
montajes de situaciones a partir de ciertos elementos
y nosotros vamos a utilizar esa teoría para hacer la
introducción de la utilización del software en la
demostración de las propiedades de la geometría
empírica. Bien entonces vamos a ver cómo funciona
esa teoría de las situaciones didácticas según
Brousseau y que últimamente ha sido retomada por
un autor que se llama Pier Lavander quien habla muy
bien de esto y lo enfoca también mucho al uso de las
nuevas tecnologías, lo enfoca primordialmente al
software no solo para la geometría sino para el
cálculo y para muchas otras ramas de la ciencia,
entonces ellos plantean la situación de la siguiente
manera
Guy Brousseau Escribe en el
tablero y
mientras
tanto llega un
nuevo
estudiante a
la clase y se
sienta.
posteriorment
e el profesor
habla
[3] p Ellos en primer lugar hablan de una interacción entre
el sujeto y el medio,
Entre el sujeto y el medio , la interacción se da sin
ninguna intención de aprender algo ni de enseñar
algo, cuando esa interacción se da de esa manera sin
esa intención de aprender o enseñar algo ellos lo
llaman una situación… una situación adidáctica ,
ellos lo llaman una situación adidáctica, es
simplemente una interacción, una interacción que se
da cotidianamente en por ejemplo en ustedes y los
elementos del entorno
Sujeto medio Escribe en el
tablero, pausa
de silencio
mientras
escribe en el
tablero
[4] p No hay una situación, no hay una situación una idea
de aprender algo pero están interactuando con el
medio y luego de esa interacción con el medio
quedarán algunos elementos y esos elementos son
conocidos como el saber y el saber es algo que
ustedes tienen y que es algo impersonal y
descontextualizado entonces Guy Brousseau habla
sobre la manipulación de esos elementos que hay
ahí. Entonces, para que esa situación se transforme y
tenga realmente un sentido…necesitamos que
intervenga el docente, que intervenga el maestro,
interviene el maestro y el maestro interviene
modificando y manipulando el medio. En lo que
nosotros estamos haciendo entonces cual es el medio
en donde interviene el maestro y cuál es la
interacción, pues el maestro obviamente… el medio
en este caso es el software que estamos utilizando , el
maestro interviene el medio lo modifica, lo manipula,
reconoce dentro de ese medio todas las restricciones
y potencialidades, , reconoce dentro de ese medio
todas las restricciones y potencialidades y va con ese
reconocimiento a la manipulación del medio,
entonces le plantea un problema al sujeto, le plantea
una situación problema y de esa manipulación que se
da con todo el medio a partir de todos estos
elementos y de las manipulaciones se produce lo que
se conoce ahora como una situación… didáctica.
Una situación didáctica en donde interviene el saber
Llega un
nuevo
estudiante a
la clase y se
sienta
Escribe en el
tablero
Muestra el
gráfico que
está
Capítulo 7. Caso Juan
412
Se puede observar que el profesor es el que tiene el uso de la palabra con pequeñas
intervenciones de los estudiantes, es decir que prima una discusión común en el aula (Loska,
1998); así mismo, se le da mucha importancia a la transmisión de la información, el profesor
hace una exposición tipo conferencia (Schwarz, et al, 2004), lo que está acorde con los
patrones, afirmativo (Sierpinska, 1996) y con el transmisionista (Villalta y Martinic, 2009).
Lo anterior se evidencia en [1] a [4], (TrJ2).
Se identificaron como los patrones de interacción comunicativa clásicos del docente
en su primera fase, los siguientes: la pregunta corta por parte del docente, las autorespuestas
del profesor, las aclaraciones y explicaciones cortas del docente, explicación amplia del
profesor y respuesta corta por parte del docente. Una forma de mostrar el flujo de
participación en el aula, se presenta a continuación, cambiando el patrón de interacción por
el autor del mismo, ya sea el docente o el estudiante. Para ello, se plantean las interacciones
de la primera clase del docente Juan.
del estudiante , interviene el saber, el saber se
reconoce como el saber sabio, todos tenemos un
saber distinto, y vamos a hacer uso de ese saber, uso
de ese saber para lograr un conocimiento. Para
lograr un conocimiento, cuando el estudiante a través
de toda esta situación didáctica puede pasar del saber
sabio al conocimiento, el conocimiento ya es personal
y contextualizado. Ya lo interioriza, lo relaciona con
situaciones concretas, bien ya es personal y
contextualizado, este proceso que se realiza en la
transición del saber a conocimiento se le llama una
institucionalización. Y ¿cómo se va a dar todo esto?
¿cómo se va a dar la transición entre el conocimiento
y el saber? Bien. El maestro ha modificado el
medio, ha puesto una situación problema, el sujeto
interactúa con ese medio donde logra modificarlo
para lograr el conocimiento que se quiere.
elaborando,
va manejando
el gráfico a
medida que
habla
.
Capítulo 7. Caso Juan
413
Tabla 80. Flujo de participación de la primera clase.
Configuración Interacciones Flujo de participación Total
1
Ant, Pc, Ar, E, Pc, Ar, Pm, ric, A,
Pc, ric, O, ric, A, Pc, ria, Pc, Ar,
Pc, Ar, A, Pc, A, Pc, A, Pc, ric, Ap,
A, Pc, ric, R, Pc, Ar, Pc, ric, Pc,
ric, A, Pc, Ar, Pc, Ar, A, Pc, ric,
ric, Pc, Ar, Pc, pc, Rc, Pm, ric, R,
Pc, Ar, E.
P, P, P, P, P, P,P, e, P, P, e, P, e,
P, P, e, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P,
e, P, P, P, e, P, P, P, P, e, P, e, P,
P, P, P, P, P, P, e, e, P, P, P, e, P,
P, e, P, P, P, P.
P = 46
e = 12
2
Ant, Pa, ric, Pa, Ar, E, ap, Pa, ria,
Pc, ric, E, Pc, ric, E, Pc, ric, R, Pc,
ric, R, A, Pc, Ar, E, Pc, ric, E, pc,
E, Pc, Ar, E, Pc, A, Pm, ic, E, Pc,
Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ria, E, Pc, Ar,
E, Pc, Ar, E, Pc, ric, A, Pc, ric, A,
Pc, Ar, A, Pc, ric, E, Pc, Ar, A, Pc,
ric, E.
P, P, e, P, P, P, e, P, e, P, e, P, P,
e, P, P, e, P, P, e, P, P, P, P, P, P,
e, P, e, P, P, P, P, P, P, P, e, P, P,
P, P, P, e, P, P, e, P, P, P, P, P, P,
P, P, e, P, P, e, P, P, P, P, P, e, P,
P, P, P, P, e, P.
P = 55
e = 16
3
Ant, D, Pm, Ant, D, Pnt, ric, D, A,
Pa, A, Pc, ric, Ap, Pm, Ar, Pm, Ar,
Pm, A, E, Pc, ric, Pc, ric, Pm, ria,
A, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E, Pc, Ar, E,
Pc, Ar, Pc, ria, O, ric, An, Pc, Ant,
Pc, Ar, O, Pc, ric, Ap, O, Ant, Pc,
ric, Ant, Pm, Ant, Pc, Ar, pc, Ra,
ia, A, Ant.
P, P, P, P, P, P, e, P, P, P, P, P, e,
P, P, P, P, P, P, P, P, P, e, P, e, P,
e, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P,
P, e, P, e, P, P, P, P, P, P, P, e, P,
P, P, P, e, P, P, P, P, P, e, P, e, P,
P.
P = 55
e = 11
4 E, Pm, Ar, E, Ant. P, P, P, P, P. P = 5 Fuente: elaboración propia. P: profesor e: estudiante.
Se evidencia el protagonismo del docente y las pocas intervenciones de los estudiantes
(39), de las cuales 33 corresponden a respuestas de preguntas realizadas por el profesor, lo
anterior implica por sus características de participación, que es una clase magistral (Godino,
Contreras y Font, 2006), y por estar centrada en el docente es tradicional-tecnológica (Porlán,
1995).
En la segunda fase, las configuraciones fueron consideradas dialógicas (Godino,
Contreras y Font, 2006), se infiere una clase participativa, donde se privilegia el diálogo y el
consenso, lo cual implica que es no tradicional-tecnológica (Porlán 1995). Adicionalmente, se
pueden analizar los patrones de interacción desde diversos autores. En esta aula se incentiva
al estudiante para que pregunte, y de alguna manera en un lapso de tiempo asumen el control
de la clase, especialmente cuando se realiza trabajo en grupo (Wood, 1999); se ve también que
por momentos la autoridad del docente es reemplazada por el relator del grupo o por el alumno
Capítulo 7. Caso Juan
414
más aventajado en matemáticas que esté en el grupo (Alrø y Skovsmose, 2002). El rol del
profesor cambió con respecto al asumido en la primera fase, convirtiéndose en un orientador
y generador de ambientes de aula (Ponte, Oliveira, Cunha y Segurado, 1988). Lo anterior se
evidencia en el siguiente fragmento de transcripción de la tercera clase de Juan (Tr3J)
[15] Est 3 No hay que pasar las operaciones, ¿cierto que no? solo las tablas.
[16] Est 2 No sé, pregúntale al profesor.
[17] Est 1 ¿Qué dice la hoja?
[18] Est 3 Redacte las conclusiones.
[19] Est 2 En este...como ves debo hacer una caja, con una base cuadrada...
[20] Est 1 Este qué dice...
[21] Profesor ¿Cuál? (hace lectura rápida y entrecortada)...entonces decimos que: este es X
entonces digamos que este pedazo de aquí hasta aquí, vendría siendo A menos dos X,
sería este pedazo, este y este.
[22] Est 2 No, es que dice en términos de X
[23] Profesor Por eso...realizo una tabla de valores para la función, realiza un cálculo aproximado
de la función; es la gráfica ¿cierto?
[24] Est 1 Ah, yo dije que no volvía a hacer gráfica, ¿así que miren a ver cómo las hacen?
[25] Profesor ¿Van a hacer gráfica?
[26] Est 1 Sí, pero...
[27] Profesor Si es que la distancia...la idea es que no alcancé a sacarlos, que era darles la
tarjetica...yo por ejemplo a ustedes les voy a dar...que esto acá la tarjetica tiene una
medida de seis centímetros.
[28] Est 4 Ah, ok; ¿pero no nos da la medida X? o sea...
[29] Est 3 Tenemos que hallar la medida X...acerque la regla por favor...
[30] Est 1 Yo no la tengo.
[31] Est 3 Él dice seis centímetros, ¿sí? un centímetro, dos centímetros, dos cuatro, cinco, seis...
[32] Est 4 Acá abajo cabe eso, si son seis centímetros, entonces toca darle...entonces ya valdrían
cuatro...
[33] Est 3 Entonces aquí sería seis centímetro, menos el valor de X.
[34] Est 4 Dos X.
Igualmente, las preguntas del profesor buscaban el desarrollo de una buena
comunicación y aclarar dudas, para que hubiera más fluidez en el análisis que estaban
haciendo los estudiantes (Menezes, 1995), [21], [23], [25] y [27]. La estructura de las clases
tercera y cuarta de Juan, presentan un trabajo inicial en grupos, para luego realizarse una
socialización, la cual es apoyada por el docente, lo que se ajusta al patrón de discusión (Voigt,
1985) y al de focalización (Wood, 1994, 1998). Lo que se buscó con facilitar la interacción
entre los estudiantes, fue darle sentido a los conocimientos personales de los estudiantes, es
decir, el aula se puede asociar a un patrón dialógico (Peressini y Knuth, 1998); igualmente
se puede asociar con un patrón contributivo y reflexivo (Brendefur y Frykholm, 2000), estas
Capítulo 7. Caso Juan
415
características se puede observar en el siguiente fragmento de transcripción, correspondiente
a la cuarta clase de Juan (Tr4J).
[6] Estu1 Uy, mírala cómo quedó, mira como quedó...y esto...si lo entiende?...
[7] Estu2 Cómo te dio, no te dio?...hice dos tres...qué valores tiene...cuando vale uno, vale dos,
menos dos, aquí dos, sí falta uno, es que aquí le hicieron falta...cuando vale dos, dos
menos tres...?
[8] Estu3 No, es que puedes sumar las que quieras...
[9] Estu2 Cuando vale dos, dos menos tres menos uno...?
[10] Estu3 Puede ser, pero qué cuáles tres, no sea así, ahí está bien; pero esa sale...dos más raíz
cuadrada de dos, cuánto te da? dos punto cuatro...
[11] Estu2 Qué pasó? quedó mal?
[12] Estu1 Sí, ahí está bien...el borrador qué lo hicieron?
[13] Estu3 Me hizo pasar toda esta ficha para nada...
[14] Estu2 Ya me iba hacer cambiar todo (grosería).
[15] Estu1 Cuando vale el uno, vale dos?
[16] Estu2 Sí. Cuando vale dos, vales dos coma cuatro.
[17] Estu1 Ya, no lo tenía todo mal; la de dos punto cuatro si tiene tabla de valores? son dos tablas de
valores. Venga a ver yo cuál estoy haciendo?
[18] Estu2 Cuál es el dos coma cuatro?
[19] Estu1 Espérame que lo estoy haciendo...
[20] Estu2 X, menor que menos uno? será que así se entiende? o estará por líneas acá...
[21] Estu1 Yo a esa clase no vine.
El profesor planteó un taller donde su desarrollo era libre para los estudiantes, dejando
abierta la discusión y permitiendo llegar a múltiples conclusiones, es decir aplicó la discusión
natural (Loska, 1998). El objetivo de los estudiantes fue comprender las ideas de los demás,
refutar y argumentar las mismas, plantear nuevas propuestas, es decir se utilizó el diálogo
crítico (Schwarz, et al, 2004), lo que corresponde a un patrón interrogativo (Sierpinska,
1996). Lo que se vivió en el aula fue un proceso de razonamiento entre profesor y estudiantes
buscando promover aprendizajes (Velasco, 2007). Lo anterior se evidencia en las líneas
siguientes (TrJ4).
[181] Profesor Ojo primero que necesitan ustedes para poder aplicar… por ejemplo ella en el eje
vertical.
[183] Est5 Aquí t como dice que va en función de t, entonces t pequeña entonces iría aquí en
función de X
[184] Profesor Esa t pequeña que significa
[185] Est5 Tiempo y esta sería la temperatura, para graficar seria tendríamos que... pues
digamos si el tiempo …
[186] Profesor Ojo lo que dice el compañero es importante sobre todo en el ejercicio séptimo que
necesitaban hacer cambios de escala ¿cierto?
Capítulo 7. Caso Juan
416
[187] Est7 Digamos que es.... de temperatura 58
[188] Profesor En la representación gráfica como tendría que tomar las unidades, la escala que toma
en el eje Y de cuanto tendría que sumar por ejemplo
[189] Est6 De 10
[190] Profesor De 10 en 10 listo
[191] Est5 ¿No más?
[192] Profesor ¿De a cuánto?
[193] Est4 Yo diría de 10 en 10 entonces seria X, X a Y, entonces aquí seria T y si T vale 0
entonces la temperatura seria 88
[[194] Profesor Aproximados
[195] Est7 Si el tiempo vale 2 la temperatura seria 57 si vale 4 entonces seria 63
[196] Profesor ¿Escuchamos?
[197] Est6 si vale 6 seria 71 si vale 8 seria... aquí volvería a quedar en el mismo nivel y
quedaría 2 y si vale 12 valdría 61
[198] Profesor ojo acá lo siguiente, solo ya están solamente los puntos ubicados cierto, listo, por
ejemplo compañero Est 8 esta listo?, ojo con lo siguiente ya la compañera nos ubicó
por lo menos los puntos cierto traza como quedaría la gráfica aproximada de esa, de
acuerdo con esos datos.
[199] Est9 (gráfica en el tablero)
[200] Profesor Bien ojo un momento, un momento por ejemplo en el tiempo en el espacio entre las
2 primeras horas es posible que por ejemplo que la temperatura se haya bajado por
ahí a unos 40 grados, es posible que la temperatura se haya bajado por ejemplo en la
primera hora haya bajado en los 40 grados
[201] Est 7 Si profesor
[202] Est9 Da 58
A continuación, se muestra el flujo de participación en la tercera clase del profesor,
cambiando el patrón de interacción por el autor del mismo, ya sea el docente o el estudiante.
Tabla 81. Flujo de participación de la tercera clase.
Configuración Flujo de participación Total
1 P, e, P, P, e, e, e, e, P, e, P,e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e,
P, P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.
P = 9
e = 47
2 e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e
P = 0
.e = 62
3 P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e.
P = 1
e = 59
4 P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, P, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
P = 2
e = 73
5 e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e.
P=0
e =81
6 P, P, e, P, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e, e,
e, e,
P = 3
e = 28 Fuente: elaboración propia. P: profesor e: estudiante.
Capítulo 7. Caso Juan
417
Se evidencia ahora el protagonismo del estudiante y las pocas intervenciones del
docente, lo anterior implica por sus características de participación, que es una clase
dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006).
En la segunda fase, los patrones de interacción comunicativa propios del docente
después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, son los siguientes: opinión del
estudiante respecto de un tema matemático, pregunta corta del estudiante a sus compañeros,
respuesta del estudiante, individual y corta, aclaración no temática del estudiante, Pregunta
corta del profesor dirigida a todo el grupo y Aclaración temática corta del estudiante. Se
observa que todas las interacciones corresponden a acciones del estudiante, excepto la
pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo, que se dio justamente en la socialización,
lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante.
Se destaca que hay un cambio de patrones de interacción comunicativa, el profesor
pasa de tener unos patrones centrados en el profesor a unos centrados en el estudiante. En la
primera fase el promedio de participación de los estudiantes en las dos clases fue de 35,76%,
resalta el protagonismo del docente en el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un
aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002), lo cual es propio de una metodología tradicional
– tecnológica (Porlán, 1995).
En la segunda fase, el promedio de participación de los estudiantes en las dos clases
fue de 81.7%, se destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo de las mismas, es
decir se trata de un aula donde el estudiante en algunos momentos asume el control de la
clase (Wood, 1999), lo cual es propio de una metodología no tradicional - tecnológica. Lo
anterior refleja la participación en tiempo de las clases de Juan; cambia de una clase donde
el que más participa es el docente, a una donde se prioriza la participación del estudiante.
Capítulo 7. Caso Juan
418
Análisis de la Comunicación.
Se realiza un análisis comparativo de las dos fases en cada subcategoría.
En lo que se refiere a los modelos explicativos de comunicación, en la primera fase, la
clase de Juan se basa en la transmisión de contenidos, es unidireccional, el profesor es quien
propone las tareas y las desarrolla, por ello, el modelo explicativo predominante es el modelo
lineal (Shanon, 1949; cit. Dins Winkin, 1994). Se desarrollaron ejercicios o problemas con
el mismo patrón buscando que los estudiantes mecanizaran la temática a trabajar, allí estuvo
presente el modelo sistémico (Bertalanffy, 1950). Adicionalmente, se mostró que en estas
clases se manejan algunas normas que permiten el buen desarrollo de las mismas, en cuanto
a ejecución, es decir, hay regulación, por lo cual y en este aspecto está presente el modelo
orquestal (Marc y Picard, 1992).
La clase del profesor en la segunda fase se caracterizó por lo siguiente; inicialmente el
trabajo en pequeños grupos, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron
socializados en gran grupo en la parte final de la clase. También es de destacar que hubo
acciones y retroacciones al presentarse las interacciones entre los estudiantes e igualmente
se destacaron normas de clase, que permitieron el desarrollo de las mismas. Por lo anterior,
se considera que se trabajó con el modelo orquestal de comunicación, y que se aplicaron los
tres principios que enfoca este modelo: el principio de la totalidad, el principio de la
causalidad circular y el principio de regulación (Marc y Picard, 1992). Como se puede
observar, el profesor pasa de un modelo explicativo de la comunicación básicamente lineal,
con pocas componentes de los modelos sistémico y orquestal, a un modelo explicativo
orquestal, es decir hay una mejora sustancial en la comunicación de su clase.
En cuanto a la clasificación de la comunicación, en la primera fase, la comunicación
se desarrolló en una dirección (unilateral), orientada hacia los estudiantes (colectiva y
abierta), el medio de comunicación fue el lenguaje (lingüística), se utilizó simbología
matemática (extralingüística); se sujeta a un patrón de clase definido, el tradicional
Capítulo 7. Caso Juan
419
tecnológico (formal), se da de docente a estudiante (vertical) y en cuanto al canal, la
comunicación es audio visual y directa (Niño, 1998).
La segunda fase, se diferencia de la primera, en cuanto a la participación, la
comunicación es recíproca, se presentaron cambios de roles; interpersonal, pues hay
permanente interrelación entre los estudiantes; básicamente horizontal ya que priman las
interacciones entre estudiantes (Niño, 1998). Se identifican cambios significativos
especialmente en lo referente a la participación, se pasó de unilateral a recíproca, y de vertical
a horizontal.
En los signos no se presentaron cambios en las dos fases. Se utilizaron símbolos, con
muy pocos casos de íconos (Peirce, 1974); estos símbolos se trabajaron ubicados en un
contexto y en relación con otros símbolos (Saussure, 1995). Igualmente en las clases se
utilizaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos como
sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).
En su primera fase, en la clase el profesor utilizó la comunicación para evitar la
indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar el aprendizaje de los conceptos matemáticos
de los mismos, es decir, como medio para percibir el avance o las dificultades de los
estudiantes y como medio de control (Ponte et al. 2007). Sin embargo, en la segunda fase,
el docente sólo utilizó la comunicación para promover aprendizajes (Ponte et al. 2007), es
decir, al ser una clase participativa, el control de la clase se dio de manera natural, ya que
los estudiantes se concentraron en discutir y avanzar sobre el desarrollo de la temática.
En la fase inicial, de acuerdo con el contrato didáctico (Brousseau, 1988), se pudieron
identificar algunas normas de la clase: el profesor es el que propone los ejercicios y utiliza
el tablero; el profesor debe desarrollar los problemas que propone; el profesor debe explicar
cómo se soluciona un determinado tipo de problema; el estudiante debe contestar las
preguntas cortas del profesor; el profesor es quien decide qué se debe trabajar en la clase, en
este caso el que propone el problema a solucionar; siempre que se haga una parte de la
construcción hay que hacer click para validarla; todos deben iniciar a trabajar al tiempo.
Capítulo 7. Caso Juan
420
En la segunda fase también se detectaron normas de clase, entre otras las siguientes:
el estudiante debe confrontar las ideas de los compañeros; hay que llegar a consensos entre
los miembros del grupo; hay que entregar un informe por cada grupo al finalizar la sesión;
hay que ir llevando una ficha para poder entregar el informe al final. Se observa que se
cambia de unas normas que se centran básicamente en el docente, a unas que tienen que ver
con la relación docente-estudiante y estudiante-estudiante.
En la siguiente tabla se presentan las configuraciones didácticas (Godino, Planas y
Font, 2010) y a qué modo de comunicación pertenecen (Brendefur y Frykholm, 2000).
Tabla 82. Modos de comunicación.
Configuración
Clase
Primera Segunda Tercera Cuarta
1 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
2 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
3 Unidireccional Unidireccional Reflexiva Reflexiva
4 Unidireccional Reflexiva Reflexiva Reflexiva
5 Reflexiva Reflexiva Reflexiva
6 Reflexiva Fuente: elaboración propia.
Se observa que la mayoría de las configuraciones de las dos primeras clases son de
tipo comunicativo unidireccional, las interacciones planteadas todas son del actuar del
docente, con muy pocas del estudiante y en tal caso de forma corta, como ya lo habíamos
mencionado anteriormente. En la segunda fase (clases tercera y cuarta), como se puede deducir
de la tabla anterior, el tipo de comunicación de la clase del profesor es reflexiva (Brendefur y
Frykholm, 2000). Es decir esta clase es de tipo básicamente dialógico, lo cual implica una clase
teniendo como eje al estudiante, es decir, no tradicional-tecnológica.
El docente Juan pasa de un modo de comunicación unidireccional a uno reflexivo, pasa de
un tipo de clase magistral a dialógica (Godino, Contreras y Font, 2006); es decir, mejora su modo
de comunicación y su tipología de clase.
Capítulo 8. Conclusiones
Se presentan las principales conclusiones a las que se ha llegado, una vez culminada
esta investigación, al igual que sus limitaciones, posibilidades de ampliación y divulgación
que hasta el momento se ha realizado de los resultados. Las conclusiones provienen de un
estudio de caso, específicamente del análisis didáctico realizado a clases de matemáticas de
dos profesores que participaron en un grupo de trabajo colaborativo, buscando mejorar sus
prácticas pedagógicas. Aunque los resultados del estudio de caso no pueden ser
generalizados, se considera que pueden brindar elementos para que profesores de
matemáticas (re)signifiquen sus prácticas profesionales, especialmente en lo relacionado con
los patrones de interacción comunicativa y la comunicación en sí.
Una de las conclusiones fundamentales de la investigación es que, al finalizar la labor
con el grupo de trabajo colaborativo, los docentes lograron (re)significar sus prácticas
profesionales, pues pasaron de una tipología de clase tradicional- tecnológica (centrada en
el docente) a una no tradicional-tecnológica (centrada en el estudiante), es decir, el docente
pasó de presentar características unidireccionales a reflexivas. Así mismo, también lograron
(re)significar los patrones de interacción comunicativa, donde en la primera fase se
presentaron patrones de interacción comunicativa centrados en el profesor, para pasar a unos
centrados en el estudiante.
Conclusiones en base a los objetivos propuestos
A continuación se presentan las principales conclusiones derivadas de cada objetivo
propuesto en esta investigación.
En el primer objetivo se pretendió caracterizar los modelos de clase de profesores de
la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC. Con la información analizada se pudo concluir
lo siguiente:
422
La gran mayoría de los docentes (54%) del estudio inicial (profesores de la
Licenciatura en Matemáticas) programa sus clases basándose en objetivos operacionales,
pues buscan una planeación bien completa, evalúan mediante la aplicación de pruebas
objetivas planteadas especialmente a manera de guías, consideran que el aprendizaje ocurre
mediante un proceso progresivo de asimilación de conceptos. De acuerdo con lo anterior, las
características de estos profesores se asocian con una tendencia didáctica tradicional-
tecnológica.
En los dos cuestionarios complementados con la entrevista no estructurada, se pudo
establecer que la tendencia hacia la cual se aproximan la gran mayoría de los docentes, el
28% en el cuestionario 1, y el 54% en el cuestionario 2, es hacia la tendencia tradicional-
tecnológica. En todos los casos se observó que definitivamente ningún docente se aproxima
a una sola tendencia didáctica, sino que los docentes poseen rasgos de varias tendencias, sólo
que sí hay una que prima, en la gran mayoría la tradicional-tecnológica.
Igualmente, sobresale la orientación de los docentes hacia la tendencia tradicional-
tecnológica, en algunas categorías de los mencionados instrumentos, como: objetivos,
significado de la temática, importancia del contexto, dificultades en el aprendizaje, medios
educativos, formas de enseñanza de una operación y su inversa, criterio personal o
institucional para solucionar problemas.
El uso de los medios educativos está acorde con la tendencia didáctica del docente. Por
ejemplo, los profesores que se ubican en tendencias tradicionales utilizan básicamente el
tablero o proyectores como el video beam, en reemplazo de aquel. Otros docentes menos
tradicionales, utilizan la plataforma moodle que tiene la Universidad para diferentes
actividades con sus estudiantes, al igual que paquetes informáticos dentro de sus clases,
como Derive, Cabri, Geogebra y otros, teniendo claro que son mediadores.
En cuanto al segundo objetivo, identificar los patrones de interacción comunicativa
de algunos profesores de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, a partir del análisis
didáctico de sus clases; es importante resaltar la forma como se lograron analizar los
423
patrones de interacción comunicativa. En primer lugar se dividió la clase en configuraciones
didácticas de acuerdo a como lo asume el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición
Matemática, y posteriormente se realizó el análisis de los patrones emergentes de cada
configuración, para luego cruzar la información de las diferentes configuraciones.
Con la información analizada se pudo concluir que las dos clases de Juan se
distribuyeron en 4 y 5 configuraciones didácticas, lo cual muestra su tendencia a realizar un
desarrollo temático prudente para una sesión de clase; mientras que las dos clases de
Fernando se distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, lo cual señala un desarrollo
temático demasiado ambicioso, son muchas tareas para la sesión de clase. La totalidad de las
configuraciones de las clases de los dos docentes fueron catalogadas de tipo magistral
(Godino, Contreras y Font, 2006). De lo anterior se concluye que se trata de una clase
centrada en el docente, es decir, de tipo tradicional-tecnológica.
Se determinó una identificación amplia de los patrones de interacción comunicativa de
cada docente, los cuales se plasman en las tablas 23 y 58, que muestran interacciones basadas
en el actuar del docente; lo que permite plantear una primera aproximación para identificar
una clase tradicional tecnológica con base en sus patrones de interacción.
Se identificaron como acciones de interacción comunicativa propias de Fernando y
Juan, las siguientes: la pregunta corta por parte del docente; las autorespuestas del profesor;
las aclaraciones y explicaciones cortas del docente; explicación amplia del profesor; y
respuesta corta por parte del docente. Las anteriores interacciones nuevamente muestran
unas clases centradas en el docente, lo que está acorde con los patrones de interacción de
diversos autores evidenciados en esta primera fase, patrón de interacción cíclico (Lampert y
Cobb, 1996), diálogo triádico (Lemke, 1985), enfoque de introducción, trabajo y conclusión-
revisión (Mehan, 1982), patrón de extracción (Voigt, 1985), del embudo y tradicional (Wood,
1994, 1998), aula univocal, (Peressini y Knuth, 1998), patrón unidireccional (Brendefur y
Frykholm, 2000), discusión común (Loska, 1998), exposición tipo conferencia (Schwarz, et
al, 2004), patrones afirmativo (Sierpinska, 1996) y transmisionista (Villalta y Martinic,
2009); todos los patrones anteriores se caracterizan porque el eje del proceso es el docente.
424
El promedio de participación de los estudiantes en las clases de Juan fue de 35,76%, y
en las de Fernando de 13.49%; donde se puede destacar el protagonismo de los docentes en
el desarrollo de las mismas, es decir se trata de un aula absolutista (Alrø y Skovsmose, 2002),
lo cual es propio de una metodología tradicional - tecnológica.
En cuanto al tercer objetivo, identificar elementos de la práctica pedagógica de
algunos profesores de la Licenciatura en Matemáticas de la UPTC, en especial de la
comunicación, susceptibles de ser replanteados, es de aclarar que el análisis didáctico se
hizo desde los criterios del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática, por lo cual
se presentan a continuación los resultados de la primera fase, desde las idoneidades
didácticas.
Con la información analizada se pudo concluir que en la primera clase, coincidieron
los dos docentes en que las idoneidades más bajas son la interaccional y la epistémica,
mientras que en la segunda, la interaccional; en promedio las más bajas de Juan son la
interaccional y la ecológica, mientras que para Fernando la interaccional y la mediacional,
pero la idoneidad crítica a desarrollar por parte de los docentes fue la idoneidad interaccional.
A continuación, se presenta más en detalle los aspectos por desarrollar de acuerdo con cada
idoneidad.
Faceta epistémica. (Porcentaje de logro, Fernando 59,7% y Juan 68,2 %). No se
propusieron en la clase situaciones que permitieran generar problemas, en este caso el
docente planteó todos los problemas a trabajar por parte del estudiante. Igualmente, no se
formularon situaciones donde los alumnos tuvieran que generar o negociar procedimientos,
definiciones o proposiciones. Tampoco actividades donde el alumno argumentara, las
explicaciones estaban a cargo del docente. Así mismo, no se privilegió el uso de diferentes
significados de los objetos identificados en las prácticas matemáticas.
Faceta cognitiva. (Porcentaje de logro para los dos docentes 66,6%). No se mostró o
identificó alguna forma que propusieran los docentes como evaluación de los procesos y
425
prácticas, que señalara entre otros aspectos la comprensión conceptual y proposicional, el
avance en las competencias comunicativa, argumentativa y metacognitiva, y la comprensión
situacional. Como no hubo evaluación, no se pudo determinar si en ella se tienen en cuenta
los distintos niveles de comprensión y competencia por parte del estudiante, al igual que si
los resultados de esta evaluación se usan para tomar decisiones.
Faceta afectiva. (Porcentaje de logro para los dos docentes 66.6 %). Aunque en la
clase se propone la resolución de problemas, no se tuvieron en cuenta situaciones de contexto
que permitieran vislumbrar la utilidad de la matemática en la vida cotidiana y profesional.
No se promovió la participación en actividades, la perseverancia, responsabilidad, entre
otros.
Faceta interaccional. (Porcentaje de logro Fernando 15,7% y Juan 29,1 %). No hubo
observación sistemática del progreso del estudiante. Toda la responsabilidad de la clase la
asumió el docente, por lo tanto, no se detectaron momentos de autonomía del estudiante, el
cual tuvo poca participación, lo que no facilitó la comunicación en el aula. No hubo variedad
de recursos argumentativos y retóricos, no se le dio mucha importancia a los argumentos de
los estudiantes, por lo cual no se llegó a consensos sino que primó la posición del profesor.
No se plantearon situaciones para solucionar conflictos de los estudiantes.
Faceta mediacional. (Porcentaje de logro Fernando 49,95% y Juan 72,15 %). No se
utilizaron materiales manipulativos para facilitar el aprendizaje de los conceptos de la clase.
No se usaron formas para contextualizar las definiciones y propiedades de la clase. El tiempo
no fue adecuado para la temática, pues ésta era muy extensa; no se le dedicó tiempo especial
a alguno de los contenidos por considerarlos más importantes o de más difícil comprensión.
Faceta ecológica. (Porcentaje de logro Fernando 60% y Juan 65%). No se presentan
aspectos que tengan que ver con la innovación, producto de la investigación y la práctica
reflexiva. No se vio de forma explícita que los profesores hicieran énfasis en la formación
en valores democráticos y el desarrollo del espíritu crítico de los estudiantes. No hay
integración de nuevas tecnologías en el proyecto educativo.
426
Respecto a la comunicación. Dado que las clases se basaban fundamentalmente en la
pretendida transmisión de contenidos, el protagonismo lo tuvo el docente y es quien proponía
las tareas, de las cuales la gran mayoría desarrollaba, se considera que el modelo explicativo
predominó en las clases de los profesores, es un modelo lineal o matemático (Shanon, 1949;
cit. Dins Winkin, 1994). También tienen parte del modelo sistémico en lo referente a la
retroalimentación (Bertalanffy, 1950), siempre desarrollaban varios ejercicios o problemas
con el mismo patrón, buscando que los estudiantes mecanizaran la temática a trabajar.
También se mostró que en estas clases se manejaban algunas normas que permitían el
desarrollo usual de las mismas en cuanto a regulación se refiere, por lo cual se debía tener
en cuenta también el modelo orquestal (Marc y Picard, 1992).
Por la participación, la comunicación fue unilateral, ya que se desarrolló en una
dirección; colectiva y abierta, el docente se dirige a un público que son los estudiantes; es
lingüística, el medio natural de comunicación es el lenguaje, con apoyo de códigos
paralingüísticos; también es extralingüística, se emplean códigos distintos a la lengua
natural, como la simbología matemática; es formal, se sujeta a un patrón de clase definido,
el tradicional. En cuanto al canal, la comunicación es audio visual y directa; vertical, ya que
se da de docente a estudiante, con poca participación del estudiante (Niño, 1998).
En estas clases se utilizaron especialmente los símbolos y en menor escala los íconos
(Peirce, 1974). Los símbolos se manejaron en relación con otros símbolos y ubicados en un
contexto, el profesor siempre intentó utilizarlos con significado (Saussure, 1995).
Igualmente, Se usaron los códigos lingüísticos, el discurso del docente; los paralingüísticos
como sustitutos del lenguaje y los extralingüísticos lógicos y sociales (Giraud, 1971).
Se consideró la comunicación en esta primera fase, como medio para percibir el
avance o las dificultades de los estudiantes y como medio de control (Ponte et al, 2007). El
profesor utilizó la comunicación para evitar la indisciplina de sus estudiantes, y para facilitar
el aprendizaje de los conceptos matemáticos de los mismos. De acuerdo con el contrato
didáctico (Brousseau, 1988), en las clases se pudieron identificar algunas normas, como las
427
siguientes: El profesor es quien propone los ejercicios y utiliza el tablero; el profesor debe
desarrollar los problemas que propone; el profesor es quien explica cómo se soluciona un
determinado tipo de problema; el estudiante debe contestar las preguntas cortas del profesor;
el profesor es quien decide qué se trabaja en la clase, en este caso el que propone el problema
a solucionar; todos deben iniciar a trabajar al tiempo. Como estos casos hay varios dentro
de las sesiones de clase y se encuentran en su respectivo análisis.
En las clases, se analizaron las configuraciones didácticas (Godino, Planas y Font,
2010) con las interacciones y de acuerdo a ellas a qué modo de comunicación se aproximaban
los docentes (Brendefur y Frykholm, 2000). Se pudo deducir que la comunicación típica de
ellos fue la unidireccional, ya que todas las configuraciones de Fernando y casi todas las de
Juan (excepto dos) son de este modo de comunicación. Las interacciones planteadas fueron
del actuar del docente, con muy pocas participaciones del estudiante y en tal caso de forma
corta, lo aclara el hecho de que el promedio de participación del estudiante en la clase es
muy bajo (13,49% en la clase de Fernando y 35,76% en la de Juan).
El cuarto objetivo se refiere a caracterizar la (re)significación de las prácticas
docentes de los profesores participantes en el grupo colaborativo, mediante el estudio de su
participación en el grupo y el análisis didáctico de clases posteriores. A continuación, se
realizará un análisis por cada una de las categorías, teniendo en cuenta las clases después de
que el docente participó en el grupo de trabajo colaborativo (segunda fase), con el fin de
identificar factores que fueron (re)significados por el profesor, con respecto a sus prácticas
en la clase de matemáticas. En primer lugar, se hace referencia al análisis didáctico de clases.
El docente Juan mejoró en todas las idoneidades, las más bajas son la cognitiva,
interaccional y mediacional, pero no a nivel crítico, ya que las tres están valoradas con 75%.
En cuanto al docente Fernando la idoneidad más baja es la epistémica seguida por la
mediacional, con 70% y 72% respectivamente. Se resalta que para los dos docentes se
presenta (re)significación en todas las idoneidades, especialmente hay que destacar que la
idoneidad interaccional dejó de ser punto crítico.
428
A continuación, se presenta el análisis por idoneidad.
Idoneidad epistémica. En cuanto a las situaciones-problema, los profesores
propusieron situaciones de ejercitación y aplicación de conceptos, sin embargo aunque se
plantearon problemas, no permitieron la generación de éstos por parte de los estudiantes;
así mismo, el uso del contexto en la problematización no es usual, al igual que abordar los
diferentes significados de los conceptos. Estos aspectos se presentaron en las dos fases, razón
por lo cual quedan como criterios por desarrollar. En los lenguajes, los docentes poseen
fortalezas en la adecuación del lenguaje a nivel universitario y en el uso de diferentes modos
de expresión, lograron (re)significar lo pertinente a plantear actividades de interpretación y
expresión matemática. En las reglas, se hizo un buen planteamiento de definiciones y
procedimientos, adaptándolos al nivel universitario; se propusieron situaciones de
generación y negociación de conceptos, aspecto que se logró (re)significar. En los
argumentos, se perfeccionó en que el profesor propuso situaciones donde el alumno tenía
que argumentar, mediante el trabajo en grupo y la socialización. En las relaciones, quedó
como aspecto por mejorar, el abordar los distintos significados de los objetos matemáticos,
a pesar de que se establecieron relaciones entre ellos.
Idoneidad cognitiva. En cuanto a los conocimientos previos, este factor se considera
una fortaleza de los docentes, se preocuparon por que los contenidos pretendidos se pudieran
alcanzar y que los estudiantes contaran con las bases adecuadas para afrontarlos. En las
adaptaciones curriculares a las diferencias individuales, los docentes procuraron el logro de
todos los estudiantes e incluyeron actividades de ampliación, es una fortaleza. En lo referente
al aprendizaje, los docentes no realizaron evaluaciones explícitas, por lo cual no se pudieron
identificar los procesos pertinentes a ello, sin embargo, se (re)significó el planteamiento de
situaciones que permitieron un desarrollo de las competencias comunicativas y
argumentativas.
Idoneidad afectiva. Intereses y necesidades, es un factor que tienen que mejorar los
docentes, pues aunque se propusieron tareas que tenían interés para los alumnos, éstas no
mostraron la utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana. En las actitudes, se respetó el
429
proceso de argumentación independiente de la persona, adicionalmente se dio buena
participación al estudiante para facilitar la generación de valores, aspecto que fue
(re)significado. El factor emociones es una fortaleza para Juan, sin embargo, no así para
Fernando, aunque motivó a los estudiantes promoviendo el agrado por las matemáticas y
fomentando su autoestima, no resaltó las cualidades estéticas y precisión de las matemáticas,
lo cual quedó como aspecto por mejorar.
Idoneidad Interaccional. En lo referente a la interacción docente-discente, en las
clases de los dos docentes se permitió la participación de los estudiantes en búsqueda de
consenso, criterio que se (re)significó, en las aulas de Juan se utilizaron diversos recursos
retóricos, lo cual no se vio en las de Fernando, por ello para el primero, este aspecto es una
fortaleza mientras que para Fernando está por mejorar. En lo referente a la interacción entre
alumnos, en las clases de los dos docentes, se evitó la exclusión y se dio participación a los
estudiantes, favoreciendo el diálogo y la comunicación entre ellos, esto fue
(re)significado. En la autonomía, los profesores hicieron la clase participativa, dieron
oportunidad a que los estudiantes asumieran la responsabilidad de la clase, realizando
actividades como: plantear cuestiones y presentar soluciones; explorar ejemplos y
contraejemplos para investigar y conjeturar; usaran una variedad de herramientas para
razonar, hacer conexiones, resolver problemas y comunicarlos. Se (re)significó el proceso
comunicativo en general y en particular los procesos matemáticos que de ello se derivan.
Idoneidad mediacional. Se (re)significó el criterio de utilizar materiales manipulativos
que permitieran analizar los objetos matemáticos. El tiempo es uno de los problemas de los
docentes, escogen una temática demasiado ambiciosa, por lo cual el tiempo no es suficiente
para la enseñanza pretendida.
Idoneidad ecológica. Los contenidos, su implementación y evaluación son coherentes
con las directrices curriculares, contribuyen con la formación socio-profesional de los
estudiantes y se relacionan con otros contenidos intra e interdisciplinares; los criterios
anteriores son fortalezas de los docentes. Se planteó una metodología innovadora, donde
se utilizó material manipulativo, lo cual fue (re)significado. En la clase de Fernando se
430
promovió la formación en valores democráticos y el pensamiento crítico, aspecto que se
(re)significó en la clase de Juan.
Se presentan ahora las conclusiones de los patrones de interacción comunicativa.
Para Juan, sus clases en la segunda fase fueron de 5 y 6 configuraciones didácticas
respectivamente, lo cual es ya buen indicativo para una clase de calidad, sin embargo el
tiempo programado no fue adecuado, por lo tanto quedaron algunas actividades pendientes
para sesiones futuras. En cuanto a Fernando, las dos últimas clases del docente se
distribuyeron en 8 configuraciones didácticas, sigue mostrando su tendencia a realizar un
desarrollo temático demasiado ambicioso, son muchas tareas para una sesión de clase.
De las clases de Fernando el 31% de las configuraciones fueron consideradas de tipo
magistral, las restantes dialógicas; las de Juan, todas las configuraciones fueron consideradas
dialógicas (Godino, Contreras y Font, 2006); se infiere que se trata de una clase participativa,
donde se privilegia el diálogo y el consenso, lo cual implica un aula de tipo no tradicional-
tecnológica, es decir, se (re)significó el tipo de clase de los docentes, al igual que los patrones
de interacción comunicativa.
Se determinó una identificación amplia de los patrones de interacción comunicativa de
los docentes Fernando y Juan en su segunda etapa, los cuales se plasman en la tabla 38 y 74
respectivamente. Lo anterior también plantea una primera aproximación para identificar una
clase no tradicional - tecnológica con base en sus patrones de interacción.
Se establecieron como las acciones de interacción comunicativa clásicas de los
docentes después de participar en el grupo de trabajo colaborativo, las siguientes: opinión
del estudiante respecto de un tema matemático (o), pregunta corta del estudiante a sus
compañeros (pcc), respuesta del estudiante, individual y corta (ric), aclaración no temática
del estudiante (ant), pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo (Pc) y lectura de un
texto, taller o guía por el estudiante (l). Se observa que todas las interacciones corresponden
a acciones del estudiante, excepto la pregunta corta del profesor dirigida a todo el grupo, que
431
se presentó en la etapa de socialización, lo cual implica que el eje de la clase es el estudiante
y la clase es no tradicional-tecnológica. Se destaca que existe una (re)significación de los
patrones de interacción utilizados en las dos fases; mientras que en la primera estaban
centrados en el docente, en la segunda están centrados en el estudiante, que fue el resultado
de la reflexión de los docentes sobre sus prácticas. Lo anterior se confirma con el contraste
de patrones de interacción de otros autores, los cuales se evidenciaron en la segunda fase:
patrón de discusión (Voigt, 1985), de focalización (Wood, 1994, 1998), dialógico (Peressini
y Knuth, 1998), contributivo y reflexivo (Brendefur y Frykholm, 2000), discusión natural
(Loska, 1998), diálogo crítico (Schwarz, et al, 2004) y patrón interrogativo (Sierpinska,
1996); todos los patrones anteriores están centrados en el actuar del estudiante.
El promedio de participación de los estudiantes en las clases fue alto (81.7% en las de
Juan, 81.4% en las de Fernando), se destaca el protagonismo del estudiante en el desarrollo
de las mismas; es decir se trata de un aula donde en algunos momentos asume el control de
la clase (Wood, 1999), lo cual es propio de una metodología no tradicional - tecnológica. Lo
anterior implica que también se presentó una (re)significación en cuanto a la participación
del estudiante dentro de la clase. Ahora se presenta específicamente las conclusiones sobre
la comunicación.
Las clases de los profesores en la segunda fase se caracterizaron inicialmente por el
trabajo en pequeños grupos, buscando facilitar la confrontación de saberes, los cuales fueron
socializados en gran grupo en la parte final. También es de destacar que existieron acciones
y retroacciones al presentarse las interacciones entre los estudiantes e igualmente se
destacaron normas de clase, que permitieron el desarrollo de las mismas. Por lo anterior, se
considera que se trabajó con el modelo orquestal de comunicación, y que se aplicaron los
tres principios que enfoca este modelo: el principio de la totalidad, el principio de la
causalidad circular y el principio de regulación (Marc y Picard, 1992).
Como se puede observar, los profesores pasaron de un modelo explicativo de la
comunicación básicamente lineal, con pocas componentes de los modelos sistémico y
432
orquestal, a un modelo explicativo orquestal, es decir hay una mejora sustancial en la
comunicación de sus clases.
La segunda fase, coincide con la primera en que la comunicación es colectiva y
pública, es lingüística, con códigos paralingüísticos; también es extralingüística. Es informal
en el trabajo de grupos y formal en la socialización. Es audiovisual y directa. Sin embargo
difiere en cuanto a la participación; la comunicación es recíproca, se presentan cambios de
roles; interpersonal pues hay permanente interrelación entre los estudiantes; básicamente
horizontal ya que priman las interacciones entre ellos (Niño, 1998). En estas clases se dio
una buena interacción entre el profesor y el alumno, y especialmente entre los alumnos; el
conocimiento matemático surge de la confrontación de criterios. En este sentido también se
mejora la comunicación.
Para las clases se consideró la comunicación como medio para percibir el avance o las
dificultades de los estudiantes (Ponte et al, 2007). Igualmente se tuvieron en cuenta normas
que facilitaron el desarrollo de las aulas, pero se observó un cambio, inicialmente se tenían
normas que se centraban básicamente en el docente, y se pasó a unas que tenían que ver con
la relación docente-estudiante y estudiante-estudiante. En cuanto a los modos de
comunicación, el tipo de comunicación de la clase del profesor Fernando es reflexiva, ya que el
68.75% de las interacciones son reflexivas y el resto unidireccionales; para Juan todas las
interacciones son reflexivas (Brendefur y Frykholm, 2000), es decir estas clases son dialógicas
(Godino, Contreras y Font, 2006), lo cual implica un aula teniendo como eje al estudiante, o sea,
no tradicional-tecnológica (Porlán, 1995). Los docentes pasaron de un modo de comunicación
unidireccional a uno reflexivo, es decir pasaron de un tipo de clase magistral a dialógico (Godino,
Contreras y Font, 2006); mejoraron su modo de comunicación y su tipología de clase.
Limitaciones de la Investigación
Una de las limitaciones de esta investigación tuvo que ver con la disponibilidad de
tiempo por parte de los profesores para realizar las reuniones del grupo de trabajo
colaborativo, pues encontrar un horario que coincidiera para todos los profesores no fue fácil
433
y por tal motivo muchas de las reuniones debieron ser aplazadas para la siguiente semana.
Otro aspecto que hay que aclarar es que, aunque el estudio se realizó con tres docentes
Fernando, Juan y Gustavo, por extensión de la memoria el trabajo se restringió a los dos
primeros.
Posibles ampliaciones.
Una de las competencias a desarrollar en cualquier docente de matemáticas es la
competencia de análisis didáctico, por lo anterior, se propone ampliar la investigación a
futuro, incorporando docentes de educación básica y media, con el objetivo de tratar la
competencia mencionada.
Otro aspecto que se realizó en la investigación, fue el desarrollo del grupo de trabajo
colaborativo, como curso de cualificación permanente de los docentes participantes, con el
objetivo de (re)significar sus prácticas profesionales, por lo cual se sugiere llevar este tipo
de cualificación a los docentes de básica y media.
Adicionalmente, fueron determinados unos patrones de interacción propios de los tipos
de clases de los docentes Juan y Fernando, los cuales sin el ánimo de ser generalizables
pueden servir de soporte para un estudio más amplio de los patrones de interacción del
docente de la UPTC, no sólo de matemáticas; al igual que del profesor de cualquier
institución de educación básica y media.
Difusión de los resultados
Del trabajo de investigación se han derivado los siguientes productos.
Artículos
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• Leguizamón, J., Patiño, O. y Suárez, P. (2015). Tendencias didácticas de los
docentes de matemáticas y sus concepciones sobre el papel de los medios educativos
en el aula. Revista Educación Matemática. México, Vol. 27. No. 3. 151-174. Revista
indexada Categoría A1.
• Leguizamón, J. (2017). Patrones de interacción comunicativa de algunos docentes
universitarios de matemáticas. Caso Fernando. Revista Práxis y Saber. Vol 8. No.
16. Revista indexada categoría A2.
Ponencia.
• VI Seminario Taller Internacional Vendimia “Educación y Construcción de la
Nación en América Latina y el Caribe: Historia y Prospectiva”, Simposio: Pedagogía
e Interculturalidad, 7, 8 y 9 de noviembre de 2012. UPTC. Tema: Algunos aspectos
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435
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